Mitä ovat funktion ääripäät: maksimin ja minimin kriittiset pisteet. Toiminnan ääripäät

Funktion ääripiste on funktion toimialueen piste, jossa funktion arvo saa minimi- tai maksimiarvon. Näissä kohdissa olevia funktioarvoja kutsutaan funktion ääriarvoiksi (minimi ja maksimi)..

Määritelmä. Piste x1 toiminnon laajuus f(x) kutsutaan funktion maksimipiste , jos funktion arvo tässä pisteessä on suurempi kuin funktion arvot tarpeeksi lähellä sitä pisteissä, jotka sijaitsevat sen oikealla ja vasemmalla puolella (eli epäyhtälö f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimi.

Määritelmä. Piste x2 toiminnon laajuus f(x) kutsutaan funktion minimipiste, jos funktion arvo tässä pisteessä on pienempi kuin funktion arvot tarpeeksi lähellä sitä pisteissä, jotka sijaitsevat sen oikealla ja vasemmalla puolella (eli epäyhtälö f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Tässä tapauksessa funktiolla sanotaan olevan pisteessä x2 minimi.

Sanotaanpa pointti x1 - toiminnon maksimipiste f(x) . Sitten välissä asti x1 toiminta lisääntyy, joten funktion derivaatta on suurempi kuin nolla ( f "(x) > 0 ), ja sen jälkeen x1 toiminto vähenee, joten funktion derivaatta alle nolla ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Oletetaan myös, että kohta x2 - funktion minimipiste f(x) . Sitten välissä asti x2 funktio pienenee ja funktion derivaatta on pienempi kuin nolla ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funktio kasvaa ja funktion derivaatta on suurempi kuin nolla ( f "(x) > 0). Tässä tapauksessa myös pisteessä x2 funktion derivaatta on nolla tai sitä ei ole olemassa.

Fermatin lause (välttämätön kriteeri funktion ääripään olemassaololle). Jos kohta x0 - funktion ääripiste f(x), niin tässä vaiheessa funktion derivaatta on yhtä suuri kuin nolla ( f "(x) = 0 ) tai sitä ei ole olemassa.

Määritelmä. Pisteitä, joissa funktion derivaatta on nolla tai ei ole olemassa, kutsutaan kriittiset kohdat .

Esimerkki 1 Tarkastellaan funktiota.

Pisteessä x= 0 funktion derivaatta on yhtä suuri kuin nolla, joten piste x= 0 on kriittinen piste. Kuitenkin, kuten funktion kaaviosta voidaan nähdä, se kasvaa koko määritelmäalueella, joten piste x= 0 ei ole tämän funktion ääripiste.

Siten ehdot, että funktion derivaatta pisteessä on nolla tai sitä ei ole olemassa, ovat välttämättömiä ehtoja ääripäälle, mutta eivät riittäviä, koska voidaan antaa muita esimerkkejä funktioista, joille nämä ehdot täyttyvät, mutta funktio ei ole ääripäätä vastaavassa pisteessä. Niin on oltava riittävät viitteet, jonka avulla voidaan arvioida, onko tietyssä kriittisessä pisteessä ääriarvo ja kumpi - maksimi vai minimi.

Lause (ensimmäinen riittävä kriteeri funktion ääripään olemassaololle). Kriittinen piste x0 f(x) , jos funktion derivaatta muuttaa etumerkkiä kulkiessaan tämän pisteen läpi ja jos etumerkki muuttuu "plus":sta "miinus", niin maksimipiste, ja jos "miinuksesta" "plusiksi", niin minimipiste .

Jos lähellä pistettä x0 , sen vasemmalla ja oikealla puolella derivaatta säilyttää etumerkkinsä, mikä tarkoittaa, että funktio joko vain pienenee tai vain kasvaa jossain pisteen ympäristössä x0 . Tässä tapauksessa pisteessä x0 ei ole ääripäätä.

Niin, määrittääksesi funktion ääripisteet, sinun on tehtävä seuraava :

Etsi funktion derivaatta.
Yhdistä derivaatta nollaan ja määritä kriittiset pisteet.
Merkitse henkisesti tai paperille kriittiset pisteet numeeriselle akselille ja määritä funktion derivaatan merkit saaduista intervalleista. Jos derivaatan etumerkki muuttuu "plus":sta "miinus", niin kriittinen piste on maksimipiste, ja jos "miinuksesta" "plussiksi", kriittinen piste on minimipiste.
Laske funktion arvo ääripisteissä.

Esimerkki 2 Etsi funktion ääripäät .

Päätös. Etsitään funktion derivaatta:

Yhdistä derivaatta nollaan kriittisten pisteiden löytämiseksi:

Koska mille tahansa "x":n arvolle nimittäjä ei ole nolla, vertaamme osoittajan nollaan:

On yksi kriittinen kohta x= 3. Määritämme derivaatan etumerkin tämän pisteen rajaamissa väleissä:

alueella miinus äärettömyys - 3 - miinusmerkki, eli funktio pienenee,

alueella 3 plus äärettömään - plusmerkki, eli funktio kasvaa.

Eli piste x= 3 on minimipiste.

Etsi funktion arvo minimipisteestä:

Siten funktion ääripiste löytyy: (3; 0) , ja se on minimipiste.

Lause (toinen riittävä kriteeri funktion ääripään olemassaololle). Kriittinen piste x0 on funktion ääripiste f(x), jos funktion toinen derivaatta tässä pisteessä ei ole nolla ( f ""(x) ≠ 0 ), lisäksi jos toinen derivaatta on suurempi kuin nolla ( f ""(x) > 0 ), niin maksimipiste, ja jos toinen derivaatta on pienempi kuin nolla ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Huomautus 1. Jos jossain vaiheessa x0 sekä ensimmäinen että toinen derivaatta katoavat, niin tässä vaiheessa on mahdotonta arvioida ääripään olemassaoloa toisen riittävän merkin perusteella. Tässä tapauksessa sinun on käytettävä ensimmäistä riittävää kriteeriä funktion ääripäälle.

Huomautus 2. Toinen riittävä kriteeri funktion ääripäälle ei myöskään sovellu silloin, kun ensimmäistä derivaattia ei ole paikallaan olevassa pisteessä (silloin toista derivaattia ei myöskään ole). Tässä tapauksessa on myös tarpeen käyttää ensimmäistä riittävää kriteeriä funktion ääripäälle.

Toiminnon ääripään paikallinen luonne

Yllä olevista määritelmistä seuraa, että funktion ääripäällä on paikallinen luonne - tämä on funktion suurin ja pienin arvo verrattuna lähimpiin arvoihin.

Oletetaan, että harkitset tulojasi yhden vuoden ajanjaksolla. Jos ansaitsit toukokuussa 45 000 ruplaa ja huhtikuussa 42 000 ruplaa ja kesäkuussa 39 000 ruplaa, toukokuun ansiot ovat maksimitulofunktio verrattuna lähimpiin arvoihin. Mutta lokakuussa ansaitsit 71 000 ruplaa, syyskuussa 75 000 ruplaa ja marraskuussa 74 000 ruplaa, joten lokakuun tulos on ansiofunktion minimi verrattuna lähiarvoihin. Ja voit helposti nähdä, että huhti-touko-kesäkuun arvojen maksimi on pienempi kuin syys-loka-marraskuun minimi.

Yleisesti ottaen funktiolla voi olla useita ääriarvoja intervalleilla, ja voi käydä niin, että mikä tahansa funktion minimi on suurempi kuin mikä tahansa maksimi. Joten yllä olevassa kuvassa näkyvälle funktiolle .

Eli ei pidä ajatella, että funktion maksimi ja minimi ovat vastaavasti sen maksimi- ja minimiarvot koko tarkasteltavana olevalla segmentillä. Maksimipisteessä funktiolla on suurin arvo vain verrattuna niihin arvoihin, jotka sillä on kaikissa pisteissä riittävän lähellä maksimipistettä, ja minimipisteessä pienin arvo vain verrattuna niihin arvoihin, se on kaikissa kohdissa riittävän lähellä minimipistettä.

Siksi voimme tarkentaa yllä olevaa funktion ääripisteiden käsitettä ja kutsua minimipisteitä paikallisiksi minimipisteiksi ja maksimipisteitä paikallisiksi maksimipisteiksi.

Etsimme yhdessä toiminnon ääripäätä

Esimerkki 3

Ratkaisu Funktio on määritelty ja jatkuva koko lukurivillä. Sen johdannainen esiintyy myös koko numerorivillä. Siksi tässä tapauksessa vain ne, joissa ts. toimivat kriittisinä pisteinä. , mistä ja . Kriittiset pisteet ja jaa funktion koko alue kolmeen monotonisuusväliin: . Valitsemme jokaisesta niistä yhden ohjauspisteen ja löydämme derivaatan etumerkin tästä pisteestä.

Välille vertailupiste voi olla: löydämme . Ottaen pisteen väliltä, saamme , ja ottamalla pisteen väliltä, meillä on . Joten, väliajoissa ja , ja välissä . Ekstreemumin ensimmäisen riittävän merkin mukaan pisteessä ei ole ääripäätä (koska derivaatta säilyttää etumerkkinsä välissä ), ja funktiolla on pisteessä minimi (koska derivaatta muuttaa etumerkin miinuksesta plussiksi ohittaessaan tämän kohdan kautta). Etsi funktion vastaavat arvot: , ja . Intervallissa funktio pienenee, koska tällä välillä , ja välissä se kasvaa, koska tällä välillä.

Kuvaajan rakenteen selventämiseksi löydämme sen leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa. Kun saadaan yhtälö, jonka juuret ja eli funktion kuvaajasta löytyy kaksi pistettä (0; 0) ja (4; 0). Rakennamme kaavion käyttämällä kaikkia vastaanotettuja tietoja (katso esimerkin alussa).

Esimerkki 4 Etsi funktion ääripiste ja rakenna sen kaavio.

Funktion toimialue on koko lukuviiva pistettä lukuun ottamatta, ts. .

Tutkimuksen lyhentämiseksi voimme käyttää sitä tosiasiaa, että tämä funktio on parillinen, koska . Siksi sen kuvaaja on symmetrinen akselin suhteen Oy ja tutkimus voidaan suorittaa vain ajanjaksolle .

Johdannan löytäminen ja toiminnon kriittiset kohdat:

1) ;

2) ,

mutta funktio kärsii katkoksen tässä vaiheessa, joten se ei voi olla ääripiste.

Siten annetulla funktiolla on kaksi kriittistä pistettä: ja . Kun otetaan huomioon funktion pariteetti, tarkastetaan vain piste ääripään toisella riittävällä merkillä. Tätä varten löydämme toisen derivaatan ja määritä sen merkki osoitteessa : saamme . Koska ja , Sitten on funktion vähimmäispiste, while .

Saadaksesi täydellisemmän kuvan funktion kaaviosta, selvitetään sen käyttäytyminen määritelmäalueen rajoilla:

(tässä symboli osoittaa halun x nollaan oikealla ja x pysyy positiivisena; tarkoittaa samalla tavalla pyrkimystä x nollaan vasemmalla ja x pysyy negatiivisena). Eli jos , niin . Seuraavaksi löydämme

nuo. jos sitten .

Funktion kuvaajalla ei ole leikkauspisteitä akselien kanssa. Kuva on esimerkin alussa.

Jatkamme toiminnon ääripäiden etsimistä yhdessä

Esimerkki 8 Etsi funktion ääripää.

Päätös. Etsi funktion toimialue. Koska epätasa-arvon on oltava voimassa, saamme osoitteesta .

Etsitään funktion ensimmäinen derivaatta:

Etsitään funktion kriittiset pisteet.

Johdanto

Monilla tieteenaloilla ja käytännössä kohtaa usein ongelman löytää funktion ääripää. Tosiasia on, että monet tekniset, taloudelliset jne. prosessit mallinnetaan funktiolla tai useilla funktioilla, jotka riippuvat muuttujista - tekijöistä, jotka vaikuttavat mallinnettavan ilmiön tilaan. On löydettävä tällaisten toimintojen ääripäät, jotta voidaan määrittää optimaalinen (rationaalinen) tila, prosessin ohjaus. Joten taloudessa kustannusten minimoimiseen tai voittojen maksimointiin liittyvät ongelmat ratkaistaan usein - yrityksen mikrotaloudellinen tehtävä. Tässä työssä ei käsitellä mallinnuskysymyksiä, vaan tarkastellaan vain algoritmeja funktion äärimmäisyyksien löytämiseksi yksinkertaisimmassa versiossa, kun muuttujia ei ole rajoitettu (ehdoton optimointi) ja ääriarvoa haetaan vain yhdelle tavoitefunktiolle.

TOIMINNON EXTREMA

Tarkastellaan jatkuvan funktion kuvaajaa y=f(x) näkyy kuvassa. Funktioarvo pisteessä x 1 on suurempi kuin funktion arvot kaikissa vierekkäisissä pisteissä sekä vasemmalla että oikealla x yksi . Tässä tapauksessa funktiolla sanotaan olevan pisteessä x 1 max. Pisteessä x 3-funktiolla on ilmeisesti myös maksimi. Jos ajattelemme asiaa x 2, silloin funktion arvo siinä on pienempi kuin kaikki naapuriarvot. Tässä tapauksessa funktiolla sanotaan olevan pisteessä x 2 vähintään. Samoin pisteen osalta x 4 .

Toiminto y=f(x) pisteessä x 0 on maksimi, jos funktion arvo tässä pisteessä on suurempi kuin sen arvot jonkin pisteen sisältävän välin kaikissa kohdissa x 0 eli jos pisteen lähistöllä on sellainen x 0, joka on kaikille x ≠x 0 , kuuluessamme tähän naapurustoon, meillä on epätasa-arvo f(x) <f(x 0 ) .

Toiminto y=f(x) Sillä on minimi pisteessä x 0 , jos pisteen lähistöllä on sellainen x 0 , mikä on kaikille x ≠x 0 kuuluvat tähän naapurustoon, meillä on epätasa-arvo f(x) >f(x0 .

Pisteitä, joissa funktio saavuttaa maksimi- ja minimipisteensä, kutsutaan ääripisteiksi, ja funktion arvot näissä kohdissa ovat funktion ääripisteitä.

Kiinnitetään huomiota siihen, että janalle määritelty funktio voi saavuttaa maksiminsa ja miniminsä vain tarkasteltavan janan sisällä olevissa pisteissä.

Huomaa, että jos funktiolla on maksimi jossain pisteessä, tämä ei tarkoita, että tässä vaiheessa funktiolla on maksimiarvo koko alueella. Yllä käsitellyssä kuvassa funktio pisteessä x 1:llä on maksimi, vaikka on pisteitä, joissa funktion arvot ovat suurempia kuin pisteessä x 1 . Erityisesti, f (x 1) < f (x 4) eli funktion minimi on suurempi kuin maksimi. Maksimin määritelmästä seuraa vain, että tämä on funktion suurin arvo pisteissä, jotka ovat riittävän lähellä maksimipistettä.

Lause 1. (Edellytys ääripään olemassaololle.) Jos differentioituva funktio y=f(x) on pisteessä x = x 0 ääripää, niin sen derivaatta tässä vaiheessa katoaa.

Todiste. Olkoon varmuuden vuoksi paikalla x 0 funktiolla on maksimi. Sitten riittävän pienillä lisäyksillä Δ x meillä on f(x 0 + Δ x) 0 ) , eli

Mutta toisaalta
Siirretään nämä epäyhtälöt rajaan muodossa Δ x→ 0 ja ottaen huomioon, että derivaatta f "(x 0) on olemassa, joten vasemmalla oleva raja ei riipu siitä, kuinka Δ x→ 0, saamme: Δ:lle x → 0 – 0 f" (x 0) ≥ 0 ja kohdassa Δ x → 0 + 0 f" (x 0) ≤ 0. Alkaen f" (x 0) määrittelee luvun, niin nämä kaksi epäyhtälöä ovat yhteensopivia vain jos f" (x 0) = 0.

Todistetussa lauseessa sanotaan, että maksimi- ja minimipisteet voivat olla vain niiden argumentin arvojen joukossa, joiden derivaatta katoaa.

Olemme tarkastelleet tapausta, jossa funktiolla on derivaatta tietyn segmentin kaikissa kohdissa. Mitä tapahtuu, kun johdannaista ei ole olemassa? Harkitse esimerkkejä.

y =|x |.

Funktiolla ei ole derivaattia pisteessä x=0 (tässä vaiheessa funktion kuvaajalla ei ole varmaa tangenttia), mutta tässä vaiheessa funktiolla on minimi, koska y(0) = 0 ja kaikille x ≠ 0y > 0.
ei ole johdannaista at x=0, koska se menee äärettömään milloin x=0. Mutta tässä vaiheessa funktiolla on maksimi. ei ole johdannaista at x=0 koska klo x→0. Tässä vaiheessa funktiolla ei ole maksimi- eikä minimiarvoa. Todella, f(x)=0 ja at x <0f(x) <0, а при x >0f(x) >0.
Siten annetuista esimerkeistä ja formuloidusta lauseesta on selvää, että funktiolla voi olla ääriarvo vain kahdessa tapauksessa: 1) pisteissä, joissa derivaatta on olemassa ja on yhtä suuri kuin nolla; 2) kohdassa, jossa johdannaista ei ole olemassa.

Jos kuitenkin jossain vaiheessa x 0 tiedämme sen f"(x 0 ) =0, niin tästä ei voida päätellä, että pisteessä x 0 funktiolla on ääriarvo.

Esimerkiksi.
.
Mutta pointti x=0 ei ole ääripiste, koska tämän pisteen vasemmalla puolella funktion arvot sijaitsevat akselin alapuolella Härkä, ja ylhäällä oikealla.

Argumentin arvoja funktion alueelta, jolle funktion derivaatta katoaa tai ei ole olemassa, kutsutaan kriittiset kohdat .

Edellä olevasta seuraa, että funktion ääripisteet ovat kriittisten pisteiden joukossa, eikä jokainen kriittinen piste ole kuitenkaan ääripiste. Siksi funktion ääripään löytämiseksi sinun on löydettävä kaikki funktion kriittiset pisteet ja tutkittava sitten jokainen näistä pisteistä erikseen maksimi- ja minimipisteiden suhteen. Tätä varten palvelee seuraava lause.

Lause 2. (Riittävä ehto ääripään olemassaololle.) Olkoon funktio jatkuva jollain kriittisen pisteen sisältävällä aikavälillä x 0 , ja se on differentioituva tämän intervallin kaikissa pisteissä (paitsi ehkä itse pisteen x 0). Jos derivaatta vaihtaa etumerkkiä plussasta miinusmerkkiin siirtyessään vasemmalta oikealle tämän pisteen läpi, niin pisteessä x = x 0 funktiolla on maksimi. Jos läpi kulkiessa x 0 vasemmalta oikealle, derivaatta muuttaa etumerkin miinuksesta plussaan, niin funktiolla on tässä vaiheessa minimi.

Eli jos

f"(x)>0 klo x <x 0 ja f"(x)< 0 klo x > x 0 siis x 0 - maksimipiste;
klo x <x 0 ja f "(x)> 0 klo x > x 0 siis x 0 on minimipiste.
Todiste. Oletetaan ensin, että kun kuljemme läpi x 0, derivaatta muuttaa etumerkin plussasta miinusmerkkiin, ts. kaikille x lähellä kohtaa x 0 f "(x)> 0 puolesta x< x 0 , f"(x)< 0 puolesta x > x 0 . Sovelletaan Lagrangen lausetta eroon f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x-x 0), missä c on välillä x ja x 0 .

Anna olla x< x 0 . Sitten c< x 0 ja f "(c)> 0. Niin f "(c)(x-x 0)< 0 ja siksi

f(x) - f(x 0 )< 0 eli f(x)< f(x 0 ).

Anna olla x > x 0 . Sitten c>x 0 ja f"(c)< 0. Keinot f "(c)(x-x 0)< 0. Niin f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x) < f(x 0 ) .

Siis kaikille arvoille x tarpeeksi lähellä x 0 f(x) < f(x 0 ) . Ja tämä tarkoittaa sitä pisteessä x 0 funktiolla on maksimi.

Minimilauseen toinen osa todistetaan samalla tavalla.

Havainnollistetaan tämän lauseen merkitys kuvassa. Anna olla f"(x 1 ) =0 ja mille tahansa x, tarpeeksi lähellä x 1, epätasa-arvo

f"(x)< 0 klo x< x 1 , f "(x)> 0 klo x > x 1 .

Sitten pisteen vasemmalle puolelle x 1 funktio kasvaa ja oikealla pienenee, siis milloin x = x 1-funktio siirtyy kasvavasta laskevaan, eli sillä on maksimi.

Samoin voidaan tarkastella kohtia x 2 ja x 3 .

Kaavamaisesti kaikki edellä mainitut voidaan kuvata kuvassa:

Sääntö funktion y=f(x) tutkimiseksi ääripäälle

Etsi funktion laajuus f(x).

Etsi funktion ensimmäinen derivaatta f"(x) .

Määritä kriittiset pisteet tätä varten:

löytää yhtälön todelliset juuret f"(x) =0;

löytää kaikki arvot x jonka alla johdannainen f"(x) ei ole olemassa.

Määritä derivaatan etumerkki kriittisen pisteen vasemmalla ja oikealla puolella. Koska derivaatan etumerkki pysyy vakiona kahden kriittisen pisteen välillä, riittää, kun määritetään derivaatan etumerkki missä tahansa pisteessä kriittisen pisteen vasemmalla ja yhdessä pisteessä oikealla.

Laske funktion arvo ääripisteissä.

Toiminnon luonteen määrittämiseksi ja sen käyttäytymisestä puhumiseksi on tarpeen löytää kasvu- ja laskuvälit. Tätä prosessia kutsutaan funktioiden tutkimiseksi ja piirtämiseksi. Ääripistettä käytetään etsittäessä funktion suurinta ja pienintä arvoa, koska ne lisäävät tai pienentävät funktiota intervallista.

Tämä artikkeli paljastaa määritelmät, muotoilemme riittävän merkin kasvusta ja pienenemisestä intervalliin ja ääripään olemassaolon edellytyksiin. Tämä koskee esimerkkien ja ongelmien ratkaisemista. Funktioiden differentiointia käsittelevä osio tulee toistaa, koska ratkaistaessa on käytettävä derivaatan etsimistä.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Määritelmä 1
Funktio y = f (x) kasvaa välillä x, kun mille tahansa x 1 ∈ X ja x 2 ∈ X , x 2 > x 1 epäyhtälö f (x 2) > f (x 1) on mahdollinen. Toisin sanoen suurempi argumentin arvo vastaa suurempaa funktion arvoa.
Määritelmä 2
Funktion y = f (x) katsotaan pienenevän välillä x, kun minkä tahansa x 1 ∈ X , x 2 ∈ X , x 2 > x 1 yhtälö f (x 2) > f (x 1) otetaan huomioon. mahdollinen. Toisin sanoen suurempi funktion arvo vastaa pienempää argumentin arvoa. Harkitse alla olevaa kuvaa.

Kommentti: Kun funktio on määrällinen ja jatkuva nousevan ja laskevan välin päissä, eli (a; b) missä x = a, x = b, pisteet sisällytetään nousevaan ja laskevaan väliin. Tämä ei ole ristiriidassa määritelmän kanssa, mikä tarkoittaa, että se tapahtuu välillä x.

Tyypin y = sin x alkeisfunktioiden pääominaisuudet ovat argumenttien todellisten arvojen määräisyys ja jatkuvuus. Tästä saadaan, että sinin kasvu tapahtuu välillä - π 2; π 2, niin segmentin kasvu on muotoa - π 2; π2.
Määritelmä 3
Piste x 0 kutsutaan maksimipiste funktiolle y = f (x), kun kaikilla x:n arvoilla epäyhtälö f (x 0) ≥ f (x) on tosi. Maksimitoiminto on funktion arvo pisteessä, ja sitä merkitään y m a x .

Pistettä x 0 kutsutaan funktion y \u003d f (x) minimipisteeksi, kun kaikilla x:n arvoilla epäyhtälö f (x 0) ≤ f (x) on tosi. Ominaisuus Minimi on funktion arvo pisteessä, ja sen merkintä on muotoa y m i n .

Pisteen x 0 lähialueet otetaan huomioon ääripisteet, ja ääripisteitä vastaavan funktion arvo. Harkitse alla olevaa kuvaa.

Funktion ääriarvo, jolla on funktion suurin ja pienin arvo. Harkitse alla olevaa kuvaa.

Ensimmäinen kuva kertoo, että segmentistä [ a ; b] . Se löydetään käyttämällä maksimipisteitä ja on yhtä suuri kuin funktion maksimiarvo, ja toinen luku on enemmän kuin maksimipisteen löytäminen kohdassa x = b.

Riittävät olosuhteet toimintojen lisäämiselle ja vähentämiselle

Funktion maksimien ja minimien löytämiseksi on tarpeen käyttää ääripään merkkejä siinä tapauksessa, että funktio täyttää nämä ehdot. Ensimmäinen ominaisuus on yleisimmin käytetty.

Ensimmäinen riittävä ehto ääripäälle
Määritelmä 4
Olkoon annettu funktio y = f (x), joka on differentioituva pisteen x 0 ympäristössä ε ja jolla on jatkuvuus annetussa pisteessä x 0 . Siksi saamme sen

kun f "(x) > 0 x ∈ (x 0 - ε; x 0) ja f" (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;

kun f"(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , niin x 0 on minimipiste.

Toisin sanoen saamme heidän merkkien asettamisehdot:

kun funktio on jatkuva pisteessä x 0, niin sillä on derivaatta, jonka etumerkki on muuttuva, eli +:sta - -, mikä tarkoittaa, että pistettä kutsutaan maksimiksi;

kun funktio on jatkuva pisteessä x 0, niin sillä on derivaatta, jonka etumerkki muuttuu arvosta - +, mikä tarkoittaa, että pistettä kutsutaan minimiksi.

Jotta voit määrittää funktion enimmäis- ja vähimmäispisteet oikein, sinun on noudatettava algoritmia niiden löytämiseksi:

etsi määritelmän alue;

etsi funktion derivaatta tällä alueella;

tunnistaa nollat ja kohdat, joissa funktiota ei ole olemassa;

derivaatan etumerkin määrittäminen intervalleilla;

valitse kohdat, joissa funktio vaihtaa merkkiä.

Tarkastellaan algoritmia esimerkkinä, jossa ratkaistaan useita esimerkkejä funktion ääripisteiden löytämisestä.
Esimerkki 1
Etsi annetun funktion y = 2 (x + 1) 2 x - 2 maksimi- ja minimipisteet.

Päätös

Tämän funktion alue on kaikki reaaliluvut paitsi x = 2. Ensin löydämme funktion derivaatan ja saamme:

y "= 2 x + 1 2 x - 2" = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2)" (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2) ) - (x + 2) 2 (x) - 2) 2 = = 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2

Tästä näemme, että funktion nollat ovat x \u003d - 1, x \u003d 5, x \u003d 2, eli jokainen hakasulke on rinnastettava nollaan. Merkitse numeroriville ja saat:

Nyt määritetään derivaatan merkit kustakin intervallista. On tarpeen valita väliin sisältyvä piste, korvata se lausekkeella. Esimerkiksi pisteet x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

Me ymmärrämme sen

y "(- 2) \u003d 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2 x \u003d - 2 \u003d 2 (- 2 + 1) (- 2 - 5) (- 2 - 2) ) 2 \u003d 2 7 16 \u003d 7 8 > 0, joten välillä - ∞; - 1 on positiivinen derivaatta. Samalla tavalla saadaan, että

y "(0) = 2 (0 + 1) 0 - 5 0 - 2 2 = 2 - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Koska toinen intervalli osoittautui pienemmäksi kuin nolla, se tarkoittaa, että segmentin derivaatta on negatiivinen. Kolmas miinuksella, neljäs plussalla. Jatkuvuuden määrittämiseksi on kiinnitettävä huomiota derivaatan merkkiin, jos se muuttuu, tämä on ääripiste.

Saamme, että pisteessä x = - 1 funktio on jatkuva, mikä tarkoittaa, että derivaatta muuttaa etumerkkiä +:sta - -. Ensimmäisen merkin mukaan meillä on, että x = - 1 on maksimipiste, mikä tarkoittaa, että saamme

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Piste x = 5 osoittaa, että funktio on jatkuva, ja derivaatan etumerkki muuttuu arvosta - +:ksi. Siksi x=-1 on minimipiste, ja sen löydöksellä on muoto

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Graafinen kuva

Vastaus: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.

On syytä kiinnittää huomiota siihen, että ääripään ensimmäisen riittävän merkin käyttö ei edellytä funktion olevan differentioituva pisteestä x 0, mikä yksinkertaistaa laskentaa.
Esimerkki 2
Etsi funktion y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 maksimi- ja minimipisteet.

Päätös.

Funktioalue on kaikki reaaliluvut. Tämä voidaan kirjoittaa yhtälöjärjestelmäksi, jonka muoto on:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8, x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Sitten sinun on löydettävä johdannainen:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 v" = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3, x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Pisteellä x = 0 ei ole derivaattia, koska yksipuolisten rajojen arvot ovat erilaisia. Saamme sen:

lim y "x → 0 - 0 = raja x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y "x → 0 + 0 = raja x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Tästä seuraa, että funktio on jatkuva pisteessä x = 0, sitten lasketaan

raja x → 0 - 0 = raja x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 (0 - 0) 3 - 2 (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 raja x → 0 + 0 = raja x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 ( 0 + 0) 2 + 22 3 (0 + 0) - 8 = - 8 v (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

On tarpeen suorittaa laskelmia argumentin arvon löytämiseksi, kun derivaatasta tulee nolla:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3, x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Kaikki saadut pisteet on merkittävä viivalle kunkin intervallin etumerkin määrittämiseksi. Siksi on tarpeen laskea derivaatta mielivaltaisissa pisteissä jokaiselle intervalleille. Voimme ottaa esimerkiksi pisteitä, joiden arvot ovat x = - 6 , x = - 4 , x = - 1 , x = 1 , x = 4 , x = 6 . Me ymmärrämme sen

y " (- 6) \u003d - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x \u003d - 6 \u003d - 1 2 - 6 2 - 4 (- 6) - 22 3 \u003d - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 v "(- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 (- 1) 2 - 4 (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 v "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Suoralla olevalla kuvalla on muoto

Joten tulemme siihen pisteeseen, että on välttämätöntä turvautua ääripään ensimmäiseen merkkiin. Laskemme ja saamme sen

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , niin tästä eteenpäin maksimipisteillä on arvot x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

Jatketaan vähimmäismäärien laskemiseen:

v m i n = v - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 v m i n = v (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 v m i n = v 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Lasketaan funktion maksimit. Me ymmärrämme sen

v m a x = v - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 v m a x = v 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Graafinen kuva

Vastaus:

v m i n = v - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 v m i n = v (0) = - 8 v m i n = v 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 v m a x = v - 4 + 2 3 3 = 3 8 v 2 = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Jos funktio f "(x 0) = 0 on annettu, niin sen f "" (x 0) > 0 avulla saadaan, että x 0 on minimipiste, jos f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .
Esimerkki 3
Etsi funktion y = 8 x x + 1 maksimi ja minimi.

Päätös

Ensin löydämme määritelmäalueen. Me ymmärrämme sen

D (y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

On tarpeen erottaa funktio, jonka jälkeen saamme

y "= 8 x x + 1" = 8 x " (x + 1) - x (x + 1)" (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

Kun x = 1, derivaatta tulee yhtä suureksi kuin nolla, mikä tarkoittaa, että piste on mahdollinen ääriarvo. Selvyyden vuoksi on tarpeen löytää toinen derivaatta ja laskea arvo kohdassa x \u003d 1. Saamme:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x "(x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2" x + (x + 1) 2 x "(x + 1) 4 x == 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1)" x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 - 4 8 = - 1< 0

Siten käyttämällä ääripään ehtoa 2, saadaan, että x = 1 on maksimipiste. Muussa tapauksessa merkintä on y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 .

Graafinen kuva

Vastaus: y m a x = y (1) = 4 ..
Määritelmä 5
Funktion y = f (x) derivaatta on n:nnen kertaluvun luokkaan asti annetun pisteen x 0 ε-naapurustossa ja sen derivaatta n + 1. kertalukuon asti pisteessä x 0 . Sitten f "(x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = fn (x 0) = 0.

Tästä seuraa, että kun n on parillinen luku, niin x 0 katsotaan käännepisteeksi, kun n on pariton luku, niin x 0 on ääripiste ja f (n + 1) (x 0) > 0, niin x 0 on minimipiste, f(n+1)(x0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.
Esimerkki 4
Etsi funktion y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 maksimi- ja minimipisteet.

Päätös

Alkuperäinen funktio on kokonainen rationaalinen funktio, joten tästä seuraa, että määritelmäalue on kaikki reaaliluvut. Toiminto on eriytettävä. Me ymmärrämme sen

y "= 1 16 x + 1 3" (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " == 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

Tämä derivaatta menee nollaan, kun x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. Eli pisteet voivat olla mahdollisen ääripään pisteitä. On tarpeen soveltaa kolmatta riittävää ääripään ehtoa. Toisen derivaatan löytäminen antaa sinun määrittää tarkasti funktion maksimin ja minimin olemassaolon. Toinen derivaatta lasketaan sen mahdollisen ääripään pisteistä. Me ymmärrämme sen

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

Tämä tarkoittaa, että x 2 \u003d 5 7 on maksimipiste. Sovellettaessa 3 riittävää kriteeriä saadaan, että n = 1 ja f (n + 1) 5 7< 0 .

On tarpeen määrittää pisteiden luonne x 1 = - 1, x 3 = 3. Tätä varten sinun on löydettävä kolmas derivaatta, laskettava arvot näissä kohdissa. Me ymmärrämme sen

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " == 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

Siten x 1 = - 1 on funktion käännepiste, koska n = 2 ja f (n + 1) (- 1) ≠ 0. On tarpeen tutkia pistettä x 3 = 3 . Tätä varten etsimme 4. derivaatan ja suoritamme laskelmat tässä vaiheessa:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " == 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

Yllä olevasta päättelemme, että x 3 \u003d 3 on funktion minimipiste.

Graafinen kuva

Vastaus: x 2 \u003d 5 7 on maksimipiste, x 3 \u003d 3 - tietyn funktion minimipiste.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Tämä on melko mielenkiintoinen matematiikan osa, jonka kohtaavat ehdottomasti kaikki jatko-opiskelijat ja opiskelijat. Kaikki eivät kuitenkaan pidä matanista. Jotkut eivät ymmärrä edes perusasioita, kuten näennäisesti tavanomaista toimintotutkimusta. Tämän artikkelin tarkoituksena on korjata tämä virhe. Haluatko oppia lisää funktioanalyysistä? Haluatko tietää, mitä ääripisteet ovat ja miten ne löytää? Sitten tämä artikkeli on sinua varten.
Funktion graafin tutkiminen
Aluksi on syytä ymmärtää, miksi kaaviota on ylipäänsä tarpeen analysoida. On yksinkertaisia toimintoja, jotka on helppo piirtää. Näyttävä esimerkki tällaisesta funktiosta on paraabeli. Hänen kaavionsa piirtäminen ei ole vaikeaa. Tarvitset vain yksinkertaisen muunnoksen avulla löytää luvut, joilla funktio saa arvon 0. Ja periaatteessa tämä on kaikki mitä sinun tarvitsee tietää paraabelikuvaajan piirtämiseksi.
Mutta entä jos funktio, joka meidän on piirrettävä, on paljon monimutkaisempi? Koska monimutkaisten funktioiden ominaisuudet ovat melko epäselviä, on tarpeen suorittaa koko analyysi. Vasta sitten funktio voidaan esittää graafisesti. Kuinka tehdä se? Löydät vastauksen tähän kysymykseen tästä artikkelista.
Toiminnan analysointisuunnitelma
Ensimmäinen asia on suorittaa funktion pinnallinen tutkimus, jonka aikana löydämme määritelmäalueen. Joten aloitetaan järjestyksessä. Määritelmäalue on joukko niitä arvoja, joilla funktio määritellään. Yksinkertaisesti sanottuna nämä ovat numeroita, joita voidaan käyttää funktiossa x:n sijasta. Laajan määrittämiseksi sinun tarvitsee vain tarkastella merkintää. Esimerkiksi on selvää, että funktiolla y (x) \u003d x 3 + x 2 - x + 43 on määritelmäalue - reaalilukujen joukko. No, funktiolla, kuten (x 2 - 2x) / x, kaikki on hieman erilaista. Koska nimittäjässä olevan luvun ei pitäisi olla 0, tämän funktion toimialue on kaikki reaaliluvut, paitsi nolla.
Seuraavaksi sinun on löydettävä funktion niin sanotut nollat. Nämä ovat argumentin arvoja, joiden koko funktio saa arvon nolla. Tätä varten funktio on rinnastettava nollaan, harkittava sitä yksityiskohtaisesti ja suoritettava joitain muunnoksia. Otetaan jo tuttu funktio y(x) = (x 2 - 2x)/x. Koulukurssilta tiedämme, että murtoluku on 0, kun osoittaja on nolla. Siksi hylkäämme nimittäjän ja alamme työskennellä osoittajan kanssa samastaen sen nollaan. Saamme x 2 - 2x \u003d 0 ja poistamme x:n suluista. Tästä syystä x (x - 2) \u003d 0. Tämän seurauksena huomaamme, että funktiomme on yhtä suuri kuin nolla, kun x on 0 tai 2.
Tutkiessaan funktion kuvaajaa monet kohtaavat ongelman ääripisteiden muodossa. Ja se on outoa. Loppujen lopuksi äärimmäisyydet ovat melko yksinkertainen aihe. Etkö usko? Katso itse lukemalla tämän osan artikkelista, jossa puhumme vähimmäis- ja enimmäispisteistä.
Aluksi on syytä ymmärtää, mikä ääripää on. Ekstreemi on raja-arvo, jonka funktio saavuttaa kaaviossa. Tästä käy ilmi, että on olemassa kaksi ääriarvoa - maksimi ja minimi. Selvyyden vuoksi voit katsoa yllä olevaa kuvaa. Tutkitulla alueella piste -1 on funktion y (x) \u003d x 5 - 5x maksimi ja vastaavasti piste 1 minimi.
Älä myöskään sekoita käsitteitä keskenään. Funktion ääripisteet ovat argumentteja, joissa annettu funktio saa ääriarvot. Ekstreemi puolestaan on funktion minimien ja maksimien arvo. Harkitse esimerkiksi yllä olevaa kuvaa uudelleen. -1 ja 1 ovat funktion ääripisteitä, ja 4 ja -4 ovat itse ääripäät.
Ääripisteiden löytäminen
Mutta miten löydät funktion ääripisteet? Kaikki on melko yksinkertaista. Ensimmäinen asia on löytää yhtälön derivaatta. Oletetaan, että saimme tehtävän: "Etsi funktion y (x) ääripisteet, x on argumentti. Otetaan selvyyden vuoksi funktio y (x) \u003d x 3 + 2x 2 + x + 54. Erotetaan ja saa seuraavan yhtälön: 3x 2 + 4x + 1. Tuloksena saimme standardin toisen asteen yhtälön. Ainoa mitä tarvitsee tehdä on rinnastaa se nollaan ja löytää juuret. Koska diskriminantti on suurempi kuin nolla (D \u003d 16 - 12 \u003d 4), tämä yhtälö määräytyy kahdella juurilla. Löydämme ne ja saamme kaksi arvoa: 1/3 ja -1. Nämä ovat funktion ääripisteet. Miten voit kuitenkin määrittää kuka on kuka? Mikä piste on maksimi ja mikä minimi? Tätä varten sinun on otettava viereinen piste ja selvitettävä sen arvo. Otetaan esimerkiksi numero -2, joka on vasemmalla koordinaattia pitkin Korvaamme tämän arvon yhtälössämme y (-2) = 12 - 8 + 1 = 5. Tuloksena saimme positiivisen luvun, mikä tarkoittaa, että välillä 1/3 - -1 funktio kasvaa, mikä puolestaan tarkoittaa, että aikaväleillä min äärettömästä arvoon 1/3 ja -1:stä plus äärettömään, funktio pienenee. Siten voidaan päätellä, että luku 1/3 on funktion minimipiste tutkitulla aikavälillä ja -1 on maksimipiste.
On myös syytä huomata, että tentti ei edellytä vain ääripisteiden löytämistä, vaan myös jonkinlaisen toimenpiteen suorittamista niillä (lisää, kerro jne.). Tästä syystä on syytä kiinnittää erityistä huomiota ongelman olosuhteisiin. Loppujen lopuksi huomaamattomuuden vuoksi voit menettää pisteitä.

Oppitunti aiheesta: "Funktion ääripisteiden löytäminen. Esimerkkejä"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommentteja, palautetta, ehdotuksia! Kaikki materiaalit tarkistetaan virustorjuntaohjelmalla.
Ohjekirjat ja simulaattorit verkkokaupassa "Integral" luokalle 10 alkaen 1C
Ratkaisemme geometrian tehtäviä. Interaktiiviset rakennustehtävät luokille 7-10
Ohjelmistoympäristö "1C: Mathematical constructor 6.1"

Mitä opiskelemme:
1. Esittely.
2. Minimi- ja maksimipisteet.
4. Kuinka ääripäät lasketaan?
5. Esimerkkejä.
Johdatus toimintojen äärimmäisyyksiin
Kaverit, katsotaanpa jonkin funktion kaaviota:

Huomaa, että funktiomme y=f (x) käyttäytyminen määräytyy suurelta osin kahdella pisteellä x1 ja x2. Katsotaanpa tarkemmin funktion kuvaajaa näissä pisteissä ja niiden ympärillä. Pisteeseen x2 asti funktio kasvaa, pisteessä x2 tapahtuu taivutus ja heti tämän pisteen jälkeen funktio pienenee pisteeseen x1. Pisteessä x1 funktio taipuu uudelleen ja sen jälkeen taas kasvaa. Pisteitä x1 ja x2 kutsutaan toistaiseksi käännepisteiksi. Piirretään tangentit näihin pisteisiin:

Pisteemme tangentit ovat yhdensuuntaisia x-akselin kanssa, mikä tarkoittaa, että tangentin kaltevuus on nolla. Tämä tarkoittaa, että funktiomme derivaatta näissä pisteissä on nolla.

Katsotaanpa tämän funktion kaaviota:

Tangentteja pisteisiin x2 ja x1 ei voida piirtää. Näin ollen johdannaista näissä kohdissa ei ole olemassa. Katsotaanpa nyt uudelleen kohtiamme kahdessa kaaviossa. Piste x2 on piste, jossa funktio saavuttaa maksimiarvonsa jollain alueella (lähellä pistettä x2). Piste x1 on piste, jossa funktio saavuttaa pienimmän arvonsa jollain alueella (lähellä pistettä x1).

Korkeat ja matalat kohdat
Määritelmä: Pistettä x= x0 kutsutaan funktion y=f(x) minimipisteeksi, jos pisteen x0 ympäristössä on totta: f(x) ≥ f(x0).

Määritelmä: Pistettä x=x0 kutsutaan funktion y=f(x) maksimipisteeksi, jos pisteen x0 lähistöllä on totta: f(x) ≤ f(x0).

Kaverit, mikä on naapurusto?

Määritelmä: Pisteen lähialue on joukko pisteitä, jotka sisältävät pisteemme ja lähellä sitä.

Voimme määritellä naapuruston itse. Esimerkiksi pisteelle x=2 voimme määritellä naapuruston pisteiksi 1 ja 3.

Palataan kaavioihimme, katsotaan pistettä x2, se on suurempi kuin kaikki muut pisteet jostain naapurustosta, niin se on määritelmän mukaan maksimipiste. Katsotaan nyt pistettä x1, se on pienempi kuin kaikki muut pisteet jostain naapurustosta, niin se on määritelmän mukaan minimipiste.

Kaverit, esitellään merkintä:
Ymin - minimipiste,
ymax - maksimipiste.
Tärkeä! Kaverit, älä sekoita maksimi- ja vähimmäispisteitä funktion pienimpään ja suurimpaan arvoon. Pienintä ja suurinta arvoa haetaan koko funktion määrittelyalueelta, ja minimi- ja maksimipisteitä haetaan jostain naapurustosta.

Toiminnan ääripäät
Minimi- ja maksimipisteille on yhteinen termi - ääripisteet.

Ekstreemi (lat. extremum - äärimmäinen) - funktion enimmäis- tai minimiarvo tietyssä joukossa. Pistettä, jossa ääripiste saavutetaan, kutsutaan ääripisteeksi.

Vastaavasti, jos minimi saavutetaan, ääripistettä kutsutaan minimipisteeksi ja jos maksimi saavutetaan, maksimipisteeksi.

Kuinka löytää funktion ääripää?

Palataan kaavioihimme. Kohdissamme derivaatta joko katoaa (ensimmäisellä graafilla) tai ei ole olemassa (toisella graafilla).

Sitten voidaan tehdä tärkeä väite: Jos funktiolla y= f(x) on ääriarvo pisteessä x=x0, niin tässä pisteessä funktion derivaatta on joko nolla tai sitä ei ole olemassa.

Pisteitä, joissa derivaatta on nolla, kutsutaan paikallaan.

Pisteitä, joissa funktion derivaatta ei ole olemassa, kutsutaan kriittinen.

Kuinka laskea ääripäät?
Kaverit, palataanpa funktion ensimmäiseen kuvaajaan:

Analysoimalla tätä kuvaajaa sanoimme: pisteeseen x2 asti funktio kasvaa, pisteessä x2 on käänne ja tämän pisteen jälkeen funktio pienenee pisteeseen x1. Pisteessä x1 funktio taipuu uudelleen ja sen jälkeen funktio taas kasvaa.

Tällaisen päättelyn perusteella voimme päätellä, että funktio ääripisteissä muuttaa monotonisuuden luonnetta ja siten derivaattafunktio muuttaa etumerkkiä. Muista, että jos funktio on laskeva, niin derivaatta on pienempi tai yhtä suuri kuin nolla, ja jos funktio on kasvava, niin derivaatta on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla.

Yleistetään saatu tieto lauseella:

Lause: Riittävä äärimmäinen ehto: olkoon funktio y=f(x) jatkuva jollain välillä X ja sen sisällä on kiinteä tai kriittinen piste x= x0. Sitten:
Jos tällä pisteellä on ympäristö, jossa f’(x)>0 täyttyy x x0:lle, niin piste x0 on funktion y= f(x) minimipiste.
Jos tällä pisteellä on sellainen ympäristö, jossa x 0:lle ja x> x0:lle f'(x) ei ole ääriarvoa.

Muista seuraavat säännöt ongelmien ratkaisemiseksi: Jos johdannaisten merkit on määritelty, niin:

Algoritmi monotonisuuden ja ääriarvojen jatkuvan funktion y= f(x) tutkimiseksi:

Etsi derivaatta y'.
Etsi stationaariset (derivaata on nolla) ja kriittiset pisteet (derivaata ei ole olemassa).
Merkitse numeroviivalle stationaariset ja kriittiset pisteet ja määritä derivaatan etumerkit tuloksena oleville intervalleille.
Tee yllä olevien väitteiden perusteella johtopäätös ääripisteiden luonteesta.

Esimerkkejä ääripisteiden löytämisestä
1) Etsi funktion ääripisteet ja määritä niiden luonne: y= 7+ 12*x - x 3
Ratkaisu: Toimintomme on jatkuva, niin käytämme algoritmiamme:
a) y "= 12 - 3x 2,
b) y"= 0, kohdassa x = ±2,

Piste x= -2 on funktion minimipiste, piste x= 2 on funktion maksimipiste.
Vastaus: x= -2 - funktion minimipiste, x= 2 - funktion maksimipiste.
2) Etsi funktion ääripisteet ja määritä niiden luonne.
Ratkaisu: Toimintamme on jatkuvaa. Käytämme algoritmiamme:
a) b) pisteessä x= 2 derivaatta ei ole olemassa, koska ei voida jakaa nollalla Funktioalue: , tässä vaiheessa ei ole ääriarvoa, koska pisteen lähialuetta ei ole määritelty. Etsitään arvot, joissa derivaatta on yhtä suuri kuin nolla: c) Merkitsemme kiinteät pisteet reaaliviivalle ja määritämme derivaatan merkit: d) Katso kuvaamme, joka näyttää säännöt ääriarvojen määrittämiseksi.
Piste x= 3 on funktion minimipiste.
Vastaus: x= 3 - funktion minimipiste.
3) Etsi funktion y= x - 2cos(x) ääripisteet ja määritä niiden luonne, kun -π ≤ x ≤ π.
Ratkaisu: Toimintomme on jatkuva, käytetään algoritmiamme:
a) y"= 1 + 2sin(x),
b) etsi arvot, joissa derivaatta on yhtä suuri kuin nolla: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
koska -π ≤ x ≤ π, sitten: x= -π/6, -5π/6,
c) merkitse reaaliviivalle stationaariset pisteet ja määritä derivaatan etumerkit: d) Katso kuvaamme, joka näyttää säännöt ääriarvojen määrittämiseksi.
Piste x= -5π/6 on funktion maksimipiste.
Piste x= -π/6 on funktion minimipiste.
Vastaus: x= -5π/6 - funktion maksimipiste, x= -π/6 - funktion minimipiste.
4) Etsi funktion ääripisteet ja määritä niiden luonne:
Ratkaisu: Funktiollamme on tauko vain yhdessä pisteessä x= 0. Käytetään algoritmia:
a)
b) etsi arvot, joissa derivaatta on yhtä suuri kuin nolla: y "= 0 x= ±2,
c) merkitse reaaliviivalle stationaariset pisteet ja määritä derivaatan etumerkit:
d) Katso kuvaamme, joka näyttää säännöt ääriarvojen määrittämiseksi.
Piste x= -2 on funktion minimipiste.
Piste x= 2 on funktion minimipiste.
Pisteessä x= 0 funktiota ei ole olemassa.
Vastaus: x= ±2 - funktion minimipisteet.
Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun
a) Etsi funktion ääripisteet ja määritä niiden luonne: y= 5x 3 - 15x - 5.
b) Etsi funktion ääripisteet ja määritä niiden luonne:
c) Etsi funktion ääripisteet ja määritä niiden luonne: y= 2sin(x) - x kun π ≤ x ≤ 3π.
d) Etsi funktion ääripisteet ja määritä niiden luonne: