Paglutas ng mga exponential equation. Mga halimbawa

Mga halimbawa:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4.8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Paano Lutasin ang mga Exponential Equation

Kapag nilulutas ang anumang exponential equation, sinisikap naming dalhin ito sa anyong \(a^(f(x))=a^(g(x))\), at pagkatapos ay gawin ang paglipat sa pagkakapantay-pantay ng mga exponent, iyon ay:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Halimbawa:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Mahalaga! Mula sa parehong lohika, dalawang kinakailangan para sa naturang paglipat ay sumusunod:
- numero sa kaliwa at kanan ay dapat na pareho;
- ang mga degree sa kaliwa at kanan ay dapat na "dalisay", ibig sabihin, dapat walang multiplication, division, etc.

Halimbawa:

Upang bawasan ang equation sa anyong \(a^(f(x))=a^(g(x))\) at ginagamit.

Halimbawa . Lutasin ang exponential equation \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Solusyon:

Ang paglutas ng karamihan sa mga problema sa matematika sa isang paraan o iba pa ay kinabibilangan ng pagbabago ng numerical, algebraic o functional na mga expression. Nalalapat ang nasa itaas lalo na sa desisyon. Sa mga bersyon ng Unified State Exam sa matematika, ang ganitong uri ng problema ay kinabibilangan, sa partikular, gawain C3. Ang pag-aaral na lutasin ang mga gawain sa C3 ay mahalaga hindi lamang para sa layunin ng matagumpay na pagpasa sa Pinag-isang Pagsusulit ng Estado, kundi pati na rin sa kadahilanang ang kasanayang ito ay magiging kapaki-pakinabang kapag nag-aaral ng kurso sa matematika sa mataas na paaralan.

Kapag kinukumpleto ang mga gawain sa C3, kailangan mong lutasin ang iba't ibang uri ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay. Kabilang sa mga ito ay makatwiran, hindi makatwiran, exponential, logarithmic, trigonometriko, na naglalaman ng mga module (mga ganap na halaga), pati na rin ang mga pinagsama. Tinatalakay ng artikulong ito ang mga pangunahing uri ng mga exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay, pati na rin ang iba't ibang pamamaraan para sa paglutas ng mga ito. Basahin ang tungkol sa paglutas ng iba pang uri ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa seksyong "" sa mga artikulong nakatuon sa mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa C3 mula sa Unified State Examination sa matematika.

Bago natin simulan ang pag-aaral ng tiyak exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay, bilang isang tutor sa matematika, iminumungkahi kong mag-ayos ka sa ilang teoretikal na materyal na kakailanganin natin.

Exponential function

Ano ang exponential function?

Function ng form y = isang x, Saan a> 0 at a≠ 1 ang tinatawag exponential function.

Basic katangian ng exponential function y = isang x:

Graph ng Exponential Function

Ang graph ng exponential function ay exponent:

Mga graph ng exponential function (exponents)

Paglutas ng mga exponential equation

Nagpapahiwatig ay tinatawag na mga equation kung saan ang hindi kilalang variable ay matatagpuan lamang sa mga exponent ng ilang mga kapangyarihan.

Para sa mga solusyon mga exponential equation kailangan mong malaman at magamit ang sumusunod na simpleng teorama:

Teorama 1. Exponential equation a f(x) = a g(x) (Saan a > 0, a≠ 1) ay katumbas ng equation f(x) = g(x).

Bilang karagdagan, kapaki-pakinabang na tandaan ang mga pangunahing formula at operasyon na may mga degree:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Halimbawa 1. Lutasin ang equation:

Solusyon: Ginagamit namin ang mga formula sa itaas at pagpapalit:

Ang equation pagkatapos ay magiging:

Ang discriminant ng resultang quadratic equation ay positibo:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Nangangahulugan ito na ang equation na ito ay may dalawang ugat. Natagpuan namin sila:

Sa paglipat sa baligtad na pagpapalit, nakukuha namin ang:

Ang pangalawang equation ay walang mga ugat, dahil ang exponential function ay mahigpit na positibo sa buong domain ng kahulugan. Lutasin natin ang pangalawa:

Isinasaalang-alang kung ano ang sinabi sa Theorem 1, lumipat tayo sa katumbas na equation: x= 3. Ito ang magiging sagot sa gawain.

Sagot: x = 3.

Halimbawa 2. Lutasin ang equation:

Solusyon: Ang equation ay walang mga paghihigpit sa hanay ng mga pinahihintulutang halaga, dahil ang radikal na expression ay may katuturan para sa anumang halaga x(exponential function y = 9 4 -x positibo at hindi katumbas ng zero).

Nilulutas namin ang equation sa pamamagitan ng katumbas na mga pagbabagong-anyo gamit ang mga patakaran ng multiplikasyon at paghahati ng mga kapangyarihan:

Ang huling paglipat ay isinagawa alinsunod sa Theorem 1.

Sagot:x= 6.

Halimbawa 3. Lutasin ang equation:

Solusyon: ang magkabilang panig ng orihinal na equation ay maaaring hatiin ng 0.2 x. Ang paglipat na ito ay magiging katumbas, dahil ang expression na ito ay mas malaki kaysa sa zero para sa anumang halaga x(ang exponential function ay mahigpit na positibo sa domain ng kahulugan nito). Pagkatapos ang equation ay kumukuha ng anyo:

Sagot: x = 0.

Halimbawa 4. Lutasin ang equation:

Solusyon: pinapasimple namin ang equation sa isang elementarya sa pamamagitan ng mga katumbas na pagbabagong-anyo gamit ang mga tuntunin ng paghahati at pagpaparami ng mga kapangyarihan na ibinigay sa simula ng artikulo:

Hinahati ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 4 x, tulad ng sa nakaraang halimbawa, ay isang katumbas na pagbabago, dahil ang expression na ito ay hindi katumbas ng zero para sa anumang mga halaga x.

Sagot: x = 0.

Halimbawa 5. Lutasin ang equation:

Solusyon: function y = 3x, na nakatayo sa kaliwang bahagi ng equation, ay tumataas. Function y = —x Ang -2/3 sa kanang bahagi ng equation ay bumababa. Nangangahulugan ito na kung ang mga graph ng mga function na ito ay magsalubong, pagkatapos ay hindi hihigit sa isang punto. Sa kasong ito, madaling hulaan na ang mga graph ay nagsalubong sa punto x= -1. Wala nang ibang ugat.

Sagot: x = -1.

Halimbawa 6. Lutasin ang equation:

Solusyon: pinapasimple namin ang equation sa pamamagitan ng mga katumbas na pagbabago, na isinasaisip sa lahat ng dako na ang exponential function ay mahigpit na mas malaki kaysa sa zero para sa anumang halaga x at paggamit ng mga patakaran para sa pagkalkula ng produkto at quotient ng mga kapangyarihan na ibinigay sa simula ng artikulo:

Sagot: x = 2.

Paglutas ng mga exponential inequalities

Nagpapahiwatig ay tinatawag na mga hindi pagkakapantay-pantay kung saan ang hindi kilalang variable ay nakapaloob lamang sa mga exponents ng ilang mga kapangyarihan.

Para sa mga solusyon exponential inequalities Ang kaalaman sa sumusunod na teorama ay kinakailangan:

Teorama 2. Kung a> 1, pagkatapos ay ang hindi pagkakapantay-pantay a f(x) > a g(x) ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan: f(x) > g(x). Kung 0< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay na may kabaligtaran na kahulugan: f(x) < g(x).

Halimbawa 7. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

Solusyon: Ipakita natin ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay sa anyo:

Hatiin natin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay na ito sa 3 2 x, sa kasong ito (dahil sa positivity ng function y= 3 2x) ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi magbabago:

Gamitin natin ang pagpapalit:

Pagkatapos ang hindi pagkakapantay-pantay ay kukuha ng anyo:

Kaya, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang pagitan:

paglipat sa reverse substitution, nakukuha namin:

Dahil sa positivity ng exponential function, ang kaliwang hindi pagkakapantay-pantay ay awtomatikong nasiyahan. Gamit ang kilalang pag-aari ng logarithm, nagpapatuloy tayo sa katumbas na hindi pagkakapantay-pantay:

Dahil ang base ng degree ay isang numerong mas malaki kaysa sa isa, ang katumbas (sa pamamagitan ng Theorem 2) ay ang paglipat sa sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay:

Kaya, nakuha namin sa wakas sagot:

Halimbawa 8. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

Solusyon: Gamit ang mga katangian ng multiplikasyon at paghahati ng mga kapangyarihan, muling isinulat namin ang hindi pagkakapantay-pantay sa anyo:

Magpakilala tayo ng bagong variable:

Isinasaalang-alang ang pagpapalit na ito, ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasa anyo:

Ang pag-multiply ng numerator at denominator ng fraction sa 7, nakukuha natin ang sumusunod na katumbas na hindi pagkakapantay-pantay:

Kaya, ang mga sumusunod na halaga ng variable ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay t:

Pagkatapos, lumipat sa reverse substitution, makukuha natin:

Dahil ang base ng degree dito ay mas malaki kaysa sa isa, ang paglipat sa hindi pagkakapantay-pantay ay magiging katumbas (sa pamamagitan ng Theorem 2):

Sa wakas nakuha namin sagot:

Halimbawa 9. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

Solusyon:

Hinahati namin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng expression:

Ito ay palaging mas malaki kaysa sa zero (dahil sa positivity ng exponential function), kaya hindi na kailangang baguhin ang inequality sign. Nakukuha namin:

t matatagpuan sa pagitan:

Sa paglipat sa reverse substitution, nakita namin na ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay nahahati sa dalawang kaso:

Ang unang hindi pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon dahil sa positivity ng exponential function. Lutasin natin ang pangalawa:

Halimbawa 10. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

Solusyon:

Mga sanga ng parabola y = 2x+2-x 2 ay nakadirekta pababa, samakatuwid ito ay limitado mula sa itaas ng halaga na naabot nito sa tuktok nito:

Mga sanga ng parabola y = x 2 -2x Ang +2 sa indicator ay nakadirekta pataas, na nangangahulugang ito ay limitado mula sa ibaba ng halaga na naabot nito sa tuktok nito:

Kasabay nito, ang function ay lumalabas din na may hangganan mula sa ibaba y = 3 x 2 -2x+2, na nasa kanang bahagi ng equation. Naabot nito ang pinakamaliit na halaga nito sa parehong punto ng parabola sa exponent, at ang halagang ito ay 3 1 = 3. Kaya, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay maaari lamang maging totoo kung ang function sa kaliwa at ang function sa kanan ay kukuha ng halaga , katumbas ng 3 (ang intersection ng mga saklaw ng mga halaga ng mga function na ito ay ang numerong ito lamang). Ang kundisyong ito ay nasiyahan sa isang punto x = 1.

Sagot: x= 1.

Upang matutong magdesisyon exponential equation at hindi pagkakapantay-pantay, kinakailangang patuloy na magsanay sa paglutas ng mga ito. Ang iba't ibang mga pantulong sa pagtuturo, mga librong may problema sa elementarya, mga koleksyon ng mga mapagkumpitensyang problema, mga klase sa matematika sa paaralan, pati na rin ang mga indibidwal na aralin na may propesyonal na tagapagturo ay makakatulong sa iyo sa mahirap na gawaing ito. Taos-puso kong naisin ang tagumpay sa iyong paghahanda at mahusay na mga resulta sa pagsusulit.

Sergey Valerievich

P.S. Mga minamahal na panauhin! Mangyaring huwag sumulat ng mga kahilingan upang malutas ang iyong mga equation sa mga komento. Sa kasamaang palad, wala akong oras para dito. Ang mga naturang mensahe ay tatanggalin. Mangyaring basahin ang artikulo. Marahil dito ay makakahanap ka ng mga sagot sa mga tanong na hindi nagpapahintulot sa iyo na malutas ang iyong gawain sa iyong sarili.

Exponential function ay isang paglalahat ng produkto ng n mga numero na katumbas ng a:
y (n) = a n = a·a·a···a,
sa hanay ng mga tunay na numero x:
y (x) = palakol.
Narito ang isang nakapirming tunay na numero, na tinatawag batayan ng exponential function.
Tinatawag din ang exponential function na may base a exponent sa base a.

