تحليل مستوى مهام الامتحان. التحضير لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات (المستوى الشخصي): الواجبات والحلول والشروحات

مؤلف باجمينوفات. مدرس رياضياتمدرسة MBOU الثانوية رقم 14، نوفوتشركاسك، منطقة روستوف.

عند حل المهام المتعلقة باستخدام المشتقات استعدادًا لامتحان الدولة الموحدة، هناك مجموعة واسعة من المهام، مما يدفع إلى ضرورة تقسيم المهام إلى مجموعات، مصحوبة بمواد نظرية حول موضوع "المشتقات".

دعونا نلقي نظرة على أمثلة المهام رقم 7 حول موضوع "مشتق" مستوى الملف الشخصي في الرياضيات، وتقسيمها إلى مجموعات.

1 . دع الدالة f(x) تكون مستمرة على الفترة [ أ ; ب ] وقابل للاشتقاق في الفترة (a;b). ثم إذا كان مشتق الدالة أكبر من الصفر لجميع x التي تنتمي إلى [ أ ; ب ]، فإن الدالة تزيد بمقدار [ أ ; ب ]، وإذا كانت مشتقة الدالة أقل من الصفر فإنها تنقص على هذه القطعة.

أمثلة:

1)

حل.

عند نقاط ونقاط تتناقص الدالة، وبالتالي فإن مشتقة الدالة عند هذه النقاط تكون سالبة.

الجواب: 2.

2)

حل.

في الفترات (-2;2)، (6;10) تكون مشتقة الدالة سالبة؛ وبالتالي فإن الدالة تتناقص في هذه الفترات. طول كلا الفترتين هو 4.

الجواب: 4.

3)

حل.

على القطعة تكون مشتقة الدالة موجبة، وبالتالي فإن الدالة تزداد في هذه الفترة، وبالتالي تأخذ الدالة أصغر قيمة لها عند النقطة 3.

الجواب: 3.

4)

حل.

في الفترة [-2;3] تكون مشتقة الدالة سالبة، وبالتالي تقل الدالة في هذه الفترة، وبالتالي تأخذ الدالة أكبر قيمة لها عند النقطة -2.

الجواب: -2.

2 . إذا تغير مشتق الدالة عند نقطة ما الإشارة من "-" إلى "+"، فهذه هي النقطة الدنيا للدالة؛ إذا تغيرت إشارة مشتق الدالة عند نقطة ما من "+" إلى "-"، فهذه هي النقطة القصوى للدالة.

مثال:

حل.

عند النقطة س=3؛ x=13 مشتق الدالة يغير الإشارة من "-" إلى "+"، وبالتالي فإن هذه هي النقاط الدنيا للدالة.

الجواب: 2.

3. الحالة( س )=0 شرط ضروري للوصول إلى الحد الأقصى للدالة القابلة للتفاضل F ( س ). نظرًا لأنه عند نقاط تقاطع الرسم البياني لمشتق الدالة مع محور الثور، فإن مشتق الدالة يساوي الصفر، فهذه النقاط هي نقاط متطرفة.

مثال:

حل.

هناك 4 نقاط تقاطع للرسم البياني لمشتقة الدالة مع محور الثور على قطعة معينة، وبالتالي هناك 4 نقاط قصوى.

الجواب: 4.

4 . مشتقة الدالة تساوي صفرًا عند أقصى نقاط الدالة. في هذه المسألة، هذه هي النقاط التي تتحول فيها الدالة من الزيادة إلى التناقص أو العكس.

مثال:

حل.

عند النقاط يكون المشتق صفرًا.

الجواب: 4.

5. أوجد قيمة مشتقة الدالة عند نقطة ما، وهذا يعني إيجاد ظل زاوية ميل المماس لمحور الثور أو لخط مستقيم موازٍ لمحور الثور. إذا كانت زاوية ميل المماس لمحور الثور حادة، فإن ظل الزاوية يكون موجباً، وإذا كانت زاوية ميل المماس لمحور الثور منفرجة، فإن ظل الزاوية يكون سالباً.

مثال:

حل.

لنقم بإنشاء مثلث قائم الزاوية يقع فيه الوتر على المماس، وأحد الأرجل يقع على محور الثور أو على خط مستقيم موازي لمحور الثور، ثم نحسب أطوال الأضلاع ونحسب المماس من الزاوية الحادة للمثلث القائم. الضلع المقابل يساوي 2، والضلع المجاور يساوي 8، وبالتالي فإن ظل الزاوية الحادة للمثلث القائم يساوي 0.25. زاوية ميل المماس لمحور الثور منفرجة، وبالتالي ظل زاوية ميل المماس سالب، وبالتالي فإن قيمة مشتقة الدالة عند النقطة هي -0.25.

الجواب: - 0.25.

6. 1) معاملات الزوايا للخطوط المتوازية متساوية.

2) قيمة مشتقة الدالة F ( س ذ = F ( س ) عند نقطة (؛ F ()).

مثال.

حل.

ميل الخط المستقيم هو 2. منذ ذلك الحينقيمة مشتقة الدالةF( س) عند نقطة ما يساوي ميل المماس للرسم البياني للدالةذ= F( س) عند نقطة (؛F())، ثم نجد النقاط التي عندها مشتق الدالةF( س) يساوي 2.هناك 4 نقاط من هذا القبيل على هذا الرسم البياني، وبالتالي فإن عدد النقاط التي يكون عندها مماس الرسم البياني للدالةF( س) يوازي خطًا معينًا أو يتطابق معه يساوي 4.

الجواب: 4.

كتب مستخدمة:

Kolyagin Yu. M.، Tkacheva M. V.، Fedorova N. E. et al. الجبر وبدايات التحليل الرياضي (المستوى الأساسي والمتقدم). 10 درجات - تنوير. 2014

امتحان الدولة الموحد: 4000 مسألة مع الإجابات في الرياضيات. جميع المهام هي "جزء مغلق". المستوى الأساسي والملف الشخصي. حرره آي في ياشينكو - م: دار النشر "امتحان" - 2016 - 640 ص.

لحل متغيرات الملف الشخصي لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات بنجاح، فإن الأمر يستحق التخلي عن مثل هذه الخوارزمية. عند التحضير للامتحان، لا تحتاج إلى التركيز على اجتيازه كهدف في حد ذاته، ولكن على زيادة مستوى معرفة الطالب. للقيام بذلك، تحتاج إلى دراسة النظرية ومهارات الممارسة وحل الخيارات المختلفة لملف امتحان الدولة الموحد في الرياضيات بطرق غير قياسية مع إجابات مفصلة ومراقبة ديناميكيات التعلم. وسوف يساعدك مشروع شكولكوفو التعليمي في كل هذا.

لماذا يجب عليك اختيار مواردنا؟

نحن لا نقدم لك أمثلة نموذجية لمشاكل الملف الشخصي لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات، والتي تتجول على الإنترنت من موقع إلى آخر. قام خبراؤنا بشكل مستقل بتطوير قاعدة بيانات للمهام، والتي تتكون من تمارين مثيرة للاهتمام وفريدة من نوعها ويتم تحديثها يوميًا. تحتوي جميع مشاكل USE في الرياضيات على مستوى الملف الشخصي على إجابات وحلول مفصلة. إنها تسمح لك بتحديد نقاط القوة والضعف في إعداد الطالب وتعليمه التفكير بحرية وخارج الصندوق.

من أجل إكمال المهام وعرض الحلول لاستخدام المهام في الرياضيات على مستوى الملف الشخصي، حدد تمرينًا في "الكتالوج". من السهل جدًا القيام بذلك لأنه يحتوي على بنية واضحة تتضمن موضوعات ومواضيع فرعية. يتم ترتيب جميع المهام بترتيب تصاعدي من البسيط إلى الأكثر تعقيدًا وتحتوي على إجابات لملف تعريف امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات مع الحلول.

بالإضافة إلى ذلك، يتم منح الطالب الفرصة لإنشاء خيارات مختلفة للمشاكل بشكل مستقل. باستخدام "المنشئ"، يمكنه تحديد مهام الاستخدام في الرياضيات على مستوى الملف الشخصي في أي موضوع يثير اهتمامه وعرض حلولها. سيسمح لك ذلك بممارسة المهارات في قسم معين، على سبيل المثال، الهندسة أو الجبر.

كما يمكن للطالب تحليل مهام امتحان الدولة الموحد المتخصص في الرياضيات في "الحساب الشخصي للطالب". في هذا القسم سيتمكن الطالب من مراقبة ديناميكياته الخاصة والتواصل مع المعلم.

كل هذا سيساعدك على الاستعداد بشكل فعال لامتحان الدولة الموحدة المتخصص في الرياضيات وإيجاد حلول بسهولة حتى لأكثر المشكلات تعقيدًا.

تظهر الممارسة أن المشكلات المتعلقة بإيجاد مساحة المثلث تظهر في امتحان الدولة الموحدة كل عام. ولهذا السبب، إذا أراد الطلاب الحصول على درجات جيدة في اختبار التقييم، فيجب عليهم بالتأكيد مراجعة هذا الموضوع وفهم المادة مرة أخرى.

كيفية التحضير للامتحان؟

سيساعدك مشروع شكولكوفو التعليمي على تعلم كيفية حل المشكلات المتعلقة بإيجاد مساحة المثلث، على غرار تلك الموجودة في امتحان الدولة الموحدة. ستجد هنا جميع المواد اللازمة للتحضير لاجتياز اختبار الشهادة.

للتأكد من أن التمارين حول موضوع "مساحة المثلث في مشاكل امتحان الدولة الموحدة" لا تسبب صعوبات للخريجين، نوصيك أولاً بتحديث ذاكرتك بالمفاهيم والقواعد المثلثية الأساسية. للقيام بذلك، ما عليك سوى الانتقال إلى قسم "المعلومات النظرية". ويقدم التعريفات والصيغ الأساسية التي ستساعد في العثور على الإجابة الصحيحة.

لتوحيد المواد المستفادة وممارسة حل المشكلات، نقترح إجراء التمارين التي تم اختيارها من قبل المتخصصين في مشروع شكولكوفو التعليمي. تحتوي كل مهمة على الموقع على إجابة صحيحة ووصف تفصيلي لكيفية حلها. يمكن للطلاب التدرب على حل المشكلات البسيطة والأكثر تعقيدًا.

يمكن لأطفال المدارس "زيادة" مهاراتهم في أداء مثل هذه التمارين عبر الإنترنت في موسكو وفي أي مدينة أخرى في روسيا. إذا لزم الأمر، يمكن حفظ المهمة المكتملة في قسم "المفضلة" للعودة إليها لاحقًا ومناقشة تقدم الحل مع المعلم.

التعليم الثانوي العام

خط UMK G. K. Muravin. الجبر ومبادئ التحليل الرياضي (10-11) (تعمق)

خط UMK Merzlyak. الجبر وبدايات التحليل (10-11) (ش)

الرياضيات

التحضير لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات (المستوى الشخصي): الواجبات والحلول والشروحات

يستمر اختبار مستوى الملف الشخصي لمدة 3 ساعات و55 دقيقة (235 دقيقة).

الحد الأدنى- 27 نقطة.

تتكون ورقة الامتحان من جزأين يختلفان في المحتوى والتعقيد وعدد المهام.

السمة المميزة لكل جزء من العمل هي شكل المهام:

• الجزء الأول يحتوي على 8 مهام (المهام 1-8) مع إجابة قصيرة في شكل رقم صحيح أو كسر عشري نهائي؛
• الجزء الثاني يحتوي على 4 مهام (المهام 9-12) مع إجابة قصيرة في شكل عدد صحيح أو كسر عشري نهائي و7 مهام (المهام 13-19) مع إجابة مفصلة (سجل كامل للحل مع مبررات الإجراءات المتخذة).

بانوفا سفيتلانا أناتوليفنا، مدرس رياضيات من أعلى فئة مدرسية، خبرة عمل 20 سنة:

“من أجل الحصول على شهادة مدرسية، يجب على الخريج اجتياز اختبارين إلزاميين في شكل امتحان الدولة الموحدة، أحدهما الرياضيات. وفقًا لمفهوم تطوير تعليم الرياضيات في الاتحاد الروسي، ينقسم امتحان الدولة الموحد في الرياضيات إلى مستويين: أساسي ومتخصص. اليوم سننظر في الخيارات على مستوى الملف الشخصي.

المهمة رقم 1- يختبر قدرة المشاركين في امتحان الدولة الموحدة على تطبيق المهارات المكتسبة في دورة الصف الخامس إلى التاسع في الرياضيات الابتدائية في الأنشطة العملية. يجب أن يتمتع المشارك بمهارات حسابية، وأن يكون قادرًا على التعامل مع الأعداد النسبية، وأن يكون قادرًا على تقريب الكسور العشرية، وأن يكون قادرًا على تحويل وحدة قياس إلى أخرى.

مثال 1.في الشقة التي يعيش فيها بيتر، تم تركيب عداد تدفق الماء البارد (عداد). وفي 1 مايو أظهر العداد استهلاكًا قدره 172 مترًا مكعبًا. م من المياه، وفي الأول من يونيو – 177 متراً مكعباً. م ما هو المبلغ الذي يجب أن يدفعه بيتر مقابل الماء البارد في شهر مايو إذا كان السعر 1 متر مكعب؟ م من الماء البارد 34 روبل 17 كوبيل؟ أعط إجابتك بالروبل.

حل:

1) أوجد كمية المياه المستهلكة شهريًا:

177 - 172 = 5 (م مكعب)

2) دعونا نعرف مقدار الأموال التي سيدفعونها مقابل المياه المهدرة:

34.17 5 = 170.85 (فرك)

إجابة: 170,85.

المهمة رقم 2- هي واحدة من أبسط مهام الامتحان. ويتعامل معها غالبية الخريجين بنجاح مما يدل على معرفة تعريف مفهوم الوظيفة. نوع المهمة رقم 2 حسب المتطلبات المقننة هي مهمة تتعلق باستخدام المعرفة والمهارات المكتسبة في الأنشطة العملية والحياة اليومية. تتكون المهمة رقم 2 من وصف واستخدام الدوال والعلاقات الحقيقية المختلفة بين الكميات وتفسير الرسوم البيانية الخاصة بها. المهمة رقم 2 تختبر القدرة على استخلاص المعلومات المقدمة في الجداول والرسوم البيانية والرسوم البيانية. يجب أن يكون الخريجون قادرين على تحديد قيمة الوظيفة من قيمة الوسيطة بطرق مختلفة لتحديد الوظيفة ووصف سلوك وخصائص الوظيفة بناءً على الرسم البياني الخاص بها. تحتاج أيضًا إلى أن تكون قادرًا على العثور على أكبر أو أصغر قيمة من الرسم البياني للدالة وإنشاء رسوم بيانية للوظائف المدروسة. الأخطاء التي تحدث تكون عشوائية في قراءة شروط المشكلة وقراءة الرسم التخطيطي.

#إعلان_إدراج#

مثال 2.ويوضح الشكل التغير في القيمة التبادلية لسهم واحد في إحدى شركات التعدين في النصف الأول من شهر أبريل 2017. وفي 7 أبريل، اشترى رجل الأعمال 1000 سهم في هذه الشركة. وفي 10 أبريل، باع ثلاثة أرباع الأسهم التي اشتراها، وفي 13 أبريل باع جميع الأسهم المتبقية. كم خسر رجل الأعمال نتيجة هذه العمليات؟

حل:

2) 1000 · 3/4 = 750 (سهم) - تشكل 3/4 إجمالي الأسهم المشتراة.

6) 247500 + 77500 = 325000 (فرك) - حصل رجل الأعمال على 1000 سهم بعد البيع.

7) 340.000 - 325.000 = 15.000 (فرك) - خسر رجل الأعمال نتيجة لجميع العمليات.

إجابة: 15000.

المهمة رقم 3- هي مهمة المستوى الأساسي للجزء الأول، وهي تختبر القدرة على تنفيذ الإجراءات باستخدام الأشكال الهندسية وفقًا لمحتوى دورة قياس التخطيط. تختبر المهمة 3 القدرة على حساب مساحة الشكل على ورق مربعات، والقدرة على حساب قياسات درجات الزوايا، وحساب المحيطات، وما إلى ذلك.

مثال 3.أوجد مساحة المستطيل المرسوم على ورق مربعات بحجم خلية 1 سم في 1 سم (انظر الشكل). اكتب إجابتك بالسنتيمتر المربع.

حل:لحساب مساحة شكل معين، يمكنك استخدام صيغة الذروة:

لحساب مساحة مستطيل معين، نستخدم صيغة الذروة:

مثال 4.توجد 5 نقاط حمراء ونقطة زرقاء محددة على الدائرة. حدد المضلعات الأكبر حجمًا: تلك التي تحتوي جميع رؤوسها على اللون الأحمر، أو تلك التي تحتوي إحدى رؤوسها على اللون الأزرق. في إجابتك، أشر إلى عدد بعضها أكثر من البعض الآخر.

حل: 1) دعونا نستخدم الصيغة لعدد مجموعات من نالعناصر بواسطة ك:

التي رؤوسها كلها حمراء.

3) خماسي واحد جميع رؤوسه باللون الأحمر.

4) 10 + 5 + 1 = 16 مضلعًا جميع رؤوسها حمراء.

التي لها قمم حمراء أو ذات قمة زرقاء واحدة.

التي لها قمم حمراء أو ذات قمة زرقاء واحدة.

8) مسدس واحد ذو رؤوس حمراء وقمة زرقاء واحدة.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 مضلعًا جميع رؤوسها حمراء أو رأس واحد أزرق.

10) 42 – 16 = 26 مضلعًا باستخدام النقطة الزرقاء.

11) 26 - 16 = 10 مضلعات - كم عدد المضلعات التي تكون إحدى رؤوسها نقطة زرقاء أكثر من المضلعات التي تكون جميع رؤوسها حمراء فقط.

إجابة: 10.

المهمة رقم 5- المستوى الأساسي للجزء الأول يختبر القدرة على حل المعادلات البسيطة (غير النسبية، الأسية، المثلثية، اللوغاريتمية).

مثال 5.حل المعادلة 2 3 + س= 0.4 5 3 + س .

حل.قسّم طرفي هذه المعادلة على 5 3 + X≠ 0، نحصل عليها

ومن هنا يترتب على ذلك 3 + س = 1, س = –2.

إجابة: –2.

المهمة رقم 6في علم القياس للعثور على الكميات الهندسية (الأطوال والزوايا والمساحات)، ونمذجة المواقف الحقيقية في لغة الهندسة. دراسة النماذج المبنية باستخدام المفاهيم والنظريات الهندسية. مصدر الصعوبات، كقاعدة عامة، هو الجهل أو التطبيق غير الصحيح لنظريات القياس اللازمة.

مساحة المثلث اي بي سييساوي 129. دي- خط الوسط موازي للجانب أ.ب. أوجد مساحة شبه المنحرف سرير.

حل.مثلث CDEيشبه المثلث سيارة أجرةعلى زاويتين، منذ الزاوية التي عند الرأس جعام، زاوية سي دي إييساوي الزاوية سيارة أجرةكما الزوايا المقابلة في دي || أ.بقاطع مكيف الهواء. لأن ديهو الخط الأوسط للمثلث بالشرط، ثم بخاصية الخط الأوسط | دي = (1/2)أ.ب. وهذا يعني أن معامل التشابه هو 0.5. وبالتالي فإن مساحات الأشكال المتشابهة ترتبط بمربع معامل التشابه

لذلك، س عابد = س Δ اي بي سي – س Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

المهمة رقم 7- يتحقق من تطبيق المشتق لدراسة وظيفة. يتطلب التنفيذ الناجح معرفة هادفة وغير رسمية بمفهوم المشتق.

مثال 7.إلى الرسم البياني للوظيفة ذ = F(س) عند نقطة الإحداثي س 0 يتم رسم مماس عمودي على الخط الذي يمر بالنقطتين (4؛ 3) و (3؛ -1) من هذا الرسم البياني. يجد F′( س 0).

حل. 1) لنستخدم معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطتين معلومتين ونوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين (4؛ 3) و (3؛ –1).

(ذ – ذ 1)(س 2 – س 1) = (س – س 1)(ذ 2 – ذ 1)

(ذ – 3)(3 – 4) = (س – 4)(–1 – 3)

(ذ – 3)(–1) = (س – 4)(–4)

–ذ + 3 = –4س+16| · (-1)

ذ – 3 = 4س – 16

ذ = 4س- 13 حيث ك 1 = 4.

2) أوجد ميل المماس ك 2، وهو عمودي على الخط ذ = 4س- 13 حيث ك 1 = 4، حسب الصيغة:

3) زاوية الظل هي مشتقة الدالة عند نقطة التماس. وسائل، F′( س 0) = ك 2 = –0,25.

إجابة: –0,25.

المهمة رقم 8- يختبر معرفة المشاركين في الامتحان بالقياس المجسم الأولي، والقدرة على تطبيق الصيغ للعثور على المساحات السطحية وأحجام الأشكال، وزوايا ثنائي السطوح، ومقارنة أحجام الأشكال المتشابهة، وتكون قادرًا على تنفيذ الإجراءات باستخدام الأشكال الهندسية والإحداثيات والمتجهات، وما إلى ذلك.

حجم المكعب المحيط بالكرة هو 216. أوجد نصف قطر الكرة.

حل. 1) الخامسمكعب = أ 3 (حيث أ– طول حافة المكعب)

أ 3 = 216

أ = 3 √216

2) بما أن الكرة منقوشة في مكعب، فهذا يعني أن طول قطر الكرة يساوي طول حافة المكعب، وبالتالي د = أ, د = 6, د = 2ر, ر = 6: 2 = 3.

المهمة رقم 9- يتطلب من الخريج أن يكون لديه المهارات اللازمة لتحويل وتبسيط التعبيرات الجبرية. المهمة رقم 9 لزيادة مستوى الصعوبة مع إجابة قصيرة. تنقسم المهام من قسم "الحسابات والتحويلات" في امتحان الدولة الموحدة إلى عدة أنواع:

تحويل التعبيرات العقلانية العددية.

تحويل التعبيرات الجبرية والكسور.

تحويل التعبيرات غير المنطقية الرقمية/الحروفية؛

الإجراءات بالدرجات.

تحويل التعبيرات اللوغاريتمية.

1. تحويل التعبيرات المثلثية الرقمية/الحروفية.

مثال 9.احسب tanα إذا كان معروفًا أن cos2α = 0.6 و

حل. 1) لنستخدم صيغة الوسيطة المزدوجة: cos2α = 2 cos 2 α – 1 ونجد

وهذا يعني تان 2 α = ± 0.5.

3) بالشرط

هذا يعني أن α هي زاوية الربع الثاني وtgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

إجابة: –0,5.

#إعلان_إدراج# المهمة رقم 10- يختبر قدرة الطلاب على استخدام المعرفة والمهارات المكتسبة في وقت مبكر في الأنشطة العملية والحياة اليومية. يمكننا أن نقول أن هذه مشاكل في الفيزياء، وليس في الرياضيات، ولكن يتم تقديم جميع الصيغ والكميات اللازمة في الحالة. تتلخص المسائل في حل معادلة خطية أو تربيعية، أو متباينة خطية أو تربيعية. لذلك، من الضروري أن نكون قادرين على حل مثل هذه المعادلات والمتباينات وتحديد الإجابة. يجب أن تكون الإجابة كرقم صحيح أو كسر عشري محدود.

جسمين من الكتلة م= 2 كجم لكل منهما، ويتحركان بنفس السرعة الخامس= 10 م/ث بزاوية 2α لبعضها البعض. يتم تحديد الطاقة (بالجول) المنطلقة أثناء تصادمها غير المرن تمامًا من خلال التعبير س = إم في 2 الخطيئة 2 α. عند أي زاوية أصغر 2α (بالدرجات) يجب أن يتحرك الجسمان بحيث يتم إطلاق ما لا يقل عن 50 جول نتيجة الاصطدام؟
حل.لحل المشكلة، نحتاج إلى حل المتراجحة Q ≥ 50، على الفترة 2α ∈ (0°; 180°).

إم في 2 خطيئة 2 α ≥ 50

2 10 2 خطيئة 2 α ≥ 50

200 خطيئة 2 α ≥ 50

بما أن α ∈ (0°; 90°)، سنحل فقط

دعونا نمثل حل عدم المساواة بيانيا:

نظرًا لأنه بالشرط α ∈ (0°; 90°)، فهذا يعني 30° ≥ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

المهمة رقم 11- نموذجي، ولكن يبدو أنه صعب على الطلاب. المصدر الرئيسي للصعوبة هو بناء نموذج رياضي (وضع معادلة). المهمة رقم 11 تختبر القدرة على حل المسائل الكلامية.

مثال 11.خلال عطلة الربيع، كان على فاسيا، طالب الصف الحادي عشر، حل 560 مسألة تدريبية للتحضير لامتحان الدولة الموحدة. في 18 مارس، في اليوم الأخير من المدرسة، قام فاسيا بحل 5 مشاكل. ثم كان يحل كل يوم نفس العدد من المسائل أكثر من اليوم السابق. حدد عدد المشكلات التي حلها فاسيا في 2 أبريل، آخر يوم في العطلة.

560 = (5 + أ 16) 8،

5 + أ 16 = 560: 8,

5 + أ 16 = 70,

أ 16 = 70 – 5

أ 16 = 65.

إجابة: 65.

المهمة رقم 12- يختبرون قدرة الطلاب على إجراء العمليات مع الدوال، والقدرة على تطبيق المشتقة في دراسة الدالة.

أوجد النقطة القصوى للدالة ذ= 10لن ( س + 9) – 10س + 1.

حل: 1) ابحث عن مجال تعريف الوظيفة: س + 9 > 0, س> -9، أي x ∈ (-9; ∞).

2) أوجد مشتقة الدالة:

4) النقطة التي تم العثور عليها تنتمي إلى المجال (–9; ∞). دعونا نحدد علامات مشتق الدالة ونصور سلوك الدالة في الشكل:

النقطة القصوى المطلوبة س = –8.

أ) حل المعادلة 2log 3 2 (2cos س) - 5log 3 (2cos س) + 2 = 0

ب) أوجد جميع جذور هذه المعادلة التي تنتمي إلى القطعة المستقيمة.

حل:أ) دع السجل 3 (2cos س) = ر، ثم 2 ر 2 – 5ر + 2 = 0,

ب) أوجد الجذور الموجودة على القطعة .

يوضح الشكل أن جذور القطعة المحددة تنتمي إليها

قطر دائرة قاعدة الاسطوانة 20 ومولد الاسطوانة 28. يتقاطع المستوى مع قاعدته على طول أوتار طولها 12 و 16. المسافة بين الأوتار هي 2√197.

أ) أثبت أن مراكز قواعد الاسطوانة تقع على أحد جانبي هذا المستوى.

ب) أوجد الزاوية المحصورة بين هذا المستوى ومستوى قاعدة الأسطوانة.

حل:أ) الوتر الذي طوله 12 يقع على مسافة = 8 من مركز دائرة القاعدة، وكذلك الوتر الذي طوله 16 يقع على مسافة 6. وبالتالي فإن المسافة بين نتوءاتهما على مستوى موازٍ للدائرة الأساسية قواعد الأسطوانات إما 8 + 6 = 14، أو 8 − 6 = 2.

ثم المسافة بين الحبال إما

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

ووفقا للحالة، تحققت الحالة الثانية، حيث تقع نتوءات الأوتار على جانب واحد من محور الاسطوانة. وهذا يعني أن المحور لا يتقاطع مع هذا المستوى داخل الأسطوانة، أي أن القواعد تقع على أحد جانبيها. ما يحتاج إلى إثبات.

ب) دعونا نشير إلى مراكز القواعد بـ O 1 و O 2. لنرسم من مركز القاعدة التي بها وتر طوله 12 منصفًا عموديًا على هذا الوتر (طوله 8، كما ذكرنا سابقًا) ومن مركز القاعدة الأخرى إلى الوتر الآخر. أنها تقع في نفس المستوى β، عمودي على هذه الحبال. دعنا نسمي نقطة منتصف الوتر الأصغر B، والوتر الأكبر A وإسقاط A على القاعدة الثانية - H (H ∈ β). إذن AB,AH ∈ β وبالتالي AB,AH متعامدان مع الوتر، أي الخط المستقيم لتقاطع القاعدة مع المستوى المعطى.

وهذا يعني أن الزاوية المطلوبة تساوي

المهمة رقم 15- زيادة مستوى التعقيد من خلال إجابة مفصلة، ​​واختبار القدرة على حل عدم المساواة، والتي يتم حلها بنجاح أكبر بين المهام مع إجابة مفصلة لمستوى متزايد من التعقيد.

مثال 15.حل عدم المساواة | س 2 – 3س| سجل 2 ( س + 1) ≤ 3س – س 2 .

حل:مجال تعريف عدم المساواة هذا هو الفاصل الزمني (–1؛ +∞). النظر في ثلاث حالات بشكل منفصل:

1) دع س 2 – 3س= 0، أي X= 0 أو X= 3. وفي هذه الحالة تصبح هذه المتراجحة صحيحة، وبالتالي تدخل هذه القيم في الحل.

2) دع الآن س 2 – 3س> 0، أي س∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). علاوة على ذلك، يمكن إعادة كتابة عدم المساواة هذا كـ ( س 2 – 3س) سجل 2 ( س + 1) ≤ 3س – س 2 وتقسيمها على تعبير إيجابي س 2 – 3س. نحصل على السجل 2 ( س + 1) ≤ –1, س + 1 ≤ 2 –1 , س≥ 0.5 -1 أو س≥ -0.5. مع الأخذ في الاعتبار مجال التعريف، لدينا س ∈ (–1; –0,5].

3) وأخيرا، النظر س 2 – 3س < 0, при этом س∈ (0; 3). في هذه الحالة، ستتم إعادة كتابة المتباينة الأصلية بالصيغة (3 س – س 2) سجل 2 ( س + 1) ≤ 3س – س 2. بعد القسمة على موجب 3 س – س 2 ، نحصل على السجل 2 ( س + 1) ≤ 1, س + 1 ≤ 2, س 1. مع الأخذ في الاعتبار المنطقة، لدينا س ∈ (0; 1].

من خلال الجمع بين الحلول التي تم الحصول عليها، نحصل على س ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

إجابة: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

المهمة رقم 16- المستوى المتقدم يشير إلى المهام في الجزء الثاني مع إجابة مفصلة. تختبر المهمة القدرة على تنفيذ الإجراءات باستخدام الأشكال الهندسية والإحداثيات والمتجهات. المهمة تحتوي على نقطتين. في النقطة الأولى يجب إثبات المهمة، وفي النقطة الثانية يجب حسابها.

في مثلث متساوي الساقين ABC بزاوية 120 درجة، يتم رسم المنصف BD عند الرأس A. المستطيل DEFH محفور في المثلث ABC بحيث يقع الضلع FH على القطعة BC، والرأس E يقع على القطعة AB. أ) أثبت أن FH = 2DH. ب) أوجد مساحة المستطيل DEFH إذا كانت AB = 4.

حل:أ)

1) ΔBEF – مستطيل، EF⊥BC، ∠B = (180° - 120°): 2 = 30°، ثم EF = BE بخاصية الساق المقابلة للزاوية 30°.

2) دع EF = DH = س، إذن BE = 2 س، فرنك بلجيكي = س√3 حسب نظرية فيثاغورس.

3) بما أن ΔABC متساوي الساقين، فهذا يعني ∠B = ∠C = 30˚.

BD هو منصف ∠B، وهو ما يعني ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) خذ بعين الاعتبار ΔDBH – مستطيل، لأنه درهم⊥ قبل الميلاد.

√3 – 1 = 2 – س

س = 3 – √3

إي أف = 3 – √3

2) س DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )

س DEFH = 24 – 12√3.

إجابة: 24 – 12√3.

مثال 17.ومن المقرر أن يتم فتح وديعة بقيمة 20 مليون روبل لمدة أربع سنوات. وفي نهاية كل عام يقوم البنك بزيادة الوديعة بنسبة 10% مقارنة بحجمها في بداية العام. بالإضافة إلى ذلك، في بداية السنتين الثالثة والرابعة، يقوم المستثمر بتجديد الوديعة سنويًا عن طريق Xمليون روبل، حيث X - جميعرقم. أوجد القيمة الأكبر X، حيث سيحصل البنك على أقل من 17 مليون روبل للوديعة على مدى أربع سنوات.

حل:في نهاية السنة الأولى ستكون المساهمة 20 + 20 · 0.1 = 22 مليون روبل، وفي نهاية السنة الثانية - 22 + 22 · 0.1 = 24.2 مليون روبل. وفي بداية السنة الثالثة تكون المساهمة (بالمليون روبل) (24.2 + X) وفي النهاية - (24.2+ ×) + (24,2 + ×)· 0.1 = (26.62 + 1.1 X). وفي بداية السنة الرابعة ستكون المساهمة (26.62 + 2.1 ×)وفي النهاية - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) · 0.1 = (29.282 + 2.31 X). حسب الشرط، تحتاج إلى العثور على أكبر عدد صحيح x الذي تنطبق عليه المتراجحة

(29,282 + 2,31س) – 20 – 2س < 17

29,282 + 2,31س – 20 – 2س < 17

0,31س < 17 + 20 – 29,282

0,31س < 7,718

أكبر حل صحيح لهذه المتباينة هو الرقم 24.

إجابة: 24.

في ماذا أنظام عدم المساواة

لديه بالضبط حلين؟

حل:يمكن إعادة كتابة هذا النظام في النموذج

إذا رسمنا على المستوى مجموعة حلول المتباينة الأولى، فسنحصل على الجزء الداخلي من دائرة (بحدود) نصف قطرها 1 ومركزها عند النقطة (0، أ). مجموعة حلول المتباينة الثانية هي جزء المستوى الواقع أسفل الرسم البياني للدالة ذ = | س| – أ, والأخير هو الرسم البياني للوظيفة
ذ = | س| ، تم نقله للأسفل بمقدار أ. الحل لهذا النظام هو تقاطع مجموعات الحلول لكل من المتباينات.

وبالتالي فإن هذا النظام سيكون له حلين فقط في الحالة المبينة في الشكل. 1.

ستكون نقاط تماس الدائرة مع الخطوط هي الحلين للنظام. يميل كل خط من الخطوط المستقيمة على المحاور بزاوية مقدارها 45 درجة. إذن فهو مثلث PQR- متساوي الساقين مستطيلة. نقطة سله إحداثيات (0، أ) والنقطة ر- الإحداثيات (0، - أ). بالإضافة إلى القطاعات العلاقات العامةو PQيساوي نصف قطر الدائرة يساوي 1. وهذا يعني

يترك سنمجموع صشروط التقدم الحسابي ( ص). ومن المعروف أن س ن + 1 = 2ن 2 – 21ن – 23.

أ) تقديم الصيغة صالفصل الرابع من هذا التقدم.

ب) أوجد أصغر مجموع مطلق س ن.

ج) أوجد الأصغر ص، الذي س نسيكون مربع عدد صحيح.

حل: أ) ومن الواضح أن ن = س ن – س ن- 1 . باستخدام هذه الصيغة نحصل على:

س ن = س (ن – 1) + 1 = 2(ن – 1) 2 – 21(ن – 1) – 23 = 2ن 2 – 25ن,

س ن – 1 = س (ن – 2) + 1 = 2(ن – 1) 2 – 21(ن – 2) – 23 = 2ن 2 – 25ن+ 27

وسائل، ن = 2ن 2 – 25ن – (2ن 2 – 29ن + 27) = 4ن – 27.

ب) منذ س ن = 2ن 2 – 25ن، ثم فكر في الوظيفة س(س) = | 2س 2 – 25س|. يمكن رؤية الرسم البياني الخاص به في الشكل.

من الواضح أن أصغر قيمة يتم تحقيقها عند نقاط الأعداد الصحيحة الأقرب إلى أصفار الدالة. ومن الواضح أن هذه هي النقاط X= 1, X= 12 و X= 13. منذ ذلك الحين، س(1) = |س 1 | = |2 – 25| = 23, س(12) = |س 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12، س(13) = |س 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13، فالقيمة الأصغر هي 12.

ج) من الفقرة السابقة يتبع ذلك سنإيجابية، بدءا من ن= 13. منذ س ن = 2ن 2 – 25ن = ن(2ن– 25)، فإن الحالة الواضحة، عندما يكون هذا التعبير مربعا كاملا، تتحقق متى ن = 2ن- 25، أي في ص= 25.

يبقى التحقق من القيم من 13 إلى 25:

س 13 = 13 1، س 14 = 14 3، س 15 = 15 5، س 16 = 16 7، س 17 = 17 9، س 18 = 18 11، س 19 = 19 13، س 20 = 20 13، س 21 = 21 17، س 22 = 22 19، س 23 = 23 21، س 24 = 24 23.

وتبين أن لقيم أصغر صلم يتم تحقيق مربع كامل.

إجابة:أ) ن = 4ن– 27; ب) 12؛ ج) 25.

________________

*منذ مايو 2017، أصبحت مجموعة النشر الموحدة "DROFA-VENTANA" جزءًا من شركة الكتب المدرسية الروسية. وتضم الشركة أيضًا دار Astrel للنشر ومنصة LECTA التعليمية الرقمية. ألكسندر بريشكين، خريج الأكاديمية المالية التابعة لحكومة الاتحاد الروسي، مرشح العلوم الاقتصادية، رئيس المشاريع المبتكرة لدار النشر DROFA في مجال التعليم الرقمي (الأشكال الإلكترونية للكتب المدرسية، المدرسة الإلكترونية الروسية، منصة تعليمية رقمية LECTA) تم تعيينه مديرًا عامًا. قبل انضمامه إلى دار النشر DROFA، شغل منصب نائب الرئيس للتنمية الاستراتيجية والاستثمارات في شركة النشر القابضة EKSMO-AST. اليوم، تمتلك شركة النشر "الكتاب المدرسي الروسي" أكبر مجموعة من الكتب المدرسية المدرجة في القائمة الفيدرالية - 485 عنوانًا (حوالي 40٪، باستثناء الكتب المدرسية للمدارس الخاصة). تمتلك دور النشر التابعة للشركة مجموعات الكتب المدرسية الأكثر شعبية في المدارس الروسية في الفيزياء والرسم والبيولوجيا والكيمياء والتكنولوجيا والجغرافيا وعلم الفلك - مجالات المعرفة اللازمة لتطوير الإمكانات الإنتاجية للبلاد. تشتمل محفظة المؤسسة على الكتب المدرسية والوسائل التعليمية للمدارس الابتدائية التي حصلت على الجائزة الرئاسية في مجال التعليم. هذه هي الكتب المدرسية والأدلة في المجالات الدراسية الضرورية لتطوير الإمكانات العلمية والتقنية والإنتاجية لروسيا.

تقدم هذه المقالة تحليلاً للمهام 9-12 من الجزء 2 من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات على مستوى متخصص من مدرس في الرياضيات والفيزياء. يحتوي درس الفيديو الخاص بالمعلم مع تحليل المهام المقترحة على تعليقات مفصلة ومفهومة على كل منها. إذا كنت قد بدأت للتو التحضير لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات، فقد تكون هذه المقالة مفيدة جدًا لك.

باستخدام خصائص اللوغاريتمات، والتي يمكنك التعرف عليها بالتفصيل في الفيديو التعليمي أعلاه، نقوم بتحويل التعبير:

10. يتأرجح البندول الزنبركي بدورة ت= 16 ثانية. الوزن المعلق م= 0.8 كجم. تتغير سرعة حركة الحمل بمرور الوقت وفقًا للصيغة . في نفس الوقت م / ث. الصيغة المحددة للطاقة الحركية (بالجول) هي: حيث ممأخوذة بالكيلو جرام - بالأمتار في الثانية. ما طاقة حركة الحمل بوحدة جول بعد 10 s من بدء الحركة التذبذبية؟

سرعة حركة الحمل بعد 10 ثوانٍ من بدء الحركة التذبذبية ستكون مساوية لـ:

إذن الطاقة الحركية في هذه اللحظة الزمنية ستكون مساوية لـ:

ج.

يترك س- سعر قطعة حلوى واحدة و ذ- سعر الشوكولاتة . ثم 6 مصاصات تكلف 6 سو 2٪ من تكلفة قطعة الشوكولاتة تساوي 0.02 ذ. وبما أنه من المعروف أن تكلفة 6 مصاصات أقل بنسبة 2% من قطعة الشوكولاتة، فإن المعادلة الأولى تقول: 6 س + 0,02ذ = ذ، ومنه نحصل على ذلك س = 0,98/6 ذ = 98/600 ذ = 49/300 ذ. في المقابل، 9 مصاصات تكلف 9 س، أي 9·49/300 ذ = 49/300 ذ = 1,47 ذ. تتلخص المهمة في تحديد النسبة المئوية 1.47 ذأكثر من ذ. لو ذهي 100% ثم 1.47 ذهو 1.47·100% = 147%. وهذا هو 1.47 ذأكثر من ذبنسبة 47%.

1) يتم إعطاء DL من خلال عدم المساواة: title="Rendered by QuickLaTeX.com)" height="23" width="106" style="vertical-align: -5px;"> (так выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть больше нуля), откуда получаем, что .!}

2) نبحث عن مشتقة الدالة. للحصول على وصف تفصيلي لكيفية حساب مشتق هذه الدالة، شاهد الفيديو أعلاه. مشتقة الدالة تساوي:

3) البحث عن القيم س، والتي يكون مشتقها يساوي 0 أو غير موجود. إنه غير موجود لـ ، لأنه في هذه الحالة يذهب المقام إلى الصفر. يتم تعيين المشتق على الصفر عندما.