كيفية إيجاد جذور المعادلة التربيعية بدون ج. المعادلات التربيعية - أمثلة مع الحلول والميزات والصيغ

نواصل دراسة الموضوع حل المعادلات". لقد تعرفنا بالفعل على المعادلات الخطية وسوف نتعرف عليها الآن المعادلات التربيعية.

أولاً ، سنناقش ماهية المعادلة التربيعية ، وكيفية كتابتها بشكل عام ، وإعطاء التعريفات ذات الصلة. بعد ذلك ، وباستخدام الأمثلة ، سنحلل بالتفصيل كيفية حل المعادلات التربيعية غير المكتملة. بعد ذلك ، دعنا ننتقل إلى حل المعادلات الكاملة ، والحصول على صيغة الجذور ، والتعرف على مميز المعادلة التربيعية ، والنظر في حلول لأمثلة نموذجية. أخيرًا ، نتتبع الروابط بين الجذور والمعاملات.

التنقل في الصفحة.

ما هي المعادلة التربيعية؟ أنواعهم

تحتاج أولاً إلى أن تفهم بوضوح ما هي المعادلة التربيعية. لذلك ، من المنطقي البدء في الحديث عن المعادلات التربيعية مع تعريف المعادلة التربيعية ، وكذلك التعريفات المتعلقة بها. بعد ذلك ، يمكنك التفكير في الأنواع الرئيسية من المعادلات التربيعية: المعادلات المختزلة وغير المختزلة ، وكذلك المعادلات الكاملة وغير الكاملة.

تعريف وأمثلة المعادلات التربيعية

تعريف.

معادلة من الدرجة الثانيةهي معادلة النموذج أ س 2 + ب س + ج = 0، حيث x متغير ، و a ، و b ، و c هي بعض الأرقام ، و a يختلف عن الصفر.

دعنا نقول على الفور أن المعادلات التربيعية تسمى غالبًا معادلات من الدرجة الثانية. هذا لأن المعادلة التربيعية هي معادلة جبريةالدرجة الثانية.

يسمح لنا التعريف الصوتي بإعطاء أمثلة على المعادلات التربيعية. إذن 2 × 2 +6 × + 1 = 0 ، 0.2 × 2 +2.5 × + 0.03 = 0 ، إلخ. هي معادلات من الدرجة الثانية.

تعريف.

أعداد تسمى أ ، ب ، ج معاملات المعادلة التربيعيةأ س 2 + ب س + ج \ u003d 0 ، والمعامل أ يسمى الأول ، أو الأكبر ، أو المعامل عند س 2 ، ب هو المعامل الثاني ، أو المعامل عند س ، وج عضو حر.

على سبيل المثال ، لنأخذ معادلة تربيعية بالصيغة 5 x 2 −2 x − 3 = 0 ، وهنا المعامل الرئيسي هو 5 ، والمعامل الثاني هو −2 ، والمصطلح الحر −3. لاحظ أنه عندما تكون المعاملات b و / أو c سالبة ، كما في المثال المعطى للتو ، يتم استخدام الصيغة القصيرة للمعادلة التربيعية للصيغة 5 x 2 −2 x − 3 = 0 ، وليس 5 x 2 + (- 2) س + (- 3) = 0.

تجدر الإشارة إلى أنه عندما تكون المعامِلات a و / أو b مساوية لـ 1 أو 1 ، فعادة ما لا تكون موجودة بشكل صريح في تدوين المعادلة التربيعية ، والتي ترجع إلى خصائص تدوين هذا. على سبيل المثال ، في المعادلة التربيعية y 2 −y + 3 = 0 ، المعامل الرئيسي هو واحد ، والمعامل عند y هو 1.

المعادلات التربيعية المختزلة وغير المختزلة

اعتمادًا على قيمة المعامل الرئيسي ، يتم تمييز المعادلات التربيعية المختزلة وغير المختزلة. دعونا نعطي التعاريف المقابلة.

تعريف.

معادلة من الدرجة الثانية يسمى فيها المعامل الرئيسي 1 معادلة من الدرجة الثانية. خلاف ذلك ، فإن المعادلة التربيعية هي غير مخفض.

وفقًا لهذا التعريف ، المعادلات التربيعية x 2 −3 x + 1 = 0 ، x 2 −x − 2/3 = 0 ، إلخ. - مخفضة ، في كل منها المعامل الأول يساوي واحدًا. و 5 × 2 −x − 1 = 0 ، إلخ. - المعادلات التربيعية غير المختزلة ، تختلف معاملاتها الرئيسية عن 1.

من أي معادلة تربيعية غير مختزلة ، بقسمة كلا الجزأين على المعامل الرئيسي ، يمكنك الانتقال إلى المعادلة المختزلة. هذا الإجراء هو تحويل مكافئ ، أي أن المعادلة التربيعية المختصرة التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة لها نفس جذور المعادلة التربيعية الأصلية غير المختزلة ، أو ، مثلها ، ليس لها جذور.

لنأخذ مثالاً على كيفية إجراء الانتقال من معادلة تربيعية غير مخفضة إلى معادلة مختصرة.

مثال.

من المعادلة 3 x 2 +12 x − 7 = 0 ، انتقل إلى المعادلة التربيعية المختزلة المقابلة.

المحلول.

يكفي أن نقوم بقسمة كلا الجزأين من المعادلة الأصلية على المعامل الرئيسي 3 ، فهو غير صفري ، لذا يمكننا تنفيذ هذا الإجراء. لدينا (3 × 2 +12 × − 7): 3 = 0: 3 ، وهو نفس (3 × 2): 3+ (12 ×): 3−7: 3 = 0 ، وهكذا (3) : 3) × 2 + (12: 3) × − 7: 3 = 0 ، من أين. إذن ، حصلنا على المعادلة التربيعية المختصرة ، والتي تكافئ المعادلة الأصلية.

إجابه:

معادلات تربيعية كاملة وغير كاملة

يوجد شرط أ ≠ 0 في تعريف المعادلة التربيعية. هذا الشرط ضروري حتى تكون المعادلة أ س 2 + ب س + ج = 0 مربعة تمامًا ، نظرًا لأن أ = 0 تصبح في الواقع معادلة خطية بالصيغة ب س + ج = 0.

أما بالنسبة للمعاملات b و c ، فيمكن أن تساوي الصفر ، على حدة أو معًا. في هذه الحالات ، تسمى المعادلة التربيعية غير كاملة.

تعريف.

تسمى المعادلة التربيعية أ س 2 + ب س + ج = 0 غير مكتمل، إذا كان أحد المعاملين على الأقل b ، c يساوي صفرًا.

بدوره

تعريف.

معادلة تربيعية كاملةهي معادلة تختلف فيها جميع المعاملات عن الصفر.

لم يتم إعطاء هذه الأسماء بالصدفة. سيصبح هذا واضحًا من المناقشة التالية.

إذا كان المعامل ب يساوي صفرًا ، فإن المعادلة التربيعية تأخذ الشكل أ س 2 +0 س + ج = 0 ، وهي تكافئ المعادلة أ س 2 + ج = 0. إذا كانت c = 0 ، أي أن المعادلة التربيعية لها الصيغة a x 2 + b x + 0 = 0 ، فيمكن إعادة كتابتها على أنها a x 2 + b x = 0. ومع b = 0 و c = 0 نحصل على المعادلة التربيعية a · x 2 = 0. تختلف المعادلات الناتجة عن المعادلة التربيعية الكاملة في أن جوانبها اليسرى لا تحتوي على مصطلح مع المتغير x ، أو مصطلح مجاني ، أو كليهما. ومن هنا جاء اسمهم - معادلات من الدرجة الثانية غير مكتملة.

إذن ، المعادلات x 2 + x + 1 = 0 و −2 x 2 −5 x + 0،2 = 0 هي أمثلة على المعادلات التربيعية الكاملة ، و x 2 = 0 ، −2 x 2 = 0 ، 5 x 2 +3 = 0 ، −x 2 −5 x = 0 هي معادلات تربيعية غير كاملة.

حل المعادلات التربيعية غير المكتملة

ويترتب على المعلومات الواردة في الفقرة السابقة أن هناك ثلاثة أنواع من المعادلات التربيعية غير المكتملة:

• أ س 2 = 0 ، المعامِلات ب = 0 وج = 0 تتوافق معها ؛
• أ س 2 + ج = 0 عندما ب = 0 ؛
• و أ س 2 + ب س = 0 عندما ج = 0.

دعونا نحلل بالترتيب كيفية حل المعادلات التربيعية غير المكتملة لكل نوع من هذه الأنواع.

أ × 2 \ u003d 0

لنبدأ بحل المعادلات التربيعية غير المكتملة التي يكون فيها المعاملان b و c مساويان للصفر ، أي مع المعادلات بالصيغة a x 2 = 0. المعادلة a · x 2 = 0 تعادل المعادلة x 2 = 0 ، والتي يتم الحصول عليها من الأصل بقسمة كلا الجزأين على رقم غير صفري a. من الواضح أن جذر المعادلة × 2 \ u003d 0 هو صفر ، منذ 0 2 \ u003d 0. هذه المعادلة ليس لها جذور أخرى ، وهو ما تم شرحه بالفعل ، بالنسبة لأي عدد غير صفري p ، تحدث المتباينة p 2> 0 ، مما يعني أنه بالنسبة لـ p 0 ، فإن المساواة p 2 = 0 لا تتحقق أبدًا.

لذلك ، فإن المعادلة التربيعية غير المكتملة أ × 2 \ u003d 0 لها جذر واحد x \ u003d 0.

كمثال ، نعطي حل معادلة تربيعية غير مكتملة −4 · x 2 = 0. إنها تعادل المعادلة x 2 \ u003d 0 ، جذرها الوحيد هو x \ u003d 0 ، وبالتالي ، فإن المعادلة الأصلية لها جذر واحد.

يمكن إصدار حل قصير في هذه الحالة على النحو التالي:
−4 × 2 \ u003d 0 ،
× 2 \ u003d 0 ،
س = 0.

أ س 2 + ج = 0

فكر الآن في كيفية حل المعادلات التربيعية غير المكتملة ، حيث يكون المعامل b مساويًا للصفر ، و c ≠ 0 ، أي المعادلات بالصيغة a x 2 + c = 0. نعلم أن نقل المصطلح من أحد طرفي المعادلة إلى الجانب الآخر بالإشارة المعاكسة ، وكذلك قسمة طرفي المعادلة على عدد غير صفري ، يعطي معادلة مكافئة. لذلك ، يمكن إجراء التحويلات المكافئة التالية للمعادلة التربيعية غير المكتملة أ س 2 + ج = 0:

• انقل c إلى الجانب الأيمن ، مما يعطي المعادلة a x 2 = −c ،
• ونقسم كلا أجزائه على أ ، نحصل على.

تسمح لنا المعادلة الناتجة باستخلاص استنتاجات حول جذورها. اعتمادًا على قيم a و c ، يمكن أن تكون قيمة التعبير سالبة (على سبيل المثال ، إذا كانت a = 1 و c = 2 ، إذن) أو موجبة (على سبيل المثال ، إذا كانت a = −2 و c = 6 ، إذن) ، لا يساوي الصفر ، لأنه بالشرط ج ≠ 0. سنقوم بتحليل الحالات بشكل منفصل و.

إذا ، فإن المعادلة ليس لها جذور. تأتي هذه العبارة من حقيقة أن مربع أي رقم هو رقم غير سالب. ويترتب على ذلك أنه عندما ، فعندئذٍ بالنسبة لأي رقم p ، لا يمكن أن تكون المساواة صحيحة.

إذا ، فإن الوضع مع جذور المعادلة مختلف. في هذه الحالة ، إذا تذكرنا ذلك ، يصبح جذر المعادلة واضحًا على الفور ، فهو الرقم ، منذ ذلك الحين. من السهل تخمين أن الرقم هو أيضًا جذر المعادلة بالفعل. هذه المعادلة ليس لها جذور أخرى ، والتي يمكن إظهارها ، على سبيل المثال ، من خلال التناقض. لنفعلها.

دعنا نشير إلى الجذور التي تم التعبير عنها للتو للمعادلة على أنها x 1 و −x 1. افترض أن المعادلة لها جذر آخر x 2 يختلف عن الجذور المشار إليها x 1 و −x 1. من المعروف أن الاستبدال في المعادلة بدلاً من x بجذورها يحول المعادلة إلى مساواة عددية حقيقية. لدينا بالنسبة إلى x 1 و −x 1 ، وبالنسبة إلى x 2 لدينا. تتيح لنا خصائص المساواة العددية إجراء عملية طرح لكل مصطلح لمعادلات عددية حقيقية ، لذا فإن طرح الأجزاء المقابلة من المعادلات يعطي x 1 2 - x 2 2 = 0. تسمح لنا خصائص العمليات بالأرقام بإعادة كتابة المساواة الناتجة كـ (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. نعلم أن حاصل ضرب عددين يساوي صفرًا فقط إذا كان أحدهما على الأقل يساوي صفرًا. لذلك ، يتبع من المساواة التي تم الحصول عليها أن x 1 −x 2 = 0 و / أو x 1 + x 2 = 0 ، وهو نفسه ، x 2 = x 1 و / أو x 2 = x 1. لقد توصلنا إلى تناقض ، لأننا قلنا في البداية أن جذر المعادلة x 2 يختلف عن x 1 و −x 1. هذا يثبت أن المعادلة ليس لها جذور أخرى غير و.

دعونا نلخص المعلومات الواردة في هذه الفقرة. المعادلة التربيعية غير المكتملة أ س 2 + ج = 0 تعادل المعادلة التي

• ليس له جذور إذا ،
• له جذرين وإذا.

ضع في اعتبارك أمثلة لحل المعادلات التربيعية غير المكتملة بالصيغة a · x 2 + c = 0.

لنبدأ بالمعادلة التربيعية 9 × 2 + 7 = 0. بعد نقل المصطلح المجاني إلى الجانب الأيمن من المعادلة ، سيأخذ الشكل 9 × 2 = −7. بقسمة طرفي المعادلة الناتجة على 9 ، نصل إلى. نظرًا لأنه يتم الحصول على رقم سالب على الجانب الأيمن ، فإن هذه المعادلة ليس لها جذور ، وبالتالي ، فإن المعادلة التربيعية الأصلية غير المكتملة 9 × 2 + 7 = 0 ليس لها جذور.

لنحل معادلة تربيعية أخرى غير مكتملة −x 2 + 9 = 0. ننقل التسعة إلى الجانب الأيمن: -x 2 \ u003d -9. الآن نقسم كلا الجزأين على −1 ، نحصل على x 2 = 9. يحتوي الجانب الأيمن على رقم موجب ، نستنتج منه ذلك أو. بعد أن نكتب الإجابة النهائية: المعادلة التربيعية غير المكتملة −x 2 + 9 = 0 لها جذران x = 3 أو x = −3.

أ س 2 + ب س = 0

يبقى التعامل مع حل النوع الأخير من المعادلات التربيعية غير المكتملة لـ c = 0. تسمح لك المعادلات التربيعية غير المكتملة بالشكل أ س 2 + ب س = 0 بحلها طريقة التحليل. من الواضح أنه يمكننا ، الموجودين في الجانب الأيسر من المعادلة ، وهو ما يكفي لإخراج العامل المشترك x من الأقواس. هذا يسمح لنا بالانتقال من المعادلة التربيعية الأصلية غير المكتملة إلى معادلة مكافئة للصيغة x · (a · x + b) = 0. وهذه المعادلة تكافئ مجموعة المعادلتين x = 0 و a x + b = 0 ، وآخرهما خطي وله جذر x = b / a.

لذلك ، فإن المعادلة التربيعية غير المكتملة أ س 2 + ب س = 0 لها جذران x = 0 و x = b / a.

لتوحيد المادة ، سنقوم بتحليل حل مثال معين.

مثال.

حل المعادلة.

المحلول.

نخرج x من الأقواس ، وهذا يعطينا المعادلة. إنه يكافئ معادلتين x = 0 و. نحل المعادلة الخطية الناتجة: وبعد قسمة العدد الكسري على كسر عادي ، نجد. لذلك ، فإن جذور المعادلة الأصلية هي x = 0 و.

بعد الحصول على الممارسة اللازمة ، يمكن كتابة حلول هذه المعادلات بإيجاز:

إجابه:

س = 0 ،.

التمييز ، صيغة جذور المعادلة التربيعية

توجد صيغة جذر لحل المعادلات التربيعية. دعنا نكتب صيغة جذور المعادلة التربيعية: ، أين د = ب 2 −4 أ ج- ما يسمى مميز لمعادلة تربيعية. التدوين يعني ذلك أساسًا.

من المفيد معرفة كيفية الحصول على صيغة الجذر ، وكيفية تطبيقها في إيجاد جذور المعادلات التربيعية. دعونا نتعامل مع هذا.

اشتقاق صيغة جذور المعادلة التربيعية

دعونا نحل المعادلة التربيعية أ · س 2 + ب · س + ج = 0. لنقم ببعض التحولات المكافئة:

• يمكننا قسمة كلا الجزأين من هذه المعادلة على عدد غير صفري a ، ونتيجة لذلك نحصل على المعادلة التربيعية المختصرة.
• حاليا حدد مربعًا كاملاًعلى جانبه الأيسر:. بعد ذلك ، ستأخذ المعادلة الشكل.
• في هذه المرحلة ، من الممكن تنفيذ نقل المصطلحين الأخيرين إلى الجانب الأيمن باستخدام الإشارة المعاكسة ، لدينا.
• ودعنا أيضًا نحول التعبير في الجانب الأيمن:.

نتيجة لذلك ، نصل إلى المعادلة التي تعادل المعادلة التربيعية الأصلية أ · س 2 + ب · س + ج = 0.

لقد حللنا بالفعل معادلات متشابهة في الشكل في الفقرات السابقة عندما حللناها. هذا يسمح لنا باستخلاص الاستنتاجات التالية فيما يتعلق بجذور المعادلة:

• إذا ، فإن المعادلة ليس لها حلول حقيقية ؛
• إذا كان للمعادلة الشكل الذي يظهر منه جذرها الوحيد ؛
• إذا ، إذن ، أو ، التي هي نفسها أو ، أي أن المعادلة لها جذران.

وبالتالي ، فإن وجود أو عدم وجود جذور المعادلة ، وبالتالي المعادلة التربيعية الأصلية ، يعتمد على علامة التعبير على الجانب الأيمن. في المقابل ، يتم تحديد علامة هذا التعبير بعلامة البسط ، لأن المقام 4 a 2 يكون دائمًا موجبًا ، أي علامة التعبير b 2 −4 a c. يسمى هذا التعبير ب 2 −4 أ ج مميز لمعادلة تربيعيةومميز بالحرف د. من هنا ، يتضح جوهر المميز - بقيمته وإشاراته ، يستنتج ما إذا كانت المعادلة التربيعية لها جذور حقيقية ، وإذا كان الأمر كذلك ، فما هو رقمها - واحد أم اثنان.

نعود إلى المعادلة ، ونعيد كتابتها باستخدام تدوين المميز:. ونستنتج:

• إذا د<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• إذا كانت D = 0 ، فإن هذه المعادلة لها جذر واحد ؛
• أخيرًا ، إذا كانت D> 0 ، فإن المعادلة لها جذران ، أو يمكن إعادة كتابتهما بالصيغة ، أو بعد فك الكسور وتقليلها إلى مقام مشترك ، نحصل عليها.

لذلك قمنا باشتقاق الصيغ الخاصة بجذور المعادلة التربيعية ، كما يبدو ، حيث يُحسب المميز D بالصيغة D = b 2 −4 a c.

بمساعدتهم ، باستخدام مميز موجب ، يمكنك حساب كلا الجذور الحقيقية للمعادلة التربيعية. عندما يكون المميز مساويًا للصفر ، تعطي كلتا الصيغتين نفس القيمة الجذرية المقابلة للحل الوحيد للمعادلة التربيعية. ومع التمييز السلبي ، عند محاولة استخدام صيغة لجذور المعادلة التربيعية ، فإننا نواجه استخراج الجذر التربيعي من رقم سالب ، الأمر الذي يأخذنا خارج نطاق المناهج الدراسية. مع المميز السلبي ، فإن المعادلة التربيعية ليس لها جذور حقيقية ، ولكن لها زوج المكورات معقدةالجذور ، والتي يمكن العثور عليها باستخدام نفس صيغ الجذر التي حصلنا عليها.

خوارزمية لحل المعادلات التربيعية باستخدام صيغ الجذر

في الممارسة العملية ، عند حل معادلة من الدرجة الثانية ، يمكنك على الفور استخدام صيغة الجذر ، والتي من خلالها تحسب قيمها. لكن هذا يتعلق أكثر بإيجاد جذور معقدة.

ومع ذلك ، في مقرر الجبر المدرسي ، لا نتحدث عادة عن الجذور المعقدة ، ولكن عن الجذور الحقيقية للمعادلة التربيعية. في هذه الحالة ، يُنصح أولاً بإيجاد المميز قبل استخدام الصيغ الخاصة بجذور المعادلة التربيعية ، والتأكد من أنها غير سالبة (وإلا ، يمكننا أن نستنتج أن المعادلة ليس لها جذور حقيقية) ، وبعد ذلك احسب قيم الجذور.

المنطق أعلاه يسمح لنا بالكتابة خوارزمية لحل المعادلة التربيعية. لحل المعادلة التربيعية أ س 2 + ب س + ج \ u003d 0 ، فأنت بحاجة إلى:

• باستخدام الصيغة المميزة D = b 2 −4 a c احسب قيمتها ؛
• استنتج أن المعادلة التربيعية ليس لها جذور حقيقية إذا كان المميز سالبًا ؛
• احسب الجذر الوحيد للمعادلة باستخدام الصيغة إذا كانت D = 0 ؛
• أوجد جذرين حقيقيين لمعادلة تربيعية باستخدام صيغة الجذر إذا كان المميز موجبًا.

نلاحظ هنا فقط أنه إذا كان المميز يساوي صفرًا ، فيمكن أيضًا استخدام الصيغة ، وستعطي نفس القيمة.

يمكنك الانتقال إلى أمثلة لتطبيق الخوارزمية لحل المعادلات التربيعية.

أمثلة على حل المعادلات التربيعية

ضع في اعتبارك حلول ثلاث معادلات تربيعية ذات تمييز موجب وسالب وصفر. بعد التعامل مع حلهم ، عن طريق القياس سيكون من الممكن حل أي معادلة تربيعية أخرى. لنبدأ.

مثال.

أوجد جذور المعادلة x 2 +2 x − 6 = 0.

المحلول.

في هذه الحالة ، لدينا المعاملات التالية للمعادلة التربيعية: أ = 1 ، ب = 2 ، ج = 6. وفقًا للخوارزمية ، تحتاج أولاً إلى حساب المميز ، لذلك نقوم باستبدال المعادلات a و b و c المشار إليها في الصيغة المميزة ، لدينا د = ب 2 4 أ ج = 2 2 −4 1 (6) = 4 + 24 = 28. بما أن 28> 0 ، أي أن المميز أكبر من صفر ، فإن للمعادلة التربيعية جذرين حقيقيين. لنجدهم من خلال صيغة الجذور ، ونحصل هنا على تبسيط المقادير التي تم الحصول عليها عن طريق العمل العوملة خارج علامة الجذرمتبوعًا بتقليل الكسر:

إجابه:

دعنا ننتقل إلى المثال النموذجي التالي.

مثال.

حل المعادلة التربيعية −4 x 2 +28 x − 49 = 0.

المحلول.

نبدأ بإيجاد المميز: D = 28 2 −4 (−4) (−49) = 784−784 = 0. لذلك ، هذه المعادلة التربيعية لها جذر واحد ، والذي نجده ،

إجابه:

س = 3.5.

يبقى النظر في حل المعادلات التربيعية ذات التمييز السلبي.

مثال.

حل المعادلة ٥ ص ٢ + ٦ ص + ٢ = ٠.

المحلول.

فيما يلي معاملات المعادلة التربيعية: أ = 5 ، ب = 6 ، ج = 2. بالتعويض عن هذه القيم في الصيغة التمييزية ، لدينا د = ب 2 4 أ ج = 6 2 −4 5 2 = 36−40 = −4. المميز سالب ، وبالتالي فإن هذه المعادلة التربيعية ليس لها جذور حقيقية.

إذا كنت بحاجة إلى تحديد جذور معقدة ، فإننا نستخدم الصيغة المعروفة لجذور المعادلة التربيعية وننفذ العمليات ذات الأعداد المركبة:

إجابه:

لا توجد جذور حقيقية ، الجذور المعقدة هي:.

مرة أخرى ، نلاحظ أنه إذا كان تمييز المعادلة التربيعية سالبًا ، فعادة ما تكتب المدرسة على الفور الإجابة ، والتي تشير فيها إلى عدم وجود جذور حقيقية ، وعدم العثور على جذور معقدة.

صيغة الجذر للمعاملات الثانية

صيغة جذور المعادلة التربيعية ، حيث D = b 2 −4 a c تسمح لك بالحصول على صيغة أكثر إحكاما تسمح لك بحل المعادلات التربيعية بمعامل متساوٍ عند x (أو ببساطة بمعامل يشبه 2 n ، على سبيل المثال ، أو 14 ln5 = 2 7 ln5). دعنا نخرجها.

لنفترض أننا بحاجة إلى حل معادلة تربيعية بالصيغة a x 2 +2 n x + c = 0. لنجد جذوره باستخدام الصيغة المعروفة لدينا. للقيام بذلك ، نحسب المميز د = (2 ن) 2 −4 أ ج = 4 ن 2 −4 أ ج = 4 (ن 2 − أ ج)، ثم نستخدم صيغة الجذر:

قم بالإشارة إلى التعبير n 2 −a c كـ D 1 (يُشار إليه أحيانًا بـ D "). ثم تأخذ صيغة جذور المعادلة التربيعية ذات المعامل الثاني 2 n الصيغة ، حيث د 1 = ن 2 − أ ج.

من السهل ملاحظة أن D = 4 · D 1 أو D 1 = D / 4. بمعنى آخر ، D 1 هو الجزء الرابع من المميز. من الواضح أن علامة D 1 هي نفس علامة D. أي أن العلامة D 1 هي أيضًا مؤشر على وجود أو عدم وجود جذور المعادلة التربيعية.

إذن ، لحل المعادلة التربيعية بالمعامل الثاني 2 n ، أنت بحاجة

• احسب د 1 = n 2 −a · c؛
• إذا د 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• إذا كانت D 1 = 0 ، فاحسب الجذر الوحيد للمعادلة باستخدام الصيغة ؛
• إذا كانت D 1> 0 ، فأوجد جذرين حقيقيين باستخدام الصيغة.

ضع في اعتبارك حل المثال باستخدام صيغة الجذر التي تم الحصول عليها في هذه الفقرة.

مثال.

حل المعادلة التربيعية 5 × 2 −6 × − 32 = 0.

المحلول.

يمكن تمثيل المعامل الثاني لهذه المعادلة بـ 2 · (−3). أي يمكنك إعادة كتابة المعادلة التربيعية الأصلية بالصيغة 5 x 2 +2 (−3) x − 32 = 0 ، هنا a = 5 ، n = −3 و c = −32 ، وحساب الجزء الرابع من مميز: د 1 = ن 2 −a ج = (- 3) 2 5 (−32) = 9 + 160 = 169. نظرًا لأن قيمتها موجبة ، فإن للمعادلة جذرين حقيقيين. نجدهم باستخدام صيغة الجذر المقابلة:

لاحظ أنه كان من الممكن استخدام الصيغة المعتادة لجذور المعادلة التربيعية ، ولكن في هذه الحالة ، يجب القيام بمزيد من العمل الحسابي.

إجابه:

تبسيط شكل المعادلات التربيعية

في بعض الأحيان ، قبل الشروع في حساب جذور المعادلة التربيعية باستخدام الصيغ ، لا يضر طرح السؤال: "هل من الممكن تبسيط شكل هذه المعادلة"؟ توافق على أنه من حيث الحسابات سيكون من الأسهل حل المعادلة التربيعية 11 × 2 4 × −6 = 0 من 1100 × 2 −400 × − 600 = 0.

عادةً ما يتم تبسيط شكل المعادلة التربيعية بضرب أو قسمة كلا طرفيها على عدد معين. على سبيل المثال ، في الفقرة السابقة ، تمكنا من تحقيق تبسيط للمعادلة 1100 × 2 −400 × −600 = 0 بقسمة كلا الجانبين على 100.

يتم إجراء تحول مماثل باستخدام المعادلات التربيعية ، ومعاملاتها ليست كذلك. في هذه الحالة ، يتم عادةً قسمة جزأي المعادلة على القيم المطلقة لمعاملاتها. على سبيل المثال ، لنأخذ المعادلة التربيعية 12 × 2 −42 × + 48 = 0. القيم المطلقة لمعاملاته: gcd (12، 42، 48) = gcd (12، 42)، 48) = gcd (6، 48) = 6. بقسمة كلا الجزأين من المعادلة التربيعية الأصلية على 6 ، نصل إلى المعادلة التربيعية المكافئة 2 × 2 −7 × + 8 = 0.

وعادة ما يتم ضرب كلا الجزأين من المعادلة التربيعية للتخلص من المعاملات الكسرية. في هذه الحالة ، يتم الضرب على قواسم معاملاته. على سبيل المثال ، إذا تم ضرب كلا الجزأين من المعادلة التربيعية في المضاعف المشترك الأصغر (6 ، 3 ، 1) = 6 ، فستأخذ صيغة أبسط x 2 +4 x − 18 = 0.

في ختام هذه الفقرة ، نلاحظ أنه دائمًا ما يتم التخلص من الطرح عند المعامل الرئيسي للمعادلة التربيعية عن طريق تغيير إشارات جميع المصطلحات ، والتي تتوافق مع ضرب (أو قسمة) كلا الجزأين في −1. على سبيل المثال ، عادةً من المعادلة التربيعية −2 · x 2 −3 · x + 7 = 0 انتقل إلى الحل 2 · x 2 + 3 · x − 7 = 0.

العلاقة بين الجذور والمعاملات في المعادلة التربيعية

تعبر صيغة جذور المعادلة التربيعية عن جذور المعادلة بدلالة معاملاتها. بناءً على صيغة الجذور ، يمكنك الحصول على علاقات أخرى بين الجذور والمعاملات.

الصيغ الأكثر شهرة وقابلة للتطبيق من نظرية فييتا للشكل و. على وجه الخصوص ، بالنسبة للمعادلة التربيعية المعطاة ، فإن مجموع الجذور يساوي المعامل الثاني مع الإشارة المعاكسة ، وحاصل ضرب الجذور هو المصطلح المجاني. على سبيل المثال ، بصيغة المعادلة التربيعية 3 × 2 7 × + 22 = 0 ، يمكننا أن نقول على الفور أن مجموع جذورها هو 7/3 ، وحاصل ضرب الجذور هو 22/3.

باستخدام الصيغ المكتوبة بالفعل ، يمكنك الحصول على عدد من العلاقات الأخرى بين الجذور والمعاملات الخاصة بالمعادلة التربيعية. على سبيل المثال ، يمكنك التعبير عن مجموع مربعات جذور المعادلة التربيعية بدلالة معاملاتها:.

فهرس.

• الجبر:كتاب مدرسي لمدة 8 خلايا. تعليم عام المؤسسات / [Yu. ن. ماكاريشيف ، إن جي مينديوك ، ك. آي. نيشكوف ، إس ب. سوفوروفا] ؛ إد. S. A. Telyakovsky. - الطبعة ال 16. - م: التربية والتعليم 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
• مردكوفيتش أ.الجبر. الصف 8. الساعة 2 بعد الظهر الجزء الأول. كتاب مدرسي لطلاب المؤسسات التعليمية / أ. ج. مردكوفيتش. - الطبعة الحادية عشرة ، ممحاة. - م: Mnemozina، 2009. - 215 ص: م. ردمك 978-5-346-01155-2.

من المعروف أنها نسخة معينة من فأس المساواة 2 + في + c \ u003d o ، حيث a و b و c هي معاملات حقيقية لـ x غير معروف ، وحيث سيكون a ≠ o و b و c أصفارًا - في وقت واحد أو بشكل منفصل. على سبيل المثال ، c = o ، v ≠ o أو العكس. لقد تذكرنا تقريبًا تعريف المعادلة التربيعية.

ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية يساوي صفرًا. يمكن لمعامله الأول a ≠ o و b و c أن يأخذ أي قيم. ستكون قيمة المتغير x حينئذٍ ، عند الاستبدال ، ستحوله إلى المساواة العددية الصحيحة. دعونا نتحدث عن الجذور الحقيقية ، على الرغم من أن حلول المعادلة يمكن أن تكون كاملة أيضًا ، فمن المعتاد استدعاء معادلة لا يساوي أي من المعاملات فيها o ، a ≠ o ، b ≠ o ، c o.
دعنا نحل مثالا. 2x2 -9x-5 = أوه ، نجد
د = 81 + 40 = 121 ،
D موجبة ، لذا هناك جذور ، x 1 = (9 + √121): 4 = 5 ، والثاني x 2 = (9-√121): 4 = -o.5. سيساعد الفحص على التأكد من صحتها.

هنا حل خطوة بخطوة للمعادلة التربيعية

من خلال المميز ، يمكنك حل أي معادلة ، يوجد على الجانب الأيسر منها مثلث ثلاثي الحدود مع a ≠ o. في مثالنا. 2x 2-9x-5 \ u003d 0 (فأس 2 + في + ج \ u003d س)

فكر في المعادلات غير المكتملة من الدرجة الثانية

1. الفأس 2 + في = o. المصطلح الحر ، المعامل c عند x 0 ، هو صفر هنا ، في ≠ o.
   كيف تحل معادلة تربيعية غير مكتملة من هذا النوع؟ لنأخذ x من الأقواس. تذكر عندما يكون حاصل ضرب عاملين صفرًا.
   x (ax + b) = o ، يمكن أن يكون هذا عندما x = o أو عندما ax + b = o.
   لحل الثانية ، لدينا x = -v / a.
   نتيجة لذلك ، لدينا جذور × 1 \ u003d 0 ، وفقًا للحسابات × 2 \ u003d -b / a.
2. الآن معامل x هو o ، لكن c لا يساوي (≠) o.
   × 2 + ج \ u003d س. ننقل c إلى الجانب الأيمن من المساواة ، نحصل على x 2 \ u003d -c. هذه المعادلة لها جذور حقيقية فقط عندما يكون -c رقمًا موجبًا (c ‹o) ،
   x 1 تساوي √ (-c) على التوالي ، x 2 تساوي-(-c). خلاف ذلك ، فإن المعادلة ليس لها جذور على الإطلاق.
3. الخيار الأخير: b \ u003d c \ u003d o ، أي ax 2 \ u003d o. بطبيعة الحال ، مثل هذه المعادلة البسيطة لها جذر واحد ، x = o.

حالات خاصة

لقد درسنا كيفية حل معادلة تربيعية غير مكتملة ، والآن سنأخذ أي نوع.

• في المعادلة التربيعية الكاملة ، المعامل الثاني لـ x هو عدد زوجي.
  دع k = o، 5b. لدينا صيغ لحساب المميز والجذور.
  D / 4 \ u003d k 2 - ac ، يتم حساب الجذور على النحو التالي x 1،2 \ u003d (-k ± √ (D / 4)) / a لـ D ›o.
  x = -k / a عند D = o.
  لا توجد جذور لـ D ‹o.
• هناك معادلات تربيعية مخفضة ، عندما يكون معامل x تربيع 1 ، فعادة ما يتم كتابتها x 2 + px + q \ u003d o. تنطبق عليها جميع الصيغ المذكورة أعلاه ، لكن الحسابات أبسط إلى حد ما.
  مثال ، x 2 -4x-9 \ u003d 0. نحسب D: 2 2 +9 ، D \ u003d 13.
  س 1 = 2 + 13 ، س 2 = 2-13.
• بالإضافة إلى ذلك ، يمكن تطبيقها بسهولة على الجذور المعطاة. فهي تقول أن مجموع جذور المعادلة يساوي -p ، والمعامل الثاني بعلامة ناقص (أي الإشارة المعاكسة) ، وحاصل ضرب هذه الجذور نفسها تكون مساوية لـ q ، المصطلح المجاني. اكتشف مدى سهولة تحديد جذور هذه المعادلة شفهيًا. بالنسبة إلى غير المختزلة (لجميع المعاملات التي لا تساوي الصفر) ، تنطبق هذه النظرية على النحو التالي: المجموع x 1 + x 2 يساوي -v / a ، المنتج x 1 x 2 يساوي c / a .

مجموع المصطلح الحر ج والمعامل الأول أ يساوي المعامل ب. في هذه الحالة ، يكون للمعادلة جذر واحد على الأقل (من السهل إثباته) ، فالأول يساوي بالضرورة -1 ، والثاني - c / a ، إن وجد. كيفية حل معادلة تربيعية غير مكتملة ، يمكنك التحقق منها بنفسك. سهل جدا. يمكن أن تكون المعاملات في بعض النسب فيما بينها

• x 2 + x \ u003d o، 7x 2 -7 \ u003d o.
• مجموع كل المعاملات هو o.
  جذور هذه المعادلة هي 1 و c / a. مثال: 2x 2-15x + 13 = o.
  × 1 \ u003d 1 ، × 2 \ u003d 13/2.

هناك عدد من الطرق الأخرى لحل المعادلات المختلفة من الدرجة الثانية. هنا ، على سبيل المثال ، طريقة لاستخراج مربع كامل من كثير حدود معين. هناك عدة طرق بيانية. عندما تتعامل غالبًا مع مثل هذه الأمثلة ، ستتعلم "النقر فوقها" مثل البذور ، لأن جميع الطرق تتبادر إلى الذهن تلقائيًا.

مع برنامج الرياضيات هذا يمكنك حل المعادلة التربيعية.

لا يعطي البرنامج الإجابة على المشكلة فحسب ، بل يعرض أيضًا عملية الحل بطريقتين:
- باستخدام المميز
- استخدام نظرية فييتا (إن أمكن).

علاوة على ذلك ، يتم عرض الإجابة بدقة وليست تقريبية.
على سبيل المثال ، بالنسبة للمعادلة \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \) ، يتم عرض الإجابة بهذا الشكل:

يمكن أن يكون هذا البرنامج مفيدًا لطلاب المدارس الثانوية استعدادًا للاختبارات والامتحانات ، عند اختبار المعرفة قبل امتحان الدولة الموحد ، للآباء للتحكم في حل العديد من المشكلات في الرياضيات والجبر. أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية؟ أو هل تريد فقط إنهاء واجباتك في الرياضيات أو الجبر في أسرع وقت ممكن؟ في هذه الحالة ، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع حل مفصل.

وبهذه الطريقة ، يمكنك إجراء تدريبك الخاص و / أو تدريب إخوتك أو أخواتك الأصغر سنًا ، مع زيادة مستوى التعليم في مجال المهام التي يتعين حلها.

إذا لم تكن على دراية بقواعد إدخال كثير حدود مربع ، فننصحك بالتعرف عليها.

قواعد إدخال مربع متعدد الحدود

يمكن لأي حرف لاتيني أن يعمل كمتغير.
على سبيل المثال: \ (x ، y ، z ، a ، b ، c ، o ، p ، q \) إلخ.

يمكن إدخال الأرقام كأعداد صحيحة أو كسور.
علاوة على ذلك ، يمكن إدخال الأرقام الكسرية ليس فقط في شكل عدد عشري ، ولكن أيضًا في شكل كسر عادي.

قواعد إدخال الكسور العشرية.
في الكسور العشرية ، يمكن فصل الجزء الكسري من العدد الصحيح إما بنقطة أو فاصلة.
على سبيل المثال ، يمكنك إدخال الكسور العشرية مثل هذا: 2.5x - 3.5x ^ 2

قواعد إدخال الكسور العادية.
فقط عدد صحيح يمكن أن يعمل كبسط ومقام وجزء صحيح من الكسر.

لا يمكن أن يكون المقام سالبًا.

عند إدخال كسر عددي ، يتم فصل البسط عن المقام بعلامة قسمة: /
يتم فصل الجزء الصحيح عن الكسر بواسطة علامة العطف: &
الإدخال: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
النتيجة: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)

عند إدخال تعبير يمكنك استخدام الأقواس. في هذه الحالة ، عند حل معادلة تربيعية ، يتم أولاً تبسيط التعبير المقدم.
على سبيل المثال: 1/2 (ص -1) (ص + 1) - (5 ص -10 & 1/2)

تم العثور على أن بعض البرامج النصية اللازمة لحل هذه المهمة لم يتم تحميلها ، وقد لا يعمل البرنامج.
قد يكون لديك AdBlock ممكّنًا.
في هذه الحالة ، قم بتعطيله وتحديث الصفحة.

لان هناك الكثير من الأشخاص الذين يرغبون في حل المشكلة ، يتم وضع طلبك في قائمة الانتظار.
بعد بضع ثوانٍ ، سيظهر الحل أدناه.
انتظر من فضلك ثانية ...

اذا أنت لاحظت وجود خطأ في الحل، ثم يمكنك الكتابة عنها في نموذج الملاحظات.
لا تنسى تشير إلى أي مهمةعليك أن تقرر ماذا أدخل في الحقول.

ألعابنا وألغازنا ومحاكياتنا:

قليلا من النظرية.

المعادلة التربيعية وجذورها. معادلات تربيعية غير مكتملة

كل من المعادلات
\ (- x ^ 2 + 6x + 1،4 = 0، \ quad 8x ^ 2-7x = 0، \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
لديه الشكل
\ (فأس ^ 2 + ب س + ج = 0 ، \)
حيث x متغير و a و b و c أرقام.
في المعادلة الأولى أ = -1 ، ب = 6 ، ج = 1.4 ، في الثانية أ = 8 ، ب = -7 ، ج = 0 ، في الثالثة أ = 1 ، ب = 0 ، ج = 4/9. تسمى هذه المعادلات المعادلات التربيعية.

تعريف.
معادلة من الدرجة الثانيةيتم استدعاء معادلة من الشكل ax 2 + bx + c = 0 ، حيث x عبارة عن متغير ، و a و b و c هي بعض الأرقام ، و \ (a \ neq 0 \).

الأرقام أ ، ب ، ج هي معاملات المعادلة التربيعية. الرقم أ يسمى المعامل الأول ، الرقم ب هو المعامل الثاني والرقم ج هو التقاطع.

في كل من المعادلات على شكل ax 2 + bx + c = 0 ، حيث \ (a \ neq 0 \) ، أكبر قوة للمتغير x هي مربع. ومن هنا جاء الاسم: المعادلة التربيعية.

لاحظ أن المعادلة التربيعية تسمى أيضًا معادلة من الدرجة الثانية ، حيث أن جانبها الأيسر متعدد الحدود من الدرجة الثانية.

معادلة من الدرجة الثانية يسمى فيها المعامل عند x 2 هو 1 معادلة من الدرجة الثانية. على سبيل المثال ، المعادلات التربيعية المعطاة هي المعادلات
\ (س ^ 2-11x + 30 = 0 ، \ رباعي س ^ 2-6x = 0 ، \ رباعي س ^ 2-8 = 0 \)

إذا كانت المعادلة التربيعية ax 2 + bx + c = 0 على الأقل واحد من المعاملين b أو c يساوي صفرًا ، فإن هذه المعادلة تسمى معادلة تربيعية غير كاملة. إذن ، المعادلات -2x 2 + 7 = 0 ، 3x 2 -10x = 0 ، -4x 2 = 0 هي معادلات تربيعية غير مكتملة. في أولها ب = 0 ، في الثانية ج = 0 ، في الثالثة ب = 0 وج = 0.

المعادلات التربيعية غير المكتملة من ثلاثة أنواع:
1) فأس 2 + ج = 0 ، حيث \ (ج \ neq 0 \) ؛
2) الفأس 2 + bx = 0 ، حيث \ (b \ neq 0 \) ؛
3) المحور 2 = 0.

ضع في اعتبارك حل المعادلات لكل من هذه الأنواع.

لحل معادلة تربيعية غير مكتملة للنموذج ax 2 + c = 0 لـ \ (c \ neq 0 \) ، يتم نقل المصطلح الحر إلى الجانب الأيمن ويتم تقسيم كلا الجزأين من المعادلة على:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Rightarrow x_ (1،2) = \ pm \ sqrt (- \ frac (c) (a)) \)

منذ \ (c \ neq 0 \) ، ثم \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)

إذا كان \ (- \ frac (c) (a)> 0 \) ، فإن المعادلة لها جذرين.

إذا \ (- \ frac (c) (a) لحل معادلة تربيعية غير مكتملة للنموذج ax 2 + bx = 0 من أجل \ (b \ neq 0 \) قم بتحليل جانبها الأيسر والحصول على المعادلة
\ (x (ax + b) = 0 \ Rightarrow \ left \ (\ start (array) (l) x = 0 \\ ax + b = 0 \ end (array) \ right. \ rightarrow \ left \ (\ begin (مجموعة) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ end (array) \ right. \)

ومن ثم ، فإن المعادلة التربيعية غير المكتملة للشكل ax 2 + bx = 0 لـ \ (b \ neq 0 \) لها دائمًا جذرين.

المعادلة التربيعية غير المكتملة للنموذج ax 2 \ u003d 0 تعادل المعادلة x 2 \ u003d 0 وبالتالي لها جذر واحد 0.

صيغة جذور المعادلة التربيعية

دعونا الآن نفكر في كيفية حل المعادلات التربيعية التي يكون فيها كل من معاملات المجهول والمصطلح الحر غير صفري.

نحل المعادلة التربيعية بشكل عام ونتيجة لذلك نحصل على صيغة الجذور. ثم يمكن تطبيق هذه الصيغة لحل أي معادلة تربيعية.

حل المعادلة التربيعية ax 2 + bx + c = 0

بقسمة كلا الجزأين على أ ، نحصل على المعادلة التربيعية المختزلة المكافئة
\ (س ^ 2 + \ فارك (ب) (أ) س + \ فارك (ج) (أ) = 0 \)

نقوم بتحويل هذه المعادلة من خلال إبراز مربع ذات الحدين:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2- \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ Rightarrow \)

يسمى التعبير الجذر مميز لمعادلة تربيعية ax 2 + bx + c = 0 ("مميز" باللاتينية - distinguisher). يشار إليه بالحرف D ، أي
\ (د = ب ^ 2-4ac \)

الآن ، باستخدام تدوين المميز ، نعيد كتابة صيغة جذور المعادلة التربيعية:
\ (x_ (1،2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \) ، حيث \ (D = b ^ 2-4ac \)

من الواضح أن:
1) إذا كانت D> 0 ، فإن المعادلة التربيعية لها جذرين.
2) إذا كانت D = 0 ، فإن المعادلة التربيعية لها جذر واحد \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) إذا كانت D هكذا ، اعتمادًا على قيمة المميز ، يمكن أن يكون للمعادلة التربيعية جذران (لـ D> 0) ، جذر واحد (لـ D = 0) أو بدون جذور (لـ D عند حل معادلة من الدرجة الثانية باستخدام هذه الصيغة يُنصح باتباع الطريقة التالية:
1) احسب المميز وقارنه بالصفر ؛
2) إذا كان المميز موجبًا أو يساوي صفرًا ، فاستخدم صيغة الجذر ، وإذا كان المميز سالبًا ، فاكتب أنه لا توجد جذور.

نظرية فييتا

المعادلة التربيعية المعطاة ax 2 -7x + 10 = 0 لها جذور 2 و 5. مجموع الجذور 7 ، والحاصل ضرب 10. نرى أن مجموع الجذور يساوي المعامل الثاني ، مأخوذًا مع علامة معاكسة ، وحاصل ضرب الجذور يساوي المصطلح الحر. أي معادلة تربيعية مختصرة لها جذور لها هذه الخاصية.

مجموع جذور المعادلة التربيعية المعطاة يساوي المعامل الثاني ، مأخوذًا بعلامة معاكسة ، وحاصل ضرب الجذور يساوي المصطلح المجاني.

أولئك. تنص نظرية فييتا على أن الجذور x 1 و x 2 للمعادلة التربيعية المختصرة x 2 + px + q = 0 لها الخاصية:
\ (\ left \ (\ start (array) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (array) \ right. \)

استمرارًا لموضوع "حل المعادلات" ، ستعرفك المادة الواردة في هذه المقالة على المعادلات التربيعية.

دعونا نفكر في كل شيء بالتفصيل: جوهر وتدوين المعادلة التربيعية ، ووضع المصطلحات ذات الصلة ، وتحليل مخطط حل المعادلات غير الكاملة والكاملة ، والتعرف على صيغة الجذور والمميز ، وإنشاء روابط بين الجذور والمعاملات ، وبالطبع سنقدم حلاً مرئيًا لأمثلة عملية.

Yandex.RTB R-A-339285-1

المعادلة التربيعية أنواعها

معادلة من الدرجة الثانيةهي المعادلة مكتوبة كـ أ س 2 + ب س + ج = 0، أين x- متغير ، أ ، ب و جهي بعض الأرقام ، بينما أليس صفرا.

في كثير من الأحيان ، تسمى المعادلات التربيعية أيضًا معادلات من الدرجة الثانية ، نظرًا لأن المعادلة التربيعية في الواقع هي معادلة جبرية من الدرجة الثانية.

دعنا نعطي مثالاً لتوضيح التعريف المحدد: 9 × 2 + 16 × + 2 = 0 ؛ 7 ، 5 × 2 + 3 ، 1 × + 0 ، 11 = 0 ، إلخ. هي معادلات من الدرجة الثانية.

التعريف 2

الأرقام أ ، ب ، جهي معاملات المعادلة التربيعية أ س 2 + ب س + ج = 0، بينما المعامل أيسمى المعامل الأول ، أو الأكبر ، أو المعامل عند x 2 ، b - المعامل الثاني ، أو المعامل عند x، أ جيسمى عضو مجاني.

على سبيل المثال ، في المعادلة التربيعية 6 × 2 - 2 × - 11 = 0أعلى معامل هو 6 ، والمعامل الثاني هو − 2 ، والمصطلح المجاني يساوي − 11 . دعونا ننتبه إلى حقيقة أنه عند المعاملات بو / أو c سالبة ، ثم يتم استخدام الصيغة المختصرة 6 × 2 - 2 × - 11 = 0، لكن لا 6 × 2 + (- 2) × + (- 11) = 0.

دعونا نوضح هذا الجانب أيضًا: إذا كانت المعاملات أو / أو بمساو 1 أو − 1 ، ثم لا يجوز لهم القيام بدور صريح في كتابة المعادلة التربيعية ، وهو ما يفسر بخصائص كتابة المعاملات العددية المشار إليها. على سبيل المثال ، في المعادلة التربيعية ص 2 - ص + 7 = 0المعامل الأول هو 1 والمعامل الثاني هو − 1 .

المعادلات التربيعية المختزلة وغير المختزلة

وفقًا لقيمة المعامل الأول ، يتم تقسيم المعادلات التربيعية إلى مخفضة وغير مخفضة.

التعريف 3

معادلة تربيعية مخفضةهي معادلة من الدرجة الثانية حيث المعامل الرئيسي هو 1. بالنسبة للقيم الأخرى للمعامل الرئيسي ، تكون المعادلة التربيعية غير مخفضة.

فيما يلي بعض الأمثلة: المعادلات التربيعية × 2 - 4 · س + 3 = 0 ، × 2 - س - 4 5 = 0 يتم اختزالها ، وفي كل منها يكون المعامل الأول هو 1.

9 × 2 - س - 2 = 0- معادلة تربيعية غير مخفضة ، حيث يختلف المعامل الأول عنها 1 .

يمكن تحويل أي معادلة تربيعية غير مخفضة إلى معادلة مخفضة عن طريق قسمة أجزائها على المعامل الأول (التحويل المكافئ). سيكون للمعادلة المحولة نفس الجذور مثل المعادلة غير المختزلة أو لن يكون لها جذور على الإطلاق.

سيسمح لنا النظر في مثال محدد بإثبات الانتقال بوضوح من معادلة تربيعية غير مخفضة إلى معادلة مختصرة.

مثال 1

بالنظر إلى المعادلة 6 × 2 + 18 × - 7 = 0 . من الضروري تحويل المعادلة الأصلية إلى الصيغة المختصرة.

المحلول

وفقًا للمخطط أعلاه ، نقسم كلا جزئي المعادلة الأصلية على المعامل الرئيسي 6. ثم نحصل على: (6 × 2 + 18 × - 7): 3 = 0: 3، وهذا مماثل لـ: (6 × 2): 3 + (18 ×): 3-7: 3 = 0و كذلك: (6: 6) × 2 + (18: 6) × - 7: 6 = 0.من هنا: س 2 + 3 س - 1 1 6 = 0. وبالتالي ، يتم الحصول على معادلة مكافئة للمعطى المعطى.

إجابه: س 2 + 3 س - 1 1 6 = 0.

معادلات تربيعية كاملة وغير كاملة

دعونا ننتقل إلى تعريف المعادلة التربيعية. في ذلك ، حددنا ذلك أ ≠ 0. شرط مماثل ضروري للمعادلة أ س 2 + ب س + ج = 0كان مربعًا تمامًا ، منذ ذلك الحين أ = 0يتحول أساسًا إلى معادلة خطية ب س + ج = 0.

في الحالة التي تكون فيها المعاملات بو جتساوي الصفر (وهو أمر ممكن ، فرديًا وجماعيًا) ، تسمى المعادلة التربيعية غير مكتملة.

التعريف 4

معادلة تربيعية غير كاملةهي معادلة من الدرجة الثانية أ س 2 + ب س + ج \ u003d 0 ،حيث يوجد واحد على الأقل من المعاملات بو ج(أو كلاهما) يساوي صفرًا.

معادلة تربيعية كاملةهي معادلة من الدرجة الثانية لا تساوي فيها جميع المعاملات العددية صفرًا.

دعونا نناقش سبب إعطاء أنواع المعادلات التربيعية مثل هذه الأسماء على وجه التحديد.

بالنسبة إلى ب = 0 ، تأخذ المعادلة التربيعية الشكل أ س 2 + 0 س + ج = 0، وهو نفس أ س 2 + ج = 0. في ج = 0تتم كتابة المعادلة التربيعية كـ أ س 2 + ب س + 0 = 0، وهو ما يعادل أ س 2 + ب س = 0. في ب = 0و ج = 0ستأخذ المعادلة الشكل أ س 2 = 0. تختلف المعادلات التي حصلنا عليها عن المعادلة التربيعية الكاملة من حيث أن جوانبها اليسرى لا تحتوي على مصطلح مع المتغير x ، أو مصطلح مجاني ، أو كليهما في وقت واحد. في الواقع ، أعطت هذه الحقيقة اسمًا لهذا النوع من المعادلات - غير مكتمل.

على سبيل المثال ، x 2 + 3 x + 4 = 0 و - 7 x 2-2 x + 1، 3 = 0 هي معادلات تربيعية كاملة ؛ × 2 \ u003d 0 ، - 5 × 2 \ u003d 0 ؛ 11 x 2 + 2 = 0 ، - x 2-6 x = 0 هي معادلات تربيعية غير كاملة.

حل المعادلات التربيعية غير المكتملة

يجعل التعريف الوارد أعلاه من الممكن التمييز بين الأنواع التالية من المعادلات التربيعية غير المكتملة:

• أ س 2 = 0، المعاملات تتوافق مع مثل هذه المعادلة ب = 0و ج = 0 ؛
• أ × 2 + ج \ u003d 0 من أجل ب \ u003d 0 ؛
• أ س 2 + ب س = 0 ل ج = 0.

فكر في حل كل نوع من المعادلات التربيعية غير المكتملة على التوالي.

حل المعادلة أ × 2 \ u003d 0

كما ذكرنا سابقًا ، تتوافق هذه المعادلة مع المعاملات بو جتساوي الصفر. المعادلة أ س 2 = 0يمكن تحويلها إلى معادلة مكافئة س 2 = 0، والتي نحصل عليها بقسمة طرفي المعادلة الأصلية على الرقم أ، لا يساوي الصفر. الحقيقة الواضحة هي أن جذر المعادلة س 2 = 0هو صفر لأن 0 2 = 0 . هذه المعادلة ليس لها جذور أخرى ، وهذا ما تفسره خصائص الدرجة: لأي عدد صلا يساوي الصفر ، عدم المساواة صحيحة p2> 0، والتي يتبع ذلك متى ص ≠ 0المساواة ع 2 = 0لن يتم الوصول إليه أبدًا.

التعريف 5

وبالتالي ، بالنسبة للمعادلة التربيعية غير المكتملة أ س 2 = 0 ، يوجد جذر واحد س = 0.

مثال 2

على سبيل المثال ، لنحل معادلة تربيعية غير مكتملة - 3 × 2 = 0. إنه يعادل المعادلة س 2 = 0، جذره الوحيد س = 0، فإن المعادلة الأصلية لها جذر واحد - صفر.

يتلخص الحل على النحو التالي:

- 3 × 2 \ u003d 0 ، × 2 \ u003d 0 ، س \ u003d 0.

حل المعادلة أ س 2 + ج \ u003d 0

التالي في السطر هو حل المعادلات التربيعية غير المكتملة ، حيث ب \ u003d 0 ، ج ≠ 0 ، أي معادلات النموذج أ س 2 + ج = 0. دعنا نحول هذه المعادلة عن طريق نقل المصطلح من جانب واحد من المعادلة إلى الجانب الآخر ، وتغيير الإشارة إلى الجانب المقابل وقسمة كلا طرفي المعادلة على رقم لا يساوي الصفر:

• تحمل جعلى الجانب الأيمن ، وهو ما يعطي المعادلة أ س 2 = - ج;
• قسّم طرفي المعادلة على أ، ونتيجة لذلك نحصل على x = - c a.

تحويلاتنا مكافئة ، على التوالي ، المعادلة الناتجة تعادل أيضًا المعادلة الأصلية ، وهذه الحقيقة تجعل من الممكن استخلاص استنتاج حول جذور المعادلة. من ما هي القيم أو جيعتمد على قيمة التعبير - c a: يمكن أن يكون لها علامة ناقص (على سبيل المثال ، if أ = 1و ج = 2، إذن - ج أ = - 2 1 = - 2) أو علامة زائد (على سبيل المثال ، إذا أ = -2و ج = 6، إذن - ج أ = - 6-2 = 3) ؛ لا يساوي الصفر لأن ج ≠ 0. دعونا نتناول المزيد من التفاصيل حول المواقف التي - ج أ< 0 и - c a > 0 .

في حالة - ج أ< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа صالمساواة ص 2 = - لا يمكن أن يكون ج أ صحيحًا.

كل شيء مختلف عندما - c a> 0: تذكر الجذر التربيعي ، وسيصبح من الواضح أن جذر المعادلة x 2 \ u003d - c a سيكون الرقم - c a ، منذ - c a 2 \ u003d - c a. من السهل أن نفهم أن الرقم - - ج أ - هو أيضًا جذر المعادلة × 2 = - ج أ: في الواقع ، - - ج أ 2 = - ج أ.

لن يكون للمعادلة جذور أخرى. يمكننا توضيح ذلك باستخدام الطريقة المعاكسة. أولًا ، دعنا نضع تدوين الجذور أعلاه على النحو التالي × 1و - × 1. لنفترض أن المعادلة x 2 = - c a لها أيضًا جذر x2الذي يختلف عن الجذور × 1و - × 1. نعلم ذلك بالتعويض في المعادلة بدلاً من xبجذورها ، نقوم بتحويل المعادلة إلى مساواة عددية عادلة.

إلى عن على × 1و - × 1اكتب: x 1 2 = - c a و for x2- × 2 2 \ u003d - ج أ. استنادًا إلى خصائص المساواة العددية ، نطرح مساواة حقيقية من مصطلح آخر حسب المصطلح ، مما يمنحنا: × 1 2 - × 2 2 = 0. استخدم خصائص العمليات العددية لإعادة كتابة المساواة الأخيرة كـ (× 1 - × 2) (× 1 + × 2) = 0. من المعروف أن حاصل ضرب عددين يكون صفرًا فقط إذا كان أحدهما على الأقل صفرًا. مما قيل ، يتبع ذلك x1 - x2 = 0و / أو س 1 + س 2 = 0، وهو نفس الشيء x2 = x1و / أو س 2 = - س 1. نشأ تناقض واضح ، لأنه في البداية تم الاتفاق على جذر المعادلة x2يختلف عن × 1و - × 1. لذا ، فقد أثبتنا أن المعادلة ليس لها جذور أخرى غير x = - c a و x = - - c a.

نلخص كل الحجج أعلاه.

التعريف 6

معادلة تربيعية غير كاملة أ س 2 + ج = 0تعادل المعادلة س 2 = - ج أ ، والتي:

• لن يكون لها جذور في - ج أ< 0 ;
• سيكون له جذران x = - c a و x = - - c a عندما - c a> 0.

دعونا نعطي أمثلة على حل المعادلات أ س 2 + ج = 0.

مثال 3

بالنظر إلى المعادلة التربيعية 9 × 2 + 7 = 0.من الضروري إيجاد حلها.

المحلول

ننقل المصطلح المجاني إلى الجانب الأيمن من المعادلة ، ثم تأخذ المعادلة الشكل 9 × 2 \ u003d - 7.
نقسم كلا طرفي المعادلة الناتجة على 9 ، نصل إلى x 2 = - 7 9. على الجانب الأيمن ، نرى عددًا بعلامة ناقص ، مما يعني أن المعادلة المعطاة ليس لها جذور. ثم المعادلة التربيعية الأصلية غير المكتملة 9 × 2 + 7 = 0لن يكون لها جذور.

إجابه:المعادلة 9 × 2 + 7 = 0ليس له جذور.

مثال 4

من الضروري حل المعادلة - س 2 + 36 = 0.

المحلول

دعنا ننتقل 36 إلى الجانب الأيمن: - س 2 = - 36.
دعونا نقسم كلا الجزأين إلى − 1 ، نحن نحصل س 2 = 36. يوجد على الجانب الأيمن رقم موجب ، ويمكننا استنتاج ذلك منه س = 36 أو س = - 36.
نستخرج الجذر ونكتب النتيجة النهائية: معادلة تربيعية غير مكتملة - س 2 + 36 = 0له جذور س = 6أو س = -6.

إجابه: س = 6أو س = -6.

حل المعادلة أ س 2 + ب س = 0

دعونا نحلل النوع الثالث من المعادلات التربيعية غير المكتملة ، متى ج = 0. لإيجاد حل لمعادلة غير كاملة من الدرجة الثانية أ س 2 + ب س = 0، نستخدم طريقة التحليل. دعونا نحلل كثير الحدود ، الموجود على الجانب الأيسر من المعادلة ، مع إخراج العامل المشترك من الأقواس x. ستجعل هذه الخطوة من الممكن تحويل المعادلة التربيعية الأصلية غير المكتملة إلى معادلة لها س (أ س + ب) = 0. وهذه المعادلة بدورها تعادل مجموعة المعادلات س = 0و أ س + ب = 0. المعادلة أ س + ب = 0خطي وجذره: س = - ب أ.

التعريف 7

وهكذا ، فإن المعادلة التربيعية غير المكتملة أ س 2 + ب س = 0سيكون له جذرين س = 0و س = - ب أ.

دعنا ندمج المادة بمثال.

مثال 5

من الضروري إيجاد حل المعادلة 2 3 · س 2 - 2 2 7 · س = 0.

المحلول

دعنا نخرج xخارج الأقواس واحصل على المعادلة x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0. هذه المعادلة تعادل المعادلات س = 0و 2 3 س - 2 2 7 = 0. الآن يجب أن تحل المعادلة الخطية الناتجة: 2 3 · س = 2 2 7 ، س = 2 2 7 2 3.

باختصار نكتب حل المعادلة كالتالي:

٢ ٣ × ٢ - ٢ ٢ ٧ × = ٠ × ٢ ٣ × - ٢ ٢ ٧ = ٠

س = 0 أو 2 3 س - 2 2 7 = 0

س = 0 أو س = 3 3 7

إجابه:س = 0 ، س = 3 3 7.

التمييز ، صيغة جذور المعادلة التربيعية

لإيجاد حل للمعادلات التربيعية ، توجد صيغة جذر:

التعريف 8

س = - ب ± د 2 أ ، أين د = ب 2-4 أ جهو ما يسمى بتمييز المعادلة التربيعية.

تعني الكتابة x \ u003d - b ± D 2 a بشكل أساسي أن x 1 \ u003d - b + D 2 a ، x 2 \ u003d - b - D 2 a.

سيكون من المفيد فهم كيفية اشتقاق الصيغة المشار إليها وكيفية تطبيقها.

اشتقاق صيغة جذور المعادلة التربيعية

افترض أننا نواجه مهمة حل معادلة من الدرجة الثانية أ س 2 + ب س + ج = 0. لننفذ عددًا من التحولات المكافئة:

• قسّم طرفي المعادلة على الرقم أ، بخلاف الصفر ، نحصل على المعادلة التربيعية المختصرة: x 2 + b a x + c a \ u003d 0 ؛
• حدد المربع الكامل على الجانب الأيسر من المعادلة الناتجة:
  س 2 + ب أ س + ج أ = س 2 + 2 ب 2 أ س + ب 2 أ 2 - ب 2 أ 2 + ج أ = = س + ب 2 أ 2 - ب 2 أ 2 + ج أ
  بعد ذلك ، ستأخذ المعادلة الشكل: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \ u003d 0 ؛
• من الممكن الآن نقل المصطلحين الأخيرين إلى الجانب الأيمن ، وتغيير الإشارة إلى العكس ، وبعد ذلك نحصل على: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a؛
• أخيرًا ، نقوم بتحويل التعبير المكتوب على الجانب الأيمن من المساواة الأخيرة:
  ب 2 أ 2 - ج أ \ u003d ب 2 4 أ 2 - ج أ \ u003d ب 2 4 أ 2-4 أ ج 4 أ 2 \ u003d ب 2-4 أ ج 4 أ 2.

وهكذا توصلنا إلى المعادلة س + ب 2 أ 2 = ب 2-4 أ ج 4 أ 2 ، وهو ما يعادل المعادلة الأصلية أ س 2 + ب س + ج = 0.

ناقشنا حل هذه المعادلات في الفقرات السابقة (حل المعادلات التربيعية غير المكتملة). تتيح الخبرة المكتسبة بالفعل استخلاص استنتاج فيما يتعلق بجذور المعادلة x + b 2 a 2 = b 2-4 a c 4 a 2:

• لـ b 2-4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• بالنسبة إلى b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 ، فإن المعادلة لها الصيغة x + b 2 · a 2 = 0 ، ثم x + b 2 · a = 0.

من هنا ، الجذر الوحيد x = - b 2 · a واضح ؛

• بالنسبة لـ b 2-4 a c 4 a 2> 0 ، الصحيح هو: x + b 2 a = b 2-4 a c 4 a 2 أو x = b 2 a - b 2-4 a c 4 a 2 ، وهو مثل س + - ب 2 أ = ب 2 - 4 أ ج 4 أ 2 أو س = - ب 2 أ - ب 2-4 أ ج 4 أ 2 ، أي المعادلة لها جذران.

من الممكن أن نستنتج أن وجود أو عدم وجود جذور المعادلة س + ب 2 أ 2 = ب 2-4 أ ج 4 أ 2 (ومن ثم المعادلة الأصلية) يعتمد على علامة التعبير ب 2-4 أ ج 4 · 2 مكتوب على الجانب الأيمن. وإشارة هذا المقدار تُعطى بعلامة البسط (المقام 4 أ 2ستكون دائمًا إيجابية) ، أي علامة التعبير ب 2-4 أ ج. هذا التعبير ب 2-4 أ جيتم إعطاء اسم - مميز المعادلة التربيعية ويتم تعريف الحرف D على أنه تعيينه. هنا يمكنك كتابة جوهر المميز - بقيمته وإشاراته ، يستنتجون ما إذا كانت المعادلة التربيعية سيكون لها جذور حقيقية ، وإذا كان الأمر كذلك ، فكم عدد الجذور - واحد أو اثنان.

لنعد إلى المعادلة س + ب 2 أ 2 = ب 2-4 أ ج 4 أ 2. دعنا نعيد كتابته باستخدام الرمز المميز: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2.

دعنا نلخص الاستنتاجات:

التعريف 9

• في د< 0 المعادلة ليس لها جذور حقيقية ؛
• في د = 0المعادلة لها جذر واحد x = - b 2 · a ؛
• في د> 0للمعادلة جذرين: س \ u003d - ب 2 أ + د 4 أ 2 أو س \ u003d - ب 2 أ - د 4 أ 2. بناءً على خصائص الجذور ، يمكن كتابة هذه الجذور على النحو التالي: x \ u003d - b 2 a + D 2 a or - b 2 a - D 2 a. وعندما نفتح الوحدات ونخفض الكسور إلى قاسم مشترك ، نحصل على: x \ u003d - b + D 2 a، x \ u003d - b - D 2 a.

إذن ، نتيجة تفكيرنا كانت اشتقاق صيغة جذور المعادلة التربيعية:

س = - ب + د 2 أ ، س = - ب - د 2 أ ، مميز دمحسوبة بالصيغة د = ب 2-4 أ ج.

تتيح هذه الصيغ تحديد الجذور الحقيقية عندما يكون المميز أكبر من الصفر. عندما يكون المميز صفرًا ، فإن تطبيق كلتا الصيغتين سيعطي نفس الجذر مثل الحل الوحيد للمعادلة التربيعية. في الحالة التي يكون فيها المميز سالبًا ، نحاول استخدام صيغة الجذر التربيعي ، سنواجه الحاجة إلى استخراج الجذر التربيعي لعدد سالب ، وهو ما سيأخذنا إلى ما وراء الأعداد الحقيقية. مع التمييز السلبي ، لن يكون للمعادلة التربيعية جذور حقيقية ، ولكن زوج من الجذور المترافقة المعقدة ممكن ، تحددها نفس صيغ الجذر التي حصلنا عليها.

خوارزمية لحل المعادلات التربيعية باستخدام صيغ الجذر

من الممكن حل معادلة تربيعية باستخدام صيغة الجذر فورًا ، ولكن يتم ذلك بشكل أساسي عندما يكون من الضروري إيجاد جذور معقدة.

في معظم الحالات ، لا يُقصد بالبحث عادة البحث عن الجذور المعقدة ، ولكن للجذور الحقيقية للمعادلة التربيعية. ثم من الأفضل ، قبل استخدام الصيغ لجذور المعادلة التربيعية ، أولاً تحديد المميز والتأكد من أنه ليس سالبًا (وإلا فإننا نستنتج أن المعادلة ليس لها جذور حقيقية) ، ثم ننتقل إلى حساب قيمة الجذور.

يجعل المنطق أعلاه من الممكن صياغة خوارزمية لحل المعادلة التربيعية.

التعريف 10

لحل المعادلة التربيعية أ س 2 + ب س + ج = 0، من الضروري:

• حسب الصيغة د = ب 2-4 أ جأوجد قيمة المميز ؛
• في د< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• من أجل D = 0 أوجد الجذر الوحيد للمعادلة بالصيغة x = - b 2 · a؛
• بالنسبة إلى D> 0 ، حدد جذرين حقيقيين للمعادلة التربيعية بالصيغة x = - b ± D 2 · a.

لاحظ أنه عندما يكون المميز صفرًا ، يمكنك استخدام الصيغة x = - b ± D 2 · a ، ستعطي نفس نتيجة الصيغة x = - b 2 · a.

ضع في اعتبارك الأمثلة.

أمثلة على حل المعادلات التربيعية

نقدم حل الأمثلة لقيم مختلفة للتمييز.

مثال 6

من الضروري إيجاد جذور المعادلة س 2 + 2 س - 6 = 0.

المحلول

نكتب المعاملات العددية للمعادلة التربيعية: أ \ u003d 1 ، ب \ u003d 2 و ج = - 6. بعد ذلك ، نتصرف وفقًا للخوارزمية ، أي لنبدأ في حساب المميز ، الذي نعوض به المعاملين أ ، ب و جفي الصيغة المميزة: د = ب 2-4 أ ج = 2 2-4 1 (- 6) = 4 + 24 = 28.

إذن ، حصلنا على D> 0 ، مما يعني أن المعادلة الأصلية لها جذرين حقيقيين.
للعثور عليهم ، نستخدم صيغة الجذر x \ u003d - b ± D 2 · a واستبدال القيم المناسبة ، نحصل على: x \ u003d - 2 ± 28 2 · 1. نبسط التعبير الناتج عن طريق إخراج العامل من علامة الجذر ، متبوعًا بتقليل الكسر:

س = - 2 ± 2 7 2

س = - 2 + 2 7 2 أو س = - 2 - 2 7 2

س = - 1 + 7 أو س = - 1 - 7

إجابه:س = - 1 + 7 ، س = - 1 - 7.

مثال 7

من الضروري حل المعادلة التربيعية - 4 × 2 + 28 × - 49 = 0.

المحلول

دعنا نحدد المميز: د = 28 2-4 (- 4) (- 49) = 784-784 = 0. بهذه القيمة للمميز ، سيكون للمعادلة الأصلية جذر واحد فقط ، تحدده الصيغة x = - b 2 · a.

س = - 28 2 (- 4) س = 3 ، 5

إجابه: س = 3 ، 5.

المثال 8

من الضروري حل المعادلة 5 ص 2 + 6 ص + 2 = 0

المحلول

ستكون المعاملات العددية لهذه المعادلة: أ = 5 ، ب = 6 ، ج = 2. نستخدم هذه القيم لإيجاد المميز: D = b 2-4 · a · c = 6 2-4 · 5 · 2 = 36-40 = - 4. المميز المحسوب سالب ، لذا فإن المعادلة التربيعية الأصلية ليس لها جذور حقيقية.

في الحالة التي تكون فيها المهمة للإشارة إلى الجذور المعقدة ، نطبق صيغة الجذر من خلال إجراء عمليات بأرقام معقدة:

س \ u003d - 6 ± - 4 2 5 ،

س \ u003d - 6 + 2 أنا 10 أو س \ u003d - 6-2 أنا 10 ،

x = - 3 5 + 1 5 i أو x = - 3 5-1 5 i.

إجابه:لا توجد جذور حقيقية. الجذور المركبة هي: - 3 5 + 1 5 i ، - 3 5 - 1 5 i.

في المناهج الدراسية ، كمعيار ، لا يوجد شرط للبحث عن جذور معقدة ، لذلك ، إذا تم تعريف المميز على أنه سلبي أثناء القرار ، يتم تسجيل الإجابة على الفور بأنه لا توجد جذور حقيقية.

صيغة الجذر للمعاملات الثانية

صيغة الجذر x = - b ± D 2 a (D = b 2-4 a c) تجعل من الممكن الحصول على صيغة أخرى ، أكثر إحكاما ، تسمح لك بإيجاد حلول للمعادلات التربيعية ذات المعامل المتساوي عند x (أو بمعامل من الشكل 2 a n ، على سبيل المثال ، 2 3 أو 14 ln 5 = 2 7 ln 5). دعونا نظهر كيف يتم اشتقاق هذه الصيغة.

لنفترض أننا نواجه مهمة إيجاد حل للمعادلة التربيعية a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. نحن نتصرف وفقًا للخوارزمية: نحدد المميز D = (2 n) 2-4 a c = 4 n 2-4 a c = 4 (n 2 - a c) ، ثم نستخدم صيغة الجذر:

x \ u003d - 2 n ± D 2 a، x \ u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a، x \ u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a، x = - n ± n 2 - a ج أ.

دع التعبير n 2 - a c يُشار إليه على أنه D 1 (يُشار إليه أحيانًا بـ D "). ثم تأخذ صيغة جذور المعادلة التربيعية مع المعامل الثاني 2 n الشكل:

س \ u003d - n ± D 1 أ ، حيث د 1 \ u003d ن 2 - أ ج.

من السهل ملاحظة أن D = 4 · D 1 أو D 1 = D 4. بمعنى آخر ، D 1 هي ربع المميز. من الواضح أن علامة D 1 هي نفس علامة D ، مما يعني أن علامة D 1 يمكن أن تكون أيضًا بمثابة مؤشر على وجود أو عدم وجود جذور المعادلة التربيعية.

التعريف 11

وبالتالي ، لإيجاد حل لمعادلة تربيعية بمعامل ثانٍ قدره 2 ن ، من الضروري:

• أوجد D 1 = n 2 - a c ؛
• في D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• من أجل D 1 = 0 ، حدد الجذر الوحيد للمعادلة بالصيغة x = - n a ؛
• من أجل D 1> 0 ، حدد جذرين حقيقيين باستخدام الصيغة x = - n ± D 1 a.

المثال 9

من الضروري حل المعادلة التربيعية 5 · x 2-6 · x - 32 = 0.

المحلول

يمكن تمثيل المعامل الثاني للمعادلة المعطاة على أنها 2 · (- 3). ثم نعيد كتابة المعادلة التربيعية المعطاة على النحو التالي: 5 · x 2 + 2 · (- 3) · x - 32 = 0 ، حيث a = 5 و n = - 3 و c = - 32.

لنحسب الجزء الرابع من المميز: D 1 = n 2 - a c = (- 3) 2-5 (- 32) = 9 + 160 = 169. القيمة الناتجة موجبة ، مما يعني أن للمعادلة جذرين حقيقيين. نحددهم بالصيغة المقابلة للجذور:

س = - ن ± د 1 أ ، س = - - 3 ± 169 5 ، س = 3 ± 13 5 ،

س = 3 + 13 5 أو س = 3-13 5

س = 3 1 5 أو س = - 2

سيكون من الممكن إجراء العمليات الحسابية باستخدام الصيغة المعتادة لجذور المعادلة التربيعية ، ولكن في هذه الحالة سيكون الحل أكثر تعقيدًا.

إجابه:س = 3 1 5 أو س = - 2.

تبسيط شكل المعادلات التربيعية

في بعض الأحيان يكون من الممكن تحسين شكل المعادلة الأصلية ، مما يبسط عملية حساب الجذور.

على سبيل المثال ، من الواضح أن المعادلة التربيعية 12 × 2-4 × - 7 \ u003d 0 أكثر ملاءمة لحل من 1200 × 2-400 × - 700 \ u003d 0.

في كثير من الأحيان ، يتم تبسيط شكل المعادلة التربيعية بضرب أو قسمة كلا الجزأين على رقم معين. على سبيل المثال ، أظهرنا أعلاه تمثيلًا مبسطًا للمعادلة 1200 × 2-400 × - 700 = 0 ، تم الحصول عليها بقسمة كل من أجزائها على 100.

مثل هذا التحول ممكن عندما لا تكون معاملات المعادلة التربيعية أعدادًا أولية نسبيًا. ثم ، عادة ، يتم تقسيم كلا الجزأين من المعادلة على القاسم المشترك الأكبر للقيم المطلقة لمعاملاتها.

كمثال ، نستخدم المعادلة التربيعية 12 × 2 - 42 × + 48 = 0. دعنا نحدد gcd للقيم المطلقة لمعاملاته: gcd (12، 42، 48) = gcd (12، 42)، 48) = gcd (6، 48) = 6. دعنا نقسم كلا الجزأين من المعادلة التربيعية الأصلية على 6 ونحصل على المعادلة التربيعية المكافئة 2 · x 2-7 · x + 8 = 0.

بضرب طرفي المعادلة التربيعية ، عادة ما يتم حذف المعاملات الكسرية. في هذه الحالة ، اضرب في المضاعف المشترك الأصغر لمقام معاملاته. على سبيل المثال ، إذا تم ضرب كل جزء من المعادلة التربيعية 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \ u003d 0 بـ LCM (6 ، 3 ، 1) \ u003d 6 ، فسيتم كتابتها بصيغة أبسط × 2 + 4 × - 18 = 0.

أخيرًا ، نلاحظ أنه دائمًا ما يتم التخلص من الطرح عند المعامل الأول للمعادلة التربيعية ، وتغيير علامات كل مصطلح من المعادلة ، والذي يتحقق بضرب (أو قسمة) كلا الجزأين في - 1. على سبيل المثال ، من المعادلة التربيعية - 2 × 2 - 3 × + 7 \ u003d 0 ، يمكنك الانتقال إلى نسختها المبسطة 2 × 2 + 3 × - 7 \ u003d 0.

العلاقة بين الجذور والمعاملات

الصيغة المعروفة لجذور المعادلات التربيعية x = - b ± D 2 · a تعبر عن جذور المعادلة بدلالة معاملاتها العددية. بناءً على هذه الصيغة ، لدينا فرصة لتعيين تبعيات أخرى بين الجذور والمعاملات.

الأكثر شهرة وقابلة للتطبيق هي صيغ نظرية فييتا:

س 1 + س 2 \ u003d - ب أ و س 2 \ u003d ج ​​أ.

على وجه الخصوص ، بالنسبة للمعادلة التربيعية المعطاة ، يكون مجموع الجذور هو المعامل الثاني مع الإشارة المعاكسة ، وحاصل ضرب الجذور يساوي المصطلح المجاني. على سبيل المثال ، من خلال شكل المعادلة التربيعية 3 · x 2 - 7 · x + 22 \ u003d 0 ، من الممكن تحديد أن مجموع جذورها هو 7 3 ، وحاصل ضرب الجذور هو 22 3.

يمكنك أيضًا العثور على عدد من العلاقات الأخرى بين جذور ومعاملات المعادلة التربيعية. على سبيل المثال ، يمكن التعبير عن مجموع مربعات جذور المعادلة التربيعية من حيث المعاملات:

س 1 2 + س 2 2 = (س 1 + س 2) 2 - 2 × 1 × 2 = - ب أ 2 - 2 ج أ = ب 2 أ 2 - 2 ج أ = ب 2 - 2 أ ج أ 2.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

فقط. حسب الصيغ وقواعد واضحة وبسيطة. في المرحلة الأولى

من الضروري إحضار المعادلة المعطاة إلى النموذج القياسي ، أي للعرض:

إذا تم تقديم المعادلة لك بالفعل في هذا النموذج ، فلن تحتاج إلى القيام بالمرحلة الأولى. أهم شيء هو الصحيح

تحديد جميع المعاملات أ, بو ج.

صيغة لإيجاد جذور المعادلة التربيعية.

يسمى التعبير الموجود تحت علامة الجذر مميز . كما ترى ، لإيجاد x ، نحن

استعمال فقط أ ، ب ، ج. أولئك. احتمالات من معادلة من الدرجة الثانية. فقط أدخل بعناية

القيم أ ، ب ، جفي هذه الصيغة والعد. استبدل بـ هُمعلامات!

فمثلا، في المعادلة:

أ =1; ب = 3; ج = -4.

استبدل القيم واكتب:

تم حل المثال تقريبًا:

هذا هو الجواب.

الأخطاء الأكثر شيوعًا هي الخلط مع علامات القيم أ ، بو مع. بدلا من ذلك ، مع الاستبدال

القيم السالبة في صيغة حساب الجذور. هنا تحفظ الصيغة التفصيلية

بأرقام محددة. إذا كانت هناك مشاكل في الحسابات ، فقم بذلك!

لنفترض أننا بحاجة إلى حل المثال التالي:

هنا أ = -6; ب = -5; ج = -1

نرسم كل شيء بالتفصيل ، بعناية ، دون فقد أي شيء بكل العلامات والأقواس:

غالبًا ما تبدو المعادلات التربيعية مختلفة قليلاً. على سبيل المثال ، مثل هذا:

لاحظ الآن الأساليب العملية التي تقلل بشكل كبير من عدد الأخطاء.

أول استقبال. لا تكن كسولاً من قبل حل المعادلة التربيعيةأحضره إلى الشكل القياسي.

ماذا يعني هذا؟

لنفترض ، بعد أي تحويلات ، أنك حصلت على المعادلة التالية:

لا تتسرع في كتابة صيغة الجذور! من شبه المؤكد أنك ستخلط الاحتمالات أ ، ب ، ج.

بناء المثال بشكل صحيح. أولاً ، x تربيع ، ثم بدون مربع ، ثم عضو حر. مثله:

تخلص من الطرح. كيف؟ علينا ضرب المعادلة بأكملها في -1. نحن نحصل:

والآن يمكنك كتابة معادلة الجذور بأمان وحساب المميز وإكمال المثال.

تقرر بنفسك. يجب أن ينتهي بك الأمر مع الجذور 2 و -1.

الاستقبال الثاني.تحقق من جذورك! بواسطة نظرية فييتا.

لحل المعادلات التربيعية المعطاة ، أي إذا كان المعامل

س 2 + ب س + ج = 0 ،

ومن بعد× 1 × 2 = ج

x1 + x2 = -ب

للحصول على معادلة تربيعية كاملة فيها أ ≠ 1:

× 2 +بx +ج=0,

قسّم المعادلة بأكملها على أ:

→ →

أين × 1و x 2 - جذور المعادلة.

استقبال ثالث. إذا كانت معادلتك تحتوي على معاملات كسرية ، فتخلص من الكسور! تتضاعف

معادلة المقام المشترك.

استنتاج. نصائح عملية:

1. قبل الحل ، نأتي بالمعادلة التربيعية إلى الصيغة القياسية ، ونبنيها حقا.

2. إذا كان هناك معامل سالب أمام x في المربع ، فإننا نحذفه بضرب كل شيء

معادلات لـ -1.

3. إذا كانت المعاملات كسرية ، فإننا نحذف الكسور بضرب المعادلة بأكملها في المقابل

عامل.

4. إذا كانت x تربيع نقية ، فإن المعامل الخاص بها يساوي واحدًا ، فيمكن بسهولة التحقق من الحل