المنشور السداسي وعناصره. المنشور المباشر - هايبر ماركت المعرفة

نشور زجاجي. متوازي السطوح

نشور زجاجييسمى متعدد الوجوه الذي وجهه متساويان n-gons (أسباب) ، مستلقية على مستويات متوازية ، والوجوه المتبقية n هي متوازيات أضلاع (وجوه جانبية) . ضلع جانبي المنشور هو جانب الوجه الجانبي الذي لا ينتمي إلى القاعدة.

يسمى المنشور الذي تكون حوافه الجانبية متعامدة مع مستويات القواعد مستقيم المنشور (الشكل 1). إذا لم تكن الحواف الجانبية متعامدة مع مستويات القواعد ، فسيتم استدعاء المنشور منحرف - مائل . صحيح المنشور هو منشور مستقيم أساسه مضلعات منتظمة.

ارتفاعالمنشور يسمى المسافة بين مستويات القواعد. قطري المنشور عبارة عن قطعة تربط رأسين لا ينتميان إلى نفس الوجه. مقطع قطري يسمى جزء من منشور من مستوى يمر عبر حافتين جانبيتين لا ينتميان إلى نفس الوجه. مقطع عمودي يسمى قسم المنشور بمستوى عمودي على الحافة الجانبية للمنشور.

مساحة السطح الجانبية المنشور هو مجموع مناطق كل الوجوه الجانبية. مساحة السطح الكاملة يتم استدعاء مجموع مساحات جميع أوجه المنشور (أي مجموع مناطق الوجوه الجانبية ومناطق القواعد).

بالنسبة للمنشور التعسفي ، فإن الصيغ صحيحة:

أين لهو طول الضلع الجانبي.

ح- ارتفاع؛

ص

س

جانب S.

S ممتلئ

S الرئيسيهي منطقة القواعد.

الخامسهو حجم المنشور.

بالنسبة للمنشور المستقيم ، فإن الصيغ التالية صحيحة:

أين ص- محيط القاعدة ؛

لهو طول الضلع الجانبي.

ح- ارتفاع.

متوازي السطوحيسمى المنشور الذي قاعدته متوازي الأضلاع. يسمى خط الموازي الذي تكون حوافه الجانبية متعامدة مع القواعد مباشرة (الصورة 2). إذا لم تكن الحواف الجانبية متعامدة مع القواعد ، فسيتم استدعاء خط الموازي منحرف - مائل . يسمى متوازي السطوح الأيمن قاعدته مستطيل مستطيلي. يسمى متوازي السطوح المستطيل الذي تتساوى فيه جميع الحواف مكعب.

يتم استدعاء وجوه خط الموازي التي لا تحتوي على رؤوس مشتركة عكس . تسمى أطوال الحواف المنبثقة من قمة واحدة قياسات متوازي السطوح. نظرًا لأن الصندوق عبارة عن منشور ، يتم تحديد عناصره الرئيسية بنفس الطريقة التي تم تحديدها للمنشورات.

نظريات.

1. تتقاطع أقطار خط الموازي عند نقطة واحدة وتنقسمها إلى نصفين.

2. في خط متوازي المستطيل ، يساوي مربع طول القطر مجموع مربعات أبعاده الثلاثة:

3. جميع الأقطار الأربعة في خط متوازي السطوح المستطيل متساوية مع بعضها البعض.

بالنسبة إلى خط الموازي التعسفي ، فإن الصيغ التالية صحيحة:

أين لهو طول الضلع الجانبي.

ح- ارتفاع؛

صهو محيط المقطع العمودي ؛

س- مساحة المقطع العمودي.

جانب S.هي مساحة السطح الجانبية

S ممتلئهي مساحة السطح الكلية ؛

S الرئيسيهي منطقة القواعد.

الخامسهو حجم المنشور.

بالنسبة إلى خط الموازي الصحيح ، تكون الصيغ التالية صحيحة:

أين ص- محيط القاعدة ؛

لهو طول الضلع الجانبي.

حهو ارتفاع خط الموازي الأيمن.

بالنسبة إلى خط متوازي السطوح المستطيل ، فإن الصيغ التالية صحيحة:

(3)

أين ص- محيط القاعدة ؛

ح- ارتفاع؛

د- قطري؛

أ ، ب ، ج- قياسات خط متوازي.

الصيغ الصحيحة للمكعب هي:

أين أهو طول الضلع.

دهو قطر المكعب.

مثال 1يبلغ قطر المكعب المستطيل 33 dm ، وترتبط قياساته بـ 2: 6: 9 ، أوجد قياسات متوازي المستطيلات.

المحلول.لإيجاد أبعاد خط الموازي ، نستخدم الصيغة (3) ، أي حقيقة أن مربع وتر متوازي المستطيلات يساوي مجموع مربعات أبعاده. للدلالة به كمعامل التناسب. ثم أبعاد خط الموازي ستكون مساوية لـ 2 ك, 6كو 9 ك. نكتب الصيغة (3) لبيانات المشكلة:

حل هذه المعادلة ل ك، نحن نحصل:

ومن ثم ، فإن أبعاد خط متوازي السطوح هي 6 dm و 18 dm و 27 dm.

إجابه: 6 ديسيمتر ، 18 ديسيمترًا ، 27 ديسيمترًا.

مثال 2أوجد حجم المنشور الثلاثي المائل الذي قاعدته مثلث متساوي الأضلاع ضلع 8 سم ، إذا كانت الحافة الجانبية مساوية لضلع القاعدة وتميل بزاوية 60º على القاعدة.

المحلول . لنقم برسم (الشكل 3).

من أجل العثور على حجم المنشور المائل ، تحتاج إلى معرفة مساحة القاعدة والارتفاع. مساحة قاعدة هذا المنشور هي مساحة المثلث متساوي الأضلاع أضلاعه 8 سم ، لنحسبها:

ارتفاع المنشور هو المسافة بين قاعدته. من الأعلى لكن 1 من القاعدة العلوية نخفض العمودي على مستوى القاعدة السفلية لكن 1 د. سيكون طوله ارتفاع المنشور. خذ بعين الاعتبار د لكن 1 ميلادي: لأن هذه هي زاوية ميل الضلع الجانبي لكن 1 لكنإلى مستوى القاعدة لكن 1 لكن= 8 سم ، ومن هذا المثلث نجد لكن 1 د:

الآن نحسب الحجم باستخدام الصيغة (1):

إجابه: 192 سم 3.

مثال 3تبلغ الحافة الجانبية للمنشور السداسي المنتظم 14 سم ، وتبلغ مساحة أكبر مقطع قطري 168 سم 2. أوجد مساحة السطح الكلية للمنشور.

المحلول.لنقم برسم (الشكل 4)

أكبر قسم قطري هو مستطيل AA 1 DD 1 ، منذ قطري ميلاديسداسي منتظم ABCDEFهو الأكبر. من أجل حساب مساحة السطح الجانبية للمنشور ، من الضروري معرفة جانب القاعدة وطول الضلع الجانبي.

بمعرفة مساحة المقطع القطري (المستطيل) ، نجد قطر القاعدة.

لأنه عندها

منذ ذلك الحين AB= 6 سم.

ثم محيط القاعدة هو:

أوجد مساحة السطح الجانبي للمنشور:

مساحة الشكل السداسي المنتظم ضلعه 6 سم هي:

أوجد مساحة السطح الكلية للمنشور:

إجابه:

مثال 4قاعدة خط الموازي الأيمن هي المعين. مساحات المقاطع القطرية 300 سم 2 و 875 سم 2. أوجد مساحة السطح الجانبي لخط الموازي.

المحلول.لنقم برسم (الشكل 5).

دلالة على جانب معين من جانب أ، أقطار المعين د 1 و د 2 ، ارتفاع الصندوق ح. لإيجاد مساحة السطح الجانبي لخط متوازي مستقيم ، من الضروري ضرب محيط القاعدة في الارتفاع: (الصيغة (2)). محيط القاعدة ع = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a، لان ا ب ت ث- دالتون. ح = AA 1 = ح. الذي - التي. تحتاج لتجد أو ح.

ضع في اعتبارك المقاطع المائلة. AA 1 SS 1 - مستطيل ، أحد جوانبه هو قطري من المعين تيار متردد = د 1 ، الثانية - حافة جانبية AA 1 = ح، ومن بعد

وبالمثل بالنسبة للقسم BB 1 DD 1 نحصل على:

باستخدام خاصية متوازي الأضلاع بحيث يكون مجموع مربعات الأقطار مساويًا لمجموع مربعات جميع جوانبها ، نحصل على المساواة نحصل على ما يلي.

تختلف المناشير المختلفة عن بعضها البعض. في نفس الوقت ، لديهم الكثير من القواسم المشتركة. للعثور على مساحة قاعدة المنشور ، تحتاج إلى معرفة نوعه.

النظرية العامة

المنشور هو أي متعدد الوجوه يكون جوانبه على شكل متوازي أضلاع. علاوة على ذلك ، يمكن أن يكون أي متعدد الوجوه في قاعدته - من مثلث إلى n-gon. علاوة على ذلك ، فإن قواعد المنشور تكون دائمًا متساوية مع بعضها البعض. ما لا ينطبق على الوجوه الجانبية - يمكن أن يختلف حجمها بشكل كبير.

عند حل المشكلات ، لا تتم مصادفة مساحة قاعدة المنشور فقط. قد يكون من الضروري معرفة السطح الجانبي ، أي كل الوجوه التي ليست قواعد. سيكون السطح الكامل بالفعل اتحادًا لجميع الوجوه التي يتكون منها المنشور.

تظهر الارتفاعات أحيانًا في المهام. إنه عمودي على القواعد. قطري متعدد السطوح هو قطعة تربط في أزواج أي رأسين لا ينتميان إلى نفس الوجه.

وتجدر الإشارة إلى أن مساحة قاعدة المنشور المستقيم أو المائل لا تعتمد على الزاوية بينها وبين الوجوه الجانبية. إذا كان لديهم نفس الأشكال في الوجوه العلوية والسفلية ، فستكون مناطقهم متساوية.

منشور ثلاثي

يوجد في القاعدة شكل به ثلاثة رؤوس ، أي مثلث. من المعروف أن تكون مختلفة. إذا كان يكفي أن نتذكر أن مساحتها تحدد بنصف منتج الساقين.

يبدو التدوين الرياضي كما يلي: S = ½ av.

لمعرفة مساحة القاعدة بشكل عام ، فإن الصيغ مفيدة: مالك الحزين والصيغة التي يتم فيها نقل نصف الجانب إلى الارتفاع المرسوم عليه.

يجب كتابة الصيغة الأولى على النحو التالي: S \ u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). يحتوي هذا المدخل على نصف محيط (p) ، أي مجموع ثلاثة جوانب مقسومًا على اثنين.

ثانيًا: S = ½ n a * a.

إذا كنت تريد معرفة مساحة قاعدة المنشور الثلاثي ، وهو أمر منتظم ، فسيكون المثلث متساوي الأضلاع. لها صيغتها الخاصة: S = ¼ a 2 * √3.

منشور رباعي الزوايا

قاعدتها هي أي من الأشكال الرباعية المعروفة. يمكن أن يكون مستطيلًا أو مربعًا أو متوازي السطوح أو معينًا. في كل حالة ، من أجل حساب مساحة قاعدة المنشور ، ستحتاج إلى الصيغة الخاصة بك.

إذا كانت القاعدة عبارة عن مستطيل ، فسيتم تحديد مساحتها على النحو التالي: S = av ، حيث a ، b هي جانبي المستطيل.

متي نحن نتكلمحول منشور رباعي الزوايا ، ثم يتم حساب مساحة قاعدة المنشور العادي باستخدام صيغة المربع. لأنه هو الذي يقع في القاعدة. S \ u003d أ 2.

في الحالة التي تكون فيها القاعدة متوازية ، ستكون هناك حاجة إلى المساواة التالية: S \ u003d a * n a. يحدث أن يتم إعطاء جانب من خط متوازي وأحد الزوايا. بعد ذلك ، لحساب الارتفاع ، ستحتاج إلى استخدام صيغة إضافية: na \ u003d b * sin A. علاوة على ذلك ، فإن الزاوية A مجاورة للضلع "b" ، والارتفاع n هو المقابل لهذه الزاوية.

إذا كان المعين يقع في قاعدة المنشور ، فستكون هناك حاجة إلى نفس الصيغة لتحديد مساحته مثل متوازي الأضلاع (نظرًا لأنه يمثل حالة خاصة منه). لكن يمكنك أيضًا استخدام هذا: S = ½ d 1 d 2. هنا d 1 و d 2 قطران من المعين.

منشور خماسي منتظم

تتضمن هذه الحالة تقسيم المضلع إلى مثلثات يسهل اكتشاف مناطقها. على الرغم من أنه يحدث أن الأرقام يمكن أن تكون بعدد مختلف من الرؤوس.

نظرًا لأن قاعدة المنشور عبارة عن خماسي منتظم ، فيمكن تقسيمها إلى خمسة مثلثات متساوية الأضلاع. ثم مساحة قاعدة المنشور تساوي مساحة أحد هذه المثلث (يمكن رؤية الصيغة أعلاه) ، مضروبة بخمسة.

منشور سداسي منتظم

وفقًا للمبدأ الموصوف للمنشور الخماسي ، من الممكن تقسيم مسدس القاعدة إلى 6 مثلثات متساوية الأضلاع. تشبه صيغة مساحة قاعدة هذا المنشور السابقة. فقط فيه يجب ضرب ستة.

ستبدو الصيغة كما يلي: S = 3/2 و 2 * √3.

مهام

رقم 1. خط مستقيم منتظم ، قطره 22 سم ، ارتفاع متعدد السطوح 14 سم. احسب مساحة قاعدة المنشور والسطح بأكمله.

المحلول.قاعدة المنشور مربعة لكن ضلعها غير معروف. يمكنك إيجاد قيمته من قطر المربع (x) ، المرتبط بقطر المنشور (d) وارتفاعه (n). س 2 \ u003d د 2 - ن 2. من ناحية أخرى ، هذا الجزء "x" هو وتر المثلث الذي تساوي أرجله ضلع المربع. أي x 2 \ u003d a 2 + a 2. وهكذا ، اتضح أن 2 \ u003d (د 2 - ن 2) / 2.

استبدل الرقم 22 بدلاً من d ، واستبدل "n" بقيمته - 14 ، اتضح أن ضلع المربع يساوي 12 سم. الآن من السهل معرفة مساحة القاعدة: 12 * 12 \ u003d 144 سم 2 .

لمعرفة مساحة السطح بالكامل ، تحتاج إلى إضافة ضعف قيمة مساحة القاعدة ومضاعفة الجانب أربع مرات. من السهل العثور على الأخير بواسطة صيغة المستطيل: اضرب ارتفاع متعدد السطوح وجانب القاعدة. أي ، 14 و 12 ، هذا الرقم سيساوي 168 سم 2. وُجد أن إجمالي مساحة سطح المنشور تساوي 960 سم 2.

إجابه.مساحة قاعدة المنشور 144 سم 2. السطح بالكامل - 960 سم 2.

رقم 2. دانا في القاعدة يوجد مثلث ضلع 6 سم ، وفي هذه الحالة يكون قطر الوجه الجانبي 10 سم ، احسب المساحة: القاعدة والسطح الجانبي.

المحلول.نظرًا لأن المنشور منتظم ، فإن قاعدته هي مثلث متساوي الأضلاع. لذلك ، فإن مساحتها تساوي 6 تربيع في ¼ والجذر التربيعي للرقم 3. وتؤدي عملية حسابية بسيطة إلى النتيجة: 9√3 سم 2. هذه هي مساحة قاعدة المنشور الواحدة.

جميع أوجه الأضلاع متشابهة وهي مستطيلات طول ضلوعها 6 و 10 سم ، ولحساب مساحتها يكفي ضرب هذه الأعداد. ثم اضربهم في ثلاثة ، لأن للمنشور أوجهًا كثيرة جدًا. ثم يتم لف مساحة السطح الجانبي 180 سم 2.

إجابه.المساحات: القاعدة - 9√3 سم 2 ، السطح الجانبي للمنشور - 180 سم 2.

متعددات الوجوه

الهدف الرئيسي من دراسة القياس الفراغي هو الأجسام ثلاثية الأبعاد. الجسمجزء من الفضاء يحده سطح ما.

متعدد الوجوهيسمى الجسم الذي يتكون سطحه من عدد محدود من المضلعات المستوية. يسمى متعدد الوجوه محدب إذا كان يقع على جانب واحد من مستوى كل مضلع مسطح على سطحه. يسمى الجزء المشترك من هذا المستوى وسطح متعدد السطوح حافة. وجوه متعدد السطوح المحدبة عبارة عن مضلعات محدبة مسطحة. تسمى جوانب الوجوه حواف متعدد السطوحوالرؤوس رؤوس متعدد السطوح.

على سبيل المثال ، يتكون المكعب من ستة مربعات تمثل وجوهه. يحتوي على 12 حافة (جوانب مربعات) و 8 رؤوس (رؤوس مربعات).

أبسط متعددات الوجوه هي المنشورات والأهرامات ، والتي سوف ندرسها أكثر.

نشور زجاجي

تعريف وخصائص المنشور

نشور زجاجييسمى متعدد السطوح يتكون من مضلعين مسطحين يقعان في مستويات متوازية مجتمعة بترجمة متوازية ، وجميع الأجزاء التي تربط النقاط المقابلة لهذه المضلعات. تسمى المضلعات قواعد المنشور، والقطع التي تربط الرؤوس المقابلة للمضلعات هي الحواف الجانبية للمنشور.

ارتفاع المنشورتسمى المسافة بين طائرات قواعدها (). يسمى المقطع الذي يربط بين رأسين من منشور لا ينتميان إلى نفس الوجه المنشور قطري(). المنشور يسمى ن الفحمإذا كانت قاعدته عبارة عن n-gon.

أي منشور له الخصائص التالية ، والتي تنبع من حقيقة أن قواعد المنشور يتم دمجها بترجمة موازية:

1. أسس المنشور متساوية.

2. الحواف الجانبية للمنشور متوازية ومتساوية.

يتكون سطح المنشور من قواعد و السطح الجانبي. يتكون السطح الجانبي للمنشور من متوازي الأضلاع (وهذا يتبع خصائص المنشور). مساحة السطح الجانبي للمنشور هي مجموع مساحات الوجوه الجانبية.

منشور مستقيم

المنشور يسمى مستقيمإذا كانت حوافه الجانبية متعامدة مع القواعد. خلاف ذلك ، المنشور يسمى منحرف - مائل.

وجوه المنشور المستقيم عبارة عن مستطيلات. ارتفاع المنشور المستقيم يساوي أوجهه الجانبية.

سطح المنشور الكاملهو مجموع مساحة السطح الجانبية ومناطق القواعد.

المنشور الصحيحيسمى المنشور الصحيح مع مضلع منتظم في القاعدة.

نظرية 13.1. مساحة السطح الجانبي للمنشور المستقيم تساوي ناتج المحيط وارتفاع المنشور (أو بشكل مكافئ الحافة الجانبية).

دليل - إثبات. الوجوه الجانبية للمنشور المستقيم عبارة عن مستطيلات تشكل قواعدها جوانب المضلعات عند قواعد المنشور ، والارتفاعات هي الحواف الجانبية للمنشور. ثم ، بحكم التعريف ، فإن مساحة السطح الجانبية هي:

,

أين محيط قاعدة المنشور المستقيم.

متوازي السطوح

إذا كانت متوازيات الأضلاع تقع على قواعد المنشور ، فيتم تسميتها متوازي السطوح. جميع أوجه متوازي السطوح هي متوازيات أضلاع. في هذه الحالة ، تكون الوجوه المعاكسة للخط المتوازي متوازية ومتساوية.

نظرية 13.2. تتقاطع أقطار خط الموازي عند نقطة واحدة وتنقسم نقطة التقاطع إلى نصفين.

دليل - إثبات. ضع في اعتبارك قطرين تعسفيين ، على سبيل المثال ، و. لان وجوه متوازي السطوح هي متوازي الأضلاع ، ثم ، وهذا يعني أنه وفقًا لـ T ، هناك خطان مستقيمان موازيان للخط الثالث. بالإضافة إلى ذلك ، هذا يعني أن الخطوط تقع في نفس المستوى (المستوى). يتقاطع هذا المستوى مع مستويات متوازية وعلى طول خطوط متوازية و. وهكذا ، فإن الشكل الرباعي هو متوازي الأضلاع ، وبخاصية متوازي الأضلاع ، تقسم أقطارها وتتقاطع ونقطة التقاطع إلى نصفين ، وهو ما كان يجب إثباته.

يسمى متوازي السطوح الأيمن قاعدته مستطيل مكعباني شبيه بالمكعب. جميع وجوه متوازي المستطيلات هي مستطيلات. تسمى أطوال الحواف غير المتوازية لخط متوازي المستطيل أبعادها الخطية (القياسات). هناك ثلاثة أحجام (عرض ، ارتفاع ، طول).

نظرية 13.3. في شكل متوازي المستطيلات ، يساوي مربع أي قطري مجموع مربعات أبعاده الثلاثة (ثبت عن طريق تطبيق Pythagorean T مرتين).

يسمى متوازي السطوح المستطيل الذي تتساوى فيه جميع الحواف مكعب.

مهام

13.1 كم عدد الأقطار يفعل ن- منشور الكربون

13.2 في منشور مثلثي مائل ، تكون المسافات بين الحواف الجانبية 37 و 13 و 40. أوجد المسافة بين الوجه الجانبي الأكبر والحافة الجانبية المقابلة.

13.3 من خلال جانب القاعدة السفلية لمنشور مثلثي منتظم ، يتم رسم مستوى يتقاطع مع الوجوه الجانبية على طول المقاطع ، والزاوية بينهما. أوجد زاوية ميل هذا المستوى على قاعدة المنشور.

التعريف 1. السطح المنشوري
نظرية 1. على أقسام متوازية من سطح موشوري
التعريف 2. مقطع عمودي لسطح موشوري
التعريف 3. المنشور
التعريف 4. ارتفاع المنشور
التعريف 5. المنشور المباشر
نظرية 2. مساحة السطح الجانبي للمنشور

متوازي السطوح:
التعريف 6. متوازى الخطى
نظرية 3. على تقاطع الأقطار من خط متوازي
التعريف 7. يمين متوازٍ
التعريف 8. مستطيل متوازي السطوح
التعريف 9. أبعاد خط متوازي
التعريف 10. مكعب
تعريف 11. معين هندسي
نظرية 4. على أقطار متوازي السطوح المستطيل
نظرية 5. حجم المنشور
نظرية 6. حجم المنشور المستقيم
نظرية 7. حجم متوازي المستطيل

نشور زجاجييسمى متعدد الوجوه ، حيث يوجد وجهان (قاعدتان) في مستويات متوازية ، والحواف التي لا تقع في هذه الوجوه موازية لبعضها البعض.
يتم استدعاء الوجوه بخلاف القواعد جانبي.
تسمى جوانب الوجوه الجانبية والقواعد حواف المنشور، نهايات الحواف تسمى قمم المنشور. الضلوع الجانبيةتسمى الحواف التي لا تنتمي إلى القواعد. يتم استدعاء اتحاد الوجوه الجانبية السطح الجانبي للمنشورويطلق على اتحاد كل الوجوه السطح الكامل للمنشور. ارتفاع المنشوريسمى عمودي يسقط من نقطة القاعدة العلوية إلى مستوى القاعدة السفلية أو طول هذا العمودي. منشور مستقيميسمى المنشور ، حيث تكون الحواف الجانبية متعامدة مع مستويات القواعد. صحيحيسمى المنشور المستقيم (الشكل 3) ، والذي يقع في قاعدته مضلع منتظم.

التعيينات:
ل - ضلع جانبي
P - محيط القاعدة ؛
S o - منطقة القاعدة ؛
H - الارتفاع
P ^ - محيط المقطع العمودي ؛
S ب - مساحة السطح الجانبية ؛
الخامس - الحجم
S p - مساحة السطح الكلي للمنشور.

التعريف 2 . المقطع العمودي لسطح موشوري هو جزء من هذا السطح بمستوى متعامد مع حوافه. بناءً على النظرية السابقة ، ستكون جميع المقاطع العمودية لنفس السطح المنشوري مضلعات متساوية.

التعريف 3 . المنشور عبارة عن متعدد السطوح يحده سطح موشوري وطائرتان متوازيتان (ولكن ليس بالتوازي مع حواف السطح المنشوري)
يتم استدعاء الوجوه التي ترقد في هذه الطائرات الأخيرة قواعد المنشور؛ وجوه تنتمي إلى سطح موشوري - وجوه جانبية؛ حواف السطح المنشوري - الحواف الجانبية للمنشور. بحكم النظرية السابقة ، فإن قواعد المنشور هي مضلعات متساوية. جميع أوجه المنشور الجانبية متوازي الأضلاع؛ جميع الحواف الجانبية متساوية مع بعضها البعض.
من الواضح أنه إذا تم إعطاء قاعدة المنشور ABCDE وأحد الحواف AA "من حيث الحجم والاتجاه ، فمن الممكن بناء منشور برسم الحواف BB" ، CC "، .. ، متساوية ومتوازنة مع حافة AA ".

التعريف 4 . ارتفاع المنشور هو المسافة بين مستويات قاعدته (HH ").

التعريف 5 . يسمى المنشور بالخط المستقيم إذا كانت قاعدته عبارة عن أقسام متعامدة من سطح موشوري. في هذه الحالة ، يكون ارتفاع المنشور ، بالطبع ، هو ضلع جانبي؛ سوف الحواف الجانبية المستطيلات.
يمكن تصنيف المنشورات من خلال عدد الوجوه الجانبية ، مساوية لعدد جوانب المضلع الذي يعمل كقاعدة له. وبالتالي ، يمكن أن تكون المنشورات مثلثة ، ورباعية الزوايا ، وخماسية ، وما إلى ذلك.

نظرية 2 . مساحة السطح الجانبي للمنشور تساوي حاصل ضرب الحافة الجانبية ومحيط المقطع العمودي.
اجعل ABCDEA "B" C "D" E "هو المنشور المحدد ويكون abcde قسمها العمودي ، بحيث تكون المقاطع ab ، bc ، .. متعامدة مع حوافها الجانبية. وجه ABA" B "هو متوازي أضلاع ؛ مساحته يساوي حاصل ضرب القاعدة AA "لارتفاع يطابق ab ؛ مساحة الوجه BCV "C" تساوي ناتج القاعدة BB "بالارتفاع bc ، إلخ. لذلك ، السطح الجانبي (أي مجموع مناطق الوجوه الجانبية) هو يساوي حاصل ضرب الحافة الجانبية ، بمعنى آخر ، الطول الإجمالي للمقاطع AA "، BB" ، .. ، بالمجموع ab + bc + cd + de + ea.

في المناهج الدراسية لدورة الهندسة الصلبة ، تبدأ دراسة الأشكال ثلاثية الأبعاد عادةً بجسم هندسي بسيط - المنشور متعدد السطوح. يتم تنفيذ دور قواعدها بواسطة مضلعين متساويين يقعان في مستويات متوازية. حالة خاصة هي منشور رباعي الزوايا منتظم. قاعدتهما هما رباعي الأضلاع منتظمين متطابقين ، تكون الجوانب متعامدة عليهما ، ولها شكل متوازي الأضلاع (أو مستطيلات إذا كان المنشور غير مائل).

كيف يبدو المنشور

المنشور رباعي الزوايا العادي هو شكل سداسي ، يوجد في قاعدته مربعان ، ويتم تمثيل الوجوه الجانبية بمستطيلات. اسم آخر لهذا الشكل الهندسي هو متوازي خط مستقيم.

الشكل ، الذي يصور منشور رباعي الزوايا ، مبين أدناه.

يمكنك أيضا أن ترى في الصورة أهم العناصر التي يتكون منها الجسم الهندسي. يشار إليها عادة باسم:

في بعض الأحيان في مسائل الهندسة يمكنك أن تجد مفهوم القسم. سيبدو التعريف كالتالي: القسم هو كل نقاط الجسم الحجمي التي تنتمي إلى مستوى القطع. المقطع عمودي (يتقاطع مع حواف الشكل بزاوية 90 درجة). بالنسبة للمنشور المستطيل ، يُنظر أيضًا في المقطع القطري (الحد الأقصى لعدد الأقسام التي يمكن بناؤها هو 2) ، ويمر عبر حافتين وأقطار القاعدة.

إذا تم رسم القسم بحيث لا يكون مستوى القطع موازيًا للقواعد أو الوجوه الجانبية ، فإن النتيجة تكون منشورًا مبتورًا.

يتم استخدام النسب والصيغ المختلفة للعثور على العناصر المنشورية المخفضة. بعضها معروف من مسار القياس (على سبيل المثال ، للعثور على مساحة قاعدة المنشور ، يكفي تذكر صيغة مساحة المربع).

مساحة السطح والحجم

لتحديد حجم المنشور باستخدام الصيغة ، تحتاج إلى معرفة مساحة القاعدة والارتفاع:

V = Sprim h

نظرًا لأن قاعدة المنشور رباعي السطوح العادي هي مربع مع جانب أ،يمكنك كتابة الصيغة بشكل أكثر تفصيلاً:

الخامس = أ² ح

إذا كنا نتحدث عن مكعب - منشور عادي متساوي الطول والعرض والارتفاع ، فسيتم حساب الحجم على النحو التالي:

لفهم كيفية إيجاد مساحة السطح الجانبية للمنشور ، عليك أن تتخيل مدى اكتساحه.

يتضح من الرسم أن السطح الجانبي يتكون من 4 مستطيلات متساوية. تُحسب مساحتها على أنها حاصل ضرب محيط القاعدة وارتفاع الشكل:

سايد = Pos h

بما أن محيط المربع هو P = 4 أ ،تأخذ الصيغة الشكل:

سايد = 4 أ ح

للمكعب:

سايد = 4 أ²

لحساب مساحة السطح الإجمالية لمنشور ، أضف منطقتين أساسيتين إلى المساحة الجانبية:

Sfull = Sside + 2Sbase

كما هو مطبق على منشور منتظم رباعي الزوايا ، فإن الصيغة لها الشكل:

سفل = 4 أ ح + 2 أ²

بالنسبة لمساحة سطح المكعب:

Sfull = 6 أ²

بمعرفة الحجم أو مساحة السطح ، يمكنك حساب العناصر الفردية لجسم هندسي.

البحث عن عناصر المنشور

غالبًا ما توجد مشكلات في تحديد الحجم أو معرفة قيمة مساحة السطح الجانبية ، حيث يكون من الضروري تحديد طول جانب القاعدة أو الارتفاع. في مثل هذه الحالات ، يمكن اشتقاق الصيغ:

• طول جانب القاعدة: a = Sside / 4h = √ (V / h) ؛
• الارتفاع أو طول الضلع الجانبي: ح = Sside / 4a = V / a² ؛
• منطقة قاعدة: Sprim = V / h ؛
• منطقة الوجه الجانبية: جانب غرام = سايد / 4.

لتحديد مساحة المقطع المائل ، تحتاج إلى معرفة طول القطر وارتفاع الشكل. لمربع د = أ√2.وبالتالي:

Sdiag = ah√2

لحساب قطري المنشور ، يتم استخدام الصيغة:

dprize = √ (2a² + h²)

لفهم كيفية تطبيق النسب المذكورة أعلاه ، يمكنك التدرب على بعض المهام البسيطة وحلها.

أمثلة على مشاكل الحلول

فيما يلي بعض المهام التي تظهر في امتحانات الدولة النهائية في الرياضيات.

التمرين 1.

يُسكب الرمل في صندوق على شكل منشور منتظم رباعي الزوايا. ارتفاع مستواه 10 سم ، ماذا سيكون مستوى الرمل إذا قمت بنقله إلى وعاء من نفس الشكل ولكن بطول قاعدته مرتين أطول؟

يجب أن يقال على النحو التالي. لم تتغير كمية الرمل في الوعاءين الأول والثاني ، أي أن الحجم فيهما هو نفسه. يمكنك تحديد طول القاعدة على شكل أ. في هذه الحالة ، بالنسبة للمربع الأول ، سيكون حجم المادة:

V₁ = هكتار 2 = 10 أ²

بالنسبة للمربع الثاني ، يكون طول القاعدة 2 أولكن ارتفاع مستوى الرمال غير معروف:

V₂ = ح (2 أ) ² = 4 هكتار²

بسبب ال V₁ = V₂، يمكن معادلة التعبيرات:

10 أ² = 4 هكتار

بعد تقليل كلا طرفي المعادلة بمقدار a² ، نحصل على:

نتيجة لذلك ، سيكون مستوى الرمال الجديد ح = 10/4 = 2.5سم.

المهمة 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ هو منشور منتظم. من المعروف أن BD = AB₁ = 6√2. أوجد مساحة السطح الكلية للجسم.

لتسهيل فهم العناصر المعروفة ، يمكنك رسم شكل.

نظرًا لأننا نتحدث عن منشور منتظم ، فيمكننا استنتاج أن القاعدة عبارة عن مربع بقطر 6√2. قطر الوجه الجانبي له نفس القيمة ، وبالتالي ، فإن الوجه الجانبي له أيضًا شكل مربع يساوي القاعدة. اتضح أن الأبعاد الثلاثة - الطول والعرض والارتفاع - متساوية. يمكننا أن نستنتج أن ABCDA₁B₁C₁D₁ هو مكعب.

يتم تحديد طول أي حافة من خلال القطر المعروف:

أ = د / √2 = 6√2 / 2 = 6

تم العثور على إجمالي مساحة السطح بواسطة صيغة المكعب:

Sfull = 6 أ² = 6 6² = 216

المهمة 3.

الغرفة قيد التجديد. ومن المعروف أن أرضيته على شكل مربع بمساحة 9 م². ارتفاع الغرفة 2.5 م ما هي أقل تكلفة بورق الجدران إذا كان المتر المربع يكلف 50 روبل؟

نظرًا لأن الأرضية والسقف مربعات ، أي مربعات منتظمة الزوايا ، وجدرانها متعامدة مع الأسطح الأفقية ، يمكننا أن نستنتج أنه منشور منتظم. من الضروري تحديد مساحة سطحه الجانبي.

طول الغرفة أ = -9 = 3م.

سيتم تغطية المربع بورق الجدران سايد = 4 3 2.5 = 30 م².

أقل تكلفة لورق الحائط لهذه الغرفة ستكون 50 30 = 1500روبل.

وبالتالي ، لحل مسائل المنشور المستطيل ، يكفي أن تكون قادرًا على حساب مساحة ومحيط المربع والمستطيل ، وكذلك معرفة الصيغ الخاصة بإيجاد الحجم ومساحة السطح.

كيفية إيجاد مساحة المكعب