Konvertere en brøk til en desimal. Desimaler

Hvis vi trenger å dele 497 på 4, vil vi ved deling se at 497 ikke er delelig med 4, dvs. forblir resten av divisjonen. I slike tilfeller sies det at divisjon med resten, og løsningen er skrevet som følger:
497: 4 = 124 (1 rest).

Divisjonskomponentene på venstre side av likheten kalles det samme som i divisjon uten rest: 497 - utbytte, 4 - deler. Resultatet av divisjon når man deler med en rest kalles ufullstendig privat. I vårt tilfelle er dette tallet 124. Og til slutt er den siste komponenten, som ikke er i den vanlige divisjonen, rest. Når det ikke er noen rest, sies ett tall å være delt med et annet. uten spor, eller helt. Det antas at med en slik inndeling er resten null. I vårt tilfelle er resten 1.

Resten er alltid mindre enn divisoren.

Du kan sjekke når du deler ved å multiplisere. Hvis det for eksempel er en likhet 64: 32 = 2, kan kontrollen gjøres slik: 64 = 32 * 2.

Ofte i tilfeller hvor deling med en rest utføres, er det praktisk å bruke likheten
a \u003d b * n + r,
hvor a er utbyttet, b er divisor, n er partiell kvotient, r er resten.

Kvotienten for divisjon av naturlige tall kan skrives som en brøk.

Telleren til en brøk er utbyttet, og nevneren er divisor.

Siden telleren til en brøk er utbyttet og nevneren er divisor, tror at linjen i en brøk betyr delingshandlingen. Noen ganger er det praktisk å skrive divisjon som en brøk uten å bruke ":"-tegnet.

Kvotienten av naturlige tall m og n kan skrives som en brøk \(\frac(m)(n) \), der telleren m er utbyttet og nevneren n er divisor:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Følgende regler er riktige:

For å få en brøk \(\frac(m)(n) \), må du dele enheten i n like deler (andeler) og ta m slike deler.

For å få brøken \(\frac(m)(n) \), må du dele tallet m med tallet n.

For å finne en del av en helhet, må du dele tallet som tilsvarer helheten med nevneren og multiplisere resultatet med telleren til brøken som uttrykker denne delen.

For å finne en helhet med sin del, må du dele tallet som tilsvarer denne delen med telleren og multiplisere resultatet med nevneren til brøken som uttrykker denne delen.

Hvis både telleren og nevneren til en brøk multipliseres med det samme tallet (unntatt null), vil ikke verdien av brøken endres:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Hvis både telleren og nevneren til en brøk er delt med samme tall (unntatt null), vil ikke verdien av brøken endres:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Denne egenskapen kalles grunnleggende egenskap til en brøk.

De to siste transformasjonene kalles brøkreduksjon.

Hvis brøker må representeres som brøker med samme nevner, kalles en slik handling redusere brøker til en fellesnevner.

Riktige og uekte brøker. blandede tall

Du vet allerede at en brøk kan oppnås ved å dele en helhet i like deler og ta flere slike deler. For eksempel betyr brøken \(\frac(3)(4) \) tre fjerdedeler av én. I mange av oppgavene i forrige avsnitt ble brøker brukt for å betegne en del av en helhet. Sunn fornuft tilsier at delen alltid skal være mindre enn helheten, men hva med brøker som \(\frac(5)(5) \) eller \(\frac(8)(5) \)? Det er tydelig at dette ikke lenger er en del av enheten. Dette er sannsynligvis grunnen til at slike brøker, der telleren er større enn eller lik nevneren, kalles uekte brøker. De resterende brøkene, dvs. brøkene der telleren er mindre enn nevneren, kalles riktige brøker.

Som du vet, kan enhver vanlig brøk, både riktig og uekte, betraktes som et resultat av å dele telleren med nevneren. Derfor, i matematikk, i motsetning til i vanlig språk, betyr ikke begrepet "uegentlig brøk" at vi har gjort noe galt, men bare at denne brøken har en teller som er større enn eller lik nevneren.

Hvis et tall består av en heltallsdel og en brøk, så slik fraksjoner kalles blandede.

For eksempel:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 er heltallsdelen og \(\frac(2)(3) \) er brøkdelen.

Hvis telleren til brøken \(\frac(a)(b) \) er delelig med et naturlig tall n, så for å dele denne brøken på n, må telleren divideres med dette tallet:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Hvis telleren til brøken \(\frac(a)(b) \) ikke er delelig med et naturlig tall n, så for å dele denne brøken på n, må du multiplisere nevneren med dette tallet:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Merk at den andre regelen også er gyldig når telleren er delelig med n. Derfor kan vi bruke det når det ved første øyekast er vanskelig å bestemme om telleren til en brøk er delelig med n eller ikke.

Handlinger med brøker. Tilsetning av brøker.

