Nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini necə yazmaq olar. Verilmiş iki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi: misallar, həllər

Bu məqalə müstəvidə düz xəttin tənliyi mövzusunu davam etdirir: düz xəttin ümumi tənliyi kimi belə bir tənlik növünü nəzərdən keçirin. Bir teoremi təyin edək və onun isbatını verək; Bir düz xəttin natamam ümumi tənliyinin nə olduğunu və ümumi tənlikdən düz xəttin digər tənlik növlərinə necə keçid edəcəyini anlayaq. Bütün nəzəriyyəni illüstrasiyalar və praktiki problemlərin həlli ilə birləşdirəcəyik.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Müstəvidə O x y düzbucaqlı koordinat sistemi verilsin.

Teorem 1

A x + B y + C \u003d 0 şəklində olan birinci dərəcəli hər hansı bir tənlik, burada A, B, C bəzi həqiqi ədədlərdir (A və B eyni zamanda sıfıra bərabər deyil) bir düz xətt təyin edir. müstəvidə düzbucaqlı koordinat sistemi. Öz növbəsində, müstəvidəki düzbucaqlı koordinat sistemindəki hər hansı bir xətt müəyyən A, B, C dəyərlər dəsti üçün A x + B y + C = 0 formasına malik olan bir tənliklə müəyyən edilir.

Sübut

Bu teorem iki nöqtədən ibarətdir, onların hər birini sübut edəcəyik.

Sübut edək ki, A x + B y + C = 0 tənliyi müstəvidə xətti təyin edir.

Koordinatları A x + B y + C = 0 tənliyinə uyğun gələn bəzi M 0 (x 0 , y 0) nöqtəsi olsun. Beləliklə: A x 0 + B y 0 + C = 0 . A x + B y + C \u003d 0 tənliklərinin sol və sağ tərəflərindən A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 tənliyinin sol və sağ tərəflərini çıxarırıq, A kimi görünən yeni bir tənlik alırıq. (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . A x + B y + C = 0-a bərabərdir.

Nəticədə A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 tənliyi n → = (A, B) və M 0 M → = (x - x) vektorlarının perpendikulyarlığı üçün zəruri və kafi şərtdir. 0, y - y 0 ). Beləliklə, M (x, y) nöqtələr çoxluğu düzbucaqlı koordinat sistemində n → = (A, B) vektorunun istiqamətinə perpendikulyar olan düz xətti müəyyən edir. Bunun belə olmadığını güman edə bilərik, lakin onda n → = (A, B) və M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vektorları perpendikulyar olmayacaq və A (x -) bərabərliyi. x 0 ) + B (y - y 0) = 0 doğru olmazdı.

Buna görə də, A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 tənliyi müstəvidə düzbucaqlı koordinat sistemində müəyyən bir xətti müəyyənləşdirir və buna görə də ekvivalent tənlik A x + B y + C \u003d 0 eyni xətti müəyyən edir. Beləliklə, teoremin birinci hissəsini sübut etdik.

Sübut edək ki, müstəvidə düzbucaqlı koordinat sistemində istənilən düz xətti birinci dərəcəli A x + B y + C = 0 tənliyi ilə vermək olar.

Müstəvidə düzbucaqlı koordinat sistemində a düz xəttini təyin edək; bu xəttin keçdiyi M 0 (x 0 , y 0) nöqtəsi, həmçinin bu xəttin normal vektoru n → = (A , B) .

M (x , y) nöqtəsi də mövcud olsun - xəttin üzən nöqtəsi. Bu halda n → = (A , B) və M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) vektorları bir-birinə perpendikulyardır və onların skalyar hasilatı sıfırdır:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 tənliyini yenidən yazaq, C: C = - A x 0 - B y 0 tənliyini təyin edək və nəhayət A x + B y + C = 0 tənliyini əldə edək.

Beləliklə, biz teoremin ikinci hissəsini isbat etdik və bütün teoremi bütövlükdə sübut etdik.

Tərif 1

kimi görünən bir tənlik A x + B y + C = 0 - Bu düz xəttin ümumi tənliyi düzbucaqlı koordinat sistemində müstəvidəO x y .

Sübut edilmiş teoremə əsaslanaraq belə nəticəyə gəlmək olar ki, sabit düzbucaqlı koordinat sistemində müstəvidə verilmiş düz xətt və onun ümumi tənliyi ayrılmaz şəkildə bağlıdır. Başqa sözlə, ilkin xətt onun ümumi tənliyinə uyğundur; düz xəttin ümumi tənliyi verilmiş düz xəttə uyğundur.

Teoremin isbatından da belə çıxır ki, x və y dəyişənləri üçün A və B əmsalları A x + B y + düz xəttinin ümumi tənliyi ilə verilən düz xəttin normal vektorunun koordinatlarıdır. C = 0.

Düz xəttin ümumi tənliyinin konkret nümunəsini nəzərdən keçirək.

Verilmiş düzbucaqlı koordinat sistemində düz xəttə uyğun gələn 2 x + 3 y - 2 = 0 tənliyi verilsin. Bu xəttin normal vektoru vektordur n → = (2, 3). Rəsmdə verilmiş düz xətti çəkin.

Aşağıdakıları da mübahisə etmək olar: rəsmdə gördüyümüz düz xətt 2 x + 3 y - 2 = 0 ümumi tənliyi ilə müəyyən edilir, çünki verilmiş düz xəttin bütün nöqtələrinin koordinatları bu tənliyə uyğundur.

Ümumi düz xətt tənliyinin hər iki tərəfini sıfırdan fərqli λ ədədinə vurmaqla λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 tənliyini əldə edə bilərik. Yaranan tənlik orijinal ümumi tənliyə bərabərdir, buna görə də müstəvidə eyni xətti təsvir edəcəkdir.

Tərif 2

Düz xəttin tam ümumi tənliyi- A, B, C nömrələrinin sıfırdan fərqli olduğu A x + B y + C \u003d 0 xəttinin belə bir ümumi tənliyi. Əks halda, tənlik belədir natamam.

Düz xəttin natamam ümumi tənliyinin bütün variasiyalarını təhlil edək.

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 olduqda, ümumi tənlik B y + C \u003d 0 olur. Belə natamam ümumi tənlik O x oxuna paralel olan düzbucaqlı koordinat sistemində O x y düz xəttini təyin edir, çünki x-in istənilən real dəyəri üçün y dəyişəni dəyərini alacaqdır. - C B. Başqa sözlə, A x + B y + C \u003d 0 xəttinin ümumi tənliyi, A \u003d 0, B ≠ 0 olduqda, koordinatları eyni ədədə bərabər olan nöqtələrin yerini (x, y) təyin edir. - C B.
A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0 olarsa, ümumi tənlik y \u003d 0 olur. Belə natamam tənlik x oxunu təyin edir O x .
A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0 olduqda, y oxuna paralel düz xətti təyin edən natamam ümumi A x + C \u003d 0 tənliyini alırıq.
A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0 olsun, onda natamam ümumi tənlik x \u003d 0 formasını alacaq və bu, O y koordinat xəttinin tənliyidir.
Nəhayət, A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0 olduqda, natamam ümumi tənlik A x + B y \u003d 0 formasını alır. Və bu tənlik başlanğıcdan keçən düz xətti təsvir edir. Həqiqətən də, ədədlər cütü (0 , 0) A x + B y = 0 bərabərliyinə uyğundur, çünki A · 0 + B · 0 = 0 .

Düz xəttin natamam ümumi tənliyinin yuxarıda göstərilən bütün növlərini qrafik şəkildə təsvir edək.

Misal 1

Məlumdur ki, verilmiş düz xətt y oxuna paraleldir və 2 7 , - 11 nöqtəsindən keçir. Verilmiş düz xəttin ümumi tənliyini yazmaq lazımdır.

Qərar

Y oxuna paralel düz xətt A ≠ 0 olan A x + C \u003d 0 formasının tənliyi ilə verilir. Şərt xəttin keçdiyi nöqtənin koordinatlarını da müəyyən edir və bu nöqtənin koordinatları natamam ümumi A x + C = 0 tənliyinin şərtlərinə uyğundur, yəni. bərabərlik düzgündür:

A 2 7 + C = 0

Ondan A-ya sıfırdan fərqli qiymət verməklə C müəyyən etmək olar, məsələn, A = 7 . Bu vəziyyətdə alırıq: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. Biz həm A, həm də C əmsallarını bilirik, onları A x + C = 0 tənliyində əvəz edirik və xəttin tələb olunan tənliyini əldə edirik: 7 x - 2 = 0

Cavab: 7 x - 2 = 0

Misal 2

Rəsmdə düz xətt göstərilir, onun tənliyini yazmaq lazımdır.

Qərar

Verilmiş rəsm problemin həlli üçün ilkin məlumatları asanlıqla götürməyə imkan verir. Rəsmdə görürük ki, verilmiş xətt O x oxuna paraleldir və (0 , 3) nöqtəsindən keçir.

Absisə paralel olan düz xətt natamam ümumi B y + С = 0 tənliyi ilə müəyyən edilir. B və C qiymətlərini tapın. (0, 3) nöqtəsinin koordinatları, verilmiş düz xətt ondan keçdiyi üçün B y + С = 0 düz xəttinin tənliyini ödəyəcək, onda bərabərlik etibarlıdır: В · 3 + С = 0. Gəlin B-ni sıfırdan başqa bir qiymətə təyin edək. Tutaq ki, B \u003d 1, bu halda B · 3 + C \u003d 0 bərabərliyindən C: C \u003d - 3 tapa bilərik. B və C-nin məlum qiymətlərindən istifadə edərək, düz xəttin tələb olunan tənliyini əldə edirik: y - 3 = 0.

Cavab: y - 3 = 0 .

Müstəvinin verilmiş nöqtəsindən keçən düz xəttin ümumi tənliyi

Verilmiş xətt M 0 (x 0, y 0) nöqtəsindən keçsin, onda onun koordinatları xəttin ümumi tənliyinə uyğundur, yəni. bərabərlik doğrudur: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Düz xəttin ümumi tam tənliyinin sol və sağ tərəflərindən bu tənliyin sol və sağ tərəflərini çıxarın. Alırıq: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, bu tənlik orijinal ümumiyə ekvivalentdir, M 0 (x 0, y 0) nöqtəsindən keçir və bir var normal vektor n → \u003d (A, B) .

Əldə etdiyimiz nəticə düz xəttin normal vektorunun məlum koordinatları və bu düz xəttin müəyyən nöqtəsinin koordinatları üçün düz xəttin ümumi tənliyini yazmağa imkan verir.

Misal 3

Xəttin keçdiyi M 0 (- 3, 4) nöqtəsi və bu xəttin normal vektoru verilmişdir. n → = (1 , - 2) . Verilmiş düz xəttin tənliyini yazmaq lazımdır.

Qərar

İlkin şərtlər tənliyi tərtib etmək üçün lazımi məlumatları əldə etməyə imkan verir: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. Sonra:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problem başqa cür də həll oluna bilərdi. Düz xəttin ümumi tənliyi A x + B y + C = 0 formasına malikdir. Verilmiş normal vektor A və B əmsallarının dəyərlərini almağa imkan verir, onda:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

İndi isə düz xəttin keçdiyi məsələnin şərti ilə verilən M 0 (- 3, 4) nöqtəsindən istifadə edərək C-nin qiymətini tapaq. Bu nöqtənin koordinatları x - 2 · y + C = 0 tənliyinə uyğundur, yəni. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. Beləliklə, C = 11. Tələb olunan düz xətt tənliyi formanı alır: x - 2 · y + 11 = 0 .

Cavab: x - 2 y + 11 = 0 .

Misal 4

2 3 x - y - 1 2 = 0 xətti və bu xətt üzərində uzanan M 0 nöqtəsi verilmişdir. Bu nöqtənin yalnız absisi məlumdur və o - 3-ə bərabərdir. Verilmiş nöqtənin ordinatını təyin etmək lazımdır.

Qərar

M 0 nöqtəsinin koordinatlarının təyinini x 0 və y 0 kimi təyin edək. İlkin məlumatlar x 0 \u003d - 3 olduğunu göstərir. Nöqtə verilmiş xəttə aid olduğu üçün onun koordinatları bu xəttin ümumi tənliyinə uyğun gəlir. Onda aşağıdakı bərabərlik doğru olacaq:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0-ı təyin edin: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Cavab: - 5 2

Düz xəttin ümumi tənliyindən düz xəttin digər tənlik növlərinə və əksinə keçid

Bildiyimiz kimi, müstəvidə eyni düz xəttin tənliyinin bir neçə növü var. Tənliyin növünün seçimi məsələnin şərtlərindən asılıdır; onun həlli üçün daha əlverişli olanı seçmək mümkündür. Burada bir növ tənliyi digər növ tənliyə çevirmək bacarığı çox faydalıdır.

Əvvəlcə A x + B y + C = 0 formasının ümumi tənliyindən x - x 1 a x = y - y 1 a y kanonik tənliyinə keçidi nəzərdən keçirək.

Əgər A ≠ 0 olarsa, onda B y terminini ümumi tənliyin sağ tərəfinə köçürürük. Sol tərəfdə mötərizədə A-nı çıxarırıq. Nəticədə əldə edirik: A x + C A = - B y .

Bu bərabərliyi nisbət kimi yazmaq olar: x + C A - B = y A .

B ≠ 0 olarsa, ümumi tənliyin sol tərəfində yalnız A x terminini qoyuruq, digərlərini sağ tərəfə köçürürük, alırıq: A x \u003d - B y - C. Mötərizədə B çıxarırıq, sonra: A x \u003d - B y + C B.

Bərabərliyi mütənasib olaraq yenidən yazaq: x - B = y + C B A .

Təbii ki, ortaya çıxan düsturları yadda saxlamağa ehtiyac yoxdur. Ümumi tənlikdən kanonik tənliyə keçid zamanı hərəkətlərin alqoritmini bilmək kifayətdir.

Misal 5

3 y - 4 = 0 xəttinin ümumi tənliyi verilmişdir. Onu kanonik tənliyə çevirmək lazımdır.

Qərar

Orijinal tənliyi 3 y - 4 = 0 kimi yazırıq. Sonra, alqoritmə uyğun hərəkət edirik: 0 x termini sol tərəfdə qalır; və sağ tərəfdə biz çıxarırıq - mötərizədə 3; alırıq: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Nəticə bərabərliyi nisbət kimi yazaq: x - 3 = y - 4 3 0 . Beləliklə, kanonik formanın tənliyini əldə etdik.

Cavab: x - 3 = y - 4 3 0.

Düz xəttin ümumi tənliyini parametrik tənliyə çevirmək üçün əvvəlcə kanonik formaya, sonra isə düz xəttin kanonik tənliyindən parametrik tənliklərə keçid aparılır.

Misal 6

Düz xətt 2 x - 5 y - 1 = 0 tənliyi ilə verilir. Bu xəttin parametrik tənliklərini yazın.

Qərar

Ümumi tənlikdən kanonik tənliyə keçid edək:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

İndi λ-ə bərabər nəticələnən kanonik tənliyin hər iki hissəsini götürək, onda:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Cavab:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Ümumi tənlik y = k x + b meylli düz xətt tənliyinə çevrilə bilər, lakin yalnız B ≠ 0 olduqda. Sol tərəfdəki keçid üçün B y terminini tərk edirik, qalanları sağa köçürülür. Alırıq: B y = - A x - C . Əldə edilən bərabərliyin hər iki hissəsini sıfırdan fərqli olan B -ə bölək: y = - A B x - C B .

Misal 7

Düz xəttin ümumi tənliyi verilmişdir: 2 x + 7 y = 0 . Həmin tənliyi yamac tənliyinə çevirməlisiniz.

Qərar

Alqoritmə uyğun olaraq lazımi hərəkətləri yerinə yetirək:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Cavab: y = - 2 7 x .

Düz xəttin ümumi tənliyindən x a + y b \u003d 1 formasının seqmentlərində sadəcə bir tənlik əldə etmək kifayətdir. Belə bir keçid etmək üçün C ədədini bərabərliyin sağ tərəfinə köçürür, nəticədə yaranan bərabərliyin hər iki hissəsini - С-yə bölürük və nəhayət, x və y dəyişənləri üçün əmsalları məxrəcə köçürük:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Misal 8

X - 7 y + 1 2 = 0 düz xəttinin ümumi tənliyini seqmentlərdə düz xəttin tənliyinə çevirmək lazımdır.

Qərar

1 2-ni sağ tərəfə keçirək: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Tənliyin hər iki tərəfini -1/2-yə bölün: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Cavab: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Ümumiyyətlə, tərs keçid də asandır: digər növ tənliklərdən ümumiyə.

Düz xəttin seqmentlərdəki tənliyi və yamaclı tənliyi tənliyin sol tərəfindəki bütün şərtləri toplamaqla asanlıqla ümumiyə çevrilə bilər:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanonik tənlik aşağıdakı sxemə uyğun olaraq ümumiyə çevrilir:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Parametrikdən keçmək üçün əvvəlcə kanonikə, sonra isə ümumiyə keçid həyata keçirilir:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Misal 9

x = - 1 + 2 · λ y = 4 düz xəttinin parametrik tənlikləri verilmişdir. Bu xəttin ümumi tənliyini yazmaq lazımdır.

Qərar

Parametrik tənliklərdən kanonik tənliklərə keçid edək:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Kanonikdən ümumiyə keçək:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Cavab: y - 4 = 0

Misal 10

x 3 + y 1 2 = 1 seqmentlərində düz xəttin tənliyi verilmişdir. Tənliyin ümumi formasına keçidi həyata keçirmək lazımdır.

Qərar:

Sadəcə tənliyi tələb olunan formada yenidən yazaq:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Cavab: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Düz xəttin ümumi tənliyini tərtib etmək

Yuxarıda dedik ki, ümumi tənliyi normal vektorun məlum koordinatları və xəttin keçdiyi nöqtənin koordinatları ilə yazmaq olar. Belə düz xətt A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 tənliyi ilə müəyyən edilir. Eyni yerdə müvafiq nümunəni təhlil etdik.

İndi isə əvvəlcə normal vektorun koordinatlarını təyin etmək lazım olan daha mürəkkəb nümunələrə baxaq.

Misal 11

2 x - 3 y + 3 3 = 0 xəttinə paralel bir xətt verilmişdir. Verilmiş xəttin keçdiyi M 0 (4 , 1) nöqtəsi də məlumdur. Verilmiş düz xəttin tənliyini yazmaq lazımdır.

Qərar

İlkin şərtlər bizə xətlərin paralel olduğunu bildirir, onda tənliyi yazılmalı olan xəttin normal vektoru kimi n → = (2, - 3) xəttinin istiqamət vektorunu alırıq : 2 x - 3 y + 3 3 = 0. İndi düz xəttin ümumi tənliyini yaratmaq üçün bütün lazımi məlumatları bilirik:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Cavab: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Misal 12

Verilmiş xətt x - 2 3 = y + 4 5 xəttinə perpendikulyar başlanğıc nöqtəsindən keçir. Verilmiş düz xəttin ümumi tənliyini yazmaq lazımdır.

Qərar

Verilmiş xəttin normal vektoru x - 2 3 = y + 4 5 xəttinin yönləndirici vektoru olacaqdır.

Onda n → = (3 , 5) . Düz xətt başlanğıcdan keçir, yəni. O nöqtəsi vasitəsilə (0, 0) . Verilmiş düz xəttin ümumi tənliyini tərtib edək:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Cavab verin: 3 x + 5 y = 0 .

Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Kosmosda düz xəttin kanonik tənlikləri verilmiş nöqtədən istiqamət vektoruna kollinear keçən düz xətti təyin edən tənliklərdir.

Nöqtə və istiqamət vektoru verilsin. İxtiyari nöqtə xətt üzərində yerləşir l yalnız və vektorları kollinear olduqda, yəni şərti ödəyir:

Yuxarıdakı tənliklər xəttin kanonik tənlikləridir.

Nömrələri m , n və səh istiqamət vektorunun koordinat oxlarına proyeksiyalarıdır. Vektor sıfır olmadığı üçün bütün ədədlər m , n və səh eyni zamanda sıfır ola bilməz. Ancaq onlardan biri və ya ikisi sıfır ola bilər. Məsələn, analitik həndəsədə aşağıdakı qeydlərə icazə verilir:

bu o deməkdir ki, vektorun oxlar üzrə proyeksiyaları ay və Oz sıfıra bərabərdir. Buna görə də kanonik tənliklərlə verilən həm vektor, həm də düz xətt oxlara perpendikulyardır ay və Oz, yəni təyyarələr yOz .

Misal 1 Müstəviyə perpendikulyar fəzada düz xəttin tənliklərini qurun və bu müstəvinin ox ilə kəsişmə nöqtəsindən keçməklə Oz .

Qərar. Verilmiş müstəvinin oxla kəsişmə nöqtəsini tapın Oz. Oxun istənilən nöqtəsindən bəri Oz, koordinatlarına malikdir, onda müstəvinin verilmiş tənliyində fərz etsək x=y= 0, biz 4 alırıq z- 8 = 0 və ya z= 2. Buna görə də verilmiş müstəvinin ox ilə kəsişmə nöqtəsi Oz koordinatlarına malikdir (0; 0; 2) . İstənilən xətt müstəviyə perpendikulyar olduğundan onun normal vektoruna paraleldir. Buna görə də normal vektor düz xəttin yönləndirici vektoru rolunu oynaya bilər verilmiş təyyarə.

İndi nöqtədən keçən düz xəttin istənilən tənliklərini yazırıq A= (0; 0; 2) vektor istiqamətində:

Verilmiş iki nöqtədən keçən düz xəttin tənlikləri

Düz xətt üzərində yerləşən iki nöqtə ilə müəyyən edilə bilər və Bu halda düz xəttin yönləndirici vektoru vektor ola bilər. Sonra xəttin kanonik tənlikləri formasını alır

Yuxarıdakı tənliklər verilmiş iki nöqtədən keçən düz xətti müəyyən edir.

Misal 2 və nöqtələrindən keçən fəzada düz xəttin tənliyini yazın.

Qərar. İstənilən düz xəttin tənliklərini nəzəri istinadda yuxarıda verilmiş formada yazırıq:

olduğundan, o zaman istənilən xətt oxa perpendikulyardır ay .

Təyyarələrin kəsişmə xətti kimi düz

Kosmosda düz xətt iki paralel olmayan müstəvilərin kəsişmə xətti və yəni iki xətti tənlik sistemini təmin edən nöqtələr toplusu kimi müəyyən edilə bilər.

Sistemin tənliklərinə fəzada düz xəttin ümumi tənlikləri də deyilir.

Misal 3Ümumi tənliklərin verdiyi fəzada düz xəttin kanonik tənliklərini qurun

Qərar. Düz xəttin kanonik tənliklərini və ya eyni olan iki verilmiş nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini yazmaq üçün düz xəttin istənilən iki nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq lazımdır. Onlar, məsələn, hər hansı iki koordinat müstəvisi ilə düz xəttin kəsişmə nöqtələri ola bilər yOz və xOz .

Bir müstəvi ilə xəttin kəsişmə nöqtəsi yOz absis var x= 0. Buna görə də bu tənliklər sistemində fərz etsək x= 0, iki dəyişəni olan bir sistem alırıq:

Onun qərarı y = 2 , z= 6 ilə birlikdə x= 0 nöqtəni təyin edir A(0; 2; 6) istədiyiniz xəttin. Verilmiş tənliklər sistemində fərz etsək y= 0, sistemi alırıq

Onun qərarı x = -2 , z= 0 ilə birlikdə y= 0 nöqtəni təyin edir B(-2; 0; 0) müstəvi ilə xəttin kəsişməsi xOz .

İndi nöqtələrdən keçən düz xəttin tənliklərini yazırıq A(0; 2; 6) və B (-2; 0; 0) :

və ya məxrəcləri -2-yə böldükdən sonra:

Düz xətt M 1 (x 1; y 1) və M 2 (x 2; y 2) nöqtələrindən keçsin. M 1 nöqtəsindən keçən düz xəttin tənliyi y- y 1 \u003d formasına malikdir. k (x - x 1), (10.6)

harada k - hələ məlum olmayan əmsal.

Düz xətt M 2 (x 2 y 2) nöqtəsindən keçdiyi üçün bu nöqtənin koordinatları (10.6) tənliyinə cavab verməlidir: y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Buradan tapılan dəyərin dəyişdirilməsini tapırıq k (10.6) tənliyinə daxil olaraq, M 1 və M 2 nöqtələrindən keçən düz xəttin tənliyini alırıq:

Güman edilir ki, bu tənlikdə x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Əgər x 1 \u003d x 2 olarsa, M 1 (x 1, y I) və M 2 (x 2, y 2) nöqtələrindən keçən düz xətt y oxuna paraleldir. Onun tənliyi x = x 1 .

Əgər y 2 \u003d y I, onda düz xəttin tənliyi y \u003d y 1 kimi yazıla bilər, M 1 M 2 düz xətti x oxuna paraleldir.

Seqmentlərdə düz xəttin tənliyi

Düz xətt Ox oxunu M 1 (a; 0) nöqtəsində, Oy oxu isə M 2 (0; b) nöqtəsində kəssin. Tənlik aşağıdakı formanı alacaq:
olanlar.
. Bu tənlik adlanır seqmentlərdə düz xəttin tənliyi, çünki a və b rəqəmləri koordinat oxlarında düz xəttin hansı seqmentləri kəsdiyini göstərir.

Verilmiş vektora perpendikulyar verilmiş nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi

Verilmiş sıfırdan fərqli n = (A; B) vektoruna perpendikulyar Mo (x O; y o) nöqtəsindən keçən düz xəttin tənliyini tapaq.

Düz xəttin ixtiyari M(x; y) nöqtəsini götürün və M 0 M (x - x 0; y - y o) vektorunu nəzərdən keçirin (şək. 1-ə baxın). n və M o M vektorları perpendikulyar olduğundan onların skalyar hasilatı sıfıra bərabərdir: yəni,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

(10.8) tənliyi çağırılır verilmiş vektora perpendikulyar verilmiş nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi .

Xəttə perpendikulyar olan n = (A; B) vektoru normal adlanır bu xəttin normal vektoru .

(10.8) tənliyi kimi yenidən yazıla bilər Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

burada A və B normal vektorun koordinatlarıdır, C \u003d -Ax o - Vu o - pulsuz üzv. Tənlik (10.9) düz xəttin ümumi tənliyidir(Şəkil 2-ə baxın).

Şəkil 1 Şəkil 2

Düz xəttin kanonik tənlikləri

Harada
xəttin keçdiyi nöqtənin koordinatlarıdır və
- istiqamət vektoru.

İkinci dərəcəli Dairənin əyriləri

Dairə müstəvidə mərkəz adlanan verilmiş nöqtədən bərabər məsafədə olan bütün nöqtələrin çoxluğudur.

Radiuslu çevrənin kanonik tənliyi R nöqtə üzərində mərkəzləşmişdir
:

Xüsusilə, payın mərkəzi mənşəyi ilə üst-üstə düşürsə, tənlik belə görünəcəkdir:

Ellips

Ellips müstəvidəki nöqtələr toplusudur, onların hər birindən verilmiş iki nöqtəyə qədər olan məsafələrin cəmidir. və fokuslar adlanan , sabit qiymətdir
, fokuslar arasındakı məsafədən böyükdür
.

Fokusları Ox oxunda olan və mənşəyi fokuslar arasında ortada olan ellipsin kanonik tənliyi formaya malikdir.
G de a əsas yarımoxun uzunluğu; b kiçik yarımoxun uzunluğudur (şək. 2).

Verilmiş istiqamətdə verilmiş nöqtədən keçən xəttin tənliyi. Verilmiş iki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi. İki xətt arasındakı bucaq. İki xəttin paralellik və perpendikulyarlıq şərti. İki xəttin kəsişmə nöqtəsinin müəyyən edilməsi

1. Verilmiş nöqtədən keçən xəttin tənliyi A(x 1 , y 1) yamac ilə müəyyən edilmiş müəyyən bir istiqamətdə k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Bu tənlik bir nöqtədən keçən xətlərin qələmini təyin edir A(x 1 , y 1), şüanın mərkəzi adlanır.

2. İki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi: A(x 1 , y 1) və B(x 2 , y 2) belə yazılır:

Verilmiş iki nöqtədən keçən düz xəttin mailliyi düsturla müəyyən edilir

3. Düz xətlər arasındakı bucaq A və B birinci düz xəttin fırlanmalı olduğu bucaqdır A ikinci xəttlə üst-üstə düşənə qədər bu xətlərin kəsişmə nöqtəsi ətrafında saat əqrəbinin əksinə B. Əgər iki xətt yamac tənlikləri ilə verilirsə

y = k 1 x + B 1 ,

Tərif. Müstəvidəki hər hansı bir xətt birinci dərəcəli tənliklə verilə bilər

Ah + Wu + C = 0,

və A, B sabitləri eyni zamanda sıfıra bərabər deyil. Bu birinci dərəcəli tənlik adlanır düz xəttin ümumi tənliyi. A, B və C sabitlərinin dəyərlərindən asılı olaraq aşağıdakı xüsusi hallar mümkündür:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - xətt başlanğıcdan keçir

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - xətt Ox oxuna paraleldir

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Axe + C \u003d 0) - xətt Oy oxuna paraleldir

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - düz xətt Oy oxu ilə üst-üstə düşür

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - düz xətt Ox oxu ilə üst-üstə düşür

Düz xəttin tənliyi hər hansı verilmiş ilkin şərtlərdən asılı olaraq müxtəlif formalarda təqdim oluna bilər.

Düz xəttin nöqtə və normal vektorla tənliyi

Tərif. Kartezian düzbucaqlı koordinat sistemində komponentləri (A, B) olan vektor Ax + By + C = 0 tənliyi ilə verilmiş xəttə perpendikulyardır.

Misal. (3, -1) nöqtəsinə perpendikulyar olan A(1, 2) nöqtəsindən keçən düz xəttin tənliyini tapın.

Qərar. A = 3 və B = -1 olduqda düz xəttin tənliyini qururuq: 3x - y + C = 0. C əmsalını tapmaq üçün verilmiş A nöqtəsinin koordinatlarını nəticədə ifadəyə əvəz edirik.Alırıq: 3 - 2 + C = 0, buna görə də, C = -1 . Cəmi: istədiyiniz tənlik: 3x - y - 1 \u003d 0.

İki nöqtədən keçən xəttin tənliyi

Fəzada iki M 1 (x 1, y 1, z 1) və M 2 (x 2, y 2, z 2) nöqtəsi verilsin, onda bu nöqtələrdən keçən düz xəttin tənliyi:

Məxrəclərdən hər hansı biri sıfıra bərabərdirsə, müvafiq pay sıfıra bərabər qoyulmalıdır.Müstəvidə yuxarıda yazılmış düz xətt tənliyi sadələşdirilmişdir:

əgər x 1 ≠ x 2 və x = x 1 olarsa, x 1 = x 2 olarsa.

Fraksiya = k deyilir yamac faktoru düz.

Misal. A(1, 2) və B(3, 4) nöqtələrindən keçən düz xəttin tənliyini tapın.

Qərar. Yuxarıdakı düsturdan istifadə edərək əldə edirik:

Nöqtədən və yamacdan düz xəttin tənliyi

Ümumi Ax + Wu + C = 0 formaya gətirib çıxarırsa:

və təyin edin , onda yaranan tənlik çağırılır yamaclı düz xəttin tənliyik.

Nöqtə və istiqamət vektoru olan düz xəttin tənliyi

Normal vektordan keçən düz xəttin tənliyini nəzərə alan nöqtəyə bənzətməklə, bir nöqtədən keçən düz xəttin təyinatını və düz xəttin istiqamətləndirici vektorunu daxil edə bilərsiniz.

Tərif. Komponentləri A α 1 + B α 2 = 0 şərtini ödəyən sıfırdan fərqli hər bir vektor (α 1, α 2) xəttin istiqamət vektoru adlanır.

Ah + Wu + C = 0.

Misal. İstiqamət vektoru (1, -1) olan və A(1, 2) nöqtəsindən keçən düz xəttin tənliyini tapın.

Qərar.İstənilən düz xəttin tənliyini aşağıdakı formada axtaracağıq: Ax + By + C = 0. Tərifə uyğun olaraq, əmsallar şərtləri təmin etməlidir:

1 * A + (-1) * B = 0, yəni. A = B.

Onda düz xəttin tənliyi formaya malikdir: Ax + Ay + C = 0, ya da x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2 üçün C / A = -3 alırıq, yəni. İstənilən tənlik:

Seqmentlərdə düz xəttin tənliyi

Əgər düz xəttin ümumi tənliyində Ah + Wu + C = 0 C≠0 olarsa, onda –C-yə bölməklə, alırıq: və ya

Əmsalların həndəsi mənası odur ki, əmsal a xəttin x oxu ilə kəsişmə nöqtəsinin koordinatıdır və b- düz xəttin Oy oxu ilə kəsişmə nöqtəsinin koordinatı.

Misal. x - y + 1 = 0 xəttinin ümumi tənliyi verilmişdir. Bu xəttin seqmentlərdə tənliyini tapın.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Düz xəttin normal tənliyi

Ax + Vy + C = 0 tənliyinin hər iki tərəfi ədədə vurularsa , adlanır normallaşdıran amildir, onda alırıq

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

düz xəttin normal tənliyi. Normallaşdırıcı əmsalın ± işarəsi elə seçilməlidir ki, μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Misal. 12x - 5y - 65 = 0 xəttinin ümumi tənliyi nəzərə alınmaqla. Bu xətt üçün müxtəlif növ tənliklərin yazılması tələb olunur.

seqmentlərdə bu düz xəttin tənliyi:

bu xəttin yamac ilə tənliyi: (5-ə bölün)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Qeyd etmək lazımdır ki, hər düz xətt seqmentlərdə tənlik ilə təmsil oluna bilməz, məsələn, oxlara paralel və ya başlanğıcdan keçən düz xətlər.

Misal. Düz xətt koordinat oxlarında bərabər müsbət seqmentləri kəsir. Bu seqmentlərin yaratdığı üçbucağın sahəsi 8 sm 2 olarsa, düz xəttin tənliyini yazın.

Qərar. Düz xətt tənliyi formaya malikdir: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Misal. A (-2, -3) nöqtəsindən və başlanğıcından keçən düz xəttin tənliyini yazın.

Qərar. Düz xəttin tənliyi aşağıdakı formaya malikdir: , burada x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Təyyarədə xətlər arasındakı bucaq

Tərif.Əgər iki xətt verilirsə y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , onda bu xətlər arasındakı iti bucaq belə təyin olunacaq.

Əgər k 1 = k 2 olarsa, iki xətt paraleldir. Əgər k 1 = -1/ k 2 olarsa, iki xətt perpendikulyardır.

teorem. A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB əmsalları mütənasib olduqda Ax + Vy + C \u003d 0 və A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 düz xətləri paraleldir. Əgər həm də С 1 = λС, onda xətlər üst-üstə düşür. Bu xətlərin tənliklər sisteminin həlli kimi iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatları tapılır.

Verilmiş xəttə perpendikulyar verilmiş nöqtədən keçən xəttin tənliyi

Tərif. M 1 (x 1, y 1) nöqtəsindən keçən və y \u003d kx + b xəttinə perpendikulyar olan xətt tənlik ilə təmsil olunur:

Nöqtədən xəttə qədər olan məsafə

teorem. M(x 0, y 0) nöqtəsi verilirsə, Ax + Vy + C \u003d 0 xəttinə olan məsafə belə müəyyən edilir.

Sübut. M nöqtəsindən verilmiş xəttə endirilən perpendikulyarın əsası M 1 (x 1, y 1) nöqtəsi olsun. Sonra M və M nöqtələri arasındakı məsafə 1:

(1)

x 1 və y 1 koordinatları tənliklər sisteminin həlli kimi tapıla bilər:

Sistemin ikinci tənliyi verilmiş düz xəttə perpendikulyar M 0 nöqtəsindən keçən düz xəttin tənliyidir. Sistemin birinci tənliyini formaya çevirsək:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sonra həll edərək əldə edirik:

Bu ifadələri (1) tənliyində əvəz edərək tapırıq:

Teorem sübut edilmişdir.

Misal. Xətlər arasındakı bucağı təyin edin: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Misal. 3x - 5y + 7 = 0 və 10x + 6y - 3 = 0 xətlərinin perpendikulyar olduğunu göstərin.

Qərar. Tapırıq: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, buna görə də xətlər perpendikulyardır.

Misal. A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) üçbucağının təpələri verilmişdir. C təpəsində çəkilmiş hündürlüyün tənliyini tapın.

Qərar. AB tərəfinin tənliyini tapırıq: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

İstədiyiniz hündürlük tənliyi: Ax + By + C = 0 və ya y = kx + b. k =. Sonra y =. Çünki hündürlük C nöqtəsindən keçir, onda onun koordinatları bu tənliyi təmin edir: buradan b = 17. Cəmi: .

Cavab: 3x + 2y - 34 = 0.