طريقة ملخص الدرس الاستقراء الرياضي. أمثلة - الاستقراء الرياضي

طريقة الاستدلال الرياضي

كلمة الاستقراء باللغة الروسية تعني التوجيه ، والاستقرائي يسمى الاستنتاجات بناءً على الملاحظات والتجارب ، أي تم الحصول عليها بالاستدلال من الخاص إلى العام.

على سبيل المثال ، نلاحظ كل يوم أن الشمس تشرق من الشرق. لذلك ، يمكنك التأكد من أنه سيظهر غدًا في الشرق وليس في الغرب. نتوصل إلى هذا الاستنتاج دون اللجوء إلى أي افتراضات حول سبب حركة الشمس عبر السماء (علاوة على ذلك ، تبين أن هذه الحركة نفسها واضحة ، لأن الكرة الأرضية تتحرك بالفعل). ومع ذلك ، فإن هذا الاشتقاق الاستقرائي يصف بشكل صحيح الملاحظات التي سنقوم بها غدًا.

دور الاستدلالات الاستقرائية في العلوم التجريبية كبير جدًا. أنها تعطي تلك الأحكام ، والتي من ثم يتم التوصل إلى مزيد من الاستنتاجات عن طريق الخصم. وعلى الرغم من أن الميكانيكا النظرية تستند إلى قوانين نيوتن الثلاثة للحركة ، فإن هذه القوانين نفسها كانت نتيجة التفكير العميق في البيانات التجريبية ، على وجه الخصوص ، قوانين كبلر لحركة الكواكب ، التي اشتقها أثناء معالجة الملاحظات طويلة المدى بواسطة عالم الفلك الدنماركي تايكو براهي. تبين أن المراقبة والاستقراء مفيدان في المستقبل لصقل الافتراضات المقدمة. بعد تجارب ميشيلسون على قياس سرعة الضوء في وسط متحرك ، تبين أنه من الضروري توضيح قوانين الفيزياء وإنشاء نظرية النسبية.

في الرياضيات ، يتمثل دور الاستقراء إلى حد كبير في أنه يكمن وراء البديهيات المختارة. بعد ممارسة طويلة أظهرت أن المسار المستقيم دائمًا ما يكون أقصر من المسار المنحني أو المنكسر ، كان من الطبيعي صياغة بديهية: لأي ثلاث نقاط أ ، ب ، ج ، المتباينة

ظهر أيضًا المفهوم الأساسي للحساب الذي يجب اتباعه من مراقبة تشكيل الجنود والسفن والمجموعات المرتبة الأخرى.

ومع ذلك ، لا ينبغي للمرء أن يعتقد أن هذه هي نهاية دور الاستقراء في الرياضيات. بالطبع ، لا ينبغي أن نتحقق تجريبيًا من النظريات التي يتم استنتاجها منطقيًا من البديهيات: إذا لم يتم ارتكاب أخطاء منطقية في الاشتقاق ، فهي صحيحة بقدر ما تكون البديهيات التي قبلناها صحيحة. لكن يمكن استنتاج الكثير من العبارات من نظام البديهيات هذا. واختيار تلك العبارات التي تحتاج إلى إثبات يتم اقتراحه مرة أخرى عن طريق الاستقراء. هي التي تسمح لنا بفصل النظريات المفيدة عن النظريات غير المجدية ، وتشير إلى أي النظريات قد تكون صحيحة ، بل وتساعد في تحديد مسار البرهان.

جوهر طريقة الاستقراء الرياضي

في العديد من أقسام الحساب والجبر والهندسة والتحليل ، يتعين على المرء إثبات صحة الجمل أ (ن) التي تعتمد على متغير طبيعي. غالبًا ما يمكن تنفيذ إثبات صحة الاقتراح أ (ن) لجميع قيم المتغير بطريقة الاستقراء الرياضي ، والذي يعتمد على المبدأ التالي.

تعتبر الجملة A (n) صحيحة لجميع القيم الطبيعية للمتغير إذا تم استيفاء الشرطين التاليين:

الاقتراح A (n) صحيح لـ n = 1.

من افتراض أن A (n) صحيح لـ n = k (حيث k هو أي رقم طبيعي) ، يتبع ذلك أنه صحيح بالنسبة للقيمة التالية n = k + 1.

يسمى هذا المبدأ مبدأ الاستقراء الرياضي. عادة ما يتم اختياره كواحدة من البديهيات التي تحدد سلسلة الأرقام الطبيعية ، وبالتالي يتم قبولها بدون دليل.

تُفهم طريقة الاستقراء الرياضي على أنها طريقة الإثبات التالية. إذا كان مطلوبًا إثبات صحة الاقتراح A (n) لجميع n الطبيعي ، إذن ، أولاً ، يجب على المرء التحقق من حقيقة الاقتراح A (1) ، وثانيًا ، افتراض حقيقة الاقتراح A (k) ، حاول إثبات أن الاقتراح أ (ك +1) صحيح. إذا كان من الممكن إثبات ذلك ، وظل الدليل صالحًا لكل قيمة طبيعية لـ k ، إذن ، وفقًا لمبدأ الاستقراء الرياضي ، يتم التعرف على الاقتراح A (n) على أنه صحيح لجميع قيم n.

تستخدم طريقة الاستقراء الرياضي على نطاق واسع في إثبات النظريات ، والهويات ، وعدم المساواة ، في حل مشاكل القسمة ، في حل بعض المسائل الهندسية والعديد من المسائل الأخرى.

طريقة الاستقراء الرياضي في حل المسائل على

قابلية التجزئة

باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي ، يمكن للمرء أن يثبت عبارات مختلفة تتعلق بقسمة الأعداد الطبيعية.

يمكن إثبات التأكيد التالي بسهولة نسبية. دعونا نوضح كيف يتم الحصول عليها باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي.

مثال 1. إذا كان n عددًا طبيعيًا ، فسيكون الرقم زوجيًا.

بالنسبة إلى n = 1 بياننا صحيح: - عدد زوجي. لنفترض أن هذا رقم زوجي. منذ ذلك الحين ، يعد 2k عددًا زوجيًا ، إذن حتى في. لذلك ، تم إثبات التكافؤ لـ n = 1 ، يتم استنتاج التكافؤ من التكافؤ لذا ، حتى بالنسبة لجميع القيم الطبيعية لـ n.

مثال 2إثبات حقيقة الجملة

A (n) = (الرقم 5 هو مضاعف 19) ، n عدد طبيعي.

قرار.

العبارة أ (1) = (الرقم هو مضاعف 19) صحيح.

افترض أنه بالنسبة لبعض القيمة n = k

أ (ك) = (الرقم هو مضاعف 19) صحيح. ثم منذ ذلك الحين

من الواضح أن A (k + 1) صحيح أيضًا. في الواقع ، المصطلح الأول قابل للقسمة على 19 بحكم افتراض أن A (k) صحيح ؛ المصطلح الثاني أيضًا قابل للقسمة على 19 ، لأنه يحتوي على 19 عامل. تم استيفاء كلا الشرطين لمبدأ الاستقراء الرياضي ، وبالتالي ، فإن الاقتراح A (n) صحيح لجميع قيم n.

تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي ل

تلخيص متسلسل

مثال 1إثبات الصيغة

، n عدد طبيعي.

قرار.

بالنسبة إلى n = 1 ، يتحول كلا الجزأين من المساواة إلى جزء واحد ، وبالتالي يتم استيفاء الشرط الأول لمبدأ الاستقراء الرياضي.

افترض أن الصيغة صحيحة لـ n = k ، أي

.

دعونا نضيف إلى كلا الجانبين من هذه المساواة ونحول الجانب الأيمن. ثم نحصل

وبالتالي ، من حقيقة أن الصيغة صحيحة لـ n = k ، فهذا يعني أنها صحيحة بالنسبة لـ n = k + 1 أيضًا. هذه العبارة صحيحة لأي قيمة طبيعية لـ k. لذلك ، يتم أيضًا استيفاء الشرط الثاني من مبدأ الاستقراء الرياضي. تم إثبات الصيغة.

مثال 2إثبات أن مجموع أول n من الأعداد من المتسلسلة الطبيعية هو.

قرار.

دعونا نشير إلى المبلغ المطلوب ، أي .

بالنسبة إلى n = 1 ، فإن الفرضية صحيحة.

اسمحوا ان . دعونا نظهر ذلك .

بالفعل،

تم حل المشكلة.

مثال 3برهن على أن مجموع مربعات أول عدد n من المتسلسلة الطبيعية يساوي .

قرار.

اسمحوا ان .

.

دعونا نتظاهر بذلك . ثم

وأخيرا.

مثال 4اثبت ذلك .

قرار.

اذا ثم

مثال 5اثبت ذلك

قرار.

بالنسبة إلى n = 1 ، من الواضح أن الفرضية صحيحة.

اسمحوا ان .

دعنا نثبت ذلك.

هل حقا،

أمثلة على تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي

دليل على عدم المساواة

مثال 1إثبات ذلك لأي عدد طبيعي ن> 1

.

قرار.

دلالة على الجانب الأيسر من المتباينة بواسطة.

لذلك ، بالنسبة إلى n = 2 ، فإن المتباينة صحيحة.

دعونا لبعض ك. دعونا نثبت ذلك ثم و. نملك , .

المقارنة ونحن لدينا ، بمعنى آخر. .

بالنسبة لأي عدد صحيح موجب k ، يكون الجانب الأيمن من المساواة الأخيرة موجبًا. لذا . ولكن ، لذلك ، و.

مثال 2ابحث عن خطأ في التفكير.

إفادة. بالنسبة لأي n طبيعي ، فإن المتباينة صحيحة.

دليل - إثبات.

. (1)

دعنا نثبت أن عدم المساواة صالحة أيضًا لـ n = k + 1 ، أي

.

في الواقع ، 2 على الأقل لأي ك طبيعي. لنضيف المتباينة (1) إلى الطرف الأيسر ، و 2 إلى الطرف الأيمن ، فنحصل على متباينة عادلة ، أو . تم إثبات التأكيد.

مثال 3اثبت ذلك ، حيث> -1 ، ، n عدد طبيعي أكبر من 1.

قرار.

بالنسبة إلى n = 2 ، فإن المتباينة صحيحة ، منذ ذلك الحين.

دع عدم المساواة يكون صحيحًا لـ n = k ، حيث k هو عدد طبيعي ، أي

. (1)

دعنا نظهر أن عدم المساواة تكون صالحة أيضًا لـ n = k + 1 ، أي

. (2)

في الواقع ، من خلال الافتراض ، وبالتالي ، عدم المساواة

, (3)

تم الحصول عليها من المتباينة (1) بضرب كل جزء منها في. لنعد كتابة المتباينة (3) على النحو التالي:. بتجاهل الحد الموجب على الجانب الأيمن من المتراجحة الأخيرة ، نحصل على المتراجحة الصحيحة (2).

مثال 4اثبت ذلك

(1)

حيث ، n هو رقم طبيعي أكبر من 1.

قرار.

بالنسبة إلى n = 2 ، تأخذ المتباينة (1) الصيغة

. (2)

منذ ذلك الحين عدم المساواة

. (3)

بإضافة كل جزء من المتباينة (3) ، نحصل على المتباينة (2).

هذا يثبت أن المتباينة (1) تنطبق على n = 2.

دع المتباينة (1) تكون صالحة لـ n = k ، حيث k هي عدد طبيعي ، أي

. (4)

دعنا نثبت أن عدم المساواة (1) يجب أن تكون صالحة أيضًا لـ n = k + 1 ، أي

(5)

دعونا نضرب كلا جزأي المتباينة (4) في أ + ب. منذ ذلك الحين ، بشرط ، نحصل على عدم المساواة العادلة التالية:

. (6)

لإثبات عدم المساواة (5) ، يكفي إثبات ذلك

, (7)

أو ، وهو نفس الشيء ،

. (8)

عدم المساواة (8) يعادل عدم المساواة

. (9)

إذا ، إذن ، وعلى الجانب الأيسر من المتباينة (9) لدينا حاصل ضرب عددين موجبين. إذا ، إذن ، وعلى الجانب الأيسر من المتباينة (9) لدينا حاصل ضرب عددين سالبين. في كلتا الحالتين يكون التفاوت (9) صحيحًا.

هذا يثبت أن صحة عدم المساواة (1) لـ n = k تدل على صلاحيتها لـ n = k + 1.

طريقة الاستقراء الرياضي كما هي مطبقة على الآخرين

مهام

التطبيق الأكثر طبيعية لطريقة الاستقراء الرياضي في الهندسة ، بالقرب من استخدام هذه الطريقة في نظرية الأعداد والجبر ، هو التطبيق على حل المشكلات الحسابية الهندسية. لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة.

مثال 1احسب ضلع الصحيح - مربع مرسوم في دائرة نصف قطرها R.

قرار.

من أجل n = 2 صحيح 2ن - المربع هو مربع. جانبه. علاوة على ذلك ، وفقًا لصيغة المضاعفة

أوجد أن ضلع الشكل الثماني المنتظم ، جانب من مسدس منتظم ، وهو ضلع الزاوية العادية المكونة من 32 زاوية . لذلك يمكننا أن نفترض أن ضلع الضلع المنتظم المنقوش 2ن - مربع لأي يساوي

. (1)

لنفترض أن جانب حرف-نقش منتظم يتم التعبير عنه بالصيغة (1). في هذه الحالة ، من خلال صيغة المضاعفة

,

من أين تتبع تلك الصيغة (1) صالحة لجميع ن.

مثال 2كم عدد المثلثات التي يمكن تقسيم n-gon (ليس بالضرورة محدب) بواسطة أقطارها غير المتقاطعة؟

قرار.

بالنسبة للمثلث ، هذا الرقم يساوي واحدًا (لا يمكن رسم أقطار في مثلث) ؛ في الشكل الرباعي ، من الواضح أن هذا الرقم يساوي اثنين.

افترض أننا نعلم بالفعل أن كل k-gon ، حيث k 1 أ 2 ... أ ن في مثلثات.

ا ن

أ 1 أ 2

دع А 1 А k يكون أحد الأقطار لهذا القسم ؛ يقسم n-gon 1 А 2… А n إلى k-gon A 1 A 2… A k و (n-k + 2) -gon А 1 А k A k + 1 ... A n. وفقًا للافتراض الذي تم إجراؤه ، سيكون العدد الإجمالي لمثلثات التقسيم مساويًا لـ

(k-2) + [(n-k + 2) -2] = n-2 ؛

وبالتالي تم إثبات تأكيدنا للجميع n.

مثال 3حدد قاعدة لحساب عدد P (n) للطرق التي يمكن بها تقسيم n-gon المحدب إلى مثلثات بأقطار غير متقاطعة.

قرار.

بالنسبة للمثلث ، من الواضح أن هذا الرقم يساوي واحدًا: P (3) = 1.

لنفترض أننا حددنا بالفعل الأرقام P (k) لجميع k 1 أ 2 ... أ ن . بالنسبة لأي قسم منه إلى مثلثات ، يكون الجانب أ 1 أ 2 سيكون جانب أحد مثلثات التقسيم ، يمكن أن يتطابق الرأس الثالث لهذا المثلث مع كل نقطة من النقاط أ 3، А 4،…، А n . عدد طرق تقسيم n-gon الذي يتزامن فيه هذا الرأس مع النقطة A 3 ، يساوي عدد طرق تثليث (n-1) -gon A 1 أ 3 أ 4 ... أ ن ، بمعنى آخر. يساوي P (ن -1). عدد طرق التقسيم التي يتطابق فيها هذا الرأس مع A. 4 ، يساوي عدد طرق تقسيم (n-2) -gon A. 1 أ 4 أ 5 ... أ ن ، بمعنى آخر. يساوي P (n-2) = P (n-2) P (3) ؛ عدد طرق التقسيم التي يتزامن بها مع A. 5 ، تساوي P (n-3) P (4) ، لأن كل قسم من أقسام (n-3) -gon A 1 أ 5 ... أ ن يمكن دمجها مع كل قسم من أقسام الرباعي أ 2 أ 3 أ 4 أ 5 ، إلخ. وهكذا نصل إلى العلاقة التالية:

Р (n) = P (n-1) + P (n-2) P (3) + P (n-3) P (4) +… + P (3) P (n-2) + P (n -واحد).

باستخدام هذه الصيغة ، نحصل على:

الفوسفور (4) = الفوسفور (3) + الفوسفور (3) = 2 ،

الفوسفور (5) = الفوسفور (4) + الفوسفور (3) الفوسفور (3) + الفوسفور (4) +5 ،

الفوسفور (6) = الفوسفور (5) + الفوسفور (4) الفوسفور (3) + الفوسفور (3) الفوسفور (4) + الفوسفور (5) = 14

إلخ.

أيضًا ، باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي ، يمكنك حل مشاكل الرسوم البيانية.

دع شبكة من الخطوط على المستوى ، تربط بعض النقاط مع بعضها البعض وليس لها نقاط أخرى. سوف نسمي شبكة الخطوط هذه خريطة ، معطاة النقاط حسب رؤوسها ، وأجزاء المنحنيات بين رأسين متجاورين - حدود الخريطة ، وأجزاء من المستوى التي يتم تقسيمها إليها حسب الحدود - بلدان الخريطة.

دع بعض الخريطة توضع على الطائرة. سنقول إنه ملون بشكل صحيح إذا تم رسم كل بلد من بلدانه بلون معين ، وأي دولتين تشتركان في حدود مشتركة مرسومة بألوان مختلفة.

مثال 4هناك n من الدوائر على المستوى. إثبات أنه لأي ترتيب لهذه الدوائر ، يمكن تلوين الخريطة التي شكلوها بشكل صحيح بلونين.

قرار.

بالنسبة إلى n = 1 ، فإن تأكيدنا واضح.

لنفترض أن بياننا صحيح بالنسبة لأي خريطة تكونت من دوائر n ، ودع n + 1 تظهر على المستوى. من خلال إزالة إحدى هذه الدوائر ، نحصل على خريطة ، وفقًا للافتراض الذي تم التوصل إليه ، يمكن تلوينها بشكل صحيح بلونين ، على سبيل المثال ، الأسود والأبيض.

سافيليفا ايكاترينا

تتناول الورقة تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي في حل مسائل القابلية للقسمة على جمع السلاسل. يتم النظر في أمثلة لتطبيق طريقة الاستقراء الرياضي لإثبات عدم المساواة وحل المشكلات الهندسية. العمل موضح مع عرض تقديمي.

تحميل:

معاينة:

وزارة العلوم والتعليم في الاتحاد الروسي

مؤسسة تعليمية حكومية

الثانوية العامة رقم 618

الدورة: الجبر وبدايات التحليل

موضوع عمل المشروع

"طريقة الاستقراء الرياضي وتطبيقه في حل المشكلات"

انتهى العمل: Savelyeva E، 11B class

مشرف : ماكاروفا تي بي ، معلمة رياضيات ، المدرسة الثانوية №618

1 المقدمة.

2- أسلوب الاستقراء الرياضي في حل مسائل القسمة.

3. تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي على جمع السلاسل.

4. أمثلة على تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي لإثبات عدم المساواة.

5. تطبيق أسلوب الاستقراء الرياضي في حل المسائل الهندسية.

6. قائمة الأدب المستخدم.

مقدمة

الطرق الاستنتاجية والاستقرائية هي أساس أي بحث رياضي. الطريقة الاستنتاجية في الاستدلال هي الاستدلال من العام إلى الخاص ، أي الاستدلال ، ونقطة البداية التي تكون النتيجة العامة ، والنقطة النهائية هي النتيجة الخاصة. يتم تطبيق الاستقراء عند الانتقال من نتائج معينة إلى نتائج عامة ، أي هو عكس الطريقة الاستنتاجية. يمكن مقارنة طريقة الاستقراء الرياضي بالتقدم. نبدأ من الأدنى ، نتيجة للتفكير المنطقي نصل إلى الأعلى. لقد سعى الإنسان دائمًا إلى التقدم ، من أجل القدرة على تطوير فكره بشكل منطقي ، مما يعني أن الطبيعة نفسها قد وجهته إلى التفكير الاستقرائي. على الرغم من أن مجال تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي قد نما ، إلا أن القليل من الوقت يخصص لها في المناهج المدرسية ، ولكن من المهم جدًا أن تكون قادرًا على التفكير بشكل استقرائي. إن تطبيق هذا المبدأ في حل المشكلات وإثبات النظريات على قدم المساواة مع الاعتبار في الممارسة المدرسية للمبادئ الرياضية الأخرى: الوسط المستبعد ، والاستبعاد والاستبعاد ، و Dirichlet ، وما إلى ذلك. يحتوي هذا المقال على مشاكل من فروع مختلفة من الرياضيات ، حيث الأداة الرئيسية هي طريقة استخدام الاستقراء الرياضي. يتحدث عن أهمية هذه الطريقة ، أ. وأشار كولموغوروف إلى أن "الفهم والقدرة على تطبيق مبدأ الاستقراء الرياضي هو معيار جيد للنضج ، وهو أمر ضروري للغاية لعالم الرياضيات." تتكون طريقة الاستقراء بمعناها الأوسع في الانتقال من الملاحظات الخاصة إلى نمط عام أو عام أو صياغة عامة. في هذا التفسير ، تعد الطريقة ، بالطبع ، التقنية الرئيسية لإجراء البحوث في أي علم طبيعي تجريبي.

الأنشطة البشرية. يتم استخدام طريقة (مبدأ) الاستقراء الرياضي في أبسط أشكاله عندما يكون من الضروري إثبات بيان لجميع الأعداد الطبيعية.

المشكلة 1. في مقالته "كيف أصبحت عالم رياضيات" أ. يكتب كولموغوروف: "لقد تعلمت متعة" الاكتشاف "الرياضي مبكرًا ، بعد أن لاحظت في سن الخامسة أو السادسة النمط

1 =1 2 ,

1 + 3 = 2 2 ,

1 + 3 + 5 \ u003d W 2 ،

1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 وهكذا.

أصدرت المدرسة مجلة "Spring Swallows". في ذلك ، تم نشر اكتشافي ... "

لا نعرف أي نوع من الإثبات تم تقديمه في هذه المجلة ، لكن كل شيء بدأ بملاحظات خاصة. الفرضية نفسها ، والتي ربما نشأت بعد اكتشاف هذه المساواة الجزئية ، هي أن الصيغة

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = ن 2

صحيح لأي رقم معينن = 1 ، 2 ، 3 ، ...

لإثبات هذا التخمين ، يكفي إثبات حقيقتين. أولا من أجل n = 1 (وحتى بالنسبة لـ n = 2 ، 3 ، 4) العبارة المطلوبة صحيحة. ثانيًا ، افترض أن العبارة صحيحةن = ك ، وتحقق من صحة ذلك أيضًان = ك + 1:

1 + 3 + 5 + ... + (2 ك - 1) + (2 ك + 1) = (1 + 3 + 5 + ... + (2 ك - 1)) + (2 ك + 1) = ك 2 + (2 ك + 1) = (ك + أنا) 2.

ومن ثم ، فإن التأكيد الذي يتم إثباته صحيح بالنسبة لجميع القيم n: لـ n = 1 - صحيح (تم التحقق منه) ، وبحكم الحقيقة الثانية ، لن = 2 ، من أين ن = 3 (بسبب نفس الحقيقة الثانية) ، إلخ.

المشكلة الثانية: ضع في اعتبارك جميع الكسور العادية المحتملة ذات البسط 1 وأي منها (عدد صحيح موجب)

المقام: إثبات ذلك لأين> يمكن تمثيل 3 كمجموعص كسور مختلفة من هذا النوع.

قرار، دعونا أولا التحقق من هذا التأكيد لن = 3 ؛ نملك:

لذلك ، يتم استيفاء التأكيد الأساسي

افترض الآن أن بيان الاهتمام بالنسبة لنا صحيح بالنسبة لبعض الأرقامل، وإثبات أنه صحيح أيضًا بالنسبة للرقم الذي يليهل + 1. بمعنى آخر ، افترض أن هناك تمثيلاً

فيه ك المصطلحات وجميع القواسم مختلفة. دعنا نثبت أنه عندئذٍ يمكن الحصول على تمثيل للوحدة في شكل مبلغ منل + 1 كسور من النوع المطلوب. سنفترض أن الكسور تتناقص ، أي القواسم (في تمثيل الوحدة بالمجموعل شروط) زيادة من اليسار إلى اليمين بحيثر هي أكبر القواسم. سوف نحصل على التمثيل الذي نحتاجه في شكل مبلغ(ل + 1) الكسر ، إذا قسمنا كسرًا واحدًا ، على سبيل المثال الأخير ، إلى قسمين. يمكن القيام بذلك بسبب

وبالتالي

بالإضافة إلى ذلك ، تظل جميع الكسور مختلفة ، منذ ذلك الحينر كان المقام الأكبر ، و t + 1> t ، و

م (ر + 1)> م.

وهكذا ، فقد أنشأنا:

1. لـ n = 3 هذا البيان صحيح ؛

1. إذا كانت العبارة التي نهتم بها صحيحةل،
   ثم هذا صحيح أيضا لإلى + 1.

على هذا الأساس ، يمكننا أن نؤكد أن العبارة قيد النظر صحيحة لجميع الأعداد الطبيعية ، بدءًا من ثلاثة. علاوة على ذلك ، يتضمن الدليل أعلاه أيضًا خوارزمية للعثور على القسم المطلوب للوحدة. (ما هذه الخوارزمية؟ تخيل الرقم 1 كمجموع 4 ، 5 ، 7 حدود بنفسك.)

في حل المشكلتين السابقتين ، تم اتخاذ خطوتين. الخطوة الأولى تسمىأساس الحث الثانيالانتقال الاستقرائيأو خطوة التعريفي. الخطوة الثانية هي الأهم ، وهي تتضمن افتراضًا (العبارة صحيحة بالنسبة لـن = ك) والاستنتاج (البيان صحيح لن = ك + 1). المعلمة p نفسها تسمى معلمة الاستقراء.يُطلق على هذا المخطط المنطقي (الجهاز) ، الذي يجعل من الممكن استنتاج أن العبارة قيد الدراسة صحيحة بالنسبة لجميع الأعداد الطبيعية (أو للجميع ، بدءًا من البعض) ، نظرًا لأن كلا من الأساس والانتقال صالحان ،مبدأ الاستقراء الرياضي ،على أي و تعتمد طريقة الاستقراء الرياضي.مصطلح "الاستقراء" نفسه يأتي من الكلمة اللاتينيةالحث (التوجيه) ، وهو ما يعني الانتقال من المعرفة الفردية حول الكائنات الفردية لفئة معينة إلى استنتاج عام حول جميع كائنات فئة معينة ، والتي تعد إحدى الطرق الرئيسية للمعرفة.

ظهر مبدأ الاستقراء الرياضي ، بالشكل المعتاد من خطوتين ، لأول مرة عام 1654 في رسالة بليز باسكال حول المثلث الحسابي ، حيث تم إثبات طريقة بسيطة لحساب عدد التوليفات (المعاملات ذات الحدين) عن طريق الاستقراء. يقتبس D.Poya من B.Pascal في الكتاب مع إدخال تغييرات طفيفة بين قوسين معقوفين:

"على الرغم من حقيقة أن الاقتراح قيد النظر [صيغة صريحة للمعاملات ذات الحدين] يحتوي على عدد لا حصر له من الحالات الخاصة ، سأقدم دليلًا قصيرًا جدًا على ذلك ، استنادًا إلى اثنين من lemmas.

تنص اللمة الأولى على أن التخمين صحيح بالنسبة للقاعدة - وهذا واضح. [فيص = 1 الصيغة الصريحة صالحة ...]

تنص اللمة الثانية على ما يلي: إذا كان افتراضنا صحيحًا بالنسبة لقاعدة عشوائية [لـ r التعسفي] ، فسيكون ذلك صحيحًا بالنسبة للقاعدة التالية [لـن + 1].

يشير هذان اللذان بالضرورة إلى صحة الاقتراح لجميع القيمص. في الواقع ، بحكم اللمة الأولى ، فهي صالحة لص = 1 ؛ لذلك ، بحكم اللمة الثانية ، فهي صالحة لص = 2 ؛ لذلك ، مرة أخرى بحكم اللمة الثانية ، فهي صالحة لن = 3 وهكذا إلى ما لا نهاية.

المشكلة 3. تتكون أبراج أحجية هانوي من ثلاثة قضبان. يوجد على أحد القضبان هرم (الشكل 1) ، يتكون من عدة حلقات بأقطار مختلفة ، يتناقص من أسفل إلى أعلى

رسم بياني 1

يجب نقل هذا الهرم إلى أحد القضبان الأخرى ، مع نقل حلقة واحدة فقط في كل مرة وعدم وضع الحلقة الأكبر على الحلقة الأصغر. ويمكن أن يتم ذلك؟

قرار. لذا نحتاج للإجابة على السؤال: هل من الممكن أن يتحرك هرم مكون منص حلقات بأقطار مختلفة ، من قضيب إلى آخر ، مع اتباع قواعد اللعبة؟ الآن المشكلة ، كما يقولون ، تم تحديدها من قبلنا (رقم طبيعيف) ، ويمكن حلها عن طريق الاستقراء الرياضي.

1. قاعدة الاستقراء. لـ n = 1 ، كل شيء واضح ، حيث من الواضح أنه يمكن نقل هرم من حلقة واحدة إلى أي قضيب.
2. خطوة الاستقراء. افترض أنه يمكننا تحريك أي أهرامات بعدد الحلقاتع = ك.
   دعونا نثبت أنه يمكننا أيضًا نقل منتصف الهرم منن = ك + 1.

الهرم من إلى حلقات ملقاة على اكبر(ل + 1) الحلقة الثالثة ، يمكننا ، حسب الافتراض ، الانتقال إلى أي محور آخر. دعنا نقوم به. بلا حراك(ل + 1) لن تتدخل الحلقة الخامسة معنا في تنفيذ خوارزمية الإزاحة ، لأنها الأكبر. بعد التحركل الخواتم ، تحرك هذا أكبر(ل + 1) الحلقة على القضيب المتبقي. ثم نطبق مرة أخرى الخوارزمية المتحركة المعروفة لنا بالافتراض الاستقرائيل حلقات ، وانقلهم إلى العصا مع(ل + 1) الحلقة رقم. وهكذا ، إذا استطعنا تحريك الأهرامات معهال حلقات ، ثم يمكننا تحريك الأهرامات ول + 1 حلقات. لذلك ، وفقًا لمبدأ الاستقراء الرياضي ، من الممكن دائمًا تحريك الهرم المكون منحلقات n ، حيث n> 1.

طريقة الاستقراء الرياضي في حل مسائل القسمة.

باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي ، يمكن للمرء أن يثبت عبارات مختلفة تتعلق بقسمة الأعداد الطبيعية.

المهمة 4 . إذا كان n عددًا طبيعيًا ، فسيكون الرقم زوجيًا.

بالنسبة إلى n = 1 بياننا صحيح: - عدد زوجي. لنفترض أن هذا رقم زوجي. بما أن 2k عدد زوجي ، فهو كذلك. لذلك ، تم إثبات التكافؤ لـ n = 1 ، يتم استنتاج التكافؤ من التكافؤ ، وبالتالي ، حتى بالنسبة لجميع القيم الطبيعية لـ n.

المهمة 3. إثبات أن الرقم Z 3 + 3 - 26 ن - 27 مع طبيعي تعسفين يقبل القسمة على 26 2 بدون الباقي.

قرار. دعونا أولاً نثبت عن طريق استقراء تأكيد إضافي أن 3 3n + 3 1 يقبل القسمة على 26 مع عدم وجود الباقين> 0.

1. قاعدة الاستقراء. بالنسبة إلى n = 0 لدينا: Z 3 - 1 \ u003d 26 - مقسومًا على 26.

خطوة الاستقراء. افترض 3 3n + 3 - 1 يقبل القسمة على 26 عندمان = ك ، و دعونا نثبت أنه في هذه الحالة سيكون التأكيد صحيحًان = ك + 1. منذ 3

ثم من الافتراض الاستقرائي نستنتج أن الرقم 3 3k + 6-1 يقبل القسمة على 26.

دعونا الآن نثبت التأكيد الذي تمت صياغته في حالة المشكلة. ومرة أخرى عن طريق الاستقراء.

1. قاعدة الاستقراء. من الواضح أن فين = بيان واحد صحيح: منذ 3 3+3 - 26 - 27 = 676 = 26 2 .
2. خطوة الاستقراء. لنفترض ذلك فين = ك
   التعبير 3 3k + 3 - 26 ك - 27 يقبل القسمة على 26 2 بدون باقي ، وإثبات صحة التأكيدن = ك + 1,
   أي هذا الرقم

يقبل القسمة على 26 2 دون أن يترك أثرا. في المجموع الأخير ، يتم قسمة كلا الحدين دون الباقي على 26 2 . الأول لأننا أثبتنا أن التعبير الموجود بين قوسين يقبل القسمة على 26 ؛ الثانية ، من خلال الفرضية الاستقرائية. بحكم مبدأ الاستقراء الرياضي ، تم إثبات البيان الضروري تمامًا.

تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي على جمع السلاسل.

المهمة 5. إثبات الصيغة

N عدد طبيعي.

قرار.

بالنسبة إلى n = 1 ، يتحول كلا الجزأين من المساواة إلى جزء واحد ، وبالتالي يتم استيفاء الشرط الأول لمبدأ الاستقراء الرياضي.

افترض أن الصيغة صحيحة لـ n = k ، أي

دعونا نضيف إلى كلا الجانبين من هذه المساواة ونحول الجانب الأيمن. ثم نحصل

وبالتالي ، من حقيقة أن الصيغة صحيحة لـ n = k ، فهذا يعني أنها صحيحة بالنسبة لـ n = k + 1 أيضًا. هذه العبارة صحيحة لأي قيمة طبيعية لـ k. لذلك ، يتم أيضًا استيفاء الشرط الثاني من مبدأ الاستقراء الرياضي. تم إثبات الصيغة.

مهمة 6. يتم كتابة رقمين على السبورة: 1.1. بإدخال مجموعها بين الأرقام ، نحصل على الأرقام 1 ، 2 ، 1. وبتكرار هذه العملية مرة أخرى ، نحصل على الأرقام 1 ، 3 ، 2 ، 3 ، 1. بعد ثلاث عمليات ، ستكون الأرقام 1 ، 4 ، 3 ، 5 ، 2 ، 5 ، 3 ، 4 ، 1. ماذا سيكون مجموع كل الأرقام على السبورة بعد 100 عملية؟

قرار. افعل كل 100 تستغرق العمليات وقتًا طويلاً وتستغرق وقتًا طويلاً. إذن ، علينا محاولة إيجاد صيغة عامة لمجموع Sأرقام بعد ن عمليات. لنلق نظرة على الجدول:

هل لاحظت أي نمط هنا؟ إذا لم يكن الأمر كذلك ، يمكنك اتخاذ خطوة أخرى: بعد أربع عمليات ، ستكون هناك أرقام

1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1,

مجموعهم S 4 يساوي 82.

في الواقع ، لا يمكنك كتابة أرقام ، ولكن قل على الفور كيف سيتغير المجموع بعد إضافة أرقام جديدة. دع المجموع يساوي 5. ماذا سيصبح عند إضافة أرقام جديدة؟ دعنا نقسم كل رقم جديد إلى مجموع رقمين قديمين. على سبيل المثال ، من 1 ، 3 ، 2 ، 3 ، 1 نذهب إلى 1 ،

1 + 3, 3, 3 + 2, 2, 2 + 3, 3, 3 + 1, 1.

أي أن كل رقم قديم (باستثناء الرقمين المتطرفين) يدخل الآن المجموع ثلاث مرات ، وبالتالي فإن المجموع الجديد هو 3S - 2 (اطرح 2 لأخذ الوحدات المفقودة في الاعتبار). لذلك فإن S. 5 = 3S 4 - 2 = 244 وبشكل عام

ما هي الصيغة العامة؟ إذا لم يكن الأمر يتعلق بطرح وحدتين ، فسيزيد المجموع ثلاث مرات في كل مرة ، كما هو الحال في قوى الثلاثية (1 ، 3 ، 9 ، 27 ، 81 ، 243 ، ...). وأرقامنا ، كما ترون الآن ، هي رقم واحد آخر. وبالتالي ، يمكن افتراض ذلك

دعونا الآن نحاول إثبات ذلك عن طريق الاستقراء.

قاعدة الاستقراء. انظر الجدول (لن = 0 ، 1 ، 2 ، 3).

خطوة الاستقراء. دعونا نتظاهر بذلك

دعونا نثبت ذلك بعد ذلك S إلى + 1 \ u003d Z إلى + 1 + 1.

هل حقا،

لذلك ، تم إثبات صيغتنا. يوضح أنه بعد مائة عملية ، سيكون مجموع كل الأرقام على السبورة مساويًا لـ 3 100 + 1.

ضع في اعتبارك مثالًا رائعًا لتطبيق مبدأ الاستقراء الرياضي ، حيث تحتاج أولاً إلى إدخال معلمتين طبيعيتين ثم إجراء الاستقراء على مجموعهما.

مهمة 7. إثبات أن إذا= 2 ، × 2 = 3 ولكل طبيعين> 3

x n \ u003d Zx n - 1 - 2x n - 2 ،

من ثم

2 ن - 1 + 1 ، ن = 1 ، 2 ، 3 ، ...

قرار. لاحظ أنه في هذه المشكلة التسلسل الأولي للأرقام(x ن) يتم تحديده عن طريق الاستقراء ، حيث يتم إعطاء شروط تسلسلنا ، باستثناء أول اثنين ، بشكل استقرائي ، أي من خلال المتواليات السابقة. يتم استدعاء التسلسلات المعطاةمتكرر، وفي حالتنا يتم تحديد هذا التسلسل (من خلال تحديد أول شرطين) بطريقة فريدة.

قاعدة الاستقراء. يتكون من فحص تأكيدين:ن = 1 و ن = 2. ب في كلتا الحالتين ، يكون التأكيد صحيحًا من خلال الافتراض.

خطوة الاستقراء. لنفترض أنن = ك - 1 و ن = ك يتم التأكيد ، وهذا هو

دعونا نثبت بعد ذلك التأكيد علىن = ك + 1. لدينا:

× 1 = 3 (2 + 1) - 2 (2 + 1) = 2 + 1 ، والتي كان من المقرر إثباتها.

المهمة 8. إثبات أن أي رقم طبيعي يمكن تمثيله كمجموع لعدة أعضاء مختلفين من التسلسل المتكرر لأرقام فيبوناتشي:

لـ k> 2.

قرار. دعونا p - عدد طبيعي. سنجري الاستقراء علىص.

قاعدة الاستقراء. لـ n = العبارة 1 صحيحة ، لأن الوحدة هي نفسها رقم فيبوناتشي.

خطوة الاستقراء. افترض أن كل الأعداد الطبيعية أقل من بعض الأعدادف يمكن تمثيلها كمجموع لعدة شروط مختلفة من متتالية فيبوناتشي. أوجد أكبر عدد فيبوناتشي F ر ، لا يتعدى لا يتجاوزص ؛ لذلك F t n و F t +1> n.

بقدر ما

بواسطة فرضية الاستقراء ، العددص- و ت يمكن تمثيلها كمجموع 5 أعضاء مختلفين من متتالية فيبوناتشي ، ومن المتباينة الأخيرة ، يترتب على ذلك أن جميع أعضاء متتالية فيبوناتشي المتضمنة في مجموع 8 أقل من F ت. لذلك ، يتم توسيع العددن = 8 + و ر يفي بحالة المشكلة.

أمثلة على تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي لإثبات عدم المساواة.

المهمة 9. (عدم مساواة برنولي).إثبات ذلك متى x> -1 ، x 0 ، وللعدد الصحيح n> 2 عدم المساواة

(1 + س) ن> 1 + س.

قرار. سنقوم مرة أخرى بالإثبات عن طريق الاستقراء.

1. قاعدة الاستقراء. دعونا نتحقق من صحة عدم المساواة لن = 2. في الواقع ،

(1 + س) 2 = 1 + 2 س + س 2> 1 + 2 س.

2. خطوة الاستقراء. لنفترض ذلك بالنسبة للرقمن = ك البيان صحيح ، هذا هو

(1 + س) ك> 1 + س ك ،

حيث k> 2. نثبت ذلك من أجل n = k + 1. لدينا: (1 + x) k + 1 = (1 + x) k (1 + x)> (1 + kx) (1 + x) =

1 + (ك + 1) س + ك س 2> 1 + (ك + 1) س.

لذلك ، بناءً على مبدأ الاستقراء الرياضي ، يمكن القول بأن عدم المساواة في برنولي صالحة لأين> 2.

ليس دائمًا في ظروف حل المشكلات باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي ، فالقانون العام الذي يجب إثباته قد تمت صياغته بوضوح. في بعض الأحيان يكون من الضروري ، من خلال ملاحظة حالات معينة ، اكتشاف (تخمين) القانون العام الذي تؤدي إليه ، وبعد ذلك فقط إثبات الفرضية المذكورة عن طريق الاستقراء الرياضي. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن إخفاء متغير الحث ، وقبل حل المشكلة ، من الضروري تحديد المعلمة التي سيتم تنفيذ الحث. كأمثلة ، ضع في اعتبارك المهام التالية.

المشكلة 10. إثبات ذلك

لأي طبيعين> 1.

قرار، دعنا نحاول إثبات عدم المساواة عن طريق الاستقراء الرياضي.

يتم التحقق من أساس الاستقراء بسهولة: 1+

من خلال الفرضية الاستقرائية

ويبقى لنا إثبات ذلك

باستخدام الفرضية الاستقرائية ، سوف نؤكد ذلك

على الرغم من أن هذه المساواة صحيحة في الواقع ، إلا أنها لا تقدم لنا حلاً للمشكلة.

دعنا نحاول إثبات تأكيد أقوى مما هو مطلوب في المشكلة الأصلية. وبالتحديد سوف نثبت ذلك

قد يبدو أن إثبات هذا التأكيد عن طريق الاستقراء أمر ميؤوس منه.

ومع ذلك ، في p = 1 لدينا: البيان صحيح. لتبرير الخطوة الاستقرائية ، افترض ذلك

وبعد ذلك سنثبت ذلك

هل حقا،

وهكذا ، فقد أثبتنا تأكيدًا أقوى ، يأتي منه التأكيد الوارد في حالة المشكلة على الفور.

الشيء المفيد هنا هو أنه على الرغم من أنه كان علينا إثبات تأكيد أقوى مما هو مطلوب في المشكلة ، يمكننا أيضًا استخدام افتراض أقوى في الخطوة الاستقرائية. يوضح هذا أن التطبيق المباشر لمبدأ الاستقراء الرياضي لا يؤدي دائمًا إلى الهدف.

يسمى الموقف الذي نشأ في حل المشكلةمفارقة المخترع.المفارقة نفسها هي أنه يمكن تنفيذ الخطط الأكثر تعقيدًا بنجاح أكبر إذا كانت تستند إلى فهم أعمق لجوهر الأمر.

المشكلة 11. إثبات أن 2m + n - 2m لأي طبيعييكتب.

قرار. هنا لدينا خياران. لذلك ، يمكنك محاولة تنفيذ ما يسمى بالحث المزدوج(تحريض داخل الاستقراء).

سنقوم بتنفيذ الاستدلال الاستقرائيص.

1. قاعدة الاستقراء حسب ص.لـ n = 1 بحاجة للتحقق من ذلك 2 ر ~ 1> ر. لإثبات عدم المساواة ، نستخدم الاستقراء فير.

أ) قاعدة الاستقراء بالمجلد.ل = 1 قيد التقدم
المساواة ، وهو أمر مقبول.

ب) خطوة الحث حسب t.لنفترض ذلك فير = ك البيان صحيح ، هذا هو 2 ك ~ 1> ك. ثم يصل
دعنا نقول أن التأكيد صحيح حتى لوم = ك + 1.
نملك:

في الطبيعي ك.

وهكذا ، فإن اللامساواة 2 أداؤها لأي طبيعير.

2. خطوة الاستقراء حسب البنداختيار وإصلاح بعض الأرقام الطبيعيةر. لنفترض ذلك فين = أنا العبارة صحيحة (للحصول علىر) ، أي 2 ر +1 ~ 2> t1 ، وإثبات أن التأكيد سيكون صحيحًا لن = ل + 1.
نملك:

لأي طبيعييكتب.

لذلك ، بناءً على مبدأ الاستقراء الرياضي (وفقًا لـع) بيان المشكلة صحيح لأيص ولأي ثابتر. وبالتالي ، فإن هذا التفاوت ينطبق على أي طبيعييكتب.

المشكلة 12. دعونا m و n و k هي أعداد طبيعية ، ور> ص أي من الرقمين أكبر:

في كل تعبيرل علامات الجذر التربيعي ،ر و ن بديل.

قرار. دعونا أولا نثبت بعض التأكيد المساعد.

ليما. لأي طبيعي t و n (t> n) وغير سالب (ليس بالضرورة عدد صحيح) X عدم المساواة

دليل - إثبات. ضع في اعتبارك عدم المساواة

هذه المتباينة صحيحة لأن كلا العاملين على الجانب الأيسر موجبان. عند توسيع الأقواس والتحويل نحصل على:

بأخذ الجذر التربيعي لجزئي المتباينة الأخيرة ، نحصل على تأكيد اللمة. لذلك تم إثبات اللمة.

الآن دعنا ننتقل إلى حل المشكلة. دعنا نشير إلى أول هذه الأرقام بواسطةأ، والثاني من خلالب الى. دعنا نثبت أن أ لأي طبيعيل. سيتم إجراء الإثبات بطريقة الاستقراء الرياضي بشكل منفصل للزوج والفردل.

قاعدة الاستقراء. ل = 1 لدينا عدم المساواة

y [t> y / n ، وهو ما يصح لكونهم> ن. = 2 ، يتم الحصول على النتيجة المرجوة من اللمة المثبتة بالتعويضس = 0.

خطوة الاستقراء. افترض ، بالنسبة للبعضإلى المتباينة أ> ب إلى معرض. دعنا نثبت ذلك

من افتراض الاستقراء ورتابة الجذر التربيعي ، لدينا:

من ناحية أخرى ، فإنه يترتب على ذلك من اللمة المثبتة

بدمج المتراجعتين الأخيرتين ، نحصل على:

وفقًا لمبدأ الاستقراء الرياضي ، تم إثبات التأكيد.

المهمة 13. (عدم المساواة كوشي).إثبات ذلك لأي أرقام موجبة ... ،أ ص عدم المساواة

قرار. بالنسبة إلى n = 2 المتباينة

يعتبر الوسط الحسابي والمتوسط ​​الهندسي (لرقمين) معروفين. اسمحوا انن = 2 ، ك = 1 ، 2 ، 3 ، ... ونفذ الاستقراء أولاًل. أساس هذا الاستقراء قائم ، بافتراض أن عدم المساواة المرغوبة قد تم تأسيسها بالفعلن = 2 ، سوف نثبت ذلك من أجلص = 2. لدينا (باستخدام المتباينة لرقمين):

لذلك ، من خلال فرضية الاستقراء

وهكذا ، من خلال الاستقراء على k ، أثبتنا عدم المساواة للجميعص 9 وهي قوى لاثنين.

لإثبات عدم المساواة في القيم الأخرىص سنستخدم "الاستقراء" ، أي أننا سنثبت أنه إذا تم استيفاء عدم المساواة من أجل التعسفي غير السلبيص الأرقام ، فهي صالحة أيضًا لـ(ص - 1) رقم عشر. للتحقق من ذلك ، نلاحظ أنه وفقًا للافتراض الذي تم إجراؤه ، لـص الأرقام ، عدم المساواة

أي ، أ ر + أ 2 + ... + أ ن _ س> (ن - 1) أ. تقسيم كلا الجزأين إلىص - 1 نحصل على المتباينة المطلوبة.

لذلك ، أثبتنا أولًا أن المتباينة صالحة لعدد لا نهائي من القيم الممكنةف ثم أظهر أنه إذا استمر عدم المساواةص الأرقام ، فهي صالحة أيضًا لـ(ص - 1) أرقام. من هذا نستنتج الآن أن متباينة كوتي تنطبق على مجموعة منص أي أرقام غير سالبة لأين = 2 ، 3 ، 4 ، ...

المشكلة 14. (D. Uspensky.) لأي مثلث ABC زواياه = CAB = CBA متكافئة ، هناك تفاوتات

قرار. الزوايا والقابلة للقياس ، مما يعني (بالتعريف) أن هذه الزوايا لها مقياس مشترك حيث = p ، = (p ، q هي أرقام طبيعية للجريمة).

دعونا نستخدم طريقة الاستقراء الرياضي ونرسمه على المجموعن = ص + ف أرقام طبيعية للجريمة ..

قاعدة الاستقراء. بالنسبة إلى p + q = 2 ، لدينا: p = 1 و q = 1. ثم المثلث ABC متساوي الساقين ، والمتباينات الضرورية واضحة: إنها تأتي من متباينة المثلث

خطوة الاستقراء. افترض الآن أنه تم إنشاء التفاوتات المرغوبة لـ p + q = 2 ، 3 ، ... ،ك - 1 ، حيث ك> 2. دعونا نثبت أن التفاوتات صالحة أيضًاع + ف = ك.

دع ABC هو مثلث معطى> 2. ثم الجانبين AC و BC لا يمكن أن تكون متساوية: دعونا AC> BC. لنقم الآن ببناء مثلث متساوي الساقين ، كما في الشكل 2 ABC. نملك:

AC \ u003d DC و AD \ u003d AB + BD ، لذلك ،

2AC> AB + BD (1)

فكر الآن في المثلث VDC ، زواياه قابلة للمقارنة أيضًا:

DCB = (ف - ع) ، BDC = ص.

أرز. 2

هذا المثلث يلبي الافتراض الاستقرائي ، وبالتالي

(2)

بإضافة (1) و (2) ، لدينا:

2AC + BD>

وبالتالي

من نفس المثلث WBS من خلال فرضية الاستقراء نستنتج ذلك

بالنظر إلى عدم المساواة السابقة ، نستنتج ذلك

وبالتالي ، يتم الحصول على الانتقال الاستقرائي ، ويتبع بيان المشكلة من مبدأ الاستقراء الرياضي.

تعليق. يظل بيان المشكلة ساريًا حتى عندما لا يمكن قياس الزاويتين (أ) و (ب). في أساس الاعتبار في الحالة العامة ، يتعين علينا بالفعل تطبيق مبدأ رياضي مهم آخر - مبدأ الاستمرارية.

المشكلة 15. عدة خطوط مستقيمة تقسم المستوى إلى أجزاء. إثبات أنه من الممكن تلوين هذه الأجزاء باللون الأبيض

والألوان السوداء بحيث تكون الأجزاء المجاورة التي لها جزء حد مشترك بألوان مختلفة (كما في الشكل 3 عندمان = 4).

صورة 3

قرار. نستخدم الاستقراء على عدد الخطوط. لذا دعص - عدد الخطوط التي تقسم الطائرة إلى أجزاء ،ن> 1.

قاعدة الاستقراء. إذا كان هناك واحد فقط على التوالي(ص = 1) ، ثم يقسم الطائرة إلى نصفين ، أحدهما يمكن تلوينه باللون الأبيض والآخر باللون الأسود ، ويكون بيان المشكلة صحيحًا.

خطوة الاستقراء. لجعل إثبات الخطوة الاستقرائية أكثر وضوحًا ، ضع في اعتبارك عملية إضافة سطر جديد. إذا رسمنا الخط الثاني(ص= 2) ، ثم نحصل على أربعة أجزاء يمكن تلوينها بالطريقة المرغوبة عن طريق طلاء الزوايا المقابلة بنفس اللون. لنرى ماذا سيحدث إذا رسمنا الخط المستقيم الثالث. سوف يقسم بعض الأجزاء "القديمة" ، بينما ستظهر أقسام جديدة من الحدود ، يكون اللون على كلا الجانبين متماثلًا (الشكل 4).

أرز. 4

دعنا ننتقل على النحو التالي:جانب واحدمن الخط المستقيم الجديد سنغير الألوان - سنصنع الأبيض والأسود والعكس صحيح ؛ في الوقت نفسه ، لم يتم إعادة طلاء الأجزاء التي تقع على الجانب الآخر من هذا الخط المستقيم (الشكل 5). بعد ذلك ، سوف يفي هذا التلوين الجديد بالمتطلبات الضرورية: على جانب واحد من الخط المستقيم كان يتناوب بالفعل (ولكن بألوان مختلفة) ، وعلى الجانب الآخر كان ذلك ضروريًا. من أجل رسم الأجزاء التي لها حدود مشتركة تنتمي إلى الخط المرسوم بألوان مختلفة ، قمنا بإعادة طلاء الأجزاء على جانب واحد فقط من هذا الخط المرسوم.

الشكل 5

دعونا الآن نثبت الخطوة الاستقرائية. افترض ذلك بالنسبة للبعضن = كبيان المشكلة صحيح ، أي جميع أجزاء المستوى التي يتم تقسيمها عليهالبشكل مستقيم ، يمكنك الطلاء باللون الأبيض والأسود بحيث تكون الأجزاء المجاورة بألوان مختلفة. دعونا نثبت أن هناك مثل هذا التلوين لص= ل+ 1 على التوالي. دعونا ننتقل بشكل مشابه إلى حالة الانتقال من خطين مستقيمين إلى ثلاثة. دعونا ننفق على متن الطائرةلمباشرة. بعد ذلك ، من خلال الافتراض الاستقرائي ، يمكن تلوين "الخريطة" الناتجة بالطريقة المرغوبة. دعونا نقضي الآن(ل+ 1) - الخط المستقيم وعلى جانب واحد منه نقوم بتغيير الألوان إلى الألوان المعاكسة. و الآن(ليفصل الخط المستقيم + 1) في كل مكان الأقسام ذات الألوان المختلفة ، بينما الأجزاء "القديمة" ، كما رأينا بالفعل ، تظل ملونة بشكل صحيح. وفقًا لمبدأ الاستقراء الرياضي ، تم حل المشكلة.

مهمة16. على حافة الصحراء يوجد إمداد كبير بالبنزين وسيارة ، مع محطة وقود ممتلئة ، يمكن أن تقطع 50 كيلومترًا. بكميات غير محدودة ، توجد عبوات يمكنك من خلالها تصريف البنزين من خزان الوقود في السيارة وتركه للتخزين في أي مكان في الصحراء. إثبات أن السيارة يمكن أن تقطع أي مسافة صحيحة أكبر من 50 كيلومترًا. لا يسمح بحمل علب البنزين ، ويمكن حمل العلب الفارغة بأي كمية.

قرار.دعنا نحاول إثبات ذلك عن طريق الاستقراءفأن السيارة يمكن أن تقودصكيلومترات من حافة الصحراء. فيص= 50 معروف. يبقى تنفيذ خطوة الاستقراء وشرح كيفية الوصول إلى هناكن = ك+ 1 كم إذا كانت معروفةن = كيمكن قيادتها كيلومترات.

لكننا هنا نواجه صعوبة: بعد أن نجتازلالكيلومترات ، قد لا يكون البنزين كافياً حتى لرحلة العودة (ناهيك عن التخزين). وفي هذه الحالة ، فإن المخرج هو تعزيز التأكيد الذي يتم إثباته (مفارقة المخترع). سنثبت أنه ليس من الممكن القيادة فقطصكيلومترات ، ولكن أيضًا لتوفير كمية كبيرة من البنزين بشكل تعسفي عند نقطة على مسافةصكيلومترات من حافة الصحراء ، في هذه المرحلة بعد نهاية النقل.

قاعدة الاستقراء.دع وحدة البنزين هي كمية البنزين المطلوبة لإكمال كيلومتر واحد من السفر. ثم تتطلب الرحلة 1 كيلومتر والعودة وحدتين من البنزين ، لذلك يمكننا ترك 48 وحدة من البنزين في المخزن على بعد كيلومتر من الحافة والعودة للمزيد. وبالتالي ، بالنسبة للعديد من الرحلات إلى التخزين ، يمكننا عمل مخزون بحجم عشوائي نحتاجه. في نفس الوقت ، من أجل إنشاء 48 وحدة من المخزون ، ننفق 50 وحدة من البنزين.

خطوة الاستقراء.لنفترض ذلك عن بعدص= لمن حافة الصحراء يمكنك تخزين أي كمية من البنزين. دعونا نثبت أنه من الممكن إنشاء مستودع على مسافةن = ك+ 1 كم مع أي إمداد محدد مسبقًا للبنزين ويكون في هذا التخزين في نهاية النقل. لأن عند النقطةص= لهناك كمية غير محدودة من البنزين ، ثم (وفقًا لقاعدة الاستقراء) يمكننا ذلك في عدة رحلات إلى النقطةن = ك+ 1 لتوضيح نقطةص= ل4 - 1 مخزون من أي حجم تحتاجه.

إن حقيقة عبارة أكثر عمومية مما كانت عليه في حالة المشكلة تنبع الآن من مبدأ الاستقراء الرياضي.

خاتمة

على وجه الخصوص ، بعد أن درست طريقة الاستقراء الرياضي ، قمت بتحسين معرفتي في هذا المجال من الرياضيات ، وتعلمت أيضًا كيفية حل المشكلات التي كانت خارج نطاق قوتي في السابق.

في الأساس ، كانت هذه مهام منطقية ومسلية ، أي فقط تلك التي تزيد الاهتمام بالرياضيات نفسها كعلم. يصبح حل مثل هذه المشكلات نشاطًا ترفيهيًا ويمكن أن يجذب المزيد والمزيد من الأشخاص الفضوليين إلى المتاهات الرياضية. في رأيي ، هذا هو أساس أي علم.

بالاستمرار في دراسة طريقة الاستقراء الرياضي ، سأحاول تعلم كيفية تطبيقه ليس فقط في الرياضيات ، ولكن أيضًا في حل المشكلات في الفيزياء والكيمياء والحياة نفسها.

المؤلفات

1. الحث فولنكين. التوافقية. كتيب للمعلمين. م، التنوير،

1976. -48 ص.

2. Golovina L.I.، Yaglom I.M. الاستقراء في الهندسة. - م: قسود. الناشر أشعل. - 1956 - S.I00. كتيب في الرياضيات للمتقدمين للجامعات / إد. ياكوفليفا ج. العلم. 1981. - ص47-51.

3. Golovina L.I. ، Yaglom IM. الاستقراء في الهندسة. -
م: نووكا ، 1961. - (محاضرات شعبية في الرياضيات.)

4. آي تي ​​ديميدوف ، إيه إن كولموغوروف ، إس آي شيفارتسبورغ ، أو إس إيفاشيف-موساتوف ، بي إي فيتس. كتاب / التنوير 1975.

5.R. كورانت ، جي روبنز "ما هي الرياضيات؟" الفصل 1 ، (2)

6. بوبا د. الرياضيات والتفكير المعقول. - م: نوكا ، 1975.

7. بوبا د. الاكتشاف الرياضي. - م: نوكا ، 1976.

8. روبانوف إ. كيف تدرس طريقة الاستقراء الرياضي / مدرسة الرياضيات. - Nl. - 1996. - S.14-20.

9. Sominsky I.S.، Golovina L.I.، Yaglom I.M. على طريقة الاستقراء الرياضي. - م: نوكا ، 1977. - (محاضرات شعبية في الرياضيات.)

10. Solominsky I.S. طريقة الاستقراء الرياضي. - م: العلوم.

63 ثانية.

11. Solominsky I.S، Golovina L.I.، Yaglom I.M. على الاستقراء الرياضي. - م: العلوم. - 1967. - S.7-59.

12. http://w.wikiredia.org/wiki

13.htt12: / /www.refeshtcollestiop.ru/40 124.html

المحاضرة 6. طريقة الاستقراء الرياضي.

يتم الحصول على المعرفة الجديدة في العلوم والحياة بطرق مختلفة ، ولكن جميعها (إذا لم تخوض في التفاصيل) تنقسم إلى نوعين - الانتقال من العام إلى الخاص ومن الخاص إلى العام. الأول هو الاستنتاج ، والثاني هو الاستقراء. المنطق الاستنتاجي هو ما يسمى عادة في الرياضيات التفكير المنطقي، وفي علم الرياضيات ، يعتبر الاستنتاج هو الطريقة الشرعية الوحيدة للتحقيق. صاغ العالم اليوناني القديم أرسطو قواعد التفكير المنطقي منذ ألفي سنة ونصف. لقد أنشأ قائمة كاملة من أبسط التفكير الصحيح ، القياس- "لبنات" المنطق ، في نفس الوقت تشير إلى الاستدلال النموذجي ، مشابه جدًا للأفكار الصحيحة ، ولكنه خاطئ (غالبًا ما نلتقي بمثل هذا التفكير "الزائف" في وسائل الإعلام).

الاستقراء (الحث - باللاتينية إرشاد) من خلال الأسطورة المعروفة لكيفية صياغة إسحاق نيوتن لقانون الجاذبية الكونية بعد سقوط تفاحة على رأسه. مثال آخر من الفيزياء: في ظاهرة مثل الحث الكهرومغناطيسي ، يخلق مجال كهربائي ، "يحفز" مجالًا مغناطيسيًا. "تفاحة نيوتن" هي مثال نموذجي لموقف تكون فيه حالة خاصة واحدة أو أكثر ، أي الملاحظات، "يؤدي" إلى بيان عام ، يتم إجراء الاستنتاج العام على أساس حالات معينة. الطريقة الاستقرائية هي الطريقة الرئيسية للحصول على الأنماط العامة في كل من العلوم الطبيعية والإنسانية. لكن له عيبًا كبيرًا جدًا: على أساس أمثلة معينة ، يمكن استخلاص نتيجة غير صحيحة. الفرضيات الناشئة عن الملاحظات الخاصة ليست صحيحة دائمًا. تأمل في مثال يرجع إلى أويلر.

سنحسب قيمة ثلاثي الحدود لبعض القيم الأولى ن:

لاحظ أن الأرقام التي تم الحصول عليها نتيجة الحسابات أولية. ويمكن للمرء أن يتحقق مباشرة من ذلك لكل منهما نمن 1 إلى 39 قيمة كثيرة الحدود
هو عدد أولي. رغم ذلك، متى ن= 40 نحصل على الرقم 1681 = 41 2 ، وهو ليس عددًا أوليًا. وبالتالي ، الفرضية التي يمكن أن تنشأ هنا ، أي الفرضية لكل منهما نرقم
بسيط ، اتضح أنه خاطئ.

أثبت لايبنيز في القرن السابع عشر أنه لكل عدد صحيح موجب نرقم
يقبل القسمة على 3
يقبل القسمة على 5 ، وهكذا. وبناءً على ذلك ، اقترح ذلك لكل فرد كوأي طبيعي نرقم
مقسومة على ك، ولكن سرعان ما لاحظت ذلك
لا يقبل القسمة على 9.

تتيح لنا الأمثلة المدروسة استخلاص نتيجة مهمة: يمكن أن يكون البيان صحيحًا في عدد من الحالات الخاصة وفي نفس الوقت غير عادل بشكل عام. يمكن حل مسألة صحة البيان في الحالة العامة من خلال تطبيق طريقة خاصة للتفكير تسمى عن طريق الاستقراء الرياضي(الاستقراء الكامل ، الاستقراء المثالي).

6.1 مبدأ الاستقراء الرياضي.

تعتمد طريقة الاستقراء الرياضي على مبدأ الاستقراء الرياضي وتتكون مما يلي:

1) تم التحقق من صحة هذا البيانن=1 (أساس الاستقراء) ,

2) من المفترض أن تكون هذه العبارة صحيحةن= ك، أينكهو رقم طبيعي تعسفي 1(افتراض الاستقراء) ، ومع الأخذ في الاعتبار هذا الافتراض ، تم إثبات صحتهن= ك+1.

دليل - إثبات. افترض العكس ، أي افترض أن التأكيد ليس صحيحًا لكل ما هو طبيعي ن. ثم هناك مثل هذا طبيعي م، ماذا او ما:

1) الموافقة على ن=مليس عدلا،

2) للجميع ن، أصغر م، التأكيد صحيح (بمعنى آخر ، مهو أول رقم طبيعي يفشل التوكيد من أجله).

من الواضح أن م> 1 ، لأن ل ن= 1 البيان صحيح (الشرط 1). لذلك،
- عدد طبيعي. اتضح أن لعدد طبيعي
العبارة صحيحة ، وللعدد الطبيعي التالي مهذا ليس عدلا. هذا يتعارض مع الشرط 2. ■

لاحظ أن الدليل استخدم البديهية القائلة بأن أي مجموعة من الأعداد الطبيعية تحتوي على أصغر عدد.

يسمى الدليل القائم على مبدأ الاستقراء الرياضي عن طريق الاستقراء الرياضي الكامل .

 مثال6.1. إثبات ذلك لأي شيء طبيعي نرقم
يقبل القسمة على 3.

قرار.

1) متى ن= 1 ، إذن أ 1 يقبل القسمة على 3 والبيان صحيح من أجل ن=1.

2) افترض أن العبارة صحيحة ن=ك,
، هذا هو الرقم
يقبل القسمة على 3 وتجد ذلك ن=ك+1 رقم قابل للقسمة على 3.

بالفعل،

لان كل مصطلح يقبل القسمة على 3 ، ثم مجموعهم أيضا قابل للقسمة على 3. ■ 

 مثال6.2. اثبات ان مجموع اول نالأعداد الفردية الطبيعية تساوي مربع عددها ، أي.

قرار.نستخدم طريقة الاستقراء الرياضي الكامل.

1) نتحقق من صحة هذا البيان ل ن= 1: 1 = 1 2 صحيح.

2) افترض أن مجموع الأول ك (
) من الأعداد الفردية يساوي مربع عدد هذه الأرقام ، أي. بناءً على هذه المساواة ، نثبت أن مجموع الأول ك+1 عدد فردي يساوي
، بمعنى آخر .

نستخدم افتراضنا ونحصل على

. ■ 

يتم استخدام طريقة الاستقراء الرياضي الكامل لإثبات بعض عدم المساواة. دعونا نثبت عدم مساواة برنولي.

 مثال6.3. إثبات ذلك متى
وأي طبيعي نعدم المساواة
(عدم المساواة في برنولي).

قرار. 1) متى ن= 1 نحصل عليه
، ايهم صحيح.

2) نفترض أن في ن=كهناك عدم مساواة
(*). باستخدام هذا الافتراض ، نثبت ذلك
. لاحظ أن متى
هذا التفاوت صحيح ، وبالتالي يكفي النظر في القضية
.

اضرب كلا جزأي المتباينة (*) في العدد
واحصل على:

هذا هو (1+
.■ 

إثبات بالطريقة الاستقراء الرياضي غير المكتمل بعض التأكيد اعتمادا على ن، أين
بطريقة مماثلة ، ولكن في البداية ، يتم تأسيس العدالة لأصغر قيمة ن.

لا تصوغ بعض المسائل صراحةً عبارة يمكن إثباتها بالاستقراء الرياضي. في مثل هذه الحالات ، من الضروري إنشاء انتظام والتعبير عن فرضية حول صحة هذا الانتظام ، ثم اختبار الفرضية المقترحة بطريقة الاستقراء الرياضي.

 مثال6.4. أوجد المبلغ
.

قرار.لنجد المبالغ س 1 , س 2 , س 3. نملك
,
,
. نحن نفترض أن أي شيء طبيعي نالصيغة صحيحة
. لاختبار هذه الفرضية ، نستخدم طريقة الاستقراء الرياضي الكامل.

1) متى ن= 1 الفرضية صحيحة لأن
.

2) افترض أن الفرضية صحيحة ن=ك,
، بمعنى آخر
. باستخدام هذه الصيغة ، نثبت صحة الفرضية ولصالحها ن=ك+1 ، هذا هو

بالفعل،

لذلك ، على افتراض أن الفرضية صحيحة ن=ك,
، ثبت أنه صحيح ل ن=ك+1 ، واستناداً إلى مبدأ الاستقراء الرياضي ، نستنتج أن الصيغة صالحة لأي طبيعي ن. ■ 

 مثال6.5. في الرياضيات ، ثبت أن مجموع وظيفتين مستمرتين بشكل منتظم هو دالة مستمرة بشكل منتظم. بناءً على هذا البيان ، نحتاج إلى إثبات أن مجموع أي رقم
من الوظائف المستمرة بشكل منتظم هي وظيفة مستمرة بشكل منتظم. ولكن نظرًا لأننا لم نقدم مفهوم "الوظيفة المستمرة بشكل منتظم" ، فلنقم بتعيين المشكلة بشكل أكثر تجريدًا: دعنا نعرف أن مجموع وظيفتين لهما بعض الخصائص س، نفسه لديه الخاصية س. دعنا نثبت أن مجموع أي عدد من الوظائف له خاصية س.

قرار.ويرد أساس الاستقراء هنا في صياغة المشكلة ذاتها. جعل الافتراض الاستقرائي ، النظر
المهام F 1 , F 2 , …, F ن , F ن+1 التي لها خاصية س. ثم . على الجانب الأيمن ، المصطلح الأول له خاصية سمن خلال فرضية الاستقراء ، فإن المصطلح الثاني له خاصية سحسب الشرط. لذلك ، مجموعهم له خاصية س- لفترتين ، أساس "الأشغال" التعريفي.

هذا يثبت التأكيد وسيستخدمه أكثر. ■ 

 مثال6.6. تجد كل شيء طبيعي ن، والتي من أجلها عدم المساواة

.

قرار.يعتبر ن= 1، 2، 3، 4، 5، 6. لدينا: 2 1> 1 2، 2 2 = 2 2، 2 3<3 2 , 2 4 =4 2 , 2 5 >5 2 ، 2 6> 6 2. وبالتالي ، يمكننا وضع فرضية: عدم المساواة
مكان للجميع
. لإثبات صحة هذه الفرضية ، نستخدم مبدأ الاستقراء الرياضي غير المكتمل.

1) كما هو مذكور أعلاه ، هذه الفرضية صحيحة ل ن=5.

2) افترض أنه صحيح ل ن=ك,
، وهذا هو ، عدم المساواة
. باستخدام هذا الافتراض ، نثبت أن المتباينة
.

T. إلى.
وعلى
هناك عدم مساواة

في
,

ثم نحصل على ذلك
. إذن ، حقيقة الفرضية ن=ك 1+ يتبع من افتراض أنها صحيحة ن=ك,
.

من ص. 1 و 2 ، بناءً على مبدأ الاستقراء الرياضي غير المكتمل ، يترتب على ذلك عدم المساواة
صحيح لكل طبيعي
. ■ 

 مثال6.7. إثبات ذلك لأي رقم طبيعي نصيغة التمايز صالحة
.

قرار.في ن= 1 هذه الصيغة لها الشكل
، أو 1 = 1 ، هذا صحيح. بعمل الافتراض الاستقرائي ، لدينا:

Q.E.D. ■ 

 مثال6.8. إثبات أن المجموعة تتكون من نالعناصر ، لديها مجموعات فرعية.

قرار.مجموعة من عنصر واحد أ، مجموعتين فرعيتين. هذا صحيح لأن جميع مجموعاتها الفرعية هي المجموعة الفارغة والمجموعة نفسها ، و 2 1 = 2.

نحن نفترض أن أي مجموعة من نالعناصر مجموعات فرعية. إذا كانت المجموعة أ تتكون من ن+1 عناصر ، ثم نصلح عنصرًا واحدًا فيه - قم بالإشارة إليه د، وقسم كل المجموعات الفرعية إلى فئتين - لا تحتوي على دوتحتوي على د. جميع المجموعات الفرعية من الفئة الأولى هي مجموعات فرعية من المجموعة B التي تم الحصول عليها من A عن طريق إزالة العنصر د.

تتكون المجموعة ب من نالعناصر ، وبالتالي ، من خلال فرضية الاستقراء ، لديها مجموعات فرعية ، لذلك في الدرجة الأولى مجموعات فرعية.

ولكن يوجد في الفئة الثانية نفس عدد المجموعات الفرعية: يتم الحصول على كل منها من مجموعة فرعية واحدة بالضبط من الفئة الأولى عن طريق إضافة العنصر د. لذلك ، في المجموع ، المجموعة أ
مجموعات فرعية.

وهكذا تم إثبات التأكيد. لاحظ أنه صالح أيضًا لمجموعة تتكون من 0 عناصر - مجموعة فارغة: تحتوي على مجموعة فرعية واحدة - نفسها ، و 2 0 = 1. ■ 

باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي ، أثبت ذلك لأي شيء طبيعي نالمساواة التالية صحيحة:
أ) ;
ب) .

قرار.

أ) متى ن= 1 المساواة صالحة. بافتراض صحة المساواة ل ن، دعنا نظهر أنه صالح أيضًا لـ ن+ 1. في الواقع ،

Q.E.D.

ب) متى ن= 1 صحة المساواة واضحة. من افتراض عدالتها في نينبغي

بالنظر إلى المساواة 1 + 2 + ... + ن = ن(ن+ 1) / 2 ، نحصل عليه

1 3 + 2 3 + ... + ن 3 + (ن + 1) 3 = (1 + 2 + ... + ن + (ن + 1)) 2 ,

أي ، البيان صحيح أيضًا لـ ن + 1.

مثال 1إثبات المساواة التالية

قرار.أ) متى ن= 1 المساواة ستأخذ الشكل 1 = 1 ، لذلك ، ص(1) صحيح. دعونا نفترض أن هذه المساواة صحيحة ، أي لدينا

وبالتالي ، وفقًا لطريقة الاستقراء الرياضي ، فإن المساواة الأصلية صالحة لأي طبيعي ن.

ملاحظة 2.يمكن حل هذا المثال بطريقة أخرى. بالفعل مجموع 1 + 2 + 3 + ... + نهو مجموع الأول نأعضاء التقدم الحسابي مع العضو الأول أ 1 = 1 وفرق د= 1. بحكم الصيغة المعروفة ، نحن نحصل

ب) متى ن= 1 المساواة ستأخذ الشكل: 2 1 - 1 = 1 2 أو 1 = 1 ، أي ، ص(1) صحيح. دعونا نفترض أن المساواة

1 + 3 + 5 + ... + (2ن - 1) = ن 2 وإثبات ذلكص(ن + 1): 1 + 3 + 5 + ... + (2ن - 1) + (2(ن + 1) - 1) = (ن+ 1) 2 أو 1 + 3 + 5 + ... + (2 ن - 1) + (2ن + 1) = (ن + 1) 2 .

باستخدام فرضية الاستقراء ، نحصل عليها

1 + 3 + 5 + ... + (2ن - 1) + (2ن + 1) = ن 2 + (2ن + 1) = (ن + 1) 2 .

هكذا، ص(ن+ 1) صحيح ، وبالتالي ، تم إثبات المساواة المطلوبة.

ملاحظة 3.يمكن حل هذا المثال (على غرار المثال السابق) دون استخدام طريقة الاستقراء الرياضي.

ج) متى ن= 1 المساواة صحيحة: 1 = 1. افترض أن المساواة صحيحة

د) متى ن= 1 المساواة صالحة: 1 = 1. لنفترض أن هناك

هل حقا،

هـ) الموافقة ص(1) صحيح: 2 = 2. لنفترض أن المساواة

لذلك ، فإن المساواة الأصلية تحمل أي شيء طبيعي ن.

F) ص(1) صحيح: 1/3 = 1/3. يجب أن تكون هناك مساواة ص(ن):

في الواقع ، بالنظر إلى ذلك ص(ن) يحدث ، نحصل عليه

وهكذا ، تم إثبات المساواة.

ز) متى ن= 1 لدينا أ + ب = ب + أوبالتالي فإن المساواة صحيحة.

دع صيغة نيوتن ذات الحدين صالحة ل ن = ك، بمعنى آخر،

مثال 2إثبات عدم المساواة

قرار.أ) متى ن= 1 نحصل على عدم المساواة الحقيقية

1 + أ ≥ 1 + أ. دعونا نفترض أن هناك عدم مساواة

في الواقع ، بما أن أ> -1 تعني أ + 1> 0 ، ثم نضرب طرفي عدم المساواة (1) في (أ + 1) ، نحصل على

(1 + أ) ن(1 + أ) ≥ (1 + نأ) (1 + أ) أو (1 + أ) ن + 1 ≥ 1 + (ن+ 1) أ + نأ 2 لأن نأ 2 ≥ 0 ، لذلك ،(1 + أ) ن + 1 ≥ 1 + (ن+ 1) أ + نأ 2 ≥ 1 + ( ن+ 1) أ.

وهكذا ، إذا ص(ن) صحيح إذن ص(ن+ 1) صحيح ، لذلك ، وفقًا لمبدأ الاستقراء الرياضي ، فإن عدم مساواة برنولي صحيحة.

ب) متى ن= 1 نحصل عليه x 1 = 1 وبالتالي x 1 ≥ 1 أي ص(1) بيان عادل. دعونا نتظاهر بذلك ص(ن) صحيح ، أي إذا أديكا ، x 1 ,x 2 ,...,x ن - نأرقام موجبة منتجها يساوي واحدًا ، x 1 x 2 · ... · x ن= 1 و x 1 + x 2 + ... + x ن ≥ ن.

دعونا نظهر أن هذا الافتراض يعني أن ما يلي صحيح: إذا x 1 ,x 2 ,...,x ن ,x ن+1 - (ن+ 1) أرقام موجبة مثل تلك x 1 x 2 · ... · x ن · x ن+1 = 1 إذن x 1 + x 2 + ... + x ن + x ن + 1 ≥ن + 1.

خذ بالحسبان الحالتين التاليتين:

1) x 1 = x 2 = ... = x ن = x ن+1 = 1. إذن مجموع هذه الأرقام هو ( ن+ 1) ، ويتم استيفاء التفاوت المطلوب ؛

2) يختلف رقم واحد على الأقل عن رقم واحد ، على سبيل المثال ، يكون أكبر من واحد. ثم منذ ذلك الحين x 1 x 2 · ... · x ن · x ن+ 1 = 1 ، يوجد على الأقل رقم آخر مختلف عن واحد (بتعبير أدق ، أقل من واحد). اسمحوا ان x ن+ 1> 1 و x ن < 1. Рассмотрим نأرقام موجبة

بقدر ما

(1 - x ن)(x ن+1 - 1)> 0 إذن ن + x ن + x ن+1 - x ن x ن+1 = ن + 1 + x ن+1 (1 - x ن) - 1 + x ن =
= ن + 1 + x ن+1 (1 - x ن) - (1 - x ن) = ن + 1 + (1 - x ن)(x ن+1 - 1) ≥ ن+ 1. لذلك ، x 1 + x 2 + ... + x ن + x ن+1 ≥ ن+1 ، إذا ص(ن) صحيح إذنص(ن+ 1) عادل. لقد ثبت عدم المساواة.

ملاحظة 4.تظهر علامة المساواة إذا وفقط إذا x 1 = x 2 = ... = x ن = 1.

ج) دع x 1 ,x 2 ,...,x نهي أرقام موجبة عشوائية. ضع في اعتبارك ما يلي نأرقام موجبة:

ملاحظة 5.تبقى المساواة إذا وفقط إذا x 1 = x 2 = ... = x ن .

د) ص(1) عبارة عادلة: sin 2 a + cos 2 a = 1. افترض ذلك ص(ن) بيان صحيح:

الخطيئة 2 نأ + cos2 نأ ≤ 1 وتبين أن هناكص(ن+ 1). هل حقا، sin2 ( ن+ 1) أ + جا 2 ( ن+ 1) أ \ u003d الخطيئة 2 ن a sin 2 a + cos 2 نأ جيب التمام 2 أ< sin 2نأ + cos2 ن a ≤ 1 (إذا كانت sin 2 a ≤ 1 ، إذن cos 2 a < 1, и обратно: если cos 2 a ≤ 1 ثم sin 2 a < 1). Таким образом, для любого نا نالخطيئة 2 نأ + cos2 ن ≤ 1 ويتم الوصول إلى علامة المساواة فقط عندمان = 1.

ه) متى ن= 1 البيان صحيح: 1< 3 / 2 .

لنفترض ذلك وإثبات ذلك

و) مع أخذ الملاحظة 1 في الاعتبار ، نتحقق من ذلك ص(10): 2 10> 10 3 ، 1024> 1000 ، لذلك ، من أجل ن= 10 البيان صحيح. افترض 2 ن > ن 3 (ن> 10) وإثبات ص(ن+ 1) أي 2 ن+1 > (ن + 1) 3 .

منذ في ن> 10 لدينا أو ، يتبع ذلك

2ن 3 > ن 3 + 3ن 2 + 3ن+ 1 أو ن 3 > 3ن 2 + 3ن + 1. مع مراعاة عدم المساواة (2 ن > ن 3) ، نحصل على 2 ن+1 = 2 ن 2 = 2 ن + 2 ن > ن 3 + ن 3 > ن 3 + 3ن 2 + 3ن + 1 = (ن + 1) 3 .

وهكذا ، حسب طريقة الاستقراء الرياضي ، لأي طبيعي نا ن, ن≥ 10 لدينا 2 ن > ن 3 .

مثال 3إثبات ذلك لأي نا ن

قرار.أ) ص(1) عبارة صحيحة (0 يقبل القسمة على 6). اسمحوا ان ص(ن) عادل ، هذا هو ن(2ن 2 - 3ن + 1) = ن(ن - 1)(2ن- 1) يقبل القسمة على 6. دعونا نظهر ذلك لدينا ص(ن+ 1) أي ( ن + 1)ن(2ن+ 1) يقبل القسمة على 6. في الواقع ، منذ ذلك الحين

هكذا، ص(ن+ 1) بيان عادل ، وبالتالي ، ن(2ن 2 - 3ن+ 1) يقبل القسمة على 6 لأي نا ن.

ب) تحقق ص(1): 6 0 + 3 2 + 3 0 = 11 ، وبالتالي ص(1) بيان عادل. يجب إثبات أنه إذا كان 6 2 ن-2 + 3 ن+1 + 3 ن-1 يقبل القسمة على 11 ( ص(ن)) ، ثم 6 2 ن + 3 ن+2 + 3 نكما أنه يقبل القسمة على 11 ( ص(ن+ 1)). في الواقع ، منذ ذلك الحين

6 2ن + 3 ن+2 + 3 ن = 6 2ن-2+2 + 3 ن+1+1 + 3 ن-1 + 1 == 6 2 6 2 ن-2 + 3 3 ن+1 + 3 3 ن-1 = 3 (6 2 ن-2 + 3 ن+1 + 3 ن-1) + 33 6 2 ن-2 وما شابه 6 2 ن-2 + 3 ن+1 + 3 ن-1 و 33 6 2 ن-2 قابلة للقسمة على 11 ، ثم مجموعها 6 2ن + 3 ن+2 + 3 ن قابل للقسمة على 11. تم إثبات التأكيد. الاستقراء في الهندسة

مثال 4احسب ضلع 2 الصحيح ن-درجت في دائرة نصف قطرها ص.

الوصف الببليوغرافي: Badanin AS، Sizova M. Yu. تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي لحل المشكلات المتعلقة بقسمة الأعداد الطبيعية // عالم شاب. - 2015. - رقم 2. - س 84-86..04.2019).

غالبًا ما يتم مواجهة مشكلات صعبة للغاية تتعلق بإثبات قابلية الأعداد الطبيعية للقسمة في الأولمبياد الرياضي. يواجه تلاميذ المدارس مشكلة: كيف نجد طريقة رياضية عالمية تسمح بحل مثل هذه المشكلات؟

اتضح أن معظم مشكلات القابلية للقسمة يمكن حلها عن طريق الاستقراء الرياضي ، ولكن في الكتب المدرسية لا يتم إيلاء اهتمام كبير لهذه الطريقة ، وغالبًا ما يتم تقديم وصف نظري موجز ويتم تحليل العديد من المشكلات.

نجد طريقة الاستقراء الرياضي في نظرية الأعداد. في فجر نظرية الأعداد ، اكتشف علماء الرياضيات العديد من الحقائق بشكل استقرائي: اعتبر L. Euler و K. Gauss أحيانًا آلاف الأمثلة قبل ملاحظة النمط العددي والاعتقاد به. لكن في الوقت نفسه ، فهموا كيف يمكن أن تكون الفرضيات مضللة إذا اجتازوا الاختبار "النهائي". للانتقال الاستقرائي من بيان تم التحقق منه لمجموعة فرعية محدودة إلى بيان مماثل للمجموعة اللانهائية بأكملها ، يلزم وجود دليل. تم اقتراح هذه الطريقة بواسطة Blaise Pascal ، الذي وجد خوارزمية عامة لإيجاد علامات قابلية القسمة على أي عدد صحيح آخر (أطروحة "حول طبيعة قابلية الأرقام").

يتم استخدام طريقة الاستقراء الرياضي للإثبات من خلال التفكير في حقيقة بيان معين لجميع الأعداد الطبيعية أو حقيقة بيان يبدأ من عدد ن.

حل المسائل لإثبات صحة بيان معين بطريقة الاستقراء الرياضي يتكون من أربع مراحل (الشكل 1):

أرز. 1. مخطط لحل المشكلة

1. أساس الاستقراء . تحقق من صحة البيان لأصغر عدد طبيعي يكون البيان منطقيًا.

2. الافتراض الاستقرائي . نفترض أن العبارة صحيحة لبعض قيمة k.

3. الانتقال الاستقرائي . نثبت أن التأكيد صحيح بالنسبة لـ k + 1.

4. خاتمة . إذا تم الانتهاء من مثل هذا الدليل ، إذن ، على أساس مبدأ الاستقراء الرياضي ، يمكن القول بأن العبارة صحيحة بالنسبة لأي رقم طبيعي n.

ضع في اعتبارك تطبيق طريقة الاستقراء الرياضي لحل مسائل لإثبات قابلية الأعداد الطبيعية للقسمة.

مثال 1. أثبت أن الرقم 5 هو مضاعف 19 ، حيث n عدد طبيعي.

دليل - إثبات:

1) دعنا نتحقق من صحة هذه الصيغة لـ n = 1: الرقم = 19 هو مضاعف 19.

2) اجعل هذه الصيغة صحيحة لـ n = k ، أي أن الرقم هو مضاعف 19.

قابلة للقسمة على 19. في الواقع ، المصطلح الأول قابل للقسمة على 19 بسبب الافتراض (2) ؛ المصطلح الثاني أيضًا قابل للقسمة على 19 لأنه يحتوي على عامل 19.

مثال 2أثبت أن مجموع مكعبات ثلاثة أعداد طبيعية متتالية يقبل القسمة على 9.

دليل - إثبات:

دعنا نثبت العبارة: "لأي عدد طبيعي n ، فإن التعبير n 3 + (n + 1) 3 + (n + 2) 3 هو مضاعف 9.

1) تأكد من صحة هذه الصيغة لـ n = 1: 1 3 +2 3 +3 3 = 1 + 8 + 27 = 36 هو مضاعف 9.

2) اجعل هذه الصيغة صحيحة لـ n = k ، أي أن k 3 + (k + 1) 3 + (k + 2) 3 هو مضاعف 9.

3) دعنا نثبت أن الصيغة صحيحة أيضًا لـ n = k + 1 ، أي (k + 1) 3 + (k + 2) 3 + (k + 3) 3 هي مضاعف 9. (k + 1) 3 + (ك + 2) 3 + (ك + 3) 3 = (ل + 1) 3 + (ك + 2) 3 + ك 3 + 9 ك 2 +27 ك + 27 = (ك 3 + (ك + 1) 3 + (ك +2) 3) +9 (ك 2 + 3 ك + 3).

يحتوي التعبير الناتج على حدين ، كل منهما يقبل القسمة على 9 ، وبالتالي فإن المجموع قابل للقسمة على 9.

4) تم استيفاء كلا الشرطين لمبدأ الاستقراء الرياضي ، وبالتالي ، فإن الاقتراح صحيح لجميع قيم n.

مثال 3أثبت أنه لأي عدد طبيعي n فإن الرقم 3 2n + 1 +2 n + 2 يقبل القسمة على 7.

دليل - إثبات:

1) تأكد من صحة هذه الصيغة لـ n = 1: 3 2 * 1 + 1 +2 1 + 2 = 3 3 +2 3 = 35 ، 35 هو مضاعف 7.

2) اجعل هذه الصيغة صحيحة لـ n = k ، أي 3 2 k +1 +2 k +2 قابلة للقسمة على 7.

3) دعنا نثبت أن الصيغة صحيحة أيضًا لـ n = k + 1 ، أي

3 2 (ل +1) +1 +2 (ك +1) +2 = 3 2 ك +1 3 2 +2 ك +2 2 1 = 3 2 ك +1 9 + 2 ك +2 2 = 3 2 ك +1 9 + 2 ك +2 (9-7) = (3 2 ك +1 +2 ك +2) 9–7 2 ك +2. نظرًا لأن (3 2 k +1 +2 k +2) 9 قابلة للقسمة على 7 و 7 2 k +2 قابلة للقسمة على 7 ، فإن الفرق بينهما أيضًا قابل للقسمة على 7.

4) تم استيفاء كلا الشرطين لمبدأ الاستقراء الرياضي ، وبالتالي ، فإن الاقتراح صحيح لجميع قيم n.

من الملائم حل العديد من مشكلات البرهان في نظرية قابلية القسمة على الأعداد الطبيعية باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي ، ويمكن للمرء أن يقول إن حل المشكلات بهذه الطريقة خوارزمي تمامًا ، ويكفي لأداء 4 خطوات أساسية. لكن لا يمكن تسمية هذه الطريقة بالعمومية ، لأن هناك أيضًا عيوبًا: أولاً ، من الممكن إثباتها فقط على مجموعة الأعداد الطبيعية ، وثانيًا ، من الممكن إثباتها لمتغير واحد فقط.

تعد هذه الطريقة أداة ضرورية لتطوير التفكير المنطقي والثقافة الرياضية ، لأنه حتى عالم الرياضيات الروسي العظيم أ.ن.كولموغوروف قال: "إن فهم مبدأ الاستقراء الرياضي والقدرة على تطبيقه بشكل صحيح هو معيار جيد للنضج المنطقي ، وهو ضروري للغاية للرياضيات ".

المؤلفات:

1. Vilenkin N. Ya. التعريفي. التوافقية. - م: التنوير 1976. - 48 ص.

2. جينكين ل. في الاستقراء الرياضي. - م ، 1962. - 36 ص.

3. Solominsky I. S. طريقة الاستقراء الرياضي. - م: نوكا ، 1974. - 63 ص.

4. Sharygin I. F. مقرر اختياري في الرياضيات: حل المشكلات: كتاب مدرسي يتكون من 10 خلايا. المدرسة المتوسطة - م: التنوير ، 1989. - 252 ص.

5. شين أ. الاستقراء الرياضي. - م: MTSNMO، 2007. - 32 ص.