ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ:

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು:

ಮತ್ತು ವೇಳೆ ಸಿ= 0, ಸಮೀಕರಣ (2) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ

ಕೊಡಲಿ + ಮೂಲಕ = 0,

ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೂಲದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು X = 0, ವೈ= 0 ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.

ಬಿ) ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿದ್ದರೆ (2) ಬಿ= 0, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

ಕೊಡಲಿ + ಜೊತೆಗೆ= 0, ಅಥವಾ .

ಸಮೀಕರಣವು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲ ವೈ, ಮತ್ತು ಈ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಓಹ್.

ಸಿ) ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿದ್ದರೆ (2) ಎ= 0, ನಂತರ ಈ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ

ಮೂಲಕ + ಜೊತೆಗೆ= 0, ಅಥವಾ;

ಸಮೀಕರಣವು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ X, ಮತ್ತು ಅದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎತ್ತು.

ಇದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು: ನೇರ ರೇಖೆಯು ಕೆಲವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಈ ಅಕ್ಷದ ಅದೇ ಹೆಸರಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಪದವಿಲ್ಲ.

ಡಿ) ಯಾವಾಗ ಸಿ= 0 ಮತ್ತು ಎ= 0 ಸಮೀಕರಣ (2) ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮೂಲಕ= 0, ಅಥವಾ ವೈ = 0.

ಇದು ಅಕ್ಷದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಎತ್ತು.

ಡಿ) ಯಾವಾಗ ಸಿ= 0 ಮತ್ತು ಬಿ= 0 ಸಮೀಕರಣ (2) ಅನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೊಡಲಿ= 0 ಅಥವಾ X = 0.

ಇದು ಅಕ್ಷದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಓಹ್.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಥಾನ. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ. ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಸ್ಥಿತಿ. ರೇಖೆಗಳ ಲಂಬತೆಯ ಸ್ಥಿತಿ.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು S 1 ಮತ್ತು S 2 ಅನ್ನು ಅವುಗಳ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಎಲ್ 1 ಮತ್ತು ಎಲ್ 2 ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಮೇಯ 1: l 1 ಮತ್ತು l 2 ನಡುವಿನ ಕೋನದ cos = cos (l 1 ; l 2) =

ಪ್ರಮೇಯ 2: 2 ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ:

ಪ್ರಮೇಯ 3: 2 ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮತಲ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು. ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮತಲ ಸಮೀಕರಣ:

Ax + By + Cz + D = 0

ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – ವಿಮಾನವು ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ

2. С=0 Ax+By+D = 0 – ಪ್ಲೇನ್ || OZ

3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – ಪ್ಲೇನ್ || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – ಪ್ಲೇನ್ || OX

5. A=0 ಮತ್ತು D=0 By+Cz = 0 – ವಿಮಾನವು OX ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ

6. B=0 ಮತ್ತು D=0 Ax+Cz = 0 - ವಿಮಾನವು OY ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ

7. C=0 ಮತ್ತು D=0 Ax+By = 0 - ವಿಮಾನವು OZ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ವಿಮಾನಗಳು ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಥಾನ:

1. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಅವುಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ.

Cos (l 1 ; l 2) = cos (S 1 ; S 2) = =

2. ವಿಮಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

Cos (l 1 ; l 2) = cos (N 1 ; N 2) = =

3. ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಪಾಪದ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

4. 2 ನೇರ || ಅಂತರಿಕ್ಷದಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ || ವೆಕ್ಟರ್ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಗಳು

5. 2 ವಿಮಾನಗಳು || ಯಾವಾಗ || ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು

6. ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಮಾನಗಳ ಲಂಬತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಶ್ನೆ ಸಂಖ್ಯೆ 14

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣ (ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ, ಕೋನ ಗುಣಾಂಕ, ಇತ್ಯಾದಿ)

ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ:
ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ:

1. C = 0 Ах + Ву = 0 - ನೇರ ರೇಖೆಯು ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.

2. a = 0 Vu + C = 0 y =

3. b = 0 Ax + C = 0 x =

4. b=C=0 Ax = 0 x = 0

5. a=C=0 Ву = 0 у = 0

ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ:

ಆಪ್-ಆಂಪ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ (B ಅಲ್ಲ = 0) ಸಮನಾಗದ ಯಾವುದೇ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಮುಂದಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ರೂಪ:

k = tanα α - ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ರೇಖೆ OX ನಡುವಿನ ಕೋನ

ಬೌ - ಆಪ್-ಆಂಪ್ನ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ಬಿಂದು

ದಾಖಲೆ:

Ax+By+C = 0

Wu= -Ah-S |:B

ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ:

ಪ್ರಶ್ನೆ ಸಂಖ್ಯೆ 16

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು x→∞ ಗಾಗಿ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಪರಿಮಿತ ಮಿತಿ

x0 ನಲ್ಲಿ ಅಂತಿಮ ಮಿತಿ:

A ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು x→x 0 ಗಾಗಿ y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ E > 0 ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ b > 0 ಅಂದರೆ x ≠x 0 ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

ಮಿತಿಯನ್ನು ಇವರಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ: = A

ಪಾಯಿಂಟ್ +∞ ನಲ್ಲಿ ಅಂತಿಮ ಮಿತಿ:

A ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು x ನಲ್ಲಿ y = f(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ → + ∞ , ಯಾವುದೇ E > 0 ಗಾಗಿ C > 0 ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ x > C ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ |f(x) - A|< Е

ಮಿತಿಯನ್ನು ಇವರಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ: = A

ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಂತಿಮ ಮಿತಿ -∞:

ಸಂಖ್ಯೆ A ಅನ್ನು y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ x→-∞,ಯಾವುದಾದರೂ ಇ< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಾಲಿನ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಈ ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನಾವು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸೋಣ.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡಲಿ ಆಕ್ಸಿ. ಮೊದಲ ಪದವಿ ಅಥವಾ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಎಲ್ಲಿ ಎ, ಬಿ, ಸಿ- ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು, ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶ ಎಮತ್ತು ಬಿಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ಪ್ರಮೇಯ 1. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವು (1) ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ. ಸರಳ ರೇಖೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರೆ ಸಾಕು ಎಲ್ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದಿನಿಂದ ಇದು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಯಾವುದೇ ಆಯ್ಕೆಗೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ ಎಲ್. ನಾವು ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ ಇದರಿಂದ ಅಕ್ಷ ಎತ್ತುನೇರ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಲ್, ಮತ್ತು ಅಕ್ಷ ಓಹ್ಅದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿತ್ತು. ನಂತರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಎಲ್ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಎಲ್ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (2) ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಸಾಲಿನ ಹೊರಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (2) ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರಮೇಯದ ಮೊದಲ ಭಾಗವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಟಿಸಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (1) ನೀಡೋಣ, ಅಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶ ಎಮತ್ತು ಬಿಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (1) ಪೂರೈಸುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಬಿಂದುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಲೊಕಸ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಗುಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ಎಮತ್ತು ಬಿಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣ (1) ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂ(X 0 ,ವೈ 0) (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾವಾಗ ಎ≠0, ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂ 0 (−ಸಿ/ಎ, 0) ನೀಡಲಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದೆ). ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು (1) ಗೆ ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು ಗುರುತನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಗುರುತನ್ನು (3) ಅನ್ನು (1) ನಿಂದ ಕಳೆಯೋಣ:

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣ (4) ಸಮೀಕರಣ (1) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, (4) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಕು.

ನಾವು ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಸಮಾನತೆ (4) ನಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ( x-x 0 , y-y 0 ) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಎನ್ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ( ಎ, ಬಿ}.

ಕೆಲವು ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಎಲ್, ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂ 0 (X 0 , ವೈ 0) ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎನ್(Fig.1). ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಿಡಿ ಎಂ(X,y) ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿದೆ ಎಲ್. ನಂತರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ x-x 0 , y-y 0 ಲಂಬವಾಗಿ ಎನ್ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣ (4) ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ (ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಎನ್ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ ವೇಳೆ ಎಂ(X,y) ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮಲಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಲ್, ನಂತರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ x-x 0 , y-y 0 ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಅಲ್ಲ ಎನ್ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣ (4) ತೃಪ್ತಿ ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಪುರಾವೆ. ಸಾಲುಗಳು (5) ಮತ್ತು (6) ಒಂದೇ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದರಿಂದ, ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು ಎನ್ 1 ={ಎ 1 ,ಬಿ 1) ಮತ್ತು ಎನ್ 2 ={ಎ 2 ,ಬಿ 2) ಕೊಲಿನಿಯರ್. ವಾಹಕಗಳಿಂದ ಎನ್ 1 ≠0, ಎನ್ 2 ≠0, ನಂತರ ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ λ , ಏನು ಎನ್ 2 =ಎನ್ 1 λ . ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: ಎ 2 =ಎ 1 λ , ಬಿ 2 =ಬಿ 1 λ . ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಸಿ 2 =ಸಿ 1 λ . ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಕಾಕತಾಳೀಯ ರೇಖೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂ 0 (X 0 , ವೈ 0) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (5) ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು λ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (6) ಕಳೆಯುವುದರಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಮೊದಲ ಎರಡು ಸಮಾನತೆಗಳು (7) ತೃಪ್ತಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ ಸಿ 1 λ −ಸಿ 2 =0. ಆ. ಸಿ 2 =ಸಿ 1 λ . ಹೇಳಿಕೆಯು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಸಮೀಕರಣ (4) ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಎಂ 0 (X 0 , ವೈ 0) ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಹೊಂದಿರುವ ಎನ್={ಎ, ಬಿ) ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಈ ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿದ ಬಿಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಮೀಕರಣ (4) ಬಳಸಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 1. ನೇರ ರೇಖೆಯು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂ=(4,-1) ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಹೊಂದಿದೆ ಎನ್=(3, 5). ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: X 0 =4, ವೈ 0 =−1, ಎ=3, ಬಿ=5. ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ನಾವು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (4) ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಉತ್ತರ:

ವೆಕ್ಟರ್ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ ಎಲ್ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಲ್. ಸಾಮಾನ್ಯ ಲೈನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ ಎಲ್, ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಎನ್ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎನ್={1,−3}.

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು (4) ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು (4) ಗೆ ಬದಲಿಸೋಣ ಎಂ 1 (ನಾವು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಹ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂ 2) ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಎನ್:

ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು ಎಂ 1 ಮತ್ತು ಎಂ 2 ರಲ್ಲಿ (9) ಸಮೀಕರಣ (9) ನೀಡಿದ ಸರಳ ರೇಖೆಯು ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಉತ್ತರ:

(1) ನಿಂದ (10) ಕಳೆಯಿರಿ:

ನಾವು ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ವೆಕ್ಟರ್ q={−ಬಿ, ಎ) ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ (12).

ಹಿಮ್ಮುಖ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ನೋಡಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 3. ಸಮತಲದ ಮೇಲಿನ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಎರಡನೇ ಪದವನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ಸರಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 2·5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸೋಣ.

"ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು" ಸರಣಿಯಿಂದ ಪಾಠ

ಹಲೋ ಪ್ರಿಯ ಓದುಗರೇ!

ಇಂದು ನಾವು ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳನ್ನು ಕಲಿಯಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ. ವಾಸ್ತವವೆಂದರೆ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಒಲಂಪಿಯಾಡ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಹಲವಾರು ಪಾಠಗಳ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಹಲವಾರು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಉಪಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಎರಡು ಅಂಕಗಳು. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಮಗೆ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸ್ವಲ್ಪ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಅವರನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ನಾವು ಪಾಠದ ಭಾಗವನ್ನು ವಿನಿಯೋಗಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಿಂದ ಒಳನೋಟಗಳು

ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದೆ.

ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್, ವಿಭಾಗಗಳ ಸೆಟ್, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಅದರ ಶೃಂಗಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ) ಇತ್ಯಾದಿ.

ಫಲಿತಾಂಶವು ಕೆಲವು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರವಾಗಿರಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ, ಎರಡು ವಿಭಾಗಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ...), ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀಡಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಚಿಕ್ಕ ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ, ಪ್ರದೇಶ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ, ಇತ್ಯಾದಿ) .

ನಾವು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು

ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಭಾಷೆಗೆ ಭಾಷಾಂತರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ವಿಮಾನವು ಕಾರ್ಟಿಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ತಿರುಗುವ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲು, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಸಾಕು: ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (x; y). ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ಅದರ ತುದಿಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು; ಅದರ ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು.

ಆದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಮ್ಮ ಮುಖ್ಯ ಸಾಧನ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾನು ಅವರ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ.

ಲೈನ್ ವಿಭಾಗ ಎಬಿ, ಇದು ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಪ್ರಾರಂಭ (ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಪಾಯಿಂಟ್), ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ IN- ಅಂತ್ಯ, ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಬಿಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ದಪ್ಪ ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎ .

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು (ಅಂದರೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದ), ನಾವು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ).

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವೆಕ್ಟರ್ ಅದರ ಅಂತ್ಯ ಮತ್ತು ಪ್ರಾರಂಭದ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ:

,

ಇಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಳಿವೆ ಎಮತ್ತು ಬಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಕ್ರಮವಾಗಿ.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಆಧಾರಿತ ಕೋನ, ಅಂದರೆ, ವಾಹಕಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕೋನ.

ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಕೋನ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯು ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಆಗಿದ್ದರೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎ ವೆಕ್ಟರ್ ಗೆ ಬಿ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ (ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ) ಮತ್ತು ಇತರ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. Fig.1a, Fig.1b ಅನ್ನು ನೋಡಿ. ವಾಹಕಗಳ ಜೋಡಿ ಎಂದೂ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ (ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ) ಆಧಾರಿತ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ (ಸ್ಕ್ಯೂ ಅಥವಾ ಸ್ಯೂಡೋಸ್ಕೆಲಾರ್) ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ.

ವಾಹಕಗಳ a ಮತ್ತು b ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸೈನ್:

.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ವಾಹಕಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ:

ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ:

ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಂತೆ, ಇದು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿತ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ:

ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಆಧಾರಿತ.

ಮೌಲ್ಯವು ಆಗಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಜೋಡಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಆಧಾರಿತ.

ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ( ) ಇದರರ್ಥ ಅವರು ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಲಗುತ್ತಾರೆ.

ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕೆಲವು ಸರಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ.

ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ.

ಎರಡು ಕಾಕತಾಳೀಯವಲ್ಲದ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡೋಣ: ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (x1; y1) ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (x2; y2). ಅಂತೆಯೇ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅಂತ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (x2-x1, y2-y1). P(x, y) ನಮ್ಮ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (x-x1, y - y1) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಆ. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

ನಾವು ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

ಆದ್ದರಿಂದ, ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪದ (1) ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು.

ಸಮಸ್ಯೆ 1. ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅದರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ax + by + c = 0 ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ಮುಂದಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿ, ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು.

ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಕಾಕತಾಳೀಯವಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಒಂದೇ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಇವೆ

ಸಮಾನಾಂತರ (ಹಿಂದಿನದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ).

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಮೂರು ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ:

• ಸಾಲುಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ;

• ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ;

• ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.

ನೇರ ಸಾಲು— ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರರೇಖೆ: ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆ

ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ).

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು

Ax + Wu + C = 0,

ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಎ, ಬಿಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ

ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ.ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಜೊತೆಗೆಕೆಳಗಿನ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- ನೇರ ರೇಖೆಯು ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ನೇರ ರೇಖೆ ಓಹ್

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ನೇರ ರೇಖೆ OU

. ಬಿ = ಸಿ = 0, ಎ ≠0- ನೇರ ರೇಖೆಯು ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ OU

. A = C = 0, B ≠0- ನೇರ ರೇಖೆಯು ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಓಹ್

ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ವಿವಿಧ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಹುದು

ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು.

ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ (A, B)

ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ

Ax + Wu + C = 0.

ಉದಾಹರಣೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ A(1, 2)ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ (3, -1).

ಪರಿಹಾರ. A = 3 ಮತ್ತು B = -1 ನೊಂದಿಗೆ, ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ: 3x - y + C = 0. ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು C

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಿಂದು A ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸೋಣ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 3 - 2 + C = 0, ಆದ್ದರಿಂದ

ಸಿ = -1. ಒಟ್ಟು: ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮೀಕರಣ: 3x - y - 1 = 0.

ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ M 1 (x 1, y 1, z 1)ಮತ್ತು M2 (x 2, y 2, z 2),ನಂತರ ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣ,

ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ:

ಯಾವುದೇ ಛೇದಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿ ಹೊಂದಿಸಬೇಕು. ಆನ್

ಸಮತಲ, ಮೇಲೆ ಬರೆದ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಒಂದು ವೇಳೆ x 1 ≠ x 2ಮತ್ತು x = x 1, ವೇಳೆ x 1 = x 2 .

ಭಿನ್ನರಾಶಿ = ಕೆಎಂದು ಕರೆದರು ಇಳಿಜಾರು ನೇರ.

ಉದಾಹರಣೆ. A (1, 2) ಮತ್ತು B (3, 4) ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಮೇಲೆ ಬರೆದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ.

ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದ್ದರೆ Ax + Wu + C = 0ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ:

ಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿ , ನಂತರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಕೆ ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ.

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್.

ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಮೂದಿಸಬಹುದು

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ (α 1, α 2), ಇದರ ಘಟಕಗಳು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ

Aα 1 + Bα 2 = 0ಎಂದು ಕರೆದರು ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್.

Ax + Wu + C = 0.

ಉದಾಹರಣೆ. ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ (1, -1) ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ A (1, 2) ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಯಸಿದ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ: Ax + By + C = 0.ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ,

ಗುಣಾಂಕಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು:

1 * A + (-1) * B = 0, ಅಂದರೆ. ಎ = ಬಿ.

ನಂತರ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: Ax + Ay + C = 0,ಅಥವಾ x + y + C / A = 0.

ನಲ್ಲಿ x = 1, y = 2ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ C/A = -3, ಅಂದರೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮೀಕರಣ:

x + y - 3 = 0

ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ.

ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ Ах + Ву + С = 0 С≠0, ನಂತರ, -С ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಿ

ಗುಣಾಂಕಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವೆಂದರೆ ಗುಣಾಂಕ a ಎಂಬುದು ಛೇದನ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವಾಗಿದೆ.

ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಓಹ್,ಎ ಬಿ- ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸಮನ್ವಯಗೊಳಿಸಿ OU

ಉದಾಹರಣೆ. ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ x - y + 1 = 0.ಈ ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಿ.

C = 1, , a = -1, b = 1.

ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ.

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿದ್ದರೆ Ax + Wu + C = 0ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವ ಅಂಶ, ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

xcosφ + ysinφ - p = 0 -ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ.

ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಅಂಶದ ಚಿಹ್ನೆ ± ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು μ*C< 0.

ಆರ್- ಲಂಬದ ಉದ್ದವು ಮೂಲದಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ,

ಎ φ - ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಈ ಲಂಬವಾಗಿ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನ ಓಹ್.

ಉದಾಹರಣೆ. ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ 12x - 5y - 65 = 0. ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ

ಈ ಸರಳ ರೇಖೆ.

ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣ:

ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ಈ ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣ: (5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ)

ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣ:

cos φ = 12/13; ಪಾಪ φ= -5/13; p = 5.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೇರ ರೇಖೆಗಳು,

ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಅಥವಾ ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, ನಂತರ ಈ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ತೀವ್ರ ಕೋನ

ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದು

ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ k 1 = k 2. ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ

ಒಂದು ವೇಳೆ ಕೆ 1 = -1/ ಕೆ 2 .

ಪ್ರಮೇಯ.

ನೇರ Ax + Wu + C = 0ಮತ್ತು A 1 x + B 1 y + C 1 = 0ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ

A 1 = λA, B 1 = λB. ಒಂದು ವೇಳೆ ಕೂಡ С 1 = λС, ನಂತರ ಸಾಲುಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು

ಈ ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಾಲು M 1 (x 1, y 1)ಮತ್ತು ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ y = kx + b

ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಾಲಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರ.

ಪ್ರಮೇಯ. ಒಂದು ಅಂಕ ನೀಡಿದರೆ M(x 0, y 0),ನಂತರ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಅಂತರ Ax + Wu + C = 0ಎಂದು ವಿವರಿಸಬಹುದು:

ಪುರಾವೆ. ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಿಡಿ M 1 (x 1, y 1)- ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಲಂಬವಾದ ತಳವು ಕುಸಿಯಿತು ಎಂಕೊಟ್ಟಿದ್ದಕ್ಕಾಗಿ

ನೇರ. ನಂತರ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ ಎಂಮತ್ತು ಎಂ 1:

(1)

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು x 1ಮತ್ತು 1 ನಲ್ಲಿಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು:

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು M 0 ಮೂಲಕ ಲಂಬವಾಗಿ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದರೆ:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + ಬೈ 0 + C = 0,

ನಂತರ, ಪರಿಹರಿಸುವ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (1) ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ರೇಖೆಯು M 1 (x 1; y 1) ಮತ್ತು M 2 (x 2; y 2) ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗಲಿ. ಪಾಯಿಂಟ್ M 1 ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು y-y 1 = ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಕೆ (x - x 1), (10.6)

ಎಲ್ಲಿ ಕೆ - ಇನ್ನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ಗುಣಾಂಕ.

ಸರಳ ರೇಖೆಯು M 2 (x 2 y 2) ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವುದರಿಂದ, ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು (10.6): y 2 -y 1 = ಕೆ (x 2 - x 1).

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಕೆ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (10.6), ನಾವು M 1 ಮತ್ತು M 2 ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ

x 1 = x 2 ಆಗಿದ್ದರೆ, M 1 (x 1,y I) ಮತ್ತು M 2 (x 2,y 2) ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರ ಸಮೀಕರಣ ಹೀಗಿದೆ x = x 1 .

y 2 = y I ಆಗಿದ್ದರೆ, ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು y = y 1 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ಸರಳ ರೇಖೆ M 1 M 2 ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ

ಸರಳ ರೇಖೆಯು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷವನ್ನು M 1 (a;0) ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು Oy ಅಕ್ಷವನ್ನು M 2 (0;b) ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ. ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:
ಆ.
. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ, ಏಕೆಂದರೆ a ಮತ್ತು b ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ರೇಖೆಯು ಯಾವ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ n = (A; B) ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು Mo (x O; y o) ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು M (x; y) ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ M 0 M (x - x 0; y - y o) ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ (Fig. 1 ನೋಡಿ). n ಮತ್ತು M o M ವಾಹಕಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಕಾರಣ, ಅವುಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಅಂದರೆ

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

ಸಮೀಕರಣ (10.8) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ .

ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ n= (A; B) ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಈ ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ .

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (10.8) ಎಂದು ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು ಆಹ್ + ವು + ಸಿ = 0 , (10.9)

ಅಲ್ಲಿ A ಮತ್ತು B ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, C = -Ax o - Vu o ಎಂಬುದು ಉಚಿತ ಪದವಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣ (10.9) ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ(ಚಿತ್ರ 2 ನೋಡಿ).

Fig.1 Fig.2

ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳು

,

ಎಲ್ಲಿ
- ರೇಖೆಯು ಹಾದುಹೋಗುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ಮತ್ತು
- ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್.

ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕರ್ವ್ಸ್ ಸರ್ಕಲ್

ವೃತ್ತವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಮತಲದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕೇಂದ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ ಆರ್ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ
:

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪಾಲನ್ನು ಕೇಂದ್ರವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ, ಸಮೀಕರಣವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ದೀರ್ಘವೃತ್ತ

ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರಿಂದ ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಫೋಸಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಇದು ಸ್ಥಿರ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ
, foci ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು
.

ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ
ಜಿ ದೇಎ ಅರೆ-ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದ;ಬಿ - ಅರೆ-ಮೈನರ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದ (ಚಿತ್ರ 2).