Cách giải phân số thông thường. Cách giải ví dụ với phân số

Bài viết này cung cấp cái nhìn tổng quát về cách thực hiện phép tính với phân số. Ở đây chúng ta sẽ xây dựng và chứng minh các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa của các phân số có dạng A/B tổng quát, trong đó A và B là một số số, biểu thức số hoặc biểu thức có biến. Như thường lệ, chúng tôi sẽ cung cấp tài liệu với các ví dụ giải thích kèm theo mô tả chi tiết về các giải pháp.

Điều hướng trang.

Quy tắc thực hiện các phép tính với phân số tổng quát

Hãy đồng ý rằng khi nói đến các phân số số tổng quát, chúng tôi muốn nói đến các phân số trong đó tử số và/hoặc mẫu số có thể được biểu diễn không chỉ bằng số tự nhiên mà còn bằng các số hoặc biểu thức số khác. Để rõ ràng, đây là một vài ví dụ về các phân số như vậy: .

Chúng tôi biết các quy tắc mà chúng được thực hiện. Sử dụng các quy tắc tương tự, bạn có thể thực hiện các phép tính với phân số tổng quát:

Cơ sở lý luận của các quy tắc

Để chứng minh tính hợp lệ của các quy tắc thực hiện các phép tính với phân số số tổng quát, bạn có thể bắt đầu từ các điểm sau:

• Dấu gạch chéo thực chất là dấu hiệu chia,
• phép chia cho một số khác 0 có thể được coi là phép nhân với nghịch đảo của số chia (điều này giải thích ngay quy tắc chia phân số),
• tính chất của phép toán với số thực,
• và sự hiểu biết chung của nó,

Chúng cho phép bạn thực hiện các phép biến đổi sau để chứng minh các quy tắc cộng, trừ các phân số có mẫu số giống nhau và không giống nhau, cũng như quy tắc nhân các phân số:

Ví dụ

Hãy để chúng tôi đưa ra ví dụ về việc thực hiện các phép tính với phân số tổng quát theo các quy tắc đã học ở đoạn trước. Hãy nói ngay rằng thông thường sau khi thực hiện các hành động với phân số, phân số thu được cần được đơn giản hóa và quá trình đơn giản hóa phân số thường phức tạp hơn so với việc thực hiện các hành động trước đó. Chúng ta sẽ không đi sâu vào việc đơn giản hóa phân số (các phép biến đổi tương ứng sẽ được thảo luận trong bài viết về phép biến đổi phân số), để không bị phân tâm khỏi chủ đề mà chúng ta quan tâm.

Hãy bắt đầu với các ví dụ về cộng và trừ các phân số có cùng mẫu số. Đầu tiên, hãy cộng các phân số và . Rõ ràng mẫu số là bằng nhau. Theo quy tắc tương ứng, chúng ta viết một phân số có tử số bằng tổng các tử số của các phân số ban đầu và giữ nguyên mẫu số, chúng ta có. Phép cộng đã hoàn tất, việc còn lại là rút gọn phân số thu được: . Vì thế, .

Lời giải lẽ ra có thể được xử lý theo cách khác: trước tiên hãy thực hiện chuyển đổi sang phân số thông thường, sau đó thực hiện phép cộng. Với cách tiếp cận này chúng ta có .

Bây giờ hãy trừ từ phân số phân số . Mẫu số của các phân số bằng nhau nên ta tuân theo quy tắc trừ các phân số cùng mẫu số:

Hãy chuyển sang các ví dụ về cộng và trừ các phân số có mẫu số khác nhau. Khó khăn chính ở đây là đưa phân số về mẫu số chung. Đối với phân số tổng quát, đây là một chủ đề khá rộng rãi; chúng ta sẽ xem xét nó một cách chi tiết trong một bài viết riêng. đưa các phân số về mẫu số chung. Hiện tại, chúng tôi sẽ giới hạn bản thân ở một số khuyến nghị chung, vì hiện tại chúng tôi quan tâm nhiều hơn đến kỹ thuật thực hiện các phép tính với phân số.

Nói chung, quá trình này tương tự như việc quy đổi các phân số thông thường về mẫu số chung. Nghĩa là, các mẫu số được biểu diễn dưới dạng tích, sau đó tất cả các thừa số từ mẫu số của phân số thứ nhất được lấy và các thừa số còn thiếu từ mẫu số của phân số thứ hai được thêm vào chúng.

Khi mẫu số của các phân số được cộng hoặc trừ không có ước số chung thì việc lấy tích của chúng làm mẫu số chung là điều hợp lý. Hãy đưa ra một ví dụ.

Giả sử chúng ta cần thực hiện phép cộng phân số và 1/2. Ở đây, với tư cách là mẫu số chung, sẽ hợp lý khi lấy tích của các mẫu số của các phân số ban đầu, tức là . Trong trường hợp này, hệ số bổ sung cho phân số thứ nhất sẽ là 2. Sau khi nhân tử số và mẫu số với nó, phân số sẽ có dạng . Và đối với phân số thứ hai, hệ số bổ sung là biểu thức. Với sự trợ giúp của nó, phân số 1/2 được rút gọn về dạng . Tất cả những gì còn lại là cộng các phân số thu được có cùng mẫu số. Đây là bản tóm tắt của toàn bộ giải pháp:

Trong trường hợp phân số tổng quát, chúng ta không còn nói về mẫu số chung thấp nhất, mà các phân số thông thường thường được rút gọn. Mặc dù trong vấn đề này vẫn nên phấn đấu theo đuổi sự tối giản nào đó. Bằng cách này, chúng tôi muốn nói rằng bạn không nên ngay lập tức lấy tích của các mẫu số của các phân số ban đầu làm mẫu số chung. Ví dụ, không nhất thiết phải lấy mẫu số chung của phân số và tích . Ở đây chúng ta có thể lấy .

Hãy chuyển sang các ví dụ về nhân các phân số tổng quát. Hãy nhân các phân số và . Quy tắc thực hiện hành động này hướng dẫn chúng ta viết một phân số, tử số của nó là tích của các tử số của các phân số ban đầu và mẫu số là tích của các mẫu số. Chúng ta có . Ở đây, cũng như trong nhiều trường hợp khác khi nhân phân số, bạn có thể giảm phân số: .

Quy tắc chia phân số cho phép bạn chuyển từ phép chia sang phép nhân với phân số nghịch đảo. Ở đây bạn cần nhớ rằng để có được nghịch đảo của một phân số đã cho, bạn cần hoán đổi tử số và mẫu số của phân số đã cho. Dưới đây là một ví dụ về sự chuyển đổi từ phép chia các phân số tổng quát sang phép nhân: . Tất cả những gì còn lại là thực hiện phép nhân và đơn giản hóa phân số thu được (nếu cần, hãy xem phần chuyển đổi biểu thức vô tỉ):

Kết thúc thông tin trong đoạn này, hãy nhớ lại rằng bất kỳ số hoặc biểu thức số nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng phân số có mẫu số 1, do đó, phép cộng, trừ, nhân và chia các số và phân số có thể được coi là thực hiện phép toán tương ứng với phân số, một trong đó có một ở mẫu số. Ví dụ: thay thế trong biểu thức căn bậc ba của một phân số, chúng ta chuyển từ nhân một phân số với một số sang nhân hai phân số: .

Làm những việc với phân số có chứa biến

Các quy tắc trong phần đầu của bài viết này cũng áp dụng để thực hiện các phép tính với phân số chứa biến. Hãy chứng minh điều đầu tiên - quy tắc cộng và trừ các phân số có cùng mẫu số; phần còn lại được chứng minh theo cách hoàn toàn giống nhau.

Chúng ta hãy chứng minh rằng với mọi biểu thức A, C và D (D không bằng 0) thì đẳng thức đúng về phạm vi giá trị cho phép của các biến.

Hãy lấy một tập hợp các biến nhất định từ ODZ. Cho các biểu thức A, C và D lấy các giá trị a 0, c 0 và d 0 cho các giá trị này của các biến. Sau đó, việc thay thế các giá trị của các biến từ tập hợp đã chọn vào biểu thức sẽ biến nó thành tổng (chênh lệch) của các phân số có mẫu số giống nhau, theo quy tắc cộng (trừ) các phân số có cùng mẫu số , bằng . Nhưng việc thay thế các giá trị của các biến từ tập hợp đã chọn vào biểu thức sẽ biến nó thành cùng một phân số. Điều này có nghĩa là đối với tập hợp các giá trị biến đã chọn từ ODZ, các giá trị của biểu thức và đều bằng nhau. Rõ ràng là các giá trị của các biểu thức được chỉ định sẽ bằng nhau đối với bất kỳ tập hợp giá trị biến nào khác từ ODZ, có nghĩa là các biểu thức và bằng nhau giống hệt nhau, nghĩa là đẳng thức được chứng minh là đúng .

Ví dụ về cộng và trừ phân số có biến

Khi mẫu số của các phân số được cộng hoặc trừ bằng nhau, thì mọi thứ khá đơn giản - tử số được cộng hoặc trừ, nhưng mẫu số vẫn giữ nguyên. Rõ ràng là phân số thu được sau này được đơn giản hóa nếu cần thiết và có thể.

Lưu ý rằng đôi khi mẫu số của các phân số thoạt nhìn chỉ khác nhau nhưng thực tế chúng là những biểu thức giống hệt nhau, ví dụ: và , hoặc và . Và đôi khi chỉ cần đơn giản hóa các phân số ban đầu là đủ để mẫu số giống hệt nhau của chúng “xuất hiện”.

Ví dụ.

, b) , V) .

Giải pháp.

a) Ta cần trừ các phân số cùng mẫu số. Theo quy tắc tương ứng, ta để nguyên mẫu số và trừ các tử số, ta có . Hành động đã được hoàn thành. Nhưng bạn cũng có thể mở dấu ngoặc đơn ở tử số và trình bày các thuật ngữ tương tự: .

b) Hiển nhiên mẫu số của các phân số được cộng bằng nhau. Vì vậy ta cộng các tử số và giữ nguyên mẫu số: . Bổ sung hoàn tất. Nhưng dễ dàng nhận thấy rằng phân số thu được có thể giảm đi. Thật vậy, tử số của phân số thu được có thể được thu gọn bằng cách sử dụng bình phương công thức của tổng là (lgx+2) 2 (xem các công thức nhân viết tắt), do đó các phép biến đổi sau diễn ra: .

c) Tổng các phân số có mẫu số khác nhau. Tuy nhiên, sau khi chuyển đổi một trong các phân số, bạn có thể chuyển sang cộng các phân số có cùng mẫu số. Chúng tôi sẽ chỉ ra hai giải pháp.

Cách đầu tiên. Mẫu số của phân số thứ nhất có thể được phân tích thành nhân tử bằng cách sử dụng công thức hiệu bình phương, sau đó rút gọn phân số này: . Như vậy, . Việc giải phóng bản thân khỏi sự bất hợp lý trong mẫu số của phân số vẫn không có hại gì: .

Cách thứ hai. Nhân tử số và mẫu số của phân số thứ hai với (biểu thức này không tiến đến 0 đối với bất kỳ giá trị nào của biến x từ ODZ cho biểu thức ban đầu) cho phép bạn đạt được hai mục tiêu cùng một lúc: giải phóng bản thân khỏi sự vô lý và chuyển sang cộng các phân số cùng mẫu số. Chúng ta có

Trả lời:

MỘT) , b) , V) .

Ví dụ cuối cùng đưa chúng ta đến vấn đề quy đổi phân số về mẫu số chung. Ở đó, chúng ta gần như vô tình đạt được cùng mẫu số bằng cách đơn giản hóa một trong các phân số được thêm vào. Nhưng trong hầu hết các trường hợp, khi cộng và trừ các phân số có mẫu số khác nhau, bạn phải cố tình đưa các phân số về mẫu số chung. Để làm điều này, thông thường mẫu số của các phân số được trình bày dưới dạng tích, tất cả các thừa số từ mẫu số của phân số thứ nhất được lấy và các thừa số còn thiếu từ mẫu số của phân số thứ hai được thêm vào chúng.

Ví dụ.

Thực hiện các phép tính với phân số: a) , b) , c) .

Giải pháp.

a) Không cần phải làm gì với mẫu số của các phân số. Là mẫu số chung, chúng tôi lấy sản phẩm . Trong trường hợp này, hệ số bổ sung cho phân số thứ nhất là biểu thức và đối với phân số thứ hai - số 3. Những yếu tố bổ sung này đưa các phân số về mẫu số chung, sau này cho phép chúng ta thực hiện hành động mà chúng ta cần, chúng ta có

b) Trong ví dụ này, mẫu số đã được biểu diễn dưới dạng tích và không yêu cầu bất kỳ phép biến đổi bổ sung nào. Rõ ràng, các thừa số ở mẫu số chỉ khác nhau về số mũ, do đó, với tư cách là mẫu số chung, chúng ta lấy tích của các thừa số có số mũ cao nhất, nghĩa là: . Khi đó hệ số bổ sung cho phân số thứ nhất sẽ là x 4 và đối với phân số thứ hai - ln(x+1) . Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng để trừ các phân số:

c) Và trong trường hợp này, đầu tiên chúng ta sẽ làm việc với mẫu số của phân số. Sự khác biệt của công thức bình phương và bình phương của tổng cho phép bạn chuyển từ tổng ban đầu sang biểu thức . Bây giờ rõ ràng là những phân số này có thể quy về mẫu số chung . Với cách tiếp cận này, giải pháp sẽ như thế này:

Trả lời:

MỘT)

b)

V)

Ví dụ về nhân phân số với biến

Nhân các phân số sẽ tạo ra một phân số có tử số là tích của các tử số của các phân số ban đầu và mẫu số là tích của các mẫu số. Ở đây, như bạn có thể thấy, mọi thứ đều quen thuộc và đơn giản, và chúng ta chỉ có thể nói thêm rằng phần thu được do hành động này thường có thể rút gọn được. Trong những trường hợp này, nó được giảm bớt, tất nhiên trừ khi điều đó là cần thiết và hợp lý.

Phân số

Chú ý!
Có thêm
tài liệu trong Mục Đặc biệt 555.
Dành cho những người rất "không..."
Và đối với những người “rất nhiều…”)

Phân số không gây nhiều phiền toái ở trường trung học. Hiện tại. Cho đến khi bạn gặp các lũy thừa với số mũ hữu tỉ và logarit. Với chỗ ấy... Bạn nhấn và nhấn máy tính, nó sẽ hiển thị đầy đủ một số con số. Bạn phải suy nghĩ bằng đầu như hồi lớp ba.

Cuối cùng chúng ta hãy tìm ra phân số! Chà, bạn có thể nhầm lẫn chúng đến mức nào!? Hơn nữa, tất cả đều đơn giản và hợp lý. Vì thế, các loại phân số là gì?

Các loại phân số. Sự biến đổi.

Có ba loại phân số.

1. Phân số chung , Ví dụ:

Đôi khi, thay vì một đường ngang, họ đặt một dấu gạch chéo: 1/2, 3/4, 19/5, v.v. Ở đây chúng ta sẽ thường xuyên sử dụng cách viết này. Số trên cùng được gọi là tử số, thấp hơn - mẫu số. Nếu bạn liên tục nhầm lẫn những cái tên này (điều đó xảy ra...), hãy tự nhủ câu: " zzzzzz nhớ! zzzzzz mẫu số - nhìn zzzzzz uh!" Nhìn này, mọi thứ sẽ được ghi nhớ zzzz.)

Dấu gạch ngang hoặc nghiêng có nghĩa là phân công số trên cùng (tử số) đến số dưới cùng (mẫu số). Đó là tất cả! Thay vì dấu gạch ngang, hoàn toàn có thể đặt dấu chia - hai dấu chấm.

Khi có thể phân chia hoàn toàn thì việc này phải được thực hiện. Vì vậy, thay vì phân số “32/8”, việc viết số “4” sẽ dễ chịu hơn nhiều. Những thứ kia. 32 đơn giản là chia cho 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Tôi thậm chí không nói về phân số "4/1". Đó cũng chỉ là "4". Và nếu nó không chia hết hoàn toàn, chúng ta để nó dưới dạng phân số. Đôi khi bạn phải thực hiện thao tác ngược lại. Chuyển đổi một số nguyên thành một phân số. Nhưng nhiều hơn về điều này sau.

2. Số thập phân , Ví dụ:

Ở dạng này, bạn sẽ cần phải viết ra câu trả lời cho nhiệm vụ “B”.

3. Hỗn số , Ví dụ:

Hỗn số thực tế không được sử dụng ở trường trung học. Để làm việc với chúng, chúng phải được chuyển đổi thành phân số thông thường. Nhưng bạn chắc chắn cần phải có khả năng làm được điều này! Nếu không, bạn sẽ gặp một con số như vậy trong một bài toán và đóng băng... Đột nhiên. Nhưng chúng tôi sẽ nhớ thủ tục này! Một chut sang.

Linh hoạt nhất phân số chung. Hãy bắt đầu với họ. Nhân tiện, nếu một phân số chứa tất cả các loại logarit, sin và các chữ cái khác, thì điều này không thay đổi gì cả. Theo nghĩa là tất cả mọi thứ các hành động có biểu thức phân số không khác gì các hành động có phân số thông thường!

Tính chất cơ bản của phân số.

Vì vậy, chúng ta hãy đi! Để bắt đầu, tôi sẽ làm bạn ngạc nhiên. Toàn bộ các phép biến đổi phân số được cung cấp bởi một thuộc tính duy nhất! Đó là những gì nó được gọi tính chất cơ bản của phân số. Nhớ: Nếu nhân (chia) cả tử số và mẫu số cho cùng một số thì phân số đó không thay đổi. Những thứ kia:

Rõ ràng là bạn có thể tiếp tục viết cho đến khi xanh mặt. Đừng để sin và logarit làm bạn bối rối, chúng ta sẽ giải quyết chúng sâu hơn. Điều quan trọng là phải hiểu rằng tất cả những cách diễn đạt khác nhau này đều cùng một phân số . 2/3.

Chúng ta có cần nó không, tất cả những sự biến đổi này? Và làm thế nào! Bây giờ bạn sẽ thấy cho chính mình. Để bắt đầu, chúng ta hãy sử dụng thuộc tính cơ bản của một phân số cho giảm phân số. Nó có vẻ giống như một điều cơ bản. Chia tử số và mẫu số cho cùng một số và thế là xong! Không thể nào phạm sai lầm được! Nhưng... con người là một sinh vật sáng tạo. Bạn có thể phạm sai lầm ở bất cứ đâu! Đặc biệt nếu bạn phải giảm không phải một phân số như 5/10 mà là một biểu thức phân số với đủ loại chữ cái.

Bạn có thể đọc cách rút gọn phân số một cách chính xác và nhanh chóng mà không cần thực hiện thêm công việc nào trong Phần 555 đặc biệt.

Một học sinh bình thường không cần chia tử số và mẫu số cho cùng một số (hoặc biểu thức)! Anh ấy chỉ đơn giản gạch bỏ mọi thứ giống nhau ở trên và dưới! Đây là nơi mà một sai lầm điển hình, một sai lầm ngớ ngẩn, nếu bạn muốn, ẩn nấp.

Ví dụ: bạn cần đơn giản hóa biểu thức:

Chẳng có gì phải suy nghĩ ở đây cả, hãy gạch bỏ chữ “a” ở trên và chữ “2” ở dưới! Chúng tôi nhận được:

Mọi thứ đều chính xác. Nhưng thực sự bạn đã chia rẽ tất cả tử số và tất cả mẫu số là "a". Nếu bạn đã quen với việc gạch bỏ, thì nhanh chóng, bạn có thể gạch bỏ chữ “a” trong biểu thức

và lấy lại nó

Điều này hoàn toàn sai. Bởi vì ở đây tất cả tử số của "a" đã có rồi không chia sẻ! Phân số này không thể giảm được. Nhân tiện, việc giảm bớt như vậy là, ừm... một thách thức nghiêm trọng đối với giáo viên. Điều này không được tha thứ! Bạn có nhớ? Khi giảm cần chia tất cả tử số và tất cả mẫu số!

Giảm phân số làm cho cuộc sống dễ dàng hơn rất nhiều. Bạn sẽ nhận được một phân số ở đâu đó, chẳng hạn như 375/1000. Làm sao tôi có thể tiếp tục làm việc với cô ấy bây giờ? Không có máy tính? Nhân, nói, cộng, bình phương!? Và nếu bạn không quá lười biếng, hãy cẩn thận cắt giảm nó xuống năm, rồi thêm năm nữa, và thậm chí... trong khi nó đang được rút ngắn lại, nói tóm lại. Hãy đạt được 3/8! Đẹp hơn nhiều, phải không?

Thuộc tính chính của phân số cho phép bạn chuyển phân số thông thường thành số thập phân và ngược lại không có máy tính! Điều này rất quan trọng cho Kỳ thi Thống nhất, phải không?

Cách chuyển đổi phân số từ loại này sang loại khác.

Với phân số thập phân, mọi thứ đều đơn giản. Nghe thế nào thì viết thế ấy! Giả sử là 0,25. Đây là điểm 0 hai mươi lăm phần trăm. Vì vậy chúng tôi viết: 25/100. Chúng ta giảm (chia tử số và mẫu số cho 25), chúng ta nhận được phân số thông thường: 1/4. Tất cả. Nó xảy ra và không có gì giảm bớt. Giống như 0,3. Đây là ba phần mười, tức là 3/10.

Nếu số nguyên không bằng 0 thì sao? Được rồi. Chúng tôi viết ra toàn bộ phân số không có dấu phẩyở tử số và ở mẫu số - những gì được nghe. Ví dụ: 3.17. Đây là ba điểm mười bảy phần trăm. Chúng ta viết 317 ở tử số và 100 ở mẫu số. Chúng ta nhận được 317/100. Không có gì giảm bớt, tức là có tất cả. Đây là câu trả lời. Watson sơ cấp! Từ tất cả những gì đã nói, một kết luận hữu ích: bất kỳ phân số thập phân nào cũng có thể được chuyển đổi thành phân số chung .

Nhưng một số người không thể thực hiện chuyển đổi ngược từ thường sang thập phân nếu không có máy tính. Và nó là cần thiết! Bạn sẽ viết câu trả lời trong Kỳ thi Thống nhất như thế nào!? Hãy đọc kỹ và nắm vững quy trình này.

Đặc điểm của phân số thập phân là gì? Mẫu số của cô ấy là Luôn luôn có giá 10, hoặc 100, hoặc 1000, hoặc 10000, v.v. Nếu phân số chung của bạn có mẫu số như thế này thì không có vấn đề gì. Ví dụ: 4/10 = 0,4. Hoặc 7/100 = 0,07. Hoặc 10/12 = 1,2. Điều gì sẽ xảy ra nếu đáp án ở phần “B” là 1/2? Chúng ta sẽ viết gì để đáp lại? Cần có số thập phân...

Xin hãy nhớ tính chất cơ bản của phân số ! Toán học thuận lợi cho phép bạn nhân tử số và mẫu số với cùng một số. Nhân tiện, bất cứ điều gì! Tất nhiên là ngoại trừ số không. Vì vậy, hãy sử dụng thuộc tính này để làm lợi thế cho chúng ta! Mẫu số có thể được nhân với bao nhiêu, tức là 2 để nó trở thành 10, hay 100, hay 1000 (tất nhiên là nhỏ hơn thì tốt hơn...)? Rõ ràng là vào lúc 5 giờ. Hãy nhân mẫu số (đây là chúng ta cần thiết) với 5. Nhưng tử số cũng phải nhân với 5. Đây là toán học yêu cầu! Chúng ta nhận được 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. Đó là tất cả.

Tuy nhiên, tất cả các loại mẫu số đều đi qua. Ví dụ, bạn có thể gặp phân số 3/16. Hãy thử tìm cách nhân 16 với 100 hoặc 1000... Không đúng sao? Sau đó, bạn có thể chia 3 cho 16 một cách đơn giản. Trong trường hợp không có máy tính, bạn sẽ phải chia bằng một góc, trên một tờ giấy, như người ta đã dạy ở trường tiểu học. Chúng tôi nhận được 0,1875.

Và cũng có những mẫu số rất xấu. Ví dụ, không có cách nào biến phân số 1/3 thành số thập phân chính xác. Cả trên máy tính và trên một tờ giấy, chúng ta nhận được 0,3333333... Điều này có nghĩa là 1/3 là một phân số thập phân chính xác không dịch. Tương tự như 1/7, 5/6, v.v. Có rất nhiều trong số đó, không thể dịch được. Điều này đưa chúng ta đến một kết luận hữu ích khác. Không phải mọi phân số đều có thể chuyển thành số thập phân !

Nhân tiện, đây là thông tin hữu ích để tự kiểm tra. Ở phần "B", bạn phải viết một phân số thập phân vào câu trả lời của mình. Và bạn có, ví dụ, 4/3. Phân số này không chuyển đổi thành số thập phân. Điều này có nghĩa là bạn đã mắc sai lầm ở đâu đó trên đường đi! Quay lại và kiểm tra giải pháp.

