Methode van wiskundige inductie korte samenvatting. Toepassing van de methode van wiskundige inductie bij het oplossen van problemen met betrekking tot de deelbaarheid van natuurlijke getallen

Ware kennis is te allen tijde gebaseerd op het vaststellen van een patroon en het bewijzen van de waarheid ervan onder bepaalde omstandigheden. Gedurende zo'n lange periode van logisch redeneren werden er formuleringen van regels gegeven, en Aristoteles stelde zelfs een lijst samen van 'juiste redeneringen'. Historisch gezien is het gebruikelijk geweest om alle gevolgtrekkingen in twee typen te verdelen: van het concrete naar het meervoudige (inductie) en omgekeerd (deductie). Opgemerkt moet worden dat de soorten bewijsmateriaal van bijzonder naar algemeen en van algemeen naar bijzonder alleen in samenhang bestaan ​​en niet onderling verwisselbaar zijn.

Inductie in de wiskunde

De term ‘inductie’ heeft Latijnse wortels en wordt letterlijk vertaald als ‘begeleiding’. Bij nader onderzoek kan men de structuur van het woord benadrukken, namelijk het Latijnse voorvoegsel - in- (geeft een gerichte actie naar binnen of naar binnen zijn) en -ductie - introductie. Het is vermeldenswaard dat er twee soorten zijn: volledige en onvolledige inductie. De volledige vorm wordt gekenmerkt door conclusies die worden getrokken uit de studie van alle objecten van een bepaalde klasse.

Onvolledig - conclusies die van toepassing zijn op alle onderwerpen van de klas, maar die zijn gemaakt op basis van de studie van slechts enkele eenheden.

Volledige wiskundige inductie is een gevolgtrekking gebaseerd op een algemene conclusie over de hele klasse van alle objecten die functioneel verbonden zijn door de relaties van een natuurlijke reeks getallen, gebaseerd op kennis van deze functionele verbinding. In dit geval vindt het proefproces plaats in drie fasen:

• de eerste bewijst de juistheid van de positie van wiskundige inductie. Voorbeeld: f = 1, inductie;
• de volgende fase is gebaseerd op de veronderstelling dat de positie geldig is voor alle natuurlijke getallen. Dat wil zeggen, f=h is een inductieve hypothese;
• in de derde fase wordt de geldigheid van de positie voor het getal f=h+1 bewezen, gebaseerd op de juistheid van de positie van het vorige punt - dit is een inductieovergang of een stap van wiskundige inductie. Een voorbeeld is het zogenaamde als de eerste steen in een rij valt (basis), dan vallen alle stenen in de rij (overgang).

Zowel grappend als serieus

Voor het gemak van begrip worden voorbeelden van oplossingen die gebruik maken van de methode van wiskundige inductie gepresenteerd in de vorm van grapproblemen. Dit is de taak “Beleefde wachtrij”:

• De gedragsregels verbieden dat een man aan de beurt is in het bijzijn van een vrouw (in zo'n situatie mag zij wel haar gang gaan). Op basis van deze verklaring geldt dat als de laatste in de rij een man is, alle anderen ook een man zijn.

Een treffend voorbeeld van de methode van wiskundige inductie is het probleem van de ‘dimensieloze vlucht’:

• Er moet worden bewezen dat er een onbeperkt aantal mensen in de minibus kan passen. Het is waar dat één persoon zonder problemen in een voertuig kan passen (basis). Maar hoe vol de minibus ook is, er past altijd 1 passagier in (inductiestap).

Bekende kringen

Voorbeelden van het oplossen van problemen en vergelijkingen door wiskundige inductie zijn vrij gebruikelijk. Beschouw ter illustratie van deze aanpak het volgende probleem.

Voorwaarde: er zijn h cirkels in het vlak. Er moet worden bewezen dat, voor elke rangschikking van figuren, de kaart die ze vormen correct kan worden gekleurd met twee kleuren.

Oplossing: wanneer h=1 is de waarheid van de bewering duidelijk, dus zal het bewijs worden geconstrueerd voor het aantal cirkels h+1.

Laten we de veronderstelling aanvaarden dat de bewering geldig is voor elke kaart, en dat er h+1 cirkels in het vlak zijn. Door één van de cirkels uit het totaal te verwijderen, kun je een kaart krijgen die correct is gekleurd met twee kleuren (zwart en wit).

Wanneer u een verwijderde cirkel herstelt, verandert de kleur van elk gebied naar het tegenovergestelde (in dit geval binnen de cirkel). Het resultaat is een kaart die correct is ingekleurd in twee kleuren, wat moest worden bewezen.

Voorbeelden met natuurlijke getallen

De toepassing van de methode van wiskundige inductie wordt hieronder duidelijk weergegeven.

Voorbeelden van oplossingen:

Bewijs dat voor elke h de volgende gelijkheid correct is:

1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =h(h+1)(2h+1)/6.

1. Zij h=1, wat betekent:

R1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1

Hieruit volgt dat voor h=1 de stelling juist is.

2. Aangenomen dat h=d, wordt de vergelijking verkregen:

R1 =d2 =d(d+1)(2d+1)/6=1

3. Aangenomen dat h=d+1, blijkt:

Rd+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6

R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.

De geldigheid van de gelijkheid voor h=d+1 is dus bewezen, en daarom is de bewering waar voor elk natuurlijk getal, zoals blijkt uit de voorbeeldoplossing door wiskundige inductie.

Taak

Voorwaarde: bewijs is vereist dat voor elke waarde van h de uitdrukking 7 h -1 deelbaar is door 6 zonder rest.

Oplossing:

1. Laten we zeggen h=1, in dit geval:

R 1 =7 1 -1=6 (d.w.z. gedeeld door 6 zonder rest)

Daarom is de uitspraak voor h=1 waar;

2. Laat h=d en 7 d -1 gedeeld worden door 6 zonder rest;

3. Het bewijs van de geldigheid van de bewering voor h=d+1 is de formule:

R d +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6

In dit geval is de eerste term deelbaar door 6 volgens de aanname van het eerste punt, en is de tweede term gelijk aan 6. De bewering dat 7 h -1 deelbaar is door 6 zonder een rest voor een natuurlijke h is waar.

Fouten in oordeel

Vaak wordt in bewijzen een onjuiste redenering gebruikt vanwege de onnauwkeurigheid van de gebruikte logische constructies. Dit gebeurt vooral wanneer de structuur en logica van het bewijs worden geschonden. Een voorbeeld van een onjuiste redenering is de volgende illustratie.

Taak

Voorwaarde: er is bewijs vereist dat elke stapel stenen geen stapel is.

Oplossing:

1. Laten we zeggen h=1, in dit geval ligt er 1 steen op de stapel en is de stelling waar (basis);

2. Stel dat voor h=d een stapel stenen geen stapel is (aanname);

3. Zij h=d+1, waaruit volgt dat als er nog een steen wordt toegevoegd, de set geen hoop zal zijn. De conclusie doet vermoeden dat de aanname geldig is voor alle natuurlijke h.

De fout is dat er geen definitie bestaat van hoeveel stenen een stapel vormen. Een dergelijke weglating wordt in de methode van wiskundige inductie een overhaaste generalisatie genoemd. Een voorbeeld laat dit duidelijk zien.

Inductie en de wetten van de logica

Historisch gezien lopen ze altijd ‘hand in hand’. Wetenschappelijke disciplines zoals logica en filosofie beschrijven ze in de vorm van tegenstellingen.

Vanuit het oogpunt van de wet van de logica zijn inductieve definities afhankelijk van feiten, en de waarheidsgetrouwheid van de premissen bepaalt niet de juistheid van de resulterende verklaring. Vaak worden conclusies getrokken met een zekere mate van waarschijnlijkheid en plausibiliteit, die uiteraard door aanvullend onderzoek moeten worden geverifieerd en bevestigd. Een voorbeeld van inductie in de logica zou de volgende verklaring zijn:

Er is een droogte in Estland, een droogte in Letland, een droogte in Litouwen.

Estland, Letland en Litouwen zijn Baltische staten. In alle Baltische staten heerst droogte.

Uit het voorbeeld kunnen we concluderen dat nieuwe informatie of waarheid niet kan worden verkregen via de inductiemethode. Het enige waarop kan worden gerekend is een mogelijke waarheidsgetrouwheid van de conclusies. Bovendien garandeert de waarheid van de premissen niet dezelfde conclusies. Dit feit betekent echter niet dat inductie wegkwijnt in de marges van deductie: een groot aantal bepalingen en wetenschappelijke wetten worden onderbouwd met behulp van de inductiemethode. Een voorbeeld is dezelfde wiskunde, biologie en andere wetenschappen. Dit komt vooral door de methode van volledige inductie, maar in sommige gevallen is gedeeltelijke inductie ook toepasbaar.

Het eerbiedwaardige tijdperk van inductie heeft ervoor gezorgd dat het bijna alle gebieden van menselijke activiteit kan doordringen - dit zijn wetenschap, economie en alledaagse conclusies.

Inductie in de wetenschappelijke gemeenschap

De inductiemethode vereist een nauwgezette houding, omdat te veel afhangt van het aantal bestudeerde delen van het geheel: hoe groter het bestudeerde aantal, hoe betrouwbaarder het resultaat. Op basis van dit kenmerk worden door inductie verkregen wetenschappelijke wetten lange tijd getest op het niveau van probabilistische aannames om alle mogelijke structurele elementen, verbanden en invloeden te isoleren en te bestuderen.

In de wetenschap is een inductieve conclusie gebaseerd op significante kenmerken, met uitzondering van willekeurige bepalingen. Dit feit is belangrijk in verband met de specifieke kenmerken van wetenschappelijke kennis. Dit is duidelijk te zien in de voorbeelden van inductie in de wetenschap.

Er zijn twee soorten inductie in de wetenschappelijke wereld (in verband met de studiemethode):

1. inductie-selectie (of selectie);
2. inductie - uitsluiting (eliminatie).

Het eerste type onderscheidt zich door de methodische (nauwgezette) selectie van monsters van een klasse (subklassen) uit de verschillende gebieden ervan.

Een voorbeeld van dit soort inductie is het volgende: zilver (of zilverzouten) zuivert water. De conclusie is gebaseerd op jarenlange observaties (een soort selectie van bevestigingen en weerleggingen - selectie).

Het tweede type inductie is gebaseerd op conclusies die causale verbanden leggen en omstandigheden uitsluiten die niet overeenkomen met de eigenschappen ervan, namelijk universaliteit, vasthouden aan temporele volgorde, noodzaak en ondubbelzinnigheid.

Inductie en deductie vanuit de positie van de filosofie

Historisch gezien werd de term inductie voor het eerst genoemd door Socrates. Aristoteles beschreef voorbeelden van inductie in de filosofie in een meer benaderend terminologisch woordenboek, maar de kwestie van onvolledige inductie blijft open. Na de vervolging van het aristotelische syllogisme begon men de inductieve methode als vruchtbaar en de enige mogelijke in de natuurwetenschap te erkennen. Bacon wordt beschouwd als de vader van inductie als een onafhankelijke speciale methode, maar hij slaagde er niet in om inductie te scheiden van de deductieve methode, zoals zijn tijdgenoten eisten.

Inductie werd verder ontwikkeld door J. Mill, die de inductieve theorie beschouwde vanuit het perspectief van vier hoofdmethoden: overeenkomst, verschil, residuen en overeenkomstige veranderingen. Het is niet verrassend dat de genoemde methoden tegenwoordig, als ze in detail worden onderzocht, deductief zijn.

Het besef van de inconsistentie van de theorieën van Bacon en Mill bracht wetenschappers ertoe de probabilistische basis van inductie te bestuderen. Maar zelfs hier waren er enkele uitersten: er werden pogingen ondernomen om de inductie te herleiden tot de waarschijnlijkheidstheorie met alle gevolgen van dien.

Inductie krijgt een blijk van vertrouwen door praktische toepassing in bepaalde vakgebieden en dankzij de metrische nauwkeurigheid van de inductieve basis. Een voorbeeld van inductie en deductie in de filosofie kan worden beschouwd als de wet van de universele zwaartekracht. Op de datum waarop de wet werd ontdekt, kon Newton deze verifiëren met een nauwkeurigheid van 4 procent. En toen het meer dan tweehonderd jaar later werd gecontroleerd, werd de juistheid bevestigd met een nauwkeurigheid van 0,0001 procent, hoewel de verificatie werd uitgevoerd door middel van dezelfde inductieve generalisaties.

