Aritmeettisen progression kaava n luku. Aritmeettinen ja geometrinen progressio

Aritmeettinen progressio nimeä numerosarja (etenemisen termit)

Jossa jokainen seuraava termi eroaa edellisestä uudella termillä, jota myös kutsutaan askel tai etenemisero.

Siten määrittämällä etenemisaskel ja sen ensimmäinen termi, voit löytää minkä tahansa sen elementin kaavan avulla

Aritmeettisen progression ominaisuudet

1) Jokainen aritmeettisen jakson jäsen toisesta numerosta alkaen on progression edellisen ja seuraavan jäsenen aritmeettinen keskiarvo

Päinvastoin on myös totta. Jos etenemisen vierekkäisten parittomien (parillisten) termien aritmeettinen keskiarvo on yhtä suuri kuin niiden välissä oleva termi, tämä numerosarja on aritmeettinen progressio. Tämän lauseen avulla on erittäin helppo tarkistaa mikä tahansa sekvenssi.

Myös aritmeettisen etenemisen ominaisuuden perusteella yllä oleva kaava voidaan yleistää seuraavaan

Tämä on helppo tarkistaa, jos kirjoitat termit yhtäläisyysmerkin oikealle puolelle

Sitä käytetään usein käytännössä yksinkertaistamaan laskutoimituksia tehtävissä.

2) Aritmeettisen etenemisen n ensimmäisen ehdon summa lasketaan kaavalla

Muista hyvin aritmeettisen progression summan kaava, se on välttämätön laskelmissa ja löytyy melko usein yksinkertaisista elämäntilanteista.

3) Jos sinun ei tarvitse löytää koko summaa, vaan osa sarjasta alkaen sen k:nnestä termistä, seuraava summakaava on hyödyllinen sinulle

4) Käytännön kiinnostavaa on löytää k:nnestä luvusta alkaen aritmeettisen progression n:n jäsenen summa. Käytä tätä varten kaavaa

Tähän päättyy teoreettinen materiaali ja siirrytään yleisten ongelmien ratkaisemiseen käytännössä.

Esimerkki 1. Etsi aritmeettisen progression neljäskymmenes termi 4;7;...

Ratkaisu:

Meidän tilanteen mukaan

Määritetään etenemisvaihe

Tunnetun kaavan avulla löydämme etenemisen neljäskymmenes termin

Esimerkki 2. Aritmeettinen progressio annetaan sen kolmannella ja seitsemännellä termillä. Etsi progression ensimmäinen termi ja kymmenen summa.

Ratkaisu:

Kirjataan annetut etenemisen alkiot muistiin kaavojen avulla

Vähennämme ensimmäisen toisesta yhtälöstä, minkä tuloksena löydämme etenemisaskeleen

Korvaamme löydetyn arvon mihin tahansa yhtälöihin löytääksemme aritmeettisen etenemisen ensimmäisen termin

Laskemme etenemisen kymmenen ensimmäisen ehdon summan

Ilman monimutkaisia ​​laskelmia löysimme kaikki tarvittavat määrät.

Esimerkki 3. Aritmeettinen progressio annetaan nimittäjällä ja yhdellä sen termeistä. Etsi progression ensimmäinen termi, sen 50 termin summa alkaen 50 ja ensimmäisten 100 summa.

Ratkaisu:

Kirjataan ylös kaava progression sadasosalle

ja löytää ensimmäinen

Ensimmäisen perusteella löydämme etenemisen 50. termin

Etenemisen osan summan löytäminen

ja ensimmäisen 100 summa

Edistymissumma on 250.

Esimerkki 4.

Etsi aritmeettisen progression termien lukumäärä, jos:

a3-a1 = 8, a2 + a4 = 14, Sn = 111.

Ratkaisu:

Kirjoitetaan yhtälöt ensimmäisen termin ja etenemisaskeleen suhteen ja määritetään ne

Korvaamme saadut arvot summakaavaan määrittääksemme termien lukumäärän summassa

Teemme yksinkertaistamista

ja ratkaise toisen asteen yhtälö

Kahdesta löydetystä arvosta vain numero 8 sopii ongelmaolosuhteisiin. Näin ollen etenemisen kahdeksan ensimmäisen ehdon summa on 111.

Esimerkki 5.

Ratkaise yhtälö

1+3+5+...+x=307.

Ratkaisu: Tämä yhtälö on aritmeettisen progression summa. Kirjoitetaan sen ensimmäinen termi ja selvitetään etenemisero

Lukiossa (9. luokalla) algebraa opiskellessa yksi tärkeimmistä aiheista on numeeristen sekvenssien opiskelu, joka sisältää progressioita - geometriaa ja aritmetiikkaa. Tässä artikkelissa tarkastellaan aritmeettista etenemistä ja esimerkkejä ratkaisuineen.

Mikä on aritmeettinen progressio?

Tämän ymmärtämiseksi on tarpeen määritellä kyseessä oleva eteneminen sekä antaa peruskaavat, joita käytetään myöhemmin ongelmien ratkaisussa.

Tiedetään, että jossain algebrallisessa etenemisessä 1. termi on 6 ja 7. termi on 18. On tarpeen löytää ero ja palauttaa tämä sekvenssi 7. termiin.

Määritetään tuntematon termi kaavalla: a n = (n - 1) * d + a 1 . Korvataan siihen ehdon tunnetut tiedot, eli luvut a 1 ja a 7, meillä on: 18 = 6 + 6 * d. Tästä lausekkeesta voit helposti laskea eron: d = (18 - 6) /6 = 2. Olemme siis vastanneet tehtävän ensimmäiseen osaan.

Jos haluat palauttaa sekvenssin 7. termiin, sinun tulee käyttää algebrallisen etenemisen määritelmää, toisin sanoen a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d ja niin edelleen. Tämän seurauksena palautamme koko sekvenssin: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Esimerkki nro 3: etenemisen laatiminen

Tehdään ongelmasta vieläkin monimutkaisempi. Nyt meidän on vastattava kysymykseen, kuinka löytää aritmeettinen progressio. Voidaan antaa seuraava esimerkki: annetaan kaksi numeroa, esimerkiksi - 4 ja 5. On tarpeen luoda algebrallinen eteneminen siten, että näiden väliin tulee vielä kolme termiä.

Ennen kuin aloitat tämän ongelman ratkaisemisen, sinun on ymmärrettävä, mikä paikka annetuilla numeroilla on tulevassa etenemisessä. Koska niiden välillä on vielä kolme termiä, niin a 1 = -4 ja a 5 = 5. Kun tämä on selvitetty, siirrymme ongelmaan, joka on samanlainen kuin edellinen. Jälleen n:nnelle termille käytämme kaavaa, saamme: a 5 = a 1 + 4 * d. Alkaen: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Tämä ei ole erotuksen kokonaisluku, vaan rationaalinen luku, joten algebrallisen etenemisen kaavat pysyvät samoina.

Lisätään nyt löydetty ero 1:een ja palautetaan etenemisen puuttuvat ehdot. Saamme: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, jotka osuvat samaan ongelman ehtojen kanssa.

Esimerkki nro 4: etenemisen ensimmäinen termi

Jatketaan esimerkkien antamista aritmeettisesta etenemisestä ratkaisujen kanssa. Kaikissa aiemmissa tehtävissä tunnettiin algebrallisen etenemisen ensimmäinen numero. Tarkastellaan nyt erityyppistä ongelmaa: annetaan kaksi lukua, joissa a 15 = 50 ja a 43 = 37. On selvitettävä millä numerolla tämä sarja alkaa.

Tähän mennessä käytetyt kaavat olettavat 1:n ja d:n tuntemista. Ongelmalausekkeessa näistä luvuista ei tiedetä mitään. Siitä huolimatta kirjoitamme lausekkeet jokaiselle termille, josta on saatavilla tietoa: a 15 = a 1 + 14 * d ja a 43 = a 1 + 42 * d. Saimme kaksi yhtälöä, joissa on 2 tuntematonta määrää (a 1 ja d). Tämä tarkoittaa, että ongelma rajoittuu lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseen.

Helpoin tapa ratkaista tämä järjestelmä on ilmaista 1 jokaisessa yhtälössä ja sitten verrata saatuja lausekkeita. Ensimmäinen yhtälö: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; toinen yhtälö: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Yhtälöimällä nämä lausekkeet saadaan: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, josta ero d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (vain 3 desimaalin tarkkuutta on annettu).

Kun tiedät d:n, voit käyttää mitä tahansa yllä olevista kahdesta lausekkeesta 1:lle. Esimerkiksi ensin: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Jos epäilet saatua tulosta, voit tarkistaa sen, esimerkiksi määrittää etenemisen 43. termi, joka on määritelty ehdossa. Saamme: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Pieni virhe johtuu siitä, että laskelmissa käytettiin pyöristystä tuhannesosaan.

Esimerkki nro 5: määrä

Katsotaan nyt useita esimerkkejä ratkaisuilla aritmeettisen progression summalle.

Olkoon seuraava numeerinen eteneminen: 1, 2, 3, 4, ...,. Kuinka laskea näiden lukujen 100 summa?

Tietotekniikan kehityksen ansiosta tämä ongelma on mahdollista ratkaista, eli lisätä kaikki numerot peräkkäin, minkä tietokone tekee heti, kun henkilö painaa Enter-näppäintä. Ongelma voidaan kuitenkin ratkaista henkisesti, jos huomioi, että esitetty lukusarja on algebrallinen eteneminen ja sen ero on yhtä suuri kuin 1. Soveltamalla summan kaavaa saadaan: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

On mielenkiintoista huomata, että tätä ongelmaa kutsutaan "Gaussiseksi", koska 1700-luvun alussa kuuluisa saksalainen, vielä vain 10-vuotias, pystyi ratkaisemaan sen päässään muutamassa sekunnissa. Poika ei tiennyt algebrallisen progression summan kaavaa, mutta hän huomasi, että jos lisäät sarjan päiden luvut pareittain, saat aina saman tuloksen, eli 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., ja koska nämä summat ovat täsmälleen 50 (100 / 2), oikean vastauksen saamiseksi riittää kertoa 50 101: llä.

Esimerkki nro 6: termien summa n:stä m:ään

Toinen tyypillinen esimerkki aritmeettisen progression summasta on seuraava: annettuna lukusarja: 3, 7, 11, 15, ..., sinun on löydettävä mikä sen ehtojen summa välillä 8-14 on yhtä suuri .

Ongelma ratkaistaan ​​kahdella tavalla. Ensimmäinen niistä sisältää tuntemattomien termien etsimisen väliltä 8-14 ja sitten niiden summaamisen peräkkäin. Koska termejä on vähän, tämä menetelmä ei ole kovin työvoimavaltainen. Tästä huolimatta ehdotetaan tämän ongelman ratkaisemista toisella menetelmällä, joka on universaalimpi.

Ajatuksena on saada kaava termien m ja n välisen algebrallisen etenemisen summalle, missä n > m ovat kokonaislukuja. Molemmissa tapauksissa kirjoitamme summalle kaksi lauseketta:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Koska n > m, on selvää, että 2. summa sisältää ensimmäisen. Viimeinen johtopäätös tarkoittaa, että jos otamme näiden summien välisen erotuksen ja lisäämme siihen termin a m (eron ottamisen tapauksessa se vähennetään summasta S n), saamme tarvittavan vastauksen ongelmaan. Meillä on: S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n *n/2 + a m* (1- m/2). On välttämätöntä korvata kaavat n:n ja m:n kohdalla tähän lausekkeeseen. Sitten saadaan: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Tuloksena oleva kaava on hieman hankala, mutta summa S mn riippuu vain arvoista n, m, a 1 ja d. Meidän tapauksessamme a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Korvaamalla nämä luvut saadaan: S mn = 301.

Kuten yllä olevista ratkaisuista voidaan nähdä, kaikki tehtävät perustuvat n:nnen termin lausekkeen ja ensimmäisten termien summan kaavan tuntemiseen. Ennen kuin aloitat näiden ongelmien ratkaisemisen, on suositeltavaa lukea ehto huolellisesti, ymmärtää selvästi, mitä sinun on löydettävä, ja vasta sitten jatkaa ratkaisua.

Toinen vinkki on pyrkiä yksinkertaisuuteen, eli jos voit vastata kysymykseen käyttämättä monimutkaisia ​​matemaattisia laskelmia, sinun on tehtävä juuri niin, koska tässä tapauksessa virheen tekemisen todennäköisyys on pienempi. Esimerkiksi esimerkissä aritmeettisesta progressiosta ratkaisulla nro 6 voitaisiin pysähtyä kaavaan S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, ja jaa kokonaistehtävä erillisiin osatehtäviin (etsi tässä tapauksessa ensin termit a n ja a m).

Jos olet epävarma saadusta tuloksesta, on suositeltavaa tarkistaa se, kuten joissakin annetuissa esimerkeissä tehtiin. Opimme kuinka löytää aritmeettinen progressio. Jos ymmärrät sen, se ei ole niin vaikeaa.

Online-laskin.
Aritmeettisen progression ratkaiseminen.
Annettu: a n , d, n
Etsi: 1

Tämä matemaattinen ohjelma löytää \(a_1\) aritmeettisesta progressiosta käyttäjän määrittämien lukujen \(a_n, d\) ja \(n\) perusteella.
Numerot \(a_n\) ja \(d\) voidaan määrittää paitsi kokonaislukuina myös murtolukuina. Lisäksi murtoluku voidaan syöttää desimaalilukuna (\(2,5\)) ja tavallisena murtolukuna (\(-5\frac(2)(7)\)).

Ohjelma ei vain anna vastausta ongelmaan, vaan näyttää myös ratkaisun löytämisprosessin.

Tämä online-laskin voi olla hyödyllinen lukiolaisille lukiolaisille, kun he valmistautuvat kokeisiin ja kokeisiin, kun testataan tietoja ennen yhtenäistä valtionkoetta, ja vanhemmille monien matematiikan ja algebran ongelmien ratkaisemisessa. Tai ehkä sinulle on liian kallista palkata tutor tai ostaa uusia oppikirjoja? Vai haluatko vain saada matematiikan tai algebran kotitehtäväsi valmiiksi mahdollisimman nopeasti? Tässä tapauksessa voit myös käyttää ohjelmiamme yksityiskohtaisten ratkaisujen kanssa.

Tällä tavalla voit toteuttaa omaa koulutusta ja/tai nuorempien veljien tai sisarusten koulutusta samalla kun koulutustaso ongelmien ratkaisemisen alalla nousee.

Jos et tunne numeroiden syöttämistä koskevia sääntöjä, suosittelemme, että tutustut niihin.

Säännöt numeroiden syöttämiseen

Numerot \(a_n\) ja \(d\) voidaan määrittää paitsi kokonaislukuina myös murtolukuina.
Luku \(n\) voi olla vain positiivinen kokonaisluku.

Desimaalilukujen syöttämistä koskevat säännöt.
Desimaalimurtolukujen kokonaisluku- ja murto-osat voidaan erottaa joko pisteellä tai pilkulla.
Voit esimerkiksi syöttää desimaalilukuja, kuten 2,5 tai 2,5

Tavallisten murtolukujen syöttämistä koskevat säännöt.
Vain kokonaisluku voi toimia murtoluvun osoittajana, nimittäjänä ja kokonaislukuosana.

Nimittäjä ei voi olla negatiivinen.

Kun syötetään murtolukua, osoittaja erotetaan nimittäjästä jakomerkillä: /
Syöte:
Tulos: \(-\frac(2)(3)\)

Koko osa erotetaan murtoluvusta et-merkillä: &
Syöte:
Tulos: \(-1\frac(2)(3)\)

Havaittiin, että joitain tämän ongelman ratkaisemiseksi tarvittavia komentosarjoja ei ladattu, ja ohjelma ei ehkä toimi.
AdBlock voi olla käytössä.
Tässä tapauksessa poista se käytöstä ja päivitä sivu.

Koska On paljon ihmisiä, jotka haluavat ratkaista ongelman, pyyntösi on asetettu jonoon.
Muutaman sekunnin kuluttua ratkaisu tulee näkyviin alle.
Odota sek...

Jos sinä huomasi ratkaisussa virheen, voit kirjoittaa tästä palautelomakkeella.
Älä unohda ilmoittaa mikä tehtävä sinä päätät mitä syötä kenttiin.

Pelimme, palapelimme, emulaattorimme:

Vähän teoriaa.

Numerosarja

Arkikäytännössä eri kohteiden numerointia käytetään usein osoittamaan järjestystä, jossa ne on järjestetty. Esimerkiksi jokaisen kadun talot on numeroitu. Kirjastossa lukijatilaukset numeroidaan ja järjestetään annettujen numeroiden järjestykseen erityisiin korttitiedostoihin.

Säästöpankissa voit tallettajan henkilökohtaisella tilinumerolla löytää tämän tilin helposti ja nähdä, mitä talletusta sillä on. Olkoon tilillä nro 1 a1 ruplan talletus, tilillä nro 2 a2 ruplan talletus jne. Se käy ilmi numerosarja
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
missä N on kaikkien tilien lukumäärä. Tässä jokainen luonnollinen luku n välillä 1 - N liittyy numeroon a n.

Opiskeli myös matematiikkaa äärettömät lukujonot:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Numeroa a 1 kutsutaan sekvenssin ensimmäinen termi, numero a 2 - sekvenssin toinen termi, numero a 3 - sekvenssin kolmas termi jne.
Numeroa a n kutsutaan sekvenssin n:s (n:s) jäsen, ja luonnollinen luku n on sen määrä.

Esimerkiksi luonnollisten lukujen 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... ja 1 = 1 neliöjonossa on sekvenssin ensimmäinen termi; ja n = n2 on sekvenssin n:s termi; a n+1 = (n + 1) 2 on sekvenssin (n + 1):s (n plus ensimmäinen) termi. Usein jono voidaan määrittää sen n:nnen termin kaavalla. Esimerkiksi kaava \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) määrittää sekvenssin \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3) , \; \frac(1)(4) , \pisteet,\frac(1)(n) , \pisteet \)

Aritmeettinen progressio

Vuoden pituus on noin 365 päivää. Tarkempi arvo on \(365\frac(1)(4)\) päivää, joten joka neljäs vuosi kertyy yhden päivän virhe.

Tämän virheen selittämiseksi joka neljänteen vuoteen lisätään päivä, ja pidennettyä vuotta kutsutaan karkausvuodeksi.

Esimerkiksi kolmannella vuosituhannella karkausvuodet ovat vuodet 2004, 2008, 2012, 2016, ....

Tässä sekvenssissä jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen, lisättynä samaan numeroon 4. Tällaisia ​​sarjoja kutsutaan ns. aritmeettiset progressiot.

Määritelmä.
Numerosarjaa a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... kutsutaan aritmeettinen progressio, jos kaikki luonnolliset n tasa-arvo
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
missä d on jokin luku.

Tästä kaavasta seuraa, että a n+1 - a n = d. Lukua d kutsutaan erotukseksi aritmeettinen progressio.

Aritmeettisen progression määritelmän mukaan meillä on:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
missä
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), missä \(n>1 \)

Siten aritmeettisen progression jokainen termi toisesta alkaen on yhtä suuri kuin sen kahden vierekkäisen termin aritmeettinen keskiarvo. Tämä selittää nimen "aritmeettinen" progressio.

Huomaa, että jos a 1 ja d on annettu, niin aritmeettisen etenemisen jäljellä olevat termit voidaan laskea käyttämällä toistuvaa kaavaa a n+1 = a n + d. Tällä tavalla etenemisen muutaman ensimmäisen termin laskeminen ei ole vaikeaa, mutta esimerkiksi 100 vaatii jo paljon laskelmia. Tyypillisesti tähän käytetään n:nnen termin kaavaa. Aritmeettisen progression määritelmän mukaan
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
jne.
Ollenkaan,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
koska aritmeettisen progression n:s termi saadaan ensimmäisestä termistä lisäämällä (n-1) kertaa luku d.
Tätä kaavaa kutsutaan kaava aritmeettisen progression n:nnelle termille.

Aritmeettisen jakson ensimmäisen n ehdon summa

Etsi kaikkien luonnollisten lukujen summa välillä 1-100.
Kirjoitetaan tämä summa kahdella tavalla:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Lisätään nämä yhtäläisyydet termi kerrallaan:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Tässä summassa on 100 termiä
Siksi 2S = 101 * 100, joten S = 101 * 50 = 5050.

Tarkastellaan nyt mielivaltaista aritmeettista progressiota
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Olkoon S n tämän etenemisen ensimmäisen n ehdon summa:
Sn = a1, a2, a3, ..., an
Sitten aritmeettisen progression ensimmäisen n ehdon summa on yhtä suuri kuin
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Koska \(a_n=a_1+(n-1)d\), niin korvaamalla n tässä kaavassa saadaan toinen kaava aritmeettisen progression n ensimmäisen ehdon summa:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Tai aritmetiikka on järjestetyn numeerisen sekvenssin tyyppi, jonka ominaisuuksia tutkitaan koulualgebran kurssilla. Tässä artikkelissa käsitellään yksityiskohtaisesti kysymystä aritmeettisen progression summan löytämisestä.

Millainen eteneminen tämä on?

Ennen kuin siirryt kysymykseen (miten löytää aritmeettisen progression summa), on syytä ymmärtää, mistä puhumme.

Mitä tahansa reaalilukujen sarjaa, joka saadaan lisäämällä (vähentämällä) jokin arvo jokaisesta edellisestä numerosta, kutsutaan algebralliseksi (aritmeettiseksi) progressioksi. Tämä määritelmä käännettynä matemaattiselle kielelle saa muotoa:

Tässä i on rivin a i elementin sarjanumero. Näin ollen, kun tiedät vain yhden aloitusnumeron, voit helposti palauttaa koko sarjan. Kaavan parametria d kutsutaan etenemiseroksi.

Voidaan helposti osoittaa, että tarkasteltavana olevalle lukusarjalle pätee seuraava yhtäläisyys:

a n = a 1 + d* (n - 1).

Eli löytääksesi n:nnen elementin arvon järjestyksessä, sinun tulee lisätä erotus d ensimmäiseen elementtiin a 1 n-1 kertaa.

Mikä on aritmeettisen progression summa: kaava

Ennen kuin annat ilmoitetun määrän kaavan, kannattaa harkita yksinkertaista erikoistapausta. Kun otetaan huomioon luonnollisten lukujen eteneminen 1:stä 10:een, sinun on löydettävä niiden summa. Koska etenemisessä (10) on vähän termejä, on mahdollista ratkaista ongelma suoraan, eli summata kaikki elementit järjestyksessä.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

On syytä harkita yhtä mielenkiintoista asiaa: koska jokainen termi eroaa seuraavasta samalla arvolla d = 1, niin ensimmäisen ja yhdeksännen ja niin edelleen parillinen summa antaa saman tuloksen. Todella:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kuten näette, näitä summia on vain 5, eli tasan kaksi kertaa vähemmän kuin sarjan elementtien lukumäärä. Sitten kertomalla summien lukumäärä (5) kunkin summan tuloksella (11), saadaan ensimmäisessä esimerkissä saatu tulos.

Jos yleistämme nämä argumentit, voimme kirjoittaa seuraavan lausekkeen:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Tämä lauseke osoittaa, että kaikkia rivin alkioita ei tarvitse laskea yhteen, riittää, kun tietää ensimmäisen a 1:n ja viimeisen a n:n arvo sekä termien kokonaismäärä n.

Uskotaan, että Gauss ajatteli ensimmäisen kerran tätä yhtäläisyyttä etsiessään ratkaisua opettajansa antamaan ongelmaan: laske ensimmäiset 100 kokonaislukua.

Alkioiden summa m:stä n:ään: kaava

Edellisessä kappaleessa annettu kaava vastaa kysymykseen, kuinka aritmeettisen progression summa (ensimmäiset alkiot) löydetään, mutta usein tehtävissä joudutaan summaamaan numerosarja etenemisen keskellä. Kuinka tehdä se?

Helpoin tapa vastata tähän kysymykseen on tarkastella seuraavaa esimerkkiä: olkoon tarpeen löytää termien summa m-:nnestä n:nneksi. Ongelman ratkaisemiseksi sinun tulee esittää etenemisen annettu segmentti m:stä n:ään uuden numerosarjan muodossa. Tässä esityksessä m:s termi a m on ensimmäinen, ja a n on numeroitu n-(m-1). Tässä tapauksessa summan vakiokaavaa käyttämällä saadaan seuraava lauseke:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Esimerkki kaavojen käytöstä

Tietäen kuinka löytää aritmeettisen progression summa, kannattaa harkita yksinkertaista esimerkkiä yllä olevien kaavojen käytöstä.

Alla on numeerinen sekvenssi, josta sinun pitäisi löytää sen termien summa alkaen 5:stä ja päättyen 12:een:

Annetut numerot osoittavat, että ero d on yhtä suuri kuin 3. Käyttämällä n:nnen elementin lauseketta voit löytää etenemisen 5. ja 12. jäsenen arvot. Se käy ilmi:

a5 = a1 + d*4 = -4 + 3*4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Kun tiedät tarkasteltavan algebrallisen etenemisen päissä olevien lukujen arvot sekä tiedät, mitä numeroita sarjassa ne vievät, voit käyttää edellisessä kappaleessa saadun summan kaavaa. Siitä tulee ilmi:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

On syytä huomata, että tämä arvo voidaan saada eri tavalla: etsi ensin 12 ensimmäisen elementin summa vakiokaavalla, laske sitten neljän ensimmäisen elementin summa samalla kaavalla ja vähennä sitten toinen ensimmäisestä summasta.

I. V. Jakovlev | Matemaattiset materiaalit | MathUs.ru

Aritmeettinen progressio

Aritmeettinen progressio on erityinen sekvenssityyppi. Siksi, ennen kuin määrittelemme aritmeettisen (ja sitten geometrisen) etenemisen, meidän on keskusteltava lyhyesti numerosarjan tärkeästä käsitteestä.

Jakso

Kuvittele laite, jonka näytöllä näkyvät tietyt numerot peräkkäin. Sanotaan 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Tämä numerosarja on täsmälleen esimerkki sekvenssistä.

Määritelmä. Numerosarja on joukko numeroita, joissa jokaiselle numerolle voidaan antaa yksilöllinen numero (eli liittää yhteen luonnolliseen numeroon)1. Lukua n kutsutaan sarjan n:nneksi termiksi.

Joten yllä olevassa esimerkissä ensimmäinen numero on 2, tämä on sekvenssin ensimmäinen jäsen, jota voidaan merkitä a1:llä; numero viisi on numero 6 on sekvenssin viides termi, jota voidaan merkitä a5:llä. Yleensä sekvenssin n:s termi on merkitty an (tai bn, cn, jne.).

Erittäin kätevä tilanne on, kun sekvenssin n:s termi voidaan määrittää jollakin kaavalla. Esimerkiksi kaava an = 2n 3 määrittää sekvenssin: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Kaava an = (1)n määrittää sekvenssin: 1; 1; 1; 1; : : :

Jokainen numerosarja ei ole sarja. Siten segmentti ei ole sekvenssi; se sisältää "liian monta" numeroa uudelleen numeroitavaksi. Kaikkien reaalilukujen joukko R ei myöskään ole sarja. Nämä tosiasiat todistetaan matemaattisen analyysin aikana.

Aritmeettinen progressio: perusmääritelmät

Nyt olemme valmiita määrittelemään aritmeettisen progression.

Määritelmä. Aritmeettinen progressio on sarja, jossa jokainen termi (toisesta alkaen) on yhtä suuri kuin edellisen termin ja jonkin kiinteän luvun (kutsutaan aritmeettisen etenemisen erotukseksi) summa.

Esimerkiksi sekvenssi 2; 5; 8; yksitoista; : : : on aritmeettinen progressio, jossa on ensimmäinen termi 2 ja erotus 3. Jakso 7; 2; 3; 8; : : : on aritmeettinen progressio, jossa on ensimmäinen termi 7 ja erotus 5. Sekvenssi 3; 3; 3; : : : on aritmeettinen progressio, jonka erotus on nolla.

Vastaava määritelmä: sekvenssiä an kutsutaan aritmeettiseksi progressioksi, jos ero an+1 an on vakioarvo (riippumaton n:stä).

Aritmeettista progressiota kutsutaan kasvavaksi, jos sen ero on positiivinen, ja laskevaksi, jos sen ero on negatiivinen.

1 Mutta tässä on ytimekkäämpi määritelmä: sekvenssi on luonnollisten lukujen joukolle määritetty funktio. Esimerkiksi reaalilukujen sarja on funktio f: N ! R.

Oletusarvoisesti sarjoja pidetään äärettöminä, eli ne sisältävät äärettömän määrän numeroita. Mutta kukaan ei vaivaa meitä harkitsemaan äärellisiä sekvenssejä; itse asiassa mitä tahansa äärellistä lukujoukkoa voidaan kutsua äärelliseksi sekvenssiksi. Esimerkiksi loppusekvenssi on 1; 2; 3; 4; 5 koostuu viidestä numerosta.

Kaava aritmeettisen progression n:nnelle termille

On helppo ymmärtää, että aritmeettinen eteneminen määräytyy täysin kahdella numerolla: ensimmäisellä termillä ja erolla. Siksi herää kysymys: kuinka, kun tiedetään ensimmäinen termi ja ero, löytää aritmeettisen progression mielivaltainen termi?

Ei ole vaikeaa saada vaadittua kaavaa aritmeettisen progression n:nnelle termille. Anna an

Tehtävä 1. Aritmeettisessa progressiossa 2; 5; 8; yksitoista; : : : etsi kaava n:nnelle termille ja laske sadas termi.

Ratkaisu. Kaavan (1) mukaan meillä on:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Aritmeettisen etenemisen ominaisuus ja etumerkki

Aritmeettisen etenemisen ominaisuus. Aritmeettisessa progressiossa an millä tahansa

Toisin sanoen, jokainen aritmeettisen progression jäsen (toisesta alkaen) on vierekkäisten jäsentensä aritmeettinen keskiarvo.

mitä vaadittiin.

Yleisemmin aritmeettinen progressio an täyttää tasa-arvon

a n = a n k+ a n+k

mille tahansa n > 2:lle ja mille tahansa luonnolliselle k:lle< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Osoittautuu, että kaava (2) ei ole vain välttämätön, vaan myös riittävä ehto sille, että sekvenssi on aritmeettinen progressio.

Aritmeettinen etenemismerkki. Jos yhtälö (2) pätee kaikille n > 2, niin sekvenssi an on aritmeettinen progressio.

Todiste. Kirjoitetaan kaava (2) uudelleen seuraavasti:

a na n 1= a n+1a n:

Tästä nähdään, että ero an+1 an ei riipu n:stä, ja tämä tarkoittaa juuri sitä, että jono an on aritmeettinen progressio.

Aritmeettisen progression ominaisuus ja etumerkki voidaan muotoilla yhden lauseen muodossa; Mukavuuden vuoksi teemme tämän kolmelle numerolle (tämä tilanne esiintyy usein ongelmissa).

Aritmeettisen progression karakterisointi. Kolme lukua a, b, c muodostavat aritmeettisen progression silloin ja vain jos 2b = a + c.

Tehtävä 2. (MSU, kauppatieteiden tiedekunta, 2007) Kolme numeroa 8x, 3 x2 ja 4 esitetyssä järjestyksessä muodostavat laskevan aritmeettisen progression. Etsi x ja osoita tämän etenemisen ero.

Ratkaisu. Aritmeettisen progression ominaisuuden perusteella meillä on:

2(3x2) = 8x4, 2x2 + 8x10 = 0, x2 + 4x5 = 0, x = 1; x = 5:

Jos x = 1, niin saadaan laskeva eteneminen 8, 2, 4 erolla 6. Jos x = 5, niin saadaan kasvava progressio 40, 22, 4; tämä tapaus ei ole sopiva.

Vastaus: x = 1, ero on 6.

Aritmeettisen jakson ensimmäisen n ehdon summa

Legenda kertoo, että eräänä päivänä opettaja käski lasten löytää lukujen summan 1-100 ja istuutui hiljaa lukemaan sanomalehteä. Kuitenkin muutamassa minuutissa eräs poika sanoi, että hän oli ratkaissut ongelman. Tämä oli 9-vuotias Carl Friedrich Gauss, myöhemmin yksi historian suurimmista matemaatikoista.

Pikku Gaussin idea oli seuraava. Antaa

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Kirjoitetaan tämä summa käänteisessä järjestyksessä:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

ja lisää nämä kaksi kaavaa:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Jokainen suluissa oleva termi on 101, ja tällaisia ​​termejä on yhteensä 100. Siksi

2S = 101 100 = 10100;

Käytämme tätä ideaa summakaavan johtamiseen

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Kaavan (3) käyttökelpoinen muunnos saadaan, jos korvaamme siihen n:nnen termin an = a1 + (n 1)d kaavan:

Tehtävä 3. Etsi kaikkien 13:lla jaollisten positiivisten kolminumeroisten lukujen summa.

Ratkaisu. Kolminumeroiset luvut, jotka ovat luvun 13 kerrannaisia, muodostavat aritmeettisen progression, jonka ensimmäinen termi on 104 ja erotus on 13; Tämän etenemisen n:nnellä termillä on muoto:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Selvitetään kuinka monta termiä etenemisemme sisältää. Tehdään tämä ratkaisemalla epäyhtälö:

6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Eli etenemisessämme on 69 jäsentä. Kaavan (4) avulla löydämme tarvittavan määrän:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674:2