Ang paglalahat ay isinasagawa tulad ng sumusunod.
Para sa natural na x = 1, 2, 3,... , ang exponential function ay ang produkto ng x factor:
.
Bukod dito, mayroon itong mga katangian (1.5-8) (), na sumusunod mula sa mga patakaran para sa pagpaparami ng mga numero. Para sa mga zero at negatibong halaga ng mga integer, ang exponential function ay tinutukoy gamit ang mga formula (1.9-10). Para sa mga fractional na halaga x = m/n rational na mga numero, , ito ay tinutukoy ng formula (1.11). Para sa real , ang exponential function ay tinukoy bilang ang limitasyon ng sequence:
,
kung saan ay isang di-makatwirang pagkakasunod-sunod ng mga rational na numero na nagtatagpo sa x: .
Sa kahulugang ito, ang exponential function ay tinukoy para sa lahat , at natutugunan ang mga katangian (1.5-8), tulad ng para sa natural na x.

Ang isang mahigpit na pormulasyon sa matematika ng kahulugan ng isang exponential function at ang patunay ng mga katangian nito ay ibinibigay sa pahinang "Kahulugan at patunay ng mga katangian ng isang exponential function".

Mga Katangian ng Exponential Function

Ang exponential function na y = a x ay may mga sumusunod na katangian sa hanay ng mga tunay na numero ():
(1.1) tinukoy at tuloy-tuloy, para sa , para sa lahat;
(1.2) para sa isang ≠ 1 ay may maraming kahulugan;
(1.3) mahigpit na tumataas sa , mahigpit na bumababa sa ,
ay pare-pareho sa ;
(1.4) sa ;
sa ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Iba pang mga kapaki-pakinabang na formula.
.
Formula para sa pag-convert sa isang exponential function na may ibang exponent base:

Kapag b = e, nakukuha natin ang expression ng exponential function sa pamamagitan ng exponential:

Mga pribadong halaga

, , , , .

Ipinapakita ng figure ang mga graph ng exponential function
y (x) = palakol
para sa apat na halaga mga batayan ng degree: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 at a = 1/8 . Ito ay makikita na para sa isang > 1 monotonically tumataas ang exponential function. Kung mas malaki ang base ng degree a, mas malakas ang paglago. Sa 0 < a < 1 monotonically bumababa ang exponential function. Kung mas maliit ang exponent a, mas malakas ang pagbaba.

Pataas pababa

Ang exponential function para sa ay mahigpit na monotonic at samakatuwid ay walang extrema. Ang mga pangunahing katangian nito ay ipinakita sa talahanayan.

Baliktad na pag-andar

Ang kabaligtaran ng isang exponential function na may base a ay ang logarithm sa base a.

Kung , kung gayon
.
Kung , kung gayon
.

Differentiation ng isang exponential function

Upang pag-iba-ibahin ang isang exponential function, ang base nito ay dapat na bawasan sa bilang na e, ilapat ang talahanayan ng mga derivatives at ang panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function.

Upang gawin ito kailangan mong gamitin ang pag-aari ng logarithms
at ang formula mula sa derivatives table:
.

Hayaang magbigay ng exponential function:
.
Dinala namin ito sa base e:

Ilapat natin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng mga kumplikadong function. Upang gawin ito, ipakilala ang variable

Pagkatapos

Mula sa talahanayan ng mga derivatives mayroon kami (palitan ang variable x ng z):
.
Dahil isang pare-pareho, ang derivative ng z na may paggalang sa x ay katumbas ng
.
Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong pag-andar:
.

Derivative ng isang exponential function

.
Derivative ng nth order:
.
Pagkuha ng mga formula > > >

Isang halimbawa ng pagkakaiba-iba ng exponential function

Hanapin ang derivative ng isang function
y= 3 5 x

Solusyon

Ipahayag natin ang base ng exponential function sa pamamagitan ng numero e.
3 = e ln 3
Pagkatapos
.
Maglagay ng variable
.
Pagkatapos

Mula sa talahanayan ng mga derivatives makikita natin:
.
Dahil ang 5ln 3 ay isang pare-pareho, kung gayon ang derivative ng z na may paggalang sa x ay katumbas ng:
.
Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong pag-andar, mayroon kaming:
.

