Tərs matris nümunələri necə həll etmək olar. tərs matris

Bu mövzu tələbələr arasında ən nifrət edilən mövzulardan biridir. Daha pisi, yəqin ki, seçmələrdir.

Məsələ ondadır ki, tərs element anlayışının özü (və mən təkcə matrislərdən danışmıram) bizi vurma əməliyyatına istinad edir. Hətta məktəb kurikulumunda vurma mürəkkəb əməliyyat hesab olunur və matrislərin vurulması ümumiyyətlə ayrıca bir mövzudur, mənim bütöv bir paraqraf və video dərsim var.

Bu gün biz matris hesablamalarının təfərrüatlarına girməyəcəyik. Yalnız xatırlayaq: matrislər necə təyin olunur, necə vurulur və bundan nə gəlir.

İcmal: Matrisin vurulması

Əvvəlcə nota ilə razılaşaq. $\left[ m\times n \right]$ ölçülü $A$ matrisi sadəcə olaraq $m$ sətirləri və $n$ sütunları olan ədədlər cədvəlidir:

\=\ underbrace(\left[ \begin(matris) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & (a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matris) \sağ])_(n)\]

Sətirləri və sütunları təsadüfən qarışdırmamaq üçün (inanın ki, imtahanda siz bəzi sətirləri bir yana qoymayın, birini iki ilə qarışdıra bilərsiniz) şəklə baxın:

Nə baş verir? Əgər siz $OXY$ standart koordinat sistemini yuxarı sol küncə yerləşdirsəniz və oxları bütün matrisi əhatə edəcək şəkildə istiqamətləndirsəniz, bu matrisin hər bir xanası unikal şəkildə $\left(x;y \right)$ koordinatları ilə əlaqələndirilə bilər. - bu sıra nömrəsi və sütun nömrəsi olacaq.

Niyə koordinat sistemi yuxarı sol küncdə yerləşdirilib? Bəli, ona görə ki, hər hansı mətni oxumağa oradan başlayırıq. Yadda saxlamaq çox asandır.

Niyə $x$ oxu sağa yox, aşağıya doğru yönəldilmişdir? Yenə də sadədir: standart koordinat sistemi götürün ($x$ oxu sağa, $y$ oxu yuxarı qalxır) və onu elə çevirin ki, matrisi əhatə etsin. Bu, saat əqrəbi istiqamətində 90 dərəcə fırlanmadır - şəkildəki nəticəni görürük.

Ümumiyyətlə, biz matris elementlərinin indekslərinin necə təyin olunacağını anladıq. İndi vurmağa baxaq.

Tərif. $A=\left[ m\times n \right]$ və $B=\left[ n\times k \right]$ matrisləri, birincidəki sütunların sayı ikincidəki sətirlərin sayı ilə üst-üstə düşdükdə, ardıcıl adlandırılır.

Məhz bu qaydada. Biri çaşdırıb deyə bilər ki, $A$ və $B$ matrisləri sifarişli $\left(A;B \right)$ cütünü təşkil edir: əgər onlar bu ardıcıllıqla uyğundursa, o zaman $B-yə qətiyyən ehtiyac yoxdur. $ və $A$ bunlardır. $\left(B;A \right)$ cütü də uyğundur.

Yalnız uyğun gələn matrisləri çoxaltmaq olar.

Tərif. Uyğun $A=\left[ m\times n \right]$ və $B=\left[ n\times k \right]$ matrislərinin hasili yeni $C=\left[ m\times k \right] matrisidir. ]$ , elementləri $((c)_(ij))$ düsturla hesablanır:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Başqa sözlə: $C=A\cdot B$ matrisinin $((c)_(ij))$ elementini almaq üçün birinci matrisin $i$-sətirini, $j$-ı götürmək lazımdır. ikinci matrisin -ci sütunu və sonra bu sətir və sütundan elementləri cüt-cüt çoxaldın. Nəticələri əlavə edin.

Bəli, bu çox sərt tərifdir. Ondan dərhal bir neçə fakt çıxır:

1. Matrisin vurulması, ümumiyyətlə, qeyri-kommutativdir: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Bununla belə, vurma assosiativdir: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. Və hətta distributiv olaraq: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. Və bir daha distributiv olaraq: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Vurmanın paylanması, vurma əməliyyatının qeyri-kommutativliyi səbəbindən dəqiq olaraq sol və sağ cəm amili üçün ayrıca təsvir edilməli idi.

$A\cdot B=B\cdot A$ olduğu ortaya çıxarsa, belə matrislər kommutativ adlanır.

Orada bir şeyə vurulan bütün matrislər arasında xüsusi olanlar var - hər hansı $A$ matrisi ilə vurulduqda yenidən $A$ verənlər:

Tərif. $A\cdot E=A$ və ya $E\cdot A=A$ olduqda $E$ matrisi eynilik adlanır. $A$ kvadrat matrisi vəziyyətində yaza bilərik:

Şəxsiyyət matrisi matris tənliklərini həll edərkən tez-tez qonaq olur. Və ümumiyyətlə, matrislər dünyasında tez-tez qonaq olur. :)

Və bu $E$-a görə kimsə bundan sonra yazılacaq bütün cəfəngiyatları ortaya atdı.

Tərs matris nədir

Matrislərin vurulması çox əmək tələb edən bir əməliyyat olduğundan (bir dəstə sətir və sütunu çoxaltmalısınız), tərs matris anlayışı da ən mənasız deyil. Və bəzi izahat tələb edir.

Açar Tərif

Yaxşı, həqiqəti bilmək vaxtıdır.

Tərif. $B$ matrisi əgər $A$ matrisinin tərsi adlanır

Tərs matris $((A)^(-1))$ ilə işarələnir (dərəcə ilə qarışdırılmamalıdır!), beləliklə tərifi aşağıdakı kimi yenidən yazmaq olar:

Görünür ki, hər şey son dərəcə sadə və aydındır. Ancaq bu tərifi təhlil edərkən dərhal bir neçə sual yaranır:

1. Tərs matris həmişə mövcuddurmu? Həmişə deyilsə, onda necə müəyyənləşdirmək olar: nə vaxt var və nə vaxt yoxdur?
2. Və kim dedi ki, məhz belə bir matris var? Əgər bəzi ilkin $A$ matrisi üçün tam tərs izdiham varsa, onda necə?
3. Bütün bu “əkslər” nəyə bənzəyir? Və onları dəqiq olaraq necə saymalıyıq?

Hesablama alqoritmlərinə gəlincə, bu barədə bir az sonra danışacağıq. Ancaq qalan suallara indi cavab verəcəyik. Onları ayrı-ayrı ifadələr-lemmalar şəklində formalaşdıraq.

Əsas xüsusiyyətlər

Gəlin $A$ matrisinin onun üçün $((A)^(-1))$ olması üçün prinsipcə necə görünməsi ilə başlayaq. İndi əmin olacağıq ki, bu matrislərin hər ikisi kvadrat və eyni ölçüdə olmalıdır: $\left[ n\times n \right]$.

Lemma 1. $A$ matrisi və onun tərsi $((A)^(-1))$ verilmişdir. Onda bu matrislərin hər ikisi kvadratdır və eyni tərtib $n$-dır.

Sübut. Bu sadədir. $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$ matrisi olsun. $A\cdot ((A)^(-1))=E$ məhsulu tərifinə görə mövcud olduğundan, $A$ və $((A)^(-1))$ matrisləri göstərilən ardıcıllıqla uyğundur:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( hizalayın)\]

Bu, matrisin çoxaldılması alqoritminin birbaşa nəticəsidir: $n$ və $a$ əmsalları “transit”dir və bərabər olmalıdır.

Eyni zamanda tərs vurma da müəyyən edilir: $((A)^(-1))\cdot A=E$, buna görə də $((A)^(-1))$ və $A$ matrisləri müəyyən edilmiş qaydada da uyğundur:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( hizalayın)\]

Beləliklə, ümumiliyi itirmədən hesab edə bilərik ki, $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Bununla belə, $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ tərifinə əsasən, matrislərin ölçüləri ciddi şəkildə üst-üstə düşür:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Beləliklə, məlum olur ki, hər üç matris - $A$, $((A)^(-1))$ və $E$ - $\left[ n\times n \right]$ ölçülü kvadrat matrislərdir. Lemma sübut edilmişdir.

Yaxşı, bu artıq yaxşıdır. Biz görürük ki, yalnız kvadrat matrislər tərsdir. İndi tərs matrisin həmişə eyni olduğuna əmin olaq.

Lemma 2. $A$ matrisi və onun tərsi $((A)^(-1))$ verilmişdir. Onda bu tərs matris yeganədir.

Sübut. Gəlin ziddiyyətlə gedək: $A$ matrisinin ən azı iki tərsi olsun - $B$ və $C$. Sonra, tərifə görə, aşağıdakı bərabərliklər doğrudur:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(hizalayın)\]

Lemma 1-dən belə nəticəyə gəlirik ki, bütün dörd matris - $A$, $B$, $C$ və $E$ - eyni düzülüşlü kvadratlardır: $\left[ n\times n \right]$. Beləliklə, məhsul müəyyən edilir:

Matris vurması assosiativ olduğundan (lakin kommutativ deyil!), biz yaza bilərik:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \sağ)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \sol(A\cdot C \sağ)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Sağ ox B=C. \\ \end(hizalayın)\]

Yeganə mümkün variantı əldə etdik: tərs matrisin iki nüsxəsi bərabərdir. Lemma sübut edilmişdir.

Yuxarıdakı arqumentlər bütün $b\ne 0$ real ədədləri üçün tərs elementin unikallığının sübutunu demək olar ki, sözlə təkrarlayır. Yeganə əhəmiyyətli əlavə matrislərin ölçüsünü nəzərə almaqdır.

Bununla belə, hər kvadrat matrisin çevrilə biləcəyi barədə hələ də heç nə bilmirik. Burada determinant köməyimizə gəlir - bu, bütün kvadrat matrislər üçün əsas xarakterikdir.

Lemma 3. $A$ matrisi verilmişdir. Əgər onun tərs matrisi $((A)^(-1))$ varsa, onda ilkin matrisin təyinedicisi sıfırdan fərqlidir:

\[\sol| A\sağ|\ne 0\]

Sübut. Biz artıq bilirik ki, $A$ və $((A)^(-1))$ $\left[ n\times n \right]$ ölçülü kvadrat matrislərdir. Buna görə də onların hər biri üçün müəyyənedicini hesablaya bilərik: $\left| A\right|$ və $\left| ((A)^(-1)) \right|$. Bununla belə, məhsulun determinantı determinantların hasilinə bərabərdir:

\[\sol| A\cdot B \right|=\sol| A \sağ|\cdot \sol| B \sağ|\Sağ ox \sol| A\cdot ((A)^(-1)) \sağ|=\sol| A \sağ|\cdot \sol| ((A)^(-1)) \sağ|\]

Lakin tərifə görə, $A\cdot ((A)^(-1))=E$ və $E$-ın determinantı həmişə 1-ə bərabərdir, ona görə də

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \sol| A\cdot ((A)^(-1)) \sağ|=\sol| E\sağ|; \\ & \sol| A \sağ|\cdot \sol| ((A)^(-1)) \sağ|=1. \\ \end(hizalayın)\]

İki ədədin hasili yalnız bu ədədlərin hər biri sıfırdan fərqli olduqda birə bərabərdir:

\[\sol| A \sağ|\ne 0;\dörd \sol| ((A)^(-1)) \sağ|\ne 0.\]

Belə çıxır ki, $\sol| A \sağ|\ne 0$. Lemma sübut edilmişdir.

Əslində bu tələb kifayət qədər məntiqlidir. İndi tərs matrisin tapılması alqoritmini təhlil edəcəyik - və tamamilə aydın olacaq ki, niyə sıfır determinant ilə heç bir tərs matrisin prinsipcə mövcud ola bilməz.

Ancaq əvvəlcə "köməkçi" tərifi formalaşdıraq:

Tərif. Sinqulyar matris $\left[ n\times n \right]$ ölçülü kvadrat matrisdir və müəyyənedicisi sıfırdır.

Beləliklə, hər bir çevrilə bilən matrisin tək olmadığını iddia edə bilərik.

Bir matrisin tərsini necə tapmaq olar

İndi tərs matrisləri tapmaq üçün universal alqoritmi nəzərdən keçirəcəyik. Ümumiyyətlə, iki ümumi qəbul edilmiş alqoritm var və biz bu gün ikincisini də nəzərdən keçirəcəyik.

İndi müzakirə ediləcək olan $\left[ 2\times 2 \right]$ və qismən - $\left[ 3\times 3 \right]$ ölçülü matrislər üçün çox təsirlidir. Lakin $\left[ 4\times 4 \right]$ ölçüsündən başlayaraq istifadə etməmək daha yaxşıdır. Niyə - indi hər şeyi özünüz başa düşəcəksiniz.

Cəbri əlavələr

Hazır ol. İndi ağrı olacaq. Xeyr, narahat olmayın: yubkalı gözəl bir tibb bacısı, krujevalı corablar sizə gəlməyəcək və ombanıza iynə vurmayacaq. Hər şey daha prozaikdir: cəbri əlavələr və Əlahəzrət "Birlik Matrisi" sizə gəlir.

Əsas olandan başlayaq. Elementləri $((a)_(ij))$ adlanan $A=\left[ n\times n \right]$ ölçülü kvadrat matrisa olsun. Sonra hər bir belə element üçün cəbri tamamlayıcı təyin edə bilərik:

Tərif. $((A)_(ij))$ cəbri $A=\left[ matrisinin $i$-ci sətirində və $j$th sütununda yerləşən $((a)_(ij))$ elementini tamamlayır. n \times n \right]$ formanın konstruksiyasıdır

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \sağ))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Burada $M_(ij)^(*)$ eyni $i$-ci sətir və $j$-ci sütunu silməklə orijinal $A$-dan alınan matrisin determinantıdır.

Yenidən. Koordinatları $\left(i;j \right)$ olan matrisin elementinin cəbri tamamlaması $((A)_(ij))$ kimi işarələnir və sxem üzrə hesablanır:

1. Əvvəlcə orijinal matrisdən $i$-sətir və $j$-th sütununu silirik. Yeni kvadrat matrisi alırıq və onun determinantını $M_(ij)^(*)$ kimi işarə edirik.
2. Sonra bu determinantı $((\left(-1 \right))^(i+j))$-a vururuq - əvvəlcə bu ifadə ağlasığmaz görünə bilər, amma mahiyyət etibarı ilə biz sadəcə qarşısındakı işarəni tapırıq. $M_(ij)^(*) $.
3. Sayırıq və müəyyən bir rəqəm alırıq. Bunlar. cəbri əlavə dəqiq bir ədəddir və bəzi yeni matrisa deyil və s.

$M_(ij)^(*)$ matrisinin özü $((a)_(ij))$ elementinə əlavə minor adlanır. Və bu mənada cəbri tamamlamanın yuxarıdakı tərifi daha mürəkkəb tərifin xüsusi halıdır - determinant haqqında dərsdə baxdıqlarımız.

Vacib qeyd. Əslində, "böyüklər" riyaziyyatında cəbri əlavələr aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

1. Kvadrat matrisdə $k$ sətirləri və $k$ sütunlarını götürürük. Onların kəsişməsində $\left[ k\times k \right]$ ölçülü matris alırıq - onun determinantı $k$ sırasının minoru adlanır və $((M)_(k))$ işarəsi ilə işarələnir.
2. Sonra bu “seçilmiş” $k$ sətirlərinin və $k$ sütunlarının üstündən xətt çəkirik. Bir daha kvadrat matrisi alırsınız - onun determinantı əlavə minor adlanır və $M_(k)^(*)$ işarəsi ilə işarələnir.
3. $M_(k)^(*)$-nı $((\left(-1 \sağ))^(t))$-a vurun, burada $t$ (diqqət indi!) bütün seçilmiş cərgələrin nömrələrinin cəmidir və sütunlar. Bu cəbri əlavə olacaq.

Üçüncü addıma baxın: əslində 2 min dollarlıq şərtlər var! Başqa bir şey odur ki, $k=1$ üçün biz cəmi 2 şərt alacağıq - bunlar eyni $i+j$ olacaq - bizim üçün nəzərdə tutulduğumuz $((a)_(ij))$ elementinin "koordinatları". cəbri tamamlayıcı axtarır.

Beləliklə, bu gün biz bir qədər sadələşdirilmiş tərifdən istifadə edirik. Ancaq sonra görəcəyimiz kimi, bu, kifayət qədər çox olacaq. Aşağıdakı şey daha vacibdir:

Tərif. $S$ kvadrat matrisinə $A=\left[ n\times n \right]$ $A$-dan alınan $\left[ n\times n \right]$ ölçülü yeni matrisdir. $(( a)_(ij))$ $((A)_(ij))$ cəbri əlavələrlə əvəz etməklə:

\\Sağ ox S=\sol[ \begin(matris) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matris) \sağ]\]

Bu tərifi həyata keçirən an yaranan ilk fikir “nə qədər hesablanacaq!” olur. Rahatlayın: saymalı olacaqsınız, amma o qədər də deyil. :)

Yaxşı, bütün bunlar çox gözəldir, amma niyə lazımdır? Bəs niyə.

Əsas teorem

Bir az geriyə qayıdaq. Yadda saxlayın ki, Lemma 3-də $A$ inversilə matrisinin həmişə qeyri-təkdir (yəni onun determinantı sıfırdan fərqlidir: $\left| A \right|\ne 0$) olduğu bildirilmişdi.

Deməli, bunun əksi də doğrudur: əgər $A$ matrisi tək deyilsə, o, həmişə tərsdir. Və hətta $((A)^(-1))$ üçün axtarış sxemi var. Onu yoxlamaq:

Tərs matris teoremi. $A=\left[ n\times n \right]$ kvadrat matrisi verilsin və onun təyinedicisi sıfırdan fərqli olsun: $\left| A \sağ|\ne 0$. Sonra $((A)^(-1))$ tərs matrisi mövcuddur və düsturla hesablanır:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\sol| A \sağ|)\cdot ((S)^(T))\]

İndi - hər şey eynidir, lakin oxunaqlı əl yazısında. Tərs matrisi tapmaq üçün sizə lazımdır:

1. $\left| determinantını hesablayın \right|$ və onun sıfır olmadığından əmin olun.
2. $S$ birləşmə matrisini qurun, yəni. $((A)_(ij))$ 100500 cəbri əlavə sayın və onları $((a)_(ij))$ yerinə qoyun.
3. Bu $S$ matrisini köçürün və sonra onu $q=(1)/(\left| A \right|)\;$ ədədinə vurun.

Hamısı budur! $((A)^(-1))$ tərs matrisi tapıldı. Nümunələrə baxaq:

\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \sağ]\]

Həll. Geri dönmə qabiliyyətini yoxlayaq. Determinantı hesablayaq:

\[\sol| A\sağ|=\sol| \begin(matris) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matris) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Determinant sıfırdan fərqlidir. Bu o deməkdir ki, matrisin tərsinə çevrilməsi mümkündür. Birlik matrisini yaradaq:

Cəbri əlavələri hesablayaq:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \sağ))^(1+2))\cdot \left| 5 \right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \sağ))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \sağ))^(2+2))\cdot \left| 3\sağ|=3. \\ \end(hizalayın)\]

Nəzərə alın: müəyyənedicilər |2|, |5|, |1| və |3| modullar deyil, $\left[ 1\times 1 \right]$ ölçülü matrislərin təyinediciləridir. Bunlar. Determinantlarda mənfi ədədlər varsa, "mənfi"ləri çıxarmağa ehtiyac yoxdur.

Ümumilikdə birlik matrisimiz belə görünür:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\sol| A \sağ|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(massiv) \sağ])^(T))=\left[ \begin (massiv)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(massiv) \sağ]\]

Tamam, indi hər şey bitdi. Problem həll olunur.

Cavab verin. $\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(massiv) \right]$

Tapşırıq. Tərs matrisi tapın:

\[\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(massiv) \sağ] \]

Həll. Determinantı yenidən hesablayırıq:

\[\begin(align) & \left| \begin(massiv)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(massiv) \right|=\begin(matris) ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \sağ)\cdot \left(-1 \sağ)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \sağ)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \sağ)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \sağ)\cdot 0 \sağ) \\\end(matris)= \ \ & =\left(2+1+0 \sağ)-\left(4+0+0 \sağ)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Determinant sıfırdan fərqlidir - matris çevrilə biləndir. Amma indi çox çətin olacaq: biz 9-a qədər (doqquz, ana sik!) cəbri əlavələri saymalıyıq. Və onların hər birində $\left[ 2\times 2 \right]$ determinantı olacaq. Uçdu:

\[\begin(matris) ((A)_(11))=((\left(-1 \sağ))^(1+1))\cdot \left| \begin(matris) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matris) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \sağ))^(1+2))\cdot \left| \begin(matris) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matris) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \sağ))^(1+3))\cdot \left| \begin(matris) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matris) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \sağ))^(3+3))\cdot \left| \begin(matris) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matris) \right|=2; \\ \son (matris)\]

Qısacası, birləşmə matrisi belə görünəcək:

Beləliklə, tərs matris olacaq:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matris) \sağ]=\left[ \begin(massiv)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\end(massiv) \sağ]\]

Bu belədir. Cavab budur.

Cavab verin. $\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(massiv) \sağ ]$

Gördüyünüz kimi, hər bir nümunənin sonunda bir yoxlama apardıq. Bu baxımdan vacib bir qeyd:

Yoxlamaq üçün tənbəllik etməyin. Orijinal matrisi tapılan tərs matrisə vurun - $E$ almalısınız.

Bu yoxlamanı yerinə yetirmək, məsələn, bir matris tənliyini həll edərkən sonrakı hesablamalarda səhv axtarmaqdan daha asan və sürətlidir.

Alternativ yol

Dediyim kimi, tərs matris teoremi $\left[ 2\times 2 \right]$ və $\left[ 3\times 3 \right]$ ölçüləri üçün əla işləyir (sonuncu halda o qədər də “əla” deyil" ), lakin daha böyük matrislər üçün kədər başlayır.

Ancaq narahat olmayın: alternativ bir alqoritm var ki, onun köməyi ilə hətta $\left[ 10\times 10 \right]$ matrisi üçün də tərsini tapa bilərsiniz. Ancaq tez-tez olduğu kimi, bu alqoritmi nəzərdən keçirmək üçün bir az nəzəri girişə ehtiyacımız var.

Elementar çevrilmələr

Bütün mümkün matris çevrilmələri arasında bir neçə xüsusi var - bunlar elementar adlanır. Üç belə çevrilmə var:

1. Vurma. Siz $i$-ci cərgəni (sütun) götürüb istənilən ədədə vura bilərsiniz $k\ne 0$;
2. Əlavə. $i$-ci sətirə (sütun) hər hansı digər $j$-ci sətirə (sütun) əlavə edin, istənilən $k\ne 0$ ədədinə vurulur (əlbəttə, $k=0$ edə bilərsiniz, amma nə var? nöqtə? Heç nə dəyişməyəcək).
3. Yenidən təşkili. $i$th və $j$th sətirləri (sütunları) götürün və yerləri dəyişdirin.

Niyə bu çevrilmələr elementar adlanır (böyük matrislər üçün o qədər də elementar görünmür) və niyə onlardan yalnız üçü var - bu suallar bugünkü dərsin əhatə dairəsindən kənardadır. Ona görə də təfərrüatlara varmayacağıq.

Başqa bir şey vacibdir: bütün bu təhrifləri birləşən matrisdə yerinə yetirməliyik. Bəli, bəli: düz eşitdiniz. İndi daha bir tərif olacaq - bugünkü dərsdə sonuncu.

Birləşən matris

Şübhəsiz ki, məktəbdə siz əlavə metodundan istifadə edərək tənliklər sistemlərini həll etdiniz. Yaxşı, bir sətirdən digərini çıxarın, bəzi sətirləri ədədə vurun - hamısı budur.

Beləliklə: indi hər şey eyni olacaq, ancaq "böyük" şəkildə. Hazırsan?

Tərif. $A=\left[ n\times n \right]$ matrisi və eyni ölçülü $n$ olan $E$ eynilik matrisi verilsin. Sonra $\left[ A\left| bitişik matrisi E\sağ. \right]$ $\left[ n\times 2n \right]$ ölçülü yeni matrisdir və belə görünür:

\[\left[ A\left| E\sağ. \right]=\left[ \begin(massiv)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & (a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(massiv) \sağ]\]

Bir sözlə, $A$ matrisini götürürük, sağda ona lazım olan ölçüdə $E$ şəxsiyyət matrisini təyin edirik, onları gözəllik üçün şaquli çubuqla ayırırıq - burada əlavə var. :)

Tutmaq nədir? Budur:

Teorem. $A$ matrisi inversiv olsun. $\left[ A\left| bitişik matrisini nəzərdən keçirək E\sağ. \right]$. İstifadə edərsə elementar sətir çevrilmələri$\left[ E\left| formasına gətirin B\sağ. \right]$, yəni. $A$-dan sağdakı $E$ matrisini əldə etmək üçün cərgələri vuraraq, çıxararaq və yenidən təşkil etməklə, solda alınan $B$ matrisi $A$-ın tərsidir:

\[\left[ A\left| E\sağ. \sağ]\to \sola[ E\sola| B\sağ. \sağ]\Sağ ox B=((A)^(-1))\]

Bu qədər sadədir! Bir sözlə, tərs matrisin tapılması alqoritmi belə görünür:

1. $\left[ A\left| bitişik matrisini yazın E\sağ. \right]$;
2. $A$ əvəzinə $E$ görünənə qədər elementar sətir çevirmələrini həyata keçirin;
3. Əlbəttə ki, solda bir şey də görünəcək - müəyyən bir matris $B$. Bunun əksi olacaq;
4. MƏNFƏR! :)

Əlbəttə ki, bunu söyləmək etməkdən daha asandır. Beləliklə, gəlin bir neçə nümunəyə baxaq: $\left[ 3\times 3 \right]$ və $\left[ 4\times 4 \right]$ ölçüləri üçün.

Tapşırıq. Tərs matrisi tapın:

\[\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(massiv) \sağ]\ ]

Həll. Qarşılıqlı matrisi yaradırıq:

\[\left[ \begin(massiv)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 və 1 \\\end(massiv) \sağ]\]

Orijinal matrisin son sütunu birlərlə dolu olduğundan, qalanlardan birinci sətri çıxarın:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(massiv) \sağ]\begin(matris) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matris)\\\ & \to \sola [ \begin(massiv)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(massiv) \sağ] \\ \end(align)\]

Birinci sətir istisna olmaqla, artıq vahidlər yoxdur. Ancaq biz ona toxunmuruq, əks halda yeni çıxarılan vahidlər üçüncü sütunda "çoxalmağa" başlayacaq.

Ancaq ikinci sətri sonuncudan iki dəfə çıxara bilərik - aşağı sol küncdə birini alırıq:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(massiv) \sağ]\begin(matris) \\\ \downarrow \\ -2 \\\end(matris)\to \\ & \sol [ \begin(massiv)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(massiv) \sağ] \\ \end(align)\]

İndi birincidən sonuncu sətri, ikincidən isə iki dəfə çıxa bilərik - bu yolla birinci sütunu “sıfırlayırıq”:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(massiv) \sağ]\begin(matris) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matris)\to \\ & \ \left[ \begin(massiv)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(massiv) \sağ] \\ \end(align)\]

İkinci sətri −1-ə vurun, sonra birincidən 6 dəfə çıxın və sonuncuya 1 dəfə əlavə edin:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(massiv) \sağ]\begin(matris) \ \\ \sol| \cdot \left(-1 \sağ) \sağ. \\ \ \\\end(matris)\to \\ & \to \sola[ \begin(massiv)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(massiv) \sağ]\begin(matris) -6 \\ \yuxarı aşağı \\ +1 \\\end (matris)\to \\ & \to \sola[ \begin(massiv)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(massiv) \sağ] \\ \end(align)\]

Yalnız 1 və 3-cü sətirləri dəyişdirmək qalır:

\[\left[ \begin(massiv)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(massiv) \sağ]\]

Hazır! Sağda tələb olunan tərs matrisdir.

Cavab verin. $\left[ \begin(massiv)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(massiv) \sağ ]$

Tapşırıq. Tərs matrisi tapın:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\son (matris) \sağ]\]

Həll. Əlavəni yenidən düzəldirik:

\[\left[ \begin(massiv)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(massiv) \sağ]\]

Gəlin bir az ağlayaq, indi nə qədər saymalı olduğumuza kədərlənək... və saymağa başlayaq. Əvvəlcə 2 və 3-cü sətirlərdən 1-ci sətiri çıxararaq birinci sütunu “sıfırlayaq”:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(massiv) \right]\begin(matris) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \sola[ \begin(massiv)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(massiv) \sağ] \\ \end(align)\]

Biz 2-4-cü sətirlərdə çoxlu “eksiler” görürük. Hər üç cərgəni −1-ə vurun və sonra qalanlardan 3-cü sətiri çıxararaq üçüncü sütunu yandırın:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(massiv) \sağ]\begin(matris) \ \\ \sol| \cdot \left(-1 \sağ) \sağ. \\ \sol| \cdot \left(-1 \sağ) \sağ. \\ \sol| \cdot \left(-1 \sağ) \sağ. \\\end(matris)\to \\ & \to \sola[ \begin(massiv)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (massiv) \sağ]\begin(matris) -2 \\ -1 \\ \yuxarı aşağı arrow \\ -2 \\\end(matris)\to \\ & \to \sola[ \begin(massiv)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(massiv) \sağ] \\ \end(align)\]

İndi orijinal matrisin son sütununu "qızartmaq" vaxtıdır: qalanlardan 4-cü sətiri çıxarın:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(massiv ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\ end(matrix)\to \\ & \to \sola[ \begin(massiv)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(massiv) \sağ] \\ \end(align)\]

Son atış: 1 və 3-cü sətirlərdən 2-ci sətri çıxarmaqla ikinci sütunu “yandırın”:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( massiv) \sağ]\begin(matris) 6 \\ \yuxarı arrow \\ -5 \\ \ \\\end(matris)\to \\ & \sola [ \begin(massiv)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(massiv) \sağ] \\ \end(align)\]

Və yenə şəxsiyyət matrisi soldadır, yəni tərs sağdadır. :)

Cavab verin. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matris) \sağ]$

Əgər $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ şərti yerinə yetirilərsə, $A^(-1)$ matrisi $A$ kvadrat matrisinin tərsi adlanır, burada $E $ eynilik matrisidir, onun sırası $A$ matrisinin sırasına bərabərdir.

Qeyri-sinqulyar matris müəyyənedicisi sıfıra bərabər olmayan matrisdir. Müvafiq olaraq, tək matris müəyyənedicisi sıfıra bərabər olan matrisdir.

$A^(-1)$ tərs matrisi yalnız və yalnız $A$ matrisi tək olmayan olduqda mövcuddur. Əgər $A^(-1)$ tərs matrisi varsa, o, unikaldır.

Matrisin tərsini tapmağın bir neçə yolu var və biz onlardan ikisinə baxacağıq. Bu səhifədə əksər ali riyaziyyat kurslarında standart hesab edilən əlavə matris metodu müzakirə olunacaq. Tərs matrisin tapılmasının ikinci üsulu (elementar çevrilmələr üsulu) ikinci hissədə Gauss metodundan və ya Gauss-Jordan metodundan istifadəni nəzərdə tutur.

Qoşulmuş matris metodu

$A_(n\times n)$ matrisi verilsin. $A^(-1)$ tərs matrisini tapmaq üçün üç addım lazımdır:

1. $A$ matrisinin determinantını tapın və əmin olun ki, $\Delta A\neq 0$, yəni. A matrisi tək deyil.
2. $A$ matrisinin hər bir elementinin $A_(ij)$ cəbri tamamlamalarını tərtib edin və tapılmış cəbrdən $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ matrisini yazın. tamamlayır.
3. $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ düsturunu nəzərə alaraq tərs matrisi yazın.

$(A^(*))^T$ matrisi çox vaxt $A$ matrisinə bitişik (qarşılıqlı, müttəfiq) adlanır.

Həll əl ilə aparılırsa, birinci üsul yalnız nisbətən kiçik sifarişlərin matrisləri üçün yaxşıdır: ikinci (), üçüncü (), dördüncü (). Daha yüksək dərəcəli matrisin tərsini tapmaq üçün başqa üsullardan istifadə olunur. Məsələn, ikinci hissədə müzakirə olunan Qauss metodu.

Nümunə №1

$A=\left(\begin(massiv) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 matrisinin tərsini tapın & -9 & 0 \end(massiv) \sağ)$.

Dördüncü sütunun bütün elementləri sıfıra bərabər olduğundan, $\Delta A=0$ (yəni $A$ matrisi təkdir). $\Delta A=0$ olduğundan, $A$ matrisinə tərs matris yoxdur.

Nümunə № 2

$A=\left(\begin(massiv) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(massiv)\right)$ matrisinin tərsini tapın.

Biz əlavə matris metodundan istifadə edirik. Əvvəlcə verilmiş $A$ matrisinin determinantını tapaq:

$$ \Delta A=\sol| \begin(massiv) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(massiv)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

$\Delta A \neq 0$ olduğundan tərs matris mövcuddur, ona görə də həlli davam etdirəcəyik. Cəbri tamamlamaların tapılması

\begin(üstərilmiş) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(düzləşdirilmiş)

Biz cəbri əlavələrin matrisini tərtib edirik: $A^(*)=\left(\begin(massiv) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(massiv)\right)$.

Yaranan matrisi köçürürük: $(A^(*))^T=\left(\begin(massiv) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(massiv)\right)$ (the əldə edilən matrisə çox vaxt $A$ matrisinə bitişik və ya müttəfiq matris deyilir. $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ düsturundan istifadə edərək bizdə:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(massiv) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(massiv)\sağ) =\left(\begin(massiv) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(massiv)\sağ) $$

Beləliklə, tərs matris tapılır: $A^(-1)=\left(\begin(massiv) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(massiv) )\sağ) $. Nəticənin doğruluğunu yoxlamaq üçün bərabərliklərdən birinin doğruluğunu yoxlamaq kifayətdir: $A^(-1)\cdot A=E$ və ya $A\cdot A^(-1)=E$. $A^(-1)\cdot A=E$ bərabərliyini yoxlayaq. Kəsrlərlə daha az işləmək üçün $A^(-1)$ matrisini $\left(\begin(massiv) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 şəklində deyil, əvəz edəcəyik. & 5/103 \ end(massiv)\right)$ və şəklində $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(massiv) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(massiv)\sağ)$:

Cavab verin: $A^(-1)=\left(\begin(massiv) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(massiv)\sağ)$.

Nümunə № 3

$A=\left(\begin(massiv) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(massiv) \right)$ matrisi üçün tərs matrisi tapın .

$A$ matrisinin determinantını hesablamaqla başlayaq. Beləliklə, $A$ matrisinin təyinedicisi:

$$ \Delta A=\sol| \begin(massiv) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(massiv) \sağ| = 18-36+56-12=26. $$

$\Delta A\neq 0$ olduğundan tərs matris mövcuddur, ona görə də həlli davam etdirəcəyik. Verilmiş matrisin hər bir elementinin cəbri tamamlayıcılarını tapırıq:

Cəbri əlavələrdən ibarət matrisa düzəldirik və onu köçürürük:

$$ A^*=\left(\begin(massiv) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(massiv) \sağ); \; (A^*)^T=\left(\begin(massiv) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(massiv) \sağ) $$

$A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ düsturundan istifadə edərək əldə edirik:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(massiv) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(massiv) \sağ)= \sol(\begin(massiv) (cc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(massiv) \sağ) $$

Beləliklə, $A^(-1)=\left(\begin(massiv) (cc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(massiv) \sağ)$. Nəticənin doğruluğunu yoxlamaq üçün bərabərliklərdən birinin doğruluğunu yoxlamaq kifayətdir: $A^(-1)\cdot A=E$ və ya $A\cdot A^(-1)=E$. $A\cdot A^(-1)=E$ bərabərliyini yoxlayaq. Kəsrlərlə daha az işləmək üçün $A^(-1)$ matrisini $\left(\begin(massiv) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ şəklində deyil, əvəz edəcəyik. \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(massiv) \right)$ və $\frac(1)(26) şəklində )\cdot \left( \begin(massiv) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(massiv) \sağ)$:

Yoxlama uğurlu alındı, tərs $A^(-1)$ matrisi düzgün tapıldı.

Cavab verin: $A^(-1)=\left(\begin(massiv) (cc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(massiv) \sağ)$.

Nümunə № 4

$A=\left(\begin(massiv) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 matrisinin tərsini tapın & 8 & -8 & -3 \end(massiv) \sağ)$.

Dördüncü dərəcəli matris üçün cəbri əlavələrdən istifadə edərək tərs matrisi tapmaq bir qədər çətindir. Bununla belə, bu cür nümunələr test sənədlərində olur.

Matrisin tərsini tapmaq üçün əvvəlcə $A$ matrisinin determinantını hesablamaq lazımdır. Bu vəziyyətdə bunu etməyin ən yaxşı yolu determinantı bir sıra (sütun) boyunca parçalamaqdır. İstənilən sətir və ya sütunu seçirik və seçilmiş sətir və ya sütunun hər bir elementinin cəbri tamamlayıcılarını tapırıq.

Tərif 1: müəyyənedicisi sıfırdırsa, matris tək adlanır.

Tərif 2: müəyyənedicisi sıfıra bərabər deyilsə, matris qeyri-təkil adlanır.

Matris "A" adlanır tərs matris, A*A-1 = A-1 *A = E (vahid matrisi) şərti ödənilirsə.

Kvadrat matris yalnız qeyri-təkdirsə çevrilə bilər.

Tərs matrisin hesablanması sxemi:

1) Əgər "A" matrisinin determinantını hesablayın ∆ A = 0, onda tərs matris mövcud deyil.

2) “A” matrisinin bütün cəbri tamamlayıcılarını tapın.

3) Cəbri əlavələr matrisini yaradın (Aij)

4) Cəbri tamamlamaların (Aij )T matrisini köçürün

5) Köçürülən matrisi bu matrisin determinantının tərsinə çarpın.

6) Yoxlayın:

İlk baxışdan mürəkkəb görünə bilər, amma əslində hər şey çox sadədir. Bütün həllər sadə hesab əməliyyatlarına əsaslanır, həll edərkən əsas odur ki, “-” və “+” işarələri ilə səhv salmamaq və onları itirməməkdir.

İndi tərs matrisi hesablayaraq praktiki tapşırığı birlikdə həll edək.

Tapşırıq: aşağıdakı şəkildə göstərilən tərs "A" matrisini tapın:

1. İlk iş “A” matrisinin determinantını tapmaqdır:

İzahat:

Determinantımızı onun əsas funksiyalarından istifadə edərək sadələşdirmişik. Əvvəlcə 2-ci və 3-cü sətirlərə birinci sətrin elementlərini bir ədədə vuraraq əlavə etdik.

İkincisi, determinantın 2-ci və 3-cü sütunlarını dəyişdik və onun xüsusiyyətlərinə görə qarşısındakı işarəni dəyişdirdik.

Üçüncüsü, ikinci xəttin ümumi amilini (-1) çıxardıq, bununla da işarəni yenidən dəyişdik və müsbət oldu. Biz də misalın ən əvvəlində olduğu kimi 3-cü sətri sadələşdirdik.

Diaqonalın altındakı elementləri sıfıra bərabər olan üçbucaqlı determinantımız var və 7 xassəsinə görə o, diaqonal elementlərin hasilinə bərabərdir. Sonda aldıq ∆ A = 26, buna görə də tərs matris mövcuddur.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 = -1*(9+2) = -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Növbəti addım alınan əlavələrdən matrisin tərtib edilməsidir:

5. Bu matrisi determinantın tərsinə, yəni 1/26-ya vurun:

6. İndi sadəcə yoxlamaq lazımdır:

Test zamanı bir şəxsiyyət matrisi aldıq, buna görə də həll tamamilə düzgün aparıldı.

Tərs matrisi hesablamaq üçün 2 üsul.

1. Elementar matrisin çevrilməsi

2. Elementar çevirici vasitəsilə tərs matris.

Elementar matrisin çevrilməsinə aşağıdakılar daxildir:

1. Sətirin sıfıra bərabər olmayan ədədə vurulması.

2. İstənilən sətirə nömrə ilə vurulan başqa bir sətir əlavə etmək.

3. Matrisin sətirlərini dəyişdirin.

4. Elementar çevrilmələr zəncirini tətbiq edərək, başqa bir matris əldə edirik.

A -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2.A -1 * A = E

Həqiqi ədədlərlə praktiki nümunədən istifadə edərək buna baxaq.

Məşq: Tərs matrisi tapın.

Həll:

yoxlayaq:

Həll haqqında bir az aydınlıq:

Əvvəlcə matrisin 1-ci və 2-ci sətirlərini yenidən təşkil etdik, sonra birinci sıranı (-1) ilə vurduq.

Bundan sonra birinci cərgəni (-2) vurduq və matrisin ikinci sırasına əlavə etdik. Sonra 2-ci sətri 1/4-ə vurduq.

Transformasiyanın son mərhələsi ikinci xətti 2-yə vurmaq və birinci ilə əlavə etmək idi. Nəticədə, solda şəxsiyyət matrisi var, buna görə də tərs matris sağdakı matrisdir.

Yoxladıqdan sonra qərarın düzgün olduğuna əmin olduq.

Gördüyünüz kimi, tərs matrisin hesablanması çox sadədir.

Bu mühazirənin sonunda mən də belə bir matrisin xüsusiyyətlərinə bir az vaxt ayırmaq istərdim.

n-ci dərəcəli kvadrat matrisa olsun

A -1 matrisi adlanır tərs matris A matrisinə münasibətdə, əgər A*A -1 = E olarsa, burada E n-ci sıranın eynilik matrisidir.

Şəxsiyyət matrisi- elə bir kvadrat matrisdir ki, burada əsas diaqonal boyunca yuxarı sol küncdən aşağı sağ küncə keçən bütün elementlər birdir, qalanları isə sıfırdır, məsələn:

tərs matris mövcud ola bilər yalnız kvadrat matrislər üçün olanlar. sətirlərin və sütunların sayının üst-üstə düşdüyü matrislər üçün.

Tərs matrisin mövcudluq şərti üçün teorem

Bir matrisin tərs matrisə malik olması üçün onun qeyri-tək olması zəruri və kifayətdir.

A = (A1, A2,...A n) matrisi adlanır degenerativ olmayan, əgər sütun vektorları xətti müstəqildirsə. Matrisin xətti müstəqil sütun vektorlarının sayı matrisin rütbəsi adlanır. Buna görə də deyə bilərik ki, tərs matrisin mövcud olması üçün matrisin dərəcəsinin ölçüsünə bərabər olması zəruri və kifayətdir, yəni. r = n.

Tərs matrisin tapılması alqoritmi

1. Qauss metodundan istifadə edərək tənliklər sistemlərinin həlli üçün cədvələ A matrisini yazın və ona sağ tərəfdə (tənliklərin sağ tərəflərinin yerinə) E matrisini təyin edin.
2. İordaniya çevrilmələrindən istifadə edərək, A matrisini vahid sütunlardan ibarət matrisə endirin; bu halda eyni zamanda E matrisini çevirmək lazımdır.
3. Lazım gələrsə, sonuncu cədvəlin cərgələrini (tənliklərini) elə düzəldin ki, orijinal cədvəlin A matrisinin altında E eynilik matrisini əldə edin.
4. İlkin cədvəlin E matrisinin altında sonuncu cədvəldə yerləşən A -1 tərs matrisini yazın.

A matrisi üçün tərs A matrisini -1 tapın

Həlli: A matrisini yazırıq və E eynilik matrisini sağa təyin edirik.İordan çevrilmələrindən istifadə edərək A matrisini E eynilik matrisinə endiririk.Hesablamalar cədvəl 31.1-də verilmişdir.

İlkin A matrisini və tərs A matrisini -1-ə vuraraq hesablamaların düzgünlüyünü yoxlayaq.

Matrislərin vurulması nəticəsində eynilik matrisi alındı. Ona görə də hesablamalar düzgün aparılıb.

Cavab:

Matris tənliklərinin həlli

Matris tənlikləri belə görünə bilər:

AX = B, HA = B, AXB = C,

burada A, B, C müəyyən edilmiş matrislər, X arzu olunan matrisdir.

Matris tənlikləri tənliyi tərs matrislərə vurmaqla həll edilir.

Məsələn, tənlikdən matrisi tapmaq üçün bu tənliyi sol tərəfə vurmaq lazımdır.

Buna görə də, tənliyin həllini tapmaq üçün tərs matrisi tapmaq və onu tənliyin sağ tərəfindəki matrisə vurmaq lazımdır.

Digər tənliklər də eyni şəkildə həll edilir.

Əgər AX = B tənliyini həll edin

Həll: Tərs matris bərabər olduğundan (misal 1-ə baxın)

İqtisadi təhlildə matris metodu

Başqaları ilə yanaşı, onlar da istifadə olunur matris üsulları. Bu üsullar xətti və vektor-matris cəbrinə əsaslanır. Belə üsullar mürəkkəb və çoxölçülü iqtisadi hadisələrin təhlili məqsədləri üçün istifadə olunur. Çox vaxt bu üsullar təşkilatların və onların struktur bölmələrinin fəaliyyətini müqayisəli qiymətləndirmək lazım olduqda istifadə olunur.

Matris təhlili üsullarının tətbiqi prosesində bir neçə mərhələni ayırmaq olar.

Birinci mərhələdə iqtisadi göstəricilər sistemi formalaşdırılır və onun əsasında ilkin məlumatların matrisi tərtib edilir ki, bu da sistem nömrələrinin fərdi sətirlərində göstərildiyi cədvəldir. (i = 1,2,.....,n), və şaquli sütunlarda - göstəricilərin nömrələri (j = 1,2,.....,m).

İkinci mərhələdə Hər bir şaquli sütun üçün mövcud göstərici dəyərlərindən ən böyüyü müəyyən edilir, bu da bir kimi alınır.

Bundan sonra, bu sütunda əks olunan bütün məbləğlər ən böyük dəyərə bölünür və standartlaşdırılmış əmsalların matrisi formalaşır.

Üçüncü mərhələdə matrisin bütün komponentləri kvadratdır. Əgər onlar fərqli əhəmiyyətə malikdirlərsə, onda hər bir matris göstəricisinə müəyyən çəki əmsalı verilir k. Sonuncunun dəyəri ekspert rəyi ilə müəyyən edilir.

Sonuncuda, dördüncü mərhələ reytinq dəyərləri tapıldı Rj artım və ya azalma sırasına görə qruplaşdırılır.

Göstərilən matris üsulları, məsələn, müxtəlif investisiya layihələrinin müqayisəli təhlilində, habelə təşkilatların fəaliyyətinin digər iqtisadi göstəricilərinin qiymətləndirilməsində istifadə edilməlidir.

tərs matris

Tərs matris həm sağda, həm də solda verilmiş matrislə vurulduqda eynilik matrisini verən matrisdir.
Matrisin tərs matrisini işarə edək A vasitəsilə, sonra tərifə görə alırıq:

Harada E- şəxsiyyət matrisi.
Kvadrat matrisçağırdı xüsusi deyil (degenerativ olmayan) onun təyinedicisi sıfır deyilsə. Əks halda adlanır xüsusi (degenerasiya etmək) və ya tək.

Teorem tutur: Tək olmayan hər bir matrisin tərs matrisi var.

Tərs matrisin tapılması əməliyyatı adlanır müraciət etmək matrislər. Matris inversiya alqoritmini nəzərdən keçirək. Tək olmayan matris verilsin n-ci sifariş:

burada Δ = det A ≠ 0.

Elementin cəbri əlavəsi matrislər n-ci sifariş A müəyyən işarə ilə alınan matrisin təyinedicisi adlanır ( n–1) silməklə əldə edilən sıra i-ci xətt və j ci matris sütunu A:

Gəlin sözdə yaradaq əlavə olunur matris:

matrisin müvafiq elementlərinin cəbri tamamlayıcıları haradadır A.
Qeyd edək ki, matrisin sıra elementlərinin cəbri əlavələri A matrisin müvafiq sütunlarında yerləşdirilir à , yəni matris eyni zamanda köçürülür.
Matrisin bütün elementlərini bölməklə Ã Δ ilə – matrisin determinantının qiyməti A, nəticədə tərs matrisi alırıq:

Tərs matrisin bir sıra xüsusi xassələrini qeyd edək:
1) verilmiş matris üçün A onun tərs matrisi yeganədir;
2) tərs matris varsa, onda sağ tərs Və sol tərs matrislər onunla üst-üstə düşür;
3) tək (tək) kvadrat matrisin tərs matrisi yoxdur.

Tərs matrisin əsas xüsusiyyətləri:
1) tərs matrisin təyinedicisi və ilkin matrisin təyinedicisi qarşılıqlıdır;
2) kvadrat matrislərin hasilinin tərs matrisi tərs qaydada alınan amillərin tərs matrisinin hasilinə bərabərdir:

3) köçürülmüş tərs matris verilmiş köçürülmüş matrisin tərs matrisinə bərabərdir:

NÜMUNƏ Verilmiş matrisin tərsini hesablayın.