විචල්‍ය 2ක් සහිත රේඛීය සමීකරණයක් යනු කුමක්ද? මාතෘකාව පිළිබඳ පාඩම් සාරාංශය "විචල්‍ය දෙකක රේඛීය සමීකරණ"

සමීකරණ විසඳීමට ඉගෙනීම සිසුන්ට වීජ ගණිතය ඉදිරිපත් කරන ප්‍රධාන කාර්යයකි. සරලම දේවලින් පටන්ගෙන, එය නොදන්නා එකකින් සමන්විත වන විට, සහ වඩ වඩාත් සංකීර්ණ ඒවා වෙත ගමන් කරයි. පළමු කණ්ඩායමෙන් සමීකරණ සමඟ කළ යුතු ක්‍රියා ඔබ ප්‍රගුණ කර නොමැති නම්, අනෙක් ඒවා තේරුම් ගැනීමට අපහසු වනු ඇත.

සංවාදය දිගටම කරගෙන යාමට, ඔබ අංකනයට එකඟ විය යුතුය.

නොදන්නා එකක් සහිත රේඛීය සමීකරණයක සාමාන්‍ය ස්වරූපය සහ එහි විසඳුමේ මූලධර්මය

මේ ආකාරයට ලිවිය හැකි ඕනෑම සමීකරණයක්:

a * x = b,

කියලා රේඛීය. මෙය සාමාන්‍ය සූත්‍රයයි. නමුත් බොහෝ විට පැවරුම් වලදී රේඛීය සමීකරණ ව්‍යංග ආකාරයෙන් ලියා ඇත. එවිට සාමාන්යයෙන් පිළිගත් අංකනය ලබා ගැනීම සඳහා සමාන පරිවර්තනයන් සිදු කිරීම අවශ්ය වේ. මෙම ක්රියාවන් ඇතුළත් වේ:

• විවෘත වරහන්;
• විචල්‍ය අගයක් සහිත සියලුම නියමයන් සමානාත්මතාවයේ වම් පැත්තට සහ ඉතිරිය දකුණට ගෙන යාම;
• සමාන නියමයන් අඩු කිරීම.

නොදන්නා ප්‍රමාණයක් භාගයක හරයේ ඇති අවස්ථාවක, ප්‍රකාශනය අර්ථවත් නොවන එහි අගයන් ඔබ තීරණය කළ යුතුය. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, සමීකරණයේ අර්ථ දැක්වීමේ වසම ඔබ දැනගත යුතුය.

සියලුම රේඛීය සමීකරණ විසඳන මූලධර්මය සමීකරණයේ දකුණු පැත්තේ අගය විචල්‍යයට ඉදිරියෙන් ඇති සංගුණකයෙන් බෙදීම දක්වා පැමිණේ. එනම්, "x" b/a ට සමාන වේ.

රේඛීය සමීකරණවල විශේෂ අවස්ථා සහ ඒවායේ විසඳුම්

තර්කනය අතරතුර, රේඛීය සමීකරණ විශේෂ ආකාරවලින් එකක් ගන්නා විට අවස්ථා ඇති විය හැක. ඒ සෑම එකක්ම නිශ්චිත විසඳුමක් ඇත.

පළමු අවස්ථාවේ දී:

a * x = 0, සහ a ≠ 0.

එවැනි සමීකරණයකට විසඳුම සෑම විටම x = 0 වේ.

දෙවන අවස්ථාවේදී, "a" අගය බිංදුවට සමාන වේ:

0 * x = 0.

එවැනි සමීකරණයකට පිළිතුර ඕනෑම අංකයක් වනු ඇත. එනම්, එයට අනන්ත මූලයන් ඇත.

තුන්වන තත්වය මේ වගේ ය:

0 * x = in, කොහෙද ≠ 0.

මෙම සමීකරණය තේරුමක් නැත. එය සෑහීමකට පත්වන මූලයන් නොමැති බැවිනි.

විචල්‍ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණයක සාමාන්‍ය දර්ශනය

එහි නමෙන් පැහැදිලි වන්නේ එහි දැනටමත් නොදන්නා ප්‍රමාණ දෙකක් ඇති බවයි. විචල්‍ය දෙකක රේඛීය සමීකරණමේ වගේ බලන්න:

a * x + b * y = c.

වාර්තාවේ නොදන්නා කරුණු දෙකක් ඇති බැවින්, පිළිතුර අංක යුගලයක් ලෙස පෙනෙනු ඇත. එනම්, එක් අගයක් පමණක් සඳහන් කිරීම ප්රමාණවත් නොවේ. මෙය අසම්පූර්ණ පිළිතුරක් වනු ඇත. සමීකරණය අනන්‍යතාවයක් බවට පත්වන ප්‍රමාණ යුගලයක් සමීකරණයට විසඳුමකි. එපමණක්ද නොව, පිළිතුරෙහි, හෝඩියේ පළමුවෙන් එන විචල්යය සෑම විටම මුලින්ම ලියා ඇත. සමහර විට ඔවුන් පවසන්නේ මෙම සංඛ්යා ඔහුව තෘප්තිමත් කරන බවයි. එපමණක්ද නොව, එවැනි යුගල අනන්ත ගණනක් තිබිය හැක.

නොදන්නා දෙකක් සමඟ රේඛීය සමීකරණයක් විසඳන්නේ කෙසේද?

මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ නිවැරදි බවට හැරෙන ඕනෑම අංක යුගලයක් තෝරාගත යුතුය. සරල බව සඳහා, ඔබට කිසියම් ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවකට සමාන නොදන්නා එකක් ගත හැක, ඉන්පසු දෙවැන්න සොයා ගන්න.

විසඳන විට, ඔබ බොහෝ විට සමීකරණය සරල කිරීම සඳහා පියවරයන් සිදු කළ යුතුය. ඒවා අනන්‍යතා පරිවර්තන ලෙස හැඳින්වේ. එපමණක් නොව, සමීකරණ සඳහා පහත ගුණාංග සැමවිටම සත්‍ය වේ:

• සෑම පදයක්ම එහි ලකුණ ප්‍රතිවිරුද්ධ එක සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් සමානාත්මතාවයේ ප්‍රතිවිරුද්ධ කොටස වෙත ගෙන යා හැකිය;
• ඕනෑම සමීකරණයක වම් සහ දකුණු පැති ශුන්‍යයට සමාන නොවන තාක් දුරට එම සංඛ්‍යාවෙන් බෙදීමට ඉඩ දෙනු ලැබේ.

රේඛීය සමීකරණ සහිත කාර්යයන් සඳහා උදාහරණ

පළමු කාර්යය.රේඛීය සමීකරණ විසඳන්න: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

මෙම ලැයිස්තුවේ මුලින්ම එන සමීකරණයේ, 20 න් 4 න් බෙදන්න. ප්රතිඵලය 5 වනු ඇත. මෙය පිළිතුර: x = 5.

තුන්වන සමීකරණයට අනන්‍යතා පරිවර්තනයක් සිදු කිරීම අවශ්‍ය වේ. එය වරහන් විවෘත කිරීම සහ සමාන නියමයන් ගෙන ඒමෙන් සමන්විත වනු ඇත. පළමු පියවරෙන් පසු, සමීකරණය පෝරමය ගනී: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. එවිට ඔබට සියලු නොදන්නා දේ සමීකරණයේ වම් පැත්තටත්, ඉතිරිය දකුණටත් ගෙන යා යුතුය. සමීකරණය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. සමාන පද එකතු කිරීමෙන් පසු: 14x = 16. දැන් එය පළමු එකට සමාන වන අතර එහි විසඳුම සොයා ගැනීම පහසුය. පිළිතුර x=8/7 වනු ඇත. නමුත් ගණිතයේ දී ඔබ සම්පූර්ණ කොටස නුසුදුසු කොටසකින් හුදකලා කළ යුතුය. එවිට ප්රතිඵලය පරිවර්තනය වනු ඇත, සහ "x" එක සම්පූර්ණ සහ හත්වන එක සමාන වනු ඇත.

