Berichten met de tag "afgeleide definitie". §1

Wat is een derivaat?
Definitie en betekenis van een afgeleide functie

Velen zullen verrast zijn door de onverwachte plaatsing van dit artikel in de cursus van mijn auteur over de afgeleide van een functie van één variabele en de toepassingen ervan. Immers, zoals het al sinds school is: het standaardleerboek geeft allereerst de definitie van een afgeleide, de geometrische, mechanische betekenis ervan. Vervolgens vinden de leerlingen per definitie afgeleiden van functies, en pas dan perfectioneren ze de differentiatietechniek afgeleide tabellen.

Maar vanuit mijn standpunt is de volgende aanpak pragmatischer: allereerst is het raadzaam om GOED TE BEGRIJPEN limiet van een functie, en vooral, oneindig kleine hoeveelheden. Het feit is dat de definitie van derivaat is gebaseerd op het concept van limiet, waar in de schoolcursus slecht rekening mee wordt gehouden. Dat is de reden waarom een aanzienlijk deel van de jonge consumenten van het graniet van kennis de essentie van het afgeleide niet begrijpt. Dus als je weinig begrip hebt van differentiaalrekening of als een verstandig brein de afgelopen jaren met succes van deze bagage af is gekomen, begin dan met functiegrenzen. Beheers/onthoud tegelijkertijd hun oplossing.

Hetzelfde praktische gevoel schrijft voor dat het eerst voordelig is Leer afgeleiden vinden, inbegrepen afgeleiden van complexe functies. Theorie is theorie, maar zoals ze zeggen, je wilt altijd differentiëren. In dit opzicht is het beter om de genoemde basislessen te doorlopen, en misschien meester in differentiatie zonder zelfs maar de essentie van hun daden te beseffen.

Ik raad aan om na het lezen van het artikel te beginnen met de materialen op deze pagina. De eenvoudigste problemen met derivaten, waar in het bijzonder rekening wordt gehouden met het probleem van de raaklijn aan de grafiek van een functie. Maar je kunt wachten. Feit is dat voor veel toepassingen van de afgeleide het begrip ervan niet nodig is, en het is niet verrassend dat de theoretische les vrij laat verscheen - toen ik het moest uitleggen het vinden van toenemende/afnemende intervallen en extremen functies. Bovendien was hij al geruime tijd bezig met het onderwerp. Functies en grafieken”, totdat ik uiteindelijk besloot het eerder te plaatsen.

Daarom, beste theepotten, haast je niet om de essentie van het derivaat in je op te nemen, zoals hongerige dieren, omdat de verzadiging smakeloos en onvolledig zal zijn.

Het concept van toenemend, afnemend, maximum, minimum van een functie

Veel leerboeken introduceren het concept van afgeleiden met behulp van enkele praktische problemen, en ik kwam ook met een interessant voorbeeld. Stel je voor dat we op het punt staan naar een stad te reizen die op verschillende manieren te bereiken is. Laten we de gebogen kronkelende paden onmiddellijk achterwege laten en alleen rechte snelwegen overwegen. De richtingen in rechte lijn zijn echter ook anders: je kunt de stad bereiken via een vlotte snelweg. Of langs een heuvelachtige snelweg - op en neer, op en neer. Een andere weg gaat alleen maar bergopwaarts, en een andere gaat voortdurend bergafwaarts. Extreme liefhebbers kiezen voor een route door een kloof met een steile klif en een steile klim.

Maar wat uw voorkeuren ook zijn, het is raadzaam om het gebied te kennen of er op zijn minst een topografische kaart van te hebben. Wat als dergelijke informatie ontbreekt? Je kunt immers bijvoorbeeld voor een vlak pad kiezen, maar daardoor op een skipiste met vrolijke Finnen stuiten. Het is geen feit dat een navigator of zelfs een satellietbeeld betrouwbare gegevens zal opleveren. Daarom zou het leuk zijn om het reliëf van het pad te formaliseren met behulp van wiskunde.

Laten we eens naar een weg kijken (zijaanzicht):

Voor het geval dat, herinner ik u aan een elementair feit: reizen gebeurt van links naar rechts. Voor de eenvoud nemen we aan dat de functie continu in het beschouwde gebied.

Wat zijn de kenmerken van deze grafiek?

Met tussenpozen functie neemt toe, dat wil zeggen, elke volgende waarde ervan meer vorige. In grote lijnen is de planning op naar beneden(we beklimmen de heuvel). En op het interval de functie neemt af– elke volgende waarde minder vorige, en ons schema staat op ondersteboven(we gaan de helling af).

Laten we ook aandacht besteden aan speciale punten. Op het punt waar we aankomen maximaal, dat is bestaat een dergelijk gedeelte van het pad waar de waarde de grootste (hoogste) zal zijn. Op hetzelfde punt wordt het bereikt minimum, En bestaat de buurt waarin de waarde het kleinst (laagst) is.

