Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami rovnice. Príklady

Poďme ďalej zvážiť aplikácie integrálneho počtu. V tejto lekcii sa pozrieme na typický a najbežnejší problém výpočtu plochy rovinného útvaru pomocou určitého integrálu. Napokon, nech ho nájdu všetci tí, ktorí hľadajú zmysel vo vyššej matematike. Nikdy nevieš. V reálnom živote budete musieť aproximovať dacha pomocou elementárnych funkcií a nájsť jej plochu pomocou určitého integrálu.

Ak chcete úspešne zvládnuť materiál, musíte:

1) Pochopte neurčitý integrál aspoň na strednej úrovni. Takže figuríny by sa mali najprv zoznámiť s lekciou Pána.

2) Byť schopný použiť Newtonov-Leibnizov vzorec a vypočítať určitý integrál. Na stránke Určitý integrál môžete nadviazať priateľské vzťahy s určitými integrálmi. Príklady riešení. Úloha „vypočítať plochu pomocou určitého integrálu“ vždy zahŕňa zostavenie výkresu, takže dôležitou otázkou budú aj vaše znalosti a zručnosti v kreslení. Minimálne musíte byť schopní zostrojiť priamku, parabolu a hyperbolu.

Začnime so zakriveným lichobežníkom. Zakrivený lichobežník je plochý útvar ohraničený grafom nejakej funkcie r = f(X), os VÔL a linky X = a; X = b.

Plocha krivočiareho lichobežníka sa číselne rovná určitému integrálu

Akýkoľvek určitý integrál (ktorý existuje) má veľmi dobrý geometrický význam. V lekcii Jednoznačný integrál. Príklady riešení sme povedali, že určitý integrál je číslo. A teraz je čas uviesť ďalší užitočný fakt. Z hľadiska geometrie je určitým integrálom PLOCHA. To znamená, že určitý integrál (ak existuje) geometricky zodpovedá ploche určitého obrázku. Zvážte určitý integrál

Integrand

definuje krivku v rovine (v prípade potreby ju možno nakresliť) a samotný určitý integrál sa numericky rovná ploche zodpovedajúceho krivočiareho lichobežníka.

Príklad 1

, , , .

Toto je typický príkaz na zadanie. Najdôležitejším bodom pri rozhodovaní je konštrukcia výkresu. Okrem toho musí byť výkres skonštruovaný SPRÁVNE.

Pri konštrukcii výkresu odporúčam nasledovné poradie: najprv je lepšie zostrojiť všetky priame čiary (ak nejaké sú) a až potom – paraboly, hyperboly a grafy iných funkcií. Techniku ​​bodovej konštrukcie možno nájsť v referenčnom materiáli Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií. Nájdete tam aj veľmi užitočný materiál pre našu lekciu - ako rýchlo postaviť parabolu.

V tomto probléme môže riešenie vyzerať takto.

Urobme kresbu (všimnite si, že rovnica r= 0 určuje os VÔL):

Zakrivený lichobežník nezatienime, tu je zrejmé, o akú oblasť ide. Riešenie pokračuje takto:

Na segmente [-2; 1] funkčný graf r = X 2 + 2 umiestnené nad osou VÔL, Preto:

Odpoveď: .

Kto má problémy s výpočtom určitého integrálu a aplikáciou Newton-Leibnizovho vzorca

,

Pozrite si prednášku Jednoznačný integrál. Príklady riešení. Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na výkres a zistiť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade počítame počet buniek na výkrese „okom“ - no, bude ich asi 9, zdá sa, že je to pravda. Je úplne jasné, že ak sme dostali povedzme odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, tak je zrejmé, že niekde sa stala chyba – 20 buniek sa evidentne nezmestí do predmetného čísla, maximálne tucet. Ak je odpoveď záporná, úloha bola tiež vyriešená nesprávne.

Príklad 2

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami xy = 4, X = 2, X= 4 a os VÔL.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Čo robiť, ak sa pod osou nachádza zakrivený lichobežník VÔL?

Príklad 3

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami r = e-x, X= 1 a súradnicové osi.

Riešenie: Urobme kresbu:

Ak je zakrivený lichobežník úplne umiestnený pod osou VÔL, potom jeho oblasť možno nájsť pomocou vzorca:

V tomto prípade:

.

