Xətlərin kəsişdiyini necə müəyyən etmək olar. Kosmosda xətlərin qarşılıqlı düzülüşü

Oh-oh-oh-oh-oh ... yaxşı, bu, tinny, sanki cümləni özünüz oxuyursunuz =) Ancaq sonra istirahət kömək edəcək, xüsusən də bu gün uyğun aksesuarlar aldığım üçün. Ona görə də birinci hissəyə keçək, ümid edirəm məqalənin sonuna kimi şən əhval-ruhiyyə saxlayacağam.

İki düz xəttin qarşılıqlı düzülüşü

Zalın xorla oxuduğu hal. İki xətt ola bilər:

1) uyğunluq;

2) paralel olsun: ;

3) və ya bir nöqtədə kəsişir: .

Dumilər üçün kömək : zəhmət olmasa kəsişmənin riyazi işarəsini xatırlayın, bu çox tez-tez baş verəcəkdir. Giriş xəttin nöqtədəki xətt ilə kəsişdiyini bildirir.

İki xəttin nisbi mövqeyini necə təyin etmək olar?

Birinci halda başlayaq:

İki xətt yalnız və yalnız müvafiq əmsalları mütənasib olduqda üst-üstə düşür, yəni belə bir ədəd "lambda" var ki, bərabərliklər

Düz xətləri nəzərdən keçirək və uyğun əmsallardan üç tənlik quraq: . Hər bir tənlikdən belə çıxır ki, bu xətlər üst-üstə düşür.

Həqiqətən, əgər tənliyin bütün əmsalları -1-ə (işarələri dəyişdirin) və tənliyin bütün əmsallarını vurun 2 azaldın, eyni tənliyi alırsınız: .

Xətlər paralel olduqda ikinci hal:

İki xətt yalnız və yalnız dəyişənlərdəki əmsalları mütənasib olduqda paraleldir: , Amma.

Nümunə olaraq iki düz xətti nəzərdən keçirək. Dəyişənlər üçün müvafiq əmsalların mütənasibliyini yoxlayırıq:

Bununla belə, aydındır ki.

Üçüncü hal, xətlər kəsişdikdə:

İki xətt o halda kəsişir ki, onların dəyişənlərin əmsalları proporsional DEYİL, yəni "lambda"nın elə bir dəyəri YOXDUR ki, bərabərliklər yerinə yetirilsin

Beləliklə, düz xətlər üçün bir sistem quracağıq:

Birinci tənlikdən belə çıxır ki, , ikinci tənlikdən: , deməli, sistem uyğunsuzdur(həll yoxdur). Beləliklə, dəyişənlərdəki əmsallar mütənasib deyil.

Nəticə: xətlər kəsişir

Praktik məsələlərdə indicə nəzərdən keçirilən həll sxemindən istifadə etmək olar. Yeri gəlmişkən, bu, dərsdə nəzərdən keçirdiyimiz vektorların kollinearlığını yoxlamaq alqoritminə çox bənzəyir. Vektorların xətti (qeyri) asılılığı anlayışı. Vektor əsası. Ancaq daha sivil bir paket var:

Misal 1

Xətlərin nisbi mövqeyini tapın:

Qərar düz xətlərin istiqamətləndirici vektorlarının öyrənilməsinə əsaslanaraq:

a) Tənliklərdən xətlərin istiqamət vektorlarını tapırıq: .

, deməli vektorlar kollinear deyil və xətlər kəsişir.

Hər halda, yol ayrıcında göstəriciləri olan bir daş qoyacağam:

Qalanları daşın üstündən tullanır və birbaşa Ölümsüz Kaşcheyə doğru gedirlər =)

b) Xətlərin istiqamət vektorlarını tapın:

Xətlər eyni istiqamət vektoruna malikdir, yəni ya paralel, ya da eynidir. Burada determinant lazım deyil.

Aydındır ki, naməlumların əmsalları mütənasibdir, halbuki .

Bərabərliyin doğru olub olmadığını öyrənək:

Beləliklə,

c) Xətlərin istiqamət vektorlarını tapın:

Bu vektorların koordinatlarından ibarət olan determinantı hesablayaq:
, buna görə də istiqamət vektorları kollineardır. Xətlər ya paralel, ya da üst-üstə düşür.

"Lambda" mütənasiblik faktorunu birbaşa kollinear istiqamət vektorlarının nisbətindən görmək asandır. Bununla belə, bunu tənliklərin öz əmsalları vasitəsilə də tapmaq olar: .

İndi bərabərliyin doğru olub olmadığını öyrənək. Hər iki pulsuz şərt sıfırdır, buna görə də:

Nəticədə alınan dəyər bu tənliyi təmin edir (istənilən ədəd ümumiyyətlə onu təmin edir).

Beləliklə, xətlər üst-üstə düşür.

Cavab verin:

Çox tezliklə siz nəzərdən keçirilən problemi bir neçə saniyə ərzində şifahi şəkildə həll etməyi öyrənəcəksiniz (və ya artıq öyrənmisiniz). Bu baxımdan, müstəqil bir həll üçün bir şey təklif etmək üçün heç bir səbəb görmürəm, həndəsi təməldə daha bir vacib kərpic qoymaq daha yaxşıdır:

Verilmiş birinə paralel xətti necə çəkmək olar?

Bu ən sadə tapşırığı bilməməsinə görə Quldur Bülbül ağır cəzalandırır.

Misal 2

Düz xətt tənliklə verilir. Nöqtədən keçən paralel xəttin tənliyini yazın.

Qərar: Naməlum xətti hərflə işarələyin. Şərt bu barədə nə deyir? Xətt nöqtədən keçir. Və əgər xətlər paraleldirsə, o zaman "ce" xəttinin istiqamət vektorunun "de" xəttini qurmaq üçün də uyğun olduğu aydındır.

Tənlikdən istiqamət vektorunu çıxarırıq:

Cavab verin:

Nümunənin həndəsəsi sadə görünür:

Analitik yoxlama aşağıdakı addımlardan ibarətdir:

1) Xətlərin eyni istiqamət vektoruna malik olduğunu yoxlayırıq (xəttin tənliyi düzgün sadələşdirilməyibsə, vektorlar kollinear olacaq).

2) Nöqtənin nəticə tənliyinə cavab verib-vermədiyini yoxlayın.

Əksər hallarda analitik yoxlamanı şifahi şəkildə həyata keçirmək asandır. İki tənliyə baxın və bir çoxunuz heç bir rəsm çəkmədən xətlərin necə paralel olduğunu tez anlayacaqsınız.

Bu gün özünü həll etmək üçün nümunələr yaradıcı olacaq. Çünki hələ də Baba Yaga ilə rəqabət aparmalısan və o, bilirsən ki, hər cür tapmacaları sevir.

Misal 3

Əgər xəttinə paralel nöqtədən keçən xətt üçün tənlik yazın

Həll etməyin rasional və çox da rasional olmayan yolu var. Ən qısa yol dərsin sonundadır.

Paralel xətlərlə bir az iş gördük və sonra onlara qayıdacayıq. Üst-üstə düşən xətlər məsələsi az maraq doğurur, ona görə də gəlin məktəb kurikulumdan sizə yaxşı məlum olan problemi nəzərdən keçirək:

İki xəttin kəsişmə nöqtəsini necə tapmaq olar?

Düzdürsə nöqtəsində kəsişir, onda onun koordinatları həlldir xətti tənliklər sistemləri

Xətlərin kəsişmə nöqtəsini necə tapmaq olar? Sistemi həll edin.

Budur sizə iki naməlumlu iki xətti tənlik sisteminin həndəsi mənası müstəvidə kəsişən iki (ən çox) düz xəttdir.

Misal 4

Xətlərin kəsişmə nöqtəsini tapın

Qərar: Həll etməyin iki yolu var - qrafik və analitik.

Qrafik üsul sadəcə verilmiş xətləri çəkmək və kəsişmə nöqtəsini birbaşa rəsmdən tapmaqdır:

Məqsədimiz budur: . Yoxlamaq üçün onun koordinatlarını düz xəttin hər bir tənliyinə əvəz etməlisiniz, onlar həm oraya, həm də oraya uyğun olmalıdır. Başqa sözlə, bir nöqtənin koordinatları sistemin həllidir. Əslində, həll etmək üçün qrafik bir yol nəzərdən keçirdik xətti tənliklər sistemləri iki tənlik, iki naməlum.

Qrafik üsul, əlbəttə ki, pis deyil, lakin nəzərə çarpan çatışmazlıqlar var. Xeyr, məsələ yeddinci sinif şagirdlərinin bu cür qərar verməsində deyil, məsələ ondadır ki, düzgün və DƏqiq rəsm çəkmək üçün vaxt lazımdır. Bundan əlavə, bəzi xətləri qurmaq o qədər də asan deyil və kəsişmə nöqtəsinin özü dəftər vərəqindən kənarda otuzuncu krallığın bir yerində ola bilər.

Buna görə də kəsişmə nöqtəsinin analitik üsulla axtarılması daha məqsədəuyğundur. Sistemi həll edək:

Sistemi həll etmək üçün tənliklərin müddətli əlavə üsulundan istifadə edilmişdir. Müvafiq bacarıqları inkişaf etdirmək üçün dərsə baş çəkin Tənliklər sistemini necə həll etmək olar?

Cavab verin:

Doğrulama əhəmiyyətsizdir - kəsişmə nöqtəsinin koordinatları sistemin hər bir tənliyini təmin etməlidir.

Misal 5

Əgər xətlər kəsişirsə, onların kəsişmə nöqtəsini tapın.

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Tapşırığı rahatlıqla bir neçə mərhələyə bölmək olar. Vəziyyətin təhlili bunun zəruri olduğunu göstərir:
1) Düz xəttin tənliyini yazın.
2) Düz xəttin tənliyini yazın.
3) Xətlərin nisbi mövqeyini tapın.
4) Əgər xətlər kəsişirsə, onda kəsişmə nöqtəsini tapın.

Fəaliyyət alqoritminin işlənməsi bir çox həndəsi məsələlər üçün xarakterikdir və mən dəfələrlə buna diqqət yetirəcəyəm.

Dərsliyin sonunda tam həll və cavab:

Bir cüt ayaqqabı hələ köhnəlməyib, çünki dərsin ikinci hissəsinə gəldik:

Perpendikulyar xətlər. Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafə.
Xətlər arasındakı bucaq

Tipik və çox vacib bir vəzifə ilə başlayaq. Birinci hissədə, verilənə paralel düz bir xətt qurmağı öyrəndik və indi toyuq ayaqları üzərindəki daxma 90 dərəcə dönəcək:

Verilmiş birinə perpendikulyar bir xətti necə çəkmək olar?

Misal 6

Düz xətt tənliklə verilir. Nöqtədən keçən perpendikulyar xəttin tənliyini yazın.

Qərar: Fərziyyə ilə məlumdur ki . Düz xəttin istiqamət vektorunu tapmaq yaxşı olardı. Xətlər perpendikulyar olduğundan hiylə sadədir:

Tənlikdən normal vektoru “çıxarırıq”: düz xəttin istiqamət vektoru olacaq.

Bir nöqtə və yönləndirici vektor ilə düz xəttin tənliyini tərtib edirik:

Cavab verin:

Həndəsi eskizi açaq:

Hmmm... Narıncı göy, narıncı dəniz, narıncı dəvə.

Həllin analitik yoxlanışı:

1) Tənliklərdən istiqamət vektorlarını çıxarın və köməyi ilə vektorların nöqtə hasili xətlərin doğrudan da perpendikulyar olduğu qənaətinə gəlirik: .

Yeri gəlmişkən, normal vektorlardan istifadə edə bilərsiniz, daha da asandır.

2) Nöqtənin nəticə tənliyinə cavab verib-vermədiyini yoxlayın .

Doğrulama, yenə də şifahi şəkildə həyata keçirmək asandır.

Misal 7

Tənlik məlumdursa, perpendikulyar xətlərin kəsişmə nöqtəsini tapın və nöqtə.

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Tapşırıqda bir neçə hərəkət var, buna görə də həll nöqtəsini nöqtə ilə təşkil etmək rahatdır.

Maraqlı səyahətimiz davam edir:

Nöqtədən xəttə qədər olan məsafə

Qarşımızda çayın düz bir zolağı var və vəzifəmiz ona ən qısa yolla çatmaqdır. Heç bir maneə yoxdur və ən optimal marşrut perpendikulyar boyunca hərəkət olacaq. Yəni bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafə perpendikulyar seqmentin uzunluğudur.

Həndəsədəki məsafə ənənəvi olaraq yunan hərfi ilə "ro" ilə işarələnir, məsələn: - "em" nöqtəsindən "de" düz xəttinə qədər olan məsafə.

Nöqtədən xəttə qədər olan məsafə düsturu ilə ifadə edilir

Misal 8

Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafəni tapın

Qərar: sizə lazım olan tək şey rəqəmləri düsturda diqqətlə əvəz etmək və hesablamaları aparmaqdır:

Cavab verin:

Rəsmi icra edək:

Nöqtədən xəttə qədər tapılan məsafə tam olaraq qırmızı seqmentin uzunluğuna bərabərdir. Damalı kağızda 1 ədəd miqyasda rəsm çəksəniz. \u003d 1 sm (2 hüceyrə), sonra məsafə adi bir hökmdarla ölçülə bilər.

Eyni rəsmə görə başqa bir tapşırığı nəzərdən keçirin:

Tapşırıq nöqtənin koordinatlarını tapmaqdır , xəttə nisbətən nöqtəyə simmetrik olan . Hərəkətləri özünüz yerinə yetirməyi təklif edirəm, lakin həll alqoritmini ara nəticələrlə təsvir edəcəyəm:

1) Xəttə perpendikulyar olan xətti tapın.

2) Xətlərin kəsişmə nöqtəsini tapın: .

Hər iki hərəkət bu dərsdə ətraflı müzakirə olunur.

3) Nöqtə seqmentin orta nöqtəsidir. Biz orta və uclardan birinin koordinatlarını bilirik. tərəfindən seqmentin ortasının koordinatları üçün düsturlar tapmaq.

Məsafənin də 2,2 vahidə bərabər olduğunu yoxlamaq artıq olmaz.

Burada hesablamalarda çətinliklər yarana bilər, lakin qüllədə mikrokalkulyator adi fraksiyaları saymağa imkan verən çox kömək edir. Dəfələrlə məsləhət görmüşəm və yenidən tövsiyə edəcəyəm.

İki paralel xətt arasındakı məsafəni necə tapmaq olar?

Misal 9

İki paralel xətt arasındakı məsafəni tapın

Bu müstəqil həll üçün başqa bir nümunədir. Bir az ipucu: həll etməyin sonsuz bir çox yolu var. Dərsin sonunda brifinq, amma daha yaxşısı özünüz üçün təxmin etməyə çalışın, məncə ixtiraçılığınızı yaxşı dağıtmağı bacardınız.

İki xətt arasındakı bucaq

Künc nə olursa olsun, sonra tıxac:


Həndəsədə iki düz xətt arasındakı bucaq DAHA KİÇİ bucaq kimi götürülür və ondan avtomatik nəticə çıxarır ki, o, ensiz ola bilməz. Şəkildə qırmızı qövslə göstərilən bucaq kəsişən xətlər arasındakı bucaq hesab edilmir. Və onun "yaşıl" qonşusu və ya əks yönümlü qırmızı künc.

Əgər xətlər perpendikulyardırsa, onda 4 bucaqdan hər hansı birini aralarındakı bucaq kimi qəbul etmək olar.

Bucaqlar necə fərqlidir? Orientasiya. Birincisi, küncün "sürüşdürülməsi" istiqaməti əsaslı şəkildə vacibdir. İkincisi, mənfi yönümlü bucaq mənfi işarə ilə yazılır, məsələn, əgər .

Bunu niyə dedim? Deyəsən, adi bucaq anlayışı ilə başa düşə bilərsiniz. Fakt budur ki, bucaqları tapacağımız düsturlarda mənfi nəticə asanlıqla əldə edilə bilər və bu sizi təəccübləndirməməlidir. Mənfi işarəsi olan bir bucaq daha pis deyil və çox xüsusi bir həndəsi məna daşıyır. Mənfi bucaq üçün rəsmdə onun istiqamətini (saat istiqamətində) ox ilə göstərmək vacibdir.

İki xətt arasındakı bucağı necə tapmaq olar?İki iş düsturu var:

Misal 10

Xətlər arasındakı bucağı tapın

Qərar və Birinci üsul

Ümumi formada tənliklərlə verilmiş iki düz xətti nəzərdən keçirin:

Düzdürsə perpendikulyar deyil, sonra yönümlü aralarındakı bucaq düsturla hesablana bilər:

Məxrəcə çox diqqət yetirək - bu dəqiqdir skalyar məhsul düz xətlərin istiqamət vektorları:

Əgər , onda düsturun məxrəci itəcək və vektorlar ortoqonal, xətlər isə perpendikulyar olacaq. Məhz buna görə də tərtibatda xətlərin qeyri-perpendikulyar olması ilə bağlı qeyd-şərt qoyulmuşdur.

Yuxarıda göstərilənlərə əsasən, həll iki mərhələdə rahat şəkildə rəsmiləşdirilir:

1) Düz xətlərin istiqamətləndirici vektorlarının skalyar hasilini hesablayın:
ona görə də xətlər perpendikulyar deyil.

2) Xətlər arasındakı bucağı düsturla tapırıq:

Tərs funksiyadan istifadə edərək bucağın özünü tapmaq asandır. Bu vəziyyətdə, qövs tangensinin qəribəliyindən istifadə edirik (bax. Elementar funksiyaların qrafikləri və xassələri):

Cavab verin:

Cavabda biz dəqiq dəyəri, eləcə də kalkulyatordan istifadə etməklə hesablanmış təxmini dəyəri (tercihen həm dərəcə, həm də radyanla) göstəririk.

Yaxşı, minus, minus, eybi yoxdur. Budur həndəsi təsvir:

Təəccüblü deyil ki, bucaq mənfi istiqamətə malikdir, çünki problemin vəziyyətində birinci nömrə düz xəttdir və bucağın “burulması” məhz ondan başlamışdır.

Əgər həqiqətən müsbət bucaq əldə etmək istəyirsinizsə, düz xətləri dəyişdirməlisiniz, yəni ikinci tənlikdən əmsalları götürməlisiniz. , və birinci tənlikdən əmsalları götürün. Bir sözlə, birbaşa ilə başlamaq lazımdır .

Bu onlayn kalkulyatorun köməyi ilə siz təyyarədə xətlərin kəsişmə nöqtəsini tapa bilərsiniz. İzahlarla ətraflı bir həll verilir. Xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq üçün xətlərin tənliyinin növünü (“kanonik”, “parametrik” və ya “ümumi”) göstərin, xətlərin tənliklərinin əmsallarını xanalara daxil edin və üzərinə klikləyin. "Həll et" düyməsi. Aşağıdakı nəzəri hissəyə və ədədi nümunələrə baxın.

×

Bir xəbərdarlıq

Bütün xanalar silinsin?

Bağlayın Təmizləyin

Məlumat daxil etmə təlimatı. Rəqəmlər tam ədədlər (məsələn: 487, 5, -7623 və s.), onluq ədədlər (məsələn, 67., 102.54 və s.) və ya kəsrlər kimi daxil edilir. Kəsr a/b formasında yazılmalıdır, burada a və b (b>0) tam və ya onluq ədəddir. Nümunələr 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 və s.

Müstəvidə xətlərin kəsişmə nöqtəsi - nəzəriyyə, nümunələr və həllər

1. Ümumi formada verilmiş düz xətlərin kəsişmə nöqtəsi.

Oksi L 1 və L 2:

Genişlənmiş matris quraq:

Əgər a B" 2=0 və İLƏ" 2 =0, onda xətti tənliklər sisteminin çoxlu həlli var. Beləliklə, birbaşa L 1 və L 2 matç. Əgər a B" 2=0 və İLƏ" 2 ≠0, onda sistem uyğunsuzdur və buna görə də xətlər paraleldir və ümumi nöqtəsi yoxdur. Əgər B" 2 ≠0 olarsa, xətti tənliklər sisteminin unikal həlli olur. İkinci tənlikdən tapırıq y: y=İLƏ" 2 /B" 2 və nəticədə alınan dəyəri birinci tənliyə əvəz edərək tapırıq x: x=−ilə 1 −B 1 y. Xətlərin kəsişmə nöqtəsini alın L 1 və L 2: M(x, y).

2. Kanonik formada verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsi.

Kartezyen düzbucaqlı koordinat sistemi verilsin Oksi və bu koordinat sistemində xətlər verilsin L 1 və L 2:

Mötərizələri açaq və dəyişiklikləri edək:

Bənzər bir üsulla düz xəttin (7) ümumi tənliyini alırıq:

(12) tənliklərindən belə çıxır:

Kanonik formada verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsini necə tapmaq olar yuxarıda təsvir edilmişdir.

4. Müxtəlif görünüşlərdə müəyyən edilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsi.

Kartezyen düzbucaqlı koordinat sistemi verilsin Oksi və bu koordinat sistemində xətlər verilsin L 1 və L 2:

tapaq t:

ilə bağlı xətti tənliklər sistemini həll edirik x, y. Bunun üçün biz Gauss metodundan istifadə edirik. Biz əldə edirik:

Misal 2. Xətlərin kəsişmə nöqtəsini tapın L 1 və L 2:

(21)

Xətlərin kəsişmə nöqtəsini tapmaq üçün L 1 və L 2 xətti tənliklər sistemini (20) və (21) həll etmək lazımdır. Tənlikləri matris şəklində təqdim edirik.

İki xətt verilsin və onların kəsişmə nöqtəsini tapmaq tələb olunur. Bu nöqtə verilmiş iki xəttin hər birinə aid olduğu üçün onun koordinatları həm birinci xəttin tənliyini, həm də ikinci xəttin tənliyini təmin etməlidir.

Beləliklə, iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq üçün tənliklər sistemini həll etmək lazımdır.

Nümunə 1. Xətlərin kəsişmə nöqtəsini tapın və

Qərar. İstənilən kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tənliklər sistemini həll etməklə tapacağıq

M kəsişmə nöqtəsinin koordinatları var

Onun tənliyindən düz xəttin necə qurulacağını göstərək. Xətti çəkmək üçün onun iki nöqtəsini bilmək kifayətdir. Bu nöqtələrin hər birinin qrafikini çəkmək üçün onun koordinatlarından birinə ixtiyari qiymət veririk və sonra tənlikdən digər koordinatın müvafiq qiymətini tapırıq.

Düz xəttin ümumi tənliyində cari koordinatlarda hər iki əmsal sıfıra bərabər deyilsə, bu düz xətti qurmaq üçün onun koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini tapmaq daha yaxşıdır.

Misal 2. Düz xətt qurun.

Qərar. Bu xəttin x oxu ilə kəsişmə nöqtəsini tapın. Bunun üçün onların tənliklərini birlikdə həll edirik:

və alırıq. Beləliklə, bu düz xəttin absis oxu ilə kəsişməsinin M (3; 0) nöqtəsi tapıldı (şək. 40).

Verilmiş xəttin tənliyini və y oxunun tənliyini birlikdə həll edirik

xəttin y oxu ilə kəsişmə nöqtəsini tapırıq. Nəhayət, onun iki nöqtəsindən M və bir xətt çəkirik

Bəzi həndəsi məsələləri koordinat üsulu ilə həll edərkən xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq lazımdır. Çox vaxt müstəvidə iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını axtarmaq lazımdır, lakin bəzən fəzada iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını müəyyən etmək lazım gəlir. Bu yazıda biz iki xəttin kəsişdiyi nöqtənin koordinatlarını tapmaqla məşğul olacağıq.

Səhifə naviqasiyası.

İki xəttin kəsişmə nöqtəsi tərifdir.

Əvvəlcə iki xəttin kəsişmə nöqtəsini təyin edək.

Təyyarədə xətlərin nisbi mövqeyi bölməsində göstərilir ki, müstəvidə iki xətt ya üst-üstə düşə bilər (və onların sonsuz çoxlu ortaq nöqtələri var), ya da paralel ola bilər (və iki xəttin ortaq nöqtələri yoxdur) və ya kəsişir. , bir ortaq nöqtəyə malikdir. Kosmosda iki xəttin qarşılıqlı düzülməsi üçün daha çox variant var - onlar üst-üstə düşə bilər (sonsuz çoxlu ümumi nöqtələrə malikdir), paralel ola bilər (yəni eyni müstəvidə uzanır və kəsişmir), kəsişən ola bilər (yatışmır). eyni müstəvi) və eyni zamanda bir ümumi nöqtəyə malik ola bilər, yəni kəsişir. Beləliklə, həm müstəvidə, həm də fəzada bir ümumi nöqtəyə malik olan iki xətt kəsişən adlanır.

Kəsişən xətlərin tərifindən belə çıxır xətlərin kəsişmə nöqtəsinin təyini: İki xəttin kəsişdiyi nöqtəyə bu xətlərin kəsişmə nöqtəsi deyilir. Başqa sözlə, kəsişən iki xəttin yeganə ortaq nöqtəsi bu xətlərin kəsişmə nöqtəsidir.

Aydınlıq üçün biz müstəvidə və fəzada iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin qrafik təsvirini təqdim edirik.

Səhifənin yuxarısı

Müstəvidə iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarının tapılması.

Müstəvidə iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını onların məlum tənliklərinə görə tapmazdan əvvəl köməkçi məsələni nəzərdən keçiririk.

Oksi a və b. Biz birbaşa olduğunu güman edəcəyik a düz xəttin, düz xəttin ümumi tənliyinə uyğundur b- növü. Təyyarənin hansısa nöqtəsi olsun və bu nöqtənin olub olmadığını öyrənmək tələb olunur M 0 verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsi.

Gəlin problemi həll edək.

Əgər a M0 a və b, onda tərifinə görə o da xəttə aiddir a və birbaşa b, yəni onun koordinatları eyni zamanda həm tənliyi, həm də tənliyi təmin etməlidir. Buna görə də nöqtənin koordinatlarını əvəz etməliyik M 0 verilmiş xətlərin tənliklərinə daxil edin və iki həqiqi bərabərliyin əldə edilib-edilmədiyinə baxın. Əgər nöqtə koordinat edirsə M 0 hər iki tənliyi təmin edir və , onda xətlərin kəsişmə nöqtəsidir a və b, əks halda M 0 .

Məqsəddir M 0 koordinatları ilə (2, -3) xətlərin kəsişmə nöqtəsi 5x-2y-16=0 və 2x-5y-19=0?

Əgər a M 0 verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsidir, onda onun koordinatları xətlərin tənliklərini ödəyir. Bunu nöqtənin koordinatlarını əvəz etməklə yoxlayaq M 0 verilmiş tənliklərə:

Beləliklə, iki həqiqi bərabərliyi əldə etdik M 0 (2, -3)- xətlərin kəsişmə nöqtəsi 5x-2y-16=0 və 2x-5y-19=0.

Aydınlıq üçün düz xətləri göstərən və onların kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını göstərən bir rəsm təqdim edirik.

bəli, nöqtə M 0 (2, -3) xətlərin kəsişmə nöqtəsidir 5x-2y-16=0 və 2x-5y-19=0.

Xətlər kəsişirmi? 5x+3y-1=0 və 7x-2y+11=0 nöqtədə M 0 (2, -3)?

Nöqtənin koordinatlarını əvəz edin M 0 xətlərin tənliklərinə daxil etdikdə, bu hərəkətlə nöqtənin aid olub olmadığını yoxlayacağıq M 0 hər iki sətir eyni vaxtda:

İkinci tənlikdən bəri, nöqtənin koordinatlarını ona əvəz edərkən M 0 Həqiqi bərabərliyə çevrilmədi, o zaman nöqtə M 0 xəttinə aid deyil 7x-2y+11=0. Bu faktdan belə nəticəyə gəlmək olar ki, mətləb M 0 verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsi deyil.

Nöqtənin olduğu rəsmdə də aydın görünür M 0 xətlərin kəsişmə nöqtəsi deyil 5x+3y-1=0 və 7x-2y+11=0. Aydındır ki, verilmiş xətlər koordinatları olan bir nöqtədə kəsişir (-1, 2) .

M 0 (2, -3) xətlərin kəsişmə nöqtəsi deyil 5x+3y-1=0 və 7x-2y+11=0.

İndi müstəvidə verilmiş xətlərin tənliklərinə uyğun olaraq iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarının tapılması məsələsinə keçə bilərik.

Düzbucaqlı Dekart koordinat sistemi müstəvidə sabitlənsin Oksi və kəsişən iki xətt verilmişdir a və b tənliklər və müvafiq olaraq. Verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsini kimi işarə edək M 0 və aşağıdakı məsələni həll edin: iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapın a və b bu xətlərin məlum tənliklərinə görə və .

Nöqtə M0 kəsişən xətlərin hər birinə aiddir a və b a-prior. Sonra xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatları a və b həm tənliyi, həm də tənliyi təmin edin. Buna görə də iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatları a və b tənliklər sisteminin həllidir (xətti cəbri tənliklərin həlli sistemləri məqaləsinə baxın).

Beləliklə, müstəvidə ümumi tənliklərlə müəyyən edilmiş iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq üçün verilmiş xətlərin tənliklərindən ibarət sistemi həll etmək lazımdır.

Nümunə həllini nəzərdən keçirək.

Müstəvidə düzbucaqlı koordinat sistemində müəyyən edilmiş iki xəttin kəsişmə nöqtəsini tənliklərlə tapın. x-9y+14=0 və 5x-2y-16=0.

Bizə xətlərin iki ümumi tənliyi verilmişdir, onlardan sistem quracağıq: . Yaranan tənliklər sisteminin həlli, əgər onun birinci tənliyi dəyişənə görə həll edilərsə, asanlıqla tapılır. x və bu ifadəni ikinci tənliklə əvəz edin:

Tənliklər sisteminin tapılmış həlli bizə iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin istənilən koordinatlarını verir.

M 0 (4, 2)- xətlərin kəsişmə nöqtəsi x-9y+14=0 və 5x-2y-16=0.

Deməli, müstəvidə ümumi tənliklərlə müəyyən edilən iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarının tapılması iki naməlum dəyişəni olan iki xətti tənlik sisteminin həllinə endirilir. Bəs müstəvidəki düz xətlər ümumi tənliklərlə deyil, fərqli tipli tənliklərlə verilirsə (müstəvidə düz xəttin tənliyinin növlərinə baxın) necə? Bu hallarda siz əvvəlcə xətlərin tənliklərini ümumi formaya gətirə bilərsiniz və yalnız bundan sonra kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapa bilərsiniz.

Verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmazdan əvvəl onların tənliklərini ümumi formaya gətiririk. Düz xəttin parametrik tənliklərindən bu düz xəttin ümumi tənliyinə keçid aşağıdakı kimidir:

İndi xəttin kanonik tənliyi ilə lazımi hərəkətləri edəcəyik:

Beləliklə, xətlərin kəsişmə nöqtəsinin istənilən koordinatları formanın tənliklər sisteminin həllidir. Bunu həll etmək üçün Cramer metodundan istifadə edirik:

M 0 (-5, 1)

Müstəvidə iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmağın başqa bir yolu var. Düz xətlərdən biri formanın parametrik tənlikləri ilə, digəri isə fərqli tipli düz xətt tənliyi ilə verildikdə istifadə etmək rahatdır. Bu vəziyyətdə dəyişənlər yerinə başqa bir tənliyə x və y və ifadələrini əvəz edə bilərsiniz, buradan verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsinə uyğun olan qiyməti ala bilərsiniz. Bu halda xətlərin kəsişmə nöqtəsi koordinatlara malikdir.

Əvvəlki nümunədən xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını bu şəkildə tapaq.

Xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını təyin edin və .

Birbaşa ifadənin tənliyində əvəz edin:

Nəticədə tənliyi həll edərək, əldə edirik. Bu dəyər xətlərin ümumi nöqtəsinə uyğundur və . Düz xətti parametrik tənliklərə əvəz etməklə kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını hesablayırıq:
.

M 0 (-5, 1).

Şəkili tamamlamaq üçün daha bir məqamı müzakirə etmək lazımdır.

Müstəvidə iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmazdan əvvəl verilmiş xətlərin həqiqətən kəsişdiyinə əmin olmaq faydalıdır. İlkin xətlərin üst-üstə düşdüyü və ya paralel olduğu ortaya çıxarsa, belə xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaqdan söhbət gedə bilməz.

Əlbəttə ki, belə bir yoxlama olmadan edə bilərsiniz və dərhal formanın tənliklər sistemini tərtib edib həll edə bilərsiniz. Əgər tənliklər sisteminin unikal həlli varsa, o zaman ilkin xətlərin kəsişdiyi nöqtənin koordinatlarını verir. Əgər tənliklər sisteminin həlli yoxdursa, onda ilkin xətlərin paralel olduğu qənaətinə gələ bilərik (çünki belə cüt həqiqi ədədlər yoxdur) x və y verilmiş xətlərin hər iki tənliyini eyni vaxtda təmin edəcək). Tənliklər sisteminə sonsuz həllər toplusunun mövcudluğundan belə nəticə çıxır ki, ilkin xətlərin sonsuz sayda ümumi nöqtələri var, yəni üst-üstə düşür.

Bu vəziyyətlərə uyğun olan nümunələrə baxaq.

Xətlərin kəsişdiyini və kəsişdiyini öyrənin və kəsişirsə, kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapın.

Xətlərin verilmiş tənlikləri və tənliklərinə uyğundur. Bu tənliklərdən ibarət sistemi həll edək.

Aydındır ki, sistemin tənlikləri bir-biri ilə xətti şəkildə ifadə olunur (sistemin ikinci tənliyi birincidən onun hər iki hissəsinin çarpılması ilə əldə edilir. 4 ), buna görə də tənliklər sisteminin sonsuz sayda həlli var. Beləliklə, tənliklər eyni xətti müəyyənləşdirir və biz bu xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaqdan danışa bilmərik.

tənliklər və düzbucaqlı koordinat sistemində müəyyən edilir Oksi eyni düz xəttdir, ona görə də kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaqdan danışa bilmərik.

Xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapın və mümkünsə.

Problemin şərti xətlərin kəsişmədiyini etiraf edir. Bu tənliklər sistemini tərtib edək. Onu həll etmək üçün Gauss metodunu tətbiq edirik, çünki bu, tənliklər sisteminin uyğunluğunu və ya uyğunsuzluğunu təyin etməyə imkan verir və onun uyğunluğu vəziyyətində həll yolu tapırıq:

Qauss metodunun birbaşa gedişindən sonra sistemin sonuncu tənliyi səhv bərabərliyə çevrildi, buna görə də tənliklər sisteminin həlli yoxdur. Buradan belə nəticəyə gəlmək olar ki, ilkin xətlər paraleldir və bu xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaqdan söhbət gedə bilməz.

İkinci həll.

Verilmiş xətlərin kəsişdiyini öyrənək.

Normal vektor xətt, vektor isə xəttin normal vektorudur. və vektorlarının kollinarlıq şərtinin yerinə yetirilməsini yoxlayaq: bərabərlik doğrudur, ona görə də verilmiş xətlərin normal vektorları kollineardır. Sonra bu xətlər paralel və ya üst-üstə düşür. Beləliklə, orijinal xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapa bilmirik.

verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq mümkün deyil, çünki bu xətlər paraleldir.

Xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapın 2x-1=0 və əgər onlar kəsişirsə.

Verilmiş xətlərin ümumi tənlikləri olan tənliklər sistemini tərtib edək: . Bu tənliklər sisteminin əsas matrisinin determinantı sıfırdan fərqlidir, ona görə də tənliklər sisteminin verilmiş xətlərin kəsişməsini göstərən unikal həlli var.

Xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq üçün sistemi həll etməliyik:

Alınan həll bizə xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını, yəni xətlərin kəsişmə nöqtəsini verir. 2x-1=0 və .

Səhifənin yuxarısı

Fəzada iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarının tapılması.

Üçölçülü fəzada iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatları oxşar şəkildə tapılır.

Qoy kəsişən xətlər olsun a və b düzbucaqlı koordinat sistemində verilmişdir Oxyz kəsişən iki müstəvi, yəni düz xəttin tənlikləri a forma sistemi və xətti ilə müəyyən edilir b- . Qoy olsun M 0- xətlərin kəsişmə nöqtəsi a və b. Sonra nöqtə M 0 tərifinə görə xəttinə aiddir a və birbaşa b, buna görə də onun koordinatları hər iki xəttin tənliklərini ödəyir. Beləliklə, xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatları a və bşəklində xətti tənliklər sisteminin həllini təmsil edir. Burada bizə tənliklərin sayı naməlum dəyişənlərin sayı ilə üst-üstə düşməyən xətti tənliklər sistemlərinin həlli bölməsindən məlumat lazımdır.

Nümunələri nəzərdən keçirək.

və tənlikləri ilə fəzada verilmiş iki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapın.

Verilmiş xətlərin tənliklərindən tənliklər sistemi quraq: . Bu sistemin həlli bizə fəzada xətlərin kəsişmə nöqtəsinin istənilən koordinatlarını verəcəkdir. Yazılı tənliklər sisteminin həllini tapaq.

Sistemin əsas matrisi formaya malikdir, genişləndirilmiş isə - .

Matrisin dərəcəsini təyin edin AMMA və matris dərəcəsi T. Determinantların hesablanmasını ətraflı təsvir etməyəcəyimiz halda, yetkinlik yaşına çatmayanların sərhədlənməsi metodundan istifadə edirik (lazım olduqda, matrisin determinantını hesablayan məqaləyə baxın):

Beləliklə, əsas matrisin dərəcəsi genişləndirilmiş matrisin dərəcəsinə bərabərdir və üçə bərabərdir.

Buna görə də tənliklər sisteminin unikal həlli var.

Determinantı bazis minor kimi qəbul edirik, ona görə də sonuncu tənlik əsas minorun formalaşmasında iştirak etmədiyi üçün tənliklər sistemindən xaric edilməlidir. Belə ki,

Yaranan sistemin həlli asanlıqla tapılır:

Beləliklə, xətlərin kəsişmə nöqtəsi və koordinatları var (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Qeyd etmək lazımdır ki, tənliklər sistemi yalnız və yalnız xətlər olduqda unikal həllə malikdir a və b kəsişmək. Əgər birbaşa a və b paralel və ya kəsişən, onda sonuncu tənliklər sisteminin həlli yoxdur, çünki bu halda xətlərin ortaq nöqtələri yoxdur. Düzdürsə a və büst-üstə düşür, onda onlar sonsuz ümumi nöqtələr toplusuna malikdirlər, buna görə də göstərilən tənliklər sistemi sonsuz həllər dəstinə malikdir. Lakin bu hallarda xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaqdan danışa bilmərik, çünki xətlər kəsişmir.

Beləliklə, əvvəlcədən bilməsək, verilmiş xətlər kəsişir a və b ya yox, formanın tənliklər sistemini qurmaq və onu Qauss üsulu ilə həll etmək məqsədəuyğundur. Unikal bir həll əldə etsək, o zaman xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarına uyğun olacaq a və b. Sistem uyğunsuz olduğu ortaya çıxarsa, o zaman birbaşa a və b kəsişməyin. Əgər sistemin sonsuz sayda həlli varsa, o zaman birbaşa a və b uyğun.

Gauss metodundan istifadə etmədən edə bilərsiniz. Alternativ olaraq, bu sistemin əsas və genişləndirilmiş matrislərinin dərəcələrini hesablaya və əldə edilən məlumatlara və Kronecker-Capelli teoreminə əsaslanaraq, ya tək bir həllin varlığı, ya da bir çox həllin mövcudluğu haqqında nəticə çıxara bilərsiniz. və ya həllərin olmaması haqqında. Bu dad məsələsidir.

Xətlər və kəsişirsə, kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını təyin edin.

Verilmiş tənliklər sistemini tərtib edək: . Onu matris şəklində Gauss üsulu ilə həll edirik:

Aydın oldu ki, tənliklər sisteminin həlli yoxdur, ona görə də verilmiş xətlər kəsişmir və bu xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaqdan söhbət gedə bilməz.

verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapa bilmirik, çünki bu xətlər kəsişmir.

Kesişən xətlər fəzadakı xəttin kanonik tənlikləri və ya fəzadakı xəttin parametrik tənlikləri ilə verildikdə, əvvəlcə onların tənliklərini kəsişən iki müstəvi şəklində almalı və yalnız bundan sonra kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmalısınız.

Düzbucaqlı koordinat sistemində kəsişən iki xətt verilmişdir Oxyz tənliklər və . Bu xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapın.

İlkin düz xətləri kəsişən iki müstəvi tənlikləri ilə təyin edək:

Xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapmaq üçün tənliklər sistemini həll etmək qalır. Bu sistemin əsas matrisinin dərəcəsi uzadılmış matrisin dərəcəsinə bərabərdir və üçə bərabərdir (bu faktı yoxlamağı tövsiyə edirik). Minor əsası olaraq, biz alırıq, buna görə də sonuncu tənlik sistemdən çıxarıla bilər. Yaranan sistemi hər hansı bir üsulla həll etdikdən sonra (məsələn, Kramer üsulu) həllini əldə edirik. Beləliklə, xətlərin kəsişmə nöqtəsi və koordinatları var (-2, 3, -5) .

"Həndəsi alqoritmlər" seriyasından dərs

Salam əziz oxucu!

Həndəsi alqoritmlərlə tanışlığı davam etdiririk. Keçən dərsdə iki nöqtənin koordinatlarında düz xəttin tənliyini tapdıq. Formada bir tənliyimiz var:

Bu gün biz iki düz xəttin tənliklərindən istifadə edərək onların kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını (əgər varsa) tapacaq bir funksiya yazacağıq. Həqiqi ədədlərin bərabərliyini yoxlamaq üçün RealEq() xüsusi funksiyasından istifadə edəcəyik.

Təyyarədəki nöqtələr bir cüt real ədədlə təsvir olunur. Həqiqi tipdən istifadə edərkən, müqayisə əməliyyatlarını xüsusi funksiyalarla təşkil etmək daha yaxşıdır.

Səbəbi məlumdur: Paskal proqramlaşdırma sistemində Real tip üzrə sıra əlaqəsi yoxdur, ona görə də a = b formalı qeydlərdən istifadə etməmək daha yaxşıdır, burada a və b həqiqi ədədlərdir.
Bu gün biz “=” (ciddi bərabər) əməliyyatını həyata keçirmək üçün RealEq() funksiyasını təqdim edəcəyik:

Funksiya RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (ciddi bərabər) başlayın RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Tapşırıq. İki düz xəttin tənlikləri verilmişdir: və . Onların kəsişmə nöqtəsini tapın.

Qərar. Aşkar həll xətlərin tənliklər sistemini həll etməkdir: Bu sistemi bir az fərqli şəkildə yenidən yazaq:
(1)

Qeydi təqdim edirik: , , . Burada D sistemin determinantıdır və müvafiq naməlum üçün əmsallar sütununu sərbəst şərtlər sütunu ilə əvəz etməklə alınan müəyyənedicilərdir. Əgər , onda (1) sistemi müəyyəndir, yəni onun unikal həlli var. Bu həlli aşağıdakı düsturlarla tapmaq olar: , , adlanır Kramer düsturları. İkinci dərəcəli determinantın necə hesablandığını xatırlatdım. Determinant iki diaqonalı fərqləndirir: əsas və ikincil. Əsas diaqonal determinantın yuxarı sol küncündən aşağı sağ küncə doğru istiqamətə götürülən elementlərdən ibarətdir. Yan diaqonal - yuxarı sağdan aşağı sola. İkinci dərəcəli determinant əsas diaqonalın elementlərinin hasilindən ikinci dərəcəli diaqonalın elementlərinin hasilinə bərabərdir.

Kod bərabərliyi yoxlamaq üçün RealEq() funksiyasından istifadə edir. Həqiqi ədədlər üzərində hesablamalar _Eps=1e-7-ə qədər dəqiqliklə aparılır.

Proqram geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(hesablama dəqiqliyi) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Funksiya RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (ciddi bərabər) başlayın RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Xətlərin tənliklərini bilərək, onların kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapa biləcəyiniz bir proqram tərtib etdik.