We zullen in de klas kijken naar striktere terminologie en definities. over de extremen van de functie, maar laten we nu een ander belangrijk kenmerk bestuderen: op intervallen de functie neemt toe, maar neemt toe met verschillende snelheden. En het eerste dat opvalt is dat de grafiek tijdens het interval omhoog gaat veel koeler, dan op het interval . Is het mogelijk om de steilheid van een weg te meten met wiskundige hulpmiddelen?

Snelheid van functieverandering

Het idee is dit: laten we wat waarde nemen (lees "delta x"), die we zullen bellen argumentverhoging, en laten we het gaan uitproberen op verschillende punten op ons pad:

1) Laten we naar het meest linkse punt kijken: als we de afstand overbruggen, klimmen we de helling naar een hoogte (groene lijn). De hoeveelheid wordt genoemd functie verhoging, en in dit geval is deze toename positief (het verschil in waarden langs de as is groter dan nul). Laten we een verhouding creëren die een maatstaf is voor de steilheid van onze weg. Het is duidelijk dat dit een heel specifiek getal is, en aangezien beide stappen positief zijn, is .

Aandacht! Benamingen zijn EEN symbool, dat wil zeggen dat u de "delta" niet van de "X" kunt "afscheuren" en deze letters afzonderlijk kunt beschouwen. Uiteraard heeft de opmerking ook betrekking op het functieverhogingssymbool.

Laten we de aard van de resulterende breuk betekenisvoller onderzoeken. Laten we ons in eerste instantie op een hoogte van 20 meter bevinden (op het linker zwarte punt). Nadat we de afstand van enkele meters (rode lijn links) hebben afgelegd, bevinden we ons op een hoogte van 60 meter. De toename van de functie zal dan zijn meter (groene lijn) en: . Dus, op elke meter dit gedeelte van de weg hoogte neemt toe gemiddeld bij 4 meter...je klimuitrusting vergeten? =) Met andere woorden: de geconstrueerde relatie karakteriseert de GEMIDDELDE VERANDERINGSNELHEID (in dit geval de groei) van de functie.

Opmerking : De numerieke waarden van het betreffende voorbeeld komen slechts bij benadering overeen met de verhoudingen van de tekening.

2) Laten we nu dezelfde afstand afleggen vanaf het meest rechtse zwarte punt. Hier is de stijging geleidelijker, dus de toename (karmozijnrode lijn) is relatief klein en de verhouding vergeleken met het vorige geval zal zeer bescheiden zijn. Relatief gezien, meter en functie groeisnelheid is . Dat wil zeggen, hier voor elke meter van het pad zijn er gemiddeld een halve meter stijging.

3) Een klein avontuur op de berghelling. Laten we eens kijken naar de bovenste zwarte stip op de ordinaatas. Laten we aannemen dat dit de 50 meter-markering is. We overwinnen de afstand opnieuw, waardoor we lager komen te liggen - op een niveau van 30 meter. Omdat de beweging wordt uitgevoerd ondersteboven(in de “tegen”-richting van de as), en vervolgens de finale de toename van de functie (hoogte) zal negatief zijn: meter (bruin segment in de tekening). En in dit geval hebben we het al over snelheid van daling Functies: , dat wil zeggen dat voor elke meter pad van dit gedeelte de hoogte afneemt gemiddeld bij 2 meter. Zorg goed voor je kleding bij het vijfde punt.

Laten we onszelf nu de vraag stellen: welke waarde van de “meetstandaard” kunnen we het beste gebruiken? Het is volkomen begrijpelijk, 10 meter is erg ruig. Er passen gemakkelijk een tiental heuveltjes op. Ongeacht de hobbels, er kan zich beneden een diepe kloof bevinden, en na een paar meter is er de andere kant met een verdere steile helling. Met een tien meter krijgen we dus geen begrijpelijke beschrijving van dergelijke delen van het pad door de verhouding .

Uit bovenstaande discussie volgt de volgende conclusie: hoe lager de waarde, hoe nauwkeuriger we de wegtopografie beschrijven. Bovendien zijn de volgende feiten waar:

– Voor iedereen hijspunten u kunt een waarde selecteren (zelfs als deze zeer klein is) die binnen de grenzen van een bepaalde stijging past. Dit betekent dat de overeenkomstige hoogtetoename gegarandeerd positief zal zijn, en dat de ongelijkheid de groei van de functie op elk punt van deze intervallen correct zal weergeven.

- Insgelijks, voor enige hellingspunt is er een waarde die volledig op deze helling past. Bijgevolg is de overeenkomstige toename in hoogte duidelijk negatief, en zal de ongelijkheid de afname van de functie op elk punt van het gegeven interval correct weergeven.