Pozor! Tieto dva typy úloh by sa nemali zamieňať:

1) Ak vás požiadajú, aby ste jednoducho vyriešili určitý integrál bez akéhokoľvek geometrického významu, potom môže byť záporný.

2) Ak ste požiadaní, aby ste našli plochu obrazca pomocou určitého integrálu, potom je plocha vždy kladná! Preto sa v práve diskutovanom vzorci objavuje mínus.

V praxi sa obrazca najčastejšie nachádza v hornej aj dolnej polrovine, a preto od najjednoduchších školských úloh prechádzame k zmysluplnejším príkladom.

Príklad 4

Nájdite plochu rovinnej postavy ohraničenú čiarami r = 2X – X 2 , r = -X.

Riešenie: Najprv musíte urobiť kresbu. Pri konštrukcii výkresu v plošných úlohách nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly r = 2X – X 2 a rovno r = -X. Dá sa to urobiť dvoma spôsobmi. Prvá metóda je analytická. Riešime rovnicu:

To znamená, že spodná hranica integrácie a= 0, horná hranica integrácie b= 3. Často je ziskovejšie a rýchlejšie konštruovať čiary bod po bode a hranice integrácie sa vyjasnia „samo od seba“. Analytická metóda hľadania limitov sa však stále niekedy musí použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo podrobná konštrukcia neodhalila limity integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne). Vráťme sa k našej úlohe: racionálnejšie je najprv zostrojiť priamku a až potom parabolu. Urobme výkres:

Zopakujme, že pri bodovej konštrukcii sa hranice integrácie najčastejšie určujú „automaticky“.

A teraz pracovný vzorec:

Ak na segmente [ a; b] nejaká nepretržitá funkcia f(X) je väčšia alebo rovná nejakej spojitej funkcii g(X), potom oblasť zodpovedajúceho obrázku možno nájsť pomocou vzorca:

Tu už netreba rozmýšľať nad tým, kde sa obrazec nachádza – nad osou alebo pod osou, ale dôležité je, ktorý graf je VYŠŠIE (vo vzťahu k inému grafu) a ktorý POD.

V uvažovanom príklade je zrejmé, že na segmente sa parabola nachádza nad priamkou, a preto od 2. X – X 2 treba odpočítať – X.

Hotové riešenie môže vyzerať takto:

Požadovaná hodnota je obmedzená parabolou r = 2X – X 2 hore a rovno r = -X nižšie.

V segmente 2 X – X 2 ≥ -X. Podľa zodpovedajúceho vzorca:

Odpoveď: .

V skutočnosti je školský vzorec pre oblasť krivočiareho lichobežníka v dolnej polrovine (pozri príklad č. 3) špeciálnym prípadom vzorca

.

Pretože os VÔL daný rovnicou r= 0 a graf funkcie g(X) umiestnený pod osou VÔL, To

.

A teraz pár príkladov pre vlastné riešenie

Príklad 5

Príklad 6

Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami

Pri riešení problémov s výpočtom plochy pomocou určitého integrálu sa niekedy stane vtipná príhoda. Výkres bol dokončený správne, výpočty boli správne, ale kvôli neopatrnosti... bola nájdená oblasť nesprávneho obrázku.

Príklad 7

Najprv urobme kresbu:

Figúrka, ktorej oblasť potrebujeme nájsť, je vytieňovaná modrou farbou (pozrite sa pozorne na stav - ako je postava obmedzená!). V praxi sa však ľudia kvôli nepozornosti často rozhodnú, že musia nájsť oblasť postavy, ktorá je zatienená zelenou farbou!

Tento príklad je tiež užitočný, pretože vypočítava plochu obrazca pomocou dvoch určitých integrálov. naozaj:

1) Na segmente [-1; 1] nad osou VÔL graf je umiestnený rovno r = X+1;

2) Na segmente nad osou VÔL nachádza sa graf hyperboly r = (2/X).

Je celkom zrejmé, že oblasti sa môžu (a mali by) pridať, preto:

odpoveď:

Príklad 8

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami

Uveďme rovnice v „školskej“ forme

a urobte bod po bode nákres:

Z nákresu je zrejmé, že naša horná hranica je „dobrá“: b = 1.

Ale aká je spodná hranica?! Je jasné, že to nie je celé číslo, ale čo to je?

