Matris terminini müəyyənləşdirin. §bir

Tərif 1. Matris A ölçüsümnədədlərdən və ya digər riyazi ifadələrdən (matris elementləri adlanır) ibarət m sətir və n sütundan ibarət düzbucaqlı cədvəldir, i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, və ya

Tərif 2. İki matris
və
eyni ölçüdə deyilir bərabərdir, əgər onlar elementə görə uyğun gəlirsə, yəni. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

Matrislərin köməyi ilə bəzi iqtisadi asılılıqları, məsələn, iqtisadiyyatın müəyyən sektorları üçün resursların bölüşdürülməsi cədvəllərini yazmaq asandır.

Tərif 3. Matris sətirlərinin sayı onun sütunlarının sayına uyğun gəlirsə, yəni. m = n, onda matris çağırılır kvadrat sifarişn, əks halda düzbucaqlı.

Tərif 4. A matrisindən A m matrisinə keçid, sətirlərin və sütunların nizamın qorunması ilə dəyişdirilməsi adlanır. transpozisiya matrislər.

Matrislərin növləri: kvadrat (ölçüsü 33) -
,

düzbucaqlı (ölçüsü 25) -
,

diaqonal -
, tək -
, sıfır -
,

matris sıra -
, matris-sütun -.

Tərif 5. Eyni indekslərə malik n sıralı kvadrat matrisin elementləri əsas diaqonalın elementləri adlanır, yəni. bunlar elementlərdir:
.

Tərif 6. N nizamlı kvadrat matrisin elementləri, indekslərinin cəmi n + 1-ə bərabər olduqda, ikinci dərəcəli diaqonal elementlər adlanır, yəni. bunlar elementlərdir: .

1.2. Matrislər üzərində əməliyyatlar.

1 0 . məbləğ iki matris
və
eyni ölçülü S = (с ij) matrisi adlanır ki, onun elementləri ij ​​= a ij + b ij , (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2) ilə bərabərliklə müəyyən edilir. ,3,…,n).

Matrisin toplanması əməliyyatının xassələri.

Eyni ölçülü A, B, C matrisləri üçün aşağıdakı bərabərliklər yerinə yetirilir:

1) A + B = B + A (kommutativlik),

2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (assosiativlik).

2 0 . iş matrislər
nömrə başına matris adlanır
A matrisi ilə eyni ölçüdə və b ij =  (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Matrisanı ədədə vurma əməliyyatının xassələri.

    (А) = ()А (vurmanın assosiativliyi);

    (А+В) = А+В (matrislərin toplanması ilə bağlı vurmanın paylanması);

    (+)A = A+A (ədədlərin toplanmasına görə vurmanın paylanması).

Tərif 7. Matrislərin xətti birləşməsi
və
eyni ölçülü A + B formasının ifadəsi adlanır, burada  və  ixtiyari ədədlərdir.

3 0 . Məhsul A Matrislərdə Müvafiq olaraq mn və nk ölçülü A və B mk ölçülü C matrisi adlanır ki, ij ilə element i-ci cərgənin elementlərinin hasillərinin cəminə bərabər olsun. A matrisinin və B matrisinin j-ci sütunu, yəni. ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj ilə.

AB məhsulu yalnız A matrisinin sütunlarının sayı B matrisinin sətirlərinin sayı ilə eyni olduqda mövcuddur.

Matris vurma əməliyyatının xüsusiyyətləri:

    (АВ)С = А(ВС) (assosiativlik);

    (А+В)С = АС+ВС (matrislərin əlavə edilməsi ilə bağlı paylanma);

    А(В+С) = АВ+АС (matrislərin toplanması ilə bağlı paylanma);

    АВ  ВА (kommutativlik deyil).

Tərif 8. AB = BA olan A və B matrisləri kommutasiya və ya dəyişdirmə adlanır.

İstənilən sıralı kvadrat matrisinin müvafiq eynilik matrisinə vurulması matrisi dəyişmir.

Tərif 9. Elementar çevrilmələr matrislər aşağıdakı əməliyyatlar adlanır:

    İki sıra (sütunları) dəyişdirin.

    Sətirin (sütun) hər bir elementini sıfırdan fərqli bir ədədə vurun.

    Bir sətrin (sütun) elementlərinə digər sətrin (sütun) uyğun elementlərinin əlavə edilməsi.

Tərif 10. A matrisindən elementar çevrilmələrin köməyi ilə alınan B matrisi adlanır ekvivalent(BA ilə işarələnir).

Misal 1.1.Əgər 2A–3B matrislərinin xətti kombinasiyasını tapın

,
.

,
,


.

Misal 1.2. Matrislərin hasilini tapın
, əgər

.

Həlli: birinci matrisin sütunlarının sayı ikinci matrisin sətirlərinin sayı ilə eyni olduğundan, matrisin məhsulu mövcuddur. Nəticədə yeni bir matris alırıq
, harada

Nəticədə alırıq
.

Mühazirə 2. Determinantlar. İkinci, üçüncü dərəcəli determinantların hesablanması. Kvalifikator xüsusiyyətlərin-ci sifariş.

>> Matrislər

4.1 Matrislər. Matris əməliyyatları

mxn ölçülü düzbucaqlı matris, m sətir və n sütundan ibarət düzbucaqlı cədvəldə yerləşdirilmiş mxn ədədlərinin toplusudur. Onu formada yazacağıq

və ya A = (a i j) (i = ; j = ) kimi qısaldılmış a i j ədədləri onun elementləri adlanır; birinci indeks sətir nömrəsini, ikinci indeks sütun nömrəsini göstərir. Eyni ölçülü A = (a i j) və B = (b i j) eyni yerlərdə olan elementləri cüt-cüt bərabər olduqda bərabər adlanır, yəni a i j = b i j olduqda A = B.

Bir sətir və ya bir sütundan ibarət olan matrisə müvafiq olaraq -sətir və ya sütun vektoru deyilir. Sütun vektorlarına və cərgə vektorlarına sadəcə vektorlar deyilir.

Bu ədədlə bir ədəddən ibarət matris eyniləşdirilir. Bütün elementləri sıfıra bərabər olan mxn ölçülü A sıfır adlanır və 0 ilə işarələnir. Eyni indeksli elementlər baş diaqonalın elementləri adlanır. Əgər sətirlərin sayı sütunların sayına bərabərdirsə, yəni m = n, onda matrisin n sırasının kvadratı olduğu deyilir. Yalnız əsas diaqonalın elementləri sıfırdan fərqli olan kvadrat matrislər diaqonal matrislər adlanır və aşağıdakı kimi yazılır:

.

Əgər diaqonalın bütün a i i elementləri 1-ə bərabərdirsə, o zaman vahid adlanır və E hərfi ilə işarələnir:

.

Əsas diaqonaldan yuxarıda (və ya aşağıda) bütün elementlər sıfıra bərabərdirsə, kvadrat matris üçbucaqlı adlanır. Transpozisiya sətirlərin və sütunların nömrələrini saxlayaraq dəyişdirildiyi bir çevrilmədir. Transpozisiya yuxarıda T hərfi ilə göstərilir.

Əgər (4.1)-də sətirləri sütunlarla yenidən düzəldiriksə, onda alırıq

,

A-ya münasibətdə köçürüləcək. Xüsusilə, sütun vektorunun köçürülməsi sıra vektoru ilə nəticələnir və əksinə.

A-nın b ədədinə hasili, elementləri A-nın müvafiq elementlərindən b ədədinə vurulmaqla alınan matrisdir: b A = (b a i j).

Eyni ölçülü A = (a i j) və B = (b i j) cəmi eyni ölçülü C = (c i j) olur, elementləri c i j = a i j + b i j düsturu ilə müəyyən edilir.

AB məhsulu A-dakı sütunların sayının B-dəki sətirlərin sayına bərabər olduğu fərziyyəsi ilə müəyyən edilir.

Müəyyən AB qaydasında verilmiş i = , j= , k= olduğu A = (a i j) və B = (b j k) olan AB məhsulu C = (c i k), elementləri ilə müəyyən edilir. aşağıdakı qayda:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k. (4.2)

Başqa sözlə, AB hasilinin elementi aşağıdakı kimi müəyyən edilir: i-ci sətirin və k-ci sütunun C elementi i-ci sətirin A elementlərinin hasillərinin cəminə bərabərdir. k-ci sütunun müvafiq elementləri B.

Misal 2.1. AB və -nin hasilini tapın.

Qərar. Bizdə: A ölçüsü 2x3, B ölçüsü 3x3, onda AB = C hasilatı mövcuddur və C elementləri bərabərdir.

С 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, с 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, с 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10 .

, və BA məhsulu mövcud deyil.

Misal 2.2. Cədvəldə gündəlik olaraq 1 və 2 nömrəli süd zavodlarından M 1, M 2 və M 3 mağazalara göndərilən məhsul vahidlərinin sayı göstərilir və hər bir süd müəssisəsindən M 1 anbarına bir məhsul vahidinin çatdırılması 50 den-a başa gəlir. ədəd, mağazada M 2 - 70 və M 3 - 130 den. vahidlər Hər bir zavodun gündəlik nəqliyyat xərclərini hesablayın.

süd

Qərar. Şərtdə bizə verilən matrisi A ilə və ilə işarələyin
B - bir məhsul vahidinin mağazalara çatdırılması xərclərini xarakterizə edən bir matris, yəni.

,

Sonra nəqliyyat xərcləri matrisi belə görünəcək:

.

Belə ki, birinci zavod nəqliyyata gündəlik 4750 den xərcləyir. vahid, ikinci - 3680 den.un.

Misal 2.3. Tikiş müəssisəsi qış paltoları, demi-sezon paltoları və paltolar istehsal edir. Onillik üçün planlaşdırılan məhsul X = (10, 15, 23) vektoru ilə xarakterizə olunur. Dörd növ parça istifadə olunur: T 1 , T 2 , T 3 , T 4 . Cədvəldə hər bir məhsul üçün parça sərfi dərəcələri (metrlə) göstərilir. C = (40, 35, 24, 16) vektoru hər növ parçanın bir metrinin qiymətini, P = (5, 3, 2, 2) vektoru - hər birinin bir metr parçanın daşınması xərclərini göstərir. növü.

Parça istehlakı

Qış paltosu

Demi palto

1. Planı tamamlamaq üçün hər növ parçadan neçə metr tələb olunacaq?

2. Hər bir məhsul növünün tikilməsi üçün istifadə olunan parçanın dəyərini tapın.

3. Planı tamamlamaq üçün lazım olan bütün parçaların dəyərini müəyyənləşdirin.

Qərar. Şərtdə bizə verilən matrisi A ilə işarə edək, yəni.

,

sonra planı tamamlamaq üçün lazım olan parça metr sayını tapmaq üçün X vektorunu A matrisinə vurmaq lazımdır:

Hər növ məhsulun tikilməsi üçün sərf olunan parçanın dəyəri A matrisini və C T vektorunu vurmaqla tapılır:

.

Planı tamamlamaq üçün lazım olan bütün parçaların dəyəri düsturla müəyyən ediləcək:

Nəhayət, nəqliyyat xərclərini nəzərə alaraq, bütün məbləğ parçanın dəyərinə bərabər olacaqdır, yəni. 9472 den. vahidlər, üstəgəl dəyər

X A P T =
.

Beləliklə, X A C T + X A P T \u003d 9472 + 1037 \u003d 10509 (den. vahid).

Matris böyük latın hərfləri ilə işarələnir ( AMMA, AT, İLƏ,...).

Tərif 1. Formanın düzbucaqlı cədvəli,

ibarət m xətlər və n sütunlar adlanır matris.

Matris elementi, i – sətir nömrəsi, j – sütun nömrəsi.

Matrislərin növləri:

əsas diaqonalda elementlər:

trA=a 11 +a 22 +a 33 +…+a nn .

§2. 2-ci, 3-cü və n-ci dərəcəli təyinedicilər

İki kvadrat matris verilsin:

Tərif 1. Matrisin ikinci dərəcəli təyinedicisi AMMA 1 ∆ ilə işarələnmiş və bərabər olan ədəddir , harada

Misal. 2-ci dərəcəli determinantı hesablayın:

Tərif 2. Kvadrat matrisin 3-cü dərəcəli təyinedicisi AMMA 2 formanın bir sıra adlanır:

Bu, determinantı hesablamaq üçün bir yoldur.

Misal. Hesablayın

Tərif 3. Əgər determinant n-sətir və n-sütunlardan ibarətdirsə, ona n-ci dərəcəli determinant deyilir.

Determinantların xüsusiyyətləri:

    Transpozisiya zamanı determinant dəyişmir (yəni, sıranı qoruyarkən içindəki sətirlər və sütunlar bir-birini əvəz edərsə).

    Əgər determinantda hər hansı iki sətir və ya iki sütun əvəzlənirsə, onda determinant yalnız işarəni dəyişir.

    İstənilən sətirin (sütun) ümumi amili təyinedicinin işarəsindən çıxarıla bilər.

    Əgər müəyyənedicinin hər hansı sətirinin (sütununun) bütün elementləri sıfıra bərabərdirsə, onda determinant sıfıra bərabərdir.

    Hər iki cərgənin elementləri bərabər və ya mütənasib olarsa, determinant sıfırdır.

    Eyni ədədə vurulan başqa sətrin (sütun) uyğun elementləri hər hansı sətrin (sütun) elementlərinə əlavə olunarsa, determinant dəyişmir.

Misal.

Tərif 4. Sütun və sətrin silinməsi ilə veriləndən alınan determinant deyilir azyaşlı müvafiq element. M ij elementi a ij .

Tərif 5. Cəbri əlavə a ij elementi ifadə adlanır

§3. Matris hərəkətləri

Xətti əməliyyatlar

1) Matrislər əlavə edilərkən onların eyniadlı elementləri əlavə edilir.

    Matrislər çıxılarkən onların eyniadlı elementləri çıxarılır.

    Bir matrisi ədədə vurarkən, matrisin hər bir elementi həmin ədədə vurulur:

3.2 Matrisin vurulması.

iş matrislər AMMA matrisə AT elementləri matrisin i-ci sətirinin elementlərinin hasillərinin cəminə bərabər olan yeni matrisdir. AMMA matrisin j-ci sütununun müvafiq elementlərinə AT. Matris məhsulu AMMA matrisə AT yalnız matrisin sütunlarının sayı olduqda tapıla bilər AMMA matrisin sıralarının sayına bərabərdir AT.Əks halda iş mümkün deyil.

Şərh:

(kommutativlik xüsusiyyətinə tabe deyil)

§ 4. Tərs matris

Tərs matris yalnız kvadrat matris üçün mövcuddur və matris tək olmayan olmalıdır.

Tərif 1. Matris AMMAçağırdı qeyri-degenerasiya bu matrisin təyinedicisi sıfıra bərabər deyilsə

Tərif 2. AMMA-1 zəng tərs matris verilmiş qeyri-sinqulyar kvadrat matris üçün AMMA, əgər bu matrisi verilmiş birinə vurarkən sağda, onda solda eynilik matrisi alınır.

Tərs matrisin hesablanması alqoritmi

1 yol (cəbri əlavələrdən istifadə etməklə)

Misal 1:

1-ci kurs, ali riyaziyyat, təhsil matrislər və onlar üzrə əsas hərəkətlər. Burada matrislərlə yerinə yetirilə bilən əsas əməliyyatları sistemləşdiririk. Matrislərlə necə başlamaq olar? Əlbəttə ki, ən sadədən - təriflər, əsas anlayışlar və ən sadə əməliyyatlar. Sizi əmin edirik ki, matrislər onlara az da olsa vaxt ayıran hər kəs tərəfindən başa düşüləcək!

Matris tərifi

Matris elementlərin düzbucaqlı cədvəlidir. Yaxşı, əgər sadə sözlərlə - rəqəmlər cədvəli.

Matrislər adətən böyük Latın hərfləri ilə işarələnir. Məsələn, matris A , matris B və s. Matrislər müxtəlif ölçülərdə ola bilər: düzbucaqlı, kvadrat, vektor adlanan sıra matrisləri və sütun matrisləri də var. Matrisin ölçüsü satır və sütunların sayı ilə müəyyən edilir. Məsələn, ölçülü düzbucaqlı matrisa yazaq m üstündə n , harada m sətirlərin sayıdır və n sütunların sayıdır.

Bunun üçün elementlər i=j (a11, a22, .. ) matrisin baş diaqonalını təşkil edir və diaqonal adlanır.

Matrislərlə nə etmək olar? Əlavə et/çıx, ədədlə çarpın, öz aralarında çoxalırlar, köçürmək. İndi ardıcıllıqla matrislər üzərində bütün bu əsas əməliyyatlar haqqında.

Matrisin toplama və çıxma əməliyyatları

Dərhal xəbərdarlıq edirik ki, yalnız eyni ölçülü matrislər əlavə edə bilərsiniz. Nəticə eyni ölçülü matrisdir. Matrisləri əlavə etmək (və ya çıxmaq) asandır - sadəcə onlara uyğun elementləri əlavə edin . Bir misal götürək. Ölçüsü iki-iki olan iki A və B matrisinin əlavəsini yerinə yetirək.

Çıxarma bənzətmə ilə, yalnız əks işarə ilə həyata keçirilir.

İstənilən matris ixtiyari bir ədədə vurula bilər. Bunu etmək, onun elementlərinin hər birini bu rəqəmə vurmaq lazımdır. Məsələn, birinci misaldan A matrisini 5 rəqəminə vuraq:

Matris vurma əməliyyatı

Bütün matrisləri bir-biri ilə çoxaltmaq olmur. Məsələn, bizdə iki matris var - A və B. Onlar yalnız A matrisinin sütunlarının sayı B matrisinin sətirlərinin sayına bərabər olduqda bir-birinə vurula bilər. Bundan başqa, i-ci sətirdə və j-ci sütunda nəticələnən matrisin hər bir elementi birinci amilin i-ci sətirinin və ikincinin j-ci sütununun müvafiq elementlərinin hasillərinin cəminə bərabər olacaqdır.. Bu alqoritmi başa düşmək üçün iki kvadrat matrisin necə vurulduğunu yazaq:

Və real ədədlərlə bir nümunə. Matrisləri çoxaldaq:

Matrisin köçürülməsi əməliyyatı

Matrisin köçürülməsi müvafiq sətirlərin və sütunların dəyişdirildiyi əməliyyatdır. Məsələn, birinci misaldan A matrisini köçürürük:

Matris təyinedicisi

Determinant, ey determinant, xətti cəbrin əsas anlayışlarından biridir. Bir zamanlar insanlar xətti tənliklərlə çıxış etdilər və onlardan sonra müəyyənedici icad etməli oldular. Sonda, bütün bunlarla məşğul olmaq sizə bağlıdır, buna görə də son təkan!

Determinant bir çox məsələləri həll etmək üçün lazım olan kvadrat matrisin ədədi xarakteristikasıdır.
Ən sadə kvadrat matrisin determinantını hesablamaq üçün əsas və ikinci dərəcəli diaqonalların elementlərinin məhsulları arasındakı fərqi hesablamaq lazımdır.

Birinci dərəcəli, yəni bir elementdən ibarət olan matrisin təyinedicisi bu elementə bərabərdir.

Bəs matris üçə üç olarsa? Bu daha çətindir, lakin bunu etmək olar.

Belə bir matris üçün determinantın qiyməti əsas diaqonalın elementlərinin hasillərinin və əsas diaqonala paralel üzlü üçbucaqlar üzərində uzanan elementlərin məhsullarının cəminə bərabərdir, ondan elementlərin hasilidir. ikinci dərəcəli diaqonalın və üzü ikinci dərəcəli diaqonala paralel olan üçbucaqların üzərində yerləşən elementlərin hasili çıxarılır.

Xoşbəxtlikdən, praktikada böyük matrislərin təyinedicilərini hesablamaq nadir hallarda lazımdır.

Burada matrislər üzərində əsas əməliyyatları nəzərdən keçirdik. Əlbəttə ki, real həyatda siz heç vaxt matris tənliklər sisteminin işarəsinə belə rast gələ bilməzsiniz və ya əksinə, həqiqətən də beyninizi qarışdırmaq məcburiyyətində qaldığınız zaman daha mürəkkəb hallarla qarşılaşa bilərsiniz. Məhz belə hallar üçün peşəkar tələbə xidməti var. Kömək istəyin, yüksək keyfiyyətli və ətraflı həll yolu əldə edin, akademik uğurdan və boş vaxtdan həzz alın.

Bu mövzuda biz matris anlayışını, eləcə də matrislərin növlərini nəzərdən keçirəcəyik. Bu mövzuda çoxlu terminlər olduğundan, materialda naviqasiyanı asanlaşdırmaq üçün xülasə əlavə edəcəyəm.

Matris və onun elementinin tərifi. Qeyd.

Matris$m$ sətirləri və $n$ sütunları olan cədvəldir. Matrisin elementləri tamamilə müxtəlif təbiətli obyektlər ola bilər: ədədlər, dəyişənlər və ya, məsələn, digər matrislər. Məsələn, $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ matrisi 3 sətir və 2 sütundan ibarətdir; onun elementləri tam ədədlərdir. $\left(\begin(massiv) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(massiv) \sağ)$ matrisi 2 sətir və 4 sütundan ibarətdir.

Matrisləri yazmağın müxtəlif yolları: göstər\gizlət

Matris təkcə dairəvi mötərizədə deyil, həm də kvadrat və ya ikiqat düz mötərizədə yazıla bilər. Yəni, aşağıdakı qeydlər eyni matrisi ifadə edir:

$$ \left(\begin(massiv) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(massiv) \sağ);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(massiv) \right]; \;\; \left \Vert \begin(massiv) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(massiv) \right \Vert $$

$m\times n$ məhsulu adlanır matrisin ölçüsü. Məsələn, əgər matrisdə 5 sətir və 3 sütun varsa, onda biri $5\x3$ matrisindən danışır. $\left(\begin(massiv)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(massiv)\right)$ matrisinin ölçüsü $3 \x2$-dır.

Matrislər adətən latın əlifbasının böyük hərfləri ilə işarələnir: $A$, $B$, $C$ və s. Məsələn, $B=\left(\begin(massiv) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(massiv) \right)$. Sətirlərin nömrələnməsi yuxarıdan aşağıya doğru gedir; sütunlar - soldan sağa. Məsələn, $B$ matrisinin birinci sətrində 5 və 3 elementləri, ikinci sütunda isə 3, -87, 0 elementləri var.

Matrislərin elementləri adətən kiçik hərflərlə işarələnir. Məsələn, $A$ matrisinin elementləri $a_(ij)$ ilə işarələnir. $ij$ ikiqat indeksi elementin matrisdəki mövqeyi haqqında məlumatı ehtiva edir. $i$ rəqəmi sətrin nömrəsidir, $j$ rəqəmi isə kəsişməsində $a_(ij)$ elementinin yerləşdiyi sütunun nömrəsidir. Məsələn, matrisin ikinci sətri ilə beşinci sütununun kəsişməsində $A=\left(\begin(massiv) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(massiv) \sağ)$ elementi $ a_(25)= $59:

Eynilə, birinci sətirlə birinci sütunun kəsişməsində $a_(11)=51$ elementi var; üçüncü sıra ilə ikinci sütunun kəsişməsində - element $a_(32)=-15$ və s. Qeyd edək ki, $a_(32)$ "üç iki" kimi oxunur, lakin "otuz iki" deyil.

Ölçüsü $m\dəfə n$-a bərabər olan $A$ matrisinin qısaldılmış təyini üçün $A_(m\təfə n)$ qeydindən istifadə olunur. Bir az ətraflı yaza bilərsiniz:

$$ A_(m\dəfə n)=(a_(ij)) $$

burada $(a_(ij))$ qeydi $A$ matrisinin elementlərini bildirir. Tam genişləndirilmiş formada $A_(m\times n)=(a_(ij))$ matrisi aşağıdakı kimi yazıla bilər:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(massiv)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(massiv) \sağ) $$

Başqa bir termin təqdim edək - bərabər matrislər.

Eyni ölçülü iki $A_(m\times n)=(a_(ij))$ və $B_(m\times n)=(b_(ij))$ adlanır bərabərdir onların müvafiq elementləri bərabərdirsə, yəni. Bütün $i=\overline(1,m)$ və $j=\overline(1,n)$ üçün $a_(ij)=b_(ij)$.

$i=\overline(1,m)$ girişi üçün izahat: göstər\gizlət

"$i=\overline(1,m)$" qeydi $i$ parametrinin 1-dən m-ə dəyişdiyini bildirir. Məsələn, $i=\overline(1,5)$ girişində deyilir ki, $i$ parametri 1, 2, 3, 4, 5 dəyərlərini qəbul edir.

Beləliklə, matrislərin bərabərliyi üçün iki şərt tələb olunur: ölçülərin üst-üstə düşməsi və uyğun elementlərin bərabərliyi. Məsələn, $A=\left(\begin(massiv)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(massiv)\right)$ matrisi matrisə bərabər deyil $B=\left(\ begin(massiv)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(massiv)\right)$ çünki $A$ matrisi $3\qat 2$ və $B$ matrisi $2\ dəfə 2$. Həmçinin $A$ matrisi $C=\left(\begin(massiv)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​0\end(massiv)\sağ) matrisinə bərabər deyil. $ çünki $a_( 21)\neq c_(21)$ (yəni $0\neq 98$). Lakin $F=\left(\begin(massiv)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(massiv)\right)$ matrisi üçün təhlükəsiz şəkildə $A yaza bilərik. =F$ çünki $A$ və $F$ matrislərinin həm ölçüləri, həm də müvafiq elementləri üst-üstə düşür.

Nümunə №1

$A=\left(\begin(massiv) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & matrisinin ölçüsünü müəyyən edin. -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\ \end(massiv) \sağ)$. $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ elementlərinin nəyə bərabər olduğunu göstərin.

Bu matrisdə 5 sətir və 3 sütun var, ona görə də onun ölçüsü $5\x3$-dır. Bu matris üçün $A_(5\dəfə 3)$ qeydindən də istifadə etmək olar.

$a_(12)$ elementi birinci sətirlə ikinci sütunun kəsişməsində yerləşir, ona görə də $a_(12)=-2$. $a_(33)$ elementi üçüncü sıra ilə üçüncü sütunun kəsişməsində yerləşir, ona görə də $a_(33)=23$. $a_(43)$ elementi dördüncü sıra ilə üçüncü sütunun kəsişməsində yerləşir, ona görə də $a_(43)=-5$.

Cavab verin: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Ölçülərindən asılı olaraq matrislərin növləri. Əsas və yan diaqonallar. Matris izi.

Bəzi $A_(m\times n)$ matrisi verilsin. Əgər $m=1$ (matris bir cərgədən ibarətdir), onda verilmiş matris adlanır. matris sıra. Əgər $n=1$ (matris bir sütundan ibarətdir), onda belə bir matris deyilir sütun matrisi. Məsələn, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ sətir matrisidir və $\left(\begin(massiv) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(massiv) \right)$ - sütun matrisi.

Əgər $A_(m\times n)$ matrisi üçün $m\neq n$ şərti doğrudursa (yəni sətirlərin sayı sütunların sayına bərabər deyil), onda çox vaxt deyilir ki, $A$ düzbucaqlı matris. Məsələn, $\left(\begin(massiv) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(massiv) \right)$ matrisinin ölçüsü $2\ dəfə 4-ə bərabərdir. $, bunlar. 2 sətir və 4 sütundan ibarətdir. Satırların sayı sütunların sayına bərabər olmadığı üçün bu matris düzbucaqlıdır.

Əgər $A_(m\times n)$ matrisi üçün $m=n$ şərti doğrudursa (yəni sətirlərin sayı sütunların sayına bərabərdir), onda $A$-ın kvadrat matrisi deyilir. $n$ sifariş edin. Məsələn, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ ikinci dərəcəli kvadrat matrisdir; $\left(\begin(massiv) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(massiv) \right)$ 3-cü dərəcəli kvadrat matrisdir. Ümumilikdə $A_(n\times n)$ kvadrat matrisini aşağıdakı kimi yazmaq olar:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(massiv)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(massiv) \sağ) $$

$a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ elementlərinin açıq olduğu deyilir. əsas diaqonal$A_(n\dəfə n)$ matrisləri. Bu elementlər adlanır əsas diaqonal elementlər(və ya sadəcə diaqonal elementlər). $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ elementləri aktivdir yan (ikinci dərəcəli) diaqonal; çağırırlar ikinci dərəcəli diaqonal elementlər. Məsələn, $C=\left(\begin(massiv)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end() matrisi üçün massiv) \right)$ bizdə:

$c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ elementləri əsas diaqonal elementlərdir; $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ elementləri ikinci dərəcəli diaqonal elementlərdir.

Əsas diaqonal elementlərin cəminə deyilir ardınca matris gəlir və $\Tr A$ (və ya $\Sp A$) ilə işarələnir:

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Məsələn, $C=\left(\begin(massiv) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- matrisi üçün 4 & -9 & 5 & 6 \end(massiv)\sağ)$ bizdə:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Diaqonal elementlər anlayışı kvadrat olmayan matrislər üçün də istifadə olunur. Məsələn, $B=\left(\begin(massiv) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 matrisi üçün & - 7 & -6 \end(massiv) \right)$ əsas diaqonal elementlər $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$ olacaq.

Elementlərinin dəyərlərindən asılı olaraq matrislərin növləri.

Əgər $A_(m\times n)$ matrisinin bütün elementləri sıfıra bərabərdirsə, belə bir matris adlanır. sıfır və adətən $O$ hərfi ilə işarələnir. Məsələn, $\left(\begin(massiv) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(massiv) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(massiv) \right)$ sıfır matrislərdir.

$A_(m\times n)$ matrisi belə görünsün:

Sonra bu matris deyilir trapezoidal. O, sıfır cərgədən ibarət olmaya bilər, lakin onlar varsa, matrisin aşağı hissəsində yerləşirlər. Daha ümumi formada trapezoidal matris aşağıdakı kimi yazıla bilər:

Yenə də arxadakı boş sətirlər isteğe bağlıdır. Bunlar. formal olaraq, trapezoidal matris üçün aşağıdakı şərtləri ayıra bilərik:

  1. Əsas diaqonalın altındakı bütün elementlər sıfıra bərabərdir.
  2. Əsas diaqonalda yerləşən $a_(11)$-dan $a_(rr)$-a qədər olan bütün elementlər sıfıra bərabər deyil: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
  3. Ya son $m-r$ sətirlərinin bütün elementləri sıfıra bərabərdir, ya da $m=r$ (yəni, ümumiyyətlə sıfır sətir yoxdur).

Trapezoidal matrislərin nümunələri:

Gəlin növbəti tərifə keçək. $A_(m\times n)$ matrisi adlanır addımladı aşağıdakı şərtlərə cavab verərsə:


Məsələn, addım matrisləri:

Müqayisə üçün $\left(\begin(massiv) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & matrisi 0 & 0 \end(massiv)\right)$ pilləli deyil, çünki üçüncü sıra ikinci sıra ilə eyni sıfır hissəsinə malikdir. Yəni “xətt nə qədər aşağı olarsa – sıfır hissəsi bir o qədər çox olar” prinsipi pozulur. Əlavə edəcəyəm ki, trapezoidal matris pilləli matrisin xüsusi bir halıdır.

Gəlin növbəti tərifə keçək. Əsas diaqonalın altında yerləşən kvadrat matrisin bütün elementləri sıfıra bərabərdirsə, belə bir matris deyilir. yuxarı üçbucaqlı matris. Məsələn, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(massiv) \right)$ - yuxarı üçbucaqlı matris. Qeyd edək ki, yuxarı üçbucaqlı matrisin tərifi əsas diaqonalın üstündə və ya əsas diaqonalda yerləşən elementlərin dəyərləri haqqında heç nə demir. Onlar sıfır ola bilər, olmaya da bilər, fərqi yoxdur. Məsələn, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ həm də yuxarı üçbucaqlı matrisdir.

Əsas diaqonalın üstündə yerləşən kvadrat matrisin bütün elementləri sıfıra bərabərdirsə, belə bir matris deyilir. aşağı üçbucaqlı matris. Məsələn, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(massiv) \right)$ - aşağı üçbucaqlı matris. Qeyd edək ki, aşağı üçbucaqlı matrisin tərifi əsas diaqonalın altında və ya üzərində yerləşən elementlərin dəyərləri haqqında heç nə demir. Onlar sıfır ola bilər və ya olmaya bilər, fərqi yoxdur. Məsələn, $\left(\begin(massiv) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(massiv) \right)$ və $\left(\ start (massiv) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ həm də aşağı üçbucaqlı matrislərdir.

Kvadrat matrisa deyilir diaqonaləgər bu matrisin əsas diaqonalda olmayan bütün elementləri sıfıra bərabərdirsə. Misal: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(massiv)\sağ)$. Əsas diaqonaldakı elementlər hər hansı bir şey ola bilər (sıfıra bərabər və ya yox) - bu vacib deyil.

Diaqonal matris deyilir subayəgər bu matrisin əsas diaqonalda yerləşən bütün elementləri 1-ə bərabərdirsə. Məsələn, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(massiv)\right)$ - 4-cü sıra eynilik matrisi; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(massiv)\right)$ ikinci dərəcəli eynilik matrisidir.