ඉතිරි උදාහරණ වල, විචල්යයන් හරයේ ඇත. මෙයින් අදහස් කරන්නේ සමීකරණ නිර්වචනය කර ඇති අගයන් මොනවාදැයි ඔබ මුලින්ම සොයා බැලිය යුතු බවයි. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, හරයන් ශුන්‍යයට යන සංඛ්‍යා බැහැර කළ යුතුය. පළමු උදාහරණයේ එය "-4" වේ, දෙවන එය "-3" වේ. එනම්, මෙම අගයන් පිළිතුරෙන් බැහැර කළ යුතුය. මෙයින් පසු, ඔබ හරයේ ප්‍රකාශන මගින් සමානාත්මතාවයේ දෙපැත්තම ගුණ කළ යුතුය.

වරහන් විවෘත කිරීම සහ සමාන පද ගෙන ඒම, මෙම සමීකරණවල පළමු සමීකරණයේදී අපට ලැබෙන්නේ: 5x + 15 = 4x + 16, සහ දෙවන 5x + 15 = 4x + 12. පරිවර්තනයෙන් පසු, පළමු සමීකරණයට විසඳුම x = වනු ඇත. -1. දෙවැන්න “-3” ට සමාන වේ, එයින් අදහස් කරන්නේ දෙවැන්නට විසඳුම් නොමැති බවයි.

දෙවන කාර්යය.සමීකරණය විසඳන්න: -7x + 2y = 5.

පළමු නොදන්නා x = 1, එවිට සමීකරණය -7 * 1 + 2y = 5 පෝරමය ගනී යැයි සිතමු. "-7" සාධකය සමානාත්මතාවයේ දකුණු පැත්තට ගෙන ගොස් එහි ලකුණ ප්ලස් ලෙස වෙනස් කිරීමෙන් එය සිදු වේ. 2y = 12. මෙයින් අදහස් වන්නේ y =6 යන්නයි. පිළිතුර: x = 1, y = 6 සමීකරණයට විසඳුම් වලින් එකක්.

එක් විචල්‍යයක් සමඟ අසමානතාවයේ සාමාන්‍ය ස්වරූපය

අසමානතා සඳහා විය හැකි සියලු තත්වයන් මෙහි ඉදිරිපත් කෙරේ:

• a * x > b;
• a * x< в;
• a * x ≥b;
• a * x ≤в.

පොදුවේ ගත් කල, එය සරල රේඛීය සමීකරණයක් ලෙස පෙනේ, සමාන ලකුණ පමණක් අසමානතාවයකින් ප්‍රතිස්ථාපනය වේ.

අසමානතාවයේ අනන්යතා පරිවර්තනයන් සඳහා නීති

රේඛීය සමීකරණ මෙන්, අසමානතාවයන් ඇතැම් නීතිවලට අනුව වෙනස් කළ හැකිය. ඒවා පහත දක්වා උනු:

1. අසමානතාවයේ වම් සහ දකුණු පැතිවලට ඕනෑම අකාරාදී හෝ සංඛ්‍යාත්මක ප්‍රකාශනයක් එකතු කළ හැකි අතර අසමානතාවයේ සලකුණ එලෙසම පවතී;
2. ඔබට එම ධන අංකයෙන් ගුණ කිරීමට හෝ බෙදීමටද හැකිය, මෙය නැවත ලකුණ වෙනස් නොකරයි;
3. එකම සෘණ සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ කිරීමේදී හෝ බෙදීමේදී, අසමානතා ලකුණ ප්‍රතිලෝම වුවහොත් සමානාත්මතාවය සත්‍යව පවතිනු ඇත.

ද්විත්ව අසමානතා පිළිබඳ පොදු දැක්ම

ගැටළු වලදී පහත අසමානතා ඉදිරිපත් කළ හැකිය:

• වී< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• වී< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

එය දෙපස අසමානතා සංඥා මගින් සීමා වී ඇති නිසා එය ද්විත්ව ලෙස හැඳින්වේ. එය සාමාන්‍ය අසමානතා මෙන් එකම නීති රීති භාවිතයෙන් විසඳනු ලැබේ. පිළිතුර සොයා ගැනීම සමාන පරිවර්තන මාලාවකට පැමිණේ. සරලම දේ ලැබෙන තුරු.

ද්විත්ව අසමානතා විසඳීමේ විශේෂාංග

ඔවුන්ගෙන් පළමුවැන්න ඛණ්ඩාංක අක්ෂය මත එහි රූපයයි. සරල අසමානතා සඳහා මෙම ක්රමය භාවිතා කිරීම අවශ්ය නොවේ. නමුත් දුෂ්කර අවස්ථාවලදී එය සරලව අවශ්ය විය හැකිය.

අසමානතාවයක් නිරූපණය කිරීම සඳහා, ඔබ තර්ක කිරීමේදී ලබාගත් සියලු කරුණු අක්ෂයේ සලකුණු කළ යුතුය. මේවා වලංගු නොවන අගයන් වන අතර ඒවා සිදුරු කරන ලද තිත් මගින් දක්වනු ලැබේ, සහ පරිවර්තනයෙන් පසු ලබාගත් අසමානතාවයේ අගයන් වේ. මෙහිදී ද නිවැරදිව තිත් ඇඳීම වැදගත් වේ. අසමානතාවය දැඩි නම්, එනම්< или >, එවිට මෙම අගයන් සිදුරු කරනු ලැබේ. දැඩි නොවන අසමානතාවයන්හිදී, ලකුණු සෙවනැලි කළ යුතුය.

එවිට අසමානතාවයන්ගේ අර්ථය දැක්වීම අවශ්ය වේ. මෙය සෙවන හෝ චාප භාවිතයෙන් කළ හැකිය. ඔවුන්ගේ ඡේදනය පිළිතුර දක්වනු ඇත.

දෙවන ලක්ෂණය එහි පටිගත කිරීම හා සම්බන්ධ වේ. මෙහි විකල්ප දෙකක් ඉදිරිපත් කර ඇත. පළමුවැන්න අවසාන අසමානතාවයයි. දෙවැන්න අන්තරාල ආකාරයෙන් ය. දුෂ්කරතා ඇති වන බව ඔහු සමඟ සිදු වේ. හිස්තැන් වල පිළිතුර සෑම විටම සාමාජික ලකුණක් සහ අංක සහිත වරහන් සහිත විචල්‍යයක් ලෙස පෙනේ. සමහර විට අවකාශයන් කිහිපයක් ඇත, එවිට ඔබ වරහන් අතර "සහ" සංකේතය ලිවිය යුතුය. මෙම සලකුණු මේ ආකාරයෙන් පෙනේ: ∈ සහ ∩. ස්පේසිං වරහන් ද භූමිකාවක් ඉටු කරයි. පිළිතුරෙන් ලක්ෂ්‍යය බැහැර කළ විට රවුම් එක තබා ඇති අතර සෘජුකෝණාස්‍රයට මෙම අගය ඇතුළත් වේ. අනන්ත ලකුණ සෑම විටම වරහන් තුළ ඇත.

අසමානතා විසඳීමේ උදාහරණ

1. අසමානතාවය විසඳන්න 7 - 5x ≥ 37.

සරල පරිවර්තන වලින් පසුව, අපට ලැබෙන්නේ: -5x ≥ 30. "-5" මගින් බෙදීමෙන් අපට පහත ප්‍රකාශනය ලබා ගත හැක: x ≤ -6. මෙය දැනටමත් පිළිතුර වේ, නමුත් එය වෙනත් ආකාරයකින් ලිවිය හැකිය: x ∈ (-∞; -6].

2. ද්විත්ව අසමානතාවය විසඳීම -4< 2x + 6 ≤ 8.

පළමුව ඔබ සෑම තැනකම 6ක් අඩු කළ යුතුය. ඔබට ලැබෙන්නේ: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

පාඩම් අරමුණු:

• අධ්යාපනික:
  • මාතෘකාව නැවත කරන්න: "සමීකරණ. රේඛීය සමීකරණ. සමාන සමීකරණ සහ ඒවායේ ගුණාංග";
  • විචල්‍ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණ සංකල්පය සහ ඒවායේ විසඳුම සිසුන් අවබෝධ කර ගන්නා බවට සහතික වන්න.
• සංවර්ධනාත්මක:
  • බුද්ධිමය හැකියාවන් ගොඩනැගීමට:
  • සංසන්දනය කිරීමේ හැකියාව, ප්‍රතිසමයන් තැනීම, ප්‍රධාන දේ ඉස්මතු කිරීම;
  • ආවරණය කරන ලද ද්රව්ය සාමාන්යකරණය කිරීමට සහ ක්රමානුකූල කිරීමට ඇති හැකියාව;
  • තාර්කික චින්තනය, මතකය, පරිකල්පනය, ගණිතමය කථාව වර්ධනය කිරීම;
  • ක්රියාකාරී සංජානන ක්රියාකාරිත්වය වර්ධනය කිරීම.
• අධ්යාපනික:
  • පාඩමේ සෑම අදියරකදීම සිසුන්ගේ ස්වාධීනත්වය, ක්රියාකාරිත්වය සහ උනන්දුව වර්ධනය කිරීම;
  • නොපසුබට උත්සාහය, නොපසුබට උත්සාහය, අධිෂ්ඨානය වැනි චරිත ගුණාංග සැකසීමට.

පාඩමේදී ගුරුවරයා විසින් විසඳිය යුතු කාර්යයන්:

• පෙළෙහි ප්රධාන අදහස ඉස්මතු කිරීමට ඉගෙන ගන්න;
• ගුරුවරයා, ඔබම හෝ සිසුන්ගෙන් ප්රශ්න ඇසීමට ඉගෙන ගන්න;
• සම්මත නොවන ගැටළු විසඳීම සඳහා අත්පත් කරගත් දැනුම භාවිතා කිරීමට ඉගෙන ගන්න;
• ඔබේ සිතුවිලි නිවැරදිව ගණිතමය වශයෙන් ප්‍රකාශ කිරීමේ හැකියාව උගන්වන්න.

මෙම පාඩමේදී සිසුන් විසඳිය යුතු ගැටළු:

• විචල්‍ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණයක නිර්වචනය දැන ගන්න;
• සරල රේඛීය සමීකරණ ලිවීමට හැකි වීම;
• a, b සහ c විචල්‍යවල අගයන් නිවැරදිව සොයා ගැනීමට හැකි වීම;
• සමීකරණ අතර විචල්‍ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණ හඳුනා ගැනීමට හැකි වීම;
• ප්‍රශ්නයට පිළිතුරු දෙන්න: විචල්‍ය දෙකක රේඛීය සමීකරණයකට විසඳුම කුමක්ද?
• සංඛ්‍යා යුගලයක් සමීකරණයකට විසඳුමක් දැයි ඔබ දන්නේ කෙසේද?
• එක් විචල්‍යයක් තවත් විචල්‍යයක් අනුව ප්‍රකාශ කිරීමට හැකි වීම.

පාඩම් වර්ගය:නව ද්රව්ය ඉගෙනීමේ පාඩම.

පන්ති අතරතුර

I. සංවිධානාත්මක මොහොත

II. ආවරණය කරන ලද ද්රව්ය පුනරාවර්තනය කිරීම

1) පුවරුවේ: 2x, 2x + 5, 2x + 5 = 17.

2) පන්තිය සඳහා ප්රශ්න:

- මෙම ප්රකාශනයන් නිර්වචනය කරන්න. (අපේක්ෂිත පිළිතුරු: නිෂ්පාදනය, ඒකාධිකාරය, එකතුව, බහුපද, සමීකරණය.)
- සමීකරණයක් ලෙස හඳුන්වන්නේ කුමක්ද?
– ඔබට සමීකරණයක් අවශ්‍යද...? (තීරණය කරන්න)
- "සමීකරණයක් විසඳීම" යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ කුමක්ද?
- සමීකරණයේ මූලය කුමක්ද?
- කුමන සමීකරණ සමානද?
- ඔබ දන්නා සමීකරණවල සමානාත්මතාවයේ ගුණාංග මොනවාද?

III. සිසුන්ගේ දැනුම යාවත්කාලීන කිරීම

3) මුළු පන්තියටම පැවරීම:

- ප්රකාශන පරිවර්තනය කරන්න :(පුවරුවේ දෙදෙනෙක් වැඩ).

a) 2(x + 8) + 4(2x – 4) = b) 4(x – 2) + 2(3y + 4) =

පරිවර්තනයෙන් පසු අපට ලැබුණේ: a) 10x; b) 4x + 6y:

- සමීකරණ නිර්මාණය කිරීමට ඒවා භාවිතා කරන්න (සිසුන් යෝජනා කරයි - ගුරුවරයා පුවරුවේ සමීකරණ ලියනවා): 10x = 30; 4x + 6y = 28.

ප්රශ්නය:

- පළමු සමීකරණයේ නම කුමක්ද?
- ඇයි රේඛීය?
- පළමු සමීකරණය සමඟ දෙවන සමීකරණය සසඳන්න. දෙවන සමීකරණයේ නිර්වචනය සකස් කිරීමට උත්සාහ කරන්න (අපේක්ෂිත පිළිතුර: විචල්‍ය දෙකක් සහිත සමීකරණයක්; සිසුන්ගේ අවධානය යොමු වන්නේ සමීකරණයේ වර්ගය - රේඛීය).

IV. නව ද්රව්ය ඉගෙනීම

1) පාඩමේ මාතෘකාව නිවේදනය කර ඇත. නෝට්බුක් වල මාතෘකාව සටහන් කිරීම. විචල්‍ය දෙකක් සහිත සමීකරණයක නිර්වචනය සිසුන්ගේ ස්වාධීන සූත්‍රගත කිරීම, විචල්‍ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණයක් (එක් විචල්‍යයක් සහිත රේඛීය සමීකරණයක නිර්වචනය සමඟ ප්‍රතිසමයෙන්), විචල්‍ය දෙකක් සහිත සමීකරණ සඳහා උදාහරණ. සාකච්ඡාව සිදු වන්නේ ඉදිරිපස සංවාදයක්, සංවාදයක් - තර්කයක් ලෙස ය.

2) පන්ති පැවරුම:

a) විචල්‍ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණ දෙකක් ලියන්න (ගුරුවරයා සහ සිසුන් සිසුන් කිහිප දෙනෙකුගේ පිළිතුරු වලට සවන් දෙයි; ගුරුවරයාගේ තේරීම අනුව, ඔවුන්ගෙන් එක් අයෙක් ඔහුගේ සමීකරණ පුවරුවේ ලියයි).

ආ) සිසුන් සමඟ එක්ව, මෙම පාඩමේදී ඔවුන්ට පිළිතුරක් ලැබිය යුතු කාර්යයන් සහ ප්‍රශ්න තීරණය කරනු ලැබේ. සෑම සිසුවෙකුටම මෙම ප්‍රශ්න සහිත කාඩ්පත් ලැබේ.

ඇ) මෙම ගැටළු සහ කාර්යයන් විසඳීම සඳහා සිසුන් සමඟ වැඩ කිරීම:

– විචල්‍ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණ මෙම සමීකරණවලින් කවරේද යන්න නිර්ණය කරන්න a) 6x 2 = 36; b) 2x – 5y = 9: c) 7x + 3y 3; ඈ) 1/2x + 1/3y = 6, ආදිය. x: 5 – y: 4 = 3 (කොට්ඨාශ ලකුණ භාගයක් ලෙස ලිවිය යුතුය) සමීකරණය සමඟ ගැටළුවක් මතු විය හැක. සමීකරණවල සමානාත්මතාවයේ කුමන ගුණාංග යෙදිය යුතුද? (සිසුන්ගේ පිළිතුරු)සංගුණක අගයන් තීරණය කරන්න ඒ, වීසහ සමග.

- සියලු සමීකරණ මෙන් විචල්‍ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණ විසඳිය යුතුය. විචල්‍ය දෙකක රේඛීය සමීකරණ සඳහා විසඳුම කුමක්ද? (ළමයින් අර්ථ දැක්වීමක් ලබා දෙයි).

උදාහරණයක්: සමීකරණයට විසඳුම් සොයන්න: a) x – y = 12, පිළිතුරු පෝරමයේ (x; y) හෝ x = ... ලියන්න; y = .... සමීකරණයට විසඳුම් කීයක් තිබේද?

උදාහරණ: පහත සමීකරණ සඳහා විසඳුම් සොයන්න a) 2x + y = 7; b) 5x – y = 4. ඔබ මෙම සමීකරණ සඳහා විසඳුම් සොයා ගත්තේ කෙසේද? (අවුලා ගත්).

– විචල්‍ය දෙකක රේඛීය සමීකරණයකට සංඛ්‍යා යුගලයක් විසඳුමක් දැයි ඔබ දන්නේ කෙසේද?

3) පෙළපොත සමඟ වැඩ කිරීම.

- මෙම පාඩමේ මාතෘකාව පිළිබඳ ප්‍රධාන අදහස ඉස්මතු කර ඇති ස්ථාන පෙළපොතෙහි සොයා ගන්න

a) කාර්යයන් වල වාචික කාර්ය සාධනය: අංක 1092, අංක 1094.

ආ) නිදසුන් අංක 1096 (දුර්වල සිසුන් සඳහා), අංක 1097 (ශක්තිමත් සිසුන් සඳහා).

ඇ) සමීකරණවල සමානාත්මතාවයේ ගුණාංග නැවත නැවත කරන්න.

අභ්යාස:සමීකරණවල සමානාත්මතාවයේ ගුණාංග භාවිතා කරමින්, 5x + 2y = 12 සමීකරණයේ X විචල්‍යය හරහා Y විචල්‍යය ප්‍රකාශ කරන්න. (ස්වාධීනව විසඳීමට "මිනිත්තුවක්", පසුව පුවරුවේ විසඳුම පිළිබඳ පොදු දළ විශ්ලේෂණයක්, පසුව පැහැදිලි කිරීමක්).

ඈ) උදාහරණ අංක 1099 ක්‍රියාත්මක කිරීම (සිසුන්ගෙන් එක් අයෙක් මණ්ඩලයේ කාර්යය සම්පූර්ණ කරයි).

ඓතිහාසික යොමු

1. යාලුවනේ, අද පන්තියේදී අපට හමු වූ සමීකරණ, මීට වසර 3.5 දහසකට පමණ පෙර ජීවත් වූ පුරාණ ග්‍රීක විද්‍යාඥයෙකු සහ ගණිතඥයෙකු වූ ඩයොෆන්ටස්ගේ නමින් නම් කරන ලද විචල්‍ය දෙකක් සහිත ඩයොෆන්ටයින් රේඛීය සමීකරණ ලෙස හැඳින්වේ. ඉපැරණි ගණිතඥයන් මුලින්ම ගැටලු රචනා කළ අතර පසුව ඒවා විසඳීමට කටයුතු කළහ. මේ අනුව, බොහෝ ගැටළු සම්පාදනය කරන ලද අතර, ඒවා අපට හුරුපුරුදු වන අතර විසඳීමට ඉගෙන ගනී.

2. තවද මෙම සමීකරණ අවිනිශ්චිත සමීකරණ ලෙස හැඳින්වේ. බොහෝ ගණිතඥයන් එවැනි සමීකරණ විසඳීමට කටයුතු කළහ. ඔවුන්ගෙන් එක් අයෙක් ප්රංශ ගණිතඥයෙකු වන Pierre Fermat ය. ඔහු අවිනිශ්චිත සමීකරණ විසඳීමේ න්‍යාය අධ්‍යයනය කළේය.

V. පාඩම් සාරාංශය

1) පාඩමෙහි ආවරණය කර ඇති ද්රව්ය සාරාංශ කිරීම. පාඩම ආරම්භයේදී සිසුන්ට අසන ලද සියලුම ප්‍රශ්නවලට පිළිතුරු:

- විචල්‍ය දෙකක් සහිත රේඛීය ලෙස හඳුන්වන සමීකරණ මොනවාද?
– විචල්‍ය දෙකකින් රේඛීය සමීකරණයක් විසඳීම ලෙස හඳුන්වන්නේ කුමක්ද?
- මෙම තීරණය වාර්තා කරන්නේ කෙසේද?
- සමාන ලෙස හඳුන්වනු ලබන සමීකරණ මොනවාද?
- සමීකරණවල සමානාත්මතාවයේ ගුණාංග මොනවාද?
- අපි පන්තියේදී විසඳූ ගැටළු මොනවාද, අපි පිළිතුරු දුන්නේ කුමන ප්රශ්නවලටද?

2) ස්වාධීන වැඩ කිරීම.

දුර්වලයන් සඳහා:

–1.1x + 3.6y = – 34 සමීකරණයේ a, b සහ c විචල්‍යවල අගයන් සොයන්න?
– x – y = 35 සමීකරණයට අවම වශයෙන් එක් විසඳුමක් සොයන්නද?
– සංඛ්‍යා යුගලය (3; 2) 2x – y = 4 විචල්‍ය දෙකක් සහිත දී ඇති රේඛීය සමීකරණයකට විසඳුමක් ද?

ශක්තිමත් අය සඳහා:

- Diophantus ගේ ගැටලුව සඳහා විචල්‍ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණයක් ලියන්න: නිවසේ මිදුලේ ඇවිදින පිහාටු සහ හාවුන් ඇත. සියලුම කකුල් ගණන 26 ක් විය.
– 3x – 5y = 8 සමීකරණයේ x අනුව y විචල්‍යය ප්‍රකාශ කරන්න.

VI ගෙදර වැඩ පණිවිඩය

පෙළපොතෙහි ඇති සියලුම කාර්යයන් බලන්න, එක් එක් කාර්යය පිළිබඳ ඉක්මන් විශ්ලේෂණයක්, කාර්යයක් තෝරන්න.

• දුර්වල සිසුන් සඳහා: අංක 1093, අංක 1095b).
• ශක්තිමත් සඳහා: 1) අංක 1101, අංක 1104 (අ). 2) Diophantus ගේ ගැටලුව විසඳන්න, මෙම සමීකරණයට ස්වභාවික විසඳුම් සොයා ගන්න.

අතිරේකව, සිසුන්ගේ ඉල්ලීම පරිදි - අංක 1105.

නිගමනය වෙනුවට: මම වසර 40 කට වැඩි කාලයක් ගණිත ගුරුවරයෙකු ලෙස සේවය කර ඇත. විවෘත පාඩමක් සෑම විටම හොඳම පාඩම නොවන බව මට සටහන් කිරීමට අවශ්‍යයි. සමහර විට සාමාන්‍ය පාඩම් ගුරුවරයාට වැඩි ප්‍රීතියක් හා තෘප්තියක් ගෙන දෙන බව බොහෝ විට සිදු වේ. එවිට ඔබ කනගාටුවෙන් සිතන්නේ මෙම පාඩම කිසිවෙකු නොදුටු බවයි - ගුරුවරයා සහ සිසුන් නිර්මාණය කිරීම.

පාඩමක් යනු තනි ජීවියෙකි, තනි සමස්තයකි; සිසුන් සහ ගුරුවරුන් යන දෙඅංශයෙන්ම අධ්‍යාපනයේ පුද්ගලික හා සදාචාරාත්මක අත්දැකීම් ලබා ගන්නේ පාඩම තුළ ය. පාඩමක මිනිත්තු 45 ක් බොහෝ හා ඉතා සුළු වේ. බොහෝ දේ - මක්නිසාද යත්, මෙම කාලය තුළ ඔබට ඔබේ සිසුන් සමඟ සියවස් ගණනක ගැඹුරට “බැලීමට” හැකි අතර, එතැන් සිට “ආපසු පැමිණීමට”, නව, රසවත් දේවල් රාශියක් ඉගෙන ගත හැකි අතර නව තොරතුරු අධ්‍යයනය කිරීමට තවමත් කාලය තිබේ.

මිනිසාගේ බුද්ධි වර්ධනයේ පදනම ගණිතය බව සෑම සිසුවෙක්ම අවබෝධ කර ගත යුතුය. තවද මේ සඳහා පදනම තාර්කික චින්තනයේ වර්ධනයයි. එමනිසා, සෑම පාඩමකටම පෙර, මම සහ මගේ සිසුන් සඳහා ඉලක්කයක් තබමි: අර්ථ දැක්වීම් සමඟ සාර්ථකව වැඩ කිරීමට සිසුන්ට ඉගැන්වීම, දන්නා දේවලින් නොදන්නා දේ දක්ෂ ලෙස වෙන්කර හඳුනා ගැනීම, ඔප්පු නොකළ ඒවායින් ඔප්පු කිරීම, විශ්ලේෂණය, සංසන්දනය, වර්ගීකරණය, ප්‍රශ්න ඉදිරිපත් කිරීම සහ දක්ෂ ලෙස විසඳීමට ඉගෙන ගන්න. ඔවුන්ට. ප්‍රතිසමයන් භාවිතා කරන්න, නමුත් ඔබට තනිවම පිටතට යා නොහැකි නම්, ඔබ අසල ගුරුවරයෙකු පමණක් නොව ඔබේ ප්‍රධාන සහායකයා - පොතක්.

ඇත්ත වශයෙන්ම, විවෘත පාඩමක් ගුරුවරයාගේ නිර්මාණාත්මක කාර්යයේ යම් ප්රතිඵලයකි. මෙම පාඩමේ සිටින ගුරුවරුන් ප්‍රධාන දෙය කෙරෙහි අවධානය යොමු කළ යුතුය: වැඩ පද්ධතිය, නව්‍යතාවය, අදහස. මෙන්න, මම හිතන්නේ, ගුරුවරයා පාඩමේදී භාවිතා කරන ඉගැන්වීමේ ක්‍රමවේදය විශේෂයෙන් වැදගත් නොවේ: පැරණි, නවීන හෝ නව නව්‍ය තාක්ෂණයන්, ප්‍රධාන දෙය නම් එහි භාවිතය ගුරුවරයාට සහ සිසුන්ට සුදුසු සහ effective ලදායී වීමයි.

මගේ ජීවිතයේ පාසල, දරුවන්, පාඩම් සහ එවැනි කාරුණික සගයන් සිටීම ගැන මම ඉතා සතුටු වෙමි. ඔබ සැමට ස්තුතියි!

විචල්‍ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණයකට ax + by + c = 0 යන සාමාන්‍ය ස්වරූපය ඇත. එහි a, b සහ c යනු සංගුණක - සමහර සංඛ්‍යා; සහ x සහ y යනු විචල්‍යයන් වේ - සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය නොදන්නා සංඛ්‍යා.

විචල්‍ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණයකට විසඳුම x සහ y සංඛ්‍යා යුගලයක් වන අතර ඒ සඳහා ax + by + c = 0 යනු සැබෑ සමානාත්මතාවයකි.

විචල්‍ය දෙකකින් ලබා දී ඇති රේඛීය සමීකරණයකට (උදාහරණයක් ලෙස, 3x + 2y – 1 = 0) විසඳුම් සමූහයක් ඇත, එනම් සමීකරණය සත්‍ය වන සංඛ්‍යා යුගල සමූහයකි. විචල්‍ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණයක් ඛණ්ඩාංක තලයේ සරල රේඛාවක් වන y = kx + m ආකෘතියේ රේඛීය ශ්‍රිතයක් බවට පරිවර්තනය වේ. මෙම රේඛාව මත ඇති සියලුම ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක විචල්‍ය දෙකක රේඛීය සමීකරණයකට විසඳුම් වේ.

ax + by + c = 0 පෝරමයේ රේඛීය සමීකරණ දෙකක් ලබා දී ඇති අතර, ඒ දෙකටම විසඳුම් ඇති x සහ y අගයන් සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය නම්, අපි කියමු සමීකරණ පද්ධතිය විසඳන්න. සමීකරණ පද්ධතියක් පොදු curly වරහනක් යටතේ ලියා ඇත. උදාහරණයක්:

අනුරූප රේඛීය ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර වන රේඛා ඡේදනය නොවන්නේ නම් (එනම්, එකිනෙකට සමාන්තරව) සමීකරණ පද්ධතියකට විසඳුමක් තිබිය නොහැක. විසඳුමක් නොමැති බව නිගමනය කිරීම සඳහා, විචල්ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණ දෙකම y = kx + m ආකෘතියට පරිවර්තනය කිරීම ප්රමාණවත් වේ. සමීකරණ දෙකෙහිම k එකම අංකයක් නම්, පද්ධතියට විසඳුම් නොමැත.

සමීකරණ පද්ධතියක් සමාන සමීකරණ දෙකකින් සමන්විත වේ නම් (එය ක්ෂණිකව නොපැහැදිලි විය හැකිය, නමුත් පරිවර්තනයෙන් පසුව), එවිට එයට අසීමිත විසඳුම් තිබේ. මෙම අවස්ථාවේ දී, අපි අවිනිශ්චිතතාවය ගැන කතා කරමු.

අනෙක් සෑම අවස්ථාවකදීම, පද්ධතියට එක් විසඳුමක් ඇත. මෙම නිගමනයට එළඹිය හැක්කේ ඕනෑම සමාන්තර නොවන රේඛා දෙකක් එක් ලක්ෂයක පමණක් ඡේදනය විය හැකි බැවිනි. මෙම ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය පළමු පේළියේ සහ දෙවන පේළියේ පිහිටා ඇත, එනම් එය පළමු සමීකරණයට සහ දෙවන සමීකරණයට විසඳුමක් වනු ඇත. එබැවින් එය සමීකරණ පද්ධතියකට විසඳුමකි. කෙසේ වෙතත්, x සහ y අගයන් (සාමාන්‍යයෙන් ගැටලුවේ කොන්දේසි අනුව) මත යම් සීමාවන් පනවා ඇති විට තත්වයන් නියම කිරීම අවශ්‍ය වේ. උදාහරණයක් ලෙස, x > 0, y > 0. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුමක් ඇතත්, එය කොන්දේසිය තෘප්තිමත් නොකළද, ලබා දී ඇති කොන්දේසි යටතේ සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුම් නොමැති බව නිගමනය කෙරේ. .

සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳීමට ක්රම තුනක් තිබේ:

1. තෝරා ගැනීමේ ක්රමය අනුව. බොහෝ විට මෙය කිරීමට ඉතා අපහසු වේ.
2. ග්රැෆික් ක්රමය. ඛණ්ඩාංක තලය මත සරල රේඛා දෙකක් (අනුරූප සමීකරණවල ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර) ඇද ගන්නා විට සහ ඒවායේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය සොයාගත හැකිය. ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක භාගික සංඛ්‍යා නම් මෙම ක්‍රමය නිවැරදි ප්‍රතිඵල ලබා නොදිය හැක.
3. වීජීය ක්රම. ඒවා බහුකාර්ය සහ විශ්වසනීය ය.

උපදෙස්

රේඛීය සමීකරණ දෙකක පද්ධතියක් ලබා දී එය පහත පරිදි විසඳන්න. විචල්‍යයන් ඉදිරිපිට ඇති සංගුණක කුඩා වන සමීකරණ වලින් එකක් තෝරා විචල්‍ය වලින් එකක් ප්‍රකාශ කරන්න, උදාහරණයක් ලෙස, x. ඉන්පසු y අඩංගු මෙම අගය දෙවන සමීකරණයට ආදේශ කරන්න. ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන සමීකරණයේ ඇත්තේ y විචල්‍යයක් පමණි, y සමඟ සියලුම කොටස් වම් පැත්තට ද නිදහස් ඒවා දකුණට ද ගෙන යන්න. y සොයන්න සහ x සොයා ගැනීමට ඕනෑම මුල් සමීකරණයකට ආදේශ කරන්න.

සමීකරණ දෙකක පද්ධතියක් විසඳීමට තවත් ක්රමයක් තිබේ. x වැනි විචල්‍යවලින් එකක සංගුණකය සමීකරණ දෙකෙහිම සමාන වන පරිදි සමීකරණවලින් එකක් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කරන්න. ඉන්පසුව සමීකරණයෙන් එකක් අනෙක් සමීකරණයෙන් අඩු කරන්න (දකුණු පස 0 ට සමාන නොවේ නම්, දකුණු පස ද එලෙසම අඩු කිරීමට මතක තබා ගන්න). x විචල්‍යය අතුරුදහන් වී එක් y විචල්‍යයක් පමණක් ඉතිරිව ඇති බව ඔබට පෙනෙනු ඇත. ලැබෙන සමීකරණය විසඳා, y හි සොයාගත් අගය ඕනෑම මුල් සමානාත්මතාවයකට ආදේශ කරන්න. x සොයන්න.

රේඛීය සමීකරණ දෙකක පද්ධතියක් විසඳීමේ තුන්වන ක්රමය චිත්රක වේ. ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් අඳින්න සහ ඔබේ පද්ධතියේ සමීකරණ ලබා දී ඇති සරල රේඛා දෙකක් ප්‍රස්ථාර කරන්න. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඕනෑම x අගයන් දෙකක් සමීකරණයට ආදේශ කර අනුරූප y සොයා ගන්න - මේවා රේඛාවට අයත් ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක වේ. ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සමඟ ඡේදනය සොයා ගැනීමට වඩාත්ම පහසු ක්රමය වන්නේ x=0 සහ y=0 අගයන් ආදේශ කිරීමයි. මෙම රේඛා දෙකේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක කාර්යයන් වනු ඇත.

ගැටළු තත්වයන් තුළ ඇත්තේ එක් රේඛීය සමීකරණයක් පමණක් නම්, ඔබට විසඳුමක් සොයා ගත හැකි අතිරේක කොන්දේසි ලබා දී ඇත. මෙම කොන්දේසි සොයා ගැනීමට ගැටලුව හොඳින් කියවන්න. x සහ y විචල්‍යයන් දුර, වේගය, බර දක්වන්නේ නම්, x≥0 සහ y≥0 සීමාව සැකසීමට නිදහස් වන්න. x හෝ y මඟින් ඇපල්, ගස් ආදිය සඟවා තැබීමට ඉඩ ඇත. - එවිට අගයන් පූර්ණ සංඛ්‍යා පමණක් විය හැක. x යනු පුතාගේ වයස නම්, ඔහු තම පියාට වඩා වයසින් වැඩි විය නොහැකි බව පැහැදිලිය, එබැවින් ගැටලුවේ තත්වයන් තුළ මෙය දක්වන්න.

රේඛීය සමීකරණයට අනුරූප රේඛා ප්‍රස්ථාරයක් සාදන්න. ප්‍රස්ථාරය දෙස බලන්න, සියලු කොන්දේසි සපුරාලන විසඳුම් කිහිපයක් පමණක් තිබිය හැකිය - උදාහරණයක් ලෙස, පූර්ණ සංඛ්‍යා සහ ධන සංඛ්‍යා. ඒවා ඔබේ සමීකරණයට විසඳුම් වනු ඇත.

මූලාශ්‍ර:

• එක් විචල්‍යයක් සමඟ සමීකරණයක් විසඳන්නේ කෙසේද

ගණිතයේ ප්‍රධාන ගැටලුවක් වන්නේ නොදන්නා කරුණු කිහිපයක් සමඟ සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳීමයි. මෙය ඉතා ප්‍රායෝගික ගැටළුවකි: නොදන්නා පරාමිතීන් කිහිපයක් තිබේ, ඒවා මත කොන්දේසි කිහිපයක් පනවනු ලැබේ, ඒවායේ වඩාත්ම ප්‍රශස්ත සංයෝජනය සොයා ගැනීම අවශ්‍ය වේ. ආර්ථික විද්‍යාව, ඉදිකිරීම්, සංකීර්ණ යාන්ත්‍රික පද්ධති සැලසුම් කිරීම සහ පොදුවේ ද්‍රව්‍යමය හා මානව සම්පත්වල පිරිවැය ප්‍රශස්ත කිරීම අවශ්‍ය ඕනෑම තැනක එවැනි කාර්යයන් බහුලව සිදු වේ. මේ සම්බන්ධයෙන්, ප්රශ්නය පැනනගින්නේ: එවැනි පද්ධති විසඳන්නේ කෙසේද?

උපදෙස්

එවැනි පද්ධති විසඳීමට ගණිතය අපට ක්‍රම දෙකක් ලබා දෙයි: චිත්‍රක සහ විශ්ලේෂණ. මෙම ක්‍රම සමාන වන අතර ඒවායින් එකක් වඩා හොඳ හෝ නරක යැයි පැවසිය නොහැක. සෑම අවස්ථාවකදීම, විසඳුමක් ප්‍රශස්ත කරන විට, ඔබ වඩාත් සරල විසඳුමක් ලබා දෙන ක්‍රමය තෝරා ගත යුතුය. නමුත් සමහර සාමාන්ය තත්වයන් ද තිබේ. මේ අනුව, තල සමීකරණ පද්ධතියක්, එනම් ප්‍රස්ථාර දෙකක y=ax+b ආකෘතිය ඇති විට, චිත්‍රක ලෙස විසඳීමට පහසු වේ. සෑම දෙයක්ම ඉතා සරලව සිදු කර ඇත: සරල රේඛා දෙකක් ඉදිකර ඇත: රේඛීය ශ්රිතවල ප්රස්ථාර, එවිට ඔවුන්ගේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය සොයා ගනී. මෙම ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක (abscissa සහ ordinate) මෙම සමීකරණයට විසඳුම වනු ඇත. පේළි දෙකක් සමාන්තර විය හැකි බව ද සලකන්න. එවිට සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුමක් නොමැති අතර, ශ්‍රිත රේඛීයව යැපෙන ලෙස හැඳින්වේ.

ප්රතිවිරුද්ධ තත්ත්වය ද සිදුවිය හැකිය. රේඛීයව ස්වාධීන සමීකරණ දෙකක් ලබා දී තුන්වන නොදන්නා එකක් සොයා ගැනීමට අපට අවශ්‍ය නම්, එවිට පද්ධතිය අවතක්සේරු කරනු ලබන අතර අනන්ත විසඳුම් සංඛ්‍යාවක් ඇත. රේඛීය වීජ ගණිත න්‍යාය තුළ, සමීකරණ සංඛ්‍යාව නොදන්නා සංඛ්‍යාව සමඟ සමපාත වන්නේ නම් සහ පමණක් පද්ධතියකට අද්විතීය විසඳුමක් ඇති බව ඔප්පු වේ.

පාඩම් සාරාංශය

පන්තිය: 7

UMK: වීජ ගණිතය 7 වන ශ්‍රේණිය: පෙළ පොත. සාමාන්ය අධ්යාපනය සඳහා සංවිධාන / [යූ. එන්.මකරිචෙව්, එන්.ජී. Mindyuk et al.]; විසින් සංස්කරණය කරන ලදී එස්.ඒ. Telyakovsky. - 2 වන සංස්කරණය. - එම්.: අධ්‍යාපනය, 2014

විෂය: විචල්‍ය දෙකක රේඛීය සමීකරණ

ඉලක්ක: විචල්‍ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණයක සංකල්ප සහ එහි විසඳුම සිසුන්ට හඳුන්වා දීම, සමීකරණයෙන් ප්‍රකාශ කරන ආකාරය උගන්වන්න.x ඔස්සේහිදී හෝහිදී ඔස්සේx .

සාදන ලද UUD:

සංජානන: උපකල්පන ඉදිරිපත් කර සාධාරණීකරණය කරන්න, ඒවා පරීක්ෂා කිරීමට ක්‍රම යෝජනා කරන්න

නියාමන: ලබා දී ඇති සම්මතයක් සමඟ කෙනෙකුගේ ක්‍රියාවන්හි ක්‍රමය සහ ප්‍රතිඵලය සංසන්දනය කිරීම, සම්මතයෙන් බැහැරවීම් සහ වෙනස්කම් හඳුනා ගැනීම; සැලැස්මක් සහ ක්රියා අනුපිළිවෙලක් සකස් කරන්න.

සන්නිවේදන: වැඩ සබඳතා ඇති කර ගැනීම; ඵලදායී සහයෝගීතාවය සහ ඵලදායී සහයෝගීතාව ප්රවර්ධනය කිරීම.

පුද්ගලික: fකෙනෙකුගේ ක්රියාකාරකම් විශ්ලේෂණය සංවිධානය කිරීම සඳහා කුසලතා වර්ධනය කිරීම

උපකරණ:පරිගණකය, බහුමාධ්‍ය ප්‍රොජෙක්ටරය, තිරය

පන්ති අතරතුර:

මම කාලය සංවිධානය කිරීම

සීයා ගැන සුරංගනා කතාවට සමානව සවන් දී අපි අද කතා කරන්නේ කුමක් දැයි අනුමාන කරන්න

සුරංගනා කතාව "සීයා-සමාන"

රාවණාලෝ යන අන්වර්ථ නාමයෙන් හඳුන්වන සීයා ජීවත් වූයේ වනාන්තරයක් අද්දර පැල්පතක ය. ඔහු අංක සමඟ විහිළු කිරීමට කැමති විය. සීයා තමාගේ දෙපැත්තේ ඇති ඉලක්කම් ගෙන, ඒවා සලකුණු සමඟ සම්බන්ධ කර, වේගවත්ම ඒවා වරහන් තුළට දමනු ඇත, නමුත් එක් කොටසක් අනෙක් කොටසට සමාන වන බවට වග බලා ගන්න. ඉන්පසු ඔහු “X” වෙස් මුහුණ යට යම් අංකයක් සඟවා එය සොයා ගන්නා ලෙස ඔහුගේ මුනුපුරා වන කුඩා රව්නියල්කාගෙන් ඉල්ලා සිටී. Ravnyalka කුඩා වුවද, ඔහු ඔහුගේ දේවල් දනී: ඔහු ඉක්මනින් "X" හැර අනෙකුත් සියලුම සංඛ්යා අනෙක් පැත්තට ගෙන යන අතර ඒවායේ සංඥා ප්රතිවිරුද්ධ ලෙස වෙනස් කිරීමට අමතක නොකරනු ඇත. අංක ඔහුට කීකරු වේ, ඔහුගේ නියෝග මත සියලු ක්‍රියා ඉක්මනින් සිදු කරයි, සහ “X” දනී. සීයා තම මිණිබිරිය කෙතරම් දක්ෂ ලෙස සෑම දෙයක්ම කරන ආකාරය දෙස බලා ප්‍රීති වේ: ඔහුට හොඳ ආදේශකයක් වැඩෙමින් තිබේ.

ඉතින්, මේ කතාව කුමක් ගැනද?(සමීකරණ ගැන)

II . රේඛීය සමීකරණ ගැන අප දන්නා සියල්ල මතක තබාගෙන අප දන්නා ද්‍රව්‍ය සහ නව ද්‍රව්‍ය අතර සමාන්තරයක් ඇඳීමට උත්සාහ කරමු.

අප දන්නේ කුමන ආකාරයේ සමීකරණයක්ද?(එක් විචල්‍යයක් සහිත රේඛීය සමීකරණය)

එක් විචල්‍යයක් සමඟ රේඛීය සමීකරණයක අර්ථ දැක්වීම සිහිපත් කරමු.

එක් විචල්‍යයක රේඛීය සමීකරණයක මූලය කුමක්ද?

රේඛීය සමීකරණයක සියලුම ගුණාංග එක් විචල්‍යයක් සමඟ සකස් කරමු.

මේසයේ 1 කොටස පුරවා ඇත

උදාහරණය: 3x = 6

සමීකරණය සත්‍ය වන x හි අගය

1) සමීකරණයේ එක් කොටසක සිට තවත් කොටසකට නියමයන් මාරු කිරීම, ඒවායේ ලකුණ ප්‍රතිවිරුද්ධ ලෙස වෙනස් කිරීම.

2) සමීකරණයේ දෙපැත්තම ශුන්‍යයට සමාන නොවන එකම සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීම හෝ බෙදීම.

විචල්‍ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණය.

ax + vy = c, මෙහි x, y යනු විචල්‍ය වේ, a, b.c සංඛ්‍යා වේ.

උදාහරණයක්:

x – y = 5

x + y = 56

2x + 6y =68

සමීකරණය සත්‍ය කරන x, y අගයන්.

x=8; y=3 (8;3)

x=60; y = - 4 (60;-4)

ගුණාංග 1 සහ 2 සත්‍ය වේ.

3) සමාන සමීකරණ:

x-y=5 සහ y=x-5

(8;3) (8;3)

අපි වගුවේ පළමු කොටස පිරවීමෙන් පසු, සාදෘශ්‍ය මත පදනම්ව, අපි මේසයේ දෙවන පේළිය පිරවීමට පටන් ගනිමු, එමඟින් නව ද්‍රව්‍ය ඉගෙන ගනිමු.

III . අපි නැවතත් මාතෘකාවට යමු:විචල්‍ය දෙකකින් රේඛීය සමීකරණය . මාතෘකාවේ මාතෘකාවම ඔබට නව විචල්‍යයක් හඳුන්වා දිය යුතු බව යෝජනා කරයි, උදාහරණයක් ලෙස y.

x සහ y ඉලක්කම් දෙකක් ඇත, එකක් අනෙකට වඩා 5 න් වැඩි වේ. ඒවා අතර සම්බන්ධතාවය ලියන්නේ කෙසේද? (x – y = 5)මෙය විචල්‍ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණයකි. එක් විචල්‍යයක් සහිත රේඛීය සමීකරණයක නිර්වචනය සමඟ ප්‍රතිසමයෙන්, විචල්‍ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණයක අර්ථ දැක්වීම සකස් කරමු. (විචල්‍ය දෙකක රේඛීය සමීකරණයක් යනු පෝරමයේ සමීකරණයකිපොරව + විසින් = c , කොහෙදa,b සහc - සමහර සංඛ්යා, සහx සහy -විචල්‍යයන්).

සමීකරණය x – y= 5 සමඟ x = 8, y = 3 නිවැරදි සමානාත්මතාවයට හැරේ 8 – 3 = 5. ඔවුන් පවසන්නේ x = 8, y = 3 යන විචල්‍යවල අගයන් යුගලය මෙම සමීකරණයට විසඳුමක් බවයි.

විචල්‍ය දෙකක් සහිත සමීකරණයකට විසඳුමක නිර්වචනය සකස් කරන්න (විචල්‍ය දෙකක් සහිත සමීකරණයකට විසඳුම මෙම සමීකරණය සැබෑ සමානාත්මතාවයක් බවට පත් කරන විචල්‍යවල අගයන් යුගලයකි)

විචල්‍ය අගයන් යුගල සමහර විට කෙටියෙන් ලියා ඇත: (8;3). එවැනි අංකනයකදී x අගය පළමු ස්ථානයේ ද y අගය දෙවන ස්ථානයේ ද ලියා ඇත.

එකම විසඳුම් ඇති (හෝ විසඳුම් නොමැති) විචල්‍ය දෙකක් සහිත සමීකරණ සමාන ලෙස හැඳින්වේ.

විචල්‍ය දෙකක් සහිත සමීකරණ එක් විචල්‍යයක් සහිත සමීකරණවලට සමාන ගුණ ඇත:

ඔබ සමීකරණයක කිසියම් පදයක් එක් කොටසක සිට තවත් කොටසකට ගෙන ගියහොත්, එහි ලකුණ වෙනස් කළහොත්, ඔබට ලබා දී ඇති එකට සමාන සමීකරණයක් ලැබෙනු ඇත.

සමීකරණයේ දෙපැත්තම එකම අංකයකින් ගුණ කළහොත් හෝ බෙදුවහොත් (ශුන්‍යයට සමාන නොවේ), ඔබට ලබා දී ඇති එකට සමාන සමීකරණයක් ලැබේ.

උදාහරණ 1. 10x + 5y = 15 සමීකරණය සලකා බලන්න. සමීකරණවල ගුණාංග භාවිතා කරමින්, අපි එක් විචල්‍යයක් තවත් විචල්‍යයක් අනුව ප්‍රකාශ කරමු.

මෙය සිදු කිරීම සඳහා, පළමුව වම් පැත්තේ සිට දකුණට 10x චලනය කරන්න, එහි ලකුණ වෙනස් කරන්න. අපට 5y = 15 - 10x සමාන සමීකරණය ලැබේ.

මෙම සමීකරණයේ සෑම කොටසක්ම අංක 5 න් බෙදීමෙන් අපට සමාන සමීකරණය ලැබේ.

y = 3 - 2x. මේ අනුව, අපි එක් විචල්‍යයක් තවත් විචල්‍යයක් අනුව ප්‍රකාශ කළෙමු. මෙම සමානාත්මතාවය භාවිතා කරමින්, x හි එක් එක් අගය සඳහා අපට y හි අගය ගණනය කළ හැකිය.

x = 2 නම්, y = 3 - 2 2 = -1.

x = -2 නම්, y = 3 - 2· (-2) = 7. සංඛ්‍යා යුගල (2; -1), (-2; 7) මෙම සමීකරණයට විසඳුම් වේ. මේ අනුව, මෙම සමීකරණයට අසීමිත විසඳුම් ඇත.

ඉතිහාසයෙන්.ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවල සමීකරණ විසඳීමේ ගැටලුව සුප්‍රසිද්ධ ග්‍රීක ගණිතඥ ඩයොෆන්ටස් (III සියවස) ගේ කෘතිවල විස්තරාත්මකව සලකා බලන ලදී. ඔහුගේ "අංක ගණිතය" යන නිබන්ධනයේ විවිධාකාර සමීකරණ සඳහා ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවලින් විචක්ෂණ විසඳුම් අඩංගු වේ. මේ සම්බන්ධයෙන්, ස්වාභාවික සංඛ්‍යා හෝ නිඛිලවල විසඳුම් අවශ්‍ය වන විචල්‍ය කිහිපයක් සහිත සමීකරණ ඩයොෆන්ටයින් සමීකරණ ලෙස හැඳින්වේ.

උදාහරණ 2.පිටි කිලෝ ග්රෑම් 3 ක් සහ කිලෝ ග්රෑම් 2 ක බෑග්වල ඇසුරුම් කර ඇත. පිටි කිලෝග්‍රෑම් 20 ක් සෑදීමට එක් එක් වර්ගයේ බෑග් කීයක් ගත යුතුද?

අපි කියමු අපි කිලෝග්‍රෑම් 3 ක x බෑග් සහ කිලෝග්‍රෑම් 2 ක y බෑග් ගත යුතු බව. එවිට 3x + 2y = 20. මෙම සමීකරණය තෘප්තිමත් කරන x සහ y විචල්‍යවල සියලුම ස්වාභාවික අගයන් යුගල සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය වේ. අපට ලැබෙන්නේ:

2y = 20 - 3x

y =

මෙම සමානාත්මතාවයට x වෙනුවට සියලුම සංඛ්‍යා 1,2,3 යනාදිය ආදේශ කිරීමෙන්, x හි කුමන අගයන් සඳහාද, y හි අගයන් ස්වාභාවික සංඛ්‍යා වේ දැයි සොයා ගනී.

අපට ලැබෙන්නේ: (2;7), (4;4), (6;1). මෙම සමීකරණය තෘප්තිමත් කරන වෙනත් යුගල නොමැත. මෙයින් අදහස් කරන්නේ ඔබ පිළිවෙලින් 2 සහ 7, හෝ 4 සහ 4, හෝ 6 සහ 1 පැකේජ ගත යුතු බවයි.

IV . පෙළ පොතෙන් වැඩ කරන්න (වාචිකව) අංක 1025, අංක 1027 (අ)

පන්තියේ පරීක්ෂණ සමඟ ස්වාධීන වැඩ.

1. විචල්‍ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණයක් ලියන්න.

a) 3x + 6y = 5 c) xy = 11 b) x – 2y = 5

2. සංඛ්‍යා යුගලයක් සමීකරණයකට විසඳුමක් ද?

2x + y = -5 (-4;3), (-1;-3), (0;5).

3. රේඛීය සමීකරණයෙන් ප්රකාශ කරන්න

4x – 3y = 12 a) x හරහා y b) y හරහා x

4. සමීකරණයට විසඳුම් තුනක් සොයන්න.

x + y = 27

වී . එබැවින්, සාරාංශ කිරීමට:

විචල්‍ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණයක් නිර්වචනය කරන්න.

විචල්‍ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණයක විසඳුම (මූල) ලෙස හඳුන්වන දේ.

විචල්‍ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණයක ගුණ දක්වන්න.

ශ්රේණිගත කිරීම.

ගෙදර වැඩ: 40 ඡේදය, අංක 1028, අංක 1032