Harmonik titreşimler. Matematiksel sarkaç: periyot, ivme ve formüller

(lat. genlik- büyüklük), salınan bir cismin denge konumundan en büyük sapmasıdır.

Bir sarkaç için bu, topun denge konumundan uzaklaştığı maksimum mesafedir (aşağıdaki şekil). Küçük genlikli salınımlar için, 01 veya 02 yayının uzunluğu ve bu bölümlerin uzunlukları gibi bir mesafe alınabilir.

Salınımların genliği uzunluk birimleri (metre, santimetre vb.) cinsinden ölçülür. Salınım grafiğinde genlik, sinüzoidal eğrinin maksimum (modülo) ordinatı olarak tanımlanır (aşağıdaki şekle bakın).

Salınım süresi.

Salınım periyodu- Bu, salınım yapan bir sistemin, keyfi olarak seçilen, zamanın ilk anında bulunduğu aynı duruma tekrar döndüğü en kısa süredir.

Başka bir deyişle, salınım periyodu ( T) tam bir salınımın meydana geldiği zamandır. Örneğin aşağıdaki şekilde sarkaç bobunun en sağ noktadan denge noktasına kadar hareket etmesi için geçen süredir. HAKKINDA en soldaki noktaya ve noktadan geriye doğru HAKKINDA yine en sağa.

Böylece vücut, tam bir salınım periyodu boyunca dört genliğe eşit bir yol kat eder. Salınım periyodu zaman birimleri (saniye, dakika vb.) cinsinden ölçülür. Salınım periyodu, iyi bilinen bir salınım grafiğinden belirlenebilir (aşağıdaki şekle bakınız).

Kesin olarak konuşursak, "salınım periyodu" kavramı, yalnızca salınım miktarının değerleri belirli bir süre sonra tam olarak tekrarlandığında, yani harmonik salınımlar için geçerlidir. Ancak bu kavram aynı zamanda yaklaşık olarak tekrarlanan büyüklükler için de geçerlidir; örneğin: sönümlü salınımlar.

Salınım frekansı.

Salınım frekansı- bu, örneğin 1 saniyede birim zaman başına gerçekleştirilen salınımların sayısıdır.

SI frekans biriminin adı hertz(Hz.) Alman fizikçi G. Hertz'in (1857-1894) onuruna. Salınım frekansı ( v) eşittir 1 Hz. Bu, her saniyede bir salınım olduğu anlamına gelir. Salınımların sıklığı ve periyodu ilişkilerle ilişkilidir:

Salınım teorisinde de bu kavramı kullanıyorlar döngüsel, veya dairesel frekans ω . Normal frekansla ilgilidir v ve salınım periyodu T oranlar:

Döngüsel frekans başına gerçekleştirilen salınım sayısıdır 2π saniye

Salınım hareketi- Koordinatı, hızı ve ivmesi eşit zaman aralıklarında yaklaşık olarak aynı değerleri alan bir cismin periyodik veya neredeyse periyodik hareketi.

Mekanik titreşimler, bir cisim denge konumundan çıkarıldığında, cismi geri döndürme eğiliminde olan bir kuvvet ortaya çıktığında meydana gelir.

Yer değiştirme x, vücudun denge konumundan sapmasıdır.

Genlik A, cismin maksimum yer değiştirmesinin modülüdür.

Salınım periyodu T - bir salınımın süresi:

Salınım frekansı

Bir cismin birim zaman başına yaptığı salınım sayısı: Salınım sırasında hız ve ivme periyodik olarak değişir. Denge konumunda hız maksimumdur ve ivme sıfırdır. Maksimum yer değiştirme noktalarında ivme maksimuma ulaşır ve hız sıfır olur.

HARMONİK TİTREŞİM PROGRAMI

Harmonik sinüs veya kosinüs kanununa göre oluşan titreşimlere denir:

burada x(t), sistemin t zamanındaki yer değiştirmesidir, A genliktir, ω salınımların döngüsel frekansıdır.

Eğer cismin denge konumundan sapmasını dikey eksen boyunca ve zamanı yatay eksen boyunca çizerseniz, x = x(t) salınımının - cismin yer değiştirmesinin zamana bağımlılığının - grafiğini elde edersiniz. Serbest harmonik salınımlar için sinüs dalgası veya kosinüs dalgasıdır. Şekilde x yer değiştirmesinin, Vx hızının ve a x ivmesinin zamana bağımlılığının grafikleri gösterilmektedir.

Grafiklerden görülebileceği gibi, maksimum x yer değiştirmesinde, salınan cismin hızı V sıfırdır, ivme a ve dolayısıyla cisme etki eden kuvvet maksimumdur ve yer değiştirmenin tersi yöndedir. Denge konumunda yer değiştirme ve ivme sıfır olur ve hız maksimum olur. İvme projeksiyonu her zaman yer değiştirmenin tersi işarete sahiptir.

TİTREŞİM HAREKETİNİN ENERJİSİ

Salınım yapan bir cismin toplam mekanik enerjisi, kinetik ve potansiyel enerjilerinin toplamına eşittir ve sürtünme olmadığında sabit kalır:

Yer değiştirmenin maksimum x = A değerine ulaştığı anda hız ve onunla birlikte kinetik enerji de sıfıra gider.

Bu durumda toplam enerji potansiyel enerjiye eşittir:

Salınım yapan bir cismin toplam mekanik enerjisi, salınımlarının genliğinin karesiyle orantılıdır.

Sistem denge konumunu geçtiğinde yer değiştirme ve potansiyel enerji sıfırdır: x = 0, E p = 0. Dolayısıyla toplam enerji kinetik enerjiye eşittir:

Salınım yapan bir cismin toplam mekanik enerjisi, denge konumundaki hızının karesiyle orantılıdır. Buradan:

MATEMATİK SARKAÇ

1. Matematik sarkaç ağırlıksız, uzamayan bir iplik üzerinde asılı duran maddi bir noktadır.

Denge konumunda yerçekimi kuvveti ipliğin gerilimi ile telafi edilir. Sarkaç saptırılır ve serbest bırakılırsa, kuvvetler birbirini telafi etmeyi bırakacak ve denge konumuna doğru bir bileşke kuvvet ortaya çıkacaktır. Newton'un ikinci yasası:

Küçük salınımlar için, x yer değiştirmesi l'den çok daha az olduğunda, malzeme noktası neredeyse yatay x ekseni boyunca hareket edecektir. Daha sonra MAB üçgeninden şunu elde ederiz:

Çünkü günah a = x/l, bu durumda ortaya çıkan R kuvvetinin x eksenine izdüşümü şuna eşittir:

Eksi işareti, R kuvvetinin her zaman x yer değiştirmesinin tersi yönünde olduğunu gösterir.

2. Dolayısıyla, matematiksel bir sarkacın salınımları sırasında ve ayrıca bir yay sarkacının salınımları sırasında, geri getirme kuvveti yer değiştirmeyle orantılıdır ve ters yönde yönlendirilir.

Matematiksel ve yaylı sarkaçların geri çağırma kuvvetine ilişkin ifadeleri karşılaştıralım:

Mg/l'nin k'nin bir analogu olduğu görülebilir. Yaylı sarkacın periyodu için formülde k'yi mg/l ile değiştirmek

matematiksel bir sarkacın periyodu için formülü elde ederiz:

Matematiksel bir sarkacın küçük salınımlarının periyodu genliğe bağlı değildir.

Zamanı ölçmek ve dünya yüzeyinde belirli bir konumdaki yerçekimi ivmesini belirlemek için matematiksel bir sarkaç kullanılır.

Matematiksel bir sarkacın küçük sapma açılarında serbest salınımları harmoniktir. Bunlar, yerçekimi kuvveti ve ipliğin gerginlik kuvvetinin yanı sıra yükün ataletinden dolayı meydana gelir. Bu kuvvetlerin sonucu geri çağırıcı kuvvettir.

Örnek. 6,25 m uzunluğundaki bir sarkacın 3,14 s'lik bir serbest salınım periyoduna sahip olduğu bir gezegende yerçekimine bağlı ivmeyi belirleyin.

Matematiksel bir sarkacın salınım periyodu ipliğin uzunluğuna ve yerçekimi ivmesine bağlıdır:

Eşitliğin her iki tarafının karesini alırsak şunu elde ederiz:

Cevap: yer çekimi ivmesi 25 m/s2'dir.

"Konu 4. "Mekanik konusundaki problemler ve testler. Salınımlar ve dalgalar."

Enine ve boyuna dalgalar. Dalgaboyu
Dersler: 3 Ödevler: 9 Testler: 1
Ses dalgaları. Ses hızı - Mekanik titreşimler ve dalgalar. Ses 9. sınıf

Matematik sarkaç

giriiş

Salınım periyodu

sonuçlar

Edebiyat

giriiş

Artık katedralde dua eden Galileo'nun bronz avizelerin salınımını nasıl dikkatle izlediğine dair efsaneyi doğrulamak artık mümkün değil. Avizenin ileri geri hareket etmesiyle geçen süreyi gözlemleyip belirledim. Bu süreye daha sonra salınım dönemi adı verildi. Galileo'nun saati yoktu ve farklı uzunluklardaki zincirlere asılı avizelerin salınım periyodunu karşılaştırmak için nabzının sıklığını kullandı.

Sarkaçlar saatlerin hızını ayarlamak için kullanılır, çünkü her sarkacın çok özel bir salınım periyodu vardır. Sarkaç aynı zamanda jeolojik araştırmalarda da önemli uygulamalar bulur. Dünyanın farklı yerlerinde değerlerin olduğu bilinmektedir. G farklıdır. Farklılar çünkü Dünya tamamen düzenli bir küre değil. Ayrıca bazı metal cevherleri gibi yoğun kayaların bulunduğu bölgelerde değer G anormal derecede yüksek. Doğru ölçümler G Matematiksel bir sarkacın yardımıyla bazen bu tür birikintileri tespit etmek mümkündür.

Matematiksel sarkacın hareket denklemi

Matematiksel bir sarkaç, dikey bir daire (düz matematiksel sarkaç) veya bir küre (küresel sarkaç) boyunca hareket eden ağır bir malzeme noktasıdır. İlk yaklaşımla, matematiksel bir sarkacın, uzamayan esnek bir ip üzerinde asılı duran küçük bir yük olduğu düşünülebilir.

Düz bir matematiksel sarkacın yarıçaplı bir daire boyunca hareketini düşünelim. ben bir noktada merkezlenmiş HAKKINDA(Şekil 1). Noktanın konumunu belirleyeceğiz M(sarkaç) sapma açısı j yarıçapı OM dikeyden. Teğet yönlendirme M t pozitif j açısına doğru doğal bir hareket denklemi oluşturacağız. Bu denklem hareket denkleminden oluşturulmuştur.

mW=F+N, (1)
Nerede F noktaya etki eden aktif kuvvettir ve N- iletişim reaksiyonu.

Resim 1

Denklem (1)'i, dinamiğin temel yasası olan ve maddi bir noktanın momentumunun zamana göre türevinin ona etki eden kuvvete eşit olduğunu belirten Newton'un ikinci yasasına göre elde ettik;

Kütlenin sabit olduğunu varsayarak önceki denklemi şu şekilde gösterebiliriz:

Nerede W noktanın ivmesidir.

Dolayısıyla t eksenine izdüşümdeki denklem (1), bize bir noktanın belirli bir sabit düzgün eğri boyunca hareketi için doğal denklemlerden birini verecektir:

Bizim durumumuzda t eksenine izdüşüm elde ediyoruz

,
Nerede M sarkacın bir kütlesi var.

veya'dan beri, buradan şunu buluyoruz:

.
Azaltma oranı M ve inanmak

, (3)
sonunda sahip olacağız:

. (4)
İlk önce küçük salınımlar durumunu ele alalım. İlk anda sarkacın dikeyden belirli bir açıyla saptırılmasına izin verin J ve ilk hız olmadan indirildi. O zaman başlangıç koşulları şöyle olacaktır:

en T= 0, . (5)
Enerji integralinden:

, (6)
Nerede V- potansiyel enerji ve H entegrasyon sabiti olduğundan, bu koşullar altında herhangi bir zamanda jЈj açısının 0 olduğu sonucu çıkar. Sabit değer H ilk verilere göre belirlenir. j 0 açısının küçük olduğunu varsayalım (j 0 Ј1); o zaman j açısı da küçük olacaktır ve yaklaşık olarak sinj'j'yi ayarlayabiliriz. Bu durumda denklem (4) şu şekli alacaktır:

. (7)
Denklem (7), basit bir harmonik salınımın diferansiyel denklemidir. Bu denklemin genel çözümü

, (8)
Nerede A Ve B veya A ve e entegrasyon sabitleridir.

Buradan hemen periyodu buluyoruz ( T) matematiksel bir sarkacın küçük salınımları (periyot - noktanın aynı hızda önceki konumuna döndüğü süre)

,
Çünkü sin'in periyodu 2p'ye eşitse w T=2p Yu

(9)

Başlangıç koşulları (5) altında hareket yasasını bulmak için şunu hesaplıyoruz:

. (10)
(5) değerlerini denklemler (8) ve (10)'a değiştirerek şunu elde ederiz:

j0 = A, 0 = w B,

onlar. B=0. Sonuç olarak, (5) koşulları altında küçük salınımlar için hareket yasası şöyle olacaktır:

j = j 0 çünkü ağırlık. (on bir)

Şimdi düz matematiksel sarkaç probleminin kesin çözümünü bulalım. Öncelikle hareket denkleminin (4) birinci integralini belirleyelim. Çünkü

,
o zaman (4) şu şekilde temsil edilebilir:

.
Dolayısıyla denklemin her iki tarafını da çarparak D j ve integral aldığımızda şunu elde ederiz:

. (12)
Burada sarkacın maksimum sapma açısını j 0 olarak gösterelim; o zaman j = j 0 için elimizde olacak, dolayısıyla C= w 2 cosj 0 . Sonuç olarak integral (12) şunu verir:

, (13)
burada w eşitlik (3) ile belirlenir.

Bu integral enerji integralidir ve doğrudan denklemden elde edilebilir.

, (14)
taşınma işi nerede M 0 M aktif kuvvet F bizim durumumuzda bunu dikkate alırsak v 0 =0 ve (şekle bakın).

Denklem (13)'ten, sarkaç hareket ettiğinde j açısının +j 0 ve -j 0 (|j|Јj 0, çünkü) değerleri arasında değişeceği açıktır, yani. sarkaç salınımlı bir hareket gerçekleştirecektir. Zamanı geri saymayı kabul edelim T sarkacın dikey düzlemden geçtiği andan itibaren O.A. sağa doğru hareket ettiğinde (şekle bakın). O zaman başlangıç koşuluna sahip olacağız:

en T=0, j=0. (15)

Ayrıca bir noktadan hareket ederken A irade ; Eşitliğin (13) her iki tarafının karekökünü alarak şunu elde ederiz:

.
Burada değişkenleri ayırarak şunu elde ederiz:

. (16)

, ,
O

.
Bu sonucu denklem (16)'da yerine koyarsak, elde ederiz.

Matematiksel bir sarkacın salınım periyodu ipliğin uzunluğuna bağlıdır: ipliğin uzunluğu azaldıkça salınım periyodu azalır

Matematiksel bir sarkaç için bazı yasalar karşılanmıştır:

1 yasa. Sarkacın aynı uzunluğunu korurken farklı yükleri (örneğin 5 kg ve 100 kg) askıya alırsak, yüklerin kütleleri çok farklı olmasına rağmen salınım süresi aynı olacaktır. Matematiksel bir sarkacın periyodu yükün kütlesine bağlı değildir.

2. yasa. Sarkaç farklı fakat küçük açılarla saptırılırsa, farklı genliklerde olmasına rağmen aynı periyotta salınım yapacaktır. Sarkacın genliği küçük olduğu sürece formlarındaki salınımlar harmonik olanlara benzer olacaktır ve bu durumda matematiksel sarkacın periyodu salınımların genliğine bağlı değildir. Bu özelliğe izokronizm denir.

Matematiksel bir sarkacın periyodunun formülünü türetelim.

Matematiksel bir sarkacın m yükü, mg yer çekimi kuvveti ve Fynp ipliğinin elastik kuvveti tarafından etkilenmektedir. 0X eksenini teğet boyunca yukarı doğru hareket yörüngesine yönlendirelim. Bu durum için Newton'un ikinci yasasını yazalım:

Her şeyi OX eksenine yansıtıyoruz:

Küçük açılarda

Yer değiştirmeler ve küçük dönüşümler yaptıktan sonra denklemin şöyle göründüğünü elde ederiz:

Ortaya çıkan ifadeyi harmonik titreşim denklemiyle karşılaştırırsak şunu elde ederiz:

Denklemden yay sarkacının döngüsel frekansının şu şekilde olacağı görülebilir:

O zaman matematiksel sarkacın periyodu şuna eşit olacaktır:

Matematiksel bir sarkacın periyodu yalnızca yerçekimi ivmesine g ve sarkacın l uzunluğuna bağlıdır. Ortaya çıkan formülden sarkacın periyodunun kütlesine ve genliğine bağlı olmadığı (yeterince küçük olması şartıyla) anlaşılmaktadır. Sarkacın periyodu, uzunluğu ve yerçekimi ivmesi arasında da niceliksel bir ilişki kurduk. Matematiksel bir sarkacın periyodu, sarkacın uzunluğunun yer çekimi ivmesine oranının kareköküyle orantılıdır. Orantılılık faktörü 2p'dir

Ayrıca birde şu var:

Bir yay sarkacının periyodu

Fiziksel sarkacın periyodu

Burulma sarkacının periyodu

Bir eksen etrafında dönen bir cismin somut bir örneği olarak sarkaçların hareketini düşünün.

Fiziksel bir sarkaç, ağırlığının etkisi altında etrafında salınım hareketleri gerçekleştirdiği yatay bir dönme eksenine sahip sert bir gövdedir (Şekil 119).

Sarkacın konumu tamamen denge konumundan sapma açısı ile belirlenir ve bu nedenle sarkacın hareket yasasını belirlemek için bu açının zamana bağımlılığını bulmak yeterlidir.

Formun denklemi:

sarkacın hareket denklemi (yasası) denir. Başlangıç koşullarına, yani açıya ve açısal hıza bağlıdır.

Fiziksel bir Sarkaç'ın sınırlayıcı durumu, (daha önce belirtildiği gibi - Bölüm 2, § 3) etrafında sert, ağırlıksız bir çubukla döndüğü yatay eksene bağlı maddi bir noktayı temsil eden matematiksel bir sarkaçtır (Şekil 120). Maddi bir noktanın dönme ekseninden uzaklığına matematiksel sarkacın uzunluğu denir.

Fiziksel ve matematiksel sarkaçların hareket denklemleri

Çizimde gösterildiği gibi, xy düzlemi C gövdesinin ağırlık merkezinden geçecek ve sarkacın salınım düzlemi ile çakışacak şekilde bir koordinat eksenleri sistemi seçelim (Şekil 119). Çizim düzlemine dik olan ekseni kendimize doğru yönlendirelim. Daha sonra, önceki paragrafın sonuçlarına dayanarak, fiziksel bir sarkacın hareket denklemini şu şekilde yazıyoruz:

burada içinden sarkacın dönme eksenine göre atalet momentini belirtir ve

Bu nedenle şunu yazabilirsiniz:

Sarkaç üzerine etki eden aktif kuvvet ağırlığıdır ve ağırlık eksenine göre momenti şöyle olacaktır:

sarkacın dönme ekseninden C kütle merkezine olan mesafe nerede?

Sonuç olarak, fiziksel bir sarkacın aşağıdaki hareket denklemine ulaşıyoruz:

Matematiksel sarkaç fiziksel sarkacın özel bir hali olduğundan yukarıda yazılan diferansiyel denklem matematiksel sarkaç için de geçerlidir. Matematiksel bir sarkacın uzunluğu ve ağırlığı eşitse dönme eksenine göre eylemsizlik momenti eşittir

Matematiksel sarkacın ağırlık merkezinin eksenden uzaklığı eşit olduğundan, matematiksel sarkacın son diferansiyel hareket denklemi şu şekilde yazılabilir:

Fiziksel sarkacın azaltılmış uzunluğu

(16.8) ve (16.9) denklemlerini karşılaştırarak, fiziksel ve matematiksel sarkaçların parametrelerinin ilişkiyle ilişkili olması durumunda şu sonuca varabiliriz:

o zaman fiziksel ve matematiksel sarkaçların hareket yasaları aynıdır (aynı başlangıç koşulları altında).

Son ilişki, bir matematiksel sarkacın karşılık gelen fiziksel sarkaçla aynı şekilde hareket etmesi için sahip olması gereken uzunluğu gösterir. Bu uzunluğa fiziksel sarkacın azaltılmış uzunluğu denir. Bu kavramın anlamı, fiziksel bir sarkacın hareketinin incelenmesinin, basit bir mekanik devre olan matematiksel bir sarkacın hareketinin incelenmesi ile değiştirilebilmesidir.

Sarkacın hareket denkleminin ilk integrali

Fiziksel ve matematiksel sarkaçların hareket denklemleri aynı formdadır, bu nedenle hareketlerinin denklemi şu şekilde olacaktır:

Bu denklemde dikkate alınan tek kuvvet potansiyel kuvvet alanına ait yer çekimi kuvveti olduğundan mekanik enerjinin korunumu kanunu geçerlidir.

İkincisi basit bir şekilde elde edilebilir, yani denklem (16.10)'u o zamana kadar çarparız.

Bu denklemin integralini alırsak,

Başlangıç koşullarından Cu entegrasyon sabitini belirleyerek şunu buluruz:

Aldığımız bağıl denklemin son denklemini çözüyoruz

Bu ilişki diferansiyel denklemin (16.10) birinci integralini temsil eder.

Fiziksel ve matematiksel sarkaçların destek reaksiyonlarının belirlenmesi

Hareket denklemlerinin ilk integrali sarkacın destek reaksiyonlarını belirlememizi sağlar. Bir önceki paragrafta belirtildiği gibi destek reaksiyonları denklemlerden (16.5) belirlenir. Fiziksel bir sarkaç durumunda, aktif kuvvetin koordinat eksenleri boyunca bileşenleri ve eksenlere göre momentleri şöyle olacaktır:

Kütle merkezinin koordinatları aşağıdaki formüllerle belirlenir:

Daha sonra destek reaksiyonlarını belirleyen denklemler şu şekli alır:

Problemin durumuna göre gövdenin merkezkaç atalet momentleri ve mesnetler arası mesafelerin bilinmesi gerekmektedir. Açısal ivme b ve açısal hız с, (16.9) ve (16.4) denklemlerinden şu şekilde belirlenir:

Böylece denklemler (16.12), fiziksel bir sarkacın destek reaksiyonlarının bileşenlerini tamamen belirler.

Matematiksel bir sarkacı dikkate alırsak denklemler (16.12) daha da basitleştirilir. Nitekim matematiksel bir sarkacın maddi noktası düzlemde bulunduğundan, ayrıca bir nokta sabit olduğundan, denklemler (16.12) şu formdaki denklemlere dönüşür:

Denklem (16.9) kullanılarak denklemlerden (16.13), destek reaksiyonunun iplik I boyunca yönlendirildiği anlaşılmaktadır (Şekil 120). İkincisi bariz bir sonuçtur. Sonuç olarak, eşitliğin bileşenlerini (16.13) ipliğin yönüne yansıtarak, formun desteğinin tepkisini belirlemek için bir denklem buluyoruz (Şekil 120):

Buradaki değeri yerine koyarsak ve şunu yazdığımızı dikkate alırsak:

Son ilişki matematiksel bir sarkacın dinamik tepkisini belirler. Statik reaksiyonunun olacağını unutmayın.

Bir sarkacın hareketinin doğasının nitel çalışması

Bir sarkacın hareket denkleminin ilk integrali, hareketinin doğası hakkında niteliksel bir çalışma yapmamızı sağlar. Yani bu integrali (16.11) şu şekilde yazıyoruz:

Hareket sırasında radikal ifadenin ya olumlu olması ya da bazı noktalarda kaybolması gerekiyor. Başlangıç koşullarının şöyle olduğunu varsayalım:

Bu durumda radikal ifade hiçbir yerde kaybolmaz. Sonuç olarak, hareket ederken, sarkaç açının tüm değerlerinden geçecek ve sarkaçtan gelen açısal hız, ilk açısal hızın yönü ile belirlenen aynı işarete sahip olacak veya açı ya tüm açıları artıracaktır. zaman veya her zaman azalır, yani sarkaç bir tarafta dönecektir.

Hareket yönleri ifadedeki (16.11) şu veya bu işarete karşılık gelecektir. Böyle bir hareketin gerçekleştirilmesi için gerekli bir koşul, başlangıçtaki açısal hızın varlığıdır, çünkü eşitsizlikten (16.14) açıkça görüldüğü gibi, herhangi bir başlangıç sapma açısında sarkacın böyle bir hareketini elde etmek imkansızdır.

Şimdi başlangıç koşulları şöyle olsun

Bu durumda radikal ifadenin sıfır olduğu iki açı değeri vardır. Eşitlik tarafından tanımlanan açılara karşılık gelmelerine izin verin

Üstelik 0 ile 0 arasında bir yerde olacaktır. Dahası, açıktır ki, ne zaman

radikal ifadesi (16.11) pozitif olacak ve keyfi olarak çok az aşılması durumunda negatif olacaktır.

Sonuç olarak, sarkaç hareket ettiğinde açısı şu aralıkta değişir:

Sarkacın açısal hızı sıfıra gittiğinde açı değeri azalmaya başlar. Bu durumda açısal hızın işareti veya (16.11) ifadesindeki radikalin önündeki işaret değişecektir. Sarkacın açısal hızı tekrar sıfıra ulaştığında ve açı tekrar bu değere doğru artmaya başladığında

Böylece sarkaç salınım hareketleri yapacaktır

Sarkaç salınımlarının genliği

Sarkaç salındığında dikeyden sapmasının maksimum değerine salınımın genliği denir. Eşitlikten belirlenene eşittir

Son formülden de anlaşılacağı gibi, salınımın genliği sarkacın ana özelliklerine veya azaltılmış uzunluğuna ilişkin ilk verilere bağlıdır.

Özel durumda, sarkaç denge konumundan saptırıldığında ve başlangıç hızı olmadan serbest bırakıldığında, bu durumda eşit olacaktır, dolayısıyla genlik azaltılmış uzunluğa bağlı değildir.

Bir sarkacın hareket denkleminin son hali

Sarkacın başlangıç hızı sıfır olsun, o zaman hareket denkleminin ilk integrali şöyle olacaktır:

Bu denklemin integralini alırsak, şunu buluruz:

Zamanı sarkacın konumundan itibaren sayacağız, o zaman karşılık gelir

İntegrali aşağıdaki formülü kullanarak dönüştürelim:

Sonra şunu elde ederiz:

Ortaya çıkan integrale birinci türden eliptik integral denir. Sonlu sayıda temel fonksiyon kullanılarak ifade edilemez.

Eliptik integralin (16.15) üst sınırına göre ters çevrilmesi sarkacın hareket denklemini temsil eder:

Bu iyi çalışılmış Jacobi eliptik fonksiyonu olacaktır.

Sarkaç salınımı periyodu

Bir sarkacın bir tam salınımı için geçen süreye salınım periyodu denir. Bunu T olarak gösterelim. Sarkacın bir konumdan diğerine hareket süresi, o andan itibaren hareket süresiyle aynı olduğundan, T aşağıdaki formülle belirlenecektir:

Değişkenleri koyarak değişiklik yapalım

0 ile değişirken 0 ile arasında değişecektir. Daha öte,

ve bu nedenle

Son integrale birinci türden tam bir eliptik integral denir (değerleri özel tablolarda verilmiştir).

İntegral birlik eğiliminde olduğunda ve .

Bir sarkacın küçük salınımları için yaklaşık formüller

Sarkaç salınımlarının küçük bir genliğe sahip olması durumunda (pratik olarak 20°'yi geçmemelidir),

Daha sonra sarkacın diferansiyel hareket denklemi şu şekli alır: