نظرية التذبذبات الميكانيكية. أساسيات نظرية تذبذبات الأنظمة الميكانيكية

لقد درسنا أصل الميكانيكا الكلاسيكية وقوة المواد ونظرية المرونة. إن أهم عنصر في الميكانيكا هو أيضًا نظرية الاهتزازات. الاهتزازات هي السبب الرئيسي لتدمير الآلات والهياكل. بالفعل بحلول نهاية الخمسينيات. 80٪ من حوادث المعدات حدثت بسبب الاهتزازات المتزايدة. للتقلبات أيضًا تأثير ضار على الأشخاص المرتبطين بتشغيل الآلات. يمكن أن تتسبب أيضًا في فشل أنظمة التحكم.

على الرغم من كل هذا ، ظهرت نظرية التذبذبات كعلم مستقل فقط في مطلع القرن التاسع عشر. ومع ذلك ، فإن حسابات الآلات والآليات حتى البداية عقد القرن العشرين في مكان ثابت. أدى تطور الهندسة الميكانيكية ، ونمو قوة وسرعة المحركات البخارية مع تقليل وزنها ، وظهور أنواع جديدة من المحركات - محركات الاحتراق الداخلي والتوربينات البخارية ، إلى الحاجة إلى حسابات القوة مع مراعاة الأحمال الديناميكية. كقاعدة عامة ، ظهرت مشاكل جديدة في نظرية التذبذبات في التكنولوجيا تحت تأثير الحوادث أو حتى الكوارث الناتجة عن الاهتزازات المتزايدة.

التذبذبات هي حركة أو تغيير في الحالة ، ولها درجة معينة من التكرار.

يمكن تقسيم نظرية التذبذبات إلى أربع فترات.

أنافترة- ظهور نظرية التذبذبات في إطار الميكانيكا النظرية (نهاية القرن السادس عشر - نهاية القرن الثامن عشر). تتميز هذه الفترة بظهور وتطور الديناميكيات في أعمال جاليليو وهويجنز ونيوتن ود "أليمبرت وأويلر ود. برنولي ولاغرانج.

أصبح ليونارد أويلر مؤسس نظرية التذبذبات. في عام 1737 ، بدأ ل. أويلر ، نيابة عن أكاديمية سانت بطرسبرغ للعلوم ، البحث عن توازن وحركة السفينة ، وفي عام 1749 نُشر كتابه "علم السفن" في سان بطرسبرج. في هذا العمل الذي قام به أويلر تم وضع أسس نظرية الاستقرار الساكن ونظرية التذبذبات.

اعتبر جان ليرون دي أليمبرت ، في أعماله العديدة ، المشاكل الفردية ، مثل التذبذبات الصغيرة للجسم حول مركز الكتلة وحول محور الدوران فيما يتعلق بمشكلة السبق والتعويضية للأرض ، وتذبذبات البندول ، الجسم العائم ، الينابيع ، الخ. لكن النظرية العامة تردد د "الامبر لم تخلق.

كان أهم تطبيق لأساليب نظرية الاهتزاز هو التحديد التجريبي للصلابة الالتوائية للسلك ، الذي أجراه تشارلز كولوم. من الناحية التجريبية ، أنشأ كولوم أيضًا خاصية تساوي الزمن للتذبذبات الصغيرة في هذه المشكلة أيضًا. من خلال التحقيق في التخميد الناتج عن الاهتزازات ، توصل هذا المجرب العظيم إلى استنتاج مفاده أن السبب الرئيسي لها ليس مقاومة الهواء ، ولكن الخسائر الناجمة عن الاحتكاك الداخلي في مادة السلك.

قدم إل أويلر مساهمة كبيرة في أسس نظرية التذبذبات ، حيث وضع الأسس لنظرية الاستقرار الساكن ونظرية التذبذبات الصغيرة ، د "أليمبرت ود. مفاهيم فترة التذبذبات وتواترها ، وشكل التذبذبات ، ومصطلح التذبذبات الصغيرة ، وصيغ مبدأ تراكب الحلول ، وجرت محاولات لتوسيع الحل إلى سلسلة مثلثية.

كانت المهام الأولى لنظرية التذبذبات هي مشاكل اهتزازات البندول والخيط. لقد تحدثنا بالفعل عن تذبذبات البندول - وكانت النتيجة العملية لحل هذه المشكلة هي اختراع Huygens للساعة.

أما مشكلة اهتزازات الأوتار فهي من أهم المشاكل في تاريخ تطور الرياضيات والميكانيكا. دعونا ننظر في الأمر بمزيد من التفصيل.

سلسلة صوتيةإنه خيط مثالي ناعم ورفيع ومرن بطول محدود من مادة صلبة ، ممتد بين نقطتين ثابتتين. في التفسير الحديث ، مشكلة الاهتزازات المستعرضة لسلسلة من الطول ليختزل لإيجاد حل للمعادلة التفاضلية (1) في المشتقات الجزئية. هنا xهو إحداثيات نقطة السلسلة على طول الطول ، و ذ- إزاحته المستعرضة ؛ ح- توتر الخيط - كتلته الجارية. أهي سرعة الموجة. تصف معادلة مماثلة أيضًا التذبذبات الطولية لعمود الهواء في الأنبوب.

في هذه الحالة ، يجب تحديد التوزيع الأولي لانحرافات نقاط السلسلة عن خط مستقيم وسرعاتها ، أي يجب أن تستوفي المعادلة (1) الشروط الأولية (2) وشروط الحدود (3).

تم إجراء أولى الدراسات التجريبية الأساسية للاهتزازات الوترية بواسطة عالم الرياضيات والميكانيكي الهولندي إسحاق بيكمان (1614-1618) وم.

تم تأكيد انتظامات ميرسين نظريًا في عام 1715 من قبل طالب نيوتن بروك تيلور. يعتبر السلسلة كنظام من النقاط المادية ويضع الافتراضات التالية: تمر جميع نقاط السلسلة في نفس الوقت مواضع توازنها (تتزامن مع المحور x) والقوة المؤثرة على كل نقطة تتناسب مع إزاحتها ذحول المحور x. هذا يعني أنه يقلل المشكلة إلى نظام بدرجة واحدة من الحرية - المعادلة (4). تلقى تايلور بشكل صحيح التردد الطبيعي الأول (نغمة أساسية) - (5).

د "Alembert عام 1747 لهذه المشكلة طبق طريقة اختزال مشكلة الديناميات إلى مشكلة الاستاتيكات (المبدأ د" Alembert) وحصل على معادلة تفاضلية لاهتزازات سلسلة متجانسة في المشتقات الجزئية (1) - المعادلة الأولى لـ الفيزياء الرياضية. كان يبحث عن حل لهذه المعادلة في شكل مجموع وظيفتين تعسفيتين (6)

أين و هي وظائف دورية للفترة 2 ل. عند توضيح مسألة شكل الوظائف و يأخذ دالمبرت في الاعتبار شروط الحدود (1.2) ، بافتراض أنه في
السلسلة تتطابق مع المحور x. المعنى هو
غير محدد في بيان المهمة.

يعتبر أويلر حالة خاصة عندما
ينحرف الخيط عن موضع التوازن ويتم تحريره بدون سرعة ابتدائية. من الضروري ألا يفرض أويلر أي قيود على الشكل الأولي للوتر ، أي لا يتطلب إعطاؤها تحليليًا ، مع الأخذ في الاعتبار أي منحنى "يمكن رسمه يدويًا". النتيجة النهائية التي حصل عليها المؤلف: إذا
يتم وصف شكل السلسلة بواسطة المعادلة
، ثم تبدو التذبذبات هكذا (7). راجع أويلر وجهات نظره حول مفهوم الوظيفة ، على عكس الفكرة السابقة لها فقط كتعبير تحليلي. وهكذا ، تم توسيع فئة الوظائف التي يتعين دراستها في التحليل ، وتوصل أويلر إلى استنتاج مفاده أنه "نظرًا لأن أي وظيفة ستحدد خطًا معينًا ، فإن العكس صحيح أيضًا - يمكن اختزال الخطوط المنحنية إلى وظائف".

تمثل الحلول التي حصل عليها d "Alembert و Euler قانون اهتزازات الأوتار على شكل موجتين تجريان باتجاه بعضهما البعض ، وفي نفس الوقت لم يتفقوا على شكل الوظيفة التي تحدد خط الانحناء.

برنولي ، في دراسته لاهتزازات الوتر ، اتخذ مسارًا مختلفًا ، فكسر الوتر إلى نقاط مادية ، اعتبرها عددًا لا نهائيًا. يقدم مفهوم التذبذب التوافقي البسيط للنظام ، أي مثل حركته ، حيث تتأرجح جميع نقاط النظام بشكل متزامن مع نفس التردد ، ولكن بسعات مختلفة. أدت التجارب التي أجريت مع هيئات السبر إلى فكرة أن الحركة الأكثر عمومية للوتر تتمثل في التنفيذ المتزامن لجميع الحركات المتاحة لها. هذا هو ما يسمى تراكب الحلول. وهكذا ، في عام 1753 ، بناءً على الاعتبارات الفيزيائية ، حصل على حل عام لاهتزازات الأوتار ، وقدمها كمجموع من الحلول الجزئية ، لكل منها ينحني الوتر على شكل منحنى مميز (8).

في هذه السلسلة ، الشكل الأول من التذبذب هو نصف شبه جيبي ، والثاني هو شكل جيبي كامل ، والثالث يتكون من ثلاثة أنصاف جيبية ، وهكذا. يتم تمثيل اتساعها كوظائف للوقت ، وفي جوهرها ، هي الإحداثيات المعممة للنظام قيد النظر. وفقًا لحل D. Bernoulli ، فإن حركة الأوتار هي سلسلة لا نهائية من الاهتزازات التوافقية مع فترات
. في هذه الحالة ، يكون عدد العقد (النقاط الثابتة) أقل بمقدار واحد من عدد التردد الطبيعي. بتقييد المتسلسلة (8) بعدد محدود من المصطلحات ، نحصل على عدد محدود من المعادلات لنظام الاستمرارية.

ومع ذلك ، يحتوي حل D. Bernoulli على عدم دقة - فهو لا يأخذ في الاعتبار أن تغيير الطور لكل متناسق من التذبذبات مختلف.

برنولي ، الذي قدم الحل في شكل سلسلة مثلثية ، استخدم مبدأ التراكب وتوسيع الحل من حيث نظام كامل من الوظائف. لقد اعتقد بحق أنه بمساعدة مصطلحات مختلفة من الصيغة (8) ، من الممكن شرح النغمات التوافقية التي يصدرها الوتر في وقت واحد مع نغمة أساسية. اعتبر هذا قانونًا عامًا ، صالحًا لأي نظام من الأجسام يحدث اهتزازات صغيرة. ومع ذلك ، لا يمكن أن يحل الدافع الجسدي محل الدليل الرياضي ، الذي لم يتم تقديمه في ذلك الوقت. وبسبب هذا ، لم يفهم الزملاء حلول د.برنولي ، على الرغم من أنه في وقت مبكر من عام 1737 م ، استخدم أ. كلايراوت توسعة الوظائف في سلسلة.

تسبب وجود طريقتين مختلفتين لحل مشكلة اهتزازات الأوتار بين كبار العلماء في القرن الثامن عشر. جدل عاصف - "جدال حول السلسلة". يتعلق هذا الخلاف بشكل أساسي بأسئلة حول شكل الحلول المقبولة للمشكلة ، وحول التمثيل التحليلي للوظيفة ، وما إذا كان من الممكن تمثيل وظيفة تعسفية في شكل سلسلة مثلثية. تم تطوير أحد أهم مفاهيم التحليل ، وهو مفهوم الوظيفة ، في "نزاع السلسلة".

لم يتفق D "Alamber و Euler على أن الحل الذي اقترحه D. Bernoulli يمكن أن يكون عامًا. على وجه الخصوص ، لم يستطع أويلر الموافقة على أن هذه السلسلة يمكن أن تمثل أي" منحنى مرسوم بحرية "، حيث حدد هو نفسه مفهوم الوظيفة.

دخل جوزيف لويس لاغرانج في الجدل ، فكسر السلسلة إلى أقواس صغيرة من نفس الطول مع تركيز الكتلة في المركز ، وبحث في حل نظام المعادلات التفاضلية العادية مع عدد محدود من درجات الحرية. بعد ذلك إلى الحد الأقصى ، حصل لاجرانج على نتيجة مماثلة لتلك التي حصل عليها د. برنولي ، دون أن يفترض مسبقًا أن الحل العام يجب أن يكون مجموعًا لا نهائيًا من الحلول الخاصة. في الوقت نفسه ، قام بتحسين حل D. Bernoulli ، وجعله في الشكل (9) ، وكذلك اشتق الصيغ لتحديد معاملات هذه السلسلة. على الرغم من أن حل مؤسس الميكانيكا التحليلية لا يلبي جميع متطلبات الدقة الرياضية ، إلا أنه كان خطوة ملحوظة إلى الأمام.

فيما يتعلق بتوسيع الحل إلى سلسلة مثلثية ، اعتقد لاغرانج أن السلسلة تتباعد في ظل ظروف أولية عشوائية. بعد 40 عامًا ، في عام 1807 ، وجد جيه فورييه مجددًا توسيع الدالة إلى سلسلة مثلثية للمرة الثالثة وأظهر كيف يمكن استخدام ذلك لحل المشكلة ، وبالتالي تأكيد صحة حل دي برنولي. تم تقديم دليل تحليلي كامل لنظرية فوريير حول توسيع دالة دورية أحادية القيمة في سلسلة مثلثية في حساب التفاضل والتكامل المتكامل لتودجينتر وفي "أطروحة حول الفلسفة الطبيعية" بواسطة طومسون (لورد كلفن) وتايت.

استمر البحث في الاهتزازات الحرة لسلسلة مشدودة على مدى قرنين من الزمان ، استنادًا إلى عمل بيكمان. كانت هذه المشكلة بمثابة حافز قوي لتطوير الرياضيات. بالنظر إلى تذبذبات النظم المتصلة ، ابتكر أويلر ، د "أليمبرت ود. برنولي تخصصًا جديدًا - الفيزياء الرياضية. تعتبر رياضيات الفيزياء ، أي تقديمها من خلال تحليل جديد ، أعظم مزايا أويلر ، بفضل طرق جديدة في العلم مهدت كان التطور المنطقي لنتائج أويلر وفورييه هو التعريف المعروف للوظيفة من قبل Lobachevsky و Lejeune Dirichlet ، بناءً على فكرة التطابق الفردي لمجموعتين. إلى سلسلة فورييه من الدوال متعددة التعريف المستمرة والرتيبة ، كما تم الحصول على معادلة موجية أحادية البعد ، وتم إنشاء المساواة بين حليها ، والتي أكدت رياضيًا العلاقة بين الاهتزازات والموجات. للتفكير في هوية عملية انتشار الصوت وعملية اهتزاز الأوتار ، كما تم الكشف عن أهم دور للحدود والظروف الأولية في مثل هذه المشاكل. بالنسبة لتطوير الميكانيكا ، كانت النتيجة المهمة هي: استخدام مبدأ d "Alembert لكتابة المعادلات التفاضلية للحركة ، وبالنسبة لنظرية التذبذبات ، لعبت هذه المهمة أيضًا دورًا مهمًا للغاية ، وهو مبدأ التراكب وتوسيع الحل من حيث الأنماط الطبيعية للتذبذبات التي تم تطبيقها ، تمت صياغة المفاهيم الأساسية لنظرية التذبذبات - التردد الطبيعي وطريقة التذبذبات.

كانت النتائج التي تم الحصول عليها من الاهتزازات الحرة لسلسلة بمثابة أساس لإنشاء نظرية اهتزازات الأنظمة المتصلة. تطلبت الدراسة الإضافية لاهتزازات الأوتار والأغشية والقضبان غير المتجانسة إيجاد طرق خاصة لحل أبسط المعادلات الزائدية من الرتبتين الثانية والرابعة.

إن مشكلة الاهتزازات الحرة لسلسلة ممتدة مهتمة بالعلماء ، بالطبع ، ليس لتطبيقها العملي ، فقد كانت قوانين هذه الاهتزازات معروفة بدرجة أو بأخرى للحرفيين الذين يصنعون الآلات الموسيقية. يتضح هذا من خلال الآلات الوترية غير المسبوقة لأساتذة مثل Amati و Stradivari و Guarneri وغيرهم ، الذين تم إنشاء روائعهم في القرن السابع عشر. تكمن اهتمامات أعظم العلماء الذين تعاملوا مع هذه المشكلة ، على الأرجح ، في الرغبة في جلب أساس رياضي لقوانين اهتزاز الأوتار الموجودة بالفعل. في هذا السؤال ، يتجلى المسار التقليدي لأي علم ، بدءًا من إنشاء نظرية تشرح الحقائق المعروفة بالفعل ، من أجل العثور على الظواهر المجهولة والتحقيق فيها.

ثانيًافترة - تحليلي(أواخر القرن الثامن عشر - أواخر القرن التاسع عشر). كانت الخطوة الأكثر أهمية في تطوير الميكانيكا من قبل لاغرانج ، الذي ابتكر علمًا جديدًا - الميكانيكا التحليلية. ترتبط بداية الفترة الثانية في تطوير نظرية التذبذبات بعمل لاغرانج. في كتاب الميكانيكا التحليلية ، الذي نُشر في باريس عام 1788 ، لخص لاغرانج كل ما تم إنجازه في الميكانيكا في القرن الثامن عشر وصاغ منهجًا جديدًا لحل مشاكله. في عقيدة التوازن ، تخلى عن الأساليب الهندسية للإحصاءات واقترح مبدأ الإزاحة المحتملة (مبدأ لاغرانج). في الديناميكيات ، قام لاغرانج بتطبيق مبدأ d "Alembert ومبدأ الإزاحة المحتملة في نفس الوقت ، وحصل على معادلة متغيرة عامة للديناميكيات ، والتي تسمى أيضًا مبدأ d" Alembert - Lagrange. أخيرًا ، قدم مفهوم الإحداثيات المعممة قيد الاستخدام وحصل على معادلات الحركة في الشكل الأكثر ملاءمة - معادلات لاغرانج من النوع الثاني.

أصبحت هذه المعادلات أساسًا لإنشاء نظرية التذبذبات الصغيرة الموصوفة بواسطة المعادلات التفاضلية الخطية ذات المعاملات الثابتة. نادرًا ما يكون الخطي متأصلًا في نظام ميكانيكي ، وفي معظم الحالات يكون نتيجة لتبسيطه. بالنظر إلى التقلبات الصغيرة بالقرب من موضع التوازن ، والتي تتم بسرعات منخفضة ، فمن الممكن تجاهل شروط الرتب الثانية والأعلى في معادلات الحركة فيما يتعلق بالإحداثيات والسرعات المعممة.

تطبيق معادلات لاجرانج من النوع الثاني للأنظمة المحافظة

نحصل على النظام سالمعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة

, (11)

أين أناو جهي ، على التوالي ، مصفوفات القصور الذاتي والصلابة ، والتي ستكون مكوناتها معاملات بالقصور الذاتي والمرونة.

مطلوب حل خاص (11) في النموذج

ويصف نظام تذبذب أحادي التردد بتردد ك، وهو نفس الشيء بالنسبة لجميع الإحداثيات المعممة. اشتقاق (12) مرتين بالنسبة ل رواستبدال النتيجة في المعادلات (11) ، نحصل على نظام من المعادلات الخطية المتجانسة لإيجاد السعات في شكل مصفوفة

. (13)

نظرًا لأنه أثناء تذبذبات النظام ، لا يمكن أن تكون جميع السعات مساوية للصفر ، فإن المحدد يساوي صفرًا

. (14)

كانت معادلة التردد (14) تسمى المعادلة العلمانية ، حيث تم اعتبارها لأول مرة من قبل لاغرانج ولابلاس في نظرية الاضطرابات العلمانية لعناصر مدارات الكواكب. إنها المعادلة س- الدرجة نسبة إلى ، فإن عدد جذوره يساوي عدد درجات حرية النظام. عادة ما يتم ترتيب هذه الجذور بترتيب تصاعدي ، بينما تشكل طيف الترددات الطبيعية. لكل جذر يتوافق مع حل معين من النموذج (12) ، المجموعة سالسعات تمثل شكل الموجة ، والحل العام هو مجموع هذه الحلول.

أعطى لاغرانج بيان د.برنولي أن الحركة التذبذبية العامة لنظام من النقاط المنفصلة تتكون في التنفيذ المتزامن لجميع التذبذبات التوافقية ، في شكل نظرية رياضية ، باستخدام نظرية تكامل المعادلات التفاضلية مع المعاملات الثابتة ، التي تم إنشاؤها بواسطة أويلر في الأربعينيات من القرن الثامن عشر. وانجازات د "اليمبرت الذي بيّن كيف تتكامل أنظمة مثل هذه المعادلات ، وفي الوقت نفسه كان لا بد من إثبات أن جذور المعادلة العلمانية حقيقية وموجبة وليست متساوية مع بعضها البعض.

وهكذا ، في "الميكانيكا التحليلية" حصل لاغرانج على معادلة الترددات بشكل عام. في الوقت نفسه ، يكرر الخطأ الذي ارتكبه د "Alembert في 1761 ، أن الجذور المتعددة للمعادلة العلمانية تتوافق مع حل غير مستقر ، لأنه من المفترض في هذه الحالة تظهر المصطلحات العلمانية أو العلمانية في الحل ، الذي يحتوي على رليس تحت علامة الجيب أو جيب التمام. في هذا الصدد ، اعتقد كل من دالمبرت ولاجرانج أن معادلة التردد لا يمكن أن يكون لها جذور متعددة (مفارقة دالمبيرت-لاجرانج). كان كافياً لاجرانج أن يفكر على الأقل في بندول كروي أو اهتزازات لقضيب يكون المقطع العرضي له ، على سبيل المثال ، دائريًا أو مربعًا ، للتأكد من أن الترددات المتعددة ممكنة في الأنظمة الميكانيكية المحافظة. تكرر الخطأ الذي حدث في الطبعة الأولى للميكانيكا التحليلية في الطبعة الثانية (1812) ، والتي ظهرت خلال حياة لاغرانج ، وفي الطبعة الثالثة (1853). كانت السلطة العلمية لـ d "Alembert و Lagrange عالية جدًا لدرجة أن هذا الخطأ تكرر من قبل كل من Laplace و Poisson ، ولم يتم تصحيحه إلا بعد ما يقرب من 100 عام بشكل مستقل عن بعضهما البعض في عام 1858 بواسطة K. Weierstrass وفي عام 1859 بواسطة Osip Ivanovich Somov ، الذين قدموا مساهمة كبيرة في تطوير نظرية تذبذبات الأنظمة المنفصلة.

وبالتالي ، لتحديد ترددات وأنماط التذبذبات الحرة لنظام خطي بدون مقاومة ، من الضروري حل المعادلة الدنيوية (13). ومع ذلك ، فإن معادلات الدرجة الأعلى من الخامسة ليس لها حل تحليلي.

لم تكن المشكلة فقط في حل المعادلة العلمانية ، ولكن أيضًا ، إلى حد كبير ، تجميعها ، لأن المحدد الموسع (13) قد
المصطلحات ، على سبيل المثال ، بالنسبة لنظام به 20 درجة من الحرية ، يكون عدد المصطلحات هو 2.4 10 18 ، والوقت الذي يستغرقه فتح مثل هذا المحدد لأقوى كمبيوتر في السبعينيات ، والذي يؤدي مليون عملية في الثانية ، هو ما يقرب من 1.5 مليون سنة ، وللكمبيوتر الحديث "فقط" بضع مئات من السنين.

يمكن أيضًا اعتبار مشكلة تحديد ترددات وأنماط التذبذبات الحرة مشكلة الجبر الخطي ويتم حلها عدديًا. إعادة كتابة المساواة (13) as

, (14)

لاحظ أن مصفوفة العمود هو المتجه الذاتي للمصفوفة

, (15)

أ معناها الخاص.

يعد حل مشكلة القيم الذاتية والمتجهات من أكثر المشكلات جاذبية في التحليل العددي. في الوقت نفسه ، من المستحيل اقتراح خوارزمية واحدة لحل جميع المشكلات التي تتم مواجهتها في الممارسة. يعتمد اختيار الخوارزمية على نوع المصفوفة ، وكذلك على ما إذا كان من الضروري تحديد جميع القيم الذاتية أم فقط الأصغر (الأكبر) أو القريب من رقم معين. في عام 1846 ، اقترح كارل جوستاف جاكوب جاكوبي طريقة دوران متكررة لحل مشكلة القيمة الذاتية الكاملة. تعتمد الطريقة على مثل هذا التسلسل اللانهائي للدورات الأولية التي ، في النهاية ، تحول المصفوفة (15) إلى مصفوفة قطرية. ستكون العناصر القطرية للمصفوفة الناتجة هي القيم الذاتية المرغوبة. في هذه الحالة ، لتحديد القيم الذاتية ، هو مطلوب
العمليات الحسابية والمتجهات الذاتية
عمليات. في هذا الصدد ، الطريقة في القرن التاسع عشر. لم يتم العثور على التطبيق وتم نسيانه لأكثر من مائة عام.

كانت الخطوة المهمة التالية في تطوير نظرية التذبذبات هي عمل رايلي ، وخاصة عمله الأساسي The Theory of Sound. في هذا الكتاب ، يدرس رايلي الظواهر المتذبذبة في الميكانيكا والصوتيات والأنظمة الكهربائية من وجهة نظر موحدة. يمتلك رايلي عددًا من النظريات الأساسية للنظرية الخطية للتذبذبات (نظريات حول الثبات وخصائص الترددات الطبيعية). كما صاغ رايلي مبدأ المعاملة بالمثل. عن طريق القياس مع الطاقة الحركية والجهد ، قدم وظيفة تبديد ، وتلقى اسم رايلي ويمثل نصف معدل تبديد الطاقة.

في The Theory of Sound ، يقدم Rayleigh أيضًا طريقة تقريبية لتحديد التردد الطبيعي الأول لنظام محافظ

, (16)

أين
. في هذه الحالة ، يتم أخذ شكل من أشكال الاهتزازات لحساب القيم القصوى للطاقات المحتملة والطاقات الحركية. إذا تزامن مع الوضع الأول للنظام ، فسنحصل على القيمة الدقيقة للتردد الطبيعي الأول ، وإلا فسيتم المبالغة في تقدير هذه القيمة دائمًا. تعطي الطريقة دقة مقبولة تمامًا للممارسة ، إذا تم اعتبار التشوه الساكن للنظام هو الوضع الأول للاهتزاز.

وهكذا ، في القرن التاسع عشر ، في أعمال سوموف ورايلي ، تم تشكيل تقنية لبناء معادلات تفاضلية تصف الحركات التذبذبية الصغيرة للأنظمة الميكانيكية المنفصلة باستخدام معادلات لاغرانج من النوع الثاني.

أين في القوة المعممة
يجب تضمين جميع عوامل القوة ، باستثناء المرونة والمشتتة ، التي تغطيها الوظائف ص و P.

تبدو معادلات لاغرانج (17) في شكل مصفوفة ، والتي تصف الاهتزازات القسرية لنظام ميكانيكي ، بعد استبدال جميع الوظائف ، هكذا

. (18)

هنا هي مصفوفة التخميد ، و
هي متجهات أعمدة للإحداثيات والسرعات والتسارع المعممة في المقابل. يتكون الحل العام لهذه المعادلة من التذبذبات الحرة المصاحبة ، والتي تكون دائمًا مخمدة ، والتذبذبات القسرية التي تحدث عند تواتر القوة المزعجة. نحن نقتصر على التفكير فقط في حل معين يتوافق مع التذبذبات القسرية. كإثارة ، اعتبر رايلي القوى المعممة التي تتغير وفقًا لقانون توافقي. عزا الكثيرون هذا الاختيار إلى بساطة الحالة قيد النظر ، لكن رايلي يقدم تفسيرًا أكثر إقناعًا - التوسع في سلسلة فورييه.

وبالتالي ، بالنسبة للنظام الميكانيكي الذي يتمتع بأكثر من درجتين من الحرية ، فإن حل نظام المعادلات يمثل بعض الصعوبات ، والتي تزيد مثل الانهيار الجليدي مع زيادة ترتيب النظام. بالفعل عند خمس أو ست درجات من الحرية ، لا يمكن حل مشكلة التذبذبات القسرية يدويًا بالطريقة الكلاسيكية.

في نظرية تذبذبات الأنظمة الميكانيكية ، لعبت التذبذبات الصغيرة (الخطية) للأنظمة المنفصلة دورًا خاصًا. لا تتطلب النظرية الطيفية المطورة للأنظمة الخطية حتى إنشاء معادلات تفاضلية ، وللحصول على حل ، يمكن للمرء أن يكتب على الفور أنظمة من المعادلات الجبرية الخطية. على الرغم من أن طرق تحديد المتجهات الذاتية والقيم الذاتية (جاكوبي) ولحل نظام المعادلات الجبرية الخطية (غاوس) قد تم تطويرها في منتصف القرن التاسع عشر ، إلا أن تطبيقها العملي حتى بالنسبة للأنظمة ذات عدد قليل من درجات الحرية كان خارجًا من السؤال. لذلك ، قبل ظهور أجهزة كمبيوتر قوية بما فيه الكفاية ، تم تطوير العديد من الطرق المختلفة لحل مشكلة التذبذبات الحرة والقسرية للأنظمة الميكانيكية الخطية. تعامل العديد من العلماء البارزين - علماء الرياضيات والميكانيكيين مع هذه المشكلات ، وستتم مناقشتها أدناه. أتاح ظهور تقنية الحوسبة القوية ليس فقط حل المشكلات الخطية واسعة النطاق في جزء من الثانية ، ولكن أيضًا لأتمتة عملية تجميع أنظمة المعادلات.

وهكذا ، خلال القرن الثامن عشر. في نظرية التذبذبات الصغيرة للأنظمة ذات عدد محدود من درجات الحرية وتذبذبات الأنظمة المرنة المستمرة ، تم تطوير المخططات الفيزيائية الأساسية وشرح المبادئ الأساسية للتحليل الرياضي للمشكلات. ومع ذلك ، لإنشاء نظرية التذبذبات الميكانيكية كعلم مستقل ، لم يكن هناك ما يكفي من نهج موحد لحل مشاكل الديناميكيات ، ولم تكن هناك مطالب تقنية لتطويرها بشكل أسرع.

أدى نمو الصناعة واسعة النطاق في أواخر القرن الثامن عشر وأوائل القرن التاسع عشر ، بسبب الإدخال الواسع النطاق للمحرك البخاري ، إلى فصل الميكانيكا التطبيقية في تخصص منفصل. ولكن حتى نهاية القرن التاسع عشر ، كانت حسابات القوة تُجرى في صيغة ثابتة ، لأن الآلات كانت لا تزال منخفضة الطاقة وبطيئة الحركة.

بحلول نهاية القرن التاسع عشر ، مع زيادة السرعات وانخفاض أبعاد الآلات ، أصبح من المستحيل إهمال الاهتزازات. العديد من الحوادث التي حدثت منذ بداية فشل الرنين أو التعب أثناء الاهتزازات أجبرت المهندسين على الانتباه إلى العمليات التذبذبية. من المشاكل التي نشأت خلال هذه الفترة ، تجدر الإشارة إلى ما يلي: انهيار الجسور من القطارات المارة ، والاهتزازات الالتوائية للأعمدة والاهتزازات في أجسام السفن ، التي تثيرها قوى القصور الذاتي للأجزاء المتحركة للآلات غير المتوازنة.

ثالثافترة- تكوين وتطوير النظرية التطبيقية للذبذبات (1900-1960). تطوير الهندسة الميكانيكية ، وتحسين القاطرات والسفن ، وظهور التوربينات البخارية والغازية ، ومحركات الاحتراق الداخلي عالية السرعة ، والسيارات ، والطائرات ، إلخ. طالب بتحليل أكثر دقة للضغوط في أجزاء الماكينة. تم إملاء ذلك من خلال متطلبات استخدام المعدن بشكل أكثر اقتصادا. أدى تفتيح الهياكل إلى ظهور مشاكل الاهتزاز ، والتي أصبحت حاسمة بشكل متزايد في مسائل قوة الماكينة. في بداية القرن العشرين ، أظهرت العديد من الحوادث بشكل مقنع النتائج الكارثية التي يمكن أن يؤدي إليها إهمال الاهتزازات أو الجهل بها.

ظهور التكنولوجيا الجديدة ، كقاعدة عامة ، يطرح مشاكل جديدة لنظرية التذبذبات. لذلك في الثلاثينيات والأربعينيات. نشأت مشاكل جديدة ، مثل رفرفة المماطلة والوميض في الطيران ، والاهتزازات الانحناء والالتواء الانحناء للأعمدة الدوارة ، وما إلى ذلك ، مما تطلب تطوير طرق جديدة لحساب الاهتزازات. في نهاية عشرينيات القرن الماضي ، بدأت دراسة التذبذبات غير الخطية في الفيزياء أولاً ثم في الميكانيكا. فيما يتعلق بتطوير أنظمة التحكم الآلي والمتطلبات التقنية الأخرى ، منذ الثلاثينيات من القرن الماضي ، تم تطوير وتطبيق نظرية استقرار الحركة على نطاق واسع ، والتي كان أساسها أطروحة الدكتوراه لـ A.M Lyapunov "المشكلة العامة لاستقرار الحركة".

أدى عدم وجود حل تحليلي لمشاكل نظرية التذبذبات ، حتى في الصيغة الخطية من جهة ، وتكنولوجيا الكمبيوتر من جهة أخرى ، إلى تطوير عدد كبير من الأساليب العددية المختلفة لحلها. معهم.

أدت الحاجة إلى إجراء حسابات الاهتزاز لأنواع مختلفة من المعدات إلى ظهور الدورات التدريبية الأولى في نظرية الاهتزازات في الثلاثينيات.

الانتقال إلى رابعافترة(أوائل الستينيات - حتى الآن) يرتبط بعصر الثورة العلمية والتكنولوجية ويتميز بظهور تكنولوجيا جديدة ، في المقام الأول الطيران والفضاء ، والأنظمة الروبوتية. بالإضافة إلى ذلك ، أدى تطوير هندسة الطاقة ، والنقل ، وما إلى ذلك إلى طرح مشاكل القوة الديناميكية والموثوقية في المقام الأول. ويرجع ذلك إلى زيادة سرعات التشغيل وانخفاض استهلاك المواد مع الرغبة المتزامنة في زيادة موارد الآلات. في نظرية التذبذبات ، يتم حل المزيد والمزيد من المشكلات في بيئة غير خطية. في مجال تذبذبات الأنظمة المتصلة ، وتحت تأثير متطلبات الطيران وتكنولوجيا الفضاء ، تنشأ مشاكل في ديناميكيات الألواح والأصداف.

كان التأثير الأكبر على تطور نظرية التذبذبات في هذه الفترة هو الظهور والتطور السريع لتكنولوجيا الحوسبة الإلكترونية ، مما أدى إلى تطوير الأساليب العددية لحساب التذبذبات.

حركة متذبذبةيتم استدعاء أي حركة أو تغيير في الحالة ، وتتميز بدرجة أو أخرى من التكرار في الوقت المناسب لقيم الكميات المادية التي تحدد هذه الحركة أو الحالة. التقلبات هي سمة من سمات كل الظواهر الطبيعية: إشعاع النجوم نبضات؛ تدور كواكب النظام الشمسي بدرجة عالية من الدورية ؛ تثير الرياح الاهتزازات والأمواج على سطح الماء ؛ داخل أي كائن حي ، تحدث عمليات متنوعة ومتكررة بشكل إيقاعي بشكل مستمر ، على سبيل المثال ، ينبض قلب الإنسان بموثوقية مذهلة.

في الفيزياء ، تتميز الاهتزازات ميكانيكيو الكهرومغناطيسي.بمساعدة انتشار التقلبات الميكانيكية في كثافة وضغط الهواء ، والتي نعتبرها صوتًا ، بالإضافة إلى التقلبات السريعة جدًا في المجالات الكهربائية والمغناطيسية ، والتي نعتبرها ضوءًا ، نتلقى قدرًا كبيرًا من المعلومات المباشرة حول العالم حولنا. من أمثلة الحركة التذبذبية في الميكانيكا اهتزازات البندولات ، والخيوط ، والجسور ، وما إلى ذلك.

تقلبات تسمى دورية، إذا تكررت قيم الكميات الفيزيائية التي تتغير في عملية التذبذبات على فترات منتظمة. أبسط أنواع التذبذبات الدورية هي التذبذبات التوافقية. تسمى التذبذبات التوافقية ، حيث يحدث التغيير في الكمية المتذبذبة بمرور الوقت وفقًا لقانون الجيب (أو جيب التمام):

حيث x هو الإزاحة من موضع التوازن ؛

أ - سعة التذبذب - أقصى إزاحة من موضع التوازن ؛

- التردد الدوري

- المرحلة الأولية من التذبذب ؛

- مرحلة التذبذب ؛ يحدد الإزاحة في أي وقت ، أي يحدد حالة النظام التذبذب.

في حالة التذبذبات التوافقية الصارمة للقيمة A ، و لا تعتمد على الوقت.

التردد الدوري يرتبط بالفترة T من التذبذبات والتردد نسبة:

(2)

الفترة Tتسمى التذبذبات أصغر فترة زمنية تتكرر بعدها قيم جميع الكميات الفيزيائية التي تميز التذبذبات.

تكرر تسمى التذبذبات عدد التذبذبات الكاملة لكل وحدة زمنية ، وتُقاس بالهرتز (1 هرتز = 1
).

التردد الدوري يساوي عدديًا عدد التذبذبات المصنوعة في 2 ثواني.

يسمى التذبذب الذي يحدث في نظام لا يخضع لعمل القوى الخارجية المتغيرة ، نتيجة لأي انحراف أولي لهذا النظام عن حالة التوازن المستقر مجانا(أو تملك).

إذا كان النظام متحفظًا ، فلن يحدث تبديد للطاقة أثناء التذبذبات. في هذه الحالة ، تسمى الاهتزازات الحرة غير مخمد.

سرعة يتم تعريف تقلبات النقاط على أنها مشتق من التحول الزمني:

(3)

التسريع نقطة التذبذب تساوي مشتق السرعة بالنسبة للوقت:

(4)

توضح المعادلة (4) أن التسارع أثناء التذبذبات التوافقية متغير ، وبالتالي ، فإن التذبذب يرجع إلى عمل قوة متغيرة.

يسمح لك قانون نيوتن الثاني أن تكتب بعبارات عامة العلاقة بين القوة F والتسارع مع التذبذبات التوافقية المستقيمة لنقطة مادية ذات كتلة
:

أين
, (6)

ك هو معامل المرونة.

وبالتالي ، فإن القوة التي تسبب الاهتزازات التوافقية تتناسب مع الإزاحة وموجهة ضد الإزاحة. في هذا الصدد ، يمكننا تقديم تعريف ديناميكي للتذبذب التوافقي: التذبذب التوافقي يسمى التذبذب الناجم عن قوة تتناسب طرديًا مع الإزاحة x وموجهة ضد الإزاحة.

يمكن أن تكون قوة الاستعادة ، على سبيل المثال ، قوة مرنة. تسمى القوى ذات الطبيعة المختلفة عن القوى المرنة ، ولكنها أيضًا حالة مرضية (5) شبه مرن.

في حالة التذبذبات المستقيمة على طول المحور x ، فإن التسارع يساوي:

.

استبدال هذا التعبير بالتسارع ومعنى القوة
في قانون نيوتن الثاني ، حصلنا عليه المعادلة الأساسية للتذبذبات التوافقية المستقيمة:

أو
(7)

حل هذه المعادلة هو المعادلة (1).

برنامج مقرر نظرية الاهتزازات للطلاب 4 دورة FACI

يعتمد التخصص على نتائج تخصصات مثل الجبر العام الكلاسيكي ، ونظرية المعادلات التفاضلية العادية ، والميكانيكا النظرية ، ونظرية وظائف المتغير المعقد. تتمثل إحدى ميزات دراسة الانضباط في الاستخدام المتكرر لجهاز التحليل الرياضي والتخصصات الرياضية الأخرى ذات الصلة ، واستخدام أمثلة مهمة من الناحية العملية من مجال موضوع الميكانيكا النظرية والفيزياء والهندسة الكهربائية والصوتيات.

1. التحليل النوعي للحركة في نظام محافظ بدرجة واحدة من الحرية

• طريقة مستوى الطور
• اعتماد فترة التذبذب على السعة. الأنظمة اللينة والصلبة

2. معادلة دافنج

• التعبير عن الحل العام لمعادلة دوفينج في الدوال الإهليلجية

3. أنظمة شبه خطية

• متغيرات فان دير بول
• طريقة حساب المتوسط

4. اهتزازات الاسترخاء

• معادلة فان دير بول
• أنظمة المعادلات التفاضلية المضطربة بشكل فردي

5. ديناميات الأنظمة المستقلة غير الخطية ذات الشكل العام بدرجة واحدة من الحرية

• مفهوم "الخشونة" للنظام الديناميكي
• تشعبات الأنظمة الديناميكية

6. عناصر نظرية فلوكيه

• الحلول العادية ومضاعفات الأنظمة الخطية للمعادلات التفاضلية ذات المعاملات الدورية
• الرنين حدودي

7. معادلة هيل

• تحليل سلوك الحلول لمعادلة من نوع Hill كتوضيح لتطبيق نظرية فلوكيت على أنظمة هاميلتونية الخطية ذات المعاملات الدورية
• معادلة ماثيو كحالة خاصة لمعادلة من نوع هيل. مخطط إيناس-ستريت

8. التذبذبات القسرية في نظام له قوة استعادة غير خطية

• العلاقة بين سعة التذبذبات وحجم القوة الدافعة المطبقة على النظام
• تغيير نمط الحركة عند تغيير وتيرة القوة الدافعة. مفهوم التخلفية "الديناميكية"

9. الثوابت الثابتة

• متغيرات زاوية العمل
• الحفاظ على ثوابت ثابت الحرارة في ظل تغيير نوعي في طبيعة الحركة

10. ديناميات الأنظمة الديناميكية متعددة الأبعاد

• مفهوم الجاذبية والخلط في الأنظمة الديناميكية
• رسم خرائط بوانكاريه

11. معادلات لورنتز. جاذب غريب

• معادلات لورنتز كنموذج للتحول الحراري
• تشعبات حلول معادلات لورنتز. الانتقال إلى الفوضى
• هيكل كسوري لجاذب غريب

12. التعيينات أحادية البعد. براعة Feigenbaum

• رسم الخرائط التربيعية - أبسط الخرائط غير الخطية
• المدارات الدورية للتعيينات. تشعبات المدارات الدورية

الأدب (رئيسي)

1. مويسيف ن. طرق مقاربة للميكانيكا غير الخطية. - م: نوكا ، 1981.

2. رابينوفيتش إم آي ، تروبيتسكوف دي. مقدمة في نظرية التذبذبات والأمواج. إد. الثاني. مركز الأبحاث "الديناميكيات المنتظمة والفوضوية" 2000.

3. Bogolyubov N.N.، Mitropolsky Yu.A. الطرق المقاربة في نظرية التذبذبات غير الخطية. - م: نوكا ، 1974.

4. Butenin N.V.، Neimark Yu.I.، Fufaev N.A. مقدمة في نظرية التذبذبات اللاخطية. - م: نوكا ، 1987.

5. لوسكوتوف أ. يو ، ميخائيلوف أ. مقدمة في التآزر. - م: نوكا ، 1990.

6. Karlov N.V.، Kirichenko N.A. التذبذبات ، الموجات ، الهياكل .. - م: فيزماتليت ، 2003.

الأدب (إضافي)

7. Zhuravlev V.F.، Klimov D.M. الطرق التطبيقية في نظرية التذبذبات. دار النشر "العلوم" 1988.

8. Stoker J. الاهتزازات غير الخطية في الأنظمة الميكانيكية والكهربائية. - م: الأدب الأجنبي 1952.

9. في إم ستارزينسكي ، الطرق التطبيقية للتذبذبات اللاخطية. - م: نوكا ، 1977.

10. Hayashi T. التذبذبات غير الخطية في الأنظمة الفيزيائية. - م: مير ، 1968.

11. Andronov A.A.، Witt A.A.، Khaikin S.E. نظرية الاهتزازات. - م: Fizmatgiz ، 1959.

يعرّف الكتاب القارئ بالخصائص العامة للعمليات التذبذبية التي تحدث في الهندسة الراديوية والأنظمة الضوئية والأنظمة الأخرى ، بالإضافة إلى مختلف الأساليب النوعية والكمية لدراستها. يتم إيلاء اهتمام كبير لاعتبار النظم المتذبذبة البارامترية والذاتية وغيرها من الأنظمة التذبذبية غير الخطية.
يتم إعطاء دراسة النظم والعمليات التذبذبية الموصوفة في الكتاب من خلال الأساليب المعروفة لنظرية التذبذبات دون عرض تقديمي مفصل وإثبات الأساليب نفسها. يتم إيلاء الاهتمام الرئيسي لتوضيح السمات الأساسية للنماذج التذبذبية المدروسة للأنظمة الحقيقية باستخدام أكثر طرق التحليل ملاءمة.

التذبذبات الحرة في دارة ذات محاثة غير خطية.
دعونا ننظر الآن في مثال آخر لنظام كهربائي محافظ غير خطي ، أي دائرة ذات محاثة تعتمد على التيار المتدفق من خلالها. لا تحتوي هذه الحالة على نظير ميكانيكي غير نسبي توضيحي وبسيط ، لأن اعتماد الحث الذاتي على التيار يعادل بالنسبة للميكانيكا حالة اعتماد الكتلة على السرعة.

نواجه أنظمة كهربائية من هذا النوع عندما يتم استخدام نوى المواد المغناطيسية في المحاثات. في مثل هذه الحالات ، لكل نواة معينة ، من الممكن الحصول على علاقة بين المجال الممغنط وتدفق الحث المغناطيسي. المنحنى الذي يصور هذا الاعتماد يسمى منحنى المغنطة. إذا أهملنا ظاهرة التباطؤ ، فيمكن تمثيل مسارها التقريبي بالرسم البياني الموضح في الشكل. 1.13. نظرًا لأن حجم المجال H يتناسب مع التيار المتدفق في الملف ، يمكن رسم التيار مباشرة على محور الإحداثي على المقياس المناسب.

تنزيل كتاب إلكتروني مجاني بتنسيق مناسب ، شاهد واقرأ:
قم بتنزيل كتاب أساسيات نظرية التذبذبات ، Migulin V.V. ، Medvedev V.I. ، Mustel E.R. ، Parygin V.N. ، 1978 - fileskachat.com ، تنزيل سريع ومجاني.

• مبادئ الفيزياء النظرية ، الميكانيكا ، نظرية المجال ، عناصر ميكانيكا الكم ، Medvedev B.V. ، 2007
• دورة الفيزياء ، Ershov A.P. ، Fedotovich G.V. ، Kharitonov V.G. ، Pruwell ER ، Medvedev D.A.
• الديناميكا الحرارية التقنية مع أساسيات نقل الحرارة والمكونات الهيدروليكية ، Lashutina N.G. ، Makashova O.V. ، Medvedev RM ، 1988