Zdefiniuj termin macierz. §jeden

Definicja 1. Rozmiar matrycy Am n to prostokątna tablica składająca się z m wierszy i n kolumn, składająca się z liczb lub innych wyrażeń matematycznych (zwanych elementami macierzy), i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, lub

Definicja 2. Dwie macierze
oraz
ten sam rozmiar nazywa się równy, jeśli pasują element po elemencie, tj. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

Przy pomocy macierzy łatwo jest spisać niektóre zależności ekonomiczne, np. tabele rozmieszczenia zasobów dla określonych sektorów gospodarki.

Definicja 3. Jeśli liczba wierszy macierzy odpowiada liczbie jej kolumn, tj. m = n, wtedy macierz jest nazywana kwadratowy porządekn, Inaczej prostokątny.

Definicja 4. Przejście z macierzy A do macierzy A m, w której wiersze i kolumny są zamienione z zachowaniem porządku, nazywa się transpozycja macierze.

Rodzaje matryc: kwadratowe (rozmiar 33) -
,

prostokątny (rozmiar 25) -
,

przekątna -
, pojedynczy -
, zero -
,

wiersz macierzy -
, kolumna macierzy -.

Definicja 5. Elementy macierzy kwadratowej rzędu n o tych samych indeksach nazywane są elementami głównej przekątnej, tj. są to elementy:
.

Definicja 6. Elementy macierzy kwadratowej rzędu n nazywamy drugorzędnymi elementami diagonalnymi, jeśli suma ich indeksów jest równa n + 1, tj. oto elementy: .

1.2. Operacje na macierzach.

1 0 . suma dwie macierze
oraz
tej samej wielkości nazywamy macierzą С = (с ij), której elementy są określone przez równość z ij = a ij + b ij , (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2 ,3,…,n).

Własności operacji dodawania macierzy.

Dla dowolnych macierzy A, B, C tej samej wielkości obowiązują następujące równości:

1) A + B = B + A (przemienność),

2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (łączność).

2 0 . praca matryce
za liczbę  zwana macierzą
taki sam rozmiar jak macierz A, a b ij =  (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Własności operacji mnożenia macierzy przez liczbę.

(А) = ()А (łączność mnożenia);

(А+В) = А+В (dystrybucja mnożenia względem dodawania macierzy);

(+)A = A+A (dystrybucja mnożenia względem dodawania liczb).

Definicja 7. Liniowa kombinacja macierzy
oraz
tej samej wielkości nazywamy wyrażeniem postaci A + B, gdzie  i  są liczbami dowolnymi.

3 0 . Produkt A  W macierzach A i B, odpowiednio o rozmiarach mn i nk, nazywamy macierzą C o rozmiarze mk, taką, że element o ij jest równy sumie iloczynów elementów i-tego rzędu macierzy A i j-tej kolumny macierzy B, tj. gdzie ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .

Iloczyn AB istnieje tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B.

Własności działania mnożenia macierzy:

(АВ)С = А(ВС) (łączność);

(А+В)С = АС+ВС (rozdzielczość względem dodawania macierzy);

А(В+С) = АВ+АС (dystrybucja względem dodawania macierzy);

АВ  ВА (nie przemienność).

Definicja 8. Macierze A i B, dla których AB = BA, nazywane są komutacją lub permutacją.

Mnożenie macierzy kwadratowej dowolnego rzędu przez odpowiednią macierz jednostkową nie zmienia macierzy.

Definicja 9. Przekształcenia elementarne macierze nazywane są następującymi operacjami:

Zamień dwa wiersze (kolumny).

Pomnóż każdy element wiersza (kolumny) przez liczbę niezerową.

Dodanie do elementów jednego wiersza (kolumny) odpowiednich elementów innego wiersza (kolumny).

Definicja 10. Macierz B uzyskana z macierzy A za pomocą przekształceń elementarnych nazywa się równowartość(oznaczone jako BA).

Przykład 1.1. Znajdź kombinację liniową macierzy 2A–3B, jeśli

,
.

,
,

.

Przykład 1.2. Znajdź produkt macierzy
, jeśli

.

Rozwiązanie: skoro liczba kolumn pierwszej macierzy jest taka sama jak liczba wierszy drugiej macierzy, to iloczyn macierzy istnieje. W efekcie otrzymujemy nową matrycę
, gdzie

W rezultacie otrzymujemy
.

Wykład 2. Determinanty. Obliczanie wyznaczników drugiego, trzeciego rzędu. Właściwości kwalifikatoran-ty rząd.

>> Matryce

4.1 Macierze. Operacje na macierzach

Prostokątna macierz o rozmiarze mxn to zbiór liczb mxn ułożonych w prostokątnej tabeli zawierającej m wierszy i n kolumn. Napiszemy to w formie

lub w skrócie A = (a i j) (i = ; j = ), liczby a i j , nazywane są jego elementami; pierwszy indeks wskazuje na numer wiersza, drugi indeks na numer kolumny. A = (a i j) i B = (b i j) o tym samym rozmiarze są nazywane równymi, jeśli ich elementy w tych samych miejscach są równe parami, to znaczy A = B, jeśli a i j = b i j .

Macierz składająca się z jednego wiersza lub jednej kolumny nazywana jest odpowiednio wektorem -wiersz lub kolumna. Wektory kolumnowe i wektory wierszowe są po prostu nazywane wektorami.

Tym numerem identyfikowana jest macierz składająca się z jednej liczby. A o rozmiarze mxn, którego wszystkie elementy są równe zeru, nazywamy zerem i oznaczamy przez 0. Elementy o tych samych indeksach nazywamy elementami głównej przekątnej. Jeżeli liczba wierszy jest równa liczbie kolumn, czyli m = n, to mówi się, że macierz jest kwadratem rzędu n. Macierze kwadratowe, w których tylko elementy głównej przekątnej są niezerowe, nazywane są macierzami diagonalnymi i są zapisywane w następujący sposób:

.

Jeśli wszystkie elementy a i i przekątnej są równe 1, to nazywa się to jednostką i jest oznaczone literą E:

.

Macierz kwadratowa nazywana jest trójkątną, jeśli wszystkie elementy powyżej (lub poniżej) głównej przekątnej są równe zeru. Transpozycja to transformacja, w której wiersze i kolumny są zamieniane miejscami z zachowaniem ich numerów. Transpozycja jest oznaczona literą T u góry.

Jeśli w (4.1) przestawimy wiersze z kolumnami, otrzymamy

,

które będą transponowane w odniesieniu do A. W szczególności transpozycja wektora kolumnowego daje w wyniku wektor wierszowy i odwrotnie.

Iloczyn A przez liczbę b jest macierzą, której elementy otrzymuje się z odpowiednich elementów A przez pomnożenie przez liczbę b: b A = (b a i j).

Suma A = (a i j) i B = (b i j) tego samego rozmiaru to C = (c i j) tego samego rozmiaru, którego elementy są określone wzorem c i j = a i j + b i j .

Iloczyn AB definiuje się przy założeniu, że liczba kolumn w A jest równa liczbie wierszy w B.

Iloczyn AB, gdzie A = (a i j) i B = (b j k), gdzie i = , j= , k= , podany w pewnym porządku AB, wynosi C = (c i k), którego elementy są określone przez następująca zasada:

c ja k = a ja 1 b 1 k + a ja 2 b 2 k +... + a ja m b m k = a ja s b s k . (4.2)

Innymi słowy, element iloczynu AB definiuje się następująco: element i-tego rzędu i k-tej kolumny C jest równy sumie iloczynów elementów i-tego rzędu A przez odpowiednie elementy k-tej kolumny B.

Przykład 2.1. Znajdź iloczyn AB i .

Rozwiązanie. Mamy: A o rozmiarze 2x3, B o rozmiarze 3x3, wtedy iloczyn AB = C istnieje i elementy C są równe

С11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, с 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, с 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10 .

, a produkt BA nie istnieje.

Przykład 2.2. W tabeli przedstawiono liczbę jednostek produktów wysyłanych dziennie z mleczarni 1 i 2 do sklepów M 1 , M 2 i M 3 , a dostawa jednostki produkcyjnej z każdej mleczarni do sklepu M 1 kosztuje 50 den. sztuk, w sklepie M 2 - 70, a w M 3 - 130 den. jednostki Oblicz dzienne koszty transportu każdego zakładu.

Rozwiązanie. Oznaczmy przez A macierz podaną nam w warunku, a przez
B - macierz charakteryzująca koszt dostarczenia jednostki produkcji do sklepów, tj.

,

Wtedy macierz kosztów transportu będzie wyglądała następująco:

.

Tak więc pierwszy zakład wydaje 4750 den dziennie na transport. jednostek, drugi - 3680 den.un.

Przykład 2.3. Przedsiębiorstwo szwalnicze produkuje płaszcze zimowe, płaszcze jesienno-zimowe i płaszcze przeciwdeszczowe. Planowaną produkcję na dekadę charakteryzuje wektor X = (10, 15, 23). Stosowane są cztery rodzaje tkanin: T 1 , T 2 , T 3 , T 4 . W tabeli przedstawiono wskaźniki zużycia tkanin (w metrach) dla każdego produktu. Wektor C = (40, 35, 24, 16) określa koszt metra tkaniny każdego rodzaju, a wektor P = (5, 3, 2, 2) - koszt transportu metra tkaniny każdego rodzaju rodzaj.

1. Ile metrów każdego rodzaju tkaniny będzie potrzebnych do wykonania planu?

2. Znajdź koszt tkaniny użytej do szycia każdego rodzaju produktu.

3. Określ koszt całej tkaniny potrzebnej do wykonania planu.

Rozwiązanie. Oznaczmy przez A macierz podaną nam w warunku, tj.

,

następnie, aby znaleźć liczbę metrów tkaniny potrzebną do wykonania planu, należy pomnożyć wektor X przez macierz A:

Koszt tkaniny poniesiony na uszycie produktu każdego rodzaju określa się mnożąc macierz A i wektor C T:

.

Koszt całej tkaniny potrzebnej do wykonania planu zostanie określony według wzoru:

Ostatecznie, biorąc pod uwagę koszty transportu, cała kwota będzie równa kosztowi tkaniny, czyli 9472 den. jednostki plus wartość

X AP T =
.

Tak więc X A C T + X A P T \u003d 9472 + 1037 \u003d 10509 (jednostki den.).

Macierz jest oznaczona wielkimi literami łacińskimi ( ALE, W, Z,...).

Definicja 1. Stół prostokątny formularza ,

składający się z m linie i n kolumny nazywa się matryca.

Element macierzy, i – numer wiersza, j – numer kolumny.

Rodzaje matryc:

elementy na głównej przekątnej:

trA=a 11 +a 22 +a 33 +…+a nn .

§2. Determinanty drugiego, trzeciego i n-tego rzędu

Niech dane będą dwie macierze kwadratowe:

Definicja 1. Wyznacznik drugiego rzędu macierzy ALE 1 jest liczbą oznaczoną przez ∆ i równą , gdzie

Przykład. Oblicz wyznacznik drugiego rzędu:

Definicja 2. Wyznacznik trzeciego rzędu macierzy kwadratowej ALE 2 nazwany numerem formularza:

To jeden ze sposobów obliczenia wyznacznika.

Przykład. Oblicz

Definicja 3. Jeśli wyznacznik składa się z n wierszy i n kolumn, nazywamy go wyznacznikiem n-tego rzędu.

Właściwości wyznaczników:

Wyznacznik nie zmienia się podczas transpozycji (tj. jeśli zawarte w nim wiersze i kolumny są zamieniane przy zachowaniu kolejności).

Jeśli dowolne dwa wiersze lub dwie kolumny są zamienione w wyznaczniku, to wyznacznik zmienia tylko znak.

Wspólny czynnik dowolnego wiersza (kolumny) można wyjąć ze znaku wyznacznika.

Jeżeli wszystkie elementy dowolnego wiersza (kolumny) wyznacznika są równe zeru, to wyznacznik jest równy zero.

Wyznacznikiem jest zero, jeśli elementy dowolnych dwóch wierszy są równe lub proporcjonalne.

Wyznacznik nie zmienia się, jeśli odpowiednie elementy innego wiersza (kolumny) pomnożone przez tę samą liczbę zostaną dodane do elementów dowolnego wiersza (kolumny).

Przykład.

Definicja 4. Wyznacznik uzyskany z danego przez usunięcie kolumny i wiersza nazywa się drobny odpowiedni element. Mij ​​element a ij .

Definicja 5. Dodawanie algebraiczne element a ij , nazywamy wyrażeniem

§3. Akcje macierzy

Operacje liniowe

1) Przy dodawaniu macierzy dodawane są ich elementy o tej samej nazwie.

Podczas odejmowania macierzy odejmuje się ich elementy o tej samej nazwie.

Mnożąc macierz przez liczbę, każdy element macierzy mnoży się przez tę liczbę:

3.2 Mnożenie macierzy.

Praca matryce ALE do matrycy W jest nową macierzą, której elementy są równe sumie iloczynów elementów i-tego wiersza macierzy ALE do odpowiednich elementów j-tej kolumny macierzy W. Produkt matrycowy ALE do matrycy W można znaleźć tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy ALE równa się liczbie wierszy macierzy W. W przeciwnym razie praca jest niemożliwa.

Komentarz:

(nie podlega przemienności)

§ 4. Macierz odwrotna

Macierz odwrotna istnieje tylko dla macierzy kwadratowej, a macierz musi być nieosobliwa.

Definicja 1. Matryca ALE nazywa niezdegenerowany jeśli wyznacznik tej macierzy nie jest równy zero

Definicja 2. ALE-1 nazywane odwrotna macierz dla danej nieosobliwej macierzy kwadratowej ALE, jeśli mnożąc tę ​​macierz przez daną obie po prawej, to po lewej otrzymujemy macierz jednostkową.

Algorytm obliczania macierzy odwrotnej

1-drożny (z dodatkami algebraicznymi)

Przykład 1:

I rok, matematyka wyższa, studia matryce i podstawowe działania na nich. Tutaj systematyzujemy główne operacje, które można wykonać na macierzach. Jak zacząć pracę z macierzami? Oczywiście od najprostszych - definicje, podstawowe pojęcia i najprostsze operacje. Zapewniamy, że matryce zrozumie każdy, kto poświęci im choć trochę czasu!

Definicja macierzy

Matryca to prostokątny stół elementów. Cóż, jeśli w prostych słowach - tabela liczb.

Macierze są zwykle oznaczane wielkimi literami łacińskimi. Na przykład macierz A , macierz B i tak dalej. Macierze mogą mieć różne rozmiary: prostokątne, kwadratowe, istnieją również macierze wierszowe i macierze kolumnowe zwane wektorami. Wielkość matrycy zależy od liczby wierszy i kolumn. Na przykład zapiszmy prostokątną macierz o rozmiarze m na n , gdzie m to liczba linii, a n to liczba kolumn.

Elementy, dla których i=j (a11, a22, .. ) tworzą główną przekątną macierzy i są nazywane przekątnymi.

Co można zrobić z macierzami? Dodaj/Odejmij, pomnóż przez liczbę, mnożyć się między sobą, transponować. Teraz o tych wszystkich podstawowych operacjach na macierzach w porządku.

Operacje dodawania i odejmowania macierzy

Od razu ostrzegamy, że możesz dodawać tylko matryce tego samego rozmiaru. Wynikiem jest macierz o tym samym rozmiarze. Dodawanie (lub odejmowanie) macierzy jest łatwe − po prostu dodaj odpowiadające im elementy . Weźmy przykład. Wykonajmy dodanie dwóch macierzy A i B o rozmiarze dwa na dwa.

Odejmowanie odbywa się przez analogię, tylko z przeciwnym znakiem.

Dowolną macierz można pomnożyć przez dowolną liczbę. Aby to zrobić, musisz pomnożyć przez tę liczbę każdy z jego elementów. Na przykład pomnóżmy macierz A z pierwszego przykładu przez liczbę 5:

Operacja mnożenia macierzy

Nie wszystkie macierze można ze sobą mnożyć. Na przykład mamy dwie macierze - A i B. Mogą być przez siebie pomnożone tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B. Co więcej, każdy element wynikowej macierzy w i-tym wierszu i j-tej kolumnie będzie równy sumie iloczynów odpowiednich elementów w i-tym wierszu pierwszego czynnika i j-tej kolumnie drugiego. Aby zrozumieć ten algorytm, zapiszmy, jak mnożone są dwie macierze kwadratowe:

I przykład z liczbami rzeczywistymi. Pomnóżmy macierze:

Operacja transpozycji macierzy

Transpozycja macierzy to operacja polegająca na zamianie odpowiednich wierszy i kolumn. Na przykład transponujemy macierz A z pierwszego przykładu:

Wyznacznik macierzy

Wyznacznik, och wyznacznik, jest jednym z podstawowych pojęć algebry liniowej. Dawno, dawno temu ludzie wymyślili równania liniowe, a po nich musieli wymyślić wyznacznik. W końcu to od Ciebie zależy, czy sobie z tym wszystkim poradzisz, więc ostatnie uderzenie!

Wyznacznikiem jest numeryczna charakterystyka macierzy kwadratowej, która jest potrzebna do rozwiązania wielu problemów.
Aby obliczyć wyznacznik najprostszej macierzy kwadratowej, należy obliczyć różnicę między iloczynami elementów przekątnej głównej i wtórnej.

Wyznacznik macierzy pierwszego rzędu, czyli składającej się z jednego elementu, jest równy temu elementowi.

A co jeśli matryca ma trzy na trzy? To jest trudniejsze, ale można to zrobić.

Dla takiej macierzy wartość wyznacznika jest równa sumie iloczynów elementów głównej przekątnej i iloczynów elementów leżących na trójkątach o powierzchni równoległej do głównej przekątnej, z których iloczyn elementów od przekątnej drugorzędnej i iloczynu elementów leżących na trójkątach o powierzchni równoległej do przekątnej drugorzędnej.

Na szczęście w praktyce rzadko trzeba obliczać wyznaczniki dużych macierzy.

Tutaj rozważyliśmy podstawowe operacje na macierzach. Oczywiście w prawdziwym życiu nie można nawet natknąć się na macierzowy układ równań lub odwrotnie, można napotkać znacznie bardziej złożone przypadki, w których naprawdę trzeba się męczyć. Właśnie w takich przypadkach istnieje profesjonalna obsługa studentów. Poproś o pomoc, uzyskaj wysokiej jakości i szczegółowe rozwiązanie, ciesz się naukowymi sukcesami i wolnym czasem.

W tym temacie rozważymy pojęcie macierzy, a także rodzaje macierzy. Ponieważ terminów w tym temacie jest bardzo dużo, dodam podsumowanie, aby ułatwić poruszanie się po materiale.

Definicja macierzy i jej elementu. Notacja.

Matryca to tabela z wierszami $m$ i kolumnami $n$. Elementami macierzy mogą być obiekty o zupełnie różnym charakterze: liczby, zmienne lub np. inne macierze. Na przykład macierz $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ ma 3 wiersze i 2 kolumny; jego elementy są liczbami całkowitymi. Macierz $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ zawiera 2 rzędy i 4 kolumny.

Różne sposoby pisania macierzy: pokaż\ukryj

Macierz można zapisać nie tylko w nawiasach okrągłych, ale także w nawiasach kwadratowych lub podwójnych prostych. Oznacza to, że poniższe wpisy oznaczają tę samą macierz:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(tablica) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(tablica) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

Iloczyn $m\times n$ nazywa się rozmiar matrycy. Na przykład, jeśli macierz zawiera 5 wierszy i 3 kolumny, wtedy mówi się o macierzy $5\times 3$. Macierz $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ ma rozmiar $3 \times 2$.

Macierze są zwykle oznaczane wielkimi literami alfabetu łacińskiego: $A$, $B$, $C$ i tak dalej. Na przykład $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Numeracja linii idzie od góry do dołu; kolumny - od lewej do prawej. Na przykład pierwszy wiersz macierzy $B$ zawiera elementy 5 i 3, a druga kolumna elementy 3, -87, 0.

Elementy matryc są zwykle oznaczane małymi literami. Na przykład elementy macierzy $A$ są oznaczone przez $a_(ij)$. Podwójny indeks $ij$ zawiera informacje o pozycji elementu w macierzy. Liczba $i$ to numer wiersza, a liczba $j$ to numer kolumny, na przecięciu której znajduje się element $a_(ij)$. Na przykład na przecięciu drugiego wiersza i piątej kolumny macierzy $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(tablica) \right)$ element $ a_(25) = 59 USD:

Podobnie na przecięciu pierwszego wiersza i pierwszej kolumny mamy element $a_(11)=51$; na przecięciu trzeciego wiersza i drugiej kolumny - element $a_(32)=-15$ i tak dalej. Zauważ, że $a_(32)$ jest czytane jako "trzy dwa", ale nie "trzydzieści dwa".

Dla skróconego oznaczenia macierzy $A$, której rozmiar jest równy $m\times n$, stosuje się notację $A_(m\times n)$. Możesz napisać trochę bardziej szczegółowo:

$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$

gdzie notacja $(a_(ij))$ oznacza elementy macierzy $A$. W postaci w pełni rozwiniętej macierz $A_(m\times n)=(a_(ij))$ można zapisać w następujący sposób:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(tablica) \right) $$

Wprowadźmy inny termin - równe macierze.

Dwie macierze tej samej wielkości $A_(m\times n)=(a_(ij))$ i $B_(m\times n)=(b_(ij))$ są wywoływane równy jeśli odpowiadające im elementy są równe, tj. $a_(ij)=b_(ij)$ dla wszystkich $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline(1,n)$.

Wyjaśnienie wpisu $i=\overline(1,m)$: show\hide

Wpis "$i=\overline(1,m)$" oznacza, że ​​parametr $i$ zmienia się z 1 na m. Na przykład wpis $i=\overline(1,5)$ mówi, że parametr $i$ przyjmuje wartości 1, 2, 3, 4, 5.

Tak więc dla równości macierzy wymagane są dwa warunki: zbieżność rozmiarów i równość odpowiednich elementów. Na przykład macierz $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ nie jest równa macierzy $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ ponieważ macierz $A$ to $3\times 2$ a macierz $B$ to $2\razy 2$. Również macierz $A$ nie jest równa macierzy $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right) $ ponieważ $a_( 21)\neq c_(21)$ (czyli $0\neq 98$). Ale dla macierzy $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ możemy spokojnie napisać $A =F$ ponieważ zarówno rozmiary jak i odpowiadające im elementy macierzy $A$ i $F$ pokrywają się.

Przykład 1

Określ rozmiar macierzy $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\ \end(tablica) \right)$. Określ, jakie są równe elementy $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.

Ta macierz zawiera 5 wierszy i 3 kolumny, więc jej rozmiar to $5\times 3$. Dla tej macierzy można również użyć notacji $A_(5\times 3)$.

Element $a_(12)$ znajduje się na przecięciu pierwszego wiersza i drugiej kolumny, więc $a_(12)=-2$. Element $a_(33)$ znajduje się na przecięciu trzeciego wiersza i trzeciej kolumny, więc $a_(33)=23$. Element $a_(43)$ znajduje się na przecięciu czwartego wiersza i trzeciej kolumny, więc $a_(43)=-5$.

Odpowiadać: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Rodzaje matryc w zależności od ich wielkości. Przekątne główne i boczne. Ślad matrycowy.

Niech zostanie podana jakaś macierz $A_(m\times n)$. Jeżeli $m=1$ (matryca składa się z jednego wiersza), to dana macierz nazywa się wiersz macierzy. Jeżeli $n=1$ (matryca składa się z jednej kolumny), to taka macierz nazywa się macierz kolumn. Na przykład $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ to macierz wierszy, a $\left(\begin(array ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ - macierz kolumn.

Jeśli warunek $m\neq n$ jest spełniony dla macierzy $A_(m\times n)$ (tzn. liczba wierszy nie jest równa liczbie kolumn), to często mówi się, że $A$ jest prostokątna macierz. Na przykład macierz $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ ma rozmiar $2\times 4 $, te. zawiera 2 rzędy i 4 kolumny. Ponieważ liczba wierszy nie jest równa liczbie kolumn, ta macierz jest prostokątna.

Jeśli warunek $m=n$ jest spełniony dla macierzy $A_(m\times n)$ (tzn. liczba wierszy jest równa liczbie kolumn), wtedy mówimy, że $A$ jest macierzą kwadratową zamów $n$. Na przykład $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ jest macierzą kwadratową drugiego rzędu; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ jest macierzą kwadratową trzeciego rzędu. Ogólnie macierz kwadratową $A_(n\times n)$ można zapisać w następujący sposób:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Mówi się, że elementy $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ są włączone główna przekątna macierze $A_(n\times n)$. Te elementy nazywają się główne elementy przekątne(lub po prostu elementy ukośne). Elementy $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ są włączone boczna (wtórna) przekątna; nazywają się drugorzędne elementy przekątne. Na przykład dla macierzy $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( array) \right)$ mamy:

Elementy $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ są głównymi elementami przekątnymi; elementy $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ są drugorzędnymi elementami przekątnymi.

Suma głównych elementów przekątnych nazywa się po którym następuje macierz i oznaczony przez $\Tr A$ (lub $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Na przykład dla macierzy $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ mamy:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Pojęcie elementów przekątnych stosuje się również w przypadku macierzy niekwadratowych. Na przykład dla macierzy $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ główne elementy przekątne będą miały wartość $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Rodzaje macierzy w zależności od wartości ich elementów.

Jeżeli wszystkie elementy macierzy $A_(m\times n)$ są równe zero, to taka macierz nazywa się zero i jest zwykle oznaczany literą $O$. Na przykład $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ to macierze zerowe.

Niech macierz $A_(m\times n)$ wygląda tak:

Wtedy ta macierz nazywa się trapezowy. Może nie zawierać wierszy zerowych, ale jeśli tak, to znajdują się na dole macierzy. W bardziej ogólnej formie macierz trapezową można zapisać jako:

Ponownie, końcowe ciągi null są opcjonalne. Tych. formalnie możemy wyróżnić następujące warunki dla macierzy trapezowej:

1. Wszystkie elementy poniżej głównej przekątnej są równe zeru.
2. Wszystkie elementy od $a_(11)$ do $a_(rr)$ leżące na głównej przekątnej nie są równe zero: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
3. Albo wszystkie elementy ostatnich wierszy $m-r$ są równe zeru, albo $m=r$ (tzn. nie ma w ogóle żadnych wierszy).

Przykłady matryc trapezowych:

Przejdźmy do następnej definicji. Macierz $A_(m\times n)$ nazywa się schodkowy jeśli spełnia następujące warunki:

Na przykład macierze kroków to:

Dla porównania macierz $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 i 0 \end(array)\right)$ nie jest schodkowe, ponieważ trzeci wiersz ma tę samą część zerową co drugi wiersz. Oznacza to, że naruszona jest zasada „im niższa linia - tym większa część zero”. Dodam, że matryca trapezowa to szczególny przypadek matrycy schodkowej.

Przejdźmy do następnej definicji. Jeśli wszystkie elementy kwadratowej macierzy znajdującej się pod główną przekątną są równe zeru, wówczas nazywa się taką macierz górna trójkątna matryca. Na przykład $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ - górna macierz trójkątna. Zwróć uwagę, że definicja górnej trójkątnej matrycy nie mówi nic o wartościach elementów znajdujących się nad główną przekątną lub na głównej przekątnej. Mogą być zero lub nie, to nie ma znaczenia. Na przykład $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ jest również górną macierzą trójkątną.

Jeśli wszystkie elementy kwadratowej macierzy znajdującej się nad główną przekątną są równe zeru, wówczas nazywa się taką macierz dolna trójkątna matryca. Na przykład $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - dolna macierz trójkątna. Zwróć uwagę, że definicja dolnej trójkątnej matrycy nie mówi nic o wartościach elementów poniżej lub na głównej przekątnej. Mogą być zerowe lub nie, to nie ma znaczenia. Na przykład $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ i $\left(\ begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ to także dolne trójkątne macierze.

Nazywa się macierz kwadratową przekątna jeśli wszystkie elementy tej macierzy, które nie znajdują się na głównej przekątnej, są równe zeru. Przykład: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ koniec(tablica)\prawo)$. Elementy na głównej przekątnej mogą być dowolne (równe zero lub nie) - nie jest to konieczne.

Matryca diagonalna nazywa się pojedynczy jeśli wszystkie elementy tej macierzy znajdujące się na głównej przekątnej są równe 1. Na przykład $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - macierz tożsamości czwartego rzędu; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ to macierz tożsamości drugiego rzędu.