Çizgilerin kesişip kesişmediği nasıl belirlenir? Çizgilerin uzaydaki göreceli konumu

Oh-oh-oh-oh-oh... yani, sanki kendi kendine bir cümle okuyormuş gibi zor =) Ancak rahatlamanın daha sonra faydası olacak, özellikle bugün uygun aksesuarları aldığım için. Bu nedenle ilk bölüme geçelim, umarım yazının sonunda neşeli ruh halimi korurum.

İki düz çizginin göreceli konumu

Seyircinin koro halinde şarkı söylemesi böyle bir durumdur. İki düz çizgi olabilir:

1) maç;

2) paralel olun: ;

3) veya tek bir noktada kesişir: .

Aptallar için yardım : Lütfen matematiksel kesişim işaretini unutmayın, çok sık görünecektir. Gösterim, çizginin çizgiyle noktasında kesiştiği anlamına gelir.

İki çizginin göreceli konumu nasıl belirlenir?

İlk durumla başlayalım:

İki doğru ancak ve ancak karşılık gelen katsayıları orantılıysa çakışır yani eşitlikleri sağlayan bir “lambda” sayısı vardır

Düz çizgileri ele alalım ve karşılık gelen katsayılardan üç denklem oluşturalım: . Her denklemden bu nedenle bu çizgilerin çakıştığı sonucu çıkar.

Aslında denklemin tüm katsayıları -1 ile çarpın (işaretleri değiştirin) ve denklemin tüm katsayıları 2'ye bölerseniz aynı denklemi elde edersiniz: .

Doğruların paralel olduğu ikinci durum:

İki doğru ancak ve ancak değişkenlerin katsayıları orantılı ise paraleldir: , Ancak.

Örnek olarak iki düz çizgiyi ele alalım. Değişkenler için karşılık gelen katsayıların orantılılığını kontrol ediyoruz:

Ancak şu çok açık ki.

Ve üçüncü durum, çizgiler kesiştiğinde:

İki doğru ancak ve ancak değişkenlerin katsayıları orantılı DEĞİLSE kesişir yani eşitlikleri sağlayacak şekilde bir “lambda” değeri YOKTUR

Yani düz çizgiler için bir sistem oluşturacağız:

İlk denklemden şu çıkar ve ikinci denklemden: , yani sistem tutarsız(çözüm yok). Dolayısıyla değişkenlerin katsayıları orantılı değildir.

Sonuç: çizgiler kesişiyor

Pratik problemlerde az önce tartışılan çözüm şemasını kullanabilirsiniz. Bu arada, sınıfta incelediğimiz vektörlerin eşdoğrusallık açısından kontrol edilmesine yönelik algoritmayı çok anımsatıyor. Vektörlerin doğrusal(bağımsız)bağımlılığı kavramı. Vektörlerin temeli. Ancak daha medeni bir paketleme var:

örnek 1

Çizgilerin göreceli konumunu öğrenin:

Çözüm düz çizgilerin yönlendirme vektörlerinin incelenmesine dayanmaktadır:

a) Denklemlerden doğruların yön vektörlerini buluruz: .

Bu, vektörlerin eşdoğrusal olmadığı ve çizgilerin kesiştiği anlamına gelir.

Her ihtimale karşı, kavşaklara işaretli bir taş koyacağım:

Geri kalanlar taşın üzerinden atlar ve doğrudan Ölümsüz Kashchei'ye kadar takip eder =)

b) Doğruların yön vektörlerini bulun:

Çizgiler aynı yön vektörüne sahiptir, yani paralel veya çakışıktırlar. Burada belirleyiciyi saymaya gerek yok.

Bilinmeyenlerin katsayılarının orantılı olduğu açıktır.

Eşitliğin doğru olup olmadığını öğrenelim:

Böylece,

c) Doğruların yön vektörlerini bulun:

Bu vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayalım:
dolayısıyla yön vektörleri eşdoğrusaldır. Çizgiler ya paraleldir ya da çakışıktır.

Orantılılık katsayısı “lambda”yı doğrudan doğrusal yön vektörlerinin oranından görmek kolaydır. Ancak denklemlerin katsayıları aracılığıyla da bulunabilir: .

Şimdi eşitliğin doğru olup olmadığını öğrenelim. Her iki serbest terim de sıfırdır, dolayısıyla:

Ortaya çıkan değer bu denklemi karşılar (genel olarak herhangi bir sayı bunu karşılar).

Böylece çizgiler çakışıyor.

Cevap:

Çok yakında, sözlü olarak tartışılan sorunu birkaç saniye içinde tam anlamıyla çözmeyi öğreneceksiniz (ya da zaten öğrenmişsinizdir). Bu bağlamda, bağımsız bir çözüm için herhangi bir şey önermenin bir anlamı görmüyorum, geometrik temele bir önemli tuğla daha koymak daha iyidir:

Belirli bir çizgiye paralel bir çizgi nasıl oluşturulur?

Bu en basit görevin cehaleti nedeniyle Soyguncu Bülbül ağır şekilde cezalandırır.

Örnek 2

Düz çizgi denklemle verilir. Bu noktadan geçen paralel doğrunun denklemini yazınız.

Çözüm: Bilinmeyen satırı harfle gösterelim. Durumu onun hakkında ne söylüyor? Düz çizgi noktadan geçer. Ve eğer çizgiler paralelse, o zaman "tse" düz çizgisinin yön vektörünün de "de" düz çizgisini oluşturmak için uygun olduğu açıktır.

Yön vektörünü denklemden çıkarıyoruz:

Cevap:

Örnek geometri basit görünüyor:

Analitik testler aşağıdaki adımlardan oluşur:

1) Çizgilerin aynı yön vektörüne sahip olup olmadığını kontrol ederiz (doğrunun denklemi doğru şekilde basitleştirilmezse vektörler aynı doğrultuda olacaktır).

2) Noktanın sonuç denklemini karşılayıp karşılamadığını kontrol edin.

Çoğu durumda analitik testler sözlü olarak kolaylıkla yapılabilir. İki denkleme bakın; çoğunuz herhangi bir çizim yapmadan çizgilerin paralelliğini hızlı bir şekilde belirleyeceksiniz.

Bugün bağımsız çözüm örnekleri yaratıcı olacaktır. Çünkü yine de Baba Yaga ile rekabet etmek zorunda kalacaksın ve o, biliyorsun, her türlü bilmeceyi seviyor.

Örnek 3

Doğruya paralel bir noktadan geçen doğrunun denklemini yazınız.

Bunu çözmenin hem rasyonel hem de rasyonel olmayan bir yolu var. En kısa yol dersin sonudur.

Paralel çizgilerle biraz çalıştık, onlara daha sonra döneceğiz. Çizgilerin çakışması durumu pek ilgimizi çekmiyor, o yüzden okul müfredatından çok aşina olduğunuz bir problemi ele alalım:

İki doğrunun kesişme noktası nasıl bulunur?

Düz ise noktada kesişiyorsa koordinatları çözümdür doğrusal denklem sistemleri

Çizgilerin kesişme noktası nasıl bulunur? Sistemi çözün.

Hadi bakalım iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sisteminin geometrik anlamı- bunlar bir düzlemde kesişen iki (çoğunlukla) çizgidir.

Örnek 4

Çizgilerin kesişme noktasını bulun

Çözüm: Çözmenin iki yolu vardır - grafiksel ve analitik.

Grafiksel yöntem, verilen çizgileri basitçe çizmek ve kesişim noktasını doğrudan çizimden bulmaktır:

İşte konumuz: . Kontrol etmek için, koordinatlarını çizginin her denklemine koymalısınız, hem oraya hem de oraya sığmalıdırlar. Başka bir deyişle bir noktanın koordinatları sistemin çözümüdür. Temel olarak grafiksel bir çözüme baktık doğrusal denklem sistemleri iki denklem ve iki bilinmeyenle.

Grafiksel yöntem elbette kötü değil, ancak gözle görülür dezavantajlar var. Hayır, mesele yedinci sınıf öğrencilerinin bu şekilde karar vermesi değil, mesele doğru ve DOĞRU bir çizim oluşturmanın zaman alacağıdır. Ek olarak, bazı düz çizgilerin inşa edilmesi o kadar kolay değildir ve kesişme noktasının kendisi defter sayfasının dışında otuzuncu krallıkta bir yerde bulunabilir.

Bu nedenle kesişim noktasının analitik yöntemle aranması daha uygundur. Sistemi çözelim:

Sistemi çözmek için denklemlerin terim terim eklenmesi yöntemi kullanıldı. İlgili becerileri geliştirmek için ders alın Bir denklem sistemi nasıl çözülür?

Cevap:

Kontrol önemsizdir; kesişme noktasının koordinatları sistemin her denklemini karşılamalıdır.

Örnek 5

Doğrular kesişiyorsa kesişme noktasını bulun.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Görevi birkaç aşamaya bölmek uygundur. Durumun analizi bunun gerekli olduğunu göstermektedir:
1) Doğrunun denklemini yazınız.
2) Doğrunun denklemini yazınız.
3) Çizgilerin göreceli konumunu bulun.
4) Doğrular kesişiyorsa kesişme noktasını bulun.

Bir eylem algoritmasının geliştirilmesi birçok geometrik problem için tipiktir ve ben buna defalarca odaklanacağım.

Dersin sonunda tam çözüm ve cevap:

Dersin ikinci bölümüne geldiğimizde bir çift ayakkabı bile eskimemişti:

Dikey çizgiler. Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.
Düz çizgiler arasındaki açı

Tipik ve çok önemli bir görevle başlayalım. İlk bölümde buna paralel bir düz çizginin nasıl inşa edileceğini öğrendik ve şimdi tavuk budu üzerindeki kulübe 90 derece dönecek:

Belirli bir çizgiye dik bir çizgi nasıl oluşturulur?

Örnek 6

Düz çizgi denklemle verilir. Bu noktadan geçen doğruya dik olan denklemi yazınız.

Çözüm: Şartıyla öyle bilinir. Çizginin yönlendirici vektörünü bulmak güzel olurdu. Çizgiler dik olduğundan işin püf noktası basit:

Denklemden, düz çizginin yönlendirici vektörü olacak normal vektörü "kaldırıyoruz".

Bir nokta ve yön vektörünü kullanarak düz bir çizginin denklemini oluşturalım:

Cevap:

Geometrik çizimi genişletelim:

Hımmm... Turuncu gökyüzü, turuncu deniz, turuncu deve.

Çözümün analitik doğrulaması:

1) Denklemlerden yön vektörlerini çıkarıyoruz ve yardımıyla vektörlerin skaler çarpımıçizgilerin gerçekten dik olduğu sonucuna varıyoruz: .

Bu arada normal vektörleri kullanabilirsiniz, daha da kolay.

2) Noktanın sonuç denklemini karşılayıp karşılamadığını kontrol edin .

Testin sözlü olarak yapılması yine kolaydır.

Örnek 7

Denklem biliniyorsa dik doğruların kesişme noktasını bulun ve dönem.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Problemde çeşitli eylemler vardır, bu nedenle çözümü nokta nokta formüle etmek uygundur.

Heyecan verici yolculuğumuz devam ediyor:

Noktadan çizgiye mesafe

Önümüzde düz bir nehir şeridi var ve görevimiz ona en kısa yoldan ulaşmak. Hiçbir engel yok ve en uygun rota dikey olarak hareket etmek olacaktır. Yani bir noktadan bir çizgiye olan mesafe, dik parçanın uzunluğudur.

Geometride mesafe geleneksel olarak Yunanca “rho” harfiyle gösterilir, örneğin: – “em” noktasından “de” düz çizgisine olan mesafe.

Noktadan çizgiye mesafe formülle ifade edilir

Örnek 8

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi bulun

Çözüm: Tek yapmanız gereken sayıları formülde dikkatlice yerine koymak ve hesaplamaları yapmaktır:

Cevap:

Çizimi yapalım:

Noktadan çizgiye olan mesafe tam olarak kırmızı parçanın uzunluğu kadardır. Kareli kağıda 1 birim ölçekte bir çizim çizerseniz. = 1 cm (2 hücre) ise mesafe sıradan bir cetvelle ölçülebilir.

Aynı çizime dayalı başka bir görevi ele alalım:

Görev, düz çizgiye göre noktaya simetrik olan bir noktanın koordinatlarını bulmaktır. . Adımları kendiniz gerçekleştirmenizi öneririm, ancak çözüm algoritmasını ara sonuçlarla birlikte özetleyeceğim:

1) Doğruya dik olan bir doğru bulun.

2) Doğruların kesişme noktasını bulun: .

Her iki eylem de bu derste ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.

3) Nokta, doğru parçasının orta noktasıdır. Ortanın ve uçlardan birinin koordinatlarını biliyoruz. İle bir parçanın orta noktasının koordinatları için formüller bulduk .

Mesafenin de 2,2 birim olduğunu kontrol etmek iyi bir fikir olacaktır.

Burada hesaplamalarda zorluklar ortaya çıkabilir, ancak bir mikro hesap makinesi kulede çok yardımcı olur ve sıradan kesirleri hesaplamanıza olanak tanır. Size defalarca tavsiyede bulundum ve yine tavsiye edeceğim.

İki paralel çizgi arasındaki mesafe nasıl bulunur?

Örnek 9

İki paralel çizgi arasındaki mesafeyi bulun

Bu da kendi başınıza karar vermeniz için başka bir örnek. Size küçük bir ipucu vereceğim: Bunu çözmenin sonsuz sayıda yolu var. Dersin sonunda bilgilendirme, ancak kendi başınıza tahmin etmeye çalışmak daha iyidir, bence yaratıcılığınız oldukça gelişmiştir.

İki düz çizgi arasındaki açı

Her köşe bir pervazdır:


Geometride, iki düz çizgi arasındaki açı DAHA KÜÇÜK açı olarak alınır ve bundan otomatik olarak geniş olamayacağı sonucu çıkar. Şekilde kırmızı yay ile gösterilen açı, kesişen doğrular arasındaki açı olarak kabul edilmemektedir. Ve onun “yeşil” komşusu veya zıt yönlü"ahududu" köşesi.

Doğrular birbirine dik ise 4 açıdan herhangi biri aralarındaki açı olarak alınabilir.

Açılar nasıl farklı? Oryantasyon. İlk olarak, açının "kaydırıldığı" yön temel olarak önemlidir. İkinci olarak, negatif yönlü bir açı eksi işaretiyle yazılır, örneğin eğer .

Bunu sana neden söyledim? Görünüşe göre alışılagelmiş açı kavramıyla idare edebiliriz. Gerçek şu ki, açıları bulacağımız formüller kolaylıkla olumsuz sonuçla sonuçlanabiliyor ve bu sizi şaşırtmamalı. Eksi işaretli bir açı daha da kötü değildir ve çok özel bir geometrik anlamı vardır. Çizimde negatif açı için yönünü bir okla (saat yönünde) belirttiğinizden emin olun.

İki düz çizgi arasındaki açı nasıl bulunur?İki çalışma formülü vardır:

Örnek 10

Çizgiler arasındaki açıyı bulun

Çözüm Ve Birinci yöntem

Genel formdaki denklemlerle tanımlanan iki düz çizgiyi ele alalım:

Düz ise dik değil, O odaklı Aralarındaki açı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Paydaya çok dikkat edelim - bu tam olarak skaler çarpım Düz çizgilerin yönlendirici vektörleri:

Eğer öyleyse, formülün paydası sıfır olur ve vektörler dik, çizgiler dik olur. Bu nedenle formülasyonda düz çizgilerin dik olmaması konusunda bir çekince konulmuştur.

Yukarıdakilere dayanarak çözümü iki adımda resmileştirmek uygundur:

1) Doğruların yön vektörlerinin skaler çarpımını hesaplayalım:
Bu, çizgilerin dik olmadığı anlamına gelir.

2) Aşağıdaki formülü kullanarak düz çizgiler arasındaki açıyı bulun:

Ters fonksiyonu kullanarak açının kendisini bulmak kolaydır. Bu durumda arktanjantın tuhaflığını kullanırız (bkz. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri):

Cevap:

Cevabınızda, hesap makinesi kullanılarak hesaplanan kesin değerin yanı sıra yaklaşık değeri de (tercihen hem derece hem de radyan cinsinden) belirtiyoruz.

Eksi, eksi, pek de önemli değil. İşte geometrik bir çizim:

Açının negatif bir yönelime sahip olması şaşırtıcı değildir, çünkü problem ifadesinde ilk sayı düz bir çizgidir ve açının "gevşetilmesi" tam olarak onunla başlamıştır.

Gerçekten pozitif bir açı elde etmek istiyorsanız çizgileri değiştirmeniz, yani ikinci denklemdeki katsayıları almanız gerekir. ve ilk denklemin katsayılarını alın. Kısacası, doğrudan başlamanız gerekir. .

Bu çevrimiçi hesap makinesini kullanarak bir düzlemdeki çizgilerin kesişme noktasını bulabilirsiniz. Açıklamalarla birlikte ayrıntılı bir çözüm verilmiştir. Doğruların kesişme noktasının koordinatlarını bulmak için, doğru denkleminin türünü ("kanonik", "parametrik" veya "genel") ayarlayın, doğru denklemlerinin katsayılarını hücrelere girin ve "Çöz" düğmesine tıklayın. " düğme. Aşağıdaki teorik kısma ve sayısal örneklere bakın.

×

Uyarı

Tüm hücreler temizlensin mi?

Kapat Temizle

Veri girişi talimatları. Sayılar tam sayı (örnek: 487, 5, -7623 vb.), ondalık sayı (örn. 67., 102,54 vb.) veya kesir olarak girilir. Kesir a/b biçiminde girilmelidir; burada a ve b (b>0) tam sayılar veya ondalık sayılardır. Örnekler 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7, vb.

Düzlemdeki çizgilerin kesişme noktası - teori, örnekler ve çözümler

1. Genel formda verilen doğruların kesişme noktası.

Oksi L 1 ve L 2:

Genişletilmiş bir matris oluşturalım:

Eğer B" 2 =0 ve İLE" 2 =0 ise doğrusal denklem sisteminin birçok çözümü vardır. Bu nedenle düz L 1 ve L 2 maç. Eğer B" 2 =0 ve İLE" 2 ≠0 ise sistem tutarsızdır ve bu nedenle doğrular paraleldir ve ortak bir noktaya sahip değildir. Eğer B" 2 ≠0 ise doğrusal denklem sisteminin tek bir çözümü vardır. Bulduğumuz ikinci denklemden sen: sen=İLE" 2 /B" 2 ve elde edilen değeri bulduğumuz ilk denklemde yerine koyarız X: X=−İLE 1 −B 1 sen. Doğruların kesişme noktasını bulduk L 1 ve L 2: M(x, y).

2. Kanonik biçimde verilen doğruların kesişme noktası.

Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi verilsin Oksi ve bu koordinat sisteminde düz çizgiler verilsin L 1 ve L 2:

Parantezleri açıp dönüşümleri yapalım:

Benzer bir yöntem kullanarak düz çizginin (7) genel denklemini elde ederiz:

Denklemlerden (12) şu sonuç çıkar:

Kanonik formda verilen doğruların kesişme noktasının nasıl bulunacağı yukarıda anlatılmıştır.

4. Farklı görünümlerde belirtilen çizgilerin kesişme noktası.

Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi verilsin Oksi ve bu koordinat sisteminde düz çizgiler verilsin L 1 ve L 2:

Bulacağız T:

Doğrusal denklem sistemini şuna göre çözelim: x, y. Bunu yapmak için Gauss yöntemini kullanacağız. Şunu elde ederiz:

Örnek 2. Doğruların kesişme noktasını bulun L 1 ve L 2:

(21)

Doğruların kesişme noktasını bulmak için L 1 ve L 2 (20) ve (21) doğrusal denklem sistemini çözmeniz gerekir. Denklemleri matris formunda sunalım.

İki doğru verilsin ve bunların kesişme noktasını bulmanız gerekiyor. Bu nokta verilen iki doğrunun her birine ait olduğundan, koordinatlarının hem birinci doğrunun denklemini hem de ikinci doğrunun denklemini sağlaması gerekir.

Bu nedenle, iki doğrunun kesişme noktasının koordinatlarını bulmak için denklem sistemini çözmek gerekir.

Örnek 1. Doğruların kesişme noktasını bulun ve

Çözüm. Denklem sistemini çözerek istenilen kesişim noktasının koordinatlarını bulacağız

M kesişme noktasının koordinatları vardır

Denklemini kullanarak düz bir çizginin nasıl oluşturulacağını gösterelim. Düz bir çizgi çizmek için iki noktasını bilmek yeterlidir. Bu noktaların her birini oluşturmak için koordinatlarından biri için isteğe bağlı bir değer belirleriz ve ardından denklemden diğer koordinat için karşılık gelen değeri buluruz.

Düz bir çizginin genel denkleminde mevcut koordinatlardaki her iki katsayı da sıfıra eşit değilse, bu düz çizgiyi oluşturmak için koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulmak en iyisidir.

Örnek 2. Düz bir çizgi oluşturun.

Çözüm. Bu çizginin apsis ekseni ile kesişme noktasını buluyoruz. Bunu yapmak için denklemlerini birlikte çözüyoruz:

ve alıyoruz. Böylece bu doğrunun apsis ekseni ile kesiştiği M (3; 0) noktası bulunmuş olur (Şekil 40).

Daha sonra bu doğrunun denklemi ile ordinat ekseninin denklemini birlikte çözelim

doğrunun ordinat ekseniyle kesişme noktasını buluyoruz. Son olarak, iki M noktasından düz bir çizgi çiziyoruz ve

Koordinat yöntemini kullanarak bazı geometrik problemleri çözerken doğruların kesişme noktasının koordinatlarını bulmanız gerekir. Çoğu zaman bir düzlemde iki çizginin kesişme noktasının koordinatlarını aramanız gerekir, ancak bazen uzayda iki çizginin kesişme noktasının koordinatlarını belirlemeye ihtiyaç vardır. Bu yazımızda iki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatlarını bulma konusunu ele alacağız.

Sayfada gezinme.

İki doğrunun kesişme noktası bir tanımdır.

Önce iki doğrunun kesişme noktasını tanımlayalım.

Düzlemdeki doğruların göreceli konumu ile ilgili bölümde, bir düzlemdeki iki doğrunun çakışabileceği (ve sonsuz sayıda ortak noktaya sahip olabileceği), paralel olabileceği (ve iki doğrunun ortak noktası olmadığı) veya kesişebileceği gösterilmektedir. , ortak bir noktası var. İki çizginin uzaydaki göreceli konumu için daha fazla seçenek vardır - çakışabilirler (sonsuz sayıda ortak noktaya sahip olabilirler), paralel olabilirler (yani aynı düzlemde yer alırlar ve kesişmezler), kesişebilirler (değil) aynı düzlemde bulunurlar) ve aynı zamanda ortak bir noktaya sahip olabilirler, yani kesişebilirler. Yani hem düzlemde hem de uzayda iki doğrunun ortak bir noktası varsa kesişen çizgiler olarak adlandırılır.

Kesişen çizgilerin tanımından şu sonuç çıkıyor çizgilerin kesişme noktasının belirlenmesi: İki doğrunun kesiştiği noktaya bu doğruların kesişme noktası denir. Yani kesişen iki doğrunun tek ortak noktası bu doğruların kesişme noktasıdır.

Açıklık sağlamak için, bir düzlemde ve uzayda iki düz çizginin kesişme noktasının grafiksel bir gösterimini sunuyoruz.

Sayfanın başı

Düzlemdeki iki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatlarını bulma.

Bir düzlemdeki iki düz çizginin kesişme noktasının koordinatlarını bilinen denklemlerini kullanarak bulmadan önce yardımcı bir problem düşünün.

Oksi A Ve B. Bunu doğrudan varsayacağız A formun düz çizgisinin ve düz çizgisinin genel denklemine karşılık gelir B- tip . Düzlemde bir nokta olsun ve bu noktanın olup olmadığını bulmamız gerekiyor. M 0 Verilen doğruların kesişme noktası.

Sorunu çözelim.

Eğer M0 A Ve B, o zaman tanım gereği aynı zamanda satıra da aittir A ve düz B yani koordinatları hem denklemi hem de denklemi karşılamalıdır. Bu nedenle noktanın koordinatlarını yerine koymamız gerekir. M 0 verilen doğruların denklemlerine girin ve bunun iki doğru eşitlikle sonuçlanıp sonuçlanmadığına bakın. Eğer noktanın koordinatları M 0 her iki denklemi de karşılayın ve o zaman doğruların kesişme noktasıdır A Ve B, aksi takdirde M 0 .

amaç mı M 0 koordinatlarla (2, -3) çizgilerin kesişme noktası 5x-2y-16=0 Ve 2x-5y-19=0?

Eğer M 0 gerçekten verilen çizgilerin kesişme noktası ise, o zaman koordinatları çizgi denklemlerini karşılıyorsa. Bunu noktanın koordinatlarını değiştirerek kontrol edelim. M 0 verilen denklemlere:

İki gerçek eşitliğimiz var, dolayısıyla M 0 (2, -3)- çizgilerin kesişme noktası 5x-2y-16=0 Ve 2x-5y-19=0.

Açıklık sağlamak için, düz çizgileri ve bunların kesişme noktalarının koordinatlarını gösteren bir çizim sunuyoruz.

evet dönem M 0 (2, -3) doğruların kesişme noktasıdır 5x-2y-16=0 Ve 2x-5y-19=0.

Çizgiler kesişiyor mu? 5x+3y-1=0 Ve 7x-2y+11=0 noktada M 0 (2, -3)?

Noktanın koordinatlarını yerine koyalım M 0 Bu eylem, düz çizgi denklemlerine ait noktanın ait olup olmadığını kontrol edecektir. M 0 aynı anda her iki düz çizgi:

İkinci denklemden bu yana, noktanın koordinatlarını yerine koyarken M 0 gerçek bir eşitliğe dönüşmediyse nokta M 0 hatta ait değil 7x-2y+11=0. Bu gerçekten yola çıkarak şu sonuca varabiliriz: M 0 verilen doğruların kesişme noktası değildir.

Çizim aynı zamanda bu noktayı açıkça göstermektedir. M 0çizgilerin kesişme noktası değil 5x+3y-1=0 Ve 7x-2y+11=0. Açıkçası, verilen doğrular koordinatları olan bir noktada kesişiyor (-1, 2) .

M 0 (2, -3)çizgilerin kesişme noktası değil 5x+3y-1=0 Ve 7x-2y+11=0.

Artık bir düzlemdeki doğruların verilen denklemlerini kullanarak iki doğrunun kesişme noktasının koordinatlarını bulma görevine geçebiliriz.

Düzlemde dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemi sabit olsun Oksi ve kesişen iki çizgi verildi A Ve B denklemler ve sırasıyla. Verilen doğruların kesişme noktasını şu şekilde gösterelim: M 0 ve aşağıdaki problemi çözün: iki doğrunun kesişme noktasının koordinatlarını bulun A Ve B bu doğruların bilinen denklemlerine göre ve .

Nokta M0 kesişen çizgilerin her birine aittir A Ve B a-tarikat. Daha sonra doğruların kesişme noktasının koordinatları A Ve B hem denklemi hem de denklemi sağlayın. Bu nedenle iki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları A Ve B bir denklem sisteminin çözümüdür (doğrusal cebirsel denklem sistemleri çözme makalesine bakın).

Dolayısıyla bir düzlem üzerinde tanımlanan iki doğrunun kesişme noktasının koordinatlarını genel denklemlerle bulmak için, verilen doğruların denklemlerinden oluşan bir sistemi çözmeniz gerekir.

Örnek çözüme bakalım.

Bir düzlemde dikdörtgen koordinat sisteminde tanımlanan iki doğrunun kesişme noktasını denklemlerle bulun x-9y+14=0 Ve 5x-2y-16=0.

Bize iki genel doğru denklemi veriliyor, hadi bunlardan bir sistem oluşturalım: . Ortaya çıkan denklem sisteminin çözümleri, ilk denklemin değişkene göre çözülmesiyle kolayca bulunabilir. X ve bu ifadeyi ikinci denklemde yerine koyun:

Denklem sisteminin bulunan çözümü bize iki doğrunun kesişme noktasının istenen koordinatlarını verir.

M 0 (4, 2)– çizgilerin kesişme noktası x-9y+14=0 Ve 5x-2y-16=0.

Dolayısıyla, bir düzlemdeki genel denklemlerle tanımlanan iki düz çizginin kesişme noktasının koordinatlarını bulmak, iki bilinmeyen değişkenli iki doğrusal denklem sistemini çözmek anlamına gelir. Peki ya bir düzlemdeki çizgiler genel denklemlerle değil, farklı türdeki denklemlerle veriliyorsa (bkz. düzlemdeki bir çizginin denklem türlerine)? Bu durumlarda önce doğruların denklemlerini genel bir forma indirgeyebilir ve ancak bundan sonra kesişme noktasının koordinatlarını bulabilirsiniz.

Verilen doğruların kesişme noktasının koordinatlarını bulmadan önce denklemlerini genel bir forma indirgeriz. Bir doğrunun parametrik denklemlerinden bu doğrunun genel denklemine geçiş şöyle görünür:

Şimdi düz çizginin kanonik denklemiyle gerekli işlemleri yapalım:

Böylece, doğruların kesişme noktasının istenen koordinatları, formdaki denklem sisteminin bir çözümüdür. Bunu çözmek için Cramer'in yöntemini kullanıyoruz:

M 0 (-5, 1)

Düzlemdeki iki doğrunun kesişme noktasının koordinatlarını bulmanın başka bir yolu daha var. Doğrulardan biri formun parametrik denklemleriyle, diğeri ise farklı türde bir çizgi denklemiyle verildiğinde kullanılması uygundur. Bu durumda değişkenler yerine başka bir denklemde X Ve sen verilen çizgilerin kesişme noktasına karşılık gelen değeri alabileceğiniz ve ifadelerini kullanabilirsiniz. Bu durumda doğruların kesişme noktasının koordinatları vardır.

Bu yöntemi kullanarak önceki örnekteki doğruların kesişme noktasının koordinatlarını bulalım.

ve çizgilerinin kesişme noktasının koordinatlarını belirleyin.

Düz çizgi ifadesini denklemde yerine koyalım:

Ortaya çıkan denklemi çözdükten sonra şunu elde ederiz. Bu değer ve çizgilerinin ortak noktasına karşılık gelir. Kesişme noktasının koordinatlarını parametrik denklemlere düz bir çizgi koyarak hesaplıyoruz:
.

M 0 (-5, 1).

Resmi tamamlamak için bir noktanın daha tartışılması gerekiyor.

Bir düzlemde iki doğrunun kesişme noktasının koordinatlarını bulmadan önce verilen doğruların gerçekten kesiştiğinden emin olmakta fayda var. Orijinal çizgilerin çakıştığı veya paralel olduğu ortaya çıkarsa, bu tür çizgilerin kesişme noktasının koordinatlarını bulma sorunu olamaz.

Elbette böyle bir kontrol olmadan da yapabilirsiniz, ancak hemen bir form denklem sistemi oluşturup çözebilirsiniz. Bir denklem sisteminin tek bir çözümü varsa, orijinal doğruların kesiştiği noktanın koordinatlarını verir. Denklem sisteminin çözümleri yoksa, orijinal doğruların paralel olduğu sonucuna varabiliriz (çünkü böyle bir gerçek sayı çifti yoktur) X Ve sen, bu, verilen doğruların her iki denklemini de aynı anda karşılayacaktır). Bir denklem sisteminin sonsuz sayıda çözümünün varlığından, orijinal düz çizgilerin sonsuz sayıda ortak noktaya sahip olduğu, yani çakıştıkları sonucu çıkar.

Bu durumlara uygun örneklere bakalım.

Çizgilerin kesişip kesişmediğini öğrenin ve kesişiyorsa kesişme noktasının koordinatlarını bulun.

Verilen doğru denklemleri denklemlere karşılık gelir ve . Bu denklemlerden oluşan sistemi çözelim.

Sistemin denklemlerinin birbirleri üzerinden doğrusal olarak ifade edildiği açıktır (sistemin ikinci denklemi, ilkinden her iki kısmı ile çarpılarak elde edilir). 4 ), dolayısıyla denklem sisteminin sonsuz sayıda çözümü vardır. Dolayısıyla denklemler aynı doğruyu tanımlıyor ve bu doğruların kesiştiği noktanın koordinatlarını bulmaktan söz edemiyoruz.

denklemler ve dikdörtgen koordinat sisteminde tanımlanırlar Oksi aynı düz çizgi olduğundan kesişme noktasının koordinatlarını bulmaktan söz edemeyiz.

Mümkünse doğruların ve kesişme noktasının koordinatlarını bulun.

Sorunun durumu çizgilerin kesişmemesine izin veriyor. Bu denklemlerden bir sistem oluşturalım. Bunu çözmek için Gauss yöntemini uygulayalım, çünkü bu bir denklem sisteminin uyumluluğunu veya uyumsuzluğunu belirlememize ve uyumluysa bir çözüm bulmamıza olanak tanır:

Gauss yönteminin doğrudan geçişinden sonra sistemin son denklemi yanlış eşitliğe dönüştü, bu nedenle denklem sisteminin çözümü yok. Buradan orijinal doğruların paralel olduğu sonucuna varabiliriz ve bu doğruların kesiştiği noktanın koordinatlarını bulmaktan söz edemeyiz.

İkinci çözüm.

Verilen doğruların kesişip kesişmediğini bulalım.

Normal bir vektör bir çizgidir ve bir vektör bir çizginin normal vektörüdür. Vektörlerin eşdoğrusallık koşulunun ve eşitliğinin doğru olup olmadığını kontrol edelim, çünkü bu nedenle verilen düz çizgilerin normal vektörleri eşdoğrusaldır. O halde bu çizgiler paralel veya çakışıktır. Dolayısıyla orijinal doğruların kesişme noktasının koordinatlarını bulamıyoruz.

verilen doğruların kesişme noktasının koordinatlarını bulmak bu doğrular paralel olduğundan imkansızdır.

Doğruların kesişme noktasının koordinatlarını bulun 2x-1=0 ve eğer kesişirlerse.

Verilen doğruların genel denklemleri olan bir denklem sistemi oluşturalım: . Bu denklem sisteminin ana matrisinin determinantı sıfırdan farklıdır, dolayısıyla denklem sisteminin verilen doğruların kesişimini gösteren benzersiz bir çözümü vardır.

Doğruların kesişme noktasının koordinatlarını bulmak için sistemi çözmemiz gerekir:

Ortaya çıkan çözüm bize doğruların kesişme noktasının yani doğruların kesişme noktasının koordinatlarını verir. 2x-1=0 Ve .

Sayfanın başı

Uzayda iki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatlarını bulma.

Üç boyutlu uzayda iki doğrunun kesişme noktasının koordinatları da benzer şekilde bulunur.

Kesişen çizgiler olsun A Ve B Dikdörtgen koordinat sisteminde belirtilen Oksiz kesişen iki düzlemin, yani bir doğrunun denklemleri A bir form sistemi ve düz çizgi tarafından belirlenir B- . İzin vermek M 0– çizgilerin kesişme noktası A Ve B. Sonra işaret et M 0 tanım gereği aynı zamanda çizgiye de aittir A ve düz B dolayısıyla koordinatları her iki doğrunun denklemlerini karşılar. Böylece doğruların kesişme noktasının koordinatları A Ve B formundaki bir doğrusal denklem sisteminin çözümünü temsil eder. Burada denklem sayısının bilinmeyen değişken sayısıyla çakışmadığı doğrusal denklem sistemlerinin çözümü bölümündeki bilgilere ihtiyacımız olacak.

Örneklerin çözümlerine bakalım.

Uzayda ve denklemleriyle tanımlanan iki doğrunun kesişme noktasının koordinatlarını bulun.

Verilen doğruların denklemlerinden bir denklem sistemi oluşturalım: . Bu sistemin çözümü bize uzayda doğruların kesişme noktasının istenen koordinatlarını verecektir. Yazılı denklem sisteminin çözümünü bulalım.

Sistemin ana matrisi şu şekildedir ve genişletilmiş olanı - .

Matrisin rütbesini belirleyelim A ve matris sıralaması T. Küçükleri sınırlama yöntemini kullanıyoruz, ancak determinantların hesaplanmasını ayrıntılı olarak açıklamayacağız (gerekirse bir matrisin determinantının hesaplanması makalesine bakın):

Böylece ana matrisin rütbesi genişletilmiş matrisin rütbesine eşit olur ve üçe eşittir.

Sonuç olarak denklem sisteminin tek bir çözümü vardır.

Belirleyiciyi küçük temel olarak alacağız, bu nedenle son denklem, küçük temelin oluşumuna katılmadığı için denklem sisteminin dışında tutulmalıdır. Bu yüzden,

Ortaya çıkan sistemin çözümünü bulmak kolaydır:

Böylece doğruların kesişme noktasının koordinatları vardır. (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Denklem sisteminin yalnızca ve sadece düz çizgiler olması durumunda benzersiz bir çözüme sahip olduğuna dikkat edilmelidir. A Ve B kesişir. Düz ise A Ve B paralel veya kesişiyorsa, son denklem sisteminin çözümü yoktur, çünkü bu durumda çizgilerin ortak noktaları yoktur. Düz ise A Ve Bçakışırsa sonsuz sayıda ortak noktaya sahiptirler, dolayısıyla belirtilen denklem sisteminin sonsuz sayıda çözümü vardır. Ancak bu durumlarda doğrular kesişmediği için doğruların kesiştiği noktanın koordinatlarını bulmaktan söz edemeyiz.

Dolayısıyla, verilen doğruların kesişip kesişmediğini önceden bilmiyorsak A Ve B olsun veya olmasın, o zaman formda bir denklem sistemi oluşturmak ve bunu Gauss yöntemiyle çözmek mantıklıdır. Benzersiz bir çözüm elde edersek, bu, çizgilerin kesişme noktasının koordinatlarına karşılık gelecektir. A Ve B. Sistemin tutarsız olduğu ortaya çıkarsa, doğrudan A Ve B kesişmeyin. Sistemin sonsuz sayıda çözümü varsa, o zaman düz çizgiler A Ve B eşleştir.

Gauss yöntemini kullanmadan da yapabilirsiniz. Alternatif olarak, bu sistemin ana ve genişletilmiş matrislerinin derecelerini hesaplayabilir ve elde edilen verilere ve Kronecker-Capelli teoremine dayanarak, ya tek bir çözümün varlığı ya da birçok çözümün varlığı ya da yokluğu sonucuna varabilirsiniz. çözümler. Bu bir zevk meselesi.

Doğrular kesişiyorsa kesişme noktasının koordinatlarını belirleyin.

Verilen denklemlerden bir sistem oluşturalım: . Bunu matris formunda Gauss yöntemini kullanarak çözelim:

Denklem sisteminin hiçbir çözümü olmadığı, dolayısıyla verilen doğruların kesişmediği ve bu çizgilerin kesişme noktasının koordinatlarını bulmanın söz konusu olamayacağı ortaya çıktı.

verilen doğruların kesişme noktasının koordinatlarını bulamıyoruz çünkü bu doğrular kesişmiyor.

Kesişen çizgiler, uzaydaki bir çizginin kanonik denklemleri veya uzaydaki bir çizginin parametrik denklemleri ile verildiğinde, önce bunların denklemleri kesişen iki düzlem biçiminde elde edilmeli ve ancak bundan sonra kesişme noktasının koordinatları bulunmalıdır.

Dikdörtgen bir koordinat sisteminde kesişen iki çizgi tanımlanmıştır Oksiz denklemler ve . Bu doğruların kesiştiği noktanın koordinatlarını bulunuz.

Başlangıçtaki düz çizgileri kesişen iki düzlemin denklemleriyle tanımlayalım:

Doğruların kesişme noktasının koordinatlarını bulmak için denklem sistemini çözmek kalır. Bu sistemin ana matrisinin sıralaması, genişletilmiş matrisin sıralamasına eşittir ve üçe eşittir (bu gerçeği kontrol etmenizi öneririz). Minör esasını alalım, dolayısıyla son denklemi sistemden çıkarabiliriz. Ortaya çıkan sistemi herhangi bir yöntemi kullanarak (örneğin Cramer yöntemi) çözdükten sonra çözümü elde ederiz. Böylece doğruların kesişme noktasının koordinatları vardır. (-2, 3, -5) .

“Geometrik algoritmalar” serisinden ders

Merhaba sevgili okuyucu!

Geometrik algoritmaları tanımaya devam edelim. Son dersimizde iki noktanın koordinatlarını kullanarak bir doğrunun denklemini bulduk. Şu formda bir denklem elde ettik:

Bugün iki düz çizginin denklemlerini kullanarak kesişme noktalarının (eğer varsa) koordinatlarını bulan bir fonksiyon yazacağız. Reel sayıların eşitliğini kontrol etmek için RealEq() özel fonksiyonunu kullanacağız.

Düzlemdeki noktalar bir çift gerçek sayıyla tanımlanır. Gerçek bir tür kullanıldığında, karşılaştırma işlemlerini özel işlevler kullanarak uygulamak daha iyidir.

Nedeni biliniyor: Pascal programlama sistemindeki Gerçek türünde herhangi bir sıra ilişkisi yoktur, bu nedenle a ve b'nin gerçek sayılar olduğu a = b biçimindeki kayıtları kullanmamak daha iyidir.
Bugün “=” (tamamen eşit) işlemini uygulamak için RealEq() fonksiyonunu tanıtacağız:

Fonksiyon RealEq(Sabit a, b:Gerçek):Boolean; (kesinlikle eşit) realEq'i başlat:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Görev. İki düz çizginin denklemleri verilmiştir: ve . Bunların kesişme noktasını bulun.

Çözüm. Açık çözüm, çizgi denklemleri sistemini çözmektir: Bu sistemi biraz farklı şekilde yeniden yazalım:
(1)

Aşağıdaki gösterimi tanıtalım: , , . Burada D sistemin determinantıdır ve karşılık gelen bilinmeyenin katsayıları sütununun bir serbest terimler sütunu ile değiştirilmesinden elde edilen determinantlardır. Eğer ise sistem (1) belirlidir, yani tek bir çözümü vardır. Bu çözüm aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir: Cramer formülleri. İkinci dereceden determinantın nasıl hesaplandığını hatırlatayım. Determinant iki köşegeni birbirinden ayırır: ana ve ikincil. Ana köşegen, determinantın sol üst köşesinden sağ alt köşesine doğru alınan elemanlardan oluşur. Yan çapraz - sağ üstten sol alta. İkinci dereceden determinant, ana köşegenin elemanlarının çarpımından ikincil köşegenin elemanlarının çarpımına eşittir.

Kod, eşitliği kontrol etmek için RealEq() işlevini kullanır. Reel sayılara ilişkin hesaplamalar _Eps=1e-7 doğrulukla yapılır.

Geom2 programı; Const _Eps: Gerçek=1e-7;(hesaplama doğruluğu) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Gerçek; Fonksiyon RealEq(Sabit a, b:Gerçek):Boolean; (kesinlikle eşit) realEq'i başlat:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Doğruların denklemlerini bilerek kesişme noktalarının koordinatlarını bulabileceğiniz bir program derledik.