Inhomogene differensialligninger av andre orden. Lineære inhomogene andreordens differensialligninger med konstante koeffisienter

I noen fysikkproblemer kan det ikke etableres en direkte sammenheng mellom mengdene som beskriver prosessen. Men det er en mulighet for å oppnå en likhet som inneholder derivatene av funksjonene som studeres. Dette er hvordan differensialligninger oppstår og behovet for å løse dem for å finne en ukjent funksjon.

Denne artikkelen er ment for de som står overfor problemet med å løse en differensialligning der den ukjente funksjonen er en funksjon av én variabel. Teorien er bygget på en slik måte at med null forståelse av differensialligninger kan du gjøre jobben din.

Hver type differensialligninger er knyttet til en løsningsmetode med detaljerte forklaringer og løsninger på typiske eksempler og problemer. Du må bare bestemme typen differensialligning for problemet ditt, finne et lignende analysert eksempel og utføre lignende handlinger.

For å lykkes med å løse differensialligninger, trenger du også evnen til å finne sett med antiderivater (ubestemte integraler) av ulike funksjoner. Om nødvendig anbefaler vi at du henviser til avsnittet.

Først vurderer vi typene ordinære differensialligninger av første orden som kan løses med hensyn til den deriverte, deretter går vi videre til andreordens ODE-er, deretter dveler vi ved høyereordensligninger og avslutter med differensialligningssystemer.

Husk at hvis y er en funksjon av argumentet x .

Første ordens differensialligninger.

De enkleste differensialligningene i første rekkefølge av formen.

La oss skrive ned flere eksempler på slike DE .

Differensiallikninger kan løses med hensyn til den deriverte ved å dele begge sider av likheten med f(x) . I dette tilfellet kommer vi til ligningen , som vil være ekvivalent med den opprinnelige for f(x) ≠ 0 . Eksempler på slike ODE-er er .

Hvis det er verdier av argumentet x som funksjonene f(x) og g(x) forsvinner for samtidig, vises flere løsninger. Ytterligere løsninger til ligningen gitt x er alle funksjoner definert for disse argumentverdiene. Eksempler på slike differensialligninger er .

Andre ordens differensialligninger.

Andre ordens lineære homogene differensialligninger med konstante koeffisienter.

LODE med konstante koeffisienter er en veldig vanlig type differensialligninger. Løsningen deres er ikke spesielt vanskelig. Først finner man røttene til den karakteristiske ligningen . For forskjellige p og q er tre tilfeller mulige: røttene til den karakteristiske ligningen kan være reelle og forskjellige, reelle og sammenfallende eller komplekst konjugat. Avhengig av verdiene til røttene til den karakteristiske ligningen, skrives den generelle løsningen av differensialligningen som , eller , eller hhv.

Tenk for eksempel på en andreordens lineær homogen differensialligning med konstante koeffisienter. Røttene til hans karakteristiske ligning er k 1 = -3 og k 2 = 0. Røttene er ekte og forskjellige, derfor er den generelle løsningen til LDE med konstante koeffisienter


Lineære ikke-homogene andre ordens differensialligninger med konstante koeffisienter.

Den generelle løsningen av andreordens LIDE med konstante koeffisienter y søkes som summen av den generelle løsningen til den tilsvarende LODE og en spesiell løsning av den opprinnelige inhomogene ligningen, det vil si . Det forrige avsnittet er viet til å finne en generell løsning på en homogen differensialligning med konstante koeffisienter. Og en bestemt løsning bestemmes enten av metoden for ubestemte koeffisienter for en viss form av funksjonen f (x) , som står på høyre side av den opprinnelige ligningen, eller av metoden for variasjon av vilkårlige konstanter.

Som eksempler på andreordens LIDE med konstante koeffisienter presenterer vi


For å forstå teorien og bli kjent med de detaljerte løsningene av eksempler, tilbyr vi deg på siden lineære inhomogene differensialligninger av andre orden med konstante koeffisienter.

Lineære homogene differensialligninger (LODEs) og andreordens lineære inhomogene differensialligninger (LNDEs).

Et spesielt tilfelle av differensialligninger av denne typen er LODE og LODE med konstante koeffisienter.

Den generelle løsningen av LODE på et visst intervall er representert av en lineær kombinasjon av to lineært uavhengige spesielle løsninger y 1 og y 2 av denne ligningen, det vil si, .

