ما الأشكال هي الحواف الجانبية للمنشور. نشور زجاجي

تعريف. نشور زجاجي- هذا متعدد السطوح ، تقع جميع رؤوسه في مستويين متوازيين ، وفي نفس المستويين يوجد وجهان للمنشور ، وهما مضلعان متساويان مع جوانب متوازية على التوالي ، وجميع الحواف التي لا تقع في هذين المستويين الطائرات متوازية.

يتم استدعاء وجهين متساويين قواعد المنشور(ABCDE، A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

يتم استدعاء جميع الوجوه الأخرى للمنشور وجوه جانبية(AA 1 B 1 B ، BB 1 C 1 C ، CC 1 D 1 D ، DD 1 E 1 E ، EE 1 A 1 A).

تتشكل جميع الوجوه الجانبية السطح الجانبي للمنشور .

جميع أوجه المنشور الجانبية هي متوازيات أضلاع .

تسمى الحواف التي لا تقع على القواعد الحواف الجانبية للمنشور ( AA 1, ب 1, CC 1, DD 1, هاء 1).

موشور قطري يسمى المقطع ، نهايته عبارة عن رأسين للمنشور لا يقعان على أحد وجوهه (م 1).

يسمى طول المقطع الذي يربط بين قواعد المنشور والعمودي على كلا القاعدتين في نفس الوقت ارتفاع المنشور .

تعيين:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (أولاً ، بترتيب الالتفافية ، يُشار إلى رؤوس قاعدة واحدة ، ثم ، بنفس الترتيب ، رؤوس القاعدة الأخرى ؛ يشار إلى نهايات كل حافة جانبية بالحروف نفسها ، فقط الرؤوس الموجودة في تتم الإشارة إلى قاعدة واحدة بأحرف بدون فهرس ، وفي الأخرى - مع فهرس)

يرتبط اسم المنشور بعدد الزوايا في الشكل الواقع في قاعدته ، على سبيل المثال ، في الشكل 1 ، القاعدة عبارة عن خماسي ، لذلك يسمى المنشور منشور خماسي. لكن منذ هذا المنشور له 7 وجوه ، إذن سباعي الوجوه(وجهان هما أساس المنشور ، و 5 أوجه متوازية الأضلاع ، هي وجوهه الجانبية)

من بين المنشورات المستقيمة ، يبرز نوع معين: مناشير منتظمة.

المنشور المستقيم يسمى صحيح،إذا كانت قواعدها مضلعات منتظمة.

متوازي السطوح

مكعباني شبيه بالمكعب- خط متوازي سطوح يمين قاعدته مستطيل.

الخصائص والنظريات:

,

أين د هو قطر المربع ؛
أ - جانب المربع.

يتم إعطاء فكرة المنشور من خلال:

• الهياكل المعمارية المختلفة
• لعب الاطفال
• صناديق التعبئة؛
• عناصر المصمم ، إلخ.

مساحة السطح الكلية والجانبية للمنشور

S ممتلئ \ u003d جانب S + 2S رئيسي,

أين S ممتلئ- المساحة الإجمالية، جانب S.- مساحة السطح الجانبية ، S الرئيسي- منطقة قاعدة

مساحة السطح الجانبي للمنشور المستقيم تساوي حاصل ضرب محيط القاعدة وارتفاع المنشور.

جانب S.\ u003d ف رئيسي * ح ،

أين جانب S.هي مساحة السطح الجانبي لمنشور مستقيم ،

P main - محيط قاعدة المنشور المستقيم ،

h هو ارتفاع المنشور المستقيم ، يساوي الحافة الجانبية.

حجم المنشور

حجم المنشور يساوي حاصل ضرب مساحة القاعدة والارتفاع.

تتضمن دورة الفيديو "الحصول على A" جميع الموضوعات اللازمة لاجتياز امتحان الرياضيات بنجاح بنسبة 60-65 نقطة. تمامًا جميع المهام 1-13 من ملف التعريف المستخدم في الرياضيات. مناسب أيضًا لاجتياز الاستخدام الأساسي في الرياضيات. إذا كنت ترغب في اجتياز الاختبار بمجموع 90-100 نقطة ، فأنت بحاجة إلى حل الجزء الأول في 30 دقيقة وبدون أخطاء!

دورة تحضيرية لامتحان الصفوف 10-11 وكذلك للمعلمين. كل ما تحتاجه لحل الجزء الأول من امتحان الرياضيات (أول 12 مشكلة) والمسألة 13 (حساب المثلثات). وهذا أكثر من 70 نقطة في امتحان الدولة الموحد ، ولا يمكن لطالب مائة نقطة ولا إنساني الاستغناء عنها.

كل النظرية اللازمة. الحلول السريعة والفخاخ وأسرار الامتحان. تم تحليل جميع المهام ذات الصلة بالجزء 1 من مهام بنك FIPI. تتوافق الدورة تمامًا مع متطلبات USE-2018.

تحتوي الدورة على 5 مواضيع كبيرة ، 2.5 ساعة لكل منها. يتم إعطاء كل موضوع من الصفر ، ببساطة وبشكل واضح.

المئات من مهام الامتحان. مشاكل النص ونظرية الاحتمالات. خوارزميات حل المشكلات بسيطة وسهلة التذكر. الهندسة. النظرية ، المادة المرجعية ، تحليل جميع أنواع مهام الاستخدام. القياس المجسم. حيل ماكرة لحل أوراق الغش المفيدة ، وتنمية الخيال المكاني. علم المثلثات من البداية إلى المهمة 13. الفهم بدلاً من الحشو. شرح مرئي للمفاهيم المعقدة. الجبر. الجذور والقوى واللوغاريتمات والوظيفة والمشتقات. قاعدة لحل المشكلات المعقدة للجزء الثاني من الامتحان.

محاضرة: المنشور ، قواعده ، الحواف الجانبية ، الارتفاع ، السطح الجانبي ؛ منشور مستقيم المنشور الصحيح

نشور زجاجي

إذا كنت قد تعلمت أرقامًا مسطحة من الأسئلة السابقة معنا ، فأنت جاهز تمامًا لدراسة الأشكال ثلاثية الأبعاد. أول مادة صلبة سنتعلمها ستكون منشورًا.

نشور زجاجي- هذا جسم ثلاثي الأبعاد به عدد كبير من الوجوه.

يحتوي هذا الشكل على مضلعين في القواعد ، والموجودين في مستويات متوازية ، وجميع الوجوه الجانبية على شكل متوازي أضلاع.

لذا ، دعنا نتعرف على ما يتكون المنشور. للقيام بذلك ، انتبه إلى الشكل 1

كما ذكرنا سابقًا ، يحتوي المنشور على قاعدتين متوازيتين مع بعضهما البعض - وهما الخماسيات ABCEF و GMNJK. علاوة على ذلك ، هذه المضلعات متساوية مع بعضها البعض.

تسمى جميع الوجوه الأخرى للمنشور وجوهًا جانبية - وهي تتكون من متوازي الأضلاع. على سبيل المثال ، BMNC ، AGKF ، FKJE ، إلخ.

يتم استدعاء السطح المشترك لجميع الوجوه الجانبية السطح الجانبي.

لكل زوج من الوجوه المتجاورة جانب مشترك. يسمى هذا الجانب المشترك الحافة. على سبيل المثال ، MB ، CE ، AB ، إلخ.

إذا كانت القاعدة العلوية والسفلية للمنشور متصلة بشكل عمودي ، فسيتم تسميتها بارتفاع المنشور. في الشكل ، تم تحديد الارتفاع كخط مستقيم OO 1.

هناك نوعان رئيسيان من المنشور: مائل ومستقيم.

إذا لم تكن الحواف الجانبية للمنشور متعامدة مع القواعد ، فإن هذا المنشور يسمى منحرف - مائل.

إذا كانت جميع حواف المنشور متعامدة مع القواعد ، فإن هذا المنشور يسمى مستقيم.

إذا كانت قواعد المنشور عبارة عن مضلعات منتظمة (تلك التي لها جوانب متساوية) ، فإن هذا المنشور يسمى صحيح.

إذا لم تكن قواعد المنشور موازية لبعضها البعض ، فسيتم استدعاء هذا المنشور مقطوع.

يمكنك رؤيته في الشكل 2

صيغ لإيجاد الحجم ومساحة المنشور

هناك ثلاث صيغ أساسية لإيجاد الحجم. يختلفون عن بعضهم البعض في تطبيقهم:

صيغ مماثلة لإيجاد مساحة سطح المنشور:

مساحة السطح الجانبي للمنشور. مرحبًا! في هذا المنشور ، سنقوم بتحليل مجموعة من المهام على القياس الفراغي. ضع في اعتبارك مجموعة من الأجسام - المنشور والأسطوانة. في الوقت الحالي ، تكمل هذه المقالة السلسلة الكاملة من المقالات المتعلقة بالنظر في أنواع المهام في القياس الفراغي.

إذا ظهرت مهام جديدة في بنك المهام ، فستكون هناك بالطبع إضافات إلى المدونة في المستقبل. ولكن ما هو موجود بالفعل يكفي حتى تتمكن من تعلم كيفية حل جميع المشكلات بإجابة قصيرة كجزء من الامتحان. ستكون المادة كافية لسنوات قادمة (البرنامج في الرياضيات ثابت).

ترتبط المهام المعروضة بحساب مساحة المنشور. ألاحظ أننا نعتبر أدناه منشورًا مستقيمًا (وبالتالي ، أسطوانة مستقيمة).

بدون معرفة أي صيغ ، نفهم أن السطح الجانبي للمنشور هو كل أوجهه الجانبية. في المنشور المستقيم ، تكون الوجوه الجانبية مستطيلة.

مساحة السطح الجانبي لهذا المنشور تساوي مجموع مساحات كل أوجهه الجانبية (أي المستطيلات). إذا كنا نتحدث عن منشور منتظم يتم فيه نقش أسطوانة ، فمن الواضح أن جميع أوجه هذا المنشور عبارة عن مستطيلات متساوية.

بشكل رسمي ، يمكن التعبير عن مساحة السطح الجانبية للمنشور العادي على النحو التالي:

27064. موشور رباعي الزوايا محدد حول أسطوانة نصف قطر قاعدتها وارتفاعها يساوي 1. أوجد مساحة السطح الجانبي للمنشور.

يتكون السطح الجانبي لهذا المنشور من أربعة مستطيلات متساوية في المساحة. ارتفاع الوجه هو 1 ، وحافة قاعدة المنشور هي 2 (وهما نصف قطر الأسطوانة) ، وبالتالي فإن مساحة الوجه الجانبي هي:

مساحة السطح الجانبية:

73023. أوجد مساحة السطح الجانبي لمنشور مثلث منتظم محصور حول أسطوانة نصف قطر قاعدتها √0.12 وارتفاعها 3.

مساحة السطح الجانبي لهذا المنشور تساوي مجموع مساحات الوجوه الجانبية الثلاثة (المستطيلات). لإيجاد مساحة الوجه الجانبي ، عليك معرفة ارتفاعه وطول حافة القاعدة. الارتفاع ثلاثة. أوجد طول حافة القاعدة. ضع في اعتبارك الإسقاط (منظر علوي):

لدينا مثلث منتظم كتبت فيه دائرة نصف قطرها √0.12. يمكننا إيجاد AC من المثلث القائم الزاوية AOC. ثم AD (AD = 2AC). حسب تعريف الظل:

إذن AD = 2AC = 1.2. وبالتالي ، فإن مساحة السطح الجانبي تساوي:

27066. أوجد مساحة السطح الجانبي لمنشور سداسي منتظم محصور حول أسطوانة نصف قطر قاعدتها √75 وارتفاعها 1.

المساحة المرغوبة تساوي مجموع مناطق كل الوجوه الجانبية. لمنشور سداسي منتظم ، تكون الوجوه الجانبية مستطيلات متساوية.

لمعرفة مساحة الوجه ، عليك معرفة ارتفاعه وطول حافة القاعدة. الارتفاع معروف ، إنه يساوي 1.

أوجد طول حافة القاعدة. ضع في اعتبارك الإسقاط (منظر علوي):

لدينا شكل سداسي منتظم كتب فيه نصف قطر √75.

ضع في اعتبارك مثلث قائم الزاوية ABO. نعرف الساق OB (هذا هو نصف قطر الأسطوانة). يمكننا أيضًا تحديد الزاوية AOB ، وهي تساوي 300 (المثلث AOC متساوي الأضلاع ، OB هو منصف).

دعنا نستخدم تعريف المماس في مثلث قائم الزاوية:

AC \ u003d 2AB ، نظرًا لأن OB متوسط ​​، أي أنه يقسم AC إلى نصفين ، مما يعني AC \ u003d 10.

وبالتالي ، فإن مساحة الوجه الجانبي هي 1 10 = 10 ومساحة السطح الجانبي هي:

76485. أوجد مساحة السطح الجانبي لمنشور مثلث منتظم منقوش في أسطوانة نصف قطر قاعدتها 8√3 وارتفاعها 6.

مساحة السطح الجانبي للمنشور المحدد لثلاثة أوجه متساوية الحجم (مستطيلات). لإيجاد المساحة ، عليك معرفة طول حافة قاعدة المنشور (نعرف الارتفاع). إذا أخذنا في الاعتبار الإسقاط (منظر علوي) ، فسيكون لدينا مثلث منتظم محفور في دائرة. يتم التعبير عن جانب هذا المثلث بدلالة نصف القطر على النحو التالي:

تفاصيل هذه العلاقة. لذلك ستكون متساوية

إذن مساحة الوجه الجانبي تساوي: 24 6 = 144. والمساحة المطلوبة:

245354. موشور منتظم رباعي الزوايا محصور بالقرب من أسطوانة نصف قطر قاعدتها 2. مساحة السطح الجانبي للمنشور 48. أوجد ارتفاع الأسطوانة.

متعددات الوجوه

الهدف الرئيسي من دراسة القياس الفراغي هو الأجسام ثلاثية الأبعاد. الجسمجزء من الفضاء يحده سطح ما.

متعدد الوجوهيسمى الجسم الذي يتكون سطحه من عدد محدود من المضلعات المستوية. يسمى متعدد الوجوه محدب إذا كان يقع على جانب واحد من مستوى كل مضلع مسطح على سطحه. يسمى الجزء المشترك من هذا المستوى وسطح متعدد السطوح حافة. وجوه متعدد السطوح المحدبة عبارة عن مضلعات محدبة مسطحة. تسمى جوانب الوجوه حواف متعدد السطوحوالرؤوس رؤوس متعدد السطوح.

على سبيل المثال ، يتكون المكعب من ستة مربعات تمثل وجوهه. يحتوي على 12 حافة (جوانب مربعات) و 8 رؤوس (رؤوس مربعات).

أبسط متعددات الوجوه هي المنشورات والأهرامات ، والتي سوف ندرسها أكثر.

نشور زجاجي

تعريف وخصائص المنشور

نشور زجاجييسمى متعدد السطوح يتكون من مضلعين مسطحين يقعان في مستويات متوازية مجتمعة بترجمة متوازية ، وجميع الأجزاء التي تربط النقاط المقابلة لهذه المضلعات. تسمى المضلعات قواعد المنشور، والقطع التي تربط الرؤوس المقابلة للمضلعات هي الحواف الجانبية للمنشور.

ارتفاع المنشورتسمى المسافة بين طائرات قواعدها (). يسمى المقطع الذي يربط بين رأسين من منشور لا ينتميان إلى نفس الوجه المنشور قطري(). المنشور يسمى ن الفحمإذا كانت قاعدته عبارة عن n-gon.

أي منشور له الخصائص التالية ، والتي تنبع من حقيقة أن قواعد المنشور يتم دمجها بترجمة موازية:

1. أسس المنشور متساوية.

2. الحواف الجانبية للمنشور متوازية ومتساوية.

يتكون سطح المنشور من قواعد و السطح الجانبي. يتكون السطح الجانبي للمنشور من متوازي الأضلاع (وهذا يتبع خصائص المنشور). مساحة السطح الجانبي للمنشور هي مجموع مساحات الوجوه الجانبية.

منشور مستقيم

المنشور يسمى مستقيمإذا كانت حوافه الجانبية متعامدة مع القواعد. خلاف ذلك ، المنشور يسمى منحرف - مائل.

وجوه المنشور المستقيم عبارة عن مستطيلات. ارتفاع المنشور المستقيم يساوي أوجهه الجانبية.

سطح المنشور الكاملهو مجموع مساحة السطح الجانبية ومناطق القواعد.

المنشور الصحيحيسمى المنشور الصحيح مع مضلع منتظم في القاعدة.

نظرية 13.1. مساحة السطح الجانبي للمنشور المستقيم تساوي ناتج المحيط وارتفاع المنشور (أو بشكل مكافئ الحافة الجانبية).

دليل - إثبات. الوجوه الجانبية للمنشور المستقيم عبارة عن مستطيلات تشكل قواعدها جوانب المضلعات عند قواعد المنشور ، والارتفاعات هي الحواف الجانبية للمنشور. ثم ، بحكم التعريف ، فإن مساحة السطح الجانبية هي:

,

أين محيط قاعدة المنشور المستقيم.

متوازي السطوح

إذا كانت متوازيات الأضلاع تقع على قواعد المنشور ، فيتم تسميتها متوازي السطوح. جميع أوجه متوازي السطوح هي متوازيات أضلاع. في هذه الحالة ، تكون الوجوه المعاكسة للخط المتوازي متوازية ومتساوية.

نظرية 13.2. تتقاطع أقطار خط الموازي عند نقطة واحدة وتنقسم نقطة التقاطع إلى نصفين.

دليل - إثبات. ضع في اعتبارك قطرين تعسفيين ، على سبيل المثال ، و. لان وجوه متوازي السطوح هي متوازي الأضلاع ، ثم ، وهذا يعني أنه وفقًا لـ T ، هناك خطان مستقيمان موازيان للخط الثالث. بالإضافة إلى ذلك ، هذا يعني أن الخطوط تقع في نفس المستوى (المستوى). يتقاطع هذا المستوى مع مستويات متوازية وعلى طول خطوط متوازية و. وبالتالي ، فإن الشكل الرباعي هو متوازي الأضلاع ، وبخاصية متوازي الأضلاع ، تقسم أقطارها وتقاطعها ونقطة التقاطع إلى نصفين ، وهو ما كان يجب إثباته.

يسمى متوازي السطوح الأيمن قاعدته مستطيل مكعباني شبيه بالمكعب. جميع وجوه متوازي المستطيلات هي مستطيلات. تسمى أطوال الحواف غير المتوازية لخط متوازي المستطيل أبعادها الخطية (القياسات). هناك ثلاثة أحجام (عرض ، ارتفاع ، طول).

نظرية 13.3. في شكل متوازي المستطيلات ، يساوي مربع أي قطري مجموع مربعات أبعاده الثلاثة (ثبت عن طريق تطبيق Pythagorean T مرتين).

يسمى متوازي السطوح المستطيل الذي تتساوى فيه جميع الحواف مكعب.

مهام

13.1 كم عدد الأقطار يفعل ن- منشور الكربون

13.2 في منشور مثلثي مائل ، تكون المسافات بين الحواف الجانبية 37 و 13 و 40. أوجد المسافة بين الوجه الجانبي الأكبر والحافة الجانبية المقابلة.

13.3 من خلال جانب القاعدة السفلية لمنشور مثلثي منتظم ، يتم رسم مستوى يتقاطع مع الوجوه الجانبية على طول المقاطع ، والزاوية بينهما. أوجد زاوية ميل هذا المستوى على قاعدة المنشور.