كيفية حساب مجموع التقدم الهندسي. التدرجات الحسابية والهندسية

إذا كان كل عدد طبيعي ن تطابق رقم حقيقي أ ، ثم يقولون ذلك معطى تسلسل رقمي :

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , أ , . . . .

لذا ، فإن المتتالية العددية هي دالة للحجة الطبيعية.

رقم أ 1 اتصل أول عضو في التسلسل ، رقم أ 2 — العضو الثاني في التسلسل ، رقم أ 3 — الثالث إلخ. رقم أ اتصل nth من التسلسل والعدد الطبيعي ن — رقمه .

من عضوين متجاورين أ و أ +1 تسلسل الأعضاء أ +1 اتصل لاحق (تجاه أ )، أ أ — السابق (تجاه أ +1 ).

لتحديد تسلسل ، يجب عليك تحديد طريقة تسمح لك بالعثور على عضو تسلسل بأي رقم.

غالبًا ما يتم إعطاء التسلسل بـ صيغ المصطلح التاسع ، أي الصيغة التي تسمح لك بتحديد عضو التسلسل برقمه.

علي سبيل المثال،

يمكن إعطاء تسلسل الأرقام الفردية الموجبة بواسطة الصيغة

أ= 2ن- 1,

وتسلسل التناوب 1 و -1 - معادلة

بن = (-1)ن +1 . ◄

يمكن تحديد التسلسل الصيغة المتكررة, أي ، الصيغة التي تعبر عن أي عضو في التسلسل ، بدءًا من بعض ، مرورًا بالعضو السابق (واحد أو أكثر).

علي سبيل المثال،

لو أ 1 = 1 ، أ أ +1 = أ + 5

أ 1 = 1,

أ 2 = أ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

أ 3 = أ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

أ 4 = أ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

أ 5 = أ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

اذا كان أ 1= 1, أ 2 = 1, أ +2 = أ + أ +1 , ثم يتم تعيين الأعضاء السبعة الأولى من التسلسل العددي على النحو التالي:

أ 1 = 1,

أ 2 = 1,

أ 3 = أ 1 + أ 2 = 1 + 1 = 2,

أ 4 = أ 2 + أ 3 = 1 + 2 = 3,

أ 5 = أ 3 + أ 4 = 2 + 3 = 5,

أ 6 = أ 4 + أ 5 = 3 + 5 = 8,

أ 7 = أ 5 + أ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

يمكن أن تكون التسلسلات نهائي و بلا نهاية .

التسلسل يسمى ذروة إذا كان لديها عدد محدود من الأعضاء. التسلسل يسمى بلا نهاية إذا كان لديه عدد لا نهائي من الأعضاء.

علي سبيل المثال،

تسلسل الأعداد الطبيعية المكونة من رقمين:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

نهائي.

تسلسل الرقم الأولي:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

بلا نهاية. ◄

التسلسل يسمى في ازدياد ، إذا كان كل عضو من أعضائه ، بدءًا من الثاني ، أكبر من السابق.

التسلسل يسمى يتضاءل ، إذا كان كل عضو من أعضائها ابتداء من الثاني أقل من السابق.

علي سبيل المثال،

2, 4, 6, 8, . . . , 2ن, . . . هو تسلسل تصاعدي

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /ن, . . . هو تسلسل تنازلي. ◄

يتم استدعاء التسلسل الذي لا تنقص عناصره مع زيادة العدد ، أو على العكس من ذلك لا يزيد تسلسل رتيب .

التسلسلات الأحادية ، على وجه الخصوص ، هي زيادة في التسلسل وتناقص التسلسلات.

المتوالية العددية

المتوالية العددية يسمى التسلسل ، كل عضو ، بدءًا من الثاني ، يساوي العنصر السابق ، الذي يضاف إليه نفس الرقم.

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , أ, . . .

هو تقدم حسابي إذا كان لأي عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:

أ +1 = أ + د,

أين د - بعض الأرقام.

وبالتالي ، فإن الفرق بين الأعضاء التاليين والسابقين في تقدم حسابي معين دائمًا ما يكون ثابتًا:

أ 2 - أ 1 = أ 3 - أ 2 = . . . = أ +1 - أ = د.

رقم د اتصل الفرق في التقدم الحسابي.

لضبط التقدم الحسابي ، يكفي تحديد المصطلح الأول والاختلاف.

علي سبيل المثال،

لو أ 1 = 3, د = 4 ، ثم تم العثور على المصطلحات الخمسة الأولى من التسلسل على النحو التالي:

أ 1 =3,

أ 2 = أ 1 + د = 3 + 4 = 7,

أ 3 = أ 2 + د= 7 + 4 = 11,

أ 4 = أ 3 + د= 11 + 4 = 15,

أ 5 = أ 4 + د= 15 + 4 = 19. ◄

للتقدم الحسابي مع الفصل الأول أ 1 والاختلاف د ها ن

أ = أ 1 + (ن- 1)د.

علي سبيل المثال،

أوجد الحد الثلاثين من التقدم الحسابي

1, 4, 7, 10, . . .

أ 1 =1, د = 3,

أ 30 = أ 1 + (30 - 1)د = 1 + 29· 3 = 88. ◄

أ ن -1 = أ 1 + (ن- 2)د،

أ= أ 1 + (ن- 1)د،

أ +1 = أ 1 + اختصار الثاني,

ثم من الواضح

كل عضو في التقدم الحسابي ، بدءًا من الثاني ، يساوي المتوسط ​​الحسابي للأعضاء السابقين واللاحقين.

الأرقام أ ، ب ، ج هي أعضاء متتالية في بعض التقدم الحسابي إذا وفقط إذا كان أحدهم يساوي المتوسط ​​الحسابي للاثنين الآخرين.

علي سبيل المثال،

أ = 2ن- 7 ، هو تقدم حسابي.

دعنا نستخدم البيان أعلاه. نملك:

أ = 2ن- 7,

أ ن -1 = 2(ن- 1) - 7 = 2ن- 9,

أ ن + 1 = 2(ن + 1) - 7 = 2ن- 5.

لذلك،

◄

لاحظ أن ن يمكن العثور على العضو -th في التقدم الحسابي ليس فقط من خلال أ 1 ، ولكن أيضًا أي سابقة أ ك

أ = أ ك + (ن- ك)د.

علي سبيل المثال،

ل أ 5 يمكن أن تكون مكتوبة

أ 5 = أ 1 + 4د,

أ 5 = أ 2 + 3د,

أ 5 = أ 3 + 2د,

أ 5 = أ 4 + د. ◄

أ = أ ن ك + دينار كويتي,

أ = أ ن + ك - دينار كويتي,

ثم من الواضح

أي عضو في التقدم الحسابي ، بدءًا من الثاني ، يساوي نصف مجموع أعضاء هذا التقدم الحسابي على مسافات متساوية منه.

بالإضافة إلى ذلك ، بالنسبة لأي تقدم حسابي ، فإن المساواة صحيحة:

أ م + أ ن = أ ك + ل,

م + ن = ك + ل.

علي سبيل المثال،

في التقدم الحسابي

1) أ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (أ 9 + أ 11 )/2;

2) 28 = أ 10 = أ 3 + 7د= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28 ؛

3) أ 10= 28 = (19 + 37)/2 = (أ 7 + أ 13)/2;

4) أ 2 + أ 12 = أ 5 + أ 9, مثل

أ 2 + أ 12= 4 + 34 = 38,

أ 5 + أ 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= أ 1 + أ 2 + أ 3 +. . .+ أ,

أول ن أعضاء التقدم الحسابي يساوي حاصل ضرب نصف مجموع الحدود القصوى بعدد المصطلحات:

من هذا ، على وجه الخصوص ، يترتب على ذلك إذا كان من الضروري جمع الشروط

أ ك, أ ك +1 , . . . , أ,

ثم تحتفظ الصيغة السابقة بهيكلها:

علي سبيل المثال،

في التقدم الحسابي 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

س 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = س 10 - س 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

إذا تم إعطاء تقدم حسابي ، ثم الكميات أ 1 , أ, د, نوس ن مرتبطة بصيغتين:

لذلك ، إذا تم تقديم قيم ثلاثة من هذه الكميات ، فسيتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هاتين الصيغتين مجتمعتين في نظام من معادلتين مع مجهولين.

التقدم الحسابي هو تسلسل رتيب. حيث:

• لو د > 0 ثم يتزايد.
• لو د < 0 ثم يتناقص.
• لو د = 0 ، ثم سيكون التسلسل ثابتًا.

المتوالية الهندسية

المتوالية الهندسية يسمى التسلسل ، كل حد ، بدءًا من الثاني ، يساوي الحد السابق ، مضروبًا في نفس الرقم.

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . , ب ن, . . .

هو تسلسل هندسي إذا كان لأي عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:

ب ن +1 = ب ن · ف,

أين ف ≠ 0 - بعض الأرقام.

وبالتالي ، فإن نسبة الحد التالي من هذا التقدم الهندسي إلى الحد السابق هي رقم ثابت:

ب 2 / ب 1 = ب 3 / ب 2 = . . . = ب ن +1 / ب ن = ف.

رقم ف اتصل مقام التقدم الهندسي.

لضبط التقدم الهندسي ، يكفي تحديد المصطلح الأول والمقام.

علي سبيل المثال،

لو ب 1 = 1, ف = -3 ، ثم تم العثور على المصطلحات الخمسة الأولى من التسلسل على النحو التالي:

ب 1 = 1,

ب 2 = ب 1 · ف = 1 · (-3) = -3,

ب 3 = ب 2 · ف= -3 · (-3) = 9,

ب 4 = ب 3 · ف= 9 · (-3) = -27,

ب 5 = ب 4 · ف= -27 · (-3) = 81. ◄

ب 1 والمقام ف ها ن يمكن العثور على المصطلح الثالث بالصيغة:

ب ن = ب 1 · ف ن -1 .

علي سبيل المثال،

أوجد الحد السابع للتقدم الهندسي 1, 2, 4, . . .

ب 1 = 1, ف = 2,

ب 7 = ب 1 · ف 6 = 6 1 2 = 64. ◄

مليار - 1 = ب 1 · ف ن -2 ,

ب ن = ب 1 · ف ن -1 ,

ب ن +1 = ب 1 · ف ن,

ثم من الواضح

ب ن 2 = ب ن -1 · ب ن +1 ,

كل عضو في التقدم الهندسي ، بدءًا من الثاني ، يساوي الوسط الهندسي (النسبي) للأعضاء السابقين واللاحقين.

نظرًا لأن العكس صحيح أيضًا ، فإن التأكيد التالي ينطبق:

الأرقام أ ، ب ، ج هي أعضاء متتالية لبعض التقدم الهندسي إذا وفقط إذا كان مربع أحدهما مساويًا لحاصل ضرب الرقمين الآخرين ، أي أن أحد الأرقام هو المتوسط ​​الهندسي للاثنين الآخرين.

علي سبيل المثال،

دعونا نثبت أن التسلسل المعطى بالصيغة ب ن= -3 2 ن ، هو تقدم هندسي. دعنا نستخدم البيان أعلاه. نملك:

ب ن= -3 2 ن,

ب ن -1 = -3 2 ن -1 ,

ب ن +1 = -3 2 ن +1 .

لذلك،

ب ن 2 = (-3 2 ن) 2 = (-3 2 ن -1 ) (-3 2 ن +1 ) = ب ن -1 · ب ن +1 ,

مما يثبت التأكيد المطلوب. ◄

لاحظ أن ن يمكن العثور على مصطلح التقدم الهندسي ليس فقط من خلال ب 1 ، ولكن أيضًا أي مصطلح سابق ب ك ، حيث يكفي استخدام الصيغة

ب ن = ب ك · ف ن - ك.

علي سبيل المثال،

ل ب 5 يمكن أن تكون مكتوبة

ب 5 = ب 1 · ف 4 ,

ب 5 = ب 2 · ف 3,

ب 5 = ب 3 · q2,

ب 5 = ب 4 · ف. ◄

ب ن = ب ك · ف ن - ك,

ب ن = ب ن - ك · ف ك,

ثم من الواضح

ب ن 2 = ب ن - ك· ب ن + ك

مربع أي عضو في التقدم الهندسي ، بدءًا من الثاني ، يساوي حاصل ضرب أعضاء هذا التقدم على مسافة متساوية منه.

بالإضافة إلى ذلك ، بالنسبة لأي تقدم هندسي ، فإن المساواة صحيحة:

بي ام· ب ن= ب ك· ب ل,

م+ ن= ك+ ل.

علي سبيل المثال،

أضعافا مضاعفة

1) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ب 5 · ب 7 ;

2) 1024 = ب 11 = ب 6 · ف 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ب 4 · ب 8 ;

4) ب 2 · ب 7 = ب 4 · ب 5 , مثل

ب 2 · ب 7 = 2 · 64 = 128,

ب 4 · ب 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . + ب ن

أول ن أعضاء متتالية هندسية ذات قاسم ف ≠ 0 محسوبة بالصيغة:

وعندما ف = 1 - حسب الصيغة

S n= n.b. 1

لاحظ أنه إذا احتجنا إلى جمع الشروط

ب ك, ب ك +1 , . . . , ب ن,

ثم يتم استخدام الصيغة:

علي سبيل المثال،

أضعافا مضاعفة 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

س 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = س 10 - س 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

إذا تم إعطاء تسلسل هندسي ، ثم الكميات ب 1 , ب ن, ف, نو S n مرتبطة بصيغتين:

لذلك ، إذا تم تقديم قيم أي من هذه الكميات ، فسيتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هاتين الصيغتين مجتمعتين في نظام من معادلتين مع مجهولين.

للتقدم الهندسي مع المصطلح الأول ب 1 والمقام ف ما يلي يحدث خصائص الرتابة :

• يتزايد التقدم إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:

ب 1 > 0 و ف> 1;

ب 1 < 0 و 0 < ف< 1;

• يتناقص التقدم إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:

ب 1 > 0 و 0 < ف< 1;

ب 1 < 0 و ف> 1.

اذا كان ف< 0 ، إذن يكون التقدم الهندسي متناوبًا مع الإشارة: فحدودها الفردية لها نفس علامة مصطلحها الأول ، والشروط ذات الأرقام الزوجية لها علامة معاكسة. من الواضح أن التقدم الهندسي المتناوب ليس رتيبًا.

منتج أول ن يمكن حساب شروط التقدم الهندسي بالصيغة:

ص ن= ب 1 · ب 2 · ب 3 · . . . · ب ن = (ب 1 · ب ن) ن / 2 .

علي سبيل المثال،

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

تقليل التقدم الهندسي بلا حدود

تقليل التقدم الهندسي بلا حدود يسمى التقدم الهندسي اللانهائي الذي يكون معامل مقامه أقل من 1 ، بمعنى آخر

|ف| < 1 .

لاحظ أن التدرج الهندسي المتناقص بشكل غير محدود قد لا يكون تسلسلاً متناقصًا. هذا يناسب القضية

1 < ف< 0 .

مع هذا المقام ، فإن التسلسل هو إشارة بالتناوب. علي سبيل المثال،

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي اسم الرقم الذي حصل عليه مجموع الأول ن من حيث التقدم مع زيادة غير محدودة في العدد ن . هذا الرقم دائمًا محدود ويتم التعبير عنه بالصيغة

علي سبيل المثال،

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

العلاقة بين التدرجات الحسابية والهندسية

يرتبط التعاقب الحسابي والهندسي ارتباطًا وثيقًا. لنفكر في مثالين فقط.

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . د ، من ثم

ب أ 1 , ب أ 2 , ب أ 3 , . . . ب د .

علي سبيل المثال،

1, 3, 5, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف 2 و

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . هو تسلسل هندسي ذو قاسم 7 2 . ◄

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . هو تسلسل هندسي ذو قاسم ف ، من ثم

تسجيل ب 1, سجل أ ب 2, تسجيل ب 3, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف تسجيل أف .

علي سبيل المثال،

2, 12, 72, . . . هو تسلسل هندسي ذو قاسم 6 و

إل جي 2, إل جي 12, إل جي 72, . . . - التقدم الحسابي مع الاختلاف إل جي 6 . ◄

التقدم الهندسي هو نوع جديد من التسلسل الرقمي يجب أن نتعرف عليه. بالنسبة إلى التعارف الناجح ، لا يضر أن تعرف وتفهم على الأقل. ثم لن تكون هناك مشكلة في التقدم الهندسي.)

ما هو التقدم الهندسي؟ مفهوم التعاقب الهندسي.

نبدأ الجولة ، كالعادة ، بالمرحلة الابتدائية. أكتب سلسلة غير مكتملة من الأرقام:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

هل يمكنك التقاط نمط وتحديد الأرقام التي ستذهب بعد ذلك؟ الفلفل واضح ، والأرقام 100000 و 1000000 وما إلى ذلك ستذهب إلى أبعد من ذلك. حتى بدون الكثير من الضغط النفسي ، كل شيء واضح ، أليس كذلك؟)

نعم. مثال آخر. أكتب التسلسل التالي:

1, 2, 4, 8, 16, …

هل يمكنك معرفة الأرقام التي ستنتقل بعد ذلك ، بعد الرقم 16 والاسم ثامنعضو تسلسل؟ إذا اكتشفت أنه سيكون الرقم 128 ، فهذا جيد جدًا. لذا ، نصف المعركة في الفهم المعنىو النقاط الرئيسيةتم بالفعل التقدم الهندسي. يمكنك أن تنمو أكثر.)

والآن ننتقل مرة أخرى من الأحاسيس إلى الرياضيات الصارمة.

اللحظات الرئيسية للتقدم الهندسي.

اللحظة الأساسية # 1

التقدم الهندسي هو تسلسل الأرقام.كما هو التقدم. لا شيء صعب. فقط رتبت هذا التسلسل بشكل مختلف.ومن ثم ، بالطبع ، لها اسم آخر ، نعم ...

اللحظة الأساسية # 2

مع النقطة الرئيسية الثانية ، سيكون السؤال أكثر تعقيدًا. دعنا نعود قليلاً ونتذكر الخاصية الأساسية للتقدم الحسابي. ها هو: كل عضو يختلف عن السابق بنفس المقدار.

هل من الممكن صياغة خاصية مفتاح مشابهة للتقدم الهندسي؟ فكر قليلاً ... ألق نظرة على الأمثلة المقدمة. خمن؟ نعم! في تسلسل هندسي (أي!) يختلف كل عضو من أعضائه عن سابقيه في نفس العدد من المرات.دائماً!

في المثال الأول ، هذا الرقم هو عشرة. أيًا كان حد التسلسل الذي تأخذه ، فهو أكبر من السابق عشرة مرات.

في المثال الثاني ، هذا اثنان: كل عضو أكبر من السابق. مرتين.

في هذه النقطة الأساسية يختلف التقدم الهندسي عن الحسابي. في التقدم الحسابي ، يتم الحصول على كل مصطلح تالي مضيفامن نفس القيمة إلى المصطلح السابق. و هنا - عمليه الضربالفترة السابقة بنفس المبلغ. هذا هو الفرق.)

اللحظة الأساسية # 3

هذه النقطة الأساسية مطابقة تمامًا لتلك الخاصة بالتقدم الحسابي. يسمى: كل عضو في التقدم الهندسي في مكانه.كل شيء هو نفسه تمامًا كما هو الحال في التقدم الحسابي ، وأعتقد أن التعليقات غير ضرورية. هناك المصطلح الأول ، وهناك المصطلح الأول ، ومائة ، وهكذا. دعنا نعيد ترتيب عضوين على الأقل - سيختفي النمط (ومعه التدرج الهندسي). ما تبقى هو مجرد سلسلة من الأرقام دون أي منطق.

هذا كل شئ. هذا هو بيت القصيد من التقدم الهندسي.

الشروط والتعيينات.

والآن ، بعد أن تعاملنا مع المعنى والنقاط الأساسية للتقدم الهندسي ، يمكننا الانتقال إلى النظرية. وإلا ما هي النظرية دون فهم المعنى ، أليس كذلك؟

ما هو التقدم الهندسي؟

كيف يتم كتابة التقدم الهندسي بعبارات عامة؟ لا مشكلة! يتم أيضًا كتابة كل عضو في التقدم كرسالة. للتقدم الحسابي فقط ، عادة ما يتم استخدام الحرف "أ"، للحرف الهندسي "ب". رقم عضوية، كالعادة ، يشار المؤشر الأيمن السفلي. يتم ببساطة سرد أعضاء التقدم أنفسهم مفصولة بفواصل أو فاصلة منقوطة.

مثله:

ب 1 ،ب 2 , ب 3 , ب 4 , ب 5 , ب 6 , …

باختصار ، يتم كتابة هذا التقدم على النحو التالي: (ب ن) .

أو هكذا ، للتعاقب المحدود:

ب 1 ، ب 2 ، ب 3 ، ب 4 ، ب 5 ، ب 6.

ب 1 ، ب 2 ، ... ، ب 29 ، ب 30.

أو باختصار:

(ب ن), ن=30 .

هذا ، في الواقع ، هو كل التعيينات. كل شيء هو نفسه ، فقط الحرف هو مختلف ، نعم.) والآن ننتقل مباشرة إلى التعريف.

تعريف التقدم الهندسي.

التقدم الهندسي هو متتالية عددية ، الحد الأول منها ليس صفريًا ، وكل حد تالي يساوي الحد السابق مضروبًا في نفس العدد غير الصفري.

هذا هو التعريف الكامل. معظم الكلمات والعبارات واضحة ومألوفة لديك. ما لم تفهم بالطبع معنى التقدم الهندسي "على الأصابع" وبشكل عام. لكن هناك أيضًا بعض العبارات الجديدة التي أود أن ألفت إليها اهتمامًا خاصًا.

أولا الكلمات: "الفترة الأولى منها يختلف عن الصفر".

هذا القيد على الفصل الأول لم يتم تقديمه عن طريق الصدفة. ما رأيك سيحدث إذا كان الفصل الأول ب 1 تبين أن يكون الصفر؟ ماذا سيكون الحد الثاني إذا كان كل حد أكبر من السابق نفس العدد من المرات؟دعنا نقول ثلاث مرات؟ دعونا نرى ... اضرب الحد الأول (أي 0) في 3 واحصل على ... صفر! والعضو الثالث؟ صفر أيضا! والحد الرابع هو أيضًا صفر! إلخ…

نحصل فقط على كيس من الخبز من سلسلة من الأصفار:

0, 0, 0, 0, …

بالطبع ، مثل هذا التسلسل له الحق في الحياة ، لكنه ليس ذا فائدة عملية. كل شيء واضح جدا. أي من أعضائها هو صفر. مجموع أي عدد من الأعضاء هو أيضًا صفر ... ما الأشياء الشيقة التي يمكنك أن تفعلها به؟ لا شيئ…

الكلمات الرئيسية التالية: "مضروبة في نفس العدد غير الصفري".

هذا الرقم نفسه له أيضًا اسم خاص به - مقام التقدم الهندسي. لنبدأ المواعدة.)

مقام التقدم الهندسي.

كل شيء بسيط.

مقام التقدم الهندسي هو رقم غير صفري (أو قيمة) تشيركم مرةكل عضو في التقدم أكثر من السابق.

مرة أخرى ، عن طريق القياس مع التقدم الحسابي ، فإن الكلمة الأساسية التي يجب الانتباه إليها في هذا التعريف هي الكلمة "أكثر". هذا يعني أنه يتم الحصول على كل مصطلح من التقدم الهندسي عمليه الضربلهذا المقام بالذات العضو السابق.

أشرح.

لحساب ، دعنا نقول ثانياعضو ليأخذ أولعضو و تتضاعفإلى المقام. للحساب العاشرعضو ليأخذ تاسععضو و تتضاعفإلى المقام.

يمكن أن يكون مقام التقدم الهندسي نفسه أي شيء. بالتأكيد أي شخص! عدد صحيح ، كسري ، إيجابي ، سلبي ، غير عقلاني - الجميع. باستثناء الصفر. هذا ما تخبرنا به كلمة "غير صفري" في التعريف. لماذا هذه الكلمة مطلوبة هنا - المزيد عن ذلك لاحقًا.

مقام التقدم الهندسيعادة ما يشار إليها بحرف ف.

كيف تجد هذا ف؟ لا مشكلة! يجب أن نتخذ أي مصطلح من التقدم و قسمة على المصطلح السابق. القسمة جزء. ومن هنا جاء الاسم - "قاسم التقدم". المقام ، عادة ما يقع في كسر ، نعم ...) على الرغم من القيمة المنطقية فيجب أن يسمى نشرالتقدم الهندسي ، على غرار فرقمن أجل التقدم الحسابي. لكنه وافق على الاتصال المقام - صفة مشتركة - حالة. ولن نعيد اختراع العجلة أيضًا).

دعونا نحدد ، على سبيل المثال ، القيمة فلهذا التقدم الهندسي:

2, 6, 18, 54, …

كل شيء أساسي. نحن نأخذ أيرقم التسلسل. ما نريده هو ما نأخذه. باستثناء الأول. على سبيل المثال ، 18. واقسم على الرقم السابق. هذا هو ، في 6.

نحن نحصل:

ف = 18/6 = 3

هذا كل شئ. هذا هو الجواب الصحيح. في أي تقدم هندسي ، المقام هو ثلاثة.

لنجد المقام فلتقدم هندسي آخر. على سبيل المثال ، مثل هذا:

1, -2, 4, -8, 16, …

كل نفس. مهما كانت الإشارات التي يحملها الأعضاء أنفسهم ، فإننا لا نزال نأخذها أيالرقم التسلسلي (على سبيل المثال ، 16) وقسمه على الرقم السابق(أي -8).

نحن نحصل:

د = 16/(-8) = -2

وهذا كل شيء). هذه المرة تبين أن مقام التقدم سلبي. ناقص اثنين. يحدث.)

لنأخذ هذا التقدم:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

ومرة أخرى ، بغض النظر عن نوع الأرقام في التسلسل (أعداد صحيحة زوجية ، حتى كسرية ، وحتى سالبة ، وحتى غير منطقية) ، فإننا نأخذ أي رقم (على سبيل المثال ، 1/9) ونقسمه على الرقم السابق (1/3). طبعا وفقا لقواعد العمليات مع الكسور.

نحن نحصل:

هذا كل شيء.) هنا تبين أن المقام كسري: ف = 1/3.

لكن مثل هذا "التقدم" مثلك؟

3, 3, 3, 3, 3, …

من الواضح هنا ف = 1 . رسميًا ، يعد هذا أيضًا تقدمًا هندسيًا ، فقط مع نفس الأعضاء.) لكن مثل هذه التعاقب ليست مثيرة للاهتمام للدراسة والتطبيق العملي. تمامًا مثل التعاقب مع الأصفار الصلبة. لذلك ، لن نفكر فيها.

كما ترى ، يمكن أن يكون مقام التقدم أي شيء - عدد صحيح ، كسري ، موجب ، سلبي - أي شيء! لا يمكن أن تكون صفرًا فقط. لم تخمن لماذا؟

حسنًا ، لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة المحددة ، ماذا سيحدث إذا أخذنا كمقام فصفر.) دعونا ، على سبيل المثال ، لدينا ب 1 = 2 ، أ ف = 0 . ماذا سيكون الفصل الثاني بعد ذلك؟

نحن نؤمن:

ب 2 = ب 1 · ف= 2 0 = 0

والعضو الثالث؟

ب 3 = ب 2 · ف= 0 0 = 0

أنواع وسلوك التعاقب الهندسي.

مع كل شيء كان أكثر أو أقل وضوحا: إذا كان الاختلاف في التقدم دأمر إيجابي ، والتقدم آخذ في الازدياد. إذا كان الاختلاف سالبًا ، فسيقل التقدم. هناك خياران فقط. لا يوجد ثالث.)

ولكن مع سلوك التقدم الهندسي ، سيكون كل شيء أكثر تشويقًا وتنوعًا!)

بمجرد أن يتصرف الأعضاء هنا: يزدادون وينقصون ، ويقتربون من الصفر إلى أجل غير مسمى ، وحتى يغيرون الإشارات ، ويسرعون بالتناوب إما إلى "زائد" أو "ناقص"! وفي كل هذا التنوع يجب أن يكون المرء قادرًا على الفهم جيدًا ، نعم ...

نحن نفهم؟) لنبدأ بأبسط حالة.

المقام موجب ( ف >0)

مع المقام الموجب ، أولاً ، يمكن لأعضاء التقدم الهندسي الدخول بالإضافة إلى اللانهاية(أي زيادة إلى أجل غير مسمى) ويمكن أن تدخل ناقص ما لا نهاية(أي النقصان إلى أجل غير مسمى). لقد اعتدنا بالفعل على مثل هذا السلوك من التعاقب.

علي سبيل المثال:

(ب ن): 1, 2, 4, 8, 16, …

كل شيء بسيط هنا. كل عضو في التقدم هو أكثر من السابق. ويحصل كل عضو عمليه الضربعضو سابق في إيجابيالرقم +2 (أي ف = 2 ). سلوك مثل هذا التقدم واضح: كل أعضاء التقدم ينمون إلى أجل غير مسمى ، ويذهبون إلى الفضاء. بالإضافة إلى اللانهاية ...

الآن هذا هو التقدم:

(ب ن): -1, -2, -4, -8, -16, …

هنا ، أيضًا ، يتم الحصول على كل مصطلح من التقدم عمليه الضربعضو سابق في إيجابيرقم +2. لكن سلوك مثل هذا التقدم هو بالفعل عكس ذلك مباشرة: يتم الحصول على كل عضو في التقدم أقل من السابق، وجميع شروطها تنخفض إلى أجل غير مسمى ، وتذهب إلى سالب اللانهاية.

لنفكر الآن: ما هو العامل المشترك بين هذين التعاقبين؟ هذا صحيح ، المقام! هنا وهناك ف = +2 . رقم موجب، عدد إيجابي.تعؤل. و هنا سلوكهذان التسلسلان مختلفان اختلافًا جوهريًا! لم تخمن لماذا؟ نعم! انها كل شيء عن أول عضو!إنه ، كما يقولون ، هو الذي يطلب الموسيقى.) انظر بنفسك.

في الحالة الأولى ، المصطلح الأول من التقدم إيجابي(+1) وبالتالي جميع المصطلحات اللاحقة التي تم الحصول عليها بضربها إيجابيالمقام - صفة مشتركة - حالة ف = +2 ، سيتم أيضا إيجابي.

لكن في الحالة الثانية ، المصطلح الأول نفي(-واحد). لذلك ، تم الحصول على جميع أعضاء التقدم اللاحقين عن طريق الضرب في إيجابي ف = +2 ، سيتم الحصول عليها أيضًا نفي.بالنسبة إلى "ناقص" إلى "زائد" ، يتم دائمًا توفير "ناقص" ، نعم).

كما ترى ، على عكس التقدم الحسابي ، يمكن للتقدم الهندسي أن يتصرف بطرق مختلفة تمامًا ، ليس فقط اعتمادًا على من المقامف، ولكن أيضًا اعتمادًا من العضو الأول، نعم.)

تذكر: يتم تحديد سلوك التقدم الهندسي بشكل فريد من قبل العضو الأول ب 1 والمقامف .

والآن نبدأ في تحليل حالات أقل شيوعًا ولكنها أكثر إثارة للاهتمام!

خذ على سبيل المثال التسلسل التالي:

(ب ن): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

هذا التسلسل هو أيضًا تقدم هندسي! يتم الحصول أيضًا على كل عضو في هذا التقدم عمليه الضربالفترة السابقة ، بنفس العدد. فقط الرقم كسري: ف = +1/2 . أو +0,5 . ورقم (مهم!) ، أصغر واحد:ف = 1/2<1.

ما المثير للاهتمام في هذا التقدم الهندسي؟ إلى أين يذهب أعضائها؟ دعنا نلقي نظرة:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

ما المثير للاهتمام هنا؟ أولاً ، الانخفاض في أعضاء التقدم ملفت للنظر على الفور: كل عضو من أعضائه الأصغرالسابق بالضبط 2 مرات.أو ، وفقًا لتعريف التقدم الهندسي ، كل مصطلح أكثرالسابق 1/2 مرة، لان مقام التقدم ف = 1/2 . ومن الضرب في عدد موجب أقل من واحد تنخفض النتيجة عادة ، نعم ...

ماذا أكثريمكن رؤيته في سلوك هذا التقدم؟ هل يختفي أعضاؤها؟ غير محدود، الذهاب إلى ما لا نهاية؟ لا! يختفون بطريقة خاصة. في البداية تنخفض بسرعة كبيرة ، ثم ببطء أكثر فأكثر. وطوال فترة الإقامة إيجابي. وإن كانت صغيرة جدًا جدًا. وماذا يسعون جاهدين؟ لم تخمن؟ نعم! إنهم يميلون إلى الصفر!) وانتبهوا ، أعضاء تقدمنا لا تصل!فقط قريب منه بشكل لا نهائي. انها مهمة جدا.)

سيكون وضع مماثل في مثل هذا التقدم:

(ب ن): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

هنا ب 1 = -1 ، أ ف = 1/2 . كل شيء كما هو ، الآن فقط سيقترب الأعضاء من الصفر من الجانب الآخر ، من الأسفل. البقاء طوال الوقت نفي.)

مثل هذا التقدم الهندسي ، وأعضائه تقترب من الصفر إلى أجل غير مسمى.(لا يهم ، من الناحية الإيجابية أو السلبية) ، في الرياضيات لها اسم خاص - تقليل التقدم الهندسي بشكل لا نهائي.هذا التقدم مثير للاهتمام وغير عادي حتى أنه سيكون كذلك درس منفصل .)

لذلك ، نظرنا في كل ما هو ممكن إيجابيالقواسم كبيرة وصغيرة. نحن لا نعتبر الشخص نفسه قاسمًا للأسباب المذكورة أعلاه (تذكر المثال مع تسلسل الثلاثيات ...)

كي تختصر:

إيجابيو أكثر من واحد (ف> 1) ، ثم أعضاء التقدم:

أ) زيادة إلى أجل غير مسمى (إذاب 1 >0);

ب) النقصان إلى أجل غير مسمى (إذاب 1 <0).

إذا كان المقام من التقدم الهندسي إيجابي و أقل من واحد (0< ف<1), то члены прогрессии:

أ) قريبة من الصفر بلا حدود في الاعلى(لوب 1 >0);

ب) قريب بلا حدود من الصفر من الأسفل(لوب 1 <0).

يبقى الآن للنظر في القضية مقام سلبي.

المقام سالب ( ف <0)

لن نذهب بعيدا كمثال. لماذا ، في الواقع ، الجدة الأشعث؟!) دع ، على سبيل المثال ، أول عضو في التقدم يكون ب 1 = 1 وخذ المقام ف = -2.

نحصل على التسلسل التالي:

(ب ن): 1, -2, 4, -8, 16, …

وهلم جرا.) يتم الحصول على كل مصطلح من التقدم عمليه الضربعضو سابق في رقم سالب-2. في هذه الحالة ، سيكون جميع الأعضاء في الأماكن الفردية (الأول ، الثالث ، الخامس ، إلخ) إيجابي، وفي الأماكن الزوجية (الثاني ، الرابع ، إلخ) - نفي.الإشارات مشذرة بدقة. زائد ناقص زائد ناقص ... يسمى هذا التقدم الهندسي - زيادة علامة بالتناوب.

إلى أين يذهب أعضائها؟ ولا مكان.) نعم ، في القيمة المطلقة (أي modulo)تزداد شروط تقدمنا ​​إلى أجل غير مسمى (ومن هنا جاء الاسم "زيادة"). ولكن في الوقت نفسه ، يقوم كل عضو من أعضاء التقدم بإلقائه بالتناوب في الحرارة ، ثم في البرد. إما زائد أو ناقص. تقدمنا ​​يتقلب ... علاوة على ذلك ، فإن نطاق التقلبات ينمو بسرعة مع كل خطوة ، نعم.) لذلك ، فإن تطلعات أعضاء التقدم للذهاب إلى مكان ما على وجه التحديدهنا لا.لا إلى زائد ما لا نهاية ، ولا إلى سالب ما لا نهاية ، ولا إلى صفر - لا مكان.

ضع في اعتبارك الآن مقامًا كسريًا يقع بين صفر وسالب واحد.

على سبيل المثال ، فليكن ب 1 = 1 ، أ ف = -1/2.

ثم نحصل على التقدم:

(ب ن): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

ومرة أخرى لدينا تناوب العلامات! ولكن ، على عكس المثال السابق ، يوجد هنا بالفعل اتجاه واضح للمصطلحات لتقترب من الصفر.) هذه المرة فقط تقترب شروطنا من الصفر ليس من أعلى أو أسفل بشكل صارم ، ولكن مرة أخرى متردد. أخذ القيم الإيجابية أو السلبية بالتناوب. لكن في نفس الوقت هم الوحداتتقترب أكثر فأكثر من الصفر العزيزة.)

يسمى هذا التقدم الهندسي تناقص علامة بالتناوب لانهائية.

لماذا هذان المثالان مثيران للاهتمام؟ وحقيقة أنه في كلتا الحالتين يحدث بالتناوب الشخصيات!هذه الشريحة نموذجية فقط للتقدم مع مقام سالب ، نعم.) لذلك ، إذا رأيت في مهمة ما تقدمًا هندسيًا مع الأعضاء المتناوبين ، فستعرف بالفعل أن مقامها سالب بنسبة 100٪ ولن تكون مخطئًا في العلامة).

بالمناسبة ، في حالة المقام السلبي ، لا تؤثر علامة المصطلح الأول على سلوك التقدم نفسه على الإطلاق. مهما كانت علامة العضو الأول في التقدم ، في أي حال ، سيتم ملاحظة علامة تناوب الأعضاء. السؤال كله عادل في أي مكان(زوجي أو فردي) سيكون هناك أعضاء بعلامات محددة.

يتذكر:

إذا كان المقام من التقدم الهندسي نفي ، ثم علامات شروط التقدم دائما البديل.

في الوقت نفسه ، فإن الأعضاء أنفسهم:

أ) زيادة إلى أجل غير مسمىمودولو، لوف<-1;

ب) اقترب من الصفر بلا حدود إذا -1< ف<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

هذا كل شئ. يتم تحليل جميع الحالات النموذجية.)

في عملية تحليل مجموعة متنوعة من الأمثلة للتعاقب الهندسي ، استخدمت بشكل دوري الكلمات: "يميل إلى الصفر", "يميل إلى إضافة ما لا نهاية", يميل إلى سالب اللانهاية... لا بأس.) يتحول هذا الكلام (وأمثلة محددة) ما هي إلا معرفة أولية بـ سلوكتسلسلات رقمية مختلفة. مثال على التقدم الهندسي.

لماذا نحتاج حتى إلى معرفة سلوك التقدم؟ ما الفرق الذي يحدث حيث تذهب؟ إلى الصفر ، إلى زائد ما لا نهاية ، إلى سالب ما لا نهاية ... ما الذي يهمنا بشأن هذا؟

الشيء هو أنه بالفعل في الجامعة ، في سياق الرياضيات العليا ، ستحتاج إلى القدرة على العمل مع مجموعة متنوعة من المتواليات الرقمية (مع أي ، وليس فقط التقدم!) والقدرة على تخيل بالضبط كيف يتصرف هذا التسلسل أو ذاك - ما إذا كان يزيد بشكل غير محدود ، سواء كان يتناقص ، سواء كان يميل إلى رقم معين (وليس بالضرورة إلى الصفر) ، أو حتى لا يميل إلى أي شيء على الإطلاق ... قسم كامل مخصص لهذا الموضوع في سياق الرياضيات التحليلات - نظرية الحد.بشكل أكثر تحديدًا ، المفهوم حد التسلسل الرقمي.موضوع مثير جدا للاهتمام! من المنطقي أن تذهب إلى الكلية وتكتشف ذلك).

بعض الأمثلة من هذا القسم (التسلسلات التي لها حدود) وعلى وجه الخصوص ، تقليل التقدم الهندسي بشكل لا نهائيتبدأ التعلم في المدرسة. التعود.)

علاوة على ذلك ، فإن القدرة على دراسة سلوك التسلسلات جيدًا في المستقبل ستلعب بشكل كبير في متناول اليد وستكون مفيدة جدًا في البحث الوظيفي.الأكثر تنوعًا. لكن القدرة على العمل بكفاءة مع الوظائف (حساب المشتقات ، واستكشافها بالكامل ، وبناء الرسوم البيانية الخاصة بهم) تزيد بالفعل من مستواك الرياضي بشكل كبير! شك؟ لا حاجة. تذكر أيضًا كلماتي.)

دعونا نلقي نظرة على التقدم الهندسي في الحياة؟

في الحياة من حولنا ، نواجه تقدمًا أسيًا في كثير من الأحيان. دون أن تعرف ذلك.)

على سبيل المثال ، الكائنات الحية الدقيقة المختلفة التي تحيط بنا في كل مكان بكميات ضخمة والتي لا نراها بدون مجهر تتكاثر بدقة في التقدم الهندسي.

لنفترض أن بكتيريا واحدة تتكاثر عن طريق الانقسام إلى نصفين ، مما يعطي ذرية في 2 بكتيريا. في المقابل ، يتكاثر كل منهم ، وينقسم أيضًا إلى نصفين ، مما يعطي ذرية مشتركة من 4 بكتيريا. الجيل القادم سيعطي 8 بكتيريا ، ثم 16 بكتيريا ، 32 ، 64 وهكذا. مع كل جيل متتالي ، يتضاعف عدد البكتيريا. مثال نموذجي للتقدم الهندسي.)

كما أن بعض الحشرات - المن ، والذباب - تتكاثر أضعافا مضاعفة. وبالمناسبة ، فإن الأرانب أحيانًا أيضًا).

مثال آخر للتقدم الهندسي ، أقرب إلى الحياة اليومية ، هو ما يسمى الفائدة المركبة.غالبًا ما توجد مثل هذه الظاهرة المثيرة للاهتمام في الودائع المصرفية وتسمى رسملة الفائدة.ما هذا؟

أنت نفسك ما زلت ، بالطبع ، شابًا. أنت تدرس في المدرسة ، ولا تتقدم إلى البنوك. لكن والديك بالغين وأشخاص مستقلين. يذهبون إلى العمل ويكسبون نقودًا مقابل الخبز اليومي ويضعون بعضًا من المال في البنك ويدخرون.)

لنفترض أن والدك يريد توفير مبلغ معين من المال لقضاء إجازة عائلية في تركيا ووضع 50000 روبل في البنك بمعدل 10٪ سنويًا لمدة ثلاث سنوات مع رسملة الفائدة السنوية.علاوة على ذلك ، لا يمكن فعل أي شيء مع الإيداع خلال هذه الفترة بأكملها. لا يمكنك تجديد الإيداع ولا سحب الأموال من الحساب. ما هو الربح الذي سيحققه في هذه السنوات الثلاث؟

حسنًا ، أولاً ، تحتاج إلى معرفة نسبة 10٪ سنويًا. هذا يعني انه في سنةيضاف 10٪ إلى مبلغ الإيداع الأولي من قبل البنك. من ماذا؟ بالطبع من مبلغ الإيداع الأولي.

احسب مبلغ الحساب في عام. إذا كان المبلغ الأولي للإيداع 50000 روبل (أي 100 ٪) ، فما مقدار الفائدة على الحساب في السنة؟ هذا صحيح ، 110٪! من 50000 روبل.

لذلك نعتبر 110٪ من 50000 روبل:

50000 1.1 \ u003d 55000 روبل.

أرجو أن تفهم أن إيجاد 110٪ من القيمة يعني ضرب هذه القيمة في الرقم 1.1؟ إذا كنت لا تفهم سبب ذلك ، فتذكر الصفين الخامس والسادس. يسمى - علاقة النسب المئوية بالكسور والأجزاء.)

وبالتالي ، فإن الزيادة في السنة الأولى ستكون 5000 روبل.

كم سيكون المال في الحساب بعد سنتين؟ 60000 روبل؟ لسوء الحظ (أو بالأحرى ، لحسن الحظ) ، الأمر ليس بهذه البساطة. تكمن الحيلة الكاملة في رسملة الفائدة في أنه مع كل تراكم فائدة جديد ، سيتم اعتبار هذه الفائدة نفسها بالفعل من المبلغ الجديد!من الذي سابقاعلى الحساب في اللحظة.وتضاف الفائدة المتراكمة عن المدة السابقة إلى المبلغ الأولي للإيداع ، وبالتالي ، فإنهم يشاركون هم أنفسهم في احتساب الفائدة الجديدة! أي أنهم أصبحوا جزءًا كاملاً من الحساب الإجمالي. أو عام رأس المال.ومن هنا الاسم - رسملة الفائدة.

إنه في الاقتصاد. وفي الرياضيات ، تسمى هذه النسب المئوية الفائدة المركبة.أو في المئة من المئة.) خدعتهم هي أنه في الحساب المتسلسل ، يتم حساب النسب المئوية في كل مرة من القيمة الجديدة.ليس من الأصل ...

لذلك ، من أجل حساب المبلغ من خلال سنتان، نحتاج إلى حساب 110٪ من المبلغ الذي سيكون في الحساب في سنة.أي بالفعل من 55000 روبل.

نحن نعتبر 110 ٪ من 55000 روبل:

55000 1.1 = 60500 روبل.

هذا يعني أن النسبة المئوية للزيادة للسنة الثانية ستكون بالفعل 5500 روبل ، ولمدة عامين - 10500 روبل.

يمكنك الآن تخمين أنه في غضون ثلاث سنوات ، سيكون المبلغ في الحساب 110 ٪ من 60500 روبل. هذا مرة أخرى 110٪ من السابق (العام الماضي)مبالغ.

هنا نعتبر:

60500 1.1 = 66550 روبل.

والآن نبني مبالغنا النقدية بالسنوات بالتسلسل:

50000;

55000 = 50000 1.1 ؛

60500 = 55000 1.1 = (50000 1.1) 1.1 ؛

66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1

إذا كيف؟ لماذا لا تقدم هندسي؟ أول عضو ب 1 = 50000 والمقام ف = 1,1 . كل مصطلح أكبر بمقدار 1.1 مرة من السابق. كل شيء يتوافق بدقة مع التعريف.)

وكم نسبة المكافآت الإضافية التي "سينخفضها" والدك بينما كان 50 ألف روبل في حسابه المصرفي لمدة ثلاث سنوات؟

نحن نؤمن:

66550-50000 = 16550 روبل

إنه أمر سيء بالطبع. ولكن هذا إذا كان المبلغ الأولي للمساهمة صغيرًا. ماذا لو كان هناك المزيد؟ قل ، ليس 50 بل 200 ألف روبل؟ ثم ستكون الزيادة لمدة ثلاث سنوات بالفعل 66200 روبل (إذا كنت تحسب). أيهما جيد جدًا بالفعل.) وإذا كانت المساهمة أكبر؟ هذا ما هو عليه...

الخلاصة: كلما زادت المساهمة الأولية ، ازدادت ربحية رسملة الفائدة. هذا هو السبب في أن الودائع برسملة الفائدة تقدم من قبل البنوك لفترات طويلة. دعنا نقول خمس سنوات.

أيضًا ، جميع أنواع الأمراض السيئة مثل الأنفلونزا والحصبة وحتى الأمراض الأكثر فظاعة (نفس السارس في أوائل القرن الحادي والعشرين أو الطاعون في العصور الوسطى) تحب الانتشار بشكل كبير. ومن هنا جاء حجم الأوبئة ، نعم ...) وكل ذلك بسبب حقيقة أن التقدم الهندسي مع المقام كله موجب (ف>1) - شيء ينمو بسرعة كبيرة! تذكر تكاثر البكتيريا: من بكتيريا واحدة يتم الحصول على اثنين ، من اثنين - أربعة ، من أربعة إلى ثمانية ، وهكذا ... مع انتشار أي عدوى ، كل شيء هو نفسه.)

أبسط المشاكل في التقدم الهندسي.

لنبدأ ، كما هو الحال دائمًا ، بمشكلة بسيطة. بحتة لفهم المعنى.

1. من المعروف أن الحد الثاني للتقدم الهندسي هو 6 والمقام -0.5. أوجد الحدود الأول والثالث والرابع.

لذلك نحن معطى بلا نهايةالتقدم الهندسي ، المعروف العضو الثانيهذا التقدم:

ب 2 = 6

بالإضافة إلى ذلك ، نحن نعلم أيضًا مقام التقدم:

ف = -0.5

وتحتاج أن تجد الثلث الأولو الرابعأعضاء هذا التقدم.

نحن هنا نتصرف. نكتب التسلسل حسب حالة المشكلة. مباشرة بشكل عام ، حيث يكون العضو الثاني هو الستة:

ب 1،6 ،ب 3 , ب 4 , …

لنبدأ الآن في البحث. نبدأ ، كما هو الحال دائمًا ، بالأبسط. يمكنك حساب ، على سبيل المثال ، المصطلح الثالث ب 3؟ تستطيع! نحن نعلم بالفعل (مباشرة بمعنى التقدم الهندسي) أن الحد الثالث (ب 3)أكثر من ثانية (ب 2 ) في "ف"بمجرد!

لذلك نكتب:

ب 3 =ب 2 · ف

نعوض بستة في هذا المقدار بدلاً من ب 2و -0.5 بدلاً من ذلك فونفكر. وكذلك لا يتم تجاهل الطرح بالطبع ...

ب 3 \ u003d 6 (-0.5) \ u003d -3

مثله. تبين أن المصطلح الثالث سلبي. لا عجب: قاسمنا ف- نفي. بالإضافة إلى أنه مضروبًا في ناقص ، سيكون بالطبع سالب).

نحن الآن ننظر في الفصل الدراسي الرابع التالي من التقدم:

ب 4 =ب 3 · ف

ب 4 \ u003d -3 (-0.5) \ u003d 1.5

المصطلح الرابع مرة أخرى مع موجب. سيكون الحد الخامس مرة أخرى بسالب ، والسادس بعلامة موجب ، وهكذا. علامات - بديل!

لذلك ، تم العثور على العضوين الثالث والرابع. والنتيجة هي التسلسل التالي:

ب 1 ؛ 6 ؛ -3 ؛ 1.5 ؛ ...

يبقى الآن أن نجد المصطلح الأول ب 1بحسب الثانية المشهورة. للقيام بذلك ، نخطو في الاتجاه الآخر ، إلى اليسار. هذا يعني أنه في هذه الحالة ، لا نحتاج إلى ضرب الحد الثاني من التقدم في المقام ، ولكن شارك.

نقسم ونحصل على:

هذا كل شيء.) ستكون الإجابة على المشكلة كما يلي:

-12; 6; -3; 1,5; …

كما ترى ، مبدأ الحل هو نفسه في. نعلم أيعضو و المقام - صفة مشتركة - حالةالتقدم الهندسي - يمكننا إيجاد أي مصطلح آخر. كل ما نريد ، سنجد واحدًا.) والفرق الوحيد هو أن الجمع / الطرح يتم استبداله بالضرب / القسمة.

تذكر: إذا عرفنا عضوًا واحدًا على الأقل ومقامًا للتقدم الهندسي ، فيمكننا دائمًا العثور على أي عضو آخر في هذا التقدم.

المهمة التالية ، وفقًا للتقاليد ، مأخوذة من الإصدار الحقيقي لـ OGE:

2.

… ؛ 150 ؛ X ؛ 6 ؛ 1.2 ؛ ...

إذا كيف؟ هذه المرة لا يوجد حد أول ولا مقام ف، يتم إعطاء مجرد تسلسل من الأرقام ... شيء مألوف بالفعل ، أليس كذلك؟ نعم! تم بالفعل التعامل مع مشكلة مماثلة في التقدم الحسابي!

نحن هنا لسنا خائفين. كل نفس. اقلب رأسك وتذكر المعنى الأولي للتقدم الهندسي. ننظر بعناية في تسلسلنا ونكتشف أي معلمات للتقدم الهندسي للعناصر الرئيسية الثلاثة (العضو الأول ، المقام ، رقم العضو) مخفية فيه.

أرقام الأعضاء؟ لا يوجد عدد أعضاء ، نعم ... لكن هناك أربعة متتاليأعداد. ما تعنيه هذه الكلمة ، لا أرى الهدف من الشرح في هذه المرحلة.) هل هناك اثنان الأرقام المجاورة المعروفة؟هنالك! هذه هي 6 و 1.2. لذلك يمكننا أن نجد مقام التقدم.إذن ، نأخذ العدد 1.2 ونقسمه إلى الرقم السابق.لمدة ستة.

نحن نحصل:

نحن نحصل:

x= 150 0.2 = 30

إجابه: x = 30 .

كما ترى ، كل شيء بسيط للغاية. الصعوبة الرئيسية تكمن فقط في الحسابات. إنه صعب بشكل خاص في حالة القواسم السالبة والكسرية. إذن لمن لديه مشاكل كرر الحساب! كيفية التعامل مع الكسور ، وكيفية التعامل مع الأعداد السالبة ، وما إلى ذلك ... وإلا فسوف تبطئ هنا بلا رحمة.

الآن دعونا نغير المشكلة قليلاً. الآن سوف تصبح مثيرة للاهتمام! دعنا نزيل آخر رقم 1.2 فيه. لنحل هذه المشكلة الآن:

3. تمت كتابة عدة مصطلحات متتالية للتقدم الهندسي:

… ؛ 150 ؛ X ؛ 6 ؛ ...

أوجد مصطلح التقدم ، المشار إليه بالحرف x.

كل شيء هو نفسه ، اثنان فقط المجاورة مشهورلم يعد لدينا أعضاء في التقدم. هذه هي المشكلة الرئيسية. لأن الحجم فمن خلال فترتين متجاورتين ، يمكننا بالفعل تحديد ذلك بسهولة لا نستطيع.هل لدينا فرصة لمواجهة التحدي؟ بالتأكيد!

دعونا نكتب المصطلح المجهول " x"مباشرة بمعنى التقدم الهندسي! بشكل عام.

نعم نعم! مباشرة بقاسم غير معروف!

من ناحية أخرى ، بالنسبة إلى x ، يمكننا كتابة النسبة التالية:

x= 150ف

من ناحية أخرى ، لدينا كل الحق في رسم نفس X من خلال التاليعضو من خلال الستة! اقسم ستة على المقام.

مثله:

x = 6/ ف

من الواضح أنه يمكننا الآن معادلة هاتين النسبتين. بما أننا نعبر عن ذلك نفس الشيءالقيمة (س) ، ولكن اثنين طرق مختلفة.

نحصل على المعادلة:

ضرب كل شيء ف، التبسيط ، التقليل ، نحصل على المعادلة:

س 2 \ u003d 1/25

نحل ونحصل على:

q = ± 1/5 = ± 0.2

أُووبس! المقام مزدوج! +0.2 و -0.2. وأي واحد تختار؟ نهاية؟

هادئ! نعم ، المشكلة بالفعل حلين!لا حرج في ذلك. يحدث ذلك.) لا تتفاجأ عندما تحصل ، على سبيل المثال ، على جذرين من خلال حل المعتاد؟ إنها نفس القصة هنا.)

ل ف = +0.2سوف نحضر:

س = 150 0.2 = 30

ولل ف = -0,2 إرادة:

س = 150 (-0.2) = -30

نحصل على إجابة مزدوجة: x = 30; x = -30.

ماذا تعني هذه الحقيقة الشيقة؟ وماذا يوجد تقدمان، تلبية لحالة المشكلة!

مثل هؤلاء:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

كلاهما مناسب.) ما رأيك في سبب تشعب الإجابات؟ فقط بسبب القضاء على عضو معين من التقدم (1،2) ، يأتي بعد الستة. وبمعرفة الأعضاء السابقين (n-1) واللاحقة (n + 1) -th من التقدم الهندسي ، لم يعد بإمكاننا قول أي شيء بشكل لا لبس فيه عن العضو n الذي يقف بينهما. هناك خياران - زائد وناقص.

لكن لا يهم. كقاعدة عامة ، في مهام التقدم الهندسي ، هناك معلومات إضافية تعطي إجابة لا لبس فيها. دعنا نقول الكلمات: "التقدم بالتناوب بين الإشارات"أو "التقدم بقاسم إيجابي"وما إلى ذلك ... هذه الكلمات هي التي يجب أن تكون بمثابة دليل ، والتي يجب اختيار الإشارة ، زائد أو ناقص ، عند تقديم الإجابة النهائية. إذا لم تكن هناك مثل هذه المعلومات ، إذن - نعم ، سيكون للمهمة حلين.)

والآن نقرر بأنفسنا.

4. حدد ما إذا كان الرقم 20 سيكون جزءًا من تسلسل هندسي:

4 ; 6; 9; …

5. يتم إعطاء تسلسل هندسي متناوب:

…; 5; x ; 45; …

ابحث عن مصطلح التقدم المشار إليه بالحرف x .

6. أوجد الحد الرابع الإيجابي للتقدم الهندسي:

625; -250; 100; …

7. الحد الثاني للتقدم الهندسي هو -360 ، ومحده الخامس 23.04. ابحث عن الفصل الأول من هذا التقدم.

الإجابات (في حالة فوضى): -15 ؛ 900 ؛ لا؛ 2.56.

مبروك إذا كل شيء على ما يرام!

شيء لا يصلح؟ هل هناك إجابة مزدوجة في مكان ما؟ نقرأ شروط المهمة بعناية!

اللغز الأخير لا يعمل؟ لا يوجد شيء معقد هناك.) نحن نعمل مباشرة وفقًا لمعنى التقدم الهندسي. حسنًا ، يمكنك رسم صورة. تساعد.)

كما ترى ، كل شيء أساسي. إذا كان التقدم قصير. ماذا لو كانت طويلة؟ أم أن عدد العضو المطلوب كبير جدًا؟ أود ، بالقياس مع التقدم الحسابي ، أن أحصل بطريقة ما على صيغة ملائمة تجعل من السهل العثور على أيعضو في أي تقدم هندسي برقمه.دون مضاعفة مرات عديدة ف. وهناك مثل هذه الصيغة!) التفاصيل - في الدرس التالي.

لنفكر في سلسلة.

7 28 112 448 1792...

من الواضح تمامًا أن قيمة أي عنصر من عناصره أكبر أربع مرات من القيمة السابقة. إذن هذه السلسلة هي تقدم.

التقدم الهندسي هو سلسلة لا نهائية من الأرقام ، السمة الرئيسية لها هي الحصول على الرقم التالي من الرقم السابق بضربه في عدد معين. يتم التعبير عن هذا بالصيغة التالية.

a z +1 = a z q ، حيث z هو رقم العنصر المحدد.

وفقًا لذلك ، z ∈ N.

الفترة التي يتم فيها دراسة التقدم الهندسي في المدرسة هي الصف 9. ستساعدك الأمثلة على فهم المفهوم:

0.25 0.125 0.0625...

بناءً على هذه الصيغة ، يمكن العثور على مقام التقدم على النحو التالي:

لا يمكن أن تساوي q ولا b z صفرًا. أيضًا ، يجب ألا يساوي كل عنصر من عناصر التقدم صفرًا.

وفقًا لذلك ، لمعرفة الرقم التالي في المتسلسلة ، عليك ضرب الرقم الأخير في q.

لتحديد هذا التقدم ، يجب عليك تحديد العنصر الأول والمقام. بعد ذلك ، من الممكن العثور على أي من المصطلحات اللاحقة ومجموعها.

أصناف

اعتمادًا على q و a 1 ، ينقسم هذا التقدم إلى عدة أنواع:

• إذا كان كل من a 1 و q أكبر من واحد ، فإن هذا التسلسل هو تقدم هندسي يتزايد مع كل عنصر تالٍ. ويرد مثال على ذلك أدناه.

مثال: أ 1 = 3 ، ف = 2 - كلا المعلمتين أكبر من واحد.

ثم يمكن كتابة التسلسل العددي على النحو التالي:

3 6 12 24 48 ...

• إذا كان | q | أقل من واحد ، أي أن الضرب بواسطته يعادل القسمة ، فإن التقدم في ظروف مماثلة هو تقدم هندسي متناقص. ويرد مثال على ذلك أدناه.

مثال: أ 1 = 6 ، ف = 1/3 - أ 1 أكبر من واحد ، ف أصغر.

ثم يمكن كتابة التسلسل العددي على النحو التالي:

6 2 2/3 ... - أي عنصر أكبر بثلاث مرات من العنصر الذي يليه.

• متغير تسجيل. إذا كان q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

مثال: أ 1 = -3 ، ف = -2 - كلا المعلمتين أقل من صفر.

ثم يمكن كتابة التسلسل على النحو التالي:

3, 6, -12, 24,...

الصيغ

من أجل الاستخدام المريح للتعاقب الهندسي ، توجد العديد من الصيغ:

• صيغة العضو z-th. يسمح لك بحساب العنصر تحت رقم معين دون حساب الأرقام السابقة.

مثال:ف = 3, أ 1 = 4. مطلوب لحساب العنصر الرابع من التقدم.

قرار:أ 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• مجموع العناصر الأولى التي رقمها ض. يسمح لك بحساب مجموع كل عناصر التسلسل حتىأ ضشامل.

منذ (1-ف) في المقام ثم (1 - ف)≠ 0 ، وبالتالي فإن q لا تساوي 1.

ملحوظة: إذا كانت q = 1 ، فسيكون التقدم سلسلة من رقم متكرر بلا حدود.

مجموع التقدم الهندسي ، أمثلة:أ 1 = 2, ف= -2. احسب S 5.

قرار:س 5 = 22 - الحساب بالصيغة.

• المبلغ إذا |ف| < 1 и если z стремится к бесконечности.

مثال:أ 1 = 2 , ف= 0.5. أوجد المبلغ.

قرار:س = 2 · = 4

س = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

بعض الخصائص:

• خاصية مميزة. إذا كان الشرط التالي أداؤها لأيض، فإن سلسلة الأرقام المعطاة هي تسلسل هندسي:

أ ض 2 = أ ض -1 · أض + 1

• أيضًا ، يمكن العثور على مربع أي رقم من التقدم الهندسي عن طريق إضافة مربعات أي رقمين آخرين في سلسلة معينة ، إذا كانت متساوية البعد عن هذا العنصر.

أ ض 2 = أ ض - ر 2 + أ ض + ر 2 ، أينرهي المسافة بين هذه الأرقام.

• عناصرتختلف في فبمجرد.
• تشكل لوغاريتمات عناصر التقدم أيضًا تقدمًا ، ولكن بالفعل حسابيًا ، أي أن كل منها أكبر من سابقتها برقم معين.

أمثلة لبعض المشاكل الكلاسيكية

لفهم ماهية التقدم الهندسي بشكل أفضل ، يمكن أن تساعد الأمثلة مع حل للصف 9.

• الظروف:أ 1 = 3, أ 3 = 48. بحثف.

الحل: كل عنصر تالٍ أكبر من العنصر السابق فيف بمجرد.من الضروري التعبير عن بعض العناصر من خلال البعض الآخر باستخدام المقام.

لذلك،أ 3 = ف 2 · أ 1

عند الاستبدالف= 4

• الظروف:أ 2 = 6, أ 3 = 12. احسب S 6.

قرار:للقيام بذلك ، يكفي إيجاد العنصر الأول q واستبداله في الصيغة.

أ 3 = ف· أ 2 ، بالتالي،ف= 2

أ 2 = ف أ 1 ،لهذا أ 1 = 3

ق 6 = 189

• · أ 1 = 10, ف= -2. ابحث عن العنصر الرابع من التقدم.

الحل: للقيام بذلك يكفي التعبير عن العنصر الرابع بالعنصر الأول ومن خلال المقام.

أ 4 = ف 3· أ 1 = -80

مثال تطبيقى:

• قام عميل البنك بإيداع مبلغ 10000 روبل ، بموجب شروطه ، سيضيف العميل كل عام 6 ٪ منه إلى المبلغ الأساسي. كم سيكون المال في الحساب بعد 4 سنوات؟

الحل: المبلغ الأولي 10 آلاف روبل. لذلك ، بعد عام من الاستثمار ، سيكون للحساب مبلغ يساوي 10000 + 10000 · 0.06 = 10000 1.06

وفقًا لذلك ، سيتم التعبير عن المبلغ في الحساب بعد عام آخر على النحو التالي:

(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 = 1.06 1.06 10000

أي كل عام يزيد المبلغ بمقدار 1.06 مرة. هذا يعني أنه من أجل العثور على مبلغ الأموال في الحساب بعد 4 سنوات ، يكفي إيجاد العنصر الرابع من التقدم ، والذي يُعطى بواسطة العنصر الأول الذي يساوي 10 آلاف ، والمقام يساوي 1.06.

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

أمثلة على المهام لحساب المجموع:

في مشاكل مختلفة ، يتم استخدام التقدم الهندسي. يمكن إعطاء مثال لإيجاد المجموع على النحو التالي:

أ 1 = 4, ف= 2 احسبS5.

الحل: جميع البيانات اللازمة للحساب معروفة ، ما عليك سوى استبدالها في الصيغة.

س 5 = 124

• أ 2 = 6, أ 3 = 18. احسب مجموع العناصر الستة الأولى.

قرار:

جيوم. التقدم ، كل عنصر تالي q مرة أكبر من العنصر السابق ، أي لحساب المجموع ، تحتاج إلى معرفة العنصرأ 1 والمقامف.

أ 2 · ف = أ 3

ف = 3

وبالمثل ، نحن بحاجة إلى إيجادأ 1 ، معرفةأ 2 وف.

أ 1 · ف = أ 2

أ 1 =2

س 6 = 728.

يعد التقدم الهندسي ، جنبًا إلى جنب مع الحساب ، سلسلة أرقام مهمة يتم دراستها في مقرر الجبر المدرسي في الصف التاسع. في هذه المقالة ، سننظر في مقام التقدم الهندسي وكيف تؤثر قيمته على خصائصه.

تعريف التقدم الهندسي

بادئ ذي بدء ، نقدم تعريف سلسلة الأرقام هذه. التقدم الهندسي عبارة عن سلسلة من الأعداد المنطقية التي تتكون عن طريق الضرب المتتالي لعنصرها الأول في رقم ثابت يسمى المقام.

على سبيل المثال ، الأرقام في السلسلة 3 ، 6 ، 12 ، 24 ، ... هي تقدم هندسي ، لأننا إذا ضربنا 3 (العنصر الأول) في 2 ، فسنحصل على 6. إذا ضربنا 6 في 2 ، فسنحصل على 12 ، وهلم جرا.

عادةً ما يُشار إلى أعضاء التسلسل قيد النظر بالرمز ai ، حيث يمثل i عددًا صحيحًا يشير إلى رقم العنصر في السلسلة.

يمكن كتابة التعريف أعلاه للتقدم بلغة الرياضيات على النحو التالي: a = bn-1 * a1 ، حيث b هو المقام. من السهل التحقق من هذه الصيغة: إذا كان n = 1 ، إذن b1-1 = 1 ، ونحصل على a1 = a1. إذا كان n = 2 ، فعندئذٍ = b * a1 ، ونتوصل مرة أخرى إلى تعريف سلسلة الأرقام قيد الدراسة. يمكن الاستمرار في التفكير المماثل لقيم n الكبيرة.

مقام التقدم الهندسي

يحدد الرقم b تمامًا الحرف الذي ستتضمنه سلسلة الأرقام بالكامل. يمكن أن يكون المقام b موجبًا أو سالبًا أو أكبر من واحدًا أو أصغر منه. تؤدي جميع الخيارات المذكورة أعلاه إلى تسلسلات مختلفة:

• ب> 1. هناك سلسلة متزايدة من الأرقام المنطقية. على سبيل المثال ، 1 ، 2 ، 4 ، 8 ، ... إذا كان العنصر a1 سالبًا ، فإن التسلسل الكامل سيزيد من modulo فقط ، لكنه ينخفض ​​مع مراعاة علامة الأرقام.
• ب = 1. غالبًا لا تسمى مثل هذه الحالة تقدمًا ، نظرًا لوجود سلسلة عادية من الأرقام المنطقية المتطابقة. على سبيل المثال ، -4 ، -4 ، -4.

صيغة الجمع

قبل الشروع في النظر في مشاكل محددة باستخدام مقام نوع التقدم قيد النظر ، يجب إعطاء صيغة مهمة لمجموع عناصرها الأولى n. الصيغة هي: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

يمكنك الحصول على هذا التعبير بنفسك إذا كنت تفكر في تسلسل متكرر لأعضاء التقدم. لاحظ أيضًا أنه في الصيغة أعلاه ، يكفي معرفة العنصر الأول والمقام فقط لإيجاد مجموع عدد تعسفي من المصطلحات.

التسلسل المتناقص بلا حدود

أعلاه كان تفسيرا لما هو عليه. الآن ، بمعرفة صيغة Sn ، دعنا نطبقها على سلسلة الأرقام هذه. نظرًا لأن أي عدد لا يتجاوز معامله 1 يميل إلى الصفر عند رفعه إلى قوى كبيرة ، أي ب∞ => 0 إذا -1

نظرًا لأن الاختلاف (1 - ب) سيكون دائمًا موجبًا ، بغض النظر عن قيمة المقام ، فإن علامة مجموع التدرج الهندسي المتناقص بلا حدود S∞ يتم تحديدها بشكل فريد من خلال علامة العنصر الأول لها a1.

الآن سننظر في العديد من المشاكل ، حيث سنعرض كيفية تطبيق المعرفة المكتسبة على أرقام محددة.

رقم المهمة 1. حساب العناصر غير المعروفة للتقدم والمبلغ

بالنظر إلى التقدم الهندسي ، فإن مقام التقدم هو 2 ، والعنصر الأول هو 3. ماذا سيكون حديها السابع والعاشر ، وما مجموع عناصرها السبعة الأولية؟

حالة المشكلة بسيطة للغاية وتتضمن الاستخدام المباشر للصيغ أعلاه. لذلك ، لحساب العنصر بالرقم n ، نستخدم التعبير an = bn-1 * a1. بالنسبة للعنصر السابع لدينا: a7 = b6 * a1 ، باستبدال البيانات المعروفة ، نحصل على: a7 = 26 * 3 = 192. ونفعل الشيء نفسه للعضو العاشر: a10 = 29 * 3 = 1536.

نستخدم الصيغة المعروفة للمبلغ ونحدد هذه القيمة للعناصر السبعة الأولى من السلسلة. لدينا: S7 = (27-1) * 3 / (2-1) = 381.

رقم المهمة 2. تحديد مجموع العناصر التعسفية للتقدم

لنفترض أن -2 هو مقام التقدم الأسي bn-1 * 4 ، حيث n عدد صحيح. من الضروري تحديد المجموع من العنصر الخامس إلى العنصر العاشر من هذه السلسلة ، ضمناً.

لا يمكن حل المشكلة المطروحة مباشرة باستخدام الصيغ المعروفة. يمكن حلها بطريقتين مختلفتين. من أجل الاكتمال ، نقدم كلاهما.

الطريقة الأولى: فكرتها بسيطة: تحتاج إلى حساب الجمعين المتناظرين للمصطلحين الأول ، ثم طرح الآخر من أحدهما. احسب المجموع الأصغر: S10 = ((-2) 10-1) * 4 / (-2-1) = -1364. الآن نحسب المبلغ الكبير: S4 = ((-2) 4-1) * 4 / (-2-1) = -20. لاحظ أنه في التعبير الأخير ، تم تلخيص 4 مصطلحات فقط ، حيث تم تضمين المصطلح الخامس بالفعل في المجموع الذي يجب حسابه وفقًا لحالة المشكلة. أخيرًا ، نأخذ الفرق: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

الطريقة الثانية: قبل استبدال الأرقام والحساب ، يمكنك الحصول على صيغة للمجموع بين المصطلحين m و n للسلسلة المعنية. نحن نتصرف بنفس الطريقة تمامًا كما في الطريقة 1 ، فقط نعمل أولاً مع التمثيل الرمزي للمبلغ. لدينا: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1-1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . يمكنك استبدال الأرقام المعروفة في التعبير الناتج وحساب النتيجة النهائية: S105 = 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2-1) = -1344.

رقم المهمة 3. ما هو المقام؟

لنفترض أن a1 = 2 ، أوجد مقام التقدم الهندسي ، بشرط أن يكون مجموعها اللامتناهي 3 ، ومن المعروف أن هذه سلسلة متناقصة من الأرقام.

وفقًا لظروف المشكلة ، ليس من الصعب تخمين الصيغة التي يجب استخدامها لحلها. بالطبع ، لمجموع تقدم متناقص بشكل لا نهائي. لدينا: S∞ = a1 / (1 - ب). من حيث نعبر عن المقام: b = 1 - a1 / S∞. يبقى استبدال القيم المعروفة والحصول على الرقم المطلوب: ب \ u003d 1-2 / 3 \ u003d -1 / 3 أو -0.333 (3). يمكننا التحقق من هذه النتيجة نوعياً إذا تذكرنا أنه بالنسبة لهذا النوع من التسلسل ، يجب ألا يتجاوز المعامل b 1. كما ترى ، | -1 / 3 |

رقم المهمة 4. استعادة سلسلة من الأرقام

دعنا نعطي عنصرين من سلسلة أرقام ، على سبيل المثال ، الخامس يساوي 30 والعاشر يساوي 60. من الضروري استعادة السلسلة بأكملها من هذه البيانات ، مع العلم أنها تفي بخصائص التقدم الهندسي.

لحل المشكلة ، يجب عليك أولاً كتابة التعبير المقابل لكل عضو معروف. لدينا: a5 = b4 * a1 and a10 = b9 * a1. الآن نقسم التعبير الثاني على الأول ، نحصل على: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. من هنا نحدد المقام بأخذ جذر الدرجة الخامسة لنسبة الأعضاء المعروفة من حالة المشكلة ، ب = 1.148698. نعوض بالرقم الناتج في أحد التعبيرات لعنصر معروف ، نحصل على: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698) 4 = 17.2304966.

وهكذا ، وجدنا ما هو مقام التقدم bn ، والتقدم الهندسي bn-1 * 17.2304966 = an ، حيث b = 1.148698.

أين يتم استخدام التعاقب الهندسي؟

إذا لم يكن هناك تطبيق لهذه السلسلة العددية في الممارسة العملية ، فسيتم تقليص دراستها إلى مصلحة نظرية بحتة. ولكن هناك مثل هذا التطبيق.

أشهر 3 أمثلة مذكورة أدناه:

• مفارقة زينو ، حيث لا يستطيع أخيل الرشاقة اللحاق بالسلحفاة البطيئة ، يتم حلها باستخدام مفهوم تسلسل الأرقام المتناقص بلا حدود.
• إذا تم وضع حبات القمح على كل خلية في رقعة الشطرنج بحيث يتم وضع حبة واحدة في الخلية الأولى ، و 2 - في الثانية ، و 3 - في الثالثة ، وما إلى ذلك ، فستكون هناك حاجة إلى 18446744073709551615 حبة لملء جميع خلايا اللجنة!
• في لعبة "Tower of Hanoi" ، من أجل إعادة ترتيب الأقراص من قضيب إلى آخر ، من الضروري إجراء عمليات 2n - 1 ، أي أن عددهم ينمو أضعافاً مضاعفة من عدد الأقراص n المستخدمة.

تأمل الآن في مسألة تلخيص التقدم الهندسي اللانهائي. دعونا نطلق على المجموع الجزئي لتقدم لانهائي معين مجموع شروطه الأولى. قم بالإشارة إلى المجموع الجزئي بالرمز

لكل تقدم لا حصر له

يمكن للمرء أن يؤلف سلسلة (لانهائية أيضًا) لمجموعها الجزئية

دع التسلسل مع زيادة غير محدودة له حدود

في هذه الحالة ، يسمى الرقم S ، أي حد المبالغ الجزئية للتقدم ، مجموع التقدم اللانهائي. سوف نثبت أن التدرج الهندسي المتناقص اللانهائي له دائمًا مجموع ، ونشتق صيغة لهذا المجموع (يمكننا أيضًا أن نظهر أنه بالنسبة للتقدم اللانهائي ليس له مجموع ، أو غير موجود).

نكتب التعبير عن المجموع الجزئي كمجموع أعضاء التقدم وفقًا للصيغة (91.1) ونأخذ في الاعتبار حد المجموع الجزئي عند

من نظرية البند 89 ، من المعروف أنه للتقدم المتناقص ؛ لذلك ، بتطبيق نظرية حد الفرق ، نجد

(تُستخدم القاعدة هنا أيضًا: يتم إخراج العامل الثابت من علامة الحد). تم إثبات الوجود ، وفي نفس الوقت يتم الحصول على صيغة مجموع التقدم الهندسي المتناقص بلا حدود:

يمكن أيضًا كتابة المساواة (92.1) كـ

هنا قد يبدو التناقض أن يتم تخصيص قيمة محدودة محددة جيدًا لمجموع مجموعة لا نهائية من المصطلحات.

يمكن إعطاء توضيح واضح لشرح هذا الموقف. اعتبر مربعًا ضلعًا يساوي واحدًا (الشكل 72). نقسم هذا المربع بخط أفقي إلى جزأين متساويين ونطبق الجزء العلوي على الجزء السفلي بحيث يتكون مستطيل من الجانبين 2 و. بعد ذلك ، نقسم النصف الأيمن من هذا المستطيل مرة أخرى إلى النصف بخط أفقي ونربط الجزء العلوي بالجزء السفلي (كما هو موضح في الشكل 72). استمرارًا لهذه العملية ، نقوم باستمرار بتحويل المربع الأصلي بمساحة تساوي 1 إلى أشكال متساوية الحجم (تأخذ شكل سلم بخطوات رقيق).

مع استمرار لانهائي لهذه العملية ، تتحلل مساحة المربع بالكامل إلى عدد لا نهائي من المصطلحات - مناطق المستطيلات ذات القواعد التي تساوي 1 والارتفاعات. وتشكل مناطق المستطيلات تقدمًا متناقصًا لانهائيًا ، مجموعها

أي ، كما هو متوقع ، تساوي مساحة المربع.

مثال. ابحث عن مجموع التسلسلات اللانهائية التالية:

الحل أ) نلاحظ أن هذا التقدم لذلك نجد بالصيغة (92.2)

ب) هذا يعني أنه بنفس الصيغة (92.2) لدينا

ج) نجد أن هذا التقدم لذلك ، هذا التقدم ليس له مجموع.

في القسم 5 ، تم عرض تطبيق الصيغة لمجموع شروط التقدم المتناقص بشكل لا نهائي لتحويل كسر عشري دوري إلى كسر عادي.

تمارين

1. مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل غير محدود هو 3/5 ، ومجموع حدوده الأربعة الأولى هو 13/27. أوجد الحد الأول والمقام في التقدم.

2. أوجد أربعة أعداد تشكل تعاقبًا هندسيًا متبادلًا يكون فيه الحد الثاني أقل من الأول بمقدار 35 ، والثالث أكبر من الرابع بمقدار 560.

3. عرض ماذا لو تسلسل

يشكل تقدمًا هندسيًا متناقصًا بشكل لا نهائي ، ثم التسلسل

لأي شكل من أشكال التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي. هل هذا التأكيد يحمل ل

اشتق معادلة حاصل ضرب شروط التقدم الهندسي.