Spesiell løsning av differensialligningskalkulator i detalj. Løsning av de enkleste differensialligningene av første orden

I. Vanlige differensialligninger

1.1. Grunnleggende begreper og definisjoner

En differensialligning er en ligning som relaterer en uavhengig variabel x, ønsket funksjon y og dens derivater eller differensialer.

Symbolsk er differensialligningen skrevet som følger:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y(n))=0

En differensialligning kalles ordinær hvis ønsket funksjon avhenger av én uavhengig variabel.

Ved å løse differensialligningen kalles en slik funksjon som gjør denne ligningen til en identitet.

Rekkefølgen av differensialligningen er rekkefølgen til den høyeste deriverte i denne ligningen

Eksempler.

1. Betrakt første ordens differensialligning

Løsningen på denne ligningen er funksjonen y = 5 ln x. Faktisk ved å erstatte y" inn i ligningen får vi – en identitet.

Og dette betyr at funksjonen y = 5 ln x– er løsningen av denne differensialligningen.

2. Betrakt den andre ordens differensialligningen y" - 5y" + 6y = 0. Funksjonen er løsningen på denne ligningen.

Egentlig, .

Ved å erstatte disse uttrykkene i ligningen får vi: , - identitet.

Og dette betyr at funksjonen er løsningen av denne differensialligningen.

Integrasjon av differensialligninger er prosessen med å finne løsninger på differensialligninger.

Generell løsning av differensialligningen kalles en funksjon av formen , som inkluderer like mange uavhengige vilkårlige konstanter som rekkefølgen til ligningen.

Partiell løsning av differensialligningen kalles løsningen oppnådd fra den generelle løsningen for forskjellige numeriske verdier av vilkårlige konstanter. Verdiene til vilkårlige konstanter finnes ved visse startverdier av argumentet og funksjonen.

Grafen til en bestemt løsning av en differensialligning kalles integrert kurve.

Eksempler

1. Finn en spesiell løsning på en førsteordens differensialligning

xdx + ydy = 0, hvis y= 4 kl x = 3.

Løsning. Ved å integrere begge sider av ligningen får vi

Kommentar. En vilkårlig konstant C oppnådd som et resultat av integrasjon kan representeres i enhver form som er praktisk for videre transformasjoner. I dette tilfellet, med tanke på sirkelens kanoniske ligning, er det praktisk å representere en vilkårlig konstant С i formen .

er den generelle løsningen av differensialligningen.

En spesiell løsning av en ligning som tilfredsstiller startbetingelsene y = 4 kl x = 3 er funnet fra det generelle ved å erstatte startbetingelsene i den generelle løsningen: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Ved å erstatte C=5 i den generelle løsningen får vi x2+y2 = 5 2 .

Dette er en spesiell løsning av differensialligningen oppnådd fra den generelle løsningen under gitte startbetingelser.

2. Finn den generelle løsningen av differensialligningen

Løsningen av denne ligningen er en hvilken som helst funksjon av formen , hvor C er en vilkårlig konstant. Faktisk, ved å erstatte likningene, får vi: , .

Derfor har denne differensialligningen et uendelig antall løsninger, siden for forskjellige verdier av konstanten C, bestemmer likheten forskjellige løsninger av ligningen.

For eksempel ved direkte substitusjon kan man verifisere at funksjonene er løsninger av ligningen.

Et problem der det kreves å finne en bestemt løsning på ligningen y" = f(x, y) tilfredsstiller startbetingelsen y(x0) = y0, kalles Cauchy-problemet.

Ligningsløsning y" = f(x, y), som tilfredsstiller startbetingelsen, y(x0) = y0, kalles en løsning på Cauchy-problemet.

Løsningen av Cauchy-problemet har en enkel geometrisk betydning. Faktisk, i henhold til disse definisjonene, for å løse Cauchy-problemet y" = f(x, y) på betingelse av y(x0) = y0, betyr å finne integralkurven til ligningen y" = f(x, y) som går gjennom et gitt punkt M0 (x0,y 0).

II. Første ordens differensialligninger

2.1. Enkle konsepter

En førsteordens differensialligning er en formlikning F(x,y,y") = 0.

Den første ordens differensialligningen inkluderer den første deriverte og inkluderer ikke høyere ordens deriverte.

Ligningen y" = f(x, y) kalles en førsteordens ligning løst med hensyn til den deriverte.

En generell løsning av en førsteordens differensialligning er en funksjon av formen , som inneholder en vilkårlig konstant.

Eksempel. Tenk på en førsteordens differensialligning.

Løsningen på denne ligningen er funksjonen.

Faktisk, å erstatte i denne ligningen med dens verdi, får vi

det er 3x=3x

Derfor er funksjonen en generell løsning av ligningen for enhver konstant C.

Finn en spesiell løsning av denne ligningen som tilfredsstiller startbetingelsen y(1)=1 Erstatter startbetingelser x=1, y=1 inn i den generelle løsningen av ligningen, får vi hvorfra C=0.

Dermed får vi en bestemt løsning fra den generelle ved å erstatte den resulterende verdien i denne ligningen C=0 er en privat avgjørelse.

2.2. Differensialligninger med separerbare variabler

En differensialligning med separerbare variabler er en ligning av formen: y"=f(x)g(y) eller gjennom differensialer , hvor f(x) og g(y) er gitt funksjoner.

For de y, for hvilket , ligningen y"=f(x)g(y) er ekvivalent med ligningen hvor variabelen y er kun til stede på venstre side, og variabelen x er kun til stede på høyre side. De sier "i ligningen y"=f(x)g(y skille variablene.

Skriv ligning kalles en separert variabelligning.

Etter å ha integrert begge deler av ligningen på x, vi får G(y) = F(x) + C er den generelle løsningen av ligningen, hvor G(y) og F(x) er noen antiderivater, henholdsvis av funksjoner og f(x), C vilkårlig konstant.

Algoritme for å løse en førsteordens differensialligning med separerbare variabler

Eksempel 1

løse ligningen y" = xy

Løsning. Derivert av en funksjon y" Erstatt med

vi skiller variablene

La oss integrere begge deler av likestillingen:

Eksempel 2

2yy" = 1- 3x 2, hvis y 0 = 3 på x0 = 1

Dette er en separert variabelligning. La oss representere det i differensialer. For å gjøre dette, omskriver vi denne ligningen i skjemaet Herfra

Integrering av begge deler av den siste likestillingen, finner vi

Erstatter startverdier x 0 = 1, y 0 = 3 finne FRA 9=1-1+C, dvs. C = 9.

Derfor vil den ønskede partielle integralen være eller

Eksempel 3

Skriv en ligning for en kurve som går gjennom et punkt M(2;-3) og har en tangent med en helning

Løsning. I følge tilstanden

Dette er en separerbar variabelligning. Ved å dele variablene får vi:

Ved å integrere begge deler av ligningen får vi:

Ved å bruke de opprinnelige betingelsene, x=2 og y=-3 finne C:

Derfor har den ønskede ligningen formen

2.3. Lineære differensialligninger av første orden

En førsteordens lineær differensialligning er en formlikning y" = f(x)y + g(x)

hvor f(x) og g(x)- noen gitte funksjoner.

Hvis en g(x)=0 da kalles den lineære differensialligningen homogen og har formen: y" = f(x)y

Hvis da ligningen y" = f(x)y + g(x) kalt heterogen.

Generell løsning av en lineær homogen differensialligning y" = f(x)y gitt av formelen: hvor FRA er en vilkårlig konstant.

Spesielt hvis C \u003d 0, da er løsningen y=0 Hvis den lineære homogene ligningen har formen y" = ky hvor k er en konstant, så har dens generelle løsning formen: .

Generell løsning av en lineær inhomogen differensialligning y" = f(x)y + g(x) gitt av formelen ,

de. er lik summen av den generelle løsningen av den tilsvarende lineære homogene ligningen og den spesielle løsningen av denne ligningen.

For en lineær inhomogen ligning av formen y" = kx + b,

hvor k og b- noen tall og en bestemt løsning vil være en konstant funksjon. Derfor har den generelle løsningen formen .

Eksempel. løse ligningen y" + 2y +3 = 0

Løsning. Vi representerer ligningen i skjemaet y" = -2y - 3 hvor k=-2, b=-3 Den generelle løsningen er gitt av formelen.

Derfor, hvor C er en vilkårlig konstant.

2.4. Løsning av lineære differensialligninger av første orden ved Bernoulli-metoden

Finne en generell løsning på en førsteordens lineær differensialligning y" = f(x)y + g(x) reduserer til å løse to differensialligninger med separerte variabler ved å bruke substitusjonen y=uv, hvor u og v- ukjente funksjoner fra x. Denne løsningsmetoden kalles Bernoulli-metoden.

Algoritme for å løse en førsteordens lineær differensialligning

y" = f(x)y + g(x)

1. Angi en erstatning y=uv.

2. Differensiere denne likheten y"=u"v + uv"

3. Vikar y og y" inn i denne ligningen: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) eller u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Grupper vilkårene i ligningen slik at u ta den ut av parentes:

5. Finn funksjonen fra parentesen, sett den til null

Dette er en separerbar ligning:

Del variablene og få:

Hvor . .

6. Erstatt den mottatte verdien v inn i ligningen (fra punkt 4):

og finn funksjonen Dette er en separerbar ligning:

7. Skriv den generelle løsningen på skjemaet: , dvs. .

Eksempel 1

Finn en spesiell løsning på ligningen y" = -2y +3 = 0 hvis y=1 på x=0

Løsning. La oss løse det med substitusjon y=uv,.y"=u"v + uv"

Erstatter y og y" inn i denne ligningen, får vi

Ved å gruppere andre og tredje ledd på venstre side av ligningen, tar vi ut fellesfaktoren u ut av parentes

Vi likestiller uttrykket i parentes til null, og etter å ha løst den resulterende ligningen finner vi funksjonen v = v(x)

Vi fikk en ligning med separerte variabler. Vi integrerer begge deler av denne ligningen: Finn funksjonen v:

Erstatt den resulterende verdien v inn i ligningen får vi:

Dette er en separert variabelligning. Vi integrerer begge deler av ligningen: La oss finne funksjonen u = u(x,c) La oss finne en generell løsning: La oss finne en spesiell løsning av ligningen som tilfredsstiller startbetingelsene y=1 på x=0:

III. Differensialligninger av høyere orden

3.1. Grunnleggende begreper og definisjoner

En andreordens differensialligning er en ligning som inneholder derivater som ikke er høyere enn andreordens. I det generelle tilfellet er andreordens differensialligning skrevet som: F(x,y,y",y") = 0

Den generelle løsningen av en andreordens differensialligning er en funksjon av formen , som inkluderer to vilkårlige konstanter C1 og C2.

En spesiell løsning av en andreordens differensialligning er en løsning oppnådd fra den generelle for noen verdier av vilkårlige konstanter C1 og C2.

3.2. Lineære homogene differensialligninger av andre orden med konstante forhold.

Lineær homogen differensialligning av andre orden med konstante koeffisienter kalles en formlikning y" + py" + qy = 0, hvor s og q er konstante verdier.

Algoritme for å løse andreordens homogene differensialligninger med konstante koeffisienter

1. Skriv differensialligningen på skjemaet: y" + py" + qy = 0.

2. Komponer dens karakteristiske ligning, angir y" gjennom r2, y" gjennom r, y i 1: r2 + pr +q = 0

Løsning av differensialligninger. Takket være vår nettjeneste kan du løse differensialligninger av enhver type og kompleksitet: inhomogene, homogene, ikke-lineære, lineære, første, andre orden, med eller uten separerbare variabler, etc. Du får løsningen av differensialligninger i en analytisk form med en detaljert beskrivelse. Mange er interessert i: hvorfor er det nødvendig å løse differensialligninger på nett? Denne typen ligninger er svært vanlig i matematikk og fysikk, hvor det vil være umulig å løse mange problemer uten å beregne en differensialligning. Også differensialligninger er vanlige innen økonomi, medisin, biologi, kjemi og andre vitenskaper. Å løse en slik ligning på nettet letter i stor grad oppgavene dine, gjør det mulig å bedre assimilere materialet og teste deg selv. Fordeler med å løse differensialligninger online. En moderne matematisk tjenesteside lar deg løse differensialligninger online av enhver kompleksitet. Som du vet, er det et stort antall typer differensialligninger, og hver av dem har sine egne løsninger. På vår tjeneste kan du finne løsningen av differensialligninger av enhver rekkefølge og type online. For å få en løsning foreslår vi at du fyller inn de første dataene og klikker på "Løsning"-knappen. Feil i driften av tjenesten er utelukket, så du kan være 100 % sikker på at du har fått riktig svar. Løs differensialligninger med vår tjeneste. Løs differensialligninger online. Som standard, i en slik ligning, er y-funksjonen en funksjon av x-variabelen. Men du kan også angi din egen variabelbetegnelse. For eksempel, hvis du spesifiserer y(t) i en differensialligning, vil tjenesten vår automatisk bestemme at y er en funksjon av t-variabelen. Rekkefølgen til hele differensialligningen vil avhenge av den maksimale rekkefølgen til den deriverte av funksjonen som er tilstede i ligningen. Å løse en slik ligning betyr å finne den nødvendige funksjonen. Vår tjeneste vil hjelpe deg med å løse differensialligninger online. Det krever ikke mye innsats fra din side for å løse ligningen. Du trenger bare å skrive inn venstre og høyre del av ligningen din i de nødvendige feltene og klikke på "Løsning"-knappen. Når du skriver inn den deriverte av en funksjon, er det nødvendig å betegne den med en apostrof. I løpet av sekunder vil du ha en ferdig detaljert løsning på differensialligningen. Tjenesten vår er helt gratis. Differensialligninger med separerbare variabler. Hvis det i en differensialligning på venstre side er et uttrykk som er avhengig av y, og på høyre side er det et uttrykk som er avhengig av x, så kalles en slik differensialligning med separerbare variabler. På venstre side kan det være en derivert av y, løsningen av differensialligninger av denne typen vil være i form av en funksjon av y, uttrykt gjennom integralet til høyre side av ligningen. Hvis det er en differensial av en funksjon av y på venstre side, er begge deler av ligningen integrert. Når variablene i en differensialligning ikke er separert, må de deles for å få en separert differensialligning. Lineær differensialligning. En differensialligning kalles lineær, der funksjonen og alle dens deriverte er i første grad. Generell form for ligningen: y'+a1(x)y=f(x). f(x) og a1(x) er kontinuerlige funksjoner av x. Løsningen av differensialligninger av denne typen er redusert til integrasjon av to differensialligninger med adskilte variabler. Rekkefølgen av differensialligningen. Differensialligningen kan være av første, andre, n-te orden. Rekkefølgen til en differensialligning bestemmer rekkefølgen til den høyeste deriverte som finnes i den. I vår tjeneste kan du løse online differensialligninger av den første, andre, tredje osv. rekkefølge. Løsningen på ligningen vil være en hvilken som helst funksjon y=f(x), som erstatter den i ligningen, du vil få en identitet. Prosessen med å finne en løsning på en differensialligning kalles integrasjon. Cauchy problem. Hvis startbetingelsen y(x0)=y0 i tillegg til selve differensialligningen er spesifisert, kalles dette Cauchy-problemet. Indikatorene y0 og x0 legges til løsningen av ligningen og verdien av en vilkårlig konstant C bestemmes, og deretter en spesiell løsning av ligningen for denne verdien av C. Dette er løsningen av Cauchy-problemet. Cauchy-problemet kalles også et problem med randbetingelser, som er svært vanlig i fysikk og mekanikk. Du har også muligheten til å sette Cauchy-problemet, det vil si fra alle mulige løsninger på ligningen, velg en spesiell som oppfyller de gitte startbetingelsene.

Første ordens differensialligninger. Løsningseksempler.
Differensialligninger med separerbare variabler

Differensialligninger (DE). Disse to ordene skremmer vanligvis den gjennomsnittlige lekmann. Differensialligninger ser ut til å være noe opprørende og vanskelig å mestre for mange elever. Uuuuuu... differensialligninger, hvordan skulle jeg overleve alt dette?!

En slik mening og en slik holdning er grunnleggende feil, fordi faktisk DIFFERENSIALLIGNINGER ER ENKLE OG TIL OG med GØYE. Hva trenger du å vite og kunne lære for å løse differensialligninger? For å lykkes med å studere diffurer, må du være god til å integrere og differensiere. Jo bedre emnene studeres Derivert av en funksjon av én variabel og Ubestemt integral, jo lettere blir det å forstå differensialligninger. Jeg vil si mer, hvis du har mer eller mindre anstendige integreringsevner, så er temaet praktisk talt mestret! Jo flere integraler av ulike typer du kan løse, jo bedre. Hvorfor? Man må integrere mye. Og differensiere. Også anbefaler sterkt lære å finne.

I 95 % av tilfellene er det 3 typer førsteordens differensialligninger i testoppgaver: separerbare ligninger, som vi skal dekke i denne leksjonen; homogene ligninger og lineære inhomogene ligninger. For nybegynnere å studere diffusorer, anbefaler jeg deg å lese leksjonene i denne sekvensen, og etter å ha studert de to første artiklene, vil det ikke skade å konsolidere ferdighetene dine i en ekstra workshop - ligninger som reduserer til homogene.

Det er enda sjeldnere typer differensialligninger: ligninger i totale differensialer, Bernoullis ligninger og noen andre. Av de to siste typene er de viktigste ligningene i totale differensialer, fordi i tillegg til denne DE, vurderer jeg nytt materiale - delvis integrasjon.

Hvis du bare har en dag eller to igjen, deretter for ultrarask tilberedning det er blitzkurs i pdf-format.

Så, landemerkene er satt - la oss gå:

La oss først huske de vanlige algebraiske ligningene. De inneholder variabler og tall. Det enkleste eksemplet: . Hva vil det si å løse en vanlig ligning? Dette betyr å finne sett med tall som tilfredsstiller denne ligningen. Det er lett å se at barnelikningen har en enkelt rot: . For moro skyld, la oss gjøre en sjekk, erstatte den funnet roten i ligningen vår:

- det oppnås riktig likhet, som betyr at løsningen blir funnet riktig.

Diffuser er ordnet på omtrent samme måte!

Differensial ligning første orden generelt inneholder:
1) uavhengig variabel ;
2) avhengig variabel (funksjon);
3) den første deriverte av funksjonen: .

I noen ligninger av 1. orden kan det ikke være noen "x" eller (og) "y", men dette er ikke avgjørende - viktig slik at i DU var førstederiverte, og hadde ikke derivater av høyere orden - osv.

Hva betyr ?Å løse en differensialligning betyr å finne sett med alle funksjoner som tilfredsstiller denne ligningen. Et slikt sett med funksjoner har ofte formen ( er en vilkårlig konstant), som kalles generell løsning av differensialligningen.

Eksempel 1

Løs differensialligning

Full ammunisjon. Hvor du skal begynne løsning?

Først av alt må du omskrive den deriverte i en litt annen form. Vi husker den tungvinte notasjonen, som mange av dere sikkert syntes var latterlig og unødvendig. Det er det som regjerer i diffusorer!

I det andre trinnet, la oss se om det er mulig dele variabler? Hva vil det si å skille variabler? Omtrentlig sagt, på venstre side vi må dra bare "spill", a på høyre side organisere bare x-er. Separasjon av variabler utføres ved hjelp av "skole" manipulasjoner: parenteser, overføring av termer fra del til del med fortegnsendring, overføring av faktorer fra del til del i henhold til proporsjonsregelen, etc.

Differensialer og er fulle multiplikatorer og aktive deltakere i fiendtligheter. I dette eksemplet skilles variablene enkelt ved å vende faktorer i henhold til proporsjonsregelen:

Variabler er separert. På venstre side - bare "Spill", på høyre side - bare "X".

Neste nivå - differensialligningsintegrasjon. Det er enkelt, vi henger integraler på begge deler:

Selvfølgelig skal integraler tas. I dette tilfellet er de tabellformede:

Som vi husker, er en konstant tilordnet ethvert antiderivat. Det er to integraler her, men det er nok å skrive konstanten én gang (fordi en konstant + en konstant er fortsatt lik en annen konstant). I de fleste tilfeller er den plassert på høyre side.

Strengt tatt, etter at integralene er tatt, anses differensialligningen å være løst. Det eneste er at vår "y" ikke uttrykkes gjennom "x", det vil si at løsningen presenteres i det implisitte form. Den implisitte løsningen av en differensialligning kalles generell integral av differensialligningen. Det vil si, er det generelle integralet.

Et svar i denne formen er ganske akseptabelt, men finnes det et bedre alternativ? La oss prøve å få felles vedtak.

Vær så snill, husk den første teknikken, det er veldig vanlig og brukes ofte i praktiske oppgaver: hvis en logaritme vises på høyre side etter integrasjon, er det i mange tilfeller (men slett ikke alltid!) også lurt å skrive konstanten under logaritmen.

Det er, I STEDET FOR poster skrives vanligvis .

Hvorfor er dette nødvendig? Og for å gjøre det lettere å uttrykke "y". Vi bruker egenskapen til logaritmer . I dette tilfellet:

Nå kan logaritmer og moduler fjernes:

Funksjonen er presentert eksplisitt. Dette er den generelle løsningen.

Svar: felles beslutning: .

Svarene på mange differensialligninger er ganske enkle å sjekke. I vårt tilfelle gjøres dette ganske enkelt, vi tar den funnet løsningen og skiller den:

Deretter erstatter vi den deriverte i den opprinnelige ligningen:

- riktig likhet oppnås, noe som betyr at den generelle løsningen tilfredsstiller ligningen , som var påkrevd å kontrollere.

Ved å gi en konstant forskjellige verdier, kan du få et uendelig antall private avgjørelser differensial ligning. Det er tydelig at noen av funksjonene , osv. tilfredsstiller differensialligningen.

Noen ganger kalles den generelle løsningen familie av funksjoner. I dette eksemplet, den generelle løsningen er en familie av lineære funksjoner, eller rettere sagt, en familie av direkte proporsjonaliteter.

Etter en detaljert diskusjon av det første eksemplet, er det på sin plass å svare på noen få naive spørsmål om differensialligninger:

1)I dette eksemplet klarte vi å skille variablene. Er det alltid mulig å gjøre dette? Nei ikke alltid. Og enda oftere kan variablene ikke skilles. For eksempel i homogene førsteordensligninger må byttes først. I andre typer ligninger, for eksempel i en lineær ikke-homogen ligning av første orden, må du bruke ulike triks og metoder for å finne en generell løsning. De separerbare variabellikningene som vi vurderer i den første leksjonen er den enkleste typen differensialligninger.

2) Er det alltid mulig å integrere en differensialligning? Nei ikke alltid. Det er veldig enkelt å komme opp med en "fancy" ligning som ikke kan integreres, i tillegg er det integraler som ikke kan tas. Men slike DE-er kan løses tilnærmet ved hjelp av spesielle metoder. D'Alembert og Cauchy garanterer... ...ugh, lurkmore. For jeg leste mye akkurat nå, la jeg nesten til "fra den andre verden."

3) I dette eksemplet har vi fått en løsning i form av en generell integral . Er det alltid mulig å finne en generell løsning fra det generelle integralet, det vil si å uttrykke "y" i en eksplisitt form? Nei ikke alltid. For eksempel: . Vel, hvordan kan jeg uttrykke "y" her?! I slike tilfeller bør svaret skrives som en generell integral. I tillegg kan noen ganger finne en generell løsning, men den er skrevet så tungvint og klønete at det er bedre å la svaret være i form av en generell integral

4) ...kanskje nok for nå. I det første eksemplet møttes vi et annet viktig poeng, men for ikke å dekke «dummiene» med et snøskred av ny informasjon, lar jeg det stå til neste leksjon.

La oss ikke skynde oss. Nok en enkel fjernkontroll og en annen typisk løsning:

Eksempel 2

Finn en spesiell løsning av differensialligningen som tilfredsstiller startbetingelsen

Løsning: i henhold til tilstanden det kreves for å finne privat avgjørelse DE som tilfredsstiller en gitt startbetingelse. Denne typen avhør kalles også Cauchy problem.

Først finner vi en generell løsning. Det er ingen "x"-variabel i ligningen, men dette bør ikke være pinlig, det viktigste er at den har den første deriverte.

Vi omskriver den deriverte i den nødvendige formen:

Tydeligvis kan variablene deles, gutter til venstre, jenter til høyre:

Vi integrerer ligningen:

Den generelle integralen oppnås. Her tegnet jeg en konstant med en aksentstjerne, faktum er at den snart vil bli en annen konstant.

Nå prøver vi å konvertere det generelle integralet til en generell løsning (uttrykk "y" eksplisitt). Vi husker den gamle, gode skolen: . I dette tilfellet:

Konstanten i indikatoren ser på en eller annen måte ikke kosher ut, så den senkes vanligvis fra himmelen til jorden. I detalj skjer det slik. Ved å bruke egenskapen til grader omskriver vi funksjonen som følger:

Hvis er en konstant, så er det også en konstant, redesign den med bokstaven:

Husk "riving" av en konstant er andre teknikk, som ofte brukes i løpet av å løse differensialligninger.

Så den generelle løsningen er: En så fin familie av eksponentielle funksjoner.

På det siste stadiet må du finne en bestemt løsning som tilfredsstiller den gitte startbetingelsen. Det er enkelt også.

Hva er oppgaven? Må hentes slik verdien av konstanten for å tilfredsstille betingelsen.

Du kan ordne det på forskjellige måter, men det mest forståelige vil kanskje være slik. I den generelle løsningen, i stedet for "x", erstatter vi null, og i stedet for "y", to:



Det er,

Standard designversjon:

Nå erstatter vi den funnet verdien av konstanten i den generelle løsningen:
– Dette er den spesielle løsningen vi trenger.

Svar: privat løsning:

La oss ta en sjekk. Verifisering av en bestemt løsning inkluderer to trinn:

Først er det nødvendig å sjekke om den bestemte løsningen som ble funnet virkelig tilfredsstiller startbetingelsen? I stedet for "x" erstatter vi null og ser hva som skjer:
- ja, faktisk, en toer ble oppnådd, noe som betyr at startbetingelsen er oppfylt.

Den andre fasen er allerede kjent. Vi tar den resulterende bestemte løsningen og finner den deriverte:

Bytt inn i den opprinnelige ligningen:

- riktig likestilling oppnås.

Konklusjon: den spesielle løsningen er funnet riktig.

La oss gå videre til mer meningsfulle eksempler.

Eksempel 3

Løs differensialligning

Løsning: Vi omskriver den deriverte i den formen vi trenger:

Vurdere om variabler kan skilles? Kan. Vi overfører den andre termen til høyre side med et tegnskifte:

Og vi kaster faktorene i henhold til proporsjonsregelen:

Variablene er separert, la oss integrere begge deler:

Jeg må advare deg, dommens dag kommer. Hvis du ikke har lært godt ubestemte integraler, løst noen eksempler, så er det ingen steder å gå - du må mestre dem nå.

Integralet til venstre side er lett å finne, med integralet til cotangensen tar vi for oss standardteknikken som vi vurderte i leksjonen Integrasjon av trigonometriske funksjoner I det siste året:

På høyre side har vi en logaritme, og ifølge min første tekniske anbefaling skal konstanten også skrives under logaritmen.

Nå prøver vi å forenkle det generelle integralet. Siden vi kun har logaritmer, er det fullt mulig (og nødvendig) å bli kvitt dem. Ved bruk av kjente egenskaper maksimalt "pakke" logaritmene. Jeg vil skrive i detalj:

Emballasjen er komplett for å være barbarisk fillete:

Er det mulig å uttrykke "y"? Kan. Begge deler må være firkantet.

Men du trenger ikke.

Tredje teknisk tips: hvis for å få en generell løsning må du heve til en makt eller slå røtter, da I de fleste tilfeller du bør avstå fra disse handlingene og la svaret være i form av en generell integral. Faktum er at den generelle løsningen vil se bare forferdelig ut - med store røtter, skilt og annet søppel.

Derfor skriver vi svaret som en generell integral. Det anses som god form å presentere det i formen, det vil si på høyre side, hvis mulig, la bare en konstant være. Det er ikke nødvendig å gjøre dette, men det er alltid en fordel å glede professoren ;-)

Svar: generell integral:

! Merk: det generelle integralet til enhver ligning kan skrives på mer enn én måte. Dermed, hvis resultatet ditt ikke falt sammen med et tidligere kjent svar, betyr ikke dette at du løste ligningen feil.

Det generelle integralet sjekkes også ganske enkelt, det viktigste er å kunne finne avledet av en funksjon definert implisitt. La oss skille svaret:

Vi multipliserer begge ledd med:

Og vi deler med:

Den opprinnelige differensialligningen ble oppnådd nøyaktig, noe som betyr at det generelle integralet ble funnet riktig.

Eksempel 4

Finn en spesiell løsning av differensialligningen som tilfredsstiller startbetingelsen. Kjør en sjekk.

Dette er et gjør-det-selv eksempel.

Jeg minner deg om at algoritmen består av to trinn:
1) finne en generell løsning;
2) finne den nødvendige spesielle løsningen.

Kontrollen utføres også i to trinn (se prøven i eksempel nr. 2), du trenger:
1) forsikre deg om at den bestemte løsningen som ble funnet tilfredsstiller den opprinnelige betingelsen;
2) sjekk at en bestemt løsning generelt tilfredsstiller differensialligningen.

Full løsning og svar på slutten av timen.

Eksempel 5

Finn en bestemt løsning av en differensialligning , som tilfredsstiller startbetingelsen . Kjør en sjekk.

Løsning: La oss først finne en generell løsning Denne ligningen inneholder allerede ferdige differensialer og , som betyr at løsningen er forenklet. Separere variabler:

Vi integrerer ligningen:

Integralet til venstre er tabellformet, integralet til høyre er tatt metoden for å summere funksjonen under differensialens tegn:

Det generelle integralet er oppnådd, er det mulig å lykkes med å uttrykke den generelle løsningen? Kan. Vi henger logaritmer på begge sider. Siden de er positive, er modulo-tegnene overflødige:

(Jeg håper alle forstår transformasjonen, slike ting burde allerede være kjent)

Så den generelle løsningen er:

La oss finne en bestemt løsning som tilsvarer den gitte starttilstanden.
I den generelle løsningen, i stedet for "x", erstatter vi null, og i stedet for "y", logaritmen til to:

Mer kjent design:

Vi erstatter den funnet verdien av konstanten i den generelle løsningen.

Svar: privat løsning:

Sjekk: Sjekk først om startbetingelsen er oppfylt:
- alt er bra.

La oss nå sjekke om den bestemte løsningen som ble funnet tilfredsstiller differensialligningen i det hele tatt. Vi finner den deriverte:

La oss se på den opprinnelige ligningen: – det presenteres i differensialer. Det er to måter å sjekke. Det er mulig å uttrykke differensialen fra den funnet deriverte:

Vi erstatter den bestemte løsningen og den resulterende differensialen i den opprinnelige ligningen :

Vi bruker den grunnleggende logaritmiske identiteten:

Den riktige likheten oppnås, noe som betyr at den aktuelle løsningen blir funnet riktig.

Den andre måten å sjekke på er speilvendt og mer kjent: fra ligningen uttrykk den deriverte, for dette deler vi alle brikkene med:

Og i den transformerte DE erstatter vi den oppnådde spesielle løsningen og det funnet derivatet. Som følge av forenklinger bør det også oppnås riktig likestilling.

Eksempel 6

Løs differensialligningen. Uttrykk svaret som en generell integral.

Dette er et eksempel på selvløsning, full løsning og svar på slutten av timen.

Hvilke vanskeligheter venter med å løse differensialligninger med separerbare variabler?

1) Det er ikke alltid åpenbart (spesielt for en tekanne) at variabler kan skilles. Tenk på et betinget eksempel: . Her må du ta faktorene ut av parentes: og skille røttene:. Hvordan gå videre er klart.

2) Vansker i selve integreringen. Integraler oppstår ofte ikke den enkleste, og hvis det er feil i ferdighetene til å finne ubestemt integral, da blir det vanskelig med mange diffusorer. I tillegg er logikken "siden differensialligningen er enkel, la integralene være mer kompliserte" populær blant kompilatorene av samlinger og manualer.

3) Transformasjoner med en konstant. Som alle har lagt merke til, kan en konstant i differensialligninger håndteres ganske fritt, og noen transformasjoner er ikke alltid klare for en nybegynner. La oss se på et annet hypotetisk eksempel: . I den er det tilrådelig å multiplisere alle leddene med 2: . Den resulterende konstanten er også en slags konstant, som kan betegnes med: . Ja, og siden det er en logaritme på høyre side, er det lurt å omskrive konstanten som en annen konstant: .

Problemet er at de ofte ikke bryr seg med indekser og bruker samme bokstav. Som et resultat har beslutningsprotokollen følgende form:

Hvilket kjetteri? Her er feilene! Strengt tatt, ja. Fra et innholdsmessig synspunkt er det imidlertid ingen feil, fordi som et resultat av transformasjonen av en variabelkonstant, oppnås fortsatt en variabelkonstant.

Eller et annet eksempel, anta at i løpet av å løse ligningen, oppnås et generelt integral. Dette svaret ser stygt ut, så det anbefales å endre tegnet for hvert begrep: . Formelt sett er det igjen en feil - til høyre skal den skrives . Men det er uformelt antydet at "minus ce" fortsatt er en konstant ( som like godt tar på seg alle verdier!), så å sette et "minus" gir ikke mening, og du kan bruke samme bokstav.

Jeg vil prøve å unngå en uforsiktig tilnærming, og likevel sette ned forskjellige indekser for konstanter når jeg konverterer dem.

Eksempel 7

Løs differensialligningen. Kjør en sjekk.

Løsning: Denne ligningen tillater separasjon av variabler. Separere variabler:

Vi integrerer:

Konstanten her trenger ikke å defineres under logaritmen, siden det ikke kommer noe godt ut av den.

Svar: generell integral:

Sjekk: Differensiere svaret (implisitt funksjon):

Vi blir kvitt brøker, for dette multipliserer vi begge ledd med:

Den opprinnelige differensialligningen er oppnådd, noe som betyr at det generelle integralet er funnet riktig.

Eksempel 8

Finn en spesiell løsning av DE.
,

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Det eneste hintet er at her får du en generell integral, og mer korrekt, du må prøve å finne ikke en bestemt løsning, men privat integral. Full løsning og svar på slutten av timen.

Denne online kalkulatoren lar deg løse differensialligninger online. Det er nok å skrive inn ligningen din i det aktuelle feltet, som betegner "deriverten av funksjonen" med en apostrof og klikk på knappen "løs ligningen". Og systemet implementert på grunnlag av det populære WolframAlpha-nettstedet vil gi en detaljert differensialligningsløsning helt gratis. Du kan også sette opp et Cauchy-problem for å velge fra hele settet med mulige løsninger, en bestemt en som tilsvarer gitte startbetingelser. Cauchy-problemet legges inn i et eget felt.

Differensial ligning

Som standard, i ligningen, funksjonen y er en funksjon av en variabel x. Du kan imidlertid sette din egen variabelnotasjon, hvis du for eksempel skriver y(t) i en ligning, vil kalkulatoren automatisk gjenkjenne at y er en funksjon av en variabel t. Med kalkulatoren kan du løse differensialligninger av enhver kompleksitet og type: homogene og inhomogene, lineære eller ikke-lineære, første ordens eller andre eller høyere ordener, likninger med separerbare eller ikke-separerbare variabler, etc. Løsningsdiff. ligningen er gitt i en analytisk form, har en detaljert beskrivelse. Differensialligninger er svært vanlige i fysikk og matematikk. Uten deres beregning er det umulig å løse mange problemer (spesielt i matematisk fysikk).

Et av trinnene for å løse differensialligninger er integrering av funksjoner. Det finnes standardmetoder for å løse differensialligninger. Det er nødvendig å bringe likningene til skjemaet med separerbare variabler y og x og separat integrere de separerte funksjonene. For å gjøre dette, noen ganger må du gjøre en viss erstatning.

Vanlig differensialligning kalt en ligning som relaterer en uavhengig variabel, en ukjent funksjon av denne variabelen og dens deriverte (eller differensialer) av forskjellige rekkefølger.

Rekkefølgen av differensialligningen er rekkefølgen til den høyeste deriverte som finnes i den.

I tillegg til ordinære, studeres også partielle differensialligninger. Dette er ligninger som relaterer uavhengige variabler, en ukjent funksjon av disse variablene og dens partielle deriverte med hensyn til de samme variablene. Men vi vil bare vurdere vanlige differensialligninger og derfor vil vi utelate ordet "vanlig" for korthets skyld.

Eksempler på differensialligninger:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Ligning (1) er av fjerde orden, ligning (2) er av tredje orden, ligning (3) og (4) er av andre orden, ligning (5) er av første orden.

Differensial ligning n rekkefølge trenger ikke eksplisitt inneholde en funksjon, alle dens deriverte fra først til n orden og en uavhengig variabel. Den inneholder kanskje ikke eksplisitt deriverte av noen rekkefølger, en funksjon, en uavhengig variabel.

For eksempel, i ligning (1) er det tydeligvis ingen deriverte av tredje og andre orden, så vel som funksjoner; i ligning (2) - andreordens deriverte og funksjon; i ligning (4) - uavhengig variabel; i ligning (5) - funksjoner. Bare ligning (3) inneholder eksplisitt alle deriverte, funksjonen og den uavhengige variabelen.

Ved å løse differensialligningen enhver funksjon kalles y = f(x), erstatter som i ligningen, blir det til en identitet.

Prosessen med å finne en løsning på en differensialligning kalles dens integrering.

Eksempel 1 Finn en løsning på differensialligningen.

Løsning. Vi skriver denne ligningen på skjemaet . Løsningen er å finne funksjonen ved dens deriverte. Den opprinnelige funksjonen, som kjent fra integralregningen, er antideriverten for, dvs.

Det er det det er løsning av den gitte differensialligningen . endres i det C, vil vi få ulike løsninger. Vi fant ut at det finnes et uendelig antall løsninger på en førsteordens differensialligning.

Generell løsning av differensialligningen n th orden er dens løsning uttrykt eksplisitt med hensyn til den ukjente funksjonen og inneholder n uavhengige vilkårlige konstanter, dvs.

Løsningen av differensialligningen i eksempel 1 er generell.

Partiell løsning av differensialligningen dens løsning kalles, der spesifikke numeriske verdier er gitt til vilkårlige konstanter.

Eksempel 2 Finn den generelle løsningen av differensialligningen og en spesiell løsning for .

Løsning. Vi integrerer begge deler av ligningen så mange ganger at rekkefølgen på differensialligningen er lik.

,

.

Som et resultat fikk vi den generelle løsningen -

gitt tredjeordens differensialligning.

La oss nå finne en bestemt løsning under de angitte forholdene. For å gjøre dette, erstatter vi verdiene deres i stedet for vilkårlige koeffisienter og oppnår

.

Hvis startbetingelsen i tillegg til differensialligningen er gitt på formen , kalles et slikt problem Cauchy problem . Verdiene og erstattes i den generelle løsningen av ligningen og verdien av en vilkårlig konstant blir funnet C, og deretter en bestemt løsning av ligningen for den funnet verdien C. Dette er løsningen på Cauchy-problemet.

Eksempel 3 Løs Cauchy-problemet for differensialligningen fra eksempel 1 under betingelsen.

Løsning. Vi erstatter verdiene fra starttilstanden i den generelle løsningen y = 3, x= 1. Vi får

Vi skriver ned løsningen av Cauchy-problemet for den gitte differensialligningen av første orden:

Å løse differensialligninger, selv de enkleste, krever gode ferdigheter i å integrere og ta derivater, inkludert komplekse funksjoner. Dette kan sees i følgende eksempel.

Eksempel 4 Finn den generelle løsningen av differensialligningen.

Løsning. Ligningen er skrevet på en slik form at begge sider kan integreres umiddelbart.

.

Vi bruker metoden for integrasjon ved å endre variabelen (substitusjon). La da.

Påkrevd å ta dx og nå - oppmerksomhet - vi gjør det i henhold til reglene for differensiering av en kompleks funksjon, siden x og det er en kompleks funksjon ("eple" - trekke ut kvadratroten eller, som er den samme - heve til kraften "ett sekund", og "kjøttdeig" - selve uttrykket under roten):

Vi finner integralen:

Gå tilbake til variabelen x, vi får:

.

Dette er den generelle løsningen av denne differensialligningen av første grad.

Ikke bare ferdigheter fra de tidligere delene av høyere matematikk vil kreves for å løse differensialligninger, men også ferdigheter fra elementær, det vil si skolematematikk. Som allerede nevnt, i en differensialligning av hvilken som helst rekkefølge er det kanskje ikke en uavhengig variabel, det vil si en variabel x. Kunnskapen om proporsjoner som ikke er glemt (men noen har det like) fra skolebenken vil bidra til å løse dette problemet. Dette er neste eksempel.