De moderne filosofie besteedt meer aandacht aan deductie, die wordt gedicteerd door de logische wens om nieuwe kennis (of waarheden) af te leiden uit wat al bekend is, zonder toevlucht te nemen tot ervaring of intuïtie, maar met behulp van ‘pure’ redenering. Wanneer in de deductieve methode naar ware premissen wordt verwezen, is de uitvoer in alle gevallen een ware bewering.

Dit zeer belangrijke kenmerk mag de waarde van de inductieve methode niet overschaduwen. Omdat inductie, gebaseerd op de verworvenheden van ervaring, ook een middel wordt om deze te verwerken (inclusief generalisatie en systematisering).

Toepassing van inductie in de economie

Inductie en deductie worden al lang gebruikt als methoden om de economie te bestuderen en de ontwikkeling ervan te voorspellen.

Het toepassingsgebied van de inductiemethode is vrij breed: het bestuderen van de vervulling van prognose-indicatoren (winsten, waardeverminderingen, enz.) en een algemene beoordeling van de toestand van de onderneming; vorming van een effectief ondernemingsbevorderingsbeleid gebaseerd op feiten en hun relaties.

Dezelfde inductiemethode wordt gebruikt in "Shewhart-kaarten", waarbij, onder de veronderstelling van de verdeling van processen in gecontroleerd en oncontroleerbaar, wordt gesteld dat het raamwerk van het gecontroleerde proces inactief is.

Opgemerkt moet worden dat wetenschappelijke wetten worden onderbouwd en bevestigd met behulp van de inductiemethode, en aangezien de economie een wetenschap is die vaak gebruik maakt van wiskundige analyse, risicotheorie en statistiek, is het helemaal niet verrassend dat inductie op de lijst van belangrijkste methoden staat.

Een voorbeeld van inductie en deductie in de economie is de volgende situatie. Een stijging van de prijs van voedsel (uit het consumentenmandje) en essentiële goederen zet de consument ertoe aan na te denken over de opkomende hoge kosten in de staat (inductie). Tegelijkertijd is het uit het feit van hoge prijzen mogelijk om met behulp van wiskundige methoden indicatoren af ​​te leiden van de prijsgroei voor individuele goederen of categorieën goederen (aftrek).

Meestal wenden managers, managers en economen zich tot de inductiemethode. Om de ontwikkeling van een onderneming, het marktgedrag en de gevolgen van concurrentie met voldoende waarheidsgetrouwheid te kunnen voorspellen, is een inductief-deductieve benadering van de analyse en verwerking van informatie noodzakelijk.

Een duidelijk voorbeeld van inductie in de economie met betrekking tot onjuiste oordelen:

• de winst van het bedrijf daalde met 30%;
  een concurrerend bedrijf heeft zijn productlijn uitgebreid;
  verder is er niets veranderd;
• het productiebeleid van een concurrerend bedrijf veroorzaakte een winstdaling met 30%;
• daarom moet hetzelfde productiebeleid worden geïmplementeerd.

Het voorbeeld is een kleurrijke illustratie van hoe onbeholpen gebruik van de inductiemethode bijdraagt ​​aan de ondergang van een onderneming.

Deductie en inductie in de psychologie

Omdat er een methode is, is er logischerwijs ook goed georganiseerd denken (om de methode te gebruiken). De psychologie als wetenschap die mentale processen, hun vorming, ontwikkeling, relaties en interacties bestudeert, besteedt aandacht aan 'deductief' denken, als een van de vormen van manifestatie van deductie en inductie. Helaas is er op psychologiepagina's op internet vrijwel geen rechtvaardiging voor de integriteit van de deductief-inductieve methode. Hoewel professionele psychologen vaker manifestaties van inductie tegenkomen, of beter gezegd, onjuiste conclusies.

Een voorbeeld van inductie in de psychologie, ter illustratie van onjuiste oordelen, is de uitspraak: mijn moeder bedriegt, daarom zijn alle vrouwen bedriegers. Je kunt nog meer ‘foutieve’ voorbeelden van inductie uit het leven verzamelen:

• een leerling is tot niets in staat als hij een slecht cijfer voor wiskunde haalt;
• hij is een dwaas;
• hij is slim;
• Ik kan alles doen;

En vele andere waardeoordelen die gebaseerd zijn op volledig willekeurige en soms onbeduidende uitgangspunten.

Opgemerkt moet worden: wanneer de misvatting van het oordeel van een persoon het punt van absurditeit bereikt, verschijnt er een grens van werk voor de psychotherapeut. Een voorbeeld van inductie bij een afspraak met een specialist:

“De patiënt is er absoluut zeker van dat de kleur rood in welke vorm dan ook alleen maar gevaarlijk voor hem is. Als gevolg hiervan heeft de persoon dit kleurenschema zoveel mogelijk uit zijn leven uitgesloten. Er zijn veel mogelijkheden voor een comfortabel verblijf thuis. Je kunt alle rode items weigeren of vervangen door analogen die in een ander kleurenschema zijn gemaakt. Maar op openbare plaatsen, op het werk, in een winkel is het onmogelijk. Wanneer een patiënt zich in een stressvolle situatie bevindt, ervaart hij elke keer een ‘vloed’ van totaal verschillende emotionele toestanden, die een gevaar voor anderen kunnen vormen.’

Dit voorbeeld van inductie en onbewuste inductie wordt ‘vaste ideeën’ genoemd. Als dit een geestelijk gezond persoon overkomt, kunnen we praten over een gebrek aan organisatie van mentale activiteit. Een manier om van obsessieve toestanden af ​​te komen kan de elementaire ontwikkeling van deductief denken zijn. In andere gevallen werken psychiaters met dergelijke patiënten.

De bovenstaande voorbeelden van inductie geven aan dat “onwetendheid van de wet u niet vrijstelt van de gevolgen (van onjuiste oordelen).”

Psychologen die zich bezighouden met het onderwerp deductief denken, hebben een lijst met aanbevelingen samengesteld om mensen te helpen deze methode onder de knie te krijgen.

Het eerste punt is het oplossen van problemen. Zoals u kunt zien, kan de vorm van inductie die in de wiskunde wordt gebruikt als ‘klassiek’ worden beschouwd, en het gebruik van deze methode draagt ​​bij aan de ‘discipline’ van de geest.

De volgende voorwaarde voor de ontwikkeling van deductief denken is het verbreden van de horizon (zij die helder denken, drukken zich duidelijk uit). Deze aanbeveling richt het ‘lijden’ op de schatkamers van wetenschap en informatie (bibliotheken, websites, educatieve initiatieven, reizen, enz.).

Speciale vermelding verdient de zogenaamde “psychologische inductie”. Deze term is, hoewel niet vaak, op internet te vinden. Alle bronnen geven niet op zijn minst een korte formulering van de definitie van deze term, maar verwijzen naar ‘voorbeelden uit het leven’, terwijl ze doorgaan als een nieuw soort inductie, hetzij suggestie, hetzij bepaalde vormen van geestesziekte, of extreme toestanden van het menselijk lichaam. menselijke psyche. Uit al het bovenstaande is het duidelijk dat een poging om een ​​“nieuwe term” af te leiden, gebaseerd op valse (vaak onware) premissen, de onderzoeker veroordeelt tot het verkrijgen van een foutieve (of overhaaste) verklaring.

Opgemerkt moet worden dat de verwijzing naar de experimenten van 1960 (zonder de locatie, de namen van de onderzoekers, de steekproef van proefpersonen en, belangrijker nog, het doel van het experiment) te vermelden, op zijn zachtst gezegd niet overtuigend lijkt, en de De bewering dat de hersenen informatie waarnemen die alle waarnemingsorganen omzeilt (de uitdrukking 'wordt beïnvloed' zou in dit geval organischer passen), doet nadenken over de goedgelovigheid en onkritiek van de auteur van de verklaring.

In plaats van een conclusie

Het is niet voor niets dat de koningin van de wetenschappen, de wiskunde, alle mogelijke reserves van de methode van inductie en deductie gebruikt. Uit de weloverwogen voorbeelden kunnen we concluderen dat de oppervlakkige en onhandige (gedachteloze, zoals ze zeggen) toepassing van zelfs de meest nauwkeurige en betrouwbare methoden altijd tot foutieve resultaten leidt.

In het massabewustzijn wordt de deductiemethode geassocieerd met de beroemde Sherlock Holmes, die in zijn logische constructies vaker voorbeelden van inductie gebruikt en deductie in de juiste situaties gebruikt.

Het artikel onderzocht voorbeelden van de toepassing van deze methoden in verschillende wetenschappen en domeinen van menselijke activiteit.

METHODE VAN WISKUNDIGE INDUCTIE

Het woord inductie betekent in het Russisch begeleiding, en conclusies gebaseerd op observaties, experimenten, d.w.z. worden inductief genoemd. verkregen door gevolgtrekking van het bijzondere naar het algemene.

We zien bijvoorbeeld elke dag dat de zon opkomt vanuit het oosten. Daarom kun je er zeker van zijn dat het morgen in het oosten zal verschijnen, en niet in het westen. We trekken deze conclusie zonder toevlucht te nemen tot enige aannames over de reden voor de beweging van de zon langs de hemel (bovendien blijkt deze beweging zelf duidelijk te zijn, aangezien de aardbol daadwerkelijk beweegt). En toch beschrijft deze inductieve conclusie correct de waarnemingen die we morgen zullen doen.

De rol van inductieve conclusies in de experimentele wetenschappen is zeer groot. Zij geven de bepalingen waaruit vervolgens via deductie verdere conclusies worden getrokken. En hoewel de theoretische mechanica gebaseerd is op de drie bewegingswetten van Newton, waren deze wetten zelf het resultaat van diep nadenken door middel van experimentele gegevens, in het bijzonder Keplers wetten van planetaire beweging, die hij afleidde uit de verwerking van vele jaren van observaties door de Deense astronoom Tycho. Brahe. Observatie en inductie blijken in de toekomst nuttig te zijn om de gemaakte aannames te verduidelijken. Na Michelsons experimenten met het meten van de lichtsnelheid in een bewegend medium, bleek het nodig om de wetten van de natuurkunde te verduidelijken en de relativiteitstheorie te creëren.

In de wiskunde is de rol van inductie grotendeels dat deze ten grondslag ligt aan de gekozen axiomatiek. Nadat uit de praktijk op lange termijn bleek dat een recht pad altijd korter is dan een gebogen of gebroken pad, lag het voor de hand om een ​​axioma te formuleren: voor elke drie punten A, B en C is de ongelijkheid

Het concept van volgen, dat de basis vormt van de rekenkunde, kwam ook naar voren uit observaties van de formatie van soldaten, schepen en andere geordende sets.

Men moet echter niet denken dat hiermee de rol van inductie in de wiskunde is uitgeput. Natuurlijk moeten we stellingen die logisch zijn afgeleid uit axioma's niet experimenteel testen: als er tijdens de afleiding geen logische fouten zijn gemaakt, dan zijn ze waar voor zover de axioma's die we hebben aanvaard waar zijn. Maar uit dit systeem van axioma's kunnen veel uitspraken worden afgeleid. En de selectie van die uitspraken die moeten worden bewezen, wordt opnieuw gesuggereerd door inductie. Dit maakt het mogelijk om nuttige stellingen van nutteloze te scheiden, geeft aan welke stellingen waar kunnen blijken te zijn en helpt zelfs om het bewijspad uit te stippelen.

De essentie van de methode van wiskundige inductie

In veel takken van de rekenkunde, algebra, meetkunde en analyse is het noodzakelijk om de waarheid van zinnen A(n) te bewijzen, afhankelijk van een natuurlijke variabele. Het bewijs van de waarheid van de stelling A(n) voor alle waarden van een variabele kan vaak worden uitgevoerd door de methode van wiskundige inductie, die gebaseerd is op het volgende principe.

De propositie A(n) wordt als waar beschouwd voor alle natuurlijke waarden van de variabele als aan de volgende twee voorwaarden is voldaan:

Propositie A(n) is waar voor n=1.

Uit de aanname dat A(n) waar is voor n=k (waarbij k een willekeurig natuurlijk getal is), volgt dat dit waar is voor de volgende waarde n=k+1.

Dit principe wordt het principe van wiskundige inductie genoemd. Het wordt meestal gekozen als een van de axioma's die de natuurlijke reeks getallen definiëren, en wordt daarom zonder bewijs aanvaard.

De methode van wiskundige inductie betekent de volgende bewijsmethode. Als je de waarheid van een zin A(n) wilt bewijzen voor alle natuurlijke n, dan moet je eerst de waarheid van de bewering A(1) controleren en ten tweede de waarheid van de bewering A(k) aannemen. probeer te bewijzen dat de bewering A(k +1) waar is. Als dit bewezen kan worden, en het bewijs blijft geldig voor elke natuurlijke waarde van k, dan wordt, in overeenstemming met het principe van wiskundige inductie, de stelling A(n) als waar erkend voor alle waarden van n.

De methode van wiskundige inductie wordt veel gebruikt bij het bewijzen van stellingen, identiteiten, ongelijkheden, bij het oplossen van deelbaarheidsproblemen, bij het oplossen van enkele geometrische en vele andere problemen.

De methode van wiskundige inductie bij het oplossen van problemen

deelbaarheid

Met behulp van de methode van wiskundige inductie kun je verschillende uitspraken over de deelbaarheid van natuurlijke getallen bewijzen.

De volgende bewering kan relatief eenvoudig worden bewezen. Laten we laten zien hoe dit wordt verkregen met behulp van de methode van wiskundige inductie.

voorbeeld 1. Als n een natuurlijk getal is, dan is het getal even.

Als n=1 is onze bewering waar: - een even getal. Laten we aannemen dat het een even getal is. Omdat , een 2k dus een even getal is zelfs. Pariteit is dus bewezen voor n=1, pariteit wordt afgeleid uit pariteit Dit betekent dat het zelfs voor alle natuurlijke waarden van n geldt.

Voorbeeld 2.Bewijs de waarheid van de zin

A(n)=(het getal 5 is een veelvoud van 19), n is een natuurlijk getal.

Oplossing.

De bewering A(1)=(een getal dat deelbaar is door 19) is waar.

Stel dat voor een bepaalde waarde n=k

A(k)=(getal deelbaar door 19) is waar. Toen, sindsdien

Het is duidelijk dat A(k+1) ook waar is. De eerste term is inderdaad deelbaar door 19 vanwege de aanname dat A(k) waar is; de tweede term is ook deelbaar door 19 omdat deze een factor 19 bevat. Aan beide voorwaarden van het principe van wiskundige inductie is voldaan, daarom is de stelling A(n) waar voor alle waarden van n.

Toepassing van de methode van wiskundige inductie op

optelreeksen

Voorbeeld 1.Bewijs formule

n is een natuurlijk getal.

Oplossing.

Wanneer n = 1, veranderen beide kanten van de gelijkheid naar één en daarom is aan de eerste voorwaarde van het principe van wiskundige inductie voldaan.

Laten we aannemen dat de formule correct is voor n=k, d.w.z.

.

Laten we beide kanten van deze gelijkheid vergroten en de rechterkant transformeren. Dan krijgen wij

Uit het feit dat de formule waar is voor n=k volgt dus dat deze ook geldt voor n=k+1. Deze bewering geldt voor elke natuurlijke waarde van k. Er is dus ook voldaan aan de tweede voorwaarde van het principe van wiskundige inductie. De formule is bewezen.

Voorbeeld 2.Bewijs dat de som van de eerste n getallen van de natuurlijke reeks gelijk is aan .

Oplossing.

Laten we het vereiste bedrag aangeven, d.w.z. .

Wanneer n=1 is de hypothese waar.

Laten . Laten we dat laten zien .

Inderdaad,

Het probleem is opgelost.

Voorbeeld 3.Bewijs dat de som van de kwadraten van de eerste n getallen van de natuurlijke reeks gelijk is aan .

Oplossing.

Laten .

.

Laten we dat doen . Dan

En tenslotte.

Voorbeeld 4. Bewijs dat .

Oplossing.

Als dan

Voorbeeld 5. Bewijs dat

Oplossing.

Wanneer n=1 is de hypothese duidelijk waar.

Laten .

Laten we dat bewijzen.

Echt,

Voorbeelden van het toepassen van de methode van wiskundige inductie op

bewijs van ongelijkheid

Voorbeeld 1.Bewijs dat voor elk natuurlijk getal n>1

.

Oplossing.

Laten we de linkerkant van de ongelijkheid aangeven met .

Daarom is voor n=2 de ongelijkheid geldig.

Laat een tijdje k. Laten we dat bewijzen dan en . We hebben , .

Vergelijken en , dat hebben we gedaan , d.w.z. .

Voor elk positief geheel getal k is de rechterkant van de laatste gelijkheid positief. Daarom . Maar dat betekent ook.

Voorbeeld 2.Zoek de fout in de redenering.

Stelling. Voor elk natuurlijk getal n geldt de ongelijkheid.

Bewijs.

. (1)

Laten we bewijzen dat de ongelijkheid dan ook geldt voor n=k+1, d.w.z.

.

Sterker nog, niet minder dan 2 voor elke natuurlijke k. Laten we aan de linkerkant van de ongelijkheid (1) en aan de rechterkant 2 optellen. We krijgen een eerlijke ongelijkheid, of . De stelling is bewezen.

Voorbeeld 3.Bewijs dat , waarbij >-1, , n een natuurlijk getal groter dan 1 is.

Oplossing.

Voor n=2 is de ongelijkheid waar, aangezien .

Laat de ongelijkheid waar zijn voor n=k, waarbij k een natuurlijk getal is, d.w.z.

. (1)

Laten we aantonen dat de ongelijkheid dan ook geldt voor n=k+1, d.w.z.

. (2)

Onder voorwaarde is de ongelijkheid dus waar

, (3)

verkregen uit ongelijkheid (1) door elk deel te vermenigvuldigen met . Laten we ongelijkheid (3) als volgt herschrijven: . Als we de positieve term aan de rechterkant van de laatste ongelijkheid weglaten, verkrijgen we een eerlijke ongelijkheid (2).

Voorbeeld 4. Bewijs dat

(1)

waarbij , , n een natuurlijk getal groter dan 1 is.

Oplossing.

Voor n=2 neemt ongelijkheid (1) de vorm aan

. (2)

Sinds , dan is de ongelijkheid waar

. (3)

Door aan elk deel van de ongelijkheid (3) toe te voegen, verkrijgen we ongelijkheid (2).

Dit bewijst dat voor n=2 ongelijkheid (1) waar is.

Laat ongelijkheid (1) waar zijn voor n=k, waarbij k een natuurlijk getal is, d.w.z.

. (4)

Laten we bewijzen dat ongelijkheid (1) ook waar moet zijn voor n=k+1, d.w.z.

(5)

Laten we beide zijden van de ongelijkheid (4) vermenigvuldigen met a+b. Omdat we, onder voorwaarde, de volgende eerlijke ongelijkheid verkrijgen:

. (6)

Om de geldigheid van ongelijkheid te bewijzen (5), is het voldoende om dat aan te tonen

, (7)

of, wat is hetzelfde,

. (8)

Ongelijkheid (8) is gelijk aan ongelijkheid

. (9)

Als , dan , en aan de linkerkant van ongelijkheid (9) hebben we het product van twee positieve getallen. Als , dan , en aan de linkerkant van ongelijkheid (9) hebben we het product van twee negatieve getallen. In beide gevallen is ongelijkheid (9) waar.

Dit bewijst dat de geldigheid van ongelijkheid (1) voor n=k de geldigheid ervan voor n=k+1 impliceert.

Methode van wiskundige inductie toegepast op anderen

taken

De meest natuurlijke toepassing van de methode van wiskundige inductie in de meetkunde, die dicht bij het gebruik van deze methode in de getaltheorie en algebra ligt, is de toepassing ervan op het oplossen van geometrische rekenproblemen. Laten we een paar voorbeelden bekijken.

Voorbeeld 1.Bereken de zijde van een regelmatig vierkant ingeschreven in een cirkel met straal R.

Oplossing.

Wanneer n=2 juist 2 N - een vierkant is een vierkant; zijn kant. Verder volgens de verdubbelingsformule

we vinden dat de zijkant van een regelmatige achthoek , zijde van een regelmatige zeshoek , zijde van een regelmatige tweeëndertig driehoek . We kunnen er daarom van uitgaan dat de zijde van de juiste ingeschreven 2 N - vierkant voor elk gelijk

. (1)

Laten we aannemen dat de zijde van een regelmatig ingeschreven vierkant wordt uitgedrukt door formule (1). In dit geval volgens de verdubbelingsformule

,

hieruit volgt dat formule (1) geldig is voor alle n.

Voorbeeld 2.In hoeveel driehoeken kan een n-hoek (niet noodzakelijk convex) worden verdeeld door zijn onsamenhangende diagonalen?

Oplossing.

Voor een driehoek is dit getal gelijk aan één (in een driehoek kan geen enkele diagonaal worden getekend); voor een vierhoek is dit aantal uiteraard twee.

Stel dat we al weten dat elke k-hoek, waarbij k 1 A 2 ...Een n in driehoeken.

Een

Een 1 Een 2

Laat A 1 A k een van de diagonalen van deze scheidingswand zijn; het verdeelt de n-hoek A 1 A 2 ...A n in de k-hoek A 1 A 2 ...A k en de (n-k+2)-hoek A 1 A k A k+1 .. .Een . Vanwege de gemaakte aanname zal het totale aantal driehoeken in de partitie gelijk zijn aan

(k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2;

Onze bewering is dus bewezen voor alle n.

Voorbeeld 3.Noem de regel voor het berekenen van het aantal P(n) van manieren waarop een convexe n-hoek door onsamenhangende diagonalen in driehoeken kan worden verdeeld.

Oplossing.

Voor een driehoek is dit getal uiteraard gelijk aan één: P(3)=1.

Laten we aannemen dat we de getallen P(k) voor alle k al hebben bepaald 1 A 2 ...Een n . Wanneer het in driehoeken is verdeeld, wordt zijde A 1 EEN 2 een zijde van een van de scheidingsdriehoeken zal zijn, kan het derde hoekpunt van deze driehoek samenvallen met elk van de punten A 3, A 4, …, Een n . Het aantal manieren om een ​​n-hoek te verdelen waarin dit hoekpunt samenvalt met punt A 3 , is gelijk aan het aantal manieren om de (n-1)-hoek A in driehoeken te verdelen 1 A 3 A 4 …Een n , d.w.z. is gelijk aan P(n-1). Het aantal partitiemethoden waarbij dit hoekpunt samenvalt met A 4 , is gelijk aan het aantal manieren om de (n-2)-hoek A te verdelen 1 A 4 A 5 …Een n , d.w.z. is gelijk aan P(n-2)=P(n-2)P(3); aantal partitiemethoden waarin het samenvalt met A 5 , is gelijk aan P(n-3)P(4), aangezien elk van de partities van de (n-3)-hoek A 1 A 5 ...Een n kan worden gecombineerd met elk van de partities van de vierhoek A 2 EEN 3 EEN 4 EEN 5 , enz. Zo komen we tot de volgende relatie:

Р(n)=P(n-1)+P(n-2)P(3)+P(n-3)P(4)+…+P(3)P(n-2)+P(n -1).

Met behulp van deze formule verkrijgen we consequent:

P(4)=P(3)+P(3)=2,

P(5)=P(4)+P(3)P(3)+P(4)+5,

P(6)=P(5)+P(4)P(3)+P(3)P(4)+P(5)=14

enz.

Je kunt ook problemen met grafieken oplossen met behulp van de methode van wiskundige inductie.

Laat er een netwerk van lijnen in het vlak zijn die enkele punten met elkaar verbinden en geen andere punten hebben. We zullen zo'n netwerk van lijnen een kaart noemen, gegeven punten als de hoekpunten, segmenten van curven tussen twee aangrenzende hoekpunten - de grenzen van de kaart, delen van het vlak waarin het is verdeeld door grenzen - de landen van de kaart.

Laat in het vliegtuig een kaart worden gegeven. We zullen zeggen dat het de juiste kleur heeft als elk van zijn landen met een bepaalde kleur is geverfd, en twee landen met een gemeenschappelijke grens zijn met verschillende kleuren geverfd.

Voorbeeld 4.Er zijn n cirkels in het vlak. Bewijs dat voor elke opstelling van deze cirkels de kaart die ze vormen correct kan worden gekleurd met twee kleuren.

Oplossing.

Voor n=1 ligt onze verklaring voor de hand.

Laten we aannemen dat onze bewering waar is voor elke kaart gevormd door n cirkels, en stellen dat er n+1 cirkels in het vlak zijn. Door een van deze cirkels te verwijderen, krijgen we een kaart die, op grond van de gemaakte aanname, correct kan worden gekleurd met twee kleuren, bijvoorbeeld zwart en wit.

Inductie is een methode om uit bepaalde waarnemingen een algemene uitspraak te verkrijgen. In het geval dat een wiskundige uitspraak een eindig aantal objecten betreft, kan deze worden bewezen door voor elk object te testen. De uitspraak: ‘Elk even getal van twee cijfers is de som van twee priemgetallen’, volgt bijvoorbeeld uit een reeks gelijkheden die heel goed vast te stellen zijn:

10=5+5 12=5+7 14=7+7 16=5+11 . . . 92=3+89 94=5+89 96=7+89 98=19+79.

Een bewijsmethode waarbij een bewering wordt geverifieerd voor een eindig aantal gevallen waarbij alle mogelijkheden zijn uitgeput, wordt volledige inductie genoemd. Deze methode wordt relatief zelden gebruikt, omdat wiskundige uitspraken in de regel geen eindige, maar oneindige sets objecten betreffen. De bewering over zelfs getallen van twee cijfers die hierboven door volledige inductie zijn bewezen, is bijvoorbeeld slechts een speciaal geval van de stelling: "Elk even getal is de som van twee priemgetallen." Deze stelling is nog niet bewezen of weerlegd.

Wiskundige inductie is een methode om een ​​bepaalde bewering voor elk natuurlijk getal n te bewijzen, gebaseerd op het principe van wiskundige inductie: “Als een bewering waar is voor n=1 en de geldigheid ervan voor n=k impliceert de geldigheid van deze bewering voor n=k +1, dan geldt het voor alle n " De bewijsmethode door wiskundige inductie is als volgt:

1) inductiebasis: ze bewijzen of controleren rechtstreeks de geldigheid van de bewering voor n=1 (soms n=0 of n=n 0);

2) inductiestap (transitie): ze veronderstellen de geldigheid van de bewering voor een natuurlijk getal n=k en bewijzen, op basis van deze aanname, de geldigheid van de bewering voor n=k+1.

Problemen met oplossingen

1. Bewijs dat voor elk natuurlijk getal n het getal 3 2n+1 +2 n+2 deelbaar is door 7.

Laten we A(n)=3 2n+1 +2 n+2 aanduiden.

Inductiebasis. Als n=1, dan is A(1)=3 3 +2 3 =35 en uiteraard deelbaar door 7.

Inductie-veronderstelling. Laat A(k) deelbaar zijn door 7.

Inductie overgang. Laten we bewijzen dat A(k+1) deelbaar is door 7, dat wil zeggen de geldigheid van de bewering van het probleem voor n=k.

A(k+1)=3 2(k+1)+1 +2 (k+1)+2 =3 2k+1 ·3 2 +2 k+2 ·2 1 =3 2k+1 ·9+2 k+2 ·2=

3 2k+1 9+2 k+2 (9–7)=(3 2k+1 +2 k+2) 9–7 2 k+2 =9 A(k)–7 2 k +2.

Het laatste getal is deelbaar door 7, omdat het het verschil is tussen twee gehele getallen die deelbaar zijn door 7. Daarom is 3 2n+1 +2 n+2 deelbaar door 7 voor elk natuurlijk getal n.

2. Bewijs dat voor elk natuurlijk getal n het getal 2 3 n +1 deelbaar is door 3 n+1 en niet deelbaar door 3 n+2.

Laten we de notatie introduceren: a i =2 3 i +1.

Voor n=1 geldt: en 1 =2 3 +1=9. Een 1 is dus deelbaar door 3 2 en niet deelbaar door 3 3.

Stel dat voor n=k het getal a k deelbaar is door 3 k+1 en niet deelbaar door 3 k+2, dat wil zeggen a k =2 3 k +1=3 k+1 m, waarbij m niet deelbaar is door 3. Dan

en k+1 =2 3 k+1 +1=(2 3 k) 3 +1=(2 3 k +1)(2 3 k ·2 –2 3 k +1)=3 k+1 ·m· ((2 3 k +1) 2 –3·2 3 k)=3 k+1 ·m·((3 k+1 ·m) 2 –3·2 3 k)=

3 k+2 ·m·(3 2k+1 ·m 2 –2 3 k).

Het is duidelijk dat k+1 deelbaar is door 3 k+2 en niet deelbaar door 3 k+3.

Daarom is de bewering bewezen voor elk natuurlijk getal n.

3. Het is bekend dat x+1/x een geheel getal is. Bewijs dat x n +1/x n ook een geheel getal is voor elk geheel getal n.

Laten we de notatie introduceren: a i =х i +1/х i en meteen opmerken dat a i =а –i, dus we zullen doorgaan met praten over natuurlijke indices.

Opmerking: een 1 is volgens afspraak een geheel getal; en 2 is een geheel getal, aangezien a 2 = (a 1) 2 –2; en 0 =2.

Laten we aannemen dat a k een geheel getal is voor elk natuurlijk getal k dat n niet overschrijdt. Dan is a 1 ·a n een geheel getal, maar a 1 ·a n =a n+1 +a n–1 en a n+1 =a 1 ·a n –a n–1 . Volgens de inductiehypothese is n–1 echter een geheel getal. Dit betekent dat een n+1 ook een geheel getal is. Daarom is x n +1/x n een geheel getal voor elk geheel getal n, en dat is wat bewezen moest worden.

4. Bewijs dat voor elk natuurlijk getal n groter dan 1 de dubbele ongelijkheid waar is

5. Bewijs dat voor natuurlijke n > 1 en |x|

(1–x)n +(1+x)n

Voor n=2 is de ongelijkheid waar. Echt,

(1–x) 2 +(1+x) 2 = 2+2 x 2

Als de ongelijkheid waar is voor n=k, dan geldt dat ook voor n=k+1

(1–x) k+1 +(1+x) k+1

De ongelijkheid is bewezen voor elk natuurlijk getal n > 1.

6. Er zijn n cirkels in een vlak. Bewijs dat voor elke opstelling van deze cirkels de kaart die ze vormen correct kan worden gekleurd met twee kleuren.

Laten we de methode van wiskundige inductie gebruiken.

Voor n=1 ligt de verklaring voor de hand.

Laten we aannemen dat de bewering waar is voor elke kaart gevormd door n cirkels, en stellen dat er n+1 cirkels in het vlak zijn. Door één van deze cirkels te verwijderen, krijgen we een kaart die, op basis van de gemaakte aanname, correct kan worden ingekleurd met twee kleuren (zie de eerste afbeelding hieronder).

Laten we dan de weggegooide cirkel herstellen en aan één kant ervan, bijvoorbeeld aan de binnenkant, de kleur van elk gebied veranderen in het tegenovergestelde (zie de tweede afbeelding). Het is gemakkelijk in te zien dat we in dit geval een kaart krijgen die correct is gekleurd met twee kleuren, maar nu alleen voor n+1 cirkels, wat moest worden bewezen.

7. We noemen een convexe veelhoek “mooi” als aan de volgende voorwaarden is voldaan:

1) elk van de hoekpunten is geschilderd in een van de drie kleuren;

2) twee aangrenzende hoekpunten zijn in verschillende kleuren geverfd;

3) minstens één hoekpunt van de polygoon is in elk van de drie kleuren geschilderd.

Bewijs dat elke mooie n-hoek door onsamenhangende diagonalen in “mooie” driehoeken kan worden gesneden.

Laten we de methode van wiskundige inductie gebruiken.

Inductiebasis. Met de kleinst mogelijke n=3 is de probleemstelling duidelijk: de hoekpunten van de “mooie” driehoek zijn in drie verschillende kleuren geschilderd en er zijn geen uitsnijdingen nodig.

Inductie-veronderstelling. Laten we aannemen dat de probleemstelling geldt voor elke ‘mooie’ n-gon.

Inductie stap. Laten we een willekeurige “mooie” (n+1)-hoek bekijken en met behulp van de inductiehypothese bewijzen dat deze door bepaalde diagonalen in “mooie” driehoeken kan worden gesneden. Laten we de opeenvolgende hoekpunten van de (n+1)-hoek aanduiden met A 1, A 2, A 3, ... A n, A n+1. Als slechts één hoekpunt van een (n+1)-hoek gekleurd is in een van de drie kleuren, dan verkrijgen we door dit hoekpunt met diagonalen te verbinden met alle hoekpunten die er niet aan grenzen, de noodzakelijke verdeling van de (n+1)-hoek. )-gon in “mooie” driehoeken.

Als minstens twee hoekpunten van een (n+1)-gon in elk van de drie kleuren gekleurd zijn, dan duiden we de kleur van hoekpunt A 1 aan met nummer 1, en de kleur van hoekpunt A 2 met nummer 2. Laat k het kleinste getal zijn zodat hoekpunt A k in de derde kleur gekleurd is. Het is duidelijk dat k > 2. Laten we de driehoek A k–2 A k–1 A k afsnijden van de (n+1)-hoek met diagonaal A k–2 A k. In overeenstemming met de keuze van het getal k zijn alle hoekpunten van deze driehoek in drie verschillende kleuren geverfd, dat wil zeggen dat deze driehoek “mooi” is. De convexe n-hoek A 1 A 2 ... A k–2 A k A k+1 ... A n+1 , die overblijft, zal op grond van de inductieve aanname ook “mooi” zijn, dat wil zeggen het is verdeeld in “mooie” driehoeken, die bewezen moesten worden.

8. Bewijs dat het in een convexe n-hoek onmogelijk is om meer dan n diagonalen te kiezen, zodat er twee een gemeenschappelijk punt hebben.

Laten we het bewijs uitvoeren met behulp van de methode van wiskundige inductie.

Laten we een algemenere bewering bewijzen: in een convexe n-hoek is het onmogelijk om meer dan n zijden en diagonalen te kiezen, zodat er twee een gemeenschappelijk punt hebben. Voor n = 3 ligt de verklaring voor de hand. Laten we aannemen dat deze bewering waar is voor een willekeurige n-hoek, en met behulp hiervan zullen we de geldigheid ervan bewijzen voor een willekeurige (n+1)-hoek.

Laten we aannemen dat deze bewering niet waar is voor een (n+1)-hoek. Als er uit elk hoekpunt van een (n+1)-hoek niet meer dan twee geselecteerde zijden of diagonalen tevoorschijn komen, dan worden er in totaal niet meer dan n+1 geselecteerd. Daarom zijn er vanaf een bepaald hoekpunt A ten minste drie geselecteerde zijden of diagonalen AB, AC, AD. Laat AC tussen AB en AD liggen. Aangezien elke zijde of diagonaal die uit punt C komt en anders dan CA niet tegelijkertijd AB en AD kan snijden, komt er slechts één gekozen diagonaal CA uit punt C.

Als we punt C samen met diagonaal CA weglaten, krijgen we een convexe n-hoek waarin meer dan n zijden en diagonalen zijn geselecteerd, waarvan er twee een gemeenschappelijk punt hebben. We komen dus in tegenspraak met de veronderstelling dat de bewering waar is voor een willekeurige convexe n-hoek.

Voor een (n+1)-gon is de uitspraak dus waar. Volgens het principe van wiskundige inductie geldt de bewering voor elke convexe n-hoek.

9. Er zijn n rechte lijnen in een vlak, waarvan er geen twee evenwijdig zijn en geen drie door hetzelfde punt gaan. In hoeveel delen verdelen deze lijnen het vlak?

Met behulp van elementaire tekeningen kunt u eenvoudig verifiëren dat één rechte lijn het vlak in twee delen verdeelt, twee rechte lijnen in vier delen, drie rechte lijnen in zeven delen en vier rechte lijnen in elf delen.

Laten we met N(n) het aantal delen aangeven waarin n rechte lijnen het vlak verdelen. Dat kan worden opgemerkt

N(2)=N(1)+2=2+2,

N(3)=N(2)+3=2+2+3,

N(4)=N(3)+4=2+2+3+4.

Het is logisch om dat aan te nemen

N(n)=N(n–1)+n=2+2+3+4+5+…+n,

of, zoals gemakkelijk vast te stellen, met behulp van de formule voor de som van de eerste n termen van een rekenkundige progressie,

N(n)=1+n(n+1)/2.

Laten we de geldigheid van deze formule bewijzen met behulp van de methode van wiskundige inductie.

Voor n=1 is de formule al gecontroleerd.

Nu we de inductieaanname hebben gedaan, beschouwen we k+1-lijnen die aan de voorwaarden van het probleem voldoen. Laten we er op willekeurige wijze k rechte lijnen uit selecteren. Volgens de inductiehypothese zullen ze het vlak opsplitsen in 1+ k(k+1)/2 delen. De resterende (k+1)de rechte lijn wordt door de geselecteerde k rechte lijnen verdeeld in k+1 delen en loopt daarom langs het (k+1)de deel waarin het vlak al is verdeeld, en elk van deze delen wordt in 2 delen verdeeld, dat wil zeggen dat er nog een k+1 deel wordt toegevoegd. Dus,

N(k+1)=N(k)+k+1=1+ k(k+1)/2+k+1=1+(k+1)(k+2)/2,

QED

10. In de uitdrukking x 1: x 2: ...: x n worden haakjes geplaatst om de volgorde van de acties aan te geven en wordt het resultaat als een breuk geschreven:

(in dit geval staat elk van de letters x 1, x 2, ..., x n in de teller van de breuk of in de noemer). Hoeveel verschillende uitdrukkingen kunnen op deze manier worden verkregen met alle mogelijke manieren om haakjes te plaatsen?

Allereerst is het duidelijk dat in de resulterende breuk x 1 in de teller zal staan. Het is bijna net zo duidelijk dat x 2 in de noemer zal staan, ongeacht hoe de haakjes worden geplaatst (het deelteken voor x 2 verwijst naar x 2 zelf of naar een uitdrukking die x 2 in de teller bevat).

Er kan worden aangenomen dat alle andere letters x 3, x 4, ..., x n op volledig willekeurige wijze in de teller of noemer kunnen worden geplaatst. Hieruit volgt dat je in totaal 2 n–2 breuken kunt krijgen: elk van de n–2 letters x 3, x 4, ..., x n kan onafhankelijk van de anderen in de teller of noemer voorkomen.

Laten we deze bewering bewijzen door inductie.

Met n=3 kun je 2 breuken krijgen:

dus de stelling is waar.

Laten we aannemen dat het waar is voor n=k en dit bewijzen voor n=k+1.

Laat de uitdrukking x 1:x 2: ... :x k na enige plaatsing van haakjes geschreven worden in de vorm van een bepaalde breuk Q. Als we in deze uitdrukking in plaats van x k x k:x k+1 vervangen, dan zal x k zijn op dezelfde plaats als in breuk Q, en x k+1 zal niet zijn waar x k was (als x k in de noemer stond, dan zal x k+1 in de teller staan ​​en vice versa).

Nu zullen we bewijzen dat we x k+1 kunnen optellen op dezelfde plaats waar x k zich bevindt. In de breuk Q zal er, na het plaatsen van de haakjes, noodzakelijkerwijs een uitdrukking voorkomen in de vorm q:x k, waarbij q de letter x k–1 is of een uitdrukking tussen haakjes. Als we q:x k vervangen door de uitdrukking (q:x k):x k+1 =q:(x k ·x k+1), krijgen we uiteraard dezelfde breuk Q, waarbij er in plaats van x k x k ·x k+1 is.

Het aantal van alle mogelijke breuken in het geval n=k+1 is dus 2 keer groter dan in het geval n=k en is gelijk aan 2 k–2 ·2=2 (k+1)–2. Daarmee is de stelling bewezen.

Antwoord: 2 n–2 breuken.

Problemen zonder oplossingen

1. Bewijs dat voor elke natuurlijke n:

a) het getal 5 n –3 n +2n is deelbaar door 4;

b) het getal n 3 +11n is deelbaar door 6;

c) het getal 7 n +3n–1 is deelbaar door 9;

d) het getal 6 2n +19 n –2 n+1 is deelbaar door 17;

e) het getal 7 n+1 +8 2n–1 is deelbaar door 19;

e) het getal 2 2n–1 –9n 2 +21n–14 is deelbaar door 27.

2. Bewijs dat (n+1)·(n+2)· …·(n+n) = 2 n ·1·3·5·…·(2n–1).

3. Bewijs de ongelijkheid |sin nx| n|zonde x| voor elke natuurlijke n.

4. Vind natuurlijke getallen a, b, c die niet deelbaar zijn door 10 en zodanig dat voor elke natuurlijke n de getallen a n + b n en c n dezelfde laatste twee cijfers hebben.

5. Bewijs dat als n punten niet op dezelfde lijn liggen, er onder de lijnen die ze verbinden er minstens n verschillende zijn.

Savelyeva Ekaterina

Het artikel bespreekt de toepassing van de methode van wiskundige inductie bij het oplossen van deelbaarheidsproblemen en het optellen van reeksen. Er worden voorbeelden overwogen van het toepassen van de methode van wiskundige inductie om ongelijkheden te bewijzen en geometrische problemen op te lossen. Het werk wordt geïllustreerd met een presentatie.

Downloaden:

Voorbeeld:

Ministerie van Wetenschap en Onderwijs van de Russische Federatie

Staatsonderwijsinstelling

middelbare school nr. 618

Cursus: algebra en begin van analyse

Onderwerp projectwerk

“De methode van wiskundige inductie en de toepassing ervan bij het oplossen van problemen”

Werk voltooid: Savelyeva E, 11B-klasse

Leidinggevende : Makarova T.P., wiskundeleraar, middelbare school nr. 618

1. Inleiding.

2. Methode van wiskundige inductie bij het oplossen van deelbaarheidsproblemen.

3. Toepassing van de methode van wiskundige inductie op de sommatie van reeksen.

4. Voorbeelden van het toepassen van de methode van wiskundige inductie op het bewijs van ongelijkheden.

5. Toepassing van de methode van wiskundige inductie bij het oplossen van geometrische problemen.

6. Lijst met gebruikte literatuur.

Invoering

De basis van elk wiskundig onderzoek zijn deductieve en inductieve methoden. De deductieve manier van redeneren is redeneren van het algemene naar het specifieke, d.w.z. redeneren, waarvan het uitgangspunt het algemene resultaat is, en het eindpunt het specifieke resultaat. Inductie wordt gebruikt bij het overgaan van specifieke resultaten naar algemene resultaten, d.w.z. is het tegenovergestelde van de deductieve methode. De methode van wiskundige inductie kan worden vergeleken met vooruitgang. We beginnen vanaf het laagste, en als resultaat van logisch denken komen we tot het hoogste. De mens heeft altijd gestreefd naar vooruitgang, naar het vermogen om zijn gedachten logisch te ontwikkelen, wat betekent dat de natuur zelf hem voorbestemd heeft om inductief te denken. Hoewel het toepassingsgebied van de methode van wiskundige inductie is gegroeid, wordt er in het schoolcurriculum weinig tijd aan besteed, maar het is zo belangrijk om inductief te kunnen denken. De toepassing van dit principe bij het oplossen van problemen en het bewijzen van stellingen staat op één lijn met de overweging in de schoolpraktijk van andere wiskundige principes: uitgesloten midden, inclusie-uitsluiting, Dirichlet, enz. Deze samenvatting bevat problemen uit verschillende takken van de wiskunde, waarin de belangrijkste hulpmiddel is de gebruiksmethode van wiskundige inductie. Sprekend over het belang van deze methode, zei A.N. Kolmogorov merkte op dat “het begrijpen en kunnen toepassen van het principe van wiskundige inductie een goed criterium voor volwassenheid is, wat absoluut noodzakelijk is voor een wiskundige.” De inductiemethode in brede zin bestaat uit de overgang van bepaalde observaties naar een universeel, algemeen patroon of algemene formulering. In deze interpretatie is de methode uiteraard de belangrijkste methode voor het uitvoeren van onderzoek in elke experimentele natuurwetenschappen.

menselijke activiteit. De methode (principe) van wiskundige inductie in zijn eenvoudigste vorm wordt gebruikt wanneer het nodig is om een ​​bepaalde bewering voor alle natuurlijke getallen te bewijzen.

Taak 1. In zijn artikel "Hoe ik een wiskundige werd" A.N. Kolmogorov schrijft: ‘Ik leerde al vroeg de vreugde van een wiskundige ‘ontdekking’ kennen, nadat ik op vijf- of zesjarige leeftijd een patroon had opgemerkt

1 =1 2 ,

1 + 3 = 2 2 ,

1 + 3 + 5 = 3 2,

1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 enzovoort.

De school publiceerde het tijdschrift "Spring Swallows". Daarin werd mijn ontdekking gepubliceerd...”

We weten niet wat voor soort bewijsmateriaal er in dit tijdschrift werd gegeven, maar het begon allemaal met privé-observaties. De hypothese zelf, die waarschijnlijk ontstond na de ontdekking van deze gedeeltelijke gelijkheden, is dat de formule

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n 2

geldt voor elk gegeven getal n = 1, 2, 3, ...

Om deze hypothese te bewijzen, volstaat het om twee feiten vast te stellen. In de eerste plaats voor n = 1 (en zelfs voor n = 2, 3, 4) de gewenste bewering is waar. Ten tweede, stel dat de bewering waar is p = k, en wij zorgen ervoor dat het dan ook waar is n = k + 1:

1 + 3 + 5+…+ (2k - 1) + (2k + 1) = (1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)) + (2k + 1) = k 2 + (2k + 1) = (k+ik) 2.

Dit betekent dat de bewering die wordt bewezen waar is voor alle waarden n: voor n = 1 het is waar (dit is geverifieerd), en vanwege het tweede feit - voor n = 2, vandaar voor n = 3 (vanwege hetzelfde, tweede feit), etc.

Probleem 2. Beschouw alle mogelijke gewone breuken met teller 1 en elk (positief geheel getal)

(nominale) noemer: Bewijs dat voor iedereen p> 3 kunnen we de eenheid als een som weergeven P verschillende fracties van dit type.

Oplossing, Laten we deze verklaring eerst controleren n = 3; we hebben:

Er is dus voldaan aan de basisverklaring

Laten we nu aannemen dat de uitspraak waarin we geïnteresseerd zijn voor een bepaald aantal waar is Naar, en bewijs dat dit ook geldt voor het getal dat erop volgt Naar + 1. Met andere woorden: stel dat er een representatie is

waarin k termen en alle noemers zijn verschillend. Laten we bewijzen dat we dan een representatie van eenheid als som kunnen verkrijgen Naar + 1 fracties van het gewenste type. We gaan ervan uit dat de breuken afnemen, dat wil zeggen dat de noemers (in de weergave van de eenheid door de som Naar termen) van links naar rechts toenemen, zodat T - de grootste van de noemers. Wij krijgen de vertegenwoordiging die wij nodig hebben in de vorm van een geldbedrag(Naar + 1)de breuk, als we één breuk, bijvoorbeeld de laatste, in tweeën splitsen. Dit kan gedaan worden omdat

En daarom

Bovendien bleven alle fracties sindsdien verschillend T was de grootste noemer, en t + 1 > t, en

t(t+1) >t.

Zo hebben we vastgesteld:

1. met n= 3 deze bewering is waar;

1. als de bewering waarin we geïnteresseerd zijn, waar is Naar,
   dan geldt het ook voor k + 1.

Op basis hiervan kunnen we beweren dat de uitspraak in kwestie waar is voor alle natuurlijke getallen, beginnend bij drie. Bovendien impliceert het bovenstaande bewijs ook een algoritme voor het vinden van de vereiste eenheidspartitie. (Welk algoritme is dit? Stel je het getal 1 voor als de som van 4, 5, 7 termen op zichzelf.)

Bij het oplossen van de voorgaande twee problemen zijn twee stappen gezet. De eerste stap wordt genoemd basis inductie, tweede -inductieve overgangof stap van inductie. De tweede stap is de belangrijkste en omvat het maken van een aanname (de uitspraak is waar wanneer n = k) en conclusie (de bewering is waar wanneer n = k + 1). De parameter n zelf wordt aangeroepen inductieparameter.Dit logische schema (techniek), dat ons in staat stelt te concluderen dat de bewering in kwestie waar is voor alle natuurlijke getallen (of voor alle, beginnend bij enkele), aangezien zowel de basis als de overgang geldig zijn, wordt genoemdhet principe van wiskundige inductie, waarop De methode van wiskundige inductie is gebaseerd.De term ‘inductie’ zelf komt van het Latijnse woord inductie (begeleiding), wat de overgang betekent van afzonderlijke kennis over individuele objecten van een bepaalde klasse naar een algemene conclusie over alle objecten van een bepaalde klasse, wat een van de belangrijkste methoden van cognitie is.

Het principe van wiskundige inductie, precies in de bekende vorm van twee stappen, verscheen voor het eerst in 1654 in Blaise Pascals ‘Treatise on the Arithmetic Triangle’, waarin een eenvoudige manier om het aantal combinaties (binomiale coëfficiënten) te berekenen werd bewezen door inductie. D. Polya citeert B. Pascal in het boek met kleine wijzigingen tussen vierkante haken:

“Hoewel het voorstel in kwestie [de expliciete formule voor binomiale coëfficiënten] talloze speciale gevallen bevat, zal ik er een heel kort bewijs voor geven, gebaseerd op twee lemma’s.

Het eerste lemma stelt dat de aanname om de reden waar is - dit ligt voor de hand. [Bij P = 1 expliciete formule is geldig...]

Het tweede lemma luidt als volgt: als onze aanname waar is op een willekeurige basis [voor een willekeurige r], dan zal deze waar zijn om de volgende reden [voor n+1].

Uit deze twee lemma's volgt noodzakelijkerwijs dat de propositie geldig is voor alle waarden P. Op grond van het eerste lemma is het inderdaad waar P = 1; daarom is het op grond van het tweede lemma waar voor P = 2; daarom is het, opnieuw op grond van het tweede lemma, geldig voor n = 3 enzovoort tot in het oneindige.”

Opgave 3. De puzzel Towers of Hanoi bestaat uit drie staven. Op een van de staven bevindt zich een piramide (Fig. 1), bestaande uit verschillende ringen met verschillende diameters, afnemend van onder naar boven

Figuur 1

Deze piramide moet naar een van de andere staven worden verplaatst, waarbij telkens slechts één ring wordt verplaatst en de grotere ring niet op de kleinere wordt geplaatst. Is het mogelijk om dit te doen?

Oplossing. We moeten dus de vraag beantwoorden: is het mogelijk om een ​​piramide bestaande uit te verplaatsen? P ringen met verschillende diameters, van de ene staaf naar de andere, volgens de spelregels? Nu hebben we, zoals ze zeggen, het probleem geparametriseerd (er is een natuurlijk getal in beschouwing genomen P), en het kan worden opgelost door wiskundige inductie.

1. Inductiebasis. Wanneer n = 1 alles is duidelijk, aangezien een piramide van één ring uiteraard naar elke staaf kan worden verplaatst.
2. Inductie stap. Laten we aannemen dat we elke piramide met het aantal ringen kunnen verplaatsen p = k.
   Laten we bewijzen dat we dan de pyra midka kunnen verplaatsen n = k + 1.

Piramide van tot ringen die op de grootste liggen(Naar + 1)-de ring, we kunnen deze, volgens de veronderstelling, naar een andere staaf verplaatsen. Laten we het doen. roerloos(Naar + De 1)e ring zal ons er niet van weerhouden het bewegingsalgoritme uit te voeren, aangezien dit de grootste is. Na verhuizing Naar ringen, laten we deze grootste verplaatsen(Naar + 1)de ring op de overgebleven staaf. En dan passen we opnieuw het bewegingsalgoritme toe dat ons bekend is door inductieve aanname Naar ringen, en verplaats ze naar de staaf met degene die eronder ligt(Naar + 1)de ring. Dus als we weten hoe we piramides moeten verplaatsen Naar ringen, dan weten we hoe we de piramides moeten verplaatsen en mee Naar + 1 ringen. Daarom is het volgens het principe van wiskundige inductie altijd mogelijk om de piramide bestaande uit te verplaatsen n ringen, waarbij n > 1.

Methode van wiskundige inductie bij het oplossen van deelbaarheidsproblemen.

Met behulp van de methode van wiskundige inductie kun je verschillende uitspraken over de deelbaarheid van natuurlijke getallen bewijzen.

Probleem 4 . Als n een natuurlijk getal is, dan is het getal even.

Als n=1 is onze bewering waar: - een even getal. Laten we aannemen dat het een even getal is. Omdat 2k een even getal is, is het ook even. Pariteit is dus bewezen voor n=1, pariteit wordt afgeleid van pariteit, dit betekent dat het zelfs geldt voor alle natuurlijke waarden van n.

Probleem 3. Bewijs dat het getal Z 3 + 3 - 26n - 27 met willekeurige natuurlijke n is deelbaar door 26 2 zonder rest.

Oplossing. Laten we eerst door inductie de aanvullende bewering bewijzen dat 3 3n+3 — 1 is deelbaar door 26 zonder rest wanneer n > 0.

1. Inductiebasis. Voor n = 0 geldt: 3 3 - 1 = 26 – deelbaar door 26.

Inductie stap. Laten we aannemen dat 3 3n+3 - 1 wordt gedeeld door 26 wanneer n = k, en Laten we bewijzen dat in dit geval de bewering waar zal zijn n = k + 1. Sinds 3

vervolgens concluderen we uit de inductieve hypothese dat het getal 3 3k + 6 - 1 is deelbaar door 26.

Nu gaan we de stelling bewijzen die in de probleemstelling geformuleerd is. En opnieuw door inductie.

1. Inductiebasis. Het is duidelijk wanneer n = 1 bewering is waar: sinds 3 3+3 - 26 - 27 = 676 = 26 2 .
2. Inductie stap. Laten we aannemen dat wanneer p = k
   expressie 3 3k + 3 - 26k - 27 wordt gedeeld door 26 2 zonder rest, en bewijs dat de bewering waar is n = k+ 1,
   dat wil zeggen, dat nummer

deelbaar door 26 2 zonder een spoor. In de laatste som zijn beide termen deelbaar door 26 2 . De eerste is omdat we hebben bewezen dat de uitdrukking tussen haakjes deelbaar is door 26; de tweede is gebaseerd op de inductiehypothese. Dankzij het principe van wiskundige inductie is de gewenste bewering volledig bewezen.

Toepassing van de methode van wiskundige inductie op de sommatie van reeksen.

Taak 5. Bewijs formule

N is een natuurlijk getal.

Oplossing.

Wanneer n = 1, veranderen beide kanten van de gelijkheid naar één en daarom is aan de eerste voorwaarde van het principe van wiskundige inductie voldaan.

Laten we aannemen dat de formule correct is voor n=k, d.w.z.

Laten we beide kanten van deze gelijkheid vergroten en de rechterkant transformeren. Dan krijgen wij

Uit het feit dat de formule waar is voor n=k volgt dus dat deze ook geldt voor n=k+1. Deze bewering geldt voor elke natuurlijke waarde van k. Er is dus ook voldaan aan de tweede voorwaarde van het principe van wiskundige inductie. De formule is bewezen.

Taak 6. Er staan ​​twee cijfers op het bord: 1,1. Door hun som tussen de getallen in te voeren, krijgen we de getallen 1, 2, 1. Als we deze bewerking nogmaals herhalen, krijgen we de getallen 1, 3, 2, 3, 1. Na drie bewerkingen zijn de getallen 1, 4, 3 , 5, 2, 5, 3, 4, 1. Wat is de som van alle getallen op het bord na 100 operaties?

Oplossing. Doe alles 100 operaties zouden een zeer arbeidsintensieve en tijdrovende taak zijn. Dit betekent dat we moeten proberen een algemene formule te vinden voor de som S getallen na n activiteiten. Laten we naar de tabel kijken:

Heb je hier enig patroon opgemerkt? Zo niet, dan kunt u nog een stap zetten: na vier bewerkingen zijn er cijfers

1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1,

waarvan de som S 4 gelijk is aan 82.

Je kunt de cijfers eigenlijk niet opschrijven, maar meteen zeggen hoe de som zal veranderen na het toevoegen van nieuwe cijfers. Stel dat de som gelijk is aan 5. Wat wordt het als er nieuwe getallen worden toegevoegd? Laten we elk nieuw getal verdelen in de som van de twee oude. Van 1, 3, 2, 3, 1 gaan we bijvoorbeeld naar 1,

1 + 3, 3, 3 + 2, 2, 2 + 3, 3, 3 + 1, 1.

Dat wil zeggen dat elk oud getal (behalve de twee extreme eenheden) nu drie keer in de som is opgenomen, dus de nieuwe som is gelijk aan 3S - 2 (trek 2 af om rekening te houden met de ontbrekende eenheden). Daarom S 5 = 3S 4 - 2 = 244, en in het algemeen

Wat is de algemene formule? Als er niet twee eenheden van elkaar zouden worden afgetrokken, zou de som elke keer drie keer toenemen, zoals in machten van drie (1, 3, 9, 27, 81, 243, ...). En zoals we nu kunnen zien, zijn onze cijfers er nog één. Er kan dus van worden uitgegaan dat

Laten we nu proberen dit door inductie te bewijzen.

Inductiebasis. Zie tabel (voor n = 0, 1, 2, 3).

Inductie stap. Laten we dat doen

Laten we dat dan bewijzen Sk + 1 = Zk + 1 + 1.

Echt,

Onze formule is dus bewezen. Het laat zien dat na honderd bewerkingen de som van alle getallen op het bord gelijk is aan 3 100 + 1.

Laten we eens kijken naar een mooi voorbeeld van de toepassing van het principe van wiskundige inductie, waarbij je eerst twee natuurlijke parameters moet introduceren en vervolgens inductie moet uitvoeren op hun som.

Taak 7. Bewijs dat als= 2,x2= 3 en voor elke natuurlijke p> 3 De relatie houdt stand

x p = 3x p - 1 - 2x p - 2,

Dat

2 p - 1 + 1, p = 1, 2, 3, ...

Oplossing. Merk op dat in dit probleem de oorspronkelijke reeks getallen wordt gebruikt(xp) wordt bepaald door inductie, aangezien de termen van onze reeks, behalve de eerste twee, inductief worden gespecificeerd, dat wil zeggen via de voorgaande. Dus gegeven reeksen worden genoemd terugkerend, en in ons geval wordt deze reeks op een unieke manier bepaald (door de eerste twee termen te specificeren).

Inductiebasis. Het bestaat uit het controleren van twee uitspraken: wanneer n = 1 en n = 2.V In beide gevallen is de bewering waar op voorwaarde.

Inductie stap. Laten we aannemen dat voor n = k - 1 en n = k de verklaring is vervuld, dat wil zeggen

Laten we dan de geldigheid van de bewering bewijzen n = k + 1. We hebben:

x 1 = 3(2 + 1) - 2(2 + 1) = 2+1, en dat is wat bewezen moest worden.

Taak 8. Bewijs dat elk natuurlijk getal kan worden weergegeven als de som van verschillende termen van de terugkerende reeks Fibonacci-getallen:

voor k > 2.

Oplossing. Laat n - natuurlijk nummer. We zullen de inductie uitvoeren P.

Inductiebasis. Wanneer n = Bewering 1 is waar, aangezien één zelf een Fibonacci-getal is.

Inductie stap. Stel dat alle natuurlijke getallen kleiner zijn dan een bepaald getal P, kan worden weergegeven als de som van verschillende termen van de Fibonacci-reeks. Laten we het grootste Fibonacci-getal vinden Ft, niet superieur P; dus Ftp en Ft+1 > p.

Omdat de

Volgens de inductiehypothese, het aantal n- F t kan worden weergegeven als de som 5 van verschillende termen van de Fibonacci-reeks, en uit de laatste ongelijkheid volgt dat alle termen van de Fibonacci-reeks die betrokken zijn bij de som 8 kleiner zijn Ft. Daarom de uitbreiding van het aantal n = 8 + Ft voldoet aan de voorwaarden van het probleem.

Voorbeelden van het toepassen van de methode van wiskundige inductie om ongelijkheden te bewijzen.

Taak 9. (Bernoulli's ongelijkheid.)Bewijs dat wanneer x > -1, x 0, en voor geheel getal n > 2 De ongelijkheid is waar

(1 + x) n > 1 + xn.

Oplossing. We zullen het bewijs opnieuw via inductie uitvoeren.

1. Basis van inductie. Laten we de geldigheid van de ongelijkheid verifiëren n = 2. Inderdaad,

(1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2 > 1 + 2x.

2. Inductiestap. Laten we dat voor het aantal aannemen p = k de verklaring is waar, dat wil zeggen

(1 + x) k > 1 + xk,

Waar k > 2. Laten we het bewijzen voor n = k + 1. We hebben: (1 + x) k + 1 = (1 + x) k (1 + x)>(1 + kx)(1 + x) =

1 + (k + 1)x + kx 2 > 1 + (k + 1)x.

Op basis van het principe van wiskundige inductie kunnen we dus beweren dat de ongelijkheid van Bernoulli voor iedereen geldt n > 2.

In de context van problemen die worden opgelost met behulp van de methode van wiskundige inductie, is de algemene wet die moet worden bewezen niet altijd duidelijk geformuleerd. Soms is het nodig om, door specifieke gevallen te observeren, eerst te ontdekken (raden) tot welke algemene wet ze leiden, en pas daarna de gestelde hypothese te bewijzen door de methode van wiskundige inductie. Bovendien kan de inductievariabele worden gemaskeerd en voordat het probleem wordt opgelost, moet worden bepaald op welke parameter de inductie zal worden uitgevoerd. Beschouw als voorbeeld de volgende taken.

Probleem 10. Bewijs dat

onder welke natuur dan ook n > 1.

Oplossing, Laten we proberen deze ongelijkheid te bewijzen met behulp van de methode van wiskundige inductie.

De inductiebasis kan eenvoudig worden geverifieerd:1+

Volgens de inductiehypothese

en het blijft aan ons om dat te bewijzen

Als we de inductieve hypothese gebruiken, zullen we dat beargumenteren

Hoewel deze gelijkheid in feite waar is, biedt zij ons geen oplossing voor het probleem.

Laten we proberen een sterkere bewering te bewijzen dan vereist in het oorspronkelijke probleem. Wij zullen dat namelijk bewijzen

Het lijkt misschien dat het bewijzen van deze bewering door inductie een hopeloze zaak is.

Wanneer echter n = 1 we hebben: de bewering is waar. Laten we, om de inductieve stap te rechtvaardigen, ervan uitgaan dat

en dan zullen wij dat bewijzen

Echt,

We hebben dus een sterkere verklaring bewezen, waaruit de verklaring in de probleemstelling onmiddellijk volgt.

Het leerzame hier is dat, hoewel we een sterkere bewering moesten bewijzen dan vereist in het probleem, we in de inductieve stap een sterkere aanname konden gebruiken. Dit verklaart dat de eenvoudige toepassing van het principe van wiskundige inductie niet altijd tot het doel leidt.

De situatie die ontstond bij het oplossen van het probleem werd genoemduitvindersparadox.De paradox zelf is dat complexere plannen met groter succes kunnen worden geïmplementeerd als ze gebaseerd zijn op een dieper begrip van de essentie van de zaak.

Opgave 11. Bewijs dat 2 m + n - 2 m voor elke natuurlijke type.

Oplossing. Hier hebben we twee parameters. Daarom kunt u proberen de zogenaamde uit te voerendubbele inductie(inductie binnen inductie).

We zullen inductief redeneren P.

1. De inductiebasis volgens paragraaf. Wanneer n = Ik moet dat controleren 2 t ~ 1 > t. Om deze ongelijkheid te bewijzen gebruiken we inductie T.

A) Inductiebasis volgens de zogenaamde Wanneer t = 1 geëxecuteerd
gelijkheid, wat aanvaardbaar is.

B) De inductiestap volgens de zogenaamdeLaten we aannemen dat wanneer t = k de verklaring is waar, dat wil zeggen 2 k ~ 1 > k. Dan tot
laten we zeggen dat de verklaring ook waar zal zijn voor t = k + 1.
We hebben:

met natuurlijk.

De ongelijkheid dus 2 uitgevoerd in welke natuurvorm dan ook T.

2. Inductiestap volgens artikel.Laten we een natuurlijk getal kiezen en vaststellen T. Laten we aannemen dat wanneer n = ik de bewering is waar (voor een vast t), dat wil zeggen, 2 t +1 ~ 2 > t1, en we zullen bewijzen dat de bewering dan ook waar zal zijn n = l + 1.
We hebben:

voor elke natuurlijke type.

Daarom, gebaseerd op het principe van wiskundige inductie (door P) de verklaring van het probleem geldt voor iedereen P en voor eventuele vaste T. Deze ongelijkheid geldt dus voor elke natuurlijke type.

Opgave 12. Laat m, n en k zijn natuurlijke getallen, en t > p. Welk van de twee getallen is groter:

In elke uitdrukking Naar worteltekens, t en p wisselen elkaar af.

Oplossing. Laten we eerst een aanvullende verklaring bewijzen.

Lemma. Voor elke natuurlijke t en p (t > p) en niet-negatief (niet noodzakelijkerwijs geheel) X ongelijkheid is waar

Bewijs. Denk eens aan de ongelijkheid

Deze ongelijkheid is waar omdat beide factoren aan de linkerkant positief zijn. Als we de haakjes uitbreiden en transformeren, krijgen we:

Door de wortel te nemen van beide zijden van de laatste ongelijkheid, verkrijgen we de verklaring van het lemma. Het lemma is dus bewezen.

Laten we nu verder gaan met het oplossen van het probleem. Laten we het eerste van deze getallen noteren met A, en de tweede - door b k. Laten we bewijzen dat a onder welke natuur dan ook Naar. We zullen het bewijs uitvoeren met behulp van de methode van wiskundige inductie, afzonderlijk voor even en oneven Naar.

Inductiebasis. Wanneer k = 1 We hebben ongelijkheid

y[t > j/n , eerlijk vanwege het feit dat t > p. Wanneer k = 2 het vereiste wordt door substitutie uit het bewezen lemma verkregen x = 0.

Inductie stap. Stel, voor sommigen k ongelijkheid a > b k eerlijk. Laten we dat bewijzen

Op basis van de inductieaanname en de monotoniciteit van de vierkantswortel hebben we:

Aan de andere kant volgt dit uit het bewezen lemma

Als we de laatste twee ongelijkheden combineren, krijgen we:

Volgens het principe van wiskundige inductie is de bewering bewezen.

Probleem 13. (Ongelijkheid van Cauchy.)Bewijs dat voor alle positieve getallen..., een p ongelijkheid is waar

Oplossing. Voor n = 2 de ongelijkheid

we gaan ervan uit dat het rekenkundig gemiddelde en het geometrische gemiddelde (voor twee getallen) bekend zijn. Laten n= 2, k = 1, 2, 3, ... en voer eerst inductie uit Naar. De basis van deze inductie vindt plaats door er nu van uit te gaan dat de vereiste ongelijkheid al is vastgesteld n = 2, laten we het bewijzen P = 2 . We hebben (de ongelijkheid toepassen voor twee getallen):

Daarom volgens de inductieve hypothese

Door inductie naar k hebben we dus de ongelijkheid voor iedereen bewezen blz. 9 een macht van twee zijn.

Om de ongelijkheid voor andere waarden te bewijzen P Laten we ‘neerwaartse inductie’ gebruiken, dat wil zeggen dat we zullen bewijzen dat als de ongelijkheid geldt voor willekeurige niet-negatieve P cijfers, dan geldt het ook voor(P - 1e dag. Om dit te verifiëren, merken we op dat, volgens de gemaakte veronderstelling P cijfers geldt de ongelijkheid

dat wil zeggen, a g + a 2 + ... + a n _ x > (n - 1)A. Beide delen verdelen in P - 1, we verkrijgen de vereiste ongelijkheid.

Dus hebben we eerst vastgesteld dat de ongelijkheid geldt voor een oneindig aantal mogelijke waarden P, en toonde vervolgens aan dat als de ongelijkheid standhoudt P cijfers, dan geldt het ook voor(P - 1) cijfers. Hieruit concluderen we nu dat de ongelijkheid van Cauty geldt voor de verzameling van P alle niet-negatieve getallen voor welke dan ook n = 2, 3, 4, ...

Probleem 14. (D. Uspensky.) Voor elke driehoek ABC waarvan de hoeken = CAB, = KBA evenredig zijn, zijn er ongelijkheden

Oplossing. Hoeken en zijn vergelijkbaar, en dit betekent (per definitie) dat deze hoeken een gemeenschappelijke maat hebben, waarvoor = p, = (p, q zijn coprime natuurlijke getallen).

Laten we de methode van wiskundige inductie gebruiken en deze via de som uitvoeren p = p + q natuurlijke copriemgetallen..

Inductiebasis. Voor p + q = 2 geldt: p = 1 en q = 1. Dan is driehoek ABC gelijkbenig, en de noodzakelijke ongelijkheden liggen voor de hand: ze volgen uit de driehoeksongelijkheid

Inductie stap. Laten we nu aannemen dat de noodzakelijke ongelijkheden zijn vastgesteld voor p + q = 2, 3, ..., k - 1, waarbij k > 2. Laten we bewijzen dat de ongelijkheden ook gelden voor p + q = k.

Laat ABC - een gegeven driehoek die dat wel heeft> 2. Dan zijden AC en BC kan niet gelijk zijn: laat AC > BC. Laten we nu, zoals in figuur 2, een gelijkbenige driehoek construeren ABC; we hebben:

AC = DC en AD = AB + BD, daarom

2AC > AB + BD (1)

Beschouw nu de driehoek BDC, waarvan de hoeken ook evenredig zijn:

DСВ = (q - р), ВDC = p.

Rijst. 2

Voor deze driehoek geldt de inductieve hypothese, en daarom

(2)

Als we (1) en (2) optellen, krijgen we:

2AC+BD>

en daarom

Uit dezelfde driehoek VBS door de inductiehypothese concluderen we dat

Rekening houdend met de eerdere ongelijkheid concluderen we dat

Zo wordt de inductieve overgang verkregen en volgt de verklaring van het probleem uit het principe van wiskundige inductie.

Opmerking. De verklaring van het probleem blijft geldig, zelfs in het geval dat de hoeken a en p niet evenredig zijn. Als basis voor de overweging in het algemene geval moeten we al een ander belangrijk wiskundig principe toepassen: het continuïteitsbeginsel.

Opgave 15. Verschillende rechte lijnen verdelen het vlak in delen. Bewijs dat je deze delen wit kunt kleuren

en zwarte kleuren zodat aangrenzende delen die een gemeenschappelijk grenssegment hebben verschillende kleuren hebben (zoals in Figuur 3 met n = 4).

foto 3

Oplossing. Laten we inductie gebruiken voor het aantal lijnen. Dus laat P - het aantal lijnen dat ons vlak in delen verdeelt, n > 1.

Inductiebasis. Als er maar één rechte lijn is(P = 1), dan verdeelt het het vlak in twee halve vlakken, waarvan er één wit gekleurd kan zijn en het tweede zwart, en de verklaring van het probleem is waar.

Inductie stap. Om het bewijs van de inductieve overgang duidelijker te maken, overweeg het proces van het toevoegen van een nieuwe regel. Als we een tweede rechte lijn trekken(P= 2), dan krijgen we vier delen die naar behoefte kunnen worden gekleurd door de tegenoverliggende hoeken in dezelfde kleur te verven. Laten we eens kijken wat er gebeurt als we een derde rechte lijn trekken. Het zal enkele van de “oude” delen verdelen, terwijl nieuwe delen van de rand zullen verschijnen, aan beide zijden waarvan de kleur hetzelfde is (Fig. 4).

Rijst. 4

Laten we als volgt te werk gaan:Aan de ene kantvanaf de nieuwe rechte lijn zullen we de kleuren veranderen - we zullen wit zwart maken en omgekeerd; tegelijkertijd schilderen we de delen die aan de andere kant van deze rechte lijn liggen niet opnieuw (Fig. 5). Dan zal deze nieuwe kleuring aan de nodige eisen voldoen: aan de ene kant van de lijn was het al afwisselend (maar met verschillende kleuren), en aan de andere kant was het wat nodig was. Om ervoor te zorgen dat de onderdelen met een gemeenschappelijke rand die bij de getekende lijn horen in verschillende kleuren kunnen worden geverfd, hebben we de onderdelen slechts aan één kant van deze getekende rechte lijn opnieuw geverfd.

Afb.5

Laten we nu de inductieve overgang bewijzen. Laten we dat voor sommigen aannemenp = kde verklaring van het probleem is waar, dat wil zeggen, alle delen van het vlak waarin het hierdoor is verdeeldNaarrecht, je kunt ze wit en zwart schilderen, zodat aangrenzende delen verschillende kleuren hebben. Laten we bewijzen dat er dan zo'n kleuring voor bestaatP= Naar+ 1 rechtstreeks. Laten we op dezelfde manier te werk gaan als bij de overgang van twee lijnen naar drie. Laten we in het vliegtuig tekenenNaardirect Vervolgens kan, door de inductiehypothese, de resulterende “kaart” op de gewenste manier worden gekleurd. Laten we het nu uitvoeren(Naar+ 1)de rechte lijn en aan de ene kant veranderen we de kleuren in de tegenovergestelde. Dus nu(Naar+ 1)-de rechte lijn scheidt overal gebieden met verschillende kleuren, terwijl de “oude” delen, zoals we al hebben gezien, correct gekleurd blijven. Volgens het principe van wiskundige inductie is het probleem opgelost.

Taak16. Aan de rand van de woestijn is er een grote voorraad benzine en een auto die, wanneer hij volledig is bijgetankt, 50 kilometer kan afleggen. Er zijn onbeperkte hoeveelheden jerrycans waarin je benzine uit de benzinetank van je auto kunt gieten en deze overal in de woestijn kunt achterlaten voor opslag. Bewijs dat een auto een gehele afstand groter dan 50 kilometer kan afleggen. Je mag geen benzineblikken meenemen; je mag lege blikken in welke hoeveelheid dan ook meenemen.

Oplossing.Laten we proberen te bewijzen met inductieP,dat de auto kan wegrijdenPkilometer van de rand van de woestijn. BijP= 50 is bekend. Het enige dat overblijft is het uitvoeren van de inductiestap en uitleggen hoe u daar kunt komenp = k+ 1 kilometer als dat bekend isp = kJe kunt kilometers rijden.

Hier stuiten we echter op een moeilijkheid: nadat we gepasseerd zijnNaarkilometer is er misschien niet genoeg benzine, zelfs voor de terugreis (om nog maar te zwijgen van de opslag). En in dit geval is de oplossing het versterken van de bewering die wordt bewezen (de paradox van de uitvinder). Wij zullen bewijzen dat je niet alleen kunt autorijdenPkilometer, maar ook om op een punt op afstand een willekeurig grote voorraad benzine aan te leggenPkilometers van de rand van de woestijn en arriveren op dit punt na het einde van het transport.

Inductiebasis.Stel dat een eenheid benzine de hoeveelheid benzine is die nodig is om één kilometer af te leggen. Dan zijn voor een rit van 1 kilometer heen en terug twee eenheden benzine nodig, zodat we 48 eenheden benzine in een opslagplaats op een kilometer afstand van de rand kunnen achterlaten en terugkomen voor een nieuwe portie. Zo kunnen we tijdens verschillende ritten naar de opslagplaats een voorraad van elke gewenste omvang aanleggen. Tegelijkertijd verbruiken we, om 48 eenheden reserve te creëren, 50 eenheden benzine.

Inductie stap.Laten we aannemen dat dit op afstand isP= Naarvanaf de rand van de woestijn kun je elke hoeveelheid benzine inslaan. Laten we bewijzen dat het dan mogelijk is om op afstand een opslagruimte te creërenp = k+ 1 kilometer met een vooraf aangegeven reserve aan benzine en eindig bij deze opslagplaats aan het einde van het transport. Want op het puntP= Naarer is een onbeperkte voorraad benzine, dan kunnen we (volgens de inductiebasis) in verschillende ritten een punt bereikenp = k+ 1 doen op puntP= Naar4- 1 voorraad van elke gewenste maat.

De waarheid van een algemenere bewering dan die van de probleemstelling volgt nu uit het principe van wiskundige inductie.

Conclusie

Door vooral de methode van wiskundige inductie te bestuderen, heb ik mijn kennis op dit gebied van de wiskunde vergroot en ook geleerd problemen op te lossen die voorheen buiten mijn kracht lagen.

Meestal waren dit logische en onderhoudende taken, d.w.z. alleen die die de belangstelling voor wiskunde zelf als wetenschap vergroten. Het oplossen van dergelijke problemen wordt een vermakelijke bezigheid en kan steeds meer nieuwsgierige mensen naar wiskundige labyrinten lokken. Naar mijn mening is dit de basis van elke wetenschap.

Terwijl ik de methode van wiskundige inductie blijf bestuderen, zal ik proberen te leren hoe ik deze niet alleen in de wiskunde kan toepassen, maar ook bij het oplossen van problemen in de natuurkunde, scheikunde en het leven zelf.

Literatuur

1.Vulenkin-INDUCTIE. Combinatoriek. Handleiding VOOR docenten. M., Verlichting,

1976.-48 p.

2. Golovina LI, Yaglom I.M. Inductie in de meetkunde. - M.: Staat. gepubliceerd liter. - 1956 - S.I00. Een handleiding over wiskunde voor degenen die naar de universiteit gaan / Ed. Yakovleva G.N. De wetenschap. -1981. - Blz. 47-51.

3. Golovina LI, Yaglom IM Inductie in de meetkunde. —
M.: Nauka, 1961. - (Populaire lezingen over wiskunde.)

4. ITDemidov, A.N.Kolmogorov, S.I.Schvartsburg, O.S.Ivashev-Musatov, BEWeitz. Leerboek / “Verlichting” 1975.

5.R. Courant, G. Robbins "Wat is wiskunde?" Hoofdstuk 1, § 2

6. Popa D. Wiskunde en plausibele redenering. - M,: Nauka, 1975.

7. Popa D. Wiskundige ontdekking. - M.: Nauka, 1976.

8. Rubanov I.S. Hoe de methode van wiskundige inductie / Wiskundeschool te onderwijzen. - Nl. - 1996. - P.14-20.

9. Sominsky IS, Golovina LI, Yaglom IM. Over de methode van wiskundige inductie. - M.: Nauka, 1977. - (Populaire lezingen over wiskunde.)

10.Solominski I.S. Methode van wiskundige inductie. - M.: Wetenschap.

63s.

11.Solominsky IS, Golovina LI, Yaglom I.M. Over wiskundige inductie. - M.: Wetenschap. - 1967. - P.7-59.

12.http://w.wikimedia.org/wiki

13.htt12://www.refeshtcollestiop.ru/40 124.html

De videoles ‘Methode van Wiskundige Inductie’ helpt je de methode van Wiskundige Inductie onder de knie te krijgen. De video bevat materiaal dat u helpt de essentie van de methode te begrijpen, de kenmerken van de toepassing ervan te onthouden en te leren hoe u deze methode kunt toepassen bij het oplossen van problemen. Het doel van deze video-tutorial is om de ontwikkeling van het materiaal te vergemakkelijken en het vermogen te ontwikkelen om wiskundige problemen op te lossen met behulp van de inductiemethode.

Om de aandacht van leerlingen bij het leren van de stof te houden, worden animatie-effecten, illustraties en presentatie van informatie in kleur gebruikt. Een videoles maakt tijd voor de leraar vrij in de klas om de kwaliteit van het individuele werk te verbeteren en andere onderwijsproblemen op te lossen.

Het concept van de methode van wiskundige inductie wordt geïntroduceerd door de reeks a n te beschouwen, waarin a 1 =4, en a n+1 = a n +2n+3. In overeenstemming met de algemene weergave van het lid van de reeks wordt bepaald dat a 1 =4, a 2 =4+2·1+3=9, a 3 =9+2·2+3=16, dat wil zeggen de reeks van getallen 4, 9, 16,... Er wordt aangenomen dat voor deze reeks een n =(n+1) 2 waar is. Voor de aangegeven termen van de reeks - eerste, tweede, derde - is de formule correct. Het is noodzakelijk om de geldigheid van deze formule voor elke willekeurig grote n te bewijzen. Er wordt aangegeven dat in dergelijke gevallen de methode van wiskundige inductie wordt gebruikt om de bewering te helpen bewijzen.

De essentie van de methode wordt onthuld. Er wordt aangenomen dat de formule voor n=k geldig is, de waarde a k =(k+1) 2 . Het is noodzakelijk om te bewijzen dat de gelijkheid ook geldt voor k+1, wat betekent dat a k +1 =(k+2) 2 . Om dit te doen, vervangen we in de formule a k +1 = a k +2k+3 een k door (k+1) 2. Na vervanging en reductie van gelijkaardige, verkrijgen we de gelijkheid a k +1 =(k+2) 2 . Dit geeft ons het recht om te beweren dat de geldigheid van de formule voor n ervoor zorgt dat deze waar is voor n=k+1. Het beschouwde bewijs met betrekking tot de reeks a n , die wordt weergegeven door de getallen 4, 9, 16,... en de algemene term a n =(n+1) 2, geeft het recht om te beweren dat als de formule verandert in een echte gelijkheid voor n=1, dan ook voor n=1+ 1=2, en voor 3, enz., dat wil zeggen voor elk natuurlijk getal n.

Vervolgens wordt de essentie van de inductiemethode in wiskundige taal gepresenteerd. Het principe van de methode is gebaseerd op de geldigheid van de bewering dat een feit geldt voor een willekeurig natuurlijk getal n wanneer aan twee voorwaarden is voldaan: 1) de bewering is waar voor n=1 2) op basis van de geldigheid van deze formule voor n= k Hieruit volgt dat het geldig is voor n=k+1. Uit dit principe volgt de structuur van het bewijs, met behulp van de methode van wiskundige inductie. Opgemerkt wordt dat deze methode voor n=1 het bewijs van de geldigheid van de bewering aanneemt, en wanneer de geldigheid van het bewijs voor n=k wordt aangenomen, wordt bewezen dat dit ook geldt voor n=k+1.

Een voorbeeld van het bewijzen van de formule van Archimedes met behulp van de methode van wiskundige inductie wordt geanalyseerd. Gegeven de formule 1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6. Er worden berekeningen op het scherm uitgevoerd om de geldigheid van de formule voor n=1 aan te tonen. Het tweede punt van het bewijs is de aanname dat voor n=k de formule geldig is, dat wil zeggen dat deze de vorm heeft 1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 =k(k+1)(2k+1 )/6. Op basis hiervan wordt bewezen dat de formule ook geldt voor n=k+1. Na vervanging van n=k+1 krijgen we de waarde van de formule 1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =(k+1)(k+2)(2k+3) /6. De formule van Archimedes is dus bewezen.

Een ander voorbeeld onderzoekt het bewijs van de veelheid van 7 van de som 15 n +6 voor elk natuurlijk getal n. In het bewijs gebruiken we de methode van wiskundige inductie. Eerst controleren we de geldigheid van de bewering voor n=1. Inderdaad, 15 1 +6=21. Vervolgens nemen we geldigheid aan voor n=k. Dit betekent dat 15 k +6 een veelvoud van 7 is. Door n=k+1 in de formule te vervangen, bewijzen we dat de waarde 15 k +1 +6 een veelvoud van 7 is. Na transformatie van de uitdrukking krijgen we: 15 k +1 +6=15 k +1 ·14+(15 k +6). Daarom is de som 15 n +6 een veelvoud van 7.

De videoles “Methode van wiskundige inductie” onthult duidelijk en gedetailleerd de essentie en het mechanisme van het gebruik van de methode van wiskundige inductie bij het bewijzen. Daarom kan dit videomateriaal niet alleen dienen als visueel hulpmiddel bij een algebrales, maar ook nuttig zijn wanneer de leerling het materiaal zelfstandig bestudeert, en het onderwerp helpen uitleggen aan de leraar tijdens afstandsonderwijs.