Примери на линеарни равенки со константни коефициенти. Линеарни нехомогени диференцијални равенки од втор ред со константни коефициенти
Оваа статија го обработува прашањето за решавање на линеарни нехомогени диференцијални равенки од втор ред со константни коефициенти. Теоријата ќе се дискутира заедно со примери на дадени проблеми. За да се дешифрираат нејасните поими, потребно е да се осврне на темата за основните дефиниции и концепти на теоријата на диференцијални равенки.
Да разгледаме линеарна диференцијална равенка (LDE) од втор ред со константни коефициенти од формата y "" + p · y " + q · y = f (x), каде што p и q се произволни броеви, а постоечката функција f (x) е континуирано на интервалот на интеграција x.
Да продолжиме со формулацијата на теоремата за општото решение на LNDE.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Теорема за општо решение за LDNU
Теорема 1Општо решение, сместено на интервалот x, на нехомогена диференцијална равенка од формата y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) со коефициенти на континуирана интеграција на x интервалот f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) и континуирана функција f (x) е еднаква на збирот на општото решение y 0, што одговара на LOD и одредено решение y ~, каде што првобитната нехомогена равенка е y = y 0 + y ~.
Ова покажува дека решението на ваква равенка од втор ред има форма y = y 0 + y ~ . Алгоритмот за наоѓање y 0 е дискутиран во статијата за линеарни хомогени диференцијални равенки од втор ред со константни коефициенти. По што треба да продолжиме до дефиницијата на y ~.
Изборот на одредено решение за LPDE зависи од типот на достапната функција f (x) која се наоѓа на десната страна од равенката. За да го направите ова, неопходно е одделно да се разгледаат решенијата на линеарни нехомогени диференцијални равенки од втор ред со константни коефициенти.
Кога f (x) се смета за полином од n-ти степен f (x) = P n (x), следува дека одредено решение на LPDE е пронајдено користејќи формула од формата y ~ = Q n (x ) x γ, каде што Q n ( x) е полином со степен n, r е бројот на нула корени на карактеристичната равенка. Вредноста y ~ е одредено решение y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , потоа достапните коефициенти кои се дефинирани со полиномот
Q n (x), наоѓаме со користење на методот на неопределени коефициенти од еднаквоста y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).
Пример 1
Пресметајте користејќи ја теоремата на Коши y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
Решение
Со други зборови, потребно е да се премине кон одредено решение на линеарна нехомогена диференцијална равенка од втор ред со константни коефициенти y "" - 2 y " = x 2 + 1, што ќе ги задоволи дадените услови y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .
Општото решение на линеарната нехомогена равенка е збир од општото решение, кое одговара на равенката y 0 или одредено решение на нехомогената равенка y ~, односно y = y 0 + y ~.
Прво ќе најдеме општо решение за ЛНДУ, а потоа конкретно.
Ајде да продолжиме со наоѓање на y 0. Запишувањето на карактеристичната равенка ќе ви помогне да ги пронајдете корените. Го добиваме тоа
k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2
Откривме дека корените се различни и реални. Затоа, ајде да запишеме
y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.
Ајде да го најдеме y ~ . Се гледа дека десната страна на дадената равенка е полином од втор степен, тогаш еден од корените е еднаков на нула. Од ова добиваме дека одредено решение за y ~ ќе биде
y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, каде што вредностите на A, B, C добиваат неодредени коефициенти.
Да ги најдеме од еднаквост од формата y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .
Тогаш го добиваме тоа:
y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1
Изедначувајќи ги коефициентите со истите експоненти на x, добиваме систем на линеарни изрази - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Кога решаваме со некој од методите, ќе ги најдеме коефициентите и ќе запишеме: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 и y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x.
Овој запис се нарекува општо решение на првобитната линеарна нехомогена диференцијална равенка од втор ред со константни коефициенти.
За да се најде одредено решение кое ги задоволува условите y (0) = 2, y "(0) = 1 4, потребно е да се одредат вредностите C 1И C 2, врз основа на еднаквост од формата y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.
Добиваме дека:
y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
Работиме со добиениот систем на равенки од формата C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, каде што C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.
Применувајќи ја теоремата на Коши, го имаме тоа
y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
Одговор: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .
Кога функцијата f (x) е претставена како производ на полином со степен n и експонент f (x) = P n (x) · e a x, тогаш добиваме дека одредено решение од LPDE од втор ред ќе биде равенка од формата y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ, каде што Q n (x) е полином од n-ти степен, а r е бројот на корените на карактеристичната равенка еднаков на α.
Коефициентите кои припаѓаат на Q n (x) се наоѓаат со еднаквоста y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Пример 2
Најдете го општото решение на диференцијална равенка од формата y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .
Решение
Општата равенка е y = y 0 + y ~ . Посочената равенка одговара на LOD y "" - 2 y " = 0. Од претходниот пример може да се види дека неговите корени се еднакви k 1 = 0и k 2 = 2 и y 0 = C 1 + C 2 e 2 x според карактеристичната равенка.
Се гледа дека десната страна на равенката е x 2 + 1 · e x. Од тука LPDE се наоѓа преку y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, каде што Q n (x) е полином од втор степен, каде што α = 1 и r = 0, бидејќи карактеристичната равенка не имаат корен еднаков на 1. Од тука го добиваме тоа
y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C.
A, B, C се непознати коефициенти кои можат да се најдат со еднаквоста y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.
Разбрав
y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C
y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1
Ги изедначуваме индикаторите со истите коефициенти и добиваме систем на линеарни равенки. Оттука наоѓаме A, B, C:
A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3
Одговор:јасно е дека y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 е одредено решение на LNDDE, и y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - општо решение за нехомогена диф равенка од втор ред.
Кога функцијата е напишана како f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x, и А 1И ВО 1се броеви, тогаш делумно решение на LPDE се смета за равенка од формата y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, каде што A и B се сметаат за неодредени коефициенти, а r е бројот на комплексни конјугирани корени поврзани со карактеристичната равенка, еднакви на ± i β. Во овој случај, пребарувањето за коефициенти се врши со користење на еднаквоста y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).
Пример 3
Најдете го општото решение на диференцијална равенка од формата y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Решение
Пред да ја напишеме карактеристичната равенка, наоѓаме y 0. Потоа
k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i
Имаме пар сложени конјугирани корени. Ајде да се трансформираме и да добиеме:
y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)
Корените на карактеристичната равенка се сметаат за конјугираниот пар ± 2 i, потоа f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). Ова покажува дека пребарувањето за y ~ ќе биде направено од y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Непознати Ќе ги бараме коефициентите A и B од еднаквост од формата y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Ајде да конвертираме:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)
Тогаш е јасно дека
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)
Потребно е да се изедначат коефициентите на синусите и косинусите. Добиваме систем на форма:
4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4
Следи дека y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.
Одговор:се разгледува општото решение на оригиналниот LDDE од втор ред со константни коефициенти
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x
Кога f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), тогаш y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ Имаме дека r е бројот на сложени конјугирани парови на корени поврзани со карактеристичната равенка, еднаков на α ± i β, каде што P n (x), Q k (x), L m (x) и Nm(x)се полиноми со степен n, k, m, m, каде m = m a x (n, k). Наоѓање коефициенти Lm(x)И Nm(x)се прави врз основа на еднаквоста y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Пример 4
Најдете го општото решение y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .
Решение
Според условот јасно е дека
α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1
Тогаш m = m a x (n, k) = 1. Го наоѓаме y 0 со тоа што прво ќе запишеме карактеристична равенка на формата:
k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2
Откривме дека корените се реални и различни. Оттука y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. Следно, потребно е да се бара општо решение засновано на нехомогената равенка y ~ на формата
y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))
Познато е дека A, B, C се коефициенти, r = 0, бидејќи не постои пар на конјугирани корени поврзани со карактеристичната равенка со α ± i β = 3 ± 5 · i. Ги наоѓаме овие коефициенти од добиената еднаквост:
y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + Г) грев (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) грев (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))
Наоѓањето на изводот и слични поими дава
E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · грев (5 x) + 45 · грев (5 x ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))
По изедначување на коефициентите, добиваме систем на формата
15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1
Од сето тоа произлегува дека
y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) грев (5 x))
Одговор:Сега добивме општо решение за дадената линеарна равенка:
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
Алгоритам за решавање на LDNU
Дефиниција 1Секој друг тип на функција f (x) за решение бара усогласеност со алгоритмот за решение:
- наоѓање општо решение за соодветната линеарна хомогена равенка, каде што y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, каде y 1И y 2се линеарно независни парцијални решенија на LODE, C 1И C 2се сметаат за произволни константи;
- усвојување како општо решение на LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
- определување на изводи на функција преку систем од форма C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " ( x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , и наоѓање функции C 1 (x)и C 2 (x) преку интеграција.
Пример 5
Најдете го општото решение за y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.
Решение
Продолжуваме со пишување на карактеристичната равенка, откако претходно напишавме y 0, y "" + 36 y = 0. Ајде да напишеме и да решиме:
k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = грев (6 x)
Имаме дека општото решение на дадената равенка ќе се запише како y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Неопходно е да се премине на дефиниција на деривативни функции C 1 (x)И C2(x)според систем со равенки:
C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2" (x) · sin (6 x) = 0 C 1" (x) · (cos (6 x)) " + C 2" (x) · (грев (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2" (x) грев (6 x) = 0 C 1" (x) (- 6 гревови (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 гревови (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x
Треба да се донесе одлука во врска со C 1" (x)И C 2" (x)користејќи кој било метод. Потоа пишуваме:
C 1" (x) = - 4 грев 2 (6 x) + 2 грев (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x грев (6 x) C 2" (x) = 4 грев (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)
Секоја од равенките мора да биде интегрирана. Потоа ги пишуваме добиените равенки:
C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x грев (6 x) + C 4
Следи дека општото решение ќе има форма:
y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 грев (6 x)
Одговор: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)
Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter
Видовме дека, во случај кога е познато општото решение на линеарна хомогена равенка, можно е да се најде општото решение на нехомогена равенка користејќи го методот на варијација на произволни константи. Сепак, прашањето како да се најде општо решение за хомогена равенка остана отворено. Во посебниот случај кога во линеарната диференцијална равенка (3) сите коефициенти стр i(X)= а i - константи, може да се реши прилично едноставно, дури и без интеграција.
Размислете за линеарна хомогена диференцијална равенка со постојани коефициенти, т.е. равенки од формата
y (n) + а 1 y (n – 1) +...а n – 1 y " + a n y = 0, (14)
Каде и јас- константи (јас= 1, 2, ...,n).
Како што е познато, за линеарна хомогена равенка од прв ред решението е функција од формата д kx.Ќе бараме решение за равенката (14) во форма ј (X) = д kx.
Да ја замениме функцијата со равенката (14) ј (X) и неговите деривати од редот м (1 £ м£ n)ј (м) (X) = k m e kx. Добиваме
(k n + a 1 k n – 1 +...a n – 1 k + a n)e kx = 0,
Но д k x ¹ 0 за било кој X, Затоа
k n + a 1 k n – 1 +...а n – 1 k + a n = 0. (15)
Се нарекува равенката (15). карактеристична равенка, полиномот од левата страна- карактеристичен полином , неговите корени- карактеристични корени диференцијална равенка (14).
Заклучок:
функцијај (X) = д kx - решение на линеарната хомогена равенка (14) ако и само ако бројот к - корен на карактеристичната равенка (15).
Така, процесот на решавање на линеарната хомогена равенка (14) се сведува на решавање на алгебарската равенка (15).
Можни се различни случаи на карактеристични корени.
1.Сите корени на карактеристичната равенка се реални и различни.
Во овој случај nразлични карактеристични корени к 1 ,к 2 ,..., k nодговара nразлични решенија на хомогена равенка (14)
Може да се покаже дека овие решенија се линеарно независни и затоа формираат фундаментален систем на решенија. Така, општото решение на равенката е функцијата
Каде СО 1 , В 2 , ..., C n - произволни константи.
Пример 7. Најдете го општото решение на линеарната хомогена равенка:
А) на¢ ¢ (X) - 6на¢ (X) + 8на(X) = 0,б) на¢ ¢ ¢ (X) + 2на¢ ¢ (X) - 3на¢ (X) = 0.
Решение. Ајде да создадеме карактеристична равенка. За да го направите ова, го заменуваме дериватот на редот мфункции y(x) до соодветен степен
к(на (м) (x) « k m),
додека самата функција на(X) бидејќи изводот од нулти ред се заменува со к 0 = 1.
Во случајот (а) карактеристичната равенка ја има формата к 2 - 6k + 8 = 0. Корените на оваа квадратна равенка к 1 = 2,к 2 = 4. Бидејќи тие се реални и различни, општото решение има форма ј (X)= В 1 д 2X + C 2 д 4x.
За случајот (б), карактеристичната равенка е равенката од 3 степен к 3 + 2к 2 - 3k = 0. Да ги најдеме корените на оваа равенка:
к(к 2 + 2 к - 3)= 0 Þ к = 0i к 2 + 2 к - 3 = 0 Þ к = 0, (к - 1)(к + 3) = 0,
Т . д . к 1 = 0, к 2 = 1, к 3 = - 3.
Овие карактеристични корени одговараат на основниот систем на решенија на диференцијалната равенка:
ј 1 (X)= e 0X = 1, ј 2 (X) = e x, ј 3 (X)= e - 3X .
Генералното решение, според формулата (9), е функцијата
ј (X)= В 1 + В 2 e x + C 3 д - 3X .
II . Сите корени на карактеристичната равенка се различни, но некои од нив се сложени.
Сите коефициенти на диференцијалната равенка (14), а со тоа и на нејзината карактеристична равенка (15)- реални броеви, што значи ако c меѓу карактеристичните корени има комплексен корен к 1 = a + ib,односно неговиот конјугиран корен к 2 = ` к 1 = а- ib.До првиот корен к 1 одговара на решението на диференцијалната равенка (14)
ј 1 (X)= e (а+иб)X = e a x e ibx = е секира(cosbx + isinbx)
(Ја користевме формулата на Ојлер e i x = cosx + isinx). Исто така, коренот к 2 = а- ibодговара на решението
ј 2 (X)= e (a - -ib)X = e a x e - ib x= e секира(cosbx - isinbx).
Овие решенија се сложени. За да добиеме реални решенија од нив, ги користиме својствата на решенијата за линеарна хомогена равенка (види 13.2). Функции
се реални решенија на равенката (14). Покрај тоа, овие решенија се линеарно независни. Така, можеме да го извлечеме следниот заклучок.
Правило 1.Пар на конјугирани комплексни корени a± ib од карактеристичната равенка во FSR на линеарната хомогена равенка (14) одговара на две реални парцијални решенијаИ .
Пример 8. Најдете го општото решение на равенката:
А) на¢ ¢ (X) - 2на ¢ (X) + 5на(X) = 0 ;б) на¢ ¢ ¢ (X) - на¢ ¢ (X) + 4на ¢ (X) - 4на(X) = 0.
Решение. Во случај на равенката (а), корените на карактеристичната равенка к 2 - 2k + 5 = 0 се два конјугирани комплексни броја
к 1, 2 = .
Следствено, според правилото 1, тие одговараат на две реални линеарно независни решенија: и , и општото решение на равенката е функцијата
ј (X)= В 1 e x cos 2x + C 2 e x грев 2x.
Во случајот (б), да се најдат корените на карактеристичната равенка к 3 - к 2 + 4к- 4 = 0, ја факторизираме неговата лева страна:
к 2 (к - 1) + 4(к - 1) = 0 Þ (к - 1)(к 2 + 4) = 0 Þ (к - 1) = 0, (к 2 + 4) = 0.
Затоа, имаме три карактеристични корени: к 1 = 1,k 2 , 3 = ± 2јас.Корну к 1 одговара на решението , и пар конјугирани комплексни корени к 2, 3 = ± 2јас = 0 ± 2јас- две валидни решенија: и . Составуваме општо решение за равенката:
ј (X)= В 1 e x + C 2 cos 2x + C 3 грев 2x.
III . Меѓу корените на карактеристичната равенка има множители.
Нека к 1 - вистински корен на мноштвото мкарактеристична равенка (15), односно меѓу корените има меднакви корени. Секој од нив одговара на истото решение на диференцијалната равенка (14) Сепак, вклучи мНема еднакви решенија во FSR, бидејќи тие сочинуваат линеарно зависен систем на функции.
Може да се покаже дека во случај на повеќекратен корен k 1решенија на равенката (14), покрај функцијата, се и функциите
Функциите се линеарно независни на целата нумеричка оска, бидејќи, односно, тие можат да бидат вклучени во FSR.
Правило 2. Вистински карактеристичен корен к 1 мноштво мво ФСР одговара мрешенија:
Ако к 1 - комплексна множина на корените мкарактеристична равенка (15), тогаш има конјугиран корен к 1 мноштво м. По аналогија го добиваме следново правило.
Правило 3. Пар на конјугирани комплексни корени a± ib во FSR одговара на 2 повеќе реални линеарно независни решенија:
, , ..., ,
, , ..., .
Пример 9. Најдете го општото решение на равенката:
А) на¢ ¢ ¢ (X) + 3на¢ ¢ (X) + 3на¢ (X)+ y ( X)= 0;б) на IV(X) + 6на¢ ¢ (X) + 9на(X) = 0.
Решение. Во случајот (а) карактеристичната равенка ја има формата
к 3 + 3 к 2 + 3 к + 1 = 0
(k + 1) 3 = 0,
т.е. k =- 1 - коренот на мноштвото 3. Врз основа на правилото 2, го запишуваме општото решение:
ј (X)= В 1 + В 2 x + C 3 x 2 .
Карактеристичната равенка во случајот (б) е равенката
к 4 + 6к 2 + 9 = 0
или, во спротивно,
(к 2 + 3) 2 = 0 Þ к 2 = - 3 Þ к 1, 2 = ± јас.
Имаме пар конјугирани сложени корени, од кои секој има множина 2. Според правилото 3, општото решение е напишано како
ј (X)= В 1 + В 2 x + C 3 + В 4 x.
Од горенаведеното произлегува дека за која било линеарна хомогена равенка со константни коефициенти можно е да се најде основен систем на решенија и да се состави општо решение. Следствено, решението на соодветната нехомогена равенка за која било континуирана функција ѓ(x) на десната страна може да се најде користејќи го методот на варијација на произволни константи (види дел 5.3).
Пример 10. Користејќи го методот на варијација, пронајдете го општото решение за нехомогената равенка на¢ ¢ (X) - на¢ (X) - 6на(X) = xe 2x .
Решение. Прво го наоѓаме општото решение на соодветната хомогена равенка на¢ ¢ (X) - на¢ (X) - 6на(X) = 0. Корени на карактеристичната равенка к 2 - к- 6 = 0 се к 1 = 3,к 2 = - 2, а општо решение на хомогената равенка - функција ` на ( X) = В 1 д 3X + В 2 д - 2X .
Ќе бараме решение за нехомогената равенка во форма
на( X) = СО 1 (X)д 3X + В 2 (X)д 2X . (*)
Ајде да ја најдеме одредницата Вронски
В[д 3X , д 2X ] = .
Да составиме систем од равенки (12) за изводите на непознатите функции СО ¢ 1 (X) И СО¢ 2 (X):
Решавајќи го системот користејќи ги формулите на Крамер, добиваме
Интегрирајќи, наоѓаме СО 1 (X) И СО 2 (X):
Функции за замена СО 1 (X) И СО 2 (X) во еднаквост (*), добиваме општо решение на равенката на¢ ¢ (X) - на¢ (X) - 6на(X) = xe 2x :
Во случај кога десната страна на линеарната нехомогена равенка со константни коефициенти има посебна форма, може да се најде одредено решение за нехомогената равенка без прибегнување кон методот на менување произволни константи.
Размислете за равенката со константни коефициенти
y (n) + 1 год (n– 1) +...а n – 1 г " + a n y = f (x), (16)
ѓ( x) = дсекира(Pn(x)cosbx + Rm(x)sinbx), (17)
Каде Pn(x) И Р м(x) - степени полиноми n И мсоодветно.
Приватно решение y*(X) од равенката (16) се одредува со формулата
на* (X) = xsд секира(М р(x)cosbx + N r(x)sinbx), (18)
Каде М р(x) И N r(x) - степени полиноми r = макс(n, m) со неизвесни коефициенти , А седнакво на множителот на коренот к 0 = a + ibкарактеристичен полином на равенката (16), и претпоставуваме s = 0 ако к 0 не е карактеристичен корен.
За да составите одредено решение користејќи ја формулата (18), треба да најдете четири параметри - а, б, рИ с.Првите три се одредуваат од десната страна на равенката, и р- ова е всушност највисокиот степен x, пронајден на десната страна. Параметар снајдени од споредба на бројки к 0 = a + ibИ множеството од сите (земајќи ги предвид множители) карактеристични корени на равенката (16), кои се наоѓаат со решавање на соодветната хомогена равенка.
Да разгледаме посебни случаи на формата на функцијата (17):
1) кога а ¹ 0, б= 0ѓ(x)= e ax P n(x);
2) кога а= 0, б ¹ 0ѓ(x)= Pn(x) Соosbx + R m(x)sinbx;
3) кога а = 0, б = 0ѓ(x)=Pn(x).
Забелешка 1. Ако P n (x) º 0 или Rm(x)º 0, тогаш десната страна на равенката f(x) = e ax P n (x)с osbx или f(x) = e ax R m (x)sinbx, т.е. содржи само една од функциите - косинус или синус. Но, при снимањето на одредено решение, и двете мора да бидат присутни, бидејќи, според формулата (18), секој од нив се множи со полином со неодредени коефициенти од ист степен r = max(n, m).
Пример 11. Определи го типот на парцијално решение на линеарна хомогена равенка од 4 ред со константни коефициенти ако е позната десната страна на равенката ѓ(X) = e x(2xcos 3x+(x 2 + 1)грев 3x) и корените на карактеристичната равенка:
А ) к 1 = k 2 = 1, к 3 = 3,к 4 = - 1;
б ) к 1, 2 = 1 ± 3јас,к 3, 4 = ± 1;
В ) к 1, 2 = 1 ± 3јас,к 3, 4 = 1 ± 3јас.
Решение. На десната страна го наоѓаме тоа во конкретното решение на*(X), што се одредува со формулата (18), параметри: а= 1, б= 3, r = 2. Остануваат исти за сите три случаи, па оттука и бројката к 0 кој го одредува последниот параметар сформулата (18) е еднаква на к 0 = 1+ 3јас. Во случајот (а) нема број меѓу карактеристичните корени к 0 = 1 + 3јас,Средства, с= 0, а одредено решение има форма
y*(X) = x 0 e x(М 2 (x)cos 3x+N 2 (x)грев 3x) =
= дx( (Секира 2 +Bx+C)cos 3x+(А 1 x 2 + Б 1 x+C 1)грев 3x.
Во случајот (б) бројот к 0 = 1 + 3јассе јавува еднаш меѓу карактеристичните корени, што значи s = 1 И
y*(X) = x e x((Секира 2 +Bx+C)cos 3x+(А 1 x 2 + Б 1 x+C 1)грев 3x.
За случајот (в) имаме s = 2 и
y*(X) = x 2 e x((Секира 2 +Bx+C)cos 3x+(А 1 x 2 + Б 1 x+C 1)грев 3x.
Во примерот 11, одреденото решение содржи два полиноми од степен 2 со неодредени коефициенти. За да најдете решение, треба да ги одредите нумеричките вредности на овие коефициенти. Дозволете ни да формулираме општо правило.
Да се определат непознатите коефициенти на полиномите М р(x) И N r(x) еднаквоста (17) се диференцира потребниот број пати и функцијата се заменува y*(X) и неговите деривати во равенката (16). Со споредување на неговата лева и десна страна се добива систем на алгебарски равенки за пронаоѓање на коефициентите.
Пример 12. Најдете решение за равенката на¢ ¢ (X) - на¢ (X) - 6на(X) = xe 2x, откако утврди одредено решение на нехомогената равенка со формата на десната страна.
Решение. Општото решение на нехомогената равенка има форма
на( X) = ` на(X)+ y*(X),
Каде ` на ( X) - општото решение на соодветната хомогена равенка, и y*(X) - одредено решение на нехомогена равенка.
Прво ја решаваме хомогената равенка на¢ ¢ (X) - на¢ (X) - 6на(X) = 0. Нејзината карактеристична равенка к 2 - к- 6 = 0 има два корени к 1 = 3,к 2 = - 2, оттука, ` на ( X) = В 1 д 3X + В 2 д - 2X .
Да ја користиме формулата (18) за да го одредиме типот на одредено решение на*(X). Функција ѓ(x) = xe 2x претставува посебен случај (а) со формулата (17), додека a = 2,б = 0 И r = 1, т.е. к 0 = 2 + 0јас = 2. Споредувајќи се со карактеристичните корени, заклучуваме дека s = 0. Заменувајќи ги вредностите на сите параметри во формулата (18), имаме y*(X) = (Ах + Б)д 2X .
Да се најдат вредностите АИ ВО, да ги најдеме изводите од прв и втор ред на функцијата y*(X) = (Ах + Б)д 2X :
y*¢ (X)= Ае 2X + 2(Ах + Б)д 2X = (2Ах + Ах + 2Б)д 2x,
y*¢ ¢ (X) = 2Ае 2X + 2(2Ах + Ах + 2Б)д 2X = (4Ах + 4А+ 4Б)д 2X .
По замена на функцијата y*(X) и неговите деривати во равенката што ја имаме
(4Ах + 4А+ 4Б)д 2X - (2Ах + Ах + 2Б)д 2X - 6(Ах + Б)д 2X =xe 2x Þ Þ A=- 1/4,Б=- 3/16.
Така, одредено решение на нехомогената равенка ја има формата
y*(X) = (- 1/4X- 3/16)д 2X ,
и општото решение - на ( X) = В 1 д 3X + В 2 д - 2X + (- 1/4X- 3/16)д 2X .
Забелешка 2.Во случај кога проблемот на Коши е поставен за нехомогена равенка, прво мора да се најде општо решение за равенката
на( X) = ,
откако ги утврди сите нумерички вредности на коефициентите во на*(X). Потоа користете ги почетните услови и, заменувајќи ги во општото решение (а не во y*(X)), пронајдете ги вредностите на константите C i.
Пример 13. Најдете решение за проблемот на Коши:
на¢ ¢ (X) - на¢ (X) - 6на(X) = xe 2x , y(0) = 0, y ¢ (X) = 0.
Решение. Општото решение за оваа равенка е
на(X) = В 1 д 3X + В 2 д - 2X + (- 1/4X- 3/16)д 2X
беше пронајден во Пример 12. За да најдеме одредено решение кое ги задоволува почетните услови на овој проблем на Коши, добиваме систем од равенки
Решавајќи го, имаме В 1 = 1/8, В 2 = 1/16. Затоа, решението за проблемот на Коши е функцијата
на(X) = 1/8д 3X + 1/16д - 2X + (- 1/4X- 3/16)д 2X .
Забелешка 3(принцип на суперпозиција). Ако во линеарна равенка Ln[y(x)]= ѓ(x), Каде ѓ(x) = ѓ 1 (x)+f 2 (x) И y* 1 (x) - решение на равенката Ln[y(x)]= ѓ 1 (x), А y* 2 (x) - решение на равенката Ln[y(x)]= ѓ 2 (x), потоа функцијата y*(X)= y* 1 (x)+ y* 2 (x) е решавање на равенката Ln[y(x)]= ѓ(x).
Пример 14. Наведете го типот на општо решение на линеарна равенка
на¢ ¢ (X) + 4на(X) = x + sinx.
Решение. Општо решение на соодветната хомогена равенка
` на(x) = В 1 cos 2x + C 2 грев 2x,
бидејќи карактеристичната равенка к 2 + 4 = 0 има корени к 1, 2 = ± 2јас.Десната страна на равенката не одговара на формулата (17), но ако ја воведеме ознаката ѓ 1 (x) = x, ѓ 2 (x) = синкси користете го принципот на суперпозиција , тогаш може да се најде одредено решение на нехомогената равенка во форма y*(X)= y* 1 (x)+ y* 2 (x), Каде y* 1 (x) - решение на равенката на¢ ¢ (X) + 4на(X) = x, А y* 2 (x) - решение на равенката на¢ ¢ (X) + 4на(X) = синкс.Според формулата (18)
y* 1 (x) = Секира + Б,y* 2 (x) = Ссosx + Dsinx.
Потоа конкретното решение
y*(X) = Axe + B + Ccosx + Dsinx,
затоа општото решение ја има формата
на(X) = В 1 cos 2x + C 2 д - 2X + А x + B + Ccosx + Dsinx.
Пример 15. Електричното коло се состои од извор на струја поврзан во серија со EMF д(т) = Е гревwт,индуктивност Ли контејнери СО, и
Образовна институција „Белоруска држава
земјоделска академија“
Катедра за виша математика
Насоки
да ја проучува темата „Линеарни диференцијални равенки од втор ред“ од студенти на сметководствениот факултет за дописно образование (НИСПО)
Горки, 2013 година
Линеарни диференцијални равенки
втор ред со константикоефициенти
Линеарни хомогени диференцијални равенки
Линеарна диференцијална равенка од втор ред со константни коефициенти наречена равенка на формата
тие. равенка која ја содржи саканата функција и нејзините деривати само до прв степен и не ги содржи нивните производи. Во оваа равенка 
И 
- некои броеви и функција 
дадена на одреден интервал 
.
Ако 
на интервалот 
, тогаш равенката (1) ќе добие форма
,
(2)
и се нарекува линеарна хомогена . Во спротивно, се нарекува равенката (1). линеарна нехомогена .
Размислете за сложената функција
,
(3)
Каде 
И 
- реални функции. Ако функцијата (3) е сложено решение на равенката (2), тогаш реалниот дел 
, и имагинарниот дел 
решенија 
одделно се решенија на иста хомогена равенка. Така, секое сложено решение на равенката (2) генерира две реални решенија за оваа равенка.
Решенијата на хомогена линеарна равенка ги имаат следните својства:
Ако 
е решение на равенката (2), потоа функцијата 
, Каде СО– произволна константа исто така ќе биде решение на равенката (2);
Ако 
И 
има решенија за равенката (2), потоа функцијата 
ќе биде и решение за равенката (2);
Ако 
И 
има решенија за равенката (2), потоа нивна линеарна комбинација 
ќе биде и решение за равенката (2), каде 
И 
– произволни константи.
Функции 
И 
се нарекуваат линеарно зависни
на интервалот 
, доколку постојат такви бројки 
И 
, не е еднакво на нула во исто време, дека на овој интервал еднаквоста
Ако еднаквоста (4) се јавува само кога 
И 
, потоа функциите 
И 
се нарекуваат линеарно независни
на интервалот 
.
Пример 1
. Функции 
И 
се линеарно зависни, бидејќи 
на целата нумеричка линија. Во овој пример 
.
Пример 2
. Функции 
И 
се линеарно независни на кој било интервал, бидејќи еднаквоста 
е можно само во случај кога 
, И 
.
Конструкција на општо решение на линеарна хомогена
равенки
За да најдете општо решение за равенката (2), треба да најдете две негови линеарно независни решенија 
И 
. Линеарна комбинација на овие решенија 
, Каде 
И 
се произволни константи и ќе дадат општо решение за линеарна хомогена равенка.
Ќе бараме линеарно независни решенија на равенката (2) во форма
,
(5)
Каде 
– одреден број. Потоа 
,
. Ајде да ги замениме овие изрази во равенката (2):
или 
.
Бидејќи 
, Тоа 
. Значи функцијата 
ќе биде решение на равенката (2) ако 
ќе ја задоволи равенката
.
(6)
Се нарекува равенката (6). карактеристична равенка за равенката (2). Оваа равенка е алгебарска квадратна равенка.
Нека 
И 
постојат корени на оваа равенка. Тие можат да бидат или реални и различни, или сложени, или реални и еднакви. Ајде да ги разгледаме овие случаи.
Нека корените 
И 
карактеристичните равенки се реални и различни. Тогаш решенијата на равенката (2) ќе бидат функциите 
И 
. Овие решенија се линеарно независни, бидејќи еднаквоста 
може да се изврши само кога 
, И 
. Според тоа, општото решение на равенката (2) има форма
,
Каде 
И 
- произволни константи.
Пример 3
.
Решение
. Карактеристичната равенка за овој диференцијал ќе биде 
. Откако ја решивме оваа квадратна равенка, ги наоѓаме нејзините корени 
И 
. Функции 
И 
се решенија на диференцијалната равенка. Општото решение на оваа равенка е 
.
Комплексен број 
наречен израз на формата 
, Каде 
И 
се реални броеви и 
наречена имагинарна единица. Ако 
, потоа бројот 
се нарекува чисто имагинарен. Ако 
, потоа бројот 
се идентификува со реален број 
.
Број 
се нарекува реален дел од комплексен број, и 
- имагинарен дел. Ако два сложени броеви се разликуваат едни од други само со знакот на имагинарниот дел, тогаш тие се нарекуваат конјугирани: 
,
.
Пример 4
. Реши квадратна равенка 
.
Решение
. Дискриминаторска равенка 
. Потоа. Исто така, 
. Така, оваа квадратна равенка има конјугирани сложени корени.
Нека се сложени корените на карактеристичната равенка, т.е. 
,
, Каде 
. Решенијата на равенката (2) може да се напишат во форма 
,
или 
,
. Според Ојлеровите формули
,
.
Потоа,. Како што е познато, ако сложената функција е решение на линеарна хомогена равенка, тогаш решенијата на оваа равенка се и реалниот и имагинарниот дел на оваа функција. Така, решенијата на равенката (2) ќе бидат функциите 
И 
. Од еднаквоста
може да се изврши само ако 
И 
, тогаш овие решенија се линеарно независни. Според тоа, општото решение на равенката (2) има форма
Каде 
И 
- произволни константи.
Пример 5
. Најдете го општото решение на диференцијалната равенка 
.
Решение
. Равенката 
е карактеристично за даден диференцијал. Ајде да го решиме и да добиеме сложени корени 
,
. Функции 
И 
се линеарно независни решенија на диференцијалната равенка. Општото решение на оваа равенка е:
Нека корените на карактеристичната равенка се реални и еднакви, т.е. 
. Тогаш решенијата на равенката (2) се функциите 
И 
. Овие решенија се линеарно независни, бидејќи изразот може да биде идентично еднаков на нула само кога 
И 
. Според тоа, општото решение на равенката (2) има форма 
.
Пример 6
. Најдете го општото решение на диференцијалната равенка 
.
Решение
. Карактеристична равенка 
има еднакви корени 
. Во овој случај, линеарно независни решенија на диференцијалната равенка се функциите 
И 
. Општото решение има форма 
.
Нехомогени линеарни диференцијални равенки од втор ред со константни коефициенти
и специјалната десна страна
Општото решение на линеарната нехомогена равенка (1) е еднакво на збирот на општото решение 
соодветната хомогена равенка и секое конкретно решение 
нехомогена равенка: 
.
Во некои случаи, одредено решение за нехомогена равенка може да се најде сосема едноставно со формата на десната страна 
равенката (1). Ајде да погледнеме во случаи кога тоа е можно.
тие. десната страна на нехомогената равенка е полином со степен м. Ако 
не е корен од карактеристичната равенка, тогаш треба да се бара одредено решение за нехомогената равенка во форма на полином од степен м, т.е.
Шансите 
се одредуваат во процесот на изнаоѓање на одредено решение.
Ако 
е коренот на карактеристичната равенка, тогаш треба да се бара одредено решение за нехомогената равенка во формата
Пример 7
. Најдете го општото решение на диференцијалната равенка 
.
Решение
. Соодветната хомогена равенка за оваа равенка е 
. Нејзината карактеристична равенка 
има корени 
И 
. Општото решение на хомогената равенка има форма 
.
Бидејќи 
не е корен од карактеристичната равенка, тогаш ќе бараме одредено решение на нехомогената равенка во форма на функција 
. Ајде да ги најдеме дериватите на оваа функција 
,
и заменете ги во оваа равенка:
или . Да ги изедначиме коефициентите за 
и бесплатни членови: 
Откако го решивме овој систем, добиваме 
,
. Тогаш одредено решение на нехомогената равенка има форма 
, а општото решение на дадена нехомогена равенка ќе биде збир од општото решение на соодветната хомогена равенка и посебното решение на нехомогената: 
.
Нека нехомогената равенка ја има формата
Ако 
не е корен од карактеристичната равенка, тогаш треба да се бара одредено решение на нехомогената равенка во форма. Ако 
е коренот на карактеристичната равенка на мноштвото к
(к=1 или к=2), тогаш во овој случај одредено решение на нехомогената равенка ќе има форма .
Пример 8
. Најдете го општото решение на диференцијалната равенка 
.
Решение
. Карактеристичната равенка за соодветната хомогена равенка ја има формата 
. Нејзините корени 
,
. Во овој случај, општото решение на соодветната хомогена равенка е напишано во форма 
.
Бидејќи бројот 3 не е корен на карактеристичната равенка, треба да се бара одредено решение за нехомогената равенка во формата 
. Ајде да ги најдеме дериватите од првиот и вториот ред:
Да ја замениме диференцијалната равенка: 
+
+,
+,.
Да ги изедначиме коефициентите за 
и бесплатни членови:
Од тука 
,
. Тогаш одредено решение за оваа равенка има форма 
, и општото решение
.
Лагранж метод на варијација на произволни константи
Методот на менување произволни константи може да се примени на која било нехомогена линеарна равенка со константни коефициенти, без оглед на видот на десната страна. Овој метод ви овозможува секогаш да најдете општо решение за нехомогена равенка ако е познато општото решение на соодветната хомогена равенка.
Нека 
И 
се линеарно независни решенија на равенката (2). Тогаш општото решение на оваа равенка е 
, Каде 
И 
- произволни константи. Суштината на методот на менување на произволни константи е дека општото решение на равенката (1) се бара во формата
Каде 
И 
- нови непознати функции кои треба да се најдат. Бидејќи постојат две непознати функции, за да се најдат, потребни се две равенки кои ги содржат овие функции. Овие две равенки го сочинуваат системот
кој е линеарен алгебарски систем на равенки во однос на 
И 
. Решавајќи го овој систем, наоѓаме 
И 
. Интегрирајќи ги двете страни на добиените еднаквости, наоѓаме
И 
.
Заменувајќи ги овие изрази во (9), добиваме општо решение за нехомогената линеарна равенка (1).
Пример 9
. Најдете го општото решение на диференцијалната равенка 
.
Решение.
Карактеристичната равенка за хомогена равенка што одговара на дадена диференцијална равенка е 
. Неговите корени се сложени 
,
. Бидејќи 
И 
, Тоа 
,
, а општото решение на хомогената равенка има форма. Потоа ќе бараме општо решение за оваа нехомогена равенка во форма каде 
И 
- непознати функции.
Системот на равенки за наоѓање на овие непознати функции ја има формата
Откако го решивме овој систем, наоѓаме 
,
. Потоа
,
. Дозволете ни да ги замениме добиените изрази во формулата за општото решение:
Ова е општото решение на оваа диференцијална равенка, добиено со методот Лагранж.
Прашања за самоконтрола на знаењето
Која диференцијална равенка се нарекува линеарна диференцијална равенка од втор ред со константни коефициенти?
Која линеарна диференцијална равенка се нарекува хомогена, а која нехомогена?
Какви својства има линеарна хомогена равенка?
Која равенка се нарекува карактеристика за линеарна диференцијална равенка и како се добива?
Во каква форма се запишува општото решение на линеарна хомогена диференцијална равенка со константни коефициенти во случај на различни корени на карактеристичната равенка?
Во каква форма се запишува општото решение на линеарна хомогена диференцијална равенка со константни коефициенти во случај на еднакви корени на карактеристичната равенка?
Во каква форма се запишува општото решение на линеарна хомогена диференцијална равенка со константни коефициенти во случај на сложени корени на карактеристичната равенка?
Како се пишува општото решение на линеарна нехомогена равенка?
Во каква форма се бара одредено решение на линеарна нехомогена равенка ако корените на карактеристичната равенка се различни и не се еднакви на нула, а десната страна на равенката е полином со степен м?
Во каква форма се бара одредено решение на линеарна нехомогена равенка ако има една нула меѓу корените на карактеристичната равенка, а десната страна на равенката е полином со степен м?
Која е суштината на методот на Лагранж?
Основи на решавање на линеарни нехомогени диференцијални равенки од втор ред (LNDE-2) со константни коефициенти (PC)
LDDE од втор ред со константни коефициенти $p$ и $q$ има форма $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\десно)$, каде што $f\left(x \десно)$ е континуирана функција.
Во однос на LNDU 2 со компјутер, следните две изјави се вистинити.
Да претпоставиме дека некоја функција $U$ е произволно парцијално решение на нехомогена диференцијална равенка. Да претпоставиме и дека некоја функција $Y$ е општото решение (GS) на соодветната линеарна хомогена диференцијална равенка (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Тогаш GR на LHDE-2 е еднаков на збирот на посочените приватни и општи решенија, односно $y=U+Y$.
Ако десната страна на LMDE од втор ред е збир од функции, односно $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, потоа прво можеме да ги најдеме PD-ите $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ кои одговараат на секоја од функциите $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, и после тоа напишете го CR LNDU-2 во форма $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.
Решение на LPDE од втор ред со компјутер
Очигледно е дека типот на еден или друг PD $U$ на даден LNDU-2 зависи од специфичната форма на неговата десна страна $f\left(x\right)$. Наједноставните случаи на пребарување на PD LNDU-2 се формулирани во форма на следните четири правила.
Правило број 1.
Десната страна на LNDU-2 има форма $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, каде што $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, односно се нарекува полином со степен $n$. Тогаш неговиот PD $U$ се бара во форма $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, каде што $Q_(n) \left(x\right)$ е друга полином од истиот степен како $P_(n) \left(x\right)$, а $r$ е бројот на корените на карактеристичната равенка на соодветната LODE-2 кои се еднакви на нула. Коефициентите на полиномот $Q_(n) \left(x\right)$ се наоѓаат со методот на неопределени коефициенти (UK).
Правило бр. 2.
Десната страна на LNDU-2 има форма $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\десно)$, каде што $P_(n) \left( x\right)$ е полином со степен $n$. Тогаш неговиот PD $U$ се бара во форма $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, каде што $Q_(n ) \ left(x\right)$ е уште еден полином со ист степен како $P_(n) \left(x\right)$, а $r$ е бројот на корените на карактеристичната равенка на соодветната LODE-2 еднакво на $\alpha $. Коефициентите на полиномот $Q_(n) \left(x\right)$ се наоѓаат со методот NC.
Правило бр. 3.
Десната страна на LNDU-2 има форма $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \десно) $, каде што $a$, $b$ и $\beta$ се познати броеви. Тогаш неговиот PD $U$ се бара во форма $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, каде што $A$ и $B$ се непознати коефициенти, а $r$ е бројот на корените на карактеристичната равенка на соодветната LODE-2, еднаква на $i\cdot \бета $. Коефициентите $A$ и $B$ се пронајдени со помош на недеструктивен метод.
Правило бр. 4.
Десната страна на LNDU-2 има форма $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, каде што $P_(n) \left(x\right)$ е полином со степен $ n$, а $P_(m) \left(x\десно)$ е полином со степен $m$. Тогаш неговиот PD $U$ се бара во форма $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, каде што $Q_(s) \left(x\десно)$ и $ R_(s) \left(x\right)$ се полиноми со степен $s$, бројот $s$ е максимум од два броја $n$ и $m$, а $r$ е бројот на корените на карактеристичната равенка на соодветниот LODE-2, еднаква на $\alpha +i\cdot \beta $. Коефициентите на полиномите $Q_(s) \left(x\right)$ и $R_(s) \left(x\right)$ се наоѓаат со методот NC.
Методот NK се состои од примена на следново правило. За да се најдат непознатите коефициенти на полиномот кои се дел од парцијалното решение на нехомогената диференцијална равенка LNDU-2, потребно е:
- заменете го PD $U$, напишано во општа форма, во левата страна на LNDU-2;
- на левата страна на LNDU-2, извршете поедноставувања и групирајте ги термините со исти моќи $x$;
- во добиениот идентитет, изедначете ги коефициентите на членовите со истите моќи $x$ на левата и десната страна;
- реши добиениот систем на линеарни равенки за непознати коефициенти.
Пример 1
Задача: најдете ИЛИ LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\десно)\cdot e^(3\cdot x) $. Најдете и PD , задоволувајќи ги почетните услови $y=6$ за $x=0$ и $y"=1$ за $x=0$.
Го запишуваме соодветниот LOD-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Карактеристична равенка: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Корените на карактеристичната равенка се: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Овие корени се валидни и различни. Така, ИЛИ на соодветниот LODE-2 има форма: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
Десната страна на овој LNDU-2 има форма $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Неопходно е да се земе предвид коефициентот на експонентот $\alpha =3$. Овој коефициент не се совпаѓа со ниту еден од корените на карактеристичната равенка. Затоа, PD на овој LNDU-2 има форма $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Ќе ги бараме коефициентите $A$, $B$ користејќи го методот NC.
Го наоѓаме првиот дериват на Чешката Република:
$U"=\лево(A\cdot x+B\десно)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\десно)\cdot \лево( e^(3\cdot x) \десно)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\десно)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\десно)\cdot e^(3\cdot x) .$
Го наоѓаме вториот дериват на Чешката Република:
$U""=\лево(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\десно)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\десно)\cdot \left(e^(3\cdot x) \десно)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\десно)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\лево(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\десно)\cdot e^(3\cdot x) .$
Ги заменуваме функциите $U""$, $U"$ и $U$ наместо $y""$, $y"$ и $y$ во дадениот NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Покрај тоа, бидејќи експонентот $e^(3\cdot x)$ е вклучен како фактор во сите компоненти, тогаш може да се изостави.
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\десно)-18\cdot \лево(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
Ги извршуваме дејствата на левата страна од добиената еднаквост:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Ние го користиме методот NDT. Добиваме систем на линеарни равенки со две непознати:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Решението за овој систем е: $A=-2$, $B=-1$.
PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ за нашиот проблем изгледа вака: $U=\left(-2\cdot x-1\десно) \cdot e^(3\cdot x) $.
ИЛИ $y=Y+U$ за нашиот проблем изгледа вака: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ лево(-2\cточка x-1\десно)\cdot e^(3\cdot x) $.
За да бараме PD што ги задоволува дадените почетни услови, го наоѓаме изводот $y"$ на ОП:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\десно)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
Ги заменуваме во $y$ и $y"$ почетните услови $y=6$ за $x=0$ и $y"=1$ за $x=0$:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
Добивме систем на равенки:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
Ајде да го решиме. Наоѓаме $C_(1) $ користејќи ја формулата на Крамер, а $C_(2) $ ја одредуваме од првата равенка:
$C_(1) =\frac(\лево|\почеток(низа)(cc) (7) & (1) \\ (6) и (6) \end (низа)\десно|)(\лево|\ почеток(низа)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end (низа)\десно|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\десно)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
Така, PD на оваа диференцијална равенка има форма: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \десно )\cdot e^(3\cdot x) $.