Find vinklen mellem rette linjers formel. Vinkel mellem to lige linjer

EN. Lad os angive to rette linjer Disse rette linjer danner, som angivet i kapitel 1, forskellige positive og negative vinkler, som enten kan være spidse eller stumpe. Når vi kender en af ​​disse vinkler, kan vi nemt finde enhver anden.

For alle disse vinkler er den numeriske værdi af tangenten den samme, forskellen kan kun være i tegnet

Ligninger af linjer. Tallene er projektioner af retningsvektorerne for den første og anden rette linie. Vinklen mellem disse vektorer er lig med en af ​​vinklerne dannet af rette linier. Derfor handler problemet om at bestemme vinklen mellem vektorerne.Vi får

For nemheds skyld kan vi blive enige om, at vinklen mellem to rette linjer er en spids positiv vinkel (som f.eks. i fig. 53).

Så vil tangenten af ​​denne vinkel altid være positiv. Således, hvis der er et minustegn på højre side af formel (1), så skal vi kassere det, dvs. kun gemme den absolutte værdi.

Eksempel. Bestem vinklen mellem rette linjer

Ifølge formel (1) har vi

Med. Hvis det er angivet, hvilken af ​​vinklens sider der er dens begyndelse, og hvilken er dens ende, så kan vi, altid med at tælle retningen af ​​vinklen mod uret, udtrække noget mere fra formel (1). Som det er let at se af fig. 53, vil tegnet opnået på højre side af formel (1) angive, hvilken slags vinkel - spids eller stump - den anden lige linje danner med den første.

(Fra fig. 53 ser vi faktisk, at vinklen mellem den første og anden retningsvektor enten er lig med den ønskede vinkel mellem de rette linjer eller adskiller sig fra den med ±180°.)

d. Hvis linjerne er parallelle, så er deres retningsvektorer parallelle. Ved at anvende betingelsen om parallelitet af to vektorer får vi!

Dette er en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for paralleliteten af ​​to linjer.

Eksempel. Direkte

er parallelle pga

e. Hvis linjerne er vinkelrette, er deres retningsvektorer også vinkelrette. Ved at anvende betingelsen om vinkelrethed af to vektorer opnår vi betingelsen om vinkelrethed af to rette linjer, nemlig

Eksempel. Direkte

er vinkelrette på grund af det faktum, at

I forbindelse med betingelserne for parallelitet og vinkelrethed vil vi løse følgende to problemer.

f. Tegn en linje gennem et punkt parallelt med den givne linje

Løsningen udføres således. Da den ønskede linje er parallel med denne, så kan vi for dens retningsvektor tage den samme som den for den givne linje, dvs. en vektor med projektionerne A og B. Og så vil ligningen for den ønskede linje blive skrevet i formularen (§ 1)

Eksempel. Ligning for en linje, der går gennem punktet (1; 3) parallelt med linjen

der kommer næste!

g. Tegn en linje gennem et punkt vinkelret på den givne linje

Her er det ikke længere egnet at tage vektoren med projektioner A og som ledevektor, men det er nødvendigt at tage vektoren vinkelret på den. Fremskrivningerne af denne vektor skal derfor vælges i henhold til betingelsen for vinkelrethed af begge vektorer, dvs.

Denne betingelse kan opfyldes på utallige måder, da her er én ligning med to ukendte. Men den nemmeste måde er at tage eller Så vil ligningen for den ønskede linje blive skrevet i formen

Eksempel. Ligning for en linje, der går gennem punktet (-7; 2) i en vinkelret linje

der vil være følgende (ifølge den anden formel)!

h. I det tilfælde, hvor linjerne er givet ved formens ligninger

Instruktioner

Bemærk

Perioden for den trigonometriske funktion tangent er lig med 180 grader, hvilket betyder, at hældningsvinklerne for rette linjer ikke i absolut værdi kan overstige denne værdi.

Nyttige råd

Hvis vinkelkoefficienterne er lig med hinanden, så er vinklen mellem sådanne linjer 0, da sådanne linjer enten falder sammen eller er parallelle.

For at bestemme værdien af ​​vinklen mellem skærende linjer er det nødvendigt at flytte begge linjer (eller en af ​​dem) til en ny position ved hjælp af den parallelle oversættelsesmetode, indtil de skærer. Efter dette skal du finde vinklen mellem de resulterende skærende linjer.

Du får brug for

• Lineal, retvinklet trekant, blyant, vinkelmåler.

Instruktioner

Så lad vektoren V = (a, b, c) og planen A x + B y + C z = 0 være givet, hvor A, B og C er koordinaterne til normalen N. Så er vinklens cosinus α mellem vektorerne V og N er lig med: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

For at beregne vinklen i grader eller radianer skal du beregne den inverse til cosinusfunktion ud fra det resulterende udtryk, dvs. arccosine:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Eksempel: find hjørne mellem vektor(5, -3, 8) og fly, givet ved den generelle ligning 2 x – 5 y + 3 z = 0. Løsning: nedskriv koordinaterne for normalvektoren i planen N = (2, -5, 3). Erstat alle kendte værdier i den givne formel: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Video om emnet

En ret linje, der har ét fælles punkt med en cirkel, er tangent til cirklen. Et andet træk ved tangenten er, at den altid er vinkelret på radius tegnet til kontaktpunktet, det vil sige, at tangenten og radius danner en ret linje hjørne. Hvis to tangenter til en cirkel AB og AC trækkes fra et punkt A, så er de altid lig med hinanden. Bestemmelse af vinklen mellem tangenter ( hjørne ABC) er lavet ved hjælp af Pythagoras sætning.

Instruktioner

For at bestemme vinklen skal du kende radius af cirklen OB og OS og afstanden af ​​startpunktet for tangenten fra centrum af cirklen - O. Så vinklerne ABO og ACO er ens, radius OB er, for eksempel 10 cm, og afstanden til centrum af cirklen AO er 15 cm. Bestem længden af ​​tangenten ved hjælp af formlen i overensstemmelse med Pythagoras sætning: AB = kvadratroden af ​​AO2 – OB2 eller 152 - 102 = 225 – 100 = 125;

Jeg skal fatte mig kort. Vinklen mellem to rette linjer er lig med vinklen mellem deres retningsvektorer. Så hvis det lykkes dig at finde koordinaterne til retningsvektorerne a = (x 1 ; y 1 ; z 1) og b = (x 2 ; y 2​; z 2), så kan du finde vinklen. Mere præcist, cosinus af vinklen ifølge formlen:

Lad os se, hvordan denne formel fungerer ved hjælp af specifikke eksempler:

Opgave. I terningen ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 er punkterne E og F markeret - midtpunkterne på henholdsvis kanterne A 1 B 1 og B 1 C 1. Find vinklen mellem linjerne AE og BF.

Da kanten af ​​terningen ikke er specificeret, lad os sætte AB = 1. Vi introducerer et standardkoordinatsystem: origo er i punktet A, x-, y-, z-akserne er rettet langs henholdsvis AB, AD og AA 1. Enhedssegmentet er lig med AB = 1. Lad os nu finde koordinaterne til retningsvektorerne for vores linjer.

Lad os finde koordinaterne for vektor AE. Til dette har vi brug for punkterne A = (0; 0; 0) og E = (0,5; 0; 1). Da punkt E er midten af ​​segmentet A 1 B 1, er dets koordinater lig med det aritmetiske middelværdi af endernes koordinater. Bemærk, at oprindelsen af ​​vektoren AE falder sammen med oprindelsen af ​​koordinaterne, så AE = (0,5; 0; 1).

Lad os nu se på BF-vektoren. På samme måde analyserer vi punkterne B = (1; 0; 0) og F = (1; 0,5; 1), fordi F er midten af ​​segmentet B 1 C 1. Vi har:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).

Så retningsvektorerne er klar. Cosinus for vinklen mellem rette linjer er cosinus for vinklen mellem retningsvektorerne, så vi har:

Opgave. I et regulært trekantet prisme ABCA 1 B 1 C 1, hvor alle kanter er lig med 1, er punkterne D og E markeret - midtpunkterne på henholdsvis kanterne A 1 B 1 og B 1 C 1. Find vinklen mellem linje AD og BE.

Lad os introducere et standardkoordinatsystem: oprindelsen er ved punkt A, x-aksen er rettet langs AB, z - langs AA 1. Lad os rette y-aksen, så OXY-planet falder sammen med ABC-planet. Enhedssegmentet er lig med AB = 1. Lad os finde koordinaterne for retningsvektorerne for de nødvendige linjer.

Lad os først finde koordinaterne for vektoren AD. Overvej punkterne: A = (0; 0; 0) og D = (0,5; 0; 1), fordi D - midten af ​​segmentet A 1 B 1. Da begyndelsen af ​​vektoren AD falder sammen med oprindelsen af ​​koordinater, får vi AD = (0,5; 0; 1).

Lad os nu finde koordinaterne for vektor BE. Punkt B = (1; 0; 0) er let at beregne. Med punkt E - midten af ​​segmentet C 1 B 1 - er det lidt mere kompliceret. Vi har:

Det er tilbage at finde cosinus af vinklen:

Opgave. I et regulært sekskantet prisme ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, hvor alle kanter er lig med 1, er punkterne K og L markeret - midtpunkterne af henholdsvis kanterne A 1 B 1 og B 1 C 1 . Find vinklen mellem linjerne AK og BL.

Lad os introducere et standardkoordinatsystem for et prisme: vi placerer koordinaternes oprindelse i midten af ​​den nederste base, x-aksen er rettet langs FC, y-aksen er rettet gennem midtpunkterne af segmenterne AB og DE, og z aksen er rettet lodret opad. Enhedssegmentet er igen lig med AB = 1. Lad os nedskrive koordinaterne for de punkter, der er af interesse for os:

Punkterne K og L er midtpunkterne af henholdsvis segmenterne A 1 B 1 og B 1 C 1, så deres koordinater findes gennem det aritmetiske middelværdi. Når vi kender punkterne, finder vi koordinaterne for retningsvektorerne AK og BL:

Lad os nu finde cosinus af vinklen:

Opgave. I en regulær firkantet pyramide SABCD, hvor alle kanter er lig med 1, er punkterne E og F markeret - midtpunkterne på henholdsvis siderne SB og SC. Find vinklen mellem linjerne AE og BF.

Lad os introducere et standardkoordinatsystem: oprindelsen er i punktet A, x- og y-akserne er rettet langs henholdsvis AB og AD, og ​​z-aksen er rettet lodret opad. Enhedssegmentet er lig med AB = 1.

Punkterne E og F er midtpunkterne af henholdsvis segmenterne SB og SC, så deres koordinater findes som det aritmetiske middelværdi af enderne. Lad os nedskrive koordinaterne for de punkter, der er af interesse for os:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Når vi kender punkterne, finder vi koordinaterne for retningsvektorerne AE og BF:

Koordinaterne for vektor AE falder sammen med koordinaterne for punkt E, da punkt A er origo. Det er tilbage at finde cosinus af vinklen:

Definition. Hvis to linjer er givet y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, så vil den spidse vinkel mellem disse linjer blive defineret som

To linjer er parallelle, hvis k 1 = k 2. To linjer er vinkelrette, hvis k 1 = -1/ k 2.

Sætning. Linjerne Ax + Bу + C = 0 og A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 er parallelle, når koefficienterne A 1 = λA, B 1 = λB er proportionale. Hvis også C 1 = λC, så falder linjerne sammen. Koordinaterne for skæringspunktet for to linjer findes som en løsning på disse linjers ligningssystem.

Ligning for en linje, der går gennem et givet punkt

Vinkelret på en given linje

Definition. En ret linje, der går gennem punktet M 1 (x 1, y 1) og vinkelret på den rette linje y = kx + b, er repræsenteret ved ligningen:

Afstand fra punkt til linje

Sætning. Hvis et punkt M(x 0, y 0) er givet, så bestemmes afstanden til linjen Ax + Bу + C = 0 som

.

Bevis. Lad punktet M 1 (x 1, y 1) være bunden af ​​vinkelret faldet fra punkt M til en given ret linje. Så afstanden mellem punkterne M og M 1:

(1)

Koordinaterne x 1 og y 1 kan findes ved at løse ligningssystemet:

Systemets anden ligning er ligningen for en linje, der går gennem et givet punkt M 0 vinkelret på en given linje. Hvis vi transformerer systemets første ligning til formen:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,

så når vi løser, får vi:

Ved at erstatte disse udtryk i ligning (1), finder vi:

Sætningen er blevet bevist.

Eksempel. Bestem vinklen mellem linjerne: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p/4.

Eksempel. Vis, at linjerne 3x – 5y + 7 = 0 og 10x + 6y – 3 = 0 er vinkelrette.

Løsning. Vi finder: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, derfor er linjerne vinkelrette.

Eksempel. Givet er hjørnerne af trekanten A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Find ligningen for højden tegnet fra toppunktet C.

Løsning. Vi finder ligningen for side AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Den nødvendige højdeligning har formen: Ax + By + C = 0 eller y = kx + b. k = . Så y =. Fordi højden passerer gennem punkt C, så opfylder dens koordinater denne ligning: hvorfra b = 17. I alt:.

Svar: 3 x + 2 år – 34 = 0.

Ligningen for en linje, der går gennem et givet punkt i en given retning. Ligning for en linje, der går gennem to givne punkter. Vinklen mellem to lige linjer. Betingelsen for parallelitet og vinkelrethed af to rette linjer. Bestemmelse af skæringspunktet mellem to linjer

1. Ligning for en linje, der går gennem et givet punkt EN(x 1 , y 1) i en given retning, bestemt af hældningen k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Denne ligning definerer en blyant af linjer, der går gennem et punkt EN(x 1 , y 1), som kaldes strålecentret.

2. Ligning for en linje, der går gennem to punkter: EN(x 1 , y 1) og B(x 2 , y 2), skrevet sådan:

Vinkelkoefficienten for en ret linje, der går gennem to givne punkter, bestemmes af formlen

3. Vinkel mellem lige linjer EN Og B er den vinkel, som den første rette linje skal drejes med EN omkring skæringspunktet for disse linjer mod uret, indtil det falder sammen med den anden linje B. Hvis to rette linjer er givet ved ligninger med en hældning

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

så er vinklen mellem dem bestemt af formlen

Det skal bemærkes, at i brøkens tæller trækkes hældningen af ​​den første linje fra hældningen på den anden linje.

Hvis ligningerne for en linje er givet i generel form

EN 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

EN 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

vinklen mellem dem bestemmes af formlen

4. Betingelser for parallelitet af to linjer:

a) Hvis linjerne er givet ved ligning (4) med en vinkelkoefficient, så er den nødvendige og tilstrækkelige betingelse for deres parallelitet ligheden mellem deres vinkelkoefficienter:

k 1 = k 2 . (8)

b) For det tilfælde, hvor linjerne er givet ved ligninger i generel form (6), er en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for deres parallelitet, at koefficienterne for de tilsvarende aktuelle koordinater i deres ligninger er proportionale, dvs.

5. Betingelser for vinkelrethed af to rette linjer:

a) I det tilfælde, hvor linjerne er givet ved ligning (4) med en vinkelkoefficient, er en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for deres vinkelrethed, at deres vinkelkoefficienter er omvendt i størrelse og modsat fortegn, dvs.

Denne betingelse kan også skrives i skemaet

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Hvis linjeligningerne er givet i generel form (6), så er betingelsen for deres vinkelrethed (nødvendig og tilstrækkelig) at opfylde ligheden

EN 1 EN 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Koordinaterne til skæringspunktet for to linjer findes ved at løse ligningssystemet (6). Linjer (6) skærer hvis og kun hvis

1. Skriv ligningerne for linjer, der går gennem punktet M, hvoraf den ene er parallel og den anden vinkelret på den givne linje l.

Vinkel mellem rette linjer i rummet vil vi kalde enhver af de tilstødende vinkler dannet af to rette linjer trukket gennem et vilkårligt punkt parallelt med dataene.

Lad to linjer angives i rummet:

Det er klart, at vinklen φ mellem rette linjer kan tages som vinklen mellem deres retningsvektorer og . Siden , så ved hjælp af formlen for cosinus af vinklen mellem vektorer får vi

Betingelserne for parallelitet og vinkelrethed af to rette linjer svarer til betingelserne for parallelitet og vinkelrethed af deres retningsvektorer og:

To lige parallel hvis og kun hvis deres tilsvarende koefficienter er proportionale, dvs. l 1 parallel l 2 hvis og kun hvis parallelt .

To lige vinkelret hvis og kun hvis summen af ​​produkterne af de tilsvarende koefficienter er lig med nul: .

U mål mellem linje og fly

Lad det være lige d- ikke vinkelret på θ-planet;
d′− projektion af en linje d til θ-planet;
Den mindste vinkel mellem rette linjer d Og d"Vi ringer vinkel mellem en ret linje og et plan.
Lad os betegne det som φ=( d,θ)
Hvis d⊥θ, derefter ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− rektangulært koordinatsystem.
Planligning:

θ: Økse+Ved+Cz+D=0

Vi antager, at den rette linje er defineret af et punkt og en retningsvektor: d[M 0,s→]
Vektor n→(EN,B,C)⊥θ
Så er det tilbage at finde ud af vinklen mellem vektorerne n→ og s→, lad os betegne det som γ=( n→,s→).

Hvis vinklen γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Hvis vinklen er γ>π/2, så er den ønskede vinkel φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Derefter, vinkel mellem ret linje og plan kan beregnes ved hjælp af formlen:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √EN 2+B 2+C 2√s 21+s 22+s 23

Spørgsmål 29. Begrebet kvadratisk form. Tegnbestemthed af kvadratiske former.

Kvadratisk form j (x 1, x 2, …, x n) n reelle variable x 1, x 2, …, x n kaldes summen af ​​formen
, (1)

Hvor en ij – nogle tal kaldet koefficienter. Uden tab af almenhed kan vi antage det en ij = en ji.

Den kvadratiske form kaldes gyldig, Hvis en ij Î GR. Matrix af kvadratisk form kaldes en matrix, der består af dens koefficienter. Den kvadratiske form (1) svarer til den eneste symmetriske matrix
Det er A T = A. Følgelig kan kvadratisk form (1) skrives i matrixform j ( x) = x T Ah, Hvor x T = (x 1 x 2 … x n). (2)

Og omvendt svarer hver symmetrisk matrix (2) til en unik kvadratisk form op til notationen af ​​variable.

Rang af kvadratisk form kaldes rangen af ​​dens matrix. Den kvadratiske form kaldes ikke-degenereret, hvis dens matrix er ikke-singular EN. (husk på, at matrixen EN kaldes ikke-degenereret, hvis dens determinant ikke er lig med nul). Ellers er den kvadratiske form degenereret.

positiv bestemt(eller strengt taget positiv) hvis

j ( x) > 0 , for enhver x = (x 1 , x 2 , …, x n), undtagen x = (0, 0, …, 0).

Matrix EN positiv bestemt andengradsform j ( x) kaldes også positiv bestemt. Derfor svarer en positiv bestemt kvadratisk form til en unik positiv bestemt matrix og omvendt.

Den kvadratiske form (1) kaldes negativt defineret(eller strengt negativ) hvis

j ( x) < 0, для любого x = (x 1 , x 2 , …, x n), undtagen x = (0, 0, …, 0).

På samme måde som ovenfor kaldes en matrix af negativ bestemt kvadratisk form også negativ bestemt.

Følgelig vil den positive (negative) bestemte andengradsform j ( x) når minimum (maksimum) værdi j ( X*) = 0 at X* = (0, 0, …, 0).

Bemærk, at de fleste kvadratiske former ikke er tegnbestemte, det vil sige, at de hverken er positive eller negative. Sådanne kvadratiske former forsvinder ikke kun ved oprindelsen af ​​koordinatsystemet, men også på andre punkter.

Hvornår n> 2, kræves særlige kriterier for at kontrollere fortegnet på en kvadratisk form. Lad os se på dem.

Større mindreårige andengradsform kaldes mindreårige:

det vil sige, disse er mindreårige af størrelsesordenen 1, 2, ..., n matricer EN, placeret i øverste venstre hjørne, falder den sidste af dem sammen med matrixens determinant EN.

Positivt bestemthedskriterium (Sylvester-kriterium)

x) = x T Ah var positiv bestemt, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at alle større mindreårige i matrixen EN var positive, dvs. M 1 > 0, M 2 > 0, …, Mn > 0. Negativt sikkerhedskriterium For at den andengradsform j ( x) = x T Ah var negativ bestemt, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at dens primære mindreårige af lige orden er positive og af ulige orden - negative, dvs. M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n