Konstruksjon av planligningen på tre punkter. Ligning av et fly: hvordan komponere? Typer av planligninger

For at et enkelt plan skal kunne trekkes gjennom tre punkter i rommet, er det nødvendig at disse punktene ikke ligger på en rett linje.

Betrakt punktene M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) i et felles kartesisk koordinatsystem.

For at et vilkårlig punkt M(x, y, z) skal ligge i samme plan som punktene M 1 , M 2 , M 3 må vektorene være koplanære.

(
) = 0

På denne måten,

Ligning av et plan som går gjennom tre punkter:

Ligning av et plan med hensyn til to punkter og en vektor kollineær til planet.

La punktene M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) og vektoren
.

La oss komponere ligningen for planet som går gjennom de gitte punktene M 1 og M 2 og et vilkårlig punkt M (x, y, z) parallelt med vektoren .

Vektorer
og vektor
må være koplanar, dvs.

(
) = 0

Planligning:

Ligning av et plan med hensyn til ett punkt og to vektorer,

kollineært plan.

La to vektorer gis
og
, kolineære plan. Så for et vilkårlig punkt M(x, y, z) som tilhører planet, vil vektorene
må være koplanar.

Planligning:

Planligning etter punkt og normalvektor .

Teorem. Hvis et punkt M er gitt i rommet 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), så ligningen til planet som går gjennom punktet M 0 vinkelrett på normalvektoren (EN, B, C) ser ut som:

EN(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Bevis. For et vilkårlig punkt M(x, y, z) som tilhører planet, komponerer vi en vektor . Fordi vektor - normalvektoren, så er den vinkelrett på planet, og derfor vinkelrett på vektoren
. Deretter skalarproduktet

= 0

Dermed får vi ligningen til planet

Teoremet er bevist.

Ligning av et plan i segmenter.

Hvis i den generelle ligningen Ax + Wu + Cz + D \u003d 0, del begge delene med (-D)

,

erstatte
, får vi ligningen til planet i segmenter:

Tallene a, b, c er henholdsvis skjæringspunktene til planet med x-, y- og z-aksene.

Planligning i vektorform.

hvor

- radius-vektor for gjeldende punkt M(x, y, z),

En enhetsvektor som har retningen til perpendikulæren falt til planet fra origo.

,  og  er vinklene som dannes av denne vektoren med x-, y- og z-aksene.

p er lengden på denne perpendikulæren.

I koordinater har denne ligningen formen:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Avstanden fra et punkt til et fly.

Avstanden fra et vilkårlig punkt M 0 (x 0, y 0, z 0) til planet Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 er:

Eksempel. Finn likningen til planet, vel vitende om at punktet P (4; -3; 12) er bunnen av perpendikulæren som faller fra origo til dette planet.

Så A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, bruk formelen:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Eksempel. Finn ligningen til et plan som går gjennom to punkter P(2; 0; -1) og

Q(1; -1; 3) er vinkelrett på planet 3x + 2y - z + 5 = 0.

Normalvektor til planet 3x + 2y - z + 5 = 0
parallelt med ønsket plan.

Vi får:

Eksempel. Finn ligningen til planet som går gjennom punktene A(2, -1, 4) og

В(3, 2, -1) vinkelrett på planet X + på + 2z – 3 = 0.

Den ønskede planligningen har formen: A x+ B y+C z+ D = 0, normalvektoren til dette planet (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) tilhører flyet. Planet gitt til oss, vinkelrett på det ønskede, har en normalvektor (1, 1, 2). Fordi Punktene A og B tilhører begge plan, og planene er vinkelrette på hverandre, da

Altså normalvektoren (11, -7, -2). Fordi punktet A tilhører det ønskede planet, da må dets koordinater tilfredsstille ligningen til dette planet, dvs. 112 + 71 - 24 + D= 0; D= -21.

Totalt får vi ligningen til flyet: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Eksempel. Finn likningen til planet, vel vitende om at punktet P(4, -3, 12) er bunnen av perpendikulæren som faller fra origo til dette planet.

Finne koordinatene til normalvektoren
= (4, -3, 12). Den ønskede ligningen til planet har formen: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. For å finne koeffisienten D, erstatter vi koordinatene til punktet Р inn i ligningen:

16 + 9 + 144 + D = 0

Totalt får vi ønsket ligning: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Eksempel. Gitt koordinatene til pyramidepunktene A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Finn lengden på kanten A 1 A 2 .

Finn vinkelen mellom kantene A 1 A 2 og A 1 A 4.

Finn vinkelen mellom kanten A 1 A 4 og flaten A 1 A 2 A 3 .

Finn først normalvektoren til ansiktet A 1 A 2 A 3 som et kryssprodukt av vektorer
og
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Finn vinkelen mellom normalvektoren og vektoren
.

-4 – 4 = -8.

Ønsket vinkel  mellom vektoren og planet vil være lik  = 90 0 - .

Finn arealet av ansikt A 1 A 2 A 3 .

Finn volumet til pyramiden.

Finn ligningen til planet А 1 А 2 А 3 .

Vi bruker formelen for ligningen til et plan som går gjennom tre punkter.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

Når du bruker PC-versjonen av " Kurs i høyere matematikk” du kan kjøre et program som vil løse eksemplet ovenfor for alle koordinater til pyramidepunktene.

Dobbeltklikk på ikonet for å starte programmet:

I programvinduet som åpnes, skriv inn koordinatene til pyramidepunktene og trykk Enter. Dermed kan alle beslutningspunkter oppnås ett etter ett.

Merk: For å kjøre programmet må du ha Maple ( Waterloo Maple Inc.) installert på datamaskinen din, enhver versjon som starter med MapleV versjon 4.

La det være nødvendig å finne ligningen til et plan som går gjennom tre gitte punkter som ikke ligger på en rett linje. Ved å angi radiusvektorene deres med og den nåværende radiusvektoren med , kan vi enkelt få den ønskede ligningen i vektorform. Faktisk må vektorene være koplanære (de ligger alle i ønsket plan). Derfor må vektor-skalarproduktet til disse vektorene være lik null:

Dette er ligningen til et plan som går gjennom tre gitte punkter, i vektorform.

Når vi vender oss til koordinatene, får vi ligningen i koordinater:

Hvis de tre gitte punktene ligger på samme rette linje, vil vektorene være kollineære. Derfor vil de tilsvarende elementene i de to siste radene av determinanten i ligning (18) være proporsjonale og determinanten vil være identisk lik null. Derfor vil ligning (18) bli en identitet for alle verdier av x, y og z. Geometrisk betyr dette at et plan går gjennom hvert punkt i rommet, der det også ligger tre gitte punkter.

Merknad 1. Det samme problemet kan løses uten bruk av vektorer.

Ved å betegne koordinatene til henholdsvis de tre gitte punktene, skriver vi likningen til et hvilket som helst plan som går gjennom det første punktet:

For å oppnå ligningen til det ønskede planet, må man kreve at ligningen (17) tilfredsstilles av koordinatene til de to andre punktene:

Fra ligninger (19) er det nødvendig å bestemme forholdet mellom to koeffisienter til den tredje og legge inn de funnet verdiene i ligning (17).

Eksempel 1. Skriv en ligning for et plan som går gjennom punkter.

Ligningen for et plan som går gjennom det første av disse punktene vil være:

Betingelsene for at flyet (17) skal passere gjennom to andre punkter og det første punktet er:

Legger vi den andre ligningen til den første, får vi:

Setter vi inn i den andre ligningen, får vi:

Ved å sette inn i ligning (17) i stedet for henholdsvis A, B, C, 1, 5, -4 (tall proporsjonale med dem), får vi:

Eksempel 2. Skriv en ligning for et plan som går gjennom punktene (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Ligningen til et hvilket som helst plan som går gjennom punktet (0, 0, 0) vil være]

Betingelsene for å passere dette planet gjennom punktene (1, 1, 1) og (2, 2, 2) er:

Ved å redusere den andre ligningen med 2, ser vi at for å bestemme de to ukjente, har relasjonen en ligning med

Herfra får vi . Ved å sette inn i planligningen i stedet for verdien, finner vi:

Dette er ligningen til det nødvendige planet; det avhenger av vilkårlig

mengdene B, C (nemlig fra forholdet, dvs. det er et uendelig antall plan som passerer gjennom tre gitte punkter (tre gitte punkter ligger på en rett linje).

Merknad 2. Problemet med å trekke et plan gjennom tre gitte punkter som ikke ligger på samme rette linje løses enkelt i en generell form hvis vi bruker determinanter. Faktisk, siden i ligningene (17) og (19) koeffisientene A, B, C ikke samtidig kan være lik null, så, når vi betrakter disse ligningene som et homogent system med tre ukjente A, B, C, skriver vi en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for eksistensen av en annen løsning for dette systemet enn null (del 1, kap. VI, § 6):

Ved å utvide denne determinanten med elementene i den første raden, får vi en ligning av første grad med hensyn til gjeldende koordinater , som vil bli tilfredsstilt, spesielt av koordinatene til de tre gitte punktene.

Dette siste kan også verifiseres direkte hvis vi erstatter koordinatene til noen av disse punktene i stedet for i ligningen skrevet ved hjelp av determinanten. På venstre side oppnås en determinant, der enten elementene i den første raden er null, eller det er to identiske rader. Dermed representerer den formulerte ligningen et plan som går gjennom tre gitte punkter.

Planligning. Hvordan skrive en ligning for et fly?
Gjensidig arrangement av fly. Oppgaver

Romlig geometri er ikke mye mer komplisert enn "flat" geometri, og våre flyvninger i rommet begynner med denne artikkelen. For å forstå temaet må man ha god forståelse for vektorer, i tillegg er det ønskelig å være kjent med geometrien til flyet - det vil være mange likheter, mange analogier, så informasjonen vil bli fordøyd mye bedre. I en serie av leksjonene mine åpner 2D-verdenen med en artikkel Ligning av en rett linje på et plan. Men nå har Batman gått av flatskjerm-TVen og lanserer fra Baikonur Cosmodrome.

La oss starte med tegninger og symboler. Skjematisk kan flyet tegnes som et parallellogram, som gir inntrykk av plass:

Flyet er uendelig, men vi har muligheten til å avbilde bare et stykke av det. I praksis, i tillegg til parallellogrammet, tegnes også en oval eller til og med en sky. Av tekniske årsaker er det mer praktisk for meg å avbilde flyet på denne måten og i denne posisjonen. De virkelige flyene, som vi vil vurdere i praktiske eksempler, kan ordnes på hvilken som helst måte - ta tegningen mentalt i hendene og vri den i rommet, og gi flyet en hvilken som helst helling, hvilken som helst vinkel.

Notasjon: det er vanlig å angi fly med små greske bokstaver, tilsynelatende for ikke å forveksle dem med rett på flyet eller med rett i rommet. Jeg er vant til å bruke bokstaven. På tegningen er det bokstaven "sigma", og ikke et hull i det hele tatt. Selv om det er et hullet fly, er det absolutt veldig morsomt.

I noen tilfeller er det praktisk å bruke de samme greske bokstavene med abonnenter for å angi fly, for eksempel .

Det er åpenbart at flyet er unikt bestemt av tre forskjellige punkter som ikke ligger på samme rette linje. Derfor er trebokstavsbetegnelser for fly ganske populære - i henhold til punktene som tilhører dem, for eksempel, etc. Ofte er bokstaver vedlagt i parentes: , for ikke å forveksle flyet med en annen geometrisk figur.

For erfarne lesere vil jeg gi snarveimeny:

• Hvordan skrive en likning for et plan ved å bruke et punkt og to vektorer?
• Hvordan skrive en likning for et plan ved å bruke et punkt og en normalvektor?

og vi vil ikke syte bort i lang ventetid:

Generell ligning for flyet

Den generelle ligningen til planet har formen , hvor koeffisientene samtidig er ikke-null.

En rekke teoretiske beregninger og praktiske problemer er gyldige både for det vanlige ortonormale grunnlaget og for det affine grunnlaget for rom (hvis olje er olje, gå tilbake til leksjonen Lineær (ikke) avhengighet av vektorer. Vektor basis). For enkelhets skyld vil vi anta at alle hendelser skjer på ortonormal basis og et kartesisk rektangulært koordinatsystem.

Og la oss nå trene litt romlig fantasi. Det er greit hvis du har det dårlig, nå skal vi utvikle det litt. Selv å spille på nerver krever trening.

I det mest generelle tilfellet, når tallene ikke er lik null, skjærer planet alle tre koordinataksene. For eksempel slik:

Jeg gjentar nok en gang at flyet fortsetter i det uendelige i alle retninger, og vi har mulighet til å avbilde bare en del av det.

Tenk på de enkleste likningene av fly:

Hvordan forstå denne ligningen? Tenk på det: "Z" ALLTID, for alle verdier av "X" og "Y" er lik null. Dette er ligningen til det "native" koordinatplanet. Formelt kan ligningen faktisk omskrives som følger: , hvor det er tydelig synlig at vi ikke bryr oss, hvilke verdier "x" og "y" tar, er det viktig at "z" er lik null.

På samme måte:
er ligningen til koordinatplanet ;
er ligningen til koordinatplanet.

La oss komplisere problemet litt, vurdere et plan (her og videre i avsnittet antar vi at de numeriske koeffisientene ikke er lik null). La oss omskrive ligningen i formen: . Hvordan forstå det? "X" er ALLTID, for enhver verdi av "y" og "z" er lik et visst tall. Dette planet er parallelt med koordinatplanet. For eksempel er et plan parallelt med et plan og går gjennom et punkt.

På samme måte:
- ligningen til planet, som er parallell med koordinatplanet;
- ligningen til et plan som er parallelt med koordinatplanet.

Legg til medlemmer: . Ligningen kan skrives om slik: , det vil si at "Z" kan være hva som helst. Hva betyr det? "X" og "Y" er forbundet med et forhold som tegner en bestemt rett linje i planet (du vil gjenkjenne ligning av en rett linje i et plan?). Siden Z kan være hva som helst, blir denne linjen "replisert" i hvilken som helst høyde. Dermed definerer ligningen et plan parallelt med koordinataksen

På samme måte:
- ligningen til planet, som er parallell med koordinataksen;
- ligningen til planet, som er parallell med koordinataksen.

Hvis de frie leddene er null, vil flyene direkte passere gjennom de tilsvarende aksene. For eksempel den klassiske "direkte proporsjonalitet":. Tegn en rett linje i flyet og multipliser den mentalt opp og ned (siden "z" er hvilken som helst). Konklusjon: planet gitt av ligningen går gjennom koordinataksen.

Vi avslutter gjennomgangen: flyets ligning går gjennom origo. Vel, her er det ganske åpenbart at punktet tilfredsstiller den gitte ligningen.

Og til slutt tilfellet som er vist på tegningen: - flyet er venn med alle koordinatakser, mens det alltid "skjærer av" en trekant som kan lokaliseres i hvilken som helst av de åtte oktantene.

Lineære ulikheter i rommet

For å forstå informasjonen er det nødvendig å studere godt lineære ulikheter i planet fordi mange ting vil være like. Avsnittet vil være en kort oversikt med noen få eksempler, siden materialet er ganske sjeldent i praksis.

Hvis ligningen definerer et plan, så er ulikhetene
spørre halve mellomrom. Hvis ulikheten ikke er streng (de to siste på listen), så inkluderer løsningen av ulikheten, i tillegg til halvrommet, selve planet.

Eksempel 5

Finn enhetsnormalvektoren til planet .

Løsning: En enhetsvektor er en vektor hvis lengde er én. La oss betegne denne vektoren med . Det er ganske tydelig at vektorene er kollineære:

Først fjerner vi normalvektoren fra ligningen til planet: .

Hvordan finne enhetsvektoren? For å finne enhetsvektoren trenger du hver vektorkoordinat delt på vektorlengde.

La oss omskrive normalvektoren i skjemaet og finne lengden:

I henhold til ovenstående:

Svar:

Sjekk: , som var nødvendig for å sjekke.

Lesere som har studert det siste avsnittet i leksjonen nøye, har nok lagt merke til det koordinatene til enhetsvektoren er nøyaktig retningscosinusene til vektoren:

La oss gå bort fra det demonterte problemet: når du får en vilkårlig vektor som ikke er null, og av tilstanden kreves det for å finne retningskosinusene (se de siste oppgavene i leksjonen Punktprodukt av vektorer), så finner du faktisk også en enhetsvektor kollineær til den gitte. Faktisk to oppgaver på én flaske.

Behovet for å finne en enhetsnormalvektor oppstår i noen problemer med matematisk analyse.

Vi fant ut fisket av normalvektoren, nå vil vi svare på det motsatte spørsmålet:

Hvordan skrive en likning for et plan ved å bruke et punkt og en normalvektor?

Denne stive konstruksjonen av en normal vektor og et punkt er velkjent av et dartmål. Strekk hånden fremover og velg mentalt et vilkårlig punkt i rommet, for eksempel en liten katt i en skjenk. Åpenbart, gjennom dette punktet, kan du tegne et enkelt plan vinkelrett på hånden din.

Ligningen til et plan som går gjennom et punkt vinkelrett på vektoren uttrykkes med formelen:

Det kan spesifiseres på forskjellige måter (ett punkt og en vektor, to punkter og en vektor, tre punkter osv.). Det er med dette i tankene at likningen til planet kan ha forskjellige former. Også, under visse forhold, kan planene være parallelle, vinkelrette, kryssende, etc. Vi vil snakke om dette i denne artikkelen. Vi vil lære å skrive den generelle ligningen til flyet og ikke bare.

Normal form for ligningen

La oss si at det er et rom R 3 som har et rektangulært koordinatsystem XYZ. La oss sette vektoren α, som vil bli frigjort fra startpunktet O. Gjennom enden av vektoren α tegner vi planet P, som vil være vinkelrett på det.

Angi med P et vilkårlig punkt Q=(x, y, z). Vi vil signere radiusvektoren til punktet Q med bokstaven p. Lengden på vektoren α er p=IαI og Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Dette er en enhetsvektor som peker sidelengs, akkurat som vektoren α. α, β og γ er vinklene som dannes mellom vektoren Ʋ og de positive retningene til henholdsvis romaksene x, y, z. Projeksjonen av et punkt QϵП på vektoren Ʋ er en konstant verdi lik р: (р,Ʋ) = р(р≥0).

Denne ligningen gir mening når p=0. Det eneste er at planet P i dette tilfellet vil skjære punktet O (α=0), som er origo, og enhetsvektoren Ʋ, frigjort fra punktet O, vil være vinkelrett på P, uavhengig av retningen, som betyr at vektoren Ʋ bestemmes fra fortegn-nøyaktig. Den forrige ligningen er ligningen til P-planet vårt, uttrykt i vektorform. Men i koordinater vil det se slik ut:

P her er større enn eller lik 0. Vi har funnet ligningen til et plan i rommet i normal form.

Generell ligning

Hvis vi multipliserer likningen i koordinater med et hvilket som helst tall som ikke er lik null, får vi en likning som tilsvarer den gitte, som bestemmer det samme planet. Det vil se slik ut:

Her er A, B, C tall som samtidig er forskjellige fra null. Denne ligningen blir referert til som den generelle planligningen.

Planligninger. Spesielle tilfeller

Ligningen i generell form kan modifiseres i nærvær av tilleggsbetingelser. La oss vurdere noen av dem.

Anta at koeffisienten A er 0. Dette betyr at det gitte planet er parallelt med den gitte aksen Ox. I dette tilfellet vil formen på ligningen endres: Ву+Cz+D=0.

På samme måte vil formen på ligningen endres under følgende forhold:

• For det første, hvis B = 0, vil ligningen endres til Ax + Cz + D = 0, som vil indikere parallellitet til Oy-aksen.
• For det andre, hvis С=0, blir ligningen transformert til Ах+Ву+D=0, noe som vil indikere parallellitet til den gitte aksen Oz.
• For det tredje, hvis D=0, vil ligningen se ut som Ax+By+Cz=0, noe som vil bety at planet skjærer O (origo).
• For det fjerde, hvis A=B=0, vil ligningen endres til Cz+D=0, som vil vise seg parallelt med Oxy.
• For det femte, hvis B=C=0, blir ligningen Ax+D=0, som betyr at planet til Oyz er parallelt.
• For det sjette, hvis A=C=0, vil ligningen ha formen Ву+D=0, det vil si at den vil rapportere parallellitet til Oxz.

Type ligning i segmenter

I tilfellet når tallene A, B, C, D er ikke-null, kan formen til ligningen (0) være som følger:

x/a + y/b + z/c = 1,

der a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Vi får som et resultat Det er verdt å merke seg at dette planet vil skjære Ox-aksen i et punkt med koordinater (a,0,0), Oy - (0,b,0), og Oz - (0,0,c) .

Når man tar i betraktning likningen x/a + y/b + z/c = 1, er det lett å visuelt representere plasseringen av planet i forhold til et gitt koordinatsystem.

Normale vektorkoordinater

Normalvektoren n til planet P har koordinater som er koeffisientene til den generelle ligningen til det gitte planet, det vil si n (A, B, C).

For å bestemme koordinatene til normalen n er det tilstrekkelig å kjenne den generelle ligningen til et gitt plan.

Når man bruker ligningen i segmenter, som har formen x/a + y/b + z/c = 1, samt når man bruker den generelle ligningen, kan man skrive koordinatene til en hvilken som helst normalvektor i et gitt plan: (1 /a + 1/b + 1/ Med).

Det skal bemerkes at normalvektoren hjelper til med å løse ulike problemer. De vanligste er oppgaver som består i å bevise vinkelrett eller parallellitet til plan, problemer med å finne vinkler mellom plan eller vinkler mellom plan og linjer.

Visning av likningen til planet i henhold til koordinatene til punktet og normalvektoren

En ikke-null vektor n vinkelrett på et gitt plan kalles normal (normal) for et gitt plan.

Anta at i koordinatrommet (rektangulært koordinatsystem) er det gitt Oxyz:

• punkt Mₒ med koordinater (xₒ,yₒ,zₒ);
• null vektor n=A*i+B*j+C*k.

Det er nødvendig å komponere en ligning for et plan som vil passere gjennom punktet Mₒ vinkelrett på normalen n.

I rommet velger vi et hvilket som helst vilkårlig punkt og betegner det med M (x y, z). La radiusvektoren til et hvilket som helst punkt M (x, y, z) være r=x*i+y*j+z*k, og radiusvektoren til punktet Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Punktet M vil tilhøre det gitte planet hvis vektoren MₒM er vinkelrett på vektoren n. Vi skriver ortogonalitetsbetingelsen ved å bruke skalarproduktet:

[MₒM, n] = 0.

Siden MₒM \u003d r-rₒ, vil vektorligningen til planet se slik ut:

Denne ligningen kan ha en annen form. For å gjøre dette brukes egenskapene til skalarproduktet, og venstre side av ligningen transformeres. = - . Hvis betegnet som c, vil følgende ligning oppnås: - c \u003d 0 eller \u003d c, som uttrykker konstansen til projeksjonene på normalvektoren til radiusvektorene til de gitte punktene som tilhører planet.

Nå kan du få koordinatformen for å skrive vektorligningen til planet vårt = 0. Siden r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, og n = A*i+B *j+C*k, vi har:

Det viser seg at vi har en ligning for et plan som går gjennom et punkt vinkelrett på normalen n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Visning av planligningen i henhold til koordinatene til to punkter og en vektor i linje med planet

Vi definerer to vilkårlige punkter M′ (x′,y′,z′) og M″ (x″,y″,z″), samt vektoren a (a′,a″,a‴).

Nå kan vi komponere en ligning for et gitt plan, som vil gå gjennom de tilgjengelige punktene M′ og M″, samt et hvilket som helst punkt M med koordinater (x, y, z) parallelt med den gitte vektoren a.

I dette tilfellet må vektorene M′M=(x-x′;y-y′;zz′) og M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) være koplanare med vektoren a=(a′,a″,a‴), som betyr at (M′M, M″M, a)=0.

Så ligningen vår av et plan i rommet vil se slik ut:

Type likning for et plan som skjærer tre punkter

Anta at vi har tre punkter: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), som ikke tilhører den samme rette linjen. Det er nødvendig å skrive ligningen til planet som går gjennom de gitte tre punktene. Teorien om geometri hevder at denne typen plan virkelig eksisterer, bare det er det eneste og uforlignelige. Siden dette planet skjærer punktet (x′, y′, z′), vil formen på dets ligning være som følger:

Her er A, B, C forskjellige fra null på samme tid. Dessuten skjærer det gitte planet ytterligere to punkter: (x″,y″,z″) og (x‴,y‴,z‴). I denne forbindelse må følgende betingelser være oppfylt:

Nå kan vi komponere et homogent system med ukjente u, v, w:

I vårt tilfelle er x, y eller z et vilkårlig punkt som tilfredsstiller ligning (1). Gitt likning (1) og likningssystemet (2) og (3), tilfredsstiller likningssystemet vist i figuren ovenfor vektoren N (A, B, C), som er ikke-triviell. Det er derfor determinanten til dette systemet er lik null.

Ligning (1), som vi har fått, er ligningen til planet. Den går nøyaktig gjennom 3 punkter, og dette er enkelt å sjekke. For å gjøre dette, må vi utvide vår determinant over elementene i den første raden. Det følger av de eksisterende egenskapene til determinanten at planet vårt samtidig skjærer tre opprinnelig gitte punkter (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Det vil si at vi har løst oppgaven som ligger foran oss.

Dihedral vinkel mellom planene

En dihedral vinkel er en romlig geometrisk figur dannet av to halvplan som kommer fra en rett linje. Dette er med andre ord den delen av rommet som er begrenset av disse halvplanene.

La oss si at vi har to plan med følgende ligninger:

Vi vet at vektorene N=(A,B,C) og N¹=(A¹,B¹,C¹) er vinkelrette i henhold til de gitte planene. I denne forbindelse er vinkelen φ mellom vektorene N og N¹ lik vinkelen (dihedral), som er mellom disse planene. Det skalære produktet har formen:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

nettopp fordi

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Det er tilstrekkelig å ta hensyn til at 0≤φ≤π.

Faktisk danner to plan som skjærer to (diedriske) vinkler: φ 1 og φ 2 . Summen deres er lik π (φ 1 + φ 2 = π). Når det gjelder cosinusene deres, er deres absolutte verdier like, men de er forskjellige i tegn, det vil si cos φ 1 =-cos φ 2. Hvis vi i ligning (0) erstatter A, B og C med henholdsvis tallene -A, -B og -C, så vil ligningen vi får bestemme det samme planet, den eneste vinkelen φ i ligningen cos φ= NN 1 /| N||N 1 | vil bli erstattet med π-φ.

Perpendikulært plan ligning

Planer kalles perpendikulære hvis vinkelen mellom dem er 90 grader. Ved å bruke materialet som er skissert ovenfor, kan vi finne ligningen til et plan vinkelrett på et annet. La oss si at vi har to plan: Ax+By+Cz+D=0 og A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Vi kan slå fast at de vil være vinkelrette hvis cosφ=0. Dette betyr at NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Parallellplanligning

Parallelle er to plan som ikke inneholder fellespunkter.

Betingelsen (likningene deres er de samme som i forrige avsnitt) er at vektorene N og N¹, som er vinkelrett på dem, er kollineære. Dette betyr at følgende forholdsmessighetsbetingelser er oppfylt:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Hvis proporsjonalitetsbetingelsene utvides - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

dette indikerer at disse flyene faller sammen. Dette betyr at ligningene Ax+By+Cz+D=0 og A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 beskriver ett plan.

Avstand til fly fra punkt

La oss si at vi har et plan P, som er gitt ved ligning (0). Det er nødvendig å finne avstanden til den fra punktet med koordinatene (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. For å gjøre dette, må du bringe ligningen til planet P til normal form:

(ρ,v)=p (p≥0).

I dette tilfellet er ρ(x,y,z) radiusvektoren til punktet vårt Q plassert på P, p er lengden av vinkelrett på P som ble frigjort fra nullpunktet, v er enhetsvektoren som er plassert i a-retningen.

Forskjellen ρ-ρº til radiusvektoren til et punkt Q \u003d (x, y, z) som tilhører P, samt radiusvektoren til et gitt punkt Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) er slik en vektor, den absolutte verdien av projeksjonen på v er lik avstanden d, som må finnes fra Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) til P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, men

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Så det viser seg

d=|(ρ 0,v)-p|.

Dermed vil vi finne den absolutte verdien av det resulterende uttrykket, det vil si ønsket d.

Ved å bruke parameterspråket får vi det åpenbare:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Hvis det gitte punktet Q 0 er på den andre siden av planet P, så vel som origo, så er mellom vektoren ρ-ρ 0 og v derfor:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.

I tilfellet når punktet Q 0, sammen med origo, er plassert på samme side av P, er vinkelen som skapes spiss, det vil si:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Som et resultat viser det seg at i det første tilfellet (ρ 0 ,v)> р, i det andre (ρ 0 ,v)<р.

Tangentplan og dets ligning

Tangentplanet til overflaten ved tangentpunktet Mº er planet som inneholder alle mulige tangenter til kurvene trukket gjennom dette punktet på overflaten.

Med denne formen av overflateligningen F (x, y, z) \u003d 0, vil ligningen til tangentplanet ved tangentpunktet Mº (xº, yº, zº) se slik ut:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Hvis du spesifiserer overflaten i eksplisitt form z=f (x, y), vil tangentplanet bli beskrevet av ligningen:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Skjæringspunktet mellom to plan

I koordinatsystemet (rektangulært) ligger Oxyz, to plan П′ og П″ er gitt, som krysser hverandre og ikke sammenfaller. Siden ethvert plan som ligger i et rektangulært koordinatsystem bestemmes av en generell ligning, vil vi anta at P′ og P″ er gitt av likningene A′x+B′y+C′z+D′=0 og A″x +B″y+ С″z+D″=0. I dette tilfellet har vi den normale n′ (A′, B′, C′) til P′-planet og den normale n″ (A″, B″, C″) til P″-planet. Siden våre fly ikke er parallelle og ikke sammenfaller, er disse vektorene ikke kollineære. Ved å bruke matematikkens språk kan vi skrive denne betingelsen slik: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. La linjen som ligger i skjæringspunktet mellom P′ og P″ betegnes med bokstaven a, i dette tilfellet a = P′ ∩ P″.

a er en rett linje som består av settet av alle punkter i (felles) plan П′ og П″. Dette betyr at koordinatene til ethvert punkt som tilhører linjen a samtidig må tilfredsstille ligningene A′x+B′y+C′z+D′=0 og A″x+B″y+C″z+D″= 0. Dette betyr at koordinatene til punktet vil være en spesiell løsning av følgende ligningssystem:

Som et resultat viser det seg at den (generelle) løsningen av dette ligningssystemet vil bestemme koordinatene til hvert av punktene på den rette linjen, som vil fungere som skjæringspunktet for П′ og П″, og bestemme den rette linje a i koordinatsystemet Oxyz (rektangulær) i rommet.

I denne leksjonen skal vi se på hvordan man bruker determinanten til å komponere planligning. Hvis du ikke vet hva en determinant er, gå til første del av leksjonen - " Matriser og determinanter". Ellers risikerer du ikke å forstå noe i dagens materiale.

Ligning av et plan med tre punkter

Hvorfor trenger vi i det hele tatt flyets ligning? Det er enkelt: Når vi vet det, kan vi enkelt beregne vinkler, avstander og annet dritt i oppgave C2. Generelt er denne ligningen uunnværlig. Derfor formulerer vi problemet:

Oppgave. Det er tre punkter i rommet som ikke ligger på samme rette linje. Deres koordinater:

M = (xl, y1, zl);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

Det er nødvendig å skrive ligningen til planet som går gjennom disse tre punktene. Og ligningen skal se slik ut:

Axe + By + Cz + D = 0

hvor tallene A , B , C og D er koeffisientene som du faktisk ønsker å finne.

Vel, hvordan får man ligningen til flyet, hvis bare koordinatene til punktene er kjent? Den enkleste måten er å erstatte koordinatene i ligningen Ax + By + Cz + D = 0. Du får et system med tre ligninger som er lett å løse.

Mange studenter synes denne løsningen er ekstremt kjedelig og upålitelig. Fjorårets eksamen i matematikk viste at sannsynligheten for å gjøre en regnefeil er virkelig stor.

Derfor begynte de mest avanserte lærerne å se etter enklere og mer elegante løsninger. Og de fant det! Det er sant at teknikken som oppnås er mer sannsynlig å være relatert til høyere matematikk. Personlig måtte jeg rote gjennom hele den føderale listen over lærebøker for å være sikker på at vi har rett til å bruke denne teknikken uten noen begrunnelse og bevis.

Ligning av planet gjennom determinanten

Nok rant, la oss komme i gang. Til å begynne med et teorem om hvordan matrisedeterminanten og likningen til planet henger sammen.

Teorem. La koordinatene til tre punkter som planet må trekkes gjennom gis: M = (x 1 , y 1 , z 1); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Deretter kan ligningen til dette planet skrives i form av determinanten:

For eksempel, la oss prøve å finne et par fly som faktisk oppstår i C2-problemer. Ta en titt på hvor raskt alt teller:

A1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Vi komponerer determinanten og likestiller den til null:

Åpning av determinanten:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Som du kan se, når jeg beregnet tallet d, finjusterte jeg ligningen litt slik at variablene x, y og z var i riktig rekkefølge. Det er alt! Flyets ligning er klar!

Oppgave. Skriv en ligning for et plan som går gjennom punktene:

A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
Di = (0, 1, 1);

Erstatt umiddelbart koordinatene til punktene i determinanten:

Utvider determinanten igjen:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Så, planligningen er oppnådd igjen! Igjen, på det siste trinnet, måtte jeg endre skiltene i den for å få en mer "vakker" formel. Det er ikke nødvendig å gjøre dette i denne løsningen, men det anbefales likevel - for å forenkle den videre løsningen av problemet.

Som du kan se, er det nå mye lettere å skrive likningen til flyet. Vi erstatter punktene i matrisen, beregner determinanten - og det er det, ligningen er klar.

Dette kan være slutten på leksjonen. Imidlertid glemmer mange elever stadig hva som er inne i determinanten. For eksempel hvilken linje inneholder x 2 eller x 3 , og hvilken linje bare x . For til slutt å håndtere dette, la oss spore hvor hvert tall kommer fra.

Hvor kommer formelen med determinanten fra?

Så la oss finne ut hvor en så tøff ligning med en determinant kommer fra. Dette vil hjelpe deg å huske det og bruke det med hell.

Alle plan som oppstår i Oppgave C2 er definert av tre punkter. Disse punktene er alltid markert på tegningen, eller til og med angitt direkte i oppgaveteksten. I alle fall, for å kompilere ligningen, må vi skrive ut koordinatene deres:

M = (xl, y1, zl);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

Tenk på ett punkt til på flyet vårt med vilkårlige koordinater:

T = (x, y, z)

Vi tar et hvilket som helst punkt fra de tre første (for eksempel punkt M ) og tegner vektorer fra det til hvert av de tre gjenværende punktene. Vi får tre vektorer:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1, y - y 1, z - z 1).

La oss nå lage en kvadratisk matrise fra disse vektorene og likestille dens determinant til null. Koordinatene til vektorene vil bli radene i matrisen - og vi får den samme determinanten som er angitt i teoremet:

Denne formelen betyr at volumet til boksen bygget på vektorene MN , MK og MT er lik null. Derfor ligger alle tre vektorene i samme plan. Spesielt er et vilkårlig punkt T = (x, y, z) akkurat det vi lette etter.

Erstatte punkter og rader av determinanten

Determinanter har noen fantastiske egenskaper som gjør det enda enklere å løsning av problem C2. For eksempel spiller det ingen rolle for oss fra hvilket punkt vi skal tegne vektorer. Derfor gir følgende determinanter den samme planligningen som den ovenfor:

Du kan også bytte linjene til determinanten. Ligningen vil forbli uendret. For eksempel liker mange å skrive en linje med koordinatene til punktet T = (x; y; z) helt øverst. Vennligst, hvis det passer for deg:

Det forvirrer noen at en av linjene inneholder variablene x , y og z , som ikke forsvinner når man erstatter punkter. Men de skal ikke forsvinne! Ved å erstatte tallene i determinanten, bør du få følgende konstruksjon:

Deretter utvides determinanten i henhold til skjemaet gitt i begynnelsen av leksjonen, og standardligningen til planet oppnås:

Axe + By + Cz + D = 0

Ta en titt på et eksempel. Han er den siste i dagens leksjon. Jeg vil bevisst bytte linjene for å være sikker på at svaret blir den samme ligningen til flyet.

Oppgave. Skriv en ligning for et plan som går gjennom punktene:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Så vi vurderer 4 punkter:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
Di = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

La oss først lage en standard determinant og likestille den til null:

Åpning av determinanten:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Det er det, vi fikk svaret: x + y + z − 2 = 0 .

La oss nå omorganisere et par linjer i determinanten og se hva som skjer. La oss for eksempel skrive en linje med variablene x, y, z ikke nederst, men øverst:

La oss utvide den resulterende determinanten igjen:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Vi fikk nøyaktig den samme planligningen: x + y + z − 2 = 0. Så det avhenger egentlig ikke av rekkefølgen på radene. Det gjenstår å skrive ned svaret.

Så vi har sett at ligningen til planet ikke avhenger av rekkefølgen av linjer. Vi kan utføre lignende beregninger og bevise at likningen til planet ikke er avhengig av punktet hvis koordinater vi trekker fra de andre punktene.

I oppgaven vurdert ovenfor brukte vi punktet B 1 = (1, 0, 1), men det var fullt mulig å ta C = (1, 1, 0) eller D 1 = (0, 1, 1). Generelt ethvert punkt med kjente koordinater som ligger på ønsket plan.