– Een bijzonder interessant geval is wanneer de veranderingssnelheid van de functie nul is: . Ten eerste is de hoogtetoename van nul () een teken van een vloeiend pad. En ten tweede zijn er nog andere interessante situaties, waarvan je voorbeelden in de figuur ziet. Stel je voor dat het lot ons naar de top van een heuvel heeft gebracht met opstijgende adelaars of naar de bodem van een ravijn met kwakende kikkers. Als je een kleine stap in welke richting dan ook zet, zal de verandering in hoogte verwaarloosbaar zijn, en we kunnen zeggen dat de snelheid waarmee de functie verandert feitelijk nul is. Dit is precies het beeld dat op de punten werd waargenomen.

We zijn dus tot een geweldige kans gekomen om de veranderingssnelheid van een functie perfect nauwkeurig te karakteriseren. Wiskundige analyse maakt het immers mogelijk om de verhoging van het argument naar nul te leiden: , dat wil zeggen om het te maken oneindig klein.

Als gevolg hiervan rijst er nog een logische vraag: is het mogelijk om de weg en het schema ervan te vinden een andere functie, welke zou het ons laten weten over alle vlakke gedeelten, beklimmingen, afdalingen, pieken en dalen, evenals de snelheid van groei/afname op elk punt onderweg?

Wat is een derivaat? Definitie van derivaat.
Geometrische betekenis van afgeleide en differentieel

Lees aandachtig en niet te snel - de stof is eenvoudig en voor iedereen toegankelijk! Het is prima als iets op sommige plaatsen niet erg duidelijk lijkt, je kunt altijd later naar het artikel terugkeren. Ik zal nog meer zeggen: het is nuttig om de theorie meerdere keren te bestuderen om alle punten grondig te begrijpen (het advies is vooral relevant voor 'technische' studenten, voor wie hogere wiskunde een belangrijke rol speelt in het onderwijsproces).

Uiteraard vervangen we deze in de definitie van de afgeleide op een gegeven moment door:

Waar zijn we toe gekomen? En wij kwamen tot de conclusie dat het voor de functie volgens de wet is wordt in overeenstemming gebracht andere functie, Wat genoemd wordt als afgeleide functie(of gewoon derivaat).

De afgeleide karakteriseert snelheid van verandering functies Hoe? Het idee loopt vanaf het begin van het artikel als een rode draad. Laten we een punt overwegen domein van definitie functies Laat de functie op een bepaald punt differentieerbaar zijn. Dan:

1) Als , dan neemt de functie toe op het punt . En dat is duidelijk zo interval(zelfs een heel kleine), met daarin een punt waarop de functie groeit, en de grafiek gaat “van onder naar boven”.

2) Als , dan neemt de functie af op het punt . En er is een interval met een punt waarop de functie afneemt (de grafiek gaat van boven naar beneden).

3) Als, dan oneindig dichtbij nabij een punt houdt de functie zijn snelheid constant. Dit gebeurt, zoals opgemerkt, met een constante functie en op kritische punten van de functie, in het bijzonder op minimum- en maximumpunten.

Een beetje semantiek. Wat betekent het werkwoord ‘differentiëren’ in brede zin? Differentiëren betekent een kenmerk benadrukken. Door een functie te differentiëren, 'isoleren' we de snelheid van de verandering ervan in de vorm van een afgeleide van de functie. Wat wordt trouwens bedoeld met het woord ‘afgeleide’? Functie gebeurd vanuit functie.

De termen worden zeer succesvol geïnterpreteerd door de mechanische betekenis van de afgeleide :
Laten we eens kijken naar de wet van verandering in de coördinaten van een lichaam, afhankelijk van de tijd, en naar de functie van de bewegingssnelheid van een bepaald lichaam. De functie karakteriseert de snelheid waarmee lichaamscoördinaten veranderen en is daarom de eerste afgeleide van de functie met betrekking tot de tijd: . Als het concept van ‘lichaamsbeweging’ niet bestond in de natuur, dan zou er ook geen bestaan derivaat concept van "lichaamssnelheid".

De versnelling van een lichaam is de snelheidsverandering, dus: . Als de oorspronkelijke concepten van ‘lichaamsbeweging’ en ‘lichaamssnelheid’ niet in de natuur zouden bestaan, dan zouden ze niet bestaan derivaat concept van ‘lichaamsversnelling’.

Het oplossen van fysieke problemen of voorbeelden in de wiskunde is volkomen onmogelijk zonder kennis van de afgeleide en methoden om deze te berekenen. De afgeleide is een van de belangrijkste concepten in de wiskundige analyse. We hebben besloten het artikel van vandaag aan dit fundamentele onderwerp te wijden. Wat is een afgeleide, wat is de fysieke en geometrische betekenis ervan, hoe bereken je de afgeleide van een functie? Al deze vragen kunnen worden gecombineerd tot één: hoe de afgeleide te begrijpen?

Geometrische en fysieke betekenis van afgeleide

Laat er een functie zijn f(x) , gespecificeerd in een bepaald interval (een, b) . Punten x en x0 behoren tot dit interval. Wanneer x verandert, verandert de functie zelf. Het argument veranderen - het verschil in de waarden ervan x-x0 . Dit verschil wordt geschreven als deltax en wordt argumentverhoging genoemd. Een wijziging of verhoging van een functie is het verschil tussen de waarden van een functie op twee punten. Definitie van derivaat:

De afgeleide van een functie op een punt is de limiet van de verhouding tussen de toename van de functie op een bepaald punt en de toename van het argument wanneer dit laatste naar nul neigt.

Anders kan het als volgt worden geschreven:

Wat heeft het voor zin om zo'n grens te vinden? En dit is wat het is:

de afgeleide van een functie in een punt is gelijk aan de raaklijn van de hoek tussen de OX-as en de raaklijn aan de grafiek van de functie op een bepaald punt.

Fysische betekenis van de afgeleide: de afgeleide van het pad naar de tijd is gelijk aan de snelheid van de rechtlijnige beweging.

Sinds schooltijd weet iedereen dat snelheid een bepaald pad is x=f(t) en tijd T . Gemiddelde snelheid over een bepaalde periode:

Om de bewegingssnelheid op een bepaald moment te achterhalen t0 je moet de limiet berekenen:

Regel één: stel een constante in

De constante kan uit het afgeleide teken worden gehaald. Bovendien moet dit gebeuren. Neem bij het oplossen van voorbeelden in de wiskunde als regel: Als u een uitdrukking kunt vereenvoudigen, zorg er dan voor dat u deze ook vereenvoudigt .

Voorbeeld. Laten we de afgeleide berekenen:

Regel twee: afgeleide van de som van functies

De afgeleide van de som van twee functies is gelijk aan de som van de afgeleiden van deze functies. Hetzelfde geldt voor de afgeleide van het verschil in functies.

We zullen geen bewijs van deze stelling geven, maar eerder een praktisch voorbeeld bekijken.

Zoek de afgeleide van de functie:

Regel drie: afgeleide van het product van functies

De afgeleide van het product van twee differentieerbare functies wordt berekend met de formule:

Voorbeeld: vind de afgeleide van een functie:

Oplossing:

Het is belangrijk om hier te praten over het berekenen van afgeleiden van complexe functies. De afgeleide van een complexe functie is gelijk aan het product van de afgeleide van deze functie met betrekking tot het tussenargument en de afgeleide van het tussenargument met betrekking tot de onafhankelijke variabele.

In het bovenstaande voorbeeld komen we de uitdrukking tegen:

In dit geval is het tussenargument 8x tot de vijfde macht. Om de afgeleide van een dergelijke uitdrukking te berekenen, berekenen we eerst de afgeleide van de externe functie met betrekking tot het tussenliggende argument, en vermenigvuldigen we vervolgens met de afgeleide van het tussenliggende argument zelf met betrekking tot de onafhankelijke variabele.

Regel vier: afgeleide van het quotiënt van twee functies

Formule voor het bepalen van de afgeleide van het quotiënt van twee functies:

We probeerden helemaal opnieuw over derivaten voor dummies te praten. Dit onderwerp is niet zo eenvoudig als het lijkt, dus wees gewaarschuwd: er zitten vaak valkuilen in de voorbeelden, dus wees voorzichtig bij het berekenen van afgeleiden.

Met vragen over dit en andere onderwerpen kun je contact opnemen met de studentenservice. In korte tijd helpen we u de moeilijkste test op te lossen en de taken te begrijpen, zelfs als u nog nooit afgeleide berekeningen heeft gemaakt.

In het coördinatenvlak xOj bekijk de grafiek van de functie y=f(x). Laten we het punt oplossen M(x 0; f (x 0)). Laten we een abscis toevoegen x 0 verhogen Ax. We krijgen een nieuwe abscis x 0 +Δx. Dit is de abscis van het punt N, en de ordinaat zal gelijk zijn f (x 0 +Δx). De verandering in de abscis bracht een verandering in de ordinaat met zich mee. Deze verandering wordt de functie-increment genoemd en wordt aangegeven Ay.

Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Via stippen M En N laten we een secans tekenen MN, die een hoek vormt φ met positieve asrichting Oh. Laten we de tangens van de hoek bepalen φ uit een rechthoekige driehoek MPN.

Laten Ax neigt naar nul. Dan de secans MN zal de neiging hebben een raakpositie in te nemen MT en de hoek φ wordt een hoek α . Dus de raaklijn van de hoek α is de grenswaarde van de tangens van de hoek φ :

De limiet van de verhouding tussen de toename van een functie en de toename van het argument, wanneer deze naar nul neigt, wordt de afgeleide van de functie op een bepaald punt genoemd:

Geometrische betekenis van afgeleide ligt in het feit dat de numerieke afgeleide van de functie op een bepaald punt gelijk is aan de raaklijn van de hoek gevormd door de raaklijn die door dit punt wordt getrokken aan de gegeven curve en de positieve richting van de as Oh:

Voorbeelden.

1. Zoek de toename van het argument en de toename van de functie y= x 2, als de beginwaarde van het argument gelijk was aan 4 , en nieuw - 4,01 .

Oplossing.

Nieuwe argumentwaarde x=x 0 +Δx. Laten we de gegevens vervangen: 4.01=4+Δх, vandaar de verhoging van het argument Ax=4,01-4=0,01. De toename van een functie is per definitie gelijk aan het verschil tussen de nieuwe en vorige waarden van de functie, d.w.z. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Omdat we een functie hebben y=x2, Dat Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Antwoord: argumentverhoging Ax=0,01; functie verhoging Δу=0,0801.

De functieverhoging kan anders worden gevonden: Ay=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Zoek de hellingshoek van de raaklijn aan de grafiek van de functie y=f(x) bij het punt x 0, Als f "(x0) = 1.

Oplossing.

De waarde van de afgeleide op het raakpunt x 0 en is de waarde van de raaklijn van de raakhoek (de geometrische betekenis van de afgeleide). We hebben: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, omdat tg45°=1.

Antwoord: de raaklijn aan de grafiek van deze functie vormt een hoek met de positieve richting van de Ox-as gelijk aan 45°.

3. Leid de formule af voor de afgeleide van de functie y=xn.

Differentiatie is de actie waarbij de afgeleide van een functie wordt gevonden.

Gebruik bij het vinden van afgeleiden formules die zijn afgeleid op basis van de definitie van een afgeleide, op dezelfde manier als we de formule voor de afgeleide graad hebben afgeleid: (x n)" = nx n-1.

Dit zijn de formules.

Tabel met derivaten Het zal gemakkelijker zijn om te onthouden door verbale formuleringen uit te spreken:

1. De afgeleide van een constante grootheid is nul.

2. X-priemgetal is gelijk aan één.

3. De constante factor kan uit het teken van de afgeleide worden gehaald.

4. De afgeleide van een graad is gelijk aan het product van de exponent van deze graad met een graad met hetzelfde grondtal, maar de exponent is één minder.

5. De afgeleide van een wortel is gelijk aan één gedeeld door twee gelijke wortels.

6. De afgeleide van één gedeeld door x is gelijk aan min één gedeeld door x in het kwadraat.

7. De afgeleide van de sinus is gelijk aan de cosinus.

8. De afgeleide van de cosinus is gelijk aan min sinus.

9. De afgeleide van de raaklijn is gelijk aan één gedeeld door het kwadraat van de cosinus.

10. De afgeleide van de cotangens is gelijk aan min één gedeeld door het kwadraat van de sinus.

Wij leren differentiatie regels.

1. De afgeleide van een algebraïsche som is gelijk aan de algebraïsche som van de afgeleiden van de termen.

2. De afgeleide van een product is gelijk aan het product van de afgeleide van de eerste factor en de tweede plus het product van de eerste factor en de afgeleide van de tweede.

3. De afgeleide van “y” gedeeld door “ve” is gelijk aan een breuk waarin de teller “y priemgetal vermenigvuldigd met “ve” minus “y vermenigvuldigd met ve priemgetal” is, en de noemer “ve kwadraat” is.

4. Een speciaal geval van de formule 3.

Laten we samen leren!

Pagina 1 van 1 1

Maak een verhouding en bereken de limiet.

Waar kwam het vandaan? tabel met derivaten en differentiatieregels? Dankzij de enige limiet. Het lijkt magie, maar in werkelijkheid is het goochelarij en geen fraude. Bij de les Wat is een derivaat? Ik begon naar specifieke voorbeelden te kijken waarin ik, met behulp van de definitie, de afgeleiden van een lineaire en kwadratische functie vond. Met het oog op cognitieve warming-up zullen we blijven storen tabel met derivaten, het algoritme en de technische oplossingen aanscherpen:

voorbeeld 1

In wezen moet je een speciaal geval van de afgeleide van een machtsfunctie bewijzen, dat meestal in de tabel verschijnt: .

Oplossing technisch geformaliseerd op twee manieren. Laten we beginnen met de eerste, al bekende benadering: de ladder begint met een plank, en de afgeleide functie begint met de afgeleide op een punt.

Laat ons nadenken sommige(specifiek) punt waartoe behoort domein van definitie functie waarin sprake is van een afgeleide. Laten we de verhoging op dit punt instellen (uiteraard binnen de reikwijdteo/o -I) en stel de overeenkomstige toename van de functie samen:

Laten we de limiet berekenen:

De onzekerheid 0:0 wordt geëlimineerd door een standaardtechniek, die al in de eerste eeuw voor Christus werd overwogen. Vermenigvuldig de teller en de noemer met de geconjugeerde uitdrukking :

De techniek voor het oplossen van een dergelijke limiet wordt in de inleidende les gedetailleerd besproken. over de grenzen van functies.

Omdat u ELK punt van het interval als kwaliteit kunt kiezen, krijgen we, nadat we de vervanging hebben uitgevoerd:

Antwoord

Laten we ons nogmaals verheugen over logaritmen:

Voorbeeld 2

Vind de afgeleide van een functie met behulp van de definitie van afgeleide

Oplossing: Laten we eens kijken naar een andere aanpak om dezelfde taak te promoten. Het is precies hetzelfde, maar rationeler qua ontwerp. Het idee is om het subscript aan het begin van de oplossing te verwijderen en de letter te gebruiken in plaats van de letter.

Laat ons nadenken willekeurig punt waartoe behoort domein van definitie functie (interval) en stel de stapgrootte daarin in. Maar hier kun je trouwens, zoals in de meeste gevallen, zonder enig voorbehoud doen, aangezien de logaritmische functie op elk punt in het definitiedomein differentieerbaar is.

De overeenkomstige toename van de functie is dan:

Laten we de afgeleide vinden:

De eenvoud van het ontwerp wordt gecompenseerd door de verwarring die kan ontstaan voor beginners (en niet alleen). We zijn er immers aan gewend dat de letter “X” in de limiet verandert! Maar hier is alles anders: - een antiek beeld, en - een levende bezoeker, die stevig door de gang van het museum loopt. Dat wil zeggen: ‘x’ is ‘als een constante’.

Ik zal stap voor stap commentaar geven op het elimineren van onzekerheid:

(1) We gebruiken de eigenschap van de logaritme .

(2) Deel tussen haakjes de teller door de noemer, term voor term.

(3) In de noemer vermenigvuldigen en delen we kunstmatig door “x” om hiervan te profiteren opmerkelijke grens , terwijl oneindig klein valt op.

Antwoord: per definitie van derivaat:

Of in het kort:

Ik stel voor om zelf nog twee tabelformules te construeren:

Voorbeeld 3

In dit geval is het handig om de gecompileerde toename onmiddellijk terug te brengen tot een gemeenschappelijke noemer. Een benaderend voorbeeld van de opdracht aan het einde van de les (eerste methode).

Voorbeeld 3:Oplossing : overweeg een punt , behorend tot het domein van de definitie van de functie . Laten we de verhoging op dit punt instellen en stel de overeenkomstige toename van de functie samen:

Laten we de afgeleide op het punt vinden :

Aangezien als een u kunt elk punt selecteren functie domein , Dat En
Antwoord : per definitie van derivaat

Voorbeeld 4

Vind de afgeleide per definitie

En hier moet alles tot gereduceerd worden prachtige grens. De oplossing wordt op de tweede manier geformaliseerd.

Een aantal andere afgeleiden in tabelvorm. De volledige lijst vind je in het schoolboek, of bijvoorbeeld in de 1e jaargang van Fichtenholtz. Ik zie niet veel nut in het kopiëren van bewijzen van differentiatieregels uit boeken - ze worden ook gegenereerd door de formule.

Voorbeeld 4:Oplossing , behorend bij en stel de verhoging daarin in

Laten we de afgeleide vinden:

Een prachtige limiet gebruiken

Antwoord : een priorij

Voorbeeld 5

Zoek de afgeleide van een functie , waarbij de definitie van derivaat wordt gebruikt

Oplossing: we gebruiken de eerste ontwerpstijl. Laten we een punt bekijken dat bij hoort, en de toename van het argument daarbij specificeren. De overeenkomstige toename van de functie is dan:

Misschien hebben sommige lezers het principe waarmee stappen moeten worden gemaakt nog niet volledig begrepen. Neem een punt (getal) en zoek de waarde van de functie daarin: , dat wil zeggen, in de functie in plaats van"X" moet worden vervangen. Nu nemen we ook een heel specifiek getal en vervangen dit ook door de functie in plaats van"Iksa": . We schrijven het verschil op, en het is noodzakelijk volledig tussen haakjes zetten.

Gecompileerde functieverhoging Het kan nuttig zijn om het meteen te vereenvoudigen. Waarvoor? Vergemakkelijk en verkort de oplossing tot een verdere limiet.

We gebruiken formules, openen de haakjes en verminderen alles wat kan worden verminderd:

De kalkoen is gestript, geen probleem met het gebraad:

Eventueel:

Omdat we elk reëel getal als waarde kunnen kiezen, maken we de vervanging en krijgen we .

Antwoord: een priorij.

Laten we voor verificatiedoeleinden de afgeleide vinden met behulp van differentiatieregels en tabellen:

Het is altijd nuttig en prettig om van tevoren het juiste antwoord te weten, dus het is beter om de voorgestelde functie op een “snelle” manier te differentiëren, hetzij mentaal of in een concept, helemaal aan het begin van de oplossing.

Voorbeeld 6

Vind de afgeleide van een functie per definitie van afgeleide

Dit is een voorbeeld dat u zelf kunt oplossen. Het resultaat is duidelijk:

Voorbeeld 6:Oplossing : overweeg een punt , behorend bij en stel de toename van het argument daarin in . De overeenkomstige toename van de functie is dan:

Laten we de afgeleide berekenen:

Dus:
Omdat als je kunt dan elk reëel getal kiezen En
Antwoord : een priorij.

Laten we teruggaan naar stijl #2:

Voorbeeld 7

Laten we meteen kijken wat er moet gebeuren. Door regel voor differentiatie van complexe functies:

Oplossing: beschouw een willekeurig punt dat behoort tot , stel de toename van het argument daarop in en stel de toename van de functie samen:

Laten we de afgeleide vinden:

(1) Gebruik trigonometrische formule .

(2) Onder de sinus openen we de haakjes, onder de cosinus presenteren we soortgelijke termen.

(3) Onder de sinus reduceren we de termen, onder de cosinus delen we de teller door de noemer, term voor term.

(4) Vanwege de eigenaardigheid van de sinus verwijderen we de “min”. Onder de cosinus geven we aan dat de term .

(5) We voeren kunstmatige vermenigvuldiging uit in de noemer om te gebruiken eerste prachtige grens. Dus de onzekerheid is geëlimineerd, laten we het resultaat opruimen.

Antwoord: a-priorij

Zoals u kunt zien, berust de grootste moeilijkheid van het onderhavige probleem op de complexiteit van de limiet zelf + een enigszins uniek karakter van de verpakking. In de praktijk komen beide ontwerpmethoden voor, daarom beschrijf ik beide benaderingen zo gedetailleerd mogelijk. Ze zijn gelijkwaardig, maar toch is het, naar mijn subjectieve indruk, voor dummies beter om vast te houden aan optie 1 met “X-nul”.

Voorbeeld 8

Gebruik de definitie om de afgeleide van de functie te vinden

Voorbeeld 8:Oplossing : overweeg een willekeurig punt , behorend bij , laten we de verhoging daarin instellen en stel de toename van de functie samen:

Laten we de afgeleide vinden:

We gebruiken de trigonometrische formule en de eerste opmerkelijke limiet:

Antwoord : een priorij

Laten we eens kijken naar een zeldzamere versie van het probleem:

Voorbeeld 9

Vind de afgeleide van de functie op het punt met behulp van de definitie van afgeleide.

Ten eerste: wat moet het uitgangspunt zijn? Nummer

Laten we het antwoord op de standaardmanier berekenen:

Oplossing: vanuit een oogpunt van duidelijkheid is deze taak veel eenvoudiger, omdat de formule in plaats daarvan rekening houdt met een specifieke waarde.

Laten we de toename op het punt instellen en de overeenkomstige toename van de functie samenstellen:

Laten we de afgeleide op het punt berekenen:

We gebruiken een zeer zeldzame raaklijnverschilformule en nogmaals reduceren we de oplossing tot de eerste prachtige limiet:

Antwoord: per definitie van afgeleide op een punt.

Het probleem is "in het algemeen" niet zo moeilijk op te lossen - het is voldoende om het te vervangen door of eenvoudigweg afhankelijk te zijn van de ontwerpmethode. In dit geval is het duidelijk dat het resultaat geen getal zal zijn, maar een afgeleide functie.

Voorbeeld 10

Gebruik de definitie om de afgeleide van de functie te vinden op een punt (waarvan er één oneindig kan blijken te zijn), waarover ik al in algemene termen heb beschreven theoretische les over afgeleide.

Sommige stuksgewijs gedefinieerde functies zijn ook differentieerbaar op de "knooppunten" van de grafiek, bijvoorbeeld catdog heeft een gemeenschappelijke afgeleide en een gemeenschappelijke raaklijn (x-as) in het punt. Curve, maar differentieerbaar door ! Geïnteresseerden kunnen dit zelf verifiëren aan de hand van het zojuist opgeloste voorbeeld.

©2015-2019 website
Alle rechten behoren toe aan hun auteurs. Deze site claimt geen auteurschap, maar biedt gratis gebruik.
Aanmaakdatum van de pagina: 11-06-2017

Afgeleide van een functie van één variabele.

Invoering.

Deze methodologische ontwikkelingen zijn bedoeld voor studenten van de Faculteit Industriële en Civiele Techniek. Ze zijn samengesteld in relatie tot het wiskundecursusprogramma in de sectie ‘Differentiaalrekening van functies van één variabele’.

De ontwikkelingen vertegenwoordigen één enkele methodologische gids, waaronder: korte theoretische informatie; “standaard” problemen en oefeningen met gedetailleerde oplossingen en uitleg voor deze oplossingen; test opties.

Aan het einde van elke paragraaf staan aanvullende oefeningen. Deze opbouw van ontwikkelingen maakt ze geschikt voor het zelfstandig beheersen van de sectie met minimale hulp van de docent.

§1. Definitie van derivaat.

Mechanische en geometrische betekenis

derivaat.

Het concept van afgeleide is een van de belangrijkste concepten van de wiskundige analyse en ontstond in de 17e eeuw. De vorming van het concept van afgeleide wordt historisch geassocieerd met twee problemen: het probleem van de snelheid van wisselende beweging en het probleem van de raaklijn aan een curve.

Deze problemen leiden, ondanks hun verschillende inhoud, tot dezelfde wiskundige bewerking die op een functie moet worden uitgevoerd. Deze bewerking heeft in de wiskunde een speciale naam gekregen. Het wordt de werking van differentiatie van een functie genoemd. Het resultaat van de differentiatiebewerking wordt de afgeleide genoemd.

Dus de afgeleide van de functie y=f(x) op het punt x0 is de limiet (als deze bestaat) van de verhouding tussen de toename van de functie en de toename van het argument
bij
.

De afgeleide wordt gewoonlijk als volgt aangeduid:
.

Per definitie dus

De symbolen worden ook gebruikt om derivaten aan te duiden
.

Mechanische betekenis van afgeleide.

Als s=s(t) de wet is van de rechtlijnige beweging van een materieel punt, dan
is de snelheid van dit punt op tijdstip t.

Geometrische betekenis van afgeleide.

Als de functie y=f(x) op dat punt een afgeleide heeft , dan de hoekcoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van de functie op het punt
gelijk aan
.

Voorbeeld.

Zoek de afgeleide van de functie
bij het punt =2:

1) Laten we er een punt van maken =2 toename
. Let erop dat.

2) Zoek de toename van de functie op het punt =2:

3) Laten we de verhouding creëren tussen de toename van de functie en de toename van het argument:

Laten we de limiet van de verhouding vinden op
:

Dus,
.

§ 2. Derivaten van sommigen

eenvoudigste functies.

De student moet leren hoe hij afgeleiden van specifieke functies kan berekenen: y=x,y= en in het algemeen= .

Laten we de afgeleide van de functie y=x vinden.

die. (x)′=1.

Laten we de afgeleide van de functie vinden

Derivaat

Laten
Dan

Het is gemakkelijk om een patroon op te merken in de uitdrukkingen voor de afgeleiden van de machtsfunctie
met n=1,2,3.

Vandaar,

. (1)

Deze formule is geldig voor elke reële n.

Met behulp van formule (1) hebben we in het bijzonder:

;

Voorbeeld.

Zoek de afgeleide van de functie

Deze functie is een speciaal geval van een functie van de vorm

bij
.

Met behulp van formule (1) hebben we dat gedaan

Afgeleiden van de functies y=sin x en y=cos x.

Laat y=sinx.

Delen door ∆x, krijgen we

Als we de limiet bereiken bij ∆x → 0, hebben we dat gedaan

Laat y=cosx.

Als we de limiet bereiken bij ∆x → 0, verkrijgen we

;
. (2)

§3. Basisregels voor differentiatie.

Laten we eens kijken naar de regels van differentiatie.

Stelling1 . Als de functies u=u(x) en v=v(x) differentieerbaar zijn op een bepaald puntx, dan is hun som op dit punt ook differentieerbaar, en is de afgeleide van de som gelijk aan de som van de afgeleiden van de termen : (u+v)"=u"+v".(3 )

Bewijs: beschouw de functie y=f(x)=u(x)+v(x).

De verhoging ∆x van het argument x komt overeen met de verhogingen ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) van de functies u en v. Dan zal de functie y toenemen

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Vandaar,

Dus (u+v)"=u"+v".

Stelling2. Als de functies u=u(x) en v=v(x) differentieerbaar zijn op een bepaald puntx, dan is hun product differentieerbaar op hetzelfde punt. In dit geval wordt de afgeleide van het product gevonden met de volgende formule: ( uv)"=u"v+uv". ( 4)

Bewijs: Stel y=uv, waarbij u en v enkele differentieerbare functies van x zijn. Laten we x een verhoging van ∆x geven; dan krijgt u een verhoging van ∆u, krijgt v een verhoging van ∆v en krijgt y een verhoging van ∆y.

We hebben y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), of

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Daarom is ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Vanaf hier

Als we de limiet bij ∆x → 0 overschrijden en er rekening mee houden dat u en v niet afhankelijk zijn van ∆x, krijgen we

Stelling 3. De afgeleide van het quotiënt van twee functies is gelijk aan een breuk, waarvan de noemer gelijk is aan het kwadraat van de deler, en de teller is het verschil tussen het product van de afgeleide van het deeltal en de deler en het product van de dividend en de afgeleide van de deler, d.w.z.

Als
Dat
(5)