Hovedvanskeligheten ligger nettopp i å finne lineært uavhengige partielle løsninger av denne typen differensialligninger. Vanligvis velges spesielle løsninger fra følgende systemer med lineært uavhengige funksjoner:


Spesielle løsninger presenteres imidlertid ikke alltid i denne formen.

Et eksempel på en LODU er .

Den generelle løsningen til LIDE søkes i formen , hvor er den generelle løsningen til den tilsvarende LODE, og er en spesiell løsning av den opprinnelige differensialligningen. Vi snakket nettopp om å finne, men det kan bestemmes ved å bruke metoden for variasjon av vilkårlige konstanter.

Et eksempel på en LNDE er .

Differensialligninger av høyere orden.

Differensialligninger som innrømmer rekkefølgereduksjon.

Rekkefølgen på differensialligningen , som ikke inneholder den ønskede funksjonen og dens deriverte opp til k-1 orden, kan reduseres til n-k ved å erstatte .

I dette tilfellet reduseres den opprinnelige differensialligningen til . Etter å ha funnet løsningen p(x), gjenstår det å gå tilbake til erstatningen og bestemme den ukjente funksjonen y .

For eksempel differensialligningen etter at erstatningen blir en separerbar ligning , og rekkefølgen reduseres fra den tredje til den første.

Grunnleggende om å løse lineære inhomogene differensialligninger av andre orden (LNDE-2) med konstante koeffisienter (PC)

En andreordens CLDE med konstante koeffisienter $p$ og $q$ har formen $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, der $f\left( x \right)$ er en kontinuerlig funksjon.

De følgende to påstandene er sanne med hensyn til den andre LNDE med PC.

Anta at en funksjon $U$ er en vilkårlig spesiell løsning av en inhomogen differensialligning. La oss også anta at en funksjon $Y$ er en generell løsning (OR) av den tilsvarende lineære homogene differensialligningen (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Deretter OR for LNDE-2 er lik summen av de angitte private og generelle løsningene, dvs. $y=U+Y$.

Hvis høyre side av 2. ordens LIDE er summen av funksjoner, det vil si $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right) )+. ..+f_(r) \left(x\right)$, så kan du først finne PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ som tilsvarer hver av funksjonene $f_( 1) \venstre(x\høyre),f_(2) \venstre(x\høyre),...,f_(r) \venstre(x\høyre)$, og skriv deretter LNDE-2 PD som $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Løsning av 2. ordens LNDE med PC

Det er klart at formen til en eller annen PD $U$ av en gitt LNDE-2 avhenger av den spesifikke formen til høyresiden $f\left(x\right)$. De enkleste tilfellene av søk etter PD av LNDE-2 er formulert som følgende fire regler.

Regel nummer 1.

Høyre side av LNDE-2 har formen $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, der $P_(n) \left(x\right)=a_(0) ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, det vil si at det kalles en polynom av grad $n$. Deretter søkes dens PR $U$ i formen $U=Q_(n) \venstre(x\høyre)\cdot x^(r) $, hvor $Q_(n) \venstre(x\høyre)$ er en annen polynom av samme grad som $P_(n) \left(x\right)$, og $r$ er antallet nullrøtter til den karakteristiske ligningen til den tilsvarende LODE-2. Koeffisientene til polynomet $Q_(n) \venstre(x\høyre)$ er funnet ved metoden med ubestemte koeffisienter (NC).

Regel nummer 2.

Høyre side av LNDE-2 har formen $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, hvor $P_(n) \left( x\right)$ er et polynom av grad $n$. Deretter søkes dens PD $U$ i formen $U=Q_(n) \venstre(x\høyre)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, hvor $Q_(n ) \ left(x\right)$ er et annet polynom av samme grad som $P_(n) \left(x\right)$, og $r$ er antallet røtter til den karakteristiske ligningen til den tilsvarende LODE-2 lik $\alpha $. Koeffisientene til polynomet $Q_(n) \venstre(x\høyre)$ er funnet ved NK-metoden.

Regel nummer 3.

Høyre del av LNDE-2 har formen $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, hvor $a$, $b$ og $\beta $ er kjente tall. Deretter søkes dens PD $U$ etter i formen $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right )\right )\cdot x^(r) $, der $A$ og $B$ er ukjente koeffisienter, og $r$ er antall røtter til den karakteristiske ligningen til den tilsvarende LODE-2 lik $i\cdot \beta $. Koeffisientene $A$ og $B$ er funnet ved NDT-metoden.