Možno, a= (-1/3)? Ale kde je záruka, že výkres je vyrobený s dokonalou presnosťou, môže sa to ukázať a= (-1/4). Čo ak sme graf zostavili nesprávne?

V takýchto prípadoch musíte stráviť viac času a analyticky si ujasniť hranice integrácie.

Poďme nájsť priesečníky grafov

Aby sme to dosiahli, riešime rovnicu:

.

teda a=(-1/3).

Ďalšie riešenie je triviálne. Hlavnou vecou nie je zmiasť sa v zámenách a znakoch. Výpočty tu nie sú najjednoduchšie. Na segmente

, ,

podľa príslušného vzorca:

odpoveď:

Na záver lekcie sa pozrime na dve náročnejšie úlohy.

Príklad 9

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami

Riešenie: Znázornime tento obrázok na výkrese.

Na zostavenie bodového výkresu potrebujete poznať vzhľad sínusoidy. Vo všeobecnosti je užitočné poznať grafy všetkých elementárnych funkcií, ako aj niektoré sínusové hodnoty. Nájdete ich v tabuľke hodnôt goniometrických funkcií. V niektorých prípadoch (napríklad v tomto prípade) je možné zostaviť schematický výkres, na ktorom by mali byť grafy a limity integrácie zásadne správne zobrazené.

Tu nie sú žiadne problémy s limitmi integrácie, vyplývajú priamo z podmienky:

– „x“ sa zmení z nuly na „pi“. Urobme ďalšie rozhodnutie:

Na segmente, grafe funkcie r= hriech 3 X umiestnený nad osou VÔL, Preto:

(1) V lekcii Integrály goniometrických funkcií môžete vidieť, ako sú sínusy a kosínusy integrované do nepárnych mocnín. Odštípneme jeden sínus.

(2) Vo formulári používame hlavnú goniometrickú identitu

(3) Zmeňme premennú t=cos X, potom: sa nachádza nad osou, preto:

.

.

Poznámka: všimnite si, ako sa berie integrál tangensovej kocky; tu je použitý dôsledok základnej goniometrickej identity

.

Ako vložiť matematické vzorce na webovú stránku?

Ak niekedy potrebujete pridať jeden alebo dva matematické vzorce na webovú stránku, najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je popísaný v článku: matematické vzorce sa jednoducho vložia na stránku vo forme obrázkov, ktoré automaticky generuje Wolfram Alpha. . Táto univerzálna metóda okrem jednoduchosti pomôže zlepšiť viditeľnosť stránky vo vyhľadávačoch. Funguje to už dlho (a myslím si, že bude fungovať navždy), ale je už morálne zastarané.

Ak na svojej stránke pravidelne používate matematické vzorce, potom vám odporúčam použiť MathJax – špeciálnu knižnicu JavaScript, ktorá zobrazuje matematický zápis vo webových prehliadačoch pomocou značiek MathML, LaTeX alebo ASCIIMathML.

Existujú dva spôsoby, ako začať používať MathJax: (1) pomocou jednoduchého kódu môžete rýchlo pripojiť skript MathJax k vašej webovej stránke, ktorý sa automaticky načíta zo vzdialeného servera v správnom čase (zoznam serverov); (2) stiahnite si skript MathJax zo vzdialeného servera na váš server a pripojte ho ku všetkým stránkam vášho webu. Druhý spôsob – zložitejší a časovo náročnejší – zrýchli načítavanie stránok vášho webu a ak sa materský server MathJax z nejakého dôvodu stane dočasne nedostupným, váš vlastný web to nijako neovplyvní. Napriek týmto výhodám som zvolil prvý spôsob, keďže je jednoduchší, rýchlejší a nevyžaduje technické zručnosti. Nasledujte môj príklad a už za 5 minút budete môcť na svojej stránke využívať všetky funkcie MathJax.

Skript knižnice MathJax môžete pripojiť zo vzdialeného servera pomocou dvoch možností kódu prevzatých z hlavnej webovej stránky MathJax alebo na stránke dokumentácie:

Jednu z týchto možností kódu je potrebné skopírovať a vložiť do kódu vašej webovej stránky, najlepšie medzi značky alebo bezprostredne za značku. Podľa prvej možnosti sa MathJax načítava rýchlejšie a menej spomaľuje stránku. Ale druhá možnosť automaticky monitoruje a načítava najnovšie verzie MathJax. Ak vložíte prvý kód, bude potrebné ho pravidelne aktualizovať. Ak vložíte druhý kód, stránky sa budú načítavať pomalšie, ale nebudete musieť neustále sledovať aktualizácie MathJax.

Najjednoduchší spôsob pripojenia MathJax je v Blogger alebo WordPress: na ovládacom paneli lokality pridajte miniaplikáciu určenú na vkladanie kódu JavaScript tretej strany, skopírujte do nej prvú alebo druhú verziu vyššie uvedeného kódu na stiahnutie a umiestnite miniaplikáciu bližšie. na začiatok šablóny (mimochodom, nie je to vôbec potrebné, pretože skript MathJax sa načítava asynchrónne). To je všetko. Teraz sa naučte syntax značiek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a ste pripravení vložiť matematické vzorce do webových stránok vašej lokality.

Akýkoľvek fraktál je skonštruovaný podľa určitého pravidla, ktoré sa dôsledne uplatňuje neobmedzený počet krát. Každý takýto čas sa nazýva iterácia.

Iteračný algoritmus na zostavenie Mengerovej špongie je celkom jednoduchý: pôvodná kocka so stranou 1 je rozdelená rovinami rovnobežnými s jej plochami na 27 rovnakých kociek. Odstráni sa z nej jedna centrálna kocka a 6 kociek, ktoré k nej priliehajú pozdĺž plôch. Výsledkom je sada pozostávajúca zo zvyšných 20 menších kociek. Ak urobíme to isté s každou z týchto kociek, dostaneme súpravu pozostávajúcu zo 400 menších kociek. Pokračujúc v tomto procese donekonečna, dostaneme Mengerovu špongiu.

Aplikácia integrálu na riešenie aplikovaných úloh

Výpočet plochy

Určitý integrál spojitej nezápornej funkcie f(x) sa numericky rovná ploche krivočiareho lichobežníka ohraničeného krivkou y = f(x), osou O x a priamkami x = a a x = b. V súlade s tým je vzorec oblasti napísaný takto:

Pozrime sa na niekoľko príkladov výpočtu plôch rovinných útvarov.

Úloha č.1. Vypočítajte plochu ohraničenú priamkami y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Riešenie. Zostrojme obrazec, ktorého plochu budeme musieť vypočítať.

y = x 2 + 1 je parabola, ktorej vetvy smerujú nahor a parabola je oproti osi O y posunutá nahor o jednu jednotku (obrázok 1).

Obrázok 1. Graf funkcie y = x 2 + 1

Úloha č.2. Vypočítajte plochu ohraničenú priamkami y = x 2 – 1, y = 0 v rozsahu od 0 do 1.

Riešenie. Graf tejto funkcie je parabola vetiev, ktoré sú nasmerované nahor a parabola je posunutá vzhľadom na os O y nadol o jednu jednotku (obrázok 2).

Obrázok 2. Graf funkcie y = x 2 – 1

Úloha č. 3. Nakreslite a vypočítajte plochu figúry ohraničenú čiarami

y = 8 + 2x – x 2 a y = 2x – 4.

Riešenie. Prvá z týchto dvoch čiar je parabola s vetvami smerujúcimi nadol, pretože koeficient x 2 je záporný, a druhá čiara je priamka pretínajúca obe súradnicové osi.

Na zostrojenie paraboly nájdeme súradnice jej vrcholu: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – úsečka vrcholu; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 je jeho ordináta, N(1;9) je vrchol.

Teraz nájdime priesečníky paraboly a priamky riešením sústavy rovníc:

Vyrovnanie pravých strán rovnice, ktorej ľavé strany sú rovnaké.

Dostaneme 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 alebo x 2 – 12 = 0, odkiaľ .

Body sú teda priesečníky paraboly a priamky (obrázok 1).

Obrázok 3 Grafy funkcií y = 8 + 2x – x 2 a y = 2x – 4

Zostrojme priamku y = 2x – 4. Prechádza bodmi (0;-4), (2;0) na súradnicových osiach.

Na zostrojenie paraboly môžete použiť aj jej priesečníky s osou 0x, teda korene rovnice 8 + 2x – x 2 = 0 alebo x 2 – 2x – 8 = 0. Pomocou Vietovej vety je jednoduché nájsť jeho korene: x 1 = 2, x 2 = 4.

Obrázok 3 zobrazuje obrazec (parabolický segment M1N M2) ohraničený týmito čiarami.

Druhou časťou problému je nájsť oblasť tohto obrázku. Jeho obsah možno nájsť pomocou určitého integrálu podľa vzorca .

Vo vzťahu k tejto podmienke dostaneme integrál:

2 Výpočet objemu rotačného telesa

Objem telesa získaný z rotácie krivky y = f(x) okolo osi O x sa vypočíta podľa vzorca:

Pri otáčaní okolo osi Oy vzorec vyzerá takto:

Úloha č.4. Určte objem telesa získaného rotáciou zakriveného lichobežníka ohraničeného priamkami x = 0 x = 3 a krivkou y = okolo osi O x.

Riešenie. Nakreslíme obrázok (obrázok 4).

Obrázok 4. Graf funkcie y =

Požadovaný objem je

Úloha č.5. Vypočítajte objem telesa získaný rotáciou zakriveného lichobežníka ohraničeného krivkou y = x 2 a priamkami y = 0 a y = 4 okolo osi O y.

Riešenie. Máme:

Kontrolné otázky

Poďme ďalej zvážiť aplikácie integrálneho počtu. V tejto lekcii budeme analyzovať typický a najbežnejší problém - ako vypočítať plochu rovinného útvaru pomocou určitého integrálu. Konečne tí, ktorí hľadajú zmysel vo vyššej matematike – nech ho nájdu. Nikdy nevieš. V reálnom živote budete musieť aproximovať dacha pomocou elementárnych funkcií a nájsť jej plochu pomocou určitého integrálu.

Ak chcete úspešne zvládnuť materiál, musíte:

1) Pochopte neurčitý integrál aspoň na strednej úrovni. Preto by sa figuríny mali najskôr oboznámiť s lekciou Nie.

2) Byť schopný použiť Newtonov-Leibnizov vzorec a vypočítať určitý integrál. Na stránke Určitý integrál môžete nadviazať priateľské vzťahy s určitými integrálmi. Príklady riešení.

V skutočnosti, aby ste našli oblasť obrazca, nepotrebujete toľko vedomostí o neurčitom a určitom integráli. Úloha „vypočítať plochu pomocou určitého integrálu“ vždy zahŕňa zostavenie výkresu, takže vaše znalosti a zručnosti pri zostavovaní výkresov budú oveľa naliehavejšou otázkou. V tomto smere je užitočné osviežiť si pamäť grafov základných elementárnych funkcií a minimálne vedieť zostrojiť priamku, parabolu a hyperbolu. To sa dá (pre mnohých nevyhnutné) pomocou metodického materiálu a článku o geometrických transformáciách grafov.

Úlohu nájsť oblasť pomocou určitého integrálu pozná vlastne každý už od školy a ďalej než k školským osnovám nepôjdeme. Tento článok by možno vôbec neexistoval, no faktom je, že problém nastáva v 99 prípadoch zo 100, keď študent trpí nenávidenou školou a s nadšením ovláda kurz vyššej matematiky.

Materiály tohto workshopu sú prezentované jednoducho, podrobne a s minimom teórie.

Začnime so zakriveným lichobežníkom.

Zakrivený lichobežník je plochý útvar ohraničený osou, rovnými čiarami a grafom funkcie súvislej na segmente, ktorý na tomto intervale nemení znamienko. Nechajte tento obrázok nájsť nie menej os x:

Potom sa plocha krivočiareho lichobežníka číselne rovná určitému integrálu. Akýkoľvek určitý integrál (ktorý existuje) má veľmi dobrý geometrický význam. V lekcii Jednoznačný integrál. Príklady riešení Povedal som, že určitý integrál je číslo. A teraz je čas uviesť ďalší užitočný fakt. Z hľadiska geometrie je určitým integrálom PLOCHA.

To znamená, že určitý integrál (ak existuje) geometricky zodpovedá ploche určitého obrázku. Uvažujme napríklad určitý integrál. Integrand definuje krivku v rovine umiestnenej nad osou (tí, ktorí si to želajú, môžu kresliť) a samotný určitý integrál sa číselne rovná ploche zodpovedajúceho krivočiareho lichobežníka.

Príklad 1

Toto je typický príkaz na zadanie. Prvým a najdôležitejším bodom pri rozhodovaní je kreslenie. Okrem toho musí byť výkres skonštruovaný SPRÁVNE.

Pri konštrukcii výkresu odporúčam nasledovné poradie: najprv je lepšie zostrojiť všetky priame čiary (ak nejaké sú) a až potom – paraboly, hyperboly a grafy iných funkcií. Výhodnejšie je konštruovať grafy funkcií bodovo, techniku ​​bodovej konštrukcie nájdete v referenčnom materiáli Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií. Nájdete tam aj veľmi užitočný materiál pre našu lekciu - ako rýchlo postaviť parabolu.

V tomto probléme môže riešenie vyzerať takto.
Nakreslíme výkres (všimnite si, že rovnica definuje os):

Nebudem tieniť zakrivený lichobežník, tu je zrejmé, o ktorej oblasti hovoríme. Riešenie pokračuje takto:

Na segmente je graf funkcie umiestnený nad osou, preto:

odpoveď:

Kto má problémy s výpočtom určitého integrálu a aplikáciou Newton-Leibnizovho vzorca , pozrite si prednášku Určitý integrál. Príklady riešení.

Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na výkres a zistiť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade počítame počet buniek na výkrese „okom“ - no, bude ich asi 9, zdá sa, že je to pravda. Je úplne jasné, že ak sme dostali povedzme odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, tak je zrejmé, že niekde sa stala chyba – 20 buniek sa evidentne nezmestí do predmetného čísla, maximálne tucet. Ak je odpoveď záporná, úloha bola tiež vyriešená nesprávne.

Príklad 2

Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarami, a osami

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Čo robiť, ak sa pod osou nachádza zakrivený lichobežník?

Príklad 3

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami a súradnicovými osami.

Riešenie: Urobme kresbu:

Ak je zakrivený lichobežník umiestnený pod osou (alebo aspoň nie vyššie danú os), potom jeho plochu možno nájsť pomocou vzorca:
V tomto prípade:

Pozor! Tieto dva typy úloh by sa nemali zamieňať:

1) Ak vás požiadajú, aby ste jednoducho vyriešili určitý integrál bez akéhokoľvek geometrického významu, potom môže byť záporný.

2) Ak ste požiadaní, aby ste našli plochu obrazca pomocou určitého integrálu, potom je plocha vždy kladná! Preto sa v práve diskutovanom vzorci objavuje mínus.

V praxi sa obrazca najčastejšie nachádza v hornej aj dolnej polrovine, a preto od najjednoduchších školských úloh prechádzame k zmysluplnejším príkladom.

Príklad 4

Nájdite plochu rovinnej postavy ohraničenú čiarami , .

Riešenie: Najprv musíte urobiť kresbu. Všeobecne povedané, pri konštrukcii výkresu v plošných úlohách nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly a priamky. Dá sa to urobiť dvoma spôsobmi. Prvá metóda je analytická. Riešime rovnicu:

To znamená, že dolná hranica integrácie je , horná hranica integrácie je .
Ak je to možné, je lepšie túto metódu nepoužívať.

Je oveľa výnosnejšie a rýchlejšie stavať čiary bod po bode a hranice integrácie sa vyjasnia „samo od seba“. Technika bodovej konštrukcie pre rôzne grafy je podrobne rozobratá v pomocníkovi Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií. Analytická metóda hľadania limitov sa však stále niekedy musí použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo podrobná konštrukcia neodhalila limity integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne). A tiež zvážime taký príklad.

Vráťme sa k našej úlohe: racionálnejšie je najprv zostrojiť priamku a až potom parabolu. Urobme výkres:

Opakujem, že pri bodovej konštrukcii sa hranice integrácie najčastejšie zisťujú „automaticky“.

A teraz pracovný vzorec: Ak je na segmente nejaká spojitá funkcia väčšia alebo rovná nejakej spojitej funkcii, potom oblasť obrázku obmedzenú grafmi týchto funkcií a priamkami možno nájsť podľa vzorca:

Tu už nemusíte myslieť na to, kde sa obrazec nachádza – nad osou alebo pod osou, a zhruba povedané, je dôležité, ktorý graf je VYŠŠIE (vo vzťahu k inému grafu) a ktorý POD.

V uvažovanom príklade je zrejmé, že na segmente sa parabola nachádza nad priamkou, a preto je potrebné odpočítať od

Hotové riešenie môže vyzerať takto:

Požadovaná hodnota je obmedzená parabolou nad a priamkou pod ňou.
Na segmente podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď:

V skutočnosti je školský vzorec pre oblasť krivočiareho lichobežníka v dolnej polrovine (pozri jednoduchý príklad č. 3) špeciálnym prípadom vzorca . Keďže os je určená rovnicou a graf funkcie je umiestnený nie vyššie osy teda

A teraz pár príkladov pre vlastné riešenie

Príklad 5

Príklad 6

Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami , .

Pri riešení problémov s výpočtom plochy pomocou určitého integrálu sa niekedy stane vtipná príhoda. Kresba bola urobená správne, výpočty boli správne, ale kvôli neopatrnosti... bola nájdená oblasť nesprávnej postavy, presne takto sa váš skromný sluha niekoľkokrát pomýlil. Tu je skutočný prípad:

Príklad 7

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , , , .

Riešenie: Najprv urobme kresbu:

...Eh, kresba mi vyšla, ale všetko sa zdá byť čitateľné.

Figúrka, ktorej oblasť potrebujeme nájsť, je vytieňovaná modrou farbou (pozrite sa pozorne na stav - ako je postava obmedzená!). V praxi sa však v dôsledku nepozornosti často vyskytuje „závada“, že musíte nájsť oblasť postavy, ktorá je zatienená zelenou farbou!

Tento príklad je užitočný aj v tom, že vypočítava plochu obrazca pomocou dvoch určitých integrálov. naozaj:

1) Na segmente nad osou je graf priamky;

2) Na segmente nad osou je graf hyperboly.

Je celkom zrejmé, že oblasti sa môžu (a mali by) pridať, preto:

odpoveď:

Prejdime k ďalšej zmysluplnej úlohe.

Príklad 8

Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarami,
Predstavme si rovnice v „školskej“ forme a urobme bod po bode:

Z nákresu je zrejmé, že naša horná hranica je „dobrá“: .
Ale aká je spodná hranica?! Je jasné, že to nie je celé číslo, ale čo to je? Možno ? Ale kde je záruka, že výkres je vyrobený s dokonalou presnosťou, môže sa dobre ukázať, že... Alebo koreň. Čo ak sme graf zostavili nesprávne?

V takýchto prípadoch musíte stráviť viac času a analyticky si ujasniť hranice integrácie.

Nájdite priesečníky priamky a paraboly.
Aby sme to dosiahli, riešime rovnicu:


,

Naozaj,.

Ďalšie riešenie je triviálne, hlavnou vecou nie je zmiasť sa v zámenách a znamienkach, výpočty tu nie sú najjednoduchšie.

Na segmente , podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď:

Na záver lekcie sa pozrime na dve zložitejšie úlohy.

Príklad 9

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , ,

Riešenie: Znázornime tento obrázok na výkrese.

Sakra, zabudol som podpísať rozvrh a, prepáčte, nechcel som prerobiť obrázok. Nie je deň kreslenia, skrátka dnes je ten deň =)

Pre konštrukciu bod po bode potrebujete poznať vzhľad sínusoidy (a vo všeobecnosti je užitočné poznať grafy všetkých elementárnych funkcií), ako aj niektoré hodnoty sínusu, ktoré nájdete v trigonometrická tabuľka. V niektorých prípadoch (ako v tomto prípade) je možné zostrojiť schematický nákres, na ktorom by mali byť grafy a limity integrácie zásadne správne zobrazené.

Tu nie sú žiadne problémy s limitmi integrácie, vyplývajú priamo z podmienky: „x“ sa mení z nuly na „pi“. Urobme ďalšie rozhodnutie:

Na segmente je graf funkcie umiestnený nad osou, preto:

V tomto článku sa dozviete, ako nájsť oblasť obrázku ohraničenú čiarami pomocou integrálnych výpočtov. Prvýkrát sa s formuláciou takéhoto problému stretávame na strednej škole, keď sme práve ukončili štúdium určitých integrálov a je čas začať s geometrickým výkladom získaných poznatkov v praxi.

Čo je teda potrebné na úspešné vyriešenie problému nájdenia oblasti obrázku pomocou integrálov:

• Schopnosť robiť kompetentné výkresy;
• Schopnosť riešiť určitý integrál pomocou známeho Newtonovho-Leibnizovho vzorca;
• Schopnosť „vidieť“ výnosnejšiu možnosť riešenia – t.j. pochopiť, ako bude pohodlnejšie vykonať integráciu v jednom alebo druhom prípade? Pozdĺž osi x (OX) alebo osi y (OY)?
• Kde by sme boli bez správnych výpočtov?) To zahŕňa pochopenie toho, ako vyriešiť tento iný typ integrálov a správne numerické výpočty.

Algoritmus na riešenie problému výpočtu plochy obrazca ohraničeného čiarami:

1. Staviame výkres. Je vhodné to urobiť na kockovanom papieri vo veľkom meradle. Názov tejto funkcie podpíšeme ceruzkou nad každým grafom. Podpisovanie grafov sa vykonáva výlučne pre pohodlie ďalších výpočtov. Po získaní grafu požadovaného čísla bude vo väčšine prípadov okamžite jasné, ktoré limity integrácie sa použijú. Úlohu teda riešime graficky. Stáva sa však, že hodnoty limitov sú zlomkové alebo iracionálne. Preto môžete vykonať ďalšie výpočty, prejdite na druhý krok.

2. Ak nie sú explicitne špecifikované limity integrácie, nájdeme priesečníky grafov medzi sebou a uvidíme, či sa naše grafické riešenie zhoduje s analytickým.

3. Ďalej musíte analyzovať výkres. V závislosti od toho, ako sú grafy funkcií usporiadané, existujú rôzne prístupy k nájdeniu oblasti obrázku. Pozrime sa na rôzne príklady hľadania oblasti obrazca pomocou integrálov.

3.1. Najklasickejšia a najjednoduchšia verzia problému je, keď potrebujete nájsť oblasť zakriveného lichobežníka. Čo je to zakrivený lichobežník? Toto je plochý údaj ohraničený osou x (y = 0), priamkami x = a, x = b a ľubovoľnou krivkou súvislou v intervale od a po b. Navyše tento údaj nie je záporný a nenachádza sa pod osou x. V tomto prípade sa plocha krivočiareho lichobežníka numericky rovná určitému integrálu, vypočítanému pomocou vzorca Newton-Leibniz:

Príklad 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Akými čiarami je obrazec ohraničený? Máme parabolu y = x2 - 3x + 3, ktorá sa nachádza nad osou OX, je nezáporná, pretože všetky body tejto paraboly majú kladné hodnoty. Ďalej sú uvedené priamky x = 1 a x = 3, ktoré prebiehajú rovnobežne s osou operačného zosilňovača a sú hraničnými čiarami obrázku vľavo a vpravo. No, y = 0, čo je tiež os x, ktorá obmedzuje obrázok zdola. Výsledný obrázok je vytieňovaný, ako je možné vidieť na obrázku vľavo. V takom prípade môžete problém okamžite začať riešiť. Pred nami je jednoduchý príklad zakriveného lichobežníka, ktorý potom vyriešime pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca.

3.2. V predchádzajúcom odseku 3.1 sme skúmali prípad, keď sa nad osou x nachádza zakrivený lichobežník. Teraz zvážte prípad, keď sú podmienky problému rovnaké, okrem toho, že funkcia leží pod osou x. K štandardnému Newton-Leibnizovmu vzorcu sa pridáva mínus. Ako vyriešiť takýto problém, zvážime nižšie.

Príklad 2. Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú priamkami y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

V tomto príklade máme parabolu y = x2 + 6x + 2, ktorá vychádza pod osou OX, priamky x = -4, x = -1, y = 0. Tu y = 0 obmedzuje požadovanú hodnotu zhora. Priamky x = -4 a x = -1 sú hranice, v rámci ktorých sa vypočíta určitý integrál. Princíp riešenia problému nájdenia plochy obrazca sa takmer úplne zhoduje s príkladom číslo 1. Jediný rozdiel je v tom, že daná funkcia nie je kladná a je tiež spojitá na intervale [-4; -1]. Čo tým myslíš nie pozitívne? Ako vidno z obrázku, útvar, ktorý leží v rámci daného x, má výlučne „záporné“ súradnice, čo musíme vidieť a zapamätať si pri riešení úlohy. Hľadáme oblasť postavy pomocou vzorca Newton-Leibniz, iba so znamienkom mínus na začiatku.

Článok nie je dokončený.