فهم سحر المبالغة. رسم علاقة عكسية (القطع الزائد)

بالنسبة لبقية القراء ، أقترح تجديد معارفهم المدرسية بشكل كبير حول القطع المكافئ والقطع الزائد. القطع الزائد والقطع المكافئ - هل هو بسيط؟ ... لا تنتظر =)

القطع الزائد ومعادلته الأساسية

سيكون الهيكل العام لعرض المواد مشابهًا للفقرة السابقة. لنبدأ بالمفهوم العام للقطع الزائد ومشكلة بنائه.

المعادلة الأساسية للقطع الزائد لها الشكل ، حيث توجد أرقام حقيقية موجبة. لاحظ أن ، على عكس الشكل البيضاوي، لم يتم فرض الشرط هنا ، أي أن قيمة "a" قد تكون أقل من قيمة "be".

يجب أن أقول ، بشكل غير متوقع ... معادلة المبالغة في "المدرسة" لا تشبه إلى حد بعيد السجل الكنسي. لكن لا يزال يتعين على هذا اللغز انتظارنا ، ولكن في الوقت الحالي دعونا نخدش الجزء الخلفي من رؤوسنا ونتذكر ما هي السمات المميزة للمنحنى قيد الدراسة؟ دعونا ننشرها على شاشة خيالنا الرسم البياني للوظيفة ….

القطع الزائد له فرعين متماثلين.

تطور جيد! أي غلو له هذه الخصائص ، والآن سننظر بإعجاب حقيقي إلى خط العنق لهذا الخط:

مثال 4

أنشئ القطع الزائد المعطى بواسطة المعادلة

قرار: في الخطوة الأولى ، نحول هذه المعادلة إلى الصيغة المتعارف عليها. يرجى تذكر الإجراء المعتاد. على اليمين ، تحتاج إلى الحصول على "واحد" ، لذلك نقسم كلا جزئي المعادلة الأصلية على 20:

يمكنك هنا تقليل كلا الكسرين ، لكن من الأفضل عمل كل منهما ثلاثة طوابق:

وفقط بعد ذلك لإجراء التخفيض:

نختار المربعات في القواسم:

لماذا من الأفضل إجراء التحولات بهذه الطريقة؟ بعد كل شيء ، يمكن تصغير كسور الجانب الأيسر والحصول عليها على الفور. الحقيقة هي أنه في المثال قيد النظر ، كنا محظوظين بعض الشيء: الرقم 20 قابل للقسمة على كل من 4 و 5. في الحالة العامة ، هذا الرقم لا يعمل. ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، المعادلة. هنا ، مع القابلية للقسمة ، كل شيء حزين وبدون كسور من ثلاثة طوابقلم تعد هناك حاجة:

لذا ، دعونا نستخدم ثمار جهودنا - المعادلة الأساسية:

كيفية بناء المبالغة؟

هناك طريقتان لبناء القطع الزائد - هندسي وجبري.
من وجهة نظر عملية ، الرسم بالبوصلة ... حتى أنني قد أقول يوتوبيا ، لذلك من المربح أكثر أن نجلب مرة أخرى حسابات بسيطة للإنقاذ.

يُنصح بالالتزام بالخوارزمية التالية ، الرسم النهائي أولاً ، ثم التعليقات:

في الممارسة العملية ، غالبًا ما تتم مصادفة مجموعة من التدوير من خلال زاوية عشوائية وترجمة موازية للقطع الزائد. تمت مناقشة هذا الوضع في الدرس. اختزال معادلة خط الترتيب الثاني إلى الشكل المتعارف عليه.

القطع المكافئ ومعادلته المتعارف عليها

تم التنفيذ! هي الأكثر. جاهز لكشف الكثير من الأسرار. المعادلة الأساسية للقطع المكافئ لها الشكل ، أين الرقم الحقيقي. من السهل أن نرى أنه في موضعه القياسي ، فإن القطع المكافئ "يقع على جانبه" ويكون رأسه في الأصل. في هذه الحالة ، تقوم الوظيفة بتعيين الفرع العلوي لهذا الخط ، وتقوم الوظيفة بتعيين الفرع السفلي. من الواضح أن القطع المكافئ متماثل حول المحور. في الواقع ، ماذا تستحم:

مثال 6

بناء القطع المكافئ

قرار: قمة الرأس معروفة ، فلنبحث عن نقاط إضافية. المعادلة يحدد القوس العلوي للقطع المكافئ ، وتحدد المعادلة القوس السفلي.

من أجل تقصير السجل ، سنجري العمليات الحسابية "تحت نفس الفرشاة":

للتدوين المضغوط ، يمكن تلخيص النتائج في جدول.

قبل إجراء رسم أولي نقطة بنقطة ، نقوم بصياغة صارمة

تعريف القطع المكافئ:

القطع المكافئ هو مجموعة جميع النقاط في المستوى التي تكون على مسافة متساوية من نقطة معينة وخط معين لا يمر عبر النقطة.

النقطة تسمى التركيزالقطع المكافئ ، خط مستقيم ناظرة (مكتوب بحرف "es" واحد)القطع المكافئ. يسمى الثابت "pe" للمعادلة الأساسية المعلمة البؤرية، والتي تساوي المسافة من البؤرة إلى الدليل. في هذه الحالة . في هذه الحالة ، يكون للتركيز إحداثيات ، ويتم إعطاء الدليل بواسطة المعادلة.
في مثالنا:

تعريف القطع المكافئ أسهل في الفهم من تعريفات القطع الناقص والقطع الزائد. بالنسبة لأي نقطة من القطع المكافئ ، فإن طول المقطع (المسافة من البؤرة إلى النقطة) يساوي طول العمود العمودي (المسافة من النقطة إلى الدليل):

تهانينا! لقد حقق الكثير منكم اكتشافًا حقيقيًا اليوم. اتضح أن القطع الزائد والقطع المكافئ ليسا على الإطلاق رسوم بيانية للوظائف "العادية" ، لكن لهما أصل هندسي واضح.

من الواضح أنه مع زيادة المعلمة البؤرية ، فإن فروع الرسم البياني "ستنتشر" لأعلى ولأسفل ، وتقترب من المحور بشكل لا نهائي. مع انخفاض قيمة "pe" ، سيبدأون في الانكماش والتمدد على طول المحور

الانحراف اللامركزي لأي قطع مكافئ يساوي واحدًا:

دوران وترجمة القطع المكافئ

القطع المكافئ هو أحد الخطوط الأكثر شيوعًا في الرياضيات ، وسيتعين عليك حقًا بنائه كثيرًا. لذلك ، يرجى إيلاء اهتمام خاص للفقرة الأخيرة من الدرس ، حيث سأقوم بتحليل الخيارات النموذجية لموقع هذا المنحنى.

! ملحوظة : كما في حالات المنحنيات السابقة ، من الأصح الحديث عن الدوران والترجمة المتوازية لمحاور الإحداثيات ، لكن المؤلف سيقتصر على نسخة مبسطة من العرض التقديمي بحيث يكون لدى القارئ فكرة أولية عن \ u200b \ u200b \ u200b هذه التحولات.

عرض ودرس حول الموضوع:
"المبالغة ، التعريف ، خاصية الوظيفة"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين ، لا تنسوا ترك تعليقاتكم وملاحظاتكم واقتراحاتكم. يتم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الوسائل التعليمية وأجهزة المحاكاة في المتجر الإلكتروني "Integral" للصف الثامن
جداول تعليمية إلكترونية في الهندسة. 7-9 درجات
جداول تعليمية الكترونية في الجبر. من 7 إلى 9 درجات "

التعريف المفرط

رسم بياني للدالة $ y = \ frac (1) (x) $.
الرسم البياني لهذه الوظيفة يسمى "Hyperbole".

خصائص القطع الزائد

لا يحتوي القطع الزائد على مركز تناظر فحسب ، بل يحتوي أيضًا على محور تناظر. يا رفاق ، ارسموا خطًا مستقيمًا $ y = x $ وانظروا كيف ينقسم الرسم البياني. يمكن ملاحظة أنه إذا كان الجزء الموجود أعلى الخط $ y = x $ متراكبًا على الجزء الموجود أدناه ، فعندئذ سوف يتطابقان ، وهذا يعني التناظر فيما يتعلق بالخط.

لقد أنشأنا رسمًا بيانيًا للدالة $ y = \ frac (1) (x) $ ، ولكن ما سيكون في الحالة العامة $ y = \ frac (k) (x) $، $ k> 0 $.
الرسوم البيانية لن تختلف عمليا. سيتم الحصول على القطع الزائد بنفس الفروع ، فقط كلما زاد $ k $ ، كلما تمت إزالة الفروع من الأصل ، وكلما كان $ k $ أصغر ، كلما اقتربنا من الأصل.

على سبيل المثال ، يبدو الرسم البياني للدالة $ y = \ frac (10) (x) $ بهذا الشكل. أصبح الرسم البياني "أوسع" ، مبتعدًا عن الأصل.
ولكن ماذا عن حالة السالب $ k $؟ الرسم البياني للدالة $ y = -f (x) $ متماثل مع الرسم البياني $ y = f (x) $ حول المحور x ، تحتاج إلى قلبه "رأسًا على عقب".
لنستخدم هذه الخاصية ونرسم الدالة $ y = - \ frac (1) (x) $.

دعونا نلخص المعرفة المكتسبة.
الرسم البياني للدالة $ y = \ frac (k) (x) $، $ k ≠ 0 $ عبارة عن قطع زائد يقع في ربعي الإحداثي الأول والثالث (الثاني والرابع) ، لـ $ k> 0 $ ($ k

خصائص الوظيفة $ y = \ frac (k) (x) $، $ k> 0 $

خصائص الوظيفة $ y = \ frac (k) (x) $، $ k
1. مجال التعريف: جميع الأرقام ماعدا $ х = 0 $.
2. $ y> 0 $ مقابل $ x 0 $.
3. تزيد الوظيفة على الفترات $ (- ∞؛ 0) $ و $ (0؛ + ∞) $.
4. لا تقتصر الوظيفة من أعلى أو أسفل.
5. لا يوجد حد أقصى أو أدنى للقيمة.
6. الوظيفة متصلة على الفواصل الزمنية $ (- ∞؛ 0) U (0؛ + ∞) $ ولها انقطاع عند النقطة $ х = 0 $.
7. نطاق القيم: $ (- ∞؛ 0) U (0؛ + ∞) $.

القطع الزائدهو منحنى مستوى من الدرجة الثانية يتكون من منحنيين منفصلين لا يتقاطعان.
صيغة القطع الزائد ص = ك / س، بشرط كليس متساوي 0 . أي أن رؤوس القطع الزائد تميل إلى الصفر ، لكنها لا تتقاطع معها أبدًا.

القطع الزائد- هذه مجموعة من نقاط المستوى ، معامل الاختلاف في المسافات التي تكون قيمة ثابتة من نقطتين ، تسمى البؤر.

ملكيات:

1. خاصية بصرية:ينعكس الضوء الصادر من مصدر يقع في إحدى بؤر القطع الزائد عن طريق الفرع الثاني للقطع الزائد بحيث تتقاطع استمرارية الأشعة المنعكسة عند البؤرة الثانية.
بمعنى آخر ، إذا كان F1 و F2 بؤرتا لقطع زائد ، فإن الظل لأي نقطة X للقطع الزائد هو منصف الزاوية ∠F1XF2.

2. بالنسبة لأي نقطة تقع على القطع الزائد ، فإن نسبة المسافات من هذه النقطة إلى البؤرة إلى المسافة من نفس النقطة إلى الدليل هي قيمة ثابتة.

3. المفرط له تناسق معكوس حول المحاور الحقيقية والخيالية، إلى جانب التناظر الدورانيعند الدوران بزاوية 180 درجة حول مركز القطع الزائد.

4. كل القطع الزائد له اقتران القطع الزائد، حيث يتم تبديل المحاور الحقيقية والخيالية ، لكن الخطوط المقاربة تظل كما هي.

خصائص القطع الزائد:

1) للقطع الزائد محوري التناظر (المحاور الرئيسية للقطع الزائد) ومركز التناظر (مركز القطع الزائد). علاوة على ذلك ، يتقاطع أحد هذه المحاور مع القطع الزائد عند نقطتين ، تسمى رؤوس القطع الزائد. يطلق عليه المحور الحقيقي للقطع الزائد (المحور أوهللاختيار الكنسي لنظام الإحداثيات). لا يحتوي المحور الآخر على نقاط مشتركة مع القطع الزائد ويسمى المحور التخيلي (في الإحداثيات المتعارف عليها ، المحور OU). يوجد على جانبيها الفروع اليمنى واليسرى للقطع الزائد. تقع بؤر القطع الزائد على محوره الحقيقي.

2) تحتوي فروع القطع الزائد على خطين مقاربين تم تحديدهما بواسطة المعادلات

3) جنبًا إلى جنب مع القطع الزائد (11.3) ، يمكننا اعتبار ما يسمى القطع الزائد المترافق المحدد بواسطة المعادلة الأساسية

التي يتم فيها تبادل المحاور الحقيقية والخيالية مع الحفاظ على نفس الخطوط المقاربة.

4) الانحراف المركزي للقطع الزائد ه> 1.

5) نسبة المسافة ص أنامن نقطة القطع الزائد إلى التركيز و طللمسافة د طمن هذه النقطة إلى الدليل المقابل للتركيز يساوي الانحراف المركزي للقطع الزائد.

42. مقارنة مبالغ فيهاهي مجموعة النقاط في المستوى التي يكون فيها معامل الاختلاف بين المسافات إلى نقطتين ثابتتين F 1 و F 2 من هذه الطائرة تسمى الخدع، هي قيمة ثابتة.

نشتق المعادلة الأساسية للقطع الزائد عن طريق القياس مع اشتقاق معادلة القطع الناقص ، باستخدام نفس الترميز.

|ص 1 - ص 2 | = 2أ، من أين إذا دلت ب² = ج² - أ² ، من هنا يمكنك الحصول عليها

- المعادلة الأساسية للقطع الزائد. (11.3)

يُطلق على موضع النقاط الذي تكون فيه نسبة المسافة إلى البؤرة وإلى خط مستقيم معين ، يسمى الدليل ، ثابتًا وأكبر من واحد ، القطع الزائد. يسمى الثابت المعطى الانحراف اللامركزي للقطع الزائد

التعريف 11.6.شذوذالقطع الزائد يسمى الكمية ه = ج / أ.

الانحراف:

التعريف 11.7.المديرة د طالقطع الزائد المطابق للتركيز و ط، يسمى خط مستقيم يقع في نفس نصف المستوى مع و طحول المحور OUعمودي على المحور أوهعن بعد أ / هـمن الأصل.

43. حالة القطع الزائد المترافق والمنحط (غير كامل)

كل القطع الزائد له اقتران القطع الزائد، حيث يتم تبديل المحاور الحقيقية والخيالية ، لكن الخطوط المقاربة تظل كما هي. هذا يتوافق مع الاستبدال أو بفوق بعضها البعض في صيغة تصف القطع الزائد. القطع الزائد المقترن ليس نتيجة دوران 90 درجة للقطع الزائد الأولي ؛ كلا القطعين الزائدين يختلفان في الشكل.

إذا كانت الخطوط المقاربة للقطع الزائد متعامدة بشكل متبادل ، فسيتم استدعاء القطع الزائد متساوي الساقين . يُطلق على اثنين من القطعات الزائدة التي لها خطوط مقاربة مشتركة ، ولكن مع إعادة ترتيب المحاور المستعرضة والمترافقة مترافق بشكل متبادل .

القطع الزائد والقطع المكافئ

دعنا ننتقل إلى الجزء الثاني من المقالة. حول خطوط الترتيب الثاني، مخصص لمنحنين شائعين آخرين - مقارنة مبالغ فيهاو القطع المكافئ. إذا أتيت إلى هذه الصفحة من محرك بحث أو لم يكن لديك وقت للتنقل في الموضوع ، فأوصيك أولاً بدراسة القسم الأول من الدرس ، حيث درسنا ليس فقط النقاط النظرية الرئيسية ، ولكن أيضًا تعرفنا عليها مع الشكل البيضاوي. بالنسبة لبقية القراء ، أقترح تجديد معارفهم المدرسية بشكل كبير حول القطع المكافئ والقطع الزائد. القطع الزائد والقطع المكافئ - هل هو بسيط؟ ... لا تنتظر =)

القطع الزائد ومعادلته الأساسية

سيكون الهيكل العام لعرض المواد مشابهًا للفقرة السابقة. لنبدأ بالمفهوم العام للقطع الزائد ومشكلة بنائه.

المعادلة الأساسية للقطع الزائد لها الشكل ، حيث توجد أرقام حقيقية موجبة. لاحظ أن ، على عكس الشكل البيضاوي، لم يتم فرض الشرط هنا ، أي أن قيمة "a" قد تكون أقل من قيمة "be".

يجب أن أقول ، بشكل غير متوقع ... معادلة المبالغة في "المدرسة" لا تشبه إلى حد بعيد السجل الكنسي. لكن لا يزال يتعين على هذا اللغز انتظارنا ، ولكن في الوقت الحالي دعونا نخدش الجزء الخلفي من رؤوسنا ونتذكر ما هي السمات المميزة للمنحنى قيد الدراسة؟ دعونا ننشرها على شاشة خيالنا الرسم البياني للوظيفة ….

القطع الزائد له فرعين متماثلين.

يحتوي المبالغة على اثنين الخطوط المقاربة.

تطور جيد! أي غلو له هذه الخصائص ، والآن سننظر بإعجاب حقيقي إلى خط العنق لهذا الخط:

مثال 4

أنشئ القطع الزائد المعطى بواسطة المعادلة

قرار: في الخطوة الأولى ، نحول هذه المعادلة إلى الصيغة المتعارف عليها. يرجى تذكر الإجراء المعتاد. على اليمين ، تحتاج إلى الحصول على "واحد" ، لذلك نقسم كلا جزئي المعادلة الأصلية على 20:

يمكنك هنا تقليل كلا الكسرين ، لكن من الأفضل عمل كل منهما ثلاثة طوابق:

وفقط بعد ذلك لإجراء التخفيض:

نختار المربعات في القواسم:

لماذا من الأفضل إجراء التحولات بهذه الطريقة؟ بعد كل شيء ، يمكن تصغير كسور الجانب الأيسر والحصول عليها على الفور. الحقيقة هي أنه في المثال قيد النظر ، كنا محظوظين بعض الشيء: الرقم 20 قابل للقسمة على كل من 4 و 5. في الحالة العامة ، هذا الرقم لا يعمل. ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، المعادلة. هنا ، مع القابلية للقسمة ، كل شيء حزين وبدون كسور من ثلاثة طوابقلم تعد هناك حاجة:

لذا ، دعونا نستخدم ثمار جهودنا - المعادلة الأساسية:

كيفية بناء المبالغة؟

هناك طريقتان لبناء القطع الزائد - هندسي وجبري.
من وجهة نظر عملية ، الرسم بالبوصلة ... حتى أنني قد أقول يوتوبيا ، لذلك من المربح أكثر بكثير إجراء حسابات بسيطة للإنقاذ مرة أخرى.

يُنصح بالالتزام بالخوارزمية التالية ، الرسم النهائي أولاً ، ثم التعليقات:

1) بادئ ذي بدء ، نجد الخطوط المقاربة. إذا تم إعطاء القطع الزائد بواسطة المعادلة الأساسية ، فإن الخطوط المقاربة لها تكون كذلك مباشرة . في حالتنا هذه: . هذا العنصر مطلوب!هذه سمة أساسية للرسم ، وسيكون خطأ فادحًا إذا "زحفت" فروع القطع الزائد خارج الخطوط المقاربة.

2) الآن نجد رأسان من القطع الزائد، والتي تقع على المحور السيني عند النقاط . مشتق أوليًا: إذا ، فإن المعادلة الأساسية تتحول إلى ، ومن أين تتبع ذلك. القطع الزائد المدروس له رؤوس

3) نبحث عن نقاط إضافية. عادة 2-3 يكفي. في الموضع المتعارف عليه ، يكون القطع الزائد متماثلًا حول الأصل وكلا محوري الإحداثيات ، لذلك يكفي إجراء حسابات لربع الإحداثي الأول. هذه التقنية هي نفسها تمامًا مثل البناء الشكل البيضاوي. من المعادلة الأساسية في المسودة ، نعبر عن:

تنقسم المعادلة إلى وظيفتين:
- يحدد الأقواس العلوية للقطع الزائد (ما نحتاجه) ؛
- يحدد الأقواس السفلية للقطع الزائد.

يقترح العثور على نقاط مع Abscissas:

4) ارسم الخطوط المقاربة على الرسم ، الرؤوس ، نقاط إضافية ومتناظرة في أرباع إحداثيات أخرى. نقوم بتوصيل النقاط المقابلة بعناية عند كل فرع من فروع القطع الزائد:

يمكن أن تنشأ صعوبة فنية مع غير منطقي عامل الانحدار، لكن هذه مشكلة يمكن التغلب عليها تمامًا.

القطعة المستقيمةاتصل المحور الحقيقيمقارنة مبالغ فيها،
طوله - المسافة بين الرؤوس.
رقم اتصل نصف المحور الحقيقيمقارنة مبالغ فيها؛
رقم – المحور التخيلي.

في مثالنا: ، ومن الواضح ، إذا تم تدوير القطع الزائد المعطى حول مركز التناظر و / أو تم تحريكه ، فإن هذه القيم لن تتغير.

تعريف القطع الزائد. البؤر والغرابة

في المبالغة ، بنفس الطريقة كما في الشكل البيضاوي، هناك نقطتان متفردتان تسمى الخدع. لم أقل ذلك ، ولكن فقط في حالة ، فجأة أساء شخص ما الفهم: مركز التناظر ونقاط التركيز ، بالطبع ، لا تنتمي إلى المنحنيات.

المفهوم العام للتعريف مشابه أيضًا:

مقارنة مبالغ فيهاهي مجموعة جميع النقاط في المستوى ، قيمه مطلقهالفرق في المسافات بين نقطتين قيمة ثابتة ، تساوي عدديًا المسافة بين رؤوس هذا القطع الزائد:. في هذه الحالة ، تتجاوز المسافة بين البؤر طول المحور الحقيقي:.

إذا تم إعطاء القطع الزائد بواسطة المعادلة الأساسية ، إذن المسافة من مركز التناظر إلى كل بؤرةمحسوبة بالصيغة:.
وبناءً عليه ، يكون للمراكز إحداثيات .

للقطع الزائد المدروس:

دعنا ننتقل إلى التعريف. قم بالإشارة إلى المسافات من البؤر إلى نقطة عشوائية للقطع الزائد:

أولاً ، حرك النقطة الزرقاء عقليًا على طول الفرع الأيمن للقطع الزائد - أينما كنا ، وحدة(القيمة المطلقة) سيكون الفرق بين أطوال المقاطع هو نفسه:

إذا "ألقيت" النقطة إلى الفرع الأيسر ، وتم نقلها إلى هناك ، فستظل هذه القيمة دون تغيير.

هناك حاجة لإشارة المقياس لأن الفرق في الطول يمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا. بالمناسبة ، لأي نقطة على الفرع الأيمن (لأن المقطع أقصر من المقطع). بالنسبة لأي نقطة من الفرع الأيسر ، يكون الوضع معاكسًا تمامًا و .

علاوة على ذلك ، في ضوء الخاصية الواضحة للمقياس ، لا يهم ما نطرحه من ماذا.

لنتأكد من أن مقياس هذا الاختلاف في مثالنا يساوي المسافة بين الرءوس. ضع نقطة ذهنيًا على الرأس الأيمن للقطع الزائد. ثم: الذي كان ليتم فحصه.

القطع الزائد هو موضع النقاط الذي يكون الفرق في المسافات من نقطتين ثابتتين على المستوى ، يسمى البؤر ، ثابتًا ؛ يتم أخذ الاختلاف المشار إليه في القيمة المطلقة ويتم الإشارة إليه عادةً بالرمز 2 أ. يُشار إلى بؤري القطع الزائد بالحرفين F 1 و F 2 ، والمسافة بينهما من خلال 2s. حسب تعريف القطع الزائد 2 أ

دع المبالغة تعطى. إذا تم اختيار محاور نظام الإحداثيات المستطيل الديكارتي بحيث تكون بؤر القطع الزائد على محور الإحداثيات بشكل متماثل فيما يتعلق بالأصل ، ففي نظام الإحداثيات هذا ، يكون لمعادلة القطع الزائد الشكل

س 2 / أ 2 + ص 2 / ب 2 \ u003d 1 ، (1)

حيث ب \ u003d √ (ج 2 - أ 2). تسمى معادلة النموذج (I) المعادلة الأساسية للقطع الزائد. مع الاختيار المشار إليه لنظام الإحداثيات ، تكون محاور الإحداثيات هي محاور تناظر القطع الزائد ، وأصل الإحداثيات هو مركز التناظر (الشكل 18). محاور التناظر للقطع الزائد تسمى ببساطة محاورها ، مركز التناظر هو مركز القطع الزائد. يقطع القطع الزائد أحد محاوره ؛ تسمى نقاط التقاطع رؤوس القطع الزائد. على التين. 18 رؤوس القطع الزائد هي النقطتان "أ" و "أ".

يسمى المستطيل ذو الجانبين 2 أ و 2 ب ، والموجود بشكل متماثل حول محاور القطع الزائد ويلامسها عند الرؤوس ، بالمستطيل الرئيسي للقطع الزائد.

يُطلق أيضًا على مقاطع الطول 2 أ و 2 ب التي تربط بين نقطتي المنتصف لجوانب المستطيل الرئيسي للقطع الزائد محاورها. أقطار المستطيل الرئيسي (ممتد إلى أجل غير مسمى) هي الخطوط المقاربة للقطع الزائد ؛ معادلاتهم هي:

ص = ب / أ س ، ص = - ب / أ س

المعادلة

س 2 / أ 2 + ص 2 / ب 2 \ u003d 1 (2)

يعرّف القطع الزائد المتماثل حول محاور الإحداثيات مع البؤر على المحور الصادي ؛ المعادلة (2) ، مثل المعادلة (1) ، تسمى المعادلة الأساسية للقطع الزائد ؛ في هذه الحالة ، فإن الفرق الثابت في المسافات من نقطة عشوائية للقطع الزائد إلى البؤر يساوي 2 ب.

اثنان من القطع الزائدة التي تم تحديدها بواسطة المعادلات

س 2 / أ 2 - ص 2 / ب 2 \ u003d 1 ، - س 2 / أ 2 + ص 2 / ب 2 \ u003d 1

في نفس نظام الإحداثيات تسمى مترافق.

يسمى القطع الزائد بنصف أذرع متساوية (أ \ u003d ب) متساوي الأضلاع ؛ معادلتها الأساسية هي

س 2 - ص 2 \ u003d أ 2 أو - س 2 + ص 2 \ u003d أ 2.

حيث a هي المسافة من مركز القطع الزائد إلى قمته ، يسمى الانحراف اللامركزي للقطع الزائد. من الواضح ، لأي قطع زائد ε> 1. إذا كانت M (x ؛ y) نقطة عشوائية للقطع الزائد ، فإن المقاطع F 1 M و F 2 M (انظر الشكل 18) تسمى نصف القطر البؤري للنقطة M. يتم حساب نصف القطر البؤري لنقاط الفرع الأيمن للقطع الزائد

r 1 \ u003d εx + a ، r 2 \ u003d εx - a ،

نصف القطر البؤري لنقاط الفرع الأيسر - وفقًا للصيغ

ص 1 \ u003d -εx - أ ، ص 2 \ u003d -εx + أ

إذا تم إعطاء القطع الزائد بواسطة المعادلة (1) ، فإن الخطوط المحددة بواسطة المعادلات

س = -a / ε ، س = أ / ε

تسمى مديريها (انظر الشكل 18). إذا تم إعطاء القطع الزائد بواسطة المعادلة (2) ، فسيتم تحديد الدلائل بواسطة المعادلات

س = -b / ε ، س = ب / ε

يحتوي كل دليل على الخاصية التالية: إذا كانت r هي المسافة من نقطة عشوائية للقطع الزائد إلى بعض التركيز ، فإن d هي المسافة من نفس النقطة إلى الدليل أحادي الجانب مع هذا التركيز ، فإن النسبة r / d هي ثابت قيمة تساوي الانحراف المركزي للقطع الزائد:

515. قم بتكوين معادلة القطع الزائد ، التي تقع بؤرتها على محور الإحداثي بشكل متماثل فيما يتعلق بالأصل ، مع العلم ، بالإضافة إلى ذلك ، أن:

1) محاوره 2 أ = 10 و 2 ب = 8 ؛

2) المسافة بين البؤر 2 ج = 10 والمحور 2 ب = 8 ؛

3) المسافة بين البؤر 2 ج = 6 والانحراف ε = 3/2 ؛

4) المحور 2 أ = 16 والانحراف ε = 5/4 ؛

5) معادلات الخطوط المقاربة y = ± 4 / 3x والمسافة بين البؤر 2c = 20 ؛

6) المسافة بين الدلائل 22 2/13 والمسافة بين البؤر 2 ج = 26 ؛ 39

7) المسافة بين الدلائل هي 32/5 والمحور 2 ب = 6 ؛

8) المسافة بين الدلائل 8/3 والانحراف ε = 3/2 ؛

9) معادلات الخط المقارب y = ± 3/4 x والمسافة بين الدلائل هي 12 4/5.

516- اكتب معادلة القطع الزائد ، التي تقع بؤرتها على المحور الصادي بشكل متماثل بالنسبة إلى الأصل ، مع العلم ، بالإضافة إلى ذلك ، أن:

1) أنصاف المحاور أ = 6 ، ب = 18 (الحرف أ يشير إلى نصف المحاور للقطع الزائد الموجود على محور الإحداثيات) ؛

2) المسافة بين البؤر 2C = 10 و exceitrity ε = 5/3 ؛ أوه أنا. 12

3) معادلات الخطوط المقاربة y = ± 12 / 5x والمسافة بين الرؤوس هي 48 ؛

4) المسافة بين الدلائل هي 7 1/7 والانحراف ε = 7/5 ؛

5) معادلات الخط المقارب y = ± 4 / 3x والمسافة بين الدلائل هي 6 2/5.

517. حدد نصفي المحاور أ وب لكل من القطوع الزائدة التالية:

1) × 2/9 - ص 2/4 \ u003d 1 ؛ 2) × 2/16 - ص 2 \ u003d 1 ؛ 3) × 2-4 ص 2 = 16 ؛

4) × 2 - ص 2 = 1 ؛ 5) 4 × 2 - 9 ص 2 = 25 ؛ 6) 25x 2-16y 2 \ u003d 1 ؛

7) 9 × 2 - 64 ص 2 = 1.

518. بإعطاء القطع الزائد 16x 2 - 9y 2 = 144. أوجد: 1) شبه المحاور a و b؛ 2) الحيل. 3) اللامركزية. 4) معادلات الخطوط المقاربة. 5) معادلات الدليل.

519. بإعطاء القطع الزائد 16x 2-9y 2 = -144. البحث عن: 1) نصف المحاور أ وب ؛ 2) الحيل. 3) اللامركزية. 4) معادلات الخطوط المقاربة. 5) معادلات الدليل.

520. احسب مساحة المثلث المكون من الخطوط المقاربة للقطع الزائد x 2/4 - y 2/9 = 1 والخط 9x + 2y - 24 = 0.

521- حدد الخطوط التي تحددها المعادلات التالية:

1) ص \ u003d + 2/3 √ (× 2-9) ؛ 2) ص \ u003d -3 √ (س 2 + 1)

3) س \ u003d -4 / 3 √ (ص 2 + 9) ؛ 4) + 2 / 5√ (× 2 + 25)

522. إعطاء النقطة M 1 (l0 ؛ - √5) على القطع الزائد - x 2/80 - y 2/20 = 1. كوّن معادلات للخطوط التي يقع عليها نصف القطر البؤري للنقطة M 1.

523. تأكد من أن النقطة M 1 (-5 ؛ 9/4) تقع على كرة الغيلر × 2/16 - ص 2/9 = 1 ، حدد نصف القطر البؤري للنقطة م 1.

524. الانحراف اللامركزي للقطع الزائد ε = 2 ، نصف القطر البؤري لنقطته M ، المستمدة من بعض التركيز ، هو 16. احسب المسافة من النقطة M إلى الدليل أحادي الجانب باستخدام هذا التركيز.

525. الانحراف المركزي للقطع الزائد ε = 3 ، المسافة من النقطة M للقطع الزائد إلى الدليل هي 4. احسب المسافة من النقطة M إلى البؤرة ، من جانب واحد مع هذا الدليل.

526. الانحراف اللامركزي للقطع الزائد ε = 2 ، مركزه يقع في الأصل ، أحد النقاط هو F (12 ؛ 0). احسب المسافة من النقطة M 1 للقطع الزائد مع إحداثيات تساوي 13 إلى الدليل المقابل للبؤرة المحددة.

527. الانحراف اللامركزي للقطع الزائد ε = 3/2 ، مركزه في الأصل ، أحد الدلائل يُعطى بالمعادلة x = -8. احسب المسافة من النقطة M 1 للقطع الزائد مع إحداثي يساوي 10 إلى البؤرة المقابلة للدليل المعطى.

528. حدد نقاط القطع الزائد - x 2/64 - y 2/36 = 1 ، بحيث تكون المسافة إلى التركيز الأيمن 4.5.

529. حدد نقاط القطع الزائد × 2/9 - ص 2/16 = 1 ، بحيث تكون المسافة التي تبعدها عن البؤرة اليسرى 7.

530. يتم رسم عمودي على محوره الذي يحتوي على الرؤوس من خلال التركيز الأيسر للقطع الزائد x 2/144 - y 2/25 = 1. حدد المسافات من البؤر إلى نقاط تقاطع هذا العمودي مع القطع الزائد.

531. باستخدام بوصلة واحدة ، قم ببناء بؤر القطع الزائد × 2/16 - ص 2/25 = 1 (على افتراض أن محاور الإحداثيات موضحة وأن وحدة القياس معطاة).

532. اكتب معادلة القطع الزائد ، التي تقع بؤرتها على المحور السيني بشكل متماثل حول الأصل ، إذا أعطيت:

1) النقاط M 1 (6 ؛ -1) و M 2 (-8 ؛ 2√2) القطوع الزائدة ؛

2) النقطة M 1 (-5 ؛ 3) القطوع الزائدة والانحراف ε = √2 ؛

3) النقطة M 1 (9/2 ؛ -l) للقطع الزائد ومعادلة الخطوط المقاربة y = ± 2.3x ؛

4) النقطة M 1 (-3 ؛ 5.2) معادلات الدليل والقطوع الزائدة x = ± 4/3 ؛

5) معادلات الخطوط المقاربة y = ± -3 / 4x ومعادلات الدليل x = ± 16/5

533. حدد الانحراف المركزي في القطع الزائد المتساوي الأضلاع.

534. حدد الانحراف اللامركزي للقطع الزائد إذا كان المقطع بين رؤوسه مرئيًا من بؤر القطع الزائد المقترن بزاوية 60 درجة.

535. تتطابق بؤر القطع الزائد مع بؤر القطع الناقص x 2/25 + y 2/9 = 1. اكتب معادلة القطع الزائد إذا كانت الانحراف ε = 2.

536. اكتب معادلة للقطع الزائد الذي تقع بؤرته عند رؤوس القطع الناقص x 2/100 + y 2/64 = 1 ، وتمر الدلائل من خلال بؤر هذا القطع الناقص.

537. أثبت أن المسافة من بؤرة القطع الزائد x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1 إلى الخط المقارب لها تساوي b.

538. إثبات أن حاصل ضرب المسافات من أي نقطة للقطع الزائد x x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1 إلى الخطين المقاربين له هو قيمة ثابتة تساوي a 2 b 2 / (a ​​2 + b 2)

539. إثبات أن مساحة متوازي الأضلاع المحصورة بالخطوط المقاربة للقطع الزائد × 2 / أ 2 - ص 2 / ب 2 = 1 والخطوط المستقيمة المرسومة عبر أي من نقاطها الموازية للخطوط المقاربة قيمة ثابتة تساوي إلى أب / 2.

540. قم بتكوين معادلة القطع الزائد إذا كان المحاور شبه أ و ب معروفين ، والمركز C (× 0 ؛ ص 0) والبؤر تقع على خط مستقيم: 1) موازية لمحور الثور ؛ 2) موازية لمحور Oy.

541. إثبات أن كل من المعادلات التالية تحدد القطع الزائد ، وإيجاد إحداثيات المركز C ، والنصف المحور ، والغرابة ، ومعادلات الخطوط المقاربة ، ومعادلات الدليل:

1) 16x 2-9y2-64x - 54y - 161 = 0 ؛

2) 9 × 2 - 16 ص 2 + 90 × + 32 ص - 367 = 0 ؛

3) 16x 2-9y2-64x - 18y + 199 = 0.

542- حدد الخطوط التي تحددها المعادلات التالية:

1) ص \ u003d - 1 + 2/3 √ (× 2 - 4x - 5) ؛

2) ص \ u003d 7- 3/2 √ (× 2-6 س + 13) ؛

3) س = 9 - 2√ (ص 2 + 4 ص + 8) ؛

4) X \ u003d 5 + 3/4 √ (ص 2 + 4 ص - 12).

ارسم هذه الخطوط على الرسم.

543- اكتب معادلة القطع الزائد ، مع العلم أن:

1) المسافة بين رؤوسه هي 24 والبؤر هي F 1 (-10 ؛ 2) ، F 2 (16 ؛ 2) ؛

2) البؤر هي F 1 (3 ؛ 4) ، F 2 (-3 ؛ -4) والمسافة بين الدلائل 3.6 ؛

3) الزاوية بين الخطوط المقاربة 90 درجة والبؤر F 1 (4 ؛ -4) ، و 1 (- 2 ؛ 2).

544. اكتب معادلة القطع الزائد إذا كان الانحراف المركزي ε = 5/4 ، والتركيز F (5 ؛ 0) ومعادلة الدليل المقابل 5x - 16 = 0 معروفة.

545. اكتب معادلة القطع الزائد إذا كان انحرافه e معروفًا - التركيز F (0 ؛ 13) ومعادلة الدليل المقابل 13y - 144 = 0.

546. النقطة أ (-3 ؛ - 5) تقع على القطع الزائد الذي تركيزه هو F (-2 ؛ -3) ، والدليل المقابل لها المعادلة x + 1 = 0. اكتب معادلة لهذا القطع الزائد .

547. اكتب معادلة القطع الزائد إذا كان الانحراف المركزي ε = √5 والتركيز F (2 ؛ -3) ومعادلة الدليل المقابل Zx - y + 3 = 0 معروفة.

548. النقطة M 1 (1 ؛ 2) تقع على القطع الزائد الذي تركيزه هو F (-2 ؛ 2) ، والدليل المقابل مُعطى بالمعادلة 2x - y - 1 = 0. اكتب معادلة لذلك القطع الزائد.

549. معادلة القطع الزائد المتساوي الأضلاع x 2 - y 2 = a 2. ابحث عن معادلته في النظام الجديد ، مع أخذ الخطوط المقاربة كمحاور إحداثيات.

550. بعد التأكد من أن كل من المعادلات التالية تحدد القطع الزائد ، ابحث عن معادلات المركز ، والنصف المحاور ، والخطوط المقاربة ، وقم برسمها على الرسم: 1) xy = 18؛ 2) 2xy - 9 = 0 ؛ 3) 2xy + 25 = 0.

551. أوجد نقاط تقاطع الخط 2x - y - 10 = 0 والقطع الزائد x 2/20 - y 2/5 = 1.

552. أوجد نقاط تقاطع الخط المستقيم 4x - 3y - 16 = 0 والقطع الزائد x 2/25 - y 2/16 = 1.

553. أوجد نقاط تقاطع الخط 2x - y + 1 = 0 والقطع الزائد x 2/9 - y 2/4 = 1.

554- في الحالات التالية ، حدد كيف يقع الخط بالنسبة للقطع الزائد: هل يتقاطع أو يمس أو يمر خارجه:

1) س - ص - 3 \ u003d 0 ، × 2/12 - ص 2/3 \ u003d ل ؛

2) س - 2 ص + 1 \ u003d 0 ، × 2/16 - ص 2/9 \ u003d ل ؛

555. أوجد ما هي قيم m للخط المستقيم y = 5 / 2x + m

1) يتقاطع مع القطع الزائد × 2/9 - ص 2/36 = 1 ؛ 2) يمسها.

3) يمر خارج هذا القطع الزائد.

556. اشتق شرطًا يلمس بموجبه الخط y \ u003d kx + m القطع الزائد x 2 / a 2 - y 2 / b 2 \ u003d 1.

557. يؤلف معادلة الظل للقطع الزائد x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1 عند نقطته Af، (* ،؛ #i).

558. إثبات أن مماسات القطع الزائد المرسوم في نهايات نفس القطر متوازية.

559. يؤلف معادلات الظل للقطع الزائد × 2/20 - ص 2/5 \ u003d 1 ، عموديًا على الخط 4x + Zy - 7 \ u003d 0.

560. يؤلف معادلات الظل للقطع الزائد x 2/16 - y 2/64 = 1 ، موازية للخط 10x - 3y + 9 = 0.

561. ارسم الظل للقطع الزائد x 2/16 - y 2/8 = - 1 بالتوازي مع الخط 2x + 4y - 5 = 0 واحسب المسافة d بينهما.

562. على القطع الزائد x 2 / 24- y 2/18 = 1 ، أوجد النقطة M 1 الأقرب للخط Zx + 2y + 1 = O ، واحسب المسافة d من النقطة M x لهذا الخط.

563. قم بتكوين معادلة الظل للقطع الزائد x 2 - y 2 = 16 ، مستمدة من النقطة A (- 1 ؛ -7).

564. ماسات القطع الزائد x 2/8 - y 2/32 = 1 مأخوذة من النقطة C (1 ؛ -10) اكتب معادلة الوتر الذي يربط بين نقاط الاتصال.

565. المماس للقطع الزائد x 2/3 - y 2/5 = 1 يتم رسمها من النقطة P (1 ؛ -5) احسب المسافة d من النقطة P إلى وتر القطع الزائد الذي يربط بين نقاط الاتصال.

566. يمر القطع الزائد بالنقطة A (√6 ؛ 3) ويلامس الخط 9x + 2y - 15 == 0. اكتب معادلة لهذا القطع الزائد ، بشرط أن تتوافق محاوره مع محاور الإحداثيات.

567. اكتب معادلة مماس القطع الزائد لخطين: 5x - 6y - 16 = 0 ، 13x - 10y - 48 = 0 ، بشرط أن تتطابق محاوره مع محاور الإحداثيات.

568. تأكد من أن نقاط تقاطع القطع الناقص × 2/3 - ص 2/5 = 1 والقطع الزائد × 2/12 - ص 2/3 = 1 هي رؤوس المستطيل ، ارسم معادلات أضلاعه .

569. الزوائد × 2 / أ 2 - ص 2 / ب 2 = 1 وبعض مماساتها معطاة: P - نقطة تقاطع المماس مع المحور Ox ، Q - إسقاط نقطة التلامس على نفس المحور. محور. إثبات أن OP OQ = أ 2.

570. إثبات أن بؤر القطع الزائد تقع على جوانب متقابلة لأي من ظلماته.

571. إثبات أن حاصل ضرب المسافات من البؤر إلى أي ظل للقطع الزائد × 2 / أ 2 - ص 2 / ب 2 = 1 هو ثابت يساوي ب 2.

572. الخط 2x - y - 4 == 0 يلمس القطع الزائد الذي تكون بؤرته عند النقطتين F 1 (-3 ؛ 0) و F 2 (3 ؛ 0). اكتب معادلة لهذا القطع الزائد.

573- قم بتكوين معادلة القطع الزائد ، التي تقع بؤرتها على محور الإحداثيات بشكل متماثل حول الأصل ، إذا كانت معادلة الظل للقطع الزائد 15x + 16y - 36 = 0 والمسافة بين رؤوسها 2 أ = 8 هي معروف.

574. برهن أن الخط المماس للقطع الزائد عند نقطة معينة M يصنع زوايا متساوية مع نصف القطر البؤري F 1 M ، F 2 M ويمر داخل الزاوية F 1 MF 2. X ^

575. من البؤرة اليمنى للقطع الزائد x 2/5 - y 2/4 = 1 عند الزاوية α (π

576. إثبات أن القطع الناقص والقطع الزائد لهما بؤر مشتركة يتقاطعان بزاوية قائمة.

577. معامل الضغط المنتظم للمستوى على محور الثور هو 4/3. حدد معادلة الخط الذي يتم تحويل القطع الزائد إليه x 2/16 - y 2/9 = 1 أثناء هذا الضغط. راجع المهمة 509.

578. معامل الضغط المنتظم للمستوى على المحور Oy هو 4/5. أوجد معادلة الخط الذي يتم تحويل القطع الزائد إليه x 2/25 - y 2/9 = 1 أثناء هذا الضغط.

579. أوجد معادلة الخط الذي يتم فيه تحويل القطع الزائد x 2 - y 2 \ u003d 9 بضغطين منتظمين متتاليين من المستوى إلى محاور الإحداثيات ، إذا كانت معاملات الضغط المنتظم للمستوى على المحورين Ox و Oy تساوي 2/3 و 5/3 على التوالي.

580. حدد المعامل q للضغط المنتظم للمستوى على محور الثور ، حيث يتحول القطع الزائد - x 2/25 - y 2/36 = 1 إلى قطع زائد x 2/25 - y 2/16 = 1.

581. حدد المعامل q للضغط المنتظم للمستوى على محور Oy ، حيث يتحول القطع الزائد x 2/4 - y 2/9 = 1 إلى قطع زائد x 2/16 - y 2/9 = 1.

582. حدد المعاملين q 1 و q 2 للضغطين المنتظمين المتتاليين للمستوى على المحورين Ox و Oy ، حيث يتم تحويل القطع الزائد x 2/49 - y 2/16 = 1 إلى قطع زائد × 2/25 - ص 2/64 = 1.