Специјално решение на диференцијална равенка онлајн. Диференцијални равенки од прв ред

Апликација

Решавање на диференцијални равенки онлајн на веб-страницата за учениците да го консолидираат материјалот што го опфатиле. И обучете ги вашите практични вештини. Диференцијални равенки онлајн. Difurs онлајн, решавање математика онлајн. Чекор-по-чекор решенија за математички проблеми онлајн. Редоследот или степенот на диференцијалната равенка е највисокиот ред на изводите вклучени во неа. Диференцијални равенки онлајн. Процесот на решавање на диференцијална равенка се нарекува интеграција. Проблемот со интегрирање на диференцијална равенка се смета за решен ако наоѓањето на непозната функција може да се доведе до квадратура, без разлика дали добиениот интеграл е изразен во конечна форма во однос на познати функции или не. Чекор-по-чекор решение на диференцијални равенки онлајн. Сите диференцијални равенки може да се поделат на обични диференцијални равенки (ODE), кои вклучуваат само функции (и нивните деривати) на еден аргумент и парцијални диференцијални равенки (PDE), во кои влезните функции зависат од многу променливи. Диференцијални равенки онлајн. Исто така, постојат стохастички диференцијални равенки (SDEs) кои вклучуваат случајни процеси. Чекор-по-чекор решение на диференцијални равенки онлајн. Во зависност од комбинациите на деривати, функции и независни променливи, диференцијалните равенки се делат на линеарни и нелинеарни, со константни или променливи коефициенти, хомогени или нехомогени. Поради важноста на апликациите, квазилинеарните (линеарни во однос на повисоките деривати) парцијални диференцијални равенки се класифицирани во посебна класа. Решенијата на диференцијални равенки се делат на општи и посебни решенија. Диференцијални равенки онлајн. Општите решенија вклучуваат неодредени константи, а за парцијални диференцијални равенки, произволни функции на независни променливи, кои можат да се рафинираат од дополнителни услови за интеграција (почетни услови за обични диференцијални равенки, почетни и гранични услови за парцијални диференцијални равенки). Чекор-по-чекор решение на диференцијални равенки онлајн. По определувањето на видот на посочените константни и неопределени функции, решенијата стануваат посебни. Потрагата по решенија за обични диференцијални равенки доведе до воспоставување на класа на специјални функции - функции кои често се среќаваат во апликации кои не можат да се изразат преку познати елементарни функции. Диференцијални равенки онлајн. Нивните својства беа детално проучени, составени се табели на вредности, утврдени се меѓусебните односи итн. . Множеството набројани броеви може да се истражи. Најдобар одговор на дадениот проблем. Како да се најде, како прва апроксимација, појдовниот вектор во регионот на конвергенција за диференцијални равенки без да се дознае најдената горна граница. Изборот е очигледен за зголемување на математичките функции. Постои прогресивен метод над нивото на истражување. Порамнувањето на почетната состојба на проблемот со решавање на диференцијални равенки ќе ви помогне да најдете уникатно избрана вредност. Можеби веднаш може да го идентификува непознатото. Како и во претходниот пример за одредување решение за математички проблем, линеарните диференцијални равенки се одговор на конкретен проблем во одредена временска рамка. Одржувањето на истражувачката процедура не е локално определено. Ќе биде да се најде пример за секој ученик и решението на диференцијалните равенки ќе го определи лицето кое му е доделено на одговорното лице од најмалку две вредности. Земете функција од општа вредност на одреден сегмент и предупредете по која оска ќе има празнина. Со проучување на диференцијални равенки на интернет, можно е недвосмислено да се покаже колку е важен резултатот, доколку е предвиден со почетните услови. Отсекувањето област од дефиниција на функција е невозможно, бидејќи нема дефиниција за задачата локално. Со оглед на тоа што е пронајден од систем на равенки, одговорот содржи променлива која може да се брои во општа смисла, но решавањето на диференцијална равенка онлајн природно ќе биде можно без оваа акција на одредување на споменатата состојба. До интервалот на сегментот може да се види како решавањето на диференцијални равенки онлајн може да го унапреди резултатот од истражувањето во позитивна насока во моментот на отсекување на знаењето на учениците. Најдоброто не секогаш доаѓа од општоприфатениот пристап кон бизнисот. На ниво 2x, корисно е да се прегледаат сите потребни линеарни диференцијални равенки во природна претстава, но можноста да се пресмета нумеричката вредност ќе резултира со подобрено знаење. Според кој било метод во математиката, постојат диференцијални равенки кои се претставени во суштински различни изрази, како што се хомогени или сложени. По извршената општа анализа на проучувањето на функцијата, станува јасно дека решавањето на диференцијали како збир на можности претставува јасна грешка во вредностите. Вистината во него лежи во просторот над линиите на апсцисата. Некаде во доменот на дефинирање на сложена функција, во одреден момент од нејзината дефиниција, линеарните диференцијални равенки ќе можат да го претстават одговорот во аналитичка форма. односно во општа смисла како суштина. Ништо не се менува кога ја менувате променливата. Сепак, треба да го погледнете одговорот со посебен интерес. Во суштина, калкулаторот на крајот ја менува врската, односно како решението на диференцијалните равенки е пропорционално на глобалната вредност и е означено во границите на посакуваното решение. Во некои случаи, огромното предупредување за грешка е неизбежно. Онлајн диференцијалните равенки спроведуваат општа идеја за проблемот, но на крајот неопходно е да се обезбедат позитивните аспекти на векторскиот производ што е можно поскоро. Во математиката, случаите на заблуди во теоријата на броеви не се невообичаени. Дефинитивно ќе биде потребна проверка. Секако, подобро е да им го дадете ова право на професионалци во нивната област и тие ќе ви помогнат да ја решите диференцијалната равенка онлајн, бидејќи нивното искуство е колосално и позитивно. Разликата на површините на фигурите и плоштината е таква што не решавате диференцијални равенки онлајн што ќе ви овозможи да гледате, туку множеството објекти што не се пресекуваат е такво што правата е паралелна со оската. Како резултат на тоа, можете да добиете двојно повеќе вредности. Иако не е експлицитно, нашето разбирање за точноста на формалната нотација вклучува линеарни диференцијални равенки и во областа на гледање и во однос на намерното преценување на квалитетот на резултатот. Панел дискусија на тема од интерес за сите студенти се разгледува неколку пати. Во текот на проучувањето на целосниот тек на предавањата, нашето големо внимание ќе го фокусираме на диференцијални равенки и сродни области на научно проучување, доколку тоа не е во спротивност со вистината. Многу чекори може да се избегнат на почетокот на патувањето. Ако решавањето на диференцијални равенки сè уште е нешто ново за учениците, тогаш старото воопшто не се заборава, туку напредува во иднината со висока стапка на развој. Првично, условите за проблемот во математиката се разминуваат, но тоа е означено во ставот десно. Откако ќе помине времето одредено со дефиниција, не може да се исклучи можноста за пропорционален зависен исход на различни рамнини на векторско движење. Таков едноставен случај може да се коригира на ист начин како што се опишани линеарните диференцијални равенки на калкулатор во општа форма, тој ќе биде побрз и поместувањето на пресметките нема да доведе до погрешно мислење. Само пет случаи именувани според теоријата можат да ги поместат границите на она што се случува. Нашето решение на диференцијални равенки ќе ви помогне рачно да ја пресметате вредноста во бројки веќе во првите фази на разложување на функционалниот простор. На вистинските места потребно е да се претстави допирната точка на четирите линии во општо значење. Но, ако треба да ја смените задачата, тогаш ќе биде лесно да се изедначи сложеноста. Почетните податоци се доволни за дизајнирање на соседната нога и онлајн диференцијалните равенки изгледаат лево порамнети и површината е еднострана насочена кон роторот на векторот. Над горната граница, можни се нумерички вредности надвор од назначената состојба. Можно е да се земе предвид математичката формула и да се реши диференцијалната равенка онлајн користејќи три непознати во општата вредност на пропорцијата. Локалниот метод на пресметка се препознава како валиден. Координатниот систем е правоаголен во релативното движење на рамнината. Општото решение на диференцијални равенки онлајн ни овозможува недвосмислено да извлечеме заклучок во корист на пресметковно поминување низ дефинициите на матрицата на целата права линија лоцирана над графикот на експлицитно одредената функција. Решението е јасно видливо ако го примените векторот на движење до точката на допир на трите хемисфери. Цилиндерот се добива со ротирање на правоаголникот околу страната и линеарните диференцијални равенки ќе можат да го покажат правецот на движење на точката според дадените изрази на нејзиниот закон за движење. Првичните податоци се точни и проблемот во математиката е заменлив под еден едноставен услов. Меѓутоа, поради околностите, поради сложеноста на поставената подзадача, диференцијалните равенки го поедноставуваат процесот на пресметување на нумерички простори на ниво на тродимензионален простор. Лесно е да се докаже спротивното, но може да се избегне, како во дадениот пример. Во вишата математика се предвидени следните точки: кога проблемот ќе се сведе на поедноставен облик, на него треба да се вложи најголем можен труд од страна на учениците. Се земаат предвид линиите надредени една на друга. Во врска со решавањето на диференцијали, предноста на споменатиот метод сè уште продолжува на крива линија. Ако прво препознаете нешто што не е она што ви треба, тогаш математичката формула ќе создаде ново значење за изразот. Целта е оптимален пристап кон решавање на поставените задачи од професорот. Не треба да претпоставувате дека линеарните диференцијални равенки во поедноставена форма ќе го надминат очекуваниот резултат. Поставуваме три вектори на конечно составена површина. ортогонални еден на друг. Ајде да го пресметаме производот. Ајде да додадеме поголем број на симболи и да ги запишеме сите променливи на функцијата од добиениот израз. Постои пропорција. Неколку дејства што му претходат на крајот на пресметката нема да дадат недвосмислен одговор на решението на диференцијалните равенки веднаш, туку само откако ќе помине даденото време по y-оската. Лево од точката на дисконтинуитет, имплицитно наведена од функцијата, цртаме оска ортогонална на најдобриот растечки вектор и поставуваме онлајн диференцијални равенки долж најмалата гранична вредност на долната страна на математичкиот објект. Дополнителниот аргумент го додаваме во областа за прекин на функцијата. Десно од точките каде што се наоѓа кривата линија, формулите што ги напишавме за намалување на заеднички именител ќе ви помогнат да ја решите диференцијалната равенка онлајн. Ќе го преземеме единствениот правилен пристап кој ќе фрли светлина на нерешените проблеми од теорија до пракса, во општиот случај недвосмислено. Линиите во правец на координатите на дадените точки никогаш не ја затворале екстремната положба на квадратот, но решавањето на диференцијални равенки онлајн ќе им помогне на учениците, нам и на само почетниците во оваа област во изучувањето на математиката. Зборуваме за можноста за замена на аргумент за вредност во сите значајни линии на едно поле. Во принцип, како што би се очекувало, нашите линеарни диференцијални равенки се нешто изолирано во единствен концепт на даденото значење. За да им помогне на студентите, еден од најдобрите калкулатори меѓу слични услуги. Посетете ги сите курсеви и одберете го најдобриот за себе.

=

Да се ​​потсетиме на задачата со која се соочивме при наоѓањето дефинитивни интеграли:

или dy = f(x)dx. Нејзиното решение:

а се сведува на пресметување на неопределен интеграл. Во практиката почесто се среќаваме со покомплексна задача: пронаоѓање на функцијата y, ако се знае дека задоволува релација на формата

Оваа врска ја поврзува независната променлива x, непозната функција yи неговите деривати до редот nинклузивни, се нарекуваат .

Диференцијалната равенка вклучува функција под знакот на деривати (или диференцијали) од еден или друг ред. Највисокиот ред се нарекува ред (9.1) .

Диференцијални равенки:

- прва нарачка,

Втор ред

- петти ред итн.

Функцијата што задоволува дадена диференцијална равенка се нарекува нејзино решение , или интегрален . Неговото решавање значи да се најдат сите негови решенија. Доколку за потребната функција yуспеа да добие формула која ги дава сите решенија, тогаш велиме дека го најдовме нејзиното општо решение , или општ интеграл .

Заедничка одлука содржи nпроизволни константи и изгледа како

Ако се добие релација која се однесува x, yИ nпроизволни константи, во форма која не е дозволена во однос на y -

тогаш таквата врска се нарекува општ интеграл на равенката (9.1).

Коши проблем

Секое специфично решение, т.е., секоја специфична функција која задоволува дадена диференцијална равенка и не зависи од произволни константи, се нарекува одредено решение , или делумен интеграл. За да се добијат одредени решенија (интеграли) од општи, на константите мора да им се дадат специфични нумерички вредности.

Графикот на одредено решение се нарекува интегрална крива. Општото решение кое ги содржи сите парцијални решенија е фамилија на интегрални криви. За равенка од прв ред ова семејство зависи од една произволна константа, за равенката n-ти ред - од nпроизволни константи.

Проблемот на Коши е да се најде одредено решение за равенката n-ти ред, задоволувачки nпочетни услови:

со кои се одредуваат n константи c 1, c 2,..., c n.

Диференцијални равенки од 1-ви ред

За диференцијална равенка од 1-ви ред која е нерешена во однос на изводот, таа има форма

или за дозволени релативно

Пример 3.46. Најдете го општото решение на равенката

Решение.Интегрирајќи, добиваме

каде што C е произволна константа. Ако на C му доделиме специфични нумерички вредности, добиваме одредени решенија, на пример,

Пример 3.47. Размислете за зголемен износ на пари депонирани во банката кои се предмет на пресметување од 100 r сложена камата годишно. Нека Yo е почетната сума на пари, а Yx - на крајот xгодини. Ако каматата се пресметува еднаш годишно, добиваме

каде x = 0, 1, 2, 3,.... Кога каматата се пресметува двапати годишно, добиваме

каде x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... При пресметување на каматата nеднаш годишно и ако xзема секвенцијални вредности 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., потоа

Означете 1/n = h, тогаш претходната еднаквост ќе изгледа вака:

Со неограничено зголемување n(на ) во лимитот доаѓаме до процес на зголемување на износот на пари со континуирана пресметка на камата:

Така е јасно дека со континуирана промена xзаконот за промена на паричната маса се изразува со диференцијална равенка од 1-ви ред. Каде што Y x е непозната функција, x- независната променлива, р- постојана. Ајде да ја решиме оваа равенка, за да го направиме ова, ја препишуваме на следниов начин:

каде , или , каде што P означува e C.

Од почетните услови Y(0) = Yo наоѓаме P: Yo = Pe o, од каде Yo = P. Затоа, решението има форма:

Да го разгледаме вториот економски проблем. Макроекономските модели исто така се опишани со линеарни диференцијални равенки од прв ред, опишувајќи ги промените во приходот или излезот Y како функции на времето.

Пример 3.48. Нека националниот доход Y се зголемува со стапка пропорционална на неговата вредност:

и нека дефицитот во државната потрошувачка е директно пропорционален на приходот Y со коефициентот на пропорционалност q. Дефицитот на трошење доведува до зголемување на националниот долг D:

Почетни услови Y = Yo и D = Do at t = 0. Од првата равенка Y= Yoe kt. Заменувајќи го Y добиваме dD/dt = qYoe kt . Општото решение има форма
D = (q/ k) Yoe kt +С, каде што С = const, што се одредува од почетните услови. Заменувајќи ги почетните услови, добиваме Do = (q/ k)Yo + C. Значи, конечно,

D = Дали +(q/ k)Yo (e kt -1),

ова покажува дека националниот долг се зголемува со иста релативна стапка к, исто како и националниот доход.

Да ги разгледаме наједноставните диференцијални равенки nпо ред, ова се равенки на формата

Нејзиното општо решение може да се добие со користење nпати интеграции.

Пример 3.49.Размислете за примерот y """ = cos x.

Решение.Интегрирајќи, наоѓаме

Општото решение има форма

Линеарни диференцијални равенки

Тие се широко користени во економијата; ајде да размислиме за решавање на такви равенки. Ако (9.1) ја има формата:

тогаш се нарекува линеарна, каде рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) се дадени функции. Ако f(x) = 0, тогаш (9.2) се нарекува хомогена, во спротивно се нарекува нехомогена. Општото решение на равенката (9.2) е еднакво на збирот на кое било од неговите конкретни решенија y(x)и општото решение на хомогената равенка што одговара на неа:

Ако коефициентите р o (x), р 1 (x),..., р n (x) се константни, тогаш (9.2)

(9.4) се нарекува линеарна диференцијална равенка со константни коефициенти на ред n .

За (9.4) има форма:

Без губење на општоста, можеме да поставиме p o = 1 и да запишеме (9.5) во форма

Ќе бараме решение (9.6) во форма y = e kx, каде k е константа. Ние имаме: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx. Заменувајќи ги добиените изрази во (9.6), ќе имаме:

(9.7) е алгебарска равенка, нејзината непозната е к, тоа се нарекува карактеристично. Карактеристичната равенка има степен nИ nкорени, меѓу кои може да има и повеќекратни и сложени. Нека k 1 , k 2 ,..., k n се реални и различни, тогаш - посебни решенија (9.7) и општи

Размислете за линеарна хомогена диференцијална равенка од втор ред со константни коефициенти:

Нејзината карактеристична равенка ја има формата

(9.9)

неговата дискриминантна D = p 2 - 4q, во зависност од знакот D, можни се три случаи.

1. Ако D>0, тогаш корените k 1 и k 2 (9.9) се реални и различни, а општото решение има форма:

Решение.Карактеристична равенка: k 2 + 9 = 0, од ​​каде k = ± 3i, a = 0, b = 3, општото решение има форма:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Линеарни диференцијални равенки од втор ред се користат при проучување на веб-тип на економски модел со залихи на стоки, каде стапката на промена на цената P зависи од големината на залихите (види став 10). Ако понудата и побарувачката се линеарни функции на цената, т.е

a е константа која ја одредува стапката на реакција, тогаш процесот на промена на цената е опишан со диференцијалната равенка:

За одредено решение можеме да земеме константа

значајна рамнотежна цена. Отстапување ја задоволува хомогената равенка

(9.10)

Карактеристичната равенка ќе биде како што следува:

Во случај терминот да е позитивен. Да означиме . Корените на карактеристичната равенка k 1,2 = ± i w, затоа општото решение (9.10) има форма:

каде што C и се произволни константи, тие се одредуваат од почетните услови. Го добивме законот за промена на цената со текот на времето:

Внесете ја вашата диференцијална равенка, апостроа „“ се користи за внесување на изводот, притиснете испрати за да го добиете решението

Или веќе се решени во однос на изводот, или тие можат да се решат во однос на изводот .

Општо решение на диференцијални равенки од типот на интервалот X, која е дадена, може да се најде со земање на интегралот на двете страни на оваа еднаквост.

Добиваме .

Ако ги погледнеме својствата на неопределен интеграл, го наоѓаме посакуваното општо решение:

y = F(x) + C,

Каде F(x)- една од примитивните функции f(x)помеѓу X, А СО- произволна константа.

Ве молиме имајте предвид дека во повеќето проблеми интервалот Xне укажуваат. Тоа значи дека мора да се најде решение за сите. x, за која и саканата функција y, и оригиналната равенка има смисла.

Ако треба да пресметате одредено решение за диференцијална равенка што ја задоволува почетната состојба y (x 0) = y 0, потоа по пресметување на општиот интеграл y = F(x) + C, сепак е потребно да се одреди вредноста на константата C = C 0, користејќи ја почетната состојба. Односно, константа C = C 0определена од равенката F(x 0) + C = y 0, а саканото парцијално решение на диференцијалната равенка ќе има форма:

y = F(x) + C 0.

Ајде да погледнеме на пример:

Ајде да најдеме општо решение за диференцијалната равенка и да ја провериме исправноста на резултатот. Дозволете ни да најдеме одредено решение за оваа равенка што би ја задоволило почетната состојба.

Решение:

Откако ќе ја интегрираме дадената диференцијална равенка, добиваме:

.

Да го земеме овој интеграл користејќи го методот на интеграција по делови:


Тоа., е општо решение на диференцијалната равенка.

За да се увериме дека резултатот е точен, ајде да направиме проверка. За да го направите ова, решението што го најдовме го заменуваме во дадената равенка:


.

Односно кога оригиналната равенка се претвора во идентитет:

затоа правилно е определено општото решение на диференцијалната равенка.

Решението што го најдовме е општо решение на диференцијалната равенка за секоја реална вредност на аргументот x.

Останува да се пресмета одредено решение за ODE што би го задоволило почетниот услов. Со други зборови, потребно е да се пресмета вредноста на константата СО, при што еднаквоста ќе биде вистинита:

.

.

Потоа, замена C = 2во општото решение на ODE, добиваме одредено решение на диференцијалната равенка што ја задоволува почетната состојба:

.

Обична диференцијална равенка може да се реши за изводот со делење на 2-те страни на равенката со f(x). Оваа трансформација ќе биде еквивалентна ако f(x)во никој случај не се претвора на нула xод интервалот на интеграција на диференцијалната равенка X.

Постојат веројатни ситуации кога, за некои вредности на аргументот x ∈ Xфункции f(x)И g(x)истовремено стануваат нула. За слични вредности xопшто решение на диференцијална равенка е која било функција y, што е дефинирано во нив, бидејќи .

Ако за некои вредности на аргументите x ∈ Xусловот е задоволен, што значи дека во овој случај ODE нема решенија.

За сите други xод интервалот Xод трансформираната равенка се одредува општото решение на диференцијалната равенка.

Ајде да погледнеме примери:

Пример 1.

Ајде да најдеме општо решение за ODE: .

Решение.

Од својствата на основните елементарни функции јасно е дека функцијата природен логаритам е дефинирана за ненегативни вредности на аргументот, па затоа доменот на дефинирање на изразот ln(x+3)има интервал x > -3 . Ова значи дека дадената диференцијална равенка има смисла за x > -3 . За овие вредности на аргументот, изразот x+3не исчезнува, па можете да го решите ODE за изводот со делење на 2 дела со x + 3.

Добиваме .

Следно, ја интегрираме добиената диференцијална равенка, решена во однос на изводот: . За да го земеме овој интеграл, го користиме методот да го подведеме под диференцијалниот знак.

Диференцијални равенки од прв ред решени во однос на изводот

Како да се решат диференцијални равенки од прв ред

Дозволете ни да имаме решена диференцијална равенка од прв ред во однос на изводот:
.
Поделувајќи ја оваа равенка со , со , добиваме равенка од формата:
,
Каде.

Следно, гледаме да видиме дали овие равенки припаѓаат на еден од типовите наведени подолу. Ако не, тогаш равенката ќе ја преработиме во форма на диференцијали. За да го направите ова, ја пишуваме и множиме равенката со . Добиваме равенка во форма на диференцијали:
.

Ако оваа равенка не е тотална диференцијална равенка, тогаш сметаме дека во оваа равенка е независната променлива и е функција од . Поделете ја равенката со:
.
Следно, гледаме да видиме дали оваа равенка припаѓа на еден од типовите наведени подолу, имајќи предвид дека сме ги замениле местата.

Ако не е пронајден тип за оваа равенка, тогаш гледаме дали е можно да се поедностави равенката со едноставна замена. На пример, ако равенката е:
,
тогаш забележуваме дека . Потоа правиме замена. После ова, равенката ќе добие поедноставна форма:
.

Ако ова не помогне, тогаш се обидуваме да го најдеме факторот за интегрирање.

Раздвојливи равенки

;
.
Поделете по и интегрирајте. Кога ќе добиеме:
.

Равенки што се сведуваат на раздвојливи равенки

Хомогени равенки

Решаваме со замена:
,
каде е функција од . Потоа
;
.
Ги издвојуваме променливите и интегрираме.

Равенки кои се сведуваат на хомогени

Внесете ги променливите и:
;
.
Избираме константи и така што слободните термини исчезнуваат:
;
.
Како резултат на тоа, добиваме хомогена равенка во променливите и .

Генерализирани хомогени равенки

Ајде да направиме замена. Добиваме хомогена равенка во променливите и .

Линеарни диференцијални равенки

Постојат три методи за решавање на линеарни равенки.

2) Бернулиовиот метод.
Бараме решение во форма на производ од две функции и променлива:
.
;
.
Можеме произволно да избереме една од овие функции. Затоа, ние избираме кое било не-нула решение на равенката како:
.

3) Метод на варијација на константа (Лагранж).
Овде прво ја решаваме хомогената равенка:

Општото решение на хомогената равенка има форма:
,
каде е константа. Следно, ја заменуваме константата со функција која зависи од променливата:
.
Заменете го во оригиналната равенка. Како резултат на тоа, добиваме равенка од која одредуваме .

Бернулиовите равенки

Со замена, равенката на Бернули се сведува на линеарна равенка.

Оваа равенка може да се реши и со методот Бернули. Односно, бараме решение во форма на производ од две функции во зависност од променливата:
.
Заменете во оригиналната равенка:
;
.
Избираме кое било не-нула решение на равенката како:
.
Откако утврдивме , добиваме равенка со раздвојливи променливи за .

Равенки на Рикати

Не може да се реши во општа форма. Замена

Равенката Рикати се сведува на формата:
,
каде е константа; ; .
Следно, со замена:

се сведува на формата:
,
Каде.

Својствата на равенката Рикати и некои посебни случаи на нејзино решение се претставени на страницата
Рикати диференцијална равенка >>>

Јакоби равенки

Решено со замена:
.

Равенки во вкупни диференцијали

Со оглед на тоа
.
Ако овој услов е исполнет, изразот на левата страна на еднаквоста е диференцијал на некоја функција:
.
Потоа
.
Од тука го добиваме интегралот на диференцијалната равенка:
.

За да се пронајде функцијата, најзгодниот начин е методот на секвенцијално диференцијално извлекување. За да го направите ова, користете ги формулите:
;
;
;
.

Интегрирачки фактор

Ако диференцијалната равенка од прв ред не може да се сведе на некој од наведените типови, тогаш можете да се обидете да го пронајдете факторот за интегрирање. Интегрирачки фактор е функција, кога ќе се помножи со која, диференцијалната равенка станува равенка во вкупните диференцијали. Диференцијалната равенка од прв ред има бесконечен број интегрирачки фактори. Сепак, не постојат општи методи за пронаоѓање на факторот за интегрирање.

Нерешени равенки за изводот y"

Равенки кои можат да се решат во однос на изводот y"

Прво треба да се обидете да ја решите равенката во однос на изводот. Ако е можно, равенката може да се сведе на еден од типовите наведени погоре.

Равенки кои може да се факторизираат

Ако можете да ја факторизирате равенката:
,
тогаш проблемот се сведува на секвенцијално решавање на поедноставни равенки:
;
;

;
. Ние веруваме. Потоа
или .
Следно, ја интегрираме равенката:
;
.
Како резултат на тоа, го добиваме изразот на втората променлива преку параметарот.

Повеќе општи равенки:
или
се решаваат и во параметарска форма. За да го направите ова, треба да изберете функција таква што од оригиналната равенка можете да го изразите или преку параметарот.
За да ја изразиме втората променлива преку параметарот, ја интегрираме равенката:
;
.

Решени равенки за y

Клеро равенки

Оваа равенка има општо решение

Лагранжови равенки

Бараме решение во параметарска форма. Претпоставуваме каде е параметарот.

Равенки кои водат до Бернулиевата равенка


Овие равенки се сведуваат на Бернулиевата равенка ако ги бараме нивните решенија во параметарска форма со воведување параметар и правење на замена.

Референци:
В.В. Степанов, Курс на диференцијални равенки, „ЛКИ“, 2015 г.
Н.М. Гинтер, Р.О. Кузмин, Збирка задачи по виша математика, „Лан“, 2003 г.

Мислам дека треба да започнеме со историјата на една таква славна математичка алатка како што се диференцијалните равенки. Како и сите диференцијални и интегрални пресметки, овие равенки биле измислени од Њутн кон крајот на 17 век. Тој сметаше дека ова негово конкретно откритие е толку важно што дури и шифрирал порака, која денес може да се преведе вака: „Сите закони на природата се опишани со диференцијални равенки“. Ова може да изгледа како претерување, но тоа е вистина. Секој закон на физиката, хемијата, биологијата може да се опише со овие равенки.

Математичарите Ојлер и Лагранж дадоа огромен придонес во развојот и создавањето на теоријата на диференцијални равенки. Веќе во 18 век тие го открија и развија она што сега го учат на високи универзитетски курсеви.

Нова пресвртница во проучувањето на диференцијалните равенки започна благодарение на Анри Поенкаре. Тој ја создаде „квалитативната теорија на диференцијални равенки“, која, во комбинација со теоријата на функции на сложена променлива, даде значаен придонес во основата на топологијата - науката за просторот и неговите својства.

Што се диференцијални равенки?

Многу луѓе се плашат од една фраза.Сепак, во оваа статија детално ќе ја опишеме целата суштина на овој многу корисен математички апарат, кој всушност не е толку комплициран како што изгледа од името. За да започнете да зборувате за диференцијални равенки од прв ред, прво треба да се запознаете со основните концепти кои се инхерентно поврзани со оваа дефиниција. И ќе започнеме со диференцијалот.

Диференцијал

Многу луѓе го знаат овој концепт уште од училиште. Сепак, да го разгледаме подетално. Замислете го графикот на функцијата. Можеме да го зголемиме до тој степен што секој сегмент од него ќе има форма на права линија. Да земеме две точки на него кои се бескрајно блиску една до друга. Разликата меѓу нивните координати (x или y) ќе биде бесконечно мала. Се нарекува диференцијал и се означува со знаците dy (диференцијал на y) и dx (диференцијал на x). Многу е важно да се разбере дека диференцијалот не е конечна големина, и тоа е неговото значење и главната функција.

Сега треба да го разгледаме следниот елемент, кој ќе ни биде корисен при објаснувањето на концептот на диференцијална равенка. Ова е дериват.

Дериват

Сите веројатно го слушнавме овој концепт на училиште. Дериватот се вели дека е брзината со која функцијата се зголемува или намалува. Сепак, од оваа дефиниција многу станува нејасно. Да се ​​обидеме да го објасниме изводот преку диференцијали. Да се ​​вратиме на бесконечно мала отсечка од функција со две точки кои се на минимално растојание една од друга. Но, дури и на ова растојание функцијата успева да се промени за одреден износ. И за да ја опишат оваа промена тие дојдоа до извод, кој инаку може да се запише како сооднос на диференцијали: f(x)"=df/dx.

Сега вреди да се разгледаат основните својства на дериватот. Има само три од нив:

  1. Изводот на збир или разлика може да се претстави како збир или разлика на изводи: (а+б)"=а"+б" и (а-б)"=а"-б".
  2. Второто својство е поврзано со множењето. Изводот на производ е збир од производите на една функција и изводот на друга: (a*b)"=a"*b+a*b".
  3. Изводот на разликата може да се запише како следнава еднаквост: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Сите овие својства ќе ни бидат корисни за изнаоѓање решенија за диференцијални равенки од прв ред.

Постојат и делумни деривати. Да речеме дека имаме функција z која зависи од променливите x и y. За да го пресметаме парцијалниот извод на оваа функција, да речеме, во однос на x, треба да ја земеме променливата y како константа и едноставно да диференцираме.

Интегрален

Друг важен концепт е интегрален. Всушност, ова е токму спротивното од дериватот. Постојат неколку видови на интеграли, но за да ги решиме наједноставните диференцијални равенки ни требаат најтривијалните

Значи, да речеме дека имаме одредена зависност на f од x. Го земаме интегралот од него и ја добиваме функцијата F(x) (често се нарекува антидериват), чиј извод е еднаков на првобитната функција. Така F(x)"=f(x). Следи и дека интегралот на изводот е еднаков на првобитната функција.

Кога решавате диференцијални равенки, многу е важно да го разберете значењето и функцијата на интегралот, бидејќи ќе мора да ги земате многу често за да го најдете решението.

Равенките варираат во зависност од нивната природа. Во следниот дел, ќе ги разгледаме типовите на диференцијални равенки од прв ред, а потоа ќе научиме како да ги решиме.

Класи на диференцијални равенки

„Дифурите“ се поделени според редоследот на дериватите вклучени во нив. Така има прв, втор, трет и повеќе ред. Може да се поделат и на неколку класи: обични и делумни деривати.

Во оваа статија ќе ги разгледаме обичните диференцијални равенки од прв ред. Исто така, ќе разговараме за примери и начини за нивно решавање во следните делови. Ќе ги разгледаме само ODEs, бидејќи ова се најчестите типови на равенки. Обичните се поделени на подвидови: со раздвојливи променливи, хомогени и хетерогени. Следно, ќе научите како тие се разликуваат едни од други и ќе научите како да ги решите.

Покрај тоа, овие равенки може да се комбинираат така што ќе завршиме со систем на диференцијални равенки од прв ред. Ќе ги разгледаме и таквите системи и ќе научиме како да ги решиме.

Зошто размислуваме само за прв ред? Затоа што треба да започнете со нешто едноставно, и едноставно е невозможно да се опише сè што е поврзано со диференцијални равенки во една статија.

Раздвојливи равенки

Ова се можеби наједноставните диференцијални равенки од прв ред. Тука спаѓаат примери кои можат да се напишат на следниов начин: y"=f(x)*f(y). За да ја решиме оваа равенка потребна ни е формула за претставување на изводот како сооднос на диференцијали: y"=dy/dx. Користејќи го ја добиваме следната равенка: dy/dx=f(x)*f(y). Сега можеме да се свртиме кон методот за решавање на стандардни примери: ќе ги поделиме променливите на делови, односно ќе преместиме сè со променливата y во делот каде што се наоѓа dy, а истото ќе го направиме и со променливата x. Добиваме равенка од формата: dy/f(y)=f(x)dx која се решава со земање интеграли од двете страни. Не заборавајте за константата што треба да се постави по земањето на интегралот.

Решението на која било „дифура“ е функција на зависноста на x од y (во нашиот случај) или, ако е присутна нумеричка состојба, тогаш одговорот е во форма на број. Ајде да го разгледаме целиот процес на решение користејќи конкретен пример:

Ајде да ги преместиме променливите во различни насоки:

Сега да ги земеме интегралите. Сите од нив може да се најдат во посебна табела со интеграли. И добиваме:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Доколку е потребно, можеме да изразиме „y“ како функција од „x“. Сега можеме да кажеме дека нашата диференцијална равенка е решена ако условот не е наведен. Може да се наведе услов, на пример, y(n/2)=e. Потоа едноставно ги заменуваме вредностите на овие променливи во решението и ја наоѓаме вредноста на константата. Во нашиот пример тоа е 1.

Хомогени диференцијални равенки од прв ред

Сега да преминеме на потешкиот дел. Хомогени диференцијални равенки од прв ред можат да се напишат во општа форма на следниов начин: y"=z(x,y). Треба да се забележи дека десната функција на две променливи е хомогена и не може да се подели на две зависности : z на x и z на y. Проверете дали равенката е хомогена или не е прилично едноставна: правиме замена x=k*x и y=k*y. Сега ги поништуваме сите k. Ако сите овие букви се откажани , тогаш равенката е хомогена и можете безбедно да започнете да ја решавате.Гледајќи напред, да речеме: принципот на решавање на овие примери е исто така многу едноставен.

Треба да направиме замена: y=t(x)*x, каде што t е одредена функција која зависи и од x. Тогаш можеме да го изразиме изводот: y"=t"(x)*x+t. Заменувајќи го сето ова во нашата оригинална равенка и поедноставувајќи ја, добиваме пример со раздвојливи променливи t и x. Го решаваме и ја добиваме зависноста t(x). Кога го примивме, едноставно го заменуваме y=t(x)*x во нашата претходна замена. Тогаш ја добиваме зависноста на y од x.

За да биде појасно, да погледнеме пример: x*y"=y-x*e y/x .

При проверка со замена, сè е намалено. Ова значи дека равенката е навистина хомогена. Сега правиме уште една замена за која зборувавме: y=t(x)*x и y"=t"(x)*x+t(x). По поедноставувањето ја добиваме следната равенка: t"(x)*x=-e t. Добиениот пример го решаваме со одвоени променливи и добиваме: e -t =ln(C*x). Се што треба да направиме е да замениме t со y/x (на крајот на краиштата, ако y =t*x, тогаш t=y/x), и го добиваме одговорот: e -y/x =ln(x*C).

Линеарни диференцијални равенки од прв ред

Време е да разгледаме уште една широка тема. Ќе ги анализираме нехомогените диференцијални равенки од прв ред. Како се разликуваат од претходните две? Ајде да го сфатиме. Линеарните диференцијални равенки од прв ред во општа форма можат да се напишат на следниов начин: y" + g(x)*y=z(x). Вреди да се разјасни дека z(x) и g(x) можат да бидат константни величини.

И сега пример: y" - y*x=x 2 .

Има две решенија, и двете ќе ги разгледаме по редослед. Првиот е методот на менување произволни константи.

За да ја решите равенката на овој начин, прво мора да ја изедначите десната страна на нула и да ја решите добиената равенка, која по пренесувањето на деловите ќе ја добие формата:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .

Сега треба да ја замениме константата C 1 со функцијата v(x), која треба да ја најдеме.

Да го замениме дериватот:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

И заменете ги овие изрази во оригиналната равенка:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Можете да видите дека на левата страна два термина се откажуваат. Ако во некој пример тоа не се случило, тогаш сте направиле нешто погрешно. Да продолжиме:

v"*e x2/2 = x 2 .

Сега ја решаваме вообичаената равенка во која треба да ги одвоиме променливите:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

За да го извлечеме интегралот, ќе мора да примениме интеграција по делови овде. Сепак, ова не е тема на нашата статија. Ако сте заинтересирани, можете сами да научите како да вршите такви дејства. Не е тешко, а со доволна вештина и грижа не е потребно многу време.

Да се ​​свртиме кон вториот метод за решавање на нехомогени равенки: Бернулиовиот метод. Кој пристап е побрз и полесен зависи од вас да одлучите.

Значи, кога решаваме равенка со овој метод, треба да направиме замена: y=k*n. Овде k и n се некои функции зависни од x. Тогаш изводот ќе изгледа вака: y"=k"*n+k*n". Ги заменуваме двете замени во равенката:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Групирање:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Сега треба да се изедначи на нула она што е во загради. Сега, ако ги комбинираме двете добиени равенки, добиваме систем на диференцијални равенки од прв ред што треба да се реши:

Првото равенство го решаваме како обична равенка. За да го направите ова, треба да ги одделите променливите:

Го земаме интегралот и добиваме: ln(n)=x 2 /2. Тогаш, ако изразиме n:

Сега ја заменуваме добиената еднаквост во втората равенка на системот:

k"*e x2/2 =x 2 .

И трансформирајќи ја, ја добиваме истата еднаквост како во првиот метод:

dk=x 2 /e x2/2 .

Ние, исто така, нема да разговараме за понатамошни активности. Вреди да се каже дека на почетокот решавањето на диференцијални равенки од прв ред предизвикува значителни тешкотии. Меѓутоа, како што навлегувате подлабоко во темата, таа почнува да функционира се подобро и подобро.

Каде се користат диференцијални равенки?

Диференцијалните равенки се користат многу активно во физиката, бидејќи скоро сите основни закони се напишани во диференцијална форма, а формулите што ги гледаме се решенија за овие равенки. Во хемијата тие се користат од истата причина: со нивна помош се изведуваат фундаментални закони. Во биологијата, диференцијалните равенки се користат за моделирање на однесувањето на системите, како што се предатор и плен. Тие исто така може да се користат за создавање модели на репродукција на, да речеме, колонија на микроорганизми.

Како може диференцијалните равенки да ви помогнат во животот?

Одговорот на ова прашање е едноставен: воопшто не. Ако не сте научник или инженер, тогаш веројатно нема да ви бидат корисни. Сепак, за општ развој нема да биде повредено да се знае што е диференцијална равенка и како се решава. И тогаш прашањето на синот или ќерката е „што е диференцијална равенка? нема да те збуни. Па, ако сте научник или инженер, тогаш и самите ја разбирате важноста на оваа тема во која било наука. Но, најважно е дека сега се поставува прашањето „како да се реши диференцијална равенка од прв ред? секогаш можеш да дадеш одговор. Се согласувам, секогаш е убаво кога разбираш нешто што луѓето дури се плашат да го разберат.

Главните проблеми во учењето

Главниот проблем во разбирањето на оваа тема е слабата вештина во интегрирањето и разликувањето на функциите. Ако не сте добри во деривати и интеграли, тогаш веројатно вреди да проучите повеќе, да совладате различни методи на интеграција и диференцијација и дури потоа да започнете да го проучувате материјалот што беше опишан во статијата.

Некои луѓе се изненадени кога ќе дознаат дека dx може да се пренесе, бидејќи претходно (на училиште) беше наведено дека дропката dy/dx е неделива. Овде треба да ја прочитате литературата за дериватот и да разберете дека тоа е однос на бесконечно мали количини со кои може да се манипулира при решавање на равенки.

Многу луѓе не сфаќаат веднаш дека решавањето на диференцијални равенки од прв ред е често функција или интеграл што не може да се земе, а оваа заблуда им задава многу проблеми.

Што друго можете да студирате за подобро разбирање?

Најдобро е да се започне понатамошно потопување во светот на диференцијалното сметање со специјализирани учебници, на пример, за математичка анализа за студенти од нематематички специјалности. Потоа можете да преминете на поспецијализирана литература.

Вреди да се каже дека, покрај диференцијалните равенки, постојат и интегрални равенки, така што секогаш ќе имате за што да се стремите и што да студирате.

Заклучок

Се надеваме дека откако ќе ја прочитате оваа статија имате идеја за тоа што се диференцијални равенки и како правилно да ги решите.

Во секој случај, математиката на некој начин ќе ни биде од корист во животот. Развива логика и внимание, без кои секој човек е без раце.