المعادلات المنطقية. نظم المعادلات المنطقية في مهام الامتحان في علوم الحاسب

تعليمات. عند الدخول من لوحة المفاتيح ، استخدم الاصطلاحات التالية:

قواعد إدخال الوظيفة المنطقية

1. استخدم علامة + بدلاً من v (فصل ، أو).
2. قبل الوظيفة المنطقية ، لا تحتاج إلى تحديد تعيين الوظيفة. على سبيل المثال ، بدلاً من F (x، y) = (x | y) = (x ^ y) يمكنك ببساطة كتابة (x | y) = (x ^ y).
3. الحد الأقصى لعدد المتغيرات هو 10.

يتم تصميم وتحليل دوائر منطق الكمبيوتر بمساعدة قسم خاص من الرياضيات - جبر المنطق. في جبر المنطق ، يمكن تمييز ثلاث وظائف منطقية رئيسية: "NOT" (نفي) ، "AND" (اقتران) ، "OR" (فصل).
لإنشاء أي جهاز منطقي ، من الضروري تحديد اعتماد كل من متغيرات الإخراج على متغيرات الإدخال الحالية ، ويسمى هذا الاعتماد وظيفة التبديل أو وظيفة الجبر المنطقي.
تسمى وظيفة الجبر المنطقي محددة تمامًا إذا تم إعطاء كل 2 n من قيمها ، حيث n هو عدد متغيرات الإخراج.
إذا لم يتم تعريف جميع القيم ، يتم استدعاء الوظيفة محددة جزئيًا.
يُطلق على الجهاز اسم منطقي إذا تم وصف حالته باستخدام وظيفة جبر المنطق.
تُستخدم الطرق التالية لتمثيل وظيفة الجبر المنطقي:
في الشكل الجبري ، من الممكن إنشاء رسم تخطيطي لجهاز منطقي باستخدام العناصر المنطقية.


الشكل 1 - رسم تخطيطي لجهاز منطقي

يتم تعريف جميع عمليات الجبر المنطقي جداول الحقيقةالقيم. يحدد جدول الحقيقة نتيجة إجراء عملية لـ كله ممكن x القيم المنطقية للبيانات الأصلية. سيعتمد عدد الخيارات التي تعكس نتيجة تطبيق العمليات على عدد العبارات في التعبير المنطقي. إذا كان عدد العبارات في التعبير المنطقي هو N ، فسيحتوي جدول الحقيقة على صفين N ، نظرًا لوجود 2 N مجموعات مختلفة من قيم الوسيطة الممكنة.

العملية NOT - النفي المنطقي (الانقلاب)

• إذا كان التعبير الأصلي صحيحًا ، فستكون نتيجة نفيه خاطئة ؛
• إذا كان التعبير الأصلي خاطئًا ، فستكون نتيجة نفيه صحيحة.

العملية OR - إضافة منطقية (فصل ، اتحاد)

العملية AND - الضرب المنطقي (الاقتران)

عملية "IF-THEN" - النتيجة المنطقية (ضمني)

العملية "A if and only if B" (التكافؤ ، التكافؤ)

عملية إضافة Modulo 2 (XOR ، فصل حصري أو صارم)

أسبقية العمليات المنطقية

• الإجراءات بين قوسين
• انعكاس
• اقتران او بالتزامن مع (&)
• مفكك (V) ، حصري OR (XOR) ، modulo 2 sum
• التضمين (→)
• المعادلة (↔)

شكل عادي مفكك مثالي

1. يحتوي كل مصطلح منطقي في الصيغة على جميع المتغيرات المضمنة في الوظيفة F (x 1، x 2، ... x n).
2. جميع الشروط المنطقية للصيغة مختلفة.
3. لا يوجد مصطلح منطقي يحتوي على متغير ونفي له.
4. لا يوجد مصطلح منطقي في الصيغة يحتوي على نفس المتغير مرتين.

شكل عادي مترابط مثالي

1. تحتوي جميع المفصلات الأولية على جميع المتغيرات المضمنة في الوظيفة F (x 1، x 2، ... x n).
2. جميع المفصلات الأولية متميزة.
3. يحتوي كل فصل أولي على متغير مرة واحدة.
4. لا يوجد فصل أولي يحتوي على متغير ونفيه.

استخدام المعادلات منتشر في حياتنا. يتم استخدامها في العديد من العمليات الحسابية ، وبناء الهياكل وحتى الرياضة. استخدم الإنسان المعادلات منذ العصور القديمة ومنذ ذلك الحين ازداد استخدامها فقط. في الرياضيات ، هناك مهام معينة مكرسة لمنطق الافتراضات. لحل هذا النوع من المعادلات ، يجب أن يكون لديك قدر معين من المعرفة: معرفة قوانين المنطق الافتراضي ، ومعرفة جداول الحقيقة للوظائف المنطقية لمتغير واحد أو متغيرين ، وطرق تحويل التعبيرات المنطقية. بالإضافة إلى ذلك ، تحتاج إلى معرفة الخصائص التالية للعمليات المنطقية: الاقترانات ، والفواصل ، والانعكاسات ، والآثار ، والتكافؤ.

يمكن تحديد أي دالة منطقية من المتغيرات - \ بواسطة جدول الحقيقة.

لنحل بعض المعادلات المنطقية:

\ [\ rightharpoondown X1 \ vee X2 = 1 \]

\ [\ rightharpoondown X2 \ vee X3 = 1 \]

\ [\ rightharpoondown X3 \ vee X4 = 1 \]

\ [\ rightharpoondown X9 \ vee X10 = 1 \]

لنبدأ الحل بـ \ [X1 \] ونحدد القيم التي يمكن أن يأخذها هذا المتغير: 0 و 1. بعد ذلك ، ضع في اعتبارك كل من القيم المذكورة أعلاه وانظر إلى [X2. \] يمكن أن يكون في هذه الحالة

كما يتضح من الجدول ، تحتوي معادلتنا المنطقية على 11 حلاً.

أين يمكنني حل معادلة منطقية على الإنترنت؟

يمكنك حل المعادلة على موقعنا https: // site. سيسمح لك برنامج الحل المجاني عبر الإنترنت بحل معادلة عبر الإنترنت لأي تعقيد في ثوانٍ. كل ما عليك فعله هو إدخال بياناتك في الحل. يمكنك أيضًا مشاهدة تعليمات الفيديو ومعرفة كيفية حل المعادلة على موقعنا. وإذا كانت لديك أي أسئلة ، فيمكنك طرحها في مجموعة فكونتاكتي http://vk.com/pocketteacher. انضم إلى مجموعتنا ، يسعدنا دائمًا مساعدتك.

هناك طرق مختلفة لحل أنظمة المعادلات المنطقية. هذا اختزال لمعادلة واحدة ، بناء جدول الحقيقة والتحلل.

مهمة:حل نظام المعادلات المنطقية:

يعتبر طريقة الاختزال لمعادلة واحدة . تتضمن هذه الطريقة تحويل المعادلات المنطقية ، بحيث تكون جوانبها اليمنى مساوية لقيمة الحقيقة (أي ، 1). للقيام بذلك ، استخدم عملية النفي المنطقي. ثم ، إذا كانت هناك عمليات منطقية معقدة في المعادلات ، فإننا نستبدلها بعمليات أساسية: "AND" ، "OR" ، "NOT". الخطوة التالية هي دمج المعادلات في واحدة ، مكافئة للنظام ، باستخدام العملية المنطقية "AND". بعد ذلك ، يجب إجراء تحويلات للمعادلة الناتجة بناءً على قوانين جبر المنطق والحصول على حل محدد للنظام.

الحل 1:طبق الانعكاس على طرفي المعادلة الأولى:

دعنا نمثل المعنى الضمني من خلال العمليات الأساسية "OR" ، "NOT":

نظرًا لأن الجوانب اليسرى من المعادلات تساوي 1 ، يمكنك دمجها باستخدام العملية "AND" في معادلة واحدة مكافئة للنظام الأصلي:

نفتح القوس الأول وفقًا لقانون De Morgan ونحول النتيجة:

المعادلة الناتجة لها حل واحد: أ = 0 ، ب = 0 ، ج = 1.

الطريقة التالية هي بناء جداول الحقيقة . نظرًا لأن الكميات المنطقية لها قيمتان فقط ، يمكنك ببساطة الاطلاع على جميع الخيارات والعثور من بينها على تلك التي يرضي نظام المعادلات المحدد لها. أي أننا نبني جدول حقيقة واحدًا مشتركًا لجميع معادلات النظام ونجد خطًا بالقيم المرغوبة.

الحل 2:لنضع جدول الحقيقة للنظام:

الخط العريض هو الخط الذي يتم من أجله استيفاء شروط المشكلة. إذن أ = 0 ، ب = 0 ، ج = 1.

طريق تقسيم . الفكرة هي إصلاح قيمة أحد المتغيرات (ضعها تساوي 0 أو 1) وبالتالي تبسيط المعادلات. ثم يمكنك إصلاح قيمة المتغير الثاني ، وهكذا.

الحل 3:دع أ = 0 ، ثم:

من المعادلة الأولى نحصل على B = 0 ، ومن الثانية - С = 1. حل النظام: أ = 0 ، ب = 0 ، ج = 1.

في الاستخدام في علوم الكمبيوتر ، غالبًا ما يكون من الضروري تحديد عدد الحلول لنظام المعادلات المنطقية ، دون إيجاد الحلول نفسها ، هناك أيضًا طرق معينة لذلك. الطريقة الرئيسية لإيجاد عدد الحلول لنظام المعادلات المنطقية هيتغيير المتغيرات. أولاً ، من الضروري تبسيط كل معادلة قدر الإمكان بناءً على قوانين الجبر المنطقي ، ثم استبدال الأجزاء المعقدة من المعادلات بمتغيرات جديدة وتحديد عدد الحلول للنظام الجديد. ثم ارجع إلى البديل وحدد عدد الحلول الخاصة به.

مهمة:كم عدد الحلول التي تحتويها المعادلة (A → B) + (C → D) = 1؟ حيث A ، B ، C ، D هي متغيرات منطقية.

قرار:دعنا نقدم متغيرات جديدة: X = A → B و Y = C → D. مع الأخذ في الاعتبار المتغيرات الجديدة ، ستتم كتابة المعادلة بالشكل: X + Y = 1.

يكون الانفصال صحيحًا في ثلاث حالات: (0 ؛ 1) و (1 ؛ 0) و (1 ؛ 1) ، في حين أن X و Y عبارة ضمنيًا ، أي أنه صحيح في ثلاث حالات وخطأ في حالة واحدة. لذلك ، فإن الحالة (0 ؛ 1) سوف تتوافق مع ثلاث مجموعات محتملة من المعلمات. الحالة (1 ؛ 1) - سوف تتوافق مع تسع مجموعات محتملة من معلمات المعادلة الأصلية. وبالتالي ، هناك 3 + 9 = 15 حلًا ممكنًا لهذه المعادلة.

الطريقة التالية لتحديد عدد الحلول لنظام المعادلات المنطقية هي - شجرة ثنائية. لنفكر في هذه الطريقة بمثال.

مهمة:كم عدد الحلول المختلفة التي يمتلكها نظام المعادلات المنطقية:

نظام المعادلات المعطى يعادل المعادلة:

(x 1 → x 2 )*(x 2 → x 3 )*…*(س م -1 → س م) = 1.

دعونا نتظاهر بذلك x 1 هذا صحيح ، ثم من المعادلة الأولى نحصل على ذلك x 2 صحيح أيضًا ، من الثانية - x 3 = 1 ، وهكذا دواليك حتى س م= 1. هذا يعني أن المجموعة (1 ؛ 1 ؛ ... ؛ 1) لوحدات m هي حل النظام. دعنا الآن x 1 = 0 ، إذن من المعادلة الأولى لدينا x 2 = 0 أو x 2 =1.

متى x 2 صحيح ، نحصل على أن المتغيرات الأخرى صحيحة أيضًا ، أي أن المجموعة (0 ؛ 1 ؛ ... ؛ 1) هي حل النظام. في x 2 = 0 حصلنا على ذلك x 3 = 0 أو x 3 = ، وهكذا. بالانتقال إلى المتغير الأخير ، نحصل على أن حلول المعادلة هي مجموعات المتغيرات التالية (حل m + 1 ، كل حل يحتوي على قيم m من المتغيرات):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

يتضح هذا النهج جيدًا من خلال بناء شجرة ثنائية. عدد الحلول الممكنة هو عدد الفروع المختلفة للشجرة المبنية. من السهل ملاحظة أنه يساوي م + 1.

في حالة وجود صعوبات في التفكير نية والبناء دهدير الحلول ، يمكنك البحث عن حل معاستخدام جداول الحقيقة، لمعادلة واحدة أو اثنتين.

نعيد كتابة نظام المعادلات بالصيغة:

ودعنا نصنع جدول الحقيقة بشكل منفصل لمعادلة واحدة:

لنقم بعمل جدول حقيقة لمعادلتين:

موضوع الدرس: حل المعادلات المنطقية

التعليمية - تهيئة الظروف لتنمية الاهتمام المعرفي للطلاب ، وتعزيز تنمية الذاكرة والانتباه والتفكير المنطقي ؛

تعليمي : المساهمة في تثقيف القدرة على الاستماع لآراء الآخرين ،تعليم الإرادة والمثابرة لتحقيق النتائج النهائية.

نوع الدرس: درس مشترك

معدات: كمبيوتر ، جهاز عرض وسائط متعددة ، عرض تقديمي 6.

خلال الفصول

التكرار وتحديث المعرفة الأساسية. التحقق من الواجبات المنزلية (10 دقائق).

في الدروس السابقة ، تعرفنا على القوانين الأساسية لجبر المنطق ، وتعلمنا كيفية استخدام هذه القوانين لتبسيط التعابير المنطقية.

دعنا نتحقق من الواجب المنزلي لتبسيط التعبيرات المنطقية:

1. أي من الكلمات التالية يستوفي الشرط المنطقي:

(الحرف الساكن الأول ← الحرف الساكن الثاني)٨ (حرف العلة الأخير → حرف العلة قبل الأخير)؟ إذا كانت هناك عدة كلمات من هذا القبيل ، فأشر إلى أصغرها.

1) آنا 2) ماريا 3) أوليغ 4) ستيبان

دعونا نقدم التدوين:

A هو الحرف الأول من الحرف الساكن

B هو الحرف الثاني من الحرف الساكن

S هو حرف العلة الأخير

د - حرف العلة قبل الأخير

لنقدم تعبيرًا:

لنصنع طاولة:

2. حدد التعبير المنطقي الذي يعادل التعبير

لنبسط كتابة التعبير الأصلي والخيارات المقترحة:

3. تم تقديم جزء من جدول الحقيقة للتعبير F:

دعنا نحدد قيم هذه التعبيرات للقيم المحددة للوسيطات:

التعرف على موضوع الدرس ، وتقديم مواد جديدة (30 دقيقة)

نواصل دراسة أساسيات المنطق وموضوع درسنا اليوم "حل المعادلات المنطقية". بعد دراسة هذا الموضوع ، ستتعلم الطرق الأساسية لحل المعادلات المنطقية ، واكتساب المهارات اللازمة لحل هذه المعادلات باستخدام لغة الجبر المنطقي والقدرة على تكوين تعبير منطقي على جدول الحقيقة.

1. حل المعادلة المنطقية

(¬K م) → (¬L م ن) = 0

اكتب إجابتك في شكل سلسلة من أربعة أحرف: قيم المتغيرات K و L و M و N (بهذا الترتيب). لذلك ، على سبيل المثال ، يتوافق السطر 1101 مع K = 1 ، L = 1 ، M = 0 ، N = 1.

قرار:

دعونا نحول التعبير(¬K  م) → (¬L  م  ن)

يكون التعبير خطأ عندما يكون كلا المصطلحين خطأ. المصطلح الثاني يساوي 0 إذا كان M = 0 ، N = 0 ، L = 1. في المصطلح الأول ، K = 0 ، منذ M = 0 ، و
.

الجواب: 0100

2. كم عدد الحلول التي تحتويها المعادلة (حدد فقط الرقم في إجابتك)؟

الحل: قم بتحويل التعبير

(أ + ب) * (ج + د) = 1

أ + ب = 1 ، ج + د = 1

الطريقة الثانية: تجميع جدول الحقيقة

دعنا نحول التعبير الأصلي ، ونفتح الأقواس من أجل فصل وصلات العطف:

(أ + ب) * (ج + د) = أ * ج + ب * ج + أ * د + ب * د =

دعنا نكمل أدوات العطف لإكمال روابط العطف (حاصل ضرب كل الوسيطات) ، افتح الأقواس:

ضع في اعتبارك نفس عمليات الاقتران:

نتيجة لذلك ، نحصل على SDNF يحتوي على 9 اقترانات. لذلك ، يحتوي جدول الحقيقة لهذه الوظيفة على قيمة 1 في 9 صفوف من 2 4 = 16 مجموعة من القيم المتغيرة.

3. كم عدد الحلول التي تحتويها المعادلة (حدد فقط الرقم في إجابتك)؟

لنبسط التعبير:

,

3 طريقة: بناء SDNF

ضع في اعتبارك نفس عمليات الاقتران:

نتيجة لذلك ، نحصل على SDNF يحتوي على 5 اقترانات. لذلك ، يحتوي جدول الحقيقة لهذه الوظيفة على قيمة 1 على 5 صفوف من 2 4 = 16 مجموعة من القيم المتغيرة.

بناء تعبير منطقي وفقًا لجدول الحقيقة:

لكل صف من جدول الحقيقة يحتوي على 1 ، نقوم بتكوين ناتج الوسيطات ، ويتم تضمين المتغيرات التي تساوي 0 في المنتج مع النفي ، ولا يتم إبطال المتغيرات التي تساوي 1. سوف يتكون التعبير المطلوب F من مجموع المنتجات التي تم الحصول عليها. ثم ، إذا أمكن ، يجب تبسيط هذا التعبير.

مثال: يتم إعطاء جدول الحقيقة للتعبير. بناء تعبير منطقي.

3. الواجب المنزلي (5 دقائق)

حل المعادلة:

كم عدد الحلول التي تحتويها المعادلة (أجب فقط على الرقم)؟

وفقًا لجدول الحقيقة المقدم ، قم بعمل تعبير منطقي و

تبسيطها.