Med brøktall, som med naturlige tall, kan du utføre aritmetiske operasjoner. La oss først se på å legge til brøker. Det er enkelt å legge til brøker med de samme nevnerne. Finn for eksempel summen av \(\frac(2)(7) \) og \(\frac(3)(7) \). Det er lett å forstå at \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

For å legge til brøker med de samme nevnerne, må du legge til deres tellere, og la nevneren være den samme.

Ved å bruke bokstaver kan regelen for å legge til brøker med de samme nevnerne skrives som følger:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Hvis du vil legge til brøker med ulike nevner, må de først reduseres til en fellesnevner. For eksempel:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3) ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

For brøker, så vel som for naturlige tall, er de kommutative og assosiative egenskapene til addisjon gyldige.

Tilsetning av blandede fraksjoner

Opptak som \(2\frac(2)(3) \) kalles blandede fraksjoner. Tallet 2 kalles hele delen blandet brøk, og tallet \(\frac(2)(3) \) er dens brøkdel. Oppføringen \(2\frac(2)(3) \) leses slik: "to og to tredjedeler".

Å dele tallet 8 med tallet 3 gir to svar: \(\frac(8)(3) \) og \(2\frac(2)(3) \). De uttrykker det samme brøktallet, dvs. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

Dermed er uekte brøk \(\frac(8)(3) \) representert som en blandet brøk \(2\frac(2)(3) \). I slike tilfeller sier de det fra en upassende brøkdel trukket ut helheten.

Subtraksjon av brøker (brøktall)

Subtraksjonen av brøktall, så vel som naturlige, bestemmes på grunnlag av addisjonshandlingen: å trekke et annet fra ett tall betyr å finne et tall som, når det legges til det andre, gir det første. For eksempel:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) siden \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9) \)

Regelen for å trekke fra brøker med like nevnere er lik regelen for å legge til slike brøker:
For å finne forskjellen mellom brøker med samme nevner trekker du telleren til den andre fra telleren til den første brøken, og lar nevneren være den samme.

Ved å bruke bokstaver er denne regelen skrevet som følger:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Multiplikasjon av brøker

For å multiplisere en brøk med en brøk, må du multiplisere deres tellere og nevnere og skrive det første produktet som teller og det andre som nevner.

Ved å bruke bokstaver kan regelen for å multiplisere brøker skrives som følger:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Ved å bruke den formulerte regelen er det mulig å multiplisere en brøk med et naturlig tall, med en blandet brøk, og også multiplisere blandede brøker. For å gjøre dette må du skrive et naturlig tall som en brøk med nevneren 1, en blandet brøk som en uekte brøk.

Resultatet av multiplikasjon bør forenkles (hvis mulig) ved å redusere brøken og fremheve heltallsdelen av den uekte brøken.

For brøker, så vel som for naturlige tall, er de kommutative og assosiative egenskapene til multiplikasjon gyldige, så vel som den distributive egenskapen til multiplikasjon med hensyn til addisjon.

Inndeling av brøker

Ta brøken \(\frac(2)(3) \) og "snu" den ved å bytte om på teller og nevner. Vi får brøken \(\frac(3)(2) \). Denne brøken kalles omvendt brøker \(\frac(2)(3) \).

Hvis vi nå «reverserer» brøken \(\frac(3)(2) \), så får vi den opprinnelige brøken \(\frac(2)(3) \). Derfor kalles brøker som \(\frac(2)(3) \) og \(\frac(3)(2) \) gjensidig omvendt.

For eksempel, brøkene \(\frac(6)(5) \) og \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) og \(\frac (18) )(7) \).

Ved å bruke bokstaver kan gjensidig inverse brøker skrives som følger: \(\frac(a)(b) \) og \(\frac(b)(a) \)

Det er klart at produktet av resiproke fraksjoner er 1. For eksempel: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Ved å bruke resiproke brøker kan deling av brøker reduseres til multiplikasjon.

Regelen for å dele en brøk med en brøk:
For å dele en brøk med en annen, må du multiplisere utbyttet med den gjensidige av divisoren.

Ved å bruke bokstaver kan regelen for å dele brøker skrives som følger:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Hvis utbyttet eller divisor er et naturlig tall eller en blandet brøk, må den først representeres som en uekte brøk for å kunne bruke regelen for å dele brøker.

Vi har allerede sagt at brøker er det vanlig og desimal. For øyeblikket har vi studert vanlige brøker litt. Vi lærte at det er vanlige brøker og uekte brøker. Vi lærte også at vanlige brøker kan reduseres, adderes, subtraheres, multipliseres og divideres. Og vi lærte også at det finnes såkalte blandede tall, som består av et heltall og en brøkdel.

Vi har ennå ikke studert helt vanlige brøker. Det er mange finesser og detaljer som bør diskuteres, men i dag vil vi begynne å studere desimal brøker, siden vanlige og desimalbrøker ofte må kombineres. Det vil si at når du løser oppgaver, må du bruke begge typer brøker.

Denne leksjonen kan virke komplisert og uforståelig. Det er ganske normalt. Slike leksjoner krever at de studeres og ikke skumles over.

Uttrykke mengder i brøkform

Noen ganger er det praktisk å vise noe i brøkform. For eksempel er en tiendedel av en desimeter skrevet slik:

Dette uttrykket betyr at en desimeter ble delt inn i ti deler, og en del ble tatt fra disse ti delene:

Som du kan se på figuren, er en tiendedel av en desimeter en centimeter.

Tenk på følgende eksempel. Vis 6 cm og ytterligere 3 mm i centimeter i brøkform.

Så det kreves å uttrykke 6 cm og 3 mm i centimeter, men i brøkform. Vi har allerede 6 hele centimeter:

men det er fortsatt 3 millimeter igjen. Hvordan vise disse 3 millimeterne, mens i centimeter? Brøker kommer til unnsetning. 3 millimeter er en tredjedel av en centimeter. Og den tredje delen av en centimeter skrives som cm

En brøk betyr at en centimeter ble delt i ti like deler, og tre deler ble tatt fra disse ti delene (tre av ti).

Som et resultat har vi seks hele centimeter og tre tideler av en centimeter:

I dette tilfellet viser 6 antall hele centimeter, og brøken viser antall brøkcentimeter. Denne brøken leses som "seks poeng og tre tideler av en centimeter".

Brøker, i nevneren som det er tall 10, 100, 1000, kan skrives uten nevner. Skriv først heltallsdelen, og deretter telleren til brøkdelen. Heltallsdelen er atskilt fra telleren til brøkdelen med et komma.

La oss for eksempel skrive uten en nevner. For å gjøre dette, skriver vi først ned hele delen. Heltallsdelen er tallet 6. Vi skriver ned dette tallet først:

Hele delen er tatt opp. Umiddelbart etter å ha skrevet hele delen, sett et komma:

Og nå skriver vi ned telleren til brøkdelen. I et blandet tall er telleren til brøkdelen tallet 3. Vi skriver de tre etter desimaltegnet:

Ethvert tall som er representert i denne formen kalles desimal.

Derfor kan du vise 6 cm og ytterligere 3 mm i centimeter ved å bruke en desimalbrøk:

6,3 cm

Det vil se slik ut:

Faktisk er desimaler de samme vanlige brøkene og blandede tallene. Det særegne med slike brøker er at nevneren til deres brøkdel inneholder tallene 10, 100, 1000 eller 10000.

Som et blandet tall har en desimal en heltallsdel og en brøkdel. For eksempel, i et blandet tall, er heltallsdelen 6 og brøkdelen er .

I desimalbrøken 6.3 er heltallsdelen tallet 6, og brøkdelen er telleren til brøken, det vil si tallet 3.

Det hender også at vanlige brøker i nevneren som tallene 10, 100, 1000 er gitt uten en heltallsdel. For eksempel er en brøk gitt uten en heltallsdel. For å skrive en slik brøk som en desimal, skriv først ned 0, sett deretter et komma og skriv ned telleren til brøkdelen. En brøk uten nevner vil bli skrevet slik:

Leser som "null komma fem tideler".

Konverter blandede tall til desimaler

Når vi skriver blandede tall uten en nevner, konverterer vi dem til desimaler. Når du konverterer vanlige brøker til desimalbrøker, er det et par ting du trenger å vite, som vi skal snakke om nå.

Etter at heltallsdelen er skrevet, er det viktig å telle antall nuller i nevneren til brøkdelen, siden antallet nuller i brøkdelen og antall sifre etter desimalpunktet i desimalbrøken må være det samme . Hva betyr det? Tenk på følgende eksempel:

Først

Og du kan umiddelbart skrive ned telleren til brøkdelen og desimalbrøken er klar, men du må definitivt telle antall nuller i nevneren til brøkdelen.

Så vi teller antall nuller i brøkdelen av det blandede tallet. Nevneren til brøkdelen har en null. Så i desimalbrøken etter desimaltegnet vil det være ett siffer, og dette tallet vil være telleren for brøkdelen av det blandede tallet, det vil si tallet 2

Dermed blir det blandede tallet, når det oversettes til en desimalbrøk, 3,2.

Denne desimalen leses slik:

"Tre hele to tideler"

"Tiendedeler" fordi brøkdelen av det blandede tallet inneholder tallet 10.

Eksempel 2 Konverter blandet tall til desimal.

Vi skriver ned hele delen og setter et komma:

Og du kan umiddelbart skrive ned telleren til brøkdelen og få desimalbrøken 5.3, men regelen sier at etter desimaltegnet skal det være like mange sifre som det er null i nevneren til brøkdelen av det blandede tallet. Og vi ser at det er to nuller i nevneren til brøkdelen. Så i vår desimalbrøk etter desimaltegnet skal det være to sifre, ikke ett.

I slike tilfeller må telleren til brøkdelen endres litt: legg til en null før telleren, det vil si før tallet 3

Nå kan du konvertere dette blandede tallet til en desimal. Vi skriver ned hele delen og setter et komma:

Og skriv telleren til brøkdelen:

Desimalbrøken 5.03 lyder slik:

"Fem komma tre hundredeler"

"Hundredeler" fordi nevneren til brøkdelen av det blandede tallet er tallet 100.

Eksempel 3 Konverter blandet tall til desimal.

Fra de forrige eksemplene lærte vi at for å kunne konvertere et blandet tall til en desimal, må antallet sifre i telleren til brøkdelen og antallet nuller i nevneren til brøkdelen være det samme.

Før du konverterer et blandet tall til en desimalbrøk, må dets brøkdel modifiseres litt, nemlig for å sikre at antall sifre i telleren til brøkdelen og antallet nuller i nevneren til brøkdelen er samme.

Først av alt ser vi på antall nuller i nevneren til brøkdelen. Vi ser at det er tre nuller:

Vår oppgave er å organisere tre sifre i telleren til brøkdelen. Vi har allerede ett siffer - dette er tallet 2. Det gjenstår å legge til ytterligere to sifre. De blir to nuller. Legg dem til før tallet 2. Som et resultat vil antallet nuller i nevneren og antall sifre i telleren bli det samme:

Nå kan vi gjøre dette blandede tallet om til en desimal. Vi skriver ned hele delen først og setter et komma:

og skriv umiddelbart ned telleren til brøkdelen

3,002

Vi ser at antall sifre etter desimaltegnet og antall nuller i nevneren til brøkdelen av det blandede tallet er det samme.

Desimalen 3.002 lyder slik:

"Tre hele, to tusendeler"

"Tusendeler" fordi nevneren til brøkdelen av det blandede tallet er tallet 1000.

Konvertering av vanlige brøker til desimaler

Vanlige brøker, der nevneren er 10, 100, 1000 eller 10000, kan også konverteres til desimalbrøker. Siden en vanlig brøk ikke har en heltallsdel, skriv først ned 0, sett deretter et komma og skriv ned telleren til brøkdelen.

Også her skal antall nuller i nevneren og antall sifre i telleren være like. Derfor bør du være forsiktig.

Eksempel 1

Heltallsdelen mangler, så først skriver vi 0 og setter komma:

Se nå på antall nuller i nevneren. Vi ser at det er en null. Og telleren har ett siffer. Så du kan trygt fortsette desimalbrøken ved å skrive tallet 5 etter desimaltegnet

I den resulterende desimalbrøken 0,5 er antall sifre etter desimaltegnet og antall nuller i nevneren til brøken det samme. Så brøken er riktig.

Desimalbrøken 0,5 lyder slik:

"Nullpunkt, fem tideler"

Eksempel 2 Konverter vanlig brøk til desimal.

Hele delen mangler. Vi skriver 0 først og setter komma:

Se nå på antall nuller i nevneren. Vi ser at det er to nuller. Og telleren har bare ett siffer. For å gjøre antall sifre og antall nuller like, legg til en null i telleren før tallet 2. Deretter vil brøken ta formen . Nå er antallet nuller i nevneren og antall sifre i telleren det samme. Så du kan fortsette med desimalen:

I den resulterende desimalbrøken 0,02 er antall sifre etter desimaltegnet og antall nuller i nevneren til brøken det samme. Så brøken er riktig.

Desimalbrøken 0,02 lyder slik:

"Null poeng, to hundredeler."

Eksempel 3 Konverter vanlig brøk til desimal.

Vi skriver 0 og setter komma:

Nå teller vi antall nuller i nevneren til brøken. Vi ser at det er fem nuller, og det er bare ett siffer i telleren. For å gjøre antallet nuller i nevneren og antall sifre i telleren like, må du legge til fire nuller i telleren før tallet 5:

Nå er antallet nuller i nevneren og antall sifre i telleren det samme. Så du kan fortsette med desimalen. Vi skriver ned telleren til brøken etter desimaltegnet

I den resulterende desimalbrøken 0,00005 er antall sifre etter desimaltegnet og antall nuller i nevneren til brøken det samme. Så brøken er riktig.

Desimalbrøken 0,00005 lyder slik:

"Nullpunkt, fem hundre tusendeler."

Konverter uekte brøker til desimaler

En uekte brøk er en brøk hvis teller er større enn nevneren. Det er uekte brøker som har tallene 10, 100, 1000 eller 10000 i nevneren. Slike brøker kan konverteres til desimalbrøker. Men før du konverterer til en desimalbrøk, må slike brøker ha en heltallsdel.

Eksempel 1

Brøken er en uekte brøk. For å konvertere en slik brøk til en desimalbrøk, må du først velge heltallsdelen. Vi husker hvordan du velger hele delen av uekte brøker. Hvis du har glemt det, anbefaler vi deg å gå tilbake til og studere det.

Så la oss velge heltallsdelen i den uekte brøken. Husk at en brøk betyr divisjon - i dette tilfellet å dele tallet 112 med tallet 10

La oss se på dette bildet og sette sammen et nytt blandet nummer, som et byggesett for barn. Tallet 11 vil være heltallsdelen, tallet 2 vil være telleren til brøkdelen, tallet 10 vil være nevneren til brøkdelen.

Vi fikk et blandet tall. La oss konvertere det til en desimal. Og vi vet allerede hvordan vi oversetter slike tall til desimalbrøker. Først skriver vi ned hele delen og setter et komma:

Nå teller vi antall nuller i nevneren til brøkdelen. Vi ser at det er en null. Og telleren til brøkdelen har ett siffer. Dette betyr at antallet nuller i nevneren til brøkdelen og antall sifre i telleren til brøkdelen er det samme. Dette gir oss muligheten til umiddelbart å skrive telleren til brøkdelen etter desimaltegn:

I den resulterende desimalbrøken 11.2 er antall sifre etter desimaltegnet og antall nuller i nevneren til brøken det samme. Så brøken er riktig.

Dette betyr at en uekte brøk, når den konverteres til en desimalbrøk, blir til 11,2

Desimal 11.2 lyder slik:

"Elleve hele, to tideler."

Eksempel 2 Konverter uekte brøk til desimal.

Dette er en uekte brøk fordi telleren er større enn nevneren. Men det kan konverteres til en desimalbrøk, siden nevneren er tallet 100.

Først av alt velger vi heltallsdelen av denne brøken. For å gjøre dette, del 450 på 100 med et hjørne:

La oss samle et nytt blandet nummer - vi får . Og vi vet allerede hvordan man oversetter blandede tall til desimalbrøker.

Vi skriver ned hele delen og setter et komma:

Nå teller vi antall nuller i nevneren til brøkdelen og antall siffer i telleren til brøkdelen. Vi ser at antall nuller i nevneren og antall sifre i telleren er like. Dette gir oss muligheten til umiddelbart å skrive telleren til brøkdelen etter desimaltegn:

I den resulterende desimalbrøken 4,50 er antall sifre etter desimaltegnet og antall nuller i nevneren til brøken det samme. Så brøken er oversatt riktig.

Så den uekte brøken, når den oversettes til en desimalbrøk, blir til 4,50

Når du løser problemer, hvis det er nuller på slutten av desimalbrøken, kan de forkastes. La oss slippe nullen i svaret vårt. Da får vi 4,5

Dette er en av de interessante egenskapene til desimaler. Det ligger i at nullene som står på slutten av brøken ikke gir denne brøken noen vekt. Med andre ord er desimalene 4,50 og 4,5 like. La oss sette et likhetstegn mellom dem:

4,50 = 4,5

Spørsmålet oppstår: hvorfor skjer dette? Tross alt ser 4,50 og 4,5 ut som forskjellige brøker. Hele hemmeligheten ligger i den grunnleggende egenskapen til brøken, som vi studerte tidligere. Vi vil prøve å bevise hvorfor desimalbrøkene 4,50 og 4,5 er like, men etter å ha studert neste emne, som kalles "konvertere en desimalbrøk til et blandet tall."

Desimal til blandet tallkonvertering

Enhver desimalbrøk kan konverteres tilbake til et blandet tall. For å gjøre dette er det nok å kunne lese desimalbrøker. La oss for eksempel konvertere 6.3 til et blandet tall. 6,3 er seks hele poeng og tre tideler. Vi skriver ned seks heltall først:

og neste tre tideler:

Eksempel 2 Konverter desimal 3.002 til blandet tall

3.002 er tre heltall og to tusendeler. Skriv ned tre heltall først.

og deretter skriver vi to tusendeler:

Eksempel 3 Konverter desimal 4,50 til blandet tall

4,50 er fire poeng og femti hundredeler. Skriv ned fire heltall

og neste femti hundredeler:

La oss forresten huske det siste eksemplet fra forrige emne. Vi sa at desimalene 4,50 og 4,5 er like. Vi sa også at null kan forkastes. La oss prøve å bevise at desimal 4,50 og 4,5 er like. For å gjøre dette konverterer vi begge desimalbrøkene til blandede tall.

Etter å ha konvertert til et blandet tall, blir desimalen 4,50 , og desimalen 4,5 blir

Vi har to blandede tall og . Konverter disse blandede tallene til uekte brøker:

Nå har vi to brøker og . Det er på tide å huske den grunnleggende egenskapen til en brøk, som sier at når du multipliserer (eller dividerer) telleren og nevneren til en brøk med samme tall, endres ikke verdien av brøken.

La oss dele den første brøken på 10

Mottatt, og dette er den andre brøken. Så og er lik hverandre og lik samme verdi:

Prøv å dele 450 med 100 først på en kalkulator, og deretter 45 med 10. En morsom ting ordner seg.

Konverter desimal til vanlig brøk

Enhver desimalbrøk kan konverteres tilbake til en vanlig brøk. For å gjøre dette, igjen, er det nok å kunne lese desimalbrøker. La oss for eksempel konvertere 0,3 til en vanlig brøk. 0,3 er null og tre tideler. Vi skriver null heltall først:

og ved siden av tre tideler 0 . Null skrives tradisjonelt ikke ned, så det endelige svaret blir ikke 0, men rett og slett.

Eksempel 2 Konverter desimal 0,02 til vanlig brøk.

0,02 er null og to hundredeler. Vi skriver ikke ned null, så vi skriver umiddelbart ned to hundredeler

Eksempel 3 Konverter 0,00005 til brøk

0,00005 er null og fem hundre tusendeler. Null skrives ikke ned, så vi skriver umiddelbart ned fem hundre tusendeler

Likte du leksjonen?
Bli med i vår nye Vkontakte-gruppe og begynn å motta varsler om nye leksjoner

En brøk kan konverteres til et heltall eller en desimal. En uekte brøk, hvis teller er større enn nevneren og er delelig med den uten en rest, konverteres til et heltall, for eksempel: 20/5. Del 20 med 5 og få tallet 4. Hvis brøken er riktig, det vil si at telleren er mindre enn nevneren, så konverter den til et tall (desimalbrøk). Du kan lære mer om brøker fra vår seksjon -.

Måter å konvertere en brøk til et tall

• Den første måten å konvertere en brøk til et tall er egnet for en brøk som kan konverteres til et tall som er en desimalbrøk. La oss først finne ut om det er mulig å konvertere en gitt brøk til en desimalbrøk. For å gjøre dette, vær oppmerksom på nevneren (tallet som er under linjen eller til høyre for skrå). Hvis nevneren kan dekomponeres til faktorer (i vårt eksempel - 2 og 5), som kan gjentas, så kan denne brøken virkelig konverteres til en endelig desimalbrøk. For eksempel: 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). Denne vanlige brøken vil bli konvertert til et tall (desimalbrøk) med et endelig antall desimaler. Men brøken 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) vil bli oversatt til et tall med et uendelig antall desimaler. Det vil si at når man nøyaktig beregner en numerisk verdi, er det ganske vanskelig å bestemme det endelige tegnet etter desimaltegnet, siden det er et uendelig antall slike tegn. Derfor, for å løse problemer, må du vanligvis avrunde verdien til hundredeler eller tusendeler. Videre er det nødvendig å multiplisere både telleren og nevneren med et slikt tall at nevneren vil ha tallene 10, 100, 1000 osv. For eksempel: 11/40 = (11∙25)/(40∙25) =275/1000 = 0,275
• Den andre måten å konvertere en brøk til et tall er enklere: du må dele telleren på nevneren. For å bruke denne metoden utfører vi ganske enkelt divisjonen, og det resulterende tallet vil være ønsket desimalbrøk. For eksempel må du konvertere brøken 2/15 til et tall. Vi deler 2 på 15. Vi får 0, 1333 ... - en uendelig brøk. Vi skriver det ned slik: 0,13(3). Hvis brøken er feil, det vil si at telleren er større enn nevneren (for eksempel 345/100), vil du som et resultat av å konvertere den til et tall få en heltallsverdi eller en desimalbrøk med en heltallsbrøk del. I vårt eksempel vil dette være 3,45. For å konvertere en blandet brøk som 3 2 / 7 til et tall, må du først konvertere den til en uekte brøk: (3∙7+2)/7 =23/7. Deretter deler vi 23 på 7 og får tallet 3,2857143, som vi reduserer til 3,29.

Den enkleste måten å konvertere en brøk til et tall er å bruke en kalkulator eller annen dataenhet. Vi angir først telleren til brøken, trykk deretter på knappen med "divide"-ikonet og skriv inn nevneren. Etter å ha trykket på "="-tasten får vi ønsket nummer.

Her ser det ut til at oversettelsen av en desimalbrøk til en vanlig er et elementært emne, men mange elever forstår det ikke! Derfor vil vi i dag se nærmere på flere algoritmer samtidig, ved hjelp av hvilke du vil håndtere eventuelle brøker på bare et sekund.

