Ano ang inaasahan ng asawa? Formula ng inaasahan

Ang expectation ay ang probability distribution ng isang random variable

Pag-asa sa matematika, kahulugan, pag-asa sa matematika ng mga discrete at tuloy-tuloy na random na variable, sample, conditional expectation, pagkalkula, mga katangian, mga problema, pagtatantya ng inaasahan, dispersion, distribution function, mga formula, mga halimbawa ng pagkalkula

Palawakin ang mga nilalaman

I-collapse ang nilalaman

Ang pag-asa sa matematika ay ang kahulugan

Isa sa mga pinakamahalagang konsepto sa mga istatistika ng matematika at teorya ng posibilidad, na nagpapakilala sa pamamahagi ng mga halaga o probabilidad ng isang random na variable. Karaniwang ipinapahayag bilang weighted average ng lahat ng posibleng parameter ng random variable. Malawakang ginagamit sa teknikal na pagsusuri, pag-aaral ng serye ng numero, at pag-aaral ng tuloy-tuloy at matagal na proseso. Mahalaga ito sa pagtatasa ng mga panganib, paghula ng mga tagapagpahiwatig ng presyo kapag nangangalakal sa mga pamilihang pinansyal, at ginagamit sa pagbuo ng mga estratehiya at pamamaraan ng mga taktika sa paglalaro sa teorya ng pagsusugal.

Ang inaasahan sa matematika ay ang average na halaga ng isang random variable, ang probability distribution ng isang random variable ay isinasaalang-alang sa probability theory.

Ang inaasahan sa matematika ay isang sukatan ng average na halaga ng isang random variable sa probability theory. Pag-asa ng isang random na variable x ipinapahiwatig ng M(x).

Ang inaasahan sa matematika ay

Ang inaasahan sa matematika ay sa probability theory, isang weighted average ng lahat ng posibleng value na maaaring kunin ng random variable.

Ang inaasahan sa matematika ay ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng posibleng mga halaga ng isang random na variable at ang mga probabilidad ng mga halagang ito.

Ang inaasahan sa matematika ay ang average na benepisyo mula sa isang partikular na desisyon, sa kondisyon na ang naturang desisyon ay maaaring isaalang-alang sa loob ng balangkas ng teorya ng malalaking numero at long distance.

Ang inaasahan sa matematika ay sa teorya ng pagsusugal, ang halaga ng mga panalo na maaaring kumita o matalo ng isang manlalaro, sa karaniwan, para sa bawat taya. Sa parlance ng pagsusugal, ito ay tinatawag minsan na "player's edge" (kung ito ay positibo para sa player) o ang "house edge" (kung ito ay negatibo para sa player).

Ang inaasahan sa matematika ay ang porsyento ng tubo sa bawat panalo na pinarami ng average na kita, na binawasan ang posibilidad ng pagkatalo na pinarami ng average na pagkalugi.

Mathematical expectation ng isang random variable sa matematika theory

Ang isa sa mga mahalagang katangiang pang-numero ng isang random na variable ay ang mathematical expectation nito. Ipakilala natin ang konsepto ng isang sistema ng mga random na variable. Isaalang-alang natin ang isang hanay ng mga random na variable na mga resulta ng parehong random na eksperimento. Kung ito ay isa sa mga posibleng halaga ng system, kung gayon ang kaganapan ay tumutugma sa isang tiyak na posibilidad na nakakatugon sa mga axiom ni Kolmogorov. Ang isang function na tinukoy para sa anumang posibleng mga halaga ng mga random na variable ay tinatawag na joint distribution law. Binibigyang-daan ka ng function na ito na kalkulahin ang mga probabilidad ng anumang mga kaganapan mula sa. Sa partikular, ang magkasanib na batas sa pamamahagi ng mga random na variable at, na kumukuha ng mga halaga mula sa set at, ay ibinibigay ng mga probabilidad.

Ang terminong "mathematical expectation" ay ipinakilala ni Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) at nagmula sa konsepto ng "inaasahang halaga ng mga panalo," na unang lumitaw noong ika-17 siglo sa teorya ng pagsusugal sa mga gawa nina Blaise Pascal at Christiaan Huygens. Gayunpaman, ang unang kumpletong teoretikal na pag-unawa at pagtatasa ng konseptong ito ay ibinigay ni Pafnuty Lvovich Chebyshev (kalagitnaan ng ika-19 na siglo).

Ang batas sa pamamahagi ng mga random na variable na numero (distribution function at distribution series o probability density) ay ganap na naglalarawan ng gawi ng isang random na variable. Ngunit sa isang bilang ng mga problema, sapat na upang malaman ang ilang mga numerical na katangian ng dami na pinag-aaralan (halimbawa, ang average na halaga nito at posibleng paglihis mula dito) upang masagot ang tanong na ibinibigay. Ang pangunahing numerical na katangian ng mga random na variable ay ang mathematical expectation, variance, mode at median.

Ang pag-asa sa matematika ng isang discrete random variable ay ang kabuuan ng mga produkto ng mga posibleng halaga nito at ang kanilang mga kaukulang probabilidad. Minsan ang inaasahan sa matematika ay tinatawag na weighted average, dahil ito ay humigit-kumulang katumbas ng arithmetic mean ng mga naobserbahang halaga ng isang random na variable sa isang malaking bilang ng mga eksperimento. Mula sa kahulugan ng mathematical expectation ay sumusunod na ang halaga nito ay hindi bababa sa pinakamaliit na posibleng halaga ng isang random variable at hindi hihigit sa pinakamalaking. Ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable ay isang non-random (constant) variable.

Ang pag-asa sa matematika ay may simpleng pisikal na kahulugan: kung maglalagay ka ng isang unit mass sa isang tuwid na linya, maglalagay ng isang tiyak na masa sa ilang mga punto (para sa isang discrete distribution), o "pahiran" ito ng isang tiyak na density (para sa isang ganap na tuluy-tuloy na pamamahagi) , kung gayon ang punto na tumutugma sa inaasahan sa matematika ay ang coordinate na "center of gravity" ay tuwid.

Ang average na halaga ng isang random na variable ay isang tiyak na numero na, kumbaga, ang "kinatawan" nito at pinapalitan ito sa halos tinatayang mga kalkulasyon. Kapag sinabi namin: "ang average na oras ng pagpapatakbo ng lamp ay 100 oras" o "ang average na punto ng epekto ay inilipat kaugnay sa target ng 2 m pakanan," kami ay nagpapahiwatig ng isang tiyak na numerical na katangian ng isang random na variable na naglalarawan sa lokasyon nito sa numerical axis, i.e. "mga katangian ng posisyon".

Sa mga katangian ng isang posisyon sa probability theory, ang pinakamahalagang papel ay ginagampanan ng matematikal na pag-asa ng isang random variable, na kung minsan ay tinatawag lamang na average na halaga ng isang random variable.

Isaalang-alang ang random variable X, pagkakaroon ng mga posibleng halaga x1, x2, …, xn may probabilidad p1, p2, …, pn. Kailangan nating tukuyin sa ilang numero ang posisyon ng mga halaga ng isang random na variable sa x-axis, na isinasaalang-alang ang katotohanan na ang mga halagang ito ay may iba't ibang mga probabilidad. Para sa layuning ito, natural na gamitin ang tinatawag na "weighted average" ng mga halaga xi, at ang bawat halaga xi sa panahon ng pag-average ay dapat isaalang-alang na may "timbang" na proporsyonal sa posibilidad ng halagang ito. Kaya, kakalkulahin namin ang average ng random variable X, na tinutukoy namin M |X|:

Ang weighted average na ito ay tinatawag na mathematical expectation ng random variable. Kaya, ipinakilala namin sa pagsasaalang-alang ang isa sa pinakamahalagang konsepto ng probability theory - ang konsepto ng mathematical expectation. Ang inaasahan sa matematika ng isang random na variable ay ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng posibleng mga halaga ng isang random na variable at ang mga probabilities ng mga halagang ito.

Hayaan itong mabuo N mga independiyenteng eksperimento, kung saan ang bawat isa ay may halaga X tumatagal ng isang tiyak na halaga. Ipagpalagay natin na ang halaga x1 lumitaw m1 beses, halaga x2 lumitaw m2 beses, pangkalahatang kahulugan xi lumitaw mi times. Kalkulahin natin ang arithmetic mean ng mga naobserbahang halaga ng halaga X, na, sa kaibahan sa inaasahan ng matematika M|X| ipinapahiwatig namin M*|X|:

Sa pagtaas ng bilang ng mga eksperimento N mga frequency pi lalapit (magtatagpo sa posibilidad) ang mga katumbas na probabilidad. Dahil dito, ang arithmetic mean ng mga naobserbahang halaga ng random variable M|X| na may pagtaas sa bilang ng mga eksperimento na lalapitan nito (magtatagpo sa posibilidad) sa kanyang inaasahan sa matematika. Ang koneksyon sa pagitan ng arithmetic mean at mathematical expectation na nabuo sa itaas ay bumubuo sa nilalaman ng isa sa mga anyo ng batas ng malalaking numero.

Alam na natin na ang lahat ng anyo ng batas ng malalaking numero ay nagsasaad ng katotohanan na ang ilang mga average ay matatag sa isang malaking bilang ng mga eksperimento. Dito pinag-uusapan natin ang katatagan ng arithmetic mean mula sa isang serye ng mga obserbasyon ng parehong dami. Sa isang maliit na bilang ng mga eksperimento, ang arithmetic mean ng kanilang mga resulta ay random; na may sapat na pagtaas sa bilang ng mga eksperimento, ito ay nagiging "halos hindi random" at, nagpapatatag, lumalapit sa isang pare-parehong halaga - ang inaasahan sa matematika.

Ang katatagan ng mga average sa isang malaking bilang ng mga eksperimento ay madaling ma-verify sa pamamagitan ng eksperimento. Halimbawa, kapag tumitimbang ng katawan sa isang laboratoryo sa tumpak na mga kaliskis, bilang resulta ng pagtimbang ay nakakakuha tayo ng bagong halaga sa bawat oras; Upang mabawasan ang error sa pagmamasid, tinitimbang namin ang katawan ng ilang beses at ginagamit ang arithmetic mean ng mga nakuhang halaga. Madaling makita na sa isang karagdagang pagtaas sa bilang ng mga eksperimento (pagtimbang), ang arithmetic mean ay tumutugon sa pagtaas na ito nang mas kaunti at, na may sapat na malaking bilang ng mga eksperimento, halos huminto sa pagbabago.

Dapat pansinin na ang pinakamahalagang katangian ng posisyon ng isang random na variable - ang inaasahan sa matematika - ay hindi umiiral para sa lahat ng mga random na variable. Posibleng bumuo ng mga halimbawa ng mga random na variable kung saan ang inaasahan sa matematika ay hindi umiiral, dahil ang katumbas na kabuuan o integral ay nag-iiba. Gayunpaman, ang mga ganitong kaso ay hindi makabuluhang interes para sa pagsasanay. Karaniwan, ang mga random na variable na ating kinakaharap ay may limitadong hanay ng mga posibleng halaga at, siyempre, may inaasahan sa matematika.

Bilang karagdagan sa pinakamahalagang katangian ng posisyon ng isang random na variable - ang matematikal na inaasahan - sa pagsasanay, ang iba pang mga katangian ng posisyon ay minsan ginagamit, sa partikular, ang mode at median ng random variable.

Ang mode ng isang random na variable ay ang pinaka-malamang na halaga nito. Ang terminong "pinaka-malamang na halaga" sa mahigpit na pagsasalita ay nalalapat lamang sa mga hindi tuluy-tuloy na dami; para sa tuloy-tuloy na dami, ang mode ay ang halaga kung saan ang probability density ay maximum. Ang mga numero ay nagpapakita ng mode para sa hindi tuloy-tuloy at tuluy-tuloy na mga random na variable, ayon sa pagkakabanggit.

Kung ang distribution polygon (distribution curve) ay may higit sa isang maximum, ang distribution ay tinatawag na "multimodal".

Minsan may mga distribusyon na may minimum sa gitna kaysa sa maximum. Ang ganitong mga pamamahagi ay tinatawag na "anti-modal".

Sa pangkalahatang kaso, ang mode at mathematical na inaasahan ng isang random na variable ay hindi nagtutugma. Sa partikular na kaso, kapag ang distribusyon ay simetriko at modal (i.e. ay may mode) at mayroong matematikal na pag-asa, pagkatapos ito ay tumutugma sa mode at sentro ng simetrya ng pamamahagi.

Ang isa pang katangian ng posisyon ay madalas na ginagamit - ang tinatawag na median ng isang random na variable. Ang katangiang ito ay kadalasang ginagamit lamang para sa tuluy-tuloy na mga random na variable, bagama't maaari itong pormal na tukuyin para sa isang discontinuous variable. Sa geometrically, ang median ay ang abscissa ng punto kung saan ang lugar na nakapaloob sa curve ng pamamahagi ay nahahati sa kalahati.

Sa kaso ng isang simetriko modal distribution, ang median ay tumutugma sa matematikal na inaasahan at mode.

Ang mathematical expectation ay ang average na halaga ng isang random variable - isang numerical na katangian ng probability distribution ng isang random variable. Sa pinaka-pangkalahatang paraan, ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable X(w) ay tinukoy bilang integral ng Lebesgue na may paggalang sa sukatan ng posibilidad R sa orihinal na puwang ng posibilidad:

Ang mathematical expectation ay maaari ding kalkulahin bilang Lebesgue integral ng X sa pamamagitan ng pamamahagi ng posibilidad px dami X:

Ang konsepto ng isang random na variable na may walang katapusang pag-asa sa matematika ay maaaring tukuyin sa natural na paraan. Ang karaniwang halimbawa ay ang mga oras ng pagbabalik ng ilang random na paglalakad.

Gamit ang mathematical expectation, maraming mga numerical at functional na katangian ng isang distribution ang natutukoy (bilang ang matematikal na inaasahan ng mga katumbas na function ng isang random variable), halimbawa, ang generating function, characteristic function, moments ng anumang order, sa partikular na dispersion, covariance .

Ang pag-asa sa matematika ay isang katangian ng lokasyon ng mga halaga ng isang random na variable (ang average na halaga ng pamamahagi nito). Sa kapasidad na ito, ang mathematical expectation ay nagsisilbing ilang "typical" distribution parameter at ang papel nito ay katulad ng papel ng static moment - ang coordinate ng center of gravity ng mass distribution - sa mechanics. Mula sa iba pang mga katangian ng lokasyon sa tulong ng kung saan ang pamamahagi ay inilarawan sa pangkalahatang mga termino - median, mode, matematikal na inaasahan ay naiiba sa mas malaking halaga na ito at ang kaukulang scattering katangian - pagpapakalat - mayroon sa limitasyon theorems ng probability theory. Ang kahulugan ng pag-asa sa matematika ay lubos na ipinahayag ng batas ng malalaking numero (hindi pagkakapantay-pantay ni Chebyshev) at ng pinalakas na batas ng malalaking numero.

Pag-asa ng isang discrete random variable

Hayaang magkaroon ng ilang random na variable na maaaring tumagal ng isa sa ilang mga numerical values ​​(halimbawa, ang bilang ng mga puntos kapag naghahagis ng dice ay maaaring 1, 2, 3, 4, 5 o 6). Kadalasan sa pagsasagawa, para sa gayong halaga, ang tanong ay lumitaw: anong halaga ang kinukuha "sa karaniwan" na may malaking bilang ng mga pagsubok? Ano ang magiging average na kita (o pagkawala) natin mula sa bawat mapanganib na transaksyon?

Sabihin nating mayroong ilang uri ng lottery. Gusto naming maunawaan kung kumikita o hindi ang pakikilahok dito (o kahit na paulit-ulit, regular na pakikilahok). Sabihin nating ang bawat ikaapat na tiket ay isang nagwagi, ang premyo ay magiging 300 rubles, at ang presyo ng anumang tiket ay magiging 100 rubles. Sa isang walang katapusang malaking bilang ng mga kalahok, ito ang nangyayari. Sa tatlong quarter ng mga kaso ay matatalo tayo, bawat tatlong pagkalugi ay nagkakahalaga ng 300 rubles. Sa bawat ikaapat na kaso mananalo kami ng 200 rubles. (premyo minus gastos), iyon ay, para sa apat na paglahok nawala namin sa average na 100 rubles, para sa isa - sa average na 25 rubles. Sa kabuuan, ang average na rate ng aming pagkasira ay magiging 25 rubles bawat tiket.

Inihagis namin ang dice. Kung ito ay hindi pagdaraya (nang hindi inililipat ang sentro ng grabidad, atbp.), kung gayon gaano karaming mga puntos ang mayroon tayo sa karaniwan sa isang pagkakataon? Dahil pare-pareho ang posibilidad ng bawat opsyon, kunin lang natin ang arithmetic mean at makakuha ng 3.5. Dahil ito ay AVERAGE, hindi kailangang magalit na walang tiyak na roll na magbibigay ng 3.5 puntos - mabuti, ang kubo na ito ay walang mukha na may ganoong numero!

Ngayon ay ibubuod natin ang ating mga halimbawa:

Tingnan natin ang ibinigay na larawan. Sa kaliwa ay isang talahanayan ng pamamahagi ng isang random na variable. Ang halaga X ay maaaring tumagal ng isa sa n posibleng mga halaga (ipinapakita sa tuktok na linya). Hindi maaaring magkaroon ng anumang iba pang mga kahulugan. Sa ilalim ng bawat posibleng halaga, ang posibilidad nito ay nakasulat sa ibaba. Sa kanan ay ang formula, kung saan ang M(X) ay tinatawag na mathematical expectation. Ang kahulugan ng halagang ito ay na sa isang malaking bilang ng mga pagsubok (na may isang malaking sample), ang average na halaga ay may posibilidad sa parehong matematikal na inaasahan.

Bumalik tayo muli sa parehong playing cube. Ang mathematical na inaasahan ng bilang ng mga puntos kapag naghahagis ay 3.5 (kalkulahin ito sa iyong sarili gamit ang formula kung hindi ka naniniwala sa akin). Sabihin nating inihagis mo ito ng ilang beses. Ang mga resulta ay 4 at 6. Ang average ay 5, na malayo sa 3.5. Inihagis nila ito ng isang beses, nakakuha sila ng 3, iyon ay, sa average (4 + 6 + 3)/3 = 4.3333... Kahit papaano malayo sa inaasahan ng matematika. Ngayon gumawa ng isang nakatutuwang eksperimento - igulong ang kubo ng 1000 beses! At kahit na ang average ay hindi eksaktong 3.5, ito ay magiging malapit sa iyon.

Kalkulahin natin ang mathematical na inaasahan para sa lottery na inilarawan sa itaas. Ang plato ay magiging ganito:

Kung gayon ang inaasahan sa matematika ay, tulad ng itinatag namin sa itaas:

Ang isa pang bagay ay ang paggawa nito "sa mga daliri", nang walang pormula, ay magiging mahirap kung mayroong higit pang mga pagpipilian. Well, sabihin nating magkakaroon ng 75% na matatalo na mga tiket, 20% na nanalong tiket at 5% lalo na sa mga nanalo.

Ngayon ang ilang mga katangian ng pag-asa sa matematika.

Madaling patunayan:

Ang patuloy na kadahilanan ay maaaring kunin bilang isang tanda ng pag-asa sa matematika, iyon ay:

Ito ay isang espesyal na kaso ng linearity property ng mathematical expectation.

Isa pang kinahinatnan ng linearity ng mathematical expectation:

ibig sabihin, ang mathematical expectation ng sum ng random variables ay katumbas ng sum ng mathematical expectations ng random variables.

Hayaan ang X, Y na maging independent random variable, Pagkatapos:

Madali din itong patunayan) Trabaho XY mismo ay isang random na variable, at kung ang mga paunang halaga ay maaaring tumagal n At m mga halaga nang naaayon, kung gayon XY maaaring kumuha ng mga halaga ng nm. Ang posibilidad ng bawat halaga ay kinakalkula batay sa katotohanan na ang mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan ay pinarami. Bilang resulta, nakukuha namin ito:

Pag-asa ng tuluy-tuloy na random variable

Ang mga tuluy-tuloy na random na variable ay may katangian tulad ng density ng pamamahagi (probability density). Ito ay mahalagang katangian ng sitwasyon na ang isang random na variable ay kumukuha ng ilang mga halaga mula sa hanay ng mga tunay na numero nang mas madalas, at ang ilan ay mas madalas. Halimbawa, isaalang-alang ang graph na ito:

Dito X- aktwal na random na variable, f(x)- density ng pamamahagi. Sa paghusga sa graph na ito, sa panahon ng mga eksperimento ang halaga X kadalasan ay isang numerong malapit sa zero. Ang mga pagkakataon ay nalampasan 3 o maging mas maliit -3 sa halip ay puro teoretikal.

Hayaan, halimbawa, magkaroon ng pantay na pamamahagi:

Ito ay medyo pare-pareho sa intuitive na pag-unawa. Sabihin nating, kung makatanggap tayo ng maraming random na tunay na numero na may pare-parehong pamamahagi, bawat isa sa mga segment |0; 1| , kung gayon ang arithmetic mean ay dapat na mga 0.5.

Ang mga katangian ng mathematical expectation - linearity, atbp., na naaangkop para sa mga discrete random variable, ay naaangkop din dito.

Relasyon sa pagitan ng inaasahan sa matematika at iba pang mga istatistikal na tagapagpahiwatig

Sa pagsusuri sa istatistika, kasama ang inaasahan sa matematika, mayroong isang sistema ng magkakaugnay na mga tagapagpahiwatig na sumasalamin sa homogeneity ng mga phenomena at ang katatagan ng mga proseso. Ang mga tagapagpahiwatig ng pagkakaiba-iba ay kadalasang walang independiyenteng kahulugan at ginagamit para sa karagdagang pagsusuri ng data. Ang pagbubukod ay ang koepisyent ng pagkakaiba-iba, na nagpapakilala sa homogeneity ng data, na isang mahalagang istatistikal na katangian.

Ang antas ng pagkakaiba-iba o katatagan ng mga proseso sa istatistikal na agham ay maaaring masukat gamit ang ilang mga tagapagpahiwatig.

Ang pinakamahalagang tagapagpahiwatig na nagpapakilala sa pagkakaiba-iba ng isang random na variable ay Pagpapakalat, na pinaka malapit at direktang nauugnay sa inaasahan sa matematika. Ang parameter na ito ay aktibong ginagamit sa iba pang mga uri ng istatistikal na pagsusuri (pagsusuri ng hypothesis, pagsusuri ng mga ugnayang sanhi-at-epekto, atbp.). Tulad ng average na linear deviation, ang pagkakaiba ay sumasalamin din sa lawak ng pagkalat ng data sa paligid ng mean na halaga.

Kapaki-pakinabang na isalin ang wika ng mga palatandaan sa wika ng mga salita. Ito ay lumiliko na ang pagpapakalat ay ang average na parisukat ng mga deviations. Iyon ay, ang average na halaga ay unang kinakalkula, pagkatapos ay ang pagkakaiba sa pagitan ng bawat orihinal at average na halaga ay kinuha, squared, idinagdag, at pagkatapos ay hinati sa bilang ng mga halaga sa populasyon. Ang pagkakaiba sa pagitan ng isang indibidwal na halaga at ang average ay sumasalamin sa sukatan ng paglihis. Ito ay parisukat upang ang lahat ng mga paglihis ay maging eksklusibong positibong mga numero at upang maiwasan ang magkaparehong pagkasira ng mga positibo at negatibong mga paglihis kapag nagbubuod ng mga ito. Pagkatapos, dahil sa mga squared deviations, kinakalkula lang namin ang arithmetic mean. Average - parisukat - deviations. Ang mga deviations ay squared at ang average ay kinakalkula. Ang sagot sa magic word na "dispersion" ay nasa tatlong salita lamang.

Gayunpaman, sa dalisay nitong anyo, gaya ng arithmetic mean, o index, hindi ginagamit ang dispersion. Ito ay isang pantulong at intermediate na tagapagpahiwatig na ginagamit para sa iba pang mga uri ng istatistikal na pagsusuri. Wala man lang itong normal na yunit ng pagsukat. Sa paghusga sa formula, ito ang parisukat ng yunit ng pagsukat ng orihinal na data.

Sukatin natin ang isang random na variable N beses, halimbawa, sinusukat namin ang bilis ng hangin nang sampung beses at gustong hanapin ang average na halaga. Paano nauugnay ang average na halaga sa function ng pamamahagi?

O magpapagulong tayo ng dice ng maraming beses. Ang bilang ng mga puntos na lilitaw sa mga dice sa bawat paghagis ay isang random na variable at maaaring tumagal ng anumang natural na halaga mula 1 hanggang 6. Ang arithmetic mean ng mga nalaglag na puntos na kinakalkula para sa lahat ng dice throws ay isa ring random variable, ngunit para sa malaking N ito ay may posibilidad sa isang napaka-tiyak na numero - inaasahan sa matematika Mx. Sa kasong ito Mx = 3.5.

Paano mo nakuha ang halagang ito? Papasukin N mga pagsubok n1 kapag nakakuha ka ng 1 puntos, n2 isang beses - 2 puntos at iba pa. Pagkatapos ang bilang ng mga kinalabasan kung saan nahulog ang isang punto:

Katulad din para sa mga resulta kapag ang 2, 3, 4, 5 at 6 na puntos ay pinagsama.

Ipagpalagay natin ngayon na alam natin ang batas ng pamamahagi ng random variable x, iyon ay, alam natin na ang random variable x ay maaaring kumuha ng mga halaga x1, x2, ..., xk na may probabilities p1, p2, ..., pk.

Ang mathematical expectation Mx ng random variable x ay katumbas ng:

Ang inaasahan sa matematika ay hindi palaging isang makatwirang pagtatantya ng ilang random na variable. Kaya, upang tantiyahin ang average na suweldo, mas makatwirang gamitin ang konsepto ng median, iyon ay, tulad ng isang halaga na ang bilang ng mga taong tumatanggap ng suweldo na mas mababa kaysa sa median at mas malaki ay nag-tutugma.

Ang posibilidad na p1 na ang random variable x ay mas mababa sa x1/2, at ang probabilidad na p2 na ang random variable x ay magiging mas malaki sa x1/2, ay pareho at katumbas ng 1/2. Ang median ay hindi natutukoy nang natatangi para sa lahat ng mga pamamahagi.

Pamantayan o Standard Deviation sa statistics, tinatawag ang degree ng deviation ng observational data o sets mula sa AVERAGE value. Tinutukoy ng mga letrang s o s. Ang isang maliit na standard deviation ay nagpapahiwatig na ang data clusters sa paligid ng mean, habang ang isang malaking standard deviation ay nagpapahiwatig na ang paunang data ay matatagpuan malayo mula dito. Ang standard deviation ay katumbas ng square root ng isang quantity na tinatawag na variance. Ito ay ang average ng kabuuan ng mga squared na pagkakaiba ng paunang data na lumihis mula sa average na halaga. Ang standard deviation ng isang random variable ay ang square root ng variance:

Halimbawa. Sa ilalim ng mga kondisyon ng pagsubok kapag bumaril sa isang target, kalkulahin ang dispersion at standard deviation ng random variable:

pagkakaiba-iba- pagbabagu-bago, pagbabago ng halaga ng isang katangian sa mga yunit ng populasyon. Ang mga indibidwal na halaga ng numero ng isang katangian na matatagpuan sa populasyon na pinag-aaralan ay tinatawag na mga variant ng mga halaga. Ang kakulangan ng average na halaga upang ganap na makilala ang populasyon ay nagpipilit sa amin na dagdagan ang average na mga halaga ng mga tagapagpahiwatig na nagbibigay-daan sa amin upang masuri ang tipikal ng mga average na ito sa pamamagitan ng pagsukat ng pagkakaiba-iba (variation) ng katangian na pinag-aaralan. Ang koepisyent ng pagkakaiba-iba ay kinakalkula gamit ang formula:

Saklaw ng pagkakaiba-iba Ang (R) ay kumakatawan sa pagkakaiba sa pagitan ng maximum at minimum na halaga ng katangian sa populasyon na pinag-aaralan. Ang tagapagpahiwatig na ito ay nagbibigay ng pinaka-pangkalahatang ideya ng pagkakaiba-iba ng katangian na pinag-aaralan, dahil ipinapakita lamang nito ang pagkakaiba sa pagitan ng pinakamataas na halaga ng mga pagpipilian. Ang pag-asa sa matinding halaga ng isang katangian ay nagbibigay sa saklaw ng pagkakaiba-iba ng isang hindi matatag, random na karakter.

Average na linear deviation kumakatawan sa arithmetic mean ng absolute (modulo) deviations ng lahat ng halaga ng nasuri na populasyon mula sa kanilang average na halaga:

Pag-asa sa matematika sa teorya ng pagsusugal

Ang inaasahan sa matematika ay Ang average na halaga ng pera na maaaring manalo o matalo ng isang sugarol sa isang naibigay na taya. Ito ay isang napakahalagang konsepto para sa manlalaro dahil ito ay mahalaga sa pagtatasa ng karamihan sa mga sitwasyon sa paglalaro. Ang pag-asa sa matematika ay isa ring pinakamainam na tool para sa pagsusuri ng mga pangunahing layout ng card at mga sitwasyon sa paglalaro.

Sabihin nating naglalaro ka ng coin game kasama ang isang kaibigan, tumataya ng pantay na $1 sa bawat pagkakataon, anuman ang mangyari. Ang mga buntot ay nangangahulugan na ikaw ay nanalo, ang mga ulo ay nangangahulugan na ikaw ay natalo. Ang posibilidad ay isa sa isa na ito ay lalabas, kaya tumaya ka ng $1 hanggang $1. Kaya, ang iyong inaasahan sa matematika ay zero, dahil Mula sa isang mathematical point of view, hindi mo malalaman kung mangunguna ka o matatalo pagkatapos ng dalawang throws o pagkatapos ng 200.

Ang iyong bawat oras na kita ay zero. Ang oras-oras na panalo ay ang halaga ng pera na inaasahan mong manalo sa isang oras. Maaari kang maghagis ng barya ng 500 beses sa isang oras, ngunit hindi ka mananalo o matatalo dahil... ang iyong mga pagkakataon ay hindi positibo o negatibo. Kung titingnan mo, mula sa punto ng view ng isang seryosong manlalaro, ang sistema ng pagtaya ay hindi masama. Ngunit ito ay isang pag-aaksaya lamang ng oras.

Ngunit sabihin nating may gustong tumaya ng $2 laban sa iyong $1 sa parehong laro. Pagkatapos ay mayroon kang positibong inaasahan na 50 cents mula sa bawat taya. Bakit 50 cents? Sa karaniwan, nanalo ka ng isang taya at matatalo ang pangalawa. Tumaya sa unang dolyar at matatalo ka ng $1, tumaya sa pangalawa at mananalo ka ng $2. Tumaya ka ng $1 nang dalawang beses at nangunguna ka ng $1. Kaya bawat isa sa iyong isang dolyar na taya ay nagbigay sa iyo ng 50 sentimo.

Kung ang isang barya ay lilitaw nang 500 beses sa isang oras, ang iyong bawat oras na panalo ay magiging $250 na, dahil... Sa karaniwan, natalo ka ng isang dolyar nang 250 beses at nanalo ng dalawang dolyar nang 250 beses. $500 minus $250 ay katumbas ng $250, na siyang kabuuang panalo. Pakitandaan na ang inaasahang halaga, na siyang average na halagang napanalunan mo sa bawat taya, ay 50 cents. Nanalo ka ng $250 sa pamamagitan ng pagtaya ng isang dolyar ng 500 beses, na katumbas ng 50 cents bawat taya.

Ang pag-asa sa matematika ay walang kinalaman sa mga panandaliang resulta. Ang iyong kalaban, na nagpasyang tumaya ng $2 laban sa iyo, ay maaaring talunin ka sa unang sampung sunod-sunod na rolyo, ngunit ikaw, na mayroong 2 sa 1 na bentahe sa pagtaya, lahat ng iba pang bagay ay pantay, ay kikita ng 50 sentimo sa bawat $1 na taya sa alinmang mga pangyayari. Walang pagkakaiba kung manalo ka o matalo sa isang taya o ilang taya, basta't mayroon kang sapat na pera upang kumportableng mabayaran ang mga gastos. Kung patuloy kang tumaya sa parehong paraan, pagkatapos ay sa loob ng mahabang panahon ang iyong mga panalo ay lalapit sa kabuuan ng mga inaasahan sa mga indibidwal na throw.

Sa bawat oras na gumawa ka ng isang pinakamahusay na taya (isang taya na maaaring maging kumikita sa katagalan), kapag ang mga logro ay pabor sa iyo, ikaw ay tiyak na manalo ng isang bagay dito, hindi mahalaga kung matalo mo ito o hindi sa binigay na kamay. Sa kabaligtaran, kung gumawa ka ng isang underdog na taya (isang taya na hindi kumikita sa katagalan) kapag ang mga logro ay laban sa iyo, may natatalo ka kahit na manalo ka man o matalo ang kamay.

Naglalagay ka ng isang taya na may pinakamahusay na kinalabasan kung ang iyong inaasahan ay positibo, at ito ay positibo kung ang mga posibilidad ay nasa iyong panig. Kapag naglagay ka ng taya na may pinakamasamang kinalabasan, mayroon kang negatibong inaasahan, na nangyayari kapag ang mga posibilidad ay laban sa iyo. Ang mga seryosong manlalaro ay tumaya lamang sa pinakamahusay na kinalabasan; kung ang pinakamasama ay mangyayari, sila ay tumiklop. Ano ang ibig sabihin ng mga posibilidad na pabor sa iyo? Maaari kang manalo ng higit pa kaysa sa tunay na posibilidad. Ang tunay na posibilidad ng mga landing head ay 1 sa 1, ngunit makakakuha ka ng 2 sa 1 dahil sa odds ratio. Sa kasong ito, ang mga posibilidad ay pabor sa iyo. Siguradong makukuha mo ang pinakamahusay na kinalabasan na may positibong inaasahan na 50 cents bawat taya.

Narito ang isang mas kumplikadong halimbawa ng pag-asa sa matematika. Ang isang kaibigan ay nagsusulat ng mga numero mula isa hanggang lima at tumaya ng $5 laban sa iyong $1 na hindi mo mahulaan ang numero. Dapat ka bang sumang-ayon sa gayong taya? Ano ang inaasahan dito?

Sa karaniwan, apat na beses kang magkakamali. Batay dito, ang mga posibilidad laban sa iyong paghula sa numero ay 4 hanggang 1. Ang mga posibilidad na mawalan ka ng isang dolyar sa isang pagtatangka. Gayunpaman, nanalo ka ng 5 sa 1, na may posibilidad na matalo 4 sa 1. Kaya ang mga logro ay pabor sa iyo, maaari mong kunin ang taya at umaasa para sa pinakamahusay na resulta. Kung gagawin mo ang taya na ito ng limang beses, sa karaniwan ay matatalo ka ng $1 ng apat na beses at manalo ng $5 nang isang beses. Batay dito, para sa lahat ng limang pagtatangka makakakuha ka ng $1 na may positibong inaasahan sa matematika na 20 cents bawat taya.

Ang isang manlalaro na mananalo ng higit pa kaysa sa kanyang taya, tulad ng sa halimbawa sa itaas, ay nagsasagawa ng mga pagkakataon. Sa kabaligtaran, sinisira niya ang kanyang mga pagkakataon kapag inaasahan niyang manalo ng mas mababa kaysa sa kanyang taya. Ang isang bettor ay maaaring magkaroon ng alinman sa positibo o negatibong inaasahan, na depende sa kung siya ay nanalo o sumira sa mga logro.

Kung tumaya ka ng $50 para manalo ng $10 na may 4 hanggang 1 na pagkakataong manalo, makakakuha ka ng negatibong inaasahan na $2 dahil Sa karaniwan, mananalo ka ng $10 ng apat na beses at matatalo ng $50 nang isang beses, na nagpapakita na ang talo sa bawat taya ay magiging $10. Ngunit kung tumaya ka ng $30 para manalo ng $10, na may parehong posibilidad na manalo ng 4 hanggang 1, sa kasong ito mayroon kang positibong inaasahan na $2, dahil muli kang manalo ng $10 ng apat na beses at matatalo ng $30 nang isang beses, para sa tubo na $10. Ang mga halimbawang ito ay nagpapakita na ang unang taya ay masama, at ang pangalawa ay mabuti.

Ang pag-asa sa matematika ay ang sentro ng anumang sitwasyon sa paglalaro. Kapag hinikayat ng isang bookmaker ang mga tagahanga ng football na tumaya ng $11 para manalo ng $10, mayroon siyang positibong inaasahan na 50 cents sa bawat $10. Kung magbabayad ang casino ng kahit na pera mula sa pass line sa mga craps, ang positibong inaasahan ng casino ay magiging humigit-kumulang $1.40 para sa bawat $100, dahil Ang larong ito ay nakabalangkas upang ang sinumang tumaya sa linyang ito ay matalo ng 50.7% sa karaniwan at manalo ng 49.3% ng kabuuang oras. Walang alinlangan, ito ang tila minimal na positibong inaasahan na nagdudulot ng napakalaking kita sa mga may-ari ng casino sa buong mundo. Gaya ng sinabi ng may-ari ng Vegas World casino na si Bob Stupak, “isang-isang-libo ng isang porsyentong negatibong probabilidad sa isang mahabang distansya ay sisira sa pinakamayamang tao sa mundo.”

Inaasahan kapag naglalaro ng Poker

Ang laro ng Poker ay ang pinaka-naglalarawan at naglalarawan na halimbawa mula sa punto ng view ng paggamit ng teorya at mga katangian ng matematikal na inaasahan.

Ang Inaasahang Halaga sa Poker ay ang average na benepisyo mula sa isang partikular na desisyon, sa kondisyon na ang naturang desisyon ay maaaring isaalang-alang sa loob ng balangkas ng teorya ng malalaking numero at long distance. Ang isang matagumpay na laro ng poker ay ang palaging pagtanggap ng mga galaw na may positibong inaasahang halaga.

Ang mathematical na kahulugan ng mathematical expectation kapag naglalaro ng poker ay madalas tayong makatagpo ng mga random variable kapag gumagawa ng mga desisyon (hindi natin alam kung anong mga card ang nasa kamay ng kalaban, anong mga card ang darating sa mga susunod na round ng pagtaya). Dapat nating isaalang-alang ang bawat isa sa mga solusyon mula sa punto ng view ng teorya ng malaking numero, na nagsasaad na sa isang sapat na malaking sample, ang average na halaga ng isang random na variable ay may posibilidad sa kanyang inaasahan sa matematika.

Kabilang sa mga partikular na formula para sa pagkalkula ng mathematical na inaasahan, ang mga sumusunod ay pinaka-naaangkop sa poker:

Kapag naglalaro ng poker, ang inaasahang halaga ay maaaring kalkulahin para sa parehong taya at tawag. Sa unang kaso, dapat isaalang-alang ang fold equity, sa pangalawa, ang sariling logro ng bangko. Kapag tinatasa ang mathematical na inaasahan ng isang partikular na paglipat, dapat mong tandaan na ang isang fold ay palaging may zero na inaasahan. Kaya, ang pagtatapon ng mga card ay palaging magiging isang mas kumikitang desisyon kaysa sa anumang negatibong hakbang.

Sinasabi sa iyo ng pag-asa kung ano ang maaari mong asahan (kita o pagkawala) para sa bawat dolyar na iyong ipagsapalaran. Ang mga casino ay kumikita dahil ang mathematical expectation ng lahat ng larong nilalaro sa kanila ay pabor sa casino. Sa sapat na mahabang serye ng mga laro, maaari mong asahan na ang kliyente ay mawawalan ng kanyang pera, dahil ang "mga logro" ay pabor sa casino. Gayunpaman, nililimitahan ng mga propesyonal na manlalaro ng casino ang kanilang mga laro sa maiikling panahon, at sa gayo'y itinatakda ang mga posibilidad na pabor sa kanila. Ganoon din sa pamumuhunan. Kung positibo ang iyong inaasahan, maaari kang kumita ng mas maraming pera sa pamamagitan ng paggawa ng maraming trade sa maikling panahon. Ang pag-asa ay ang iyong porsyento ng kita sa bawat panalo na pinarami ng iyong average na kita, binawasan ang iyong posibilidad ng pagkalugi na pinarami ng iyong average na pagkatalo.

Ang poker ay maaari ding isaalang-alang mula sa pananaw ng pag-asa sa matematika. Maaari mong ipagpalagay na ang isang tiyak na paglipat ay kumikita, ngunit sa ilang mga kaso ay maaaring hindi ito ang pinakamahusay dahil ang isa pang paglipat ay mas kumikita. Sabihin nating naabot mo ang isang buong bahay sa five-card draw poker. Tumaya ang iyong kalaban. Alam mo naman na kung tataasan mo ang taya, sasagot siya. Samakatuwid, ang pagtaas ay tila ang pinakamahusay na taktika. Ngunit kung tataasan mo ang taya, tiyak na tupitik ang natitirang dalawang manlalaro. Pero kung tatawag ka, buo ang tiwala mo na gagawin din ng dalawa pang manlalaro sa likod mo. Kapag tinaasan mo ang iyong taya makakakuha ka ng isang unit, at kapag tumawag ka lang ay makakakuha ka ng dalawa. Kaya, ang pagtawag ay nagbibigay sa iyo ng mas mataas na positibong inaasahang halaga at magiging pinakamahusay na taktika.

Ang pag-asa sa matematika ay maaari ding magbigay ng ideya kung aling mga taktika ng poker ang hindi gaanong kumikita at alin ang mas kumikita. Halimbawa, kung naglalaro ka ng isang partikular na kamay at sa tingin mo ay magiging average ng 75 cents ang iyong pagkawala kasama ang ante, dapat mong laruin ang kamay na iyon dahil ito ay mas mahusay kaysa sa pagtiklop kapag ang ante ay $1.

Ang isa pang mahalagang dahilan upang maunawaan ang konsepto ng inaasahang halaga ay na nagbibigay ito sa iyo ng kapayapaan ng isip kung nanalo ka sa taya o hindi: kung nakagawa ka ng isang mahusay na taya o nakatiklop sa tamang oras, malalaman mo na ikaw ay nakakuha o nag-save ng isang tiyak na halaga ng pera na hindi mai-save ng mahinang manlalaro. Mas mahirap magtiklop kung naiinis ka dahil mas malakas ang kamay ng kalaban mo. Sa lahat ng ito, ang perang naipon mo sa pamamagitan ng hindi paglalaro sa halip na pagtaya ay idinagdag sa iyong mga panalo para sa gabi o buwan.

Tandaan lamang na kung binago mo ang iyong mga kamay, tatawagin ka sana ng iyong kalaban, at tulad ng makikita mo sa artikulong Fundamental Theorem of Poker, ito ay isa lamang sa iyong mga pakinabang. Dapat masaya ka kapag nangyari ito. Maaari mo ring matutunan na masiyahan sa pagkawala ng isang kamay dahil alam mo na ang iba pang mga manlalaro sa iyong posisyon ay mas maraming mawawala.

Gaya ng nabanggit sa halimbawa ng coin game sa simula, ang oras-oras na rate ng kita ay magkakaugnay sa matematikal na inaasahan, at ang konseptong ito ay lalong mahalaga para sa mga propesyonal na manlalaro. Kapag naglaro ka ng poker, dapat mong tantiyahin sa isip kung magkano ang maaari mong manalo sa isang oras ng paglalaro. Sa karamihan ng mga kaso, kakailanganin mong umasa sa iyong intuwisyon at karanasan, ngunit maaari ka ring gumamit ng ilang matematika. Halimbawa, naglalaro ka ng draw lowball at nakakita ka ng tatlong manlalaro na tumaya ng $10 at pagkatapos ay mag-trade ng dalawang baraha, na isang napakasamang taktika, malalaman mo na sa tuwing tumaya sila ng $10, matatalo sila ng humigit-kumulang $2. Ginagawa ito ng bawat isa sa kanila ng walong beses kada oras, na nangangahulugan na silang tatlo ay nawalan ng humigit-kumulang $48 kada oras. Isa ka sa natitirang apat na manlalaro na humigit-kumulang pantay, kaya ang apat na manlalarong ito (at ikaw sa kanila) ay dapat hatiin ang $48, bawat isa ay kumikita ng $12 kada oras. Ang iyong oras-oras na logro sa kasong ito ay katumbas lamang ng iyong bahagi sa halaga ng perang nawala ng tatlong masamang manlalaro sa isang oras.

Sa mahabang panahon, ang kabuuang panalo ng manlalaro ay ang kabuuan ng kanyang mga inaasahan sa matematika sa mga indibidwal na kamay. Kung mas maraming kamay ang iyong nilalaro na may positibong pag-asa, mas panalo ka, at sa kabaligtaran, mas maraming kamay ang iyong nilalaro na may negatibong pag-asa, mas matatalo ka. Bilang isang resulta, dapat kang pumili ng isang laro na maaaring mapakinabangan ang iyong positibong pag-asa o pabayaan ang iyong negatibong pag-asa upang ma-maximize mo ang iyong oras-oras na panalo.

Positibong pag-asa sa matematika sa diskarte sa paglalaro

Kung marunong kang magbilang ng mga baraha, maaari kang magkaroon ng bentahe sa casino, hangga't hindi ka nila napapansin at itinatapon. Gustung-gusto ng mga casino ang mga lasing na manlalaro at hindi pinahihintulutan ang mga manlalaro na nagbibilang ng card. Ang isang kalamangan ay magbibigay-daan sa iyo na manalo ng mas maraming beses kaysa sa natalo mo sa paglipas ng panahon. Ang mahusay na pamamahala ng pera gamit ang mga inaasahang pagkalkula ng halaga ay makakatulong sa iyong kumita ng mas maraming kita mula sa iyong gilid at mabawasan ang iyong mga pagkalugi. Kung walang kalamangan, mas mabuting ibigay mo ang pera sa kawanggawa. Sa laro sa stock exchange, ang kalamangan ay ibinibigay ng sistema ng laro, na lumilikha ng mas malaking kita kaysa sa mga pagkalugi, mga pagkakaiba sa presyo at mga komisyon. Walang halaga ng pamamahala ng pera ang makakapagligtas sa isang masamang sistema ng paglalaro.

Ang isang positibong inaasahan ay tinukoy bilang isang halaga na higit sa zero. Kung mas malaki ang bilang na ito, mas malakas ang inaasahan sa istatistika. Kung ang halaga ay mas mababa sa zero, ang mathematical na inaasahan ay magiging negatibo din. Kung mas malaki ang module ng negatibong halaga, mas malala ang sitwasyon. Kung zero ang resulta, break-even ang paghihintay. Maaari ka lamang manalo kapag mayroon kang positibong inaasahan sa matematika at isang makatwirang sistema ng paglalaro. Ang paglalaro sa pamamagitan ng intuwisyon ay humahantong sa kapahamakan.

Pag-asa sa matematika at pangangalakal ng stock

Ang pag-asa sa matematika ay isang medyo malawak na ginagamit at tanyag na tagapagpahiwatig ng istatistika kapag nagsasagawa ng exchange trading sa mga financial market. Una sa lahat, ang parameter na ito ay ginagamit upang pag-aralan ang tagumpay ng pangangalakal. Hindi mahirap hulaan na kung mas mataas ang halagang ito, mas maraming dahilan upang isaalang-alang na matagumpay ang kalakalan na pinag-aaralan. Siyempre, ang pagsusuri sa gawain ng isang negosyante ay hindi maaaring isagawa gamit lamang ang parameter na ito. Gayunpaman, ang kinakalkula na halaga, kasama ng iba pang mga pamamaraan ng pagtatasa ng kalidad ng trabaho, ay maaaring makabuluhang taasan ang katumpakan ng pagsusuri.

Ang pag-asa sa matematika ay madalas na kinakalkula sa mga serbisyo sa pagsubaybay sa trading account, na nagbibigay-daan sa iyong mabilis na suriin ang gawaing isinagawa sa deposito. Kasama sa mga pagbubukod ang mga diskarte na gumagamit ng "pag-upo sa labas" ng mga hindi kumikitang trade. Ang isang negosyante ay maaaring mapalad sa loob ng ilang panahon, at samakatuwid ay maaaring walang pagkalugi sa kanyang trabaho. Sa kasong ito, hindi posible na magabayan lamang ng inaasahan sa matematika, dahil ang mga panganib na ginamit sa trabaho ay hindi isasaalang-alang.

Sa market trading, ang mathematical expectation ay kadalasang ginagamit kapag hinuhulaan ang kakayahang kumita ng anumang diskarte sa pangangalakal o kapag hinuhulaan ang kita ng isang negosyante batay sa istatistikal na data mula sa kanyang nakaraang kalakalan.

Sa pagsasaalang-alang sa pamamahala ng pera, napakahalagang maunawaan na kapag gumagawa ng mga pangangalakal na may negatibong mga inaasahan, walang pamamaraan sa pamamahala ng pera na tiyak na makapagbibigay ng mataas na kita. Kung magpapatuloy ka sa paglalaro ng stock market sa ilalim ng mga kundisyong ito, hindi alintana kung paano mo pinamamahalaan ang iyong pera, mawawala mo ang iyong buong account, gaano man ito kalaki sa simula.

Ang axiom na ito ay totoo hindi lamang para sa mga laro o trade na may negatibong inaasahan, totoo rin ito para sa mga laro na may pantay na pagkakataon. Samakatuwid, ang tanging oras na magkakaroon ka ng pagkakataong kumita sa mahabang panahon ay kung kukuha ka ng mga trade na may positibong inaasahang halaga.

Ang pagkakaiba sa pagitan ng negatibong pag-asa at positibong inaasahan ay ang pagkakaiba sa pagitan ng buhay at kamatayan. Hindi mahalaga kung gaano ka positibo o gaano ka negatibo ang inaasahan; Ang mahalaga ay kung ito ay positibo o negatibo. Samakatuwid, bago isaalang-alang ang pamamahala ng pera, dapat kang maghanap ng isang laro na may positibong inaasahan.

Kung wala kang larong iyon, hindi ka ililigtas ng lahat ng pamamahala ng pera sa mundo. Sa kabilang banda, kung mayroon kang isang positibong inaasahan, maaari mong, sa pamamagitan ng wastong pamamahala ng pera, gawin itong isang exponential growth function. Hindi mahalaga kung gaano kaliit ang positibong inaasahan! Sa madaling salita, hindi mahalaga kung gaano kumikita ang isang sistema ng kalakalan ay batay sa isang kontrata. Kung mayroon kang system na nanalo ng $10 bawat kontrata sa bawat trade (pagkatapos ng mga komisyon at slippage), maaari mong gamitin ang mga diskarte sa pamamahala ng pera upang gawin itong mas kumikita kaysa sa isang sistema na may average na $1,000 bawat trade (pagkatapos ng bawas ng mga komisyon at slippage).

Ang mahalaga ay hindi kung gaano kumikita ang sistema, ngunit kung gaano katiyak na ang sistema ay masasabing magpakita ng hindi bababa sa kaunting tubo sa hinaharap. Samakatuwid, ang pinakamahalagang paghahanda na maaaring gawin ng isang mangangalakal ay upang matiyak na ang sistema ay magpapakita ng isang positibong inaasahang halaga sa hinaharap.

Upang magkaroon ng positibong inaasahang halaga sa hinaharap, napakahalagang huwag limitahan ang antas ng kalayaan ng iyong system. Ito ay nakakamit hindi lamang sa pamamagitan ng pag-aalis o pagbabawas ng bilang ng mga parameter na i-optimize, kundi pati na rin sa pamamagitan ng pagbabawas ng maraming mga panuntunan ng system hangga't maaari. Bawat parameter na idaragdag mo, bawat panuntunang gagawin mo, bawat maliliit na pagbabagong gagawin mo sa system ay binabawasan ang bilang ng mga antas ng kalayaan. Sa isip, kailangan mong bumuo ng isang medyo primitive at simpleng sistema na patuloy na bubuo ng maliliit na kita sa halos anumang merkado. Muli, mahalagang maunawaan mo na hindi mahalaga kung gaano kumikita ang sistema, basta ito ay kumikita. Ang perang kikitain mo sa pangangalakal ay gagawin sa pamamagitan ng epektibong pamamahala sa pera.

Ang sistema ng pangangalakal ay isang tool lamang na nagbibigay sa iyo ng positibong inaasahang halaga upang magamit mo ang pamamahala ng pera. Ang mga system na gumagana (nagpapakita ng hindi bababa sa kaunting kita) sa isa o ilang market lang, o may iba't ibang panuntunan o parameter para sa iba't ibang market, ay malamang na hindi gagana sa real time nang matagal. Ang problema sa karamihan ng mga mangangalakal na nakatuon sa teknikal ay ang gumugugol sila ng masyadong maraming oras at pagsisikap sa pag-optimize ng iba't ibang mga patakaran at mga halaga ng parameter ng sistema ng kalakalan. Nagbibigay ito ng ganap na kabaligtaran na mga resulta. Sa halip na mag-aksaya ng enerhiya at oras ng computer sa pagtaas ng kita ng sistema ng pangangalakal, idirekta ang iyong enerhiya sa pagtaas ng antas ng pagiging maaasahan ng pagkuha ng pinakamababang kita.

Dahil alam na ang pamamahala sa pera ay isang larong numero lamang na nangangailangan ng paggamit ng mga positibong inaasahan, maaaring huminto ang isang negosyante sa paghahanap para sa "holy grail" ng stock trading. Sa halip, maaari niyang simulan ang pagsubok sa kanyang paraan ng pangangalakal, alamin kung gaano lohikal ang pamamaraang ito, at kung nagbibigay ito ng mga positibong inaasahan. Ang mga wastong paraan ng pamamahala ng pera, na inilapat sa alinman, kahit na napakapangkaraniwan na mga paraan ng pangangalakal, ay gagawa ng natitirang bahagi ng trabaho mismo.

Para magtagumpay ang sinumang mangangalakal sa kanyang trabaho, kailangan niyang lutasin ang tatlong pinakamahalagang gawain: . Upang matiyak na ang bilang ng mga matagumpay na transaksyon ay lumampas sa hindi maiiwasang mga pagkakamali at maling kalkulasyon; I-set up ang iyong trading system upang magkaroon ka ng pagkakataong kumita ng pera nang madalas hangga't maaari; Makamit ang matatag na positibong resulta mula sa iyong mga operasyon.

At dito, para sa aming mga nagtatrabahong mangangalakal, ang pag-asa sa matematika ay maaaring maging malaking tulong. Ang terminong ito ay isa sa mga susi sa teorya ng posibilidad. Sa tulong nito, maaari kang magbigay ng average na pagtatantya ng ilang random na halaga. Ang mathematical expectation ng isang random variable ay katulad ng center of gravity, kung akala mo ang lahat ng posibleng probabilities bilang mga puntos na may iba't ibang masa.

Kaugnay ng isang diskarte sa pangangalakal, ang matematikal na inaasahan ng kita (o pagkalugi) ay kadalasang ginagamit upang suriin ang pagiging epektibo nito. Ang parameter na ito ay tinukoy bilang ang kabuuan ng mga produkto ng mga ibinigay na antas ng kita at pagkawala at ang posibilidad ng paglitaw ng mga ito. Halimbawa, ipinapalagay ng binuong diskarte sa pangangalakal na 37% ng lahat ng mga transaksyon ay magdadala ng tubo, at ang natitirang bahagi - 63% - ay hindi kumikita. Kasabay nito, ang average na kita mula sa isang matagumpay na transaksyon ay magiging $7, at ang average na pagkawala ay magiging $1.4. Kalkulahin natin ang mathematical na inaasahan ng pangangalakal gamit ang sistemang ito:

Ano ang ibig sabihin ng numerong ito? Sinasabi nito na, sa pagsunod sa mga patakaran ng sistemang ito, sa karaniwan ay makakatanggap kami ng $1,708 mula sa bawat saradong transaksyon. Dahil ang resultang rating ng kahusayan ay mas malaki kaysa sa zero, maaaring gamitin ang naturang sistema para sa totoong trabaho. Kung, bilang isang resulta ng pagkalkula, ang pag-asa sa matematika ay lumalabas na negatibo, kung gayon ito ay nagpapahiwatig ng isang average na pagkalugi at ang naturang kalakalan ay hahantong sa pagkasira.

Ang halaga ng tubo sa bawat transaksyon ay maaari ding ipahayag bilang isang kamag-anak na halaga sa anyo ng %. Halimbawa:

– porsyento ng kita sa bawat 1 transaksyon - 5%;

– porsyento ng matagumpay na operasyon ng kalakalan - 62%;

– porsyento ng pagkawala sa bawat 1 transaksyon - 3%;

– porsyento ng mga hindi matagumpay na transaksyon - 38%;

Iyon ay, ang average na kalakalan ay magdadala ng 1.96%.

Posibleng bumuo ng isang sistema na, sa kabila ng pamamayani ng mga hindi kumikitang kalakalan, ay magbubunga ng positibong resulta, dahil ang MO>0 nito.

Gayunpaman, hindi sapat ang paghihintay nang mag-isa. Mahirap kumita ng pera kung ang sistema ay nagbibigay ng napakakaunting mga signal ng kalakalan. Sa kasong ito, ang kakayahang kumita nito ay maihahambing sa interes ng bangko. Hayaan ang bawat operasyon na makagawa sa average na 0.5 dolyar lamang, ngunit paano kung ang sistema ay nagsasangkot ng 1000 na operasyon bawat taon? Ito ay magiging isang napakalaking halaga sa medyo maikling panahon. Ito ay lohikal na sumusunod mula dito na ang isa pang natatanging katangian ng isang mahusay na sistema ng kalakalan ay maaaring ituring na isang maikling panahon ng paghawak ng mga posisyon.

Mga mapagkukunan at link

dic.academic.ru – akademikong online na diksyunaryo

mathematics.ru – website na pang-edukasyon sa matematika

nsu.ru – website na pang-edukasyon ng Novosibirsk State University

Ang webmath.ru ay isang portal na pang-edukasyon para sa mga mag-aaral, aplikante at mga mag-aaral.

exponenta.ru website na pang-edukasyon sa matematika

ru.tradimo.com – libreng online na paaralan ng kalakalan

crypto.hut2.ru – multidisciplinary na mapagkukunan ng impormasyon

poker-wiki.ru – libreng encyclopedia ng poker

sernam.ru – Scientific library ng mga piling publikasyong natural science

reshim.su – website SOLUSYON NAMIN ang mga problema sa pagsusulit sa coursework

unfx.ru – Forex sa UNFX: pagsasanay, mga signal ng kalakalan, pamamahala ng tiwala

slovopedia.com – Malaking Encyclopedic Dictionary Slovopedia

pokermansion.3dn.ru – Ang iyong gabay sa mundo ng poker

statanaliz.info - blog ng impormasyon "Pagsusuri ng istatistika ng data"

forex-trader.rf – portal ng Forex-Trader

megafx.ru – kasalukuyang Forex analytics

fx-by.com – lahat para sa isang negosyante

Ang konsepto ng mathematical expectation ay maaaring isaalang-alang gamit ang halimbawa ng paghagis ng die. Sa bawat paghagis, ang mga nahulog na puntos ay naitala. Upang ipahayag ang mga ito, ginagamit ang mga natural na halaga sa hanay 1 - 6.

Pagkatapos ng isang tiyak na bilang ng mga throws, gamit ang mga simpleng kalkulasyon, maaari mong mahanap ang arithmetic average ng mga puntos na pinagsama.

Tulad ng paglitaw ng alinman sa mga halaga sa hanay, ang halagang ito ay magiging random.

Paano kung dagdagan mo ang bilang ng mga throws ng ilang beses? Sa isang malaking bilang ng mga throws, ang arithmetic average ng mga puntos ay lalapit sa isang tiyak na numero, na sa probability theory ay tinatawag na mathematical expectation.

Kaya, sa pamamagitan ng pag-asa sa matematika ang ibig sabihin namin ay ang average na halaga ng isang random na variable. Ang tagapagpahiwatig na ito ay maaari ding ipakita bilang isang timbang na kabuuan ng mga posibleng halaga ng halaga.

Ang konseptong ito ay may ilang kasingkahulugan:

• average na halaga;
• average na halaga;
• tagapagpahiwatig ng sentral na ugali;
• unang sandali.

Sa madaling salita, ito ay hindi hihigit sa isang numero sa paligid kung saan ang mga halaga ng isang random na variable ay ipinamamahagi.

Sa iba't ibang larangan ng aktibidad ng tao, ang mga diskarte sa pag-unawa sa inaasahan sa matematika ay medyo magkakaiba.

Maaari itong ituring bilang:

• ang average na benepisyo na nakuha mula sa paggawa ng isang desisyon, kapag ang naturang desisyon ay isinasaalang-alang mula sa punto ng view ng malaking numero ng teorya;
• ang posibleng halaga ng panalo o pagkatalo (teorya ng pagsusugal), na kinakalkula sa average para sa bawat taya. Sa slang, parang "kalamangan ng manlalaro" (positibo para sa manlalaro) o "kalamangan sa casino" (negatibo para sa manlalaro);
• porsyento ng kita na natanggap mula sa mga panalo.

Ang inaasahan ay hindi sapilitan para sa ganap na lahat ng mga random na variable. Wala ito para sa mga may pagkakaiba sa katumbas na kabuuan o integral.

Mga katangian ng inaasahan sa matematika

Tulad ng anumang parameter ng istatistika, ang inaasahan sa matematika ay may mga sumusunod na katangian:

Mga pangunahing formula para sa pag-asa sa matematika

Ang pagkalkula ng inaasahan sa matematika ay maaaring isagawa kapwa para sa mga random na variable na nailalarawan ng parehong pagpapatuloy (formula A) at discreteness (formula B):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, kung saan ang xi ay ang mga halaga ng random variable, ang pi ay ang mga probabilities:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, kung saan ang f(x) ay ang ibinigay na probability density.

Mga halimbawa ng pagkalkula ng inaasahan sa matematika

Halimbawa A.

Posible bang malaman ang average na taas ng mga dwarf sa fairy tale tungkol kay Snow White. Ito ay kilala na ang bawat isa sa 7 dwarves ay may isang tiyak na taas: 1.25; 0.98; 1.05; 0.71; 0.56; 0.95 at 0.81 m.

Ang algorithm ng pagkalkula ay medyo simple:

• nakita namin ang kabuuan ng lahat ng mga halaga ng tagapagpahiwatig ng paglago (random variable):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Hatiin ang nagresultang halaga sa bilang ng mga gnome:
  6,31:7=0,90.

Kaya, ang average na taas ng mga gnome sa isang fairy tale ay 90 cm. Sa madaling salita, ito ang mathematical na inaasahan ng paglago ng mga gnome.

Gumagamit na formula - M(x)=4 0.2+6 0.3+10 0.5=6

Praktikal na pagpapatupad ng inaasahan sa matematika

Ang pagkalkula ng istatistikal na tagapagpahiwatig ng pag-asa sa matematika ay ginagamit sa iba't ibang mga lugar ng praktikal na aktibidad. Una sa lahat, pinag-uusapan natin ang komersyal na globo. Pagkatapos ng lahat, ang pagpapakilala ni Huygens ng tagapagpahiwatig na ito ay nauugnay sa pagtukoy ng mga pagkakataon na maaaring maging kanais-nais, o, sa kabaligtaran, hindi kanais-nais, para sa ilang kaganapan.

Ang parameter na ito ay malawakang ginagamit upang masuri ang mga panganib, lalo na pagdating sa mga pamumuhunan sa pananalapi.
Kaya, sa negosyo, ang pagkalkula ng pag-asa sa matematika ay gumaganap bilang isang paraan para sa pagtatasa ng panganib kapag kinakalkula ang mga presyo.

Ang tagapagpahiwatig na ito ay maaari ding gamitin upang kalkulahin ang pagiging epektibo ng ilang mga hakbang, halimbawa, proteksyon sa paggawa. Salamat dito, maaari mong kalkulahin ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap.

Ang isa pang lugar ng aplikasyon ng parameter na ito ay pamamahala. Maaari rin itong kalkulahin sa panahon ng kontrol sa kalidad ng produkto. Halimbawa, ang paggamit ng banig. inaasahan, maaari mong kalkulahin ang posibleng bilang ng mga may sira na bahagi na ginawa.

Ang pag-asa sa matematika ay lumalabas din na kailangang-kailangan kapag nagsasagawa ng istatistikal na pagproseso ng mga resulta na nakuha sa panahon ng siyentipikong pananaliksik. Pinapayagan ka nitong kalkulahin ang posibilidad ng isang ninanais o hindi kanais-nais na resulta ng isang eksperimento o pag-aaral depende sa antas ng pagkamit ng layunin. Pagkatapos ng lahat, ang tagumpay nito ay maaaring iugnay sa pakinabang at benepisyo, at ang pagkabigo nito ay maaaring iugnay sa pagkawala o pagkawala.

Paggamit ng mathematical expectation sa Forex

Ang praktikal na aplikasyon ng istatistikal na parameter na ito ay posible kapag nagsasagawa ng mga transaksyon sa foreign exchange market. Sa tulong nito, maaari mong pag-aralan ang tagumpay ng mga transaksyon sa kalakalan. Bukod dito, ang pagtaas sa halaga ng inaasahan ay nagpapahiwatig ng pagtaas sa kanilang tagumpay.

Mahalaga rin na tandaan na ang inaasahan sa matematika ay hindi dapat ituring bilang ang tanging istatistikal na parameter na ginagamit upang pag-aralan ang pagganap ng isang mangangalakal. Ang paggamit ng ilang istatistikal na parameter kasama ang average na halaga ay nagpapataas ng katumpakan ng pagsusuri nang malaki.

Ang parameter na ito ay napatunayang mabuti sa pagsubaybay sa mga obserbasyon ng mga trading account. Salamat dito, ang isang mabilis na pagtatasa ng gawaing isinagawa sa deposito account ay isinasagawa. Sa mga kaso kung saan matagumpay ang aktibidad ng negosyante at iniiwasan niya ang mga pagkalugi, hindi inirerekumenda na gamitin ang eksklusibong pagkalkula ng inaasahan sa matematika. Sa mga kasong ito, ang mga panganib ay hindi isinasaalang-alang, na binabawasan ang pagiging epektibo ng pagsusuri.

Ang isinagawang pag-aaral ng mga taktika ng mga mangangalakal ay nagpapahiwatig na:

• Ang pinakamabisang taktika ay ang mga batay sa random na pagpasok;
• Ang hindi gaanong epektibo ay mga taktika batay sa mga nakabalangkas na input.

Sa pagkamit ng mga positibong resulta, hindi gaanong mahalaga ay:

• mga taktika sa pamamahala ng pera;
• mga diskarte sa paglabas.

Gamit ang naturang indicator bilang ang mathematical expectation, maaari mong hulaan kung ano ang magiging tubo o pagkawala kapag nag-iinvest ng 1 dollar. Ito ay kilala na ang tagapagpahiwatig na ito, na kinakalkula para sa lahat ng mga laro na isinagawa sa casino, ay pabor sa pagtatatag. Ito ang nagpapahintulot sa iyo na kumita ng pera. Sa kaso ng isang mahabang serye ng mga laro, ang posibilidad ng isang kliyente na mawalan ng pera ay tumataas nang malaki.

Ang mga larong nilalaro ng mga propesyonal na manlalaro ay limitado sa maikling panahon, na nagpapataas ng posibilidad na manalo at nagpapababa ng panganib na matalo. Ang parehong pattern ay sinusunod kapag nagsasagawa ng mga pagpapatakbo ng pamumuhunan.

Ang isang mamumuhunan ay maaaring kumita ng isang malaking halaga sa pamamagitan ng pagkakaroon ng mga positibong inaasahan at paggawa ng isang malaking bilang ng mga transaksyon sa isang maikling panahon.

Ang pag-asa ay maaaring isipin bilang pagkakaiba sa pagitan ng porsyento ng tubo (PW) na pinarami ng average na tubo (AW) at ang posibilidad ng pagkawala (PL) na pinarami ng average na pagkawala (AL).

Bilang halimbawa, maaari nating isaalang-alang ang mga sumusunod: posisyon - 12.5 libong dolyar, portfolio - 100 libong dolyar, panganib sa deposito - 1%. Ang kakayahang kumita ng mga transaksyon ay 40% ng mga kaso na may average na kita na 20%. Sa kaso ng pagkawala, ang average na pagkawala ay 5%. Ang pagkalkula ng mathematical na inaasahan para sa transaksyon ay nagbibigay ng halaga na $625.

Pangunahing numerical na katangian ng discrete at tuloy-tuloy na random variable: mathematical expectation, dispersion at standard deviation. Ang kanilang mga katangian at mga halimbawa.

Ang batas sa pamamahagi (distribution function at distribution series o probability density) ay ganap na naglalarawan sa gawi ng isang random na variable. Ngunit sa isang bilang ng mga problema, sapat na malaman ang ilang mga numerical na katangian ng halaga na pinag-aaralan (halimbawa, ang average na halaga nito at posibleng paglihis mula dito) upang masagot ang tanong na ibinibigay. Isaalang-alang natin ang pangunahing numerical na katangian ng mga discrete random variable.

Kahulugan 7.1.Pag-asa sa matematika Ang isang discrete random variable ay ang kabuuan ng mga produkto ng mga posibleng halaga nito at ang kanilang mga katumbas na probabilidad:

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p p p.(7.1)

Kung ang bilang ng mga posibleng halaga ng isang random na variable ay walang hanggan, kung gayon kung ang resultang serye ay ganap na nagtatagpo.

Tandaan 1. Ang pag-asa sa matematika ay minsan tinatawag weighted average, dahil ito ay humigit-kumulang katumbas ng arithmetic mean ng mga naobserbahang halaga ng random variable sa isang malaking bilang ng mga eksperimento.

Tandaan 2. Mula sa kahulugan ng mathematical expectation ay sumusunod na ang halaga nito ay hindi bababa sa pinakamaliit na posibleng halaga ng isang random variable at hindi hihigit sa pinakamalaking.

Tandaan 3. Ang mathematical na inaasahan ng isang discrete random variable ay hindi random(patuloy. Makikita natin mamaya na ang parehong ay totoo para sa tuluy-tuloy na random variable.

Halimbawa 1. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng isang random variable X- ang bilang ng mga karaniwang bahagi sa tatlong napili mula sa isang batch ng 10 bahagi, kabilang ang 2 may sira. Gumawa tayo ng serye ng pamamahagi para sa X. Mula sa mga kondisyon ng problema ay sumusunod na X maaaring tumagal ng mga halaga 1, 2, 3. Pagkatapos

Halimbawa 2. Tukuyin ang mathematical na inaasahan ng isang random variable X- ang bilang ng mga coin tosses bago ang unang hitsura ng coat of arms. Ang dami na ito ay maaaring tumagal sa isang walang katapusang bilang ng mga halaga (ang hanay ng mga posibleng halaga ay ang hanay ng mga natural na numero). Ang serye ng pamamahagi nito ay may anyo:

+ (kapag nagkalkula, ang formula para sa kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad ay ginamit nang dalawang beses: , mula sa kung saan ).

Mga katangian ng inaasahan sa matematika.

1) Ang mathematical na inaasahan ng isang pare-pareho ay katumbas ng pare-pareho mismo:

M(SA) = SA.(7.2)

Patunay. Kung ating isasaalang-alang SA bilang isang discrete random variable na kumukuha lamang ng isang halaga SA may posibilidad R= 1, pagkatapos M(SA) = SA?1 = SA.

2) Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng pag-asa sa matematika:

M(CX) = CM(X). (7.3)

Patunay. Kung ang random variable X ibinigay ng serye ng pamamahagi

Pagkatapos M(CX) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p p p = SA(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p) = CM(X).

Kahulugan 7.2. Dalawang random na variable ang tinatawag malaya, kung ang batas sa pamamahagi ng isa sa kanila ay hindi nakasalalay sa kung anong mga halaga ang kinuha ng isa pa. Kung hindi ang mga random na variable umaasa.

Kahulugan 7.3. Tawagin natin produkto ng mga independiyenteng random na variable X At Y random variable XY, ang mga posibleng halaga nito ay katumbas ng mga produkto ng lahat ng posibleng halaga X para sa lahat ng posibleng halaga Y, at ang katumbas na probabilidad ay katumbas ng mga produkto ng probabilities ng mga salik.

3) Ang pag-asa sa matematika ng produkto ng dalawang independyenteng random na variable ay katumbas ng produkto ng kanilang mga inaasahan sa matematika:

M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)

Patunay. Upang gawing simple ang mga kalkulasyon, nililimitahan namin ang aming sarili sa kaso kung kailan X At Y kumuha lamang ng dalawang posibleng halaga:

Kaya naman, M(XY) = x 1 y 1 ?p 1 g 1 + x 2 y 1 ?p 2 g 1 + x 1 y 2 ?p 1 g 2 + x 2 y 2 ?p 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 p 1 + x 2 p 2) + + y 2 g 2 (x 1 p 1 + x 2 p 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 p 1 + x 2 p 2) = M(X)?M(Y).

Tandaan 1. Maaari mo ring patunayan ang pag-aari na ito para sa mas malaking bilang ng mga posibleng halaga ng mga kadahilanan.

Tandaan 2. Ang Property 3 ay totoo para sa produkto ng anumang bilang ng mga independiyenteng random na variable, na pinatunayan ng mathematical induction.

Kahulugan 7.4. Tukuyin natin kabuuan ng mga random na variable X At Y bilang isang random variable X+Y, ang mga posibleng halaga nito ay katumbas ng mga kabuuan ng bawat posibleng halaga X sa bawat posibleng halaga Y; ang mga probabilidad ng naturang mga kabuuan ay katumbas ng mga produkto ng mga probabilidad ng mga termino (para sa mga dependent random variable - ang mga produkto ng probabilidad ng isang termino sa pamamagitan ng conditional probability ng pangalawa).

4) Ang pag-asa sa matematika ng kabuuan ng dalawang random na variable (depende o independiyente) ay katumbas ng kabuuan ng mga inaasahan sa matematika ng mga termino:

M (X+Y) = M (X) + M (Y). (7.5)

Patunay.

Muli nating isaalang-alang ang mga random na variable na tinukoy ng serye ng pamamahagi na ibinigay sa patunay ng ari-arian 3. Pagkatapos ang mga posibleng halaga X+Y ay X 1 + sa 1 , X 1 + sa 2 , X 2 + sa 1 , X 2 + sa 2. Ipaalam sa amin tukuyin ang kanilang mga probabilidad ayon sa pagkakabanggit bilang R 11 , R 12 , R 21 at R 22. Hahanapin natin M(X+Y) = (x 1 + y 1)p 11 + (x 1 + y 2)p 12 + (x 2 + y 1)p 21 + (x 2 + y 2)p 22 =

= x 1 (p 11 + p 12) + x 2 (p 21 + p 22) + y 1 (p 11 + p 21) + y 2 (p 12 + p 22).

Patunayan natin yan R 11 + R 22 = R 1 . Sa katunayan, ang kaganapan na X+Y kukuha ng mga halaga X 1 + sa 1 o X 1 + sa 2 at ang posibilidad nito ay R 11 + R 22 ay kasabay ng kaganapan na X = X 1 (ang posibilidad nito ay R 1). Ito ay pinatunayan sa isang katulad na paraan na p 21 + p 22 = R 2 , p 11 + p 21 = g 1 , p 12 + p 22 = g 2. Ibig sabihin,

M(X+Y) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X) + M (Y).

Magkomento. Mula sa property 4 sumusunod na ang kabuuan ng anumang bilang ng mga random na variable ay katumbas ng kabuuan ng mga inaasahan sa matematika ng mga termino.

Halimbawa. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng kabuuan ng bilang ng mga puntos na nakuha kapag naghahagis ng limang dice.

Hanapin natin ang mathematical na inaasahan ng bilang ng mga puntos na pinagsama kapag naghahagis ng isang dice:

M(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Ang parehong numero ay katumbas ng mathematical na inaasahan ng bilang ng mga puntos na pinagsama sa anumang dice. Samakatuwid, sa pamamagitan ng ari-arian 4 M(X)=

Pagpapakalat.

Upang magkaroon ng ideya ng pag-uugali ng isang random na variable, hindi sapat na malaman lamang ang inaasahan sa matematika nito. Isaalang-alang ang dalawang random na variable: X At Y, na tinukoy ng serye ng pamamahagi ng form

Hahanapin natin M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) = 0?0.5 + 100?0.5 = 50. Tulad ng makikita mo, ang mga inaasahan sa matematika ng parehong dami ay pantay, ngunit kung para sa HM(X) mahusay na naglalarawan ng pag-uugali ng isang random na variable, bilang ang pinaka-malamang na posibleng halaga nito (at ang natitirang mga halaga ay hindi gaanong naiiba sa 50), pagkatapos ay ang mga halaga Y makabuluhang inalis mula sa M(Y). Samakatuwid, kasama ang pag-asa sa matematika, ito ay kanais-nais na malaman kung gaano kalaki ang mga halaga ng isang random na variable na lumihis mula dito. Upang makilala ang tagapagpahiwatig na ito, ginagamit ang pagpapakalat.

Kahulugan 7.5.Dispersion (pagkakalat) ng isang random na variable ay ang matematikal na inaasahan ng parisukat ng paglihis nito mula sa matematikal na inaasahan:

D(X) = M (X-M(X))². (7.6)

Hanapin natin ang pagkakaiba ng random variable X(bilang ng mga karaniwang bahagi sa mga napili) sa halimbawa 1 ng panayam na ito. Kalkulahin natin ang squared deviation ng bawat posibleng value mula sa mathematical expectation:

(1 - 2.4) 2 = 1.96; (2 - 2.4) 2 = 0.16; (3 - 2.4) 2 = 0.36. Kaya naman,

Tandaan 1. Sa pagtukoy ng dispersion, hindi ang paglihis mula sa mean mismo ang tinasa, ngunit ang parisukat nito. Ginagawa ito upang ang mga paglihis ng iba't ibang mga palatandaan ay hindi kanselahin ang bawat isa.

Tandaan 2. Mula sa kahulugan ng dispersion, sumusunod na ang dami na ito ay tumatagal lamang ng mga hindi negatibong halaga.

Tandaan 3. Mayroong isang formula para sa pagkalkula ng pagkakaiba-iba na mas maginhawa para sa mga kalkulasyon, ang bisa nito ay napatunayan sa sumusunod na teorama:

Teorama 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)

Patunay.

Gamit ang ano M(X) ay isang pare-parehong halaga, at ang mga katangian ng inaasahan sa matematika, binabago namin ang formula (7.6) sa anyo:

D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =

= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), na kung ano ang kailangang patunayan.

Halimbawa. Kalkulahin natin ang mga pagkakaiba-iba ng mga random na variable X At Y tinalakay sa simula ng bahaging ito. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

M(Y) = (0 2 ?0.5 + 100²?0.5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Kaya, ang pagkakaiba ng pangalawang random variable ay ilang libong beses na mas malaki kaysa sa pagkakaiba ng una. Kaya, kahit na hindi alam ang mga batas sa pamamahagi ng mga dami na ito, batay sa mga kilalang halaga ng pagpapakalat maaari nating sabihin na X bahagyang lumilihis mula sa inaasahan nitong matematika, habang para sa Y ang paglihis na ito ay medyo makabuluhan.

Mga katangian ng pagpapakalat.

1) Pagkakaiba-iba ng isang pare-parehong halaga SA katumbas ng zero:

D (C) = 0. (7.8)

Patunay. D(C) = M((C-M(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.

2) Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa dispersion sign sa pamamagitan ng pag-square nito:

D(CX) = C² D(X). (7.9)

Patunay. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =

= C² D(X).

3) Ang pagkakaiba ng kabuuan ng dalawang independiyenteng random na mga variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga pagkakaiba:

D(X+Y) = D(X) + D(Y). (7.10)

Patunay. D(X+Y) = M(X² + 2 XY + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +

+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).

Bunga 1. Ang pagkakaiba ng kabuuan ng ilang magkaparehong independiyenteng mga random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga pagkakaiba.

Bunga 2. Ang pagkakaiba ng kabuuan ng isang pare-pareho at isang random na variable ay katumbas ng pagkakaiba ng random na variable.

4) Ang pagkakaiba ng pagkakaiba sa pagitan ng dalawang independiyenteng random na mga variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga pagkakaiba:

D(X-Y) = D(X) + D(Y). (7.11)

Patunay. D(X-Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)² D(Y) = D(X) + D(X).

Ang pagkakaiba ay nagbibigay ng average na halaga ng squared deviation ng isang random variable mula sa mean; Upang suriin ang mismong paglihis, ginagamit ang isang halaga na tinatawag na standard deviation.

Kahulugan 7.6.Karaniwang lihisσ random variable X ay tinatawag na square root ng variance:

Halimbawa. Sa nakaraang halimbawa, ang standard deviations X At Y ay pantay ayon sa pagkakabanggit

Ang mga random na variable, bilang karagdagan sa mga batas sa pamamahagi, ay maaari ding ilarawan mga katangiang numero .

Pag-asa sa matematika M (x) ng isang random na variable ay tinatawag na mean value nito.

Ang mathematical na inaasahan ng isang discrete random variable ay kinakalkula gamit ang formula

saan – random variable values, p ako - kanilang mga probabilidad.

Isaalang-alang natin ang mga katangian ng pag-asa sa matematika:

1. Ang mathematical expectation ng isang constant ay katumbas ng constant mismo

2. Kung ang isang random na variable ay pinarami ng isang tiyak na bilang na k, ang mathematical na inaasahan ay i-multiply sa parehong numero

M (kx) = kM (x)

3. Ang mathematical na inaasahan ng kabuuan ng mga random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga mathematical na inaasahan

M (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)

4. M (x 1 - x 2) = M (x 1) - M (x 2)

5. Para sa mga independiyenteng random na variable x 1, x 2, … x n, ang mathematical expectation ng produkto ay katumbas ng produkto ng kanilang mathematical expectations

M (x 1, x 2, ... x n) = M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0

Kalkulahin natin ang mathematical na inaasahan para sa random variable mula sa Halimbawa 11.

M(x) = = .

Halimbawa 12. Hayaang ang mga random na variable x 1, x 2 ay matukoy nang naaayon sa pamamagitan ng mga batas sa pamamahagi:

x 1 Talahanayan 2

x 2 Talahanayan 3

Kalkulahin natin ang M (x 1) at M (x 2)

M (x 1) = (- 0.1) 0.1 + (- 0.01) 0.2 + 0 0.4 + 0.01 0.2 + 0.1 0.1 = 0

M (x 2) = (- 20) 0.3 + (- 10) 0.1 + 0 0.2 + 10 0.1 + 20 0.3 = 0

Ang mga inaasahan sa matematika ng parehong mga random na variable ay pareho - ang mga ito ay katumbas ng zero. Gayunpaman, ang likas na katangian ng kanilang pamamahagi ay naiiba. Kung ang mga halaga ng x 1 ay naiiba nang kaunti mula sa kanilang inaasahan sa matematika, kung gayon ang mga halaga ng x 2 ay naiiba sa isang malaking lawak mula sa kanilang inaasahan sa matematika, at ang mga probabilidad ng naturang mga paglihis ay hindi maliit. Ipinapakita ng mga halimbawang ito na imposibleng matukoy mula sa average na halaga kung aling mga paglihis mula dito ang nangyayari, parehong mas maliit at mas malaki. Kaya, sa parehong average na taunang pag-ulan sa dalawang lugar, hindi masasabi na ang mga lugar na ito ay pantay na pabor para sa gawaing pang-agrikultura. Katulad nito, batay sa average na tagapagpahiwatig ng suweldo, hindi posibleng hatulan ang bahagi ng mataas at mababang suweldo na mga manggagawa. Samakatuwid, ang isang numerical na katangian ay ipinakilala - pagpapakalat D(x) , na nagpapakilala sa antas ng paglihis ng isang random na variable mula sa average na halaga nito:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

Ang dispersion ay ang mathematical expectation ng squared deviation ng random variable mula sa mathematical expectation. Para sa isang discrete random variable, ang pagkakaiba ay kinakalkula gamit ang formula:

D(x)= = (3)

Mula sa kahulugan ng dispersion sumusunod na D (x) 0.

Mga katangian ng pagpapakalat:

1. Ang pagkakaiba ng pare-pareho ay zero

2. Kung ang isang random na variable ay pinarami ng isang tiyak na bilang na k, kung gayon ang pagkakaiba ay i-multiply sa parisukat ng numerong ito

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) = M (x 2) – M 2 (x)

4. Para sa pairwise independent random variables x 1 , x 2 , … x n ang pagkakaiba ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga pagkakaiba.

D (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)

Kalkulahin natin ang pagkakaiba para sa random na variable mula sa Halimbawa 11.

Pag-asa sa matematika M (x) = 1. Samakatuwid, ayon sa formula (3) mayroon tayong:

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

Tandaan na mas madaling kalkulahin ang pagkakaiba kung gagamit ka ng property 3:

D (x) = M (x 2) – M 2 (x).

Kalkulahin natin ang mga pagkakaiba para sa mga random na variable x 1 , x 2 mula sa Halimbawa 12 gamit ang formula na ito. Ang mga inaasahan sa matematika ng parehong mga random na variable ay zero.

D (x 1) = 0.01 0.1 + 0.0001 0.2 + 0.0001 0.2 + 0.01 0.1 = 0.001 + 0.00002 + 0.00002 + 0.001 = 0.00204

D (x 2) = (-20) 2 0.3 + (-10) 2 0.1 + 10 2 0.1 + 20 2 0.3 = 240 +20 = 260

Kung mas malapit ang halaga ng pagkakaiba sa zero, mas maliit ang pagkalat ng random na variable na may kaugnayan sa mean na halaga.

Ang dami ay tinatawag karaniwang lihis. Random na variable na mode x discrete type Md Ang halaga ng isang random na variable na may pinakamataas na posibilidad ay tinatawag.

Random na variable na mode x tuloy-tuloy na uri Md, ay isang tunay na numero na tinukoy bilang ang punto ng maximum ng probability distribution density f(x).

Median ng isang random na variable x tuloy-tuloy na uri Mn ay isang tunay na numero na nakakatugon sa equation

Ang bawat indibidwal na halaga ay ganap na tinutukoy ng function ng pamamahagi nito. Gayundin, upang malutas ang mga praktikal na problema, sapat na malaman ang ilang mga numerical na katangian, salamat sa kung saan posible na ipakita ang mga pangunahing tampok ng isang random na variable sa isang maikling anyo.

Kabilang sa mga dami na ito ang pangunahin inaasahang halaga At pagpapakalat .

Inaasahang halaga— ang average na halaga ng isang random na variable sa probability theory. Tinutukoy bilang .

Sa pinakasimpleng paraan, ang mathematical na inaasahan ng isang random variable X(w), hanapin kung paano integralLebesgue kaugnay ng sukatan ng posibilidad R orihinal puwang ng posibilidad

Maaari mo ring mahanap ang mathematical na inaasahan ng isang halaga bilang integral ng Lebesgue mula sa X sa pamamagitan ng pamamahagi ng posibilidad R X dami X:

kung saan ang hanay ng lahat ng posibleng halaga X.

Mathematical expectation ng mga function mula sa isang random variable X matatagpuan sa pamamagitan ng pamamahagi R X. Halimbawa, Kung X- isang random na variable na may mga halaga sa at f(x)- hindi malabo kay Borelfunction X , Iyon:

Kung F(x)- function ng pamamahagi X, kung gayon ang mathematical na inaasahan ay kinakatawan integralLebesgue - Stieltjes (o Riemann - Stieltjes):

sa kasong ito, integrability X Sa mga tuntunin ng ( * ) ay tumutugma sa finiteness ng integral

Sa mga partikular na kaso, kung X ay may discrete distribution na may probable values x k, k=1, 2, . , at mga probabilidad, kung gayon

Kung X ay may ganap na tuluy-tuloy na pamamahagi na may probability density p(x), Iyon

sa kasong ito, ang pagkakaroon ng isang mathematical expectation ay katumbas ng absolute convergence ng kaukulang serye o integral.

Mga katangian ng inaasahan sa matematika ng isang random na variable.

• Ang mathematical na inaasahan ng isang pare-parehong halaga ay katumbas ng halagang ito:

C- pare-pareho;

• M=C.M[X]

• Ang pag-asa sa matematika ng kabuuan ng mga random na kinuhang halaga ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga inaasahan sa matematika:

• Ang mathematical na inaasahan ng produkto ng mga independiyenteng random na kinuhang mga variable = ang produkto ng kanilang mga mathematical na inaasahan:

M=M[X]+M[Y]

Kung X At Y malaya.

kung ang serye ay nagtatagpo:

Algorithm para sa pagkalkula ng inaasahan sa matematika.

Mga katangian ng mga discrete random variable: ang lahat ng kanilang mga halaga ay maaaring muling bilangin ng mga natural na numero; italaga ang bawat halaga ng isang hindi zero na posibilidad.

1. I-multiply ang mga pares nang paisa-isa: x i sa p i.

2. Idagdag ang produkto ng bawat pares x i p i.

Halimbawa, Para sa n = 4 :

Distribution function ng isang discrete random variable sunud-sunod, ito ay tumataas nang biglaan sa mga puntong iyon na ang mga probabilidad ay may positibong senyales.

Halimbawa: Hanapin ang mathematical expectation gamit ang formula.