Regel nummer 4.

Høyre side av LNDE-2 har formen $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, der $P_(n) \left(x\right)$ er et polynom av grad $ n$, og $P_(m) \left(x\right)$ er et polynom av grad $m$. Deretter søkes dens PD $U$ etter i formen $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, hvor $Q_(s) \left(x\right) $ og $ R_(s) \left(x\right)$ er polynomer av grad $s$, tallet $s$ er maksimum av to tall $n$ og $m$, og $r$ er antallet av røttene til den karakteristiske ligningen til den tilsvarende LODE-2, lik $\alpha +i\cdot \beta $. Koeffisientene til polynomene $Q_(s) \left(x\right)$ og $R_(s) \left(x\right)$ er funnet ved NK-metoden.

NK-metoden består i å anvende følgende regel. For å finne de ukjente koeffisientene til polynomet, som er en del av den spesielle løsningen av den inhomogene differensialligningen LNDE-2, er det nødvendig:

• erstatte PD $U$, skrevet i generell form, i venstre del av LNDE-2;
• på venstre side av LNDE-2, utfør forenklinger og grupper termer med samme potenser $x$;
• i den resulterende identiteten, sett likhetstegn mellom koeffisientene til leddene med de samme potensene $x$ på venstre og høyre side;
• løse det resulterende systemet med lineære ligninger for ukjente koeffisienter.

Eksempel 1

Oppgave: finn OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Finn også PR , som tilfredsstiller startbetingelsene $y=6$ for $x=0$ og $y"=1$ for $x=0$.

Skriv den tilsvarende LODA-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Karakteristisk ligning: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Røttene til den karakteristiske ligningen: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Disse røttene er ekte og distinkte. Dermed har ELLER for den tilsvarende LODE-2 formen: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Høyre del av denne LNDE-2 har formen $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Det er nødvendig å vurdere koeffisienten til eksponenten til eksponenten $\alpha =3$. Denne koeffisienten faller ikke sammen med noen av røttene til den karakteristiske ligningen. Derfor har PR-en til denne LNDE-2 formen $U=\venstre(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Vi vil se etter koeffisientene $A$, $B$ ved å bruke NK-metoden.

Vi finner den første deriverte av CR:

$U"=\venstre(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\venstre(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\venstre(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Vi finner den andre deriverte av CR:

$U""=\venstre(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\venstre(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\venstre(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\venstre(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Vi erstatter funksjonene $U""$, $U"$ og $U$ i stedet for $y""$, $y"$ og $y$ i den gitte LNDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Samtidig, siden eksponenten $e^(3\cdot x) $ er inkludert som en faktor i alle komponenter, kan den utelates.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Vi utfører handlinger på venstre side av den resulterende likheten:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Vi bruker NC-metoden. Vi får et system av lineære ligninger med to ukjente:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Løsningen på dette systemet er: $A=-2$, $B=-1$.

CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ for problemet vårt ser slik ut: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.

OR $y=Y+U$ for problemet vårt ser slik ut: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ venstre(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

For å søke etter en PD som tilfredsstiller de gitte startbetingelsene, finner vi den deriverte $y"$ OR:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\venstre(-2\cdot x-1\høyre)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Vi erstatter i $y$ og $y"$ startbetingelsene $y=6$ med $x=0$ og $y"=1$ for $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Vi har et ligningssystem:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Vi løser det. Vi finner $C_(1) $ ved å bruke Cramers formel, og $C_(2) $ bestemmes fra den første ligningen:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\venstre(-3\høyre)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3,$

Dermed er PD for denne differensialligningen: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Tenk på en lineær homogen differensialligning med konstante koeffisienter:
(1) .
Løsningen kan oppnås ved å følge den generelle ordrereduksjonsmetoden.

Imidlertid er det lettere å umiddelbart få tak i det grunnleggende systemet n lineært uavhengige løsninger og på grunnlag av det lage en generell løsning. I dette tilfellet reduseres hele løsningsprosedyren til følgende trinn.

Vi ser etter en løsning på ligning (1) i formen . Vi får karakteristisk ligning:
(2) .
Den har n røtter. Vi løser likning (2) og finner røttene. Da kan den karakteristiske ligningen (2) representeres i følgende form:
(3) .
Hver rot tilsvarer en av de lineært uavhengige løsningene til det grunnleggende løsningssystemet for ligning (1). Da har den generelle løsningen av den opprinnelige ligningen (1) formen:
(4) .

Ekte røtter

Tenk på ekte røtter. La roten være singel. Det vil si at faktoren kommer inn i den karakteristiske ligningen (3) bare én gang. Da tilsvarer denne roten løsningen
.

La være en multippel rot av multiplisitet p. Dvs
. I dette tilfellet kommer multiplikatoren i p ganger:
.
Disse multiple (like) røttene tilsvarer p lineært uavhengige løsninger av den opprinnelige ligningen (1):
; ; ; ...; .

Komplekse røtter

Vurder komplekse røtter. Vi uttrykker den komplekse roten i form av de virkelige og imaginære delene:
.
Siden koeffisientene til originalen er reelle, er det i tillegg til roten en kompleks konjugert rot
.

La den komplekse roten være singel. Da tilsvarer røtterparet to lineært uavhengige løsninger:
; .

La være en multippel kompleks rot av multiplisitet p. Da er den komplekse konjugerte verdien også roten til den karakteristiske ligningen for multiplisitet p og multiplikatoren går inn p ganger:
.
Dette 2p røtter samsvarer 2p lineært uavhengige løsninger:
; ; ; ... ;
; ; ; ... .

Etter at det grunnleggende systemet med lineært uavhengige løsninger er funnet, får vi den generelle løsningen .

Eksempler på problemløsninger

Eksempel 1

Løs ligningen:
.

Løsning

.
La oss forvandle det:
;
;
.

Tenk på røttene til denne ligningen. Vi har fått fire komplekse røtter av multiplisitet 2:
; .
De tilsvarer fire lineært uavhengige løsninger av den opprinnelige ligningen:
; ; ; .

Vi har også tre reelle røtter av multiplisitet 3:
.
De tilsvarer tre lineært uavhengige løsninger:
; ; .

Den generelle løsningen av den opprinnelige ligningen har formen:
.

Svar

Eksempel 2

løse ligningen

Løsning

Ser etter en løsning i skjemaet . Vi komponerer den karakteristiske ligningen:
.
Vi løser en andregradsligning.
.

Vi har to komplekse røtter:
.
De tilsvarer to lineært uavhengige løsninger:
.
Generell løsning av ligningen:
.

Ligningen

hvor og er kontinuerlige funksjoner i intervallet kalles en inhomogen andreordens lineær differensialligning, funksjonene og er dens koeffisienter. Hvis i dette intervallet, har ligningen formen:

og kalles en annenordens homogen lineær differensialligning. Hvis ligning (**) har samme koeffisienter og som ligning (*), kalles det en homogen ligning som tilsvarer en ikke-homogen ligning (*).

Homogene andreordens lineære differensialligninger

La inn den lineære ligningen

Og er konstante reelle tall.

Vi vil søke en bestemt løsning av ligningen i form av en funksjon , hvor er et reelt eller komplekst tall som skal bestemmes. Ved å differensiere med hensyn til får vi:

Ved å erstatte den opprinnelige differensialligningen får vi:

Derfor, med tanke på at , har vi:

Denne ligningen kalles den karakteristiske ligningen til en homogen lineær differensialligning. Den karakteristiske ligningen gjør det også mulig å finne . Dette er en andregradsligning, så den har to røtter. La oss betegne dem med og . Tre tilfeller er mulige:

1) Røttene er ekte og annerledes. I dette tilfellet er den generelle løsningen på ligningen:

Eksempel 1

2) Røttene er ekte og like. I dette tilfellet er den generelle løsningen på ligningen:

Eksempel2

Landet du på denne siden mens du prøvde å løse et problem i en eksamen eller prøve? Hvis du fortsatt ikke kunne bestå eksamen - neste gang, avtal på forhånd på nettsiden om Online Help in Higher Mathematics.

Den karakteristiske ligningen har formen:

Løsning av den karakteristiske ligningen:

Generell løsning av den opprinnelige differensialligningen:

3) Komplekse røtter. I dette tilfellet er den generelle løsningen på ligningen:

Eksempel 3

Den karakteristiske ligningen har formen:

Løsning av den karakteristiske ligningen:

Generell løsning av den opprinnelige differensialligningen:

Inhomogene andreordens lineære differensialligninger

La oss nå vurdere løsningen av noen typer av en lineær inhomogen andreordens ligning med konstante koeffisienter

hvor og er konstante reelle tall, er en kjent kontinuerlig funksjon i intervallet . For å finne den generelle løsningen av en slik differensialligning, er det nødvendig å kjenne den generelle løsningen til den tilsvarende homogene differensialligningen og den spesielle løsningen. La oss vurdere noen tilfeller:

Vi ser også etter en spesiell løsning av differensialligningen i form av et kvadrattrinomial:

Hvis 0 er en enkelt rot av den karakteristiske ligningen, da

Hvis 0 er en dobbeltrot av den karakteristiske ligningen, da

Situasjonen er lik hvis er et polynom av vilkårlig grad

Eksempel 4

Vi løser den tilsvarende homogene ligningen.

Karakteristisk ligning:

Den generelle løsningen av den homogene ligningen:

La oss finne en spesiell løsning av den inhomogene dif-ligningen:

Ved å erstatte de funnet deriverte i den opprinnelige differensialligningen får vi:

Den ønskede spesielle løsningen:

Generell løsning av den opprinnelige differensialligningen:

Vi søker en bestemt løsning i formen , hvor er en ubestemt koeffisient.

Ved å erstatte og inn i den opprinnelige differensialligningen får vi en identitet, som vi finner koeffisienten fra.

Hvis er roten til den karakteristiske ligningen, så ser vi etter en spesiell løsning av den opprinnelige differensialligningen på formen , når er en enkelt rot, og , når er en dobbelrot.

Eksempel 5

Karakteristisk ligning:

Den generelle løsningen av den tilsvarende homogene differensialligningen er:

La oss finne en spesiell løsning av den tilsvarende inhomogene differensialligningen:

Den generelle løsningen av differensialligningen:

I dette tilfellet ser vi etter en spesiell løsning i form av en trigonometrisk binomial:

hvor og er usikre koeffisienter

Ved å erstatte og inn i den opprinnelige differensialligningen får vi en identitet, som vi finner koeffisientene fra.

Disse ligningene bestemmer koeffisientene og bortsett fra tilfellet når (eller når er røttene til den karakteristiske ligningen). I sistnevnte tilfelle ser vi etter en spesiell løsning av differensialligningen i formen:

Eksempel6

Karakteristisk ligning:

Den generelle løsningen av den tilsvarende homogene differensialligningen er:

La oss finne en spesiell løsning av den inhomogene dif-ligningen

Ved å erstatte den opprinnelige differensialligningen får vi:

Generell løsning av den opprinnelige differensialligningen:

Tallseriekonvergens
Definisjonen av konvergensen til en serie er gitt og oppgavene for studiet av konvergensen til numeriske serier vurderes i detalj - sammenligningskriterier, d'Alemberts konvergenskriterium, Cauchys konvergenskriterium og Cauchys integrale konvergenskriterium⁡.

Absolutt og betinget konvergens av en serie
Siden tar for seg alternerende serier, deres betingede og absolutte konvergens, Leibniz konvergenstest for alternerende serier - inneholder en kort teori om temaet og et eksempel på løsning av problemet.

Denne artikkelen avslører spørsmålet om å løse lineære inhomogene differensialligninger av andre orden med konstante koeffisienter. Teorien vil bli vurdert sammen med eksempler på de gitte problemene. For å dechiffrere uforståelige termer, er det nødvendig å referere til emnet for de grunnleggende definisjonene og konseptene til teorien om differensialligninger.

Tenk på en lineær differensialligning (LDE) av andre orden med konstante koeffisienter av formen y "" + py " + qy \u003d f (x) , hvor p og q er vilkårlige tall, og den eksisterende funksjonen f (x) er kontinuerlig på integrasjonsintervallet x .

La oss gå over til formuleringen av det generelle løsningsteoremet for LIDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Generell løsningsteorem for LDNU

Den generelle løsningen, plassert på intervallet x, av en inhomogen differensialligning av formen y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) y = f (x) med kontinuerlige integrasjonskoeffisienter på x-intervall f 0 (x), f 1 (x), . . . , fn - 1 (x) og en kontinuerlig funksjon f (x) er lik summen av den generelle løsningen y 0 , som tilsvarer LODE, og en spesiell løsning y ~ , der den opprinnelige inhomogene ligningen er y = y 0 + y ~ .

Dette viser at løsningen av en slik annenordens ligning har formen y = y 0 + y ~ . Algoritmen for å finne y 0 er vurdert i artikkelen om lineære homogene differensialligninger av andre orden med konstante koeffisienter. Etter det bør man gå videre til definisjonen av y ~ .

Valget av en bestemt løsning på LIDE avhenger av typen tilgjengelig funksjon f (x) plassert på høyre side av ligningen. For å gjøre dette er det nødvendig å vurdere separat løsningene av lineære inhomogene differensialligninger av andre orden med konstante koeffisienter.

Når f (x) anses å være et polynom av n-te grad f (x) = P n (x) , følger det at en bestemt løsning av LIDE er funnet av en formel på formen y ~ = Q n (x ) x γ , hvor Q n ( x) er et polynom av grad n, r er antallet nullrøtter til den karakteristiske ligningen. Verdien av y ~ er en bestemt løsning y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , deretter de tilgjengelige koeffisientene, som er definert av polynomet
Q n (x) finner vi ved å bruke metoden for ubestemte koeffisienter fra likheten y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Eksempel 1

Regn ut ved å bruke Cauchy-teoremet y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Løsning

Med andre ord er det nødvendig å gå over til en bestemt løsning av en lineær inhomogen differensialligning av andre orden med konstante koeffisienter y "" - 2 y " = x 2 + 1 , som vil tilfredsstille de gitte betingelsene y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Den generelle løsningen av en lineær inhomogen ligning er summen av den generelle løsningen som tilsvarer ligningen y 0 eller en spesiell løsning av den inhomogene ligningen y ~ , det vil si y = y 0 + y ~ .

La oss først finne en generell løsning for LNDE, og deretter en spesiell.

La oss gå videre til å finne y 0 . Å skrive den karakteristiske ligningen vil hjelpe til med å finne røttene. Det skjønner vi

k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2

Vi fant ut at røttene er annerledes og ekte. Derfor skriver vi

y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.

La oss finne y ~ . Det kan sees at høyre side av den gitte ligningen er et polynom av andre grad, da er en av røttene lik null. Herfra får vi at en bestemt løsning for y ~ vil være

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, der verdiene for A, B, C ta udefinerte koeffisienter.

La oss finne dem fra en likhet på formen y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Da får vi det:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Ved å likestille koeffisientene med de samme eksponentene x får vi et system med lineære uttrykk - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . Når vi løser på noen av måtene, finner vi koeffisientene og skriver: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 og y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Denne oppføringen kalles den generelle løsningen av den opprinnelige lineære inhomogene andreordens differensialligningen med konstante koeffisienter.

For å finne en bestemt løsning som tilfredsstiller betingelsene y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 , er det nødvendig å bestemme verdiene C1 Og C2, basert på en likhet på formen y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Vi får det:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 xx = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Vi arbeider med det resulterende likningssystemet på formen C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , hvor C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .

Ved å bruke Cauchy-teoremet har vi det

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Svar: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Når funksjonen f (x) er representert som et produkt av et polynom med grad n og en eksponent f (x) = P n (x) eax , så får vi ut fra dette at en bestemt løsning av andreordens LIDE vil være en likning av formen y ~ = eax Q n ( x) · x γ , hvor Q n (x) er et polynom av n-te grad, og r er antall røtter til den karakteristiske likningen lik α .

Koeffisientene som tilhører Q n (x) finnes ved likheten y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Eksempel 2

Finn den generelle løsningen av en differensialligning på formen y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Løsning

Generell ligning y = y 0 + y ~ . Den indikerte ligningen tilsvarer LOD y "" - 2 y " = 0. Det forrige eksemplet viser at røttene er k1 = 0 og k 2 = 2 og y 0 = C 1 + C 2 e 2 x i henhold til den karakteristiske ligningen.

Det kan sees at høyre side av ligningen er x 2 + 1 · e x . Herfra finnes LNDE gjennom y ~ = eax Q n (x) x γ , hvor Q n (x) , som er et polynom av andre grad, hvor α = 1 og r = 0 , fordi den karakteristiske ligningen ikke ha en rot lik 1. Derfor får vi det

y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .

A, B, C er ukjente koeffisienter, som kan finnes ved likheten y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .

Skjønte det

y ~ "= ex A x 2 + B x + C" = ex A x 2 + B x + C + ex 2 A x + B == ex A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = ex A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = ex A x 2 + x 2 A + B + B + C + ex 2 A x + 2 A + B = = ex A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) ex ⇔ ex A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 ex A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 eks ⇔ ex - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) ex ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Vi setter likhetstegn mellom indikatorene for de samme koeffisientene og får et system med lineære ligninger. Herfra finner vi A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Svar: det kan sees at y ~ = ex (A x 2 + B x + C) = ex - x 2 + 0 x - 3 = - ex x 2 + 3 er en spesiell løsning av LIDE, og y = y 0 + y = C 1 e 2 x - eks · x 2 + 3

Når funksjonen skrives som f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x , og A 1 Og I 1 er tall, deretter en ligning av formen y ~ = A cos β x + B sin β xx γ , hvor A og B anses å være ubestemte koeffisienter, og r antallet komplekse konjugerte røtter relatert til den karakteristiske ligningen, lik ± i β . I dette tilfellet utføres søket etter koeffisienter av likheten y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Eksempel 3

Finn den generelle løsningen av en differensialligning av formen y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Løsning

Før vi skriver den karakteristiske ligningen, finner vi y 0 . Deretter

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i

Vi har et par komplekse konjugerte røtter. La oss transformere og få:

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Røttene fra den karakteristiske ligningen betraktes som et konjugert par ± 2 i, da f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . Dette viser at søket etter y ~ vil bli gjort fra y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Ukjente koeffisientene A og B vil bli søkt fra en likhet av formen y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

La oss transformere:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Da ser man det

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)

Det er nødvendig å likestille koeffisientene til sinus og cosinus. Vi får et system av skjemaet:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Det følger at y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x .

Svar: den generelle løsningen av den opprinnelige LIDE av andre orden med konstante koeffisienter anses å være

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Når f (x) = eax P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , så er y ~ = eax (L m (x) sin (β x) + N m (x) ) cos (β x) x γ Vi har at r er antallet komplekse konjugerte røtterpar relatert til den karakteristiske ligningen, lik α ± i β , hvor P n (x) , Q k (x) , L m ( x) og N m (x) er polynomer av grad n, k, m, hvor m = m a x (n, k). Finne koeffisienter L m (x) Og N m (x) er produsert basert på likheten y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Eksempel 4

Finn den generelle løsningen y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Løsning

Det fremgår av vilkåret at

α = 3 , β = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1, k = 1

Da er m = m a x (n , k) = 1 . Vi finner y 0 ved først å skrive den karakteristiske ligningen til formen:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Vi fant ut at røttene er ekte og distinkte. Derfor y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . Deretter er det nødvendig å se etter en generell løsning basert på en inhomogen ligning y ~ av formen

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

Det er kjent at A, B, C er koeffisienter, r = 0, fordi det ikke er et par konjugerte røtter relatert til den karakteristiske ligningen med α ± i β = 3 ± 5 · i. Disse koeffisientene er funnet fra den resulterende likheten:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Å finne den deriverte og lignende vilkår gir

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

Etter å ha likestilt koeffisientene får vi et system av formen

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Av alt følger det

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1)sin(5x))

Svar: nå er den generelle løsningen av den gitte lineære ligningen oppnådd:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Algoritme for å løse LDNU

Enhver annen type funksjon f (x) for løsningen gir løsningsalgoritmen:

• finne den generelle løsningen av den tilsvarende lineære homogene ligningen, hvor y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , hvor y 1 Og y2 er lineært uavhengige spesielle løsninger av LODE, Fra 1 Og Fra 2 anses som vilkårlige konstanter;
• aksept som en generell løsning av LIDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2;
• definisjon av deriverte av en funksjon gjennom et system av formen C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) , og finne funksjoner C 1 (x) og C 2 (x) gjennom integrasjon.

Eksempel 5

Finn den generelle løsningen for y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .

Løsning

Vi fortsetter med å skrive den karakteristiske ligningen, etter å ha skrevet y 0 , y "" + 36 y = 0 . La oss skrive og løse:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)

Vi har at registreringen av den generelle løsningen til den gitte ligningen vil ha formen y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) . Det er nødvendig å gå over til definisjonen av derivatfunksjoner C 1 (x) Og C2(x) i henhold til systemet med ligninger:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6) x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Det må tas en avgjørelse vedr C 1 "(x) Og C2" (x) ved hjelp av hvilken som helst metode. Så skriver vi:

C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Hver av ligningene må integreres. Så skriver vi de resulterende ligningene:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

Det følger at den generelle løsningen vil ha formen:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Svar: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6x)

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter