Hva er volumet til en trekantet pyramide. Hvordan finne volumet til en pyramide

Teorem.

Volumet av en pyramide er lik en tredjedel av produktet av arealet av basen og høyden..

Bevis:

1. Tenk på en trekantet pyramideOABCmed volum V, grunnflateS og høyde h. Tegn en akse oh (OM2- høyde), vurder seksjonenA1 B1 C1pyramider med et plan vinkelrett på aksenÅhog derfor parallelt med basens plan. Angi medX abscissepunkt M1 skjæring av dette planet med x-aksen, og gjennomS(x)- tverrsnittsareal. Uttrykke S(x) på tvers S, h og X. Legg merke til at trekanter A1 V1 MED1 og ABC er like. Faktisk A1 V1 II AB, altså trekant OA 1 V 1 ligner på trekant OAB. MED følgelig, EN1 V1 : ENB= OA 1: OA .

rette trekanter OA 1 V 1 og OAB er også like (de har en felles spiss vinkel med toppunktet O). Derfor, OA 1: OA = O 1 M1 : OM = x: h. På denne måten EN 1 V 1 : A B = x: h.På samme måte er det bevist atB1 C1:Sol = X: h og A1 C1:AC = X: h.Så trekantenA1 B1 C1 og ABClik med likhetskoeffisient X: h.Derfor, S(x): S = (x: h)², eller S(x) = S x²/ h².

La oss nå bruke den grunnleggende formelen for å beregne volumene av kropper veden= 0, b=h vi får

Dermed er volumet til den opprinnelige pyramiden 1/3Sh. Teoremet er bevist.

Konsekvens:

Volum V av en avkortet pyramide med høyde h og grunnflate S og S1 , beregnes av formelen

h - høyden på pyramiden

Stoppe - området av den øvre basen

S lavere - området av den nedre basen

Her skal vi analysere eksempler knyttet til volumbegrepet. For å løse slike oppgaver må du kjenne formelen for volumet til pyramiden:

S

h - høyden på pyramiden

Basen kan være en hvilken som helst polygon. Men i de fleste oppgavene på eksamen handler tilstanden som regel om de riktige pyramidene. La meg minne deg om en av egenskapene:

Toppen av en vanlig pyramide projiseres inn i midten av basen

Se på projeksjonen av de vanlige trekantede, firkantede og sekskantede pyramidene (TOPPVISNING):

Du kan på bloggen, hvor oppgavene knyttet til å finne volumet på pyramiden ble behandlet.Vurder oppgavene:

27087. Finn volumet til en vanlig trekantet pyramide hvis grunnsider er lik 1 og hvis høyde er lik roten av tre.

S- området av bunnen av pyramiden

h- høyden på pyramiden

Finn arealet av bunnen av pyramiden, dette er en vanlig trekant. Vi bruker formelen - arealet av trekanten er lik halvparten av produktet av tilstøtende sider med sinusen til vinkelen mellom dem, noe som betyr:

Svar: 0,25

27088. Finn høyden på en vanlig trekantet pyramide med grunnsider lik 2 og volum lik roten av tre.

Begreper som høyden på pyramiden og egenskapene til basen er relatert av volumformelen:

S- området av bunnen av pyramiden

h- høyden på pyramiden

Vi kjenner selve volumet, vi kan finne arealet av basen, siden sidene av trekanten, som er basen, er kjent. Når vi kjenner disse verdiene, kan vi enkelt finne høyden.

For å finne arealet av basen bruker vi formelen - arealet av trekanten er lik halvparten av produktet av tilstøtende sider med sinusen til vinkelen mellom dem, noe som betyr:

Ved å erstatte disse verdiene i volumformelen kan vi derfor beregne høyden på pyramiden:

Høyden er tre.

Svar: 3

27109. I en vanlig firkantet pyramide er høyden 6, sidekanten er 10. Finn volumet.

Volumet av pyramiden beregnes med formelen:

S- området av bunnen av pyramiden

h- høyden på pyramiden

Vi vet høyden. Du må finne området til basen. La meg minne deg på at toppen av en vanlig pyramide projiseres inn i midten av basen. Basen til en vanlig firkantet pyramide er en firkant. Vi kan finne diagonalen. Tenk på en rettvinklet trekant (uthevet i blått):

Segmentet som forbinder midten av kvadratet med punkt B er et ben, som er lik halvparten av kvadratets diagonal. Vi kan beregne denne etappen ved å bruke Pythagoras setning:

Så BD = 16. Regn ut arealet av kvadratet ved å bruke firkantet områdeformel:

Derfor:

Dermed er volumet av pyramiden:

Svar: 256

27178. I en vanlig firkantet pyramide er høyden 12, volumet er 200. Finn sidekanten til denne pyramiden.

Høyden på pyramiden og volumet er kjent, så vi kan finne arealet av torget, som er basen. Når vi kjenner arealet til en firkant, kan vi finne diagonalen. Videre, etter å ha vurdert en rettvinklet trekant, ved å bruke Pythagoras teorem, beregner vi sidekanten:

Finn arealet av kvadratet (bunnen av pyramiden):

Regn ut diagonalen til kvadratet. Siden arealet er 50, vil siden være lik roten av femti, og i henhold til Pythagoras teorem:

Punktet O deler diagonalen BD i to, så benet til den rettvinklede trekanten OB = 5.

Dermed kan vi beregne hva sidekanten til pyramiden er lik:

Svar: 13

245353. Finn volumet til pyramiden vist på figuren. Basen er en polygon hvis tilstøtende sider er vinkelrette, og en av sidekantene er vinkelrett på basens plan og er lik 3.

Som det har blitt sagt gjentatte ganger - volumet av pyramiden beregnes av formelen:

S- området av bunnen av pyramiden

h- høyden på pyramiden

Sidekanten vinkelrett på basen er tre, som betyr at høyden på pyramiden er tre. Basen til pyramiden er en polygon hvis areal er:

På denne måten:

Svar: 27

27086. Basen til pyramiden er et rektangel med side 3 og 4. Volumet er 16. Finn høyden på denne pyramiden.

Tilbake fremover

Merk følgende! Lysbildeforhåndsvisningen er kun til informasjonsformål og representerer kanskje ikke hele omfanget av presentasjonen. Hvis du er interessert i dette arbeidet, last ned fullversjonen.

Leksjonens mål.

Pedagogisk: Utled en formel for å beregne volumet til en pyramide

Utvikle: å utvikle studentenes kognitive interesse for akademiske disipliner, evnen til å anvende kunnskapen sin i praksis.

Pedagogisk: å dyrke oppmerksomhet, nøyaktighet, for å utvide horisonten til studentene.

Utstyr og materialer: datamaskin, lerret, projektor, presentasjon "Volum of the Pyramid".

1. Frontalundersøkelse. Lysbilder 2, 3

Det som kalles en pyramide, bunnen av pyramiden, ribber, høyde, akse, apotem. Hvilken pyramide kalles en vanlig, tetraeder, avkortet pyramide?

Pyramide - et polyeder som består av en flat polygon, poeng, ikke ligger i planet til denne polygonen og alle segmenter, som forbinder dette punktet med poengene til polygonet.

Dette punktet kalt toppmøte pyramider, og en flat polygon er bunnen av pyramiden. Segmenter, som forbinder toppen av pyramiden med toppen av basen, kalles ribbeina . Høyde pyramider - vinkelrett, senket fra toppen av pyramiden til planet til basen. Apotem - sidekanthøyde riktig pyramide. Pyramiden, som på basen ligger riktig n-gon, a høyde base sammenfaller med stiftelsessenter kalt riktig n-gonal pyramide. akser En vanlig pyramide kalles en rett linje som inneholder dens høyde. En vanlig trekantet pyramide kalles et tetraeder. Hvis pyramiden krysses av et plan parallelt med planet til basen, vil den kutte av pyramiden, lignende gitt. Resten heter avkortet pyramide.

2. Utledning av formelen for å beregne volumet til pyramiden V=SH/3 Lysbilder 4, 5, 6

1. La SABC være en trekantet pyramide med toppunkt S og base ABC.

2. Kompletter denne pyramiden til et trekantet prisme med samme base og høyde.

3. Dette prismet er sammensatt av tre pyramider:

1) denne pyramiden SABC.

2) pyramider SCC 1 B 1 .

3) og pyramidene SCBB 1 .

4. Den andre og tredje pyramiden har like baser CC 1 B 1 og B 1 BC og den totale høyden trukket fra toppunktet S til forsiden av parallellogrammet BB 1 C 1 C. Derfor har de like volum.

5. Den første og tredje pyramiden har også like baser SAB og BB 1 S og sammenfallende høyder trukket fra toppunktet C til forsiden av parallellogrammet ABB 1 S. Derfor har de også like volum.

Dette betyr at alle tre pyramidene har samme volum. Siden summen av disse volumene er lik volumet av prismet, er volumene til pyramidene lik SH/3.

Volumet til enhver trekantet pyramide er lik en tredjedel av grunnflaten multiplisert med høyden.

3. Konsolidering av nytt materiale. Løsning av øvelser.

1) Oppgave № 33 fra læreboken A.N. Pogorelov. Lysbilder 7, 8, 9

På siden av basen? og sidekant b finner volumet til en vanlig pyramide, ved bunnen av denne ligger:

1) trekant,

2) firkant,

3) sekskant.

I en vanlig pyramide går høyden gjennom midten av en sirkel som er omskrevet nær basen. Deretter: (vedlegg)

4. Historisk informasjon om pyramidene. Lysbilder 15, 16, 17

Den første av våre samtidige som etablerte en rekke uvanlige fenomener knyttet til pyramiden var den franske vitenskapsmannen Antoine Bovy. Da han utforsket Cheops-pyramiden på 30-tallet av det tjuende århundre, oppdaget han at likene til små dyr som ved et uhell kom inn i det kongelige rommet ble mumifisert. Bovi forklarte årsaken til dette for seg selv med formen på pyramiden, og som det viste seg, tok han ikke feil. Arbeidene hans dannet grunnlaget for moderne forskning, som et resultat av at det i løpet av de siste 20 årene har dukket opp mange bøker og publikasjoner som bekrefter at energien til pyramidene kan være av praktisk betydning.

Mysteriet om pyramidene

Noen forskere hevder at pyramiden inneholder en enorm mengde informasjon om strukturen til universet, solsystemet og mennesket, kodet i sin geometriske form, eller rettere sagt, i form av et oktaeder, hvorav halvparten er pyramiden. Pyramid topp opp symboliserer livet, ovenfra og ned - døden, den andre verden. Akkurat som komponentene til Davidsstjernen (Magen David), der trekanten rettet oppover symboliserer oppstigningen til det høyere sinnet, symboliserer Gud, og trekanten, senket med toppen ned, nedstigningen av sjelen til jorden, materiell eksistens ...

Den digitale verdien av koden som informasjon om universet er kryptert med i pyramiden, tallet 365, ble ikke valgt ved en tilfeldighet. Først av alt er dette den årlige livssyklusen til planeten vår. I tillegg består tallet 365 av tre tall 3, 6 og 5. Hva betyr de? Hvis solen i solsystemet passerer ved nummer 1, Merkur - 2, Venus - 3, Jorden - 4, Mars - 5, Jupiter - 6, Saturn - 7, Uranus - 8, Neptun - 9, Pluto - 10, deretter 3 er Venus, 6 - Jupiter og 5 - Mars. Derfor er jorden på en spesiell måte forbundet med disse planetene. Legger vi til tallene 3, 6 og 5, får vi 14, hvorav 1 er Solen og 4 er Jorden.

Tallet 14 har generelt en global betydning: strukturen til menneskelige hender, spesielt, er basert på det, det totale antallet falanger av fingrene på hver av dem er også 14. Denne koden er også relatert til stjernebildet Ursa Major, som inkluderer vår sol, og hvor det en gang var en annen stjerne som ødela Phaeton, en planet som ligger mellom Mars og Jupiter, hvoretter Pluto dukket opp i solsystemet, og egenskapene til de andre planetene endret seg.

Mange esoteriske kilder hevder at menneskeheten på jorden allerede har opplevd en verdensomspennende katastrofe fire ganger. Den tredje lemuriske rasen kjente til den guddommelige vitenskapen om universet, så ble denne hemmelige læren bare overført til de innviede. I begynnelsen av syklusene og halvsyklusene i det sideriske året bygde de pyramidene. De kom nærme på å oppdage livets kode. Sivilisasjonen i Atlantis lyktes med mange ting, men på et visst kunnskapsnivå ble de stoppet av en annen planetarisk katastrofe, ledsaget av et skifte av raser. Sannsynligvis ønsket de innvidde å formidle til oss at kunnskapen om kosmiske lover er innebygd i pyramidene...

Spesielle enheter i form av pyramider nøytraliserer negativ elektromagnetisk stråling på en person fra en datamaskin, TV, kjøleskap og andre husholdningsapparater.

I en av bøkene beskrives et tilfelle hvor en pyramide installert i et bilinteriør reduserte drivstofforbruket og reduserte CO-innholdet i avgassene.

Frø av hagevekster lagret i pyramider hadde bedre spiring og utbytte. Publikasjonene anbefalte til og med å bløtlegge frøene før såing i pyramideformet vann.

Det ble funnet at pyramidene har en gunstig effekt på den økologiske situasjonen. Eliminer patogene soner i leiligheter, kontorer og forstadsområder, og skape en positiv aura.

Den nederlandske forskeren Paul Dickens gir i sin bok eksempler på pyramidenes helbredende egenskaper. Han la merke til at de kan brukes til å lindre hodepine, leddsmerter, stoppe blødninger med små kutt, og at energien i pyramidene stimulerer stoffskiftet og styrker immunforsvaret.

I noen moderne publikasjoner er det bemerket at medisiner som holdes i pyramiden forkorter behandlingsforløpet, og bandasjematerialet, mettet med positiv energi, fremmer sårheling.

Kosmetiske kremer og salver forbedrer effekten.

Drikker, inkludert alkohol, forbedrer smaken, og vannet i 40 % vodka blir helbredende. Riktignok trenger du en høy pyramide for å lade en standard 0,5 liters flaske med positiv energi.

En avisartikkel sier at hvis du oppbevarer smykker under en pyramide, renser de seg selv og får en spesiell glans, mens edelstener og halvedelstener samler opp positiv bioenergi og deretter gradvis gir den bort.

Ifølge amerikanske forskere forbedrer matprodukter, som frokostblandinger, mel, salt, sukker, kaffe, te, smaken deres etter å ha vært i pyramiden, og billige sigaretter blir som deres edle kolleger.

Kanskje vil ikke dette være aktuelt for mange, men i en liten pyramide er gamle barberblader selvslipende, og i en stor pyramide fryser ikke vann ved -40 grader Celsius.

I følge de fleste forskere er alt dette bevis på eksistensen av pyramidenes energi.

I løpet av de 5000 årene den har eksistert, har pyramidene blitt et slags symbol som personifiserer menneskets ønske om å nå toppen av kunnskap.

5. Oppsummering av leksjonen.

Bibliografi.

1) http://schools.techno.ru

2) Pogorelov A. V. Geometry 10-11, forlag “Enlightenment”.

3) Encyclopedia "Tree of Knowledge" Marshall K.

For å finne volumet til en pyramide, må du kunne flere formler. La oss vurdere dem.

Hvordan finne volumet til en pyramide - 1. vei

Volumet til en pyramide kan bli funnet ved å bruke høyden og arealet til basen. V = 1/3*S*h. Så, for eksempel, hvis høyden på pyramiden er 10 cm, og arealet av basen er 25 cm 2, vil volumet være lik V \u003d 1/3 * 25 * 10 \u003d 1 /3 * 250 \u003d 83,3 cm 3

Hvordan finne volumet til en pyramide - 2. metode

Hvis en vanlig polygon ligger ved bunnen av pyramiden, kan volumet bli funnet ved å bruke følgende formel: V \u003d na 2 h / 12 * tg (180 / n), hvor a er siden av polygonen som ligger ved base, og n er tallet på sidene. For eksempel: Grunnlaget er en regulær sekskant, det vil si n = 6. Siden den er regulær, er alle sidene like, det vil si at alle a er like. La oss si a = 10 og h - 15. Vi setter inn tallene i formelen og vi får et omtrentlig svar - 1299 cm 3

Hvordan finne volumet til en pyramide - 3. vei

Hvis en likesidet trekant ligger ved bunnen av pyramiden, kan volumet bli funnet ved å bruke følgende formel: V = ha 2 /4√3, hvor a er siden av den likesidede trekanten. For eksempel: høyden på pyramiden er 10 cm, siden av basen er 5 cm. Volumet vil være lik V = 10 * 25/4√ 3 = 250/4√ 3. Vanligvis, hva som skjedde i nevneren er ikke beregnet og etterlatt i samme form. Du kan også multiplisere både telleren og nevneren med 4√3 for å få 1000√3/48. Ved å redusere får vi 125√ 3/6 cm 3.

Hvordan finne volumet til en pyramide - 4. vei

Hvis en firkant ligger ved bunnen av pyramiden, kan volumet finnes ved hjelp av følgende formel: V = 1/3*h*a 2, hvor a er sidene av firkanten. For eksempel: høyde - 5 cm, siden av firkanten - 3 cm. V \u003d 1/3 * 5 * 9 \u003d 15 cm 3

Hvordan finne volumet til en pyramide - 5. vei

Hvis pyramiden er et tetraeder, det vil si at alle flatene er likesidede trekanter, kan du finne volumet til pyramiden ved å bruke følgende formel: V = a 3 √2/12, hvor a er en kant av tetraederet. For eksempel: tetraederkant \u003d 7. V \u003d 7 * 7 * 7√2 / 12 \u003d 343 cm 3