Sagot

integral

Mga expression na gumagamit ng mga kumplikadong numero

Isaalang-alang ang complex number function z:
f (z) = isang z
kung saan z = x + iy; i 2 = - 1 .
Ipahayag natin ang complex constant a sa mga tuntunin ng modulus r at argument φ:
a = r e i φ
Pagkatapos


.
Ang argumento φ ay hindi natatanging tinukoy. Sa pangkalahatan
φ = φ 0 + 2 πn,
kung saan ang n ay isang integer. Samakatuwid ang function f (z) ay hindi rin malinaw. Ang pangunahing kahalagahan nito ay madalas na isinasaalang-alang
.

Pagpapalawak ng serye

.

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng matematika para sa mga inhinyero at mag-aaral sa kolehiyo, "Lan", 2009.

Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, pamamaraang panghukuman, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng pamahalaan sa Russian Federation - upang ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Igalang ang iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Sa yugto ng paghahanda para sa huling pagsusulit, kailangang pagbutihin ng mga mag-aaral sa high school ang kanilang kaalaman sa paksang "Exponential Equation." Ang karanasan ng mga nakaraang taon ay nagpapahiwatig na ang gayong mga gawain ay nagdudulot ng ilang mga paghihirap para sa mga mag-aaral. Samakatuwid, ang mga mag-aaral sa high school, anuman ang kanilang antas ng paghahanda, ay kailangang lubusang makabisado ang teorya, tandaan ang mga formula at maunawaan ang prinsipyo ng paglutas ng mga naturang equation. Ang pagkakaroon ng natutunan upang makayanan ang ganitong uri ng problema, ang mga nagtapos ay maaaring umasa sa matataas na marka kapag pumasa sa Unified State Exam sa matematika.

Maghanda para sa pagsusulit sa pagsusulit kasama si Shkolkovo!

Kapag sinusuri ang mga materyal na kanilang sakop, maraming estudyante ang nahaharap sa problema sa paghahanap ng mga pormula na kailangan upang malutas ang mga equation. Ang isang aklat-aralin sa paaralan ay hindi palaging nasa kamay, at ang pagpili ng kinakailangang impormasyon sa isang paksa sa Internet ay tumatagal ng mahabang panahon.

Iniimbitahan ng portal na pang-edukasyon ng Shkolkovo ang mga mag-aaral na gamitin ang aming base ng kaalaman. Nagpapatupad kami ng isang ganap na bagong paraan ng paghahanda para sa huling pagsubok. Sa pamamagitan ng pag-aaral sa aming website, matutukoy mo ang mga gaps sa kaalaman at mabibigyang-pansin ang mga gawaing nagdudulot ng pinakamahirap.

Ang mga guro ng Shkolkovo ay nakolekta, nag-systematize at ipinakita ang lahat ng materyal na kinakailangan para sa matagumpay na pagpasa sa Unified State Exam sa pinakasimpleng at pinaka-naa-access na form.

Ang mga pangunahing kahulugan at formula ay ipinakita sa seksyong "Theoretical background".

Upang mas maunawaan ang materyal, inirerekomenda namin na magsanay ka sa pagkumpleto ng mga takdang-aralin. Maingat na suriin ang mga halimbawa ng mga exponential equation na may mga solusyon na ipinakita sa pahinang ito upang maunawaan ang algorithm ng pagkalkula. Pagkatapos nito, magpatuloy upang magsagawa ng mga gawain sa seksyong "Mga Direktoryo". Maaari kang magsimula sa pinakamadaling gawain o dumiretso sa paglutas ng mga kumplikadong exponential equation na may ilang hindi alam o . Ang database ng mga pagsasanay sa aming website ay patuloy na pupunan at ina-update.

Ang mga halimbawang iyon na may mga tagapagpahiwatig na nagdulot sa iyo ng mga paghihirap ay maaaring idagdag sa "Mga Paborito". Sa ganitong paraan madali mong mahahanap ang mga ito at matalakay ang solusyon sa iyong guro.

Upang matagumpay na makapasa sa Unified State Exam, mag-aral sa portal ng Shkolkovo araw-araw!