إيجاد مرتبة المصفوفة بطريقة التحولات الأولية. حساب رتبة المصفوفة باستخدام التحولات الأولية

تعريف. رتبة المصفوفةهو الحد الأقصى لعدد الصفوف المستقلة خطيًا التي تعتبر متجهات.

النظرية 1 في رتبة مصفوفة. رتبة المصفوفةهو الترتيب الأقصى لمصفوفة صغيرة ليست صفرية.

لقد ناقشنا بالفعل مفهوم القاصر في الدرس الخاص بالمحددات ، والآن سنعممه. لنأخذ بعض الصفوف وبعض الأعمدة في المصفوفة ، ويجب أن يكون هذا "الشيء" أقل من عدد صفوف وأعمدة المصفوفة ، وبالنسبة للصفوف والأعمدة ، يجب أن يكون هذا "الشيء" هو نفس العدد. ثم عند تقاطع عدد الصفوف وعدد الأعمدة ستكون هناك مصفوفة ذات ترتيب أصغر من المصفوفة الأصلية. سيكون محدد هذه المصفوفة بترتيب k-th ثانوي إذا تم الإشارة إلى "شيء" المذكور (عدد الصفوف والأعمدة) بواسطة k.

تعريف.صغير ( ص+1) المرتبة الثانية ، والتي يوجد بداخلها القاصر المختار ص-الترتيب ، يسمى الحدود للقاصر المعين.

الطريقتان الأكثر استخدامًا إيجاد مرتبة المصفوفة. هذا هو طريقة تهديب القصرو طريقة التحولات الأولية(بطريقة غاوس).

طريقة تجاور القاصرين تستخدم النظرية التالية.

النظرية 2 في رتبة مصفوفة.إذا كان من الممكن تكوين قاصر من عناصر المصفوفة صالترتيب العاشر ، الذي لا يساوي الصفر ، فإن رتبة المصفوفة تساوي ص.

باستخدام طريقة التحويلات الأولية ، يتم استخدام الخاصية التالية:

إذا تم الحصول على مصفوفة شبه منحرفة مكافئة للمصفوفة الأصلية عن طريق التحولات الأولية رتبة هذه المصفوفةهو عدد الأسطر الموجودة فيه باستثناء الأسطر التي تتكون بالكامل من الأصفار.

إيجاد مرتبة المصفوفة بطريقة حدود القصر

القاصر المجاور هو قاصر من رتبة أعلى بالنسبة للقاصر المعطى ، إذا كان هذا القاصر من رتبة أعلى يحتوي على قاصر معين.

على سبيل المثال ، بالنظر إلى المصفوفة

لنأخذ قاصرًا

سيكون الحواف مثل هؤلاء القصر:

خوارزمية لإيجاد رتبة مصفوفةالتالي.

1. نجد صغارًا من الدرجة الثانية لا تساوي صفرًا. إذا كان كل الصغار من الدرجة الثانية يساوي صفرًا ، فإن رتبة المصفوفة ستكون مساوية لواحد ( ص =1 ).

2. إذا كان هناك قاصر واحد على الأقل من الدرجة الثانية لا يساوي الصفر ، فإننا نؤلف قاصرًا من الدرجة الثالثة على الأقل. إذا كانت جميع الأطفال الصغار الحدودي من الرتبة الثالثة صفرًا ، فإن رتبة المصفوفة هي اثنان ( ص =2 ).

3. إذا كان أحد القاصرين الحدودي من الرتبة الثالثة على الأقل لا يساوي صفرًا ، فإننا نكوّن القاصرين المحيطين به. إذا كانت كل الحدود الصغرى من الرتبة الرابعة صفرًا ، فإن رتبة المصفوفة هي ثلاثة ( ص =2 ).

4. استمر طالما أن حجم المصفوفة يسمح بذلك.

مثال 1أوجد مرتبة المصفوفة

قرار. الصغرى من الدرجة الثانية .

نحن نضعها في إطار. سيكون هناك أربعة قاصرين على الحدود:

وبالتالي ، فإن جميع الأطفال من الدرجة الثالثة الحدودية تساوي صفرًا ، وبالتالي فإن رتبة هذه المصفوفة هي اثنان ( ص =2 ).

مثال 2أوجد مرتبة المصفوفة

قرار. رتبة هذه المصفوفة هي 1 ، لأن جميع القاصرين من الدرجة الثانية في هذه المصفوفة يساوي الصفر (في هذا ، كما في حالات القاصرين المتاخمين في المثالين التاليين ، الطلاب الأعزاء مدعوون للتحقق من أنفسهم ، ربما باستخدام قواعد حساب المحددات) ، وبين العناصر الثانوية من الدرجة الأولى ، أي من بين عناصر المصفوفة ، لا يساوي الصفر.

مثال 3أوجد مرتبة المصفوفة

قرار. الصغرى من الرتبة الثانية لهذه المصفوفة هي ، وجميع الصغرى من الرتبة الثالثة في هذه المصفوفة تساوي صفرًا. إذن ، رتبة هذه المصفوفة هي اثنان.

مثال 4أوجد مرتبة المصفوفة

قرار. رتبة هذه المصفوفة هي 3 لأن المرتبة الثالثة الوحيدة في هذه المصفوفة هي 3.

إيجاد مرتبة المصفوفة بطريقة التحولات الأولية (بطريقة غاوس)

بالفعل في المثال 1 ، يمكن ملاحظة أن مشكلة تحديد رتبة المصفوفة بطريقة تحديد حدود القصر تتطلب حساب عدد كبير من المحددات. ومع ذلك ، هناك طريقة لتقليل مقدار الحساب إلى الحد الأدنى. تعتمد هذه الطريقة على استخدام تحويلات المصفوفة الأولية وتسمى أيضًا طريقة غاوس.

تعني التحولات الأولية للمصفوفة العمليات التالية:

1) ضرب أي صف أو أي عمود في المصفوفة بعدد آخر غير الصفر ؛

2) إضافة العناصر المقابلة لصف أو عمود آخر إلى عناصر أي صف أو أي عمود في المصفوفة ، مضروبة في نفس العدد ؛

3) تبديل صفين أو عمودين في مصفوفة ؛

4) إزالة الصفوف "الفارغة" ، أي تلك التي تساوي جميع عناصرها صفرًا ؛

5) حذف جميع الأسطر المتناسبة باستثناء واحد.

نظرية.لا يغير التحويل الأولي رتبة المصفوفة. بمعنى آخر ، إذا استخدمنا التحويلات الأولية من المصفوفة أاذهب إلى المصفوفة ب، من ثم .

دع بعض المصفوفة تعطى:

حدد في هذه المصفوفة خطوط تعسفية و أعمدة عشوائية
. ثم المحدد الترتيب عشر ، ويتألف من عناصر المصفوفة
يقع عند تقاطع الصفوف والأعمدة المحددة يسمى ثانوي مصفوفة الترتيب
.

التعريف 1.13.رتبة المصفوفة
هي أكبر رتبة من الصغرى غير الصفرية لهذه المصفوفة.

لحساب رتبة المصفوفة ، يجب على المرء أن يأخذ في الاعتبار جميع القاصرين من الرتبة الأصغر ، وإذا كان أحدهم على الأقل غير صفري ، فانتقل إلى اعتبار القاصرين من الدرجة الأولى. هذا النهج لتحديد رتبة المصفوفة يسمى طريقة الحدود (أو طريقة القاصر الحدودية).

المهمة 1.4.بطريقة تجاور القاصرين ، حدد رتبة المصفوفة
.

ضع في اعتبارك الحدود من الدرجة الأولى ، على سبيل المثال ،
. ثم ننتقل إلى النظر في بعض الحدود من الدرجة الثانية.

علي سبيل المثال،
.

أخيرًا ، دعنا نحلل حدود الترتيب الثالث.

إذن ، أعلى ترتيب للقاصر ليس صفرًا هو 2 ، ومن ثم
.

عند حل المشكلة 1.4 ، يمكن للمرء أن يلاحظ أن سلسلة الحدود الثانوية من الدرجة الثانية ليست صفرية. في هذا الصدد ، يحدث المفهوم التالي.

التعريف 1.14.الأساس الصغير للمصفوفة هو أي قاصر ليس صفريًا يكون ترتيبه مساويًا لرتبة المصفوفة.

نظرية 1.2.(النظرية البسيطة الأساسية). الصفوف الأساسية (الأعمدة الأساسية) مستقلة خطيًا.

لاحظ أن صفوف (أعمدة) المصفوفة تعتمد خطيًا إذا وفقط إذا كان يمكن تمثيل أحدها على الأقل كمجموعة خطية من الصفوف الأخرى.

نظرية 1.3.عدد صفوف المصفوفة المستقلة خطيًا يساوي عدد أعمدة المصفوفة المستقلة خطيًا ويساوي مرتبة المصفوفة.

نظرية 1.4.(شرط ضروري وكافٍ للمُحدد ليكون مساوياً للصفر). من أجل المحدد الترتيب تساوي الصفر ، من الضروري والكافي أن تكون صفوفها (أعمدتها) تابعة خطيًا.

إن حساب مرتبة المصفوفة بناءً على تعريفها أمر مرهق للغاية. يصبح هذا مهمًا بشكل خاص للمصفوفات عالية الترتيب. في هذا الصدد ، من الناحية العملية ، يتم حساب رتبة المصفوفة بناءً على تطبيق النظريات 10.2 - 10.4 ، وكذلك استخدام مفاهيم تكافؤ المصفوفة والتحولات الأولية.

التعريف 1.15.مصفوفتان
و تسمى متكافئة إذا كانت رتبهم متساوية ، أي
.

إذا كانت المصفوفات
و متكافئة ، ثم وضع علامة
 .

نظرية 1.5.لا تتغير رتبة المصفوفة من التحولات الأولية.

سوف نسمي التحولات الأولية للمصفوفة
أي من الإجراءات التالية في المصفوفة:

استبدال الصفوف بالأعمدة والأعمدة بالصفوف المقابلة ؛

تبديل صفوف المصفوفة ؛

شطب خط ، كل عناصره تساوي الصفر ؛

ضرب أي سلسلة بعدد غير صفري ؛

إضافة العناصر المقابلة لصف آخر إلى عناصر صف واحد مضروبة في نفس الرقم
.

النتيجة الطبيعية للنظرية 1.5.إذا كانت المصفوفة
تم الحصول عليها من المصفوفة باستخدام عدد محدود من التحويلات الأولية ، ثم المصفوفات
و متكافئة.

عند حساب مرتبة المصفوفة ، يجب تقليلها إلى شكل شبه منحرف باستخدام عدد محدود من التحولات الأولية.

التعريف 1.16.سوف نسمي شبه منحرف مثل هذا الشكل من تمثيل المصفوفة ، عندما تختفي جميع العناصر الموجودة أسفل المائل في الترتيب الثانوي الحدودي لأكبر ترتيب غير صفري. علي سبيل المثال:

هنا
، عناصر المصفوفة
أنتقل إلى الصفر. ثم سيكون شكل تمثيل مثل هذه المصفوفة شبه منحرف.

كقاعدة عامة ، يتم تقليل المصفوفات إلى شكل شبه منحرف باستخدام الخوارزمية الغاوسية. فكرة الخوارزمية الغاوسية هي أنه بضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة بالعوامل المقابلة ، فإنها تحقق أن جميع عناصر العمود الأول الموجودة أسفل العنصر
، سوف تتحول إلى الصفر. بعد ذلك ، بضرب عناصر العمود الثاني بالمضاعفات المقابلة ، نحقق أن جميع عناصر العمود الثاني تقع أسفل العنصر
، سوف تتحول إلى الصفر. المضي قدما بالمثل.

المهمة 1.5.حدد رتبة مصفوفة باختزالها إلى شكل شبه منحرف.

لتسهيل تطبيق خوارزمية Gaussian ، يمكنك تبديل الصفين الأول والثالث.








.

من الواضح هنا
. ومع ذلك ، لجلب النتيجة إلى شكل أكثر أناقة ، يمكن الاستمرار في المزيد من التحولات على الأعمدة.










.

>> رتبة ماتريكس

رتبة المصفوفة

تحديد رتبة المصفوفة

ضع في اعتبارك مصفوفة مستطيلة. إذا في هذه المصفوفة نختار بشكل تعسفي كخطوط و كالأعمدة ، ثم العناصر عند تقاطع الصفوف والأعمدة المحددة تشكل مصفوفة مربعة بالترتيب k. محدد هذه المصفوفة يسمى k-th ترتيب ثانويالمصفوفة A. من الواضح أن المصفوفة A بها صغرى بأي ترتيب من 1 إلى أصغر العددين m و n. من بين جميع القاصرين غير الصفريين في المصفوفة A ، هناك قاصر واحد على الأقل يكون ترتيبهم هو الأكبر. يُطلق على أكبر عدد من الأوامر غير الصفرية للقاصرين في مصفوفة معينة مرتبةالمصفوفات. إذا كانت رتبة المصفوفة أ هي ص، إذن هذا يعني أن المصفوفة A لها ترتيب ثانوي لا يساوي الصفر ص، ولكن كل قاصر في الترتيب أكبر من ص، يساوي صفر. يُرمز إلى رتبة المصفوفة A بالرمز r (A). من الواضح أن العلاقة

حساب رتبة المصفوفة باستخدام القصر

يتم العثور على رتبة المصفوفة إما عن طريق حدود القصر ، أو عن طريق طريقة التحولات الأولية. عند حساب رتبة المصفوفة بالطريقة الأولى ، يجب على المرء أن ينتقل من صغار الرتب الأدنى إلى صغار من رتبة أعلى. إذا تم العثور بالفعل على قاصر غير صفري D من الترتيب k للمصفوفة A ، فيجب حساب الترتيب (k + 1) فقط للقاصرين المتاخمين للقاصر D ، أي احتوائه على أنه قاصر. إذا كانت جميعها صفراً ، فإن رتبة المصفوفة هي ك.

مثال 1أوجد مرتبة المصفوفة بطريقة الحد من القصر

قرار.نبدأ بالقصر من الدرجة الأولى ، أي من عناصر المصفوفة أ. دعنا نختار ، على سبيل المثال ، العنصر الصغير (العنصر) М 1 = 1 الموجود في الصف الأول والعمود الأول. بالترتيب بمساعدة الصف الثاني والعمود الثالث ، نحصل على الصغرى M 2 = ، والتي تختلف عن الصفر. ننتقل الآن إلى القصر من الدرجة الثالثة ، على الحدود M 2. لا يوجد سوى اثنين منهم (يمكنك إضافة عمود ثان أو رابع). نحسبهم: = 0. وهكذا ، تبين أن جميع القصر الحدودي من الدرجة الثالثة يساوي صفرًا. رتبة المصفوفة أ هي اثنان.

حساب رتبة المصفوفة باستخدام التحولات الأولية

ابتدائيتسمى تحويلات المصفوفة التالية:

1) تبديل أي صفين (أو عمودين) ،

2) ضرب صف (أو عمود) بعدد غير صفري ،

3) إضافة إلى صف واحد (أو عمود) صف آخر (أو عمود) مضروبًا في عدد ما.

يتم استدعاء المصفوفتين ما يعادل، إذا تم الحصول على أحدهما من الآخر بمساعدة مجموعة محدودة من التحولات الأولية.

لا تكون المصفوفات المتكافئة ، بشكل عام ، متساوية ، لكن رتبها متساوية. إذا كانت المصفوفتان A و B متساويتان ، فيتم كتابتها على النحو التالي:~ ب.

العنوان الأساسيالمصفوفة هي مصفوفة بها عدة آحاد على التوالي في بداية القطر الرئيسي (قد يكون عددها صفرًا) ، وجميع العناصر الأخرى تساوي الصفر ، على سبيل المثال ،

بمساعدة التحولات الأولية للصفوف والأعمدة ، يمكن اختزال أي مصفوفة إلى مصفوفة أساسية. رتبة المصفوفة الأساسية تساوي عدد الآحاد الموجودة على قطرها الرئيسي.

مثال 2أوجد مرتبة المصفوفة

أ =

وإحضاره إلى الشكل المتعارف عليه.

قرار.اطرح الصف الأول من الصف الثاني وأعد ترتيب هذه الصفوف:

الآن ، من الصفين الثاني والثالث ، اطرح الأول مضروبًا في 2 و 5 على التوالي:

;

اطرح الأول من الصف الثالث ؛ نحصل على المصفوفة

ب = ,

والتي تعادل المصفوفة A ، حيث يتم الحصول عليها منها باستخدام مجموعة محدودة من التحويلات الأولية. من الواضح أن رتبة المصفوفة B هي 2 ، وبالتالي r (A) = 2. يمكن اختزال المصفوفة B بسهولة إلى المصفوفة الأساسية. بطرح العمود الأول ، مضروبًا بأرقام مناسبة ، من جميع الأرقام اللاحقة ، ننتقل إلى الصفر جميع عناصر الصف الأول ، باستثناء الأول ، ولا تتغير عناصر الصفوف المتبقية. بعد ذلك ، بطرح العمود الثاني ، مضروبًا في الأرقام المناسبة ، من جميع الأرقام اللاحقة ، ننتقل إلى الصفر جميع عناصر الصف الثاني ، باستثناء الثاني ، ونحصل على المصفوفة الأساسية:

ابتدائيتسمى تحويلات المصفوفة التالية:

1) تبديل أي صفين (أو عمودين) ،

2) ضرب صف (أو عمود) بعدد غير صفري ،

3) إضافة إلى صف واحد (أو عمود) صف آخر (أو عمود) مضروبًا في عدد ما.

لا تكون المصفوفات المتكافئة ، بشكل عام ، متساوية ، لكن رتبها متساوية. إذا كانت المصفوفتان A و B متساويتين ، فيتم كتابتها على النحو التالي: A ~ B.

مثال 2أوجد مرتبة المصفوفة

أ =

وإحضاره إلى الشكل المتعارف عليه.

قرار.اطرح الصف الأول من الصف الثاني وأعد ترتيب هذه الصفوف:

الآن ، من الصفين الثاني والثالث ، اطرح الأول مضروبًا في 2 و 5 على التوالي:

;

اطرح الأول من الصف الثالث ؛ نحصل على المصفوفة

ب = ,

نظرية كرونيكر - كابيلي- معيار توافق نظام المعادلات الجبرية الخطية:

لكي يكون النظام الخطي متوافقًا ، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة الممتدة لهذا النظام مساوية لرتبة المصفوفة الرئيسية.

إثبات (شروط توافق النظام)

بحاجة إلى

اسمحوا ان النظاممشترك. ثم هناك أرقام من هذا القبيل. لذلك ، العمود هو مزيج خطي من أعمدة المصفوفة. من حقيقة أن رتبة المصفوفة لن تتغير إذا تم حذف صف (عمود) من نظام صفوفها (أعمدة) أو صف (عمود) وهو عبارة عن تركيبة خطية من صفوف (أعمدة) أخرى يتبع ذلك.

قدرة

اسمحوا ان . لنأخذ بعض الأساسيات الثانوية في المصفوفة. منذ ذلك الحين ، سيكون أيضًا الأساس الثانوي للمصفوفة. ثم ، وفقًا لنظرية الأساس صغير، سيكون العمود الأخير من المصفوفة عبارة عن مجموعة خطية من الأعمدة الأساسية ، أي أعمدة المصفوفة. لذلك ، فإن عمود الأعضاء الأحرار في النظام هو مزيج خطي من أعمدة المصفوفة.

الآثار

عدد المتغيرات الرئيسية أنظمةيساوي رتبة النظام.

مشترك النظامسيتم تعريفه (حله فريد) إذا كانت رتبة النظام مساوية لعدد جميع متغيراته.

نظام متجانس من المعادلات

عرض15 . 2 نظام متجانس من المعادلات

دائمًا تعاوني.

دليل - إثبات. بالنسبة لهذا النظام ، تعتبر مجموعة الأعداد حلاً.

في هذا القسم ، سنستخدم تدوين المصفوفة للنظام:.

عرض15 . 3 مجموع الحلول لنظام متجانس من المعادلات الخطية هو حل لهذا النظام. الحل مضروبًا في رقم هو أيضًا حل.

دليل - إثبات. دعها تعمل كحلول للنظام. ثم و . اسمحوا ان . ثم

منذ ذلك الحين هو الحل.

يجب أن يكون رقمًا تعسفيًا. ثم

منذ ذلك الحين هو الحل.

عاقبة15 . 1 إذا كان نظام المعادلات الخطية المتجانس يحتوي على حل غير صفري ، فعندئذٍ يكون له عدد لا نهائي من الحلول المختلفة.

في الواقع ، بضرب الحل غير الصفري بأرقام مختلفة ، سنحصل على حلول مختلفة.

تعريف15 . 5 سنقول أن الحلول شكل النظم نظام القرار الأساسيإذا كانت الأعمدة تشكل نظامًا مستقلاً خطيًا وأي حل للنظام هو مزيج خطي من هذه الأعمدة.