Wspólna wielokrotność liczb. Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb

Wyrażenia i zadania matematyczne wymagają dużo dodatkowej wiedzy. NOC jest jednym z głównych, szczególnie często używanym w temacie.Temat jest studiowany w liceum, chociaż nie jest to szczególnie trudne do zrozumienia materiału, nie będzie trudno wybrać osobie znającej potęgi i tabliczkę mnożenia niezbędne liczby i znajdź wynik.

Definicja

Wspólna wielokrotność to liczba, którą można całkowicie podzielić na dwie liczby jednocześnie (a i b). Najczęściej tę liczbę uzyskuje się przez pomnożenie oryginalnych liczb a i b. Liczba musi być podzielna przez obie liczby naraz, bez odchyleń.

NOC to skrócona nazwa, która pochodzi od pierwszych liter.

Sposoby na zdobycie numeru

Aby znaleźć LCM, metoda mnożenia liczb nie zawsze jest odpowiednia, znacznie lepiej nadaje się do prostych liczb jednocyfrowych lub dwucyfrowych. Zwyczajowo dzieli się na czynniki, im większa liczba, tym więcej będzie czynników.

Przykład 1

W najprostszym przykładzie szkoły zwykle przyjmują liczby proste, jednocyfrowe lub dwucyfrowe. Na przykład musisz rozwiązać następujące zadanie, znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 7 i 3, rozwiązanie jest dość proste, po prostu je pomnóż. W rezultacie jest liczba 21, po prostu nie ma mniejszej liczby.

Przykład #2

Druga opcja jest znacznie trudniejsza. Podano liczby 300 i 1260, znalezienie LCM jest obowiązkowe. Aby rozwiązać zadanie, zakłada się następujące działania:

Rozkład pierwszej i drugiej liczby na najprostsze czynniki. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Pierwszy etap został zakończony.

Drugi etap to praca z już uzyskanymi danymi. Każda z otrzymanych liczb musi uczestniczyć w obliczeniu końcowego wyniku. Dla każdego czynnika z pierwotnych liczb pobierana jest największa liczba wystąpień. LCM jest liczbą wspólną, więc czynniki z liczb muszą się w niej powtarzać do ostatniej, nawet te, które występują w jednym wystąpieniu. Obie liczby początkowe mają w swoim składzie liczby 2, 3 i 5, w różnym stopniu, 7 jest tylko w jednym przypadku.

Aby obliczyć ostateczny wynik, musisz wziąć do równania każdą liczbę w największej z ich reprezentowanych potęg. Pozostaje tylko pomnożyć i uzyskać odpowiedź, przy prawidłowym wypełnieniu zadanie bez wyjaśnienia składa się z dwóch kroków:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

To całe zadanie, jeśli spróbujesz obliczyć żądaną liczbę przez pomnożenie, odpowiedź na pewno nie będzie poprawna, ponieważ 300 * 1260 = 378 000.

Badanie:

6300 / 300 = 21 - prawda;

6300 / 1260 = 5 jest poprawne.

Poprawność wyniku określa się przez sprawdzenie - podzielenie LCM przez obie liczby pierwotne, jeżeli liczba jest w obu przypadkach liczbą całkowitą, to odpowiedź jest prawidłowa.

Co oznacza NOC w matematyce?

Jak wiecie, w matematyce nie ma ani jednej bezużytecznej funkcji, ta nie jest wyjątkiem. Najczęstszym celem tej liczby jest doprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika. Czego zwykle uczy się w klasach 5-6 liceum. Jest to również dodatkowo wspólny dzielnik dla wszystkich wielokrotności, jeśli takie warunki występują w problemie. Takie wyrażenie może znaleźć wielokrotność nie tylko dwóch liczb, ale także znacznie większej liczby - trzy, pięć i tak dalej. Im więcej liczb - tym więcej czynności w zadaniu, ale złożoność tego nie wzrasta.

Na przykład, biorąc pod uwagę liczby 250, 600 i 1500, musisz znaleźć ich całkowity LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - ten przykład szczegółowo opisuje rozkład na czynniki, bez redukcji.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Aby skomponować wyrażenie, należy wymienić wszystkie czynniki, w tym przypadku podaje się 2, 5, 3 - dla wszystkich tych liczb wymagane jest określenie maksymalnego stopnia.

Uwaga: wszystkie mnożniki muszą zostać doprowadzone do pełnego uproszczenia, jeśli to możliwe, rozkładając je do poziomu pojedynczych cyfr.

Badanie:

1) 3000 / 250 = 12 - prawda;

2) 3000 / 600 = 5 - prawda;

3) 3000 / 1500 = 2 jest poprawne.

Ta metoda nie wymaga żadnych sztuczek ani zdolności na poziomie geniuszu, wszystko jest proste i jasne.

Inny sposób

W matematyce wiele jest ze sobą powiązanych, wiele można rozwiązać na dwa lub więcej sposobów, to samo dotyczy znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności, LCM. Poniższą metodę można zastosować w przypadku prostych liczb dwucyfrowych i jednocyfrowych. Zestawiana jest tabela, w której mnożnik jest wprowadzany pionowo, mnożnik poziomo, a iloczyn jest wskazywany w przecinających się komórkach kolumny. Tabelę można odzwierciedlić za pomocą linii, bierze się liczbę i zapisuje wyniki pomnożenia tej liczby przez liczby całkowite, od 1 do nieskończoności, czasami wystarczy 3-5 punktów, poddaje się drugą i kolejne liczby do tego samego procesu obliczeniowego. Wszystko dzieje się, dopóki nie zostanie znaleziona wspólna wielokrotność.

Mając liczby 30, 35, 42, musisz znaleźć LCM, który łączy wszystkie liczby:

1) Wielokrotności 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 itd.

2) Wielokrotności 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 itd.

3) Wielokrotności 42: 84, 126, 168, 210, 252 itd.

Widać, że wszystkie liczby są zupełnie inne, jedyną wspólną liczbą jest 210, więc będzie to LCM. Wśród procesów związanych z tym obliczeniem występuje również największy wspólny dzielnik, który jest obliczany według podobnych zasad i często spotykany w sąsiednich problemach. Różnica jest niewielka, ale wystarczająco znacząca, LCM obejmuje obliczenie liczby, która jest podzielna przez wszystkie podane wartości początkowe, a GCD zakłada obliczenie największej wartości, przez którą dzielone są liczby początkowe.

Zacznijmy studiować najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch lub więcej liczb. W sekcji podamy definicję terminu, rozważymy twierdzenie, które ustala związek między najmniejszą wspólną wielokrotnością a największym wspólnym dzielnikiem oraz podamy przykłady rozwiązywania problemów.

Wspólne wielokrotności - definicja, przykłady

W tym temacie interesują nas tylko wspólne wielokrotności liczb całkowitych innych niż zero.

Definicja 1

Wspólna wielokrotność liczb całkowitych jest liczbą całkowitą będącą wielokrotnością wszystkich podanych liczb. W rzeczywistości jest to dowolna liczba całkowita, którą można podzielić przez dowolną z podanych liczb.

Definicja wspólnych wielokrotności odnosi się do dwóch, trzech lub więcej liczb całkowitych.

Przykład 1

Zgodnie z definicją podaną powyżej dla liczby 12, wspólne wielokrotności to 3 i 2. Również liczba 12 będzie wspólną wielokrotnością liczb 2 , 3 i 4 . Liczby 12 i -12 są wspólnymi wielokrotnościami liczb ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Jednocześnie wspólną wielokrotnością liczb 2 i 3 będą liczby 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 oraz liczba dowolnych innych.

Jeśli weźmiemy liczby podzielne przez pierwszą liczbę pary i niepodzielne przez drugą, to takie liczby nie będą wspólnymi wielokrotnościami. Tak więc dla liczb 2 i 3 liczby 16 , − 27 , 5009 , 27001 nie będą wspólnymi wielokrotnościami.

0 jest wspólną wielokrotnością dowolnego zestawu niezerowych liczb całkowitych.

Jeśli przypomnimy sobie własność podzielności względem liczb przeciwnych, to okaże się, że jakaś liczba całkowita k będzie wspólną wielokrotnością tych liczb tak samo jak liczba - k. Oznacza to, że wspólne dzielniki mogą być dodatnie lub ujemne.

Czy można znaleźć LCM dla wszystkich numerów?

Wspólną wielokrotność można znaleźć dla dowolnych liczb całkowitych.

Przykład 2

Załóżmy, że otrzymaliśmy k liczby całkowite a 1 , a 2 , … , a k. Liczba, którą otrzymujemy podczas mnożenia liczb a 1 a 2 … a k zgodnie z właściwością podzielności zostanie ona podzielona przez każdy z czynników, które zostały uwzględnione w oryginalnym produkcie. Oznacza to, że iloczyn liczb a 1 , a 2 , … , a k jest najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb.

Ile wspólnych wielokrotności mogą mieć te liczby całkowite?

Grupa liczb całkowitych może mieć dużą liczbę wspólnych wielokrotności. W rzeczywistości ich liczba jest nieskończona.

Przykład 3

Załóżmy, że mamy pewną liczbę k . Wtedy iloczyn liczb k · z , gdzie z jest liczbą całkowitą, będzie wspólną wielokrotnością liczb k i z . Biorąc pod uwagę, że liczba liczb jest nieskończona, to liczba wspólnych wielokrotności jest nieskończona.

Najmniejsza wielokrotność (LCM) - definicja, symbol i przykłady

Przypomnij sobie pojęcie najmniejszej liczby z danego zestawu liczb, które rozważaliśmy w sekcji Porównanie liczb całkowitych. Mając to na uwadze, sformułujmy definicję najmniejszej wspólnej wielokrotności, która ma największą wartość praktyczną spośród wszystkich wspólnych wielokrotności.

Definicja 2

Najmniejsza wspólna wielokrotność podanych liczb całkowitych jest najmniejszą dodatnią wspólną wielokrotnością tych liczb.

Najmniejsza wspólna wielokrotność istnieje dla dowolnej liczby podanych liczb. Skrót NOK jest najczęściej używany do oznaczenia pojęcia w literaturze referencyjnej. Skrót dla najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb a 1 , a 2 , … , a k będzie wyglądać jak LCM (a 1 , a 2 , … , a k).

Przykład 4

Najmniejsza wspólna wielokrotność 6 i 7 to 42. Tych. LCM(6, 7) = 42. Najmniejsza wspólna wielokrotność czterech liczb - 2, 12, 15 i 3 będzie równa 60. Skrót będzie to LCM (-2 , 12 , 15 , 3) ​​= 60 .

Nie dla wszystkich grup danych liczb, najmniejsza wspólna wielokrotność jest oczywista. Często trzeba to obliczyć.

Związek między NOC i NOD

Najmniejsza wspólna wielokrotność i największy wspólny dzielnik są ze sobą powiązane. Związek między pojęciami ustala twierdzenie.

Twierdzenie 1

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych a i b jest równa iloczynowi liczb a i b podzielonemu przez największy wspólny dzielnik liczb a i b , czyli LCM (a , b) = a b: gcd (a , b) .

Dowód 1

Załóżmy, że mamy pewną liczbę M, która jest wielokrotnością liczb a i b . Jeśli liczba M jest podzielna przez a , istnieje również pewna liczba całkowita z , pod którym równość M = k. Zgodnie z definicją podzielności, jeśli M jest również podzielne przez b, i wtedy K podzielony przez b.

Jeśli wprowadzimy nową notację dla gcd (a , b) jako d, wtedy możemy użyć równości a = 1 d i b = bi · d . W tym przypadku obie równości będą liczbami względnie pierwszymi.

Ustaliliśmy już to powyżej K podzielony przez b. Teraz ten warunek można zapisać w następujący sposób:
1 dzień k podzielony przez b 1 d, co jest równoznaczne z warunkiem 1 tys podzielony przez b 1 zgodnie z właściwościami podzielności.

Zgodnie z własnością liczb względnie pierwszych, jeśli 1 oraz b 1 są wzajemnie liczbami pierwszymi, 1 niepodzielne przez b 1 pomimo tego, że 1 tys podzielony przez b 1, następnie b 1 powinien się dzielić k.

W takim przypadku należałoby założyć, że istnieje liczba t, dla którego k = b 1 t, a ponieważ b1=b:d, następnie k = b: d t.

Teraz zamiast k postawić na równość M = k wyraz formy b: d t. To pozwala nam dojść do równości M = a b: d t. Na t=1 możemy otrzymać najmniejszą dodatnią wspólną wielokrotność a i b , równy a b: d, pod warunkiem, że liczby a i b pozytywny.

Udowodniliśmy więc, że LCM (a , b) = a b: NWD (a,b).

Nawiązanie połączenia między LCM a GCD pozwala znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność przez największy wspólny dzielnik dwóch lub więcej podanych liczb.

Definicja 3

Twierdzenie ma dwie ważne konsekwencje:

  • wielokrotności najmniejszej wspólnej wielokrotności dwóch liczb są takie same jak wspólne wielokrotności tych dwóch liczb;
  • najmniejsza wspólna wielokrotność względnie pierwszych liczb dodatnich a i b jest równa ich iloczynowi.

Nietrudno uzasadnić te dwa fakty. Każda wspólna wielokrotność M liczb a i b jest określona przez równość M = LCM (a, b) t dla pewnej liczby całkowitej t. Ponieważ a i b są względnie pierwsze, to gcd (a, b) = 1, zatem LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.

Najmniejsza wspólna wielokrotność trzech lub więcej liczb

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność kilku liczb, należy kolejno znaleźć LCM dwóch liczb.

Twierdzenie 2

Udawajmy, że a 1 , a 2 , … , a k to kilka dodatnich liczb całkowitych. Aby obliczyć LCM mk te liczby, musimy kolejno obliczyć m2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(mk-1 , ak) .

Dowód 2

Pierwszy wniosek z pierwszego twierdzenia omawianego w tym temacie pomoże nam udowodnić poprawność drugiego twierdzenia. Rozumowanie budowane jest według następującego algorytmu:

  • wspólne wielokrotności liczb 1 oraz 2 pokrywają się z wielokrotnościami ich LCM, w rzeczywistości pokrywają się z wielokrotnościami liczby m2;
  • wspólne wielokrotności liczb 1, 2 oraz 3 m2 oraz 3 m 3;
  • wspólne wielokrotności liczb a 1 , a 2 , … , a k pokrywają się ze wspólnymi wielokrotnościami liczb mk - 1 oraz K, zatem pokrywają się z wielokrotnościami liczby mk;
  • ze względu na fakt, że najmniejsza dodatnia wielokrotność liczby mk to sama liczba mk, to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb a 1 , a 2 , … , a k jest mk.

Udowodniliśmy więc twierdzenie.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter



















Wstecz do przodu

Uwaga! Podgląd slajdu służy wyłącznie do celów informacyjnych i może nie przedstawiać pełnego zakresu prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.

Dzięki koncepcji największego wspólnego dzielnika (GCD) i najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) uczniowie szkół średnich spotykają się w szóstej klasie. Ten temat jest zawsze trudny do opanowania. Dzieci często mylą te pojęcia, nie rozumieją, dlaczego należy je studiować. Ostatnio w literaturze popularnonaukowej pojawiają się osobne stwierdzenia, że ​​materiał ten należy wyłączyć z programu szkolnego. Myślę, że nie jest to do końca prawdą i konieczne jest studiowanie tego, jeśli nie w klasie, to w czasie pozalekcyjnym w klasie części szkolnej, ponieważ przyczynia się to do rozwoju logicznego myślenia uczniów, zwiększając szybkość operacji obliczeniowych i umiejętność rozwiązywania problemów pięknymi metodami.

Studiując temat „Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach” uczymy dzieci znajdowania wspólnego mianownika dwóch lub więcej liczb. Na przykład musisz dodać ułamki 1/3 i 1/5. Uczniowie mogą łatwo znaleźć liczbę podzielną bez reszty przez 3 i 5. Ta liczba to 15. Rzeczywiście, jeśli liczby są małe, ich wspólny mianownik jest łatwy do znalezienia, dobrze znając tabliczkę mnożenia. Jeden z chłopaków zauważa, że ​​ta liczba jest iloczynem liczb 3 i 5. Dzieci uważają, że w ten sposób zawsze można znaleźć wspólny mianownik liczb. Na przykład odejmij ułamki 7/18 i 5/24. Znajdźmy iloczyn liczb 18 i 24. Jest równy 432. Otrzymaliśmy już dużą liczbę i jeśli trzeba wykonać dalsze obliczenia (szczególnie dla przykładów dla wszystkich działań), wzrasta prawdopodobieństwo błędu. Ale znaleziona najmniejsza wspólna wielokrotność liczb (LCM), która w tym przypadku jest równoważna najmniejszemu wspólnemu mianownikowi (LCD) - liczbie 72 - znacznie ułatwi obliczenia i doprowadzi do szybszego rozwiązania przykładu, a tym samym zaoszczędzi czas przydzielone do tego zadania, które odgrywa ważną rolę w wykonaniu testu końcowego, pracy kontrolnej, zwłaszcza podczas końcowej certyfikacji.

Studiując temat „Redukcja ułamków”, możesz poruszać się sukcesywnie, dzieląc licznik i mianownik ułamka przez tę samą liczbę naturalną, używając znaków podzielności liczb, ostatecznie uzyskując ułamek nieredukowalny. Na przykład musisz zmniejszyć ułamek 128/344. Najpierw dzielimy licznik i mianownik ułamka przez liczbę 2, otrzymujemy ułamek 64/172. Jeszcze raz dzielimy licznik i mianownik otrzymanego ułamka przez 2, otrzymujemy ułamek 32/86. Podziel jeszcze raz licznik i mianownik ułamka przez 2, otrzymamy ułamek nierozkładalny 16/43. Ale redukcja ułamków może być znacznie łatwiejsza, jeśli znajdziemy największy wspólny dzielnik liczb 128 i 344. NWD (128, 344) = 8. Dzieląc licznik i mianownik ułamka przez tę liczbę, od razu otrzymujemy ułamek nieredukowalny.

Pokaż dzieciom różne sposoby znajdowania największego wspólnego dzielnika (NWD) i najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) liczb. W prostych przypadkach wygodnie jest znaleźć największy wspólny dzielnik (GCD) i najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) liczb za pomocą prostego wyliczenia. Gdy liczby stają się większe, można użyć czynników pierwszych. Podręcznik szóstej klasy (autor N.Ya. Vilenkin) pokazuje następującą metodę znajdowania największego wspólnego dzielnika (NWD) liczb. Rozłóżmy liczby na czynniki pierwsze:

  • 16 = 2*2*2*2
  • 120 = 2*2*2*3*5

Następnie z czynników zawartych w rozwinięciu jednej z tych liczb wykreślamy te, które nie są uwzględnione w rozwinięciu drugiej liczby. Iloczyn pozostałych czynników będzie największym wspólnym dzielnikiem tych liczb. W tym przypadku liczba ta wynosi 8. Z własnego doświadczenia byłem przekonany, że dla dzieci bardziej zrozumiałe jest podkreślenie tych samych czynników w rozwinięciach liczb, a następnie w jednym z rozwinięć znajdujemy iloczyn podkreślonego czynniki. To największy wspólny dzielnik tych liczb. W szóstej klasie dzieci są aktywne i dociekliwe. Możesz postawić im następujące zadanie: spróbuj w opisany sposób znaleźć największy wspólny dzielnik liczb 343 i 287. Nie jest od razu jasne, jak rozłożyć je na czynniki pierwsze. I tutaj możesz im opowiedzieć o wspaniałej metodzie wymyślonej przez starożytnych Greków, która pozwala na poszukiwanie największego wspólnego dzielnika (GCD) bez rozkładania na czynniki pierwsze. Ta metoda znajdowania największego wspólnego dzielnika została po raz pierwszy opisana w Elementach Euklidesa. Nazywa się to algorytmem Euklidesa. Składa się z następujących czynności: Najpierw podziel większą liczbę przez mniejszą. Jeśli jest reszta, podziel mniejszą liczbę przez resztę. Jeśli reszta zostanie uzyskana ponownie, podziel pierwszą resztę przez drugą. Więc kontynuuj dzielenie, aż reszta wyniesie zero. Ostatni dzielnik jest największym wspólnym dzielnikiem (NWD) tych liczb.

Wróćmy do naszego przykładu i dla jasności zapiszmy rozwiązanie w postaci tabeli.

Dywidenda Rozdzielacz Prywatny Reszta
343 287 1 56
287 56 5 7
56 7 8 0

Więc gcd(344,287) = 7

A jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) tych samych liczb? Czy jest na to jakiś sposób, który nie wymaga wstępnego rozkładu tych liczb na czynniki pierwsze? Okazuje się, że istnieje, i to bardzo prosty. Musimy pomnożyć te liczby i podzielić iloczyn przez największy wspólny dzielnik (NWD), który znaleźliśmy. W tym przykładzie iloczyn liczb to 98441. Podziel go przez 7 i uzyskaj liczbę 14063. LCM(343,287) = 14063.

Jednym z trudnych tematów matematyki jest rozwiązywanie zadań tekstowych. Niezbędne jest pokazanie uczniom, jak wykorzystując pojęcia „największego wspólnego dzielnika (GCD)” i „najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM)” można rozwiązywać problemy, które czasami są trudne do rozwiązania w zwykły sposób. Tutaj należy rozważyć z uczniami, wraz z zadaniami proponowanymi przez autorów podręcznika szkolnego, stare i zabawne zadania, które rozwijają ciekawość dzieci i zwiększają zainteresowanie studiowaniem tego tematu. Umiejętne opanowanie tych pojęć pozwala uczniom dostrzec piękne rozwiązanie niestandardowego problemu. A jeśli nastrój dziecka poprawia się po rozwiązaniu dobrego problemu, jest to oznaką udanej pracy.

Tak więc badanie w szkole takich pojęć, jak „największy wspólny dzielnik (GCD)” i „najmniejsza wspólna wielokrotność (LCD)” liczb

Pozwala zaoszczędzić czas przeznaczony na wykonanie pracy, co prowadzi do znacznego wzrostu wolumenu wykonywanych zadań;

Zwiększa szybkość i dokładność operacji arytmetycznych, co prowadzi do znacznego zmniejszenia liczby dopuszczalnych błędów obliczeniowych;

Pozwala znaleźć piękne sposoby rozwiązywania niestandardowych problemów tekstowych;

Rozwija ciekawość uczniów, poszerza ich horyzonty;

Tworzy warunki do kształcenia wszechstronnej osobowości twórczej.

Największa liczba naturalna, przez którą liczby a i b są podzielne bez reszty, nazywa się Największy wspólny dzielnik te liczby. Oznacz GCD(a, b).

Rozważ znalezienie NWD na przykładzie dwóch liczb naturalnych 18 i 60:

  • 1 Rozłóżmy liczby na czynniki pierwsze:
    18 = 2×3×3
    60 = 2×2×3×5
  • 2 Usuń z rozwinięcia pierwszej liczby wszystkie czynniki, które nie są uwzględnione w rozwinięciu drugiej liczby, otrzymujemy 2×3×3 .
  • 3 Po wykreśleniu mnożymy pozostałe czynniki pierwsze i otrzymujemy największy wspólny dzielnik liczb: gcd ( 18 , 60 )=2×3= 6 .
  • 4 Zauważ, że nie ma znaczenia od pierwszej czy drugiej liczby skreślamy czynniki, wynik będzie taki sam:
    18 = 2×3×3
    60 = 2×2×3×5
    • 324 , 111 oraz 432

    Rozłóżmy liczby na czynniki pierwsze:

    324 = 2×2×3×3×3×3

    111 = 3×37

    432 = 2×2×2×2×3×3×3

    Usuń z pierwszej liczby, której czynniki nie znajdują się w drugiej i trzeciej liczbie, otrzymujemy:

    2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

    W wyniku GCD( 324 , 111 , 432 )=3

    Znajdowanie GCD za pomocą algorytmu Euklidesa

    Drugi sposób na znalezienie największego wspólnego dzielnika za pomocą Algorytm Euklidesa. Algorytm Euklidesa to najskuteczniejszy sposób znajdowania GCD, używając go musisz ciągle znajdować resztę z dzielenia liczb i zastosować powtarzająca się formuła.

    Formuła cykliczna dla GCD, gcd(a, b)=gcd(b, mod b), gdzie mod b to reszta z dzielenia a przez b.

    Algorytm Euklidesa
    Przykład Znajdź największy wspólny dzielnik liczb 7920 oraz 594

    Znajdźmy GCD( 7920 , 594 ) korzystając z algorytmu Euclid, obliczymy resztę z dzielenia za pomocą kalkulatora.

  • NWD( 7920 , 594 )
  • NWD( 594 , 7920 mod 594 ) = gcd( 594 , 198 )
  • NWD( 198 , 594 mod 198 ) = gcd( 198 , 0 )
  • NWD( 198 , 0 ) = 198
    • 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
    • 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0

      • W rezultacie otrzymujemy GCD( 7920 , 594 ) = 198

      Najmniejsza wspólna wielokrotność

      Aby znaleźć wspólny mianownik podczas dodawania i odejmowania ułamków o różnych mianownikach, musisz znać i umieć obliczyć najmniejsza wspólna wielokrotność(NOC).

      Wielokrotność liczby „a” to liczba, która sama jest podzielna przez liczbę „a” bez reszty.

      Liczby będące wielokrotnościami 8 (czyli te liczby zostaną podzielone przez 8 bez reszty): są to liczby 16, 24, 32 ...

      Wielokrotność 9: 18, 27, 36, 45…

      Istnieje nieskończenie wiele wielokrotności danej liczby a, w przeciwieństwie do dzielników tej samej liczby. Dzielniki - liczba skończona.

      Wspólna wielokrotność dwóch liczb naturalnych to liczba podzielna przez obie te liczby..

      Najmniejsza wspólna wielokrotność(LCM) dwóch lub więcej liczb naturalnych to najmniejsza liczba naturalna, która sama jest podzielna przez każdą z tych liczb.

      Jak znaleźć NOC

      LCM można znaleźć i napisać na dwa sposoby.

      Pierwszy sposób na znalezienie LCM

      Ta metoda jest zwykle używana do małych liczb.

    1. Piszemy wielokrotności dla każdej liczby w wierszu, aż pojawi się wielokrotność, która jest taka sama dla obu liczb.
    2. Wielokrotność liczby „a” jest oznaczona dużą literą „K”.

    Przykład. Znajdź LCM 6 i 8.

    Drugi sposób na znalezienie LCM

    Ta metoda jest wygodna w użyciu, aby znaleźć LCM dla trzech lub więcej liczb.

    Liczba identycznych czynników w rozwinięciach liczb może być różna.

  • W rozwinięciu mniejszej liczby (mniejszych liczb) podkreśl czynniki, które nie zostały uwzględnione w rozwinięciu większej liczby (w naszym przykładzie jest to 2) i dodaj te czynniki do rozwinięcia większej liczby.
    LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2
  • Zapisz wynikową pracę w odpowiedzi.
    Odpowiedź: LCM (24, 60) = 120

    • Możesz również sformalizować znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) w następujący sposób. Znajdźmy LCM (12, 16, 24) .

    24 = 2 2 2 3

    Jak widać z rozwinięcia liczb, wszystkie czynniki 12 są uwzględnione w rozwinięciu 24 (największa z liczb), więc dodajemy tylko jeden 2 z rozwinięcia liczby 16 do LCM.

    LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

    Odpowiedź: LCM (12, 16, 24) = 48

    Szczególne przypadki znajdowania NOC

  • Jeżeli jedna z liczb jest podzielna równomiernie przez pozostałe, to najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb jest równa tej liczbie.

    • Na przykład LCM(60, 15) = 60
    Ponieważ liczby względnie pierwsze nie mają wspólnych dzielników pierwszych, ich najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa iloczynowi tych liczb.

    Na naszej stronie możesz również skorzystać ze specjalnego kalkulatora, aby znaleźć najmniej wspólną wielokrotność online, aby sprawdzić swoje obliczenia.

    Jeśli liczba naturalna jest podzielna tylko przez 1 i samą siebie, nazywa się ją liczbą pierwszą.

    Każda liczba naturalna jest zawsze podzielna przez 1 i samą siebie.

    Liczba 2 jest najmniejszą liczbą pierwszą. To jedyna parzysta liczba pierwsza, reszta liczb pierwszych jest nieparzysta.

    Istnieje wiele liczb pierwszych, a pierwszą z nich jest liczba 2. Nie ma jednak ostatniej liczby pierwszej. W sekcji „Do nauki” możesz pobrać tabelę liczb pierwszych do 997.

    Ale wiele liczb naturalnych jest równo podzielnych przez inne liczby naturalne.

    • liczba 12 jest podzielna przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12;
    • 36 jest podzielne przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12, przez 18, przez 36.

      • Liczby, według których liczba jest podzielna (dla 12 są to 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazywamy dzielnikami liczby.

      Dzielnikiem liczby naturalnej a jest taka liczba naturalna, która dzieli daną liczbę „a” bez reszty.

      Liczba naturalna, która ma więcej niż dwa czynniki, nazywana jest liczbą złożoną.

      Zauważ, że liczby 12 i 36 mają wspólne dzielniki. Są to liczby: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Największym dzielnikiem tych liczb jest 12.

      Wspólnym dzielnikiem dwóch danych liczb „a” i „b” jest liczba, przez którą dzielone są obie liczby „a” i „b” bez reszty.

      Największy wspólny dzielnik(NWD) dwóch danych liczb „a” i „b” jest największą liczbą, przez którą obie liczby „a” i „b” są podzielne bez reszty.

      Krótko mówiąc, największy wspólny dzielnik liczb „a” i „b” jest zapisany w następujący sposób::

      Przykład: gcd (12; 36) = 12 .

      Dzielniki liczb w rekordzie rozwiązania są oznaczone dużą literą „D”.

      Liczby 7 i 9 mają tylko jeden wspólny dzielnik – liczbę 1. Takie liczby nazywają się liczby względnie pierwsze.

      Liczby względnie pierwsze to liczby naturalne, które mają tylko jeden wspólny dzielnik – liczbę 1. Ich GCD to 1.

      Jak znaleźć największy wspólny dzielnik

      Aby znaleźć gcd dwóch lub więcej liczb naturalnych, potrzebujesz:

    • rozłożyć dzielniki liczb na czynniki pierwsze;

      • Obliczenia są wygodnie pisane za pomocą pionowej kreski. Po lewej stronie linii najpierw zapisz dywidendę, po prawej - dzielnik. Dalej w lewej kolumnie wpisujemy wartości prywatne.

      Wyjaśnijmy od razu na przykładzie. Rozłóżmy liczby 28 i 64 na czynniki pierwsze.

      Podkreśl te same czynniki pierwsze w obu liczbach.
      28 = 2 2 7

    64 = 2 2 2 2 2 2
    Znajdujemy iloczyn identycznych czynników pierwszych i zapisujemy odpowiedź;
    NPK (28; 64) = 2 2 = 4

    Odpowiedź: NWD (28; 64) = 4

    Możesz ustawić lokalizację GCD na dwa sposoby: w kolumnie (jak zrobiono powyżej) lub „w linii”.

    Pierwszy sposób na napisanie GCD

    Znajdź GCD 48 i 36.

    GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

    Drugi sposób pisania GCD

    Napiszmy teraz rozwiązanie wyszukiwania GCD w linii. Znajdź GCD 10 i 15.

    Na naszej stronie informacyjnej możesz również znaleźć największy wspólny dzielnik online, korzystając z programu pomocniczego, aby sprawdzić swoje obliczenia.

    Znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności, metody, przykłady znajdowania LCM.

    Przedstawiony poniżej materiał jest logiczną kontynuacją teorii z artykułu pod nagłówkiem LCM - Least Common Multiple, definicja, przykłady, związek między LCM a GCD. Tutaj porozmawiamy znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) i zwróć szczególną uwagę na rozwiązywanie przykładów. Najpierw pokażmy, w jaki sposób LCM dwóch liczb jest obliczany w kategoriach NWD tych liczb. Następnie rozważ znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Następnie skupimy się na znalezieniu LCM trzech lub więcej liczb, a także zwrócimy uwagę na obliczanie LCM liczb ujemnych.

    Nawigacja po stronach.

    Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) przez gcd

    Jednym ze sposobów znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest związek między LCM a GCD. Istniejąca zależność między LCM a NWD pozwala obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych przez znany największy wspólny dzielnik. Odpowiednia formuła ma postać LKM(a, b)=a b: LKM(a, b). Rozważ przykłady znalezienia LCM zgodnie z powyższym wzorem.

    Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb 126 i 70 .

    W tym przykładzie a=126 , b=70 . Użyjmy powiązania LCM z GCD, które wyraża się wzorem LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Oznacza to, że najpierw musimy znaleźć największy wspólny dzielnik liczb 70 i 126, po czym możemy obliczyć LCM tych liczb zgodnie z zapisanym wzorem.

    Znajdź gcd(126, 70) używając algorytmu Euclida: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , stąd gcd(126, 70)=14 .

    Teraz znajdujemy wymaganą najmniejszą wspólną wielokrotność: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .

    Co to jest LCM(68, 34)?

    Ponieważ 68 jest podzielne przez 34 , to gcd(68, 34)=34 . Teraz obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .

    Zauważ, że poprzedni przykład pasuje do następującej zasady znajdowania LCM dla dodatnich liczb całkowitych aib: jeśli liczba a jest podzielna przez b , najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb jest a .

    Znalezienie LCM przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze

    Innym sposobem znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Jeśli zrobimy iloczyn wszystkich czynników pierwszych tych liczb, po czym wykluczymy z tego iloczynu wszystkie wspólne czynniki pierwsze, które są obecne w rozwinięciach tych liczb, to otrzymany iloczyn będzie równy najmniejszej wspólnej wielokrotności tych liczb.

    Ogłoszona reguła znajdowania LCM wynika z równości LCM(a, b)=a b: NWD(a, b) . Rzeczywiście, iloczyn liczb a i b jest równy iloczynowi wszystkich czynników zaangażowanych w rozwinięcia liczb a i b. Z kolei nwd(a, b) jest równe iloczynowi wszystkich czynników pierwszych, które są jednocześnie obecne w rozwinięciach liczb a i b (co jest opisane w rozdziale dotyczącym znajdowania gcd przy użyciu rozkładu liczb na czynniki pierwsze ).

    Weźmy przykład. Wiedzmy, że 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Skomponuj iloczyn wszystkich czynników tych rozszerzeń: 2 3 3 5 5 5 7 . Teraz wykluczamy z tego iloczynu wszystkie czynniki, które są obecne zarówno w rozwinięciu liczby 75, jak iw rozwinięciu liczby 210 (takie czynniki to 3 i 5), wtedy iloczyn przyjmie postać 2 3 5 5 7 . Wartość tego iloczynu jest równa najmniejszej wspólnej wielokrotności 75 i 210 , czyli LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .

    Po rozłożeniu liczb 441 i 700 na czynniki pierwsze, znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb.

    Rozłóżmy liczby 441 i 700 na czynniki pierwsze:

    Otrzymujemy 441=3 3 7 7 i 700=2 2 5 5 7 .

    Teraz zróbmy iloczyn wszystkich czynników związanych z rozwinięciami tych liczb: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Wykluczmy z tego iloczynu wszystkie czynniki, które występują jednocześnie w obu rozwinięciach (jest tylko jeden taki czynnik - jest to liczba 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Zatem LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .

    LCM(441,700)=44100.

    Nieco inaczej można sformułować zasadę znajdowania LCM za pomocą rozkładu liczb na czynniki pierwsze. Jeśli dodamy brakujące czynniki z rozwinięcia liczby b do czynników z rozwinięcia liczby a, to wartość otrzymanego iloczynu będzie równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb a i b.

    Na przykład weźmy te same liczby 75 i 210, ich rozwinięcia na czynniki pierwsze są następujące: 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Do czynników 3, 5 i 5 z rozkładu liczby 75 dodajemy brakujące czynniki 2 i 7 z rozkładu liczby 210, otrzymujemy iloczyn 2 3 5 5 7 , którego wartość to LCM(75 , 210).

    Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność 84 i 648.

    Najpierw otrzymujemy rozkład liczb 84 i 648 na czynniki pierwsze. Wyglądają jak 84=2 2 3 7 i 648=2 2 2 3 3 3 3 . Do czynników 2 , 2 , 3 i 7 z rozkładu liczby 84 dodajemy brakujące czynniki 2 , 3 , 3 i 3 z rozkładu liczby 648 , otrzymujemy iloczyn 2 2 2 3 3 3 3 7 , co jest równe 4 536 . Zatem pożądana najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 84 i 648 wynosi 4536.

    Znalezienie LCM trzech lub więcej liczb

    Najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można znaleźć, kolejno znajdując LCM dwóch liczb. Przypomnij sobie odpowiednie twierdzenie, które pozwala znaleźć LCM trzech lub więcej liczb.

    Niech zostaną podane liczby całkowite dodatnie a 1 , a 2 , …, a k, najmniej wspólna wielokrotność m k tych liczb zostanie znaleziona w obliczeniu sekwencyjnym m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

    Rozważ zastosowanie tego twierdzenia na przykładzie znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności czterech liczb.

    Znajdź LCM czterech liczb 140 , 9 , 54 i 250 .

    Najpierw znajdujemy m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9 ). Aby to zrobić, używając algorytmu Euklidesa, wyznaczamy gcd(140,9) , mamy 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , zatem gcd( 140,9)=1, skąd LCM(140,9)=1409: GCD(140,9)=140 9:1=1 260. Czyli m 2 =1 260 .

    Teraz znajdujemy m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . Obliczmy to za pomocą gcd(1 260, 54) , które jest również określone przez algorytm Euklidesa: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Wtedy gcd(1 260, 54)=18 , skąd LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd (1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Oznacza to, że m 3 \u003d 3 780.

    Pozostaje znaleźć m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) . Aby to zrobić, znajdujemy GCD(3 780, 250) za pomocą algorytmu Euclid: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Zatem gcd(3 780, 250)=10 , stąd LCM(3 780, 250)= 3 780 250: gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Oznacza to, że m 4 \u003d 94 500.

    Tak więc najmniejsza wspólna wielokrotność pierwotnych czterech liczb to 94500.

    LCM(140,9,54,250)=94500.

    W wielu przypadkach najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można wygodnie znaleźć za pomocą faktoryzacji liczb pierwszych. W takim przypadku należy przestrzegać następującej zasady. Najmniejsza wspólna wielokrotność kilku liczb jest równa iloczynowi, który składa się w następujący sposób: brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby dodawane są do wszystkich czynników z rozwinięcia pierwszej liczby, brakujące czynniki z rozwinięcia liczby pierwszej trzecia liczba jest dodawana do uzyskanych współczynników i tak dalej.

    Rozważ przykład znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności przy użyciu rozkładu liczb na czynniki pierwsze.

    Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność pięciu liczb 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

    Najpierw dokonujemy dekompozycji tych liczb na czynniki pierwsze: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 jest liczbą pierwszą, pokrywa się z jej rozkładem na czynniki pierwsze) oraz 143=1113.

    Aby znaleźć LCM tych liczb, do czynników pierwszej liczby 84 (są to 2 , 2 , 3 i 7) należy dodać brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby 6 . Rozwinięcie liczby 6 nie zawiera brakujących czynników, ponieważ zarówno 2, jak i 3 są już obecne w rozwinięciu pierwszej liczby 84 . Oprócz czynników 2 , 2 , 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 2 i 2 z rozwinięcia trzeciej liczby 48 , otrzymujemy zestaw czynników 2 , 2 , 2 , 2 , 3 i 7 . Nie ma potrzeby dodawania czynników do tego zestawu w następnym kroku, ponieważ 7 jest już w nim zawarte. Na koniec do czynników 2 , 2 , 2 , 2 , 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 11 i 13 z rozwinięcia liczby 143 . Otrzymujemy iloczyn 2 2 2 2 3 7 11 13 , który jest równy 48 048 .

    Dlatego LCM(84,6,48,7,143)=48048.

    LCM(84,6,48,7,143)=48048.

    Znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb ujemnych

    Czasami zdarzają się zadania, w których trzeba znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb, wśród których jedna, kilka lub wszystkie liczby są ujemne. W takich przypadkach wszystkie liczby ujemne należy zastąpić ich liczbami przeciwstawnymi, po czym należy znaleźć LCM liczb dodatnich. W ten sposób można znaleźć LCM liczb ujemnych. Na przykład LCM(54, -34)=LCM(54, 34) i LCM(-622, -46, -54, -888)= LCM(622, 46, 54, 888) .

    Możemy to zrobić, ponieważ zbiór wielokrotności a jest taki sam jak zbiór wielokrotności −a (a i −a są liczbami przeciwstawnymi). Rzeczywiście, niech b będzie pewną wielokrotnością a , wtedy b jest podzielne przez a , a pojęcie podzielności zakłada istnienie takiej liczby całkowitej q , że b=a q . Ale równość b=(−a)·(−q) również będzie prawdziwa, co na mocy tego samego pojęcia podzielności oznacza, że ​​b jest podzielne przez −a , czyli b jest wielokrotnością −a . Odwrotne stwierdzenie jest również prawdziwe: jeśli b jest pewną wielokrotnością −a , to b jest również wielokrotnością a .

    Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność liczb ujemnych -145 i -45.

    Zamieńmy liczby ujemne -145 i -45 na ich przeciwne liczby 145 i 45 . Mamy LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Po wyznaczeniu gcd(145, 45)=5 (np. za pomocą algorytmu Euclid) obliczamy LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Zatem najmniejsza wspólna wielokrotność ujemnych liczb całkowitych -145 i -45 wynosi 1,305 .

    www.cleversstudents.ru

    Kontynuujemy naukę dywizji. W tej lekcji przyjrzymy się takim pojęciom jak GCD oraz NOC.

    GCD jest największym wspólnym dzielnikiem.

    NOC jest najmniejszą wspólną wielokrotnością.

    Temat jest dość nudny, ale trzeba go zrozumieć. Bez zrozumienia tego tematu nie będziesz w stanie efektywnie pracować z ułamkami, które są prawdziwą przeszkodą w matematyce.

    Największy wspólny dzielnik

    Definicja. Największy wspólny dzielnik liczb a oraz b a oraz b podzielone bez reszty.

    Aby dobrze zrozumieć tę definicję, podstawiamy zamiast zmiennych a oraz b na przykład dowolne dwie liczby zamiast zmiennej a zastąp liczbę 12, a zamiast zmiennej b numer 9. Teraz spróbujmy przeczytać tę definicję:

    Największy wspólny dzielnik liczb 12 oraz 9 to największa liczba, o jaką 12 oraz 9 podzielone bez reszty.

    Z definicji jasno wynika, że ​​mówimy o wspólnym dzielniku liczb 12 i 9, a ten dzielnik jest największym ze wszystkich istniejących dzielników. Trzeba znaleźć ten największy wspólny dzielnik (gcd).

    Aby znaleźć największy wspólny dzielnik dwóch liczb, stosuje się trzy metody. Pierwsza metoda jest dość czasochłonna, ale pozwala dobrze zrozumieć istotę tematu i odczuć jego całe znaczenie.

    Druga i trzecia metoda są dość proste i umożliwiają szybkie znalezienie GCD. Rozważymy wszystkie trzy metody. A co zastosować w praktyce – Ty wybierasz.

    Pierwszym sposobem jest znalezienie wszystkich możliwych dzielników dwóch liczb i wybranie największej z nich. Rozważmy tę metodę w następującym przykładzie: znajdź największy wspólny dzielnik liczb 12 i 9.

    Najpierw znajdujemy wszystkie możliwe dzielniki liczby 12. W tym celu dzielimy 12 na wszystkie dzielniki w zakresie od 1 do 12. Jeśli dzielnik pozwala na dzielenie 12 bez reszty, to podświetlimy ją na niebiesko i zrobimy odpowiednie wyjaśnienie w nawiasach.

    12: 1 = 12
    (12 podzielone przez 1 bez reszty, więc 1 jest dzielnikiem 12)

    12: 2 = 6
    (12 podzielone przez 2 bez reszty, więc 2 jest dzielnikiem 12)

    12: 3 = 4
    (12 podzielone przez 3 bez reszty, więc 3 jest dzielnikiem 12)

    12: 4 = 3
    (12 podzielone przez 4 bez reszty, więc 4 jest dzielnikiem 12)

    12:5 = 2 (2 po lewej)
    (12 nie jest dzielone przez 5 bez reszty, więc 5 nie jest dzielnikiem 12)

    12: 6 = 2
    (12 podzielone przez 6 bez reszty, więc 6 jest dzielnikiem 12)

    12: 7 = 1 (5 po lewej)
    (12 nie jest dzielone przez 7 bez reszty, więc 7 nie jest dzielnikiem 12)

    12: 8 = 1 (4 po lewej)
    (12 nie jest dzielone przez 8 bez reszty, więc 8 nie jest dzielnikiem 12)

    12:9 = 1 (3 po lewej)
    (12 nie jest dzielone przez 9 bez reszty, więc 9 nie jest dzielnikiem 12)

    12: 10 = 1 (2 po lewej)
    (12 nie jest dzielone przez 10 bez reszty, więc 10 nie jest dzielnikiem 12)

    12:11 = 1 (1 pozostało)
    (12 nie jest dzielone przez 11 bez reszty, więc 11 nie jest dzielnikiem 12)

    12: 12 = 1
    (12 podzielone przez 12 bez reszty, więc 12 jest dzielnikiem 12)

    Teraz znajdźmy dzielniki liczby 9. Aby to zrobić, sprawdź wszystkie dzielniki od 1 do 9

    9: 1 = 9
    (9 podzielone przez 1 bez reszty, więc 1 jest dzielnikiem 9)

    9: 2 = 4 (1 po lewej)
    (9 nie jest dzielone przez 2 bez reszty, więc 2 nie jest dzielnikiem 9)

    9: 3 = 3
    (9 podzielone przez 3 bez reszty, więc 3 jest dzielnikiem 9)

    9: 4 = 2 (1 po lewej)
    (9 nie jest dzielone przez 4 bez reszty, więc 4 nie jest dzielnikiem 9)

    9:5 = 1 (4 po lewej)
    (9 nie jest dzielone przez 5 bez reszty, więc 5 nie jest dzielnikiem 9)

    9: 6 = 1 (3 po lewej)
    (9 nie jest dzielone przez 6 bez reszty, więc 6 nie jest dzielnikiem 9)

    9:7 = 1 (2 po lewej)
    (9 nie jest dzielone przez 7 bez reszty, więc 7 nie jest dzielnikiem 9)

    9:8 = 1 (1 po lewej)
    (9 nie jest dzielone przez 8 bez reszty, więc 8 nie jest dzielnikiem 9)

    9: 9 = 1
    (9 podzielone przez 9 bez reszty, więc 9 jest dzielnikiem 9)

    Zapisz teraz dzielniki obu liczb. Liczby podświetlone na niebiesko to dzielniki. Wypiszmy je:

    Po wypisaniu dzielników możesz od razu określić, który z nich jest największy i najczęstszy.

    Z definicji największym wspólnym dzielnikiem 12 i 9 jest liczba, przez którą 12 i 9 są podzielne równomiernie. Największym i wspólnym dzielnikiem liczb 12 i 9 jest liczba 3

    Zarówno liczba 12, jak i 9 są podzielne przez 3 bez reszty:

    Więc gcd (12 i 9) = 3

    Drugi sposób na znalezienie GCD

    Rozważmy teraz drugi sposób na znalezienie największego wspólnego dzielnika. Istotą tej metody jest rozłożenie obu liczb na czynniki pierwsze i pomnożenie wspólnych.

    Przykład 1. Znajdź NWD liczb 24 i 18

    Najpierw podzielmy obie liczby na czynniki pierwsze:

    Teraz mnożymy ich wspólne czynniki. Aby się nie pomylić, można podkreślić wspólne czynniki.

    Patrzymy na rozkład liczby 24. Pierwszym czynnikiem jest 2. Szukamy tego samego czynnika w dekompozycji liczby 18 i widzimy, że on również tam jest. Podkreślamy obie dwójki:

    Ponownie patrzymy na rozkład liczby 24. Drugim czynnikiem jest również 2. Szukamy tego samego czynnika w dekompozycji liczby 18 i widzimy, że nie ma jej tam po raz drugi. Wtedy niczego nie podkreślamy.

    Kolejnych dwóch w rozszerzeniu liczby 24 brakuje również w rozszerzeniu liczby 18.

    Przechodzimy do ostatniego czynnika w dekompozycji liczby 24. To jest czynnik 3. Szukamy tego samego czynnika w dekompozycji liczby 18 i widzimy, że on też tam jest. Podkreślamy obie trójki:

    Zatem wspólne dzielniki liczb 24 i 18 to czynniki 2 i 3. Aby uzyskać NWD, należy pomnożyć te czynniki:

    Więc gcd (24 i 18) = 6

    Trzeci sposób na znalezienie GCD

    Rozważmy teraz trzeci sposób na znalezienie największego wspólnego dzielnika. Istota tej metody polega na tym, że liczby do wyszukania dla największego wspólnego dzielnika rozkłada się na czynniki pierwsze. Następnie z dekompozycji pierwszej liczby usuwane są czynniki, które nie są uwzględnione w dekompozycji drugiej liczby. Pozostałe liczby w pierwszym rozszerzeniu są mnożone i otrzymują GCD.

    Na przykład znajdźmy w ten sposób NWD dla liczb 28 i 16. Przede wszystkim rozkładamy te liczby na czynniki pierwsze:

    Mamy dwa rozszerzenia: i

    Teraz z rozwinięcia pierwszej liczby usuwamy czynniki, które nie są uwzględnione w rozwinięciu drugiej liczby. Rozszerzenie drugiej liczby nie obejmuje siedmiu. Usuniemy go z pierwszego rozszerzenia:

    Teraz mnożymy pozostałe czynniki i otrzymujemy GCD:

    Liczba 4 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 28 i 16. Obie te liczby są podzielne przez 4 bez reszty:

    Przykład 2 Znajdź NWD liczb 100 i 40

    Wyciąganie liczby 100

    Wyciąganie liczby 40

    Mamy dwa rozszerzenia:

    Teraz z rozwinięcia pierwszej liczby usuwamy czynniki, które nie są uwzględnione w rozwinięciu drugiej liczby. Rozszerzenie drugiej liczby nie obejmuje jednej piątki (jest tylko jedna piątka). Usuwamy go z pierwszego rozkładu

    Pomnóż pozostałe liczby:

    Otrzymaliśmy odpowiedź 20. Zatem liczba 20 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 100 i 40. Te dwie liczby są podzielne przez 20 bez reszty:

    NPK (100 i 40) = 20.

    Przykład 3 Znajdź gcd liczb 72 i 128

    Wyciąganie liczby 72

    Wyciąganie liczby 128

    2×2×2×2×2×2×2

    Teraz z rozwinięcia pierwszej liczby usuwamy czynniki, które nie są uwzględnione w rozwinięciu drugiej liczby. Rozszerzenie drugiej liczby nie obejmuje dwóch trojaczków (nie ma ich wcale). Usuwamy je z pierwszego rozszerzenia:

    Otrzymaliśmy odpowiedź 8. Tak więc liczba 8 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 72 i 128. Te dwie liczby są podzielne przez 8 bez reszty:

    NPK (72 i 128) = 8

    Znajdowanie GCD dla wielu liczb

    Największy wspólny dzielnik można znaleźć dla kilku liczb, a nie tylko dla dwóch. W tym celu liczby do znalezienia dla największego wspólnego dzielnika rozkłada się na czynniki pierwsze, a następnie znajduje się iloczyn wspólnych czynników pierwszych tych liczb.

    Na przykład znajdźmy NWD dla liczb 18, 24 i 36

    Faktoring liczby 18

    Faktoring liczby 24

    Faktoring liczby 36

    Mamy trzy dodatki:

    Teraz wybieramy i podkreślamy wspólne czynniki w tych liczbach. Wspólne czynniki muszą być zawarte we wszystkich trzech liczbach:

    Widzimy, że wspólne dzielniki dla liczb 18, 24 i 36 to czynniki 2 i 3. Mnożąc te czynniki, otrzymujemy GCD, którego szukamy:

    Otrzymaliśmy odpowiedź 6. Tak więc liczba 6 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 18, 24 i 36. Te trzy liczby są podzielne przez 6 bez reszty:

    NPK (18, 24 i 36) = 6

    Przykład 2 Znajdź gcd dla liczb 12, 24, 36 i 42

    Rozłóżmy każdą liczbę na czynniki. Następnie znajdujemy iloczyn wspólnych czynników tych liczb.

    Faktoring liczby 12

    Faktoring liczby 42

    Mamy cztery dodatki:

    Teraz wybieramy i podkreślamy wspólne czynniki w tych liczbach. Wspólne czynniki muszą być zawarte we wszystkich czterech liczbach:

    Widzimy, że wspólne dzielniki dla liczb 12, 24, 36 i 42 to dzielniki 2 i 3. Mnożąc te czynniki, otrzymujemy GCD, którego szukamy:

    Otrzymaliśmy odpowiedź 6. Tak więc liczba 6 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 12, 24, 36 i 42. Liczby te są podzielne przez 6 bez reszty:

    gcd(12, 24, 36 i 42) = 6

    Z poprzedniej lekcji wiemy, że jeśli jakaś liczba jest dzielona przez drugą bez reszty, nazywa się to wielokrotnością tej liczby.

    Okazuje się, że wielokrotność może być wspólna dla kilku liczb. A teraz interesuje nas wielokrotność dwóch liczb, przy czym powinna ona być jak najmniejsza.

    Definicja. Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczb a oraz b- a oraz b a i numer b.

    Definicja zawiera dwie zmienne a oraz b. Zastąpmy te zmienne dowolnymi dwiema liczbami. Na przykład zamiast zmiennej a zastąp liczbę 9, a zamiast zmiennej b podstawmy liczbę 12. Teraz spróbujmy przeczytać definicję:

    Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczb 9 oraz 12 - jest najmniejszą liczbą będącą wielokrotnością 9 oraz 12 . Innymi słowy, jest to tak mała liczba, która jest podzielna bez reszty przez liczbę 9 i na numer 12 .

    Z definicji jasno wynika, że ​​LCM jest najmniejszą liczbą podzielną bez reszty przez 9 i 12. Ten LCM jest wymagany do znalezienia.

    Istnieją dwa sposoby na znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM). Pierwszy sposób polega na tym, że możesz zapisać pierwsze wielokrotności dwóch liczb, a następnie spośród tych wielokrotności wybrać taką liczbę, która będzie wspólna dla obu liczb i mała. Zastosujmy tę metodę.

    Najpierw znajdźmy pierwsze wielokrotności dla liczby 9. Aby znaleźć wielokrotności dla 9, musisz kolejno pomnożyć tę dziewiątkę przez liczby od 1 do 9. Otrzymane odpowiedzi będą wielokrotnościami liczby 9. Czyli , zaczynajmy. Wielokrotności zostaną podświetlone na czerwono:

    Teraz znajdujemy wielokrotność liczby 12. Aby to zrobić, pomnożymy 12 przez wszystkie liczby od 1 do 12.

    Kontynuujmy dyskusję na temat najmniejszej wspólnej wielokrotności, którą rozpoczęliśmy w sekcji LCM - Najmniejsza wspólna wielokrotność, definicja, przykłady. W tym temacie przyjrzymy się sposobom znalezienia LCM dla trzech liczb lub więcej, przeanalizujemy pytanie, jak znaleźć LCM liczby ujemnej.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) przez gcd

    Ustaliliśmy już relację między najmniejszą wspólną wielokrotnością a największym wspólnym dzielnikiem. Teraz nauczmy się definiować LCM poprzez GCD. Najpierw zastanówmy się, jak to zrobić dla liczb dodatnich.

    Definicja 1

    Najmniejszą wspólną wielokrotność można znaleźć przez największy wspólny dzielnik za pomocą wzoru LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

    Przykład 1

    Konieczne jest znalezienie LCM o numerach 126 i 70.

    Rozwiązanie

    Weźmy a = 126 , b = 70 . Zastąp wartości we wzorze obliczania najmniejszej wspólnej wielokrotności przez największy wspólny dzielnik LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

    Znajduje NWD liczb 70 i 126. W tym celu potrzebujemy algorytmu Euclid: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , stąd gcd (126 , 70) = 14 .

    Obliczmy LCM: LCM (126, 70) = 126 70: NWD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

    Odpowiadać: LCM (126, 70) = 630.

    Przykład 2

    Znajdź nok liczb 68 i 34.

    Rozwiązanie

    GCD w tym przypadku jest łatwe do znalezienia, ponieważ 68 jest podzielne przez 34. Oblicz najmniejszą wspólną wielokrotność, korzystając ze wzoru: LCM (68, 34) = 68 34: NWD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

    Odpowiadać: LCM(68, 34) = 68.

    W tym przykładzie zastosowaliśmy zasadę znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności dodatnich liczb całkowitych aib: jeśli pierwsza liczba jest podzielna przez drugą, to LCM tych liczb będzie równy pierwszej liczbie.

    Znalezienie LCM przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze

    Przyjrzyjmy się teraz, jak znaleźć LCM, który opiera się na rozkładzie liczb na czynniki pierwsze.

    Definicja 2

    Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, musimy wykonać kilka prostych kroków:

    • tworzymy iloczyn wszystkich czynników pierwszych liczb, dla których musimy znaleźć LCM;
    • wykluczamy wszystkie czynniki pierwsze z otrzymanych produktów;
    • iloczyn otrzymany po wyeliminowaniu wspólnych czynników pierwszych będzie równy LCM danych liczb.

    Ten sposób znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności opiera się na równości LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Jeśli spojrzysz na wzór, stanie się jasne: iloczyn liczb a i b jest równy iloczynowi wszystkich czynników, które biorą udział w ekspansji tych dwóch liczb. W tym przypadku NWD dwóch liczb jest równe iloczynowi wszystkich czynników pierwszych, które są jednocześnie obecne w faktoryzacji tych dwóch liczb.

    Przykład 3

    Mamy dwie liczby 75 i 210 . Możemy je rozłożyć w ten sposób: 75 = 3 5 5 oraz 210 = 2 3 5 7. Jeśli zrobisz iloczyn wszystkich czynników dwóch pierwotnych liczb, otrzymasz: 2 3 3 5 5 5 7.

    Jeśli wykluczymy czynniki wspólne dla liczb 3 i 5, otrzymamy iloczyn postaci: 2 3 5 5 7 = 1050. Ten produkt będzie naszym LCM dla numerów 75 i 210.

    Przykład 4

    Znajdź LCM liczb 441 oraz 700 , rozkładając obie liczby na czynniki pierwsze.

    Rozwiązanie

    Znajdźmy wszystkie czynniki pierwsze liczb podanych w warunku:

    441 147 49 7 1 3 3 7 7

    700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

    Otrzymujemy dwa łańcuchy liczb: 441 = 3 3 7 7 i 700 = 2 2 5 5 7 .

    Iloczyn wszystkich czynników, które brały udział w ekspansji tych liczb będzie wyglądał następująco: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Znajdźmy wspólne czynniki. Ta liczba to 7 . Wykluczamy go z produktu ogólnego: 2 2 3 3 5 5 7 7. Okazuje się, że NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

    Odpowiadać: LCM (441, 700) = 44 100 .

    Podajmy jeszcze jedno sformułowanie metody znajdowania LCM przez rozkład liczb na czynniki pierwsze.

    Definicja 3

    Wcześniej wykluczyliśmy z całkowitej liczby czynników wspólnych dla obu liczb. Teraz zrobimy to inaczej:

    • Rozłóżmy obie liczby na czynniki pierwsze:
    • dodaj do iloczynu czynników pierwszych pierwszej liczby brakujące czynniki drugiej liczby;
    • otrzymujemy produkt, który będzie pożądanym LCM dwóch liczb.

    Przykład 5

    Wróćmy do liczb 75 i 210 , dla których szukaliśmy już LCM w jednym z poprzednich przykładów. Podzielmy je na proste czynniki: 75 = 3 5 5 oraz 210 = 2 3 5 7. Do iloczynu czynników 3 , 5 i 5 numer 75 dodaj brakujące czynniki 2 oraz 7 numery 210 . Otrzymujemy: 2 3 5 5 7 . To jest LCM liczb 75 i 210.

    Przykład 6

    Konieczne jest obliczenie LCM liczb 84 i 648.

    Rozwiązanie

    Rozłóżmy liczby z warunku na czynniki pierwsze: 84 = 2 2 3 7 oraz 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Dodaj do iloczynu czynników 2 , 2 , 3 i 7 liczby 84 brakujące czynniki 2 , 3 , 3 i
    3 numery 648 . Otrzymujemy produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Jest to najmniejsza wspólna wielokrotność 84 i 648.

    Odpowiadać: LCM (84, 648) = 4536.

    Znalezienie LCM trzech lub więcej liczb

    Bez względu na to, z iloma liczbami mamy do czynienia, algorytm naszych działań zawsze będzie taki sam: konsekwentnie znajdziemy LCM dwóch liczb. W tym przypadku istnieje twierdzenie.

    Twierdzenie 1

    Załóżmy, że mamy liczby całkowite a 1 , a 2 , … , a k. NOC mk z tych liczb znajduje się w obliczeniach sekwencyjnych m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

    Przyjrzyjmy się teraz, w jaki sposób twierdzenie można zastosować do konkretnych problemów.

    Przykład 7

    Należy obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność czterech liczb 140 , 9 , 54 i 250 .

    Rozwiązanie

    Wprowadźmy notację: 1 \u003d 140, 2 \u003d 9, 3 \u003d 54, 4 \u003d 250.

    Zacznijmy od obliczenia m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9 ). Użyjmy algorytmu Euklidesa, aby obliczyć NWD liczb 140 i 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Otrzymujemy: NWD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: NWD(140, 9) = 140 9:1 = 1260. Dlatego m 2 = 1 260 .

    Teraz obliczmy według tego samego algorytmu m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . W trakcie obliczeń otrzymujemy m 3 = 3 780.

    Pozostaje nam obliczyć m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Działamy według tego samego algorytmu. Otrzymujemy m 4 \u003d 94 500.

    LCM czterech liczb z przykładowego warunku to 94500 .

    Odpowiadać: LCM (140, 9, 54, 250) = 94500.

    Jak widać obliczenia są proste, ale dość pracochłonne. Aby zaoszczędzić czas, możesz iść w drugą stronę.

    Definicja 4

    Oferujemy następujący algorytm działania:

    • rozłożyć wszystkie liczby na czynniki pierwsze;
    • do iloczynu czynników pierwszej liczby dodaj brakujące czynniki z iloczynu drugiej liczby;
    • dodaj brakujące czynniki trzeciej liczby do iloczynu otrzymanego na poprzednim etapie itp.;
    • wynikowy iloczyn będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością wszystkich liczb z warunku.

    Przykład 8

    Konieczne jest znalezienie LCM pięciu liczb 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

    Rozwiązanie

    Rozłóżmy wszystkie pięć liczb na czynniki pierwsze: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Liczby pierwsze, czyli liczba 7, nie mogą być rozłożone na czynniki pierwsze. Takie liczby pokrywają się z ich rozkładem na czynniki pierwsze.

    Teraz weźmy iloczyn czynników pierwszych 2, 2, 3 i 7 liczby 84 i dodajmy do nich brakujące czynniki drugiej liczby. Rozłożyliśmy liczbę 6 na 2 i 3. Te czynniki są już w iloczynie pierwszej liczby. Dlatego je pomijamy.

    Nadal dodajemy brakujące mnożniki. Zwracamy się do liczby 48, z iloczynu czynników pierwszych, z których bierzemy 2 i 2. Następnie dodajemy prosty czynnik 7 z czwartej liczby oraz dzielniki 11 i 13 piątej. Otrzymujemy: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Jest to najmniejsza wspólna wielokrotność z pięciu pierwotnych liczb.

    Odpowiadać: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

    Znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb ujemnych

    Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb ujemnych, liczby te należy najpierw zastąpić liczbami o przeciwnym znaku, a następnie wykonać obliczenia według powyższych algorytmów.

    Przykład 9

    LCM(54, −34) = LCM(54, 34) i LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888).

    Takie działania są dopuszczalne ze względu na to, że jeśli przyjmie się, że a oraz − a- liczby przeciwne
    następnie zbiór wielokrotności a pokrywa się ze zbiorem wielokrotności liczby − a.

    Przykład 10

    Konieczne jest obliczenie LCM liczb ujemnych − 145 oraz − 45 .

    Rozwiązanie

    Zmieńmy liczby − 145 oraz − 45 do ich przeciwnych numerów 145 oraz 45 . Teraz, korzystając z algorytmu, obliczamy LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305, po wcześniejszym określeniu GCD za pomocą algorytmu Euclid.

    Otrzymujemy, że LCM liczb − 145 i − 45 równa się 1 305 .

    Odpowiadać: LCM (-145, -45) = 1 305.

    Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter