قيم الجدول للوظائف. قانون التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المنفصل

2.1. دالة لابلاس (تكامل الاحتمال)لديه النموذج:

يظهر الرسم البياني لوظيفة لابلاس في الشكل 5.

وظيفة F(X) مجدولة (انظر الجدول 1 من الملاحق). لاستخدام هذا الجدول عليك أن تعرف خصائص وظيفة لابلاس:

1) الدالة F( X) غريب: F(-X)= -F(X).

2) الوظيفة F(X) زيادة رتيبة.

3) F(0)=0.

4) F(+¥ )=0,5; F(-¥ )=-0.5. من الناحية العملية، يمكننا أن نفترض أن الدالة x³5 F(X)=0.5; لوظيفة x £ -5 F(X)=-0,5.

2.2. هناك أشكال أخرى من وظيفة لابلاس:

و

وعلى النقيض من هذه الأشكال، فإن الوظيفة F(X) تسمى وظيفة لابلاس القياسية أو الطبيعية. ويرتبط بأشكال أخرى من العلاقات:

مثال 2.متغير عشوائي مستمر Xلديه قانون التوزيع الطبيعي مع المعلمات: م=3, س=4. أوجد احتمال أن يكون نتيجة الاختبار المتغير العشوائي X: أ) سوف يأخذ القيمة الموجودة في الفاصل الزمني (2؛ 6)؛ ب) سوف يأخذ قيمة أقل من 2؛ ج) سوف يأخذ قيمة أكبر من 10؛ د) انحراف عن التوقع الرياضي بمقدار لا يتجاوز 2. وضّح حل المشكلة بيانياً.

حل.أ) احتمال وجود متغير عشوائي عادي Xيقع ضمن الفاصل الزمني المحدد ( أ، ب)، أين أ=2 و ب=6، يساوي:

قيم دالة لابلاس و(خ)تحدد وفقا للجدول الوارد في الملحق مع مراعاة ذلك F(–X)= –F(X).

ب) احتمال وجود متغير عشوائي عادي Xسوف تأخذ قيمة أقل من 2، تساوي:

ج) احتمال أن يكون متغير عشوائي عادي Xسوف تأخذ قيمة أكبر من 10، تساوي:

د) احتمال وجود متغير عشوائي عادي X د=2، يساوي:

ومن وجهة نظر هندسية، تكون الاحتمالات المحسوبة مساوية عددياً للمناطق المظللة تحت المنحنى الطبيعي (انظر الشكل 6).

أرز. 6. المنحنى الطبيعي للمتغير العشوائي X~ن(3;4)
مثال 3.يتم قياس قطر العمود بدون أخطاء منهجية (نفس العلامة). تخضع أخطاء القياس العشوائية للتوزيع الطبيعي بانحراف معياري قدره 10 ملم. أوجد احتمال إجراء القياس بخطأ لا يتجاوز 15 مم في القيمة المطلقة.

حل.التوقع الرياضي للأخطاء العشوائية هو صفر م Xسوف ينحرف عن التوقع الرياضي بمقدار أقل من د=15، يساوي:

مثال 4. الآلة تنتج الكرات. تعتبر الكرة صالحة إذا كان الانحراف Xقطر الكرة من حجم التصميم بالقيمة المطلقة أقل من 0.7 ملم. بافتراض أن المتغير العشوائي Xموزعة بشكل طبيعي مع انحراف معياري قدره 0.4 مم، أوجد متوسط ​​عدد الكرات المناسبة من بين 100 كرة منتجة.

حل.قيمة عشوائية X- انحراف قطر الكرة عن الحجم التصميمي. التوقع الرياضي للانحراف هو صفر، أي. م(X)=م=0. ثم احتمال أن يكون متغير عشوائي عادي Xسوف ينحرف عن التوقع الرياضي بمقدار أقل من د=0.7، يساوي:

ويترتب على ذلك أن حوالي 92 كرة من أصل 100 ستكون مناسبة.

مثال 5.إثبات القاعدة "3" س».

حل.احتمال أن يكون متغير عشوائي عادي Xسوف ينحرف عن التوقع الرياضي بمقدار أقل من د= 3س، مساوي ل:

مثال 6.قيمة عشوائية Xيتم توزيعها بشكل طبيعي مع التوقعات الرياضية م=10. ضرب الاحتمال Xفي الفترة (10، 20) يساوي 0.3. ما هو احتمال ضرب Xفي الفترة (0، 10)؟

حل.المنحنى الطبيعي متماثل حول خط مستقيم X=م=10، وبالتالي فإن المناطق المحصورة من أعلى بالمنحنى الطبيعي ومن أسفل بالفترتين (0، 10) و (10، 20) متساوية مع بعضها البعض. حيث أن المناطق متساوية عدديا مع احتمالات الضرب Xفي الفترة المناسبة، ثم.

نظريات لابلاس المحلية والتكاملية

هذه المقالة هي استمرار طبيعي للدرس حول اختبارات مستقلة، اين تقابلنا صيغة برنوليوعملت على أمثلة نموذجية حول هذا الموضوع. تحل نظريات لابلاس المحلية والتكاملية (Moivre-Laplace) مشكلة مماثلة مع اختلاف إمكانية تطبيقها على عدد كبير بما يكفي من الاختبارات المستقلة. ليست هناك حاجة للتغاضي عن الكلمات "محلية"، و"تكاملية"، و"نظريات" - حيث يتم إتقان المادة بنفس السهولة التي ربت بها لابلاس على رأس نابليون المجعد. لذلك، دون أي تعقيدات وتعليقات أولية، دعونا نفكر على الفور في مثال توضيحي:

تم رمي العملة 400 مرة. أوجد احتمال الحصول على الصورة 200 مرة.

وفقا للميزات المميزة، ينبغي للمرء أن ينطبق هنا صيغة برنولي . ولنتذكر معاني هذه الحروف:

- احتمال وقوع حدث عشوائي مرة واحدة بالضبط في التجارب المستقلة؛
– معامل ذو الحدين;
- احتمال وقوع حدث في كل تجربة؛

فيما يتعلق بمهمتنا:
- العدد الإجمالي للاختبارات؛
- عدد الرميات التي يجب أن تسقط فيها الرؤوس؛

وبالتالي، فإن احتمال ظهور الصورة 200 مرة بالضبط نتيجة رمية 400 عملة معدنية: ...توقف، ماذا تفعل بعد ذلك؟ فشلت الحاسبة الدقيقة (على الأقل الخاصة بي) في التعامل مع الدرجة 400 واستسلمت لها مضروب. لكنني لم أرغب في حساب شيء ما من خلال المنتج =) فلنستخدمه وظيفة إكسل القياسيةوالتي تمكنت من معالجة الوحش : .

وأود أن ألفت انتباهكم إلى ما ورد بالضبطالمعنى ومثل هذا الحل يبدو مثاليا. لأول وهلة. فيما يلي بعض الحجج المضادة المقنعة:

- أولاً، قد لا يكون البرنامج في متناول اليد؛
- وثانياً، سيبدو الحل غير قياسي (مع احتمال كبير، سيتعين عليك تغيير رأيك);

ولذلك، عزيزي القارئ، في المستقبل القريب نتوقع:

نظرية لابلاس المحلية

إذا كان احتمال وقوع حدث عشوائي في كل تجربة ثابتًا، فإن احتمال وقوع الحدث مرة واحدة بالضبط في كل تجربة يساوي تقريبًا:
، أين .

علاوة على ذلك، كلما كان الاحتمال أكبر، كلما كان الاحتمال المحسوب أفضل لتقريب القيمة الدقيقة التي تم الحصول عليها (على الأقل افتراضيا)وفقا لصيغة برنولي. الحد الأدنى الموصى به لعدد الاختبارات هو حوالي 50-100، وإلا فإن النتيجة قد تكون بعيدة عن الحقيقة. بالإضافة إلى ذلك، تعمل نظرية لابلاس المحلية بشكل أفضل كلما اقترب الاحتمال من 0.5، والعكس صحيح - فهي تعطي خطأً كبيرًا للقيم القريبة من الصفر أو الواحد. ولهذا السبب، هناك معيار آخر للاستخدام الفعال للصيغة هو عدم المساواة () .

لذلك، على سبيل المثال، إذا كان ، فإن تطبيق نظرية لابلاس على 50 اختبارًا له ما يبرره. لكن إذا و، فهذا أيضًا تقريبي (للقيمة الدقيقة)سيكون سيئا.

حول السبب وحول وظيفة خاصة سنتحدث في الفصل عنه التوزيع الاحتمالي الطبيعيلكن في الوقت الحالي نحتاج إلى الجانب الحسابي الرسمي للمشكلة. على وجه الخصوص، هناك حقيقة مهمة التكافؤهذه الوظيفة: .

دعونا إضفاء الطابع الرسمي على العلاقة مع مثالنا:

المشكلة 1

تم رمي العملة 400 مرة. أوجد احتمالية هبوط الرؤوس بالضبط:

أ) 200 مرة؛
ب) 225 مرة.

من أين نبدأ حل؟ أولاً لنكتب الكميات المعروفة بحيث تكون أمام أعيننا:

- العدد الإجمالي للاختبارات المستقلة؛
- احتمال الحصول على رؤوس في كل رمية؛
- احتمالية هبوط الرؤوس.

أ) دعونا نوجد احتمال ظهور الرؤوس مرة واحدة بالضبط في سلسلة من 400 رمية. ونظرًا لكثرة الاختبارات، نستخدم نظرية لابلاس المحلية: ، أين .

في الخطوة الأولى، نحسب القيمة المطلوبة للوسيطة:

بعد ذلك نجد قيمة الدالة المقابلة: . ويمكن القيام بذلك بعدة طرق. بادئ ذي بدء، بالطبع، تشير الحسابات المباشرة إلى نفسها:

يتم التقريب عادة إلى 4 منازل عشرية.

عيب الحساب المباشر هو أنه لا يمكن لكل حاسبة صغيرة استيعاب الأس، بالإضافة إلى أن الحسابات ليست ممتعة بشكل خاص وتستغرق وقتًا. لماذا تعاني كثيرا؟ يستخدم آلة حاسبة تيرفير (النقطة 4)والحصول على القيم على الفور!

بالإضافة إلى ذلك، هناك جدول قيمة الوظيفة، وهو موجود تقريبًا في أي كتاب عن نظرية الاحتمالات، على وجه الخصوص، في الكتاب المدرسي V. E. جمورمان. إذا لم تقم بتنزيله بعد، قم بتنزيله - هناك الكثير من الأشياء المفيدة هناك؛-) وتأكد من معرفة كيفية استخدام الجدول (الآن!)– قد لا تكون المعدات الحاسوبية المناسبة في متناول اليد دائمًا!

في المرحلة النهائية، نطبق الصيغة :
- احتمال أنه في 400 رمية عملة معدنية، ستسقط الصورة 200 مرة بالضبط.

كما ترون، فإن النتيجة التي تم الحصول عليها قريبة جدًا من القيمة الدقيقة المحسوبة بواسطة صيغة برنولي.

ب) أوجد احتمال ظهور رؤوس التجارب مرة واحدة بالضبط في سلسلة مكونة من 400 تجربة. نحن نستخدم نظرية لابلاس المحلية. واحد، اثنان، ثلاثة - وقد انتهيت:

- الاحتمال المطلوب.

إجابة:

المثال التالي، كما خمن الكثيرون، مخصص للولادة - وهذا عليك أن تقرريه بنفسك :)

المشكلة 2

احتمال إنجاب ولد هو 0.52. أوجد احتمال أنه من بين 100 مولود جديد سيكون هناك بالضبط: أ) 40 ولدًا، ب) 50 ولدًا، ج) 30 بنتًا.

قم بتقريب النتائج إلى 4 منازل عشرية.

...عبارة "الاختبارات المستقلة" تبدو مثيرة للاهتمام هنا =) بالمناسبة، حقيقية الاحتمال الإحصائييتراوح معدل المواليد للصبي في العديد من مناطق العالم من 0.51 إلى 0.52.

مثال تقريبي لمهمة في نهاية الدرس.

لاحظ الجميع أن الأرقام كانت صغيرة جدًا، ولا ينبغي أن يكون هذا مضللاً - فنحن نتحدث عن الاحتمالات الفردية، محليالقيم (ومن هنا اسم النظرية). وهناك العديد من هذه القيم، ومن الناحية المجازية، فإن الاحتمالية "يجب أن تكون كافية للجميع". صحيح أن العديد من الأحداث سوف يكاد يكون مستحيلا.

اسمحوا لي أن أشرح ما ورد أعلاه باستخدام مثال العملات المعدنية: في سلسلة من أربعمائة تجربة، يمكن نظريًا أن تنخفض الرؤوس من 0 إلى 400 مرة، وتتشكل هذه الأحداث مجموعة كاملة:

ومع ذلك، فإن معظم هذه القيم ضئيلة للغاية، على سبيل المثال، احتمال ظهور الرؤوس 250 مرة هو بالفعل واحد من كل عشرة ملايين: . حول القيم مثل فلنلتزم الصمت بلباقة =)

من ناحية أخرى، لا ينبغي الاستهانة بالنتائج المتواضعة: إذا كان الأمر يتعلق فقط باحتمالية هبوط الرؤوس، على سبيل المثال، من 220 إلى 250 مرة، سيكون ملحوظًا جدًا.

الآن دعونا نفكر: كيف نحسب هذا الاحتمال؟ لا تحسب بها نظرية جمع احتمالات الأحداث غير المتوافقةكمية:

هذه القيم أبسط من ذلك بكثير يجمع. والجمع بين شيء، كما تعلمون، يسمى اندماج:

نظرية لابلاس التكاملية

إذا كان احتمال وقوع حدث عشوائي في كل تجربة ثابتا، فإن الاحتمال أن الحدث سيحدث في المحاكمات لا أقل ولا أكثر مرات (من إلى الأوقات شاملة)، يساوي تقريبًا:

في هذه الحالة، يجب أن يكون عدد الاختبارات، بالطبع، كبيرًا بدرجة كافية ويجب ألا يكون الاحتمال صغيرًا/مرتفعًا جدًا (تقريبًا)وإلا فإن التقريب سيكون غير مهم أو سيئا.

يتم استدعاء الدالة وظيفة لابلاس، ويتم تلخيص قيمها مرة أخرى في جدول قياسي ( العثور عليها وتعلم كيفية العمل معها!). لن تساعد الحاسبة الدقيقة هنا، لأن التكامل غير قابل للدمج. لكن Excel لديه الوظيفة المقابلة - الاستخدام النقطة 5 تخطيط تصميم.

في الممارسة العملية، القيم الأكثر شيوعا هي:
- انسخه في دفترك.
بدءًا من ، يمكننا أن نفترض ذلك، أو لنكتبه بشكل أكثر دقة:

وعلاوة على ذلك، وظيفة لابلاس غريب: ، ويتم استغلال هذه الخاصية بشكل نشط في المهام التي سئمنا منها بالفعل:

المشكلة 3

احتمال إصابة مطلق النار بالهدف هو 0.7. أوجد احتمال إصابة الهدف بـ 100 طلقة من 65 إلى 80 مرة.

لقد اخترت المثال الأكثر واقعية، وإلا وجدت هنا عدة مهام يطلق فيها مطلق النار آلاف الطلقات =)

حل: في هذه المشكلة نحن نتحدث عنها الاختبارات المستقلة المتكررة، وعددهم كبير جدًا. وفقًا للشرط، تحتاج إلى إيجاد احتمال إصابة الهدف بما لا يقل عن 65 مرة، ولكن ليس أكثر من 80 مرة، مما يعني أنك بحاجة إلى استخدام نظرية لابلاس التكاملية: ، حيث

للراحة، دعونا نعيد كتابة البيانات الأصلية في عمود:
- مجموع الطلقات؛
- الحد الأدنى لعدد الزيارات؛
- الحد الأقصى لعدد الزيارات؛
- احتمالية إصابة الهدف بكل طلقة؛
- احتمالية الخطأ مع كل تسديدة.

ولذلك، فإن نظرية لابلاس تعطي تقديرا جيدا.

دعونا نحسب قيم الحجج:

أود أن ألفت انتباهكم إلى أنه ليس من الضروري استخلاص العمل بالكامل من جذوره. (كما يحب مؤلفو المشكلة "ضبط" الأرقام)- بدون أدنى شك، قم باستخراج الجذر وتقريب النتيجة؛ أنا معتاد على ترك 4 منازل عشرية. ولكن عادة ما يتم تقريب القيم الناتجة إلى منزلتين عشريتين - وهذا التقليد يأتي من جداول القيمة الوظيفية، حيث يتم تقديم الحجج بهذا الشكل بالضبط.

نستخدم الجدول أعلاه أو تخطيط التصميم لـ terver (النقطة 5).
كتعليق مكتوب أنصحك بوضع العبارة التالية: سنجد قيم الدالة باستخدام الجدول المقابل:

– احتمال إصابة الهدف بـ 100 طلقة من 65 إلى 80 مرة.

تأكد من الاستفادة من الرقم الفردي للوظيفة!في حالة حدوث ذلك، سأكتبه بالتفصيل:

الحقيقة انه جدول قيمة الوظيفةيحتوي فقط على علامة "X" موجبة، ونحن نعمل (على الأقل بحسب "الأسطورة")مع طاولة!

إجابة:

غالبًا ما يتم تقريب النتيجة إلى 4 منازل عشرية (مرة أخرى حسب تنسيق الجدول).

لحلها بنفسك:

المشكلة 4

يوجد في المبنى 2500 مصباح، احتمال تشغيل كل منها في المساء هو 0.5. أوجد احتمال إضاءة ما لا يقل عن 1250 ولا يزيد عن 1275 مصباحًا في المساء.

نموذج تقريبي للتصميم النهائي في نهاية الدرس.

تجدر الإشارة إلى أن المهام قيد النظر غالبا ما تحدث في شكل "غير شخصي"، على سبيل المثال:

تم إجراء بعض التجارب التي يمكن أن يحدث فيها حدث عشوائي باحتمال 0.5. تم تكرار التجربة في ظل ظروف دون تغيير 2500 مرة. تحديد احتمال حدوث الحدث في 2500 تجربة من 1250 إلى 1275 مرة

وتركيبات مماثلة من خلال السقف. نظرًا لطبيعة المهام المبتذلة، غالبًا ما يحاولون إخفاء الحالة - فهذه هي "الفرصة الوحيدة" لتنويع الحل وتعقيده بطريقة ما:

المشكلة 5

هناك 1000 طالب يدرسون في المعهد. غرفة الطعام بها 105 مقعدا. يذهب كل طالب إلى الكافتيريا أثناء الاستراحة الكبيرة باحتمال 0.1. ما هو احتمال أنه في يوم دراسي نموذجي:

أ) لن تكون غرفة الطعام ممتلئة بأكثر من الثلثين؛
ب) لا توجد مقاعد كافية للجميع.

أود أن ألفت انتباهكم إلى العبارة المهمة "في يوم دراسي عادي" - فهي تضمن بقاء الوضع دون تغيير نسبيًا. بعد العطلات، قد يأتي عدد أقل بكثير من الطلاب إلى المعهد، وقد ينزل وفد جائع في "يوم الأبواب المفتوحة" =) أي أنه في يوم "غير عادي"، ستكون الاحتمالات مختلفة بشكل ملحوظ.

حل: نستخدم نظرية لابلاس التكاملية، حيث

في هذه المهمة:
- إجمالي الطلاب في المعهد؛
- احتمالية ذهاب الطالب إلى الكافتيريا خلال فترة الاستراحة الطويلة؛
- احتمال الحدث المعاكس.

أ) لنحسب عدد المقاعد التي تشكل ثلثي العدد الإجمالي: المقاعد

دعونا نوجد احتمال أنه في يوم دراسي عادي لن تكون الكافتيريا ممتلئة بأكثر من الثلثين. ماذا يعني ذلك؟ وهذا يعني أنه خلال فترة الاستراحة الكبيرة، سيأتي من 0 إلى 70 شخصًا. حقيقة عدم حضور أحد أو حضور عدد قليل من الطلاب فقط هي الأحداث مستحيل عملياومع ذلك، لغرض تطبيق نظرية لابلاس التكاملية، يجب أن تؤخذ هذه الاحتمالات في الاعتبار. هكذا:

دعونا نحسب الحجج المقابلة:

نتيجة ل:

– احتمال ألا يكون امتلاء الكافتيريا في اليوم الدراسي العادي بأكثر من الثلثين.

تذكير : عندما تعتبر دالة لابلاس مساوية لـ .

على الرغم من أنها ممتعة للجمهور =)

ب) الحدث "لا توجد مقاعد كافية للجميع"هو أن من 106 إلى 1000 شخص سيأتون إلى غرفة الطعام لتناول طعام الغداء خلال فترة الاستراحة الكبيرة (الشيء الرئيسي هو ضغطه جيدًا =)).ومن الواضح أن نسبة الحضور العالية لا تصدق، ولكن مع ذلك: .

نحسب الحجج:

وبالتالي فإن احتمال عدم وجود مقاعد كافية للجميع هو:

إجابة:

الآن دعونا نركز على واحد فارق بسيط مهمالطريقة: عندما نقوم بإجراء العمليات الحسابية شريحة واحدة، إذن كل شيء "صافي" - قرر وفقًا للنموذج الذي تم النظر فيه. ومع ذلك، إذا اعتبرنا مجموعة كاملة من الأحداثينبغي أن تظهر دقة معينة. اسمحوا لي أن أشرح هذه النقطة باستخدام مثال المشكلة التي تمت مناقشتها للتو. عند نقطة "كن" وجدنا احتمال عدم وجود مقاعد كافية للجميع. وبعد ذلك، باستخدام نفس المخطط، نحسب:
– احتمال وجود أماكن كافية.

منذ هذه الأحداث عكس، فإن مجموع الاحتمالات يجب أن يساوي واحدًا:

ماذا جرى؟ - يبدو أن كل شيء منطقي هنا. النقطة المهمة هي أن وظيفة لابلاس هي مستمر، لكننا لم نأخذ في الاعتبار فاصلةمن 105 إلى 106. هذا هو المكان الذي اختفت فيه القطعة 0.0338. لهذا باستخدام نفس الصيغة القياسيةينبغي حساب:

حسنًا ، أو حتى أبسط:

استخراج أو تكوين السؤال: ماذا لو وجدنا أولا؟ ثم سيكون هناك نسخة أخرى من الحل:

ولكن كيف يمكن أن يكون هذا؟! - الطريقتان تعطيان إجابات مختلفة! الأمر بسيط: نظرية لابلاس المتكاملة هي طريقة يغلقالحسابات، وبالتالي فإن كلا الطريقتين مقبولة.

لإجراء حسابات أكثر دقة يجب عليك استخدامها صيغة برنوليوعلى سبيل المثال، وظيفة Excel بينوميدست. نتيجة ل تطبيقهنحن نحصل:

وأنا أعرب عن امتناني لأحد زوار الموقع، الذين لفتوا الانتباه إلى هذه الدقة - لقد سقطت من مجال رؤيتي، لأن دراسة مجموعة كاملة من الأحداث نادرا ما توجد في الممارسة العملية. يمكن للمهتمين التعرف على

من أشهر الدوال غير الأولية والتي تستخدم في الرياضيات ونظرية المعادلات التفاضلية والإحصاء ونظرية الاحتمالات هي دالة لابلاس. حل المشاكل معها يتطلب إعدادا كبيرا. دعنا نكتشف كيف يمكنك حساب هذا المؤشر باستخدام أدوات Excel.

دالة لابلاس لها تطبيقات تطبيقية ونظرية واسعة. على سبيل المثال، يتم استخدامه في كثير من الأحيان لحل المعادلات التفاضلية. هذا المصطلح له اسم مكافئ آخر - تكامل الاحتمال. في بعض الحالات، أساس الحل هو بناء جدول القيم.

مشغل NORM.ST.DIST

في Excel، يتم حل هذه المشكلة باستخدام عامل التشغيل NORM.ST.DIST.. اسمها هو اختصار لمصطلح "التوزيع القياسي الطبيعي". نظرًا لأن مهمتها الرئيسية هي إعادة التوزيع التراكمي الطبيعي القياسي إلى الخلية المحددة. ينتمي هذا المشغل إلى الفئة الإحصائية لوظائف Excel القياسية.

في Excel 2007 والإصدارات السابقة من البرنامج، تم استدعاء هذا العامل نورمسدست. ولأسباب التوافق، يتم الاحتفاظ به في الإصدارات الحديثة من التطبيقات. لكنهم ما زالوا يوصون باستخدام نظير أكثر تقدمًا - NORM.ST.DIST..

بناء جملة المشغل NORM.ST.DIST.على النحو التالي:

NORM.ST.DIST(z;تكامل)

المشغل القديم نورمسدستمكتوب مثل هذا:

نورمسدست(ض)

كما ترون، في الإصدار الجديد من الوسيطة الموجودة "ض"تمت إضافة الوسيطة "أساسي". وتجدر الإشارة إلى أن كل وسيطة مطلوبة.

دعوى "ض"يشير إلى القيمة العددية التي تم إنشاء التوزيع من أجلها.

دعوى "أساسي"يمثل قيمة منطقية يمكن أن يكون لها تمثيل "حقيقي" ("1")أو "كذب" («0») . في الحالة الأولى يتم إرجاع دالة التوزيع التراكمي إلى الخلية المحددة، وفي الحالة الثانية يتم إرجاع دالة التوزيع الوزني.

حل المشكلة

لإجراء الحساب المطلوب لمتغير، استخدم الصيغة التالية:

NORM.ST.DIST(z;integral(1))-0.5

الآن دعونا نلقي نظرة على استخدام العامل باستخدام مثال محدد NORM.ST.DIST.لحل مشكلة معينة.

دالة لابلاس هي دالة غير أولية وغالبًا ما تستخدم في نظرية المعادلات التفاضلية ونظرية الاحتمالات وفي الإحصاء. تتطلب وظيفة لابلاس مجموعة معينة من المعرفة والتدريب، لأنها تتيح لك حل المشكلات المختلفة في مجال التطبيقات التطبيقية والنظرية.

تُستخدم دالة لابلاس غالبًا لحل المعادلات التفاضلية، ويُطلق عليها غالبًا اسم التكامل الاحتمالي. دعونا نرى كيف يمكن استخدام هذه الوظيفة في Excel وكيف تعمل.

يتوافق التكامل الاحتمالي أو دالة Laplace في Excel مع عامل التشغيل "NORMSDIST"، الذي يحتوي على بناء الجملة: "=NORMSDIST(z). في الإصدارات الأحدث من البرنامج، يحمل المشغل أيضًا اسم "NORM.ST.DIST". وصيغة معدلة قليلاً "=NORM.ST.DIST(z; متكاملة).

الوسيطة "Z" مسؤولة عن القيمة الرقمية للتوزيع. تقوم الوسيطة "التكاملية" بإرجاع قيمتين - "1" - دالة التوزيع التكاملي، "0" - دالة توزيع الوزن.

لقد قمنا بفرز النظرية. دعنا ننتقل إلى الممارسة. دعونا نلقي نظرة على استخدام وظيفة لابلاس في إكسيل.

1. اكتب قيمة في خلية وأدخل دالة في الخلية التالية.

2. لنكتب الدالة يدويًا “=NORM.ST.DIST(B4;1).

3. أو نستخدم معالج إدراج الوظيفة - انتقل إلى الفئة "ثابت" وأشر إلى "قائمة أبجدية كاملة".

4. في نافذة وسيطات الوظيفة التي تظهر، قم بالإشارة إلى القيم الأولية. ستكون خليتنا الأصلية مسؤولة عن المتغير "Z"، وأدخل "1" في "Integral". ستعيد وظيفتنا دالة التوزيع التراكمي.

5. حصلنا على حل جاهز للتوزيع الطبيعي المتكامل القياسي لهذه الدالة "NORM.ST.DIST". لكن هذا ليس كل شيء، كان هدفنا هو إيجاد دالة لابلاس أو تكامل الاحتمال، لذا دعونا نقوم ببعض الخطوات الإضافية.

6. تشير دالة لابلاس إلى أنه يجب طرح "0.5" من قيمة الدالة الناتجة. نضيف العملية اللازمة إلى الوظيفة. نضغط على "أدخل" ونحصل على الحل النهائي. القيمة المطلوبة صحيحة وتم العثور عليها بسرعة.

يقوم Excel بحساب هذه الدالة بسهولة لأي قيمة خلية أو نطاق من الخلايا أو مراجع الخلايا. الدالة "NORM.ST.DIST" هي عامل تشغيل قياسي للبحث عن تكامل الاحتمال أو، كما يطلق عليها أيضًا، دالة لابلاس.

صيغة بايز

الأحداث B 1، B 2،…، B n غير متوافقة وتشكل مجموعة كاملة، أي. ف(ب 1)+ ف(ب 2)+…+ ف(ب ن)=1. وليحدث الحدث A فقط عند ظهور أحد الأحداث B 1,B 2,…,B n. ثم يتم العثور على احتمال الحدث A باستخدام صيغة الاحتمال الإجمالي.

دع الحدث A قد حدث بالفعل. ثم يمكن المبالغة في تقدير احتمالات الفرضيات B 1، B 2،…، B n باستخدام صيغة بايز:

صيغة برنولي

دع n من التجارب المستقلة يتم إجراؤها، وفي كل واحدة منها قد يحدث A أو لا يحدث. احتمال حدوث (عدم حدوث) الحدث A هو نفسه ويساوي p (q=1-p).

تم العثور على احتمال حدوث الحدث A في التجارب المستقلة n مرة واحدة بالضبط (اعتمادًا على التسلسل) باستخدام صيغة برنولي:

احتمال وقوع حدث ما في عدد n من التجارب المستقلة هو:

أ). أقل من الأوقات P n (0)+P n (1)+…+P n (k-1).

ب). أكثر من مرة P n (k+1)+P n (k+2)+…+P n (n).

الخامس). على الأقل مرات P n (k)+P n (k+1)+…+P n (n).

ز). لا يزيد عن k مرات P n (0)+P n (1)+…+P n (k).

نظريات لابلاس المحلية والتكاملية.

نستخدم هذه النظريات عندما تكون n كبيرة بدرجة كافية.

نظرية لابلاس المحلية

إن احتمال وقوع حدث ما بالضبط "k" مرات في n من التجارب المستقلة يساوي تقريبًا:

ويرد جدول الدوال للقيم الإيجابية (x) في كتاب مسائل غمورمان في الملحق 1، ص 324-325.

وبما أن () زوجية، فإننا نستخدم نفس الجدول للقيم السالبة (x).

نظرية لابلاس التكاملية.

إن احتمال وقوع حدث ما على الأقل "k" مرات في n من التجارب المستقلة يساوي تقريبًا:

وظيفة لابلاس

ويرد جدول وظائف القيم الإيجابية في كتاب مسائل غمورمان في الملحق 2، الصفحات من 326 إلى 327. للقيم الأكبر من 5 نضع Ф(kh)=0.5.

بما أن دالة لابلاس فردية Ф(-kh)=-Ф(kh)، فبالنسبة للقيم السالبة (x) نستخدم نفس الجدول، فقط نأخذ قيم الدالة بعلامة الطرح.

قانون التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المنفصل

قانون التوزيع ذو الحدين.

منفصلة- متغير عشوائي قيمه المحتملة هي أرقام فردية معزولة يأخذها هذا المتغير باحتمالات معينة. بمعنى آخر، يمكن ترقيم القيم المحتملة للمتغير العشوائي المنفصل.

يمكن أن يكون عدد القيم المحتملة للمتغير العشوائي المنفصل محدودًا أو لا نهائيًا.

يُشار إلى المتغيرات العشوائية المنفصلة بالأحرف الكبيرة X، وقيمها المحتملة بالأحرف الصغيرة x1، x2، x3...

على سبيل المثال.

X هو عدد النقاط الملقاة على النرد؛ تأخذ X ستة قيم محتملة: x1=1، x2=1، x3=3، x4=4، x5=5، x6=6 مع الاحتمالات p1=1/6، p2=1/6، p3=1/6. .ص6=1/6.

قانون التوزيع للمتغير العشوائي المنفصلقم بتسمية قائمة بقيمها المحتملة والاحتمالات المقابلة لها.

يمكن إعطاء قانون التوزيع:

1. على شكل جدول.

2. تحليليا - في شكل صيغة.

3. بيانيا. في هذه الحالة، في نظام الإحداثيات المستطيل XOP، يتم إنشاء النقاط M1(x1,hr1)، M2(x2,r2)، ... Мn(khn,prn). ترتبط هذه النقاط بقطاعات مستقيمة. ويسمى الرقم الناتج مضلع التوزيع.

لكتابة قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل (x)، من الضروري سرد ​​جميع قيمه المحتملة والعثور على الاحتمالات المقابلة.

إذا تم العثور على الاحتمالات المقابلة باستخدام صيغة برنولي، فإن قانون التوزيع هذا يسمى ذو الحدين.

مثال رقم 168، 167، 171، 123، 173، 174، 175.

القيم العددية للمتغيرات العشوائية المنفصلة.

التوقع والتباين والانحراف المعياري.

إن خاصية القيمة المتوسطة للمتغير العشوائي المنفصل هي التوقع الرياضي.

التوقع الرياضيالمتغير العشوائي المنفصل هو مجموع منتجات جميع قيمه المحتملة واحتمالاتها. أولئك. إذا تم إعطاء قانون التوزيع، فإن التوقع الرياضي

إذا كان عدد القيم الممكنة للمتغير العشوائي المنفصل لا نهائيا، إذن

علاوة على ذلك، فإن المتسلسلة الموجودة على الجانب الأيمن من المساواة تتقارب بشكل مطلق، ومجموع كل الاحتمالات pi يساوي واحدًا.

خصائص التوقع الرياضي.

1. M(C)=C، C=ثابت.

2. M(Cx)=CM(x)

3. م(x1+x2+…+xn)=م(x1)+م(x2)+…+م(xn)

4. م(x1*x2*…*xn)=م(x1)*م(x2)*…*م(xn).

5. بالنسبة لقانون التوزيع ذي الحدين، يتم إيجاد التوقع الرياضي بالصيغة:

خصائص تشتت القيم المحتملة للمتغير العشوائي حول التوقع الرياضي هي التشتت والانحراف المعياري.

التباينيسمى المتغير العشوائي المنفصل (x) بالتوقع الرياضي للانحراف التربيعي. د(س)=م(س-م(خ)) 2.

من السهل حساب التشتت باستخدام الصيغة: D(x) = M(x 2) - (M(x)) 2.

خصائص التشتت.

1. د(س)=0، ج=ثابت.

2. د(Cx)=ج 2 د(x)

3. د(x1+x2+…+xn)=د(x1)+د(x2)+…+د(xn)

4. تشتت قانون التوزيع ذي الحدين

الانحراف المعيارييسمى المتغير العشوائي بالجذر التربيعي للتباين.

أمثلة. 191، 193، 194، 209، د/ض.

دالة التوزيع التراكمي (CDF) لاحتمالات المتغير العشوائي المستمر (RCV). مستمر- الكمية التي يمكن أن تأخذ جميع القيم من فترة محدودة أو لا نهائية. هناك عدد من القيم المحتملة لـ NSV ولا يمكن إعادة ترقيمها.

على سبيل المثال.

المسافة التي يقطعها المقذوف عند إطلاقه هي NSV.

يُطلق على IFR اسم الدالة F(x)، التي تحدد لكل قيمة x احتمال أن يأخذ NSV X القيمة X<х, т.е. F(x)=Р(X

في كثير من الأحيان، بدلا من IFR، يقولون FR.

هندسياً، المساواة F(x)=P(X

خصائص إذا.

1. قيمة IF تنتمي إلى الفاصل الزمني، أي. و(خ).

2. IF هي دالة غير تناقصية، أي. ×2> ×1.

النتيجة الطبيعية 1. احتمال أن يأخذ NSV X قيمة موجودة في الفاصل الزمني (a؛ b) يساوي زيادة الدالة التكاملية في هذا الفاصل الزمني، أي.

ف (أ

النتيجة الطبيعية 2. احتمال أن يأخذ NSV X قيمة واحدة محددة، على سبيل المثال، x1=0، يساوي 0، أي. ف(س=x1)=0.

3. إذا كانت جميع القيم الممكنة لـ NSV X تنتمي إلى (a;c)، فإن F(x)=0 عند x<а, и F(x)=1 при х>الخامس.

النتيجة الطبيعية 3. العلاقات الحدية التالية صالحة.

دالة التوزيع التفاضلي (DDF) لاحتمالات المتغير العشوائي المستمر (RNV) (كثافة الاحتمالية).

مدافع و(خ)التوزيعات الاحتمالية لـ NSV يسمى المشتق الأول من IFR:

في كثير من الأحيان، بدلا من PDR، يقولون كثافة الاحتمال (PD).

ويترتب على التعريف أنه بمعرفة DF F(x)، يمكننا العثور على DF f(x). ولكن يتم إجراء التحويل العكسي أيضًا: بمعرفة DF f(x)، يمكنك العثور على DF F(x).

تم العثور على احتمال أن يأخذ NSV X قيمة تنتمي إلى (a;b):

أ). إذا تم إعطاء IF، النتيجة الطبيعية 1.

ب). إذا تم تحديد DF

خصائص مدافع.

1. DF - ليست سلبية، أي. .

2. التكامل غير الصحيح لـ DF داخل () يساوي 1، أي. .

النتيجة الطبيعية 1. إذا كانت جميع القيم الممكنة لـ NSV X تنتمي إلى (a;c)، إذن.

أمثلة. أرقام 263، 265، 266، 268، 1111، 272، د/ض.

الخصائص العددية للNSV.

1. يتم تحديد التوقع الرياضي (ME) لـ NSV X، والذي تنتمي قيمه المحتملة إلى محور OX بأكمله، بواسطة الصيغة:

إذا كانت جميع القيم الممكنة لـ NSV X تنتمي إلى (a;c)، فسيتم تحديد MO بواسطة الصيغة:

يتم أيضًا الاحتفاظ بجميع خصائص MO المشار إليها للكميات المنفصلة للكميات المستمرة.

2. يتم تحديد تشتت NSV X، الذي تنتمي قيمه المحتملة إلى محور OX بأكمله، بواسطة الصيغة:

إذا كانت جميع القيم الممكنة لـ NSV X تنتمي إلى (a;c)، فسيتم تحديد التشتت بالصيغة:

يتم أيضًا الاحتفاظ بجميع خصائص التشتت المحددة للكميات المنفصلة للكميات المستمرة.

3. يتم تحديد الانحراف المعياري لـ NSV X بنفس طريقة تحديد الكميات المنفصلة:

أمثلة. رقم 276، 279، X، د/ض.

حساب التفاضل والتكامل التشغيلي (OC).

OR هي طريقة تسمح لك بتقليل عمليات التمايز وتكامل الوظائف إلى إجراءات أبسط: الضرب والقسمة من خلال وسيطة ما يسمى بصور هذه الوظائف.

يؤدي استخدام OI إلى تسهيل حل العديد من المشكلات. على وجه الخصوص، مشاكل تكامل LDEs مع المعاملات الثابتة وأنظمة هذه المعادلات، مما يؤدي إلى تحويلها إلى جبرية خطية.

النسخ الأصلية والصور. لابلاس يتحول.

و(ر)-أصلي؛ F(ع)-صورة.

يسمى الانتقال f(t)F(p). تحويل لابلاس.

يُطلق على تحويل لابلاس للدالة f(t) اسم F(p)، اعتمادًا على متغير معقد ويتم تحديده بواسطة الصيغة:

ويسمى هذا التكامل تكامل لابلاس. بالنسبة لتقارب هذا التكامل غير السليم، يكفي افتراض أنه في الفترة f(t) مستمر متعدد التعريف وبالنسبة لبعض الثوابت M>0 ويرضي عدم المساواة

يتم استدعاء الدالة f(t) التي لها مثل هذه الخصائص إبداعي، ويسمى الانتقال من الأصل إلى صورته تحويل لابلاس.

خصائص تحويل لابلاس.

عادةً ما يكون التحديد المباشر للصور باستخدام الصيغة (2) أمرًا صعبًا ويمكن تسهيله بشكل كبير باستخدام خصائص تحويل لابلاس.

دع F(p) وG(p) يكونان صورتين أصليتين f(t) وg(t)، على التوالي. ثم تحمل علاقات الخصائص التالية:

1. С*f(t)С*F(p), С=const - خاصية التجانس.

2. f(t)+g(t)F(p)+G(p) - خاصية الجمع.

3. f(t)F(p-) - نظرية الإزاحة.

انتقال المشتق النوني للأصل إلى صورة (نظرية تمايز الأصل).