Hvordan finne integralet til produktet av to funksjoner. Løse integraler på nett

Kalkulatoren løser integraler med en beskrivelse av handlingene DETALJERT på russisk og gratis!

Løse ubestemte integraler

Dette er en nettbasert tjeneste et skritt:

Løsning av bestemte integraler

Dette er en nettbasert tjeneste et skritt:

• Skriv inn integrand-uttrykket (integralfunksjon)
• Angi en nedre grense for integralet
• Angi en øvre grense for integralet

Løse doble integraler

• Skriv inn integrand-uttrykket (integralfunksjon)

Løse upassende integraler

• Skriv inn integrand-uttrykket (integralfunksjon)
• Angi det øvre området for integrering (eller + uendelig)
• Gå inn i den nedre integrasjonsregionen (eller - uendelig)

Løsning av trippelintegraler

• Skriv inn integrand-uttrykket (integralfunksjon)
• Angi nedre og øvre grenser for det første integreringsområdet
• Skriv inn den nedre og øvre grensen for det andre integreringsområdet
• Skriv inn den nedre og øvre grensen for det tredje området for integrering

Denne tjenesten lar deg sjekke din beregninger for korrekthet

Muligheter

• Støtte for alle mulige matematiske funksjoner: sinus, cosinus, eksponent, tangens, cotangens, kvadrat- og kubikkrøtter, grader, eksponentiell og andre.
• Det finnes eksempler på input, både for ubestemte integraler, og for upassende og bestemte.
• Retter feil i uttrykkene du legger inn og tilbyr dine egne muligheter for input.
• Numerisk løsning for bestemte og upassende integraler (inkludert doble og trippelintegraler).
• Støtte for komplekse tall, så vel som forskjellige parametere (du kan spesifisere i integranden ikke bare integrasjonsvariabelen, men også andre parametervariabler)

En funksjon F(x) som kan differensieres i et gitt intervall X kalles antiderivat for funksjonen f(x), eller et integral av f(x) hvis for noen x ∈X likheten gjelder:

F "(x) = f(x). (8.1)

Å finne alle antiderivater for en gitt funksjon kalles dens integrering. Den ubestemte integralen av funksjonen f(x) på et gitt intervall X er mengden av alle antiderivater for funksjonen f(x); betegnelse -

Hvis F(x) er en antiderivert for funksjonen f(x), så er ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

hvor C er en vilkårlig konstant.

Tabell over integraler

Direkte fra definisjonen får vi hovedegenskapene til det ubestemte integralet og listen over tabellintegraler:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=konst)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Liste over tabellintegraler

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x / ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctg x + C

8.=arcsin x + C

10.=-ctg x + C

Variabel substitusjon

For å integrere mange funksjoner, brukes metoden for å endre en variabel eller erstatninger, tillater å bringe integraler til en tabellform.

Hvis funksjonen f(z) er kontinuerlig på [α,β], har funksjonen z =g(x) en kontinuerlig derivert og α ≤ g(x) ≤ β, da

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

dessuten, etter integrasjon på høyre side, bør man gjøre en substitusjon z=g(x).

For å bevise det, er det nok å skrive det originale integralet i formen:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

For eksempel:

Metode for integrering etter deler

La u = f(x) og v = g(x) være funksjoner som har kontinuerlig . Deretter, ifølge verkene,

d(uv))= udv + vdu eller udv = d(uv) - vdu.

For uttrykket d(uv) vil antiderivatet åpenbart være uv, så formelen finner sted:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Denne formelen uttrykker regelen integrering etter deler. Det bringer integrasjonen av uttrykket udv=uv"dx til integrasjonen av uttrykket vdu=vu"dx.

La, for eksempel, det kreves å finne ∫xcosx dx. La u = x, dv = cosxdx, så du=dx, v=sinx. Deretter

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Regelen om integrering av deler har et mer begrenset omfang enn endring av variabel. Men det er hele klasser av integraler, for eksempel,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax og andre, som beregnes nøyaktig ved å bruke integrering av deler.

Sikker integral

Konseptet med et bestemt integral introduseres som følger. La en funksjon f(x) defineres på et intervall. La oss dele segmentet [a,b] inn i n deler av punktene a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i \u003d x i - x i-1. Summen av formen f(ξ i)Δ x i kalles integral sum, og dens grense ved λ = maxΔx i → 0, hvis den eksisterer og er endelig, kalles bestemt integral funksjoner f(x) av en før b og er betegnet:

F(ξ i)Δx i (8,5).

Funksjonen f(x) kalles i dette tilfellet integrerbar på et segment, tallene a og b kalles nedre og øvre grense for integralet.

Følgende egenskaper gjelder for en bestemt integral:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Den siste eiendommen kalles middelverditeorem.

La f(x) være kontinuerlig på . Så på dette segmentet eksisterer det en ubestemt integral

∫f(x)dx = F(x) + C

og finner sted Newton-Leibniz formel, som forbinder det bestemte integralet med det ubestemte:

F(b) - F(a). (8.6)

Geometrisk tolkning: det bestemte integralet er arealet til en kurvelinjeformet trapes som er avgrenset ovenfra av kurven y=f(x), de rette linjene x = a og x = b og aksesegmentet Okse.

Upassende integraler

Integraler med uendelige grenser og integraler av diskontinuerlige (ubegrensede) funksjoner kalles upassende. Upassende integraler av den første typen - disse er integraler over et uendelig intervall, definert som følger:

(8.7)

Hvis denne grensen eksisterer og er begrenset, kalles den konvergent uekte integral av f(x) på intervallet [а,+ ∞), og funksjonen f(x) kalles integrerbar i et uendelig intervall[a,+ ∞). Ellers sies integralet å være eksisterer ikke eller divergerer.

De upassende integralene på intervallene (-∞,b] og (-∞, + ∞) er definert på samme måte:

La oss definere begrepet et integral av en ubegrenset funksjon. Hvis f(x) er kontinuerlig for alle verdier x segment , bortsett fra punktet c, hvor f(x) har en uendelig diskontinuitet, da upassende integral av den andre typen f(x) fra a til b kalt summen:

hvis disse grensene eksisterer og er endelige. Betegnelse:

Eksempler på beregning av integraler

Eksempel 3.30. Beregn ∫dx/(x+2).

Løsning. Angi t = x+2, så dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Eksempel 3.31. Finn ∫ tgxdx.

Løsning.∫tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. La t=cosx, så ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Løsning.

Eksempel3.33. Finn .

Løsning. = .

Eksempel3.34 . Finn ∫arctgxdx.

Løsning. Vi integrerer i deler. Angi u=arctgx, dv=dx. Da er du = dx/(x 2 +1), v=x, hvorav ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; fordi
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Eksempel3.35 . Beregn ∫lnxdx.

Løsning. Ved å bruke integrasjon-for-deler-formelen får vi:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Da ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Eksempel3.36 . Regn ut ∫e x sinxdx.

Løsning. Betegn u = e x , dv = sinxdx, så du = e x dx, v =∫sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Integralet ∫e x cosxdx er også integrerbart med deler: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Vi har:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Vi fikk relasjonen ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, hvorav 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Eksempel 3.37. Regn ut J = ∫cos(lnx)dx/x.

Løsning. Siden dx/x = dlnx, så J= ∫cos(lnx)d(lnx). Ved å erstatte lnx gjennom t, kommer vi til tabellintegralen J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Eksempel 3.38 . Regn ut J = .

Løsning. Når vi tar i betraktning at = d(lnx), gjør vi substitusjonen lnx = t. Så J = .

Eksempel 3.39 . Regn ut integralet J = .

Løsning. Vi har: . Derfor =
=
=. angitt som sqrt(tan(x/2)).

Og klikker du på Vis trinn i øvre høyre hjørne i resultatvinduet får du en detaljert løsning.

Formelen for integrering etter deler er:
.

Metoden for integrering av deler består i å bruke denne formelen. I praktisk anvendelse er det verdt å merke seg at u og v er funksjoner av integrasjonsvariabelen. La integrasjonsvariabelen betegnes som x (symbol etter differensialtegnet d på slutten av integralnotasjonen). Da er u og v funksjoner av x : u(x) og v(x) .
Deretter
, .
Og integrasjonsfor-deler-formelen har formen:
.

Det vil si at integranden må bestå av produktet av to funksjoner:
,
hvorav vi betegner som u: g(x) \u003d u, og integralet må beregnes for den andre (mer presist, antideriverten må finnes):
, da er dv = f(x) dx .

I noen tilfeller f(x) = 1 . Altså i integralet
,
vi kan sette g(x) = u, x = v .

Sammendrag

Så i denne metoden bør integrasjon-for-deler-formelen huskes og brukes i to former:
;
.

Integraler beregnet ved integrering av deler

Integraler som inneholder logaritme og inverse trigonometriske (hyperbolske) funksjoner

Integraler som inneholder logaritmen og inverse trigonometriske eller hyperbolske funksjoner er ofte integrert av deler. I dette tilfellet er delen som inneholder logaritmen eller invers trigonometriske (hyperbolske) funksjoner betegnet med u, den gjenværende delen - med dv.

Her er eksempler på slike integraler, som beregnes ved hjelp av integrasjonsmetoden etter deler:
, , , , , , .

Integraler som inneholder produktet av et polynom og sin x, cos x eller e x

I henhold til formelen for integrering av deler finnes integraler av formen:
, , ,
hvor P(x) er et polynom i x . I integrasjon er polynomet P(x) betegnet med u , og e ax dx , cos ax dx eller sin øks dx- via dv.

Her er eksempler på slike integraler:
, , .

Eksempler på beregning av integraler ved metoden for integrering av deler

Eksempler på integraler som inneholder logaritme og inverse trigonometriske funksjoner

Eksempel

Beregn integral:

Detaljert løsning

Her inneholder integranden logaritmen. Å gjøre erstatninger
u= ln x,
dv=x 2dx.
Deretter
,
.

Vi beregner gjenværende integral:
.
Deretter
.
På slutten av beregningene er det viktig å legge til konstanten C, siden det ubestemte integralet er settet av alle antiderivater. Det kunne også legges til i mellomberegninger, men dette ville bare rote opp i beregningene.

Kortere løsning

Det er mulig å presentere løsningen i en kortere versjon. For å gjøre dette trenger du ikke å gjøre substitusjoner med u og v, men du kan gruppere faktorene og bruke integrerings-for-deler-formelen i den andre formen.

Svar

Eksempler på integraler som inneholder produktet av et polynom og sin x, cos x eller ex

Eksempel

Beregn integral:
.

Løsning

Vi introduserer eksponenten under differensialtegnet:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).

Vi integrerer i deler.
.
Vi bruker også integrasjon etter deler-metoden.
.
.
.
Endelig har vi.

Komplekse integraler

Denne artikkelen fullfører emnet ubestemte integraler, og den inkluderer integraler som jeg anser som ganske vanskelige. Leksjonen ble opprettet etter gjentatt forespørsel fra besøkende som uttrykte ønske om at vanskeligere eksempler ble analysert på nettstedet.

Det forutsettes at leseren av denne teksten er godt forberedt og vet hvordan man bruker de grunnleggende teknikkene for integrering. Dummies og folk som ikke er veldig trygge på integraler bør referere til den aller første leksjonen - Ubestemt integral. Løsningseksempler hvor du kan lære temaet nesten fra bunnen av. Mer erfarne studenter kan bli kjent med teknikkene og metodene for integrering, som ennå ikke har blitt møtt i artiklene mine.

Hvilke integraler vil bli vurdert?

Først vurderer vi integraler med røtter, for løsningen som vi suksessivt bruker variabel substitusjon og integrering etter deler. Det vil si at i ett eksempel kombineres to metoder samtidig. Og enda mer.

Da vil vi bli kjent med en interessant og original metode for å redusere integralen til seg selv. Ikke så få integraler løses på denne måten.

Det tredje tallet i programmet vil være integraler av komplekse brøker, som fløy forbi kassaapparatet i tidligere artikler.

For det fjerde vil ytterligere integraler fra trigonometriske funksjoner bli analysert. Spesielt er det metoder som unngår den tidkrevende universelle trigonometriske substitusjonen.

(2) I integranden deler vi telleren med nevneren ledd for ledd.

(3) Vi bruker egenskapen linearitet til det ubestemte integralet. I den siste integralen, umiddelbart bringe funksjonen under differensialens fortegn.

(4) Vi tar de resterende integralene. Merk at du kan bruke parentes i logaritmen og ikke modulen, fordi .

(5) Vi utfører den omvendte substitusjonen, og uttrykker fra den direkte substitusjonen "te":

Masochistiske studenter kan skille svaret og få den originale integranden, slik jeg nettopp gjorde. Nei, nei, jeg gjorde sjekken i riktig forstand =)

Som du kan se, i løpet av løsningen, måtte til og med mer enn to løsningsmetoder brukes, så for å håndtere slike integraler trenger du trygge integreringsferdigheter og ikke minst erfaring.

I praksis er selvfølgelig kvadratroten mer vanlig, her er tre eksempler på en uavhengig løsning:

Eksempel 2

Finn det ubestemte integralet

Eksempel 3

Finn det ubestemte integralet

Eksempel 4

Finn det ubestemte integralet

Disse eksemplene er av samme type, så den komplette løsningen på slutten av artikkelen vil kun være for eksempel 2, i eksempel 3-4 - ett svar. Hvilken erstatning som skal brukes i begynnelsen av beslutninger, synes jeg er åpenbart. Hvorfor valgte jeg samme type eksempler? Ofte funnet i rollene deres. Oftere, kanskje bare noe sånt som .

Men ikke alltid, når roten til en lineær funksjon er under buetangens, sinus, cosinus, eksponent og andre funksjoner, må flere metoder brukes samtidig. I en rekke tilfeller er det mulig å "gå lett av", det vil si umiddelbart etter utskiftingen, oppnås en enkel integral, som tas elementært. Den enkleste av oppgavene foreslått ovenfor er eksempel 4, der, etter utskiftingen, oppnås en relativt enkel integral.

Metoden for å redusere integralen til seg selv

Smart og vakker metode. La oss ta en titt på klassikerne i sjangeren:

Eksempel 5

Finn det ubestemte integralet

Det er et kvadratisk binomial under roten, og når man prøver å integrere dette eksemplet, kan tekannen lide i timevis. En slik integral tas av deler og reduseres til seg selv. I prinsippet er det ikke vanskelig. Hvis du vet hvordan.

La oss betegne det betraktede integralet med en latinsk bokstav og starte løsningen:

Integrering av deler:

(1) Vi forbereder integranden for termin-for-term-deling.

(2) Vi deler integrandleddet på ledd. Kanskje ikke alle forstår, jeg vil skrive mer detaljert:

(3) Vi bruker egenskapen linearitet til det ubestemte integralet.

(4) Vi tar det siste integralet ("lang" logaritme).

La oss nå se på begynnelsen av løsningen:

Og for slutten:

Hva skjedde? Som et resultat av våre manipulasjoner har integralet redusert til seg selv!

Sett likhetstegn mellom begynnelsen og slutten:

Vi overfører til venstre side med et tegnskifte:

Og vi river toeren til høyre side. Som et resultat:

Konstanten burde strengt tatt vært lagt til tidligere, men jeg la den til på slutten. Jeg anbefaler på det sterkeste å lese hva som er alvorlighetsgraden her:

Merk: Mer strengt ser den siste fasen av løsningen slik ut:

På denne måten:

Konstanten kan gis nytt navn med . Hvorfor kan du gi nytt navn? For det tar fortsatt noen verdier, og i denne forstand er det ingen forskjell mellom konstanter og.
Som et resultat:

Et lignende triks med konstant omdøping er mye brukt i differensiallikninger. Og der skal jeg være streng. Og her er slike friheter tillatt av meg bare for ikke å forvirre deg med unødvendige ting og fokusere på selve metoden for integrering.

Eksempel 6

Finn det ubestemte integralet

En annen typisk integral for uavhengig løsning. Full løsning og svar på slutten av timen. Forskjellen med svaret i forrige eksempel vil være!

Hvis det er et kvadrattrinomium under kvadratroten, reduseres løsningen uansett til de to analyserte eksemplene.

Tenk for eksempel på integralen . Alt du trenger å gjøre er på forhånd velg en hel firkant:
.
Deretter utføres en lineær erstatning, som klarer seg "uten konsekvenser":
, noe som resulterer i en integral . Noe kjent, ikke sant?

Eller dette eksemplet, med en kvadratisk binomial:
Velge en hel firkant:
Og etter en lineær erstatning får vi integralet , som også løses av den allerede vurderte algoritmen.

Tenk på to mer typiske eksempler på hvordan du kan redusere en integral til seg selv:
er integralet til eksponenten multiplisert med sinus;
er integralet til eksponenten multiplisert med cosinus.

I de oppførte integralene etter deler, må du allerede integrere to ganger:

Eksempel 7

Finn det ubestemte integralet

Integranden er eksponenten multiplisert med sinus.

Vi integrerer med deler to ganger og reduserer integralen til seg selv:

Som et resultat av dobbel integrasjon av deler, reduseres integralet til seg selv. Sett likhetstegn mellom begynnelsen og slutten av løsningen:

Vi overfører til venstre side med et tegnskifte og uttrykker vår integral:

Klar. Underveis er det ønskelig å gre høyre side, d.v.s. ta eksponenten ut av parentes, og plasser sinus og cosinus i parentes i en "vakker" rekkefølge.

La oss nå gå tilbake til begynnelsen av eksemplet, eller rettere sagt, til integrering etter deler:

For vi har utpekt utstilleren. Spørsmålet oppstår, det er eksponenten som alltid skal betegnes med ? Ikke nødvendig. Faktisk i den betraktede integralen grunnleggende ingen forskjell, hva skal man betegne for, kan man gå den andre veien:

Hvorfor er dette mulig? Fordi eksponenten blir til seg selv (ved differensiering og integrering), blir sinus og cosinus gjensidig til hverandre (igjen, både ved differensiering og integrering).

Det vil si at den trigonometriske funksjonen også kan betegnes. Men i det betraktede eksemplet er dette mindre rasjonelt, siden brøker vil vises. Hvis du ønsker, kan du prøve å løse dette eksemplet på den andre måten, svarene må være de samme.

Eksempel 8

Finn det ubestemte integralet

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Før du bestemmer deg, tenk på hva som er mer lønnsomt i dette tilfellet å utpeke for, eksponentiell eller trigonometrisk funksjon? Full løsning og svar på slutten av timen.

Og, selvfølgelig, ikke glem at de fleste av svarene i denne leksjonen er ganske enkle å sjekke ved differensiering!

Eksemplene ble ansett som ikke de vanskeligste. I praksis er integraler mer vanlige, der konstanten er både i eksponenten og i argumentasjonen til den trigonometriske funksjonen, for eksempel: . Mange vil måtte bli forvirret i en slik integral, og selv blir jeg ofte forvirret. Faktum er at i løsningen er det stor sannsynlighet for utseende av fraksjoner, og det er veldig lett å miste noe på grunn av uoppmerksomhet. I tillegg er det stor sannsynlighet for feil i tegn, merk at det er et minustegn i eksponenten, og dette introduserer ekstra vanskeligheter.

På sluttfasen viser det seg ofte noe slikt:

Selv på slutten av løsningen bør du være ekstremt forsiktig og håndtere brøker riktig:

Integrasjon av komplekse fraksjoner

Vi nærmer oss sakte leksjonens ekvator og begynner å vurdere integraler av brøker. Igjen, ikke alle av dem er super komplekse, bare av en eller annen grunn, eksemplene var litt "off topic" i andre artikler.

Fortsetter temaet røtter

Eksempel 9

Finn det ubestemte integralet

I nevneren under roten er det et kvadratisk trinomium pluss utenfor roten "vedheng" i form av "x". En integral av denne formen løses ved hjelp av en standardsubstitusjon.

Vi bestemmer:

Erstatningen her er enkel:

Ser på livet etter utskifting:

(1) Etter substitusjon reduserer vi begrepene under roten til en fellesnevner.
(2) Vi tar den ut under roten.
(3) Vi reduserer telleren og nevneren med . Samtidig, under roten, omorganiserte jeg vilkårene i en passende rekkefølge. Med litt erfaring kan trinn (1), (2) hoppes over ved å utføre de kommenterte handlingene muntlig.
(4) Den resulterende integralen, som du husker fra leksjonen Integrasjon av noen fraksjoner, er løst hel kvadratisk valgmetode. Velg en hel firkant.
(5) Ved integrasjon får vi en vanlig "lang" logaritme.
(6) Vi utfører omvendt utskifting. Hvis først , så tilbake: .
(7) Den siste handlingen er rettet mot å frisøre resultatet: under roten bringer vi igjen begrepene til en fellesnevner og tar dem ut under roten.

Eksempel 10

Finn det ubestemte integralet

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Her legges en konstant til den eneste x, og erstatningen er nesten den samme:

Det eneste som må gjøres i tillegg er å uttrykke "x" fra erstatningen:

Full løsning og svar på slutten av timen.

Noen ganger kan det i et slikt integral være et kvadratisk binomial under roten, dette endrer ikke måten løsningen løses på, det blir enda enklere. Føl forskjellen:

Eksempel 11

Finn det ubestemte integralet

Eksempel 12

Finn det ubestemte integralet

Korte løsninger og svar på slutten av timen. Det skal bemerkes at eksempel 11 er nøyaktig binomial integral, løsningsmetoden som ble vurdert i leksjonen Integraler av irrasjonelle funksjoner.

Integral av et uoppløselig polynom av 2. grad til graden

(polynom i nevneren)

En sjeldnere, men ikke desto mindre forekommende i praktiske eksempler form av integralet.

Eksempel 13

Finn det ubestemte integralet

Men la oss gå tilbake til eksemplet med lykketallet 13 (ærlig talt, jeg gjettet ikke). Dette integralet er også fra kategorien de som du kan lide stort sett med hvis du ikke vet hvordan du skal løse.

Løsningen starter med en kunstig transformasjon:

Jeg tror alle allerede forstår hvordan man deler telleren med nevneren begrep for begrep.

Det resulterende integralet er tatt i deler:

For et integral av formen ( er et naturlig tall), har vi utledet tilbakevendende nedgraderingsformel:
, hvor er en integral av lavere grad.

La oss verifisere gyldigheten av denne formelen for det løste integralet.
I dette tilfellet: , , bruker vi formelen:

Som du kan se, er svarene de samme.

Eksempel 14

Finn det ubestemte integralet

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Prøveløsningen bruker formelen ovenfor to ganger etter hverandre.

Hvis under graden er uoppløselig kvadrattrinomial, så reduseres løsningen til et binomial ved å trekke ut hele kvadratet, for eksempel:

Hva om det er et ekstra polynom i telleren? I dette tilfellet brukes metoden for ubestemte koeffisienter, og integranden utvides til en sum av brøker. Men i min praksis av et slikt eksempel aldri møtt, så jeg hoppet over denne saken i artikkelen Integraler av en brøk-rasjonell funksjon, jeg hopper over det nå. Hvis en slik integral fortsatt forekommer, se læreboken - alt er enkelt der. Jeg anser det ikke som hensiktsmessig å inkludere materiale (selv enkelt), hvor sannsynligheten for å møtes har en tendens til null.

Integrasjon av komplekse trigonometriske funksjoner

Adjektivet "vanskelig" for de fleste eksempler er igjen i stor grad betinget. La oss starte med tangenter og cotangenter i høye potenser. Fra synspunktet er metodene som brukes for å løse tangenten og cotangensen nesten de samme, så jeg vil snakke mer om tangenten, noe som betyr at den demonstrerte metoden for å løse integralet også er gyldig for cotangensen.

I leksjonen ovenfor så vi på universell trigonometrisk substitusjon for å løse en bestemt type integraler av trigonometriske funksjoner. Ulempen med den universelle trigonometriske substitusjonen er at dens anvendelse ofte fører til tungvinte integraler med vanskelige beregninger. Og i noen tilfeller kan den universelle trigonometriske substitusjonen unngås!

Tenk på et annet kanonisk eksempel, integralet av enhet delt på sinus:

Eksempel 17

Finn det ubestemte integralet

Her kan du bruke den universelle trigonometriske substitusjonen og få svaret, men det er en mer rasjonell måte. Jeg vil gi en komplett løsning med kommentarer for hvert trinn:

(1) Vi bruker den trigonometriske formelen for sinus til en dobbel vinkel.
(2) Vi gjennomfører en kunstig transformasjon: I nevneren deler og multipliserer vi med .
(3) I følge den velkjente formelen i nevneren gjør vi brøken til en tangent.
(4) Vi bringer funksjonen under differensialens fortegn.
(5) Vi tar integralen.

Et par enkle eksempler å løse på egen hånd:

Eksempel 18

Finn det ubestemte integralet

Hint: Det aller første trinnet er å bruke reduksjonsformelen og utfør forsiktig handlinger som ligner på det forrige eksemplet.

Eksempel 19

Finn det ubestemte integralet

Vel, dette er et veldig enkelt eksempel.

Fullfør løsninger og svar på slutten av leksjonen.

Jeg tror nå ingen vil ha problemer med integraler:
etc.

Hva er tanken bak metoden? Tanken er å bruke transformasjoner, trigonometriske formler for å organisere kun tangenter og den deriverte av tangenten i integranden. Det vil si at vi snakker om å erstatte: . I eksempel 17-19 brukte vi faktisk denne erstatningen, men integralene var så enkle at det ble gjort med en ekvivalent handling - å bringe funksjonen under differensialtegnet.

Lignende resonnement, som jeg allerede har nevnt, kan utføres for cotangenten.

Det er også en formell forutsetning for å bruke substitusjonen ovenfor:

Summen av potensene av cosinus og sinus er et negativt heltall ELLT tall, For eksempel:

for et integral, et heltall negativt ENELLTall.

! Merk : hvis integranden inneholder KUN sinus eller KUN cosinus, så tas integralet selv med en negativ oddegrad (de enkleste tilfellene er i eksemplene nr. 17, 18).

Vurder et par mer meningsfulle oppgaver for denne regelen:

Eksempel 20

Finn det ubestemte integralet

Summen av gradene av sinus og cosinus: 2 - 6 \u003d -4 - et negativt heltall EVEN tall, noe som betyr at integralet kan reduseres til tangenter og dens deriverte:

(1) La oss transformere nevneren.
(2) I henhold til den velkjente formelen får vi .
(3) La oss transformere nevneren.
(4) Vi bruker formelen .
(5) Vi bringer funksjonen under differensialtegnet.
(6) Vi utfører utskiftingen. Mer erfarne elever gjennomfører kanskje ikke utskiftingen, men likevel er det bedre å erstatte tangenten med én bokstav - det er mindre risiko for forvirring.

Eksempel 21

Finn det ubestemte integralet

Dette er et gjør-det-selv eksempel.

Hold ut, mesterskapsrundene begynner =)

Ofte i integranden er det en "hodgepodge":

Eksempel 22

Finn det ubestemte integralet

Dette integralet inneholder i utgangspunktet en tangent, som umiddelbart antyder en allerede kjent tanke:

Jeg vil forlate den kunstige transformasjonen helt i begynnelsen og resten av trinnene uten kommentarer, siden alt er allerede sagt ovenfor.

Et par kreative eksempler for en uavhengig løsning:

Eksempel 23

Finn det ubestemte integralet

Eksempel 24

Finn det ubestemte integralet

Ja, i dem kan du selvfølgelig senke gradene av sinus, cosinus, bruke den universelle trigonometriske substitusjonen, men løsningen vil være mye mer effektiv og kortere hvis den trekkes gjennom tangenter. Full løsning og svar på slutten av leksjonen

Hva er integrering etter deler? For å mestre denne typen integrasjon, la oss først huske avledet av produktet:

$((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"$

Spørsmålet er: vel, hva har integraler med det å gjøre? La oss nå integrere begge sider av denne ligningen. Så la oss skrive:

$\int(((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))\text(d)x=)\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\ int(f\cdot(g)"\,\text(d)x))$

Men hva er primitivet til et slag? Det er bare selve funksjonen, som er inne i slaget. Så la oss skrive:

$f\cdot g=\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

I denne ligningen foreslår jeg å uttrykke begrepet. Vi har:

$\int((f)"\cdot g\,\text(d)x=f\cdot g-\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

Det er det det er formel for integrering etter deler. Så vi bytter i hovedsak den deriverte og funksjonen. Hvis vi først hadde integralet av slaget, multiplisert med noe, så får vi integralet av det nye noe, multiplisert med slaget. Det er hele regelen. Ved første øyekast kan denne formelen virke komplisert og meningsløs, men faktisk kan den i stor grad forenkle beregningene. La oss se.

Eksempler på beregning av integraler

Oppgave 1. Regn ut:

\[\int(\ln x\,\tekst(d)x)\]\[\]

La oss omskrive uttrykket ved å legge til 1 foran logaritmen:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)=\int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)\]

Vi har rett til å gjøre dette fordi verken nummeret eller funksjonen endres. La oss nå sammenligne dette uttrykket med det vi har skrevet i formelen. Rollen til $(f)"$ er 1, så vi skriver:

$\begin(align)& (f)"=1\Høyrepil f=x \\& g=\ln x\Høyrepil (g)"=\frac(1)(x) \\\end(align)$

Alle disse funksjonene er i tabellene. Nå som vi har skrevet alle elementene som er inkludert i uttrykket vårt, vil vi omskrive dette integralet ved hjelp av integrering-for-deler-formelen:

\[\begin(align)& \int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)=x\ln x-\int(x\cdot \frac(1)(x)\text(d )x)=x\ln x-\int(\tekst(d)x)= \\& =x\ln x-x+C=x\venstre(\ln x-1 \høyre)+C \\\ end(align)\]

Det er det, integralet er funnet.

Oppgave 2. Regn ut:

$\int(x((\tekst(e))^(-x))\,\tekst(d)x=\int(x\cdot ((e)^(-x))\,\tekst(d )x))$

Hvis vi tar $x$ som den deriverte som vi nå må finne antideriverten fra, får vi $((x)^(2))$, og det endelige uttrykket vil inneholde $((x)^(2)) ( (\tekst(e))^(-x))$.

Åpenbart er oppgaven ikke forenklet, så vi vil bytte faktorene under integrertegnet:

$\int(x\cdot ((\tekst(e))^(-x))\,\tekst(d)x)=\int(((\tekst(e))^(-x))\cdot x\,\tekst(d)x)$

La oss nå introdusere notasjonen:

$(f)"=((\tekst(e))^(-x))\Høyrepil f=\int(((\tekst(e))^(-x))\,\tekst(d)x) =-((\tekst(e))^(-x))$

Differensier $((\text(e))^(-x))$:

$((\venstre(((\tekst(e))^(-x)) \høyre))^(\prime ))=((\tekst(e))^(-x))\cdot ((\ venstre(-x \høyre))^(\prime ))=-((\tekst(e))^(-x))$

Med andre ord, "minus" legges til først, og deretter integreres begge sider:

\[\begin(align)& ((\venstre(((\tekst(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=-((\tekst(e))^(- x))\Høyrepil ((\tekst(e))^(-x))=-((\venstre(((\tekst(e))^(-x)) \høyre))^(\prime )) \\& \int(((\tekst(e))^(-x))\,\tekst(d)x)=-\int(((\venstre(((\tekst(e)))^(- x)) \right))^(\prime ))\tekst(d)x)=-((\tekst(e))^(-x))+C \\\end(align)\]

La oss nå behandle $g$-funksjonen:

$g=x\Høyrepil (g)"=1$

Vi vurderer integralen:

$\begin(align)& \int(((\tekst(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)=x\cdot \left(-((\tekst(e) ))^(-x)) \right)-\int(\left(-((\tekst(e))^(-x)) \right)\cdot 1\cdot \text(d)x)= \ \& =-x((\tekst(e))^(-x))+\int(((\tekst(e))^(-x))\,\tekst(d)x)=-x( (\tekst(e))^(-x))-((\tekst(e))^(-x))+C=-((\tekst(e))^(-x))\venstre(x) +1 \right)+C \\\end(align)$

Så vi har utført den andre integreringen av deler.

Oppgave 3. Regn ut:

$\int(x\cos 3x\,\text(d)x)$

I dette tilfellet, hva skal tas for $(f)"$, og hva for $g$? Hvis $x$ fungerer som en derivat, så $\frac(((x)^(2)))(2) $, og den første faktoren vil ikke forsvinne noe sted - det vil være $\frac(((x)^(2)))(2)\cdot \cos 3x$. Derfor vil vi bytte faktorene igjen:

$\begin(align)& \int(x\cos 3x\,\text(d)x)=\int(\cos 3x\cdot x\,\text(d)x) \\& (f)"= \cos 3x\Høyrepil f=\int(\cos 3x\,\text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3) \\& g=x\Høyrepil (g)"=1 \\\ end(align)$

Vi omskriver det opprinnelige uttrykket vårt og utvider det i henhold til formelen for integrering av deler:

\[\begin(align)& \int(\cos 3x\cdot x\ \text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3)\cdot x-\int(\frac(\sin 3x) (3)\tekst(d)x)= \\& =\frac(x\sin 3x)(3)-\frac(1)(3)\int(\sin 3x\,\text(d)x) =\frac(x\sin 3x)(3)+\frac(\cos 3x)(9)+C \\\end(align)\]

Alt, den tredje oppgaven er løst.

Til slutt, la oss se igjen på formel for integrering etter deler. Hvordan velger vi hvilken av faktorene som skal være den deriverte og hvilken som skal være den reelle funksjonen? Det er bare ett kriterium her: elementet som vi skal differensiere må enten gi et "vakkert" uttrykk, som da vil reduseres, eller forsvinne helt under differensiering. Denne leksjonen er over.