Tìm giá trị riêng của toán tử. Giá trị riêng (số) và vectơ riêng.

Ma trận đường chéo có cấu trúc đơn giản nhất. Câu hỏi đặt ra là liệu có thể tìm được cơ sở trong đó ma trận của toán tử tuyến tính có dạng đường chéo hay không. Cơ sở như vậy tồn tại.
Cho một không gian tuyến tính R n và toán tử tuyến tính A tác dụng trong đó; trong trường hợp này, toán tử A lấy R n vào chính nó, tức là A:R n → R n .

Sự định nghĩa. Một vectơ khác 0 được gọi là vectơ riêng của toán tử A nếu toán tử A chuyển thành vectơ cộng tuyến. Số λ được gọi là giá trị riêng hoặc giá trị riêng của toán tử A, tương ứng với vectơ riêng.
Chúng ta hãy lưu ý một số tính chất của giá trị riêng và vectơ riêng.
1. Bất kỳ tổ hợp tuyến tính nào của vectơ riêng toán tử A tương ứng với cùng giá trị riêng λ là một vectơ riêng có cùng giá trị riêng.
2. Vector riêng toán tử A với các giá trị riêng khác nhau từng cặp λ 1 , λ 2 , …, λ m độc lập tuyến tính.
3. Nếu các giá trị riêng λ 1 =λ 2 = λ m = λ thì giá trị riêng λ tương ứng với không quá m vectơ riêng độc lập tuyến tính.

Vì vậy, nếu có n vectơ riêng độc lập tuyến tính , tương ứng với các giá trị riêng λ 1, λ 2, ..., λ n khác nhau thì chúng độc lập tuyến tính nên có thể lấy chúng làm cơ sở của không gian R n. Chúng ta hãy tìm dạng ma trận của toán tử tuyến tính A trên cơ sở các vectơ riêng của nó, mà chúng ta sẽ thao tác với toán tử A trên các vectơ cơ sở: Sau đó .
Do đó, ma trận của toán tử tuyến tính A trên cơ sở các vectơ riêng của nó có dạng đường chéo và các giá trị riêng của toán tử A nằm dọc theo đường chéo.
Có cơ sở nào khác trong đó ma trận có dạng đường chéo không? Câu trả lời cho câu hỏi này được đưa ra bởi định lý sau đây.

Định lý. Ma trận của toán tử tuyến tính A trong cơ sở (i = 1..n) có dạng đường chéo khi và chỉ khi tất cả các vectơ của cơ sở là vectơ riêng của toán tử A.

Quy tắc tìm giá trị riêng và vectơ riêng

. (*)

(1)
Ở đâu - ma trận toán tử tuyến tính.

Hệ (1) có nghiệm khác 0 nếu định thức D của nó bằng 0

Ví dụ 12. Toán tử tuyến tính A tác dụng trong R 3 theo định luật, trong đó x 1, x 2,.., xn là tọa độ của vectơ trong cơ sở , , . Tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của toán tử này.
Giải pháp. Chúng tôi xây dựng ma trận của toán tử này:
.
Chúng tôi tạo ra một hệ thống để xác định tọa độ của các vectơ riêng:

Chúng tôi soạn một phương trình đặc trưng và giải nó:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Thay λ = -1 vào hệ ta có:
hoặc
Bởi vì , thì có hai biến phụ thuộc và một biến tự do.
Giả sử x 1 là ẩn số tự do thì Ta giải hệ này bằng cách nào đó và tìm nghiệm tổng quát của hệ này: Hệ nghiệm cơ bản gồm một nghiệm, vì n - r = 3 - 2 = 1.
Tập hợp các vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ = -1 có dạng: , trong đó x 1 là số bất kỳ khác 0. Hãy chọn một vectơ từ tập hợp này, ví dụ: đặt x 1 = 1: .
Lý giải tương tự, ta tìm vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ = 3: .
Trong không gian R 3, cơ sở bao gồm ba vectơ độc lập tuyến tính, nhưng chúng ta chỉ nhận được hai vectơ riêng độc lập tuyến tính, từ đó không thể tạo cơ sở trong R 3. Do đó, chúng ta không thể quy ma trận A của toán tử tuyến tính về dạng đường chéo.

Ví dụ 13. Cho một ma trận .
1. Chứng minh rằng vectơ là vectơ riêng của ma trận A. Tìm giá trị riêng tương ứng với vectơ riêng này.
2. Tìm cơ sở để ma trận A có dạng đường chéo.
Giải pháp.
1. Nếu , thì là một vectơ riêng

.
Vector (1, 8, -1) là một vectơ riêng. Giá trị riêng λ = -1.
Ma trận có dạng đường chéo trên cơ sở gồm các vectơ riêng. Một trong số họ nổi tiếng. Hãy tìm phần còn lại.
Chúng tôi tìm kiếm các vectơ riêng từ hệ thống:

Phương trình đặc trưng: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Hãy tìm vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ = -3:

Hạng của ma trận của hệ này là hai và bằng số ẩn số nên hệ này chỉ có nghiệm 0 x 1 = x 3 = 0. x 2 ở đây có thể là bất cứ giá trị nào khác 0, ví dụ x 2 = 1. Như vậy, vectơ (0 ,1,0) là vectơ riêng tương ứng với λ = -3. Hãy kiểm tra:
.
Nếu λ = 1 thì ta thu được hệ
Thứ hạng của ma trận là hai. Chúng tôi gạch bỏ phương trình cuối cùng.
Cho x 3 là một ẩn số tự do. Khi đó x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Giả sử x 3 = 1 thì ta có (-3,-9,1) - vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ = 1. Kiểm tra:

.
Vì các giá trị riêng là số thực và phân biệt nên các vectơ tương ứng với chúng độc lập tuyến tính nên có thể lấy chúng làm cơ sở trong R 3. Như vậy, trên cơ sở , , ma trận A có dạng:
.
Không phải mọi ma trận của toán tử tuyến tính A:R n → R n đều có thể rút gọn về dạng đường chéo, vì đối với một số toán tử tuyến tính có thể có ít hơn n vectơ riêng độc lập tuyến tính. Tuy nhiên, nếu ma trận đối xứng thì nghiệm của phương trình đặc tính bội m tương ứng với chính xác m vectơ độc lập tuyến tính.

Sự định nghĩa. Ma trận đối xứng là ma trận vuông trong đó các phần tử đối xứng qua đường chéo chính bằng nhau, tức là trong đó .
Ghi chú. 1. Tất cả các giá trị riêng của ma trận đối xứng đều là số thực.
2. Các vectơ riêng của ma trận đối xứng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau theo cặp là trực giao.
Là một trong nhiều ứng dụng của bộ máy được nghiên cứu, chúng tôi xem xét bài toán xác định loại đường cong bậc hai.

Giá trị riêng (số) và vectơ riêng.
Ví dụ về giải pháp

Là chính mình

Từ cả hai phương trình nó suy ra rằng .

Hãy đặt nó sau đó: .

Kết quả là: – vectơ riêng thứ hai.

Chúng ta hãy nhắc lại những điểm quan trọng của quyết định:

– hệ thống kết quả chắc chắn có nghiệm tổng quát (các phương trình phụ thuộc tuyến tính);

– chúng ta chọn “y” sao cho nó là số nguyên và tọa độ “x” đầu tiên là số nguyên, dương và càng nhỏ càng tốt.

- Kiểm tra nghiệm cụ thể có thỏa mãn từng phương trình của hệ hay không.

Trả lời .

Đã có khá nhiều “điểm kiểm tra” trung gian, vì vậy về nguyên tắc, việc kiểm tra sự bình đẳng là không cần thiết.

Trong nhiều nguồn thông tin khác nhau, tọa độ của vectơ riêng thường không được viết theo cột mà theo hàng, ví dụ: (và thành thật mà nói, bản thân tôi đã quen với việc viết chúng thành từng dòng). Tùy chọn này có thể chấp nhận được, nhưng xét theo chủ đề phép biến đổi tuyến tính về mặt kỹ thuật thuận tiện hơn để sử dụng vectơ cột.

Có lẽ đối với bạn, giải pháp có vẻ rất dài, nhưng điều này chỉ là do tôi đã nhận xét rất chi tiết về ví dụ đầu tiên.

Ví dụ 2

Ma trận

Chúng ta hãy tự rèn luyện! Một ví dụ gần đúng về nhiệm vụ cuối cùng ở cuối bài học.

Đôi khi bạn cần hoàn thành một nhiệm vụ bổ sung, cụ thể là:

viết phân rã ma trận chính tắc

Nó là gì?

Nếu các vectơ riêng của ma trận có dạng nền tảng, thì nó có thể được biểu diễn dưới dạng:

Ở đâu là một ma trận bao gồm tọa độ của các vectơ riêng, - đường chéo ma trận với các giá trị riêng tương ứng.

Sự phân rã ma trận này được gọi là kinh điển hoặc đường chéo.

Hãy nhìn vào ma trận của ví dụ đầu tiên. vectơ riêng của nó độc lập tuyến tính(không thẳng hàng) và tạo thành một cơ sở. Hãy tạo một ma trận tọa độ của chúng:

TRÊN đường chéo chính ma trận theo thứ tự thích hợp các giá trị riêng được định vị và các phần tử còn lại bằng 0:
– Tôi một lần nữa nhấn mạnh tầm quan trọng của thứ tự: “hai” tương ứng với vectơ thứ 1 và do đó nằm ở cột thứ 1, “ba” – tương ứng với vectơ thứ 2.

Sử dụng thuật toán thông thường để tìm ma trận nghịch đảo hoặc Phương pháp Gauss-Jordan chúng ta tìm thấy . Không, đó không phải là lỗi đánh máy! - trước mặt bạn là một sự kiện hiếm gặp, giống như nhật thực, khi chiều ngược lại trùng với ma trận ban đầu.

Vẫn còn phải viết ra sự phân rã chính tắc của ma trận:

Hệ thống có thể được giải bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản và trong các ví dụ sau chúng ta sẽ sử dụng phương pháp này. Nhưng ở đây phương pháp “trường học” hoạt động nhanh hơn nhiều. Từ phương trình thứ 3 ta biểu diễn: – Thay vào phương trình thứ hai:

Vì tọa độ đầu tiên bằng 0 nên chúng ta thu được một hệ, từ mỗi phương trình mà nó tuân theo .

Và một lần nữa chú ý đến sự hiện diện bắt buộc của mối quan hệ tuyến tính. Nếu chỉ đạt được một giải pháp tầm thường , thì giá trị riêng được tìm thấy không chính xác hoặc hệ thống đã được biên dịch/giải quyết có lỗi.

Tọa độ nhỏ gọn cho giá trị

vectơ riêng:

Và một lần nữa, chúng tôi kiểm tra xem giải pháp đã tìm thấy chưa thỏa mãn mọi phương trình của hệ. Trong các đoạn tiếp theo và trong các nhiệm vụ tiếp theo, tôi khuyên bạn nên coi mong muốn này là một quy tắc bắt buộc.

2) Đối với giá trị riêng, sử dụng nguyên tắc tương tự, chúng ta thu được hệ sau:

Từ phương trình thứ 2 của hệ ta biểu diễn: – Thay vào phương trình thứ ba:

Vì tọa độ “zeta” bằng 0 nên chúng ta thu được một hệ từ mỗi phương trình có sự phụ thuộc tuyến tính.

Cho phép

Kiểm tra xem giải pháp thỏa mãn mọi phương trình của hệ.

Do đó, vectơ riêng là: .

3) Và cuối cùng, hệ tương ứng với giá trị riêng:

Phương trình thứ hai trông đơn giản nhất, vì vậy hãy biểu thị nó và thay thế nó vào phương trình thứ 1 và thứ 3:

Mọi thứ đều ổn - một mối quan hệ tuyến tính đã xuất hiện, chúng tôi thay thế mối quan hệ này vào biểu thức:

Kết quả là “x” và “y” được thể hiện thông qua “z”: . Trong thực tế, không cần thiết phải đạt được những mối quan hệ như vậy một cách chính xác; trong một số trường hợp sẽ thuận tiện hơn khi biểu diễn cả thông qua hoặc thông qua . Hoặc thậm chí là “đào tạo” - ví dụ: “X” đến “I” và “I” đến “Z”

Hãy đặt nó sau đó:

Chúng tôi kiểm tra xem giải pháp được tìm thấy thỏa mãn từng phương trình của hệ thống và viết vectơ riêng thứ ba

Trả lời: vectơ riêng:

Về mặt hình học, các vectơ này xác định ba hướng không gian khác nhau ("Đến đó và quay lại"), theo đó Chuyển đổi tuyến tính biến đổi các vectơ khác 0 (vector riêng) thành các vectơ cộng tuyến.

Nếu điều kiện yêu cầu tìm phân rã chính tắc thì điều này có thể thực hiện được ở đây, bởi vì các giá trị riêng khác nhau tương ứng với các vectơ riêng độc lập tuyến tính khác nhau. Tạo ma trận từ tọa độ của chúng, một ma trận đường chéo từ liên quan giá trị riêng và tìm ma trận nghịch đảo .

Nếu, theo điều kiện, bạn cần viết ma trận biến đổi tuyến tính trên cơ sở vectơ riêng, thì chúng ta đưa ra câu trả lời dưới dạng . Có một sự khác biệt, và sự khác biệt là đáng kể! Bởi vì ma trận này là ma trận “de”.

Một bài toán có tính toán đơn giản hơn để bạn tự giải:

Ví dụ 5

Tìm vectơ riêng của phép biến đổi tuyến tính cho bởi ma trận

Khi tìm số của riêng bạn, cố gắng không đi đến đa thức bậc 3. Ngoài ra, giải pháp hệ thống của bạn có thể khác với giải pháp của tôi - không có gì chắc chắn ở đây; và các vectơ bạn tìm thấy có thể khác với các vectơ mẫu theo tỷ lệ tọa độ tương ứng của chúng. Ví dụ, và. Việc trình bày câu trả lời dưới dạng sẽ mang tính thẩm mỹ hơn, nhưng sẽ không sao nếu bạn dừng lại ở lựa chọn thứ hai. Tuy nhiên, mọi thứ đều có giới hạn hợp lý, phiên bản trông không còn đẹp mắt nữa.

Một mẫu bài tập cuối cùng gần đúng ở cuối bài học.

Làm thế nào để giải quyết vấn đề trong trường hợp có nhiều giá trị riêng?

Thuật toán chung vẫn giữ nguyên nhưng có những đặc điểm riêng và nên giữ một số phần của lời giải theo phong cách học thuật chặt chẽ hơn:

Ví dụ 6

Tìm giá trị riêng và vectơ riêng

Giải pháp

Tất nhiên, hãy viết hoa cột đầu tiên tuyệt vời:

Và, sau khi phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử:

Kết quả là thu được các giá trị riêng, hai trong số đó là bội số.

Hãy tìm các vectơ riêng:

1) Hãy đối phó với một người lính đơn độc theo sơ đồ “đơn giản hóa”:

Từ hai phương trình cuối cùng, có thể thấy rõ đẳng thức này, rõ ràng là nên thay thế vào phương trình thứ 1 của hệ:

Bạn sẽ không tìm thấy sự kết hợp nào tốt hơn:
vectơ riêng:

2-3) Bây giờ chúng ta loại bỏ một số lính canh. Trong trường hợp này nó có thể xảy ra hai hoặc một vectơ riêng. Bất kể bội số của các nghiệm là bao nhiêu, chúng ta thay thế giá trị vào định thức điều này mang đến cho chúng ta điều tiếp theo hệ phương trình tuyến tính đồng nhất:

vectơ riêng chính xác là vectơ
Hệ thống giải pháp cơ bản

Trên thực tế, trong suốt bài học, chúng ta không làm gì khác ngoài việc tìm các vectơ của hệ cơ bản. Chỉ là hiện tại thuật ngữ này không đặc biệt cần thiết. Nhân tiện, những học sinh thông minh đã bỏ lỡ chủ đề trong bộ đồ rằn ri phương trình đồng nhất, sẽ buộc phải hút thuốc ngay bây giờ.

Hành động duy nhất là loại bỏ các dòng thừa. Kết quả là một ma trận 1/3 với một “bước” trang trọng ở giữa.
– biến cơ bản, – biến tự do. Do đó có hai biến tự do còn có hai vectơ của hệ cơ bản.

Hãy biểu diễn biến cơ bản theo biến tự do: . Hệ số nhân bằng 0 ở phía trước chữ “X” cho phép nó nhận hoàn toàn bất kỳ giá trị nào (có thể thấy rõ từ hệ phương trình).

Trong bối cảnh của vấn đề này, sẽ thuận tiện hơn khi viết lời giải chung không phải theo hàng mà theo cột:

Cặp này tương ứng với một vectơ riêng:
Cặp này tương ứng với một vectơ riêng:

Ghi chú : những độc giả tinh vi có thể chọn các vectơ này bằng miệng - chỉ bằng cách phân tích hệ thống , nhưng ở đây cần có một số kiến ​​thức: có ba biến, xếp hạng ma trận hệ thống- một, có nghĩa là hệ thống quyết định cơ bản gồm 3 – 1 = 2 vectơ. Tuy nhiên, các vectơ tìm thấy vẫn có thể nhìn thấy rõ ràng ngay cả khi không có kiến ​​thức này, hoàn toàn ở mức độ trực quan. Trong trường hợp này, vectơ thứ ba sẽ được viết “đẹp” hơn nữa: . Tuy nhiên, tôi cảnh báo bạn rằng trong một ví dụ khác, có thể không thực hiện được một lựa chọn đơn giản, đó là lý do tại sao mệnh đề này dành cho những người có kinh nghiệm. Ngoài ra, tại sao không lấy, chẳng hạn như vectơ thứ ba? Suy cho cùng, tọa độ của nó cũng thỏa mãn từng phương trình của hệ và các vectơ độc lập tuyến tính. Về nguyên tắc, tùy chọn này là phù hợp, nhưng "quanh co", vì vectơ "khác" là sự kết hợp tuyến tính của các vectơ của hệ cơ bản.

Trả lời: giá trị riêng: , vectơ riêng:

Một ví dụ tương tự cho một giải pháp độc lập:

Ví dụ 7

Tìm giá trị riêng và vectơ riêng

Một mẫu gần đúng của thiết kế cuối cùng ở cuối bài học.

Cần lưu ý rằng trong cả hai ví dụ thứ 6 và thứ 7, thu được bộ ba vectơ riêng độc lập tuyến tính, và do đó ma trận ban đầu có thể biểu diễn được trong phân rã chính tắc. Nhưng quả mâm xôi như vậy không xảy ra trong mọi trường hợp:

Ví dụ 8

Giải pháp: Xây dựng và giải phương trình đặc tính:

Hãy mở rộng định thức ở cột đầu tiên:

Chúng tôi thực hiện đơn giản hóa hơn nữa theo phương pháp đã xem xét, tránh đa thức bậc ba:

– các giá trị riêng.

Hãy tìm các vectơ riêng:

1) Không có khó khăn gì với root:

Đừng ngạc nhiên, ngoài bộ sản phẩm còn có các biến số được sử dụng - không có sự khác biệt nào ở đây.

Từ phương trình thứ 3, chúng ta biểu thị nó và thay thế nó vào phương trình thứ 1 và thứ 2:

Từ cả hai phương trình suy ra:

Hãy để sau đó:

2-3) Với nhiều giá trị ta được hệ .

Hãy viết ma trận của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng từng bước:

www.trang web cho phép bạn tìm thấy . Trang web thực hiện tính toán. Trong vài giây, máy chủ sẽ đưa ra giải pháp chính xác. Phương trình đặc tính của ma trận sẽ là một biểu thức đại số được tìm bằng cách sử dụng quy tắc tính định thức ma trận ma trận, trong khi dọc theo đường chéo chính sẽ có sự khác biệt về giá trị của các phần tử trên đường chéo và biến. Khi tính toán phương trình đặc tính của ma trận trực tuyến, mỗi phần tử ma trận sẽ được nhân với các phần tử tương ứng khác ma trận. Tìm trong chế độ trực tuyến chỉ có thể cho hình vuông ma trận. Hoạt động tìm kiếm phương trình đặc tính của ma trận trực tuyến quy về việc tính tổng đại số của tích các phần tử ma trận nhờ tìm được yếu tố quyết định ma trận, chỉ nhằm mục đích xác định phương trình đặc tính của ma trận trực tuyến. Hoạt động này chiếm một vị trí đặc biệt trong lý thuyết ma trận, cho phép bạn tìm giá trị riêng và vectơ bằng cách sử dụng nghiệm. Nhiệm vụ tìm phương trình đặc tính của ma trận trực tuyến bao gồm các yếu tố nhân ma trận tiếp theo là tính tổng các sản phẩm này theo một quy luật nhất định. www.trang web tìm thấy phương trình đặc trưng của ma trận kích thước nhất định trong chế độ trực tuyến. Phép tính phương trình đặc tính của ma trận trực tuyến với kích thước của nó, đây là việc tìm một đa thức có các hệ số bằng số hoặc ký hiệu, được tìm theo quy tắc tính định thức ma trận- là tổng tích của các phần tử tương ứng ma trận, chỉ nhằm mục đích xác định phương trình đặc tính của ma trận trực tuyến. Tìm đa thức theo biến của phương trình bậc hai ma trận, như một định nghĩa phương trình đặc trưng của ma trận, phổ biến trong lý thuyết ma trận. Ý nghĩa nghiệm của đa thức phương trình đặc tính của ma trận trực tuyếnđược sử dụng để xác định vectơ riêng và giá trị riêng cho ma trận. Hơn nữa, nếu yếu tố quyết định ma trận sẽ bằng 0 thì phương trình đặc trưng của ma trận sẽ vẫn tồn tại, không giống như điều ngược lại ma trận. Để tính toán phương trình đặc trưng của ma trận hoặc tìm nhiều cùng một lúc phương trình đặc trưng của ma trận, bạn cần phải dành nhiều thời gian và công sức, trong khi máy chủ của chúng tôi sẽ tìm thấy chỉ trong vài giây phương trình đặc tính của ma trận trực tuyến. Trong trường hợp này, câu trả lời cho việc tìm phương trình đặc tính của ma trận trực tuyến sẽ chính xác và có đủ độ chính xác, ngay cả khi các con số khi tìm phương trình đặc tính của ma trận trực tuyến sẽ là vô lý. Trên trang web www.trang web mục nhập ký tự được phép trong các phần tử ma trận, đó là phương trình đặc tính của ma trận trực tuyến có thể được biểu diễn dưới dạng ký hiệu tổng quát khi tính toán phương trình đặc tính của ma trận trực tuyến. Sẽ rất hữu ích khi kiểm tra câu trả lời thu được khi giải bài toán tìm phương trình đặc tính của ma trận trực tuyến sử dụng trang web www.trang web. Khi thực hiện phép tính một đa thức - phương trình đặc trưng của ma trận, bạn cần phải cẩn thận và cực kỳ tập trung khi giải quyết vấn đề này. Đổi lại, trang web của chúng tôi sẽ giúp bạn kiểm tra quyết định của bạn về chủ đề này phương trình đặc tính của ma trận trực tuyến. Nếu bạn không có thời gian để kiểm tra lâu dài các vấn đề đã được giải quyết thì www.trang web chắc chắn sẽ là công cụ thuận tiện cho việc kiểm tra khi tìm và tính toán phương trình đặc tính của ma trận trực tuyến.

Vector riêng của ma trận vuông là vector mà khi nhân với một ma trận đã cho sẽ thu được một vectơ cộng tuyến. Nói một cách đơn giản, khi một ma trận được nhân với một vectơ riêng, thì vectơ riêng vẫn giữ nguyên, nhưng được nhân với một số nhất định.

Sự định nghĩa

Vector riêng là một vectơ V khác 0, khi nhân với ma trận vuông M, bản thân nó sẽ tăng thêm một số λ. Trong ký hiệu đại số, nó trông giống như:

M × V = λ × V,

trong đó λ là giá trị riêng của ma trận M.

Hãy xem xét một ví dụ bằng số. Để dễ ghi chép, các số trong ma trận sẽ cách nhau bằng dấu chấm phẩy. Chúng ta hãy có một ma trận:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Hãy nhân nó với một vectơ cột:

• V = -2;

Khi nhân ma trận với vectơ cột, chúng ta cũng nhận được vectơ cột. Trong ngôn ngữ toán học chặt chẽ, công thức nhân ma trận 2 × 2 với vectơ cột sẽ như sau:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 là phần tử của ma trận M nằm ở hàng đầu tiên và cột đầu tiên, còn M22 là phần tử nằm ở hàng thứ hai và cột thứ hai. Đối với ma trận của chúng ta, các phần tử này bằng M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Đối với vectơ cột, các giá trị này bằng V11 = –2, V21 = 1. Theo công thức này, ta thu được kết quả sau của tích ma trận vuông với một vectơ:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Để thuận tiện, hãy viết vectơ cột thành một hàng. Vì vậy, chúng ta nhân ma trận vuông với vectơ (-2; 1), thu được vectơ (4; -2). Rõ ràng, đây là cùng một vectơ nhân với λ = -2. Lambda trong trường hợp này biểu thị giá trị riêng của ma trận.

Vector riêng của ma trận là vectơ cộng tuyến, tức là vật không thay đổi vị trí trong không gian khi nhân với ma trận. Khái niệm cộng tuyến trong đại số vectơ cũng tương tự như khái niệm song song trong hình học. Theo cách giải thích hình học, các vectơ cộng tuyến là các đoạn có hướng song song có độ dài khác nhau. Kể từ thời Euclid, chúng ta đã biết rằng một đường thẳng có vô số đường thẳng song song với nó, do đó, thật hợp lý khi giả sử rằng mỗi ma trận có vô số vectơ riêng.

Từ ví dụ trước, rõ ràng các vectơ riêng có thể là (-8; 4) và (16; -8) và (32, -16). Đây đều là các vectơ cộng tuyến tương ứng với giá trị riêng λ = -2. Khi nhân ma trận gốc với các vectơ này, chúng ta vẫn sẽ thu được một vectơ khác vectơ ban đầu 2 lần. Đó là lý do vì sao khi giải bài toán tìm vectơ riêng chỉ cần tìm các đối tượng vectơ độc lập tuyến tính. Thông thường, đối với ma trận n × n, có n vectơ riêng. Máy tính của chúng tôi được thiết kế để phân tích ma trận vuông bậc hai, vì vậy hầu như kết quả luôn luôn tìm thấy hai vectơ riêng, ngoại trừ trường hợp chúng trùng nhau.

Trong ví dụ trên, chúng ta đã biết trước vectơ riêng của ma trận gốc và xác định rõ ràng số lambda. Tuy nhiên, trong thực tế, mọi thứ diễn ra theo chiều ngược lại: các giá trị riêng được tìm thấy trước tiên và chỉ sau đó mới đến các vectơ riêng.

Thuật toán giải

Chúng ta hãy nhìn lại ma trận ban đầu M và cố gắng tìm cả hai vectơ riêng của nó. Vì vậy, ma trận trông giống như:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Đầu tiên chúng ta cần xác định giá trị riêng λ, giá trị này yêu cầu tính định thức của ma trận sau:

• (0 − λ); 4;
• 6; (10 − λ).

Ma trận này thu được bằng cách trừ λ chưa biết khỏi các phần tử trên đường chéo chính. Định thức được xác định bằng công thức chuẩn:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Vì vectơ của chúng ta phải khác 0, nên chúng ta chấp nhận phương trình thu được là phụ thuộc tuyến tính và đánh đồng định thức detA bằng 0.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Hãy mở ngoặc và lấy phương trình đặc tính của ma trận:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Đây là một phương trình bậc hai tiêu chuẩn cần được giải bằng cách sử dụng phân biệt.

D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Căn nguyên của biệt thức là sqrt(D) = 14, do đó λ1 = -2, λ2 = 12. Bây giờ với mỗi giá trị lambda, chúng ta cần tìm vectơ riêng. Hãy biểu thị các hệ số của hệ thống cho λ = -2.

• M − λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

Trong công thức này, E là ma trận nhận dạng. Dựa vào ma trận thu được, ta lập hệ phương trình tuyến tính:

2x + 4y = 6x + 12y,

trong đó x và y là các phần tử vectơ riêng.

Hãy thu thập tất cả chữ X ở bên trái và tất cả chữ Y ở bên phải. Hiển nhiên - 4x = 8y. Chia biểu thức cho - 4 và nhận được x = –2y. Bây giờ chúng ta có thể xác định vectơ riêng đầu tiên của ma trận, lấy bất kỳ giá trị nào của ẩn số (hãy nhớ vô số của vectơ riêng phụ thuộc tuyến tính). Giả sử y = 1 thì x = –2. Do đó, vectơ riêng thứ nhất có dạng V1 = (–2; 1). Quay lại phần đầu của bài viết. Chính đối tượng vectơ này mà chúng tôi đã nhân ma trận với nhau để thể hiện khái niệm vectơ riêng.

Bây giờ hãy tìm vector riêng cho λ = 12.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Hãy tạo cùng một hệ phương trình tuyến tính;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x = y.

Bây giờ chúng ta lấy x = 1, do đó y = 3. Do đó, vectơ riêng thứ hai có dạng V2 = (1; 3). Khi nhân ma trận ban đầu với một vectơ cho trước, kết quả sẽ luôn là vectơ đó nhân với 12. Đây là lúc thuật toán giải kết thúc. Bây giờ bạn đã biết cách xác định vectơ riêng của ma trận theo cách thủ công.

• bản ngã;
• dấu vết, tức là tổng các phần tử trên đường chéo chính;
• xếp hạng, nghĩa là số lượng hàng/cột độc lập tuyến tính tối đa.

Chương trình hoạt động theo thuật toán trên, rút ​​ngắn quá trình giải một cách tối đa. Điều quan trọng cần chỉ ra là trong chương trình lambda được ký hiệu bằng chữ cái “c”. Hãy xem xét một ví dụ bằng số.

Ví dụ về cách chương trình hoạt động

Hãy thử xác định các vectơ riêng của ma trận sau:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Hãy nhập các giá trị này vào các ô của máy tính và nhận được câu trả lời dưới dạng sau:

• Xếp hạng ma trận: 2;
• Định thức ma trận: 18;
• Dấu vết ma trận: 19;
• Tính vectơ riêng: c 2 − 19,00c + 18,00 (phương trình đặc tính);
• Tính toán vectơ riêng: 18 (giá trị lambda đầu tiên);
• Tính toán vectơ riêng: 1 (giá trị lambda thứ hai);
• Hệ phương trình vectơ 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Hệ phương trình vectơ 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Véc tơ riêng 1: (1; 1);
• Vectơ riêng 2: (-3,25; 1).

Như vậy, chúng ta thu được hai vectơ riêng độc lập tuyến tính.

Phần kết luận

Đại số tuyến tính và hình học giải tích là những môn học tiêu chuẩn cho bất kỳ sinh viên năm nhất chuyên ngành kỹ thuật nào. Số lượng lớn vectơ và ma trận thật đáng sợ và rất dễ mắc sai lầm trong những phép tính rườm rà như vậy. Chương trình của chúng tôi sẽ cho phép sinh viên kiểm tra các phép tính của mình hoặc tự động giải quyết vấn đề tìm vectơ riêng. Có các máy tính đại số tuyến tính khác trong danh mục của chúng tôi; hãy sử dụng chúng trong học tập hoặc công việc của bạn.

"Phần đầu tiên đưa ra những điều khoản cần thiết tối thiểu để hiểu về hóa học và phần thứ hai chứa đựng những thông tin thực tế mà bạn cần biết để hiểu sâu hơn về các phương pháp phân tích đa biến. Phần trình bày được minh họa bằng các ví dụ trong sổ làm việc Excel Ma Trận.xls, đi kèm với tài liệu này.

Liên kết đến các ví dụ được đặt trong văn bản dưới dạng đối tượng Excel. Những ví dụ này có tính chất trừu tượng; chúng không hề gắn liền với các vấn đề của hóa học phân tích. Các ví dụ thực tế về việc sử dụng đại số ma trận trong hóa học sẽ được thảo luận trong các văn bản khác bao gồm nhiều ứng dụng hóa học.

Hầu hết các phép đo được thực hiện trong hóa phân tích đều không trực tiếp mà gián tiếp. Điều này có nghĩa là trong thí nghiệm, thay vì giá trị của chất phân tích C (nồng độ) mong muốn, người ta thu được một giá trị khác x(tín hiệu), liên quan nhưng không bằng C, tức là x(C) ≠ C. Về nguyên tắc, loại phụ thuộc x(C) chưa được biết, nhưng may mắn thay trong hóa học phân tích hầu hết các phép đo đều tỷ lệ thuận. Điều này có nghĩa là khi tăng nồng độ C trong Một lần, tín hiệu X sẽ tăng cùng một lượng, tức là x(Một C) = cây rìu(C). Ngoài ra, các tín hiệu cũng có tính cộng, do đó tín hiệu từ một mẫu có hai chất có nồng độ C 1 và C 2 sẽ bằng tổng tín hiệu từ mỗi thành phần, tức là. x(C 1 + C 2) = x(C 1)+ x(C2). Tính tỷ lệ và tính cộng gộp cùng nhau mang lại tuyến tính. Có thể đưa ra nhiều ví dụ để minh họa nguyên lý tuyến tính, nhưng chỉ cần kể đến hai ví dụ nổi bật nhất - sắc ký và quang phổ là đủ. Đặc điểm thứ hai vốn có của một thí nghiệm trong hóa phân tích là đa kênh. Thiết bị phân tích hiện đại đo đồng thời tín hiệu cho nhiều kênh. Ví dụ, cường độ truyền ánh sáng được đo cho nhiều bước sóng cùng một lúc, tức là phạm vi. Vì vậy, trong thí nghiệm chúng ta xử lý nhiều tín hiệu x 1 , x 2 ,...., x n, đặc trưng cho tập hợp nồng độ C 1 , C 2 , ..., C m của các chất có trong hệ đang nghiên cứu.

Cơm. 1 quang phổ

Vì vậy, một thí nghiệm phân tích được đặc trưng bởi tính tuyến tính và đa chiều. Vì vậy, sẽ thuận tiện hơn khi coi dữ liệu thực nghiệm dưới dạng vectơ và ma trận và xử lý chúng bằng bộ máy đại số ma trận. Hiệu quả của phương pháp này được minh họa bằng ví dụ trình bày trong đó, trình bày ba quang phổ được chụp ở 200 bước sóng từ 4000 đến 4796 cm −1. Đầu tiên ( x 1) và thứ hai ( x 2) Phổ thu được đối với các mẫu chuẩn trong đó nồng độ của hai chất A và B đã biết: trong mẫu thứ nhất [A] = 0,5, [B] = 0,1 và trong mẫu thứ hai [A] = 0,2, [ B] = 0,6. Có thể nói gì về một mẫu mới, chưa biết, phổ của mẫu đó được biểu thị x 3 ?

Chúng ta hãy xem xét ba quang phổ thí nghiệm x 1 , x 2 và x 3 là ba vectơ có chiều 200. Sử dụng đại số tuyến tính, người ta có thể dễ dàng chứng minh rằng x 3 = 0.1 x 1 +0.3 x 2, do đó mẫu thứ ba hiển nhiên chỉ chứa chất A và B với nồng độ [A] = 0,5×0,1 + 0,2×0,3 = 0,11 và [B] = 0,1×0,1 + 0,6×0,3 = 0,19.

1. Thông tin cơ bản

1.1 Ma trận

Ma trận gọi là bảng số hình chữ nhật chẳng hạn

Cơm. 2 ma trận

Ma trận được ký hiệu bằng chữ in hoa đậm ( MỘT) và các phần tử của chúng - bằng các chữ cái viết thường tương ứng với các chỉ số, tức là Một ij. Chỉ mục đầu tiên đánh số các hàng và chỉ mục thứ hai - các cột. Trong hóa học, người ta thường biểu thị giá trị tối đa của một chỉ số bằng cùng một chữ cái với chính chỉ số đó, nhưng bằng chữ in hoa. Do đó ma trận MỘT cũng có thể được viết là ( Một ij , Tôi = 1,..., TÔI; j = 1,..., J). Đối với ma trận ví dụ TÔI = 4, J= 3 và Một 23 = −7.5.

Cặp số TÔI Và Jđược gọi là chiều của ma trận và được ký hiệu là TÔI× J. Một ví dụ về ma trận trong hóa học là tập hợp các phổ thu được cho TÔI mẫu cho J bước sóng.

1.2. Các phép toán đơn giản nhất với ma trận

Ma trận có thể nhân với số. Trong trường hợp này, mỗi phần tử được nhân với số này. Ví dụ -

Cơm. 3 Nhân một ma trận với một số

Hai ma trận cùng chiều có thể là từng phần tử nếp gấp Và trừ đi. Ví dụ,

Cơm. 4 Phép cộng ma trận

Kết quả của phép nhân với một số và phép cộng sẽ thu được một ma trận có cùng thứ nguyên.

Ma trận số 0 là ma trận bao gồm các số 0. Nó được chỉ định ồ. Hiển nhiên là MỘT+ồ = MỘT, MỘT−MỘT = ồ và 0 MỘT = ồ.

Ma trận có thể là chuyển đổi. Trong quá trình hoạt động này, ma trận bị lật, tức là. hàng và cột được hoán đổi. Chuyển vị được biểu thị bằng số nguyên tố, MỘT" hoặc chỉ mục MỘT t. Như vậy, nếu MỘT = {Một ij , Tôi = 1,..., TÔI; j = 1,...,J), Cái đó MỘT t = ( Một kỷ , j = 1,...,J; tôi = 1,..., TÔI). Ví dụ

Cơm. 5 Chuyển vị ma trận

Hiển nhiên là ( MỘT t) t = MỘT, (MỘT+B)t = A t+ B t.

1.3. Phép nhân ma trận

Ma trận có thể nhân, nhưng chỉ khi chúng có kích thước phù hợp. Tại sao điều này là như vậy sẽ được rõ ràng từ định nghĩa. Sản phẩm ma trận MỘT, kích thước TÔI× K, và ma trận B, kích thước K× J, được gọi là ma trận C, kích thước TÔI× J, các phần tử của nó là số

Vì vậy đối với sản phẩm ABđiều cần thiết là số cột trong ma trận bên trái MỘT bằng số hàng trong ma trận bên phải B. Một ví dụ về sản phẩm ma trận -

Hình 6 Tích của ma trận

Quy tắc nhân ma trận có thể được xây dựng như sau. Để tìm phần tử ma trận C, đang đứng ở ngã tư Tôi-dòng thứ và j cột thứ ( c ij) phải được nhân từng phần tử Tôi-hàng thứ của ma trận đầu tiên MỘT TRÊN j cột thứ của ma trận thứ hai B và cộng tất cả các kết quả lại. Vì vậy, trong ví dụ được hiển thị, một phần tử từ hàng thứ ba và cột thứ hai được lấy dưới dạng tổng của các tích từng phần tử của hàng thứ ba MỘT và cột thứ hai B

Hình 7 Phần tử của tích ma trận

Tích của ma trận phụ thuộc vào thứ tự, tức là AB ≠ BA., ít nhất là vì lý do chiều. Họ nói rằng nó không giao hoán. Tuy nhiên, tích của ma trận có tính chất kết hợp. Nó có nghĩa là ABC = (AB)C = MỘT(BC). Ngoài ra, nó còn có tính phân phối, tức là MỘT(B+C) = AB+AC.. Hiển nhiên là A.O. = ồ.

1.4. Ma trận vuông

Nếu số cột ma trận bằng số hàng của nó ( TÔI = J=N), thì ma trận như vậy được gọi là ma trận vuông. Trong phần này chúng ta sẽ chỉ xem xét các ma trận như vậy. Trong số các ma trận này, có thể phân biệt các ma trận có tính chất đặc biệt.

Đơn ma trận (ký hiệu TÔI, và đôi khi E) là một ma trận trong đó tất cả các phần tử đều bằng 0, ngoại trừ các phần tử đường chéo bằng 1, tức là.

Rõ ràng A.I. = I.A. = MỘT.

Ma trận được gọi là đường chéo, nếu tất cả các phần tử của nó ngoại trừ các phần tử đường chéo ( Một ii) đều bằng không. Ví dụ

Cơm. 8 Ma trận đường chéo

Ma trận MỘT gọi là đỉnh cao hình tam giác, nếu tất cả các phần tử của nó nằm dưới đường chéo đều bằng 0, tức là Một ij= 0, tại Tôi>j. Ví dụ

Cơm. 9 Ma trận tam giác trên

Ma trận tam giác dưới được định nghĩa tương tự.

Ma trận MỘT gọi điện đối xứng, Nếu như MỘT t = MỘT. Nói cách khác Một ij = Một kỷ. Ví dụ

Cơm. 10 Ma trận đối xứng

Ma trận MỘT gọi điện trực giao, Nếu như

MỘT t MỘT = A.A. t = TÔI.

Ma trận được gọi là Bình thường Nếu như

1.5. Dấu vết và yếu tố quyết định

Kế tiếp Ma trận vuông MỘT(ký hiệu là Tr( MỘT) hoặc Sp( MỘT)) là tổng các phần tử đường chéo của nó,

Ví dụ,

Cơm. 11 Dấu vết ma trận

Hiển nhiên là

Sp(α MỘT) = α Sp( MỘT) Và

Sp( MỘT+B) = Sp( MỘT)+Sp( B).

Nó có thể được hiển thị rằng

Sp( MỘT) = Sp( MỘT t), Sp( TÔI) = N,

và cả cái đó nữa

Sp( AB) = Sp( BA.).

Một đặc tính quan trọng khác của ma trận vuông là bản ngã(ký hiệu là det( MỘT)). Việc xác định định thức trong trường hợp tổng quát khá khó nên chúng ta sẽ bắt đầu với phương án đơn giản nhất - ma trận MỘT kích thước (2 × 2). Sau đó

Đối với ma trận (3×3), định thức sẽ bằng

Trong trường hợp ma trận ( N× N) định thức được tính bằng tổng 1·2·3· ... · N= N! điều khoản, mỗi điều khoản đều bằng nhau

Chỉ mục k 1 , k 2 ,..., k Nđược định nghĩa là tất cả các hoán vị có thứ tự có thể r các số trong tập hợp (1, 2, ..., N). Tính định thức của ma trận là một thủ tục phức tạp, trong thực tế được thực hiện bằng các chương trình đặc biệt. Ví dụ,

Cơm. 12 Định thức ma trận

Chúng ta chỉ lưu ý những đặc tính hiển nhiên:

det( TÔI) = 1, det( MỘT) = det( MỘT t),

det( AB) = det( MỘT)det( B).

1.6. Vectơ

Nếu ma trận chỉ gồm một cột ( J= 1), thì đối tượng đó được gọi là vectơ. Chính xác hơn là một vectơ cột. Ví dụ

Người ta cũng có thể xem xét các ma trận gồm một hàng, ví dụ

Đối tượng này cũng là một vector, nhưng vectơ hàng. Khi phân tích dữ liệu, điều quan trọng là phải hiểu chúng ta đang xử lý vectơ nào - cột hoặc hàng. Vì vậy, phổ lấy cho một mẫu có thể được coi là một vectơ hàng. Sau đó, tập hợp cường độ phổ ở một bước sóng nhất định đối với tất cả các mẫu sẽ được coi là vectơ cột.

Kích thước của một vectơ là số phần tử của nó.

Rõ ràng là bất kỳ vectơ cột nào cũng có thể biến thành vectơ hàng bằng cách chuyển vị, tức là

Trong trường hợp hình dạng của vectơ không được chỉ định cụ thể mà được gọi đơn giản là vectơ, thì chúng có nghĩa là vectơ cột. Chúng tôi cũng sẽ tuân thủ quy tắc này. Một vectơ được biểu thị bằng chữ thường, chữ thẳng, chữ đậm. Vectơ 0 là vectơ có tất cả các phần tử bằng 0. Nó được chỉ định 0 .

1.7. Các phép toán đơn giản nhất với vectơ

Các vectơ có thể được cộng và nhân với các số giống như ma trận. Ví dụ,

Cơm. 13 Các phép toán với vectơ

Hai vectơ x Và yđược gọi là thẳng hàng, nếu tồn tại số α sao cho

1.8. Sản phẩm của vectơ

Hai vectơ cùng chiều N có thể được nhân lên. Cho có hai vectơ x = (x 1 , x 2 ,...,x N)t và y = (y 1 , y 2 ,...,y N) t. Được hướng dẫn bởi quy tắc nhân từng hàng, chúng ta có thể tạo ra hai kết quả từ chúng: x t y Và xy t. Công việc đầu tiên

gọi điện vô hướng hoặc nội bộ. Kết quả của nó là một con số. Nó còn được ký hiệu là ( x,y)= x t y. Ví dụ,

Cơm. 14 Tích trong (vô hướng)

Mảnh thứ hai

gọi điện bên ngoài. Kết quả của nó là một ma trận thứ nguyên ( N× N). Ví dụ,

Cơm. 15 Công tác đối ngoại

Các vectơ có tích vô hướng bằng 0 được gọi là trực giao.

1.9. Chuẩn vectơ

Tích vô hướng của một vectơ với chính nó được gọi là bình phương vô hướng. Giá trị này

định nghĩa một hình vuông chiều dài vectơ x. Để chỉ độ dài (còn gọi là chuẩn mực vector) ký hiệu được sử dụng

Ví dụ,

Cơm. 16 Chuẩn vectơ

Vectơ độ dài đơn vị (|| x|| = 1) được gọi là chuẩn hóa. Vectơ khác 0 ( x ≠ 0 ) có thể được chuẩn hóa bằng cách chia nó cho độ dài, tức là x = ||x|| (x/||x||) = ||x|| e. Đây e = x/||x|| - vectơ chuẩn hóa.

Các vectơ được gọi là trực chuẩn nếu chúng đều được chuẩn hóa và trực giao từng cặp.

1.10. Góc giữa các vectơ

Tích vô hướng xác định và gócφ giữa hai vectơ x Và y

Nếu các vectơ trực giao thì cosφ = 0 và φ = π/2, và nếu chúng thẳng hàng thì cosφ = 1 và φ = 0.

1.11. Biểu diễn vectơ của ma trận

Mỗi ma trận MỘT kích cỡ TÔI× J có thể được biểu diễn dưới dạng một tập hợp các vectơ

Ở đây mọi vectơ Một j là j cột thứ và vectơ hàng b Tôi là Tôi hàng thứ của ma trận MỘT

1.12. Các vectơ phụ thuộc tuyến tính

Các vectơ cùng chiều ( N) có thể được cộng và nhân với một số, giống như ma trận. Kết quả sẽ là một vectơ có cùng chiều. Giả sử có nhiều vectơ cùng chiều x 1 , x 2 ,...,x K và cùng một số số α α 1 , α 2 ,...,α K. Vectơ

y= α 1 x 1 + α 2 x 2 +...+ α K x K

gọi điện kết hợp tuyến tính vectơ x k .

Nếu có những số khác 0 như vậy α k ≠ 0, k = 1,..., K, Cái gì y = 0 , thì tập hợp các vectơ như vậy x k gọi điện phụ thuộc tuyến tính. Ngược lại, các vectơ được gọi là độc lập tuyến tính. Ví dụ, vectơ x 1 = (2, 2)t và x 2 = (−1, −1) t phụ thuộc tuyến tính, bởi vì x 1 +2x 2 = 0

1.13. Xếp hạng ma trận

Hãy xem xét một bộ K vectơ x 1 , x 2 ,...,x K kích thước N. Thứ hạng của hệ vectơ này là số lượng vectơ độc lập tuyến tính tối đa. Ví dụ như trong bộ

chỉ có hai vectơ độc lập tuyến tính, ví dụ x 1 và x 2 nên hạng của nó là 2.

Rõ ràng, nếu có nhiều vectơ trong một tập hợp hơn số chiều của chúng ( K>N), thì chúng nhất thiết phụ thuộc tuyến tính.

Xếp hạng ma trận(ký hiệu là cấp bậc( MỘT)) là hạng của hệ vectơ chứa nó. Mặc dù bất kỳ ma trận nào cũng có thể được biểu diễn theo hai cách (vectơ cột hoặc hàng), điều này không ảnh hưởng đến giá trị xếp hạng, bởi vì

1.14. ma trận nghịch đảo

Ma trận vuông MỘTđược gọi là không suy biến nếu nó có duy nhất đảo ngược ma trận MỘT-1, được xác định bởi các điều kiện

A.A. −1 = MỘT −1 MỘT = TÔI.

Ma trận nghịch đảo không tồn tại cho mọi ma trận. Điều kiện cần và đủ để không suy biến là

det( MỘT) ≠ 0 hoặc xếp hạng( MỘT) = N.

Đảo ngược ma trận là một thủ tục phức tạp trong đó có các chương trình đặc biệt. Ví dụ,

Cơm. 17 Đảo ngược ma trận

Hãy để chúng tôi trình bày các công thức cho trường hợp đơn giản nhất - ma trận 2 × 2

Nếu ma trận MỘT Và B không suy biến thì

(AB) −1 = B −1 MỘT −1 .

1.15. Ma trận giả nghịch đảo

Nếu ma trận MỘT là số ít và ma trận nghịch đảo không tồn tại, thì trong một số trường hợp bạn có thể sử dụng giả nghịch đảo ma trận, được định nghĩa là một ma trận như vậy MỘT+ cái đó

A.A. + MỘT = MỘT.

Ma trận giả nghịch đảo không phải là ma trận duy nhất và dạng của nó phụ thuộc vào phương pháp xây dựng. Ví dụ: đối với ma trận hình chữ nhật, bạn có thể sử dụng phương pháp Moore-Penrose.

Nếu số cột nhỏ hơn số hàng thì

MỘT + =(MỘT t MỘT) −1 MỘT t

Ví dụ,

Cơm. 17a Giả đảo ngược ma trận

Nếu số cột lớn hơn số hàng thì

MỘT + =MỘT t ( A.A. t) −1

1.16. Nhân một vectơ với một ma trận

Vectơ x có thể được nhân với một ma trận MỘT kích thước phù hợp. Trong trường hợp này, vectơ cột được nhân ở bên phải Cây rìu, và hàng vectơ ở bên trái x t MỘT. Nếu chiều vectơ J và thứ nguyên ma trận TÔI× J thì kết quả sẽ là một vectơ thứ nguyên TÔI. Ví dụ,

Cơm. 18 Nhân một vectơ với một ma trận

Nếu ma trận MỘT- quảng trường ( TÔI× TÔI), thì vectơ y = Cây rìu có cùng kích thước với x. Hiển nhiên là

MỘT(α 1 x 1 + α 2 x 2) = α 1 Cây rìu 1 + α 2 Cây rìu 2 .

Vì vậy, ma trận có thể coi là phép biến đổi tuyến tính của vectơ. Đặc biệt Ix = x, Con bò đực = 0 .

2. Thông tin bổ sung

2.1. Hệ phương trình tuyến tính

Cho phép MỘT- kích thước ma trận TÔI× J, MỘT b- vectơ chiều J. Xét phương trình

Cây rìu = b

liên quan đến vectơ x, kích thước TÔI. Về cơ bản, nó là một hệ thống TÔI phương trình tuyến tính với J không xác định x 1 ,...,x J. Một nghiệm tồn tại khi và chỉ khi

thứ hạng( MỘT) = xếp hạng( B) = R,

Ở đâu B là một ma trận mở rộng có kích thước TÔI×( J+1), gồm có một ma trận MỘT, được bổ sung bởi một cột b, B = (MỘT b). Ngược lại, các phương trình không nhất quán.

Nếu như R = TÔI = J, thì nghiệm là duy nhất

x = MỘT −1 b.

Nếu như R < TÔI, khi đó có nhiều nghiệm khác nhau có thể được biểu diễn thông qua tổ hợp tuyến tính J−R vectơ. Hệ phương trình thuần nhất Cây rìu = 0 với ma trận vuông MỘT (N× N) có nghiệm không cần thiết ( x ≠ 0 ) khi và chỉ nếu det( MỘT) = 0. Nếu R= xếp hạng( MỘT)<N, thì có N−R lời giải độc lập tuyến tính.

2.2. Dạng song tuyến và bậc hai

Nếu như MỘT là ma trận vuông và x Và y- vectơ có chiều tương ứng, sau đó là tích vô hướng của dạng x t ồ gọi điện song tuyến tính dạng được xác định bởi ma trận MỘT. Tại x = y sự biểu lộ x t Cây rìu gọi điện bậc hai hình thức.

2.3. Ma trận xác định dương

Ma trận vuông MỘT gọi điện tích cực nhất định, nếu với mọi vectơ khác 0 x ≠ 0 ,

x t Cây rìu > 0.

Được xác định tương tự tiêu cực (x t Cây rìu < 0), không tiêu cực (x t Cây rìu≥ 0) và tiêu cực (x t Cây rìu 0) ma trận nhất định.

2.4. phân hủy Cholesky

Nếu ma trận đối xứng MỘT xác định dương thì tồn tại ma trận tam giác duy nhất bạn với các yếu tố tích cực, trong đó

MỘT = bạn t bạn.

Ví dụ,

Cơm. 19 Phân hủy Cholesky

2.5. Phân hủy cực

Cho phép MỘT là ma trận vuông không số ít có chiều N× N. Sau đó có một điều độc đáo vùng cực hiệu suất

MỘT = S.R.

Ở đâu S là ma trận đối xứng không âm và R là một ma trận trực giao. Ma trận S Và R có thể được định nghĩa rõ ràng:

S 2 = A.A. hoặc S = (A.A. t) ½ và R = S −1 MỘT = (A.A. t) −½ MỘT.

Ví dụ,

Cơm. 20 Phân hủy cực

Nếu ma trận MỘT là suy biến thì phép phân rã không duy nhất - cụ thể là: S vẫn một mình nhưng R có lẽ rất nhiều. Phân rã cực đại diện cho ma trận MỘT dưới dạng kết hợp nén/mở rộng S quay lại R.

2.6. Vector riêng và giá trị riêng

Cho phép MỘT là ma trận vuông. Vectơ v gọi điện vectơ riêng ma trận MỘT, Nếu như

Av = λ v,

trong đó số λ được gọi giá trị riêng ma trận MỘT. Do đó, phép biến đổi mà ma trận thực hiện MỘT phía trên vectơ v, chuyển sang kéo dài hoặc nén đơn giản với hệ số λ. Vector riêng được xác định bằng phép nhân với hằng số α ≠ 0, tức là Nếu như v là một vectơ riêng thì α v- cũng là một vectơ riêng.

2.7. Giá trị riêng

Tại ma trận MỘT, kích thước ( N× N) không thể lớn hơn N các giá trị riêng. Họ thỏa mãn phương trình đặc trưng

det( MỘT − λ TÔI) = 0,

đó là một phương trình đại số N-thứ tự. Cụ thể, đối với ma trận 2×2 phương trình đặc tính có dạng

Ví dụ,

Cơm. 21 giá trị riêng

Tập các giá trị riêng λ 1 ,..., λ N ma trận MỘT gọi điện quang phổ MỘT.

Quang phổ có nhiều tính chất khác nhau. Đặc biệt

det( MỘT) = λ 1 ×...×λ N,Sp( MỘT) = λ 1 +...+λ N.

Các giá trị riêng của ma trận tùy ý có thể là số phức, nhưng nếu ma trận đối xứng ( MỘT t = MỘT), thì các giá trị riêng của nó là số thực.

2.8. vectơ riêng

Tại ma trận MỘT, kích thước ( N× N) không thể lớn hơn N các vectơ riêng, mỗi vectơ tương ứng với giá trị riêng của nó. Để xác định vectơ riêng v N cần giải hệ phương trình thuần nhất

(MỘT − λ N TÔI)v N = 0 .

Nó có một nghiệm không hề tầm thường, vì det( A −λ N TÔI) = 0.

Ví dụ,

Cơm. 22 vectơ riêng

Các vectơ riêng của ma trận đối xứng là trực giao.