Penyelesaian khas persamaan pembezaan dalam talian. Persamaan pembezaan tertib pertama

Permohonan

Menyelesaikan persamaan pembezaan dalam talian di tapak web untuk pelajar menyatukan bahan yang telah mereka bincangkan. Dan melatih kemahiran praktikal anda. Persamaan pembezaan dalam talian. Difurs dalam talian, menyelesaikan matematik dalam talian. Penyelesaian langkah demi langkah untuk masalah matematik dalam talian. Susunan, atau darjah, persamaan pembezaan ialah susunan tertinggi terbitan yang termasuk di dalamnya. Persamaan pembezaan dalam talian. Proses menyelesaikan persamaan pembezaan dipanggil pengamiran. Masalah penyepaduan persamaan pembezaan dianggap selesai jika mencari fungsi yang tidak diketahui boleh membawa kepada kuadratur, tidak kira sama ada kamiran yang terhasil dinyatakan dalam bentuk akhir dari segi fungsi yang diketahui atau tidak. Penyelesaian langkah demi langkah bagi persamaan pembezaan dalam talian. Semua persamaan pembezaan boleh dibahagikan kepada persamaan pembezaan biasa (ODE), yang merangkumi hanya fungsi (dan derivatifnya) bagi satu hujah, dan persamaan pembezaan separa (PDE), di mana fungsi input bergantung pada banyak pembolehubah. Persamaan pembezaan dalam talian. Terdapat juga persamaan pembezaan stokastik (SDE) yang melibatkan proses rawak. Penyelesaian langkah demi langkah bagi persamaan pembezaan dalam talian. Bergantung pada gabungan derivatif, fungsi, dan pembolehubah bebas, persamaan pembezaan dibahagikan kepada linear dan bukan linear, dengan pekali malar atau pembolehubah, homogen atau tidak homogen. Disebabkan kepentingan aplikasi, persamaan pembezaan separa kuasilinear (linear berkenaan dengan terbitan yang lebih tinggi) diklasifikasikan ke dalam kelas yang berasingan. Penyelesaian persamaan pembezaan dibahagikan kepada penyelesaian umum dan khusus. Persamaan pembezaan dalam talian. Penyelesaian am termasuk pemalar tidak ditentukan, dan untuk persamaan pembezaan separa, fungsi arbitrari pembolehubah bebas, yang boleh diperhalusi daripada keadaan penyepaduan tambahan (keadaan awal untuk persamaan pembezaan biasa, keadaan awal dan sempadan untuk persamaan pembezaan separa). Penyelesaian langkah demi langkah bagi persamaan pembezaan dalam talian. Selepas menentukan jenis fungsi pemalar dan tak tentu yang ditunjukkan, penyelesaian menjadi khusus. Pencarian untuk penyelesaian kepada persamaan pembezaan biasa membawa kepada penubuhan kelas fungsi khas - fungsi yang sering ditemui dalam aplikasi yang tidak boleh dinyatakan melalui fungsi asas yang diketahui. Persamaan pembezaan dalam talian. Sifat mereka dikaji secara terperinci, jadual nilai disusun, hubungan bersama ditentukan, dsb. . Set nombor terbilang boleh diterokai. Jawapan terbaik untuk masalah yang diberikan. Bagaimana untuk mencari, sebagai anggaran pertama, vektor keluar ke kawasan penumpuan tentang persamaan Pembezaan tanpa mengetahui had atas yang ditemui. Pilihannya jelas untuk meningkatkan fungsi matematik. Terdapat kaedah progresif di atas tahap penyelidikan. Menyelaraskan keadaan awal masalah dengan menyelesaikan persamaan pembezaan akan membantu anda mencari nilai yang dipilih secara unik. Mungkin dia boleh segera mengenal pasti yang tidak diketahui. Seperti dalam contoh sebelumnya untuk menentukan penyelesaian kepada masalah matematik, persamaan pembezaan linear ialah jawapan kepada masalah tertentu dalam jangka masa tertentu. Penyelenggaraan prosedur penyelidikan tidak ditentukan secara tempatan. Ia akan menjadi contoh untuk setiap pelajar dan penyelesaian kepada persamaan pembezaan akan ditentukan oleh orang yang diberikan kepada orang yang bertanggungjawab daripada sekurang-kurangnya dua nilai. Ambil fungsi nilai umum pada segmen tertentu dan beri amaran di sepanjang paksi mana akan terdapat jurang. Dengan mengkaji persamaan pembezaan dalam talian, adalah mungkin untuk menunjukkan dengan jelas betapa pentingnya hasilnya, jika ia diperuntukkan oleh syarat awal. Memotong kawasan daripada definisi fungsi adalah mustahil, kerana tiada definisi untuk tugas secara tempatan. Ditemui daripada sistem persamaan, jawapannya mengandungi pembolehubah yang boleh dikira dalam erti kata umum, tetapi menyelesaikan persamaan pembezaan dalam talian secara semula jadi akan dapat dilakukan tanpa tindakan menentukan keadaan tersebut. Di sebelah selang segmen, anda boleh melihat bagaimana menyelesaikan persamaan pembezaan dalam talian boleh memajukan hasil penyelidikan ke arah yang positif pada saat memotong pengetahuan pelajar. Yang terbaik tidak selalu datang dari pendekatan perniagaan yang diterima umum. Pada tahap 2x, adalah berguna untuk menyemak semua persamaan pembezaan linear yang diperlukan dalam perwakilan semula jadi, tetapi dapat mengira nilai berangka akan menghasilkan pengetahuan yang lebih baik. Menurut mana-mana kaedah dalam matematik, terdapat persamaan pembezaan yang dibentangkan dalam ungkapan yang pada asasnya berbeza, seperti homogen atau kompleks. Setelah menjalankan analisis umum kajian fungsi, menjadi jelas bahawa menyelesaikan pembezaan sebagai satu set kemungkinan mewakili ralat yang jelas dalam nilai. Kebenaran di dalamnya terletak pada ruang di atas garis absis. Di suatu tempat dalam domain definisi fungsi kompleks, pada satu ketika dalam definisinya, persamaan pembezaan linear akan dapat membentangkan jawapan dalam bentuk analisis. iaitu secara umum sebagai intipati. Tiada apa-apa yang berubah apabila anda menukar pembolehubah. Walau bagaimanapun, anda perlu melihat jawapan dengan minat khusus. Pada dasarnya, kalkulator mengubah hubungan pada akhirnya, iaitu, bagaimana penyelesaian persamaan pembezaan adalah berkadar dengan nilai global dan ditetapkan dalam had penyelesaian yang dikehendaki. Dalam sesetengah kes, amaran ralat besar-besaran tidak dapat dielakkan. Persamaan pembezaan dalam talian melaksanakan idea umum masalah, tetapi pada akhirnya adalah perlu untuk menyediakan aspek positif produk vektor secepat mungkin. Dalam matematik, kes-kes salah tanggapan dalam teori nombor bukan perkara biasa. Cek pasti akan diperlukan. Sememangnya, adalah lebih baik untuk memberikan hak ini kepada profesional dalam bidang mereka dan mereka akan membantu anda menyelesaikan persamaan pembezaan dalam talian, kerana pengalaman mereka adalah besar dan positif. Perbezaan pada permukaan rajah dan kawasan adalah sedemikian rupa sehingga ia tidak menyelesaikan persamaan pembezaan dalam talian yang membolehkan anda melihat, tetapi set objek tidak bersilang adalah sedemikian rupa sehingga garis selari dengan paksi. Hasilnya, anda boleh mendapat dua kali lebih banyak nilai. Walaupun tidak eksplisit, pemahaman kami tentang ketepatan tatatanda formal melibatkan persamaan pembezaan linear kedua-dua dalam kawasan tontonan dan berkaitan dengan anggaran terlalu tinggi yang disengajakan bagi kualiti hasil. Perbincangan panel mengenai topik yang diminati oleh semua pelajar disemak beberapa kali. Sepanjang kajian kursus penuh kuliah, kami akan menumpukan perhatian kami pada persamaan pembezaan dan bidang kajian saintifik yang berkaitan, jika ini tidak bercanggah dengan kebenaran. Banyak langkah boleh dielakkan pada permulaan perjalanan. Jika menyelesaikan persamaan pembezaan pada asasnya masih merupakan sesuatu yang baru untuk pelajar, maka yang lama tidak dilupakan sama sekali, tetapi berkembang ke masa depan pada kadar perkembangan yang tinggi. Pada mulanya, syarat untuk masalah dalam matematik berbeza, tetapi ini ditunjukkan dalam perenggan di sebelah kanan. Selepas masa yang ditentukan oleh definisi telah berlalu, kemungkinan hasil bergantung berkadar pada pelbagai satah pergerakan vektor tidak boleh dikecualikan. Kes mudah sedemikian boleh dibetulkan dengan cara yang sama seperti persamaan pembezaan linear diterangkan pada kalkulator dalam bentuk umum, ia akan menjadi lebih pantas dan pengimbangan pengiraan tidak akan membawa kepada pendapat yang salah. Hanya lima kes yang dinamakan mengikut teori boleh menolak sempadan apa yang berlaku. Penyelesaian persamaan pembezaan kami akan membantu anda mengira secara manual nilai dalam nombor yang sudah berada pada peringkat pertama penguraian ruang fungsi. Di tempat yang betul adalah perlu untuk mewakili titik hubungan empat baris dalam makna umum. Tetapi jika anda perlu menggantikan tugas, maka akan mudah untuk menyamakan kerumitan. Data awal adalah mencukupi untuk mereka bentuk kaki bersebelahan dan persamaan pembezaan dalam talian kelihatan sejajar ke kiri dan permukaan adalah sebelah menghala ke arah pemutar vektor. Di atas had atas, nilai berangka melebihi syarat yang ditetapkan adalah mungkin. Adalah mungkin untuk mengambil kira formula matematik dan menyelesaikan persamaan pembezaan dalam talian menggunakan tiga yang tidak diketahui dalam nilai am perkadaran. Kaedah pengiraan tempatan diiktiraf sebagai sah. Sistem koordinat adalah segi empat tepat dalam gerakan relatif satah. Penyelesaian umum persamaan pembezaan dalam talian membolehkan kita membuat kesimpulan dengan jelas yang memihak kepada larian pengiraan melalui takrifan matriks pada keseluruhan garis lurus yang terletak di atas graf fungsi yang dinyatakan secara eksplisit. Penyelesaiannya boleh dilihat dengan jelas jika anda menggunakan vektor gerakan pada titik sentuhan tiga hemisfera. Silinder diperoleh dengan memutarkan segi empat tepat di sekeliling sisi dan persamaan pembezaan linear akan dapat menunjukkan arah gerakan titik mengikut ungkapan yang diberikan bagi hukum gerakannya. Data awal adalah betul dan masalah dalam matematik boleh ditukar ganti di bawah satu keadaan mudah. Walau bagaimanapun, disebabkan oleh keadaan, disebabkan kerumitan subtugas yang dikemukakan, persamaan pembezaan memudahkan proses pengiraan ruang berangka pada tahap ruang tiga dimensi. Ia adalah mudah untuk membuktikan sebaliknya, tetapi ia boleh dielakkan, seperti dalam contoh yang diberikan. Dalam matematik yang lebih tinggi, perkara-perkara berikut disediakan: apabila masalah dikurangkan kepada bentuk yang dipermudahkan, usaha yang paling mungkin daripada pelajar harus digunakan untuknya. Garis bertindih antara satu sama lain diambil kira. Mengenai penyelesaian pembezaan masih meneruskan kelebihan kaedah tersebut pada garis melengkung. Jika anda mula-mula mengenali sesuatu yang bukan apa yang anda perlukan, maka formula matematik akan mencipta makna baharu untuk ungkapan tersebut. Matlamatnya ialah pendekatan optimum untuk menyelesaikan tugasan yang ditetapkan oleh profesor. Anda tidak seharusnya menganggap bahawa persamaan pembezaan linear dalam bentuk yang dipermudahkan akan melebihi hasil yang dijangkakan. Kami meletakkan tiga vektor pada permukaan tersusun terhingga. ortogon antara satu sama lain. Mari kita mengira produk. Mari tambah bilangan simbol yang lebih besar dan tulis semua pembolehubah fungsi daripada ungkapan yang terhasil. Terdapat perkadaran. Beberapa tindakan sebelum pengiraan berakhir tidak akan memberikan jawapan yang jelas kepada penyelesaian persamaan pembezaan serta-merta, tetapi hanya selepas masa yang diperuntukkan telah berlalu di sepanjang paksi-y. Di sebelah kiri titik ketakselanjaran, yang dinyatakan secara tersirat daripada fungsi, kami melukis paksi ortogon kepada vektor peningkatan terbaik dan meletakkan persamaan pembezaan dalam talian di sepanjang nilai sempadan terkecil muka bawah objek matematik. Kami menambahkan hujah tambahan dalam kawasan pemecahan fungsi. Di sebelah kanan titik di mana garis melengkung terletak, formula yang telah kami tulis untuk pengurangan kepada penyebut biasa akan membantu anda menyelesaikan persamaan pembezaan dalam talian. Kami akan mengambil satu-satunya pendekatan yang betul yang akan menjelaskan masalah yang tidak dapat diselesaikan dari teori ke amalan, dalam kes umum dengan jelas. Garis dalam arah koordinat titik yang diberikan tidak pernah menutup kedudukan melampau segi empat sama, tetapi menyelesaikan persamaan pembezaan dalam talian akan membantu pelajar, kami, dan hanya pemula dalam bidang ini dalam mempelajari matematik. Kita bercakap tentang kemungkinan menggantikan argumen nilai ke dalam semua baris penting satu medan. Pada dasarnya, seperti yang dijangkakan, persamaan pembezaan linear kami adalah sesuatu yang diasingkan ke dalam satu konsep makna yang diberikan. Untuk membantu pelajar, salah satu kalkulator terbaik di kalangan perkhidmatan yang serupa. Ambil semua kursus dan pilih yang terbaik untuk diri sendiri.

Mari kita ingat tugas yang dihadapi kita apabila mencari kamiran pasti:

atau dy = f(x)dx. Penyelesaiannya:

dan ia datang kepada pengiraan kamiran tak tentu. Dalam amalan, tugas yang lebih kompleks lebih kerap dihadapi: mencari fungsi y, jika diketahui bahawa ia memenuhi hubungan bentuk

Hubungan ini mengaitkan pembolehubah bebas x, fungsi tidak diketahui y dan derivatifnya sehingga tertib n inklusif, dipanggil .

Persamaan pembezaan termasuk fungsi di bawah tanda derivatif (atau pembezaan) bagi satu susunan atau yang lain. Susunan tertinggi dipanggil susunan (9.1) .

Persamaan pembezaan:

- Susunan pertama,

Pesanan kedua

- pesanan kelima, dsb.

Fungsi yang memenuhi persamaan pembezaan tertentu dipanggil penyelesaiannya , atau integral . Menyelesaikannya bermakna mencari semua penyelesaiannya. Jika untuk fungsi yang diperlukan y berjaya mendapatkan formula yang memberikan semua penyelesaian, maka kami mengatakan bahawa kami telah menemui penyelesaian umumnya , atau kamiran am .

Keputusan bersama mengandungi n pemalar sewenang-wenangnya dan kelihatan seperti

Jika hubungan diperolehi yang berkaitan x, y Dan n pemalar sewenang-wenangnya, dalam bentuk yang tidak dibenarkan berkenaan dengan y -

maka hubungan sedemikian dipanggil kamiran am bagi persamaan (9.1).

Masalah cauchy

Setiap penyelesaian khusus, iaitu, setiap fungsi khusus yang memenuhi persamaan pembezaan tertentu dan tidak bergantung pada pemalar arbitrari, dipanggil penyelesaian tertentu. , atau kamiran separa. Untuk mendapatkan penyelesaian tertentu (kamiran) daripada yang umum, pemalar mesti diberi nilai berangka tertentu.

Graf penyelesaian tertentu dipanggil lengkung kamiran. Penyelesaian umum, yang mengandungi semua penyelesaian separa, ialah keluarga lengkung kamiran. Untuk persamaan tertib pertama keluarga ini bergantung pada satu pemalar arbitrari, untuk persamaan n-perintah ke- - daripada n pemalar sewenang-wenangnya.

Masalah Cauchy adalah untuk mencari penyelesaian tertentu untuk persamaan n-pesanan ke-, memuaskan n keadaan awal:

yang mana n pemalar c 1, c 2,..., c n ditentukan.

Persamaan pembezaan tertib pertama

Untuk persamaan pembezaan tertib pertama yang tidak dapat diselesaikan berkenaan dengan terbitan, ia mempunyai bentuk

atau untuk yang dibenarkan secara relatif

Contoh 3.46. Cari penyelesaian umum bagi persamaan tersebut

Penyelesaian. Mengintegrasikan, kita dapat

di mana C ialah pemalar arbitrari. Jika kita memberikan nilai berangka tertentu kepada C, kita memperoleh penyelesaian tertentu, contohnya,

Contoh 3.47. Pertimbangkan peningkatan jumlah wang yang didepositkan dalam bank tertakluk kepada akruan 100 r faedah kompaun setahun. Biarkan Yo menjadi jumlah awal wang, dan Yx - pada akhirnya x tahun. Kalau dikira faedah setahun sekali, kita dapat

di mana x = 0, 1, 2, 3,.... Apabila faedah dikira dua kali setahun, kita dapat

di mana x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Apabila mengira faedah n setahun sekali dan jika x mengambil nilai berurutan 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., kemudian

Tentukan 1/n = h, maka kesamaan sebelumnya akan kelihatan seperti:

Dengan pembesaran tanpa had n(pada ) dalam had kita datang kepada proses meningkatkan jumlah wang dengan faedah akruan berterusan:

Maka jelaslah bahawa dengan perubahan yang berterusan x hukum perubahan dalam penawaran wang dinyatakan dengan persamaan pembezaan tertib pertama. Di mana Y x ialah fungsi yang tidak diketahui, x- pembolehubah bebas, r- malar. Mari kita selesaikan persamaan ini, untuk melakukan ini kita tulis semula seperti berikut:

di mana , atau , di mana P menandakan e C .

Daripada keadaan awal Y(0) = Yo, kita dapati P: Yo = Pe o, dari mana, Yo = P. Oleh itu, penyelesaiannya mempunyai bentuk:

Mari kita pertimbangkan masalah ekonomi kedua. Model makroekonomi juga diterangkan oleh persamaan pembezaan linear tertib pertama, menerangkan perubahan dalam pendapatan atau keluaran Y sebagai fungsi masa.

Contoh 3.48. Biarkan pendapatan negara Y meningkat pada kadar yang berkadar dengan nilainya:

dan biarkan defisit dalam perbelanjaan kerajaan berkadar terus dengan pendapatan Y dengan pekali perkadaran q. Defisit perbelanjaan membawa kepada peningkatan hutang negara D:

Keadaan awal Y = Yo dan D = Lakukan pada t = 0. Daripada persamaan pertama Y= Yoe kt. Menggantikan Y kita mendapat dD/dt = qYoe kt . Penyelesaian umum mempunyai bentuk
D = (q/ k) Yoe kt +С, di mana С = const, yang ditentukan daripada keadaan awal. Menggantikan keadaan awal, kita mendapat Do = (q/ k)Yo + C. Jadi, akhirnya,

D = Do +(q/ k)Yo (e kt -1),

ini menunjukkan bahawa hutang negara meningkat pada kadar relatif yang sama k, sama dengan pendapatan negara.

Mari kita pertimbangkan persamaan pembezaan yang paling mudah n tertib ke-, ini adalah persamaan bentuk

Penyelesaian amnya boleh didapati menggunakan n kali integrasi.

Contoh 3.49. Pertimbangkan contoh y """ = cos x.

Penyelesaian. Mengintegrasikan, kami dapati

Penyelesaian umum mempunyai bentuk

Persamaan pembezaan linear

Ia digunakan secara meluas dalam ekonomi; mari kita pertimbangkan untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Jika (9.1) mempunyai bentuk:

maka ia dipanggil linear, di mana рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) diberi fungsi. Jika f(x) = 0, maka (9.2) dipanggil homogen, jika tidak ia dipanggil tidak homogen. Penyelesaian umum persamaan (9.2) adalah sama dengan hasil tambah mana-mana penyelesaian tertentu y(x) dan penyelesaian umum persamaan homogen yang sepadan dengannya:

Jika pekali р o (x), р 1 (x),..., р n (x) adalah malar, maka (9.2)

(9.4) dipanggil persamaan pembezaan linear dengan pekali tertib yang tetap n .

Untuk (9.4) mempunyai bentuk:

Tanpa kehilangan keluasan, kita boleh menetapkan p o = 1 dan menulis (9.5) dalam bentuk

Kita akan mencari penyelesaian (9.6) dalam bentuk y = e kx, dengan k ialah pemalar. Kami ada: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Menggantikan ungkapan yang terhasil kepada (9.6), kita akan mempunyai:

(9.7) ialah persamaan algebra, yang tidak diketahui ialah k, ia dipanggil ciri. Persamaan ciri mempunyai darjah n Dan n akar, di antaranya terdapat berbilang dan kompleks. Biarkan k 1 , k 2 ,..., k n nyata dan berbeza, kemudian - penyelesaian khusus (9.7), dan umum

Pertimbangkan persamaan pembezaan tertib kedua homogen linear dengan pekali malar:

Persamaan cirinya mempunyai bentuk

(9.9)

diskriminasinya D = p 2 - 4q, bergantung pada tanda D, tiga kes adalah mungkin.

1. Jika D>0, maka akar k 1 dan k 2 (9.9) adalah nyata dan berbeza, dan penyelesaian umum mempunyai bentuk:

Penyelesaian. Persamaan ciri: k 2 + 9 = 0, dari mana k = ± 3i, a = 0, b = 3, penyelesaian am mempunyai bentuk:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Persamaan pembezaan linear tertib ke-2 digunakan apabila mengkaji model ekonomi jenis web dengan inventori barangan, di mana kadar perubahan harga P bergantung pada saiz inventori (lihat perenggan 10). Jika penawaran dan permintaan ialah fungsi linear harga, iaitu

a ialah pemalar yang menentukan kadar tindak balas, maka proses perubahan harga diterangkan oleh persamaan pembezaan:

Untuk penyelesaian tertentu kita boleh mengambil pemalar

harga keseimbangan yang bermakna. penyelewengan memenuhi persamaan homogen

(9.10)

Persamaan ciri adalah seperti berikut:

Sekiranya istilah itu positif. Mari kita nyatakan . Punca-punca persamaan ciri k 1,2 = ± i w, oleh itu penyelesaian am (9.10) mempunyai bentuk:

di mana C dan adalah pemalar arbitrari, ia ditentukan daripada keadaan awal. Kami memperoleh undang-undang perubahan harga dari semasa ke semasa:

Masukkan persamaan pembezaan anda, apostroa "" digunakan untuk memasukkan derivatif, tekan hantar untuk mendapatkan penyelesaian

Sama ada telah diselesaikan berkenaan dengan terbitan, atau mereka boleh diselesaikan berkenaan dengan terbitan .

Penyelesaian am bagi persamaan pembezaan jenis pada selang X, yang diberikan, boleh didapati dengan mengambil kamiran kedua-dua belah kesamaan ini.

Kita mendapatkan .

Jika kita melihat sifat-sifat kamiran tak tentu, kita dapati penyelesaian umum yang dikehendaki:

y = F(x) + C,

di mana F(x)- salah satu fungsi primitif f(x) di antara X, A DENGAN- pemalar sewenang-wenangnya.

Sila ambil perhatian bahawa dalam kebanyakan masalah selang X jangan tunjuk. Ini bermakna bahawa penyelesaian mesti dicari untuk semua orang. x, yang mana dan fungsi yang diingini y, dan persamaan asal masuk akal.

Jika anda perlu mengira penyelesaian tertentu kepada persamaan pembezaan yang memenuhi syarat awal y(x 0) = y 0, kemudian selepas mengira kamiran am y = F(x) + C, ia masih perlu untuk menentukan nilai pemalar C = C 0, menggunakan syarat awal. Iaitu, pemalar C = C 0 ditentukan daripada persamaan F(x 0) + C = y 0, dan penyelesaian separa yang dikehendaki bagi persamaan pembezaan akan mengambil bentuk:

y = F(x) + C 0.

Mari lihat contoh:

Mari cari penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan dan semak ketepatan hasilnya. Mari kita cari penyelesaian tertentu kepada persamaan ini yang akan memenuhi syarat awal.

Penyelesaian:

Selepas kami mengintegrasikan persamaan pembezaan yang diberikan, kami mendapat:

Mari kita ambil kamiran ini menggunakan kaedah penyepaduan mengikut bahagian:

itu., ialah penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan.

Untuk memastikan keputusannya betul, mari kita buat semakan. Untuk melakukan ini, kami menggantikan penyelesaian yang kami temui ke dalam persamaan yang diberikan:

Iaitu, apabila persamaan asal bertukar menjadi identiti:

oleh itu, penyelesaian am bagi persamaan pembezaan ditentukan dengan betul.

Penyelesaian yang kami temui ialah penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan untuk setiap nilai sebenar hujah x.

Ia kekal untuk mengira penyelesaian tertentu kepada ODE yang akan memenuhi syarat awal. Dalam erti kata lain, adalah perlu untuk mengira nilai pemalar DENGAN, di mana kesamaan akan menjadi benar:

Kemudian, menggantikan C = 2 ke dalam penyelesaian umum ODE, kita memperoleh penyelesaian tertentu bagi persamaan pembezaan yang memenuhi syarat awal:

Persamaan pembezaan biasa boleh diselesaikan untuk terbitan dengan membahagikan 2 sisi persamaan dengan f(x). Transformasi ini akan menjadi setara jika f(x) tidak bertukar kepada sifar dalam apa jua keadaan x daripada selang penyepaduan persamaan pembezaan X.

Terdapat kemungkinan situasi apabila, untuk beberapa nilai hujah x ∈ X fungsi f(x) Dan g(x) serentak menjadi sifar. Untuk nilai yang serupa x penyelesaian umum persamaan pembezaan ialah sebarang fungsi y, yang ditakrifkan dalam mereka, kerana .

Jika untuk beberapa nilai hujah x ∈ X syaratnya berpuas hati, yang bermaksud bahawa dalam kes ini ODE tidak mempunyai penyelesaian.

Untuk orang lain x daripada selang X penyelesaian umum persamaan pembezaan ditentukan daripada persamaan yang diubah.

Mari lihat contoh:

Contoh 1.

Mari cari penyelesaian umum untuk ODE: .

Penyelesaian.

Daripada sifat-sifat fungsi asas asas adalah jelas bahawa fungsi logaritma semula jadi ditakrifkan untuk nilai bukan-negatif hujah, oleh itu domain definisi ungkapan ln(x+3) terdapat selang x > -3 . Ini bermakna persamaan pembezaan yang diberikan masuk akal untuk x > -3 . Untuk nilai hujah ini, ungkapan x+3 tidak hilang, jadi anda boleh menyelesaikan ODE untuk terbitan dengan membahagikan 2 bahagian dengan x + 3.

Kita mendapatkan .

Seterusnya, kami menyepadukan persamaan pembezaan yang terhasil, diselesaikan berkenaan dengan derivatif: . Untuk mengambil kamiran ini, kami menggunakan kaedah memasukkannya di bawah tanda pembezaan.

Persamaan pembezaan tertib pertama diselesaikan berkenaan dengan terbitan

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan pembezaan tertib pertama

Marilah kita mempunyai persamaan pembezaan tertib pertama diselesaikan berkenaan dengan derivatif:
.
Membahagikan persamaan ini dengan , dengan , kita mendapat persamaan bentuk:
,
mana .

Seterusnya, kita melihat sama ada persamaan ini tergolong dalam salah satu jenis yang disenaraikan di bawah. Jika tidak, maka kita akan menulis semula persamaan dalam bentuk pembezaan. Untuk melakukan ini, kami menulis dan mendarabkan persamaan dengan . Kami memperoleh persamaan dalam bentuk pembezaan:
.

Jika persamaan ini bukan persamaan pembezaan jumlah, maka kami menganggap bahawa dalam persamaan ini ialah pembolehubah bebas, dan merupakan fungsi . Bahagikan persamaan dengan:
.
Seterusnya, kami melihat untuk melihat sama ada persamaan ini tergolong dalam salah satu jenis yang disenaraikan di bawah, dengan mengambil kira bahawa kami telah bertukar tempat.

Jika jenis tidak ditemui untuk persamaan ini, maka kita melihat sama ada ia adalah mungkin untuk memudahkan persamaan dengan penggantian mudah. Sebagai contoh, jika persamaannya ialah:
,
maka kita perasan bahawa . Kemudian kita buat penggantian. Selepas ini, persamaan akan mengambil bentuk yang lebih mudah:
.

Jika ini tidak membantu, maka kami cuba mencari faktor penyepaduan.

Persamaan boleh dipisahkan

;
.
Bahagikan mengikut dan sepadukan. Apabila kita mendapat:
.

Persamaan mengurangkan kepada persamaan boleh dipisahkan

Persamaan homogen

Kami menyelesaikan dengan penggantian:
,
di manakah fungsi . Kemudian
;
.
Kami memisahkan pembolehubah dan menyepadukan.

Persamaan dikurangkan kepada homogen

Masukkan pembolehubah dan:
;
.
Kami memilih pemalar dan supaya istilah bebas hilang:
;
.
Hasilnya, kita memperoleh persamaan homogen dalam pembolehubah dan .

Persamaan homogen umum

Mari buat penggantian. Kami memperoleh persamaan homogen dalam pembolehubah dan .

Persamaan pembezaan linear

Terdapat tiga kaedah untuk menyelesaikan persamaan linear.

2) Kaedah Bernoulli.
Kami sedang mencari penyelesaian dalam bentuk produk dua fungsi dan pembolehubah:
.
;
.
Kita boleh memilih salah satu fungsi ini sewenang-wenangnya. Oleh itu, kami memilih mana-mana penyelesaian bukan sifar persamaan sebagai:
.

3) Kaedah variasi pemalar (Lagrange).
Di sini kita terlebih dahulu menyelesaikan persamaan homogen:

Penyelesaian umum persamaan homogen mempunyai bentuk:
,
di mana adalah pemalar. Seterusnya, kami menggantikan pemalar dengan fungsi yang bergantung pada pembolehubah:
.
Gantikan ke dalam persamaan asal. Akibatnya, kita memperoleh persamaan yang daripadanya kita tentukan .

Persamaan Bernoulli

Dengan penggantian, persamaan Bernoulli dikurangkan kepada persamaan linear.

Persamaan ini juga boleh diselesaikan menggunakan kaedah Bernoulli. Iaitu, kami sedang mencari penyelesaian dalam bentuk produk dua fungsi bergantung kepada pembolehubah:
.
Gantikan ke dalam persamaan asal:
;
.
Kami memilih mana-mana penyelesaian bukan sifar persamaan sebagai:
.
Setelah menentukan , kita memperoleh persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan untuk .

Persamaan Riccati

Ia tidak boleh diselesaikan dalam bentuk umum. Penggantian

Persamaan Riccati dikurangkan kepada bentuk:
,
di manakah pemalar; ; .
Seterusnya, dengan penggantian:

ia dikurangkan kepada bentuk:
,
mana .

Sifat persamaan Riccati dan beberapa kes khas penyelesaiannya dibentangkan pada halaman
Persamaan pembezaan Riccati >>>

persamaan Jacobi

Selesaikan dengan penggantian:
.

Persamaan dalam jumlah pembezaan

Memandangkan itu
.
Jika syarat ini dipenuhi, ungkapan di sebelah kiri kesamaan ialah pembezaan beberapa fungsi:
.
Kemudian
.
Dari sini kita memperoleh kamiran persamaan pembezaan:
.

Untuk mencari fungsi, cara yang paling mudah ialah kaedah pengekstrakan pembezaan berjujukan. Untuk melakukan ini, gunakan formula:
;
;
;
.

Faktor penyepaduan

Jika persamaan pembezaan tertib pertama tidak boleh dikurangkan kepada mana-mana jenis yang disenaraikan, maka anda boleh cuba mencari faktor penyepaduan. Faktor penyepaduan ialah fungsi, apabila didarab dengannya, persamaan pembezaan menjadi persamaan dalam jumlah pembezaan. Persamaan pembezaan tertib pertama mempunyai bilangan faktor penyepaduan yang tidak terhingga. Walau bagaimanapun, tiada kaedah umum untuk mencari faktor penyepaduan.

Persamaan tidak diselesaikan untuk terbitan y"

Persamaan yang boleh diselesaikan berkenaan dengan terbitan y"

Mula-mula anda perlu cuba menyelesaikan persamaan berkenaan dengan derivatif. Jika boleh, persamaan boleh dikurangkan kepada salah satu jenis yang disenaraikan di atas.

Persamaan yang boleh difaktorkan

Jika anda boleh memfaktorkan persamaan:
,
maka masalah itu dikurangkan kepada penyelesaian secara berurutan persamaan yang lebih mudah:
;
;

;
. Kami percaya. Kemudian
atau .
Seterusnya kita mengintegrasikan persamaan:
;
.
Akibatnya, kita memperoleh ungkapan pembolehubah kedua melalui parameter.

Persamaan yang lebih umum:
atau
juga diselesaikan dalam bentuk parametrik. Untuk melakukan ini, anda perlu memilih fungsi supaya daripada persamaan asal anda boleh menyatakan atau melalui parameter.
Untuk menyatakan pembolehubah kedua melalui parameter, kami menyepadukan persamaan:
;
.

Persamaan diselesaikan untuk y

Persamaan Clairaut

Persamaan ini mempunyai penyelesaian umum

Persamaan Lagrange

Kami sedang mencari penyelesaian dalam bentuk parametrik. Kami menganggap di mana parameter.

Persamaan yang membawa kepada persamaan Bernoulli

Persamaan ini dikurangkan kepada persamaan Bernoulli jika kita mencari penyelesaiannya dalam bentuk parametrik dengan memperkenalkan parameter dan membuat penggantian.

Rujukan:
V.V. Stepanov, Kursus persamaan pembezaan, "LKI", 2015.
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Koleksi masalah dalam matematik yang lebih tinggi, "Lan", 2003.

Saya fikir kita harus bermula dengan sejarah alat matematik yang mulia seperti persamaan pembezaan. Seperti semua kalkulus pembezaan dan kamiran, persamaan ini dicipta oleh Newton pada akhir abad ke-17. Dia menganggap penemuannya ini sangat penting sehingga dia menyulitkan mesej, yang hari ini boleh diterjemahkan seperti ini: "Semua undang-undang alam diterangkan oleh persamaan pembezaan." Ini mungkin kelihatan seperti keterlaluan, tetapi ia adalah benar. Mana-mana undang-undang fizik, kimia, biologi boleh diterangkan oleh persamaan ini.

Ahli matematik Euler dan Lagrange memberi sumbangan besar kepada pembangunan dan penciptaan teori persamaan pembezaan. Sudah pada abad ke-18 mereka menemui dan membangunkan apa yang mereka pelajari sekarang dalam kursus universiti senior.

Satu pencapaian baru dalam kajian persamaan pembezaan bermula berkat Henri Poincaré. Dia mencipta "teori kualitatif persamaan pembezaan", yang, digabungkan dengan teori fungsi pembolehubah kompleks, memberikan sumbangan penting kepada asas topologi - sains ruang dan sifatnya.

Apakah persamaan pembezaan?

Ramai orang takut dengan satu frasa.Namun, dalam artikel ini kami akan menggariskan secara terperinci keseluruhan intipati alat matematik yang sangat berguna ini, yang sebenarnya tidak rumit seperti yang kelihatan dari namanya. Untuk mula bercakap tentang persamaan pembezaan tertib pertama, anda harus terlebih dahulu membiasakan diri dengan konsep asas yang secara semula jadi dikaitkan dengan definisi ini. Dan kita akan mulakan dengan pembezaan.

Berbeza

Ramai orang telah mengenali konsep ini sejak di bangku sekolah lagi. Walau bagaimanapun, mari kita lihat dengan lebih dekat. Bayangkan graf bagi suatu fungsi. Kita boleh meningkatkannya sehingga mana-mana segmennya akan berbentuk garis lurus. Mari kita ambil dua mata di atasnya yang hampir tidak terhingga antara satu sama lain. Perbezaan antara koordinat mereka (x atau y) akan menjadi sangat kecil. Ia dipanggil pembezaan dan dilambangkan dengan tanda dy (pembezaan y) dan dx (pembezaan x). Adalah sangat penting untuk memahami bahawa pembezaan bukanlah kuantiti terhingga, dan ini adalah makna dan fungsi utamanya.

Sekarang kita perlu mempertimbangkan elemen seterusnya, yang akan berguna kepada kita dalam menerangkan konsep persamaan pembezaan. Ini adalah derivatif.

Derivatif

Kita semua mungkin pernah mendengar konsep ini di sekolah. Derivatif dikatakan sebagai kadar di mana fungsi bertambah atau berkurang. Walau bagaimanapun, dari definisi ini banyak yang menjadi tidak jelas. Mari kita cuba menerangkan terbitan melalui pembezaan. Mari kita kembali ke segmen tak terhingga fungsi dengan dua titik yang berada pada jarak minimum antara satu sama lain. Tetapi walaupun dalam jarak ini fungsi berjaya berubah dengan beberapa jumlah. Dan untuk menerangkan perubahan ini, mereka menghasilkan derivatif, yang sebaliknya boleh ditulis sebagai nisbah pembezaan: f(x)"=df/dx.

Kini ia patut mempertimbangkan sifat asas derivatif. Terdapat hanya tiga daripada mereka:

Derivatif bagi jumlah atau perbezaan boleh diwakili sebagai jumlah atau perbezaan derivatif: (a+b)"=a"+b" dan (a-b)"=a"-b".
Sifat kedua berkaitan dengan pendaraban. Terbitan hasil darab ialah hasil tambah hasil satu fungsi dan terbitan satu lagi: (a*b)"=a"*b+a*b".
Terbitan perbezaan boleh ditulis sebagai kesamaan berikut: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Semua sifat ini akan berguna kepada kita untuk mencari penyelesaian kepada persamaan pembezaan tertib pertama.

Terdapat juga terbitan separa. Katakan kita mempunyai fungsi z yang bergantung kepada pembolehubah x dan y. Untuk mengira terbitan separa bagi fungsi ini, katakan, berkenaan dengan x, kita perlu mengambil pembolehubah y sebagai pemalar dan hanya membezakan.

kamiran

Satu lagi konsep penting adalah integral. Sebenarnya, ini adalah bertentangan dengan derivatif. Terdapat beberapa jenis kamiran, tetapi untuk menyelesaikan persamaan pembezaan yang paling mudah, kita memerlukan yang paling remeh.

Jadi, katakan kita mempunyai sedikit pergantungan f pada x. Kami mengambil kamiran daripadanya dan mendapatkan fungsi F(x) (sering dipanggil antiterbitan), terbitan yang sama dengan fungsi asal. Oleh itu F(x)"=f(x). Ia juga mengikuti kamiran terbitan adalah sama dengan fungsi asal.

Apabila menyelesaikan persamaan pembezaan, adalah sangat penting untuk memahami maksud dan fungsi kamiran, kerana anda perlu mengambilnya dengan kerap untuk mencari penyelesaiannya.

Persamaan berbeza bergantung pada sifatnya. Dalam bahagian seterusnya, kita akan melihat jenis persamaan pembezaan tertib pertama, dan kemudian mempelajari cara menyelesaikannya.

Kelas persamaan pembezaan

"Diffurs" dibahagikan mengikut susunan derivatif yang terlibat di dalamnya. Oleh itu terdapat urutan pertama, kedua, ketiga dan lebih. Mereka juga boleh dibahagikan kepada beberapa kelas: terbitan biasa dan separa.

Dalam artikel ini kita akan melihat persamaan pembezaan biasa tertib pertama. Kami juga akan membincangkan contoh dan cara untuk menyelesaikannya dalam bahagian berikut. Kami akan mempertimbangkan hanya ODE, kerana ini adalah jenis persamaan yang paling biasa. Yang biasa dibahagikan kepada subspesies: dengan pembolehubah yang boleh dipisahkan, homogen dan heterogen. Seterusnya, anda akan belajar bagaimana ia berbeza antara satu sama lain dan belajar bagaimana untuk menyelesaikannya.

Di samping itu, persamaan ini boleh digabungkan supaya kita berakhir dengan sistem persamaan pembezaan tertib pertama. Kami juga akan mempertimbangkan sistem sedemikian dan belajar cara menyelesaikannya.

Mengapa kita hanya mempertimbangkan pesanan pertama? Kerana anda perlu bermula dengan sesuatu yang mudah, dan adalah mustahil untuk menerangkan segala-galanya yang berkaitan dengan persamaan pembezaan dalam satu artikel.

Persamaan boleh dipisahkan

Ini mungkin persamaan pembezaan tertib pertama yang paling mudah. Ini termasuk contoh yang boleh ditulis seperti berikut: y"=f(x)*f(y). Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita memerlukan formula untuk mewakili derivatif sebagai nisbah pembezaan: y"=dy/dx. Menggunakannya kita mendapat persamaan berikut: dy/dx=f(x)*f(y). Sekarang kita boleh beralih kepada kaedah untuk menyelesaikan contoh standard: kita akan membahagikan pembolehubah kepada bahagian, iaitu, kita akan mengalihkan segala-galanya dengan pembolehubah y ke bahagian di mana dy terletak, dan melakukan perkara yang sama dengan pembolehubah x. Kami memperoleh persamaan bentuk: dy/f(y)=f(x)dx, yang diselesaikan dengan mengambil kamiran daripada kedua-dua belah. Jangan lupa tentang pemalar yang perlu ditetapkan selepas mengambil kamiran.

Penyelesaian kepada sebarang "perbezaan" ialah fungsi pergantungan x pada y (dalam kes kami) atau, jika keadaan berangka hadir, maka jawapannya dalam bentuk nombor. Mari kita lihat keseluruhan proses penyelesaian menggunakan contoh khusus:

Mari kita alihkan pembolehubah ke arah yang berbeza:

Sekarang mari kita ambil kamiran. Kesemuanya boleh didapati dalam jadual kamiran khas. Dan kami mendapat:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Jika perlu, kita boleh menyatakan "y" sebagai fungsi "x". Sekarang kita boleh mengatakan bahawa persamaan pembezaan kita diselesaikan jika keadaan tidak ditentukan. Sesuatu keadaan boleh ditentukan, contohnya, y(n/2)=e. Kemudian kita hanya menggantikan nilai pembolehubah ini ke dalam penyelesaian dan mencari nilai pemalar. Dalam contoh kami ialah 1.

Persamaan pembezaan homogen tertib pertama

Sekarang mari kita beralih ke bahagian yang lebih sukar. Persamaan pembezaan homogen tertib pertama boleh ditulis dalam bentuk umum seperti berikut: y"=z(x,y). Perlu diingatkan bahawa fungsi tangan kanan dua pembolehubah adalah homogen, dan ia tidak boleh dibahagikan kepada dua kebergantungan : z pada x dan z pada y. Semak , sama ada persamaan itu homogen atau tidak agak mudah: kita buat penggantian x=k*x dan y=k*y. Sekarang kita batalkan semua k. Jika semua huruf ini dibatalkan , maka persamaannya adalah homogen dan anda boleh mula menyelesaikannya dengan selamat. Memandang ke hadapan , katakan: prinsip menyelesaikan contoh ini juga sangat mudah.

Kita perlu membuat penggantian: y=t(x)*x, dengan t ialah fungsi tertentu yang juga bergantung kepada x. Kemudian kita boleh menyatakan terbitan: y"=t"(x)*x+t. Menggantikan semua ini ke dalam persamaan asal kami dan memudahkannya, kami mendapat contoh dengan pembolehubah boleh dipisahkan t dan x. Kami menyelesaikannya dan mendapatkan pergantungan t(x). Apabila kami menerimanya, kami hanya menggantikan y=t(x)*x ke dalam penggantian kami yang terdahulu. Kemudian kita mendapat pergantungan y pada x.

Untuk menjadikannya lebih jelas, mari lihat contoh: x*y"=y-x*e y/x .

Apabila menyemak dengan penggantian, semuanya berkurangan. Ini bermakna persamaan itu benar-benar homogen. Sekarang kita buat penggantian lain yang kita bincangkan: y=t(x)*x dan y"=t"(x)*x+t(x). Selepas dipermudahkan, kami memperoleh persamaan berikut: t"(x)*x=-e t. Kami menyelesaikan contoh yang terhasil dengan pembolehubah yang dipisahkan dan mendapat: e -t =ln(C*x). Apa yang perlu kita lakukan ialah menggantikan t dengan y/x (lagipun, jika y =t*x, maka t=y/x), dan kita mendapat jawapan: e -y/x =ln(x*C).

Persamaan pembezaan linear bagi urutan pertama

Sudah tiba masanya untuk melihat satu lagi topik yang luas. Kami akan menganalisis persamaan pembezaan tak homogen tertib pertama. Bagaimanakah mereka berbeza daripada dua sebelumnya? Mari kita fikirkan. Persamaan pembezaan linear tertib pertama dalam bentuk umum boleh ditulis seperti berikut: y" + g(x)*y=z(x). Perlu dijelaskan bahawa z(x) dan g(x) boleh menjadi kuantiti tetap.

Dan sekarang contoh: y" - y*x=x 2 .

Terdapat dua penyelesaian, dan kami akan melihat kedua-duanya mengikut urutan. Yang pertama ialah kaedah mengubah pemalar sewenang-wenangnya.

Untuk menyelesaikan persamaan dengan cara ini, anda mesti terlebih dahulu menyamakan bahagian kanan dengan sifar dan menyelesaikan persamaan yang terhasil, yang, selepas memindahkan bahagian, akan mengambil bentuk:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .

Sekarang kita perlu menggantikan pemalar C 1 dengan fungsi v(x), yang perlu kita cari.

Mari kita gantikan derivatif:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Dan gantikan ungkapan ini ke dalam persamaan asal:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Anda boleh melihat bahawa di sebelah kiri dua istilah membatalkan. Jika dalam beberapa contoh ini tidak berlaku, maka anda melakukan sesuatu yang salah. Jom sambung:

v"*e x2/2 = x 2 .

Sekarang kita menyelesaikan persamaan biasa di mana kita perlu memisahkan pembolehubah:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Untuk mengekstrak kamiran, kami perlu menggunakan penyepaduan mengikut bahagian di sini. Walau bagaimanapun, ini bukan topik artikel kami. Jika anda berminat, anda boleh belajar cara melakukan tindakan sedemikian sendiri. Ia tidak sukar, dan dengan kemahiran dan penjagaan yang mencukupi ia tidak mengambil banyak masa.

Mari kita beralih kepada kaedah kedua untuk menyelesaikan persamaan tidak homogen: kaedah Bernoulli. Pendekatan mana yang lebih cepat dan lebih mudah terpulang kepada anda untuk membuat keputusan.

Jadi, apabila menyelesaikan persamaan menggunakan kaedah ini, kita perlu membuat penggantian: y=k*n. Di sini k dan n ialah beberapa fungsi yang bergantung kepada x. Kemudian terbitan akan kelihatan seperti ini: y"=k"*n+k*n". Kami menggantikan kedua-dua penggantian ke dalam persamaan:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Pengelompokan:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Sekarang kita perlu samakan dengan sifar apa yang ada dalam kurungan. Sekarang, jika kita menggabungkan dua persamaan yang terhasil, kita mendapat sistem persamaan pembezaan tertib pertama yang perlu diselesaikan:

Kami menyelesaikan kesamaan pertama sebagai persamaan biasa. Untuk melakukan ini, anda perlu memisahkan pembolehubah:

Kami mengambil kamiran dan mendapat: ln(n)=x 2 /2. Kemudian, jika kita menyatakan n:

Sekarang kita menggantikan kesamaan yang terhasil ke dalam persamaan kedua sistem:

k"*e x2/2 =x 2 .

Dan mengubah, kita mendapat kesamaan yang sama seperti dalam kaedah pertama:

dk=x 2 /e x2/2 .

Kami juga tidak akan membincangkan tindakan selanjutnya. Perlu dikatakan bahawa pada mulanya menyelesaikan persamaan pembezaan tertib pertama menyebabkan kesukaran yang ketara. Walau bagaimanapun, apabila anda mendalami topik itu, ia mula berfungsi dengan lebih baik dan lebih baik.

Di manakah persamaan pembezaan digunakan?

Persamaan pembezaan digunakan dengan sangat aktif dalam fizik, kerana hampir semua undang-undang asas ditulis dalam bentuk pembezaan, dan formula yang kita lihat adalah penyelesaian kepada persamaan ini. Dalam kimia ia digunakan untuk alasan yang sama: undang-undang asas diperoleh dengan bantuan mereka. Dalam biologi, persamaan pembezaan digunakan untuk memodelkan tingkah laku sistem, seperti pemangsa dan mangsa. Ia juga boleh digunakan untuk mencipta model pembiakan, katakan, koloni mikroorganisma.

Bagaimanakah persamaan pembezaan boleh membantu anda dalam kehidupan?

Jawapan kepada soalan ini adalah mudah: tidak sama sekali. Jika anda bukan seorang saintis atau jurutera, maka mereka tidak mungkin berguna kepada anda. Walau bagaimanapun, untuk pembangunan umum tidak ada salahnya untuk mengetahui apakah persamaan pembezaan dan bagaimana ia diselesaikan. Dan kemudian soalan anak lelaki atau perempuan ialah "apakah persamaan pembezaan?" tidak akan mengelirukan anda. Nah, jika anda seorang saintis atau jurutera, maka anda sendiri memahami kepentingan topik ini dalam mana-mana sains. Tetapi perkara yang paling penting ialah sekarang soalan "bagaimana untuk menyelesaikan persamaan pembezaan tertib pertama?" anda sentiasa boleh memberi jawapan. Setuju, ia sentiasa bagus apabila anda memahami sesuatu yang orang takut untuk memahaminya.

Masalah utama dalam belajar

Masalah utama dalam memahami topik ini ialah kemahiran yang lemah dalam mengintegrasikan dan membezakan fungsi. Sekiranya anda tidak mahir dalam derivatif dan kamiran, maka ia mungkin bernilai mempelajari lebih lanjut, menguasai kaedah penyepaduan dan pembezaan yang berbeza, dan barulah mula mengkaji bahan yang diterangkan dalam artikel.

Sesetengah orang terkejut apabila mereka mengetahui bahawa dx boleh dibawa, kerana sebelum ini (di sekolah) dinyatakan bahawa pecahan dy/dx tidak boleh dibahagikan. Di sini anda perlu membaca literatur tentang terbitan dan memahami bahawa ia adalah nisbah kuantiti tak terhingga yang boleh dimanipulasi semasa menyelesaikan persamaan.

Ramai orang tidak segera menyedari bahawa menyelesaikan persamaan pembezaan tertib pertama selalunya merupakan fungsi atau kamiran yang tidak boleh diambil, dan salah tanggapan ini memberi mereka banyak masalah.

Apa lagi yang boleh anda pelajari untuk pemahaman yang lebih baik?

Adalah lebih baik untuk memulakan rendaman lebih lanjut dalam dunia kalkulus pembezaan dengan buku teks khusus, contohnya, mengenai analisis matematik untuk pelajar kepakaran bukan matematik. Kemudian anda boleh beralih kepada kesusasteraan yang lebih khusus.

Perlu dikatakan bahawa, sebagai tambahan kepada persamaan pembezaan, terdapat juga persamaan kamiran, jadi anda akan sentiasa mempunyai sesuatu untuk diusahakan dan sesuatu untuk dipelajari.

Kesimpulan

Kami berharap selepas membaca artikel ini anda mempunyai idea tentang persamaan pembezaan dan cara menyelesaikannya dengan betul.

Walau apa pun, matematik akan berguna kepada kita dalam kehidupan dalam beberapa cara. Ia membangunkan logik dan perhatian, tanpanya setiap orang tanpa tangan.