Волуменот на фигурата ограничен со линии. Пресметка на волумени на тела на ротација со користење на определен интеграл

Тип на лекција: комбиниран.

Целта на лекцијата:Научете да ги пресметувате волумените на телата на револуција користејќи интеграли.

Задачи:

консолидирање на способноста да се идентификуваат криволинеарни трапезоиди од голем број геометриски фигури и развивање на вештината за пресметување на областите на криволинеарни трапезоиди;
да се запознаат со концептот на тридимензионална фигура;
научи да ги пресметува волумените на телата на револуцијата;
промовирање на развојот на логично размислување, компетентен математички говор, точност при конструирање цртежи;
да негува интерес за предметот, да работи со математички поими и слики, да негува волја, независност и истрајност во постигнувањето на конечниот резултат.

За време на часовите

I. Организациски момент.

Поздрав од групата. Пренеси им ги целите на часот на учениците.

Рефлексија. Мирна мелодија.

– Би сакал да ја започнам денешната лекција со парабола. „Еднаш одамна живееше еден мудар човек кој знаеше сè. Еден човек сакаше да докаже дека мудрецот не знае сè. Држејќи пеперутка во дланките, праша: „Кажи ми, мудрец, која пеперутка е во моите раце: жива или мртва?“ А тој самиот мисли: „Ако живата рече, ќе ја убијам, мртвиот ќе рече, ќе ја ослободам“. Мудрецот, откако размислил, одговорил: „Сè во ваши раце“. (Презентација.Слајд)

– Затоа, денес да работиме плодно, да стекнеме нова залиха на знаење, а стекнатите вештини и способности ќе ги применуваме во идниот живот и во практичните активности. „Сè во ваши раце“.

II. Повторување на претходно проучен материјал.

– Да се потсетиме на главните точки од претходно изучениот материјал. За да го направите ова, ајде да ја завршиме задачата „Елиминирајте го дополнителниот збор“.(Слајд.)

(Ученикот оди во И.Д. користи гума за бришење за да го отстрани дополнителниот збор.)

- Точно „Диференцијал“. Обидете се да ги именувате преостанатите зборови со еден заеднички збор. (Интегрална пресметка.)

– Да се потсетиме на главните фази и концепти поврзани со интегралната пресметка..

„Математички куп“.

Вежбајте. Повратете ги празнините. (Ученикот излегува и ги запишува бараните зборови со пенкало.)

– Апстракт за примената на интегралите ќе слушнеме подоцна.

Работете во тетратки.

– Формулата Њутн-Лајбниц ја изведоа англискиот физичар Исак Њутн (1643–1727) и германскиот филозоф Готфрид Лајбниц (1646–1716). И тоа не е изненадувачки, бидејќи математиката е јазикот што го зборува самата природа.

– Да разгледаме како оваа формула се користи за решавање на практични проблеми.

Пример 1: Пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линии

Решение: Да изградиме графикони на функции на координатната рамнина . Ајде да ја избереме областа на фигурата што треба да се најде.

III. Учење нов материјал.

– Обрнете внимание на екранот. Што е прикажано на првата слика? (Слајд) (Сликата покажува рамна фигура.)

– Што е прикажано на втората слика? Дали оваа бројка е рамна? (Слајд) (Сликата покажува тродимензионална фигура.)

– Во вселената, на земјата и во секојдневниот живот не се среќаваме само со рамни фигури, туку и со тродимензионални, но како да го пресметаме волуменот на таквите тела? На пример, обемот на планета, комета, метеорит итн.

– Луѓето размислуваат за волуменот и кога градат куќи и кога истураат вода од еден сад во друг. Требаше да се појават правила и техники за пресметување на волумените; колку тие беа точни и разумни е друго прашање.

Порака од студент. (Тјурина Вера.)

1612 година била многу плодна за жителите на австрискиот град Линц, каде што живеел познатиот астроном Јоханес Кеплер, особено за грозје. Луѓето подготвуваа буриња со вино и сакаа да знаат како практично да ги одредат нивните волумени. (Слајд 2)

– Така, разгледуваните дела на Кеплер ги поставија темелите за цел тек на истражување што кулминираше во последната четвртина од 17 век. дизајн во делата на I. Newton и G.V. Лајбниц на диференцијално и интегрално сметање. Од тоа време, математиката на променливи зазема водечко место во системот на математичко знаење.

– Денеска вие и јас ќе се вклучиме во вакви практични активности, затоа,

Темата на нашата лекција: „Пресметување на волумените на телата на ротација користејќи дефинитивен интеграл“. (Слајд)

– Дефиницијата за тело на ротација ќе ја научите со завршување на следната задача.

„Лавиринт“.

Лавиринт (грчки збор) значи одење под земја. Лавиринт е сложена мрежа од патеки, премини и простории кои се поврзуваат.

Но, дефиницијата беше „скршена“, оставајќи индиции во форма на стрели.

Вежбајте. Најдете излез од збунувачката ситуација и запишете ја дефиницијата.

Слајд. „Упатство за мапа“ Пресметка на волумени.

Користејќи дефинитивен интеграл, можете да го пресметате волуменот на одредено тело, особено, тело на револуција.

Тело на вртење е тело добиено со ротирање на заоблен трапез околу неговата основа (сл. 1, 2)

Волуменот на телото на ротација се пресметува со помош на една од формулите:

1. околу оската OX.

2. , ако ротацијата на закривен трапез околу оската на оп-засилувачот.

Секој ученик добива наставна картичка. Наставникот ги нагласува главните точки.

– Наставникот ги објаснува решенијата на примерите на табла.

Ајде да разгледаме извадок од познатата бајка на А. (Слајд 4):

…..
И пијаниот гласник донесе
Истиот ден редоследот е како што следува:
„Кралот им наредува на своите болјари,
Без губење време,
И кралицата и потомството
Тајно фрли во бездната на водата“.
Нема што да се прави: момчиња,
Загриженост за суверенот
И на младата кралица,
Во нејзината спална соба дојде толпа луѓе.
Тие ја објавија волјата на кралот -
Таа и нејзиниот син имаат злобен дел,
Го читавме декретот на глас,
И кралицата во истиот час
Ме ставија во буре со син ми,
Направија катран и се оддалечија
И ме пуштија во окијан -
Така нареди цар Салтан.

Колкав треба да биде волуменот на бурето за да може да се сместат кралицата и нејзиниот син во него?

– Размислете за следните задачи

1. Најдете го волуменот на телото добиен со ротирање околу ординатна оска на криволинеарен трапез ограничен со линии: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Одговор: 1163 цм 3 .

Најдете го волуменот на телото добиен со ротирање параболичен трапез околу оската на апсцисата y = , x = 4, y = 0.

IV. Консолидирање на нов материјал

Пример 2. Пресметајте го волуменот на телото формиран од ротацијата на ливчето околу оската x y = x 2, y 2 = x.

Ајде да изградиме графикони на функцијата. y = x 2, y 2 = x. Распоред y2 = xконвертирате во формата y= .

Ние имаме V = V 1 – V 2Ајде да го пресметаме обемот на секоја функција

– Сега, да ја погледнеме кулата за радио станицата во Москва на Шаболовка, изградена според дизајнот на извонредниот руски инженер, почесен академик В. Г. Шухов. Се состои од делови - хиперболоиди на ротација. Покрај тоа, секој од нив е направен од директни метални прачки што ги поврзуваат соседните кругови (слика 8, 9).

- Да го разгледаме проблемот.

Најдете го волуменот на телото добиен со ротирање на хиперболните лаци околу неговата имагинарна оска, како што е прикажано на сл. 8, каде

коцка единици

Групни задачи. Учениците влечат ждрепка со задачи, цртаат цртежи на хартија Whatman, а еден од претставниците на групата ја брани работата.

1 група.

Удри! Удри! Уште еден удар!
Топката лета во голот - ТОПКА!
И ова е топче од лубеница
Зелена, тркалезна, вкусна.
Погледнете подобро - каква топка!
Тој е направен од ништо друго освен кругови.
Исечете ја лубеницата на кругови
И вкусете ги.

Најдете го волуменот на телото добиен со ротација околу оската OX на функцијата ограничена

Грешка! Обележувачот не е дефиниран.

– Те молам кажи ми каде ја среќаваме оваа бројка?

Куќа. задача за 1 група. ЦИЛИНДАР (слајд) .

"Цилиндар - што е тоа?" – го прашав татко ми.
Таткото се насмеа: Горниот шешир е капа.
За да имате правилна идеја,
Цилиндар, да речеме, е лимена конзерва.
Цевка за пароброд - цилиндар,
И цевката на нашиот покрив,

Сите цевки се слични на цилиндар.
И дадов ваков пример -
Мој сакан калеидоскоп,
Не можете да го тргнете погледот од него,
И, исто така, изгледа како цилиндар.

- Вежбајте. Домашна задача: графика на функцијата и пресметување на јачината на звукот.

2-ра група. КОНСКИ (слајд).

Мама рече: И сега
Мојата приказна ќе биде за конусот.
Stargazer во висока капа
Ги брои ѕвездите во текот на целата година.
КОНСКИ - капа на ѕвездениот поглед.
Таков е тој. Разбрав? Тоа е тоа.
Мама стоеше на масата,
Истурив масло во шишиња.
-Каде е инката? Нема инка.
Побарајте го. Не стојте на страна.
- Мамо, нема да попуштам.
Кажете ни повеќе за конусот.
– Инката е во форма на конус за полевање.
Ајде, најди ми ја брзо.
Не можев да ја најдам инката
Но, мама направи торба,
Го завиткав картонот околу прстот
И таа вешто го прицврсти со спојка за хартија.
Маслото тече, мама е среќна,
Конусот излезе точно.

Вежбајте. Пресметај го волуменот на телото добиен со ротирање околу оската на апсцисата

Куќа. задача за 2 група. ПИРАМИДА(слајд).

Ја видов сликата. На оваа слика
Во песочната пустина има ПИРАМИДА.
Сè во пирамидата е извонредно,
Во него има некаква мистерија и мистерија.
И кулата Спаскаја на Црвениот плоштад
Тоа е многу познато и за децата и за возрасните.
Ако ја погледнете кулата, изгледа обично,
Што има на врвот на тоа? Пирамида!

Вежбајте.Домашна задача: графика на функцијата и пресметување на волуменот на пирамидата

– Волумените на различни тела ги пресметавме врз основа на основната формула за волумени на телата со помош на интеграл.

Ова е уште една потврда дека дефинитивниот интеграл е некаква основа за изучување на математиката.

- Па, сега да се одмориме малку.

Најдете пар.

Свири математичка домино мелодија.

„Патот што јас самиот го барав никогаш нема да биде заборавен...“

Истражувачка работа. Примена на интегралот во економијата и технологијата.

Тестови за силни ученици и математички фудбал.

Математички симулатор.

2. Се вика множеството од сите антидеривати на дадена функција

А) неопределен интеграл,

Б) функција,

Б) диференцијација.

7. Најдете го волуменот на телото добиен со ротирање околу оската на апсцисата на криволинеарен трапез ограничен со линии:

Д/З. Пресметајте ги волумените на телата на револуцијата.

Рефлексија.

Прием на рефлексија во форма синхронизираат(пет реда).

1. ред – име на тема (една именка).

2 ред – опис на темата со два збора, две придавки.

3 ред – опис на дејството во оваа тема во три збора.

Четвртиот ред е фраза од четири збора што го покажува односот кон темата (цела реченица).

Петтиот ред е синоним кој ја повторува суштината на темата.

Волумен.
Дефинитивна интегрална, интеграбилна функција.
Градиме, ротираме, пресметуваме.
Тело добиено со ротирање на заоблен трапез (околу неговата основа).
Тело на ротација (волуметриско геометриско тело).

Заклучок (слајд).

Дефинитивен интеграл е одредена основа за изучување на математиката, која дава незаменлив придонес во решавањето на практичните проблеми.
Темата „Интеграл“ јасно ја демонстрира врската помеѓу математиката и физиката, биологијата, економијата и технологијата.
Развојот на модерната наука е незамислив без употреба на интегралот. Во овој поглед, неопходно е да се започне со изучување во рамките на средното специјализирано образование!

Оценување. (Со коментар.)

Големиот Омар Кајам - математичар, поет, филозоф. Тој нè поттикнува да бидеме господари на сопствената судбина. Да слушнеме извадок од неговото дело:

Ќе речете, овој живот е еден момент.
Ценете го, црпете инспирација од него.
Како го трошиш, така ќе помине.
Не заборавајте: таа е ваша креација.

Тема: „Пресметување на волумените на телата на револуција со помош на определен интеграл“

Тип на лекција:комбинирано.

Целта на лекцијата:Научете да ги пресметувате волумените на телата на револуција користејќи интеграли.

Задачи:

консолидирање на способноста да се идентификуваат криволинеарни трапезоиди од голем број геометриски фигури и развивање на вештината за пресметување на областите на криволинеарни трапезоиди;

да се запознаат со концептот на тридимензионална фигура;

научи да ги пресметува волумените на телата на револуцијата;

промовирање на развојот на логично размислување, компетентен математички говор, точност при конструирање цртежи;

да негува интерес за предметот, да работи со математички поими и слики, да негува волја, независност и истрајност во постигнувањето на конечниот резултат.

За време на часовите

I. Организациски момент.

Поздрав од групата. Пренеси им ги целите на часот на учениците.

Би сакал да ја започнам денешната лекција со парабола. „Еднаш одамна живееше еден мудар човек кој знаеше сè. Еден човек сакаше да докаже дека мудрецот не знае сè. Држејќи пеперутка во дланките, праша: „Кажи ми, мудрец, која пеперутка е во моите раце: жива или мртва?“ И тој мисли: „Ако живата рече, ќе ја убијам; ако рече мртвиот, ќе ја ослободам“. Мудрецот, откако размислил, одговорил: „Сè е во ваши раце“.

Затоа, да работиме плодно денес, да стекнеме нова залиха на знаење, а стекнатите вештини и способности ќе ги примениме во идниот живот и во практичните активности. „Се е во ваши раце“.

II. Повторување на претходно проучен материјал.

Ајде да се потсетиме на главните точки на претходно изучениот материјал. За да го направите ова, ајде да ја завршиме задачата „Елиминирајте го дополнителниот збор“.

(Учениците кажуваат дополнителен збор.)

Во право „Диференцијал“.Обидете се да ги именувате преостанатите зборови со еден заеднички збор. (Интегрална пресметка.)

Да се потсетиме на главните фази и концепти поврзани со интегралната пресметка.

Вежбајте.Повратете ги празнините. (Ученикот излегува и ги запишува бараните зборови со маркер.)

Работете во тетратки.

Формулата Њутн-Лајбниц ја изведоа англискиот физичар Исак Њутн (1643-1727) и германскиот филозоф Готфрид Лајбниц (1646-1716). И тоа не е изненадувачки, бидејќи математиката е јазикот што го зборува самата природа.

Ајде да размислиме како оваа формула се користи за решавање на практични проблеми.

Пример 1: Пресметајте ја плоштината на фигурата ограничена со линии

Решение:Ајде да конструираме графикони на функции на координатната рамнина . Ајде да ја избереме областа на фигурата што треба да се најде.

III. Учење нов материјал.

Обрнете внимание на екранот. Што е прикажано на првата слика? (Сликата покажува рамна фигура.)

Што е прикажано на втората слика? Дали оваа бројка е рамна? (Сликата покажува тродимензионална фигура.)

Во вселената, на земјата и во секојдневниот живот не се среќаваме само со рамни фигури, туку и со тридимензионални, но како да го пресметаме волуменот на таквите тела? На пример: волумен на планета, комета, метеорит итн.

Луѓето размислуваат за волуменот и кога градат куќи и кога истураат вода од еден сад во друг. Требаше да се појават правила и техники за пресметување на волумени, а колку се точни и оправдани е друго прашање.

Така, разгледуваните дела на Кеплер го означија почетокот на цела фреквенција на истражување што кулминираше во последната четвртина од 17 век. дизајн во делата на I. Newton и G.V. Лајбниц на диференцијално и интегрално сметање. Од тоа време, математиката на променливи зазема водечко место во системот на математичко знаење.

Денес вие и јас ќе се вклучиме во такви практични активности, затоа,

Темата на нашата лекција: „Пресметување на волумените на телата на ротација користејќи дефинитивен интеграл“.

Дефиницијата за тело на револуција ќе ја научите со завршување на следната задача.

„Лавиринт“.

Вежбајте.Најдете излез од збунувачката ситуација и запишете ја дефиницијата.

IVПресметка на волумени.

Тело на вртење е тело добиено со ротирање на заоблен трапез околу неговата основа (сл. 1, 2)

Волуменот на телото на револуција се пресметува со помош на една од формулите:

1. околу оската OX.

2. , ако ротацијата на закривен трапез околу оската на оп-засилувачот.

Учениците ги запишуваат основните формули во тетратка.

Наставникот ги објаснува решенијата на примерите на табла.

1. Најдете го волуменот на телото добиен со ротирање околу ординатна оска на криволинеарен трапез ограничен со линии: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Решение.

Одговор: 1163 cm3.

2. Најдете го волуменот на телото добиен со ротирање на параболичен трапез околу оската x y = , x = 4, y = 0.

Решение.

В. Симулатор за математика.

2. Се вика множеството од сите антидеривати на дадена функција

А) неопределен интеграл,

Б) функција,

Б) диференцијација.

Д/З. Консолидирање на нов материјал

Пресметајте го волуменот на телото формирано со ротација на ливчето околу оската x y = x2, y2 = x.

Ајде да изградиме графикони на функцијата. y = x2, y2 = x. Да го трансформираме графикот y2 = x во форма y = .

Имаме V = V1 - V2 Да го пресметаме волуменот на секоја функција:

Заклучок:

Дефинитивниот интеграл е одредена основа за изучување на математиката, која дава незаменлив придонес во решавањето на практичните проблеми.

Темата „Интеграл“ јасно ја демонстрира врската помеѓу математиката и физиката, биологијата, економијата и технологијата.

Развојот на модерната наука е незамислив без употреба на интегралот. Во овој поглед, неопходно е да се започне со изучување во рамките на средното специјализирано образование!

VI. Оценување.(Со коментар.)

Велиш, овој живот е еден момент.
Ценете го, црпете инспирација од него.
Како го трошиш, така ќе помине.
Не заборавајте: таа е ваша креација.

Волуменот на телото на револуција може да се пресмета со формулата:

Во формулата, бројот мора да биде присутен пред интегралот. Така и се случи - сè што се врти во животот е поврзано со оваа константа.

Мислам дека е лесно да се погоди како да се постават границите на интеграцијата „а“ и „биде“ од завршениот цртеж.

Функција... што е оваа функција? Ајде да го погледнеме цртежот. Рамнината е ограничена со графикот на параболата на врвот. Ова е функцијата што се подразбира во формулата.

Во практични задачи, рамна фигура понекогаш може да се наоѓа под оската. Ова не менува ништо - функцијата во формулата е на квадрат: , на тој начин волуменот на телото на револуција е секогаш ненегативен, што е многу логично.

Ајде да го пресметаме волуменот на телото на ротација користејќи ја оваа формула:

Како што веќе забележав, интегралот скоро секогаш се покажува едноставен, главната работа е да се биде внимателен.

Одговор:

Во вашиот одговор, мора да ја наведете димензијата - кубни единици. Односно, во нашето тело на ротација има приближно 3,35 „коцки“. Зошто кубни единици? Бидејќи најуниверзалната формулација. Може да има кубни сантиметри, може да има кубни метри, може да има кубни километри итн., тоа е колку зелени мажи може да стави вашата фантазија во летечка чинија.

Пример 2

Најдете го волуменот на телото формирано со ротација околу оската на фигура ограничена со линии ,

Ова е пример за да го решите сами. Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата.

Да разгледаме два посложени проблеми, кои исто така често се среќаваат во пракса.

Пример 3

Пресметајте го волуменот на телото добиен со ротирање околу оската на апсцисата на фигурата ограничена со правите , и

Решение:Дозволете ни да прикажеме на цртежот рамна фигура ограничена со линиите , , , , без да заборавиме дека равенката ја дефинира оската:

Посакуваната фигура е засенчена во сино. Кога се ротира околу својата оска, излегува дека е надреална крофна со четири агли.

Да го пресметаме волуменот на телото на револуцијата како разлика во волумените на телата.

Прво, да ја погледнеме фигурата заокружена во црвено. Кога се ротира околу оската, се добива пресечен конус. Да го означиме волуменот на овој скратен конус со .

Размислете за фигурата што е заокружена со зелена боја. Ако ја ротирате оваа бројка околу оската, ќе добиете и скратен конус, само малку помал. Да го означиме неговиот волумен со .

И, очигледно, разликата во волумените е токму обемот на нашата „крофна“.

Ја користиме стандардната формула за да го најдеме волуменот на телото на револуција:

1) Фигурата заокружена во црвено е ограничена горе со права линија, затоа:

2) Фигурата заокружена во зелено е ограничена горе со права линија, затоа:

3) Волумен на саканото тело на револуција:

Одговор:

Интересно е што во овој случај решението може да се провери со помош на училишната формула за пресметување на волуменот на скратен конус.

Самата одлука често се пишува пократко, нешто вака:

Сега да се одмориме малку и да ви кажеме за геометриските илузии.

Луѓето често имаат илузии поврзани со томови, кои ги забележал Перелман (не тој) во книгата Забавна геометрија. Погледнете ја рамната фигура во решениот проблем - се чини дека е мала по површина, а волуменот на телото на револуцијата е нешто повеќе од 50 кубни единици, што изгледа преголемо. Патем, просечен човек во целиот свој живот пие еднаква соба од 18 квадратни метри течност, што, напротив, изгледа премал волумен.

Во принцип, образовниот систем во СССР беше навистина најдобар. Истата книга на Перелман, напишана од него уште во 1950 година, многу добро се развива, како што рече хумористот, размислувањето и учи да барате оригинални, нестандардни решенија за проблемите. Неодамна со голем интерес препрочитав некои од поглавјата, го препорачувам, достапно е дури и за хуманистите. Не, не треба да се насмевнувате дека понудив слободно време, ерудицијата и широките хоризонти во комуникацијата се одлична работа.

По лирска дигресија, соодветно е да се реши креативна задача:

Пример 4

Пресметај го волуменот на телото формирано со ротација околу оската на рамна фигура ограничена со правите , , каде .

Ова е пример за да го решите сами. Ве молиме имајте предвид дека сите работи се случуваат во бендот, со други зборови, практично се дадени готови граници на интеграција. Исто така, обидете се правилно да нацртате графикони на тригонометриски функции; ако аргументот е поделен со два: тогаш графиконите се протегаат двапати по оската. Обидете се да најдете најмалку 3-4 поени според тригонометриски табелии попрецизно доврши го цртежот. Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата. Патем, задачата може да се реши рационално и не многу рационално.

Пресметка на волуменот на телото формирано со ротација
рамна фигура околу оската

Вториот пасус ќе биде уште поинтересен од првиот. Задачата за пресметување на волуменот на телото на вртење околу оската на ординатите е исто така прилично чест гостин во тест-работата. Попатно ќе се разгледува проблем за наоѓање на плоштината на фигуратавториот метод е интеграција долж оската, ова ќе ви овозможи не само да ги подобрите вашите вештини, туку и да ве научи да ја пронајдете најпрофитабилната патека за решение. Во ова има и практично животно значење! Како што со насмевка се присети мојата наставничка по методи на настава по математика, многу дипломци и се заблагодарија со зборовите: „Твојот предмет ни помогна многу, сега сме ефективни менаџери и оптимално управуваме со персоналот“. Искористувајќи ја оваа прилика, и изразувам голема благодарност до неа, особено што стекнатото знаење го користам за наменетата цел =).

Пример 5

Дадена е рамна фигура ограничена со линиите , , .

1) Најдете ја плоштината на рамна фигура ограничена со овие линии.
2) Најдете го волуменот на телото добиен со ротирање на рамна фигура ограничена со овие линии околу оската.

Внимание!Дури и ако сакате да ја прочитате само втората точка, прво Задолжителнопрочитај го првото!

Решение:Задачата се состои од два дела. Да почнеме со плоштадот.

1) Ајде да направиме цртеж:

Лесно е да се види дека функцијата ја одредува горната гранка на параболата, а функцијата ја одредува долната гранка на параболата. Пред нас е тривијална парабола што „лежи на нејзина страна“.

Посакуваната фигура, чија површина треба да се најде, е засенчена во сино.

Како да се најде плоштината на фигурата? Може да се најде на „вообичаениот“ начин, за кој се дискутираше на часот Дефинитивен интеграл. Како да се пресмета плоштината на фигурата. Покрај тоа, областа на фигурата се наоѓа како збир на области:
- на сегментот ;
- на сегментот.

Затоа:

Зошто вообичаеното решение е лошо во овој случај? Прво, добивме два интеграли. Второ, интегралите се корени, а корените во интегралите не се подарок, а освен тоа, може да се збуните во замената на границите на интеграцијата. Всушност, интегралите, се разбира, не се убиствени, но во пракса сè може да биде многу потажно, јас само избрав „подобри“ функции за проблемот.

Постои порационално решение: се состои од префрлување на инверзни функции и интегрирање по должината на оската.

Како да дојдете до инверзни функции? Грубо кажано, треба да изразите „x“ преку „y“. Прво, да ја погледнеме параболата:

Ова е доволно, но ајде да се увериме дека истата функција може да се изведе од долната гранка:

Полесно е со права линија:

Сега погледнете ја оската: ве молиме периодично навалувајте ја главата надесно за 90 степени додека објаснувате (ова не е шега!). Фигурата што ни треба лежи на сегментот, кој е означен со црвената линија со точки. Во овој случај, на сегментот правата линија се наоѓа над параболата, што значи дека површината на фигурата треба да се најде со помош на формулата што веќе ви е позната: . Што се смени во формулата? Само писмо и ништо повеќе.

! Забелешка: Границите за интеграција долж оската треба да се постават строго од дното кон врвот!

Наоѓање на областа:

Според тоа, на сегментот:

Забележете како ја извршив интеграцијата, ова е најрационален начин, а во следниот став од задачата ќе биде јасно зошто.

За читателите кои се сомневаат во исправноста на интеграцијата, ќе најдам деривати:

Се добива оригиналната интегранд функција, што значи дека интеграцијата е правилно извршена.

Одговор:

2) Дозволете ни да го пресметаме волуменот на телото формиран од ротацијата на оваа бројка околу оската.

Ќе го прецртам цртежот во малку поинаков дизајн:

Значи, фигурата засенчена во сино ротира околу оската. Резултатот е „пеперутка што лебди“ која ротира околу својата оска.

За да го најдеме волуменот на телото на ротација, ќе се интегрираме долж оската. Прво треба да одиме на инверзни функции. Ова е веќе направено и детално опишано во претходниот став.

Сега повторно ја навалуваме главата надесно и ја проучуваме фигурата. Очигледно, волуменот на телото на ротација треба да се најде како разлика во волумените.

Ја ротираме фигурата заокружена во црвено околу оската, што резултира со скратен конус. Да го означиме овој волумен со .

Ја ротираме фигурата заокружена во зелено околу оската и ја означуваме со волуменот на добиеното тело на ротација.

Волуменот на нашата пеперутка е еднаков на разликата во волумените.

Ја користиме формулата за да го најдеме волуменот на телото на револуција:

Која е разликата од формулата во претходниот став? Само во писмото.

Но, предноста на интеграцијата, за која неодамна зборував, е многу полесно да се најде , наместо прво да се подигне интеграндот на 4-та сила.

Одговор:

Сепак, не болна пеперутка.

Ве молиме имајте предвид дека ако истата рамна фигура се ротира околу оската, ќе добиете сосема поинакво тело на ротација, со различен волумен, природно.

Пример 6

Дадена е рамна фигура ограничена со линии и оска.

1) Одете во инверзни функции и пронајдете ја плоштината на рамнината фигура ограничена со овие линии со интегрирање преку променливата.
2) Пресметајте го волуменот на телото добиен со ротирање на рамна фигура ограничена со овие линии околу оската.

Како да се пресмета волуменот на телото на револуција користејќи дефинитивен интеграл?

Освен тоа наоѓање на плоштина на рамна фигура со помош на дефинитивен интеграл најважната примена на темата е пресметување на волуменот на телото на револуција. Материјалот е едноставен, но читателот мора да биде подготвен: мора да можете да решите неопределени интеграли средна сложеност и примени ја формулата Њутн-Лајбниц во определен интеграл . Како и со проблемот со наоѓање на областа, потребни ви се сигурни вештини за цртање - ова е речиси најважната работа (бидејќи самите интеграли честопати ќе бидат лесни). Можете да ги совладате компетентни и брзи техники на графикони со помош на методолошки материјал . Но, всушност, веќе неколку пати на часовите зборував за важноста на цртежите. .

Општо земено, има многу интересни апликации во интегралното сметање; користејќи дефинитивен интеграл, можете да ја пресметате површината на фигурата, обемот на телото на ротација, должината на лакот, површината на тело и многу повеќе. Така ќе биде забавно, ве молиме останете оптимисти!

Замислете некоја рамна фигура на координатната рамнина. Воведен? ... Се прашувам кој што презентираше... =))) Веќе ја најдовме неговата област. Но, покрај тоа, оваа бројка може да се ротира и да се ротира на два начина:

– околу х-оската; – околу оската на ординатите.

Оваа статија ќе ги испита двата случаи. Вториот метод на ротација е особено интересен, тој предизвикува најмногу потешкотии, но всушност решението е речиси исто како во повообичаената ротација околу оската x. Како бонус ќе се вратам на проблем за наоѓање на плоштината на фигурата , и ќе ви кажам како да ја пронајдете областа на вториот начин - по оската. Тоа не е толку бонус колку што материјалот добро се вклопува во темата.

Да почнеме со најпопуларниот тип на ротација.

Пример 1

Пресметајте го волуменот на телото добиен со ротирање на фигура ограничена со линии околу оската.

Решение:Како и во проблемот со наоѓање на областа, решението започнува со цртеж на рамна фигура. Односно, на рамнина е неопходно да се конструира фигура ограничена со линии и не заборавајте дека равенката ја дефинира оската. Како да се заврши цртежот поефикасно и побрзо може да се најде на страниците Графикони и својства на Елементарните функции И Дефинитивен интеграл. Како да се пресмета плоштината на фигурата . Ова е кинески потсетник и во овој момент нема да се задржувам понатаму.

Цртежот овде е прилично едноставен:

Посакуваната рамна фигура е засенчена во сино, таа е онаа што ротира околу оската. Како резултат на ротација, резултатот е малку јајцевидна летечка чинија која е симетрична во однос на оската. Всушност, телото има математичко име, но јас сум премногу мрзлив да погледнам во референтната книга, па продолжуваме понатаму.

Како да се пресмета волуменот на телото на револуција?

Волуменот на телото на револуција може да се пресмета со формулата:

Функција... што е оваа функција? Ајде да го погледнеме цртежот. Рамната фигура е ограничена со графикот на параболата на врвот. Ова е функцијата што се подразбира во формулата.

Во практични задачи, рамна фигура понекогаш може да се наоѓа под оската. Ова не менува ништо - функцијата во формулата е на квадрат: така волуменот на телото на револуција е секогаш ненегативен, што е многу логично.

Ајде да го пресметаме волуменот на телото на ротација користејќи ја оваа формула:

Одговор:

Пример 2

Најдете го волуменот на телото формирано со ротација околу оската на фигура ограничена со линии,

Ова е пример за да го решите сами. Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата.

Да разгледаме два посложени проблеми, кои исто така често се среќаваат во пракса.

Пример 3

Пресметајте го волуменот на телото добиен со ротирање околу оската на апсцисата на фигурата ограничена со линиите ,, и

Решение:Дозволете ни да прикажеме на цртежот рамна фигура ограничена со линиите ,,,, без да заборавиме дека равенката ја дефинира оската:

Да го пресметаме волуменот на телото на револуцијата како разлика во волумените на телата.

Прво, да ја погледнеме фигурата заокружена во црвено. Кога се ротира околу оската, се добива пресечен конус. Дозволете ни да го означиме волуменот на овој скратен конус со.

И, очигледно, разликата во волумените е токму обемот на нашата „крофна“.

Ја користиме стандардната формула за да го најдеме волуменот на телото на револуција:

1) Фигурата заокружена во црвено е ограничена горе со права линија, затоа:

2) Фигурата заокружена во зелено е ограничена горе со права линија, затоа:

3) Волумен на саканото тело на револуција:

Одговор:

Самата одлука често се пишува пократко, нешто вака:

Сега да се одмориме малку и да ви кажеме за геометриските илузии.

По лирска дигресија, соодветно е да се реши креативна задача:

Пример 4

Пресметајте го волуменот на телото формирано со ротација околу оската на рамна фигура ограничена со линии,, каде.

Ова е пример за да го решите сами. Ве молиме имајте предвид дека сите работи се случуваат во бендот, со други зборови, практично се дадени готови граници на интеграција. Обидете се и правилно да ги нацртате графиците на тригонометриските функции; ако аргументот е поделен со два: тогаш графиконите се протегаат по оската двапати. Обидете се да најдете најмалку 3-4 поени според тригонометриски табели и попрецизно доврши го цртежот. Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата. Патем, задачата може да се реши рационално и не многу рационално.

Пресметка на волуменот на телото формирано со ротирање на рамна фигура околу оската

Вториот пасус ќе биде уште поинтересен од првиот. Задачата за пресметување на волуменот на телото на вртење околу оската на ординатите е исто така прилично чест гостин во тест-работата. Попатно ќе се разгледува проблем за наоѓање на плоштината на фигурата вториот метод е интеграција долж оската, ова ќе ви овозможи не само да ги подобрите вашите вештини, туку и да ве научи да ја пронајдете најпрофитабилната патека за решение. Во ова има и практично животно значење! Како што со насмевка се присети мојата наставничка по методи на настава по математика, многу дипломци и се заблагодарија со зборовите: „Твојот предмет ни помогна многу, сега сме ефективни менаџери и оптимално управуваме со персоналот“. Искористувајќи ја оваа прилика, и изразувам голема благодарност до неа, особено што стекнатото знаење го користам за наменетата цел =).

Пример 5

Дадена е рамна фигура ограничена со линии ,,.

1) Најдете ја плоштината на рамна фигура ограничена со овие линии. 2) Најдете го волуменот на телото добиен со ротирање на рамна фигура ограничена со овие линии околу оската.

Внимание!Дури и ако сакате да ја прочитате само втората точка, прво Задолжителнопрочитај го првото!

Решение:Задачата се состои од два дела. Да почнеме со плоштадот.

1) Ајде да направиме цртеж:

Посакуваната фигура, чија површина треба да се најде, е засенчена во сино.

Како да се најде плоштината на фигурата? Може да се најде на „вообичаениот“ начин, за кој се дискутираше на часот Дефинитивен интеграл. Како да се пресмета плоштината на фигурата . Покрај тоа, плоштината на сликата се наоѓа како збир на области: - на сегментот ; - на сегментот.

Затоа:

Ова е доволно, но ајде да се увериме дека истата функција може да се изведе од долната гранка:

Полесно е со права линија:

Сега погледнете ја оската: ве молиме периодично навалувајте ја главата надесно за 90 степени додека објаснувате (ова не е шега!). Фигурата што ни треба лежи на сегментот, кој е означен со црвената линија со точки. Покрај тоа, на сегментот правата линија се наоѓа над параболата, што значи дека површината на фигурата треба да се најде со помош на формулата што веќе ви е позната: . Што се смени во формулата? Само писмо и ништо повеќе.

! Забелешка: Границите за интеграција долж оската треба да се поставатстрого од дното кон врвот !

Наоѓање на областа:

Според тоа, на сегментот:

За читателите кои се сомневаат во исправноста на интеграцијата, ќе најдам деривати:

Се добива оригиналната интегранд функција, што значи дека интеграцијата е правилно извршена.

Одговор:

2) Дозволете ни да го пресметаме волуменот на телото формиран од ротацијата на оваа бројка околу оската.

Ќе го прецртам цртежот во малку поинаков дизајн:

Ја ротираме фигурата заокружена во црвено околу оската, што резултира со скратен конус. Дозволете ни да го означиме овој волумен со.

Волуменот на нашата пеперутка е еднаков на разликата во волумените.

Ја користиме формулата за да го најдеме волуменот на телото на револуција:

Која е разликата од формулата во претходниот став? Само во писмото.

I. Волумени на тела на ротација. Прелиминарно проучете го поглавјето XII, параграфи 197, 198 од учебникот на G. M. Fikhtengolts * Детално анализирајте ги примерите дадени во став 198.

508. Пресметај го волуменот на телото формирано со вртење на елипса околу оската Ox.

Така,

530. Најдете ја површината формирана со ротација околу оската Ox на синусоидниот лак y = sin x од точката X = 0 до точката X = It.

531. Пресметај ја површината на конус со висина h и радиус r.

532. Пресметај ја формираната површина

ротација на астроидот x3 -)- y* - a3 околу оската Ox.

533. Пресметај ја површината формирана со ротирање на јамката на кривата 18 ug - x (6 - x) z околу оската Ox.

534. Најдете ја површината на торусот произведен со ротација на кругот X2 - j - (y-3)2 = 4 околу оската Ox.

535. Пресметај ја површината формирана со ротација на кругот X = a cost, y = asint околу оската Ox.

536. Пресметај ја површината формирана со ротација на јамката на кривата x = 9t2, y = St - 9t3 околу оската Ox.

537. Најдете ја површината формирана со ротирање на лакот на кривата x = e*sint, y = el цена околу оската Ox

од t = 0 до t = —.

538. Покажи дека површината настаната со ротација на циклоидниот лак x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) околу оската Oy е еднаква на 16 u2 o2.

539. Најдете ја површината добиена со ротирање на кардиоидот околу поларната оска.

540. Најдете ја површината формирана со ротација на лемнискатот Околу поларната оска.

Дополнителни задачи за поглавје IV

Области на рамни фигури

541. Најдете ја целата област на областа ограничена со кривата И оската Окс.

542. Најдете ја областа на областа ограничена со кривата

И оската Окс.

543. Најдете го делот од областа на регионот што се наоѓа во првиот квадрант и е ограничен со кривата

l координатни оски.

544. Најдете ја областа на регионот содржан внатре

јамки:

545. Најдете ја областа на областа ограничена со една јамка од кривата:

546. Најдете ја областа на регионот содржан во јамката:

547. Најдете ја областа на областа ограничена со кривата

И оската Окс.

548. Најдете ја областа на областа ограничена со кривата

И оската Окс.

549. Најдете ја областа на регионот ограничен со оската Oxr

прави и крива