Cramer matriseteorem. Cramers regel

Med samme antall ligninger som antall ukjente med hoveddeterminanten til matrisen, som ikke er lik null, er koeffisientene til systemet (for slike ligninger er det en løsning og det er bare en).

Cramers teorem.

Når determinanten for matrisen til et kvadratisk system ikke er null, betyr det at systemet er konsistent og det har én løsning, og det kan finnes ved å Cramers formler:

hvor Δ - determinant for systemmatrisen,

Δ Jeg er determinanten for systemmatrisen, hvor i stedet for Jeg Den th kolonnen inneholder kolonnen med høyre sider.

Når determinanten for et system er null, betyr det at systemet kan bli samarbeidende eller inkompatibelt.

Denne metoden brukes vanligvis for små systemer med omfattende beregninger og hvis det er nødvendig å fastslå en av de ukjente. Metodens kompleksitet er at mange determinanter må beregnes.

Beskrivelse av Cramer-metoden.

Det er et ligningssystem:

Et system med 3 likninger kan løses ved hjelp av Cramer-metoden, som ble diskutert ovenfor for et system med 2 likninger.

Vi komponerer en determinant fra koeffisientene til de ukjente:

Det blir det systemdeterminant. Når D≠0, som betyr at systemet er konsistent. La oss nå lage 3 ekstra determinanter:

,,

Vi løser systemet ved Cramers formler:

Eksempler på løsning av ligningssystemer ved bruk av Cramers metode.

Eksempel 1.

Gitt system:

La oss løse det ved å bruke Cramers metode.

Først må du beregne determinanten til systemmatrisen:

Fordi Δ≠0, som betyr at fra Cramers teorem er systemet konsistent og det har én løsning. Vi beregner tilleggsdeterminanter. Determinanten Δ 1 oppnås fra determinanten Δ ved å erstatte dens første kolonne med en kolonne med frie koeffisienter. Vi får:

På samme måte får vi determinanten til Δ 2 fra determinanten til systemmatrisen ved å erstatte den andre kolonnen med en kolonne med frie koeffisienter:

Metoder Kramer Og Gauss- en av de mest populære løsningsmetodene SLAU. I tillegg er det i noen tilfeller tilrådelig å bruke spesifikke metoder. Økten er nær, og nå er det på tide å gjenta eller mestre dem fra bunnen av. I dag skal vi se på løsningen ved hjelp av Cramers metode. Tross alt er det en veldig nyttig ferdighet å løse et system med lineære ligninger ved hjelp av Cramer-metoden.

Systemer av lineære algebraiske ligninger

Et system med lineære algebraiske ligninger er et system av ligninger av formen:

Verdisett x , der likningene til systemet blir til identiteter, kalles en løsning av systemet, en Og b er reelle koeffisienter. Et enkelt system som består av to ligninger med to ukjente kan løses i hodet ditt eller ved å uttrykke en variabel i form av den andre. Men det kan være mye mer enn to variabler (xes) i en SLAE, og her er ikke enkle skolemanipulasjoner nok. Hva å gjøre? Løs for eksempel SLAE-er ved å bruke Cramers metode!

Så, la systemet bestå av n ligninger med n ukjent.

Et slikt system kan skrives om i matriseform

Her EN – hovedmatrisen til systemet, X Og B , henholdsvis kolonnematriser av ukjente variabler og frie termer.

Løse SLAEer ved hjelp av Cramers metode

Hvis determinanten til hovedmatrisen ikke er lik null (matrisen er ikke-singular), kan systemet løses ved hjelp av Cramers metode.

I følge Cramers metode finner man løsningen ved å bruke formlene:

Her delta er determinanten for hovedmatrisen, og delta x nth – determinant hentet fra determinanten til hovedmatrisen ved å erstatte den n-te kolonnen med en kolonne med frie termer.

Dette er hele essensen av Cramer-metoden. Erstatte verdiene som er funnet ved å bruke formlene ovenfor x inn i det ønskede systemet, er vi overbevist om riktigheten (eller omvendt) av løsningen vår. For å hjelpe deg raskt å forstå essensen, gir vi nedenfor et eksempel på en detaljert løsning av SLAE ved bruk av Cramers metode:

Selv om du ikke lykkes første gang, ikke bli motløs! Med litt øvelse vil du begynne å knekke SLAUer som nøtter. Dessuten, nå er det absolutt ikke nødvendig å granske en notatbok, løse tungvinte beregninger og skrive opp kjernen. Du kan enkelt løse SLAE-er ved å bruke Cramers metode online, bare ved å erstatte koeffisientene i den ferdige formen. Du kan prøve en online løsningskalkulator ved å bruke Cramers metode, for eksempel på denne nettsiden.

Og hvis systemet viser seg å være sta og ikke gir opp, kan du alltid henvende deg til våre forfattere for å få hjelp, for eksempel til. Hvis det er minst 100 ukjente i systemet, vil vi definitivt løse det riktig og i tide!

La systemet med lineære ligninger inneholde like mange ligninger som antall uavhengige variabler, dvs. ser ut som

Slike systemer med lineære ligninger kalles kvadratiske. Determinanten, sammensatt av koeffisienter for de uavhengige variablene i systemet (1.5), kalles systemets hoveddeterminant. Vi vil betegne det med den greske bokstaven D. Dermed,

. (1.6)

Hvis hoveddeterminanten inneholder en vilkårlig ( j th) kolonne, erstatt med en kolonne med gratis systemvilkår (1.5), så kan du få n hjelpekvalifiseringer:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Cramers regelå løse kvadratiske systemer av lineære ligninger er som følger. Hvis hoveddeterminanten D til systemet (1.5) er forskjellig fra null, har systemet en unik løsning, som kan finnes ved å bruke formlene:

(1.8)

Eksempel 1.5. Løs ligningssystemet ved å bruke Cramers metode

.

La oss beregne hoveddeterminanten for systemet:

Siden D¹0 har systemet en unik løsning, som kan finnes ved hjelp av formler (1.8):

Dermed,

Handlinger på matriser

1. Multiplisere en matrise med et tall. Operasjonen med å multiplisere en matrise med et tall er definert som følger.

2. For å multiplisere en matrise med et tall, må du multiplisere alle elementene med dette tallet. Det er

. (1.9)

Eksempel 1.6. .

Matrisetillegg.

Denne operasjonen introduseres bare for matriser av samme rekkefølge.

For å legge til to matriser, er det nødvendig å legge til de tilsvarende elementene i en annen matrise til elementene i en matrise:

(1.10)
Operasjonen av matriseaddisjon har egenskapene assosiativitet og kommutativitet.

Eksempel 1.7. .

Matrisemultiplikasjon.

Hvis antall matrisekolonner EN sammenfaller med antall matriserader I, så for slike matriser introduseres multiplikasjonsoperasjonen:

2

Altså når man multipliserer en matrise EN dimensjoner m´ n til matrisen I dimensjoner n´ k vi får en matrise MED dimensjoner m´ k. I dette tilfellet matriseelementene MED beregnes ved hjelp av følgende formler:

Oppgave 1.8. Finn, hvis mulig, produktet av matriser AB Og B.A.:

Løsning. 1) For å finne et arbeid AB, trenger du matriserader EN multiplisere med matrisekolonner B:

2) Arbeid B.A. eksisterer ikke, fordi antall matrisekolonner B samsvarer ikke med antall matriserader EN.

Invers matrise. Løse systemer av lineære ligninger ved hjelp av matrisemetoden

Matrise EN- 1 kalles inversen til en kvadratisk matrise EN, hvis likestillingen er oppfylt:

hvor gjennom Jeg betegner identitetsmatrisen av samme rekkefølge som matrisen EN:

.

For at en kvadratisk matrise skal ha en invers, er det nødvendig og tilstrekkelig at dens determinant er forskjellig fra null. Den inverse matrisen er funnet ved å bruke formelen:

, (1.13)

Hvor A ij- algebraiske tillegg til elementer en ij matriser EN(merk at algebraiske tillegg til matriserader EN er plassert i den inverse matrisen i form av tilsvarende kolonner).

Eksempel 1.9. Finn den inverse matrisen EN- 1 til matrise

.

Vi finner den inverse matrisen ved hjelp av formel (1.13), som for tilfellet n= 3 har formen:

.

La oss finne det EN = | EN| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Siden determinanten til den opprinnelige matrisen ikke er null, eksisterer den inverse matrisen.

1) Finn algebraiske komplementer A ij:

For å gjøre det lettere å finne den inverse matrisen, har vi plassert de algebraiske tilleggene til radene i den opprinnelige matrisen i de tilsvarende kolonnene.

Fra de oppnådde algebraiske addisjonene komponerer vi en ny matrise og deler den med determinanten det EN. Dermed får vi den inverse matrisen:

Kvadratiske systemer av lineære ligninger med en hoveddeterminant som ikke er null kan løses ved å bruke den inverse matrisen. For å gjøre dette er system (1.5) skrevet i matriseform:

Hvor

Multiplisere begge sider av likhet (1,14) fra venstre med EN- 1, får vi løsningen på systemet:

, hvor

Derfor, for å finne en løsning på et kvadratisk system, må du finne den inverse matrisen til hovedmatrisen til systemet og multiplisere den til høyre med kolonnematrisen med frie ledd.

Oppgave 1.10. Løs et system med lineære ligninger

ved å bruke den inverse matrisen.

Løsning. La oss skrive systemet i matriseform: ,

Hvor - hovedmatrisen til systemet, - kolonnen med ukjente og - kolonnen med frie termer. Siden den viktigste determinanten av systemet , deretter hovedmatrisen til systemet EN har en invers matrise EN-1 . For å finne den inverse matrisen EN-1 , beregner vi de algebraiske komplementene til alle elementene i matrisen EN:

Fra de oppnådde tallene vil vi komponere en matrise (og algebraiske tillegg til radene i matrisen EN skriv det i de aktuelle kolonnene) og del det med determinanten D. Dermed har vi funnet den inverse matrisen:

Vi finner løsningen på systemet ved hjelp av formel (1.15):

Dermed,

Løse systemer av lineære ligninger ved å bruke den vanlige Jordan-elimineringsmetoden

La et vilkårlig (ikke nødvendigvis kvadratisk) system av lineære ligninger gis:

(1.16)

Det kreves å finne en løsning på systemet, d.v.s. et slikt sett med variabler som tilfredsstiller alle systemlikhetene (1.16). I det generelle tilfellet kan system (1.16) ikke bare ha én løsning, men også utallige løsninger. Det kan heller ikke ha noen løsninger i det hele tatt.

Når man løser slike problemer, brukes den velkjente skolekursmetoden for å eliminere ukjente, som også kalles den ordinære Jordan-elimineringsmetoden. Essensen av denne metoden er at i en av systemlikningene (1.16) er en av variablene uttrykt i form av andre variabler. Denne variabelen erstattes deretter med andre ligninger i systemet. Resultatet er et system som inneholder én ligning og én variabel mindre enn det opprinnelige systemet. Ligningen som variabelen ble uttrykt fra huskes.

Denne prosessen gjentas til en siste ligning gjenstår i systemet. Gjennom prosessen med å eliminere ukjente, kan noen ligninger bli sanne identiteter, f.eks. Slike ligninger er ekskludert fra systemet, siden de er tilfredsstilt for eventuelle verdier av variablene og derfor ikke påvirker løsningen av systemet. Hvis, i prosessen med å eliminere ukjente, minst én ligning blir en likhet som ikke kan tilfredsstilles for noen verdier av variablene (for eksempel), så konkluderer vi med at systemet ikke har noen løsning.

Hvis det ikke oppstår noen motstridende ligninger under løsningen, blir en av de gjenværende variablene i den funnet fra den siste ligningen. Hvis det bare er én variabel igjen i den siste ligningen, uttrykkes den som et tall. Hvis andre variabler forblir i den siste ligningen, regnes de som parametere, og variabelen uttrykt gjennom dem vil være en funksjon av disse parameterne. Deretter finner den såkalte "reverse move" sted. Den funnet variabelen erstattes med den sist huskede ligningen og den andre variabelen blir funnet. Deretter erstattes de to funnet variablene i den nest siste lagrede ligningen og den tredje variabelen blir funnet, og så videre, opp til den første lagrede ligningen.

Som et resultat får vi en løsning på systemet. Denne løsningen vil være unik hvis de funnet variablene er tall. Hvis den første variabelen som ble funnet, og deretter alle de andre, avhenger av parameterne, vil systemet ha et uendelig antall løsninger (hvert sett med parametere tilsvarer en ny løsning). Formler som lar deg finne en løsning på et system avhengig av et bestemt sett med parametere kalles den generelle løsningen til systemet.

Eksempel 1.11.

x

Etter å ha husket den første ligningen og med lignende termer i den andre og tredje ligningen kommer vi til systemet:

La oss uttrykke y fra den andre ligningen og erstatte den med den første ligningen:

La oss huske den andre ligningen, og fra den første finner vi z:

Å jobbe bakover finner vi konsekvent y Og z. For å gjøre dette, bytter vi først inn i den sist huskede ligningen, hvorfra vi finner y:

.

Deretter erstatter vi den i den første lagrede ligningen hvor vi kan finne den x:

Oppgave 1.12. Løs et system med lineære ligninger ved å eliminere ukjente:

. (1.17)

Løsning. La oss uttrykke variabelen fra den første ligningen x og bytt det inn i den andre og tredje ligningen:

.

La oss huske den første ligningen

I dette systemet motsier den første og andre ligningen hverandre. Faktisk uttrykke y , får vi at 14 = 17. Denne likheten gjelder ikke for noen verdier av variablene x, y, Og z. Følgelig er system (1.17) inkonsekvent, dvs. har ingen løsning.

Vi inviterer leserne til selv å sjekke at hoveddeterminanten til det opprinnelige systemet (1.17) er lik null.

La oss se på et system som skiller seg fra system (1.17) med bare én fri term.

Oppgave 1.13. Løs et system med lineære ligninger ved å eliminere ukjente:

. (1.18)

Løsning. Som før uttrykker vi variabelen fra den første ligningen x og bytt det inn i den andre og tredje ligningen:

.

La oss huske den første ligningen og presentere lignende termer i den andre og tredje ligningen. Vi kommer til systemet:

Uttrykke y fra den første ligningen og erstatte den med den andre ligningen , får vi identiteten 14 = 14, som ikke påvirker løsningen til systemet, og derfor kan det ekskluderes fra systemet.

I den sist huskede likheten, variabelen z vi vil betrakte det som en parameter. Vi tror. Deretter

La oss erstatte y Og z inn i den første huskede likhet og finne x:

.

Dermed har system (1.18) et uendelig antall løsninger, og enhver løsning kan finnes ved å bruke formler (1.19), ved å velge en vilkårlig verdi av parameteren t:

(1.19)
Så løsningene til systemet, for eksempel, er følgende sett med variabler (1; 2; 0), (2; 26; 14), osv. Formler (1.19) uttrykker den generelle (hvilken som helst) løsning av systemet (1.18) ).

I tilfellet når det opprinnelige systemet (1.16) har et tilstrekkelig stort antall ligninger og ukjente, virker den angitte metoden for vanlig Jordan-eliminering tungvint. Det er det imidlertid ikke. Det er nok å utlede algoritmen for å beregne systemkoeffisientene på nytt i ett trinn i generell form og formalisere løsningen på problemet i form av spesielle Jordan-tabeller.

La et system av lineære former (ligninger) gis:

, (1.20)
Hvor x j- uavhengige (søkte) variabler, en ij- konstante koeffisienter
(jeg = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Rette deler av systemet y jeg (jeg = 1, 2,…, m) kan enten være variabler (avhengige) eller konstanter. Det er nødvendig å finne løsninger på dette systemet ved å eliminere de ukjente.

La oss vurdere følgende operasjon, heretter kalt "ett trinn med ordinære Jordan-elimineringer". Fra vilkårlig ( r th) likhet uttrykker vi en vilkårlig variabel ( xs) og erstatte i alle andre likheter. Dette er selvfølgelig bare mulig hvis en rs¹ 0. Koeffisient en rs kalt det løsende (noen ganger veiledende eller hoved) element.

Vi får følgende system:

. (1.21)

Fra s- systemlikhet (1.21), finner vi deretter variabelen xs(etter at de resterende variablene er funnet). S Den -te linjen huskes og ekskluderes deretter fra systemet. Det gjenværende systemet vil inneholde en ligning og en mindre uavhengig variabel enn det opprinnelige systemet.

La oss beregne koeffisientene til det resulterende systemet (1.21) gjennom koeffisientene til det opprinnelige systemet (1.20). La oss begynne med r likning, som etter å ha uttrykket variabelen xs gjennom de resterende variablene vil det se slik ut:

Dermed de nye koeffisientene r ligningene beregnes ved å bruke følgende formler:

(1.23)
La oss nå beregne de nye koeffisientene b ij(Jeg¹ r) av en vilkårlig ligning. For å gjøre dette, la oss erstatte variabelen uttrykt i (1.22) xs V Jeg systemligningen (1.20):

Etter å ha kommet med lignende vilkår får vi:

(1.24)
Fra likhet (1.24) får vi formler som de gjenværende koeffisientene til systemet (1.21) beregnes med (med unntak av r ligning):

(1.25)
Transformasjonen av systemer med lineære ligninger ved metoden for vanlig Jordan-eliminering presenteres i form av tabeller (matriser). Disse tabellene kalles "Jordan-tabeller".

Dermed er problem (1.20) assosiert med følgende Jordan-tabell:

Tabell 1.1

Jordan tabell 1.1 inneholder en venstre overskriftskolonne der de høyre delene av systemet (1.20) er skrevet og en øvre overskriftsrad der uavhengige variabler er skrevet.

De resterende elementene i tabellen danner hovedmatrisen av koeffisienter for systemet (1.20). Hvis du multipliserer matrisen EN til matrisen som består av elementene i den øverste tittelraden, får du en matrise som består av elementene i den venstre tittelkolonnen. Det vil si at Jordan-tabellen i hovedsak er en matriseform for å skrive et system med lineære ligninger: . System (1.21) tilsvarer følgende Jordan-tabell:

Tabell 1.2

Permitterende element en rs Vi vil fremheve dem med fet skrift. Husk at for å implementere ett trinn i Jordan-eliminering, må løsningselementet være ikke-null. Tabellraden som inneholder aktiveringselementet kalles aktiveringsraden. Kolonnen som inneholder aktiveringselementet kalles aktiveringskolonnen. Når du går fra en gitt tabell til neste tabell, vil en variabel ( xs) fra den øverste overskriftsraden i tabellen flyttes til venstre overskriftskolonne og omvendt et av de ledige medlemmene av systemet ( y r) flyttes fra venstre hodekolonne i tabellen til øverste hoderad.

La oss beskrive algoritmen for å beregne koeffisientene på nytt ved flytting fra Jordan-tabellen (1.1) til tabellen (1.2), som følger av formlene (1.23) og (1.25).

1. Det løsende elementet erstattes av det omvendte tallet:

2. De resterende elementene i den løsende strengen deles inn i det løsende elementet og endrer tegnet til det motsatte:

3. De resterende elementene i oppløsningskolonnen er delt inn i oppløsningselementet:

4. Elementer som ikke er inkludert i tillatelsesraden og tillatelseskolonnen, beregnes på nytt ved å bruke formlene:

Den siste formelen er lett å huske hvis du legger merke til at grunnstoffene som utgjør brøken , er i krysset Jeg-å og r linjene og j th og s th kolonner (løse rad, løse kolonne, og raden og kolonnen i skjæringspunktet der det omkalkulerte elementet er plassert). Mer presist, når du memorerer formelen du kan bruke følgende diagram:

Når du utfører det første trinnet med Jordan-unntak, kan du velge et hvilket som helst element i tabell 1.3 i kolonnene som et løsende element x 1 ,…, x 5 (alle angitte elementer er ikke null). Bare ikke velg aktiveringselementet i den siste kolonnen, fordi du må finne uavhengige variabler x 1 ,…, x 5 . For eksempel velger vi koeffisienten 1 med variabel x 3 i den tredje linjen i Tabell 1.3 (aktiveringselementet er vist i fet skrift). Når du flytter til tabell 1.4 vil variabelen x De 3 fra den øverste overskriftsraden byttes med konstant 0 i den venstre overskriftskolonnen (tredje rad). I dette tilfellet er variabelen x 3 uttrykkes gjennom de resterende variablene.

String x 3 (Tabell 1.4) kan, etter å ha husket på forhånd, utelates fra Tabell 1.4. Den tredje kolonnen med null i den øverste tittellinjen er også ekskludert fra tabell 1.4. Poenget er at uavhengig av koeffisientene til en gitt kolonne b i 3 alle tilsvarende ledd i hver ligning 0 b i 3 systemer vil være lik null. Derfor trenger ikke disse koeffisientene beregnes. Eliminerer én variabel x 3 og husker en av ligningene, kommer vi til et system som tilsvarer tabell 1.4 (med linjen krysset ut x 3). Velge i tabell 1.4 som et løsende element b 14 = -5, gå til tabell 1.5. I tabell 1.5, husk den første raden og ekskluder den fra tabellen sammen med den fjerde kolonnen (med en null øverst).

Tabell 1.5 Tabell 1.6

Fra den siste tabellen 1.7 finner vi: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Ved å erstatte de allerede funnet variablene i de huskede linjene, finner vi de gjenværende variablene:

Dermed har systemet uendelig mange løsninger. Variabel x 5, kan vilkårlige verdier tildeles. Denne variabelen fungerer som en parameter x 5 = t. Vi beviste kompatibiliteten til systemet og fant den generelle løsningen:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Å gi parameter t forskjellige verdier, vil vi få et uendelig antall løsninger på det opprinnelige systemet. Så for eksempel er løsningen på systemet følgende sett med variabler (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

For å mestre dette avsnittet, må du kunne avsløre determinantene "to og to" og "tre av tre". Hvis du er dårlig med kvalifiseringer, vennligst les leksjonen Hvordan beregne determinanten?

Først skal vi se nærmere på Cramers regel for et system med to lineære ligninger i to ukjente. For hva? – Tross alt kan det enkleste systemet løses ved hjelp av skolemetoden, metoden med termin-for-termin addisjon!

Faktum er at, om enn noen ganger, oppstår en slik oppgave - å løse et system med to lineære ligninger med to ukjente ved å bruke Cramers formler. For det andre vil et enklere eksempel hjelpe deg å forstå hvordan du bruker Cramers regel for et mer komplekst tilfelle - et system med tre ligninger med tre ukjente.

I tillegg er det systemer med lineære ligninger med to variabler, som er tilrådelig å løse ved hjelp av Cramers regel!

Tenk på ligningssystemet

På første trinn beregner vi determinanten, heter det hoveddeterminanten for systemet.

Gauss metode.

Hvis , så har systemet en unik løsning, og for å finne røttene må vi beregne ytterligere to determinanter:
Og

I praksis kan de ovennevnte kvalifiseringene også betegnes med en latinsk bokstav.

Vi finner røttene til ligningen ved å bruke formlene:
,

Eksempel 7

Løs et system med lineære ligninger

Løsning: Vi ser at koeffisientene til ligningen er ganske store, på høyre side er det desimalbrøker med komma. Kommaet er en ganske sjelden gjest i praktiske oppgaver i matematikk; jeg tok dette systemet fra et økonometrisk problem.

Hvordan løse et slikt system? Du kan prøve å uttrykke en variabel i form av en annen, men i dette tilfellet vil du sannsynligvis ende opp med forferdelige fancy brøker som er ekstremt upraktiske å jobbe med, og utformingen av løsningen vil se rett og slett forferdelig ut. Du kan multiplisere den andre ligningen med 6 og subtrahere ledd for ledd, men de samme brøkene vil også oppstå her.

Hva å gjøre? I slike tilfeller kommer Cramers formler til unnsetning.

;

;

Svar: ,

Begge røttene har uendelige haler og finnes omtrentlig, noe som er ganske akseptabelt (og til og med vanlig) for økonometriske problemer.

Kommentarer er ikke nødvendig her, siden oppgaven løses ved hjelp av ferdige formler, men det er ett forbehold. Når du bruker denne metoden, obligatorisk Et fragment av oppgavedesignet er følgende fragment: "Dette betyr at systemet har en unik løsning". Ellers kan anmelderen straffe deg for manglende respekt for Cramers teorem.

Det ville ikke være overflødig å sjekke, noe som enkelt kan utføres på en kalkulator: vi erstatter omtrentlige verdier på venstre side av hver ligning i systemet. Som et resultat, med en liten feil, bør du få tall som er på høyre side.

Eksempel 8

Presenter svaret i vanlige uekte brøker. Gjør en sjekk.

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (et eksempel på det endelige designet og svaret på slutten av leksjonen).

La oss gå videre til å vurdere Cramers regel for et system med tre ligninger med tre ukjente:

Vi finner hoveddeterminanten for systemet:

Hvis , så har systemet uendelig mange løsninger eller er inkonsekvent (har ingen løsninger). I dette tilfellet vil ikke Cramers regel hjelpe; du må bruke Gauss-metoden.

Hvis , så har systemet en unik løsning, og for å finne røttene må vi beregne ytterligere tre determinanter:
, ,

Og til slutt beregnes svaret ved hjelp av formlene:

Som du kan se, er tilfellet "tre av tre" fundamentalt ikke forskjellig fra tilfellet "to og to"; kolonnen med frie termer "går" sekvensielt fra venstre til høyre langs kolonnene til hoveddeterminanten.

Eksempel 9

Løs systemet ved å bruke Cramers formler.

Løsning: La oss løse systemet ved å bruke Cramers formler.

, som betyr at systemet har en unik løsning.

Svar: .

Her er det faktisk ikke noe spesielt å kommentere, på grunn av at løsningen følger ferdige formler. Men det er et par kommentarer.

Det hender at som et resultat av beregninger oppnås "dårlige" irreduserbare fraksjoner, for eksempel: .
Jeg anbefaler følgende "behandlings"-algoritme. Hvis du ikke har en datamaskin for hånden, gjør dette:

1) Det kan være feil i beregningene. Så snart du møter en "dårlig" brøkdel, må du umiddelbart sjekke Er betingelsen omskrevet riktig?. Hvis betingelsen skrives om uten feil, må du beregne determinantene på nytt ved å bruke utvidelse i en annen rad (kolonne).

2) Hvis ingen feil blir identifisert som et resultat av sjekking, har det mest sannsynlig vært en skrivefeil i oppgavebetingelsene. I dette tilfellet jobbe rolig og NØYE gjennom oppgaven til slutten, og deretter sørg for å sjekke og vi tegner det opp på et rent ark etter vedtaket. Å sjekke et brøksvar er selvfølgelig en ubehagelig oppgave, men det vil være et avvæpnende argument for læreren, som virkelig liker å gi minus for noe tull som . Hvordan håndtere brøker er beskrevet i detalj i svaret på eksempel 8.

Hvis du har en datamaskin for hånden, så bruk et automatisert program for å sjekke, som kan lastes ned gratis helt i begynnelsen av leksjonen. Forresten, det er mest lønnsomt å bruke programmet med en gang (selv før du starter løsningen); du vil umiddelbart se mellomtrinnet der du gjorde en feil! Den samme kalkulatoren beregner automatisk løsningen til systemet ved hjelp av matrisemetoden.

Andre bemerkning. Fra tid til annen er det systemer i ligningene hvor noen variabler mangler, for eksempel:

Her i den første ligningen er det ingen variabel, i den andre er det ingen variabel. I slike tilfeller er det svært viktig å skrive ned hoveddeterminanten riktig og NØYE:
– Nuller plasseres i stedet for manglende variabler.
Det er forresten rasjonelt å åpne determinanter med nuller i henhold til raden (kolonnen) der nullen er plassert, siden det er merkbart færre beregninger.

Eksempel 10

Løs systemet ved å bruke Cramers formler.

Dette er et eksempel på en uavhengig løsning (et utvalg av det endelige designet og svaret på slutten av leksjonen).

For tilfellet med et system med 4 ligninger med 4 ukjente, er Cramers formler skrevet i henhold til lignende prinsipper. Du kan se et levende eksempel i leksjonen Egenskaper til determinanter. Redusere rekkefølgen til determinanten - fem fjerde ordens determinanter er ganske løsbare. Selv om oppgaven allerede minner mye om en professorsko på brystet til en heldig student.

Løse systemet ved hjelp av en invers matrise

Den inverse matrisemetoden er i hovedsak et spesialtilfelle matriseligning(Se eksempel nr. 3 i den angitte leksjonen).

For å studere denne delen må du kunne utvide determinanter, finne inversen til en matrise og utføre matrisemultiplikasjon. Relevante lenker vil bli gitt etter hvert som forklaringene skrider frem.

Eksempel 11

Løs systemet ved hjelp av matrisemetoden

Løsning: La oss skrive systemet i matriseform:
, Hvor

Vennligst se på systemet med likninger og matriser. Jeg tror alle forstår prinsippet som vi skriver elementer inn i matriser etter. Den eneste kommentaren: hvis noen variabler manglet i ligningene, måtte nuller plasseres på de tilsvarende stedene i matrisen.

Vi finner den inverse matrisen ved å bruke formelen:
, hvor er den transponerte matrisen av algebraiske komplementer til de tilsvarende elementene i matrisen.

La oss først se på determinanten:

Her utvides determinanten på første linje.

Merk følgende! Hvis , eksisterer ikke den inverse matrisen, og det er umulig å løse systemet ved hjelp av matrisemetoden. I dette tilfellet løses systemet med metoden for å eliminere ukjente (Gauss-metoden).

Nå må vi beregne 9 mindreårige og skrive dem inn i mindreårige matrisen

Henvisning: Det er nyttig å vite betydningen av doble abonnenter i lineær algebra. Det første sifferet er nummeret på linjen der elementet er plassert. Det andre sifferet er nummeret på kolonnen der elementet er plassert:

Det vil si at et dobbelt skrift indikerer at elementet er i første rad, tredje kolonne, og for eksempel elementet er i 3 rader, 2 kolonner

Under løsningen er det bedre å beskrive beregningen av mindreårige i detalj, selv om du med litt erfaring kan venne deg til å beregne dem med feil muntlig.