Wat zijn extrema van een functie: kritische punten van maximum en minimum. Functie uitersten

Deze ongelijkheden tot het uiterste doorgeven als Δ x→ 0 en rekening houdend met het feit dat de afgeleide f "(x 0) bestaat, en daarom hangt de limiet aan de linkerkant niet af van hoe Δ x→ 0, we krijgen: voor Δ x → 0 – 0 f" (x 0) ≥ 0 en bij Δ x → 0 + 0 f" (x 0) ≤ 0. Sinds f" (x 0) een getal definieert, dan zijn deze twee ongelijkheden alleen compatibel als f" (x 0) = 0.

De bewezen stelling stelt dat de maximale en minimale punten alleen kunnen zijn tussen die waarden van het argument waarvoor de afgeleide verdwijnt.

We hebben het geval beschouwd waarin een functie een afgeleide heeft op alle punten van een bepaald segment. Wat gebeurt er als de afgeleide niet bestaat? Denk aan voorbeelden.

ja =|x |.

De functie heeft geen afgeleide op een punt x=0 (op dit punt heeft de grafiek van de functie geen duidelijke raaklijn), maar op dit punt heeft de functie een minimum, aangezien ja(0)=0, en voor iedereen x ≠ 0ja > 0.

Uit de gegeven voorbeelden en de geformuleerde stelling blijkt dus dat de functie slechts in twee gevallen een extremum kan hebben: 1) op de punten waar de afgeleide bestaat en gelijk is aan nul; 2) op het punt waar de afgeleide niet bestaat.

Als u echter op een gegeven moment x 0 we weten dat f"(x 0 ) =0, dan kan hieruit niet worden geconcludeerd dat op het punt x 0 de functie heeft een extremum.

Bijvoorbeeld.

Maar punt x=0 is geen uiterste punt, aangezien links van dit punt de functiewaarden zich onder de as bevinden Os, en rechtsboven.

Waarden van een argument uit het domein van een functie, waarvoor de afgeleide van de functie verdwijnt of niet bestaat, worden genoemd kritieke punten .

Uit het voorgaande volgt dat de uiterste punten van een functie tot de kritieke punten behoren, en dat echter niet elk kritiek punt een uiterste punt is. Om het extremum van de functie te vinden, moet u daarom alle kritieke punten van de functie vinden en vervolgens elk van deze punten afzonderlijk onderzoeken op maximum en minimum. Hiervoor dient de volgende stelling.

Stelling 2. (Een voldoende voorwaarde voor het bestaan ​​van een extremum.) Laat de functie continu zijn op een interval dat het kritieke punt bevat x 0 , en is differentieerbaar op alle punten van dit interval (behalve misschien het punt zelf) x 0). Als, bij het van links naar rechts gaan door dit punt, de afgeleide van teken verandert van plus naar min, dan op het punt x = x 0 de functie heeft een maximum. Als, bij het passeren van x 0 van links naar rechts, de afgeleide verandert van teken van min naar plus, dan heeft de functie op dit punt een minimum.

Dus, als

f"(x)>0 bij x <x 0 en f"(x)< 0 bij x > x 0, dan x 0 - maximum punt;

Een bewijs. Laten we eerst aannemen dat bij het passeren van x 0, de afgeleide verandert van teken van plus naar min, d.w.z. voor iedereen x dicht bij het punt x 0 f "(x)> 0 voor x< x 0 , f"(x)< 0 voor x > x 0 . Laten we de stelling van Lagrange toepassen op het verschil f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), waar c ligt tussen x en x 0 .

Laten x< x 0 . Dan c< x 0 en f "(c)> 0. Dat is waarom f "(c)(x-x 0)< 0 en dus

f(x) - f(x 0 )< 0, d.w.z. f(x)< f(x 0 ).

Laten x > x 0 . Dan c>x 0 en f"(c)< 0. Middelen f "(c)(x-x 0)< 0. Dat is waarom f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x) < f(x 0 ) .

Dus voor alle waarden x dichtbij genoeg om x 0 f(x) < f(x 0 ) . En dit betekent dat op het punt x 0 de functie heeft een maximum.

Het tweede deel van de minimumstelling wordt op dezelfde manier bewezen.

Laten we de betekenis van deze stelling in de figuur illustreren. Laten f"(x 1 ) =0 en voor elke x, dichtbij genoeg om x 1, de ongelijkheden

f"(x)< 0 bij x< x 1 , f "(x)> 0 bij x > x 1 .

Dan links van het punt x 1 de functie is toenemend, en rechts afnemend, dus wanneer x = x 1 functie gaat van stijgend naar dalend, d.w.z. het heeft een maximum.

Evenzo kan men rekening houden met de punten x 2 en x 3 .

Schematisch kan al het bovenstaande in de afbeelding worden weergegeven:

De regel voor het bestuderen van de functie y=f(x) voor een extremum

Vind het bereik van een functie f(x).

Vind de eerste afgeleide van een functie f"(x) .

Bepaal kritische punten, hiervoor:

vind de echte wortels van de vergelijking f"(x) =0;

vind alle waarden x waaronder de afgeleide f"(x) bestaat niet.

Bepaal het teken van de afgeleide links en rechts van het kritieke punt. Aangezien het teken van de afgeleide constant blijft tussen twee kritieke punten, volstaat het om het teken van de afgeleide te bepalen op een willekeurig punt links en op een punt rechts van het kritieke punt.

Bereken de waarde van de functie op de uiterste punten.

Om de aard van een functie te bepalen en over het gedrag ervan te praten, is het noodzakelijk om intervallen van toename en afname te vinden. Dit proces wordt functieverkenning en plotten genoemd. Het extremumpunt wordt gebruikt bij het vinden van de grootste en kleinste waarden van de functie, omdat ze de functie van het interval verhogen of verlagen.

Dit artikel onthult de definities, we formuleren een voldoende teken van toename en afname op het interval en de voorwaarde voor het bestaan ​​van een extremum. Dit geldt voor het oplossen van voorbeelden en problemen. Het gedeelte over differentiatie van functies moet worden herhaald, omdat bij het oplossen het nodig zal zijn om de afgeleide te vinden.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definitie 1

De functie y = f (x) zal toenemen op het interval x wanneer voor elke x 1 ∈ X en x 2 ∈ X , x 2 > x 1 de ongelijkheid f (x 2) > f (x 1) haalbaar zal zijn. Met andere woorden, een grotere waarde van het argument komt overeen met een grotere waarde van de functie.

Definitie 2

De functie y = f (x) wordt geacht afnemend te zijn op het interval x wanneer voor elke x 1 ∈ X , x 2 ∈ X , x 2 > x 1 de gelijkheid f (x 2) > f (x 1) wordt beschouwd redelijk. Met andere woorden, een grotere functiewaarde komt overeen met een kleinere argumentwaarde. Beschouw de onderstaande figuur.

Opmerking: Wanneer de functie definitief en continu is aan de uiteinden van het stijgende en dalende interval, d.w.z. (a; b) waarbij x = a, x = b, worden de punten opgenomen in het stijgende en dalende interval. Dit is niet in tegenspraak met de definitie, wat betekent dat het plaatsvindt op het interval x.

De belangrijkste eigenschappen van elementaire functies van het type y = sin x zijn bepaaldheid en continuïteit voor reële waarden van de argumenten. Hieruit zien we dat de toename van de sinus optreedt op het interval - π 2; π 2, dan heeft de verhoging op het segment de vorm - π 2; 2 .

Het punt x 0 heet maximum punt voor een functie y = f (x) wanneer voor alle waarden van x de ongelijkheid f (x 0) ≥ f (x) waar is. Maximale functie is de waarde van de functie in het punt, en wordt aangegeven met y m a x .

Het punt x 0 wordt het minimumpunt voor de functie y \u003d f (x) genoemd als voor alle waarden van x de ongelijkheid f (x 0) ≤ f (x) waar is. Functie Minimum is de waarde van de functie op het punt, en heeft de notatie van de vorm y m i n .

De buurten van het punt x 0 worden beschouwd extreme punten, en de waarde van de functie die overeenkomt met de extreme punten. Beschouw de onderstaande figuur.

Extrema van de functie met de grootste en kleinste waarde van de functie. Beschouw de onderstaande figuur.

Het eerste cijfer zegt dat het nodig is om de grootste waarde van de functie te vinden uit het segment [ a ; b] . Het wordt gevonden met behulp van maximale punten en is gelijk aan de maximale waarde van de functie, en het tweede cijfer lijkt meer op het vinden van een maximumpunt op x = b.

Voldoende voorwaarden voor stijgende en dalende functies

Om de maxima en minima van een functie te vinden, is het noodzakelijk om de tekens van een extremum toe te passen in het geval dat de functie aan deze voorwaarden voldoet. De eerste functie wordt het meest gebruikt.

De eerste voldoende voorwaarde voor een extremum

Laat een functie y = f (x) worden gegeven, die differentieerbaar is in de ε-nabijheid van het punt x 0 , en continuïteit heeft op het gegeven punt x 0 . Vandaar dat we dat krijgen

• wanneer f "(x) > 0 met x ∈ (x 0 - ε; x 0) en f" (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• wanneer f"(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 voor x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , dan is x 0 het minimumpunt.

Met andere woorden, we verkrijgen hun tekeninstellingsvoorwaarden:

• wanneer de functie continu is in het punt x 0, dan heeft deze een afgeleide met een veranderend teken, dat wil zeggen van + naar -, wat betekent dat het punt het maximum wordt genoemd;
• als de functie continu is in het punt x 0, dan heeft ze een afgeleide met een veranderend teken van - naar +, wat betekent dat het punt een minimum wordt genoemd.

Om de maximum- en minimumpunten van de functie correct te bepalen, moet u het algoritme volgen om ze te vinden:

• vind het domein van de definitie;
• vind de afgeleide van de functie op dit gebied;
• identificeer nullen en punten waar de functie niet bestaat;
• het bepalen van het teken van de afgeleide op intervallen;
• selecteer de punten waar de functie van teken verandert.

Beschouw het algoritme op het voorbeeld van het oplossen van verschillende voorbeelden van het vinden van de extrema van de functie.

voorbeeld 1

Vind de maximale en minimale punten van de gegeven functie y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

Oplossing

Het domein van deze functie is alle reële getallen behalve x = 2. Eerst vinden we de afgeleide van de functie en krijgen:

y "= 2 x + 1 2 x - 2" = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2) ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2

Vanaf hier zien we dat de nullen van de functie x \u003d - 1, x \u003d 5, x \u003d 2 zijn, dat wil zeggen dat elke haak gelijk moet worden gesteld aan nul. Markeer op de getallenlijn en krijg:

Nu bepalen we de tekens van de afgeleide van elk interval. Het is noodzakelijk om een ​​punt in het interval te selecteren en het in de uitdrukking te vervangen. Bijvoorbeeld punten x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

We snappen dat

y "(- 2) \u003d 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2 x \u003d - 2 \u003d 2 (- 2 + 1) (- 2 - 5) (- 2 - 2 ) 2 \u003d 2 7 16 \u003d 7 8 > 0, daarom heeft het interval - ∞; - 1 een positieve afgeleide. Op dezelfde manier verkrijgen we dat

y "(0) = 2 (0 + 1) 0 - 5 0 - 2 2 = 2 - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Aangezien het tweede interval kleiner dan nul bleek te zijn, betekent dit dat de afgeleide van het segment negatief zal zijn. De derde met een min, de vierde met een plus. Om de continuïteit te bepalen, is het noodzakelijk om aandacht te besteden aan het teken van de afgeleide, als het verandert, dan is dit een uiterste punt.

We krijgen dat op het punt x = - 1 de functie continu zal zijn, wat betekent dat de afgeleide van teken verandert van + naar -. Volgens het eerste teken hebben we dat x = - 1 het maximale punt is, wat betekent dat we krijgen

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Het punt x = 5 geeft aan dat de functie continu is en dat de afgeleide van teken verandert van - naar +. Daarom is x=-1 het minimumpunt, en de bevinding heeft de vorm

y m ik n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Grafische afbeelding

Antwoorden: y m a x = y (- 1) = 0 , y m ik n = y (5) = 24 .

Het is de moeite waard erop te letten dat het gebruik van het eerste voldoende teken van een extremum niet vereist dat de functie differentieerbaar is van het punt x 0 , en dit vereenvoudigt de berekening.

Voorbeeld 2

Bepaal de maximum- en minimumpunten van de functie y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 .

Oplossing.

Het domein van een functie bestaat uit alle reële getallen. Dit kan worden geschreven als een stelsel vergelijkingen van de vorm:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Dan moet je de afgeleide vinden:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Het punt x = 0 heeft geen afgeleide, omdat de waarden van de eenzijdige limieten anders zijn. We krijgen dat:

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y "x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Hieruit volgt dat de functie continu is in het punt x = 0, dan berekenen we

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 (0 - 0) 3 - 2 (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 ( 0 + 0) 2 + 22 3 (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Het is noodzakelijk om berekeningen uit te voeren om de waarde van het argument te vinden wanneer de afgeleide nul wordt:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Alle behaalde punten moeten op de lijn worden gemarkeerd om het teken van elk interval te bepalen. Daarom is het noodzakelijk om de afgeleide op willekeurige punten voor elk interval te berekenen. We kunnen bijvoorbeeld punten nemen met de waarden x = - 6 , x = - 4 , x = - 1 , x = 1 , x = 4 , x = 6 . We snappen dat

y " (- 6) \u003d - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x \u003d - 6 \u003d - 1 2 - 6 2 - 4 (- 6) - 22 3 \u003d - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y "(- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 (- 1) 2 - 4 (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

De afbeelding op een rechte lijn heeft de vorm

Dus komen we op het punt dat het nodig is om onze toevlucht te nemen tot het eerste teken van een extremum. We berekenen en krijgen dat

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , dan hebben de maximale punten vanaf hier de waarden x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

Laten we verder gaan met het berekenen van de minima:

y m ik n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m ik n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Laten we de maxima van de functie berekenen. We snappen dat

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Grafische afbeelding

Antwoorden:

y m ik n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m ik n = y (0) = - 8 y m ik n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Als de functie f "(x 0) = 0 is gegeven, dan krijgen we met zijn f "" (x 0) > 0 dat x 0 het minimumpunt is als f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Voorbeeld 3

Bepaal de maxima en minima van de functie y = 8 x x + 1 .

Oplossing

Eerst vinden we het domein van de definitie. We snappen dat

D (y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Het is noodzakelijk om de functie te differentiëren, waarna we krijgen

y "= 8 x x + 1" = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

Als x = 1, wordt de afgeleide gelijk aan nul, wat betekent dat het punt een mogelijk extremum is. Ter verduidelijking is het noodzakelijk om de tweede afgeleide te vinden en de waarde bij x \u003d 1 te berekenen. We krijgen:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x "(x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2" x + (x + 1) 2 x "(x + 1) 4 x == 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1)" x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 - 4 8 = - 1< 0

Dus, met behulp van de 2 voldoende voorwaarde voor het extremum, verkrijgen we dat x = 1 het maximale punt is. Anders is de invoer y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 .

Grafische afbeelding

Antwoorden: y m a x = y (1) = 4 ..

De functie y = f (x) heeft zijn afgeleide tot de n-de orde in de ε-nabijheid van het gegeven punt x 0 en zijn afgeleide tot de n + 1ste orde in het punt x 0 . Dan is f "(x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

Hieruit volgt dat wanneer n een even getal is, dan wordt x 0 beschouwd als een buigpunt, wanneer n een oneven getal is, dan is x 0 een uiterste punt, en f (n + 1) (x 0) > 0, dan is x 0 is een minimumpunt, f(n+1)(x0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Voorbeeld 4

Bepaal de maximum- en minimumpunten van de functie y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 .

Oplossing

De oorspronkelijke functie is een geheel rationele functie, vandaar dat het domein van de definitie alle reële getallen zijn. De functie moet gedifferentieerd worden. We snappen dat

y "= 1 16 x + 1 3" (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " == 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7x - 5)

Deze afgeleide gaat naar nul bij x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. Dat wil zeggen, de punten kunnen punten zijn van een mogelijk extremum. Het is noodzakelijk om de derde voldoende extreme voorwaarde toe te passen. Door de tweede afgeleide te vinden, kunt u nauwkeurig de aanwezigheid van een maximum en minimum van een functie bepalen. De tweede afgeleide wordt berekend op de punten van zijn mogelijke extremum. We snappen dat

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

Dit betekent dat x 2 \u003d 5 7 het maximale punt is. Als we 3 voldoende criterium toepassen, krijgen we dat voor n = 1 en f (n + 1) 5 7< 0 .

Het is noodzakelijk om de aard van de punten x 1 = - 1, x 3 = 3 te bepalen. Om dit te doen, moet u de derde afgeleide vinden, de waarden op deze punten berekenen. We snappen dat

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " == 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

Dus x 1 = - 1 is het buigpunt van de functie, aangezien voor n = 2 en f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Het is noodzakelijk om het punt x 3 = 3 te onderzoeken. Om dit te doen, vinden we de 4e afgeleide en voeren we berekeningen uit op dit punt:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " == 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

Uit het bovenstaande concluderen we dat x 3 \u003d 3 het minimumpunt van de functie is.

Grafische afbeelding

Antwoorden: x 2 \u003d 5 7 is het maximumpunt, x 3 \u003d 3 - het minimumpunt van de gegeven functie.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

Dit is een nogal interessant deel van de wiskunde waar absoluut alle afgestudeerde studenten en studenten mee te maken hebben. Niet iedereen houdt echter van matan. Sommigen begrijpen zelfs elementaire dingen niet, zoals de schijnbaar standaard functiestudie. Dit artikel beoogt dit onoplettendheid recht te zetten. Meer weten over functieanalyse? Wil je weten wat extreme punten zijn en hoe je ze kunt vinden? Dan is dit artikel iets voor jou.

Onderzoek van de grafiek van een functie

Om te beginnen is het de moeite waard om te begrijpen waarom het überhaupt nodig is om de grafiek te analyseren. Er zijn eenvoudige functies die gemakkelijk te tekenen zijn. Een treffend voorbeeld van zo'n functie is de parabool. Het is niet moeilijk om haar kaart te tekenen. Het enige dat nodig is, is om met behulp van een eenvoudige transformatie de getallen te vinden waarop de functie de waarde 0 heeft. En in principe is dit alles wat u hoeft te weten om een ​​paraboolgrafiek te tekenen.

Maar wat als de functie die we moeten tekenen veel ingewikkelder is? Omdat de eigenschappen van complexe functies nogal niet voor de hand liggend zijn, is het noodzakelijk om een ​​volledige analyse uit te voeren. Alleen dan kan de functie grafisch worden weergegeven. Hoe je dat doet? Het antwoord op deze vraag vind je in dit artikel.

Functieanalyseplan

Het eerste wat we moeten doen is een oppervlakkige studie van de functie uitvoeren, waarbij we het domein van de definitie zullen vinden. Laten we dus op volgorde beginnen. Het definitiedomein is de verzameling van die waarden waarmee de functie wordt gedefinieerd. Simpel gezegd, dit zijn de getallen die in de functie kunnen worden gebruikt in plaats van x. Om de reikwijdte te bepalen, hoeft u alleen maar naar het record te kijken. Het is bijvoorbeeld duidelijk dat de functie y (x) \u003d x 3 + x 2 - x + 43 een definitiedomein heeft - de verzameling reële getallen. Nou, met een functie als (x 2 - 2x) / x is alles een beetje anders. Aangezien het getal in de noemer niet gelijk moet zijn aan 0, zal het domein van deze functie alle reële getallen zijn, behalve nul.

Vervolgens moet u de zogenaamde nullen van de functie vinden. Dit zijn de waarden van het argument waarvoor de hele functie de waarde nul aanneemt. Om dit te doen, is het noodzakelijk om de functie gelijk te stellen aan nul, deze in detail te bekijken en enkele transformaties uit te voeren. Laten we de al bekende functie y(x) = (x 2 - 2x)/x nemen. Uit de schoolcursus weten we dat een breuk 0 is als de teller nul is. Daarom negeren we de noemer en beginnen we met de teller te werken, waarbij we deze gelijkstellen aan nul. We krijgen x 2 - 2x \u003d 0 en halen x uit haakjes. Vandaar x (x - 2) \u003d 0. Als resultaat vinden we dat onze functie gelijk is aan nul wanneer x gelijk is aan 0 of 2.

Tijdens de studie van de grafiek van een functie worden velen geconfronteerd met een probleem in de vorm van extreme punten. En het is raar. Extremen zijn immers een vrij eenvoudig onderwerp. Geloof niet? Overtuig uzelf door dit deel van het artikel te lezen, waarin we het hebben over de minimum- en maximumpunten.

Om te beginnen is het de moeite waard om te begrijpen wat een extremum is. Een extremum is de grenswaarde die een functie in een grafiek bereikt. Hieruit blijkt dat er twee extreme waarden zijn - een maximum en een minimum. Voor de duidelijkheid kunt u naar de afbeelding hierboven kijken. Op het onderzochte gebied is punt -1 het maximum van de functie y (x) \u003d x 5 - 5x, en punt 1 is respectievelijk het minimum.

Verwar begrippen ook niet met elkaar. De extreme punten van een functie zijn die argumenten waarbij de gegeven functie extreme waarden krijgt. Het extremum is op zijn beurt de waarde van de minima en maxima van de functie. Kijk bijvoorbeeld nog eens naar de figuur hierboven. -1 en 1 zijn de extremumpunten van de functie, en 4 en -4 zijn de extremums zelf.

Extreme punten vinden

Maar hoe vind je de extreme punten van een functie? Alles is vrij eenvoudig. Het eerste wat je moet doen, is de afgeleide van de vergelijking vinden. Laten we zeggen dat we de taak hebben: "Vind de extreme punten van de functie y (x), x is het argument. Laten we voor de duidelijkheid de functie y (x) nemen \u003d x 3 + 2x 2 + x + 54. Laten we differentiëren en krijg de volgende vergelijking: 3x 2 + 4x + 1. Als resultaat hebben we een standaard kwadratische vergelijking. Het enige dat moet worden gedaan is deze gelijk te stellen aan nul en de wortels te vinden. Aangezien de discriminant groter is dan nul (D \u003d 16 - 12 \u003d 4), deze vergelijking wordt bepaald door twee wortels. We vinden ze en krijgen twee waarden: 1/3 en -1. Dit zijn de extreme punten van de functie. Hoe kun je echter nog steeds bepalen wie is wie? Welk punt is het maximum en wat is het minimum? Om dit te doen, moet je een naburig punt nemen en de waarde ervan achterhalen. Laten we bijvoorbeeld het getal -2 nemen, dat zich links langs de coördinaat bevindt lijn van -1. We vervangen deze waarde in onze vergelijking y (-2) = 12 - 8 + 1 = 5. Als resultaat kregen we een positief getal. Dit betekent dat op het interval van 1/3 tot -1 de functie neemt toe, wat op zijn beurt betekent dat op de intervallen van min van oneindig tot 1/3 en van -1 tot plus oneindig, neemt de functie af. We kunnen dus concluderen dat het getal 1/3 het minimumpunt van de functie op het onderzochte interval is, en -1 het maximumpunt.

Het is ook vermeldenswaard dat het examen niet alleen vereist om extreme punten te vinden, maar ook om er een soort bewerking mee uit te voeren (optellen, vermenigvuldigen, enz.). Het is om deze reden dat het de moeite waard is om speciale aandacht te besteden aan de omstandigheden van het probleem. Door onoplettendheid kun je immers punten verliezen.

Les over het onderwerp: "Extreme punten van functies vinden. Voorbeelden"

Aanvullende materialen
Beste gebruikers, vergeet niet om uw opmerkingen, feedback, suggesties achter te laten! Alle materialen worden gecontroleerd door een antivirusprogramma.

Handleidingen en simulatoren in de online winkel "Integral" voor graad 10 vanaf 1C
Wij lossen problemen in de geometrie op. Interactieve bouwtaken voor de klassen 7-10
Software-omgeving "1C: Wiskundige constructor 6.1"

Wat gaan we bestuderen:
1. Inleiding.
2. Punten van minimum en maximum.

4. Hoe extremen berekenen?
5. Voorbeelden.

Inleiding tot extremen van functies

Jongens, laten we eens kijken naar de grafiek van een functie:

Merk op dat het gedrag van onze functie y=f (x) grotendeels bepaald wordt door de twee punten x1 en x2. Laten we de grafiek van de functie op en rond deze punten eens nader bekijken. Tot het punt x2 neemt de functie toe, bij het punt x2 is er een verbuiging en direct daarna neemt de functie af tot het punt x1. Op het punt x1 buigt de functie weer en neemt daarna weer toe. Punten x1 en x2 worden voorlopig buigpunten genoemd. Laten we raaklijnen trekken op deze punten:

De raaklijnen in onze punten zijn evenwijdig aan de x-as, wat betekent dat de helling van de raaklijn nul is. Dit betekent dat de afgeleide van onze functie op deze punten nul is.

Laten we eens kijken naar de grafiek van deze functie:

Raaklijnen aan de punten x2 en x1 kunnen niet worden getekend. Daarom bestaat de afgeleide op deze punten niet. Laten we nu nog eens kijken naar onze punten op de twee grafieken. Het punt x2 is het punt waar de functie zijn maximale waarde bereikt in een bepaald gebied (in de buurt van het punt x2). Het punt x1 is het punt waarop de functie zijn kleinste waarde bereikt in een bepaald gebied (in de buurt van het punt x1).

Hoge en lage punten

Definitie: Het punt x= x0 wordt het minimumpunt van de functie y=f(x) genoemd als er een omgeving is van het punt x0 waar de volgende ongelijkheid waar is: f(x) ≥ f(x0).

Definitie: Het punt x=x0 wordt het maximumpunt van de functie y=f(x) genoemd als er een omgeving is van het punt x0 waar de volgende ongelijkheid waar is: f(x) ≤ f(x0).

Jongens, wat is de buurt?

Definitie: De buurt van een punt is een verzameling punten die ons punt bevat en er dichtbij ligt.

We kunnen de buurt zelf bepalen. Voor een punt x=2 kunnen we bijvoorbeeld de buurt definiëren als punten 1 en 3.

Laten we terugkeren naar onze grafieken, kijken naar het punt x2, het is groter dan alle andere punten uit een bepaalde buurt, dan is het per definitie een maximumpunt. Laten we nu kijken naar het punt x1, het is minder dan alle andere punten uit een bepaalde buurt, dan is het per definitie een minimumpunt.

Jongens, laten we de notatie introduceren:

Ymin - minimum punt,
ymax - maximum punt.

Belangrijk! Jongens, verwar de maximale en minimale punten niet met de kleinste en grootste waarde van de functie. De kleinste en grootste waarden worden gezocht over het hele definitiegebied van de gegeven functie, en de minimum- en maximumpunten worden in een bepaalde buurt gezocht.

Functie uitersten

Er is een algemene term voor minimum- en maximumpunten - extremumpunten.

Extremum (lat. extremum - extreem) - de maximale of minimale waarde van een functie op een bepaalde set. Het punt waarop het uiterste wordt bereikt, wordt het uiterste punt genoemd.

Dienovereenkomstig, als het minimum wordt bereikt, wordt het uiterste punt het minimumpunt genoemd en als het maximum wordt bereikt, het maximumpunt.

Hoe extremen van een functie te vinden?

Laten we teruggaan naar onze grafieken. Op onze punten verdwijnt de afgeleide ofwel (in de eerste grafiek) of bestaat niet (in de tweede grafiek).

Dan kunnen we een belangrijke uitspraak doen: Als de functie y= f(x) een extremum heeft in het punt x=x0, dan is op dit punt de afgeleide van de functie gelijk aan nul of bestaat niet.

De punten waar de afgeleide gelijk is aan nul worden genoemd stationair.

Punten waar de afgeleide van een functie niet bestaat, worden genoemd kritisch.

Hoe extremen berekenen?

Jongens, laten we teruggaan naar de eerste grafiek van de functie:

Bij het analyseren van deze grafiek zeiden we: tot het punt x2 neemt de functie toe, bij het punt x2 is er een verbuiging, en na dit punt neemt de functie af tot het punt x1. Op het punt x1 buigt de functie weer, en daarna neemt de functie weer toe.

Op basis van een dergelijke redenering kunnen we concluderen dat de functie op de uiterste punten de aard van monotoniciteit verandert, en dus verandert de afgeleide functie van teken. Bedenk dat als de functie afneemt, de afgeleide kleiner is dan of gelijk is aan nul, en als de functie toeneemt, de afgeleide groter is dan of gelijk is aan nul.

Laten we de verkregen kennis generaliseren door de verklaring:

Stelling: Voldoende extreme voorwaarde: laat de functie y=f(x) continu zijn op een bepaald interval X en een stationair of kritisch punt x= x0 binnen het interval hebben. Dan:

• Als dit punt een buurt heeft waarin f’(x)>0 is voldaan voor x x0, dan is het punt x0 het minimumpunt van de functie y= f(x).
• Als dit punt zo'n buurt heeft dat er voor x 0, en voor x> x0 f'(x) geen extremum is.

Onthoud de volgende regels om problemen op te lossen: Als de tekens van derivaten zijn gedefinieerd, dan:

Algoritme voor het bestuderen van de continue functie y= f(x) voor monotoniciteit en extrema:

• Zoek de afgeleide y'.
• Zoek stationaire (de afgeleide is nul) en kritische punten (de afgeleide bestaat niet).
• Markeer de stationaire en kritische punten op de getallenlijn en bepaal de tekens van de afgeleide op de resulterende intervallen.
• Trek op basis van bovenstaande stellingen een conclusie over de aard van de extremumpunten.

Voorbeelden van het vinden van extreme punten

1) Zoek de extreme punten van de functie en bepaal hun aard: y= 7+ 12*x - x 3

Oplossing: onze functie is continu, dan gebruiken we ons algoritme:
a) y "= 12 - 3x 2,
b) y"= 0, bij x= ±2,

Het punt x= -2 is het minimumpunt van de functie, het punt x= 2 is het maximumpunt van de functie.
Antwoord: x= -2 - functie minimum punt, x= 2 - functie maximum punt.

2) Zoek de uiterste punten van de functie en bepaal hun aard.

3) Zoek de uiterste punten van de functie y= x - 2cos(x) en bepaal hun karakter, voor -π ≤ x ≤ π.

Oplossing: onze functie is continu, laten we ons algoritme gebruiken:
a) y"= 1 + 2sin(x),
b) zoek de waarden waarin de afgeleide gelijk is aan nul: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
omdat -π ≤ x ≤ π, dan: x= -π/6, -5π/6,
c) markeer de stationaire punten op de reële lijn en bepaal de tekens van de afgeleide: d) kijk naar onze figuur, die de regels toont voor het bepalen van extremums.
Het punt x= -5π/6 is het maximale punt van de functie.
Het punt x= -π/6 is het minimumpunt van de functie.
Antwoord: x= -5π/6 - maximum punt van de functie, x= -π/6 - minimum punt van de functie.

4) Zoek de extreme punten van de functie en bepaal hun aard:

Taken voor onafhankelijke oplossing