Sınav görevleri profil düzeyinin analizi. Matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlık (profil düzeyi): ödevler, çözümler ve açıklamalar

Yazar Bagmenova T.A. matematik öğretmeniMBOU Ortaokulu No. 14, Novoçerkassk, Rostov Bölgesi.

Birleşik Devlet Sınavına hazırlanırken türevlerin kullanımına ilişkin görevleri çözerken, "Türev" konulu teorik materyalin yanı sıra görevleri gruplara ayırma ihtiyacını ortaya çıkaran çok çeşitli görevler vardır.

Matematikte profil seviyesinin “Türevi” konusundaki 7 numaralı görev örneklerine bakalım ve bunları gruplara ayıralım.

1 . f(x) fonksiyonu [ aralığında sürekli olsun. A ; B ] ve (a;b) aralığında türevlenebilir. O zaman bir fonksiyonun türevi, ['ye ait tüm x'ler için sıfırdan büyükse A ; B ] ise fonksiyon [ kadar artar A ; B ] ve eğer bir fonksiyonun türevi sıfırdan küçükse bu segmentte azalır.

Örnekler:

1)

Çözüm.

Noktalarda ve noktalarda fonksiyon azalır, dolayısıyla fonksiyonun bu noktalardaki türevi negatiftir.

Cevap: 2.

2)

Çözüm.

(-2;2), (6;10) aralıklarında fonksiyonun türevi negatif olduğundan fonksiyon bu aralıklarda azalır. Her iki aralığın uzunluğu da 4'tür.

Cevap: 4.

3)

Çözüm.

Parça üzerinde fonksiyonun türevi pozitif olduğundan fonksiyon bu aralıkta artar, dolayısıyla fonksiyon en küçük değerini 3. noktada alır.

Cevap: 3.

4)

Çözüm.

[-2;3] aralığında fonksiyonun türevi negatif olduğundan fonksiyon bu aralıkta azalır, dolayısıyla fonksiyon en büyük değerini -2 noktasında alır.

Cevap: -2.

2 . Bir fonksiyonun türevinin işareti “-”den “+”ya değişirse bu, fonksiyonun minimum noktasıdır; Bir fonksiyonun türevinin işareti “+”dan “-”ye değişirse bu, fonksiyonun maksimum noktasıdır.

Örnek:

Çözüm.

x=3 noktasında; x=13 fonksiyonun türevinin işareti “-”den “+”ya değişir, dolayısıyla bunlar fonksiyonun minimum noktalarıdır.

Cevap: 2.

3. Durum( X )=0 diferansiyellenebilir fonksiyonun ekstremumu için gerekli bir koşuldur F ( X ). Bir fonksiyonun türevinin grafiğinin Ox ekseni ile kesiştiği noktalarda fonksiyonun türevi sıfıra eşit olduğundan bu noktalar ekstrem noktalardır.

Örnek:

Çözüm.

Belirli bir parça üzerinde bir fonksiyonun türevinin grafiğinin Ox ekseni ile kesiştiği 4 nokta vardır, dolayısıyla 4 ekstrem nokta vardır.

Cevap: 4.

4 . Bir fonksiyonun türevi, fonksiyonun uç noktalarında sıfıra eşittir. Bu problemde bunlar fonksiyonun artandan azalanya veya tam tersi yönde değiştiği noktalardır.

Örnek:

Çözüm.

Bazı noktalarda türev sıfırdır.

Cevap: 4.

5. Fonksiyonun bir noktadaki türevinin değerini bulun; bu, Ox eksenine veya Ox eksenine paralel bir düz çizgiye teğetin eğim açısının tanjantını bulmak anlamına gelir. Teğetin Ox eksenine olan eğim açısı dar ise, o zaman açının tanjantı pozitiftir; eğer teğetin Ox eksenine olan eğim açısı geniş ise, o zaman açının tanjantı negatiftir.

Örnek:

Çözüm.

Hipotenüsün teğet üzerinde olacağı ve bacaklardan birinin Ox ekseni üzerinde veya Ox eksenine paralel bir düz çizgi üzerinde olacağı bir dik üçgen oluşturalım, sonra bacakların uzunluklarını sayıp teğetini hesaplayacağız. dik üçgenin dar açısı. Karşı kenar 2'ye, komşu kenar ise 8'e eşittir, dolayısıyla bir dik üçgenin dar açısının tanjantı 0,25'e eşittir. Teğetin Ox eksenine olan eğim açısı geniş olduğundan teğetin eğim açısının tanjantı negatiftir, dolayısıyla fonksiyonun noktadaki türevinin değeri -0,25'tir.

Cevap: - 0,25.

6. 1) Paralel doğruların açı katsayıları eşittir.

2) Fonksiyonun türevinin değeri F ( X sen = F ( X ) noktada (; F ()).

Örnek.

Çözüm.

Doğrunun eğimi 2'dir.fonksiyonun türevinin değeriF( X) bir noktada fonksiyonun grafiğine teğetin eğimine eşittirsen= F( X) noktada (;F())), sonra fonksiyonun türevinin olduğu noktaları buluruz.F( X) 2'ye eşittir.Bu grafikte böyle 4 nokta vardır, dolayısıyla fonksiyonun grafiğine teğet olan noktaların sayısıF( X) belirli bir çizgiye paraleldir veya 4'e eşit olduğu ile çakışmaktadır.

Cevap: 4.

Kullanılmış Kitaplar:

Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. ve diğerleri Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı (temel ve ileri düzey). 10 sınıf – Aydınlanma. 2014

Birleşik Devlet Sınavı: Matematikte cevapları olan 4000 problem. Tüm görevler “Kapalı segment”tir. Temel ve profil düzeyi. Düzenleyen: I. V. Yashchenko - M .: Yayınevi "Sınav", - 2016. - 640 s.

Birleşik Devlet Sınavının profil varyantlarını matematikte başarıyla çözmek için böyle bir algoritmadan vazgeçmeye değer. Sınava hazırlanırken başlı başına bir amaç olarak sınavı geçmeye değil, öğrencinin bilgi düzeyini artırmaya odaklanmalısınız. Bunu yapmak için, teoriyi, pratik becerileri incelemeniz, matematikte Birleşik Devlet Sınavı profili için çeşitli seçenekleri standart olmayan yollarla ayrıntılı cevaplarla çözmeniz ve öğrenme dinamiklerini izlemeniz gerekir. Ve Shkolkovo eğitim projesi tüm bunlarda size yardımcı olacaktır.

Neden kaynağımızı seçmelisiniz?

İnternette bir siteden diğerine dolaşan matematikte Birleşik Devlet Sınavının profil problemlerinin tipik örneklerini size sunmuyoruz. Uzmanlarımız bağımsız olarak ilginç ve benzersiz alıştırmalardan oluşan ve günlük olarak güncellenen bir görev veritabanı geliştirdiler. Matematikteki profil düzeyindeki tüm USE problemleri yanıtları ve ayrıntılı çözümleri içerir. Bir öğrencinin hazırlık sürecindeki güçlü ve zayıf yönleri belirlemenize ve ona özgürce ve kalıpların dışında düşünmeyi öğretmenize olanak tanır.

Matematikteki görevleri tamamlamak ve profil düzeyinde KULLANIM görevlerinin çözümlerini görüntülemek için “Katalog”dan bir alıştırma seçin. Konuları ve alt konuları içeren net bir yapıya sahip olduğundan bunu yapmak oldukça kolaydır. Tüm görevler basitten karmaşığa doğru artan sırada düzenlenmiştir ve matematikte Birleşik Devlet Sınavı profiline çözümler içeren yanıtlar içermektedir.

Ayrıca öğrenciye bağımsız olarak problem çeşitlerini yaratma fırsatı verilir. “Oluşturucu”yu kullanarak, kendisini ilgilendiren herhangi bir konuda profil düzeyinde matematikte KULLANIM görevlerini seçebilir ve çözümlerini görüntüleyebilir. Bu, örneğin geometri veya cebir gibi belirli bir bölümdeki becerileri uygulamanıza olanak tanır.

Ayrıca bir öğrenci, matematikte uzmanlaşmış bir Birleşik Devlet Sınavının görevlerini “Öğrencinin Kişisel Hesabı” nda analiz edebilir. Bu bölümde öğrenci kendi dinamiklerini takip edebilecek ve öğretmeniyle iletişim kurabilecektir.

Tüm bunlar, matematik alanında uzmanlaşmış Birleşik Devlet Sınavına etkili bir şekilde hazırlanmanıza ve en karmaşık sorunlara bile kolayca çözüm bulmanıza yardımcı olacaktır.

Uygulama, bir üçgenin alanını bulma konusundaki sorunların her yıl Birleşik Devlet Sınavında ortaya çıktığını göstermektedir. Bu nedenle eğer öğrenciler değerlendirme testinden iyi puanlar almak istiyorlarsa mutlaka bu konuyu tekrar gözden geçirmeli ve materyali yeniden anlamalıdırlar.

Sınava nasıl hazırlanılır?

Shkolkovo eğitim projesi, Birleşik Devlet Sınavında bulunanlara benzer şekilde bir üçgenin alanını bulma konusundaki problemleri çözmeyi öğrenmenize yardımcı olacaktır. Sertifika testini geçmek için hazırlanmanız gereken tüm gerekli malzemeleri burada bulacaksınız.

“Birleşik Devlet Sınavı problemlerinde üçgenin alanı” konulu alıştırmaların mezunlar için zorluk yaratmamasını sağlamak için, öncelikle temel trigonometrik kavram ve kurallarla ilgili hafızanızı tazelemenizi öneririz. Bunun için “Teorik Bilgiler” bölümüne gitmeniz yeterli. Doğru cevabı bulmanıza yardımcı olacak temel tanımları ve formülleri sunar.

Öğrenilen materyali pekiştirmek ve problem çözme pratiği yapmak için Shkolkovo eğitim projesi uzmanları tarafından seçilen alıştırmaları yapmanızı öneririz. Sitedeki her görevin doğru bir cevabı ve nasıl çözüleceğine dair ayrıntılı bir açıklaması vardır. Öğrenciler hem basit hem de daha karmaşık problemlerle pratik yapabilirler.

Okul çocukları bu tür egzersizleri hem Moskova'da hem de Rusya'nın herhangi bir şehrinde çevrimiçi olarak gerçekleştirme becerilerini "geliştirebilirler". Gerekirse tamamlanan görev, daha sonra geri dönmek ve çözümün ilerleyişini öğretmenle tartışmak için "Sık Kullanılanlar" bölümüne kaydedilebilir.

Ortaöğretim genel eğitim

UMK G.K. Muravin hattı. Cebir ve matematiksel analizin ilkeleri (10-11) (derinlemesine)

UMK Merzlyak hattı. Cebir ve analizin başlangıcı (10-11) (U)

Matematik

Matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlık (profil düzeyi): ödevler, çözümler ve açıklamalar

Profil düzeyindeki sınav 3 saat 55 dakika (235 dakika) sürer.

Minimum eşik- 27 puan.

Sınav kağıdı içerik, karmaşıklık ve görev sayısı bakımından farklılık gösteren iki bölümden oluşur.

İşin her bir bölümünün tanımlayıcı özelliği, görevlerin biçimidir:

• bölüm 1, tam sayı veya son ondalık kesir şeklinde kısa bir cevabı olan 8 görev (görev 1-8) içerir;
• Bölüm 2, bir tamsayı veya son ondalık kesir şeklinde kısa bir cevabı olan 4 görevi (görevler 9-12) ve ayrıntılı bir cevabı olan (çözümün gerekçeleriyle birlikte tam bir kaydı) 7 görevi (görevler 13-19) içerir. alınan önlemler).

Panova Svetlana Anatolevna, okulun en yüksek kategorisindeki matematik öğretmeni, iş tecrübesi 20 yıl:

“Okul sertifikası alabilmek için, bir mezunun Birleşik Devlet Sınavı şeklinde, biri matematik olmak üzere iki zorunlu sınavı geçmesi gerekir. Rusya Federasyonu'nda Matematik Eğitiminin Geliştirilmesi Konseptine uygun olarak, matematikte Birleşik Devlet Sınavı iki seviyeye ayrılmıştır: temel ve uzmanlık. Bugün profil düzeyindeki seçeneklere bakacağız.”

Görev No.1- Birleşik Devlet Sınavı katılımcılarının 5. ila 9. sınıf ilköğretim matematik dersinde edinilen becerileri pratik etkinliklerde uygulama yeteneğini test eder. Katılımcının hesaplama becerisine sahip olması, rasyonel sayılarla çalışabilmesi, ondalık sayıları yuvarlayabilmesi ve bir ölçü birimini diğerine çevirebilmesi gerekmektedir.

Örnek 1. Peter'ın yaşadığı daireye bir soğuk su debimetresi (sayaç) takıldı. 1 Mayıs'ta sayaç 172 metreküp tüketim gösterdi. m su ve 1 Haziran'da - 177 metreküp. m Fiyat 1 metreküp ise Peter Mayıs ayında soğuk su için ne kadar ödemelidir? m soğuk su 34 ruble 17 kopek mi? Cevabınızı ruble olarak verin.

Çözüm:

1) Aylık harcanan su miktarını bulun:

177 - 172 = 5 (m küp)

2) Boşa harcanan suya ne kadar para ödeyeceklerini bulalım:

34,17 5 = 170,85 (ovmak)

Cevap: 170,85.

Görev No.2- en basit sınav görevlerinden biridir. Mezunların çoğunluğu bununla başarılı bir şekilde başa çıkıyor, bu da fonksiyon kavramının tanımına dair bilgi sahibi olduğunu gösteriyor. Gereksinimlere göre 2 numaralı görev türü kodlayıcı, edinilen bilgi ve becerilerin pratik faaliyetlerde ve günlük yaşamda kullanılmasına ilişkin bir görevdir. Görev No. 2, fonksiyonların tanımlanması, kullanılması, nicelikler arasındaki çeşitli gerçek ilişkilerin tanımlanması ve grafiklerinin yorumlanmasından oluşur. Görev No. 2 tablolarda, diyagramlarda ve grafiklerde sunulan bilgileri çıkarma yeteneğini test eder. Mezunların, bir fonksiyonun değerini, argümanın değerinden, fonksiyonu belirlemenin çeşitli yollarıyla belirleyebilmeleri ve grafiğine dayalı olarak fonksiyonun davranışını ve özelliklerini tanımlayabilmeleri gerekir. Ayrıca bir fonksiyon grafiğinden en büyük veya en küçük değeri bulmanız ve çalışılan fonksiyonların grafiklerini oluşturabilmeniz gerekir. Sorunun koşullarını okurken, diyagramı okurken yapılan hatalar rastgeledir.

#ADVERTISING_INSERT#

Örnek 2.Şekil, bir madencilik şirketinin bir hissesinin Nisan 2017'nin ilk yarısındaki değişim değerindeki değişimi gösteriyor. 7 Nisan'da işadamı bu şirketin 1.000 hissesini satın aldı. 10 Nisan'da satın aldığı hisselerin dörtte üçünü, 13 Nisan'da ise kalan hisselerin tamamını sattı. İş adamı bu operasyonlar sonucunda ne kadar kaybetti?

Çözüm:

2) 1000 · 3/4 = 750 (hisse) - satın alınan tüm hisselerin 3/4'ünü oluşturur.

6) 247500 + 77500 = 325000 (ovmak) - işadamı satıştan sonra 1000 hisse aldı.

7) 340.000 – 325.000 = 15.000 (ovmak) - işadamı tüm işlemler sonucunda kaybetti.

Cevap: 15000.

Görev No.3- Birinci bölümün temel düzeydeki bir görevi olup, Planimetri dersinin içeriğine göre geometrik şekillerle eylem gerçekleştirme becerisini test etmektedir. Görev 3, kareli kağıt üzerindeki bir şeklin alanını hesaplama yeteneğini, açıların derece ölçümlerini hesaplama yeteneğini, çevre hesaplamasını vb. Test eder.

Örnek 3. Hücre boyutu 1 cm x 1 cm olan kareli kağıda çizilen dikdörtgenin alanını bulun (şekle bakın). Cevabınızı santimetre kare cinsinden verin.

Çözüm: Belirli bir şeklin alanını hesaplamak için Tepe formülünü kullanabilirsiniz:

Belirli bir dikdörtgenin alanını hesaplamak için Peak formülünü kullanırız:

Örnek 4.Çemberin üzerinde 5 kırmızı ve 1 mavi nokta işaretlenmiştir. Hangi çokgenlerin daha büyük olduğunu belirleyin: tüm köşeleri kırmızı olanlar veya köşelerinden biri mavi olanlar. Cevabınızda bazılarının diğerlerinden kaç tane daha fazla olduğunu belirtin.

Çözüm: 1) Kombinasyon sayısı formülünü kullanalım N tarafından elemanlar k:

köşelerinin tamamı kırmızıdır.

3) Tüm köşeleri kırmızı olan bir beşgen.

4) 10 + 5 + 1 = tüm köşeleri kırmızı olan 16 çokgen.

üstleri kırmızı olan veya üst kısmı mavi olan.

üstleri kırmızı olan veya üst kısmı mavi olan.

8) Kırmızı köşeleri ve bir mavi köşesi olan bir altıgen.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = tüm köşeleri kırmızı veya bir köşesi mavi olan 42 çokgen.

10) 42 – 16 = mavi noktayı kullanan 26 çokgen.

11) 26 – 16 = 10 çokgen – köşelerinden biri mavi nokta olan çokgen, tüm köşeleri yalnızca kırmızı olan çokgenlerden kaç tane daha fazladır.

Cevap: 10.

Görev No.5- İlk bölümün temel seviyesi, basit denklemleri (irrasyonel, üstel, trigonometrik, logaritmik) çözme yeteneğini test eder.

Örnek 5. Denklem 2'yi çözün 3 + X= 0,4 5 3 + X .

Çözüm. Bu denklemin her iki tarafını da 5 3 +'ya bölün X≠ 0, şunu elde ederiz

buradan 3 + çıkıyor X = 1, X = –2.

Cevap: –2.

Görev No. 6 planimetride geometrik nicelikleri (uzunluklar, açılar, alanlar) bulmak, gerçek durumları geometri dilinde modellemek. Geometrik kavram ve teoremleri kullanarak oluşturulmuş modellerin incelenmesi. Zorlukların kaynağı, kural olarak, planimetrinin gerekli teoremlerinin bilgisizliği veya yanlış uygulanmasıdır.

Bir üçgenin alanı ABC 129'a eşittir. Almanya– orta çizgi yana paralel AB. Yamuğun alanını bulun YATAK.

Çözüm.Üçgen CDEüçgene benzer TAKSİ tepe noktasındaki açı olduğundan iki açıda C genel, açı СDE açıya eşit TAKSİ karşılık gelen açılar olarak Almanya || AB sekant AC.. Çünkü Almanya koşuluna göre bir üçgenin orta çizgisidir, ardından orta çizginin özelliğine göre | Almanya = (1/2)AB. Bu, benzerlik katsayısının 0,5 olduğu anlamına gelir. Benzer şekillerin alanları benzerlik katsayısının karesi ile ilişkilidir, dolayısıyla

Buradan, SABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Görev No.7- Türevin bir fonksiyonun çalışmasına uygulanmasını kontrol eder. Başarılı uygulama, türev kavramına ilişkin anlamlı, resmi olmayan bilgi gerektirir.

Örnek 7. Fonksiyonun grafiğine git sen = F(X) apsis noktasında X 0 bu grafiğin (4; 3) ve (3; –1) noktalarından geçen doğruya dik bir teğet çizilir. Bulmak F′( X 0).

Çözüm. 1) Verilen iki noktadan geçen doğrunun denklemini kullanıp (4; 3) ve (3; –1) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulalım.

(sen – sen 1)(X 2 – X 1) = (X – X 1)(sen 2 – sen 1)

(sen – 3)(3 – 4) = (X – 4)(–1 – 3)

(sen – 3)(–1) = (X – 4)(–4)

–sen + 3 = –4X+ 16| · (-1)

sen – 3 = 4X – 16

sen = 4X– 13, nerede k 1 = 4.

2) Teğetin eğimini bulun k 2, çizgiye dik olan sen = 4X– 13, nerede k 1 = 4, aşağıdaki formüle göre:

3) Teğet açı, fonksiyonun teğet noktasındaki türevidir. Araç, F′( X 0) = k 2 = –0,25.

Cevap: –0,25.

Görev No.8- sınav katılımcılarının temel stereometri bilgisini, şekillerin yüzey alanlarını ve hacimlerini, dihedral açıları bulmaya yönelik formülleri uygulama yeteneğini, benzer şekillerin hacimlerini karşılaştırmayı, geometrik şekiller, koordinatlar ve vektörler vb. ile eylemler gerçekleştirebilme becerisini test eder.

Bir kürenin çevrelediği küpün hacmi 216'dır. Kürenin yarıçapını bulun.

Çözüm. 1) V küp = A 3 (burada A– küpün kenarının uzunluğu), dolayısıyla

A 3 = 216

A = 3 √216

2) Küre bir küpün içine yazıldığı için kürenin çapının uzunluğunun küpün kenar uzunluğuna eşit olduğu anlamına gelir, dolayısıyla D = A, D = 6, D = 2R, R = 6: 2 = 3.

Görev No.9- Mezunların cebirsel ifadeleri dönüştürme ve basitleştirme becerisine sahip olmasını gerektirir. Kısa cevapla artan zorluk seviyesine sahip 9 numaralı görev. Birleşik Devlet Sınavının "Hesaplamalar ve Dönüşümler" bölümündeki görevler birkaç türe ayrılmıştır:

sayısal rasyonel ifadelerin dönüşümü;

cebirsel ifadeleri ve kesirleri dönüştürme;

sayısal/harf irrasyonel ifadelerin dönüştürülmesi;

dereceli eylemler;

logaritmik ifadelerin dönüştürülmesi;

1. sayısal/harf trigonometrik ifadeleri dönüştürme.

Örnek 9. cos2α = 0,6 olduğu biliniyorsa tanα'yı hesaplayın ve

Çözüm. 1) Çift argüman formülünü kullanalım: cos2α = 2 cos 2 α – 1 ve bulalım

Bu tan 2 α = ± 0,5 anlamına gelir.

3) Koşula göre

bu, α'nın ikinci çeyreğin açısı olduğu ve tgα olduğu anlamına gelir< 0, поэтому tgα = –0,5.

Cevap: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Görev No. 10- Öğrencilerin edinilen erken bilgi ve becerileri pratik faaliyetlerde ve günlük yaşamda kullanma yeteneğini test eder. Bunların matematikte değil fizikte problemler olduğunu söyleyebiliriz ancak gerekli tüm formüller ve miktarlar şartta verilmiştir. Sorunlar doğrusal veya ikinci dereceden bir denklemin veya doğrusal veya ikinci dereceden bir eşitsizliğin çözülmesine indirgenir. Dolayısıyla bu tür denklem ve eşitsizlikleri çözebilmek ve cevabını belirleyebilmek gerekir. Cevap tam sayı veya sonlu ondalık kesir olarak verilmelidir.

İki kütleli cisim M= Her biri 2 kg, aynı hızla hareket ediyor v= 10 m/s birbirine 2α açıyla. Kesinlikle esnek olmayan çarpışmaları sırasında açığa çıkan enerji (joule cinsinden), şu ifadeyle belirlenir: Q = mv 2 günah 2 α. Çarpışma sonucunda en az 50 jul enerji açığa çıkacak şekilde cisimler hangi en küçük 2α açısında (derece cinsinden) hareket etmelidir?
Çözüm. Sorunu çözmek için, 2α ∈ (0°; 180°) aralığında Q ≥ 50 eşitsizliğini çözmemiz gerekiyor.

mv 2 günah 2 α ≥ 50

2 10 2 günah 2 α ≥ 50

200 günah 2 α ≥ 50

α ∈ (0°; 90°) olduğundan, yalnızca çözeceğiz

Eşitsizliğin çözümünü grafiksel olarak gösterelim:

α ∈ (0°; 90°) koşuluna göre 30° ≤ α anlamına gelir< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Görev No. 11- tipiktir ancak öğrenciler için zor olduğu ortaya çıktı. Zorluğun ana kaynağı matematiksel bir modelin oluşturulmasıdır (bir denklemin oluşturulması). Görev No. 11, sözlü problemleri çözme yeteneğini test eder.

Örnek 11. Bahar tatilinde 11. sınıf öğrencisi Vasya, Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmak için 560 pratik problemini çözmek zorunda kaldı. 18 Mart'ta okulun son gününde Vasya 5 problemi çözdü. Sonra her gün bir önceki güne göre aynı sayıda problemi daha fazla çözdü. Tatilin son günü olan 2 Nisan'da Vasya'nın kaç sorunu çözdüğünü belirleyin.

560 = (5 + A 16) 8,

5 + A 16 = 560: 8,

5 + A 16 = 70,

A 16 = 70 – 5

A 16 = 65.

Cevap: 65.

Görev No. 12- Öğrencilerin fonksiyonlarla işlem yapma ve türevi bir fonksiyon çalışmasına uygulayabilme becerilerini test ederler.

Fonksiyonun maksimum noktasını bulun sen= 10ln( X + 9) – 10X + 1.

Çözüm: 1) Fonksiyonun tanım tanım kümesini bulun: X + 9 > 0, X> –9, yani x ∈ (–9; ∞).

2) Fonksiyonun türevini bulun:

4) Bulunan nokta (–9; ∞) aralığına aittir. Fonksiyonun türevinin işaretlerini belirleyelim ve fonksiyonun davranışını şekilde gösterelim:

İstenilen maksimum nokta X = –8.

a) 2log 3 2 (2cos) denklemini çözün X) – 5log 3 (2cos) X) + 2 = 0

b) Bu denklemin doğru parçasına ait tüm köklerini bulun.

Çözüm: a) Log 3 (2cos) olsun X) = T, sonra 2 T 2 – 5T + 2 = 0,

b) Segment üzerinde bulunan kökleri bulun.

Şekil verilen segmentin köklerinin ait olduğunu göstermektedir.

Silindirin taban dairesinin çapı 20, silindirin generatrix'i 28'dir. Düzlem, tabanını 12 ve 16 uzunluğundaki kirişler boyunca keser. Akorlar arasındaki mesafe 2√197'dir.

a) Silindirin taban merkezlerinin bu düzlemin bir tarafında olduğunu kanıtlayın.

b) Bu düzlem ile silindirin taban düzlemi arasındaki açıyı bulun.

Çözüm: a) 12 uzunluğundaki bir kiriş taban çemberinin merkezinden = 8 uzaklıkta ve 16 uzunluğundaki bir kiriş de benzer şekilde 6 uzaklıkta bulunmaktadır. silindirlerin tabanları ya 8 + 6 = 14 ya da 8 − 6 = 2'dir.

O zaman akorlar arasındaki mesafe ya

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Koşula göre, kirişlerin çıkıntılarının silindir ekseninin bir tarafında yer aldığı ikinci durum gerçekleştirildi. Bu, eksenin silindir içindeki bu düzlemle kesişmediği, yani tabanların silindirin bir tarafında yer aldığı anlamına gelir. Kanıtlanması gereken şey.

b) Bazların merkezlerini O 1 ve O 2 olarak gösterelim. Tabanın merkezinden 12 uzunluğunda bir kirişle bu kirişe (daha önce belirtildiği gibi uzunluğu 8'dir) ve diğer tabanın merkezinden diğer kirişe dik bir açıortay çizelim. Bu akorlara dik olarak aynı β düzleminde bulunurlar. Küçük akorun orta noktasına B, daha büyük akorun ve A'nın ikinci tabana izdüşümüne - H (H ∈ β) diyelim. O zaman AB,AH ∈ β ve dolayısıyla AB,AH kirişe, yani tabanın verilen düzlemle kesiştiği düz çizgiye diktir.

Bu, gerekli açının şuna eşit olduğu anlamına gelir:

Görev No. 15- Ayrıntılı bir yanıtla artan karmaşıklık düzeyi, artan karmaşıklık düzeyinin ayrıntılı bir yanıtıyla görevler arasında en başarılı şekilde çözülen eşitsizlikleri çözme yeteneğini test eder.

Örnek 15. Eşitsizliği çözün | X 2 – 3X| günlük 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 .

Çözüm: Bu eşitsizliğin tanım alanı (–1; +∞) aralığıdır. Üç durumu ayrı ayrı düşünün:

1) izin ver X 2 – 3X= 0, yani X= 0 veya X= 3. Bu durumda bu eşitsizlik doğru olur, dolayısıyla bu değerler çözüme dahil edilir.

2) Şimdi izin ver X 2 – 3X> 0, yani X∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Ayrıca bu eşitsizlik şu şekilde yeniden yazılabilir: ( X 2 – 3X) günlük 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 ve pozitif bir ifadeye böl X 2 – 3X. Günlük 2'yi alıyoruz ( X + 1) ≤ –1, X + 1 ≤ 2 –1 , X≤ 0,5 –1 veya X≤ –0,5. Tanımın alanını dikkate alarak, X ∈ (–1; –0,5].

3) Son olarak şunu düşünün: X 2 – 3X < 0, при этом X∈ (0; 3). Bu durumda orijinal eşitsizlik (3) şeklinde yeniden yazılacaktır. X – X 2) günlük 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2. Pozitif 3'e böldükten sonra X – X 2, log 2'yi alıyoruz ( X + 1) ≤ 1, X + 1 ≤ 2, X≤ 1. Bölgeyi dikkate alarak, X ∈ (0; 1].

Elde edilen çözümleri birleştirerek şunu elde ederiz: X ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Cevap: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Görev No. 16- ileri seviye, ikinci bölümde ayrıntılı bir cevapla verilen görevleri ifade eder. Görev, geometrik şekiller, koordinatlar ve vektörlerle eylem gerçekleştirme yeteneğini test eder. Görev iki nokta içeriyor. İlk noktada görevin kanıtlanması, ikinci noktada ise hesaplanması gerekir.

Açısı 120° olan bir ABC ikizkenar üçgeninde, BD ortayağı A köşesine çizilir. DEFH dikdörtgeni ABC üçgeninin içine yazılmıştır, böylece FH kenarı BC doğru parçası üzerinde ve E köşesi AB doğru parçası üzerinde yer alır. a) FH = 2DH olduğunu kanıtlayın. b) AB = 4 ise DEFH dikdörtgeninin alanını bulun.

Çözüm: A)

1) ΔBEF – dikdörtgen, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, bu durumda bacağın 30° açının karşısında yer alması özelliği ile EF = BE.

2) EF = DH = olsun X, bu durumda BE = 2 X, BF = X√3 Pisagor teoremine göre.

3) ΔABC ikizkenar olduğundan ∠B = ∠C = 30˚ anlamına gelir.

BD, ∠B'nin açıortayıdır, bu da ∠ABD = ∠DBC = 15˚ anlamına gelir.

4) ΔDBH’yi dikdörtgen olarak düşünün, çünkü DH⊥BC.

√3 – 1 = 2 – X

X = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )

S DEFH = 24 – 12√3.

Cevap: 24 – 12√3.

Örnek 17. Dört yıl boyunca 20 milyon ruble tutarında bir depozitonun açılması planlanıyor. Banka, her yılın sonunda mevduatını yılbaşındaki büyüklüğüne göre %10 oranında artırıyor. Ayrıca üçüncü ve dördüncü yılların başında yatırımcı her yıl depozitoyu yeniler. X milyon ruble, nerede X - tüm sayı. En büyük değeri bulun X bankanın dört yıl içinde mevduata 17 milyon rubleden az tahakkuk edeceği.

Çözüm:İlk yılın sonunda katkı 20 + 20 · 0,1 = 22 milyon ruble ve ikinci yılın sonunda - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 milyon ruble olacak. Üçüncü yılın başında katkı (milyon ruble cinsinden) (24,2 +) olacaktır. X) ve sonunda - (24,2 + X) + (24,2 + X)· 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Dördüncü yılın başında katkı (26,62 + 2,1) olacaktır. X), ve sonunda - (26,62 + 2,1 X) + (26,62 + 2,1X) · 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Koşula göre eşitsizliğin geçerli olduğu en büyük x tam sayısını bulmanız gerekir

(29,282 + 2,31X) – 20 – 2X < 17

29,282 + 2,31X – 20 – 2X < 17

0,31X < 17 + 20 – 29,282

0,31X < 7,718

Bu eşitsizliğin en büyük tamsayı çözümü 24 sayısıdır.

Cevap: 24.

ne de A eşitsizlik sistemi

tam olarak iki çözümü var mı?

Çözüm: Bu sistem şu şekilde yeniden yazılabilir:

İlk eşitsizliğin çözüm kümesini düzlem üzerinde çizersek, yarıçapı 1 olan ve merkezi (0, A). İkinci eşitsizliğin çözüm kümesi, fonksiyonun grafiğinin altında kalan düzlemin parçasıdır sen = | X| – A, ve ikincisi fonksiyonun grafiğidir
sen = | X| , aşağı kaydırıldı A. Bu sistemin çözümü her bir eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimidir.

Sonuç olarak, bu sistemin yalnızca Şekil 2'de gösterilen durumda iki çözümü olacaktır. 1.

Çemberin çizgilerle temas noktaları sistemin iki çözümü olacaktır. Düz çizgilerin her biri eksenlere 45° açıyla eğimlidir. Yani bu bir üçgen PQR– dikdörtgen ikizkenarlar. Nokta Q koordinatları vardır (0, A) ve nokta R– koordinatlar (0, – A). Ayrıca segmentler halkla ilişkiler Ve Güç kalitesi 1'e eşit olan dairenin yarıçapına eşittir. Bu şu anlama gelir:

İzin vermek sn toplam P aritmetik ilerleme terimleri ( bir p). biliniyor ki Sn + 1 = 2N 2 – 21N – 23.

a) Formülü sağlayın P bu ilerlemenin üçüncü dönemi.

b) En küçük mutlak toplamı bulun Sn.

c) En küçüğü bulun P, hangi Sn bir tamsayının karesi olacaktır.

Çözüm: a) Açıkça görülüyor ki BİR = Sn – Sn-1. Bu formülü kullanarak şunu elde ederiz:

Sn = S (N – 1) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 1) – 23 = 2N 2 – 25N,

Sn – 1 = S (N – 2) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 2) – 23 = 2N 2 – 25N+ 27

Araç, BİR = 2N 2 – 25N – (2N 2 – 29N + 27) = 4N – 27.

B) O zamandan beri Sn = 2N 2 – 25N, ardından işlevi düşünün S(X) = | 2X 2 – 25x|. Grafiği şekilde görülebilir.

Açıkçası, en küçük değer, fonksiyonun sıfırlarına en yakın tamsayı noktalarında elde edilir. Açıkçası bunlar noktalar X= 1, X= 12 ve X= 13. Çünkü, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13 ise en küçük değer 12'dir.

c) Önceki paragraftan şu sonuç çıkıyor: sn başlayarak olumlu N= 13. Çünkü Sn = 2N 2 – 25N = N(2N– 25), o zaman bu ifadenin tam kare olduğu bariz durum şu şekilde gerçekleşir: N = 2N– 25, yani P= 25.

13'ten 25'e kadar olan değerleri kontrol etmeye devam ediyor:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Daha küçük değerler için ortaya çıkıyor P tam bir kare elde edilmez.

Cevap: A) BİR = 4N– 27; b) 12; 25.

________________

*Mayıs 2017'den bu yana, birleşik yayın grubu "DROFA-VENTANA", Rus Ders Kitabı şirketinin bir parçası olmuştur. Şirket ayrıca Astrel yayınevini ve LECTA dijital eğitim platformunu da içeriyor. Rusya Federasyonu Hükümeti Mali Akademisi mezunu, İktisadi Bilimler Adayı, DROFA yayınevinin dijital eğitim alanındaki yenilikçi projelerinin başkanı Alexander Brychkin (ders kitaplarının elektronik formları, Rus Elektronik Okulu, dijital eğitim platformu) LECTA) Genel Müdür olarak atandı. DROFA yayınevine katılmadan önce, yayın holdingi EKSMO-AST'ın stratejik gelişimi ve yatırımlarından sorumlu başkan yardımcısı olarak görev yaptı. Bugün, "Rusça Ders Kitabı" yayınevi Federal Listede yer alan en büyük ders kitabı portföyüne sahiptir - 485 başlık (özel okullar için ders kitapları hariç yaklaşık% 40). Şirketin yayınevleri, ülkenin üretken potansiyelinin geliştirilmesi için gerekli olan fizik, çizim, biyoloji, kimya, teknoloji, coğrafya, astronomi alanlarında Rus okullarındaki en popüler ders kitaplarına sahiptir. Şirketin portföyünde, eğitim alanında Cumhurbaşkanlığı Ödülü'ne layık görülen ilkokullara yönelik ders kitapları ve öğretim yardımcıları yer alıyor. Bunlar, Rusya'nın bilimsel, teknik ve üretim potansiyelinin geliştirilmesi için gerekli olan konu alanlarındaki ders kitapları ve kılavuzlardır.

Bu makale, matematik ve fizik alanında bir öğretmenden uzmanlık düzeyinde matematikte Birleşik Devlet Sınavı'nın 2. bölümünün 9-12. görevlerinin bir analizini sunmaktadır. Öğretmenin önerilen görevlerin analizini içeren video dersi, her biri hakkında ayrıntılı ve anlaşılır yorumlar içerir. Matematikte Birleşik Devlet Sınavına yeni hazırlanmaya başladıysanız bu makale sizin için çok faydalı olabilir.

Yukarıdaki video eğitiminde ayrıntılı olarak öğrenebileceğiniz logaritmanın özelliklerini kullanarak ifadeyi dönüştürüyoruz:

10. Yaylı bir sarkaç bir periyotla salınır T= 16 sn. Asılı ağırlık M= 0,8 kg. Yükün hareket hızı formüle göre zamanla değişir . Aynı zamanda m/sn. Kinetik enerjinin tanımlayıcı formülü (joule cinsinden): , burada M kilogram cinsinden alınır - saniyede metre cinsinden. Salınım hareketinin başlamasından 10 saniye sonra yükün kinetik enerjisi joule cinsinden nedir?

Salınım hareketinin başlamasından 10 saniye sonra yükün hareket hızı şuna eşit olacaktır:

O zaman zamanın bu andaki kinetik enerjisi şuna eşit olacaktır:

J.

İzin vermek X- bir şekerin fiyatı ve sen- çikolata fiyatı. O zaman 6 lolipopun maliyeti 6 X ve bir çikolatanın maliyetinin %2'si 0,02'ye eşittir sen. 6 lolipopun maliyetinin bir çikolata barından %2 daha ucuz olduğu bilindiğinden ilk denklem geçerlidir: 6 X + 0,02sen = sen bunu nereden elde ediyoruz X = 0,98/6 sen = 98/600 sen = 49/300 sen. Buna karşılık 9 lolipopun fiyatı 9 X, yani 9.49/300 sen = 49/300 sen = 1,47 sen. Görev, yüzde 1,47'nin ne kadar olduğunu belirlemektir. sen bundan fazla sen. Eğer sen%100, ardından 1,47 sen%1,47·100 = %147'dir. Bu 1.47 sen bundan fazla sen%47 oranında.

1) DL eşitsizliğiyle verilir: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="23" width="106" style="vertical-align: -5px;"> (так выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть больше нуля), откуда получаем, что .!}

2) Fonksiyonun türevini arıyoruz. Bu fonksiyonun türevinin nasıl hesaplandığına dair ayrıntılı açıklama için yukarıdaki videoya bakın. Fonksiyonun türevi şuna eşittir:

3) Değerleri aramak X türevi 0'a eşit olan veya mevcut olmayan. için mevcut değildir çünkü bu durumda payda sıfıra gider. Türev ne zaman sıfıra ayarlanır?