Đồ thị hàm số dạng động vật. Hàm tuyến tính và đồ thị của nó

Sự định nghĩa: Hàm số là sự tương ứng liên kết mỗi số x từ một tập hợp nào đó với một số y.

Chỉ định:

trong đó x là biến độc lập (đối số), y là biến phụ thuộc (hàm). Tập hợp các giá trị của x được gọi là miền xác định của hàm số (ký hiệu là D(f)). Tập hợp các giá trị của y được gọi là phạm vi giá trị của hàm (ký hiệu là E(f)). Đồ thị của hàm số là tập hợp các điểm trong mặt phẳng có tọa độ (x, f(x))

Các phương pháp xác định hàm.

1. phương pháp phân tích (sử dụng công thức toán học);
2. phương pháp bảng (dùng bảng);
3. phương pháp miêu tả (dùng miêu tả bằng lời);
4. phương pháp đồ họa (dùng đồ thị).

Các tính chất cơ bản của hàm.

1. Chẵn và lẻ

Một hàm được gọi ngay cả khi
– miền định nghĩa của hàm số đối xứng quanh 0
f(-x) = f(x)

Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục 0 năm

Hàm được gọi là lẻ nếu
– miền định nghĩa của hàm số đối xứng quanh 0
– với mọi x từ miền định nghĩa f(-x) = –f(x)

Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.

2. Tần số

Hàm số f(x) được gọi là tuần hoàn với khoảng thời gian nếu với bất kỳ x nào trong miền định nghĩa f(x) = f(x+T) = f(x-T) .

Đồ thị của hàm tuần hoàn bao gồm các đoạn giống hệt nhau lặp lại không giới hạn.

3. Tính đơn điệu (tăng, giảm)

Hàm f(x) đang tăng trên tập P nếu với mọi x 1 và x 2 từ tập hợp này sao cho x 1

Hàm số f(x) giảm trên tập P nếu với bất kỳ x 1 và x 2 nào từ tập hợp này, sao cho x 1 f(x 2) .

4. Cực đoan

Điểm X max được gọi là điểm cực đại của hàm f(x) nếu với mọi x từ một lân cận nào đó của X max thì bất đẳng thức f(x) f(X max) được thỏa mãn.

Giá trị Y max = f(X max) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm này.

X max – điểm tối đa
Ở mức tối đa - tối đa

Điểm X min được gọi là điểm cực tiểu của hàm f(x) nếu với mọi x từ lân cận nào đó của X min, bất đẳng thức f(x) f(X min) được thỏa mãn.

Giá trị Y min =f(X min) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm này.

X phút – điểm tối thiểu
Y phút – tối thiểu

X min , X max – điểm cực trị
Y min , Y max – cực trị.

5. Số 0 của hàm

Số 0 của hàm y = f(x) là giá trị của đối số x mà tại đó hàm trở thành 0: f(x) = 0.

X 1, X 2, X 3 – các số 0 của hàm y = f(x).

Nhiệm vụ và bài kiểm tra về chủ đề "Tính chất cơ bản của hàm"

• Thuộc tính hàm - Hàm số lớp 9

  Bài học: 2 Bài tập: 11 Bài kiểm tra: 1

• Tính chất của logarit - Hàm số mũ và logarit lớp 11

  Bài học: 2 Bài tập: 14 Bài kiểm tra: 1

• Hàm căn bậc hai, tính chất và đồ thị của nó - Hàm căn bậc hai. Tính chất căn bậc hai lớp 8

  Bài học: 1 Bài tập: 9 Bài kiểm tra: 1

• Chức năng - Các chủ đề quan trọng ôn thi Thống nhất môn Toán

  Nhiệm vụ: 24

• Hàm lũy thừa, tính chất và đồ thị của chúng - Độ và rễ. hàm số lớp 11

  Bài học: 4 Bài tập: 14 Bài kiểm tra: 1

Sau khi nghiên cứu chủ đề này, bạn sẽ có thể tìm thấy miền định nghĩa của các hàm số khác nhau, xác định khoảng đơn điệu của hàm số bằng cách sử dụng đồ thị và kiểm tra hàm số chẵn và số lẻ. Hãy xem xét việc giải quyết các vấn đề tương tự bằng cách sử dụng các ví dụ sau.

Ví dụ.

1. Tìm miền định nghĩa của hàm số.

Giải pháp: miền định nghĩa của hàm được tìm thấy từ điều kiện

do đó, hàm f(x) là hàm số chẵn.

Trả lời: thậm chí

D(f) = [-1; 1] – đối xứng về 0.

do đó hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Trả lời: không đều và không đều.

Độ dài đoạn trên trục tọa độ được xác định theo công thức:

Độ dài của một đoạn trên mặt phẳng tọa độ được tìm thấy bằng công thức:

Để tìm độ dài của một đoạn trong hệ tọa độ ba chiều, hãy sử dụng công thức sau:

Tọa độ của phần giữa của đoạn (đối với trục tọa độ chỉ sử dụng công thức đầu tiên, đối với mặt phẳng tọa độ - hai công thức đầu tiên, đối với hệ tọa độ ba chiều - cả ba công thức) được tính bằng các công thức:

Chức năng– đây là sự tương ứng của biểu mẫu y= f(x) giữa các đại lượng thay đổi, do đó mỗi giá trị được xem xét của một số đại lượng biến đổi x(đối số hoặc biến độc lập) tương ứng với một giá trị nhất định của biến khác, y(biến phụ thuộc, đôi khi giá trị này được gọi đơn giản là giá trị của hàm). Lưu ý rằng hàm giả định rằng một giá trị đối số X chỉ có một giá trị của biến phụ thuộc có thể tương ứng Tại. Tuy nhiên, cùng một giá trị Tại có thể thu được bằng cách khác nhau X.

Miền chức năng– đây là tất cả các giá trị của biến độc lập (đối số hàm, thường là giá trị này X), trong đó hàm được xác định, tức là ý nghĩa của nó tồn tại. Khu vực xác định được chỉ định D(y). Nhìn chung, bạn đã quen thuộc với khái niệm này. Miền định nghĩa của hàm còn được gọi là miền giá trị cho phép, hay VA, mà bạn đã có thể tìm thấy từ lâu.

Phạm vi chức năng là tất cả các giá trị có thể có của biến phụ thuộc của một hàm nhất định. được chỉ định E(Tại).

Chức năng tăng trên khoảng trong đó giá trị lớn hơn của đối số tương ứng với giá trị lớn hơn của hàm. Chức năng đang giảm trên khoảng trong đó giá trị lớn hơn của đối số tương ứng với giá trị nhỏ hơn của hàm.

Các khoảng dấu hằng số của hàm số- đây là các khoảng của biến độc lập mà trong đó biến phụ thuộc giữ nguyên dấu dương hoặc âm.

Số không của hàm– đây là các giá trị của đối số mà tại đó giá trị của hàm bằng 0. Tại các điểm này, đồ thị hàm số cắt trục hoành (trục OX). Rất thường xuyên, nhu cầu tìm các số 0 của hàm có nghĩa là cần phải giải phương trình một cách đơn giản. Ngoài ra, thường thì nhu cầu tìm các khoảng không đổi của dấu có nghĩa là cần phải giải bất đẳng thức một cách đơn giản.

Chức năng y = f(x) được gọi là thậm chí X

Điều này có nghĩa là đối với bất kỳ giá trị đối diện nào của đối số, các giá trị của hàm chẵn đều bằng nhau. Đồ thị của hàm chẵn luôn đối xứng với trục tọa độ của op-amp.

Chức năng y = f(x) được gọi là số lẻ, nếu nó được xác định trên một tập đối xứng và với mọi X từ miền định nghĩa, đẳng thức giữ:

Điều này có nghĩa là đối với bất kỳ giá trị đối diện nào của đối số, các giá trị của hàm lẻ cũng ngược lại. Đồ thị của hàm số lẻ luôn đối xứng qua gốc tọa độ.

Tổng các nghiệm của hàm chẵn và hàm lẻ (điểm giao nhau của trục x OX) luôn bằng 0, bởi vì với mọi nghiệm dương X có gốc âm - X.

Điều quan trọng cần lưu ý: một số hàm không nhất thiết phải là số chẵn hoặc số lẻ. Có nhiều hàm số không chẵn cũng không lẻ. Những chức năng như vậy được gọi là chức năng chung, và đối với chúng không có đẳng thức hoặc tính chất nào nêu trên được thỏa mãn.

Hàm tuyến tính là một hàm có thể được cho bởi công thức:

Đồ thị của hàm tuyến tính là một đường thẳng và trong trường hợp tổng quát trông như thế này (một ví dụ được đưa ra cho trường hợp khi k> 0, trong trường hợp này hàm số tăng; nhân dịp này k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Đồ thị hàm số bậc hai (Parabola)

Đồ thị của parabol được cho bởi hàm bậc hai:

Một hàm bậc hai, giống như bất kỳ hàm nào khác, cắt trục OX tại các điểm là gốc của nó: ( x 1 ; 0) và ( x 2 ; 0). Nếu không có nghiệm thì hàm bậc hai không cắt trục OX; nếu chỉ có một nghiệm thì tại điểm này ( x 0 ; 0) hàm bậc hai chỉ chạm vào trục OX chứ không cắt nó. Hàm số bậc hai luôn cắt trục OY tại điểm có tọa độ: (0; c). Đồ thị của hàm bậc hai (parabol) có thể trông như thế này (hình vẽ hiển thị các ví dụ không sử dụng hết tất cả các loại parabol có thể có):

Trong đó:

• nếu hệ số Một> 0, đang hoạt động y = cây rìu 2 + bx + c, khi đó các nhánh của parabol hướng lên trên;
• nếu như Một < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Tọa độ đỉnh của parabol có thể được tính bằng các công thức sau. X ngọn (P- trong các hình trên) parabol (hoặc điểm mà tam thức bậc hai đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất):

áo Igrek (q- trong các hình trên) parabol hoặc cực đại nếu các nhánh của parabol hướng xuống dưới ( Một < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (Một> 0), giá trị của tam thức bậc hai:

Đồ thị của các hàm khác

Chức năng nguồn

Dưới đây là một số ví dụ về đồ thị của hàm lũy thừa:

Tỉ lệ nghịch là một hàm được cho bởi công thức:

Dựa vào dấu của số kĐồ thị phụ thuộc tỷ lệ nghịch có thể có hai tùy chọn cơ bản:

tiệm cận là một đường thẳng mà đồ thị của hàm số tiến tới gần vô cùng nhưng không cắt nhau. Các tiệm cận của đồ thị tỷ lệ nghịch thể hiện trong hình trên là các trục tọa độ mà đồ thị của hàm tiến đến gần vô cùng nhưng không giao nhau.

hàm số mũ với cơ sở MỘT là một hàm được cho bởi công thức:

MộtĐồ thị của hàm số mũ có thể có hai tùy chọn cơ bản (chúng tôi cũng đưa ra các ví dụ, xem bên dưới):

hàm logarit là một hàm được cho bởi công thức:

Tùy thuộc vào số lớn hơn hay nhỏ hơn một MộtĐồ thị của hàm logarit có thể có hai tùy chọn cơ bản:

Đồ thị của hàm số y = |x| như sau:

Đồ thị hàm số tuần hoàn (lượng giác)

Chức năng Tại = f(x) được gọi là định kỳ, nếu có một số khác 0 như vậy T, Cái gì f(x + T) = f(x), cho bât ki ai X từ miền của hàm f(x). Nếu chức năng f(x) là tuần hoàn với chu kỳ T, thì hàm:

Ở đâu: MỘT, k, b là các số không đổi và k không bằng 0, cũng tuần hoàn với chu kỳ T 1, được xác định theo công thức:

Hầu hết các ví dụ về hàm tuần hoàn là hàm lượng giác. Chúng tôi trình bày đồ thị của các hàm lượng giác chính. Hình dưới đây cho thấy một phần của đồ thị của hàm y= tội lỗi x(toàn bộ đồ thị tiếp tục vô tận sang trái và phải), đồ thị của hàm số y= tội lỗi x gọi điện hình sin:

Đồ thị của hàm số y= cos x gọi điện cô sin. Biểu đồ này được thể hiện trong hình dưới đây. Vì đồ thị sin tiếp tục vô tận dọc theo trục OX ở bên trái và bên phải:

Đồ thị của hàm số y= tg x gọi điện tiếp tuyến. Biểu đồ này được thể hiện trong hình dưới đây. Giống như đồ thị của các hàm tuần hoàn khác, đồ thị này lặp lại vô tận dọc theo trục OX sang trái và phải.

Và cuối cùng là đồ thị của hàm y=ctg x gọi điện cotangoid. Biểu đồ này được thể hiện trong hình dưới đây. Giống như đồ thị của các hàm tuần hoàn và lượng giác khác, đồ thị này lặp lại vô tận dọc theo trục OX sang trái và phải.

Việc thực hiện thành công, siêng năng và có trách nhiệm ba điểm này sẽ cho phép bạn thể hiện một kết quả xuất sắc tại CT, ở mức tối đa trong khả năng của bạn.

Tìm thấy một sai lầm?

Nếu bạn cho rằng mình đã tìm thấy sai sót trong tài liệu đào tạo, vui lòng viết về lỗi đó qua email. Bạn cũng có thể báo lỗi trên mạng xã hội (). Trong thư, hãy cho biết chủ đề (vật lý hoặc toán học), tên hoặc số của chủ đề hoặc bài kiểm tra, số của bài tập hoặc vị trí trong văn bản (trang) mà theo ý kiến ​​​​của bạn, có sai sót. Đồng thời mô tả lỗi nghi ngờ là gì. Thư của bạn sẽ không bị chú ý, lỗi sẽ được sửa hoặc bạn sẽ được giải thích tại sao đó không phải là lỗi.

Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét hàm tuyến tính, đồ thị của hàm tuyến tính và các tính chất của nó. Và, như thường lệ, chúng tôi sẽ giải quyết một số vấn đề về chủ đề này.

Hàm tuyến tínhđược gọi là hàm có dạng

Trong phương trình hàm số, số chúng ta nhân với nhau được gọi là hệ số góc.

Ví dụ, trong phương trình hàm số ;

trong phương trình của hàm số;

trong phương trình của hàm số;

trong phương trình hàm số.

Đồ thị của hàm số tuyến tính là một đường thẳng.

1 . Để vẽ một hàm, ta cần tọa độ của hai điểm thuộc đồ thị của hàm số. Để tìm chúng, bạn cần lấy hai giá trị x, thay thế chúng vào phương trình hàm và sử dụng chúng để tính các giá trị y tương ứng.

Ví dụ, để vẽ đồ thị hàm số, thuận tiện lấy và , khi đó tọa độ của các điểm này sẽ bằng và .

Ta được điểm A(0;2) và B(3;3). Hãy kết nối chúng và lấy biểu đồ của hàm:

2 . Trong phương trình hàm, hệ số chịu trách nhiệm về độ dốc của đồ thị hàm số:

Tiêu đề="k>0">!}

Hệ số có nhiệm vụ dịch chuyển đồ thị dọc theo trục:

Tiêu đề="b>0">!}

Hình dưới đây thể hiện đồ thị hàm số; ;

Lưu ý rằng trong tất cả các hàm này, hệ số Hơn không Phải. Hơn nữa, giá trị càng cao thì đường thẳng càng dốc.

Trong tất cả các hàm - và chúng ta thấy rằng tất cả các đồ thị đều cắt trục OY tại điểm (0;3)

Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào biểu đồ hàm số; ;

Lần này trong tất cả các hàm, hệ số ít hơn 0 và tất cả các đồ thị hàm số đều có độ dốc bên trái.

Lưu ý rằng |k| càng lớn thì đường thẳng càng dốc. Hệ số b giống nhau, b=3 và đồ thị, như trong trường hợp trước, cắt trục OY tại điểm (0;3)

Hãy nhìn vào đồ thị của hàm số; ;

Bây giờ các hệ số trong tất cả các phương trình hàm đều bằng nhau. Và chúng ta có ba đường thẳng song song.

Nhưng các hệ số b khác nhau và các đồ thị này cắt trục OY tại các điểm khác nhau:

Đồ thị của hàm số (b=3) cắt trục OY tại điểm (0;3)

Đồ thị của hàm số (b=0) cắt trục OY tại điểm (0;0) - gốc tọa độ.

Đồ thị của hàm số (b=-2) cắt trục OY tại điểm (0;-2)

Vì vậy, nếu biết dấu của các hệ số k và b thì chúng ta có thể hình dung ngay đồ thị của hàm số trông như thế nào.

Nếu như k<0 и b>0 , thì đồ thị của hàm số có dạng:

Nếu như k>0 và b>0 , thì đồ thị của hàm số có dạng:

Nếu như k>0 và b<0 , thì đồ thị của hàm số có dạng:

Nếu như k<0 и b<0 , thì đồ thị của hàm số có dạng:

Nếu như k=0 , sau đó hàm chuyển thành hàm và đồ thị của nó trông như sau:

Tọa độ của mọi điểm trên đồ thị hàm số đều bằng nhau

Nếu như b=0 thì đồ thị của hàm số đi qua gốc tọa độ:

Cái này đồ thị tỷ lệ trực tiếp.

3. Tôi muốn lưu ý riêng đồ thị của phương trình. Đồ thị của phương trình này là một đường thẳng song song với trục, tất cả các điểm đều có hoành độ.

Ví dụ: đồ thị của phương trình trông như thế này:

Chú ý! Phương trình không phải là một hàm, vì các giá trị khác nhau của đối số tương ứng với cùng một giá trị của hàm, không tương ứng.

4 . Điều kiện để hai đường thẳng song song:

Đồ thị của hàm số song song với đồ thị của hàm số, Nếu như

5. Điều kiện vuông góc của hai đường thẳng:

Đồ thị của hàm số vuông góc với đồ thị của hàm số, tôi cho

6. Giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ.

Với trục OY. Trục hoành của bất kỳ điểm nào thuộc trục OY đều bằng 0. Do đó, để tìm giao điểm với trục OY, bạn cần thay x vào phương trình của hàm số bằng 0. Chúng ta nhận được y=b. Nghĩa là giao điểm với trục OY có tọa độ (0; b).

Với trục OX: Tọa độ của bất kỳ điểm nào thuộc trục OX đều bằng 0. Do đó, để tìm giao điểm với trục OX, bạn cần thay y vào phương trình của hàm số bằng 0. Chúng ta nhận được 0=kx+b. Từ đây. Tức là giao điểm với trục OX có tọa độ (;0):

Hãy nhìn vào việc giải quyết vấn đề.

1 . Vẽ đồ thị của hàm số nếu biết nó đi qua điểm A(-3;2) và song song với đường thẳng y=-4x.

Phương trình hàm có hai tham số chưa biết: k và b. Vì vậy, nội dung bài toán phải chứa hai điều kiện đặc trưng cho đồ thị của hàm số.

a) Từ việc đồ thị hàm số song song với đường thẳng y=-4x nên suy ra k=-4. Tức là phương trình hàm có dạng

b) Ta chỉ cần tìm b. Được biết, đồ thị của hàm số đi qua điểm A(-3;2). Nếu một điểm thuộc đồ thị của hàm thì khi thay tọa độ của nó vào phương trình của hàm, ta thu được đẳng thức đúng:

do đó b=-10

Vì vậy ta cần vẽ đồ thị hàm

Chúng ta biết điểm A(-3;2), hãy lấy điểm B(0;-10)

Hãy đặt những điểm này trong mặt phẳng tọa độ và nối chúng bằng một đường thẳng:

2. Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm A(1;1); B(2;4).

Do đó, nếu một đường thẳng đi qua các điểm có tọa độ cho trước thì tọa độ của các điểm đó thỏa mãn phương trình của đường thẳng. Nghĩa là, nếu thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng thì ta sẽ thu được đẳng thức đúng.

Hãy thay tọa độ của từng điểm vào phương trình và thu được hệ phương trình tuyến tính.

Trừ phương trình thứ nhất khỏi phương trình thứ hai của hệ và nhận được . Hãy thay giá trị của k vào phương trình đầu tiên của hệ và nhận được b=-2.

Vì vậy, phương trình của đường thẳng.

3. Vẽ đồ thị phương trình

Để tìm giá trị nào của ẩn số mà tích của một số thừa số bằng 0, bạn cần đánh đồng từng thừa số bằng 0 và tính đến mỗi phép nhân.

Phương trình này không có hạn chế đối với ODZ. Hãy phân tích dấu ngoặc thứ hai thành nhân tử và đặt mỗi thừa số bằng 0. Chúng ta thu được một tập hợp các phương trình:

Hãy xây dựng đồ thị của tất cả các phương trình của tập hợp trong một mặt phẳng tọa độ. Đây là đồ thị của phương trình :

4 . Vẽ đồ thị của hàm số nếu nó vuông góc với đường thẳng và đi qua điểm M(-1;2)

Chúng tôi sẽ không xây dựng đồ thị, chúng tôi sẽ chỉ tìm phương trình của đường thẳng.

a) Vì đồ thị của hàm số nếu nó vuông góc với một đường thẳng thì do đó. Tức là phương trình hàm có dạng

b) Biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(-1;2). Hãy thay tọa độ của nó vào phương trình của hàm số. Chúng tôi nhận được:

Từ đây.

Do đó, chức năng của chúng tôi trông giống như: .

5 . Vẽ đồ thị hàm số

Hãy đơn giản hóa biểu thức ở vế phải của phương trình hàm số.

Quan trọng! Trước khi đơn giản biểu thức, hãy tìm ODZ của nó.

Mẫu số của một phân số không thể bằng 0, vì vậy title="x1">, title="x-1">.!}

Khi đó hàm của chúng ta có dạng:

Title="delim(lbrace)(matrix(3)(1)((y=x+2) (x1) (x-1)))( )">!}

Nghĩa là, chúng ta cần xây dựng đồ thị của hàm số và cắt bỏ hai điểm trên đó: với hoành độ x=1 và x=-1: