సంఖ్యల సాధారణ గుణిజాలు. రెండు సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని ఎలా కనుగొనాలి

గణిత వ్యక్తీకరణలు మరియు పనులకు అదనపు జ్ఞానం చాలా అవసరం. ఎన్‌ఓసి ప్రధానమైన వాటిలో ఒకటి, ముఖ్యంగా టాపిక్‌లో తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ అంశం హైస్కూల్‌లో అధ్యయనం చేయబడుతుంది, మెటీరియల్‌ని అర్థం చేసుకోవడం ముఖ్యంగా కష్టం కానప్పటికీ, శక్తులు మరియు గుణకార పట్టిక గురించి తెలిసిన వ్యక్తికి ఎంచుకోవడం కష్టం కాదు. అవసరమైన సంఖ్యలు మరియు ఫలితాన్ని కనుగొనండి.

నిర్వచనం

ఒక సాధారణ గుణకం అనేది ఒకే సమయంలో పూర్తిగా రెండు సంఖ్యలుగా విభజించబడే సంఖ్య (a మరియు b). చాలా తరచుగా, ఈ సంఖ్య అసలైన సంఖ్యలను a మరియు b గుణించడం ద్వారా పొందబడుతుంది. సంఖ్య విచలనాలు లేకుండా ఒకేసారి రెండు సంఖ్యలతో భాగించబడాలి.

NOC అనేది చిన్న పేరు, ఇది మొదటి అక్షరాల నుండి తీసుకోబడింది.

సంఖ్యను పొందడానికి మార్గాలు

LCMని కనుగొనడానికి, సంఖ్యలను గుణించే పద్ధతి ఎల్లప్పుడూ తగినది కాదు, ఇది సాధారణ ఒక-అంకె లేదా రెండు-అంకెల సంఖ్యలకు బాగా సరిపోతుంది. కారకాలుగా విభజించడం ఆచారం, పెద్ద సంఖ్య, ఎక్కువ కారకాలు ఉంటాయి.

ఉదాహరణ #1

సరళమైన ఉదాహరణ కోసం, పాఠశాలలు సాధారణంగా సాధారణ, ఒక-అంకె లేదా రెండు-అంకెల సంఖ్యలను తీసుకుంటాయి. ఉదాహరణకు, మీరు ఈ క్రింది పనిని పరిష్కరించాలి, 7 మరియు 3 సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనండి, పరిష్కారం చాలా సులభం, వాటిని గుణించండి. ఫలితంగా, సంఖ్య 21 ఉంది, కేవలం చిన్న సంఖ్య లేదు.

ఉదాహరణ #2

రెండవ ఎంపిక చాలా కష్టం. LCMని గుర్తించడం తప్పనిసరి అని 300 మరియు 1260 సంఖ్యలు ఇవ్వబడ్డాయి. పనిని పరిష్కరించడానికి, క్రింది చర్యలు ఊహించబడతాయి:

మొదటి మరియు రెండవ సంఖ్యలను సరళమైన కారకాలుగా విభజించడం. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. మొదటి దశ పూర్తయింది.

రెండవ దశలో ఇప్పటికే పొందిన డేటాతో పనిచేయడం జరుగుతుంది. అందుకున్న సంఖ్యలలో ప్రతి ఒక్కటి తుది ఫలితం యొక్క గణనలో తప్పనిసరిగా పాల్గొనాలి. ప్రతి కారకం కోసం, అసలైన సంఖ్యల నుండి అత్యధిక సంఖ్యలో సంఘటనలు తీసుకోబడతాయి. LCM ఒక సాధారణ సంఖ్య, కాబట్టి సంఖ్యల నుండి కారకాలు తప్పనిసరిగా దానిలో చివరి వరకు పునరావృతం చేయాలి, ఒక కాపీలో ఉన్నవి కూడా. రెండు ప్రారంభ సంఖ్యలు వాటి కూర్పులో 2, 3 మరియు 5 సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయి, వివిధ డిగ్రీలలో, 7 ఒక సందర్భంలో మాత్రమే.

తుది ఫలితాన్ని గణించడానికి, మీరు ప్రతి సంఖ్యను వారి ప్రాతినిధ్యం వహించే శక్తులలో అతిపెద్ద సమీకరణంలోకి తీసుకోవాలి. గుణించడం మరియు సమాధానాన్ని పొందడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది, సరైన పూరకంతో, పని వివరణ లేకుండా రెండు దశల్లోకి సరిపోతుంది:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

ఇది మొత్తం పని, మీరు గుణించడం ద్వారా కావలసిన సంఖ్యను లెక్కించడానికి ప్రయత్నిస్తే, సమాధానం ఖచ్చితంగా సరైనది కాదు, ఎందుకంటే 300 * 1260 = 378,000.

పరీక్ష:

6300 / 300 = 21 - నిజం;

6300 / 1260 = 5 సరైనది.

ఫలితం యొక్క ఖచ్చితత్వం తనిఖీ చేయడం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది - LCMని రెండు అసలైన సంఖ్యలతో విభజించడం, రెండు సందర్భాలలో సంఖ్య పూర్ణాంకం అయితే, సమాధానం సరైనది.

గణితంలో NOC అంటే ఏమిటి

మీకు తెలిసినట్లుగా, గణితంలో ఒక్క పనికిరాని ఫంక్షన్ లేదు, ఇది మినహాయింపు కాదు. ఈ సంఖ్య యొక్క అత్యంత సాధారణ ఉద్దేశ్యం భిన్నాలను ఒక సాధారణ హారంలోకి తీసుకురావడం. సాధారణంగా హైస్కూల్ 5-6 తరగతులలో ఏమి చదువుతారు. అటువంటి పరిస్థితులు సమస్యలో ఉన్నట్లయితే, ఇది అదనంగా అన్ని గుణిజాలకు ఒక సాధారణ విభజన. అటువంటి వ్యక్తీకరణ రెండు సంఖ్యల యొక్క గుణకాన్ని మాత్రమే కాకుండా, చాలా పెద్ద సంఖ్యను కూడా కనుగొనవచ్చు - మూడు, ఐదు మరియు మొదలైనవి. ఎక్కువ సంఖ్యలు - పనిలో ఎక్కువ చర్యలు, కానీ దీని సంక్లిష్టత పెరగదు.

ఉదాహరణకు, 250, 600 మరియు 1500 సంఖ్యలు ఇచ్చినట్లయితే, మీరు వాటి మొత్తం LCMని కనుగొనాలి:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - ఈ ఉదాహరణ తగ్గింపు లేకుండా కారకాన్ని వివరంగా వివరిస్తుంది.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

వ్యక్తీకరణను కంపోజ్ చేయడానికి, అన్ని అంశాలను పేర్కొనడం అవసరం, ఈ సందర్భంలో 2, 5, 3 ఇవ్వబడ్డాయి - ఈ అన్ని సంఖ్యల కోసం గరిష్ట స్థాయిని నిర్ణయించడం అవసరం.

శ్రద్ధ: అన్ని మల్టిప్లైయర్‌లను పూర్తి సరళీకరణకు తీసుకురావాలి, వీలైతే, ఒకే అంకెల స్థాయికి కుళ్ళిపోతుంది.

పరీక్ష:

1) 3000 / 250 = 12 - నిజం;

2) 3000 / 600 = 5 - నిజం;

3) 3000 / 1500 = 2 సరైనది.

ఈ పద్ధతికి ఏ ఉపాయాలు లేదా మేధావి స్థాయి సామర్ధ్యాలు అవసరం లేదు, ప్రతిదీ సరళమైనది మరియు స్పష్టంగా ఉంటుంది.

మరొక మార్గం

గణితంలో, చాలా కనెక్ట్ చేయబడింది, చాలా రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ మార్గాల్లో పరిష్కరించబడుతుంది, అతి తక్కువ సాధారణ మల్టిపుల్, LCMని కనుగొనడం కూడా ఇదే. సాధారణ రెండు అంకెల మరియు ఒకే అంకెల సంఖ్యల విషయంలో క్రింది పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు. ఒక పట్టిక సంకలనం చేయబడింది, దీనిలో గుణకం నిలువుగా, గుణకం క్షితిజ సమాంతరంగా నమోదు చేయబడుతుంది మరియు ఉత్పత్తి నిలువు వరుసలోని ఖండన కణాలలో సూచించబడుతుంది. మీరు ఒక పంక్తి ద్వారా పట్టికను ప్రతిబింబించవచ్చు, ఒక సంఖ్య తీసుకోబడుతుంది మరియు ఈ సంఖ్యను పూర్ణాంకాల ద్వారా గుణించడం యొక్క ఫలితాలు వరుసగా వ్రాయబడతాయి, 1 నుండి అనంతం వరకు, కొన్నిసార్లు 3-5 పాయింట్లు సరిపోతాయి, రెండవ మరియు తదుపరి సంఖ్యలు లోబడి ఉంటాయి అదే గణన ప్రక్రియకు. సాధారణ గుణకం కనుగొనబడే వరకు ప్రతిదీ జరుగుతుంది.

30, 35, 42 సంఖ్యలను బట్టి, మీరు అన్ని సంఖ్యలను కనెక్ట్ చేసే LCMని కనుగొనాలి:

1) 30 యొక్క గుణకాలు: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, మొదలైనవి.

2) 35 యొక్క గుణకాలు: 70, 105, 140, 175, 210, 245, మొదలైనవి.

3) 42 యొక్క గుణకాలు: 84, 126, 168, 210, 252, మొదలైనవి.

అన్ని సంఖ్యలు చాలా భిన్నంగా ఉండటం గమనించదగినది, వాటిలో సాధారణ సంఖ్య 210, కాబట్టి ఇది LCM అవుతుంది. ఈ గణనతో అనుబంధించబడిన ప్రక్రియలలో, గొప్ప సాధారణ విభజన కూడా ఉంది, ఇది సారూప్య సూత్రాల ప్రకారం లెక్కించబడుతుంది మరియు పొరుగు సమస్యలలో తరచుగా ఎదుర్కొంటుంది. వ్యత్యాసం చిన్నది, కానీ తగినంత ముఖ్యమైనది, LCM అనేది అందించబడిన అన్ని ప్రారంభ విలువలతో విభజించబడే సంఖ్య యొక్క గణనను కలిగి ఉంటుంది మరియు GCD ప్రారంభ సంఖ్యలు విభజించబడిన అతిపెద్ద విలువ యొక్క గణనను ఊహిస్తుంది.

రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభిద్దాం. విభాగంలో, మేము పదం యొక్క నిర్వచనాన్ని ఇస్తాము, అతి తక్కువ సాధారణ బహుళ మరియు గొప్ప ఉమ్మడి విభజన మధ్య సంబంధాన్ని ఏర్పరిచే సిద్ధాంతాన్ని పరిగణలోకి తీసుకుంటాము మరియు సమస్యలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలను ఇస్తాము.

సాధారణ గుణిజాలు - నిర్వచనం, ఉదాహరణలు

ఈ అంశంలో, మేము సున్నా కాకుండా పూర్ణాంకాల యొక్క సాధారణ గుణిజాలపై మాత్రమే ఆసక్తి చూపుతాము.

నిర్వచనం 1

పూర్ణాంకాల యొక్క సాధారణ గుణిజాలుఇవ్వబడిన అన్ని సంఖ్యల గుణకం అయిన పూర్ణాంకం. నిజానికి, ఇది ఏదైనా పూర్ణాంకం, అది ఇచ్చిన సంఖ్యల ద్వారా భాగించబడుతుంది.

సాధారణ గుణకాల యొక్క నిర్వచనం రెండు, మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ పూర్ణాంకాలను సూచిస్తుంది.

ఉదాహరణ 1

12 సంఖ్యకు పైన ఇచ్చిన నిర్వచనం ప్రకారం, సాధారణ గుణిజాలు 3 మరియు 2. అలాగే 12 సంఖ్య 2, 3 మరియు 4 సంఖ్యల సాధారణ గుణకం అవుతుంది. 12 మరియు -12 సంఖ్యలు ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 సంఖ్యల సాధారణ గుణకాలు.

అదే సమయంలో, 2 మరియు 3 సంఖ్యల కోసం సాధారణ గుణకం 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 మరియు ఏవైనా ఇతర సంఖ్యలు.

మనం ఒక జత యొక్క మొదటి సంఖ్యతో భాగించబడే మరియు రెండవ సంఖ్యతో భాగించబడని సంఖ్యలను తీసుకుంటే, అటువంటి సంఖ్యలు సాధారణ గుణకాలు కావు. కాబట్టి, 2 మరియు 3 సంఖ్యలకు, 16 , − 27 , 5009 , 27001 సంఖ్యలు సాధారణ గుణకాలు కావు.

0 అనేది సున్నా కాని పూర్ణాంకాల యొక్క ఏదైనా సెట్ యొక్క సాధారణ గుణకం.

వ్యతిరేక సంఖ్యలకు సంబంధించి విభజన యొక్క లక్షణాన్ని మనం గుర్తుచేసుకుంటే, కొన్ని పూర్ణాంకం k ఈ సంఖ్యల యొక్క సాధారణ గుణింతంగా సంఖ్య - k వలె ఉంటుంది. దీని అర్థం సాధారణ విభజనలు సానుకూలంగా లేదా ప్రతికూలంగా ఉండవచ్చు.

అన్ని సంఖ్యలకు LCMని కనుగొనడం సాధ్యమేనా?

ఏదైనా పూర్ణాంకాల కోసం సాధారణ గుణకం కనుగొనవచ్చు.

ఉదాహరణ 2

మనకు ఇచ్చారని అనుకుందాం కెపూర్ణాంకాలు a 1 , a 2 , ... , a k. సంఖ్యల గుణకారం సమయంలో మనకు లభించే సంఖ్య a 1 a 2 … a kవిభజన లక్షణం ప్రకారం, ఇది అసలు ఉత్పత్తిలో చేర్చబడిన ప్రతి కారకాల ద్వారా విభజించబడుతుంది. అంటే సంఖ్యల ఉత్పత్తి a 1 , a 2 , ... , a kఈ సంఖ్యలలో అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం.

ఈ పూర్ణాంకాలలో ఎన్ని సాధారణ గుణిజాలు ఉండవచ్చు?

పూర్ణాంకాల సమూహం పెద్ద సంఖ్యలో సాధారణ గుణిజాలను కలిగి ఉంటుంది. నిజానికి, వారి సంఖ్య అనంతం.

ఉదాహరణ 3

మనకు కొంత సంఖ్య k ఉందని అనుకుందాం. అప్పుడు k · z సంఖ్యల ఉత్పత్తి, ఇక్కడ z పూర్ణాంకం, k మరియు z సంఖ్యల సాధారణ గుణకం అవుతుంది. సంఖ్యల సంఖ్య అనంతం కాబట్టి, సాధారణ గుణకాల సంఖ్య అనంతం.

తక్కువ సాధారణ బహుళ (LCM) - నిర్వచనం, చిహ్నం మరియు ఉదాహరణలు

మేము పూర్ణాంకాల పోలిక విభాగంలో పరిగణించిన, ఇచ్చిన సంఖ్యల సమితి నుండి అతి చిన్న సంఖ్య యొక్క భావనను గుర్తుకు తెచ్చుకోండి. ఈ భావనను దృష్టిలో ఉంచుకుని, అన్ని సాధారణ గుణకాలలో గొప్ప ఆచరణాత్మక విలువ కలిగిన అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం యొక్క నిర్వచనాన్ని రూపొందిద్దాం.

నిర్వచనం 2

ఇచ్చిన పూర్ణాంకాల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాలుఈ సంఖ్యలలో అతి తక్కువ సానుకూల సాధారణ గుణకం.

ఇవ్వబడిన సంఖ్యల సంఖ్యకైనా అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం ఉంటుంది. NOK అనే సంక్షిప్త పదం రిఫరెన్స్ సాహిత్యంలో ఒక భావనను సూచించడానికి సాధారణంగా ఉపయోగించబడుతుంది. సంఖ్యల కోసం అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం కోసం సంక్షిప్తలిపి a 1 , a 2 , ... , a k LCM లాగా ఉంటుంది (a 1 , a 2 , ... , a k).

ఉదాహరణ 4

6 మరియు 7 యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం 42. ఆ. LCM(6, 7) = 42. నాలుగు సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం - 2, 12, 15 మరియు 3 60కి సమానంగా ఉంటుంది. సంక్షిప్తలిపి LCM (- 2 , 12 , 15 , 3) ​​= 60 .

ఇచ్చిన సంఖ్యల అన్ని సమూహాలకు కాదు, అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం స్పష్టంగా ఉంటుంది. తరచుగా ఇది లెక్కించబడాలి.

NOC మరియు NOD మధ్య సంబంధం

అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం మరియు గొప్ప ఉమ్మడి విభజనకు సంబంధించినవి. భావనల మధ్య సంబంధం సిద్ధాంతం ద్వారా స్థాపించబడింది.

సిద్ధాంతం 1

a మరియు b అనే రెండు ధన పూర్ణాంకాల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకారం a మరియు b సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారంతో విభజించబడిన a మరియు b సంఖ్యల ఉత్పత్తికి సమానం, అంటే LCM (a , b) = a b: gcd (a , బి) .

రుజువు 1

మనకు కొంత సంఖ్య M ఉందని అనుకుందాం, అది a మరియు b సంఖ్యల గుణకం. M సంఖ్యను a ద్వారా భాగిస్తే, కొంత పూర్ణాంకం z కూడా ఉంటుంది , దీని కింద సమానత్వం M = a k. విభజన నిర్వచనం ప్రకారం, M కూడా ద్వారా భాగించబడినట్లయితే బి, అయితే మరి ఒక కెభాగించబడిన బి.

మేము gcd (a , b) కోసం కొత్త సంజ్ఞామానాన్ని ప్రవేశపెడితే డి, అప్పుడు మనం సమానత్వాన్ని ఉపయోగించవచ్చు a = a 1 డిమరియు బి = బి 1 · డి . ఈ సందర్భంలో, రెండు సమానత్వాలు కాప్రైమ్ నంబర్‌లుగా ఉంటాయి.

మేము ఇప్పటికే పైన ఏర్పాటు చేసాము ఒక కెభాగించబడిన బి. ఇప్పుడు ఈ పరిస్థితిని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:
ఒక 1 d kభాగించబడిన బి 1 డి, ఇది పరిస్థితికి సమానం ఒక 1 కిభాగించబడిన బి 1విభజన లక్షణాల ప్రకారం.

సాపేక్షంగా ప్రధాన సంఖ్యల ఆస్తి ప్రకారం, అయితే a 1మరియు బి 1పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు, a 1ద్వారా విభజించబడదు బి 1నిజానికి ఉన్నప్పటికీ ఒక 1 కిభాగించబడిన బి 1, అప్పుడు బి 1పంచుకోవాలి కె.

ఈ సందర్భంలో, ఒక సంఖ్య ఉందని భావించడం సముచితం t, దేని కొరకు k = b 1 t, మరియు అప్పటి నుండి b1=b:d, అప్పుడు k = b: d t.

ఇప్పుడు బదులుగా కెసమానత్వంలో ఉంచారు M = a kరూపం యొక్క వ్యక్తీకరణ బి: డి టి. ఇది సమానత్వానికి రావడానికి అనుమతిస్తుంది M = a b: d t. వద్ద t=1మేము a మరియు b యొక్క అతి తక్కువ సానుకూల సాధారణ గుణకాన్ని పొందవచ్చు , సమానం a b: d, అందించిన సంఖ్యలు a మరియు b అనుకూల.

కాబట్టి మేము LCM (a , b) = a b: GCD అని నిరూపించాము (a,b).

LCM మరియు GCDల మధ్య కనెక్షన్‌ని ఏర్పరచడం వలన మీరు రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఇవ్వబడిన సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజన ద్వారా అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనవచ్చు.

నిర్వచనం 3

సిద్ధాంతం రెండు ముఖ్యమైన పరిణామాలను కలిగి ఉంది:

• రెండు సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం యొక్క గుణిజాలు ఆ రెండు సంఖ్యల సాధారణ గుణిజాలకు సమానంగా ఉంటాయి;
• కాప్రైమ్ సానుకూల సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం a మరియు b వాటి ఉత్పత్తికి సమానం.

ఈ రెండు వాస్తవాలను రుజువు చేయడం కష్టం కాదు. M సంఖ్యల యొక్క ఏదైనా సాధారణ గుణకం a మరియు b కొంత పూర్ణాంకం విలువ t కోసం సమానత్వం M = LCM (a, b) t ద్వారా నిర్వచించబడుతుంది. a మరియు b కాప్రైమ్ అయినందున, అప్పుడు gcd (a, b) = 1, కాబట్టి, LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.

మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం

అనేక సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు తప్పనిసరిగా రెండు సంఖ్యల LCMని తప్పనిసరిగా కనుగొనాలి.

సిద్ధాంతం 2

అలా నటిద్దాం a 1 , a 2 , ... , a kకొన్ని సానుకూల పూర్ణాంకాలు. LCMని లెక్కించడానికి m kఈ సంఖ్యలను మనం వరుసగా లెక్కించాలి m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(m k - 1 , a k) .

రుజువు 2

ఈ అంశంలో చర్చించబడిన మొదటి సిద్ధాంతం యొక్క మొదటి పరిణామం రెండవ సిద్ధాంతం యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని నిరూపించడానికి మాకు సహాయం చేస్తుంది. కింది అల్గోరిథం ప్రకారం రీజనింగ్ నిర్మించబడింది:

• సంఖ్యల సాధారణ గుణిజాలు a 1మరియు ఒక 2వారి LCM యొక్క గుణిజాలతో సమానంగా ఉంటాయి, వాస్తవానికి, అవి సంఖ్య యొక్క గుణిజాలతో సమానంగా ఉంటాయి m2;
• సంఖ్యల సాధారణ గుణిజాలు a 1, ఒక 2మరియు a 3 m2మరియు a 3 m 3;
• సంఖ్యల సాధారణ గుణిజాలు a 1 , a 2 , ... , a kసంఖ్యల సాధారణ గుణిజాలతో సమానంగా ఉంటుంది m k - 1మరియు ఒక కె, కాబట్టి, సంఖ్య యొక్క గుణిజాలతో సమానంగా ఉంటుంది m k;
• సంఖ్య యొక్క అతిచిన్న సానుకూల గుణకం వాస్తవం కారణంగా m kసంఖ్య కూడా m k, ఆపై సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం a 1 , a 2 , ... , a kఉంది m k.

కాబట్టి మేము సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించాము.

మీరు టెక్స్ట్‌లో పొరపాటును గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి

తిరిగి ముందుకు

శ్రద్ధ! స్లయిడ్ పరిదృశ్యం సమాచార ప్రయోజనాల కోసం మాత్రమే మరియు ప్రదర్శన యొక్క పూర్తి స్థాయిని సూచించకపోవచ్చు. మీకు ఈ పనిపై ఆసక్తి ఉంటే, దయచేసి పూర్తి వెర్షన్‌ను డౌన్‌లోడ్ చేయండి.

గ్రేటెస్ట్ కామన్ డివైజర్ (GCD) మరియు అతి తక్కువ సాధారణ మల్టిపుల్ (LCM) భావనలతో, హైస్కూల్ విద్యార్థులు ఆరవ తరగతిలో కలుస్తారు. ఈ అంశం నైపుణ్యం సాధించడం ఎల్లప్పుడూ కష్టం. పిల్లలు తరచుగా ఈ భావనలను గందరగోళానికి గురిచేస్తారు, వారు ఎందుకు అధ్యయనం చేయాలో అర్థం కాలేదు. ఇటీవల, ప్రముఖ సైన్స్ సాహిత్యంలో, ఈ విషయాన్ని పాఠశాల పాఠ్యాంశాల నుండి మినహాయించాలని ప్రత్యేక ప్రకటనలు ఉన్నాయి. ఇది పూర్తిగా నిజం కాదని నేను భావిస్తున్నాను మరియు తరగతి గదిలో కాకపోతే, పాఠశాల భాగం యొక్క తరగతి గదిలో పాఠ్యేతర సమయంలో, ఇది పాఠశాల విద్యార్థుల తార్కిక ఆలోచన అభివృద్ధికి దోహదం చేస్తుంది కాబట్టి, దానిని అధ్యయనం చేయడం అవసరం. గణన కార్యకలాపాల వేగం, మరియు అందమైన పద్ధతులను ఉపయోగించి సమస్యలను పరిష్కరించగల సామర్థ్యం.

"వివిధ హారంలతో భిన్నాల జోడింపు మరియు తీసివేత" అనే అంశాన్ని అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, మేము రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క సాధారణ హారంను కనుగొనడానికి పిల్లలకు బోధిస్తాము. ఉదాహరణకు, మీరు 1/3 మరియు 1/5 భిన్నాలను జోడించాలి. విద్యార్థులు 3 మరియు 5 ద్వారా శేషం లేకుండా భాగించబడే సంఖ్యను సులభంగా కనుగొనవచ్చు. ఈ సంఖ్య 15. నిజానికి, సంఖ్యలు చిన్నగా ఉంటే, గుణకార పట్టికను బాగా తెలుసుకోవడం ద్వారా వాటి సాధారణ హారం కనుగొనడం సులభం. ఈ సంఖ్య 3 మరియు 5 సంఖ్యల ఉత్పత్తి అని అబ్బాయిలలో ఒకరు గమనించారు. ఈ విధంగా మీరు ఎల్లప్పుడూ సంఖ్యల కోసం ఒక సాధారణ హారంను కనుగొనవచ్చని పిల్లలు అభిప్రాయపడ్డారు. ఉదాహరణకు, 7/18 మరియు 5/24 భిన్నాలను తీసివేయండి. 18 మరియు 24 సంఖ్యల ఉత్పత్తిని కనుగొనండి. ఇది 432కి సమానం. మేము ఇప్పటికే పెద్ద సంఖ్యను అందుకున్నాము మరియు తదుపరి గణనలను చేయవలసి వస్తే (ముఖ్యంగా అన్ని చర్యలకు ఉదాహరణల కోసం), అప్పుడు లోపం యొక్క సంభావ్యత పెరుగుతుంది. కానీ కనుగొనబడిన అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం సంఖ్యలు (LCM), ఈ సందర్భంలో అతి తక్కువ సాధారణ హారం (LCD)కి సమానం - సంఖ్య 72 - గణనలను బాగా సులభతరం చేస్తుంది మరియు ఉదాహరణ యొక్క వేగవంతమైన పరిష్కారానికి దారి తీస్తుంది మరియు తద్వారా సమయాన్ని ఆదా చేస్తుంది. ఈ పని కోసం కేటాయించబడింది, ఇది చివరి పరీక్ష, నియంత్రణ పని, ముఖ్యంగా తుది ధృవీకరణ సమయంలో పనితీరులో ముఖ్యమైన పాత్ర పోషిస్తుంది.

"భిన్నాల తగ్గింపు" అనే అంశాన్ని అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, మీరు భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారంను అదే సహజ సంఖ్యతో విభజించడం ద్వారా, సంఖ్యల విభజన సంకేతాలను ఉపయోగించి, చివరికి తగ్గించలేని భిన్నాన్ని పొందడం ద్వారా వరుసగా కదలవచ్చు. ఉదాహరణకు, మీరు 128/344 భిన్నాన్ని తగ్గించాలి. మేము మొదట భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంను సంఖ్య 2 ద్వారా విభజిస్తాము, మనకు భిన్నం 64/172 వస్తుంది. మరోసారి, మేము ఫలిత భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంను 2 ద్వారా విభజిస్తాము, మనకు భిన్నం 32/86 వస్తుంది. భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారంను మరోసారి 2 ద్వారా భాగిస్తే, మనం తగ్గించలేని భిన్నం 16/43ని పొందుతాము. 128 మరియు 344 సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారాన్ని మనం కనుగొంటే భిన్నం తగ్గింపు చాలా సులభం అవుతుంది. GCD (128, 344) = 8. భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారంను ఈ సంఖ్యతో భాగిస్తే, మనం వెంటనే తగ్గించలేని భిన్నాన్ని పొందుతాము.

గొప్ప సాధారణ విభజన (GCD) మరియు తక్కువ సాధారణ బహుళ (LCM) సంఖ్యలను కనుగొనడానికి పిల్లలకు వివిధ మార్గాలను చూపండి. సాధారణ సందర్భాల్లో, సాధారణ గణన ద్వారా గొప్ప సాధారణ విభజన (GCD) మరియు తక్కువ సాధారణ బహుళ (LCM) సంఖ్యలను కనుగొనడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. సంఖ్యలు పెద్దవి కావడంతో, ప్రధాన కారకాలను ఉపయోగించవచ్చు. ఆరవ తరగతి పాఠ్యపుస్తకం (రచయిత N.Ya. Vilenkin) సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారాన్ని (GCD) కనుగొనడానికి క్రింది పద్ధతిని చూపుతుంది. సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా విడదీద్దాం:

• 16 = 2*2*2*2
• 120 = 2*2*2*3*5

అప్పుడు, ఈ సంఖ్యలలో ఒకదాని విస్తరణలో చేర్చబడిన కారకాల నుండి, మరొక సంఖ్య యొక్క విస్తరణలో చేర్చబడని వాటిని మేము దాటుతాము. మిగిలిన కారకాల యొక్క ఉత్పత్తి ఈ సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారం అవుతుంది. ఈ సందర్భంలో, ఈ సంఖ్య 8. నా స్వంత అనుభవం నుండి, మేము సంఖ్యల విస్తరణలో అదే కారకాలను అండర్లైన్ చేస్తే పిల్లలకు మరింత అర్థమయ్యేలా ఉంటుందని నేను ఒప్పించాను, ఆపై విస్తరణలలో ఒకదానిలో అండర్లైన్ చేయబడిన ఉత్పత్తిని కనుగొంటాము. కారకాలు. ఇది ఈ సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారం. ఆరవ తరగతిలో, పిల్లలు చురుకుగా మరియు ఆసక్తిగా ఉంటారు. మీరు వారికి ఈ క్రింది విధిని సెట్ చేయవచ్చు: 343 మరియు 287 సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజనను వివరించిన విధంగా కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి. వాటిని ప్రధాన కారకాలుగా ఎలా కారకం చేయాలో వెంటనే స్పష్టంగా తెలియదు. మరియు ఇక్కడ మీరు పురాతన గ్రీకులు కనుగొన్న అద్భుతమైన పద్ధతి గురించి వారికి తెలియజేయవచ్చు, ఇది ప్రధాన కారకాలుగా కుళ్ళిపోకుండా గొప్ప సాధారణ విభజన (GCD) కోసం శోధించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. గొప్ప సాధారణ విభజనను కనుగొనే ఈ పద్ధతి మొదట యూక్లిడ్ యొక్క మూలకాలలో వివరించబడింది. దీనిని యూక్లిడ్ అల్గోరిథం అంటారు. ఇది క్రింది వాటిని కలిగి ఉంటుంది: ముందుగా, పెద్ద సంఖ్యను చిన్నదానితో భాగించండి. శేషం ఉంటే, చిన్న సంఖ్యను శేషంతో భాగించండి. మిగిలినవి మళ్లీ పొందినట్లయితే, మొదటి శేషాన్ని రెండవదానితో భాగించండి. కాబట్టి మిగిలినది సున్నా అయ్యే వరకు విభజించడం కొనసాగించండి. చివరి డివైజర్ ఈ సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజన (GCD).

మన ఉదాహరణకి తిరిగి వెళ్దాం మరియు స్పష్టత కోసం, పరిష్కారాన్ని పట్టిక రూపంలో వ్రాయండి.

కాబట్టి gcd(344,287) = 7

మరియు అదే సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ బహుళ (LCM)ని ఎలా కనుగొనాలి? ఈ సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా ప్రాథమికంగా విడదీయాల్సిన అవసరం లేని దీనికి ఏదైనా మార్గం ఉందా? ఇది ఉంది, మరియు చాలా సులభమైనది. మేము ఈ సంఖ్యలను గుణించాలి మరియు మేము కనుగొన్న గొప్ప సాధారణ విభజన (GCD) ద్వారా ఉత్పత్తిని విభజించాలి. ఈ ఉదాహరణలో, సంఖ్యల ఉత్పత్తి 98441. దానిని 7తో భాగించి 14063 సంఖ్యను పొందండి. LCM(343,287) = 14063.

గణితంలో క్లిష్టమైన అంశాలలో ఒకటి పద సమస్యల పరిష్కారం. "గ్రేటెస్ట్ కామన్ డివైజర్ (జిసిడి)" మరియు "లీస్ట్ కామన్ మల్టిపుల్ (ఎల్‌సిఎమ్)" అనే భావనలను ఉపయోగించి మీరు కొన్నిసార్లు సాధారణ మార్గంలో పరిష్కరించడం కష్టతరమైన సమస్యలను ఎలా పరిష్కరించవచ్చో విద్యార్థులకు చూపించడం అవసరం. పాఠశాల పాఠ్యపుస్తకం యొక్క రచయితలు ప్రతిపాదించిన పనులతో పాటు, పిల్లల ఉత్సుకతను పెంపొందించే మరియు ఈ అంశాన్ని అధ్యయనం చేయడంలో ఆసక్తిని పెంచే పాత మరియు వినోదాత్మక పనులు విద్యార్థులతో పాటుగా పరిగణించడం ఇక్కడ సముచితం. ఈ భావనలను నైపుణ్యంగా కలిగి ఉండటం వలన విద్యార్థులు ప్రామాణికం కాని సమస్యకు అందమైన పరిష్కారాన్ని చూడగలుగుతారు. మరియు మంచి సమస్యను పరిష్కరించిన తర్వాత పిల్లల మానసిక స్థితి పెరిగితే, ఇది విజయవంతమైన పనికి సంకేతం.

అందువల్ల, "గ్రేటెస్ట్ కామన్ డివైజర్ (GCD)" మరియు "లీస్ట్ కామన్ మల్టిపుల్ (LCD)" సంఖ్యల వంటి భావనల పాఠశాలలో అధ్యయనం

పనిని అమలు చేయడానికి కేటాయించిన సమయాన్ని ఆదా చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది, ఇది పూర్తయిన పనుల పరిమాణంలో గణనీయమైన పెరుగుదలకు దారితీస్తుంది;

అంకగణిత కార్యకలాపాల వేగం మరియు ఖచ్చితత్వాన్ని పెంచుతుంది, ఇది అనుమతించదగిన గణన లోపాల సంఖ్యలో గణనీయమైన తగ్గింపుకు దారితీస్తుంది;

ప్రామాణికం కాని వచన సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అందమైన మార్గాలను కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది;

విద్యార్థుల ఉత్సుకతను అభివృద్ధి చేస్తుంది, వారి పరిధులను విస్తరిస్తుంది;

బహుముఖ సృజనాత్మక వ్యక్తిత్వ విద్య కోసం ముందస్తు అవసరాలను సృష్టిస్తుంది.

సంఖ్యలు a మరియు b శేషం లేకుండా విభజించబడే అతిపెద్ద సహజ సంఖ్య అంటారు గొప్ప సాధారణ విభజనఈ సంఖ్యలు. GCD(a, b)ని సూచించండి.

18 మరియు 60 అనే రెండు సహజ సంఖ్యల ఉదాహరణను ఉపయోగించి GCDని కనుగొనడాన్ని పరిగణించండి:

324 , 111 మరియు 432

సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా విడదీద్దాం:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3×37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

మొదటి సంఖ్య నుండి తొలగించండి, రెండవ మరియు మూడవ సంఖ్యలలో లేని కారకాలు, మేము పొందుతాము:

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

GCD ఫలితంగా( 324 , 111 , 432 )=3

యూక్లిడ్ యొక్క అల్గారిథమ్‌తో GCDని కనుగొనడం

ఉపయోగించి గొప్ప సాధారణ విభజనను కనుగొనడానికి రెండవ మార్గం యూక్లిడ్ యొక్క అల్గోరిథం. యూక్లిడ్ యొక్క అల్గోరిథం కనుగొనడానికి అత్యంత ప్రభావవంతమైన మార్గం GCD, దాన్ని ఉపయోగించి మీరు నిరంతరం సంఖ్యల విభజన యొక్క మిగిలిన భాగాన్ని కనుగొని దరఖాస్తు చేయాలి పునరావృత సూత్రం.

పునరావృత సూత్రం GCD కోసం, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), ఇక్కడ a mod b అనేది aని bతో భాగిస్తే మిగిలినది.

యూక్లిడ్ యొక్క అల్గోరిథం

ఉదాహరణ సంఖ్యల గ్రేటెస్ట్ కామన్ డివైజర్‌ను కనుగొనండి 7920 మరియు 594

GCDని కనుగొనండి( 7920 , 594 ) యూక్లిడ్ అల్గోరిథం ఉపయోగించి, మేము కాలిక్యులేటర్ ఉపయోగించి మిగిలిన విభజనను గణిస్తాము.

• 7920 మోడ్ 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 మోడ్ 198 = 594 - 3 × 198 = 0

ఫలితంగా, మనకు GCD( 7920 , 594 ) = 198

అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం

విభిన్న హారంతో భిన్నాలను జోడించేటప్పుడు మరియు తీసివేసేటప్పుడు సాధారణ హారంని కనుగొనడానికి, మీరు తెలుసుకోవాలి మరియు లెక్కించగలగాలి అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం(NOC).

"a" సంఖ్య యొక్క గుణకం అనేది శేషం లేకుండా "a" సంఖ్యతో భాగించబడే ఒక సంఖ్య.

8 యొక్క గుణిజాలుగా ఉండే సంఖ్యలు (అంటే, ఈ సంఖ్యలు శేషం లేకుండా 8తో భాగించబడతాయి): ఇవి 16, 24, 32 ...

9: 18, 27, 36, 45 గుణకాలు...

ఇచ్చిన సంఖ్య a యొక్క అనంతమైన అనేక గుణిజాలు ఉన్నాయి, అదే సంఖ్య యొక్క భాగహారాలకు విరుద్ధంగా. విభజనలు - పరిమిత సంఖ్య.

రెండు సహజ సంఖ్యల యొక్క సాధారణ గుణకం ఈ రెండు సంఖ్యలచే సమానంగా విభజించబడే సంఖ్య..

అతి తక్కువ సాధారణ గుణకంరెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సహజ సంఖ్యల (LCM) అనేది ఈ సంఖ్యల ద్వారా భాగించబడే అతి చిన్న సహజ సంఖ్య.

NOCని ఎలా కనుగొనాలి

LCMని రెండు విధాలుగా కనుగొని వ్రాయవచ్చు.

LCMని కనుగొనడానికి మొదటి మార్గం

ఈ పద్ధతి సాధారణంగా చిన్న సంఖ్యలకు ఉపయోగించబడుతుంది.

1. రెండు సంఖ్యలకు ఒకే గుణకారం వచ్చే వరకు మేము ఒక పంక్తిలోని ప్రతి సంఖ్యలకు గుణిజాలను వ్రాస్తాము.
2. "a" సంఖ్య యొక్క గుణకం పెద్ద అక్షరం "K" ద్వారా సూచించబడుతుంది.

ఉదాహరణ. LCM 6 మరియు 8ని కనుగొనండి.

LCMని కనుగొనడానికి రెండవ మార్గం

మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల కోసం LCMని కనుగొనడానికి ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది.

సంఖ్యల విస్తరణలో ఒకేలాంటి కారకాల సంఖ్య భిన్నంగా ఉండవచ్చు.

మీరు ఈ క్రింది విధంగా అతి తక్కువ సాధారణ మల్టిపుల్ (LCM)ని కనుగొనడాన్ని కూడా లాంఛనప్రాయంగా చేయవచ్చు. LCM (12, 16, 24)ని కనుగొనండి.

24 = 2 2 2 3

సంఖ్యల విస్తరణ నుండి మనం చూడగలిగినట్లుగా, 12 యొక్క అన్ని కారకాలు 24 (సంఖ్యలలో అతిపెద్దది) యొక్క విస్తరణలో చేర్చబడ్డాయి, కాబట్టి మేము LCM సంఖ్య 16 యొక్క విస్తరణ నుండి ఒక 2ని మాత్రమే జోడిస్తాము.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

సమాధానం: LCM (12, 16, 24) = 48

NOCలను కనుగొనే ప్రత్యేక సందర్భాలు

ఉదాహరణకు, LCM(60, 15) = 60
కాప్రైమ్ నంబర్‌లకు సాధారణ ప్రైమ్ డివైజర్‌లు లేవు కాబట్టి, వాటి కనిష్ట సాధారణ గుణకం ఈ సంఖ్యల ఉత్పత్తికి సమానం.

మా సైట్‌లో, మీరు మీ గణనలను తనిఖీ చేయడానికి ఆన్‌లైన్‌లో అతి తక్కువ సాధారణ మల్టిపుల్‌ను కనుగొనడానికి ప్రత్యేక కాలిక్యులేటర్‌ను కూడా ఉపయోగించవచ్చు.

సహజ సంఖ్య 1 మరియు దానితో మాత్రమే భాగించబడినట్లయితే, దానిని ప్రధానం అంటారు.

ఏదైనా సహజ సంఖ్య ఎల్లప్పుడూ 1 మరియు దానితో భాగించబడుతుంది.

సంఖ్య 2 అతి చిన్న ప్రధాన సంఖ్య. ఇదొక్కటే సరి ప్రధాన సంఖ్య, మిగిలిన ప్రధాన సంఖ్యలు బేసి.

అనేక ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి మరియు వాటిలో మొదటిది సంఖ్య 2. అయితే, చివరి ప్రధాన సంఖ్య లేదు. "అధ్యయనం కోసం" విభాగంలో, మీరు 997 వరకు ప్రధాన సంఖ్యల పట్టికను డౌన్‌లోడ్ చేసుకోవచ్చు.

కానీ అనేక సహజ సంఖ్యలు ఇతర సహజ సంఖ్యలతో సమానంగా భాగించబడతాయి.

• 12 సంఖ్య 1, 2, 3, 4, 6, 12 ద్వారా భాగించబడుతుంది;
• 36ని 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36 ద్వారా భాగించవచ్చు.

సంఖ్యను సమానంగా విభజించే సంఖ్యలను (12 కోసం ఇవి 1, 2, 3, 4, 6 మరియు 12) సంఖ్య యొక్క భాగహారాలు అంటారు.

సహజ సంఖ్య a యొక్క భాజకం అనేది ఇచ్చిన సంఖ్య "a"ని శేషం లేకుండా భాగించే సహజ సంఖ్య.

రెండు కంటే ఎక్కువ కారకాలు ఉన్న సహజ సంఖ్యను మిశ్రమ సంఖ్య అంటారు.

12 మరియు 36 సంఖ్యలు ఉమ్మడి విభజనలను కలిగి ఉన్నాయని గమనించండి. ఇవి సంఖ్యలు: 1, 2, 3, 4, 6, 12. ఈ సంఖ్యల అతిపెద్ద భాగహారం 12.

ఇవ్వబడిన రెండు సంఖ్యల "a" మరియు "b" యొక్క సాధారణ భాగహారం అనేది ఇవ్వబడిన సంఖ్యలు "a" మరియు "b" రెండూ శేషం లేకుండా విభజించబడిన సంఖ్య.

గ్రేటెస్ట్ కామన్ డివైజర్(GCD) అందించబడిన రెండు సంఖ్యల "a" మరియు "b" అనేది "a" మరియు "b" అనే రెండు సంఖ్యలు శేషం లేకుండా భాగించబడే అతిపెద్ద సంఖ్య.

క్లుప్తంగా, "a" మరియు "b" సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారం క్రింది విధంగా వ్రాయబడింది:

ఉదాహరణ: gcd (12; 36) = 12 .

పరిష్కార రికార్డులోని సంఖ్యల భాగహారాలు పెద్ద అక్షరం "D" ద్వారా సూచించబడతాయి.

7 మరియు 9 సంఖ్యలు ఒకే ఒక సాధారణ విభజనను కలిగి ఉంటాయి - సంఖ్య 1. అటువంటి సంఖ్యలు అంటారు ప్రధాన సంఖ్యలు.

కాప్రైమ్ నంబర్లుఒకే ఒక సాధారణ భాగహారాన్ని కలిగి ఉండే సహజ సంఖ్యలు - సంఖ్య 1. వారి GCD 1.

గొప్ప సాధారణ విభజనను ఎలా కనుగొనాలి

రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సహజ సంఖ్యల gcdని కనుగొనడానికి మీకు ఇది అవసరం:

• సంఖ్యల విభజనలను ప్రధాన కారకాలుగా విడదీయండి;

గణనలు నిలువు పట్టీని ఉపయోగించి సౌకర్యవంతంగా వ్రాయబడతాయి. పంక్తి యొక్క ఎడమ వైపున, మొదట డివిడెండ్‌ను వ్రాయండి, కుడి వైపున - డివైజర్. ఎడమ కాలమ్‌లో మేము ప్రైవేట్ విలువలను వ్రాస్తాము.

ఒక ఉదాహరణతో వెంటనే వివరిస్తాము. 28 మరియు 64 సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా కారకం చేద్దాం.

రెండు సంఖ్యలలో ఒకే ప్రధాన కారకాలను అండర్లైన్ చేయండి.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
మేము ఒకేలాంటి ప్రధాన కారకాల ఉత్పత్తిని కనుగొని, సమాధానాన్ని వ్రాస్తాము;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

సమాధానం: GCD (28; 64) = 4

మీరు GCD స్థానాన్ని రెండు విధాలుగా అమర్చవచ్చు: నిలువు వరుసలో (పైన చేసినట్లు) లేదా "ఒక లైన్‌లో".

GCDని వ్రాయడానికి మొదటి మార్గం

GCD 48 మరియు 36ని కనుగొనండి.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

GCDని వ్రాయడానికి రెండవ మార్గం

ఇప్పుడు GCD శోధన పరిష్కారాన్ని ఒక లైన్‌లో వ్రాస్దాం. GCD 10 మరియు 15ని కనుగొనండి.

మా సమాచార సైట్‌లో, మీరు మీ గణనలను తనిఖీ చేయడానికి సహాయక ప్రోగ్రామ్‌ని ఉపయోగించి ఆన్‌లైన్‌లో గొప్ప సాధారణ విభజనను కూడా కనుగొనవచ్చు.

అతి తక్కువ సాధారణ మల్టిపుల్‌ను కనుగొనడం, పద్ధతులు, LCMని కనుగొనే ఉదాహరణలు.

దిగువ అందించబడిన మెటీరియల్ LCM - లీస్ట్ కామన్ మల్టిపుల్, నిర్వచనం, ఉదాహరణలు, LCM మరియు GCD మధ్య సంబంధం అనే శీర్షిక క్రింద కథనం నుండి సిద్ధాంతం యొక్క తార్కిక కొనసాగింపు. ఇక్కడ మనం మాట్లాడతాము అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడం (LCM), మరియు ఉదాహరణలను పరిష్కరించడంలో ప్రత్యేక శ్రద్ధ వహించండి. ఈ సంఖ్యల GCD పరంగా రెండు సంఖ్యల LCM ఎలా గణించబడుతుందో ముందుగా చూపిద్దాం. తర్వాత, ప్రధాన కారకాలలో సంఖ్యలను కారకం చేయడం ద్వారా అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడాన్ని పరిగణించండి. ఆ తర్వాత, మేము మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల LCMని కనుగొనడంపై దృష్టి పెడతాము మరియు ప్రతికూల సంఖ్యల LCM యొక్క గణనపై కూడా శ్రద్ధ చూపుతాము.

పేజీ నావిగేషన్.

gcd ద్వారా అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం (LCM) యొక్క గణన

LCM మరియు GCD మధ్య సంబంధం ఆధారంగా అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి ఒక మార్గం. LCM మరియు GCDల మధ్య ఇప్పటికే ఉన్న సంబంధం, తెలిసిన గొప్ప ఉమ్మడి విభజన ద్వారా రెండు సానుకూల పూర్ణాంకాల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని లెక్కించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. సంబంధిత ఫార్ములా రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). పై సూత్రం ప్రకారం LCMని కనుగొనే ఉదాహరణలను పరిగణించండి.

126 మరియు 70 అనే రెండు సంఖ్యలలో అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనండి.

ఈ ఉదాహరణలో a=126 , b=70 . GCDతో LCM లింక్‌ని ఉపయోగిస్తాము, ఇది LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) ఫార్ములా ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది. అంటే, ముందుగా మనం 70 మరియు 126 సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజనను కనుగొనవలసి ఉంటుంది, దాని తర్వాత మనం వ్రాసిన సూత్రం ప్రకారం ఈ సంఖ్యల LCMని లెక్కించవచ్చు.

యూక్లిడ్ యొక్క అల్గోరిథం ఉపయోగించి gcd(126, 70)ని కనుగొనండి: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , అందుకే gcd(126, 70)=14 .

ఇప్పుడు మనం అవసరమైన అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొన్నాము: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .

LCM(68, 34) అంటే ఏమిటి?

68 34తో సమానంగా భాగించబడుతుంది కాబట్టి, gcd(68, 34)=34 . ఇప్పుడు మనం అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని గణిస్తాము: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .

a మరియు b ధనాత్మక పూర్ణాంకాల కోసం LCMని కనుగొనడానికి మునుపటి ఉదాహరణ క్రింది నియమానికి సరిపోతుందని గమనించండి: a సంఖ్య bతో భాగించబడితే, ఈ సంఖ్యలలో అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం a .

ప్రధాన కారకాలలో సంఖ్యలను ఫ్యాక్టరింగ్ చేయడం ద్వారా LCMని కనుగొనడం

అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి మరొక మార్గం ప్రధాన కారకాలుగా కారకం సంఖ్యల ఆధారంగా ఉంటుంది. మేము ఈ సంఖ్యల యొక్క అన్ని ప్రధాన కారకాలను ఉత్పత్తి చేస్తే, ఈ సంఖ్యల విస్తరణలో ఉన్న అన్ని సాధారణ ప్రధాన కారకాలను మేము ఈ ఉత్పత్తి నుండి మినహాయిస్తే, ఫలితంగా ఉత్పత్తి ఈ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకారానికి సమానంగా ఉంటుంది.

LCMని కనుగొనడానికి ప్రకటించిన నియమం సమానత్వం LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . నిజానికి, a మరియు b సంఖ్యల ఉత్పత్తి a మరియు b సంఖ్యల విస్తరణలో ఉన్న అన్ని కారకాల యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం. ప్రతిగా, gcd(a, b) అనేది a మరియు b సంఖ్యల విస్తరణలో ఏకకాలంలో ఉండే అన్ని ప్రధాన కారకాల ఉత్పత్తికి సమానం (ఇది సంఖ్యల కుళ్ళిపోవడాన్ని ప్రధాన కారకాలుగా ఉపయోగించి gcdని కనుగొనే విభాగంలో వివరించబడింది. )

ఒక ఉదాహరణ తీసుకుందాం. 75=3 5 5 మరియు 210=2 3 5 7 అని తెలుసుకుందాం. ఈ విస్తరణల యొక్క అన్ని కారకాల ఉత్పత్తిని కంపోజ్ చేయండి: 2 3 3 5 5 5 7 . ఇప్పుడు మేము ఈ ఉత్పత్తి నుండి సంఖ్య 75 యొక్క విస్తరణలో మరియు సంఖ్య 210 (అటువంటి కారకాలు 3 మరియు 5) విస్తరణలో ఉన్న అన్ని కారకాలను మినహాయించాము, అప్పుడు ఉత్పత్తి 2 3 5 5 7 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. ఈ ఉత్పత్తి విలువ 75 మరియు 210 యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకానికి సమానం, అంటే LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .

441 మరియు 700 సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా మార్చిన తర్వాత, ఈ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనండి.

441 మరియు 700 సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా విడదీద్దాం:

మనకు 441=3 3 7 7 మరియు 700=2 2 5 5 7 లభిస్తాయి.

ఇప్పుడు ఈ సంఖ్యల విస్తరణకు సంబంధించిన అన్ని కారకాలను ఉత్పత్తి చేద్దాం: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . రెండు విస్తరణలలో ఏకకాలంలో ఉన్న అన్ని కారకాలను ఈ ఉత్పత్తి నుండి మినహాయిద్దాం (అటువంటి ఒక అంశం మాత్రమే ఉంది - ఇది సంఖ్య 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . కాబట్టి LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .

LCM(441, 700)= 44 100 .

ప్రధాన కారకాలుగా సంఖ్యల కుళ్ళిపోవడాన్ని ఉపయోగించి LCMని కనుగొనే నియమాన్ని కొద్దిగా భిన్నంగా రూపొందించవచ్చు. మేము సంఖ్య b యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన కారకాలను a సంఖ్య యొక్క విస్తరణ నుండి కారకాలకు జోడిస్తే, ఫలిత ఉత్పత్తి యొక్క విలువ a మరియు b సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకారానికి సమానంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణకు, 75 మరియు 210 అనే ఒకే సంఖ్యలను తీసుకుందాం, వాటి విస్తరణలు ప్రధాన కారకాలుగా ఈ క్రింది విధంగా ఉన్నాయి: 75=3 5 5 మరియు 210=2 3 5 7 . సంఖ్య 75 యొక్క కుళ్ళిపోవడం నుండి 3, 5 మరియు 5 కారకాలకు, మేము 210 సంఖ్య యొక్క కుళ్ళిపోవడం నుండి తప్పిపోయిన కారకాలు 2 మరియు 7 ను జోడిస్తాము, మేము ఉత్పత్తి 2 3 5 5 7 ను పొందుతాము, దీని విలువ LCM(75 , 210)

84 మరియు 648 యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనండి.

మేము మొదట 84 మరియు 648 సంఖ్యల కుళ్ళిపోవడాన్ని ప్రధాన కారకాలుగా పొందుతాము. అవి 84=2 2 3 7 మరియు 648=2 2 2 3 3 3 3 లాగా కనిపిస్తాయి. సంఖ్య 84 యొక్క కుళ్ళిపోవడం నుండి 2, 2, 3 మరియు 7 కారకాలకు మేము 648 సంఖ్య యొక్క కుళ్ళిపోవడం నుండి తప్పిపోయిన కారకాలు 2, 3, 3 మరియు 3ని జోడిస్తాము, మేము ఉత్పత్తిని పొందుతాము 2 2 2 3 3 3 3 3 7 , ఇది 4 536కి సమానం. ఈ విధంగా, 84 మరియు 648 సంఖ్యల యొక్క కనీస సాధారణ గుణకం 4,536.

మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల LCMని కనుగొనడం

రెండు సంఖ్యల LCMని వరుసగా కనుగొనడం ద్వారా మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనవచ్చు. సంబంధిత సిద్ధాంతాన్ని గుర్తుకు తెచ్చుకోండి, ఇది మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల LCMని కనుగొనడానికి మార్గాన్ని ఇస్తుంది.

ధనాత్మక పూర్ణాంకాలు a 1 , a 2 , ..., a k ఇవ్వబడనివ్వండి, ఈ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ బహుళ m k వరుస గణన m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

నాలుగు సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనే ఉదాహరణలో ఈ సిద్ధాంతం యొక్క అనువర్తనాన్ని పరిగణించండి.

140, 9, 54 మరియు 250 అనే నాలుగు సంఖ్యల LCMని కనుగొనండి.

ముందుగా మనం m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . దీన్ని చేయడానికి, యూక్లిడియన్ అల్గోరిథం ఉపయోగించి, మేము gcd(140, 9)ని నిర్ణయిస్తాము, మనకు 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , కాబట్టి, gcd( 140, 9)=1 , ఎక్కడ నుండి LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 . అంటే, m 2 =1 260 .

ఇప్పుడు మనం m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . దానిని gcd(1 260, 54) ద్వారా గణిద్దాం, ఇది యూక్లిడ్ అల్గోరిథం ద్వారా కూడా నిర్ణయించబడుతుంది: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . అప్పుడు gcd(1 260, 54)=18 , ఎక్కడ నుండి LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . అంటే, m 3 \u003d 3 780.

ఇది m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) . దీన్ని చేయడానికి, మేము యూక్లిడ్ అల్గారిథమ్‌ని ఉపయోగించి GCD(3 780, 250)ని కనుగొంటాము: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . కాబట్టి, gcd(3 780, 250)=10 , అందుకే LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . అంటే, m 4 \u003d 94 500.

కాబట్టి అసలు నాలుగు సంఖ్యలలో అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం 94,500.

LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .

అనేక సందర్భాల్లో, ఇచ్చిన సంఖ్యల ప్రధాన కారకాన్ని ఉపయోగించి మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం సౌకర్యవంతంగా కనుగొనబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, కింది నియమాన్ని అనుసరించాలి. అనేక సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం ఉత్పత్తికి సమానం, ఇది క్రింది విధంగా కూర్చబడింది: రెండవ సంఖ్య యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన కారకాలు మొదటి సంఖ్య యొక్క విస్తరణ నుండి అన్ని కారకాలకు జోడించబడతాయి, విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన కారకాలు మూడవ సంఖ్య పొందిన కారకాలకు జోడించబడుతుంది మరియు మొదలైనవి.

ప్రధాన కారకాలుగా సంఖ్యల కుళ్ళిపోవడాన్ని ఉపయోగించి అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనే ఉదాహరణను పరిగణించండి.

ఐదు సంఖ్యల 84, 6, 48, 7, 143 యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణింతాన్ని కనుగొనండి.

మొదట, మేము ఈ సంఖ్యల కుళ్ళిపోవడాన్ని ప్రధాన కారకాలుగా పొందుతాము: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 అనేది ఒక ప్రధాన సంఖ్య, ఇది దాని కుళ్ళిపోవడంతో ప్రధాన కారకాలుగా మారుతుంది) మరియు 143=11 13 .

ఈ సంఖ్యల LCMని కనుగొనడానికి, మొదటి సంఖ్య 84 (అవి 2, 2, 3 మరియు 7) యొక్క కారకాలకు మీరు రెండవ సంఖ్య 6 యొక్క కుళ్ళిపోవడం నుండి తప్పిపోయిన కారకాలను జోడించాలి. మొదటి సంఖ్య 84 యొక్క విస్తరణలో 2 మరియు 3 రెండూ ఇప్పటికే ఉన్నందున, సంఖ్య 6 యొక్క విస్తరణ తప్పిపోయిన కారకాలను కలిగి ఉండదు. 2 , 2 , 3 మరియు 7 కారకాలకు అదనంగా మేము మూడవ సంఖ్య 48 యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన కారకాలు 2 మరియు 2 లను జోడిస్తాము , మేము 2 , 2 , 2 , 2 , 3 మరియు 7 కారకాల సమితిని పొందుతాము. తదుపరి దశలో ఈ సెట్‌కు కారకాలను జోడించాల్సిన అవసరం లేదు, ఎందుకంటే 7 ఇప్పటికే ఇందులో ఉంది. చివరగా, 2 , 2 , 2 , 2 , 3 మరియు 7 కారకాలకు మేము 143 సంఖ్య యొక్క విస్తరణ నుండి తప్పిపోయిన కారకాలు 11 మరియు 13 లను జోడిస్తాము. మేము ఉత్పత్తిని పొందుతాము 2 2 2 2 3 7 11 13 , ఇది 48 048కి సమానం.

కాబట్టి, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

ప్రతికూల సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడం

కొన్నిసార్లు మీరు సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకారాన్ని కనుగొనవలసిన పనులు ఉన్నాయి, వాటిలో ఒకటి, అనేక లేదా అన్ని సంఖ్యలు ప్రతికూలంగా ఉంటాయి. ఈ సందర్భాలలో, అన్ని ప్రతికూల సంఖ్యలు తప్పనిసరిగా వాటి వ్యతిరేక సంఖ్యలతో భర్తీ చేయబడాలి, దాని తర్వాత సానుకూల సంఖ్యల LCM కనుగొనబడాలి. ప్రతికూల సంఖ్యల LCMని కనుగొనడానికి ఇది మార్గం. ఉదాహరణకు, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) మరియు LCM(−622, −46, −54, -888)= LCM(622, 46, 54, 888) .

a యొక్క గుణిజాలు −a (a మరియు −a వ్యతిరేక సంఖ్యలు) యొక్క గుణకాల సమితికి సమానంగా ఉన్నందున మనం దీన్ని చేయవచ్చు. నిజానికి, b అనేది a యొక్క కొంత గుణకారంగా ఉండనివ్వండి, ఆపై b అనేది a ద్వారా భాగించబడుతుంది మరియు భాగస్వామ్య భావన అటువంటి పూర్ణాంకం q ఉనికిని నొక్కి చెబుతుంది, అది b=a q . కానీ సమానత్వం b=(-a)·(−q) కూడా నిజం అవుతుంది, అదే విభజన భావన కారణంగా, b అనేది −aతో భాగించబడుతుంది, అంటే b అనేది −a గుణకం. సంభాషణ ప్రకటన కూడా నిజం: b అనేది −a యొక్క కొంత గుణకం అయితే, b కూడా a యొక్క గుణకం.

ప్రతికూల సంఖ్యల −145 మరియు −45 యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనండి.

ప్రతికూల సంఖ్యలు −145 మరియు −45లను వాటి వ్యతిరేక సంఖ్యలు 145 మరియు 45తో భర్తీ చేద్దాం. మాకు LCM(−145, -45)=LCM(145, 45) . gcd(145, 45)=5 (ఉదాహరణకు, యూక్లిడ్ అల్గోరిథం ఉపయోగించి), మేము LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305ని గణిస్తాము. అందువలన, ప్రతికూల పూర్ణాంకాల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం −145 మరియు −45 1,305 .

www.cleverstudents.ru

మేము విభజనను అధ్యయనం చేస్తూనే ఉన్నాము. ఈ పాఠంలో, మేము వంటి భావనలను పరిశీలిస్తాము GCDమరియు NOC.

GCDగొప్ప సాధారణ విభజన.

NOCఅతి తక్కువ సాధారణ గుణకం.

అంశం చాలా బోరింగ్, కానీ దానిని అర్థం చేసుకోవడం అవసరం. ఈ అంశాన్ని అర్థం చేసుకోకుండా, మీరు గణితంలో నిజమైన అడ్డంకి అయిన భిన్నాలతో సమర్థవంతంగా పని చేయలేరు.

గ్రేటెస్ట్ కామన్ డివైజర్

నిర్వచనం. సంఖ్యల గ్రేటెస్ట్ కామన్ డివైజర్ aమరియు బి aమరియు బిమిగిలిన లేకుండా విభజించబడింది.

ఈ నిర్వచనాన్ని బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి, మేము వేరియబుల్స్‌కు బదులుగా ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము aమరియు బిఏదైనా రెండు సంఖ్యలు, ఉదాహరణకు, వేరియబుల్‌కు బదులుగా aసంఖ్య 12 మరియు వేరియబుల్‌కు బదులుగా ప్రత్యామ్నాయం చేయండి బిసంఖ్య 9. ఇప్పుడు ఈ నిర్వచనాన్ని చదవడానికి ప్రయత్నిద్దాం:

సంఖ్యల గ్రేటెస్ట్ కామన్ డివైజర్ 12 మరియు 9 దీని ద్వారా అతిపెద్ద సంఖ్య 12 మరియు 9 మిగిలిన లేకుండా విభజించబడింది.

మేము 12 మరియు 9 సంఖ్యల సాధారణ భాగహారం గురించి మాట్లాడుతున్నామని నిర్వచనం నుండి స్పష్టంగా తెలుస్తుంది మరియు ఈ డివైజర్ ప్రస్తుతం ఉన్న అన్ని డివైజర్లలో అతిపెద్దది. ఈ గొప్ప సాధారణ విభజన (gcd) తప్పనిసరిగా కనుగొనబడాలి.

రెండు సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజనను కనుగొనడానికి, మూడు పద్ధతులు ఉపయోగించబడతాయి. మొదటి పద్ధతి చాలా సమయం తీసుకుంటుంది, కానీ ఇది టాపిక్ యొక్క సారాంశాన్ని బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి మరియు దాని మొత్తం అర్థాన్ని అనుభవించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

రెండవ మరియు మూడవ పద్ధతులు చాలా సరళమైనవి మరియు GCDని త్వరగా కనుగొనడం సాధ్యం చేస్తాయి. మేము మూడు పద్ధతులను పరిశీలిస్తాము. మరియు ఆచరణలో ఏమి దరఖాస్తు - మీరు ఎంచుకోండి.

మొదటి మార్గం ఏమిటంటే, రెండు సంఖ్యల యొక్క సాధ్యమైన అన్ని భాగహారాలను కనుగొని, వాటిలో అతిపెద్దదాన్ని ఎంచుకోవడం. కింది ఉదాహరణలో ఈ పద్ధతిని పరిశీలిద్దాం: 12 మరియు 9 సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజనను కనుగొనండి.

ముందుగా, మేము 12 సంఖ్య యొక్క సాధ్యమయ్యే అన్ని విభజనలను కనుగొంటాము. దీన్ని చేయడానికి, మేము 1 నుండి 12 వరకు ఉన్న అన్ని డివైజర్‌లుగా 12ని విభజిస్తాము. డివైజర్ 12ని శేషం లేకుండా విభజించడానికి అనుమతిస్తే, మేము దానిని నీలం రంగులో హైలైట్ చేస్తాము మరియు బ్రాకెట్లలో తగిన వివరణ.

12: 1 = 12
(12ని శేషం లేకుండా 1తో భాగించగా, 1 అనేది 12కి భాగహారం)

12: 2 = 6
(12ని శేషం లేకుండా 2తో విభజించారు, కాబట్టి 2 అనేది 12 యొక్క భాగహారం)

12: 3 = 4
(12 శేషం లేకుండా 3తో భాగించబడింది, కాబట్టి 3 అనేది 12 యొక్క భాగహారం)

12: 4 = 3
(12 శేషం లేకుండా 4తో భాగించబడింది, కాబట్టి 4 12 యొక్క భాగహారం)

12:5 = 2 (2 ఎడమ)
(12 అనేది శేషం లేకుండా 5తో భాగించబడలేదు, కాబట్టి 5 అనేది 12 యొక్క భాగహారం కాదు)

12: 6 = 2
(12ని శేషం లేకుండా 6తో విభజించారు, కాబట్టి 6 అనేది 12 యొక్క భాగహారం)

12: 7 = 1 (5 మిగిలి ఉంది)
(12 అనేది శేషం లేకుండా 7తో భాగించబడదు, కాబట్టి 7 అనేది 12 యొక్క భాజకం కాదు)

12: 8 = 1 (4 ఎడమ)
(12 అనేది శేషం లేకుండా 8తో భాగించబడలేదు, కాబట్టి 8 అనేది 12 యొక్క భాగహారం కాదు)

12:9 = 1 (3 మిగిలి ఉంది)
(12 అనేది శేషం లేకుండా 9తో భాగించబడదు, కాబట్టి 9 12 యొక్క భాజకం కాదు)

12: 10 = 1 (2 ఎడమ)
(12 అనేది శేషం లేకుండా 10తో భాగించబడలేదు, కాబట్టి 10 అనేది 12 యొక్క భాగహారం కాదు)

12:11 = 1 (1 మిగిలి ఉంది)
(12 అనేది శేషం లేకుండా 11తో భాగించబడదు, కాబట్టి 11 అనేది 12 యొక్క భాజకం కాదు)

12: 12 = 1
(12ని శేషం లేకుండా 12తో విభజించారు, కాబట్టి 12 అనేది 12కి భాగహారం)

ఇప్పుడు సంఖ్య 9 యొక్క భాగహారాలను కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, 1 నుండి 9 వరకు అన్ని భాగహారాలను తనిఖీ చేయండి.

9: 1 = 9
(9 శేషం లేకుండా 1తో భాగించబడుతుంది, కాబట్టి 1 అనేది 9 యొక్క భాగహారం)

9: 2 = 4 (1 ఎడమ)
(9 శేషం లేకుండా 2తో భాగించబడదు, కాబట్టి 2 9 యొక్క భాగహారం కాదు)

9: 3 = 3
(9 శేషం లేకుండా 3తో భాగించబడింది, కాబట్టి 3 అనేది 9 యొక్క భాగహారం)

9: 4 = 2 (1 మిగిలి ఉంది)
(9 అనేది శేషం లేకుండా 4తో భాగించబడదు, కాబట్టి 4 9 యొక్క భాగహారం కాదు)

9:5 = 1 (4 ఎడమ)
(9 అనేది శేషం లేకుండా 5తో భాగించబడదు, కాబట్టి 5 అనేది 9 యొక్క భాజకం కాదు)

9: 6 = 1 (3 ఎడమ)
(9 శేషం లేకుండా 6తో భాగించబడలేదు, కాబట్టి 6 9 యొక్క భాగహారం కాదు)

9:7 = 1 (2 ఎడమ)
(9 అనేది శేషం లేకుండా 7తో భాగించబడదు, కాబట్టి 7 అనేది 9 యొక్క భాజకం కాదు)

9:8 = 1 (1 మిగిలి ఉంది)
(9 అనేది శేషం లేకుండా 8తో భాగించబడదు, కాబట్టి 8 అనేది 9 యొక్క భాజకం కాదు)

9: 9 = 1
(9 శేషం లేకుండా 9తో భాగించబడుతుంది, కాబట్టి 9 అనేది 9 యొక్క భాజకం)

ఇప్పుడు రెండు సంఖ్యల విభజనలను వ్రాయండి. నీలం రంగులో హైలైట్ చేయబడిన సంఖ్యలు భాగహారాలు. వాటిని వ్రాద్దాం:

విభజనలను వ్రాసిన తరువాత, ఏది అతిపెద్దది మరియు అత్యంత సాధారణమైనది అని మీరు వెంటనే నిర్ణయించవచ్చు.

నిర్వచనం ప్రకారం, 12 మరియు 9 యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారం 12 మరియు 9 సమానంగా విభజించబడే సంఖ్య. 12 మరియు 9 సంఖ్యల యొక్క గొప్ప మరియు సాధారణ విభజన సంఖ్య 3

సంఖ్య 12 మరియు సంఖ్య 9 రెండూ శేషం లేకుండా 3 ద్వారా భాగించబడతాయి:

కాబట్టి gcd (12 మరియు 9) = 3

GCDని కనుగొనడానికి రెండవ మార్గం

ఇప్పుడు గొప్ప సాధారణ విభజనను కనుగొనడానికి రెండవ మార్గాన్ని పరిగణించండి. ఈ పద్ధతి యొక్క సారాంశం రెండు సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా విడదీయడం మరియు సాధారణ వాటిని గుణించడం.

ఉదాహరణ 1. 24 మరియు 18 సంఖ్యల GCDని కనుగొనండి

ముందుగా, రెండు సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా పరిశీలిద్దాం:

ఇప్పుడు మేము వారి సాధారణ కారకాలను గుణిస్తాము. గందరగోళం చెందకుండా ఉండటానికి, సాధారణ కారకాలను అండర్లైన్ చేయవచ్చు.

మేము సంఖ్య 24 యొక్క కుళ్ళిపోవడాన్ని పరిశీలిస్తాము. దాని మొదటి కారకం 2. మేము 18 సంఖ్య యొక్క కుళ్ళిపోవడంలో అదే కారకం కోసం వెతుకుతున్నాము మరియు అది కూడా ఉందని చూడండి. మేము రెండింటినీ అండర్లైన్ చేస్తాము:

మళ్ళీ మనం 24 సంఖ్య యొక్క కుళ్ళిపోవడాన్ని పరిశీలిస్తాము. దాని రెండవ అంశం కూడా 2. మేము 18 సంఖ్య యొక్క కుళ్ళిపోవటంలో అదే కారకం కోసం వెతుకుతున్నాము మరియు అది రెండవ సారి అక్కడ లేదు. అప్పుడు మనం దేనినీ హైలైట్ చేయము.

24 సంఖ్య యొక్క విస్తరణలో తదుపరి రెండు సంఖ్య 18 యొక్క విస్తరణలో కూడా లేదు.

మేము సంఖ్య 24 యొక్క కుళ్ళిపోవడంలో చివరి కారకం వరకు వెళతాము. ఇది కారకం 3. మేము 18 సంఖ్య యొక్క కుళ్ళిపోవటంలో అదే కారకం కోసం చూస్తున్నాము మరియు అది కూడా ఉందని మేము చూస్తాము. మేము ఈ మూడింటిని నొక్కిచెబుతున్నాము:

కాబట్టి, 24 మరియు 18 సంఖ్యల సాధారణ కారకాలు 2 మరియు 3 కారకాలు. GCDని పొందడానికి, ఈ కారకాలు తప్పనిసరిగా గుణించాలి:

కాబట్టి gcd (24 మరియు 18) = 6

GCDని కనుగొనడానికి మూడవ మార్గం

ఇప్పుడు గొప్ప సాధారణ విభజనను కనుగొనడానికి మూడవ మార్గాన్ని పరిగణించండి. ఈ పద్ధతి యొక్క సారాంశం ఏమిటంటే, గొప్ప సాధారణ విభజన కోసం శోధించాల్సిన సంఖ్యలు ప్రధాన కారకాలుగా కుళ్ళిపోతాయి. అప్పుడు, మొదటి సంఖ్య యొక్క కుళ్ళిపోవడం నుండి, రెండవ సంఖ్య యొక్క కుళ్ళిపోవడంలో చేర్చబడని కారకాలు తొలగించబడతాయి. మొదటి విస్తరణలో మిగిలిన సంఖ్యలు గుణించబడతాయి మరియు GCDని పొందుతాయి.

ఉదాహరణకు, 28 మరియు 16 సంఖ్యల కోసం GCDని ఈ విధంగా కనుగొనండి. అన్నింటిలో మొదటిది, మేము ఈ సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా విడదీస్తాము:

మాకు రెండు విస్తరణలు వచ్చాయి: మరియు

ఇప్పుడు, మొదటి సంఖ్య యొక్క విస్తరణ నుండి, రెండవ సంఖ్య యొక్క విస్తరణలో చేర్చబడని కారకాలను మేము తొలగిస్తాము. రెండవ సంఖ్య యొక్క విస్తరణ ఏడును కలిగి ఉండదు. మేము దానిని మొదటి విస్తరణ నుండి తొలగిస్తాము:

ఇప్పుడు మనం మిగిలిన కారకాలను గుణించి GCDని పొందుతాము:

సంఖ్య 4 అనేది 28 మరియు 16 సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారం. ఈ రెండు సంఖ్యలు శేషం లేకుండా 4తో భాగించబడతాయి:

ఉదాహరణ 2 100 మరియు 40 సంఖ్యల GCDని కనుగొనండి

100 సంఖ్యను ఫ్యాక్టర్ చేయడం

40 సంఖ్యను ఫ్యాక్టర్ చేయడం

మాకు రెండు విస్తరణలు వచ్చాయి:

ఇప్పుడు, మొదటి సంఖ్య యొక్క విస్తరణ నుండి, రెండవ సంఖ్య యొక్క విస్తరణలో చేర్చబడని కారకాలను మేము తొలగిస్తాము. రెండవ సంఖ్య యొక్క విస్తరణలో ఒక ఐదు ఉండదు (ఒక ఐదు మాత్రమే ఉంది). మేము దానిని మొదటి కుళ్ళిన నుండి తొలగిస్తాము

మిగిలిన సంఖ్యలను గుణించండి:

మాకు సమాధానం 20 వచ్చింది. కాబట్టి 20 సంఖ్య 100 మరియు 40 సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారం. ఈ రెండు సంఖ్యలు శేషం లేకుండా 20తో భాగించబడతాయి:

GCD (100 మరియు 40) = 20.

ఉదాహరణ 3 72 మరియు 128 సంఖ్యల gcdని కనుగొనండి

72 సంఖ్యను ఫ్యాక్టర్ చేయడం

128 సంఖ్యను ఫ్యాక్టర్ చేయడం

2×2×2×2×2×2×2

ఇప్పుడు, మొదటి సంఖ్య యొక్క విస్తరణ నుండి, రెండవ సంఖ్య యొక్క విస్తరణలో చేర్చబడని కారకాలను మేము తొలగిస్తాము. రెండవ సంఖ్య యొక్క విస్తరణలో రెండు ట్రిపుల్‌లు ఉండవు (ఏవీ లేవు). మేము వాటిని మొదటి విస్తరణ నుండి తొలగిస్తాము:

మాకు సమాధానం 8 వచ్చింది. కాబట్టి 72 మరియు 128 సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారం 8. ఈ రెండు సంఖ్యలు శేషం లేకుండా 8తో భాగించబడతాయి:

GCD (72 మరియు 128) = 8

బహుళ సంఖ్యల కోసం GCDని కనుగొనడం

రెండు సంఖ్యలకు మాత్రమే కాకుండా అనేక సంఖ్యల కోసం గొప్ప సాధారణ విభజనను కనుగొనవచ్చు. దీని కోసం, గొప్ప సాధారణ విభజన కోసం కనుగొనబడే సంఖ్యలు ప్రధాన కారకాలుగా కుళ్ళిపోతాయి, అప్పుడు ఈ సంఖ్యల యొక్క సాధారణ ప్రధాన కారకాల యొక్క ఉత్పత్తి కనుగొనబడుతుంది.

ఉదాహరణకు, 18, 24 మరియు 36 సంఖ్యల కోసం GCDని కనుగొనండి

18 సంఖ్యను కారకం

24 సంఖ్యను కారకం

36 సంఖ్యను కారకం

మేము మూడు విస్తరణలను పొందాము:

ఇప్పుడు మేము ఈ సంఖ్యలలోని సాధారణ కారకాలను ఎంచుకుని, అండర్లైన్ చేస్తాము. మూడు సంఖ్యలలో సాధారణ కారకాలు తప్పనిసరిగా చేర్చబడాలి:

18, 24 మరియు 36 సంఖ్యలకు సాధారణ కారకాలు 2 మరియు 3 కారకాలు అని మేము చూస్తాము. ఈ కారకాలను గుణించడం ద్వారా, మనం వెతుకుతున్న GCDని పొందుతాము:

మాకు సమాధానం 6 వచ్చింది. కాబట్టి 18, 24 మరియు 36 సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారం సంఖ్య 6. ఈ మూడు సంఖ్యలు శేషం లేకుండా 6తో భాగించబడతాయి:

GCD (18, 24 మరియు 36) = 6

ఉదాహరణ 2 12, 24, 36 మరియు 42 సంఖ్యల కోసం gcdని కనుగొనండి

ప్రతి సంఖ్యను కారకం చేద్దాం. అప్పుడు మేము ఈ సంఖ్యల యొక్క సాధారణ కారకాల యొక్క ఉత్పత్తిని కనుగొంటాము.

12 సంఖ్యను కారకం చేయడం

42 సంఖ్యను కారకం

మేము నాలుగు విస్తరణలను పొందాము:

ఇప్పుడు మేము ఈ సంఖ్యలలోని సాధారణ కారకాలను ఎంచుకుని, అండర్లైన్ చేస్తాము. నాలుగు సంఖ్యలలో సాధారణ కారకాలు తప్పనిసరిగా చేర్చబడాలి:

12, 24, 36 మరియు 42 సంఖ్యలకు సాధారణ కారకాలు 2 మరియు 3 కారకాలు అని మనం చూస్తాము. ఈ కారకాలను గుణించడం ద్వారా, మనం వెతుకుతున్న GCDని పొందుతాము:

మాకు సమాధానం 6 వచ్చింది. కాబట్టి సంఖ్య 6 అనేది 12, 24, 36 మరియు 42 సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాగహారం. ఈ సంఖ్యలు శేషం లేకుండా 6తో భాగించబడతాయి:

gcd(12, 24, 36 మరియు 42) = 6

మునుపటి పాఠం నుండి, కొంత సంఖ్యను శేషం లేకుండా మరొకదానితో భాగించినట్లయితే, దానిని ఈ సంఖ్య యొక్క గుణకం అంటారు.

అనేక సంఖ్యలకు బహుళ సాధారణం కావచ్చని తేలింది. ఇప్పుడు మనం రెండు సంఖ్యల గుణింతంపై ఆసక్తి చూపుతాము, అయితే అది వీలైనంత చిన్నదిగా ఉండాలి.

నిర్వచనం. అతి తక్కువ సాధారణ బహుళ (LCM) సంఖ్యలు aమరియు b- aమరియు బి aమరియు సంఖ్య బి.

నిర్వచనంలో రెండు వేరియబుల్స్ ఉంటాయి aమరియు బి. ఈ వేరియబుల్స్ కోసం ఏదైనా రెండు సంఖ్యలను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం. ఉదాహరణకు, వేరియబుల్‌కు బదులుగా aసంఖ్య 9ని మరియు వేరియబుల్‌కు బదులుగా ప్రత్యామ్నాయం చేయండి బిసంఖ్య 12ని ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం. ఇప్పుడు నిర్వచనాన్ని చదవడానికి ప్రయత్నిద్దాం:

అతి తక్కువ సాధారణ బహుళ (LCM) సంఖ్యలు 9 మరియు 12 - గుణకారంగా ఉండే అతి చిన్న సంఖ్య 9 మరియు 12 . మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఇది సంఖ్యతో శేషం లేకుండా భాగించబడే చిన్న సంఖ్య 9 మరియు సంఖ్యపై 12 .

LCM అనేది శేషం లేకుండా 9 మరియు 12తో భాగించబడే అతి చిన్న సంఖ్య అని నిర్వచనం నుండి స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. ఈ LCMని కనుగొనడం అవసరం.

అతి తక్కువ సాధారణ బహుళ (LCM)ని కనుగొనడానికి రెండు మార్గాలు ఉన్నాయి. మొదటి మార్గం ఏమిటంటే, మీరు రెండు సంఖ్యల మొదటి గుణిజాలను వ్రాసి, ఆపై ఈ గుణకాలలో సంఖ్యలు మరియు చిన్నవి రెండింటికీ ఉమ్మడిగా ఉండే సంఖ్యను ఎంచుకోవచ్చు. ఈ పద్ధతిని వర్తింపజేద్దాం.

అన్నింటిలో మొదటిది, 9 సంఖ్యకు మొదటి గుణిజాలను కనుగొనండి. 9 కోసం గుణిజాలను కనుగొనడానికి, మీరు ఈ తొమ్మిదిని 1 నుండి 9 వరకు ఉన్న సంఖ్యలతో గుణించాలి. మీకు వచ్చే సమాధానాలు 9 సంఖ్య యొక్క గుణకాలుగా ఉంటాయి. , మొదలు పెడదాం. మల్టిపుల్‌లు ఎరుపు రంగులో హైలైట్ చేయబడతాయి:

ఇప్పుడు మనం 12 సంఖ్యకు గుణిజాలను కనుగొంటాము. దీన్ని చేయడానికి, మేము 1 నుండి 12 వరకు ఉన్న అన్ని సంఖ్యలతో 12ని గుణిస్తాము.

మేము LCMలో ప్రారంభించిన అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం గురించి చర్చను కొనసాగిద్దాం - తక్కువ సాధారణ మల్టిపుల్, డెఫినిషన్, ఉదాహరణలు విభాగంలో. ఈ అంశంలో, మేము మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల కోసం LCMని కనుగొనే మార్గాలను పరిశీలిస్తాము, ప్రతికూల సంఖ్య యొక్క LCMని ఎలా కనుగొనాలనే ప్రశ్నను విశ్లేషిస్తాము.

Yandex.RTB R-A-339285-1

gcd ద్వారా అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం (LCM) యొక్క గణన

మేము ఇప్పటికే అతి తక్కువ సాధారణ మల్టిపుల్ మరియు గ్రేటెస్ట్ కామన్ డివైజర్ మధ్య సంబంధాన్ని ఏర్పరచుకున్నాము. ఇప్పుడు GCD ద్వారా LCMని ఎలా నిర్వచించాలో తెలుసుకుందాం. మొదట, సానుకూల సంఖ్యల కోసం దీన్ని ఎలా చేయాలో చూద్దాం.

నిర్వచనం 1

మీరు LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) ఫార్ములాని ఉపయోగించి గొప్ప సాధారణ విభజన ద్వారా అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనవచ్చు.

ఉదాహరణ 1

126 మరియు 70 సంఖ్యల LCMని కనుగొనడం అవసరం.

పరిష్కారం

a = 126 , b = 70 తీసుకుందాం. గ్రేటెస్ట్ కామన్ డివైజర్ LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) ద్వారా అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని లెక్కించడానికి సూత్రంలోని విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి.

70 మరియు 126 సంఖ్యల GCDని కనుగొంటుంది. దీని కోసం మనకు యూక్లిడ్ అల్గోరిథం అవసరం: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , అందుకే gcd (126 , 70) = 14 .

LCMని గణిద్దాం: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

సమాధానం: LCM (126, 70) = 630.

ఉదాహరణ 2

68 మరియు 34 సంఖ్యల సంఖ్యను కనుగొనండి.

పరిష్కారం

ఈ సందర్భంలో GCDని కనుగొనడం సులభం, ఎందుకంటే 68 34తో భాగించబడుతుంది. సూత్రాన్ని ఉపయోగించి అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని లెక్కించండి: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

సమాధానం: LCM(68, 34) = 68.

ఈ ఉదాహరణలో, a మరియు b ధనాత్మక పూర్ణాంకాల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి మేము నియమాన్ని ఉపయోగించాము: మొదటి సంఖ్య రెండవ సంఖ్యతో భాగించబడినట్లయితే, ఈ సంఖ్యల LCM మొదటి సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది.

ప్రధాన కారకాలలో సంఖ్యలను ఫ్యాక్టరింగ్ చేయడం ద్వారా LCMని కనుగొనడం

ఇప్పుడు LCMని కనుగొనే మార్గాన్ని చూద్దాం, ఇది సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా విభజించడంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

నిర్వచనం 2

అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి, మేము అనేక సాధారణ దశలను అమలు చేయాలి:

• మేము LCMని కనుగొనవలసిన సంఖ్యల యొక్క అన్ని ప్రధాన కారకాల యొక్క ఉత్పత్తిని తయారు చేస్తాము;
• మేము వారి పొందిన ఉత్పత్తుల నుండి అన్ని ప్రధాన కారకాలను మినహాయిస్తాము;
• సాధారణ ప్రధాన కారకాలను తొలగించిన తర్వాత పొందిన ఉత్పత్తి ఇచ్చిన సంఖ్యల LCMకి సమానంగా ఉంటుంది.

అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనే ఈ మార్గం సమానత్వం LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . మీరు సూత్రాన్ని పరిశీలిస్తే, అది స్పష్టమవుతుంది: a మరియు b సంఖ్యల ఉత్పత్తి ఈ రెండు సంఖ్యల విస్తరణలో పాల్గొన్న అన్ని కారకాల ఉత్పత్తికి సమానం. ఈ సందర్భంలో, రెండు సంఖ్యల GCD ఈ రెండు సంఖ్యల కారకంలో ఏకకాలంలో ఉండే అన్ని ప్రధాన కారకాల యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం.

ఉదాహరణ 3

మాకు 75 మరియు 210 అనే రెండు సంఖ్యలు ఉన్నాయి. మేము వాటిని ఇలా వర్గీకరించవచ్చు: 75 = 3 5 5మరియు 210 = 2 3 5 7. మీరు రెండు అసలైన సంఖ్యల యొక్క అన్ని కారకాల యొక్క ఉత్పత్తిని చేస్తే, మీరు పొందుతారు: 2 3 3 5 5 5 7.

మేము 3 మరియు 5 సంఖ్యలకు సాధారణ కారకాలను మినహాయిస్తే, మేము ఈ క్రింది ఫారమ్ యొక్క ఉత్పత్తిని పొందుతాము: 2 3 5 5 7 = 1050. ఈ ఉత్పత్తి 75 మరియు 210 సంఖ్యల కోసం మా LCM అవుతుంది.

ఉదాహరణ 4

సంఖ్యల LCMని కనుగొనండి 441 మరియు 700 , రెండు సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా విడదీయడం.

పరిష్కారం

పరిస్థితిలో ఇవ్వబడిన సంఖ్యల యొక్క అన్ని ప్రధాన కారకాలను కనుగొనండి:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

మేము రెండు గొలుసుల సంఖ్యలను పొందుతాము: 441 = 3 3 7 7 మరియు 700 = 2 2 5 5 7 .

ఈ సంఖ్యల విస్తరణలో పాల్గొన్న అన్ని కారకాల ఉత్పత్తి ఇలా కనిపిస్తుంది: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. సాధారణ కారకాలను కనుగొనండి. ఈ సంఖ్య 7. మేము దానిని సాధారణ ఉత్పత్తి నుండి మినహాయించాము: 2 2 3 3 5 5 7 7. NOC అని తేలింది (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

సమాధానం: LCM (441 , 700) = 44 100 .

సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా విడదీయడం ద్వారా LCMని కనుగొనే పద్ధతి యొక్క మరొక సూత్రీకరణను ఇద్దాం.

నిర్వచనం 3

మునుపు, మేము రెండు సంఖ్యలకు సాధారణ కారకాల మొత్తం సంఖ్య నుండి మినహాయించాము. ఇప్పుడు మేము దీన్ని భిన్నంగా చేస్తాము:

• రెండు సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా విడదీద్దాం:
• మొదటి సంఖ్య యొక్క ప్రధాన కారకాల యొక్క ఉత్పత్తికి రెండవ సంఖ్య యొక్క తప్పిపోయిన కారకాలను జోడించండి;
• మేము ఉత్పత్తిని పొందుతాము, ఇది రెండు సంఖ్యల కావలసిన LCM అవుతుంది.

ఉదాహరణ 5

75 మరియు 210 సంఖ్యలకు తిరిగి వెళ్దాం, దీని కోసం మేము ఇప్పటికే మునుపటి ఉదాహరణలలో ఒకదానిలో LCM కోసం చూశాము. వాటిని సాధారణ కారకాలుగా విభజిద్దాం: 75 = 3 5 5మరియు 210 = 2 3 5 7. కారకాలు 3, 5 మరియు 5 సంఖ్య 75 తప్పిపోయిన కారకాలను జోడించండి 2 మరియు 7 సంఖ్యలు 210. మాకు దొరికింది: 2 3 5 5 7 .ఇది 75 మరియు 210 సంఖ్యల LCM.

ఉదాహరణ 6

84 మరియు 648 సంఖ్యల LCMని లెక్కించడం అవసరం.

పరిష్కారం

పరిస్థితి నుండి సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా విడదీద్దాం: 84 = 2 2 3 7మరియు 648 = 2 2 2 3 3 3 3. 2 , 2 , 3 మరియు కారకాల ఉత్పత్తికి జోడించండి 7 సంఖ్యలు 84 తప్పిపోయిన కారకాలు 2 , 3 , 3 మరియు
3 సంఖ్యలు 648. మేము ఉత్పత్తిని పొందుతాము 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 .ఇది 84 మరియు 648 యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం.

సమాధానం: LCM (84, 648) = 4536.

మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల LCMని కనుగొనడం

మేము ఎన్ని సంఖ్యలతో వ్యవహరిస్తున్నప్పటికీ, మా చర్యల అల్గోరిథం ఎల్లప్పుడూ ఒకే విధంగా ఉంటుంది: మేము రెండు సంఖ్యల LCMని స్థిరంగా కనుగొంటాము. ఈ కేసుకు ఒక సిద్ధాంతం ఉంది.

సిద్ధాంతం 1

మనకు పూర్ణాంకాలు ఉన్నాయని అనుకుందాం a 1 , a 2 , ... , a k. NOC m kఈ సంఖ్యలలోని సీక్వెన్షియల్ లెక్కింపు m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k - 1 , a k) .

నిర్దిష్ట సమస్యలకు సిద్ధాంతాన్ని ఎలా అన్వయించవచ్చో ఇప్పుడు చూద్దాం.

ఉదాహరణ 7

మీరు 140 , 9 , 54 మరియు నాలుగు సంఖ్యలలో అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని లెక్కించాలి 250 .

పరిష్కారం

సంజ్ఞామానాన్ని పరిచయం చేద్దాం: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.

m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) గణించడం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం. 140 మరియు 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 సంఖ్యల GCDని లెక్కించడానికి యూక్లిడియన్ అల్గారిథమ్‌ని ఉపయోగిస్తాము. మేము పొందుతాము: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. కాబట్టి, m 2 = 1 260 .

ఇప్పుడు అదే అల్గోరిథం m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) ప్రకారం లెక్కిద్దాం. లెక్కల సమయంలో, మనకు m 3 = 3 780 వస్తుంది.

m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) గణించడం మాకు మిగిలి ఉంది. మేము అదే అల్గోరిథం ప్రకారం పని చేస్తాము. మేము m 4 \u003d 94 500 పొందుతాము.

ఉదాహరణ కండిషన్ నుండి నాలుగు సంఖ్యల LCM 94500.

సమాధానం: LCM (140, 9, 54, 250) = 94,500.

మీరు గమనిస్తే, లెక్కలు సరళమైనవి, కానీ చాలా శ్రమతో కూడుకున్నవి. సమయాన్ని ఆదా చేయడానికి, మీరు ఇతర మార్గంలో వెళ్ళవచ్చు.

నిర్వచనం 4

మేము మీకు క్రింది చర్యల అల్గారిథమ్‌ను అందిస్తున్నాము:

• అన్ని సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా విడదీయండి;
• మొదటి సంఖ్య యొక్క కారకాల యొక్క ఉత్పత్తికి, రెండవ సంఖ్య యొక్క ఉత్పత్తి నుండి తప్పిపోయిన కారకాలను జోడించండి;
• మునుపటి దశలో పొందిన ఉత్పత్తికి మూడవ సంఖ్య యొక్క తప్పిపోయిన కారకాలను జోడించండి.
• ఫలిత ఉత్పత్తి పరిస్థితి నుండి అన్ని సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం అవుతుంది.

ఉదాహరణ 8

84, 6, 48, 7, 143 అనే ఐదు సంఖ్యల LCMని కనుగొనడం అవసరం.

పరిష్కారం

మొత్తం ఐదు సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా విడదీద్దాం: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . ప్రధాన సంఖ్యలు, ఇది సంఖ్య 7, ప్రధాన కారకాలుగా కారకం చేయబడదు. అటువంటి సంఖ్యలు ప్రధాన కారకాలుగా వాటి కుళ్ళిపోవడంతో సమానంగా ఉంటాయి.

ఇప్పుడు 84 సంఖ్య యొక్క ప్రధాన కారకాలు 2, 2, 3 మరియు 7 ల ఉత్పత్తిని తీసుకుందాం మరియు వాటికి రెండవ సంఖ్య యొక్క తప్పిపోయిన కారకాలను జోడించండి. మేము 6 సంఖ్యను 2 మరియు 3గా విభజించాము. ఈ కారకాలు ఇప్పటికే మొదటి సంఖ్య యొక్క ఉత్పత్తిలో ఉన్నాయి. అందువల్ల, మేము వాటిని వదిలివేస్తాము.

మేము తప్పిపోయిన మల్టిప్లైయర్‌లను జోడించడాన్ని కొనసాగిస్తాము. మనం 2 మరియు 2ని తీసుకునే ప్రధాన కారకాల ఉత్పత్తి నుండి 48 సంఖ్యకు తిరుగుతాము. అప్పుడు మేము నాల్గవ సంఖ్య నుండి 7 యొక్క సాధారణ కారకాన్ని మరియు ఐదవ యొక్క 11 మరియు 13 యొక్క కారకాలను జోడిస్తాము. మనకు లభిస్తుంది: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. ఇది ఐదు అసలైన సంఖ్యలలో అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం.

సమాధానం: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

ప్రతికూల సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడం

ప్రతికూల సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని కనుగొనడానికి, ఈ సంఖ్యలను ముందుగా వ్యతిరేక గుర్తుతో సంఖ్యలతో భర్తీ చేయాలి, ఆపై పై అల్గారిథమ్‌ల ప్రకారం గణనలను నిర్వహించాలి.

ఉదాహరణ 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) మరియు LCM(−622,−46, -54,-888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

అది అంగీకరించినట్లయితే అటువంటి చర్యలు అనుమతించబడతాయి aమరియు − a- వ్యతిరేక సంఖ్యలు
అప్పుడు గుణిజాల సమితి aసంఖ్య యొక్క గుణకాల సమితితో సమానంగా ఉంటుంది − a.

ఉదాహరణ 10

ప్రతికూల సంఖ్యల LCMని లెక్కించడం అవసరం − 145 మరియు − 45 .

పరిష్కారం

సంఖ్యలను మారుద్దాం − 145 మరియు − 45 వారి వ్యతిరేక సంఖ్యలకు 145 మరియు 45 . ఇప్పుడు, అల్గోరిథం ఉపయోగించి, మేము LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , గతంలో యూక్లిడ్ అల్గోరిథం ఉపయోగించి GCDని నిర్ణయించాము.

మేము సంఖ్యల LCM − 145 మరియు − 45 సమానం 1 305 .

సమాధానం: LCM (− 145 , - 45) = 1 305 .

మీరు టెక్స్ట్‌లో పొరపాటును గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి