التركيبات الممكنة آلة حاسبة. مجموعات بدون تكرار: Combinatorics in MS EXCEL

ستركز هذه المقالة على فرع خاص من الرياضيات يسمى التوافقية. الصيغ والقواعد والأمثلة على حل المشكلات - كل هذا يمكنك أن تجده هنا من خلال قراءة المقالة حتى النهاية.

إذن ما هو هذا القسم؟ تتعامل التوافقية مع مسألة عد أي كائنات. لكن في هذه الحالة ، الأشياء ليست برقوقًا أو إجاصًا أو تفاحًا ، ولكنها شيء آخر. تساعدنا التوافقية في إيجاد احتمال وقوع حدث. على سبيل المثال ، عند لعب الورق - ما هو احتمال أن يكون للخصم ورقة رابحة؟ أو مثل هذا المثال - ما هو احتمال أن تحصل على اللون الأبيض تمامًا من كيس من عشرين كرة؟ لهذا النوع من المهام نحتاج إلى معرفة أساسيات هذا القسم من الرياضيات على الأقل.

التكوينات الاندماجية

بالنظر إلى مسألة المفاهيم الأساسية والصيغ التوافقية ، لا يسعنا إلا أن ننتبه إلى التكوينات التوافقية. يتم استخدامها ليس فقط للصياغة ، ولكن أيضًا لحل الأمثلة المختلفة لهذه النماذج:

• الإقامة؛
• التقليب.
• مزيج؛
• تكوين العدد
• تقسيم الرقم.

سنتحدث عن الثلاثة الأولى بمزيد من التفصيل لاحقًا ، لكننا سننتبه إلى التكوين والتقسيم في هذا القسم. عندما يتحدثون عن تكوين رقم معين (على سبيل المثال ، أ) ، فإنهم يقصدون تمثيل الرقم أ كمجموع مرتب لبعض الأرقام الموجبة. الانقسام هو مجموع غير مرتب.

الأقسام

قبل أن ننتقل مباشرة إلى معادلات التوافقية والنظر في المشاكل ، يجدر الانتباه إلى حقيقة أن التوافقيات ، مثل فروع الرياضيات الأخرى ، لها أقسامها الفرعية الخاصة بها. وتشمل هذه:

• عددي
• الهيكلي؛
• أقصى الحدود؛
• نظرية رامزي
• احتمالية
• طوبولوجي.
• إنفينيتي.

في الحالة الأولى ، نحن نتحدث عن التوافقية العددي ، فالمشكلات تنظر في تعداد أو حساب التكوينات المختلفة التي تتكون من عناصر المجموعات. كقاعدة عامة ، يتم فرض بعض القيود على هذه المجموعات (التميز ، وعدم القدرة على التمييز ، وإمكانية التكرار ، وما إلى ذلك). ويتم حساب عدد هذه التكوينات باستخدام قاعدة الجمع أو الضرب التي سنتحدث عنها بعد قليل. تشمل التركيبات التركيبية نظريات الرسوم البيانية و matroids. مثال على مشكلة التوافقية القصوى هو الحجم الأكبر للرسم البياني الذي يلبي الخصائص التالية ... في الفقرة الرابعة ، ذكرنا نظرية رامزي ، التي تدرس وجود الهياكل المنتظمة في التكوينات العشوائية. التوافقيات الاحتمالية قادرة على الإجابة على السؤال - ما هو احتمال أن يكون لمجموعة معينة خاصية معينة. كما قد تتخيل ، فإن التوافقيات الطوبولوجية تطبق طرقًا في الطوبولوجيا. وأخيرًا ، النقطة السابعة - التوافقية اللانهائية تدرس تطبيق طرق التوافقية على المجموعات اللانهائية.

حكم الجمع

من بين صيغ التوافقية ، يمكن للمرء أيضًا أن يجد صيغًا بسيطة جدًا ، كنا على دراية بها لفترة طويلة. مثال على ذلك هو قاعدة الجمع. لنفترض أننا حصلنا على إجراءين (C و E) ، إذا كانا متنافيين ، فيمكن تنفيذ الإجراء C بعدة طرق (على سبيل المثال ، أ) ، ويمكن تنفيذ الإجراء E بطرق b ، ثم أي منها (C أو E) يمكن أن يتم بطريقة أ + ب.

من الناحية النظرية ، يصعب فهم هذا الأمر ، سنحاول نقل النقطة الكاملة بمثال بسيط. لنأخذ متوسط ​​عدد الطلاب في الفصل الواحد - لنفترض أنه خمسة وعشرون طالبًا. من بينهم خمسة عشر فتاة وعشرة أولاد. يتم تعيين مضيف واحد للفصل يوميًا. كم عدد الطرق المتاحة لتعيين حاضر في الفصل اليوم؟ حل المشكلة بسيط للغاية ، سنلجأ إلى قاعدة الإضافة. لا ينص نص المهمة على أن الأولاد فقط أو البنات فقط هم من يمكنهم أداء الواجب. لذلك ، يمكن أن تكون أيًا من الفتيات الخمس عشرة أو أيًا من الأولاد العشرة. من خلال تطبيق قاعدة المجموع ، نحصل على مثال بسيط إلى حد ما يمكن لطالب المدرسة الابتدائية التعامل معه بسهولة: 15 + 10. بعد الحساب ، نحصل على الإجابة: خمسة وعشرون. أي أنه لا يوجد سوى 25 طريقة لتعيين فئة في الخدمة لهذا اليوم.

قاعدة الضرب

تنتمي قاعدة الضرب أيضًا إلى الصيغ الأساسية للتوافقيات. لنبدأ بالنظرية. افترض أننا بحاجة إلى تنفيذ عدة إجراءات (أ): يتم تنفيذ الإجراء الأول بطريقتين ، والثاني - بطريقتين ، والثالث - بثلاث طرق ، وهكذا حتى يتم تنفيذ الإجراء الأخير بطريقة sa. ثم يمكن تنفيذ كل هذه الإجراءات (التي لدينا إجماليها) بطرق N. كيف تحسب المجهول N؟ ستساعدنا الصيغة في هذا: N \ u003d c1 * c2 * c3 * ... * ca.

مرة أخرى ، لا يوجد شيء واضح من الناحية النظرية ، دعنا ننتقل إلى مثال بسيط لتطبيق قاعدة الضرب. لنأخذ نفس الفصل المكون من خمسة وعشرين شخصًا ، حيث تدرس فيه خمس عشرة فتاة وعشرة فتيان. هذه المرة فقط نحتاج إلى اختيار حاضرين. يمكن أن يكونوا إما فتيانًا أو فتيات فقط ، أو صبيًا مع فتاة. ننتقل إلى الحل الأولي للمشكلة. نختار المصاحب الأول ، كما قررنا في الفقرة الأخيرة ، نحصل على 25 خيارًا ممكنًا. يمكن أن يكون الشخص الثاني في الخدمة أيًا من الأشخاص المتبقين. كان لدينا خمسة وعشرون طالبًا ، واخترنا واحدًا ، مما يعني أن أيًا من الأشخاص الأربعة والعشرين المتبقين يمكن أن يكون الثاني في الخدمة. أخيرًا ، طبقنا قاعدة الضرب ووجدنا أنه يمكن اختيار الحاضرين بستمائة طريقة. حصلنا على هذا العدد بضرب 25 في 24.

التقليب

الآن سننظر في صيغة أخرى للتوافقيات. في هذا القسم من المقالة سوف نتحدث عن التباديل. ضع في اعتبارك المشكلة على الفور بمثال. لنأخذ كرات البلياردو ، لدينا العدد التاسع منهم. نحتاج إلى حساب: كم عدد الخيارات الموجودة لترتيبها في صف ، أي لإنشاء مجموعة مرتبة.

لنبدأ ، إذا لم يكن لدينا كرات ، فلن يكون لدينا أيضًا خيارات للتنسيب. وإذا كانت لدينا كرة واحدة ، فسيكون الترتيب هو نفسه أيضًا (رياضيًا ، يمكن كتابة هذا على النحو التالي: Р1 = 1). يمكن ترتيب كرتين بطريقتين مختلفتين: 1.2 و 2.1. لذلك ، P2 = 2. يمكن ترتيب ثلاث كرات في ست طرق (P3 = 6): 1،2،3 ؛ 1،3،2 ؛ 2،1،3 ؛ 2،3،1 ؛ 3.2.1 ؛ 3،1،2. وإذا لم يكن هناك ثلاث كرات من هذا القبيل ، بل عشرة أو خمسة عشر؟ إن قائمة جميع الخيارات الممكنة طويلة جدًا ، فإن التوافقيات تأتي لمساعدتنا. ستساعدنا صيغة التقليب في إيجاد إجابة سؤالنا. Pn = n * P (n-1). إذا حاولنا تبسيط الصيغة ، نحصل على: Pn = n * (n - 1) * ... * 2 * 1. وهذا هو حاصل ضرب أول الأعداد الطبيعية. يسمى هذا الرقم عاملي ، ويشار إليه بالرمز n!

لنفكر في المشكلة. يبني القائد كل صباح انفصاله في طابور (عشرين شخصًا). هناك ثلاثة أصدقاء مقربين في الوحدة - كوستيا وساشا وليشا. ما هو احتمال أن يكونوا بجانب بعضهم البعض؟ للعثور على إجابة السؤال ، تحتاج إلى قسمة احتمال نتيجة "جيدة" على العدد الإجمالي للنتائج. العدد الإجمالي للتباديل هو 20! = 2.5 كوينتيليون. كيف نحسب عدد النتائج "الجيدة"؟ افترض أن كوستيا وساشا وليشا هم سوبرمان واحد. ثم لدينا ثمانية عشر موضوعا فقط. عدد التباديل في هذه الحالة هو 18 = 6.5 كوادريليون. مع كل هذا ، يمكن لـ Kostya و Sasha و Lesha التحرك بشكل تعسفي فيما بينهم في ثلاثية غير قابلة للتجزئة ، وهذا هو 3 آخرين! = 6 خيارات. لذلك لدينا 18 كوكبة "جيدة" في المجموع! * 3! علينا فقط إيجاد الاحتمال المطلوب: (18! * 3!) / 20! وهو ما يقرب من 0.016. إذا تمت ترجمتها إلى نسب مئوية ، فهذه ليست سوى 1.6٪.

إقامة

الآن سننظر في صيغة توافقية أخرى مهمة جدًا وضرورية. الإقامة هي مشكلتنا التالية ، والتي نقترح عليك أخذها في الاعتبار في هذا القسم من المقالة. سنصبح أكثر تعقيدًا. لنفترض أننا نريد النظر في التباديل المحتمل ، ليس فقط من المجموعة الكاملة (ن) ، ولكن من مجموعة أصغر (م). أي أننا نعتبر التباديل لـ n عنصرًا بواسطة m.

لا ينبغي فقط حفظ الصيغ الأساسية للتوافقيات ، بل يجب فهمها. على الرغم من حقيقة أنها أصبحت أكثر تعقيدًا ، حيث لا يوجد لدينا معيار واحد ، بل معلمتان. افترض أن m \ u003d 1 ، ثم A \ u003d 1 ، m \ u003d 2 ، ثم A \ u003d n * (n - 1). إذا قمنا بتبسيط الصيغة بشكل أكبر وانتقلنا إلى الترميز باستخدام العوامل ، فسنحصل على صيغة موجزة تمامًا: A \ u003d n! / (ن - م)!

مزيج

لقد درسنا جميع الصيغ الأساسية للتوافقيات مع الأمثلة تقريبًا. الآن دعنا ننتقل إلى المرحلة الأخيرة من التفكير في المسار الأساسي للتوليفات - التعرف على المجموعة. الآن سوف نختار m من العناصر التي لدينا ، بينما سنختارها جميعًا بكل الطرق الممكنة. فكيف يختلف هذا عن الإقامة؟ لن نفكر في النظام. ستكون هذه المجموعة غير المرتبة مزيجًا.

نقدم على الفور الترميز: C. نأخذ مواضع كرات m من n. نتوقف عن الاهتمام بالطلب ونحصل على مجموعات متكررة. للحصول على عدد التركيبات ، نحتاج إلى قسمة عدد المواضع على m! (م عاملي). أي C \ u003d A / m! وبالتالي ، هناك عدة طرق للاختيار من بين n كرات ، تساوي تقريبًا عدد الكرات التي تختار كل شيء تقريبًا. هناك تعبير منطقي لهذا: اختيار القليل هو نفس التخلص من كل شيء تقريبًا. من المهم أيضًا الإشارة في هذه المرحلة إلى أنه يمكن تحقيق الحد الأقصى لعدد المجموعات عند محاولة تحديد نصف العناصر.

كيف تختار صيغة لحل مشكلة؟

لقد درسنا بالتفصيل الصيغ الأساسية للتوافقيات: التنسيب والتبديل والجمع. مهمتنا الآن هي تسهيل اختيار الصيغة اللازمة لحل المشكلة في التوافقية. يمكنك استخدام المخطط البسيط التالي:

1. اسأل نفسك السؤال: هل ترتيب العناصر مأخوذ في نص المهمة؟
2. إذا كانت الإجابة لا ، فاستخدم الصيغة المركبة (C \ u003d n! / (m! * (n - m))).
3. إذا كانت الإجابة لا ، فيجب إجابة سؤال آخر: هل تم تضمين جميع العناصر في المجموعة؟
4. إذا كانت الإجابة بنعم ، فاستخدم صيغة التقليب (P = n!).
5. إذا كانت الإجابة لا ، فاستخدم صيغة التخصيص (A = n! / (n - m)!).

مثال

لقد نظرنا في عناصر التوافقية والصيغ وبعض القضايا الأخرى. الآن دعنا ننتقل إلى المشكلة الحقيقية. تخيل أن لديك كيوي وبرتقال وموزة أمامك.

السؤال الأول: ما هو عدد الطرق التي يمكن إعادة ترتيبها فيها؟ للقيام بذلك ، نستخدم صيغة التقليب: P = 3! = 6 طرق.

السؤال 2: ما هو عدد الطرق التي يمكن فيها اختيار فاكهة واحدة؟ هذا واضح ، لدينا ثلاثة خيارات فقط - اختر كيوي أو برتقال أو موز ، لكننا نطبق صيغة المجموعة: C \ u003d 3! / (2! * 1!) = 3.

السؤال 3: ما هو عدد الطرق التي يمكن فيها اختيار ثمارين؟ ما هي الخيارات التي لدينا؟ الكيوي والبرتقال الكيوي والموز. البرتقال والموز. أي ثلاثة خيارات ، ولكن من السهل التحقق من ذلك باستخدام صيغة المجموعة: C \ u003d 3! / (1! * 2!) = 3

السؤال 4: ما هو عدد الطرق التي يمكن فيها اختيار ثلاث فواكه؟ كما ترى ، هناك طريقة واحدة فقط لاختيار ثلاث فواكه: تناول الكيوي والبرتقال والموز. ج = 3! / (0! * 3!) = 1.

السؤال الخامس: كم عدد الطرق التي يمكنك بها اختيار فاكهة واحدة على الأقل؟ يشير هذا الشرط إلى أنه يمكننا تناول ثمار أو اثنتين أو ثلاث ثمار. لذلك ، نضيف C1 + C2 + C3 = 3 + 3 + 1 = 7. أي ، لدينا سبع طرق لأخذ قطعة واحدة على الأقل من الفاكهة من المائدة.

وتجدر الإشارة إلى أن التوافقية هي قسم مستقل من الرياضيات العليا (وليست جزءًا من terver) وقد تمت كتابة كتب مدرسية ثقيلة في هذا التخصص ، ومحتواها ، في بعض الأحيان ، ليس أسهل من الجبر المجرد. ومع ذلك ، فإن حصة صغيرة من المعرفة النظرية ستكون كافية بالنسبة لنا ، وفي هذه المقالة سأحاول تحليل أساسيات الموضوع مع مشاكل اندماجية نموذجية في شكل يمكن الوصول إليه. وسيساعدني الكثير منكم ؛-)

ماذا علينا ان نفعل؟ بالمعنى الضيق ، التوليفات هي حساب مجموعات مختلفة يمكن إجراؤها من مجموعة معينة منفصلةأشياء. تُفهم الأشياء على أنها أي كائنات معزولة أو كائنات حية - أشخاص ، حيوانات ، عيش الغراب ، نباتات ، حشرات ، إلخ. في الوقت نفسه ، لا يهتم التوافقيات على الإطلاق بأن المجموعة تتكون من صفيحة من السميد ومكواة لحام وضفدع مستنقع. من المهم بشكل أساسي أن تكون هذه العناصر قابلة للعد - هناك ثلاثة منهم. (التكتم)ومن الضروري ألا يتشابه أي منهم.

مع الكثير من الفرز ، الآن حول المجموعات. أكثر أنواع التوليفات شيوعًا هي تباديل الكائنات واختيارها من مجموعة (مجموعة) والتوزيع (التنسيب). دعونا نرى كيف يحدث هذا الآن:

التبديلات والتركيبات والمواضع دون تكرار

لا تخف من المصطلحات الغامضة ، خاصة وأن بعضها ليس ناجحًا حقًا. لنبدأ بذيل العنوان - ماذا يعني " بدون تكرار"؟ هذا يعني أنه في هذا القسم سننظر في المجموعات التي تتكون من متنوعأشياء. على سبيل المثال ، ... لا ، لن أقدم عصيدة بمكواة لحام وضفدع ، فالشيء ألذ أفضل =) تخيل أن تفاحة ، وكمثرى ، وموزة موجودة على المنضدة أمامك (إذا كان هناك أي ، يمكن محاكاة الموقف بشكل حقيقي). نضع الثمار من اليسار إلى اليمين بالترتيب التالي:

تفاح / كمثرى / موز

سؤال واحد: ما هو عدد الطرق التي يمكن بها إعادة ترتيبها؟

تمت كتابة مجموعة واحدة بالفعل أعلاه ولا توجد مشاكل مع البقية:

تفاح / موز / كمثرى
كمثرى / تفاح / موز
كمثرى / موز / تفاح
موز / تفاح / كمثرى
موز / كمثرى / تفاح

المجموع: 6 مجموعات أو 6 التباديل.

حسنًا ، لم يكن من الصعب سرد جميع الحالات المحتملة هنا ، ولكن ماذا لو كان هناك المزيد من الكائنات؟ بالفعل مع أربع فواكه مختلفة ، سيزداد عدد التوليفات بشكل كبير!

الرجاء فتح المواد المرجعية (دليل سهل الطباعة)وفي الفقرة رقم 2 ، ابحث عن صيغة عدد التباديل.

لا يوجد عذاب - 3 أشياء يمكن إعادة ترتيبها بطرق.

السؤال الثاني: ما هو عدد الطرق التي يمكنك بها اختيار أ) فاكهة واحدة ، ب) فاكهة ، ج) ثلاث فواكه ، د) فاكهة واحدة على الأقل؟

لماذا الاختيار؟ لذلك عملوا على زيادة الشهية في الفقرة السابقة - من أجل الأكل! =)

أ) يمكن اختيار فاكهة واحدة ، من الواضح ، بثلاث طرق - خذ إما تفاحة ، أو كمثرى ، أو موزة. يعتمد العد الرسمي على صيغة عدد التوليفات:

يجب فهم الإدخال في هذه الحالة على النحو التالي: "ما هو عدد الطرق التي يمكنك بها اختيار فاكهة واحدة من بين ثلاثة؟"

ب) ندرج جميع المجموعات الممكنة من فاكهتين:

التفاح والكمثرى
التفاح والموز
الكمثرى والموز.

من السهل التحقق من عدد التركيبات باستخدام نفس الصيغة:

يُفهم الإدخال بشكل مشابه: "ما هو عدد الطرق التي يمكنك بها اختيار فواكه من ثلاثة؟".

ج) وأخيرًا ، يمكن اختيار ثلاث فواكه بطريقة فريدة:

بالمناسبة ، فإن صيغة عدد المجموعات منطقية أيضًا لعينة فارغة:
بهذه الطريقة ، لا يمكنك اختيار فاكهة واحدة - في الواقع ، لا تأخذ شيئًا وهذا كل شيء.

د) كم عدد الطرق التي يمكنك اتباعها مرة على الأقلفاكهة؟ يشير الشرط "واحد على الأقل" إلى أننا راضون عن فاكهة واحدة (أي فاكهة) أو أي فاكهة أو كل ثلاث فواكه:
طرق يمكنك من خلالها اختيار فاكهة واحدة على الأقل.

القراء الذين درسوا بعناية الدرس التمهيدي على نظرية الاحتمالاتبرزت بالفعل شيئا. ولكن حول معنى علامة الجمع لاحقًا.

للإجابة على السؤال التالي ، أحتاج إلى متطوعين ... ... حسنًا ، نظرًا لأن لا أحد يريد ، فسأقوم بالاتصال باللوحة =)

السؤال الثالث: ما هو عدد الطرق التي يمكن بها توزيع فاكهة واحدة على داشا وناتاشا؟

لتوزيع حبتين من الفاكهة ، يجب عليك أولاً اختيارهما. وفقًا للفقرة "يكون" من السؤال السابق ، يمكن عمل ذلك بطرق ، وسأعيد كتابتها مرة أخرى:

التفاح والكمثرى
التفاح والموز
الكمثرى والموز.

ولكن الآن سيكون هناك ضعف عدد التركيبات. ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، أول زوج من الفاكهة:
يمكنك علاج داشا بالتفاح وناتاشا بالكمثرى ؛
أو العكس - ستحصل داشا على الكمثرى ، وستحصل ناتاشا على التفاحة.

ومثل هذا التقليب ممكن لكل زوج من الفاكهة.

فكر في نفس المجموعة الطلابية التي ذهبت إلى الرقص. ما هو عدد الطرق التي يمكن أن يقترن بها فتى وفتاة؟

طرق يمكنك اختيار شاب واحد ؛
طرق يمكنك اختيار فتاة واحدة.

لذلك شاب واحد ويمكن اختيار فتاة واحدة: طرق.

عند تحديد عنصر واحد من كل مجموعة ، فإن المبدأ التالي لتركيبات الجرد يكون صالحًا: " كل واحديمكن أن يشكل كائن من مجموعة واحدة زوجًا مع كلكائن من مجموعة أخرى.

وهذا يعني أن Oleg يمكنه دعوة أي من الفتيات الـ13 للرقص ، ويمكن لـ Evgeny أيضًا دعوة أي من الثلاث عشرة فتاة ، ولدى الشباب الآخرين خيار مماثل. المجموع: أزواج ممكنة.

وتجدر الإشارة إلى أنه في هذا المثال ، لا يهم "تاريخ" تكوين الزوج ؛ ومع ذلك ، إذا تم أخذ المبادرة في الاعتبار ، فيجب مضاعفة عدد المجموعات ، حيث يمكن لكل فتاة من الفتيات الـ 13 دعوة أي فتى للرقص. كل هذا يتوقف على ظروف مهمة معينة!

مبدأ مماثل صالح للتركيبات الأكثر تعقيدًا ، على سبيل المثال: في عدد الطرق التي يمكن فيها اختيار شابين وفتاتان للمشاركة في مسرحية هزلية KVN؟

اتحاد ويلمح بشكل لا لبس فيه إلى أنه يجب مضاعفة المجموعات:

مجموعات محتملة من الفنانين.

بعبارات أخرى، كلزوج من الأولاد (45 زوجًا فريدًا) يمكنهم التنافس معهم أيزوجان من الفتيات (78 زوجًا فريدًا). وإذا أخذنا في الاعتبار توزيع الأدوار بين المشاركين ، فسيكون هناك المزيد من المجموعات. ... أريد حقًا ذلك ، لكن ما زلت سأمتنع عن الاستمرار ، حتى لا أغرس فيك نفورًا من الحياة الطلابية =).

تنطبق قاعدة الضرب على المزيد من المضاعفات:

المهمة 8

كم عددًا من ثلاثة أرقام يقبل القسمة على 5؟

قرار: من أجل الوضوح ، نشير إلى هذا الرقم بثلاث علامات نجمية: ***

في مئات الأماكنيمكنك كتابة أي من الأرقام (1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 أو 9). الصفر ليس جيدًا ، لأنه في هذه الحالة لم يعد الرقم مكونًا من ثلاثة أرقام.

ولكن في مكان العشرات("في المنتصف") يمكنك اختيار أي من 10 أرقام:.

حسب الشرط ، يجب أن يكون الرقم قابلاً للقسمة على 5. الرقم قابل للقسمة على 5 إذا انتهى بالرقم 5 أو 0. وهكذا ، في أقل رقم ذي دلالة ، نحن راضون عن رقمين.

المجموع ، هناك: ثلاثة أرقام قابلة للقسمة على 5.

في الوقت نفسه ، يتم فك شفرة العمل على النحو التالي: "9 طرق يمكنك من خلالها اختيار رقم مئات الأماكن و 10 طرق لتحديد رقم في مكان العشرات وطريقتان في رقم الوحدة»

أو حتى أبسط: كلمن 9 أرقام إلى مئات الأماكنمجموع مع كلمن 10 أرقام مكان العشرات ومع كلمن رقمين وحدات الارقام».

إجابه: 180

و الأن…

نعم ، كدت أنسى التعليق الموعود على المشكلة رقم 5 ، حيث يمكن توزيع بطاقة واحدة لكل من بوريا وديما وفولوديا بطرق مختلفة. الضرب هنا له نفس المعنى: بطرق يمكنك استخراج 3 بطاقات من المجموعة و في كلعينة لإعادة ترتيبها بطرق.

والآن مهمة الحل المستقل ... الآن سأخرج بشيء أكثر إثارة للاهتمام ، ... دعه يكون حول نفس الإصدار الروسي من لعبة ورق:

المهمة 9

كم عدد المجموعات الفائزة المكونة من ورقتين في لعبة "النقطة"؟

بالنسبة لأولئك الذين لا يعرفون: يفوز بمجموعة 10 + ACE (11 نقطة) = 21 نقطة ، دعونا نفكر في تركيبة الفوز المكونة من اثنين ارسالا ساحقا.

(لا يهم ترتيب البطاقات في أي زوج)

حل قصير والإجابة في نهاية الدرس.

بالمناسبة ، ليس من الضروري اعتبار مثال بدائي. لعبة بلاك جاك هي اللعبة الوحيدة تقريبًا التي توجد لها خوارزمية مبررة رياضيًا تسمح لك بالتغلب على الكازينو. أولئك الذين يرغبون يمكنهم بسهولة العثور على الكثير من المعلومات حول الاستراتيجية والتكتيكات المثلى. صحيح أن هؤلاء الأسياد يقعون بسرعة في القائمة السوداء لجميع المؤسسات =)

حان الوقت لدمج المادة المغطاة بمهمتين قويتين:

المهمة 10

لدى فاسيا 4 قطط في المنزل.

أ) كم عدد طرق جلوس القطط في زوايا الغرفة؟
ب) ما هو عدد الطرق المسموح بها للقطط للتجول؟
ج) كم عدد الطرق التي يمكن أن يلتقط بها Vasya قطتان (واحدة على اليسار والأخرى على اليمين)؟

نحن نقرر: أولاً ، تجدر الإشارة مرة أخرى إلى أن المشكلة تدور حول مختلفالأشياء (حتى لو كانت القطط توائم متطابقة). هذه حالة مهمة جدا!

أ) صمت القطط. هذا الإعدام يخضع ل كل القطط مرة واحدة
+ موقعهم مهم ، لذلك هناك تباديل هنا:
الطرق التي يمكنك بها جلوس القطط في زوايا الغرفة.

أكرر أنه عند التبديل ، لا يهم سوى عدد الكائنات المختلفة وموضعها النسبي. اعتمادًا على مزاجه ، يمكن أن يجلس Vasya الحيوانات في نصف دائرة على الأريكة ، على التوالي على حافة النافذة ، إلخ. - سيكون هناك 24 تبديلًا في جميع الحالات ، وللراحة ، يمكن لمن يرغب أن يتخيل أن القطط متعددة الألوان (على سبيل المثال ، أبيض ، أسود ، أحمر ومخطط) وسرد جميع التركيبات الممكنة.

ب) ما هو عدد الطرق المسموح بها للقطط للتجول؟

من المفترض أن القطط تمشي من خلال الباب فقط ، في حين أن السؤال يشير إلى عدم الاكتراث بعدد الحيوانات - 1 ، 2 ، 3 أو كل القطط الأربعة يمكن أن تذهب في نزهة على الأقدام.

نحن نعتبر جميع المجموعات الممكنة:

طرق يمكنك تركها في نزهة على الأقدام (أي من الأربعة) ؛
الطرق التي يمكنك من خلالها السماح لقطتين بالذهاب في نزهة (ضع قائمة بالخيارات بنفسك) ؛
الطرق التي يمكنك من خلالها السماح لثلاث قطط بالذهاب في نزهة على الأقدام (واحدة من الأربعة تجلس في المنزل) ؛
الطريقة التي يمكنك بها إطلاق سراح كل القطط.

ربما خمنت أن القيم التي تم الحصول عليها يجب تلخيصها:
طرق للسماح للقطط بالذهاب في نزهة على الأقدام.

للمتحمسين ، أقدم نسخة معقدة من المشكلة - عندما يمكن لأي قطة في أي عينة الخروج بشكل عشوائي ، سواء من خلال الباب أو من خلال نافذة الطابق العاشر. سيكون هناك المزيد من المجموعات!

ج) كم عدد الطرق التي يمكن أن يلتقط بها Vasya قطتين؟

لا يشمل الموقف اختيار حيوانين فحسب ، بل يشمل أيضًا وضعهما على اليدين:
طرق يمكنك بها التقاط قطتين.

الحل الثاني: في طرق يمكنك اختيار قطتين وطرق الزراعة كلزوجان في متناول اليد:

إجابه: أ) 24 ، ب) 15 ، ج) 12

حسنًا ، لتطهير ضميري ، هناك شيء أكثر تحديدًا بشأن تكاثر التوليفات .... دع Vasya لديه 5 قطط إضافية =) كم عدد الطرق التي يمكنك من خلالها السماح لقطتين بالذهاب في نزهة على الأقدام و 1 قطة؟

هذا هو ، مع كليمكن إطلاق زوجين من القطط كلقطة.

أكورديون زر آخر لقرار مستقل:

المهمة 11

ركب 3 ركاب في مصعد بناية من 12 طابقا. يمكن للجميع ، بشكل مستقل عن الآخرين ، الخروج من أي طابق (بدءًا من الطابق الثاني) بنفس الاحتمال. في كم عدد الطرق:

1) يمكن للركاب النزول في نفس الطابق (أمر الخروج لا يهم);
2) يمكن لشخصين النزول في طابق واحد والثالث في طابق آخر ؛
3) يمكن للناس النزول في طوابق مختلفة ؛
4) هل يمكن للركاب الخروج من المصعد؟

وهنا يسألون كثيرًا مرة أخرى ، أوضح: إذا خرج 2 أو 3 أشخاص في نفس الطابق ، فإن ترتيب الخروج لا يهم. فكر ، استخدم الصيغ والقواعد لمجموعات الجمع / الضرب. في حالة الصعوبة ، من المفيد للركاب إعطاء الأسماء والسبب في المجموعات التي يمكنهم الخروج منها من المصعد. لا داعي للقلق إذا لم ينجح شيء ما ، على سبيل المثال ، النقطة رقم 2 ماكرة تمامًا.

حل كامل مع تعليقات مفصلة في نهاية البرنامج التعليمي.

الفقرة الأخيرة مكرسة للتركيبات التي تحدث أيضًا في كثير من الأحيان - وفقًا لتقديري الشخصي ، في حوالي 20-30 ٪ من المشكلات التجميعية:

التبديلات والتركيبات والمواضع مع التكرارات

تم توضيح أنواع المجموعات المدرجة في الفقرة رقم 5 من المادة المرجعية الصيغ الأساسية للتوافقيات، ومع ذلك ، قد لا يكون بعضها واضحًا جدًا في القراءة الأولى. في هذه الحالة ، من المستحسن أن تتعرف أولاً على الأمثلة العملية ، وبعد ذلك فقط تفهم الصياغة العامة. اذهب:

التباديل مع التكرار

في التباديل مع التكرار ، كما في التباديل "العادي" ، مجموعة كاملة من الأشياء في وقت واحد، ولكن هناك شيء واحد: في هذه المجموعة ، يتكرر عنصر واحد أو أكثر (كائنات). تلبية المعيار التالي:

المهمة 12

كم عدد مجموعات الحروف المختلفة التي يمكن الحصول عليها من خلال إعادة ترتيب البطاقات بالأحرف التالية: K ، O ، L ، O ، K ، O ، L ، L ، H ، I ، K؟

قرار: في حالة اختلاف جميع الأحرف ، يجب تطبيق صيغة تافهة ، ومع ذلك ، فمن الواضح تمامًا أنه بالنسبة لمجموعة البطاقات المقترحة ، ستعمل بعض عمليات التلاعب "في وضع الخمول" ، لذلك ، على سبيل المثال ، إذا قمت بتبديل أي اثنين البطاقات التي تحتوي على الحروف "K في أي كلمة ، ستكون نفس الكلمة. علاوة على ذلك ، يمكن أن تكون البطاقات مختلفة تمامًا: يمكن أن تكون إحداها مستديرة بحرف مطبوع "K" ، والأخرى مربعة بحرف مرسوم "K". ولكن حسب معنى المشكلة ، حتى هذه البطاقات تعتبر نفسها، لأن الشرط يسأل عن تركيبات الحروف.

كل شيء بسيط للغاية - في المجموع: 11 بطاقة ، بما في ذلك الحرف:

ك - تكرر 3 مرات ؛
يا - تكرر 3 مرات ؛
L - يتكرر مرتين ؛
ب - تتكرر مرة واحدة ؛
ح - يتكرر مرة واحدة ؛
و- يتكرر مرة واحدة.

تحقق: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11 ، وهو ما أردنا التحقق منه.

حسب الصيغة عدد التباديل مع التكرار:
يمكن الحصول على مجموعات حروف مختلفة. أكثر من نصف مليون!

لإجراء حساب سريع لقيمة عاملة كبيرة ، من الملائم استخدام وظيفة Excel القياسية: نحن نسجل في أي خلية = حقيقة (11)وانقر يدخل.

من الناحية العملية ، من المقبول تمامًا عدم كتابة الصيغة العامة ، بالإضافة إلى حذف عوامل الوحدة:

لكن التعليقات الأولية حول الحروف المتكررة مطلوبة!

إجابه: 554400

يوجد مثال نموذجي آخر للتباديل مع التكرار في مشكلة ترتيب قطع الشطرنج ، والتي يمكن العثور عليها في المستودع حلول جاهزةفي ملف pdf المقابل. وللحصول على حل مستقل ، توصلت إلى مهمة قالب أقل:

المهمة 13

يذهب أليكسي لممارسة الرياضة ، و 4 أيام في الأسبوع - ألعاب القوى ، ويومان - تمارين القوة ويوم واحد من الراحة. ما هو عدد الطرق التي يمكنه بها جدولة حصصه الأسبوعية؟

لا تعمل الصيغة هنا لأنها تأخذ في الاعتبار التباديل المتداخل (على سبيل المثال ، عندما يتم تبديل تمارين القوة يوم الأربعاء بتمارين القوة يوم الخميس). ومرة أخرى - في الواقع ، يمكن أن تكون نفس جلستي تدريب القوة مختلفتين تمامًا عن بعضهما البعض ، ولكن في سياق المهمة (من حيث الجدول) ، يتم اعتبارهما نفس العناصر.

حل ذو سطرين والإجابة في نهاية الدرس.

مجموعات مع التكرار

الميزة المميزة لهذا النوع من التوليفات هي أن العينة مأخوذة من عدة مجموعات ، كل منها يتكون من نفس الكائنات.

لقد عمل الجميع بجد اليوم ، لذا حان الوقت لتحديث نفسك:

المهمة 14

تبيع كافتيريا الطلاب النقانق في عجينة وتشيز كيك وكعك. كم عدد الطرق التي يمكن شراء خمس كعكات؟

قرار: انتبه على الفور إلى المعيار النموذجي للتركيبات مع التكرارات - وفقًا للشرط ، وليس مجموعة من الكائنات على هذا النحو ، ولكن أنواع مختلفةأشياء؛ من المفترض أن يكون هناك ما لا يقل عن خمسة هوت دوج و 5 تشيز كيك و 5 دونات للبيع. تختلف الفطائر في كل مجموعة بالطبع - لأنه لا يمكن محاكاة الكعك المتطابق تمامًا إلا على جهاز كمبيوتر =) ومع ذلك ، فإن الخصائص الفيزيائية للفطائر ليست ضرورية بمعنى المشكلة ، والهوت دوج / كعك الجبن / الكعك في مجموعاتهم تعتبر نفسها.

ماذا يمكن أن يكون في العينة؟ بادئ ذي بدء ، تجدر الإشارة إلى أنه سيكون هناك بالتأكيد فطائر متطابقة في العينة (لأننا نختار 5 قطع ، ونقدم 3 أنواع للاختيار من بينها). الخيارات هنا لكل ذوق: 5 هوت دوج ، 5 تشيز كيك ، 5 دونات ، 3 هوت دوج + 2 تشيز كيك ، 1 هوت دوج + 2 + تشيز كيك + 2 دونات ، إلخ.

كما هو الحال مع المجموعات "العادية" ، لا يهم ترتيب اختيار ووضع الفطائر في العينة - لقد اختاروا 5 قطع فقط وهذا كل شيء.

نستخدم الصيغة عدد التركيبات مع التكرارات:
طريقة شراء 5 فطائر.

بالعافية!

إجابه: 21

ما النتيجة التي يمكن استخلاصها من العديد من المشاكل الاندماجية؟

أحيانًا يكون أصعب شيء هو فهم الحالة.

مثال مشابه لحل افعل ذلك بنفسك:

المهمة 15

تحتوي المحفظة على عدد كبير نسبيًا من العملات المعدنية من فئة 1 و 2 و 5 و 10 روبل. كم عدد الطرق التي يمكن بها إخراج ثلاث عملات من المحفظة؟

لأغراض ضبط النفس ، أجب عن بضعة أسئلة بسيطة:

1) هل يمكن أن تكون جميع العملات في العينة مختلفة؟
2) قم بتسمية المجموعة "الأرخص" والأغلى من العملات المعدنية.

الحل والأجوبة في نهاية الدرس.

من تجربتي الشخصية ، أستطيع أن أقول إن التوليفات مع التكرار هي أندر ضيف في الممارسة ، وهو ما لا يمكن قوله عن النوع التالي من التركيبات:

المواضع مع التكرار

من مجموعة تتكون من عناصر ، يتم تحديد العناصر ، ويكون ترتيب العناصر في كل عينة أمرًا مهمًا. وسيكون كل شيء على ما يرام ، ولكن نكتة غير متوقعة إلى حد ما هي أنه يمكننا اختيار أي كائن من المجموعة الأصلية عدة مرات كما نرغب. من الناحية المجازية ، من "لن ينقص الجمهور".

عندما يحدث ذلك؟ مثال نموذجي هو القفل المركب مع عدة أقراص ، ولكن نظرًا لتطور التكنولوجيا ، فمن الأكثر ملاءمة النظر في سليلها الرقمي:

المهمة 16

كم عدد الرموز السرية المكونة من 4 أرقام الموجودة؟

قرار: في الواقع ، لحل المشكلة ، يكفي معرفة قواعد التوافقية: يمكنك اختيار الرقم الأول من الرمز السري بطرق والطرق - الرقم الثاني من الرمز السري ومن نواح كثيرة - الثلث وأكبر عدد ممكن - الرابع. وبالتالي ، وفقًا لقاعدة مضاعفة المجموعات ، يمكن تكوين رمز PIN المكون من أربعة أرقام: بطرق.

والآن مع الصيغة. حسب الشرط ، يتم تزويدنا بمجموعة من الأرقام ، يتم اختيار الأرقام منها ووضعها بترتيب معين، بينما يمكن تكرار الأرقام الموجودة في العينة (أي يمكن استخدام أي رقم من المجموعة الأصلية بعدد عشوائي من المرات). وفقًا لصيغة عدد المواضع ذات التكرارات:

إجابه: 10000

ما يتبادر إلى الذهن هنا ... ... إذا "أكل" جهاز الصراف الآلي البطاقة بعد المحاولة الثالثة الفاشلة لإدخال الرقم السري ، فإن فرص التقاطه عشوائيًا تكون خادعة للغاية.

ومن قال أنه لا يوجد معنى عملي في التوافقية؟ مهمة معرفية لجميع قراء الموقع:

المشكلة 17

وفقًا لمعيار الولاية ، تتكون لوحة ترخيص السيارة من 3 أرقام و 3 أحرف. في هذه الحالة ، لا يُسمح برقم بثلاثة أصفار ، ويتم اختيار الأحرف من المجموعة A ، B ، E ، K ، M ، H ، O ، R ، C ، T ، U ، X (يتم استخدام تلك الأحرف السيريلية فقط ، والتي يتطابق تهجئتها مع الأحرف اللاتينية).

كم عدد لوحات الترخيص المختلفة التي يمكن تكوينها للمنطقة؟

ليس كذلك ، بالمناسبة ، والكثير. في المناطق الكبيرة ، لا يكفي هذا الرقم ، وبالتالي هناك عدة أكواد للنقش RUS بالنسبة لهم.

الحل والجواب في نهاية الدرس. لا تنسَ استخدام قواعد التوليف ؛-)… أردت التباهي بكوني حصريًا ، لكن اتضح أنه ليس حصريًا =) نظرت إلى ويكيبيديا - هناك حسابات هناك ، مع ذلك ، بدون تعليقات. على الرغم من أنه لأغراض تعليمية ، من المحتمل أن قلة من الناس قاموا بحلها.

لقد انتهى درسنا الرائع ، وفي النهاية أود أن أقول إنك لم تضيع وقتك - لأن الصيغ التوافقية تجد تطبيقًا عمليًا حيويًا آخر: فهي موجودة في مهام مختلفة في نظرية الاحتمالات,
و في المهام على التعريف الكلاسيكي للاحتمال- خاصة في كثير من الأحيان

شكرا لكم جميعا على مشاركتكم النشطة ونراكم قريبا!

الحلول والأجوبة:

المهمة 2: قرار: ابحث عن عدد كل التباديل الممكنة لأربع بطاقات:

عندما تكون البطاقة ذات الصفر في المركز الأول ، يصبح الرقم مكونًا من ثلاثة أرقام ، لذلك يجب استبعاد هذه المجموعات. دع الصفر في المرتبة الأولى ، ثم يمكن إعادة ترتيب الأرقام الثلاثة المتبقية في أقل الأرقام أهمية بطرق.

ملحوظة : لان هناك عدد قليل من البطاقات ، ومن السهل سرد كل هذه الخيارات هنا:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

وبالتالي ، من المجموعة المقترحة ، يمكنك عمل:
24-6 = 18 عددًا مكونًا من أربعة أرقام
إجابه : 18

المهمة 4: قرار: يمكن اختيار 3 بطاقات من 36 طريقة.
إجابه : 7140

المهمة 6: قرار: طرق.
حل آخر : طرق يمكنك من خلالها اختيار شخصين من المجموعة و
2) المجموعة "الأرخص" تحتوي على 3 عملات من الروبل ، وأغلى مجموعة تحتوي على 3 عملات من فئة عشرة روبل.

المهمة 17: قرار: الطرق التي يمكنك من خلالها إنشاء مجموعة رقمية من لوحة ترخيص ، بينما يجب استبعاد واحد منهم (000) :.
الطرق التي يمكنك من خلالها تكوين مجموعة أحرف من رقم السيارة.
وفقًا لقاعدة مضاعفة المجموعات ، يمكن تكوين كل شيء:
أرقام السيارات
(كلالجمع الرقمي مجتمعة مع كلتركيبة الحروف).
إجابه : 1726272

التركيبة هي اختيار غير مرتب لعناصر مجموعة محدودة برقم ثابت وبدون تكرار للعناصر. يجب أن تختلف المجموعات المختلفة حسب عنصر واحد على الأقل ، ولا يهم ترتيب العناصر. على سبيل المثال ، من مجموعة جميع حروف العلة للأحرف اللاتينية (AEIOU) ، يمكن تشكيل 10 مجموعات مختلفة من 3 أحرف ، لتشكيل الثلاثة توائم التالية غير المرتبة:

AEI ، AEO ، AEU ، AIO ، AIU ، AOU ، EIO ، EIU ، EOU ، IOU.

من المثير للاهتمام أن نلاحظ أنه من نفس الأحرف الخمسة ، يمكنك أيضًا الحصول على 10 مجموعات مختلفة إذا جمعت بينهم حرفين لكل منهما ، مما يجعل الأزواج التالية غير المرتبة:

AE ، AI ، AO ، AU ، EI ، EO ، الاتحاد الأوروبي ، IO ، IU ، OU.

ومع ذلك ، إذا جمعت نفس حروف العلة اللاتينية في 4 ، فستحصل فقط على المجموعات الخمس المختلفة التالية:

AEIO ، AEIU ، AIOU ، EIOU ، AEOU.

في الحالة العامة ، للإشارة إلى عدد مجموعات n من العناصر المختلفة بواسطة عناصر m ، يتم استخدام الرمز الوظيفي أو الفهرس أو المتجه (Appel) التالي:

بغض النظر عن شكل التعيين ، يمكن تحديد عدد مجموعات n من العناصر بواسطة m من خلال الصيغ المضاعفة والعاملة التالية:

من السهل التحقق من أن نتيجة العمليات الحسابية باستخدام هذه الصيغ تتزامن مع نتائج المثال أعلاه مع مجموعات من حروف العلة اللاتينية. على وجه الخصوص ، بالنسبة إلى n = 5 و m = 3 ، ستعطي العمليات الحسابية باستخدام هذه الصيغ النتيجة التالية:

في الحالة العامة ، فإن الصيغ الخاصة بعدد المجموعات لها معنى اندماجي وهي صالحة لأي قيم عدد صحيح لـ n و m مثل n> m> 0. إذا كانت m> n و m< 0, то число сочетаний равно 0, так как в этом случае основное множество из n элементов вообще не имеет подмножеств мощности m:

بالإضافة إلى ذلك ، من المفيد تذكر الأرقام المحددة التالية للمجموعة ، والتي يسهل التحقق منها عن طريق الاستبدال المباشر في الصيغ المضاعفة والعاملة:

وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن صيغة الضرب تظل صالحة حتى عندما يكون n عددًا حقيقيًا ، طالما أن m لا يزال عددًا صحيحًا. ومع ذلك ، فإن نتيجة الحساب عليها ، مع الحفاظ على صحتها الشكلية ، تفقد معناها التجميعي.

الهويات المركبة

إن الاستخدام العملي للصيغ المضاعفة والعوامل لتحديد عدد التوليفات للقيم التعسفية لـ n و m ليس مثمرًا للغاية بسبب النمو الأسي للمنتجات المضروبة لبسطها ومقامها. حتى بالنسبة للقيم الصغيرة نسبيًا لـ n و m ، غالبًا ما تتجاوز هذه المنتجات إمكانيات تمثيل الأعداد الصحيحة في أنظمة الحوسبة والبرمجيات الحديثة. في الوقت نفسه ، تبين أن قيمها أكبر بكثير من القيمة الناتجة لعدد المجموعات ، والتي يمكن أن تكون صغيرة نسبيًا. على سبيل المثال ، عدد تركيبات n = 10 في m = 8 عناصر هو 45 فقط. ومع ذلك ، للعثور على هذه القيمة باستخدام صيغة العوامل ، يجب أولاً حساب القيم الأكبر بكثير من 10! في البسط و 8! في المقام:

لاستبعاد العمليات التي تستغرق وقتًا طويلاً لمعالجة القيم الكبيرة ، لتحديد عدد التوليفات ، يمكنك استخدام علاقات تكرار مختلفة تتبع مباشرةً من الصيغ المضاعفة والعاملة. على وجه الخصوص ، تتبع علاقة التكرار التالية من الصيغة المضاعفة ، والتي تسمح لنا بأخذ نسبة مؤشراتها إلى ما بعد علامة عدد التوليفات:

أخيرًا ، يوفر الاحتفاظ بالرمز المنخفض بدون تغيير التكرار التالي ، والذي يمكن الحصول عليه بسهولة من الصيغة المضروبة لعدد المجموعات:

بعد التحولات الأولية ، يمكن تمثيل علاقات التكرار الثلاثة الناتجة في الأشكال التالية:

إذا أضفنا الآن الجزأين الأيسر والأيمن من الصيغتين الأوليين وقللنا النتيجة بمقدار n ، فإننا نحصل على علاقة تكرار مهمة ، تسمى هوية إضافة أعداد التوليفات:

يوفر معرف الإضافة قاعدة تكرارية أساسية لتحديد عدد التوليفات بكفاءة للقيم الكبيرة لـ n و m ، لأنه يسمح باستبدال عمليات الضرب في منتجات العوامل بعمليات جمع أبسط ، وللتركيبات الأقل. على وجه الخصوص ، باستخدام هوية الإضافة ، أصبح من السهل الآن تحديد عدد مجموعات n = 10 في m = 8 عناصر ، والتي تم اعتبارها أعلاه ، عن طريق إجراء التسلسل التالي للتحولات المتكررة:

بالإضافة إلى ذلك ، يمكن اشتقاق العديد من العلاقات المفيدة من هوية الإضافة لحساب المجاميع المحدودة ، على وجه الخصوص ، صيغة الجمع السفلي ، والتي لها الشكل التالي:

يتم الحصول على هذه العلاقة من خلال توسيع التكرار في هوية الإضافة على المصطلح بأكبر حرف مرتفع ، طالما أن خطه السفلي أكبر من 0. يوضح المثال العددي التالي العملية المشار إليها للتحويلات العودية:

غالبًا ما تُستخدم صيغة الجمع السفلي لحساب مجموع قوى الأعداد الطبيعية. على وجه الخصوص ، بافتراض أن م = 1 ، باستخدام هذه الصيغة ، من السهل العثور على مجموع الأرقام n الأولى من المتسلسلة الطبيعية:

يمكن الحصول على نسخة مفيدة أخرى من صيغة الجمع من خلال توسيع تكرار هوية الإضافة على المصطلح ذي الأحرف العلوية الأصغر. يوضح المثال العددي التالي هذا البديل من التحويلات المتكررة:

في الحالة العامة ، نتيجة لمثل هذه التحولات ، يتم الحصول على مجموع أعداد التوليفات ، ويختلف كلا المؤشرين بمؤشر واحد عن المصطلحات المجاورة ، ويظل الاختلاف في المؤشرات ثابتًا (في المثال المدروس ، يكون أيضًا يساوي واحد). وبالتالي ، يتم الحصول على صيغة الجمع التالية على كلا مؤشري الأرقام المركبة:

بالإضافة إلى علاقات التكرار وصيغ الجمع التي نوقشت أعلاه ، تم الحصول على العديد من الهويات المفيدة الأخرى للأرقام المركبة في التحليل التوافقي. أهمها هو هوية التناظروالذي يكون بالشكل التالي:

يمكن رؤية صلاحية هوية التناظر في المثال التالي من خلال مقارنة أعداد مجموعات العناصر المكونة من 5 عناصر في 2 وبواسطة (5 2) = 3:

هوية التناظر لها معنى اندماجي واضح ، لأنه أثناء تحديد عدد الخيارات لاختيار عناصر m من عناصر n ، فإنه يحدد في نفس الوقت عدد التركيبات من العناصر المتبقية (نانومتر) غير المحددة. يتم الحصول على التناظر المشار إليه فورًا عن طريق الاستبدال المتبادل لـ m بـ (nm) في الصيغة المضروبة لعدد التوليفات:

تستخدم الأرقام والهويات المركبة على نطاق واسع في مختلف مجالات الرياضيات الحسابية الحديثة. ومع ذلك ، فإن أكثر تطبيقاتها شيوعًا يرتبط بمثلث نيوتن ذي الحدين ومثلث باسكال.

نظرية ثنائية

لإجراء عمليات تحويل وحسابات رياضية مختلفة ، من المهم أن تكون قادرًا على تمثيل أي قوة طبيعية ذات الحدين الجبرية (ذات الحدين) في شكل متعدد الحدود. بالنسبة للدرجات الصغيرة ، يمكن الحصول على كثير الحدود المطلوب بسهولة عن طريق ضرب ذات الحدين مباشرة. على وجه الخصوص ، فإن الصيغ التالية للمربع والمكعب لمجموع المصطلحين معروفة جيدًا من مسار الرياضيات الأولية:

في الحالة العامة ، للحصول على درجة عشوائية n من ذات الحدين ، يتم توفير التمثيل المطلوب في شكل متعدد الحدود بواسطة نظرية نيوتن ذات الحدين ، والتي تعلن أن المساواة التالية صحيحة:

عادة ما تسمى هذه المساواة ذات الحدين لنيوتن. كثير الحدود على جانبه الأيمن هو مجموع حاصل ضرب n المصطلحين X و Y للحدين على الجانب الأيسر ، والمعاملات الموجودة أمامهما تسمى ذات الحدين وتساوي عدد التركيبات مع المؤشرات التي تم الحصول عليها من قوتهم. بالنظر إلى الشعبية الخاصة لصيغة نيوتن ذات الحدين في التحليل التجميعي ، فإن المصطلحين المعامل ذي الحدين وعدد التوليفات يعتبران عادةً مترادفين.

من الواضح أن صيغ المربع والمكعب هي حالات خاصة لنظرية ذات الحدين لـ n = 2 و n = 3 ، على التوالي. للتعامل مع قوى أعلى (ن> 3) ، يجب استخدام صيغة نيوتن ذات الحدين. يتم توضيح تطبيقه للحدين من الدرجة الرابعة (ن = 4) من خلال المثال التالي:

وتجدر الإشارة إلى أن صيغة ذات الحدين كانت معروفة حتى قبل نيوتن لعلماء الرياضيات في العصور الوسطى في الشرق العربي وأوروبا الغربية. لذلك ، فإن الاسم الشائع لها ليس صحيحًا من الناحية التاريخية. تتمثل ميزة نيوتن في أنه عمم هذه الصيغة على حالة الأس الحقيقي التعسفي r ، والذي يمكن أن يأخذ أي قيم منطقية وغير منطقية إيجابية أو سلبية. في الحالة العامة ، تحتوي صيغة نيوتن ذات الحدين على مبلغ لا نهائي على الجانب الأيمن ومن المعتاد كتابته على النحو التالي:

على سبيل المثال ، مع قيمة كسرية موجبة للأس r = 1/2 ، مع مراعاة قيم المعاملات ذات الحدين ، يتم الحصول على التمدد التالي:

في الحالة العامة ، صيغة نيوتن ذات الحدين لأي أس هي نسخة معينة من صيغة ماكلورين ، والتي تعطي توسعًا في دالة عشوائية في سلسلة أس. أظهر نيوتن ذلك لـ | z |< 1 этот ряд сходится, и сумма в правой части становится конечной. При любой натуральной степени r = n в правой части также получается конечная сумма из (n+1) первых слагаемых, так как все C(n, k>ن) = 0. إذا وضعنا الآن Z = X / Y وضربنا الجانبين الأيسر والأيمن في Yn ، فسنحصل على متغير من صيغة نيوتن ذات الحدين التي تمت مناقشتها أعلاه.

على الرغم من عالميتها ، فإن نظرية ذات الحدين تحتفظ بمعناها التجميعي فقط للقوى غير السالبة ذات الحدين. في هذه الحالة ، يمكن استخدامه لإثبات العديد من الهويات المفيدة للمعاملات ذات الحدين. على وجه الخصوص ، تم النظر أعلاه في معادلات التجميع لأعداد المجموعات حسب المؤشر السفلي وكلا المؤشرين. يمكن الحصول بسهولة على هوية التجميع المرتفعة المفقودة من صيغة نيوتن ذات الحدين عن طريق ضبط X = Y = 1 أو Z = 1 فيه:

تحدد هوية مفيدة أخرى المساواة في مجاميع المعاملات ذات الحدين مع الأرقام الزوجية والفردية. يتم الحصول عليها على الفور من صيغة نيوتن ذات الحدين إذا كانت X = 1 و Y = 1 أو Z = 1:

أخيرًا ، من كلا الهويتين المدروستين ، يحصل المرء على هوية مجموع المعاملات ذات الحدين مع الأرقام الزوجية أو الفردية فقط:

على أساس الهويات المدروسة والقاعدة العودية لإزالة المؤشرات من تحت علامة عدد التوليفات ، يمكن الحصول على عدد من العلاقات المثيرة للاهتمام. على سبيل المثال ، إذا استبدلنا n بـ (n1) في معادلة جمع النص المرتفع في كل مكان وأخرجنا المؤشرات في كل مصطلح ، ثم نحصل على العلاقة التالية:

باستخدام أسلوب مماثل في صيغة مجموع المعاملات ذات الحدين مع الأرقام الزوجية والفردية ، يمكن للمرء أن يثبت صحة العلاقة التالية على سبيل المثال:

هناك متطابقة مفيدة أخرى تجعل من السهل حساب مجموع نواتج المعاملات ذات الحدين المتناظرة المتواجدين في حدين من الدرجات التعسفية n و k باستخدام صيغة Cauchy التالية:

تأتي صلاحية هذه الصيغة من المساواة الضرورية للمعاملات لأي درجة م من المتغير Z في الجزأين الأيسر والأيمن من علاقة الهوية التالية:

في الحالة الخاصة عندما n = k = m ، مع الأخذ في الاعتبار هوية التناظر ، يتم الحصول على صيغة أكثر شيوعًا لمجموع مربعات المعاملات ذات الحدين:

يمكن العثور على العديد من الهويات المفيدة الأخرى للمعاملات ذات الحدين في الأدبيات الشاملة حول التحليل التوافقي. ومع ذلك ، فإن أشهر تطبيقاتها العملية يرتبط بمثلث باسكال.

مثلث باسكال

يشكل مثلث باسكال الحسابي جدولًا عدديًا لا نهائيًا يتكون من معاملات ذات حدين. يتم ترتيب صفوفها بواسطة قوى ذات حدين من أعلى إلى أسفل. في كل صف ، يتم ترتيب المعاملات ذات الحدين بترتيب تصاعدي للمؤشرات العليا للأعداد المقابلة من المجموعات من اليسار إلى اليمين. عادة ما يكتب مثلث باسكال إما في شكل متساوي الساقين أو في شكل مستطيل.

الشكل الأكثر شيوعًا ومرئيًا هو تنسيق متساوي الساقين ، حيث تشكل المعاملات ذات الحدين ، مرتبة في نمط رقعة الشطرنج ، مثلثًا متساوي الساقين لانهائي. الجزء الأولي من ذات الحدين حتى الدرجة الرابعة (ن = 4) على النحو التالي:

بشكل عام ، يوفر مثلث باسكال متساوي الساقين قاعدة هندسية ملائمة لتحديد المعاملات ذات الحدين ، والتي تعتمد على هويات الجمع وتماثل الأرقام المركبة. على وجه الخصوص ، وفقًا لمطابقة الجمع ، فإن أي معامل ذي حدين هو مجموع معاملي الصف السابق الأقرب إليه. وفقًا لمطابقة التناظر ، فإن مثلث باسكال متساوي الساقين متماثل بالنسبة لمنصفه. وبالتالي ، فإن كل صف من صفوفه هو تناظر عددي للمعاملات ذات الحدين. تسهل هذه الميزات الجبرية والهندسية توسيع مثلث باسكال متساوي الساقين والعثور باستمرار على قيم المعاملات ذات الحدين للدرجات العشوائية.

ومع ذلك ، لدراسة الخصائص المختلفة لمثلث باسكال ، فمن الأنسب استخدام تنسيق المستطيل الأكثر صرامة رسميًا. في هذا الشكل ، يتم الحصول عليها من خلال مصفوفة مثلثة منخفضة ذات معاملات ذات حدين ، حيث تشكل مثلث قائم الزاوية غير محدود. الجزء الأولي لمثلث باسكال القائم الزاوية للزاوية ذات الحدين حتى الدرجة التاسعة (ن = 9) له الشكل التالي:

هندسيًا ، يتم الحصول على مثل هذا الجدول المستطيل عن طريق تشويه أفقي لمثلث باسكال متساوي الساقين. نتيجة لذلك ، تتحول سلسلة الأرقام الموازية لجوانب مثلث باسكال متساوي الساقين إلى أعمدة وأقطار للمثلث الأيمن لباسكال ، وتتزامن أفقية كلا المثلثين. في الوقت نفسه ، تظل قواعد إضافة وتماثل المعاملات ذات الحدين سارية ، على الرغم من أن مثلث باسكال القائم الزاوية يفقد التناظر البصري المتأصل في نظيره متساوي الساقين. كتعويض عن ذلك ، يصبح من الأنسب تحليل الخصائص العددية المختلفة للمعاملات ذات الحدين للأفقية والعمودية والأقطار لمثلث باسكال الأيمن.

عند بدء تحليل معالم مثلث باسكال القائم الزاوية ، من السهل أن نرى أن مجموع عناصر أي صف برقم n يساوي 2 n وفقًا لصيغة الجمع ذات الحدين بواسطة الكتابة المرتفعة. ويترتب على ذلك أن مجموع العناصر فوق أي من الأفقية بالرقم ن يساوي (2 ن 1). تصبح هذه النتيجة واضحة تمامًا إذا كانت قيمة مجموع عناصر كل أفقي مكتوبة في نظام الأرقام الثنائية. على سبيل المثال ، بالنسبة لـ n = 4 ، يمكن كتابة هذه الإضافة على النحو التالي:

فيما يلي بعض الخصائص الأكثر إثارة للاهتمام لخطوط الكنتور التي ترتبط أيضًا بقوى اثنين. اتضح أنه إذا كان الرقم الأفقي هو أس اثنين (ن = 2 ك) ، فإن جميع عناصره الداخلية (باستثناء العناصر المتطرفة) هي أرقام زوجية. على العكس من ذلك ، ستكون جميع الأعداد الأفقية فردية إذا كان عددها أقل بواحد من قوة اثنين (ن = 2 ك 1). يمكن التحقق من صحة هذه الخصائص عن طريق التحقق من تكافؤ المعاملات الداخلية ذات الحدين ، على سبيل المثال ، في الأفقية n = 4 و n = 3 أو n = 8 و n = 7.

لنفترض الآن أن رقم صف مثلث باسكال الأيمن يكون عددًا أوليًا ص. إذن كل معاملاتها الداخلية ذات الحدين قابلة للقسمة على p. هذه الخاصية سهلة التحقق من القيم الصغيرة لأعداد بسيطة من الأفقية. على سبيل المثال ، جميع المعاملات الداخلية ذات الحدين للأفقي الخامس (5 و 10 و 5) قابلة للقسمة بوضوح على 5. لإثبات صحة هذه النتيجة لأي عدد أولي لـ p الأفقي ، نحتاج إلى كتابة صيغة الضرب ذات الحدين المعاملات على النحو التالي:

بما أن p عدد أولي وبالتالي لا يقبل القسمة على m! ، يجب أن يكون حاصل ضرب العوامل الأخرى لبسط هذه الصيغة قابلاً للقسمة على m! لضمان قيمة عددية للمعامل ذي الحدين. ويترتب على ذلك أن العلاقة بين الأقواس المربعة هي رقم طبيعي N والنتيجة المرغوبة تصبح واضحة:

باستخدام هذه النتيجة ، يمكن إثبات أن أرقام جميع معالم مثلث باسكال ، التي يمكن تقسيم عناصرها الداخلية على رقم أولي معين p ، هي قوة p ، أي أنها على الشكل n = p k. على وجه الخصوص ، إذا كانت p = 3 ، فإن الرقم الأولي p لا يقسم فقط جميع العناصر الداخلية للصف 3 ، كما تم تحديده أعلاه ، ولكن ، على سبيل المثال ، 9 أفقي (9 ، 36 ، 84 و 126). من ناحية أخرى ، في مثلث باسكال من المستحيل إيجاد أفقي ، كل عناصره الداخلية قابلة للقسمة على رقم مركب. خلاف ذلك ، يجب أن يكون عدد مثل هذا الأفقي في نفس الوقت درجة القواسم الأولية للعدد المركب التي يتم بها تقسيم جميع عناصره الداخلية ، لكن هذا مستحيل لأسباب واضحة.

تسمح لنا الاعتبارات المدروسة بصياغة المعيار العام التالي لقابلية تقسيم العناصر الأفقية لمثلث باسكال. القاسم المشترك الأكبر (gcd) لجميع العناصر الداخلية لأي أفقي لمثلث باسكال بالرقم n يساوي العدد الأولي p إذا كان n = pk أو 1 في جميع الحالات الأخرى:

GCD (Cmn) = () لأي 0< m < n .

في ختام تحليل الأفقية ، يجدر بنا أن نأخذ في الاعتبار خاصية أخرى مثيرة للفضول تمتلكها سلسلة المعاملات ذات الحدين التي تشكلها. إذا تم ضرب المعاملات ذات الحدين لأي أفقي برقم n في قوى متتالية للرقم 10 ، ثم تمت إضافة كل هذه المنتجات ، فسيتم الحصول على 11 n. الدليل الرسمي لهذه النتيجة هو استبدال القيم X = 10 و Y = 1 (أو Z = 1) في صيغة نيوتن ذات الحدين. يوضح المثال العددي التالي تنفيذ هذه الخاصية لـ n = 5:

يمكن أن يبدأ تحليل خصائص أعمدة المثلث الأيمن لباسكال بدراسة الخصائص الفردية للعناصر المكونة لها. بشكل رسمي ، يتم تشكيل كل م عمودي من خلال التسلسل اللانهائي التالي للمعاملات ذات الحدين مع ارتفاع ثابت (م) وزيادة منخفض:

من الواضح ، عندما م = 0 ، يتم الحصول على سلسلة من الآحاد ، وعندما م = 1 ، تتشكل سلسلة من الأعداد الطبيعية. بالنسبة إلى m = 2 ، يتكون العمود الرأسي من أعداد مثلثة. يمكن تصوير كل رقم ثلاثي على مستوى كمثلث متساوي الأضلاع ، مملوء بأشياء عشوائية (نوى) مرتبة في نمط رقعة الشطرنج. في هذه الحالة ، تحدد قيمة كل رقم مثلث T k عدد النوى الممثلة ، ويوضح الفهرس عدد صفوف النوى اللازمة لتمثيلها. على سبيل المثال ، تمثل الأرقام المثلثية الأربعة الأولية التكوينات التالية من العدد المقابل لأحرف النواة "@":

وتجدر الإشارة إلى أنه بطريقة مماثلة يمكن للمرء أن يدخل في الاعتبار الأعداد المربعة S k ، والتي يتم الحصول عليها من خلال تربيع الأعداد الطبيعية ، وبشكل عام ، الأرقام التصويرية متعددة الأضلاع التي تتكون من التعبئة المنتظمة للمضلعات المنتظمة. على وجه الخصوص ، يمكن تمثيل الأرقام المربعة الأولية الأربعة على النحو التالي:

بالعودة إلى تحليل أعمدة مثلث باسكال ، يمكن ملاحظة أن الرأسي التالي عند m = 3 مليء بأرقام رباعية السطوح (هرمية). يحدد كل رقم من هذا القبيل P k عدد النوى التي يمكن ترتيبها في شكل رباعي السطوح ، ويحدد الفهرس عدد الطبقات المثلثية الأفقية من صفوف النوى المطلوبة لتمثيلها في مساحة ثلاثية الأبعاد. في هذه الحالة ، يجب تمثيل جميع الطبقات الأفقية كأرقام مثلثة متتالية. تشكل عناصر الأعمدة الرأسية التالية لمثلث باسكال لـ m> 3 صفوفًا من الأرقام الفائقة السطوح التي لا تحتوي على تفسير هندسي واضح على المستوى أو في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، ولكنها تتوافق رسميًا مع نظائرها متعددة الأبعاد للأرقام المثلثية ورباعية السطوح.

على الرغم من أن المتسلسلة الرقمية الرأسية لمثلث باسكال لها سمات متعرجة فردية مدروسة ، إلا أنه من الممكن بالنسبة لها حساب المجاميع الجزئية لقيم العناصر الأولية بنفس الطريقة باستخدام الصيغة لتجميع أعداد المجموعات بواسطة خط منخفض . في مثلث باسكال ، هذه الصيغة لها التفسير الهندسي التالي. مجموع قيم n من المعاملات ذات الحدين العلويين لأي عمودي يساوي قيمة العنصر الرأسي التالي ، والذي يقع تحت سطر واحد. تتوافق هذه النتيجة أيضًا مع التركيب الهندسي للأرقام المثلثية ، ورباعية السطوح ، والأعداد الفائقة السطوح ، نظرًا لأن تمثيل كل رقم يتكون من طبقات النواة التي تصور أرقامًا ذات ترتيب أدنى. على وجه الخصوص ، يمكن الحصول على الرقم المثلثي التاسع T n عن طريق جمع جميع الأرقام الطبيعية التي تمثل أليافها الخطية:

وبالمثل ، من السهل العثور على رقم رباعي السطوح P n عن طريق حساب المجموع التالي لأول n أعداد مثلثة تشكل طبقاتها النووية الأفقية:

بالإضافة إلى الأفقية والرأسية في مثلث باسكال الأيمن ، يمكن للمرء أن يتتبع الصفوف القطرية للعناصر ، والتي تعتبر دراسة خصائصها أيضًا ذات أهمية خاصة. في هذه الحالة ، عادة ما يتم تمييز الأقطار الهابطة والصاعدة. الأقطار الهابطة موازية لوتر مثلث باسكال القائم. تتشكل من خلال سلسلة من المعاملات ذات الحدين مع زيادة كلا المؤشرين. بسبب هوية التناظر ، تتطابق الأقطار الهابطة في قيم عناصرها مع الصفوف الرأسية المقابلة لمثلث باسكال ، وبالتالي تكرر كل خصائصها المذكورة أعلاه. يمكن تتبع المراسلات المحددة من خلال تطابق قيم عناصر القطر الهابط والرأسي بأي رقم n ، إذا لم يتم أخذ الأصفار الرأسية في الاعتبار:

تشكل الأقطار الصاعدة صفوفًا رقمية متعامدة هندسيًا على وتر المثلث الأيمن لباسكال. تمتلئ بالمعاملات ذات الحدين مع زيادة منخفضة وزيادات مرتفعة. على وجه الخصوص ، تشكل الأقطار الصاعدة السبعة العلوية التسلسل الرقمي التالي ، باستثناء الأصفار الزائدة:

في الحالة العامة ، تكون المعاملات ذات الحدين التالية على القطر الصاعد مع الرقم n ، ومجموع مؤشرات كل منها يساوي (n1):

بحكم هوية الجمع للأرقام المركبة ، فإن كل عنصر قطري يساوي مجموع عنصرين متطابقين من القطرين الصاعدين السابقين. هذا يجعل من الممكن بناء كل قطري تصاعدي لاحق عن طريق الجمع الزوجي للعناصر الأفقية المجاورة من القطرين السابقين ، مما يؤدي إلى توسيع مثلث باسكال بشكل لا نهائي على طول القطر. يوضح الجزء التالي من مثلث باسكال بناء قطري تصاعدي برقم 8 على أقطار مع الرقمين 6 و 7:

باستخدام طريقة البناء هذه ، سيكون مجموع عناصر أي قطري تصاعدي ، بدءًا من الثالث ، مساويًا لمجموع عناصر القطرين الصاعدين السابقين ، ويتكون أول قطرين من عنصر واحد فقط ، القيمة منها 1. تشكل نتائج الحسابات المقابلة السلسلة العددية التالية ، والتي بموجبها يمكن التحقق من صحة الخاصية المدروسة للأقطار الصاعدة لمثلث باسكال القائم الزاوية:

عند تحليل هذه الأرقام ، يمكنك أن ترى أنه وفقًا لقانون مشابه ، يتم تكوين التسلسل المعروف لأرقام فيبوناتشي ، حيث يكون كل رقم متتالي مساويًا لمجموع الرقمين السابقين ، وأول عددين يساوي 1 :

وبالتالي ، يمكن استخلاص النتيجة المهمة التالية: تشكل المجاميع القطرية لعناصر مثلث باسكال تسلسل فيبوناتشي. تتيح لنا هذه الخاصية إنشاء ميزة أخرى مثيرة للاهتمام لمثلث باسكال. بتوسيع معادلة فيبوناتشي بشكل متكرر ، من السهل إثبات أن مجموع أول أرقام فيبوناتشي n تساوي (F n + 2 1).

لذلك ، فإن مجموع المعاملات ذات الحدين التي تملأ أعلى قطري n يساوي أيضًا (F n + 2 1). ويترتب على ذلك أن مجموع أقطار n الأولى لمثلث باسكال أقل بمقدار 1 من مجموع المعاملات ذات الحدين التي تقف على قطريها مع الرقم (n + 2).

في الختام ، تجدر الإشارة إلى أن الخصائص المدروسة للأفقية والعمودية والأقطار لمثلث باسكال بعيدة كل البعد عن استنفاد مجموعة كبيرة من الاحتمالات التي تربط بين الجوانب الرياضية المختلفة التي لا يوجد شيء مشترك للوهلة الأولى. مثل هذه الخصائص غير العادية تجعل من الممكن اعتبار مثلث باسكال واحدًا من أكثر الأنظمة العددية تقدمًا ، ولا يمكن سرد جميع الاحتمالات الخاصة به ومن الصعب المبالغة في تقديرها.

فيما يلي خوارزمية حساب عدد التوليفات باستخدام مثلث باسكال:

الوظيفة الخاصة SochTT (ByVal n As Integer، ByVal k As Integer) As Double Dim i As Integer Dim j As Integer Dim TT () As Double ReDim TT (n، k) For i = 0 To n TT (0، i) = 1 TT (i، i) = 1 التالي لـ i = 2 To n لـ j = 1 إلى i - 1 TT (i، j) = TT (i - 1، j - 1) + TT (i - 1، j) التالي التالي SochTT = TT (n، k) وظيفة النهاية

إذا كنت بحاجة إلى حساب عدد التوليفات عدة مرات ، فقد يكون من الأنسب بناء مثلث باسكال مرة واحدة ، ثم الحصول على البيانات من المصفوفة.

Dim TT () كـ Double Private Sub CreateTT () ReDim TT (0، 0) BuildTT 0، 0 End Sub Private Function SochTT (ByVal n As Integer، ByVal k As Integer) As double If n> Ubound (TT) ثم BuildTT Ubound (TT) + 1، n SochTT = TT (n، k) End Function Private Sub TerminateTT () ReDim TT (0، 0) End Sub Private Sub BuildTT (ByVal start As Integer، ByVal end as Integer) Dim i As Integer Dim j كـ Integer ReDim Preserve TT (end ، end) بالنسبة لـ i = البداية إلى النهاية TT (0 ، i) = 1 TT (i ، i) = 1 التالي إذا انتهى< 2 Then Exit Sub If start < 2 Then start = 2 For i = start To end For j = 1 To i - 1 TT (i, j) = TT (i - 1, j - 1) + TT (i - 1, j) Next Next End Sub

تحتاج أولاً إلى استدعاء إجراء CreateTT. يمكنك بعد ذلك الحصول على عدد التركيبات باستخدام دالة SochTT. عندما لم تعد بحاجة إلى المثلث ، اتصل بـ TerminateTT. في الكود أعلاه ، عند استدعاء وظيفة SochTT ، إذا لم يكتمل المثلث بعد إلى المستوى المطلوب ، فسيتم إكماله باستخدام إجراء BuildTT. تحصل الوظيفة بعد ذلك على العنصر المطلوب من صفيف TT وتعيده.

Dim X () كعدّاد خافت صحيح () كعدّاد خافت صحيح () كعدّاد خافت صحيح كعدد صحيح خافت N كعدد صحيح عام فرعي () خافت كعدد صحيح N = CInt (InputBox ("Enter N")) K = CInt (InputBox ("أدخل K ")) K = K + 1 ReDim X (N) لـ i = 1 إلى N X (i) = i التالي txtOut.Text =" "ReDim Counter (K) Counter (0) = 1 SochGenerate 1 End Sub Private Sub SochGenerate ( ByVal c كعدد صحيح) Dim i as Integer Dim j as Integer Dim n1 as Integer Dim Out () as Integer Dim X1 () as Integer If c = K ثم ReDim Out (K) X1 = X For i = 1 To K - 1 n1 = 0 بالنسبة إلى j = 1 إلى N إذا كانت X1 (j)<>0 ثم n1 = n1 + 1 إذا كان n1 = العداد (i) ثم الخروج (i) = X1 (j) X1 (j) = 0 الخروج للنهاية إذا التالي txtOut.Text = txtOut.Text & CStr (Out (i)) التالي txtOut.Text = txtOut.Text & vbCrLf عدا ذلك للعداد (c) = العداد (c - 1) إلى N - c + 1 Soch Generate c + 1 Next End If End Sub

تعداد مجموعات الأعداد الطبيعية

لحل العديد من المشكلات العملية ، من الضروري تعداد جميع مجموعات العناصر الأساسية الثابتة التي يمكن الحصول عليها من عناصر مجموعة محدودة معينة ، وليس فقط تحديد عددها. نظرًا لإمكانية وجود ترقيم صحيح دائمًا لعناصر أي مجموعة محدودة ، في معظم الحالات ، يجوز تقييد أنفسنا باستخدام الخوارزميات لتعداد مجموعات الأعداد الطبيعية. أبسطها وطبيعتها هي خوارزمية سرد مجموعات الأعداد الطبيعية في ترتيب معجمي.

للحصول على وصف رسمي لهذه الخوارزمية ، من الملائم افتراض أن المجموعة الرئيسية ، التي يجب إدراج جميع مجموعات عناصرها ، تشكل أرقامًا طبيعية متتالية من 1 إلى n. ثم أي مزيج من م

كنتيجة للترتيب ، فإن القيمة في كل موضع لمثل هذا المتجه من التوليفات تتحول بطبيعة الحال إلى قيمة محدودة من الأعلى والأسفل على النحو التالي:

تولد الخوارزمية اللغوية بشكل تسلسلي نواقل المجموعات هذه ، بدءًا من المتجه الأصغر من الناحية اللغوية ، حيث تحتوي جميع المواضع على الحد الأدنى من القيم الممكنة التالية للعناصر التي تساوي مؤشراتها:

يتكون كل متجه من المجموعة التالية من المتجه الحالي بعد عرض عناصره من اليسار إلى اليمين من أجل العثور على العنصر الموجود في أقصى اليمين والذي لم يصل بعد إلى قيمته القصوى:

يجب زيادة قيمة هذا العنصر بمقدار 1. يجب تعيين أصغر قيمة ممكنة لكل عنصر على يمينه ، وهو ما يزيد بمقدار 1 عن الجار الموجود على اليسار. بعد هذه التغييرات ، سيتضمن المتجه التالي للتركيبات التكوين الأولي التالي:

وبالتالي ، سيكون متجه المجموعة التالية أكبر من الناحية اللغوية من سابقتها ، نظرًا لأن قيم عناصرها الأولية (j1) متساوية في القيمة ، وقيمة العنصر في الموضع j أكبر من القيمة السابقة . العلاقة المحددة لزيادة الترتيب اللغوي مضمونة لتكون راضية في جميع تكرارات الخوارزمية. نتيجة لذلك ، يتم تكوين تسلسل لكسغرافي متزايد ، يكتمل بأكبر متجه مجموعة معجم ، حيث تحتوي العناصر في جميع المواضع على القيم القصوى التالية:

توضح الخوارزمية اللغوية المدروسة المثال التالي ، حيث من الضروري سرد ​​جميع المجموعات الخمسة عشر المكونة من n = 6 أرقام طبيعية أولية مع m = 4 أرقام ، أي جميع المجموعات الفرعية المكونة من 4 عناصر من مجموعة التوليد الرئيسية ( 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6) من 6 عناصر. يتم عرض نتائج الحساب في الجدول التالي:

في هذا المثال ، أكبر قيم مسموح بها للأرقام في مواضع نواقل المجموعة هي 3 و 4 و 5 و 6 على التوالي. لتسهيل تفسير النتائج في كل متجه مركب ، العنصر الموجود في أقصى اليمين ، والذي لا يحتوي على بعد الوصول إلى قيمته القصوى ، يتم وضع خط تحته. تحدد الفهارس العددية للناقلات المركبة أعدادها بالترتيب المعجمي. في الحالة العامة ، يمكن حساب الرقم المعجمي N لأي مجموعة من عناصر n بواسطة m باستخدام الصيغة التالية ، حيث ، لأسباب تجميلية ، يتم استخدام رمزية Appel للإشارة إلى عدد المجموعات:

على وجه الخصوص ، فإن العمليات الحسابية التالية باستخدام هذه الصيغة لرقم المجموعة (1 ، 3 ، 4 ، 6) لـ n = 6 عناصر في m = 4 بالترتيب المعجمي ستعطي النتيجة N = 8 ، والتي تتوافق مع المثال الذي تمت مناقشته أعلاه:

في الحالة العامة ، باستخدام الهوية لمجموع أعداد التوليفات لكلا المؤشرين ، يمكن إظهار أن عدد أصغر مجموعة معجمية (1 ، ... أنا ، ... م) عند حسابها باستخدام هذا ستكون الصيغة دائمًا مساوية لـ 1:

من الواضح أيضًا أن عدد أكبر مجموعة معجمية (m، ... nm + i، ... n) عند حسابها وفقًا لهذه الصيغة سيكون مساويًا لعدد مجموعات n من العناصر بـ m:

يمكن استخدام معادلة حساب الأرقام المعجمية للتركيبات لحل مشكلة عكسية حيث يلزم تحديد متجه المجموعة برقمها بالترتيب المعجمي. لحل مثل هذه المشكلة العكسية ، يجب كتابتها كمعادلة ، حيث تتركز جميع القيم غير المعروفة لعناصر ناقل المجموعة المرغوبة (C 1، ... C i، ... C m) في عدد التوليفات من جانبها الأيمن ، والفرق المعروف L في عدد المجموعات مكتوب على الجانب الأيسر من العناصر n بمقدار m وعدد المجموعة المرغوبة N:

يوفر حل هذه المعادلة الخوارزمية "الجشعة" التالية ، والتي يتم على أساسها تحديد قيم عناصر ناقل المجموعة المرغوبة بالتتابع. في التكرار الأولي ، يتم تحديد الحد الأدنى الممكن (ضمن حدوده) للقيمة C 1 ، حيث يكون للمصطلح الأول على الجانب الأيمن قيمة قصوى لا تتجاوز L:

الآن يجب تقليل الجانب الأيسر من L من خلال العدد الأول من المجموعات على الجانب الأيمن مع القيمة المختارة لـ C 1 ، ويجب تحديد قيمة C 2 بنفس الطريقة في التكرار الثاني:

وبالمثل ، يجب إجراء جميع التكرارات اللاحقة لتحديد قيم جميع العناصر الأخرى C i من المجموعة المرغوبة ، حتى العنصر الأخير C m:

لأسباب واضحة ، يمكن تحديد قيمة العنصر الأخير C m بناءً على المساواة بين عدد التركيبات والقيمة المتبقية للجانب الأيسر من L:

تجدر الإشارة إلى أنه يمكن العثور على قيمة العنصر الأخير في المجموعة C m بشكل أكثر بساطة ، دون تعداد قيمه المحتملة:

يتم توضيح تنفيذ التكرارات للخوارزمية المدروسة من خلال المثال التالي ، حيث من الضروري تحديد مجموعات مع الرقم N = 8 بالترتيب المعجمي ، إذا كان n = 6 و m = 4:

يمكن استخدام القدرة الخوارزمية لتحديد مجموعة برقم معين بترتيب معجمي في اتجاهات مختلفة. على وجه الخصوص ، عند سرد المجموعات بالترتيب المعجمي ، يلزم توفير عودة إلى أي مجموعة تم الحصول عليها مسبقًا ، ويكفي معرفة رقمها فقط. بالإضافة إلى ذلك ، يصبح من الممكن إنشاء مجموعات بأي ترتيب ينظم تسلسلًا تعسفيًا معينًا لأرقامهم اللغوية.

نقدم الآن خوارزمية لتوليد مجموعات بترتيب معجمي:

2 لـ i: = 1 to k do A [i]: = i؛

5 ابدأ الكتابة (أ ، ... ، أ [ك]) ؛

6 إذا كان A [k] = n ثم p: = p 1 else p: = k ؛

8 لـ i: = k downto p do A [i]: = A [p] + i p + 1

مجموعات مع تكرار العناصر

على عكس التركيبة الكلاسيكية ، حيث تكون جميع العناصر مختلفة ، فإن الدمج مع التكرار يشكل اختيارًا غير مرتب لعناصر مجموعة محدودة ، حيث يمكن أن يظهر أي عنصر إلى أجل غير مسمى في كثير من الأحيان وليس بالضرورة أن يكون موجودًا في نسخة واحدة. في الوقت نفسه ، عادةً ما يقتصر عدد عمليات تكرار العناصر على طول المجموعة فقط ، وتعتبر المجموعات التي تختلف بواسطة عنصر واحد على الأقل مختلفة. على سبيل المثال ، باختيار 4 أرقام مختلفة اختياريًا من المجموعة 1 و 2 و 3 ، يمكنك عمل المجموعات الـ 15 التالية مع التكرارات:

1111 1112 1113 1122 1123 1133 1222 1223 1233 1333 2222 2223 2233 2333 3333.

في الحالة العامة ، يمكن تشكيل مجموعات مع التكرار من خلال مجموعة من العناصر n من الأنواع التعسفية. ومع ذلك ، يمكن دائمًا ربطها بأعداد طبيعية متتالية من 1 إلى n. بعد ذلك ، يمكن كتابة أي مجموعة من أرقام مختلفة اختياريًا في هذا النطاق في شكل متجه ، وترتيبها بترتيب غير تنازلي من اليسار إلى اليمين:

بطبيعة الحال ، مع هذا الشكل من الكتابة ، يمكن أن تكون أي عناصر مجاورة متساوية بسبب إمكانية التكرار غير المحدود. ومع ذلك ، يمكن ربط كل متجه تركيبي مع تكرار n من العناصر بواسطة m مع متجه مركب من (n + m - 1) من العناصر بواسطة m ، والذي يتم إنشاؤه على النحو التالي:

من الواضح أنه بالنسبة لأي قيم لعناصر المتجه f ، فإن عناصر المتجه C مضمونة لتكون مختلفة ومرتبة بدقة بترتيب تصاعدي لقيمها من النطاق من 1 إلى (n + m1) :

يسمح لنا وجود تطابق واحد لواحد بين عناصر نواقل المجموعة f و C باقتراح الطريقة البسيطة التالية للتعداد المنهجي للتركيبات مع تكرار n من العناصر على m. من الضروري فقط سرد ، على سبيل المثال ، بالترتيب المعجمي ، جميع مجموعات C لعناصر (n + m1) بواسطة m ، وتحويل عناصر كل منها بالتسلسل إلى العناصر المقابلة للتركيبات مع التكرارات f وفقًا للصيغة التالية:

نتيجة لذلك ، يتم تكوين سلسلة من النواقل المركبة مع تكرار العناصر ، والتي يتم ترتيبها بالترتيب الناتج عن تعداد المجموعات المقابلة دون تكرار العناصر. على وجه الخصوص ، من أجل الحصول على التسلسل أعلاه للتركيبات المكونة من 3 أرقام 1 و 2 و 3 مع التكرار المكون من 4 أرقام ، يلزم إدراج جميع التركيبات بترتيب معجمي دون تكرار 6 أرقام 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 و 6 في 4 أرقام ، وتحويلها بالطريقة المحددة. يوضح المثال التالي مثل هذا التحول للمجموعة (1،3،4،6) مع الرقم المعجمي 8:

تعني المراسلات الفردية المدروسة بين التوليفات مع التكرار وبدون تكرار العناصر أن مجموعاتها متكافئة. لذلك ، في الحالة العامة ، فإن عدد التوليفات مع تكرار n من العناصر على m يساوي عدد التوليفات دون التكرار من (n + m1) العناصر على m. باستخدام نفس الرمزية للإشارة إلى عدد التوليفات مع تكرار f وبدون تكرار C ، يمكن كتابة هذه المساواة على النحو التالي:

من السهل التحقق من ذلك في المثال أعلاه ، حيث n = 3 و m = 4 ، سيكون عدد التوليفات مع التكرار 15 ، والذي يتزامن مع نتيجة تعدادهم المباشر:

وتجدر الإشارة إلى أنه ، على عكس الإصدار الكلاسيكي ، لا ترتبط قيم المعلمات المركبة مع التكرارات n و m ببعضها البعض بشكل مباشر ، وبالتالي فإن f (n ، m)> 0 لأي مجموعة من قيمها الإيجابية. يتم تحديد شروط الحدود المقابلة من المساواة بين القيم (n + m1) و (n1) أو (n + m1) و m:

يجب أن يكون واضحًا تمامًا أنه إذا كانت m تساوي 1 ، فلا يمكن تكرار العناصر ، وبالتالي ، بالنسبة لأي قيمة موجبة لـ n> 0 ، فإن المساواة التالية ستظل ثابتة:

بالإضافة إلى ذلك ، بالنسبة لأعداد التوليفات مع التكرارات لأي قيم موجبة لـ n و m ، فإن علاقة التكرار التالية تثبت ، والتي تشبه الهوية الإضافية لأعداد التوليفات دون تكرار العناصر:

في الواقع ، يتحول إلى هوية الإضافة المحددة مع الاستبدال الرسمي للأعداد المقابلة من المجموعات دون التكرار في الجزأين الأيمن والأيسر:

يمكن استخدام علاقة التكرار المدروسة لتحديد عدد التوليفات مع التكرارات بشكل فعال ، عندما يكون من المهم التخلص من العمليات الشاقة لحساب منتجات العوامل واستبدالها بعمليات إضافة أبسط. في هذه الحالة ، لحساب قيمة f (n ، m) ، من الضروري فقط تطبيق علاقة التكرار هذه حتى يتم الحصول على مجموع شروط النموذج f (1 ، m) و f (i ، 1) ، حيث أنا تأخذ القيم في النطاق من n إلى 1. من خلال تعريف القيمة ، فإن هذه المصطلحات تساوي 1 و i ، على التوالي. يوضح المثال التالي استخدام تقنية التحويل هذه للحالة n = 3 و m = 4:

تعداد المجموعات الثنائية

عند تنفيذ مجموعات في الأجهزة أو عند البرمجة بلغة التجميع ، من المهم أن تكون قادرًا على معالجة السجلات المركبة بتنسيق ثنائي. في هذه الحالة ، يجب تحديد أي مجموعة من عناصر n في m في شكل رقم ثنائي من n بت (B n ، ... B j ، ... B 1) ، حيث تشير m رقم واحد إلى عناصر المجموعة ، و الأرقام المتبقية (نانومتر) لها قيم صفرية. من الواضح ، مع هذا الشكل من الكتابة ، يجب أن تختلف التركيبات المختلفة في ترتيب الوحدات ولا توجد سوى طرق C (n ، m) لترتيب m واحد أو (nm) أصفار في مجموعة ثنائية n بت. على سبيل المثال ، يسرد الجدول التالي جميع المجموعات الثنائية الستة التي توفر أرقامًا ثنائية مكونة من 4 أرقام لجميع المجموعات المكونة من 4 عناصر لمجموعة عشوائية (E 1 ، E 2 ، E 3 ، E 4) بمقدار 2:

في الحالة العامة ، يتم تقليل مهمة تعداد مثل هذه المجموعات الثنائية إلى تعداد منهجي لجميع المجموعات الثنائية n-bit بترتيبات مختلفة من m واحد و (nm) صفر بت. في أبسط صورة ، يتم تنفيذ هذا التعداد بطرق مختلفة لتبديل الأرقام المجاورة مع التحول (خوارزميات التحول التبادلي). هذه خوارزميات متكررة ، وتعكس أسماؤها طبيعة العمليات التي يتم إجراؤها في كل خطوة. تشكل الإجراءات التكرارية لخوارزميات التحول الانتقالي متواليات من التوليفات الثنائية التي تبدأ بمجموعة ثنائية ، حيث تتركز كل منها في البتات السفلية (على اليمين) ، وتنتهي عندما تكون كل منها في البتات الأعلى (على اليسار):

بالتزامن في التوليفات الأولية والنهائية ، تختلف هذه التسلسلات في ترتيب تعداد المجموعات الثنائية الوسيطة. ومع ذلك ، في جميع الحالات ، يتم تشكيل كل مجموعة ثنائية تالية وفقًا للمجموعة السابقة كنتيجة لإجراء عمليات النقل والتحويل المقابلة. في الوقت نفسه ، تختلف خوارزميات التحول التبادلي المختلفة في طريقة اختيار زوج من البتات للتبديل ومجموعة من البتات للإزاحة. يتم النظر في هذه الخصوصية أدناه لخوارزميات التحويل مع التحولات اليمنى واليسرى.

في خوارزمية التحويل مع إزاحة لليسار في كل خطوة ، يتم الحصول على المجموعة الثنائية التالية من المجموعة الحالية عن طريق استبدال زوج البتات الموجود في أقصى اليسار 01 بـ 10 (التحويل) وتحويل مجموعة وحدات بتات الوحدة البادئة ، إن وجدت ، بالقرب من تم الحصول على الزوج 10 بعد التحويل (التحول). إذا لم يكن هناك في هذه الحالة وحدات في أعلى البتات في المجموعة الثنائية الحالية ، فلن يتم إجراء التحول ، حتى عندما يتم الحصول على الوحدة البادئة بعد التحويل في هذه الخطوة. لا يتم إجراء التحول أيضًا في حالة عدم وجود أصفار في البتات عالية الترتيب قبل الحصول على زوج العشرات بعد التحويل. يتم توضيح الإجراءات المدروسة من خلال المثال التالي لأداء تكرارين متتاليين لهذه الخوارزمية ، حيث يتم تنفيذ التحويل (T ") في تكرار واحد (15) فقط ، وفي التكرار الآخر (16) يتم استكمال التحويل بنقل (T "+ S"):

في خوارزمية تبديل التحول الصحيحة ، يتم تنفيذ إجراءات متشابهة من الناحية المفاهيمية في كل خطوة. يضمن التحويل فقط استبدال البتات الموجودة في أقصى اليمين بـ 10 (بدلاً من وحدات أقصى اليسار) ، ثم يتم نقل جميع الوحدات الموجودة على يمينها إلى البتات السفلية. كما كان من قبل ، يتم إجراء التحول فقط في حالة وجود وحدات يمكن نقلها إلى اليمين. يتم توضيح الإجراءات المدروسة من خلال المثال التالي لتنفيذ تكرارين متتاليين من هذه الخوارزمية ، حيث يتم تنفيذ التحويل (T ") في أحد التكرارات (3) فقط ، وفي التكرار الآخر (4) يتم استكمال التحويل بـ تحول (T "+ S"):

وتجدر الإشارة إلى أنه يمكن كتابة التكرارات لكل من الخوارزميات في شكل مضاف إذا تم تفسير المجموعات الثنائية على أنها أعداد صحيحة في نظام الأرقام الأساسي 2. وعلى وجه الخصوص ، بالنسبة لخوارزمية التحويل مع التحول الصحيح ، فإن كل مجموعة ثنائية تالية (B " يمكن دائمًا الحصول على n ، ... B "j ، ... B" 1) من المجموعة الحالية (B n ، ... B j ، ... B 1) عن طريق إجراء عمليات إضافة عدد صحيح باستخدام الصيغة المضافة التالية:

في هذه الصيغة المضافة ، يشير الأسس اثنين f و t ، على التوالي ، إلى عدد الأصفار في المجموعة الثنائية الحالية وعدد الأصفار في الصف الموجود على يسارها. على سبيل المثال ، بالنسبة للمجموعة الثنائية الرابعة (001110) لـ n = 6 بتات ، f = 1 و t = 3. لذلك ، فإن حساب المجموعة الثنائية التالية بواسطة الصيغة المضافة عند التكرار 5 سيعطي النتيجة التالية ، والتي تعادل إجراء عمليات التحويل والتحول:

لإجراء تحليل مقارن لخوارزميات التحويل المدروسة مع التحولات اليمنى واليسرى ، يُنصح بمقارنة تسلسل المجموعات الثنائية التي يتم إنشاؤها عند تكراراتها. يوضح الجدول التالي تسلسلين من مجموعات ثنائية من 4 عناصر في 2 ، والتي يتم الحصول عليها بواسطة خوارزميات إزاحة اليسار (TSL) واليمين (TSR) ، على التوالي:

بمقارنة هذين التسلسلين ، يمكنك أن ترى أنهما عكسيا. هذا يعني أن أي مجموعتين ثنائيتين توجدان فيهما على نفس المسافة من الأطراف المتقابلة المتبادلة لتسلسلاتهما هي صورة معكوسة لبعضهما البعض ، أي أنهما يتطابقان عند التغيير إلى الفهرسة العكسية للبتات في أي منهما. على سبيل المثال ، النمط الثنائي الثاني من بداية تسلسل TSL (0101) هو صورة معكوسة للنمط الثنائي (1010) الذي يعد الثاني من نهاية تسلسل TSR. في الحالة العامة ، أي تركيبة ثنائية مع رقم i من تسلسل واحد هي صورة معكوسة لتركيبة ثنائية مع رقم (ni + 1) من تسلسل آخر. هذه النسبة من هذه التسلسلات هي نتيجة للطبيعة المتماثلة لعمليات التحويل والتحول في الخوارزميتين المدروستين لتعداد المجموعات الثنائية.

وتجدر الإشارة إلى أنه يمكن أيضًا استخدام التنسيق الثنائي لكتابة مجموعات مع تكرار العناصر. للقيام بذلك ، تحتاج إلى إنشاء تطابق واحد لواحد بين التوليفات ذات التكرارات والمجموعات الثنائية ، والتي يتم إنشاؤها على النحو التالي. يجب أن يكون هناك مزيج تعسفي مع التكرارات ، والتي يتم الحصول عليها عن طريق اختيار عناصر مختلفة اختياريًا من عناصر n من مجموعة التوليد. لإنشاء المراسلات المرغوبة ، يجب أولاً إرفاق جميع عناصر مجموعة التوليد (cat) بالتركيبة ، ثم فرز التسلسل الناتج (الفرز) بحيث تكون جميع العناصر المتطابقة قريبة. والنتيجة هي سلسلة من العناصر (n + m) ، حيث n مجموعات من العناصر المتطابقة. سيكون هناك فقط (n + m1) فجوات بين العناصر ، من بينها ستكون هناك فجوات (n1) بين مجموعات العناصر المتطابقة وفجوات m بين العناصر داخل المجموعات. للتوضيح ، في الفترات الزمنية المحددة ، يمكنك وضع الأحرف "|" وفي المقابل. إذا قمنا الآن بتعيين 1 إلى الفجوات بين المجموعات (|) و 0 لجميع الفجوات الأخرى () ، فسنحصل على تركيبة ثنائية. يتكون من مجموعة ثنائية من (n + m1) أرقام ، حيث (n1) هي أرقام و m صفر ، موقعها يتوافق بشكل فريد مع المجموعة الأصلية مع التكرارات من العناصر n إلى m. يتم توضيح تقنية التحويل المدروسة من خلال المثال التالي لبناء مجموعة ثنائية (1001101) عن طريق الدمج مع التكرارات (BBD) ، والتي يتم اختيار عناصرها من مجموعة توليد الأحرف اللاتينية الخمسة الأولى:

بشكل عام ، يحدد عدد هذه المجموعات الثنائية عدد الطرق لترتيب (n1) الآحاد (أو m الأصفار) في (n + m1) الأرقام الثنائية. من الواضح أن هذه القيمة تساوي عدد التوليفات من (n + m1) فوق (n1) أو أكثر من m ، أي C (n + m1 ، n1) أو C (n + m1 ، m) ، والتي تساوي عدد التوليفات مع التكرارات f (n ، m) لعناصر n بواسطة m. وبالتالي ، فإن وجود تطابق واحد لواحد بين التوليفات مع التكرارات والتركيبات الثنائية ، فمن المشروع تقليل تعداد المجموعات مع التكرارات إلى تعداد مجموعات ثنائية ، على سبيل المثال ، باستخدام خوارزميات التحويل مع التحول إلى اليسار أو اليمين. بعد ذلك ، ما عليك سوى استعادة المجموعات المرغوبة مع التكرارات من التركيبات الثنائية التي تم الحصول عليها. يمكن القيام بذلك دائمًا عن طريق تطبيق التقنية التصالحية التالية.

دع المجموعة الرئيسية ، من العناصر التي تتشكل مجموعات منها بتكرار عناصر مختلفة اختياريًا ، يتم ترتيبها بشكل تعسفي بحيث يكون لكل عنصر من عناصرها رقم تسلسلي معين من 1 إلى n. دع تعداد المجموعات الثنائية للأرقام الثنائية (n + m1) يتم تنفيذه أيضًا ، حيث (n1) عبارة عن أرقام فردية و m صفر. يمكن استكمال كل مجموعة ثنائية ناتجة على اليسار برقم وحدة وهمي ، ويمكن ترقيم جميع أرقام الوحدات من اليسار إلى اليمين بأعداد صحيحة من 1 إلى n. ثم سيكون عدد الأصفار الموجودة في صف واحد بعد كل وحدة من الصف الأول من المجموعة الثنائية مساويًا لعدد مثيلات العنصر الأول للمجموعة الرئيسية في المجموعة المقابلة مع التكرارات. يتم توضيح التقنية المدروسة من خلال المثال التالي ، حيث تستعيد المجموعة الثنائية (1001101) مجموعة مع تكرار BBD ، والتي يتم تحديد عناصرها من مجموعة توليد الأحرف اللاتينية الخمسة الأولى المكتوبة بترتيب أبجدي ، ويشير التراكب إلى العناصر الغائبة في هذه المجموعة:

عند تنفيذ إجراءات مماثلة في ظل ظروف هذا المثال ، يمكنك سرد جميع المجموعات الثنائية البالغ عددها 35 التي تشكل مجموعات ثنائية مكونة من 7 بتات ، حيث يوجد 4 آحاد و 3 أصفار ، واستعادة المجموعات المقابلة بتكرار 5 عناصر في 3.

في بعض الأحيان نختار من بين العديد بغض النظر عن الطلب. يسمى هذا الاختيار مزيج . إذا كنت تلعب الورق ، على سبيل المثال ، فأنت تعلم أنه في معظم المواقف لا يهم الترتيب الذي تمسك به أوراقك.

مثال 1ابحث عن كل المجموعات المكونة من 3 أحرف مأخوذة من مجموعة مكونة من 5 أحرف (أ ، ب ، ج ، د ، هـ).

قرارهذه المجموعات هي:
(أ ، ب ، ج) ، (أ ، ب ، د) ،
(أ ، ب ، هـ) ، (أ ، ج ، د) ،
(أ ، ج ، هـ) ، (أ ، د ، هـ) ،
(ب ، ج ، د) ، (ب ، ج ، هـ) ،
(ب ، د ، ه) ، (ج ، د ، ه).
هناك 10 مجموعات من ثلاثة أحرف ، يتم اختيارها من خمسة أحرف.

عندما نجد كل التركيبات من مجموعة مكونة من 5 كائنات ، إذا أخذنا 3 كائنات في وقت واحد ، فسنجد كل المجموعات الفرعية المكونة من 3 عناصر. في هذه الحالة ، لا يتم النظر في ترتيب الكائنات. ثم،
(أ ، ج ، ب) تسمى نفس مجموعة (أ ، ب ، ج).

مجموعة فرعية
المجموعة أ هي مجموعة فرعية من ب ، وتعني أن أ مجموعة فرعية من و / أو نفس المجموعة ب إذا كان كل عنصر من أ عنصرًا من ب.

لا يتم ترتيب عناصر مجموعة فرعية. عندما يتم النظر في التوليفات ، لا يتم النظر في الطلب!

مزيج
مزيج، التي تحتوي على كائنات هي مجموعة فرعية تتكون من كائنات.

نريد كتابة صيغة لحساب عدد تركيبات n كائنات إذا تم أخذ ك كائنات في نفس الوقت.

تدوين المركب
يتم الإشارة إلى عدد تركيبات n من الكائنات ، إذا تم أخذها في نفس الوقت ، بواسطة n C k.

نسمي n C k عدد التركيبات . نريد كتابة صيغة عامة لـ n C k لأي k ≤ n. أولاً ، صحيح أن n C n = 1 ، لأن المجموعة التي تحتوي على n من العناصر بها مجموعة فرعية واحدة فقط مع n من العناصر ، هي المجموعة نفسها. ثانيًا ، n C 1 = n لأن المجموعة التي تحتوي على n من العناصر لا تحتوي إلا على n مجموعات فرعية تحتوي على عنصر واحد لكل منها. أخيرًا ، n C 0 = 1 ، لأن المجموعة التي تحتوي على n من العناصر بها مجموعة فرعية واحدة فقط بها 0 عناصر ، أي المجموعة الفارغة ∅. للنظر في التوليفات الأخرى ، دعنا نعود إلى المثال 1 ونقارن عدد التوليفات مع عدد التباديل.

لاحظ أن كل مجموعة مكونة من 3 عناصر لها 6 ، أو 3 !، التباديل.
3! . 5 C 3 = 60 = 5 P 3 = 5. 4. 3 ،
لذا
.
بشكل عام ، يجب أن يكون عدد مجموعات عناصر k المحددة من n كائنات ، n C k عدد مرات التباديل لهذه العناصر k !، مساويًا لعدد تباديل n من العناصر على k عنصر:
ك!. ن C ل = ن الفوسفور ك
ن C ل = ن الفوسفور ك / ك!
ن C ل = (1 / ك!). nP ك
ن Ck =

مجموعات من كائنات من ن كائنات
يتم الإشارة إلى العدد الإجمالي لتركيبات عناصر k من كائنات n بواسطة n C k ، ويتم تحديدها بواسطة
(1) ن C ك = ،
أو
(2) ن C ك =

هناك نوع آخر من تدوينات n C k هو معامل ذي الحدين . سيتضح سبب هذا المصطلح أدناه.

معامل ذو الحدين

مثال 2احسب باستخدام الصيغتين (1) و (2).

قرار
أ) حسب (1) ،
.
ب) حسب (2) ،

ضع في اعتبارك أن هذا لا يعني n / k.

مثال 3احسب و.

قرارنستخدم الصيغة (1) للتعبير الأول والصيغة (2) للتعبير الثاني. ثم
,
باستخدام (1) و
,
باستخدام الصيغة (2).

.لاحظ أن
,
واستخدام نتيجة المثال 2 يعطينا
.
هذا يعني أن عدد مجموعة فرعية مكونة من 5 عناصر لمجموعة مكونة من 7 عناصر هو نفس عدد مجموعة فرعية مكونة من عنصرين من مجموعة مكونة من 7 عناصر. عند تحديد 5 عناصر من مجموعة ، فإنها لا تتضمن عنصرين. لرؤية هذا ، ضع في اعتبارك المجموعة (A ، B ، C ، D ، E ، F ، G):


بشكل عام ، لدينا ما يلي. تعطي هذه النتيجة طريقة بديلة لحساب المجموعة.

مجموعات فرعية من الحجم k والحجم
و ن ج ك = ن ج ن ك
عدد المجموعات الفرعية ذات الحجم k لمجموعة تحتوي على n كائنات هو نفسه عدد المجموعات الفرعية ذات الحجم n - k. عدد مجموعات كائنات k من مجموعة n من الكائنات هو نفسه عدد مجموعات n الأشياء المأخوذة في نفس الوقت.

الآن سنحل مشاكل التوليفات.

مثال 4 ميشيغان اليانصيب. يقام WINFALL مرتين في الأسبوع في ولاية ميشيغان ، ويمتلك جائزة كبرى ، وفقًا لـ على الأقل، يساوي 2 مليون دولار أمريكي. مقابل دولار واحد ، يمكن للاعب شطب أي 6 أرقام من 1 إلى 49. إذا كانت هذه الأرقام تتطابق مع تلك التي تقع أثناء اليانصيب ، يفوز اللاعب. (

التوافقية هي فرع من فروع الرياضيات يدرس أسئلة حول عدد التركيبات المختلفة ، وفقًا لشروط معينة ، التي يمكن إجراؤها من كائنات معينة. تعتبر أساسيات التوافقية مهمة جدًا لتقدير احتمالات الأحداث العشوائية ، لأن هم الذين يجعلون من الممكن حساب العدد الأساسي المحتمل للسيناريوهات المختلفة لتطور الأحداث.

صيغة التوافقية الأساسية

لنفترض وجود مجموعات k من العناصر ، وتتكون المجموعة i من عناصر n i. دعنا نختار عنصرًا واحدًا من كل مجموعة. ثم يتم تحديد العدد الإجمالي للطرق التي يمكن من خلالها اتخاذ مثل هذا الاختيار من خلال العلاقة N = n 1 * n 2 * n 3 * ... * n k.

مثال 1دعونا نشرح هذه القاعدة بمثال بسيط. يجب أن تكون هناك مجموعتان من العناصر ، المجموعة الأولى تتكون من عناصر n 1 ، والثانية - من n 2 من العناصر. كم عدد أزواج العناصر المختلفة التي يمكن تكوينها من هاتين المجموعتين بحيث يحتوي الزوج على عنصر واحد من كل مجموعة؟ لنفترض أننا أخذنا العنصر الأول من المجموعة الأولى ، وبدون تغييره ، مررنا بجميع الأزواج الممكنة ، وقمنا بتغيير العناصر من المجموعة الثانية فقط. يوجد ن 2 من هذه الأزواج لهذا العنصر. ثم نأخذ العنصر الثاني من المجموعة الأولى ونصنع له أيضًا كل الأزواج الممكنة. سيكون هناك أيضًا ن 2 من هذه الأزواج. نظرًا لوجود عناصر n 1 فقط في المجموعة الأولى ، سيكون هناك n 1 * n 2 من الخيارات الممكنة.

مثال 2كم عدد الأرقام الزوجية المكونة من ثلاثة أرقام التي يمكن تكوينها من الأرقام 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 إذا كان من الممكن تكرار الأرقام؟
قرار: n 1 \ u003d 6 (حيث يمكنك أخذ أي رقم من 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 كالرقم الأول) ، n 2 \ u003d 7 (حيث يمكنك أخذ أي رقم من 0 كالرقم الثاني ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6) ، n 3 \ u003d 4 (حيث يمكنك أخذ أي رقم من 0 ، 2 ، 4 ، 6 كالرقم الثالث).
إذن ، N = n 1 * n 2 * n 3 = 6 * 7 * 4 = 168.

في الحالة التي تتكون فيها جميع المجموعات من نفس العدد من العناصر ، أي n 1 = n 2 = ... n k = n يمكننا أن نفترض أن كل اختيار يتم من نفس المجموعة ، وأن العنصر يعود إلى المجموعة بعد الاختيار. إذن ، فإن عدد جميع طرق الاختيار يساوي n k. هذه الطريقة في الاختيار في التوافقية تسمى إرجاع العينات.

مثال 3كم عددًا مكونًا من أربعة أرقام يمكن تكوينه من الأرقام 1 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8؟
قرار.هناك خمسة احتمالات لكل رقم مكون من أربعة أرقام ، لذا N = 5 * 5 * 5 * 5 = 5 4 = 625.

ضع في اعتبارك مجموعة تتكون من عناصر n. هذه المجموعة في التوافقية تسمى عامه السكان.

عدد المواضع من n من العناصر بالمتر

التعريف 1.السكن من نعناصر بواسطة مفي التوافقية يسمى أي مجموعة مرتبةمن عند معناصر مختلفة مختارة من عامة السكان في نعناصر.

مثال 4الترتيبات المختلفة لثلاثة عناصر (1 ، 2 ، 3) اثنان في اثنين ستكون مجموعات (1 ، 2) ، (2 ، 1) ، (1 ، 3) ، (3 ، 1) ، (2 ، 3) ، (3 ، 2). يمكن أن تختلف المواضع عن بعضها البعض في كل من العناصر وترتيبها.

يُشار إلى عدد المواضع في التوافقية بالرمز A n m ويتم حسابه بالصيغة:

تعليق: n! = 1 * 2 * 3 * ... * n (اقرأ: "en factor") ، بالإضافة إلى ذلك ، يُفترض أن 0! = 1.

مثال 5. كم عددًا مكونًا من رقمين يكون فيه رقم العشرات ورقم الوحدة مختلفًا عن الفردي؟
قرار:لان هناك خمسة أرقام فردية ، وهي 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، ثم يتم تقليل هذه المشكلة إلى اختيار ووضع اثنين من الأرقام الخمسة المختلفة في موضعين مختلفين ، أي ستكون الأرقام المعطاة:

التعريف 2. الجمعمن عند نعناصر بواسطة مفي التوافقية يسمى أي مجموعة غير مرتبةمن عند معناصر مختلفة مختارة من عامة السكان في نعناصر.

مثال 6. بالنسبة للمجموعة (1 ، 2 ، 3) ، التركيبات هي (1 ، 2) ، (1 ، 3) ، (2 ، 3).

عدد تركيبات n من العناصر بالمتر

يتم الإشارة إلى عدد التركيبات بواسطة C n m ويتم حسابه بواسطة الصيغة:

مثال 7ما عدد الطرق التي يمكن للقارئ أن يختار كتابين من بين ستة كتب متاحة؟

قرار:عدد الطرق يساوي عدد مجموعات من ستة كتب في اثنين ، أي يساوي:

تباديل العناصر ن

التعريف 3. التقليبمن عند نالعناصر تسمى أي مجموعة مرتبةهذه العناصر.

مثال 7 أ.جميع التباديل الممكنة لمجموعة تتكون من ثلاثة عناصر (1 ، 2 ، 3) هي: (1 ، 2 ، 3) ، (1 ، 3 ، 2) ، (2 ، 3 ، 1) ، (2 ، 1 ، 3) ، (3 ، 2 ، 1) ، (3 ، 1 ، 2).

يتم الإشارة إلى عدد التباديل المختلفة لعناصر n بواسطة P n ويتم حسابها بواسطة الصيغة P n = n !.

المثال 8ما هو عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب سبعة كتب لمؤلفين مختلفين في صف واحد على الرف؟

قرار:هذه المشكلة تتعلق بعدد التباديل لسبعة كتب مختلفة. يوجد P 7 = 7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 5040 طريقة لترتيب الكتب.

مناقشة.نرى أنه يمكن حساب عدد المجموعات الممكنة وفقًا لقواعد مختلفة (التباديل ، والتركيبات ، والمواضع) ، وستكون النتيجة مختلفة ، لأن مبدأ العد والصيغ نفسها مختلفة. بالنظر عن كثب إلى التعريفات ، يمكنك أن ترى أن النتيجة تعتمد على عدة عوامل في نفس الوقت.

أولاً ، من خلال عدد العناصر التي يمكننا دمج مجموعاتها (ما حجم المجموعة العامة للعناصر).

ثانيًا ، تعتمد النتيجة على حجم مجموعات العناصر التي نحتاجها.

أخيرًا ، من المهم معرفة ما إذا كان ترتيب العناصر في المجموعة مهمًا بالنسبة لنا. دعونا نشرح العامل الأخير بالمثال التالي.

المثال 9هناك 20 شخصًا في اجتماع الوالدين. ما هو عدد الخيارات المختلفة لتكوين اللجنة الأم الموجودة إذا كان ينبغي أن تشمل 5 أشخاص؟
قرار:في هذا المثال ، لسنا مهتمين بترتيب الأسماء في قائمة اللجان. إذا ظهر ، نتيجة لذلك ، نفس الأشخاص في تكوينها ، فمن حيث المعنى بالنسبة لنا ، فهذا هو نفس الخيار. لذلك ، يمكننا استخدام الصيغة لحساب الرقم مجموعاتمن أصل 20 عنصرًا ، 5.

ستكون الأمور مختلفة إذا كان كل عضو في اللجنة مسؤولًا في البداية عن مجال معين من العمل. ثم ، مع نفس كشوف رواتب اللجنة ، يمكن أن يكون بداخلها 5! والخيارات التباديلهذا الأمر. يتم تحديد عدد الخيارات المختلفة (من حيث التكوين ومنطقة المسؤولية) في هذه الحالة من خلال الرقم المواضعمن أصل 20 عنصرًا ، 5.

مهام الاختبار الذاتي
1. كم عدد الأرقام الزوجية المكونة من ثلاثة أرقام التي يمكن تكوينها من الأرقام 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 إذا كان من الممكن تكرار الأرقام؟

2. كم عدد الأرقام المكونة من خمسة أرقام والتي تقرأ بنفس الطريقة من اليسار إلى اليمين ومن اليمين إلى اليسار؟

3. هناك عشرة مواد في الفصل وخمسة دروس في اليوم. ما هو عدد الطرق التي يمكنك من خلالها عمل جدول ليوم واحد؟

4. كم عدد الطرق التي يمكن بها اختيار 4 مندوبين للمؤتمر إذا كان هناك 20 شخصًا في المجموعة؟

5. ما هو عدد الطرق التي يمكن بها وضع ثمانية أحرف مختلفة في ثمانية مظاريف مختلفة إذا تم وضع حرف واحد فقط في كل مغلف؟

6. من الضروري تكوين لجنة مكونة من اثنين من علماء الرياضيات وستة خبراء اقتصاديين من ثلاثة علماء رياضيات وعشرة اقتصاديين. كم عدد الطرق التي يمكن القيام بها؟