Diferensial tənlik kalkulyatorunun ətraflı həlli. Birinci dərəcəli ən sadə diferensial tənliklərin həlli
I. Adi diferensial tənliklər
1.1. Əsas anlayışlar və təriflər
Diferensial tənlik müstəqil dəyişənə aid olan tənlikdir x, istədiyiniz funksiya y və onun törəmələri və ya diferensialları.
Simvolik olaraq diferensial tənlik aşağıdakı kimi yazılır:
F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y(n))=0
İstədiyiniz funksiya bir müstəqil dəyişəndən asılıdırsa, diferensial tənlik adi adlanır.
Diferensial tənliyi həll etməklə bu tənliyi eyniliyə çevirən funksiya adlanır.
Diferensial tənliyin sırası bu tənlikdə ən yüksək törəmənin sırasıdır
Nümunələr.
1. Birinci dərəcəli diferensial tənliyi nəzərdən keçirək
Bu tənliyin həlli y = 5 ln x funksiyasıdır. Həqiqətən, əvəz etməklə y" tənliyə daxil olaraq, bir şəxsiyyət alırıq.
Bu isə o deməkdir ki, y = 5 ln x– funksiyası bu diferensial tənliyin həllidir.
2. İkinci dərəcəli diferensial tənliyi nəzərdən keçirək y" - 5y" + 6y = 0. Funksiya bu tənliyin həllidir.
Həqiqətən, .
Bu ifadələri tənlikdə əvəz etməklə: , - eyniliyi alarıq.
Və bu o deməkdir ki, funksiya bu diferensial tənliyin həllidir.
Diferensial tənliklərin inteqrasiyası diferensial tənliklərin həlli prosesidir.
Diferensial tənliyin ümumi həlli formanın funksiyası adlanır 
, tənliyin sırası qədər müstəqil ixtiyari sabitləri ehtiva edir.
Diferensial tənliyin qismən həlli ixtiyari sabitlərin müxtəlif ədədi qiymətləri üçün ümumi həlldən alınan həll adlanır. İxtiyari sabitlərin dəyərləri arqument və funksiyanın müəyyən ilkin dəyərlərində tapılır.
Diferensial tənliyin müəyyən həllinin qrafiki adlanır inteqral əyri.
Nümunələr
1. Birinci dərəcəli diferensial tənliyin xüsusi həllini tapın
xdx + ydy = 0, əgər y= 4 at x = 3.
Qərar. Tənliyin hər iki tərəfini inteqrasiya edərək əldə edirik
Şərh. İnteqrasiya nəticəsində alınan ixtiyari C sabiti sonrakı çevrilmələr üçün əlverişli istənilən formada təqdim edilə bilər. Bu halda çevrənin kanonik tənliyini nəzərə alaraq ixtiyari S sabitini formada təqdim etmək rahatdır.
diferensial tənliyin ümumi həllidir.
İlkin şərtləri ödəyən tənliyin xüsusi həlli y = 4 at x Başlanğıc şərtləri ümumi həlldə əvəz etməklə ümumidən = 3 tapılır: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.
Ümumi həlldə C=5 əvəz etsək, alırıq x2+y2 = 5 2 .
Bu, verilmiş ilkin şərtlər altında ümumi həlldən alınan diferensial tənliyin xüsusi həllidir.
2. Diferensial tənliyin ümumi həllini tapın
Bu tənliyin həlli formanın istənilən funksiyasıdır, burada C ixtiyari sabitdir. Həqiqətən, tənlikləri əvəz edərək, əldə edirik: , .
Buna görə də, bu diferensial tənliyin sonsuz sayda həlli var, çünki C sabitinin müxtəlif qiymətləri üçün bərabərlik tənliyin müxtəlif həllərini təyin edir.
Məsələn, birbaşa əvəz etməklə, funksiyaların olduğunu yoxlamaq olar 
tənliyin həlləridir.
Tənliyin müəyyən bir həllini tapmağın tələb olunduğu bir problem y" = f(x, y) ilkin şərti təmin edir y(x0) = y0, Koşi problemi adlanır.
Tənliyin həlli y" = f(x, y), ilkin şərti təmin edən, y(x0) = y0, Koşi probleminin həlli adlanır.
Koşi məsələsinin həlli sadə həndəsi məna daşıyır. Həqiqətən, bu təriflərə görə, Cauchy problemini həll etmək y" = f(x, y) bunu nəzərə alaraq y(x0) = y0, tənliyin inteqral əyrisini tapmaq deməkdir y" = f(x, y) ki, müəyyən bir nöqtədən keçir M0 (x0,y 0).
II. Birinci dərəcəli diferensial tənliklər
2.1. Əsas anlayışlar
Birinci dərəcəli diferensial tənlik formanın tənliyidir F(x,y,y") = 0.
Birinci dərəcəli diferensial tənliyə birinci törəmə daxildir və daha yüksək dərəcəli törəmələr daxil deyil.
tənlik y" = f(x, y) törəmə ilə bağlı həll olunan birinci dərəcəli tənlik adlanır.
Birinci dərəcəli diferensial tənliyin ümumi həlli bir ixtiyari sabiti ehtiva edən formanın bir funksiyasıdır.
Misal. Birinci dərəcəli diferensial tənliyi nəzərdən keçirək.
Bu tənliyin həlli funksiyadır.
Həqiqətən, bu tənliyi onun dəyəri ilə əvəz edərək, əldə edirik
yəni 3x=3x
Buna görə də funksiya istənilən C sabiti üçün tənliyin ümumi həllidir.
Bu tənliyin ilkin şərti ödəyən xüsusi həllini tapın y(1)=1İlkin şərtlərin dəyişdirilməsi x=1, y=1 tənliyinin ümumi həllinə, haradan əldə edirik C=0.
Beləliklə, bu tənliyə, nəticədə verilən dəyəri əvəz etməklə ümumi həlldən xüsusi bir həll əldə edirik C=0şəxsi qərardır.
2.2. Ayrılan dəyişənlərlə diferensial tənliklər
Ayrılan dəyişənləri olan diferensial tənlik aşağıdakı formanın tənliyidir: y"=f(x)g(y) və ya diferensiallar vasitəsilə, harada f(x) və g(y) funksiyalar verilir.
Onlar üçün y, bunun üçün , tənliyi y"=f(x)g(y) tənliyinə ekvivalentdir 
hansı dəyişən y yalnız sol tərəfdə, x dəyişəni isə yalnız sağ tərəfdə mövcuddur. Deyirlər, “tənlikdə y"=f(x)g(y dəyişənlərin ayrılması.
Tip tənliyi ayrılmış dəyişən tənliyi adlanır.
Tənliyin hər iki hissəsini birləşdirdikdən sonra haqqında x, alırıq G(y) = F(x) + C tənliyin ümumi həllidir, burada G(y) və F(x) funksiyaların bəzi antitörəmələri müvafiq olaraq və f(x), C ixtiyari sabit.
Ayrılan dəyişənlərlə birinci dərəcəli diferensial tənliyin həlli alqoritmi
Misal 1
tənliyi həll edin y" = xy
Qərar. Funksiya törəməsi y" ilə əvəz edin
dəyişənləri ayırırıq
Gəlin bərabərliyin hər iki hissəsini birləşdirək:
Misal 2
2yy" = 1- 3x 2, əgər y 0 = 3 saat x0 = 1
Bu ayrılmış dəyişən tənlikdir. Gəlin onu diferensiallarda təmsil edək. Bunun üçün bu tənliyi yenidən formada yazırıq 
Buradan 
Son bərabərliyin hər iki hissəsini birləşdirərək tapırıq
İlkin dəyərlərin dəyişdirilməsi x 0 = 1, y 0 = 3 tapmaq ilə 9=1-1+C, yəni. C = 9.
Beləliklə, istədiyiniz qismən inteqral olacaqdır 
və ya 
Misal 3
Nöqtədən keçən əyri üçün tənlik yazın M(2;-3) və yamac ilə tangensi olan
Qərar. Şərtə görə
Bu ayrıla bilən dəyişən tənlikdir. Dəyişənləri bölərək alırıq: 
Tənliyin hər iki hissəsini birləşdirərək, əldə edirik: 
İlkin şərtlərdən istifadə edərək, x=2 və y=-3 tapmaq C:
Beləliklə, arzu olunan tənlik formaya malikdir 
2.3. Birinci dərəcəli xətti diferensial tənliklər
Birinci dərəcəli xətti diferensial tənlik formanın tənliyidir y" = f(x)y + g(x)
harada f(x) və g(x)- bəzi verilmiş funksiyalar.
Əgər a g(x)=0 onda xətti diferensial tənlik homojen adlanır və formaya malikdir: y" = f(x)y
Əgər onda tənlik y" = f(x)y + g(x) heterojen deyilir.
Xətti bircinsli diferensial tənliyin ümumi həlli y" = f(x)y düsturla verilir: harada ilə ixtiyari sabitdir.
Xüsusilə, əgər C \u003d 0, onda həll yolu y=0 Xətti homojen tənliyin forması varsa y" = ky harada k bəzi sabitdir, onda onun ümumi həlli formaya malikdir: .
Xətti qeyri-bərabər diferensial tənliyin ümumi həlli y" = f(x)y + g(x) düsturla verilir 
,
olanlar. müvafiq xətti bircinsli tənliyin ümumi həlli ilə bu tənliyin xüsusi həllinin cəminə bərabərdir.
Formanın xətti qeyri-bərabər tənliyi üçün y" = kx + b,
harada k və b- bəzi ədədlər və müəyyən bir həll sabit funksiya olacaq. Buna görə ümumi həll formasına malikdir.
Misal. tənliyi həll edin y" + 2y +3 = 0
Qərar. Tənliyi formada təqdim edirik y" = -2y - 3 harada k=-2, b=-3Ümumi həll düsturla verilir.
Buna görə də, burada C ixtiyari sabitdir.
2.4. Birinci dərəcəli xətti diferensial tənliklərin Bernulli üsulu ilə həlli
Birinci dərəcəli xətti diferensial tənliyin ümumi həllinin tapılması y" = f(x)y + g(x)əvəzetmədən istifadə edərək ayrılmış dəyişənlərlə iki diferensial tənliyin həllinə azaldır y=uv, harada u və v-dən naməlum funksiyalar x. Bu həll üsulu Bernoulli üsulu adlanır.
Birinci dərəcəli xətti diferensial tənliyin həlli alqoritmi
y" = f(x)y + g(x)
1. Əvəzetmə daxil edin y=uv.
2. Bu bərabərliyi diferensiallaşdırın y"=u"v + uv"
3. Əvəz edin y və y" bu tənliyə: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) və ya u"v + uv" + f(x)uv = g(x).
4. Tənliyin şərtlərini elə qruplaşdırın ki u mötərizədən çıxarın:
5. Mötərizədə onu sıfıra bərabər tutaraq funksiyanı tapın
Bu ayrıla bilən tənlikdir: 
Dəyişənləri bölün və əldə edin: 
Harada 
.
.
6. Alınan dəyəri əvəz edin v tənliyə (4-cü bənddən):
və funksiyanı tapın Bu ayrıla bilən tənlikdir:
7. Ümumi həlli aşağıdakı formada yazın: 
, yəni. .
Misal 1
Tənliyin xüsusi həllini tapın y" = -2y +3 = 0əgər y=1 saat x=0
Qərar. Gəlin bunu əvəzetmə ilə həll edək y=uv,.y"=u"v + uv"
Əvəz edən y və y" bu tənliyə, alırıq
Tənliyin sol tərəfində ikinci və üçüncü şərtləri qruplaşdıraraq, ümumi amili çıxarırıq u mötərizədə
Mötərizədə göstərilən ifadəni sıfıra bərabərləşdiririk və nəticədə yaranan tənliyi həll edərək funksiyanı tapırıq. v = v(x)
Ayrılmış dəyişənləri olan bir tənlik əldə etdik. Bu tənliyin hər iki hissəsini inteqral edirik: Funksiyanı tapın v:
Yaranan dəyəri əvəz edin v tənliyə daxil oluruq:
Bu ayrılmış dəyişən tənlikdir. Tənliyin hər iki hissəsini birləşdiririk: 
funksiyasını tapaq u = u(x,c) 
Ümumi bir həll tapaq: 
İlkin şərtləri ödəyən tənliyin xüsusi həllini tapaq y=1 saat x=0:
III. Yüksək tərtibli diferensial tənliklər
3.1. Əsas anlayışlar və təriflər
İkinci dərəcəli diferensial tənlik, ikinci dərəcəlidən yüksək olmayan törəmələri ehtiva edən tənlikdir. Ümumi halda ikinci dərəcəli diferensial tənlik belə yazılır: F(x,y,y,y") = 0
İkinci dərəcəli diferensial tənliyin ümumi həlli iki ixtiyari sabiti ehtiva edən formanın bir funksiyasıdır. C1 və C2.
İkinci dərəcəli diferensial tənliyin xüsusi həlli, ixtiyari sabitlərin bəzi qiymətləri üçün ümumi olandan alınan bir həlldir. C1 və C2.
3.2. Ilə ikinci dərəcəli xətti homogen diferensial tənliklər sabit nisbətlər.
Sabit əmsallı ikinci dərəcəli xətti homogen diferensial tənlik formanın tənliyi adlanır y" + py" + qy = 0, harada səh və q sabit dəyərlərdir.
Sabit əmsallı ikinci dərəcəli bircinsli diferensial tənliklərin həlli alqoritmi
1. Diferensial tənliyi formada yazın: y" + py" + qy = 0.
2. İşarə edərək onun xarakterik tənliyini qurun y" vasitəsilə r2, y" vasitəsilə r, y 1-də: r2 + pr +q = 0
Diferensial tənliklərin həlli. Onlayn xidmətimiz sayəsində siz istənilən növ və mürəkkəblikdə diferensial tənlikləri həll edə bilərsiniz: qeyri-homogen, bircins, qeyri-xətti, xətti, birinci, ikinci dərəcəli, ayrıla bilən dəyişənli və ya olmayan və s. Diferensial tənliklərin həllini ətraflı təsviri ilə analitik formada əldə edirsiniz. Çoxları maraqlanır: diferensial tənlikləri onlayn həll etmək niyə lazımdır? Bu tip tənliklər riyaziyyat və fizikada çox yayılmışdır, burada diferensial tənliyi hesablamadan bir çox məsələləri həll etmək mümkün olmayacaq. Həmçinin diferensial tənliklər iqtisadiyyat, tibb, biologiya, kimya və digər elmlərdə geniş yayılmışdır. Belə bir tənliyi onlayn həll etmək tapşırıqlarınızı xeyli asanlaşdırır, materialı daha yaxşı başa düşməyə və özünüzü sınamağa imkan verir. Diferensial tənliklərin onlayn həllinin üstünlükləri. Müasir riyazi xidmət saytı istənilən mürəkkəblikdə diferensial tənlikləri onlayn həll etməyə imkan verir. Bildiyiniz kimi, çoxlu sayda diferensial tənlik növləri var və onların hər birinin öz həlli var. Bizim xidmətimizdə siz istənilən növdə və növdə diferensial tənliklərin həllini onlayn tapa bilərsiniz. Həlli əldə etmək üçün ilkin məlumatları doldurmağı və "Həll" düyməsini sıxmağı təklif edirik. Xidmətin işində səhvlər istisna olunur, beləliklə düzgün cavabı aldığınıza 100% əmin ola bilərsiniz. Xidmətimizlə diferensial tənlikləri həll edin. Diferensial tənlikləri onlayn həll edin. Varsayılan olaraq, belə bir tənlikdə y funksiyası x dəyişəninin funksiyasıdır. Lakin siz öz dəyişən təyinatınızı da təyin edə bilərsiniz. Məsələn, diferensial tənlikdə y(t)-i təyin etsəniz, onda bizim xidmətimiz avtomatik olaraq y-nin t dəyişəninin funksiyası olduğunu müəyyən edəcək. Bütün diferensial tənliyin sırası tənlikdə mövcud olan funksiyanın törəməsinin maksimum sırasından asılı olacaq. Belə bir tənliyi həll etmək istədiyiniz funksiyanı tapmaq deməkdir. Xidmətimiz sizə diferensial tənlikləri onlayn həll etməyə kömək edəcək. Tənliyi həll etmək üçün sizdən çox səy tələb olunmur. Tələb olunan sahələrə tənliyin sol və sağ hissələrini daxil etmək və “Həll” düyməsini sıxmaq kifayətdir. Funksiya törəməsi daxil edilərkən onu apostrofla işarələmək lazımdır. Bir neçə saniyə ərzində siz diferensial tənliyin hazır müfəssəl həllinə sahib olacaqsınız. Xidmətimiz tamamilə pulsuzdur. Ayrılan dəyişənlərlə diferensial tənliklər. Əgər diferensial tənliyin sol tərəfində y-dən asılı olan ifadə, sağ tərəfində isə x-dən asılı olan ifadə varsa, onda belə diferensial tənlik ayrıla bilən dəyişənlərlə adlanır. Sol tərəfdə y-nin törəməsi ola bilər, bu növ diferensial tənliklərin həlli tənliyin sağ tərəfinin inteqralı ilə ifadə olunan y-nin funksiyası şəklində olacaqdır. Əgər sol tərəfdə y funksiyasının diferensialı varsa, onda tənliyin hər iki hissəsi inteqral olur. Diferensial tənlikdəki dəyişənlər ayrılmadıqda, ayrılmış diferensial tənlik əldə etmək üçün onları bölmək lazımdır. Xətti diferensial tənlik. Funksiya və onun bütün törəmələri birinci dərəcədə olarsa, diferensial tənlik xətti adlanır. Tənliyin ümumi forması: y'+a1(x)y=f(x). f(x) və a1(x) x-in davamlı funksiyalarıdır. Bu tipli diferensial tənliklərin həlli ayrılmış dəyişənlərlə iki diferensial tənliyin inteqrasiyasına endirilir. Diferensial tənliyin sırası. Diferensial tənlik birinci, ikinci, n-ci dərəcəli ola bilər. Diferensial tənliyin sırası onun tərkibində olan ən yüksək törəmənin sırasını müəyyən edir. Xidmətimizdə siz birinci, ikinci, üçüncü və s.-nin onlayn diferensial tənliklərini həll edə bilərsiniz. sifariş. Tənliyin həlli istənilən y=f(x) funksiyası olacaq, hansını tənliyə əvəz etməklə eynilik əldə edəcəksiniz. Diferensial tənliyin həllinin tapılması prosesinə inteqrasiya deyilir. Cauchy problemi. Əgər diferensial tənliyin özündən əlavə y(x0)=y0 ilkin şərti təyin olunarsa, bu Koşi məsələsi adlanır. Tənliyin həllinə y0 və x0 göstəriciləri əlavə edilir və ixtiyari C sabitinin qiyməti müəyyən edilir, sonra isə C-nin bu qiyməti üçün tənliyin xüsusi həlli tapılır. Bu, Koşi məsələsinin həllidir. Koşi məsələsinə həm də fizika və mexanikada çox rast gəlinən sərhəd şərtləri məsələsi də deyilir. Sizin həmçinin Koşi məsələsini qoymaq imkanınız var, yəni tənliyin bütün mümkün həllərindən verilmiş ilkin şərtlərə cavab verən konkret birini seçin.
Birinci dərəcəli diferensial tənliklər. Həll nümunələri.
Ayrılan dəyişənlərlə diferensial tənliklər
Diferensial tənliklər (DE). Bu iki söz adətən adi laymanı dəhşətə gətirir. Diferensial tənliklər bir çox tələbələr üçün hədsiz və çətin bir şey kimi görünür. Uuuuuu... diferensial tənliklər, bütün bunlara necə dözərdim?!
Belə bir fikir və belə münasibət kökündən yanlışdır, çünki əslində DİFFERENTİAL TƏNLİKLƏR SADƏ VƏ HƏTTA ƏYLƏNİR. Diferensial tənlikləri həll etmək üçün nələri bilmək və öyrənməyi bacarmaq lazımdır? Diffureləri uğurla öyrənmək üçün inteqrasiya və fərqləndirməkdə yaxşı olmalısınız. Mövzular nə qədər yaxşı öyrənilir Bir dəyişənli funksiyanın törəməsi və Qeyri-müəyyən inteqral, diferensial tənlikləri başa düşmək bir o qədər asan olacaq. Daha çox deyəcəyəm, əgər az-çox layiqli inteqrasiya bacarığınız varsa, deməli mövzu praktiki olaraq mənimsənilib! Müxtəlif növlərdən nə qədər çox inteqral həll edə bilsəniz, bir o qədər yaxşıdır. Niyə? Siz çox inteqrasiya etməlisiniz. Və fərqləndirin. Həmçinin çox tövsiyə edirəm tapmağı öyrənin.
95% hallarda test işlərində 3 növ birinci dərəcəli diferensial tənliklər var: ayrıla bilən tənliklər, bu dərsdə bunları əhatə edəcəyik; homojen tənliklər və xətti qeyri-homogen tənliklər. Diffuzerləri öyrənməyə yeni başlayanlar üçün dərsləri bu ardıcıllıqla oxumağı məsləhət görürəm və ilk iki məqaləni öyrəndikdən sonra əlavə bir seminarda bacarıqlarınızı möhkəmləndirməyiniz zərər verməyəcək - homojenə endirən tənliklər.
Diferensial tənliklərin daha nadir növləri var: ümumi diferensiallardakı tənliklər, Bernulli tənlikləri və digərləri. Son iki növdən ən vacibi ümumi diferensiallardakı tənliklərdir, çünki bu DE-yə əlavə olaraq yeni materialı nəzərdən keçirirəm - qismən inteqrasiya.
Yalnız bir və ya iki gününüz varsa, sonra ultra sürətli hazırlıq üçün var blits kursu pdf formatında.
Beləliklə, nişanlar təyin edildi - gedək:
Əvvəlcə adi cəbri tənlikləri xatırlayaq. Onların tərkibində dəyişənlər və rəqəmlər var. Ən sadə misal: . Adi tənliyi həll etmək nə deməkdir? Bu tapmaq deməkdir nömrələr dəsti bu tənliyi təmin edən. Uşaqların tənliyinin tək köklü olduğunu görmək asandır: . Əylənmək üçün gəlin yoxlayaq, tapılan kökü tənliyimizlə əvəz edək:
- düzgün bərabərlik alınır, bu da həllin düzgün tapılması deməkdir.
Diffuzlar təxminən eyni şəkildə təşkil edilir!
Diferensial tənlik ilk sifarişümumiyyətlə ehtiva edir:
1) müstəqil dəyişən;
2) asılı dəyişən (funksiya);
3) funksiyanın birinci törəməsi: .
1-ci dərəcəli bəzi tənliklərdə "x" və ya (və) "y" olmaya bilər, lakin bu vacib deyil - vacibdir belə ki, DU-da idi birinci törəmə və yox idi daha yüksək dərəcəli törəmələr - və s.
Nə deməkdir? Diferensial tənliyi həll etmək tapmaq deməkdir bütün funksiyalar toplusu bu tənliyi təmin edən. Bu cür funksiyalar toplusu tez-tez (ixtiyari sabitdir) formasına malikdir və bu adlanır diferensial tənliyin ümumi həlli.
Misal 1
Diferensial tənliyi həll edin
Tam sursat. Haradan başlamaq lazımdır qərar?
İlk növbədə, törəməni bir az fərqli formada yenidən yazmalısınız. Çoxlarınızın gülünc və lazımsız olduğunu düşündüyünüz çətin qeydi xatırlayırıq. Diffuzorlarda hökmranlıq budur!
İkinci addımda bunun mümkün olub olmadığını görək bölünən dəyişənlər? Dəyişənləri ayırmaq nə deməkdir? Kobud desək, sol tərəfdə tərk etməliyik yalnız "oyunlar", a sağ tərəfdə təşkil etmək yalnız x. Dəyişənlərin ayrılması “məktəb” manipulyasiyalarının köməyi ilə həyata keçirilir: mötərizələr, işarə dəyişikliyi ilə terminlərin hissədən hissəyə köçürülməsi, nisbət qaydasına uyğun olaraq amillərin hissədən hissəyə köçürülməsi və s.
Diferensiallar və tam çarpanlardır və döyüş əməliyyatlarının fəal iştirakçılarıdır. Bu nümunədə dəyişənlər nisbət qaydasına uyğun olaraq çevirmə amilləri ilə asanlıqla ayrılır:
Dəyişənlər ayrılır. Sol tərəfdə - yalnız "Oyun", sağ tərəfdə - yalnız "X".
Növbəti mərhələ - diferensial tənliklərin inteqrasiyası. Bu sadədir, biz hər iki hissəyə inteqralları asırıq:
Təbii ki, inteqrallar alınmalıdır. Bu halda, onlar cədvəllidir:
Xatırladığımız kimi, hər hansı bir antitörəmə sabit təyin olunur. Burada iki inteqral var, lakin sabiti bir dəfə yazmaq kifayətdir (çünki sabit + sabit hələ də başqa sabitə bərabərdir). Əksər hallarda sağ tərəfə yerləşdirilir.
Düzünü desək, inteqrallar alındıqdan sonra diferensial tənlik həll edilmiş sayılır. Yeganə odur ki, bizim “y” “x” vasitəsilə ifadə olunmur, yəni həll təqdim olunur gizli şəkildə forma. Diferensial tənliyin gizli həlli adlanır diferensial tənliyin ümumi inteqralı. Yəni ümumi inteqraldır.
Bu formada cavab olduqca məqbuldur, lakin daha yaxşı variant varmı? almağa çalışaq ümumi qərar.
Buyurun, ilk texnikanı xatırlayın, çox yaygındır və praktiki tapşırıqlarda tez-tez istifadə olunur: əgər inteqraldan sonra sağ tərəfdə loqarifm görünürsə, onda bir çox hallarda (lakin heç vaxt həmişə deyil!) loqarifmin altında daimini yazmaq da məsləhətdir..
yəni, ƏVƏZİNƏ qeydlər adətən yazılır 
.
Bu niyə lazımdır? Və "y" ifadəsini asanlaşdırmaq üçün. Loqarifmlərin xassəsindən istifadə edirik 
. Bu halda:
İndi loqarifmlər və modullar silinə bilər:
Funksiya açıq şəkildə təqdim olunur. Bu ümumi həll yoludur.
Cavab verin: ümumi qərar: 
.
Bir çox diferensial tənliklərin cavablarını yoxlamaq kifayət qədər asandır. Bizim vəziyyətimizdə bu olduqca sadədir, tapılan həlli götürürük və onu fərqləndiririk:
Sonra törəməni orijinal tənliyə əvəz edirik:
- düzgün bərabərlik əldə edilir, bu o deməkdir ki, ümumi həll yoxlanılması tələb olunan tənliyi təmin edir.
Sabit fərqli dəyərlər verməklə sonsuz sayda əldə edə bilərsiniz şəxsi qərarlar diferensial tənlik. Aydındır ki, funksiyaların hər hansı biri , və s. diferensial tənliyi ödəyir.
Bəzən ümumi həll adlanır funksiyalar ailəsi. Bu nümunədə ümumi həll 
xətti funksiyalar ailəsi, daha doğrusu, düz mütənasibliklər ailəsidir.
Birinci nümunənin ətraflı müzakirəsindən sonra diferensial tənliklərlə bağlı bir neçə sadəlövh suala cavab vermək məqsədəuyğundur:
1)Bu nümunədə dəyişənləri ayırmağı bacardıq. Bunu etmək həmişə mümkündürmü? Xeyr həmişə deyil. Və daha tez-tez dəyişənlər ayrıla bilməz. Məsələn, in homojen birinci dərəcəli tənliklərəvvəlcə dəyişdirilməlidir. Digər növ tənliklərdə, məsələn, birinci dərəcəli xətti qeyri-homogen tənlikdə ümumi həlli tapmaq üçün müxtəlif fəndlərdən və üsullardan istifadə etmək lazımdır. Birinci dərsdə nəzərdən keçirdiyimiz ayrıla bilən dəyişən tənliklər diferensial tənliklərin ən sadə növüdür.
2) Diferensial tənliyi inteqral etmək həmişə mümkündürmü? Xeyr həmişə deyil. İnteqrasiya edilə bilməyən "xülya" tənliyi ilə çıxış etmək çox asandır, əlavə olaraq alına bilməyən inteqrallar var. Ancaq bu cür DE-lər xüsusi üsullarla təxminən həll edilə bilər. D'Alembert və Cauchy zəmanət verirlər... ...uf, daha çox.İndi çox oxudum, demək olar ki, "o biri dünyadan" əlavə etdim.
3) Bu nümunədə biz ümumi inteqral şəklində bir həll əldə etdik 
. Ümumi inteqraldan ümumi həll tapmaq, yəni “y”-ni açıq formada ifadə etmək həmişə mümkündürmü? Xeyr həmişə deyil. Misal üçün: . Yaxşı, mən burada “y”-ni necə ifadə edə bilərəm?! Belə hallarda cavab ümumi inteqral kimi yazılmalıdır. Bundan əlavə, bəzən ümumi həll yolu tapmaq olur, lakin o qədər çətin və yöndəmsiz yazılır ki, cavabı ümumi inteqral şəklində buraxmaq daha yaxşıdır.
4) ...bəlkə də hələlik kifayətdir. Birinci misalda tanış olduq başqa bir vacib məqam, lakin "dummies"i yeni məlumat uçqunu ilə örtməmək üçün onu növbəti dərsə buraxıram.
Tələsməyək. Başqa bir sadə uzaqdan idarəetmə və başqa bir tipik həll:
Misal 2
Diferensial tənliyin ilkin şərti ödəyən xüsusi həllini tapın
Qərar: şərtə görə tapmaq tələb olunur şəxsi qərar Verilmiş ilkin şərti təmin edən DE. Bu cür sorğuya da deyilir Cauchy problemi.
Əvvəlcə ümumi bir həll tapırıq. Tənlikdə “x” dəyişəni yoxdur, amma bu utandırıcı olmamalıdır, əsas odur ki, onun ilk törəməsi var.
Törəməni tələb olunan formada yenidən yazırıq:
Aydındır ki, dəyişənlər bölünə bilər, oğlanlar sola, qızlar sağa:
Tənliyi inteqrasiya edirik: 
Ümumi inteqral alınır. Burada vurğu ulduzu ilə bir sabit çəkdim, fakt odur ki, çox tezliklə başqa bir sabitə çevriləcək.
İndi biz ümumi inteqralı ümumi həllə çevirməyə çalışırıq (“y”-ni açıq şəkildə ifadə edin). Köhnə, yaxşı, məktəbi xatırlayırıq: 
. Bu halda:
Göstəricidəki sabit bir şəkildə kosher deyil, buna görə də ümumiyyətlə göydən yerə endirilir. Təfərrüatlı olaraq, bu belə olur. Dərəcələrin xassəsindən istifadə edərək funksiyanı aşağıdakı kimi yenidən yazırıq:
Əgər sabitdirsə, o zaman bir az da sabitdir, onu hərflə yenidən təyin edin:
Sabit bir "sökülmə" olduğunu unutmayın ikinci texnika diferensial tənliklərin həlli zamanı tez-tez istifadə olunur.
Beləliklə, ümumi həll yolu budur: Belə gözəl eksponensial funksiyalar ailəsi.
Son mərhələdə, verilmiş ilkin şərti təmin edən xüsusi bir həll tapmaq lazımdır. Bu da sadədir.
Tapşırıq nədir? Almaq lazımdır bu cürşərti təmin etmək üçün sabitin qiyməti.
Bunu müxtəlif yollarla təşkil edə bilərsiniz, amma ən başa düşülən, bəlkə də belə olacaq. Ümumi həlldə “x” əvəzinə sıfırı, “y” əvəzinə iki əvəz edirik:
yəni,
Standart dizayn versiyası:
İndi sabitin tapılmış qiymətini ümumi həlldə əvəz edirik:
– bu, bizə lazım olan xüsusi həlldir.
Cavab verin: şəxsi həll:
Gəlin yoxlayaq. Müəyyən bir həllin yoxlanılması iki mərhələdən ibarətdir:
Əvvəlcə yoxlamaq lazımdır ki, tapılan konkret həll həqiqətən ilkin şərtə cavab verirmi? "x" əvəzinə sıfırı əvəz edirik və nə baş verdiyini görürük:
- bəli, həqiqətən, bir ikili alındı, bu da ilkin şərtin təmin edildiyini bildirir.
İkinci mərhələ artıq tanışdır. Nəticədə xüsusi həlli götürürük və törəməni tapırıq:
Orijinal tənlikdə əvəz edin:
- düzgün bərabərlik əldə edilir.
Nəticə: xüsusi həll düzgün tapıldı.
Gəlin daha mənalı nümunələrə keçək.
Misal 3
Diferensial tənliyi həll edin
Qərar: Törəməni bizə lazım olan formada yenidən yazırıq: 
Dəyişənlərin ayrıla biləcəyini qiymətləndirmək? Bacarmaq. İkinci termini işarə dəyişikliyi ilə sağ tərəfə köçürürük: 
Və faktorları nisbət qaydasına uyğun olaraq çeviririk: 
Dəyişənlər ayrılıb, hər iki hissəni birləşdirək: 
Sizi xəbərdar etməliyəm, qiyamət günü yaxınlaşır. Yaxşı öyrənməmisinizsə qeyri-müəyyən inteqrallar, bir neçə nümunəni həll etdi, onda getmək üçün heç bir yer yoxdur - indi onları mənimsəməlisən.
Sol tərəfin inteqralını tapmaq asandır, kotangentin inteqralı ilə dərsdə nəzərdən keçirdiyimiz standart texnika ilə məşğul oluruq. Triqonometrik funksiyaların inteqrasiyası Keçən il: 
Sağ tərəfdə loqarifmimiz var və mənim ilk texniki tövsiyəmə görə, sabit də loqarifmin altına yazılmalıdır.
İndi ümumi inteqralı sadələşdirməyə çalışırıq. Bizdə yalnız loqarifmlər olduğundan, onlardan xilas olmaq olduqca mümkündür (və zəruridir). Vasitəsilə məlum xassələri loqarifmləri maksimum dərəcədə "paketləyin". Çox ətraflı yazacam: 
Qablaşdırma vəhşicəsinə cırıq-cırıq olmaq üçün tamamlandı: 
"y" ifadəsi mümkündürmü? Bacarmaq. Hər iki hissə kvadrat şəklində olmalıdır.
Amma məcbur deyilsən.
Üçüncü texnoloji məsləhət:ümumi bir həll əldə etmək üçün gücə yüksəlmək və ya kök salmaq lazımdırsa, o zaman Əksər hallarda bu hərəkətlərdən çəkinməli və cavabı ümumi inteqral şəklində buraxmalısınız. Fakt budur ki, ümumi həll yalnız dəhşətli görünəcək - böyük köklər, işarələr və digər zibillərlə.
Buna görə də cavabı ümumi inteqral kimi yazırıq. Onu formada təqdim etmək yaxşı forma hesab olunur, yəni sağ tərəfdə, mümkünsə, yalnız sabiti buraxın. Bunu etmək lazım deyil, amma professoru məmnun etmək həmişə faydalıdır ;-)
Cavab:ümumi inteqral:
! Qeyd: hər hansı bir tənliyin ümumi inteqralı birdən çox şəkildə yazıla bilər. Beləliklə, əgər nəticəniz əvvəllər məlum olan cavabla üst-üstə düşmürsə, bu, tənliyi səhv həll etdiyiniz demək deyil.
Ümumi inteqral da kifayət qədər asan yoxlanılır, əsas odur ki, tapa bilək gizli şəkildə müəyyən edilmiş funksiyanın törəməsi. Cavabı fərqləndirək: 
Hər iki şərti aşağıdakılarla çarpırıq: 
Və bölürük: 
Orijinal diferensial tənlik tam olaraq alındı, bu da ümumi inteqralın düzgün tapılması deməkdir.
Misal 4
Diferensial tənliyin ilkin şərti ödəyən xüsusi həllini tapın. Çek aparın.
Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir.
Xatırladıram ki, alqoritm iki mərhələdən ibarətdir:
1) ümumi həll yolu tapmaq;
2) tələb olunan konkret həllin tapılması.
Yoxlama da iki mərhələdə aparılır (Nümunə 2-də nümunəyə baxın), sizə lazımdır:
1) tapılan xüsusi həllin ilkin şərti təmin etdiyinə əmin olun;
2) müəyyən bir həllin ümumiyyətlə diferensial tənliyi təmin etdiyini yoxlayın.
Tam həll və dərsin sonunda cavab.
Misal 5
Diferensial tənliyin xüsusi həllini tapın 
, ilkin şərti təmin edən. Çek aparın.
Qərar:Əvvəlcə ümumi həlli tapaq.Bu tənlikdə artıq hazır diferensiallar və , yəni həll sadələşdirilmişdir. Dəyişənlərin ayrılması: 
Tənliyi inteqrasiya edirik: 
Soldakı inteqral cədvəllidir, sağdakı inteqral alınır diferensialın işarəsi altında funksiyanın cəmlənməsi üsulu:
Ümumi inteqral alındı, ümumi həlli uğurla ifadə etmək mümkündürmü? Bacarmaq. Hər iki tərəfə loqarifmlər asırıq. Onlar müsbət olduğundan, modul işarələri lazımsızdır: 
(Ümid edirəm hər kəs transformasiyanı başa düşür, belə şeylər artıq bilinməlidir)
Beləliklə, ümumi həll yolu budur:
Verilmiş ilkin şərtə uyğun olan xüsusi bir həll tapaq.
Ümumi həlldə “x” əvəzinə sıfırı, “y” əvəzinə ikinin loqarifmini əvəz edirik: 
Daha çox tanış dizayn:
Sabitin tapılmış qiymətini ümumi həlldə əvəz edirik.
Cavab:şəxsi həll:
Yoxlayın: Əvvəlcə ilkin şərtin yerinə yetirildiyini yoxlayın:
-hər şey yaxşıdır.
İndi tapılan xüsusi həllin diferensial tənliyi ümumiyyətlə təmin edib-etmədiyini yoxlayaq. Törəməni tapırıq:
Orijinal tənliyə baxaq: 
– diferensiallarda təqdim olunur. Yoxlamağın iki yolu var. Tapılmış törəmədən diferensial ifadə etmək mümkündür:
Tapılmış xüsusi həlli və əldə edilən diferensialı orijinal tənliyə əvəz edirik 
: 
Əsas loqarifmik eynilikdən istifadə edirik: 
Düzgün bərabərlik əldə edilir, bu da konkret həllin düzgün tapılması deməkdir.
Yoxlamanın ikinci yolu aynalı və daha tanışdır: tənlikdən 
törəməni ifadə edin, bunun üçün bütün parçaları aşağıdakılara bölürük: 
Və çevrilmiş DE-də əldə edilmiş xüsusi həlli və tapılmış törəməni əvəz edirik. Sadələşdirmələr nəticəsində düzgün bərabərlik də əldə edilməlidir.
Misal 6
Diferensial tənliyi həll edin. Cavabı ümumi inteqral kimi ifadə edin.
Bu, dərsin sonunda özünü həll etmək, tam həll etmək və cavab vermək üçün bir nümunədir.
Ayrılan dəyişənlərlə diferensial tənliklərin həllində hansı çətinliklər gözləyir?
1) Dəyişənlərin ayrıla biləcəyi həmişə aydın deyil (xüsusilə də çaynik üçün). Şərti bir misala nəzər salaq: . Burada amilləri mötərizədə çıxarmaq lazımdır: və kökləri ayırmaq:. Daha necə davam etmək aydındır.
2) inteqrasiyanın özündə çətinliklər. İnteqrallar çox vaxt ən sadə deyil və tapmaq bacarıqlarında qüsurlar olduqda yaranır qeyri-müəyyən inteqral, onda bir çox diffuzorlarla çətin olacaq. Bundan əlavə, "diferensial tənlik sadə olduğundan, inteqrallar daha mürəkkəb olsun" məntiqi toplular və dərsliklər tərtib edənlər arasında məşhurdur.
3) Sabitlə çevrilmələr. Hər kəsin qeyd etdiyi kimi, diferensial tənliklərdə bir sabit kifayət qədər sərbəst idarə oluna bilər və bəzi çevrilmələr həmişə yeni başlayanlar üçün aydın olmur. Başqa bir fərziyyə nümunəsinə baxaq: 
. Burada bütün şərtləri 2-yə vurmaq məsləhətdir: 
. Yaranan sabit də bir növ sabitdir, onu aşağıdakılarla işarələmək olar: 
. Bəli və sağ tərəfdə loqarifm olduğundan sabiti başqa bir sabit kimi yenidən yazmaq məsləhətdir: 
.
Problem ondadır ki, onlar çox vaxt indekslərlə narahat olmurlar və eyni hərfdən istifadə edirlər. Nəticədə qərar protokolu aşağıdakı formanı alır: 
Nə bidət? Budur səhvlər! Düzünü desək, bəli. Lakin substantiv nöqteyi-nəzərdən heç bir səhv yoxdur, çünki dəyişən sabitin çevrilməsi nəticəsində yenə də dəyişən sabit alınır.
Və ya başqa misal, tutaq ki, tənliyin həlli zamanı ümumi inteqral alınır. Bu cavab çirkin görünür, ona görə də hər bir terminin işarəsini dəyişdirmək məsləhətdir: 
. Formal olaraq, yenə bir səhv var - sağda, yazılmalıdır. Lakin qeyri-rəsmi şəkildə nəzərdə tutulur ki, “mənfi ce” hələ də sabitdir ( bu da istənilən dəyərləri qəbul edir!), buna görə də "minus" qoymağın mənası yoxdur və eyni hərfdən istifadə edə bilərsiniz.
Mən diqqətsiz yanaşmadan qaçmağa çalışacağam və konvertasiya edərkən sabitlər üçün hələ də müxtəlif indekslər qoyacağam.
Misal 7
Diferensial tənliyi həll edin. Çek aparın.
Qərar: Bu tənlik dəyişənlərin ayrılmasını qəbul edir. Dəyişənlərin ayrılması: 
Biz inteqrasiya edirik: 
Buradakı sabiti loqarifm altında müəyyən etmək lazım deyil, çünki ondan yaxşı heç nə gəlməyəcək.
Cavab:ümumi inteqral:
Yoxlayın: Cavabı fərqləndirin (örtülü funksiya): 
Kəsrlərdən xilas oluruq, bunun üçün hər iki şərti vururuq: 
Orijinal diferensial tənlik alındı, bu da ümumi inteqralın düzgün tapıldığını bildirir.
Misal 8
DE-nin xüsusi həllini tapın.
,
Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Yeganə ipucu budur ki, burada ümumi bir inteqral əldə edirsiniz və daha doğrusu, müəyyən bir həll tapmaq üçün düşünməlisiniz, amma özəl inteqral. Tam həll və dərsin sonunda cavab.
Bu onlayn kalkulyator diferensial tənlikləri onlayn həll etməyə imkan verir. “Funksiya törəməsi”ni apostrofla ifadə edən müvafiq sahəyə tənliyinizi daxil etmək və “tənliyi həll et” düyməsini sıxmaq kifayətdir.Və məşhur WolframAlpha veb-saytı əsasında həyata keçirilən sistem ətraflı məlumat verəcəkdir. diferensial tənliyin həlli tamamilə pulsuz. Siz həmçinin Koşi problemini bütün mümkün həllərdən verilmiş ilkin şərtlərə uyğun olanı seçmək üçün təyin edə bilərsiniz. Koşi problemi ayrıca sahəyə daxil edilir.
Diferensial tənlik
Varsayılan olaraq, tənlikdə funksiya y dəyişənin funksiyasıdır x. Bununla belə, siz öz dəyişən notasiyanızı təyin edə bilərsiniz, məsələn, tənliyə y(t) yazsanız, kalkulyator avtomatik olaraq bunu tanıyacaq. y dəyişənin funksiyasıdır t. Kalkulyatorla edə bilərsiniz diferensial tənlikləri həll edir hər hansı mürəkkəblik və tipli: homogen və qeyri-bərabər, xətti və ya qeyri-xətti, birinci və ya ikinci və daha yüksək dərəcəli, ayrıla bilən və ya ayrılmayan dəyişənləri olan tənliklər və s. Həll fərqi. tənlik analitik formada verilir, ətraflı təsvirə malikdir. Diferensial tənliklər fizika və riyaziyyatda çox yayılmışdır. Onların hesablanması olmadan bir çox məsələləri həll etmək mümkün deyil (xüsusilə riyazi fizikada).
Diferensial tənliklərin həlli addımlarından biri funksiyaların inteqrasiyasıdır. Diferensial tənliklərin həlli üçün standart üsullar mövcuddur. Tənlikləri ayrıla bilən y və x dəyişənləri olan formaya gətirmək və ayrılan funksiyaları ayrıca inteqrallaşdırmaq lazımdır. Bunu etmək üçün bəzən müəyyən bir əvəz etmək lazımdır.
Adi diferensial tənlik müstəqil dəyişəni, bu dəyişənin naməlum funksiyasını və onun müxtəlif düzənli törəmələrini (və ya diferensiallarını) əlaqələndirən tənlik adlanır.
Diferensial tənliyin sırası onun tərkibində olan ən yüksək törəmənin sırasıdır.
Adi olanlarla yanaşı, qismən diferensial tənliklər də öyrənilir. Bunlar müstəqil dəyişənlərlə əlaqəli tənliklər, bu dəyişənlərin naməlum funksiyası və eyni dəyişənlərə münasibətdə onun qismən törəmələridir. Ancaq biz yalnız nəzərdən keçirəcəyik adi diferensial tənliklər və buna görə də biz qısalıq üçün "adi" sözünü buraxacağıq.
Diferensial tənliklərə nümunələr:
(1) 
;
(3) 
;
(4) 
;
(1) tənlik dördüncü, tənlik (2) üçüncü, (3) və (4) tənliklər ikinci, (5) tənliyi birinci dərəcəlidir.
Diferensial tənlik n sifarişin bir funksiyanı, birincidən bütün törəmələrini açıq şəkildə ehtiva etməsinə ehtiyac yoxdur n ci sıra və müstəqil dəyişən. O, açıq şəkildə bəzi sifarişlərin törəmələrini, funksiyanı, müstəqil dəyişəni ehtiva etməyə bilər.
Məsələn, (1) tənliyində üçüncü və ikinci dərəcəli törəmələr, eləcə də funksiyalar açıq şəkildə yoxdur; (2) tənliyində - ikinci dərəcəli törəmə və funksiya; (4) tənliyində - müstəqil dəyişən; (5) tənliyində - funksiyalar. Yalnız (3) tənliyi açıq şəkildə bütün törəmələri, funksiyanı və müstəqil dəyişəni ehtiva edir.
Diferensial tənliyi həll etməklə istənilən funksiya çağırılır y = f(x), hansını tənliyə əvəz edərək, şəxsiyyətə çevrilir.
Diferensial tənliyin həllinin tapılması prosesi onun adlanır inteqrasiya.
Misal 1 Diferensial tənliyin həllini tapın.
Qərar. Bu tənliyi formada yazırıq. Həlli funksiyanı törəməsi ilə tapmaqdır. Orijinal funksiya, inteqral hesablamadan məlum olduğu kimi, üçün antitörəmədir, yəni.
Bu budur verilmiş diferensial tənliyin həlli . içində dəyişir C, biz müxtəlif həllər əldə edəcəyik. Birinci dərəcəli diferensial tənliyin sonsuz sayda həllinin olduğunu öyrəndik.
Diferensial tənliyin ümumi həlli n ci sıra naməlum funksiyaya münasibətdə açıq şəkildə ifadə edilən və ehtiva edən həllidir n müstəqil ixtiyari sabitlər, yəni.
1-ci misaldakı diferensial tənliyin həlli ümumidir.
Diferensial tənliyin qismən həlli onun həlli adlanır, burada ixtiyari sabitlərə xüsusi ədədi dəyərlər təyin olunur.
Misal 2 Diferensial tənliyin ümumi həllini və xüsusi həllini tapın 
.
Qərar. Tənliyin hər iki hissəsini bir neçə dəfə inteqrasiya edirik ki, diferensial tənliyin sırası bərabər olsun.
,
.
Nəticədə ümumi həll yolu tapdıq -
üçüncü dərəcəli diferensial tənlik verilmişdir.
İndi müəyyən şərtlərdə xüsusi bir həll tapaq. Bunu etmək üçün ixtiyari əmsallar əvəzinə onların dəyərlərini əvəz edirik və əldə edirik
.
Əgər diferensial tənliyə əlavə olaraq ilkin şərt şəklində verilirsə, belə bir məsələ adlanır. Cauchy problemi . və qiymətləri tənliyin ümumi həllində əvəz olunur və ixtiyari sabitin qiyməti tapılır. C, sonra tapılan dəyər üçün tənliyin xüsusi həlli C. Bu Koşi probleminin həllidir.
Misal 3 1-ci nümunədən diferensial tənlik üçün Koşi məsələsini şərtlə həll edin.
Qərar. Ümumi həlldə ilkin vəziyyətdən dəyərləri əvəz edirik y = 3, x= 1. Alırıq
Verilmiş birinci dərəcəli diferensial tənlik üçün Koşi məsələsinin həllini yazırıq:
Diferensial tənliklərin, hətta ən sadə tənliklərin həlli mürəkkəb funksiyalar da daxil olmaqla törəmələrin inteqrasiyası və götürülməsi üzrə yaxşı bacarıqlar tələb edir. Bunu aşağıdakı misalda görmək olar.
Misal 4 Diferensial tənliyin ümumi həllini tapın.
Qərar. Tənlik elə bir formada yazılıb ki, hər iki tərəf dərhal inteqrasiya olunsun.
.
Dəyişən (əvəzetmə) dəyişdirilərək inteqrasiya metodunu tətbiq edirik. Qoy o zaman.
Almaq tələb olunur dx indi isə - diqqət - biz bunu mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydalarına əsasən edirik, çünki x və mürəkkəb bir funksiya var ("alma" - kvadrat kök çıxarmaq və ya eynidir - "bir saniyə" gücə yüksəltmək və "qiymə" - kök altında ifadənin özü):
İnteqralı tapırıq:
Dəyişənlərə qayıdırıq x, alırıq:
.
Bu, birinci dərəcəli diferensial tənliyin ümumi həllidir.
Diferensial tənliklərin həllində təkcə ali riyaziyyatın əvvəlki bölmələrindən bacarıqlar deyil, həm də ibtidai, yəni məktəb riyaziyyatından bacarıqlar tələb olunacaq. Artıq qeyd edildiyi kimi, hər hansı bir sıralı diferensial tənlikdə müstəqil dəyişən, yəni dəyişən olmaya bilər. x. Məktəb skamyasından unudulmamış nisbətlər haqqında biliklər (lakin hər kəs bunu bəyənir) bu problemi həll etməyə kömək edəcəkdir. Bu növbəti nümunədir.