Vì vậy, chúng tôi đã tìm ra phân số thông thường và thập phân. Tất cả những gì còn lại là giải quyết các số hỗn hợp. Để làm việc với chúng, chúng phải được chuyển đổi thành phân số thông thường. Làm thế nào để làm nó? Bạn có thể bắt gặp một học sinh lớp sáu và hỏi nó. Nhưng không phải lúc nào cũng có học sinh lớp sáu... Bạn sẽ phải tự mình làm việc đó. Nó không khó. Bạn cần nhân mẫu số của phần phân số với phần nguyên và cộng tử số của phần phân số. Đây sẽ là tử số của phân số chung. Còn mẫu số thì sao? Mẫu số sẽ giữ nguyên. Nghe có vẻ phức tạp nhưng thực tế mọi thứ đều đơn giản. Hãy xem một ví dụ.

Giả sử bạn kinh hoàng khi nhìn thấy con số trong bài toán:

Chúng tôi nghĩ một cách bình tĩnh, không hoảng sợ. Toàn bộ phần là 1. Đơn vị. Phần phân số là 3/7. Do đó, mẫu số của phần phân số là 7. Mẫu số này sẽ là mẫu số của phân số thường. Chúng tôi đếm tử số. Chúng ta nhân 7 với 1 (phần nguyên) và cộng 3 (tử số của phần phân số). Chúng ta nhận được 10. Đây sẽ là tử số của phân số chung. Đó là tất cả. Nó trông thậm chí còn đơn giản hơn trong ký hiệu toán học:

Nó có rõ ràng không? Sau đó đảm bảo thành công của bạn! Chuyển đổi sang phân số thông thường. Bạn sẽ nhận được 10/7, 7/2, 23/10 và 21/4.

Phép toán ngược lại - chuyển một phân số không chính xác thành hỗn số - hiếm khi được yêu cầu ở trường trung học. Chà, nếu vậy... Và nếu bạn không học trung học, bạn có thể xem xét Mục 555 đặc biệt. Nhân tiện, bạn cũng sẽ tìm hiểu về phân số không đúng ở đó.

Vâng, đó thực tế là tất cả. Bạn đã nhớ và hiểu được các loại phân số Làm sao chuyển chúng từ loại này sang loại khác. Câu hỏi vẫn còn: Để làm gì làm đi? Áp dụng kiến ​​thức sâu sắc này ở đâu và khi nào?

Tôi trả lời. Bản thân bất kỳ ví dụ nào cũng gợi ý những hành động cần thiết. Nếu trong ví dụ này, các phân số thông thường, số thập phân và thậm chí cả số hỗn hợp được trộn lẫn với nhau, chúng ta sẽ chuyển đổi mọi thứ thành phân số thông thường. Nó luôn có thể được thực hiện. Chà, nếu nó nói gì đó như 0,8 + 0,3, thì chúng ta đếm nó theo cách đó mà không cần dịch. Tại sao chúng ta cần làm thêm? Chúng tôi chọn giải pháp thuận tiện chúng ta !

Nếu nhiệm vụ toàn là phân số thập phân, nhưng ừm... một loại ác ý nào đó, hãy chuyển sang phân số thông thường, hãy thử xem! Hãy nhìn xem, mọi thứ sẽ ổn thôi. Ví dụ: bạn sẽ phải bình phương số 0,125. Sẽ không dễ dàng như vậy nếu bạn chưa quen sử dụng máy tính! Bạn không chỉ phải nhân các số trong một cột mà còn phải suy nghĩ xem nên chèn dấu phẩy vào đâu! Nó chắc chắn sẽ không hoạt động trong đầu bạn! Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta chuyển sang phân số thông thường?

0,125 = 125/1000. Chúng tôi giảm nó đi 5 (cái này dành cho người mới bắt đầu). Chúng tôi nhận được 25/200. Một lần nữa bằng 5. Chúng ta có 5/40. Ồ, nó vẫn đang co lại! Trở lại 5! Chúng tôi nhận được 1/8. Chúng ta dễ dàng bình phương nó (trong tâm trí!) và nhận được 1/64. Tất cả!

Hãy tóm tắt bài học này.

1. Có ba loại phân số. Số phổ biến, số thập phân và hỗn số.

2. Số thập phân và hỗn số Luôn luôn có thể chuyển thành phân số thông thường. Chuyển ngược lại không phải lúc nào cũng vậy có sẵn.

3. Việc lựa chọn loại phân số để giải quyết một nhiệm vụ phụ thuộc vào chính nhiệm vụ đó. Nếu có nhiều loại phân số khác nhau trong một nhiệm vụ, điều đáng tin cậy nhất là chuyển sang phân số thông thường.

Bây giờ bạn có thể thực hành. Đầu tiên, chuyển đổi các phân số thập phân này thành phân số thông thường:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Bạn sẽ nhận được câu trả lời như thế này (một cách lộn xộn!):

Hãy kết thúc ở đây. Trong bài học này, chúng ta ôn lại trí nhớ về những điểm chính về phân số. Tuy nhiên, điều đó xảy ra là không có gì đặc biệt để làm mới...) Nếu ai đó đã quên hoàn toàn hoặc chưa thành thạo... Khi đó bạn có thể chuyển đến Mục 555 đặc biệt. Tất cả những điều cơ bản được đề cập chi tiết ở đó. Nhiều người bỗng nhiên hiểu mọi thứđang bắt đầu. Và họ giải quyết các phân số một cách nhanh chóng).

Nếu bạn thích trang web này...

Nhân tiện, tôi có thêm một vài trang web thú vị dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)

Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.

Để thể hiện một phần dưới dạng một phần của tổng thể, bạn cần chia phần đó thành tổng thể.

Nhiệm vụ 1. Lớp có 30 học sinh, 4 học sinh vắng mặt. Tỷ lệ học sinh vắng mặt là bao nhiêu?

Giải pháp:

Trả lời: Không có học sinh nào trong lớp.

Tìm một phân số từ một số

Để giải các bài toán cần tìm một phần của tổng thể, quy tắc sau được áp dụng:

Nếu một phần của tổng thể được biểu diễn dưới dạng phân số thì để tìm phần này, bạn có thể chia toàn bộ cho mẫu số của phân số đó và nhân kết quả với tử số của nó.

Nhiệm vụ 1. Có 600 rúp, số tiền này đã được chi tiêu. Bạn đã tiêu bao nhiêu tiền?

Giải pháp:để tìm 600 rúp trở lên, chúng ta cần chia số tiền này thành 4 phần, qua đó chúng ta sẽ biết được một phần tư là bao nhiêu tiền:

600: 4 = 150 (r.)

Trả lời:đã chi 150 rúp.

Nhiệm vụ 2. Có 1000 rúp, số tiền này đã được chi tiêu. Đã chi bao nhiêu tiền?

Giải pháp: từ phát biểu bài toán, chúng ta biết rằng 1000 rúp gồm có 5 phần bằng nhau. Trước tiên, hãy tìm xem có bao nhiêu rúp bằng 1/5 của 1000, sau đó tìm xem có bao nhiêu rúp bằng 2/5:

1) 1000: 5 = 200 (r.) - một phần năm.

2) 200 · 2 = 400 (r.) - hai phần năm.

Hai hành động này có thể được kết hợp: 1000: 5 · 2 = 400 (r.).

Trả lời: 400 rúp đã được chi tiêu.

Cách thứ hai để tìm một phần của tổng thể:

Để tìm một phần của tổng thể, bạn có thể nhân tổng thể với phân số biểu thị phần đó của tổng thể.

Nhiệm vụ 3. Theo điều lệ hợp tác xã, để cuộc họp báo cáo hợp lệ thì ít nhất phải có thành viên của tổ chức có mặt. Hợp tác xã có 120 thành viên. Cuộc họp báo cáo có thể diễn ra với thành phần nào?

Giải pháp:

Trả lời: cuộc họp báo cáo có thể diễn ra nếu có 80 thành viên của tổ chức.

Tìm một số theo phân số của nó

Để giải các bài toán cần tìm tổng thể từ một phần của nó, quy tắc sau được áp dụng:

Nếu một phần của tổng thể mong muốn được biểu thị dưới dạng phân số, thì để tìm toàn bộ này, bạn có thể chia phần này cho tử số của phân số và nhân kết quả với mẫu số của nó.

Nhiệm vụ 1. Chúng tôi đã tiêu 50 rúp, ít hơn số tiền ban đầu. Tìm số tiền ban đầu.

Giải pháp: từ mô tả vấn đề, chúng ta thấy rằng 50 rúp ít hơn 6 lần so với số tiền ban đầu, tức là số tiền ban đầu gấp 6 lần so với 50 rúp. Để tìm số tiền này, bạn cần nhân 50 với 6:

50 · 6 = 300 (r.)

Trả lời: số tiền ban đầu là 300 rúp.

Nhiệm vụ 2. Chúng tôi đã tiêu 600 rúp, ít hơn số tiền ban đầu. Tìm số tiền ban đầu.

Giải pháp: Chúng tôi sẽ giả định rằng số lượng yêu cầu bao gồm ba phần ba. Theo điều kiện, hai phần ba số tiền tương đương với 600 rúp. Đầu tiên, chúng ta hãy tìm một phần ba số tiền ban đầu và sau đó ba phần ba (số tiền ban đầu) là bao nhiêu rúp:

1) 600: 2 3 = 900 (r.)

Trả lời: số tiền ban đầu là 900 rúp.

Cách thứ hai để tìm tổng thể từ phần của nó:

Để tìm tổng thể theo giá trị biểu thị phần của nó, bạn có thể chia giá trị này cho phân số biểu thị phần này.

Nhiệm vụ 3.Đoạn đường AB, bằng 42 cm, là chiều dài của đoạn đĩa CD. Tìm độ dài của đoạn đĩa CD.

Giải pháp:

Trả lời: chiều dài đoạn đĩa CD 70 cm.

Nhiệm vụ 4. Dưa hấu đã được mang về cửa hàng. Trước bữa trưa, cửa hàng đã bán số dưa hấu mang đến, và sau bữa trưa, còn lại 80 quả dưa hấu để bán. Bạn đã mang bao nhiêu quả dưa hấu đến cửa hàng?

Giải pháp:Đầu tiên, chúng ta hãy tìm xem phần nào của số dưa hấu mang đến là số 80. Để làm điều này, chúng ta hãy lấy tổng số dưa hấu mang đến làm một và trừ đi số dưa hấu đã bán (đã bán):

Và như vậy, chúng tôi được biết rằng tổng số dưa hấu được mang đến là 80 quả dưa hấu. Bây giờ chúng ta tìm xem có bao nhiêu quả dưa hấu trong tổng số lượng tạo thành, và sau đó tạo thành bao nhiêu quả dưa hấu (số dưa hấu mang theo):

2) 80: 4 15 = 300 (dưa hấu)

Trả lời: Tổng cộng có 300 quả dưa hấu đã được mang đến cửa hàng.

Phần này bao gồm các phép tính với phân số thông thường. Nếu cần thực hiện một phép toán với hỗn số thì chỉ cần chuyển phân số hỗn hợp thành phân số bất thường, thực hiện các phép tính cần thiết và nếu cần, trình bày lại kết quả cuối cùng dưới dạng hỗn số. . Hoạt động này sẽ được mô tả dưới đây.

Giảm một phần

Hoạt động toán học. Giảm một phần

Để rút gọn phân số \frac(m)(n) bạn cần tìm ước chung lớn nhất của tử số và mẫu số: gcd(m,n), sau đó chia tử số và mẫu số của phân số cho số này. Nếu GCD(m,n)=1 thì phân số này không thể giảm được. Ví dụ: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

Thông thường, việc tìm ngay ước chung lớn nhất dường như là một nhiệm vụ khó khăn và trên thực tế, một phân số được rút gọn theo nhiều giai đoạn, từng bước tách biệt các thừa số chung hiển nhiên khỏi tử số và mẫu số. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

Quy đổi phân số về mẫu số chung

Hoạt động toán học. Quy đổi phân số về mẫu số chung

Để đưa hai phân số \frac(a)(b) và \frac(c)(d) về mẫu số chung, bạn cần:

• tìm bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số: M=LMK(b,d);
• nhân tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với M/b (sau đó mẫu số của phân số này bằng số M);
• nhân tử số và mẫu số của phân số thứ hai với M/d (sau đó mẫu số của phân số này bằng số M).

Do đó, chúng ta chuyển các phân số ban đầu thành các phân số có cùng mẫu số (sẽ bằng số M).

Ví dụ: các phân số \frac(5)(6) và \frac(4)(9) có LCM(6,9) = 18. Khi đó: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Do đó, các phân số thu được có mẫu số chung.

Trong thực tế, việc tìm bội số chung nhỏ nhất (LCM) của mẫu số không phải lúc nào cũng là một công việc đơn giản. Vì vậy, một số bằng tích các mẫu số của các phân số ban đầu được chọn làm mẫu số chung. Ví dụ: các phân số \frac(5)(6) và \frac(4)(9) được rút gọn về mẫu số chung N=6\cdot9:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

So sánh các phân số

Hoạt động toán học. So sánh các phân số

Để so sánh hai phân số thông thường bạn cần:

• so sánh tử số của các phân số thu được; phân số có tử số lớn hơn sẽ lớn hơn.

Khi so sánh các phân số, có một số trường hợp đặc biệt:

1. Từ hai phân số có cùng mẫu số Phân số có tử số lớn hơn là phân số lớn hơn. Ví dụ: \frac(3)(15)
2. Từ hai phân số có cùng tử số Phân số nào có mẫu số nhỏ hơn là phân số lớn hơn. Ví dụ: \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
3. Phân số đó đồng thời tử số lớn hơn và mẫu số nhỏ hơn, hơn. Ví dụ: \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

Chú ý! Quy tắc 1 áp dụng cho mọi phân số nếu mẫu số chung của chúng là số dương. Quy tắc 2 và 3 áp dụng cho các phân số dương (những phân số có cả tử số và mẫu số lớn hơn 0).

Cộng và trừ các phân số

Hoạt động toán học. Cộng và trừ các phân số

Để cộng hai phân số cần:

• đưa họ về mẫu số chung;
• cộng các tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số.

Ví dụ: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49 )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

Để trừ một phân số khác từ một phân số, bạn cần:

• quy đổi phân số về mẫu số chung;
• Trừ tử số của phân số thứ hai khỏi tử số của phân số thứ nhất và giữ nguyên mẫu số.

Ví dụ: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

Nếu các phân số ban đầu có mẫu số chung thì bước 1 (rút gọn về mẫu số chung) sẽ bị bỏ qua.

Chuyển hỗn số thành phân số không chính xác và ngược lại

Hoạt động toán học. Chuyển hỗn số thành phân số không chính xác và ngược lại

Để chuyển một phân số hỗn hợp thành một phân số không chính xác, chỉ cần tính tổng toàn bộ phần của phân số hỗn hợp với phần phân số. Kết quả của tổng như vậy sẽ là một phân số không chính xác, tử số của nó bằng tổng của tích của toàn bộ phần với mẫu số của phân số với tử số của phân số hỗn hợp và mẫu số sẽ giữ nguyên. Ví dụ: 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

Để chuyển một phân số không chính xác thành hỗn số:

• chia tử số của một phân số cho mẫu số của nó;
• viết phần dư của phép chia vào tử số và giữ nguyên mẫu số;
• viết kết quả phép chia dưới dạng phần nguyên.

Ví dụ: phân số \frac(23)(4) . Khi chia 23:4=5,75 tức là phần nguyên là 5, số dư của phép chia là 23-5*4=3. Khi đó hỗn số sẽ được viết: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

Chuyển đổi một số thập phân thành một phân số

Hoạt động toán học. Chuyển đổi một số thập phân thành một phân số

Để chuyển một phân số thập phân thành phân số chung ta cần:

1. lấy lũy thừa n của mười làm mẫu số (ở đây n là số chữ số thập phân);
2. làm tử số, lấy số sau dấu thập phân (nếu phần nguyên của số ban đầu không bằng 0 thì lấy cả số 0 đứng đầu);
3. phần nguyên khác 0 được viết vào tử số ngay từ đầu; phần số nguyên 0 bị bỏ qua.

Ví dụ 1: 0,0089=\frac(89)(10000) (có 4 chữ số thập phân nên mẫu số có 10 4 =10000, vì phần nguyên là 0 nên tử số chứa số sau dấu thập phân không có số 0 đứng đầu)

Ví dụ 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (ở tử số ta viết số sau dấu phẩy và toàn số 0: “0109”, trước đó ta thêm toàn bộ phần của số ban đầu “31”)

Nếu toàn bộ phần thập phân khác 0 thì nó có thể được chuyển thành phân số hỗn hợp. Để làm điều này, chúng ta chuyển số thành phân số thông thường như thể toàn bộ phần bằng 0 (điểm 1 và 2) và chỉ cần viết lại toàn bộ phần trước phân số - đây sẽ là phần nguyên của hỗn số . Ví dụ:

3.014=3\frac(14)(100)

Để chuyển một phân số thành số thập phân, chỉ cần chia tử số cho mẫu số. Đôi khi bạn kết thúc với một số thập phân vô hạn. Trong trường hợp này, cần làm tròn đến vị trí thập phân mong muốn. Ví dụ:

\frac(401)(5)=80.2;\quad \frac(2)(3)\approx0.6667

Nhân và chia phân số

Hoạt động toán học. Nhân và chia phân số

Để nhân hai phân số thông thường, bạn cần nhân tử số và mẫu số của phân số đó.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

Để chia một phân số chung cho một phân số chung, bạn cần nhân phân số thứ nhất với nghịch đảo của phân số thứ hai ( phân số nghịch đảo- một phân số có tử số và mẫu số hoán đổi cho nhau.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

Nếu một trong các phân số là số tự nhiên thì các quy tắc nhân và chia ở trên vẫn có hiệu lực. Bạn chỉ cần lưu ý rằng một số nguyên là cùng một phân số, mẫu số của nó bằng một. Ví dụ: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7

Cộng các phân số cùng mẫu số

Có hai cách cộng phân số:

1. Cộng các phân số cùng mẫu số
2. Cộng các phân số có mẫu số khác nhau

Đầu tiên chúng ta cùng tìm hiểu phép cộng các phân số cùng mẫu số. Mọi thứ đều đơn giản ở đây. Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn cần cộng các tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số. Ví dụ: hãy cộng các phân số và . Cộng các tử số và giữ nguyên mẫu số:

Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nhớ đến chiếc bánh pizza được chia thành bốn phần. Nếu bạn thêm pizza vào pizza, bạn sẽ nhận được pizza:

Ví dụ 2. Cộng các phân số và .

Câu trả lời hóa ra là một phân số không chính xác. Khi nhiệm vụ kết thúc, người ta thường loại bỏ những phân số không đúng. Để loại bỏ một phần không chính xác, bạn cần chọn toàn bộ phần của nó. Trong trường hợp của chúng tôi, toàn bộ phần có thể dễ dàng bị cô lập - hai chia cho hai bằng một:

Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nhớ về một chiếc bánh pizza được chia thành hai phần. Nếu bạn thêm nhiều pizza hơn vào pizza, bạn sẽ có được một chiếc pizza nguyên vẹn:

Ví dụ 3. Cộng các phân số và .

Một lần nữa, chúng ta cộng các tử số và giữ nguyên mẫu số:

Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nhớ đến chiếc bánh pizza được chia thành ba phần. Nếu bạn thêm nhiều pizza vào pizza, bạn sẽ nhận được pizza:

Ví dụ 4. Tìm giá trị của một biểu thức

Ví dụ này được giải theo cách tương tự như các ví dụ trước. Các tử số phải được thêm vào và mẫu số không thay đổi:

Hãy thử mô tả giải pháp của chúng tôi bằng bản vẽ. Nếu bạn thêm pizza vào một chiếc pizza và thêm nhiều pizza hơn, bạn sẽ nhận được 1 chiếc pizza nguyên con và nhiều chiếc pizza hơn.

Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp khi cộng các phân số có cùng mẫu số. Chỉ cần hiểu các quy tắc sau là đủ:

1. Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn cần cộng các tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số;

Cộng các phân số có mẫu số khác nhau

Bây giờ chúng ta hãy học cách cộng các phân số có mẫu số khác nhau. Khi cộng các phân số thì mẫu số của các phân số phải bằng nhau. Nhưng chúng không phải lúc nào cũng giống nhau.

Ví dụ: các phân số có thể được thêm vào vì chúng có cùng mẫu số.

Nhưng các phân số không thể được cộng ngay lập tức vì các phân số này có mẫu số khác nhau. Trong những trường hợp như vậy, các phân số phải được rút gọn về cùng mẫu số (chung).

Có một số cách để quy các phân số về cùng mẫu số. Hôm nay chúng ta sẽ chỉ xem xét một trong số chúng, vì các phương pháp khác có vẻ phức tạp đối với người mới bắt đầu.

Bản chất của phương pháp này là trước tiên LCM của mẫu số của cả hai phân số được tìm kiếm. LCM sau đó được chia cho mẫu số của phân số thứ nhất để thu được hệ số bổ sung đầu tiên. Họ làm tương tự với phân số thứ hai - LCM được chia cho mẫu số của phân số thứ hai và thu được hệ số bổ sung thứ hai.

Tử số và mẫu số của các phân số sau đó được nhân với các thừa số bổ sung của chúng. Kết quả của những hành động này là các phân số có mẫu số khác nhau sẽ biến thành các phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách cộng các phân số như vậy.

ví dụ 1. Hãy cộng các phân số và

Trước hết, chúng ta tìm bội số chung nhỏ nhất của mẫu số của cả hai phân số. Mẫu số của phân số thứ nhất là số 3 và mẫu số của phân số thứ hai là số 2. Bội số chung nhỏ nhất của các số này là 6

BCNN (2 và 3) = 6

Bây giờ chúng ta hãy quay lại phân số và . Đầu tiên, chia LCM cho mẫu số của phân số thứ nhất và lấy thừa số bổ sung đầu tiên. LCM là số 6 và mẫu số của phân số thứ nhất là số 3. Chia 6 cho 3 ta được 2.

Số kết quả 2 là số nhân bổ sung đầu tiên. Chúng tôi viết nó xuống phân số đầu tiên. Để làm điều này, hãy tạo một đường xiên nhỏ trên phân số và viết ra hệ số bổ sung được tìm thấy phía trên nó:

Chúng tôi làm tương tự với phần thứ hai. Chúng tôi chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai và nhận được hệ số bổ sung thứ hai. LCM là số 6, mẫu số của phân số thứ hai là số 2. Chia 6 cho 2 ta được 3.

Kết quả số 3 là số nhân bổ sung thứ hai. Chúng tôi viết nó xuống phân số thứ hai. Một lần nữa, chúng ta tạo một đường xiên nhỏ trên phân số thứ hai và viết ra hệ số bổ sung được tìm thấy ở trên nó:

Bây giờ chúng tôi đã có mọi thứ sẵn sàng để bổ sung. Vẫn còn nhân tử số và mẫu số của phân số với các thừa số bổ sung của chúng:

Hãy nhìn kỹ vào những gì chúng ta đã đến. Chúng ta đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau sẽ trở thành những phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách cộng các phân số như vậy. Hãy lấy ví dụ này đến cuối:

Điều này hoàn thành ví dụ. Hóa ra là thêm .

Hãy thử mô tả giải pháp của chúng tôi bằng bản vẽ. Nếu bạn thêm pizza vào một chiếc bánh pizza, bạn sẽ có được một chiếc bánh pizza nguyên vẹn và một phần sáu chiếc bánh pizza khác:

Việc giảm các phân số về cùng mẫu số (chung) cũng có thể được mô tả bằng hình ảnh. Rút gọn các phân số về mẫu số chung, ta được phân số và . Hai phân số này sẽ được thể hiện bằng những miếng bánh pizza giống nhau. Điểm khác biệt duy nhất là lần này chúng sẽ được chia thành các phần bằng nhau (giảm về cùng mẫu số).

Hình vẽ đầu tiên biểu thị một phân số (bốn mảnh trong số sáu) và hình vẽ thứ hai biểu thị một phân số (ba mảnh trong số sáu). Thêm những phần này chúng ta có được (bảy trong số sáu phần). Phân số này không đúng nên chúng tôi đã đánh dấu toàn bộ phần đó. Kết quả là chúng tôi có (một chiếc bánh pizza và một chiếc bánh pizza thứ sáu khác).

Xin lưu ý rằng chúng tôi đã mô tả ví dụ này quá chi tiết. Trong các cơ sở giáo dục, việc viết chi tiết như vậy không phải là thông lệ. Bạn cần có khả năng nhanh chóng tìm LCM của cả mẫu số và các thừa số bổ sung của chúng, cũng như nhân nhanh các thừa số bổ sung tìm thấy với tử số và mẫu số của bạn. Nếu chúng ta đang ở trường, chúng ta sẽ phải viết ví dụ này như sau:

Nhưng cũng có một mặt khác của đồng xu. Nếu bạn không ghi chép chi tiết trong giai đoạn đầu học toán, thì những câu hỏi kiểu này sẽ bắt đầu xuất hiện. “Con số đó đến từ đâu?”, “Tại sao các phân số đột nhiên biến thành những phân số hoàn toàn khác nhau? «.

Để cộng các phân số có mẫu số khác nhau dễ dàng hơn, bạn có thể làm theo hướng dẫn từng bước sau:

1. Tìm BCNN của mẫu số của phân số;
2. Chia LCM cho mẫu số của mỗi phân số và lấy hệ số bổ sung cho mỗi phân số;
3. Nhân tử số và mẫu số của phân số với các thừa số bổ sung của chúng;
4. Cộng các phân số có cùng mẫu số;
5. Nếu câu trả lời là một phân số không đúng thì hãy đánh dấu toàn bộ phần của nó;

Ví dụ 2. Tìm giá trị của một biểu thức .

Hãy sử dụng các hướng dẫn được đưa ra ở trên.

Bước 1. Tìm BCNN của mẫu số của các phân số

Tìm BCNN của mẫu số của cả hai phân số. Mẫu số của các phân số là 2, 3 và 4

Bước 2. Chia LCM cho mẫu số của mỗi phân số và lấy thừa số bổ sung cho mỗi phân số

Chia LCM cho mẫu số của phân số thứ nhất. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ nhất là số 2. Chia 12 cho 2, ta được 6. Ta có thừa số bổ sung đầu tiên 6. Ta viết nó phía trên phân số thứ nhất:

Bây giờ chúng ta chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ hai là số 3. Chia 12 cho 3, ta được 4. Ta được thừa số thứ hai 4. Chúng ta viết nó phía trên phân số thứ hai:

Bây giờ chúng ta chia LCM cho mẫu số của phân số thứ ba. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ ba là số 4. Chia 12 cho 4, ta được 3. Ta lấy thừa số thứ ba 3. Ta viết nó phía trên phân số thứ ba:

Bước 3. Nhân tử số và mẫu số của phân số với thừa số bổ sung của chúng

Chúng tôi nhân các tử số và mẫu số với các thừa số bổ sung của chúng:

Bước 4. Cộng các phân số cùng mẫu số

Chúng tôi đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau sẽ trở thành phân số có cùng mẫu số (chung). Tất cả những gì còn lại là thêm các phân số này. Thêm nó lên:

Phần bổ sung không vừa trên một dòng, vì vậy chúng tôi đã chuyển biểu thức còn lại sang dòng tiếp theo. Điều này được cho phép trong toán học. Khi một biểu thức không vừa trên một dòng, nó sẽ được chuyển sang dòng tiếp theo và cần đặt dấu bằng (=) ở cuối dòng đầu tiên và ở đầu dòng mới. Dấu bằng ở dòng thứ hai cho biết đây là phần tiếp theo của biểu thức ở dòng đầu tiên.

Bước 5. Nếu câu trả lời là một phân số không đúng thì hãy chọn toàn bộ phần đó

Chúng tôi đã nhận được một phần không chính xác trong câu trả lời của chúng tôi. Chúng ta phải làm nổi bật toàn bộ một phần của nó. Chúng tôi đánh dấu:

Chúng tôi đã nhận được câu trả lời

Phép trừ các phân số cùng mẫu số

Có hai loại phép trừ phân số:

1. Phép trừ các phân số cùng mẫu số
2. Phép trừ các phân số có mẫu số khác nhau

Đầu tiên chúng ta cùng tìm hiểu cách trừ các phân số cùng mẫu số. Mọi thứ đều đơn giản ở đây. Để trừ một phân số khác, bạn cần trừ tử số của phân số thứ hai khỏi tử số của phân số thứ nhất, nhưng giữ nguyên mẫu số.

Ví dụ: hãy tìm giá trị của biểu thức . Để giải ví dụ này, bạn cần trừ tử số của phân số thứ hai khỏi tử số của phân số thứ nhất và giữ nguyên mẫu số. Làm thôi nào:

Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nhớ đến chiếc bánh pizza được chia thành bốn phần. Nếu bạn cắt pizza từ một chiếc bánh pizza, bạn sẽ có được những chiếc pizza:

Ví dụ 2. Tìm giá trị của biểu thức.

Một lần nữa, từ tử số của phân số thứ nhất, trừ tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu số:

Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nhớ đến chiếc bánh pizza được chia thành ba phần. Nếu bạn cắt pizza từ một chiếc bánh pizza, bạn sẽ có được những chiếc pizza:

Ví dụ 3. Tìm giá trị của một biểu thức

Ví dụ này được giải theo cách tương tự như các ví dụ trước. Từ tử số của phân số thứ nhất, bạn cần trừ tử số của các phân số còn lại:

Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp khi trừ các phân số có cùng mẫu số. Chỉ cần hiểu các quy tắc sau là đủ:

1. Để trừ một phân số khác khỏi một phân số, bạn cần trừ tử số của phân số thứ hai khỏi tử số của phân số thứ nhất và giữ nguyên mẫu số;
2. Nếu câu trả lời là một phân số không đúng thì bạn cần đánh dấu toàn bộ phần đó.

Phép trừ các phân số có mẫu số khác nhau

Ví dụ: bạn có thể trừ một phân số khỏi một phân số vì các phân số đó có cùng mẫu số. Nhưng bạn không thể trừ một phân số từ một phân số, vì những phân số này có mẫu số khác nhau. Trong những trường hợp như vậy, các phân số phải được rút gọn về cùng mẫu số (chung).

Mẫu số chung được tìm thấy bằng cách sử dụng cùng một nguyên tắc mà chúng ta đã sử dụng khi cộng các phân số có mẫu số khác nhau. Trước hết, hãy tìm LCM của mẫu số của cả hai phân số. Sau đó, LCM được chia cho mẫu số của phân số thứ nhất và thu được thừa số bổ sung đầu tiên, được viết phía trên phân số thứ nhất. Tương tự, LCM được chia cho mẫu số của phân số thứ hai và thu được thừa số bổ sung thứ hai, được viết phía trên phân số thứ hai.

Các phân số sau đó được nhân với các thừa số bổ sung của chúng. Kết quả của các phép toán này là các phân số có mẫu số khác nhau được chuyển đổi thành các phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách trừ những phân số như vậy.

Ví dụ 1. Tìm ý nghĩa của biểu thức:

Các phân số này có mẫu số khác nhau nên bạn cần quy chúng về cùng mẫu số (chung).

Đầu tiên chúng ta tìm LCM của mẫu số của cả hai phân số. Mẫu số của phân số thứ nhất là số 3 và mẫu số của phân số thứ hai là số 4. Bội số chung nhỏ nhất của các số này là 12

BCNN (3 và 4) = 12

Bây giờ chúng ta hãy quay trở lại phân số và

Hãy tìm một thừa số bổ sung cho phân số thứ nhất. Để làm điều này, hãy chia LCM cho mẫu số của phân số thứ nhất. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ nhất là số 3. Chia 12 cho 3, ta được 4. Viết số 4 phía trên phân số thứ nhất:

Chúng tôi làm tương tự với phần thứ hai. Chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ hai là số 4. Chia 12 cho 4, ta được 3. Viết số ba lên phân số thứ hai:

Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng cho phép trừ. Vẫn còn nhân các phân số với các hệ số bổ sung của chúng:

Chúng ta đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau sẽ trở thành những phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách trừ những phân số như vậy. Hãy lấy ví dụ này đến cuối:

Chúng tôi đã nhận được câu trả lời

Hãy thử mô tả giải pháp của chúng tôi bằng bản vẽ. Nếu bạn cắt pizza từ một chiếc pizza, bạn sẽ có được một chiếc pizza

Đây là phiên bản chi tiết của giải pháp. Nếu chúng ta ở trường, chúng ta sẽ phải giải ví dụ này ngắn hơn. Một giải pháp như vậy sẽ trông như thế này:

Việc giảm phân số về mẫu số chung cũng có thể được mô tả bằng hình ảnh. Giảm các phân số này về mẫu số chung, chúng ta có các phân số và . Những phân số này sẽ được thể hiện bằng những lát bánh pizza giống nhau, nhưng lần này chúng sẽ được chia thành các phần bằng nhau (giảm về cùng mẫu số):

Bức tranh đầu tiên thể hiện một phân số (tám phần trong số mười hai) và bức tranh thứ hai hiển thị một phân số (ba phần trong số mười hai). Bằng cách cắt ba mảnh từ tám mảnh, chúng ta có được năm mảnh trong số mười hai mảnh. Phân số mô tả năm phần này.

Ví dụ 2. Tìm giá trị của một biểu thức

Các phân số này có mẫu số khác nhau, vì vậy trước tiên bạn cần quy chúng về cùng mẫu số (chung).

Hãy tìm BCNN của mẫu số của các phân số này.

Mẫu số của các phân số là các số 10, 3 và 5. Bội số chung nhỏ nhất của các số này là 30

BCNN(10, 3, 5) = 30

Bây giờ chúng ta tìm các thừa số bổ sung cho mỗi phân số. Để làm điều này, hãy chia LCM cho mẫu số của mỗi phân số.

Hãy tìm một thừa số bổ sung cho phân số thứ nhất. LCM là số 30 và mẫu số của phân số thứ nhất là số 10. Chia 30 cho 10, ta được thừa số bổ sung đầu tiên 3. Chúng ta viết nó phía trên phân số thứ nhất:

Bây giờ chúng ta tìm một thừa số bổ sung cho phân số thứ hai. Chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai. LCM là số 30 và mẫu số của phân số thứ hai là số 3. Chia 30 cho 3, ta được thừa số thứ hai 10. Chúng ta viết nó phía trên phân số thứ hai:

Bây giờ chúng ta tìm một thừa số bổ sung cho phân số thứ ba. Chia LCM cho mẫu số của phân số thứ ba. LCM là số 30 và mẫu số của phân số thứ ba là số 5. ​​Chia 30 cho 5, ta được thừa số thứ ba 6. Chúng ta viết nó phía trên phân số thứ ba:

Bây giờ mọi thứ đã sẵn sàng để trừ. Vẫn còn nhân các phân số với các hệ số bổ sung của chúng:

Chúng tôi đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau sẽ trở thành phân số có cùng mẫu số (chung). Và chúng ta đã biết cách trừ những phân số như vậy. Hãy kết thúc ví dụ này.

Phần tiếp theo của ví dụ sẽ không vừa trên một dòng, vì vậy chúng ta chuyển phần tiếp theo sang dòng tiếp theo. Đừng quên dấu bằng (=) trên dòng mới:

Câu trả lời hóa ra là một phân số thông thường, và mọi thứ dường như đều phù hợp với chúng ta, nhưng nó quá cồng kềnh và xấu xí. Chúng ta nên làm cho nó đơn giản hơn. Những gì có thể được thực hiện? Bạn có thể rút ngắn phân số này.

Để rút gọn một phân số, bạn cần chia tử số và mẫu số của nó cho (GCD) của các số 20 và 30.

Vì vậy, chúng ta tìm được gcd của số 20 và 30:

Bây giờ chúng ta quay lại ví dụ của mình và chia tử số và mẫu số của phân số cho gcd tìm thấy, nghĩa là cho 10

Chúng tôi đã nhận được câu trả lời

Nhân một phân số với một số

Để nhân một phân số với một số, bạn cần nhân tử số của phân số đó với số đó và giữ nguyên mẫu số.

ví dụ 1. Nhân một phân số với số 1.

Nhân tử số của phân số với số 1

Việc ghi âm có thể hiểu là chụp 1 nửa thời gian. Ví dụ: nếu bạn ăn pizza một lần, bạn sẽ nhận được pizza

Từ định luật nhân ta biết rằng nếu số nhân và thừa số đổi chỗ cho nhau thì tích sẽ không thay đổi. Nếu biểu thức được viết là , thì tích vẫn bằng . Một lần nữa, quy tắc nhân một số nguyên và một phân số có tác dụng:

Ký hiệu này có thể hiểu là lấy một nửa. Ví dụ: nếu có 1 chiếc bánh pizza nguyên con và chúng ta lấy một nửa số đó thì chúng ta sẽ có bánh pizza:

Ví dụ 2. Tìm giá trị của một biểu thức

Nhân tử số của phân số với 4

Câu trả lời là một phân số không chính xác. Hãy làm nổi bật toàn bộ phần của nó:

Biểu thức có thể hiểu là lấy hai phần tư 4 lần. Ví dụ: nếu bạn lấy 4 chiếc pizza, bạn sẽ nhận được hai chiếc pizza nguyên vẹn

Và nếu đổi chỗ số nhân và số nhân, chúng ta sẽ có biểu thức . Nó cũng sẽ bằng 2. Biểu thức này có thể được hiểu là lấy hai chiếc pizza từ bốn chiếc pizza nguyên vẹn:

Nhân phân số

Để nhân các phân số, bạn cần nhân tử số và mẫu số của chúng. Nếu đáp án là một phân số không chính xác, bạn cần đánh dấu toàn bộ phần đó.

Ví dụ 1. Tìm giá trị của biểu thức.

Chúng tôi đã nhận được câu trả lời. Đó là khuyến khích để giảm phần này. Phân số có thể giảm đi 2. Khi đó nghiệm cuối cùng sẽ có dạng sau:

Cách diễn đạt có thể hiểu là lấy một chiếc bánh pizza từ một nửa chiếc bánh pizza. Giả sử chúng ta có một nửa chiếc bánh pizza:

Làm thế nào để lấy hai phần ba từ nửa này? Đầu tiên bạn cần chia nửa này thành ba phần bằng nhau:

Và lấy hai từ ba mảnh này:

Chúng ta sẽ làm pizza. Hãy nhớ chiếc bánh pizza trông như thế nào khi được chia thành ba phần:

Một miếng bánh pizza này và hai miếng chúng tôi lấy sẽ có cùng kích thước:

Nói cách khác, chúng ta đang nói về chiếc bánh pizza có cùng kích thước. Do đó giá trị của biểu thức là

Ví dụ 2. Tìm giá trị của một biểu thức

Nhân tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai:

Câu trả lời là một phân số không chính xác. Hãy làm nổi bật toàn bộ phần của nó:

Ví dụ 3. Tìm giá trị của một biểu thức

Nhân tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai:

Câu trả lời hóa ra là một phân số thông thường, nhưng sẽ tốt hơn nếu rút gọn nó. Để rút gọn phân số này, bạn cần chia tử số và mẫu số của phân số này cho ước số chung lớn nhất (GCD) của các số 105 và 450.

Vì vậy, hãy tìm gcd của các số 105 và 450:

Bây giờ chúng ta chia tử số và mẫu số của câu trả lời cho gcd mà chúng ta đã tìm thấy, tức là cho 15

Biểu diễn số nguyên dưới dạng phân số

Bất kỳ số nguyên nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng phân số. Ví dụ: số 5 có thể được biểu diễn dưới dạng . Điều này sẽ không làm thay đổi ý nghĩa của số năm, vì biểu thức này có nghĩa là “số năm chia cho một” và như chúng ta biết, số này bằng năm:

số đối ứng

Bây giờ chúng ta sẽ làm quen với một chủ đề rất thú vị trong toán học. Nó được gọi là "số đảo ngược".

Sự định nghĩa. Đảo ngược sốMột là một số mà khi nhân vớiMột đưa ra một.

Hãy thay thế định nghĩa này thay vì biến Một số 5 và thử đọc định nghĩa:

Đảo ngược số 5 là một số mà khi nhân với 5 đưa ra một.

Có thể tìm được một số mà khi nhân với 5 sẽ bằng 1 không? Hóa ra là có thể. Hãy tưởng tượng năm là một phân số:

Sau đó nhân phân số này với chính nó, chỉ cần hoán đổi tử số và mẫu số. Nói cách khác, hãy nhân phân số với chính nó, chỉ lộn ngược:

Điều gì sẽ xảy ra như là kết quả của việc này? Nếu chúng ta tiếp tục giải ví dụ này, chúng ta sẽ nhận được một:

Điều này có nghĩa là nghịch đảo của số 5 là số , vì khi bạn nhân 5 với bạn sẽ được một.

Nghịch đảo của một số cũng có thể được tìm thấy cho bất kỳ số nguyên nào khác.

Bạn cũng có thể tìm nghịch đảo của bất kỳ phân số nào khác. Để làm điều này, chỉ cần lật nó lại.

Chia một phân số cho một số

Giả sử chúng ta có một nửa chiếc bánh pizza:

Hãy chia đều cho hai người. Mỗi người sẽ nhận được bao nhiêu pizza?

Có thể thấy rằng sau khi chia một nửa chiếc bánh pizza, người ta thu được hai phần bằng nhau, mỗi phần tạo thành một chiếc bánh pizza. Vì vậy, mọi người đều nhận được một chiếc bánh pizza.

Việc chia phân số được thực hiện bằng cách sử dụng nghịch đảo. Số nghịch đảo cho phép bạn thay thế phép chia bằng phép nhân.

Để chia một phân số cho một số, bạn cần nhân phân số đó với nghịch đảo của số chia.

Sử dụng quy tắc này, chúng ta sẽ viết ra cách chia một nửa chiếc bánh pizza của chúng ta thành hai phần.

Vì vậy, bạn cần chia phân số cho số 2. Ở đây số bị chia là phân số và số chia là số 2.

Để chia một phân số cho số 2, bạn cần nhân phân số này với nghịch đảo của ước số 2. Nghịch đảo của ước số 2 là phân số. Vì vậy bạn cần nhân với