La meg minne deg på at det er minst to former for å skrive samme brøk: vanlig og desimal. Desimalbrøker er alle slags konstruksjoner som 0,75; 1,33; og til og med -7,41. Og her er eksempler på vanlige brøker som uttrykker de samme tallene:

La oss nå finne ut av det: hvordan bytte fra desimal til normal? Og viktigst av alt: hvordan gjøre det så raskt som mulig?

Grunnleggende algoritme

Faktisk er det minst to algoritmer. Og vi skal nå se på begge deler. La oss starte med det første - det enkleste og mest forståelige.

For å konvertere en desimal til en vanlig brøk, må du følge tre trinn:

En viktig merknad om negative tall. Hvis det i det opprinnelige eksemplet er et minustegn før desimalbrøken, så skal det ved utgangen også være et minustegn før den ordinære brøken. Her er noen flere eksempler:

Jeg vil spesielt være oppmerksom på det siste eksemplet. Som du kan se, i brøken 0,0025 er det mange nuller etter desimaltegnet. På grunn av dette må du gange telleren og nevneren med 10 så mye som fire ganger Er det mulig å forenkle algoritmen på en eller annen måte i dette tilfellet?

Selvfølgelig kan du. Og nå vil vi vurdere en alternativ algoritme - den er litt vanskeligere å forstå, men etter litt øvelse fungerer den mye raskere enn standarden.

Raskere måte

Denne algoritmen har også 3 trinn. For å få en vanlig brøk fra en desimal, må du gjøre følgende:

1. Regn ut hvor mange sifre som er etter desimaltegnet. For eksempel har brøken 1,75 to slike sifre, og 0,0025 har fire. La oss betegne denne mengden med bokstaven $n$.
2. Omskriv det opprinnelige tallet som en brøkdel av formen $\frac(a)(((10)^(n)))$, der $a$ er alle sifrene i den opprinnelige brøken (uten "startende" nuller til venstre , hvis noen), og $n$ er det samme antall sifre etter desimaltegnet som vi telte i det første trinnet. Med andre ord er det nødvendig å dele sifrene i den opprinnelige brøken med én med $n$ null.
3. Hvis mulig, reduser den resulterende fraksjonen.

Det er alt! Ved første øyekast er denne ordningen mer komplisert enn den forrige. Men faktisk er det både enklere og raskere. Døm selv:

Som du kan se, i brøken 0,64 er det to sifre etter desimaltegnet - 6 og 4. Derfor er $n=2$. Hvis vi fjerner kommaet og nullene til venstre (i dette tilfellet bare en null), får vi tallet 64. Gå til det andre trinnet: $((10)^(n))=((10)^( 2))=100$, så nevneren er nøyaktig hundre. Vel, da gjenstår det bare å redusere telleren og nevneren. :)

Et eksempel til:

Her er alt litt mer komplisert. For det første er det allerede 3 sifre etter desimaltegnet, dvs. $n=3$, så du må dele på $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. For det andre, hvis vi fjerner kommaet fra desimalnotasjonen, så får vi dette: 0,004 → 0004. Husk at nullene til venstre må fjernes, så faktisk har vi tallet 4. Da er alt enkelt: dividere, reduser og få svaret.

Til slutt, det siste eksemplet:

Det særegne ved denne brøkdelen er tilstedeværelsen av en heltallsdel. Derfor får vi ved utgangen en uekte brøk 47/25. Du kan selvfølgelig prøve å dele 47 med 25 med en rest og dermed igjen isolere hele delen. Men hvorfor komplisere livet ditt hvis det kan gjøres selv på transformasjonsstadiet? Vel, la oss finne ut av det.

Hva skal man gjøre med hele delen

Faktisk er alt veldig enkelt: hvis vi vil få den riktige brøken, må vi fjerne heltallsdelen fra den for transformasjonstidspunktet, og deretter, når vi får resultatet, legg den til igjen til høyre foran av brøkstreken.

Tenk for eksempel på det samme tallet: 1,88. La oss score med én (hele delen) og se på brøken 0,88. Det konverteres enkelt:

Så husker vi den "tapte" enheten og legger den til foran:

\[\frac(22)(25)\til 1\frac(22)(25)\]

Det er alt! Svaret viste seg å være det samme som etter utvalget av hele delen forrige gang. Et par flere eksempler:

\[\begin(align)& 2,15\to 0,15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13,8\til 0,8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\til 13\frac(4)(5). \\\end(align)\]

Dette er skjønnheten med matematikk: uansett hvilken vei du går, hvis alle beregningene er gjort riktig, vil svaret alltid være det samme. :)

Avslutningsvis vil jeg vurdere en annen teknikk som hjelper mange.

Transformasjoner etter øret

La oss tenke på hva en desimal er. Mer presist, hvordan vi leser det. For eksempel tallet 0,64 - vi leser det som "null heltall, 64 hundredeler", ikke sant? Vel, eller bare «64 hundredeler». Stikkordet her er «hundredeler», dvs. nummer 100.

Hva med 0,004? Dette er "nullpunkt, 4 tusendeler" eller ganske enkelt "fire tusendeler". På en eller annen måte er stikkordet «tusendeler», dvs. 1000.

Vel, hva er galt med det? Og det faktum at det er disse tallene som til slutt "dukker opp" i nevnerne på andre trinn av algoritmen. De. 0,004 er "fire tusendeler" eller "4 delt på 1000":

Prøv å trene deg selv – det er veldig enkelt. Det viktigste er å lese den opprinnelige brøken riktig. For eksempel er 2,5 "2 heltall, 5 tideler", så

Og noen 1.125 er "1 hel, 125 tusendeler", altså

I det siste eksemplet vil selvfølgelig noen innvende at det ikke er åpenbart for alle elever at 1000 er delelig med 125. Men her må du huske at 1000 \u003d 10 3, og 10 \u003d 2 ∙ 5, derfor

\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(align)\]

Dermed dekomponeres enhver potens av ti bare i faktorene 2 og 5 - det er disse faktorene som må søkes i telleren, slik at alt til slutt reduseres.

Denne leksjonen er over. La oss gå videre til en mer kompleks invers operasjon - se "

Alle brøker er delt inn i to typer: vanlig og desimal. Brøker av denne typen kalles ordinære: 9 / 8,3 / 4,1 / 2,1 3/4. De skiller det øvre tallet (teller) og det nedre tallet (nevneren). Når telleren er mindre enn nevneren, kalles brøken egen, ellers er brøken uekte. Brøker som 1 7/8 består av en heltallsdel (1) og en brøkdel (7/8) og kalles blandet.

Så brøkene er:

1. Vanlig
   1. Riktig
   2. Feil
   3. blandet
2. Desimal

Hvordan konvertere en vanlig brøk til en desimal

Hvordan konvertere en vanlig brøk til en desimal, underviser i et grunnleggende skolematematikkkurs. Alt er ekstremt enkelt: du må dele telleren med nevneren "manuelt" eller, hvis du er helt lat, så på en mikrokalkulator. Her er et eksempel: 2/5=0,4; 3/4=0,75; 1/2=0,5. Det er ikke mye vanskeligere å konvertere til en uekte desimalbrøk. Eksempel: 1 3/4= 7/4= 1,75. Det siste resultatet kan oppnås uten divisjon, hvis vi tar i betraktning at 3/4 = 0,75 og legger til en: 1 + 0,75 = 1,75.

Imidlertid er ikke alle vanlige brøker så enkle. La oss for eksempel prøve å konvertere 1/3 fra vanlige brøker til desimaler. Selv de som hadde en trippel i matematikk (etter et fempunktssystem) vil merke at uansett hvor lenge delingen fortsetter, vil det etter null og et komma være et uendelig antall trippel 1/3 = 0,3333 .... . Det er vanlig å lese som følger: null heltall, tre i en periode. Det skrives deretter som følger: 1/3=0,(3). En lignende situasjon vil oppstå hvis du prøver å konvertere 5/6 til en desimalbrøk: 5/6=0,8(3). Slike brøker kalles uendelig periodisk. Her er et eksempel for brøken 3/7: 3/7= 0,42857142857142857142857142857143..., dvs. 3/7=0,(428571).

Så, som et resultat av transformasjonen av en vanlig brøk til en desimal, kan man få:

1. ikke-periodisk desimal;
2. periodisk desimal.

Det skal bemerkes at det også er uendelige ikke-periodiske brøker, som oppnås ved å utføre slike handlinger: ta roten av n-te grad, ta logaritmer, potensere. For eksempel, √3= 1,732050807568877…. Det berømte nummeret π≈ 3.1415926535897932384626433832795…. .

La oss multiplisere 3 med 0,(3): 3×0,(3)=0,(9)=1. Det viser seg at 0,(9) er en annen form for skriveenhet. På samme måte, 9=9/9.16=16.0, osv.

Spørsmålet motsatt av det som er gitt i tittelen på denne artikkelen er også legitimt: "hvordan konvertere en desimalbrøk til en vanlig". Svaret på dette spørsmålet gir et eksempel: 0,5= 5/10=1/2. I det siste eksemplet reduserte vi telleren og nevneren for brøken 5/10 med 5. Det vil si at for å gjøre en desimalbrøk til en vanlig, må du representere den som en brøk med nevneren 10.

Det vil være interessant å se en video om hva brøker er generelt:

For å lære hvordan du konverterer en desimal til en vanlig brøk, se her: