Hvordan finne koordinatene til punkter ved hjelp av ligningen til en rett linje. Generell ligning for en rett linje

Ligning av en linje på et plan.

Som kjent er ethvert punkt på planet bestemt av to koordinater i et eller annet koordinatsystem. Koordinatsystemer kan være forskjellige avhengig av valg av grunnlag og opphav.

Definisjon. Linjeligning er forholdet y = f(x) mellom koordinatene til punktene som utgjør denne linjen.

Merk at linjeligningen kan uttrykkes på en parametrisk måte, det vil si at hver koordinat til hvert punkt uttrykkes gjennom en uavhengig parameter t.

Et typisk eksempel er banen til et bevegelig punkt. I dette tilfellet spiller tiden rollen som en parameter.

Ligning av en rett linje på et plan.

Definisjon. Enhver linje i planet kan gis av en førsteordens ligning

Ah + Wu + C = 0,

dessuten er ikke konstantene A, B lik null på samme tid, dvs. A 2 + B 2  0. Denne førsteordensligningen kalles den generelle ligningen for en rett linje.

Avhengig av verdiene til konstantene A, B og C, er følgende spesielle tilfeller mulig:

C \u003d 0, A  0, B  0 - linjen går gjennom origo

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C \u003d 0) - linjen er parallell med okseaksen

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - linjen er parallell med Oy-aksen

B \u003d C \u003d 0, A  0 - den rette linjen faller sammen med Oy-aksen

A \u003d C \u003d 0, B  0 - den rette linjen faller sammen med okseaksen

Ligningen til en rett linje kan presenteres i forskjellige former avhengig av gitte startbetingelser.

Ligning av en rett linje med et punkt og en normalvektor.

Definisjon. I et kartesisk rektangulært koordinatsystem er en vektor med komponenter (A, B) vinkelrett på linjen gitt av ligningen Ax + By + C = 0.

Eksempel. Finn ligningen til en rett linje som går gjennom punktet A (1, 2) vinkelrett på vektoren (3, -1).

La oss komponere ved A \u003d 3 og B \u003d -1 ligningen til den rette linjen: 3x - y + C \u003d 0. For å finne koeffisienten C, erstatter vi koordinatene til det gitte punktet A i det resulterende uttrykket.

Vi får: 3 - 2 + C \u003d 0, derfor C \u003d -1.

Totalt: ønsket ligning: 3x - y - 1 \u003d 0.

Ligning av en rett linje som går gjennom to punkter.

La to punkter M 1 (x 1, y 1, z 1) og M 2 (x 2, y 2, z 2) gis i rommet, så ligningen til en rett linje som går gjennom disse punktene:

Hvis noen av nevnerne er lik null, skal den tilsvarende telleren settes lik null.

På et plan er ligningen til en rett linje skrevet ovenfor forenklet:

hvis x 1  x 2 og x \u003d x 1, hvis x 1 \u003d x 2.

Brøkdel
=k kalles helningsfaktor rett.

Eksempel. Finn ligningen til en rett linje som går gjennom punktene A(1, 2) og B(3, 4).

Ved å bruke formelen ovenfor får vi:

Ligning av en rett linje med et punkt og en helning.

Hvis den generelle ligningen for den rette linjen Ax + Vy + C = 0 fører til formen:

og utpeke
, så kalles den resulterende ligningen ligning av en rett linje med en helningk.

Ligningen av en rett linje på et punkt og en retningsvektor.

I analogi med punktet som vurderer ligningen til en rett linje gjennom normalvektoren, kan du angi tilordningen av en rett linje gjennom et punkt og en retningsvektor til en rett linje.

Definisjon. Hver vektor som ikke er null ( 1 ,  2), hvis komponenter tilfredsstiller betingelsen A 1 + B 2 = 0 kalles retningsvektoren til linjen

Ah + Wu + C = 0.

Eksempel. Finn ligningen til en rett linje med en retningsvektor (1, -1) og passerer gjennom punktet A(1, 2).

Vi skal se etter ligningen til den ønskede rette linjen i formen: Ax + By + C = 0. I henhold til definisjonen skal koeffisientene tilfredsstille betingelsene:

1A + (-1)B = 0, dvs. A = B.

Da har ligningen til en rett linje formen: Ax + Ay + C = 0, eller x + y + C/A = 0.

ved x = 1, y = 2 får vi С/A = -3, dvs. ønsket ligning:

Ligning av en rett linje i segmenter.

Hvis i den generelle ligningen til den rette linjen Ah + Wu + C = 0 C 0, så får vi, dividert med –C:
eller

, hvor

Den geometriske betydningen av koeffisientene er at koeffisienten en er koordinaten til skjæringspunktet for linjen med x-aksen, og b- koordinaten til skjæringspunktet mellom den rette linjen og Oy-aksen.

Eksempel. Gitt den generelle ligningen til linjen x - y + 1 = 0. Finn ligningen til denne linjen i segmentene.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Normal ligning av en rett linje.

Hvis begge sider av ligningen Ax + Wy + C = 0 delt på tallet
, som kalles normaliserende faktor, så får vi

xcos + ysin - p = 0 –

normal ligning av en rett linje.

Tegnet  til normaliseringsfaktoren må velges slik at С< 0.

p er lengden på perpendikulæren som slippes fra origo til den rette linjen, og  er vinkelen som dannes av denne perpendikulæren med den positive retningen til okseaksen.

Eksempel. Gitt den generelle ligningen til linjen 12x - 5y - 65 = 0. Det er nødvendig å skrive ulike typer ligninger for denne linjen.

ligningen til denne rette linjen i segmenter:

ligningen av denne linjen med stigningen: (del med 5)

normal ligning for en rett linje:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5.

Det skal bemerkes at ikke hver rett linje kan representeres av en ligning i segmenter, for eksempel rette linjer parallelle med aksene eller som går gjennom origo.

Eksempel. Den rette linjen avskjærer like positive segmenter på koordinataksene. Skriv ligningen til en rett linje hvis arealet av trekanten dannet av disse segmentene er 8 cm 2.

Ligningen av en rett linje har formen:
a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 passer ikke til tilstanden til problemet.

Total:
eller x + y - 4 = 0.

Eksempel. Skriv likningen til en rett linje som går gjennom punktet A (-2, -3) og origo.

Ligningen av en rett linje har formen:
, hvor x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Vinkel mellom linjer på et plan.

Definisjon. Hvis to linjer er gitt y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, vil den spisse vinkelen mellom disse linjene bli definert som

.

To linjer er parallelle hvis k 1 = k 2.

To linjer er vinkelrette hvis k 1 = -1/k 2.

Teorem. Rette linjer Ax + Vy + C = 0 og A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 er parallelle når koeffisientene A er proporsjonale 1 =  A, B 1 =  B. Hvis også C 1 =  C, så faller linjene sammen.

Koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer er funnet som en løsning på likningssystemet til disse linjene.

Ligning av en linje som går gjennom et gitt punkt

vinkelrett på denne linjen.

Definisjon. Linjen som går gjennom punktet M 1 (x 1, y 1) og vinkelrett på linjen y \u003d kx + b er representert av ligningen:

Avstanden fra et punkt til en linje.

Teorem. Hvis et punkt M(x 0 , y 0 ), så er avstanden til linjen Ax + Vy + C = 0 definert som

.

Bevis. La punktet M 1 (x 1, y 1) være bunnen av perpendikulæren som faller fra punktet M til den gitte linjen. Da er avstanden mellom punktene M og M 1:

x 1 og y 1 koordinatene kan finnes som en løsning på ligningssystemet:

Den andre ligningen i systemet er ligningen av en rett linje som går gjennom et gitt punkt M 0 vinkelrett på en gitt rett linje.

Hvis vi transformerer den første ligningen i systemet til formen:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,

så når vi løser, får vi:

Ved å erstatte disse uttrykkene i ligning (1), finner vi:

.

Teoremet er bevist.

Eksempel. Bestem vinkelen mellom linjene: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

Eksempel. Vis at linjene 3x - 5y + 7 = 0 og 10x + 6y - 3 = 0 er vinkelrette.

Vi finner: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, derfor er linjene vinkelrette.

Eksempel. Toppunktene til trekanten A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) er gitt. Finn ligningen for høyden trukket fra toppunktet C.

Vi finner ligningen til siden AB:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Ønsket høydeligning er: Ax + By + C = 0 eller y = kx + b.

k = . Så y =
. Fordi høyden går gjennom punkt C, så tilfredsstiller koordinatene denne ligningen:
hvorav b = 17. Totalt:
.

Svar: 3x + 2y - 34 = 0.

Analytisk geometri i rommet.

Linjeligning i rommet.

Ligningen av en rett linje i rommet med et punkt og

retningsvektor.

Ta en vilkårlig linje og en vektor (m, n, p) parallelt med den gitte linjen. Vektor kalt guidevektor rett.

La oss ta to vilkårlige punkter M 0 (x 0 , y 0 , z 0) og M(x, y, z) på den rette linjen.

z

M1

La oss betegne radiusvektorene til disse punktene som og , det er åpenbart det - =
.

Fordi vektorer
og er kollineære, så er relasjonen sann
= t, hvor t er en parameter.

Til sammen kan vi skrive: = + t.

Fordi denne ligningen er tilfredsstilt av koordinatene til ethvert punkt på linjen, så er den resulterende ligningen parametrisk ligning for en rett linje.

Denne vektorligningen kan representeres i koordinatform:

Ved å transformere dette systemet og likestille verdiene til parameteren t, får vi de kanoniske ligningene til en rett linje i rommet:

.

Definisjon. Retning kosinus direkte er retningskosinusene til vektoren , som kan beregnes med formlene:

;

.

Herfra får vi: m: n: p = cos : cos : cos.

Tallene m, n, p kalles helningsfaktorer rett. Fordi er en vektor som ikke er null, kan ikke m, n og p være null samtidig, men ett eller to av disse tallene kan være null. I dette tilfellet, i ligningen til en rett linje, skal de tilsvarende tellerne likestilles med null.

Ligning av en rett linje i rompassering

gjennom to punkter.

Hvis to vilkårlige punkter M 1 (x 1, y 1, z 1) og M 2 (x 2, y 2, z 2) er merket på en rett linje i rommet, må koordinatene til disse punktene tilfredsstille ligningen til rett linje oppnådd ovenfor:

.

I tillegg, for punkt M 1 kan vi skrive:

.

Løser vi disse ligningene sammen får vi:

.

Dette er ligningen av en rett linje som går gjennom to punkter i rommet.

Generelle ligninger av en rett linje i rommet.

Ligningen til en rett linje kan betraktes som ligningen til en skjæringslinje mellom to plan.

Som diskutert ovenfor, kan et plan i vektorform gis ved ligningen:

+ D = 0, hvor

- plan normal; - radius-vektor for et vilkårlig punkt i planet.

Egenskaper til en rett linje i euklidisk geometri.

Det er uendelig mange linjer som kan trekkes gjennom et hvilket som helst punkt.

Gjennom to ikke-sammenfallende punkter er det bare én rett linje.

To ikke-sammenfallende linjer i planet krysser enten i et enkelt punkt, eller er

parallell (følger av den forrige).

I tredimensjonalt rom er det tre alternativer for den relative plasseringen av to linjer:

• linjer krysser hverandre;

• rette linjer er parallelle;

• rette linjer krysser hverandre.

Rett linje- algebraisk kurve av første orden: i det kartesiske koordinatsystemet, en rett linje

er gitt på planet ved en ligning av første grad (lineær ligning).

Generell ligning for en rett linje.

Definisjon. Enhver linje i planet kan gis av en førsteordens ligning

Ah + Wu + C = 0,

og konstant A, B ikke lik null på samme tid. Denne førsteordensligningen kalles generell

rettlinjeligning. Avhengig av verdiene til konstantene A, B og MED Følgende spesielle tilfeller er mulig:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linjen går gjennom origo

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- rett linje parallelt med aksen Åh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- rett linje parallelt med aksen OU

. B = C = 0, A ≠ 0- linjen faller sammen med aksen OU

. A = C = 0, B ≠ 0- linjen faller sammen med aksen Åh

Ligningen til en rett linje kan representeres i forskjellige former avhengig av en gitt

Innledende forhold.

Ligning av en rett linje med et punkt og en normalvektor.

Definisjon. I et kartesisk rektangulært koordinatsystem, en vektor med komponenter (A, B)

vinkelrett på linjen gitt av ligningen

Ah + Wu + C = 0.

Eksempel. Finn ligningen til en rett linje som går gjennom et punkt A(1, 2) vinkelrett på vektoren (3, -1).

Løsning. La oss komponere ved A \u003d 3 og B \u003d -1 ligningen til en rett linje: 3x - y + C \u003d 0. For å finne koeffisienten C

vi erstatter koordinatene til det gitte punktet A i det resulterende uttrykket. Vi får: 3 - 2 + C \u003d 0, derfor

C = -1. Totalt: ønsket ligning: 3x - y - 1 \u003d 0.

Ligning av en rett linje som går gjennom to punkter.

La to poeng gis i rom M 1 (x 1, y 1, z 1) og M2 (x 2, y 2 , z 2), deretter rettlinjeligning,

passerer gjennom disse punktene:

Hvis noen av nevnerne er lik null, skal den tilsvarende telleren settes lik null. På

planet, er ligningen til en rett linje skrevet ovenfor forenklet:

hvis x 1 ≠ x 2 og x = x 1, hvis x 1 = x 2 .

Brøkdel = k kalt helningsfaktor rett.

Eksempel. Finn ligningen til en rett linje som går gjennom punktene A(1, 2) og B(3, 4).

Løsning. Ved å bruke formelen ovenfor får vi:

Ligning av en rett linje med et punkt og en helning.

Hvis den generelle ligningen av en rett linje Ah + Wu + C = 0 ta med til skjemaet:

og utpeke , så kalles den resulterende ligningen

ligning av en rett linje med helning k.

Ligningen av en rett linje på et punkt og en retningsvektor.

I analogi med punktet som vurderer ligningen til en rett linje gjennom normalvektoren, kan du gå inn i oppgaven

en rett linje gjennom et punkt og en retningsvektor til en rett linje.

Definisjon. Hver vektor som ikke er null (α 1 , α 2), hvis komponenter tilfredsstiller betingelsen

Aα 1 + Bα 2 = 0 kalt retningsvektor for den rette linjen.

Ah + Wu + C = 0.

Eksempel. Finn ligningen til en rett linje med retningsvektor (1, -1) og passerer gjennom punkt A(1, 2).

Løsning. Vi vil se etter ligningen til den ønskede rette linjen i skjemaet: Axe + By + C = 0. I følge definisjonen,

koeffisienter må tilfredsstille vilkårene:

1 * A + (-1) * B = 0, dvs. A = B.

Da har ligningen til en rett linje formen: Ax + Ay + C = 0, eller x + y + C / A = 0.

på x=1, y=2 vi får C/A = -3, dvs. ønsket ligning:

x + y - 3 = 0

Ligning av en rett linje i segmenter.

Hvis i den generelle ligningen til den rette linjen Ah + Wu + C = 0 C≠0, så får vi, ved å dele med -C:

eller , hvor

Den geometriske betydningen av koeffisientene er at koeffisienten a er koordinaten til skjæringspunktet

rett med aksel Åh, en b- koordinaten til skjæringspunktet mellom linjen og aksen OU.

Eksempel. Den generelle ligningen for en rett linje er gitt x - y + 1 = 0. Finn ligningen til denne rette linjen i segmenter.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normal ligning av en rett linje.

Hvis begge sider av ligningen Ah + Wu + C = 0 dividere med tall , som kalles

normaliserende faktor, så får vi

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normal ligning av en rett linje.

Tegnet ± for normaliseringsfaktoren må velges slik at μ * C< 0.

R- lengden på perpendikulæren falt fra origo til linjen,

en φ - vinkelen som dannes av denne perpendikulæren med den positive retningen til aksen Åh.

Eksempel. Gitt den generelle ligningen for en rett linje 12x - 5y - 65 = 0. Nødvendig for å skrive ulike typer ligninger

denne rette linjen.

Ligningen til denne rette linjen i segmenter:

Ligningen av denne linjen med helning: (del med 5)

Ligning av en rett linje:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Det skal bemerkes at ikke hver rett linje kan representeres av en ligning i segmenter, for eksempel rette linjer,

parallelt med aksene eller går gjennom origo.

Vinkel mellom linjer på et plan.

Definisjon. Hvis to linjer er gitt y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, deretter den spisse vinkelen mellom disse linjene

vil bli definert som

To linjer er parallelle if k 1 = k 2. To linjer er vinkelrette

hvis k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorem.

Direkte Ah + Wu + C = 0 og A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 er parallelle når koeffisientene er proporsjonale

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Hvis også С 1 \u003d λС, da faller linjene sammen. Koordinater til skjæringspunktet mellom to linjer

finnes som en løsning på likningssystemet til disse linjene.

Ligningen til en linje som går gjennom et gitt punkt er vinkelrett på en gitt linje.

Definisjon. En linje som går gjennom et punkt M 1 (x 1, y 1) og vinkelrett på linjen y = kx + b

representert ved ligningen:

Avstanden fra et punkt til en linje.

Teorem. Hvis det gis et poeng M(x 0, y 0), deretter avstanden til linjen Ah + Wu + C = 0 definert som:

Bevis. La poenget M 1 (x 1, y 1)- basen av perpendikulæren falt fra punktet M for en gitt

direkte. Deretter avstanden mellom punktene M og M 1:

(1)

Koordinater x 1 og 1 kan finnes som en løsning på ligningssystemet:

Den andre ligningen i systemet er ligningen til en rett linje som går gjennom et gitt punkt M 0 vinkelrett

gitt linje. Hvis vi transformerer den første ligningen i systemet til formen:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,

så når vi løser, får vi:

Ved å erstatte disse uttrykkene i ligning (1), finner vi:

Teoremet er bevist.

Linjen som går gjennom punktet K(x 0; y 0) og parallelt med linjen y = kx + a, finnes av formelen:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Hvor k er helningen til den rette linjen.

Alternativ formel:
Linjen som går gjennom punktet M 1 (x 1 ; y 1) og parallelt med linjen Ax+By+C=0 er representert ved ligningen

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0. (2)

Eksempel #2. Skriv likningen til en rett linje parallelt med den rette linjen 2x + 5y = 0 og lag sammen med koordinataksene en trekant med arealet 5.
Løsning . Siden linjene er parallelle, er ligningen til den ønskede linjen 2x + 5y + C = 0. Arealet av en rettvinklet trekant, der a og b er dens ben. Finn skjæringspunktene til ønsket linje med koordinataksene:
;
.
Altså A(-C/2,0), B(0,-C/5). Erstatt i formelen for området: . Vi får to løsninger: 2x + 5y + 10 = 0 og 2x + 5y - 10 = 0 .

Eksempel #3. Skriv ligningen for linjen som går gjennom punktet (-2; 5) og den parallelle linjen 5x-7y-4=0 .
Løsning. Denne rette linjen kan representeres av ligningen y = 5/7 x – 4/7 (her a = 5/7). Ligningen til ønsket linje er y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), dvs. 7(y-5)=5(x+2) eller 5x-7y+45=0 .

Eksempel #4. Ved å løse eksempel 3 (A=5, B=-7) ved hjelp av formel (2), finner vi 5(x+2)-7(y-5)=0.

Eksempel nummer 5. Skriv ligningen for en rett linje som går gjennom punktet (-2;5) og en parallell rett linje 7x+10=0.
Løsning. Her er A=7, B=0. Formel (2) gir 7(x+2)=0, dvs. x+2=0. Formel (1) er ikke anvendelig, siden denne ligningen ikke kan løses med hensyn til y (denne rette linjen er parallell med y-aksen).

Egenskaper til en rett linje i euklidisk geometri.

Det er uendelig mange linjer som kan trekkes gjennom et hvilket som helst punkt.

Gjennom to ikke-sammenfallende punkter er det bare én rett linje.

To ikke-sammenfallende linjer i planet krysser enten i et enkelt punkt, eller er

parallell (følger av den forrige).

I tredimensjonalt rom er det tre alternativer for den relative plasseringen av to linjer:

• linjer krysser hverandre;

• rette linjer er parallelle;

• rette linjer krysser hverandre.

Rett linje- algebraisk kurve av første orden: i det kartesiske koordinatsystemet, en rett linje

er gitt på planet ved en ligning av første grad (lineær ligning).

Generell ligning for en rett linje.

Definisjon. Enhver linje i planet kan gis av en førsteordens ligning

Ah + Wu + C = 0,

og konstant A, B ikke lik null på samme tid. Denne førsteordensligningen kalles generell

rettlinjeligning. Avhengig av verdiene til konstantene A, B og MED Følgende spesielle tilfeller er mulig:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linjen går gjennom origo

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- rett linje parallelt med aksen Åh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- rett linje parallelt med aksen OU

. B = C = 0, A ≠ 0- linjen faller sammen med aksen OU

. A = C = 0, B ≠ 0- linjen faller sammen med aksen Åh

Ligningen til en rett linje kan representeres i forskjellige former avhengig av en gitt

Innledende forhold.

Ligning av en rett linje med et punkt og en normalvektor.

Definisjon. I et kartesisk rektangulært koordinatsystem, en vektor med komponenter (A, B)

vinkelrett på linjen gitt av ligningen

Ah + Wu + C = 0.

Eksempel. Finn ligningen til en rett linje som går gjennom et punkt A(1, 2) vinkelrett på vektoren (3, -1).

Løsning. La oss komponere ved A \u003d 3 og B \u003d -1 ligningen til en rett linje: 3x - y + C \u003d 0. For å finne koeffisienten C

vi erstatter koordinatene til det gitte punktet A i det resulterende uttrykket. Vi får: 3 - 2 + C \u003d 0, derfor

C = -1. Totalt: ønsket ligning: 3x - y - 1 \u003d 0.

Ligning av en rett linje som går gjennom to punkter.

La to poeng gis i rom M 1 (x 1, y 1, z 1) og M2 (x 2, y 2 , z 2), deretter rettlinjeligning,

passerer gjennom disse punktene:

Hvis noen av nevnerne er lik null, skal den tilsvarende telleren settes lik null. På

planet, er ligningen til en rett linje skrevet ovenfor forenklet:

hvis x 1 ≠ x 2 og x = x 1, hvis x 1 = x 2 .

Brøkdel = k kalt helningsfaktor rett.

Eksempel. Finn ligningen til en rett linje som går gjennom punktene A(1, 2) og B(3, 4).

Løsning. Ved å bruke formelen ovenfor får vi:

Ligning av en rett linje med et punkt og en helning.

Hvis den generelle ligningen av en rett linje Ah + Wu + C = 0 ta med til skjemaet:

og utpeke , så kalles den resulterende ligningen

ligning av en rett linje med helning k.

Ligningen av en rett linje på et punkt og en retningsvektor.

I analogi med punktet som vurderer ligningen til en rett linje gjennom normalvektoren, kan du gå inn i oppgaven

en rett linje gjennom et punkt og en retningsvektor til en rett linje.

Definisjon. Hver vektor som ikke er null (α 1 , α 2), hvis komponenter tilfredsstiller betingelsen

Aα 1 + Bα 2 = 0 kalt retningsvektor for den rette linjen.

Ah + Wu + C = 0.

Eksempel. Finn ligningen til en rett linje med retningsvektor (1, -1) og passerer gjennom punkt A(1, 2).

Løsning. Vi vil se etter ligningen til den ønskede rette linjen i skjemaet: Axe + By + C = 0. I følge definisjonen,

koeffisienter må tilfredsstille vilkårene:

1 * A + (-1) * B = 0, dvs. A = B.

Da har ligningen til en rett linje formen: Ax + Ay + C = 0, eller x + y + C / A = 0.

på x=1, y=2 vi får C/A = -3, dvs. ønsket ligning:

x + y - 3 = 0

Ligning av en rett linje i segmenter.

Hvis i den generelle ligningen til den rette linjen Ah + Wu + C = 0 C≠0, så får vi, ved å dele med -C:

eller , hvor

Den geometriske betydningen av koeffisientene er at koeffisienten a er koordinaten til skjæringspunktet

rett med aksel Åh, en b- koordinaten til skjæringspunktet mellom linjen og aksen OU.

Eksempel. Den generelle ligningen for en rett linje er gitt x - y + 1 = 0. Finn ligningen til denne rette linjen i segmenter.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normal ligning av en rett linje.

Hvis begge sider av ligningen Ah + Wu + C = 0 dividere med tall , som kalles

normaliserende faktor, så får vi

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normal ligning av en rett linje.

Tegnet ± for normaliseringsfaktoren må velges slik at μ * C< 0.

R- lengden på perpendikulæren falt fra origo til linjen,

en φ - vinkelen som dannes av denne perpendikulæren med den positive retningen til aksen Åh.

Eksempel. Gitt den generelle ligningen for en rett linje 12x - 5y - 65 = 0. Nødvendig for å skrive ulike typer ligninger

denne rette linjen.

Ligningen til denne rette linjen i segmenter:

Ligningen av denne linjen med helning: (del med 5)

Ligning av en rett linje:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Det skal bemerkes at ikke hver rett linje kan representeres av en ligning i segmenter, for eksempel rette linjer,

parallelt med aksene eller går gjennom origo.

Vinkel mellom linjer på et plan.

Definisjon. Hvis to linjer er gitt y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, deretter den spisse vinkelen mellom disse linjene

vil bli definert som

To linjer er parallelle if k 1 = k 2. To linjer er vinkelrette

hvis k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorem.

Direkte Ah + Wu + C = 0 og A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 er parallelle når koeffisientene er proporsjonale

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Hvis også С 1 \u003d λС, da faller linjene sammen. Koordinater til skjæringspunktet mellom to linjer

finnes som en løsning på likningssystemet til disse linjene.

Ligningen til en linje som går gjennom et gitt punkt er vinkelrett på en gitt linje.

Definisjon. En linje som går gjennom et punkt M 1 (x 1, y 1) og vinkelrett på linjen y = kx + b

representert ved ligningen:

Avstanden fra et punkt til en linje.

Teorem. Hvis det gis et poeng M(x 0, y 0), deretter avstanden til linjen Ah + Wu + C = 0 definert som:

Bevis. La poenget M 1 (x 1, y 1)- basen av perpendikulæren falt fra punktet M for en gitt

direkte. Deretter avstanden mellom punktene M og M 1:

(1)

Koordinater x 1 og 1 kan finnes som en løsning på ligningssystemet:

Den andre ligningen i systemet er ligningen til en rett linje som går gjennom et gitt punkt M 0 vinkelrett

gitt linje. Hvis vi transformerer den første ligningen i systemet til formen:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,

så når vi løser, får vi:

Ved å erstatte disse uttrykkene i ligning (1), finner vi:

Teoremet er bevist.

Denne artikkelen avslører utledningen av ligningen til en rett linje som går gjennom to gitte punkter i et rektangulært koordinatsystem plassert på et plan. Vi utleder ligningen til en rett linje som går gjennom to gitte punkter i et rektangulært koordinatsystem. Vi vil visuelt vise og løse flere eksempler knyttet til materialet som dekkes.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Før du oppnår ligningen til en rett linje som går gjennom to gitte punkter, er det nødvendig å ta hensyn til noen fakta. Det er et aksiom som sier at gjennom to ikke-sammenfallende punkter på et plan er det mulig å tegne en rett linje og bare ett. Med andre ord, to gitte punkter i planet bestemmes av en rett linje som går gjennom disse punktene.

Hvis planet er gitt av det rektangulære koordinatsystemet Oxy, vil enhver rett linje som er avbildet i det tilsvare ligningen til den rette linjen på planet. Det er også en sammenheng med retningsvektoren til den rette linjen Disse dataene er tilstrekkelige til å tegne likningen til en rett linje som går gjennom to gitte punkter.

Tenk på et eksempel på å løse et lignende problem. Det er nødvendig å komponere ligningen av en rett linje a som går gjennom to feiltilpassede punkter M 1 (x 1, y 1) og M 2 (x 2, y 2) som ligger i det kartesiske koordinatsystemet.

I den kanoniske ligningen av en rett linje på et plan, med formen x - x 1 ax \u003d y - y 1 ay, er et rektangulært koordinatsystem O xy spesifisert med en rett linje som skjærer det i et punkt med koordinatene M 1 (x 1, y 1) med en ledevektor a → = (ax , ay) .

Det er nødvendig å komponere den kanoniske ligningen til den rette linjen a, som vil gå gjennom to punkter med koordinatene M 1 (x 1, y 1) og M 2 (x 2, y 2) .

Den rette linjen a har en retningsvektor M 1 M 2 → med koordinater (x 2 - x 1, y 2 - y 1), siden den skjærer punktene M 1 og M 2. Vi har innhentet de nødvendige dataene for å transformere den kanoniske ligningen med koordinatene til retningsvektoren M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) og koordinatene til punktene M 1 som ligger på dem (x 1, y 1) og M2 (x 2, y 2). Vi får en likning av formen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 eller x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Tenk på figuren nedenfor.

Etter beregningene skriver vi de parametriske ligningene til en rett linje i et plan som går gjennom to punkter med koordinatene M 1 (x 1, y 1) og M 2 (x 2, y 2) . Vi får en ligning av formen x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ eller x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

La oss se nærmere på noen få eksempler.

Eksempel 1

Skriv likningen til en rett linje som går gjennom 2 gitte punkter med koordinatene M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Løsning

Den kanoniske ligningen for en rett linje som skjærer i to punkter med koordinatene x 1 , y 1 og x 2 , y 2 har formen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . I henhold til tilstanden til problemet har vi at x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. Det er nødvendig å erstatte numeriske verdier i ligningen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Herfra får vi at den kanoniske ligningen vil ha formen x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Svar: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Hvis det er nødvendig å løse et problem med en annen type ligning, kan du til å begynne med gå til den kanoniske, siden det er lettere å komme til en annen fra den.

Eksempel 2

Komponer den generelle ligningen for en rett linje som går gjennom punkter med koordinatene M 1 (1, 1) og M 2 (4, 2) i O x y-koordinatsystemet.

Løsning

Først må du skrive ned den kanoniske ligningen til en gitt linje som går gjennom de gitte to punktene. Vi får en ligning av formen x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Vi bringer den kanoniske ligningen til ønsket form, så får vi:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Svar: x-3 y + 2 = 0.

Eksempler på slike oppgaver ble vurdert i skolebøkene på algebratimer. Skoleoppgaver skilte seg ved at ligningen av en rett linje med en helningskoeffisient var kjent, med formen y \u003d k x + b. Hvis du trenger å finne verdien av skråningen k og tallet b, der ligningen y \u003d kx + b definerer en linje i O xy-systemet som går gjennom punktene M 1 (x 1, y 1) og M 2 (x 2, y 2), hvor x 1 ≠ x 2 . Når x 1 = x 2 , da får helningen verdien av uendelig, og den rette linjen M 1 M 2 er definert av en generell ufullstendig ligning på formen x - x 1 = 0 .

Fordi prikkene M 1 og M 2 er på en rett linje, tilfredsstiller koordinatene deres ligningen y 1 = k x 1 + b og y 2 = k x 2 + b. Det er nødvendig å løse likningssystemet y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b med hensyn til k og b.

For å gjøre dette finner vi k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 eller k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Med slike verdier av k og b har ligningen til en rett linje som går gjennom de gitte to punktene følgende form y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 eller y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Å huske et så stort antall formler på en gang vil ikke fungere. For å gjøre dette er det nødvendig å øke antall repetisjoner for å løse problemer.

Eksempel 3

Skriv ligningen til en rett linje med en helning som går gjennom punkter med koordinatene M 2 (2, 1) og y = k x + b.

Løsning

For å løse problemet bruker vi en formel med en helning som har formen y \u003d k x + b. Koeffisientene k og b må ha en slik verdi at denne ligningen tilsvarer en rett linje som går gjennom to punkter med koordinatene M 1 (- 7 , - 5) og M 2 (2 , 1) .

poeng M 1 og M 2 plassert på en rett linje, så skal deres koordinater invertere ligningen y = k x + b den riktige likheten. Herfra får vi at - 5 = k · (- 7) + b og 1 = k · 2 + b. La oss kombinere ligningen til systemet - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b og løse.

Ved bytte får vi det

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 kk = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Nå er verdiene k = 2 3 og b = - 1 3 erstattet med ligningen y = k x + b . Vi får at den ønskede likningen som går gjennom de gitte punktene vil være en likning som har formen y = 2 3 x - 1 3 .

Denne måten å løse på forhåndsbestemmer utgiftene til en stor mengde tid. Det er en måte oppgaven løses bokstavelig talt i to trinn.

Vi skriver den kanoniske ligningen for en rett linje som går gjennom M 2 (2, 1) og M 1 (- 7, - 5), med formen x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

La oss nå gå videre til helningsligningen. Vi får det: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Svar: y = 2 3 x - 1 3 .

Hvis det i tredimensjonalt rom er et rektangulært koordinatsystem O xyz med to gitte ikke-sammenfallende punkter med koordinatene M 1 (x 1, y 1, z 1) og M 2 (x 2, y 2, z 2), rett linje M som går gjennom dem 1 M 2, er det nødvendig å få ligningen til denne linjen.

Vi har at kanoniske ligninger av formen x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az og parametriske ligninger av formen x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ z = z 1 + az λ er i stand til å sette en linje i O x y z koordinatsystemet som går gjennom punkter som har koordinater (x 1, y 1, z 1) med en retningsvektor a → = (ax, ay, az) .

Rett M 1 M 2 har en retningsvektor av formen M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , hvor linjen går gjennom punktet M 1 (x 1 , y 1 , z 1) og M 2 (x 2, y 2, z 2), derfor kan den kanoniske ligningen ha formen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 eller x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, i sin tur, parametrisk x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ eller x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Tenk på en figur som viser 2 gitte punkter i rommet og ligningen til en rett linje.

Eksempel 4

Skriv ligningen til en rett linje definert i et rektangulært koordinatsystem O xyz av tredimensjonalt rom, som går gjennom de gitte to punktene med koordinatene M 1 (2, - 3, 0) og M 2 (1, - 3, - 5 ).

Løsning

Vi må finne den kanoniske ligningen. Siden vi snakker om tredimensjonalt rom, betyr det at når en rett linje går gjennom gitte punkter, vil den ønskede kanoniske ligningen ha formen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Som betingelse har vi at x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Det følger at de nødvendige ligningene kan skrives som følger:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Svar: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter