ఆన్‌లైన్ పరామితితో ఉత్పన్నం. పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం

వేరియబుల్స్ x, y అనేది మూడవ వేరియబుల్ t (పరామితి అని పిలుస్తారు) యొక్క విధులు అయిన ప్లేన్‌పై లైన్‌ను నిర్వచించడాన్ని పరిగణించండి:

ప్రతి విలువ కోసం tనిర్దిష్ట విరామం నుండి నిర్దిష్ట విలువలు అనుగుణంగా ఉంటాయి xమరియు y, a, కాబట్టి, విమానం యొక్క నిర్దిష్ట పాయింట్ M (x, y). ఎప్పుడు tఇచ్చిన విరామం నుండి అన్ని విలువల ద్వారా నడుస్తుంది, ఆపై పాయింట్ ఎం (x, y) కొన్ని లైన్లను వివరిస్తుంది ఎల్. సమీకరణాలను (2.2) పారామెట్రిక్ లైన్ సమీకరణాలు అంటారు ఎల్.

ఫంక్షన్ x = φ(t) విలోమ t = Ф(x) కలిగి ఉంటే, అప్పుడు ఈ వ్యక్తీకరణను y = g(t) సమీకరణంలోకి మార్చడం ద్వారా, మేము y = g(Ф(x))ని పొందుతాము, ఇది నిర్దేశిస్తుంది వైయొక్క విధిగా x. ఈ సందర్భంలో, సమీకరణాలు (2.2) ఫంక్షన్‌ను నిర్వచించాయని మేము చెప్తాము వైపారామెట్రిక్‌గా.

ఉదాహరణ 1.వీలు M(x,y)- వ్యాసార్థం యొక్క వృత్తంపై ఏకపక్ష బిందువు ఆర్మరియు మూలం వద్ద కేంద్రీకృతమై ఉంది. వీలు t- అక్షం మధ్య కోణం ఎద్దుమరియు వ్యాసార్థం ఓం(Fig. 2.3 చూడండి). అప్పుడు x, yద్వారా వ్యక్తీకరించబడతాయి t:

సమీకరణాలు (2.3) ఒక వృత్తం యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాలు. సమీకరణాల నుండి t పరామితిని మినహాయిద్దాం (2.3). దీన్ని చేయడానికి, మేము ప్రతి సమీకరణాన్ని వర్గీకరిస్తాము మరియు దానిని జోడిస్తాము, మనకు లభిస్తుంది: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) లేదా x 2 + y 2 = R 2 – కార్టేసియన్‌లోని వృత్తం యొక్క సమీకరణం నిరూపక వ్యవస్థ. ఇది రెండు ఫంక్షన్లను నిర్వచిస్తుంది: ఈ ఫంక్షన్లలో ప్రతి ఒక్కటి పారామెట్రిక్ సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది (2.3), కానీ మొదటి ఫంక్షన్ కోసం , మరియు రెండవది .

ఉదాహరణ 2. పారామెట్రిక్ సమీకరణాలు

అర్ధ-గొడ్డలితో దీర్ఘవృత్తాకారాన్ని నిర్వచించండి ఎ, బి(Fig. 2.4). సమీకరణాల నుండి పరామితిని మినహాయించడం t, మేము దీర్ఘవృత్తాకారం యొక్క కానానికల్ సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

ఉదాహరణ 3. సైక్లాయిడ్ అనేది ఈ వృత్తం సరళ రేఖలో స్లయిడింగ్ చేయకుండా రోల్ చేస్తే వృత్తంపై ఉన్న పాయింట్ ద్వారా వివరించబడిన పంక్తి (Fig. 2.5). సైక్లోయిడ్ యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాలను పరిచయం చేద్దాం. రోలింగ్ సర్కిల్ యొక్క వ్యాసార్థం ఉండనివ్వండి a, చుక్క ఎం, సైక్లాయిడ్‌ను వివరిస్తూ, కదలిక ప్రారంభంలో కోఆర్డినేట్‌ల మూలంతో ఏకీభవించింది.

అక్షాంశాలను నిర్ధారిద్దాం x, y పాయింట్లు ఎంవృత్తం ఒక కోణం ద్వారా తిప్పిన తర్వాత t
(Fig. 2.5), t = ÐMCB. ఆర్క్ పొడవు ఎం.బి.సెగ్మెంట్ పొడవుకు సమానం O.B.వృత్తం జారిపోకుండా తిరుగుతుంది కాబట్టి

OB = వద్ద, AB = MD = అసింట్, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – ఖర్చు).

కాబట్టి, సైక్లోయిడ్ యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాలు పొందబడ్డాయి:

పరామితిని మార్చేటప్పుడు t 0 నుండి 2πసర్కిల్ ఒక విప్లవం మరియు పాయింట్ తిరుగుతుంది ఎంసైక్లోయిడ్ యొక్క ఒక ఆర్క్‌ను వివరిస్తుంది. సమీకరణాలు (2.5) ఇస్తాయి వైయొక్క విధిగా x. ఫంక్షన్ అయినప్పటికీ x = a(t – sint)విలోమ ఫంక్షన్ ఉంది, కానీ అది ప్రాథమిక ఫంక్షన్ల పరంగా వ్యక్తీకరించబడదు, కాబట్టి ఫంక్షన్ y = f(x)ప్రాథమిక విధుల ద్వారా వ్యక్తీకరించబడదు.

సమీకరణాల (2.2) ద్వారా పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ యొక్క భేదాన్ని పరిశీలిద్దాం. మార్పు t యొక్క నిర్దిష్ట విరామంలో x = φ(t) ఫంక్షన్ విలోమ ఫంక్షన్‌ను కలిగి ఉంటుంది t = Ф(x), అప్పుడు y = g(Ф(x)). వీలు x = φ(t), y = g(t)ఉత్పన్నాలను కలిగి ఉంటాయి మరియు x"t≠0. సంక్లిష్ట విధుల భేదం యొక్క నియమం ప్రకారం y"x=y"t×t"x.విలోమ ఫంక్షన్ భేదం కోసం నియమం ఆధారంగా, కాబట్టి:

ఫలిత సూత్రం (2.6) పారామెట్రిక్‌గా పేర్కొన్న ఫంక్షన్ కోసం ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి అనుమతిస్తుంది.

ఉదాహరణ 4. ఫంక్షన్‌ని తెలియజేయండి వై, ఆదారపడినదాన్నిబట్టి x, పారామెట్రిక్‌గా పేర్కొనబడింది:

పరిష్కారం. .
ఉదాహరణ 5.వాలును కనుగొనండి కెపరామితి విలువకు అనుగుణంగా పాయింట్ M 0 వద్ద సైక్లాయిడ్‌కు టాంజెంట్.
పరిష్కారం.సైక్లోయిడ్ సమీకరణాల నుండి: y" t = asint, x" t = a(1 – ఖర్చు),అందుకే

ఒక పాయింట్ వద్ద టాంజెంట్ వాలు M0వద్ద ఉన్న విలువకు సమానం t 0 = π/4:

డిఫరెన్షియల్ ఫంక్షన్

పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ లెట్ x 0ఒక ఉత్పన్నం ఉంది. ఎ-ప్రియరీ:
అందువల్ల, పరిమితి (సెక్షన్ 1.8) యొక్క లక్షణాల ప్రకారం, ఎక్కడ a- వద్ద అనంతం Δx → 0. ఇక్కడనుంచి

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Δx → 0 వలె, సమానత్వంలో రెండవ పదం (2.7) దీనితో పోల్చితే, అధిక క్రమం యొక్క అనంతమైనది , కాబట్టి Δy మరియు f "(x 0)×Δx సమానం, అనంతం (f "(x 0) ≠ 0 కోసం).

అందువలన, ఫంక్షన్ Δy యొక్క ఇంక్రిమెంట్ రెండు పదాలను కలిగి ఉంటుంది, వీటిలో మొదటి f "(x 0)×Δx ముఖ్య భాగం ఇంక్రిమెంట్ Δy, Δxకి సంబంధించి లీనియర్ (f "(x 0)≠ 0 కోసం).

అవకలన x 0 పాయింట్ వద్ద f(x) ఫంక్షన్‌ని ఫంక్షన్ ఇంక్రిమెంట్ యొక్క ప్రధాన భాగం అంటారు మరియు సూచించబడుతుంది: డి వైలేదా df(x0). అందుకే,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

ఉదాహరణ 1.ఫంక్షన్ యొక్క అవకలనాన్ని కనుగొనండి డి వైమరియు ఫంక్షన్ Δy యొక్క ఇంక్రిమెంట్ y = x 2 ఫంక్షన్ కోసం:
1) ఏకపక్ష xమరియు Δ x; 2) x 0 = 20, Δx = 0.1.

పరిష్కారం

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) x 0 = 20, Δx = 0.1 అయితే, అప్పుడు Δy = 40×0.1 + (0.1) 2 = 4.01; dy = 40×0.1= 4.

సమానత్వం (2.7) రూపంలో వ్రాద్దాం:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

ఇంక్రిమెంట్ Δy అవకలన నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది డి వైΔxతో పోల్చితే, అధిక క్రమానికి అనంతం, కాబట్టి, ఉజ్జాయింపు గణనలలో, Δx తగినంత చిన్నగా ఉంటే సుమారు సమానత్వం Δy ≈ dy ఉపయోగించబడుతుంది.

Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0)ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము సుమారుగా సూత్రాన్ని పొందుతాము:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

ఉదాహరణ 2. సుమారుగా లెక్కించండి.

పరిష్కారం.పరిగణించండి:

ఫార్ములా (2.10) ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము:

కాబట్టి, ≈ 2.025.

అవకలన యొక్క రేఖాగణిత అర్థాన్ని పరిశీలిద్దాం df(x 0)(Fig. 2.6).

M 0 (x0, f(x 0)) పాయింట్ వద్ద y = f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్‌ని గీద్దాం, φ అనేది టాంజెంట్ KM0 మరియు ఆక్స్ అక్షం మధ్య కోణం, ఆపై f"( x 0) = tanφ. ΔM0NP నుండి:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). కానీ PN అనేది x 0 నుండి x 0 + Δxకి మారినప్పుడు టాంజెంట్ ఆర్డినేట్ యొక్క పెరుగుదల.

పర్యవసానంగా, x 0 పాయింట్ వద్ద f(x) ఫంక్షన్ యొక్క భేదం టాంజెంట్ యొక్క ఆర్డినేట్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్‌కి సమానం.

ఫంక్షన్ యొక్క అవకలనను కనుగొనండి
y = x. (x)" = 1 కాబట్టి, అప్పుడు dx = 1×Δx = Δx. స్వతంత్ర చరరాశి x యొక్క భేదం దాని ఇంక్రిమెంట్‌కు సమానం, అంటే dx = Δx.

x అనేది ఏకపక్ష సంఖ్య అయితే, సమానత్వం (2.8) నుండి మనం df(x) = f "(x)dx, ఎక్కడ నుండి పొందుతాము .
అందువలన, ఒక ఫంక్షన్ y = f(x) యొక్క ఉత్పన్నం ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క అవకలనకు దాని భేదం యొక్క నిష్పత్తికి సమానం.

ఫంక్షన్ యొక్క అవకలన లక్షణాలను పరిశీలిద్దాం.

u(x), v(x) భేదాత్మక విధులు అయితే, కింది సూత్రాలు చెల్లుబాటు అవుతాయి:

ఈ సూత్రాలను నిరూపించడానికి, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క మొత్తం, ఉత్పత్తి మరియు గుణకం కోసం ఉత్పన్న సూత్రాలు ఉపయోగించబడతాయి. ఉదాహరణకు, ఫార్ములా (2.12) నిరూపిద్దాం:

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క అవకలనను పరిశీలిద్దాం: y = f(x), x = φ(t), అనగా. y = f(φ(t)).

అప్పుడు dy = y" t dt, కానీ y" t = y" x ×x" t, కాబట్టి dy =y" x x" t dt. పరిగణనలోకి తీసుకుంటే,

ఆ x" t = dx, మనకు dy = y" x dx =f "(x)dx వస్తుంది.

అందువల్ల, సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్ y = f(x), ఇక్కడ x =φ(t), dy = f "(x)dx రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది, x స్వతంత్ర వేరియబుల్ అయినప్పుడు అదే విధంగా ఉంటుంది. ఈ లక్షణం అంటారు అవకలన రూపం యొక్క మార్పులేనిది ఎ.

ఒత్తిడి చేయవద్దు, ఈ పేరాలోని ప్రతిదీ కూడా చాలా సులభం. మీరు పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించిన ఫంక్షన్ కోసం సాధారణ సూత్రాన్ని వ్రాయవచ్చు, కానీ దానిని స్పష్టం చేయడానికి, నేను వెంటనే ఒక నిర్దిష్ట ఉదాహరణను వ్రాస్తాను. పారామెట్రిక్ రూపంలో, ఫంక్షన్ రెండు సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది: తరచుగా సమీకరణాలు కర్లీ బ్రాకెట్ల క్రింద వ్రాయబడవు, కానీ వరుసగా: , .

వేరియబుల్‌ను పారామీటర్ అంటారు మరియు "మైనస్ ఇన్ఫినిటీ" నుండి "ప్లస్ ఇన్ఫినిటీ" వరకు విలువలను తీసుకోవచ్చు. ఉదాహరణకు, విలువను పరిగణించండి మరియు దానిని రెండు సమీకరణాలలోకి మార్చండి: . లేదా మానవ పరంగా: "x నాలుగుకి సమానం అయితే, y ఒకదానికి సమానం." మీరు కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో ఒక పాయింట్‌ను గుర్తించవచ్చు మరియు ఈ పాయింట్ పరామితి విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. అదేవిధంగా, మీరు “te” పరామితి యొక్క ఏదైనా విలువ కోసం ఒక పాయింట్‌ను కనుగొనవచ్చు. "రెగ్యులర్" ఫంక్షన్ కొరకు, పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ యొక్క అమెరికన్ ఇండియన్స్ కోసం, అన్ని హక్కులు కూడా గౌరవించబడతాయి: మీరు గ్రాఫ్‌ను రూపొందించవచ్చు, ఉత్పన్నాలను కనుగొనవచ్చు మొదలైనవి. మార్గం ద్వారా, మీరు పారామెట్రిక్‌గా పేర్కొన్న ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేయాలనుకుంటే, పేజీలో నా రేఖాగణిత ప్రోగ్రామ్‌ను డౌన్‌లోడ్ చేయండి గణిత సూత్రాలు మరియు పట్టికలు.

సరళమైన సందర్భాల్లో, ఫంక్షన్‌ను స్పష్టంగా సూచించడం సాధ్యమవుతుంది. మొదటి సమీకరణం నుండి పరామితిని వ్యక్తీకరిద్దాం: - మరియు దానిని రెండవ సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయండి: . ఫలితం సాధారణ క్యూబిక్ ఫంక్షన్.

మరింత "తీవ్రమైన" సందర్భాలలో, ఈ ట్రిక్ పనిచేయదు. కానీ అది పట్టింపు లేదు, ఎందుకంటే పారామెట్రిక్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి ఒక సూత్రం ఉంది:

మేము “వేరియబుల్ teకి సంబంధించి గేమ్” యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొంటాము:

అన్ని భేదాత్మక నియమాలు మరియు ఉత్పన్నాల పట్టిక చెల్లుబాటు అయ్యేవి, సహజంగా, అక్షరానికి , అందువలన, ఉత్పన్నాలను కనుగొనే ప్రక్రియలో కొత్తదనం లేదు. టేబుల్‌లోని అన్ని “X”లను మానసికంగా “Te” అక్షరంతో భర్తీ చేయండి.

మేము “వేరియబుల్ teకి సంబంధించి x” యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొంటాము:

ఇప్పుడు మిగిలి ఉన్నది కనుగొనబడిన ఉత్పన్నాలను మా సూత్రంలోకి మార్చడం:

సిద్ధంగా ఉంది. ఫంక్షన్ లాగానే ఉత్పన్నం కూడా పరామితిపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

సంజ్ఞామానం విషయానికొస్తే, దానిని ఫార్ములాలో వ్రాయడానికి బదులుగా, ఎవరైనా సబ్‌స్క్రిప్ట్ లేకుండా వ్రాయవచ్చు, ఎందుకంటే ఇది "X కి సంబంధించి" "సాధారణ" ఉత్పన్నం. కానీ సాహిత్యంలో ఎల్లప్పుడూ ఒక ఎంపిక ఉంటుంది, కాబట్టి నేను ప్రమాణం నుండి వైదొలగను.

ఉదాహరణ 6

మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము

ఈ విషయంలో:

ఈ విధంగా:

పారామెట్రిక్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడంలో ఒక ప్రత్యేక లక్షణం వాస్తవం ప్రతి దశలోనూ ఫలితాన్ని వీలైనంత సులభతరం చేయడం ప్రయోజనకరం. కాబట్టి, పరిగణించబడిన ఉదాహరణలో, నేను దానిని కనుగొన్నప్పుడు, నేను రూట్ క్రింద కుండలీకరణాలను తెరిచాను (నేను దీన్ని చేసి ఉండకపోవచ్చు). ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేసినప్పుడు, చాలా విషయాలు బాగా తగ్గిపోయే మంచి అవకాశం ఉంది. అయినప్పటికీ, వికృతమైన సమాధానాలతో ఉదాహరణలు ఉన్నాయి.

ఉదాహరణ 7

పారామెట్రిక్‌గా పేర్కొన్న ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి

మీరు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవడానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ.

వ్యాసంలో ఉత్పన్నాలతో సరళమైన సాధారణ సమస్యలు మేము ఫంక్షన్ యొక్క రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనవలసిన ఉదాహరణలను పరిశీలించాము. పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ కోసం, మీరు రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కూడా కనుగొనవచ్చు మరియు ఇది క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనబడుతుంది: . రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు మొదట మొదటి ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనాలి.

ఉదాహరణ 8

పారామెట్రిక్‌గా ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క మొదటి మరియు రెండవ ఉత్పన్నాలను కనుగొనండి

మొదట, మొదటి ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి.
మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము

ఈ విషయంలో:

కనుగొన్న ఉత్పన్నాలను ఫార్ములాలో భర్తీ చేస్తుంది. సరళీకరణ ప్రయోజనాల కోసం, మేము త్రికోణమితి సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

పారామెట్రిక్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనే సమస్యలో, చాలా తరచుగా సరళీకరణ ప్రయోజనం కోసం ఉపయోగించడం అవసరం అని నేను గమనించాను త్రికోణమితి సూత్రాలు . వాటిని గుర్తుంచుకోండి లేదా వాటిని సులభంగా ఉంచండి మరియు ప్రతి ఇంటర్మీడియట్ ఫలితం మరియు సమాధానాలను సరళీకృతం చేసే అవకాశాన్ని కోల్పోకండి. దేనికోసం? ఇప్పుడు మనం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని తీసుకోవాలి మరియు ఇది యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడం కంటే స్పష్టంగా ఉత్తమం.

రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి.
మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము: .

మన ఫార్ములా చూద్దాం. మునుపటి దశలో హారం ఇప్పటికే కనుగొనబడింది. ఇది న్యూమరేటర్‌ను కనుగొనడానికి మిగిలి ఉంది - వేరియబుల్ “te”కి సంబంధించి మొదటి ఉత్పన్నం యొక్క ఉత్పన్నం:

ఇది సూత్రాన్ని ఉపయోగించడానికి మిగిలి ఉంది:

మెటీరియల్‌ని బలోపేతం చేయడానికి, మీరు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవడానికి నేను మరికొన్ని ఉదాహరణలను అందిస్తున్నాను.

ఉదాహరణ 9

ఉదాహరణ 10

పారామెట్రిక్‌గా పేర్కొన్న ఫంక్షన్‌ను కనుగొనండి మరియు కనుగొనండి

మీరు విజయం సాధించాలని కోరుకుంటున్నాను!

ఈ పాఠం ఉపయోగకరంగా ఉంటుందని నేను ఆశిస్తున్నాను మరియు మీరు ఇప్పుడు పరోక్షంగా మరియు పారామెట్రిక్ ఫంక్షన్‌ల నుండి పేర్కొన్న ఫంక్షన్‌ల ఉత్పన్నాలను సులభంగా కనుగొనవచ్చు

పరిష్కారాలు మరియు సమాధానాలు:

ఉదాహరణ 3: పరిష్కారం:






ఈ విధంగా:

ఇప్పటి వరకు, ఈ పంక్తుల పాయింట్ల ప్రస్తుత కోఆర్డినేట్‌లను నేరుగా కనెక్ట్ చేసే విమానంలోని పంక్తుల సమీకరణాలను మేము పరిగణించాము. అయితే, లైన్‌ను నిర్వచించే మరొక పద్ధతి తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది, దీనిలో ప్రస్తుత కోఆర్డినేట్‌లు మూడవ వేరియబుల్ యొక్క విధులుగా పరిగణించబడతాయి.

వేరియబుల్ యొక్క రెండు ఫంక్షన్లను ఇవ్వనివ్వండి

t యొక్క అదే విలువల కోసం పరిగణించబడుతుంది. అప్పుడు t యొక్క ఈ విలువలలో ఏదైనా ఒక నిర్దిష్ట విలువ మరియు y యొక్క నిర్దిష్ట విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది మరియు అందువల్ల ఒక నిర్దిష్ట బిందువుకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. ఫంక్షన్ల నిర్వచనం (73) డొమైన్ నుండి వేరియబుల్ t అన్ని విలువల ద్వారా నడుస్తున్నప్పుడు, పాయింట్ విమానంలో ఒక నిర్దిష్ట లైన్ Cని వివరిస్తుంది, సమీకరణాలు (73) ఈ రేఖ యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాలు అంటారు మరియు వేరియబుల్ అంటారు ఒక పరామితి.

ఫంక్షన్‌కి విలోమ ఫంక్షన్ ఉందని మనం అనుకుందాం.ఈ ఫంక్షన్‌ని రెండవ సమీకరణాల్లోకి (73) ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనం సమీకరణాన్ని పొందుతాము

y ని ఫంక్షన్‌గా వ్యక్తపరుస్తుంది

ఈ ఫంక్షన్ సమీకరణాల ద్వారా పారామెట్రిక్‌గా ఇవ్వబడిందని చెప్పడానికి అంగీకరిస్తాము (73). ఈ సమీకరణాల నుండి సమీకరణం (74)కి మారడాన్ని పారామీటర్ ఎలిమినేషన్ అంటారు. పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించబడిన విధులను పరిగణనలోకి తీసుకున్నప్పుడు, పరామితిని మినహాయించడం అవసరం లేదు, కానీ ఎల్లప్పుడూ ఆచరణాత్మకంగా సాధ్యం కాదు.

అనేక సందర్భాల్లో, ఇది చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది, పరామితి యొక్క విభిన్న విలువలను అందించి, సూత్రాలను (73) ఉపయోగించి, వాదన మరియు ఫంక్షన్ y యొక్క సంబంధిత విలువలను లెక్కించడం.

ఉదాహరణలు చూద్దాం.

ఉదాహరణ 1. మూలం మరియు వ్యాసార్థం R వద్ద కేంద్రం ఉన్న సర్కిల్‌పై ఏకపక్ష బిందువుగా ఉండనివ్వండి. ఈ బిందువు యొక్క కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్‌లు x మరియు y దాని ధ్రువ వ్యాసార్థం మరియు ధ్రువ కోణం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడతాయి, వీటిని మనం ఇక్కడ t ద్వారా సూచిస్తాము, ఈ క్రింది విధంగా ( చాప్టర్ I, § 3, పేరా 3 చూడండి):

సమీకరణాలు (75) వృత్తం యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాలు అంటారు. వాటిలో పరామితి ధ్రువ కోణం, ఇది 0 నుండి మారుతూ ఉంటుంది.

సమీకరణాలు (75) పదం వారీగా వర్గీకరించబడి, జోడించబడితే, గుర్తింపు కారణంగా పరామితి తొలగించబడుతుంది మరియు కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని వృత్తం యొక్క సమీకరణం పొందబడుతుంది, ఇది రెండు ప్రాథమిక విధులను నిర్వచిస్తుంది:

ఈ ఫంక్షన్లలో ప్రతి ఒక్కటి సమీకరణాల (75) ద్వారా పారామెట్రిక్‌గా పేర్కొనబడింది, అయితే ఈ ఫంక్షన్‌ల పరామితి పరిధులు భిన్నంగా ఉంటాయి. వాటిలో మొదటిదానికి; ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఎగువ సెమిసర్కిల్. రెండవ ఫంక్షన్ కోసం, దాని గ్రాఫ్ దిగువ సెమిసర్కిల్.

ఉదాహరణ 2. ఏకకాలంలో దీర్ఘవృత్తాకారాన్ని పరిగణించండి

మరియు మూలం మరియు వ్యాసార్థం a వద్ద కేంద్రం ఉన్న వృత్తం (Fig. 138).

దీర్ఘవృత్తాకారంలోని ప్రతి బిందువు Mకు మేము వృత్తం యొక్క N బిందువును అనుబంధిస్తాము, ఇది పాయింట్ M వలె అదే అబ్సిస్సాను కలిగి ఉంటుంది మరియు దానితో పాటు ఆక్స్ అక్షం యొక్క అదే వైపున ఉంటుంది. పాయింట్ N యొక్క స్థానం, అందువలన పాయింట్ M, పాయింట్ యొక్క ధ్రువ కోణం t ద్వారా పూర్తిగా నిర్ణయించబడుతుంది.ఈ సందర్భంలో, వారి సాధారణ అబ్సిస్సా కోసం మేము క్రింది వ్యక్తీకరణను పొందుతాము: x = a. మేము దీర్ఘవృత్తాకార సమీకరణం నుండి పాయింట్ M వద్ద ఆర్డినేట్‌ను కనుగొంటాము:

పాయింట్ M యొక్క ఆర్డినేట్ మరియు పాయింట్ N యొక్క ఆర్డినేట్ తప్పనిసరిగా ఒకే సంకేతాలను కలిగి ఉండాలి కాబట్టి గుర్తు ఎంపిక చేయబడింది.

అందువలన, దీర్ఘవృత్తాకారానికి క్రింది పారామితి సమీకరణాలు పొందబడతాయి:

ఇక్కడ t పరామితి 0 నుండి మారుతూ ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 3. పాయింట్ వద్ద కేంద్రంతో ఒక వృత్తాన్ని పరిగణించండి) మరియు వ్యాసార్థం a, ఇది స్పష్టంగా మూలం వద్ద x- అక్షాన్ని తాకుతుంది (Fig. 139). ఈ వృత్తం x-అక్షం వెంట జారిపోకుండా తిరుగుతుందని అనుకుందాం. వృత్తం యొక్క పాయింట్ M, ఇది ప్రారంభ క్షణంలో కోఆర్డినేట్‌ల మూలంతో సమానంగా ఉంటుంది, ఇది సైక్లాయిడ్ అని పిలువబడే పంక్తిని వివరిస్తుంది.

సైక్లోయిడ్ యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాలను మనం పొందుదాము, వృత్తం యొక్క భ్రమణ కోణం MSVని పరామితిగా తీసుకుంటాము, దాని స్థిర బిందువును O స్థానం నుండి M స్థానానికి తరలించేటప్పుడు, పాయింట్ M యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు మరియు y కోసం మేము ఈ క్రింది వ్యక్తీకరణలను పొందుతాము:

సర్కిల్ జారిపోకుండా అక్షం వెంట తిరుగుతుంది అనే వాస్తవం కారణంగా, సెగ్మెంట్ OB యొక్క పొడవు ఆర్క్ BM యొక్క పొడవుకు సమానంగా ఉంటుంది. ఆర్క్ BM యొక్క పొడవు a వ్యాసార్థం మరియు కేంద్ర కోణం t యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం కాబట్టి, అప్పుడు . అందుకే . కానీ అందువలన,

ఈ సమీకరణాలు సైక్లోయిడ్ యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాలు. t పరామితి 0 నుండి సర్కిల్‌కు మారినప్పుడు ఒక పూర్తి విప్లవం వస్తుంది. పాయింట్ M సైక్లోయిడ్ యొక్క ఒక ఆర్క్‌ను వివరిస్తుంది.

ఇక్కడ t పరామితిని మినహాయించడం గజిబిజిగా ఉండే వ్యక్తీకరణలకు దారి తీస్తుంది మరియు ఆచరణాత్మకంగా అసాధ్యమైనది.

పంక్తుల యొక్క పారామెట్రిక్ నిర్వచనం ముఖ్యంగా మెకానిక్స్‌లో ఉపయోగించబడుతుంది మరియు పరామితి యొక్క పాత్ర సమయం ద్వారా ఆడబడుతుంది.

ఉదాహరణ 4. క్షితిజ సమాంతర కోణంలో ప్రారంభ వేగంతో తుపాకీ నుండి కాల్చబడిన ప్రక్షేపకం యొక్క పథాన్ని నిర్ధారిద్దాం. మేము గాలి నిరోధకత మరియు ప్రక్షేపకం యొక్క పరిమాణాలను విస్మరించాము, దానిని మెటీరియల్ పాయింట్‌గా పరిగణించండి.

కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ని ఎంచుకుందాం. కోఆర్డినేట్‌ల మూలంగా మూతి నుండి ప్రక్షేపకం యొక్క నిష్క్రమణ పాయింట్‌ను తీసుకుందాం. ఆక్స్ అక్షాన్ని క్షితిజ సమాంతరంగా మరియు Oy అక్షాన్ని నిలువుగా నిర్దేశిద్దాం, వాటిని తుపాకీ మూతితో ఒకే విమానంలో ఉంచుదాం. గురుత్వాకర్షణ శక్తి లేకుంటే, ప్రక్షేపకం సరళ రేఖలో కదులుతుంది, ఆక్స్ అక్షంతో ఒక కోణాన్ని తయారు చేస్తుంది మరియు t సమయానికి అది దూరం ప్రయాణించేది. t సమయంలో ప్రక్షేపకం యొక్క కోఆర్డినేట్లు వరుసగా సమానంగా ఉంటాయి. కు: . గురుత్వాకర్షణ కారణంగా, ప్రక్షేపకం ఈ క్షణం ద్వారా నిలువుగా ఒక మొత్తంతో దిగిపోవాలి. కాబట్టి, వాస్తవానికి, t సమయంలో, ప్రక్షేపకం యొక్క అక్షాంశాలు సూత్రాల ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి:

ఈ సమీకరణాలు స్థిరమైన పరిమాణాలను కలిగి ఉంటాయి. t మారినప్పుడు, ప్రక్షేపకం పథం వద్ద కోఆర్డినేట్‌లు కూడా మారుతాయి. సమీకరణాలు ప్రక్షేపకం పథం యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాలు, దీనిలో పరామితి సమయం

మొదటి సమీకరణం నుండి వ్యక్తీకరించడం మరియు దానిని ప్రత్యామ్నాయం చేయడం

రెండవ సమీకరణం, మేము రూపంలో ప్రక్షేపకం పథం యొక్క సమీకరణాన్ని పొందుతాము ఇది పారాబొలా యొక్క సమీకరణం.

పరోక్షంగా పేర్కొన్న ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం.
పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం

ఈ వ్యాసంలో మనం ఉన్నత గణితంలో పరీక్షలలో తరచుగా కనిపించే మరో రెండు విలక్షణమైన పనులను పరిశీలిస్తాము. మెటీరియల్‌ని విజయవంతంగా ప్రావీణ్యం పొందడానికి, మీరు తప్పనిసరిగా కనీసం ఇంటర్మీడియట్ స్థాయిలో డెరివేటివ్‌లను కనుగొనగలగాలి. మీరు రెండు ప్రాథమిక పాఠాలలో మరియు మొదటి నుండి ఆచరణాత్మకంగా ఉత్పన్నాలను కనుగొనడం నేర్చుకోవచ్చు సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం. మీ డిఫరెన్సియేషన్ స్కిల్స్ ఓకే అయితే, వెళ్దాం.

పరోక్షంగా పేర్కొన్న ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం

లేదా, సంక్షిప్తంగా, అవ్యక్త ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం. అవ్యక్త విధి అంటే ఏమిటి? ఒక వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనాన్ని మొదట గుర్తుంచుకోండి:

సింగిల్ వేరియబుల్ ఫంక్షన్స్వతంత్ర వేరియబుల్ యొక్క ప్రతి విలువ ఫంక్షన్ యొక్క ఒక మరియు ఒకే విలువకు అనుగుణంగా ఉండే నియమం.

వేరియబుల్ అంటారు స్వతంత్ర చరరాశిలేదా వాదన.
వేరియబుల్ అంటారు ఆధారిత చరరాశిలేదా ఫంక్షన్ .

ఇప్పటివరకు మేము నిర్వచించిన ఫంక్షన్లను చూశాము స్పష్టమైనరూపం. దాని అర్థం ఏమిటి? నిర్దిష్ట ఉదాహరణలను ఉపయోగించి చర్చను నిర్వహిస్తాము.

ఫంక్షన్ పరిగణించండి

ఎడమ వైపున మనకు ఒంటరి “ప్లేయర్” మరియు కుడి వైపున ఉన్నట్లు మనం చూస్తాము - "Xలు" మాత్రమే. అంటే, ఫంక్షన్ స్పష్టంగాస్వతంత్ర వేరియబుల్ ద్వారా వ్యక్తీకరించబడింది.

మరొక ఫంక్షన్ చూద్దాం:

ఇక్కడే వేరియబుల్స్ మిక్స్ అవుతాయి. పైగా ఏ విధంగానూ అసాధ్యం"Y"ని "X" ద్వారా మాత్రమే వ్యక్తపరచండి. ఈ పద్ధతులు ఏమిటి? సంకేతం యొక్క మార్పుతో నిబంధనలను భాగం నుండి భాగానికి బదిలీ చేయడం, వాటిని బ్రాకెట్ల నుండి తరలించడం, నిష్పత్తి యొక్క నియమం ప్రకారం కారకాలను విసిరివేయడం మొదలైనవి. సమానత్వాన్ని తిరిగి వ్రాయండి మరియు "y"ని స్పష్టంగా వ్యక్తీకరించడానికి ప్రయత్నించండి: . మీరు గంటల తరబడి సమీకరణాన్ని ట్విస్ట్ చేయవచ్చు మరియు తిప్పవచ్చు, కానీ మీరు విజయం సాధించలేరు.

నేను మీకు పరిచయం చేస్తాను: - ఉదాహరణ అవ్యక్త ఫంక్షన్.

గణిత విశ్లేషణ యొక్క కోర్సులో ఇది అవ్యక్త ఫంక్షన్ అని నిరూపించబడింది ఉంది(అయితే, ఎల్లప్పుడూ కాదు), దీనికి గ్రాఫ్ ఉంటుంది ("సాధారణ" ఫంక్షన్ వలె). అవ్యక్త విధి సరిగ్గా అదే ఉందిమొదటి ఉత్పన్నం, రెండవ ఉత్పన్నం మొదలైనవి. వారు చెప్పినట్లు, లైంగిక మైనారిటీల యొక్క అన్ని హక్కులు గౌరవించబడతాయి.

మరియు ఈ పాఠంలో మనం పరోక్షంగా పేర్కొన్న ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని ఎలా కనుగొనాలో నేర్చుకుంటాము. ఇది అంత కష్టం కాదు! అన్ని భేద నియమాలు మరియు ప్రాథమిక ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాల పట్టిక అమలులో ఉంటాయి. వ్యత్యాసం ఒక విచిత్రమైన క్షణంలో ఉంది, దానిని మనం ప్రస్తుతం పరిశీలిస్తాము.

అవును, మరియు నేను మీకు శుభవార్త చెబుతాను - క్రింద చర్చించిన పనులు మూడు ట్రాక్‌ల ముందు రాయి లేకుండా చాలా కఠినమైన మరియు స్పష్టమైన అల్గోరిథం ప్రకారం నిర్వహించబడతాయి.

ఉదాహరణ 1

1) మొదటి దశలో, మేము రెండు భాగాలకు స్ట్రోక్‌లను అటాచ్ చేస్తాము:

2) మేము ఉత్పన్నం యొక్క సరళత యొక్క నియమాలను ఉపయోగిస్తాము (పాఠం యొక్క మొదటి రెండు నియమాలు ఉత్పన్నాన్ని ఎలా కనుగొనాలి? పరిష్కారాల ఉదాహరణలు):

3) ప్రత్యక్ష భేదం.
ఎలా వేరు చేయాలో పూర్తిగా స్పష్టంగా ఉంది. స్ట్రోక్స్ కింద "గేమ్స్" ఉన్న చోట ఏమి చేయాలి?

- కేవలం అవమానకరమైన స్థితికి, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం దాని ఉత్పన్నానికి సమానం: .

ఎలా వేరు చేయాలి
ఇక్కడ మేము కలిగి క్లిష్టమైన ఫంక్షన్. ఎందుకు? సైన్ కింద “Y” అనే ఒక్క అక్షరం మాత్రమే ఉన్నట్లు తెలుస్తోంది. కానీ వాస్తవం ఏమిటంటే “y” అనే ఒకే ఒక అక్షరం ఉంది - స్వయంగా ఒక ఫంక్షన్(పాఠం ప్రారంభంలో నిర్వచనం చూడండి). అందువలన, సైన్ అనేది బాహ్య విధి మరియు అంతర్గత విధి. సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్‌ను వేరు చేయడానికి మేము నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము :

మేము సాధారణ నియమం ప్రకారం ఉత్పత్తిని వేరు చేస్తాము :

దయచేసి గమనించండి – ఇది కూడా ఒక క్లిష్టమైన విధి, ఏదైనా "గంటలు మరియు ఈలలతో ఆట" అనేది సంక్లిష్టమైన పని:

పరిష్కారం కూడా ఇలా ఉండాలి:


బ్రాకెట్లు ఉంటే, వాటిని విస్తరించండి:

4) ఎడమ వైపున మేము ప్రైమ్‌తో “Y”ని కలిగి ఉన్న నిబంధనలను సేకరిస్తాము. మిగతావన్నీ కుడి వైపుకు తరలించండి:

5) ఎడమ వైపున మేము బ్రాకెట్ల నుండి ఉత్పన్నాన్ని తీసుకుంటాము:

6) మరియు నిష్పత్తి యొక్క నియమం ప్రకారం, మేము ఈ బ్రాకెట్లను కుడి వైపు యొక్క హారంలోకి వదలాము:

ఉత్పన్నం కనుగొనబడింది. సిద్ధంగా ఉంది.

ఏదైనా ఫంక్షన్‌ను పరోక్షంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చని గమనించడం ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, ఫంక్షన్ ఇలా తిరిగి వ్రాయవచ్చు: . మరియు ఇప్పుడే చర్చించిన అల్గోరిథం ఉపయోగించి దానిని వేరు చేయండి. వాస్తవానికి, "అవ్యక్త ఫంక్షన్" మరియు "అవ్యక్త ఫంక్షన్" అనే పదబంధాలు ఒక సెమాంటిక్ సూక్ష్మభేదంలో విభిన్నంగా ఉంటాయి. "పరోక్షంగా పేర్కొన్న ఫంక్షన్" అనే పదబంధం మరింత సాధారణమైనది మరియు సరైనది, - ఈ ఫంక్షన్ పరోక్షంగా పేర్కొనబడింది, కానీ ఇక్కడ మీరు "గేమ్"ని వ్యక్తీకరించవచ్చు మరియు ఫంక్షన్‌ను స్పష్టంగా ప్రదర్శించవచ్చు. "ఇంప్లిసిట్ ఫంక్షన్" అనే పదబంధం "y" వ్యక్తీకరించబడనప్పుడు "క్లాసికల్" ఇంప్లిసిట్ ఫంక్షన్‌ను సూచిస్తుంది.

రెండవ పరిష్కారం

శ్రద్ధ!నమ్మకంగా ఎలా కనుగొనాలో మీకు తెలిస్తేనే మీరు రెండవ పద్ధతితో మిమ్మల్ని పరిచయం చేసుకోవచ్చు పాక్షిక ఉత్పన్నాలు. కాలిక్యులస్ బిగినర్స్ మరియు డమ్మీస్, దయచేసి ఈ పాయింట్‌ని చదవకండి మరియు దాటవేయవద్దు, లేకపోతే మీ తల పూర్తిగా గందరగోళంగా ఉంటుంది.

రెండవ పద్ధతిని ఉపయోగించి అవ్యక్త ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి.

మేము అన్ని నిబంధనలను ఎడమ వైపుకు తరలిస్తాము:

మరియు రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్‌ను పరిగణించండి:

అప్పుడు ఫార్ములా ఉపయోగించి మా ఉత్పన్నం కనుగొనవచ్చు
పాక్షిక ఉత్పన్నాలను కనుగొనండి:

ఈ విధంగా:

రెండవ పరిష్కారం మీరు తనిఖీని నిర్వహించడానికి అనుమతిస్తుంది. పాక్షిక ఉత్పన్నాలు తరువాత ప్రావీణ్యం పొందుతాయి మరియు “ఒక వేరియబుల్ యొక్క విధి యొక్క ఉత్పన్నం” అనే అంశాన్ని అధ్యయనం చేసే విద్యార్థికి ఇంకా పాక్షిక ఉత్పన్నాలు తెలియకూడదు కాబట్టి, అసైన్‌మెంట్ యొక్క చివరి సంస్కరణను వ్రాయడం వారికి మంచిది కాదు.

మరికొన్ని ఉదాహరణలు చూద్దాం.

ఉదాహరణ 2

పరోక్షంగా ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి

రెండు భాగాలకు స్ట్రోక్‌లను జోడించండి:

మేము సరళత నియమాలను ఉపయోగిస్తాము:

ఉత్పన్నాలను కనుగొనడం:

అన్ని బ్రాకెట్లను తెరవడం:

మేము అన్ని నిబంధనలను ఎడమ వైపుకు, మిగిలిన వాటిని కుడి వైపుకు తరలిస్తాము:

చివరి సమాధానం:

ఉదాహరణ 3

పరోక్షంగా ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి

పాఠం చివరిలో పూర్తి పరిష్కారం మరియు నమూనా రూపకల్పన.

భేదం తర్వాత భిన్నాలు తలెత్తడం అసాధారణం కాదు. అటువంటి సందర్భాలలో, మీరు భిన్నాలను వదిలించుకోవాలి. మరో రెండు ఉదాహరణలు చూద్దాం.

ఉదాహరణ 4

పరోక్షంగా ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి

మేము రెండు భాగాలను స్ట్రోక్‌ల క్రింద జతచేస్తాము మరియు సరళత నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్‌ను వేరు చేయడానికి నియమాన్ని ఉపయోగించి భేదం చూపండి మరియు గుణకాల భేదం యొక్క నియమం :

బ్రాకెట్లను విస్తరించడం:

ఇప్పుడు మనం భిన్నాన్ని వదిలించుకోవాలి. ఇది తరువాత చేయవచ్చు, కానీ వెంటనే దీన్ని చేయడం మరింత హేతుబద్ధమైనది. భిన్నం యొక్క హారం కలిగి ఉంటుంది. గుణించండి పై . వివరంగా, ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

కొన్నిసార్లు భేదం తర్వాత 2-3 భిన్నాలు కనిపిస్తాయి. మనకు మరొక భిన్నం ఉంటే, ఉదాహరణకు, ఆపరేషన్ పునరావృతం కావాలి - గుణించాలి ప్రతి భాగం యొక్క ప్రతి పదంపై

ఎడమ వైపున మేము దానిని బ్రాకెట్లలో ఉంచాము:

చివరి సమాధానం:

ఉదాహరణ 5

పరోక్షంగా ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి

మీరు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవడానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ. ఒకే విషయం ఏమిటంటే, మీరు భిన్నాన్ని వదిలించుకోవడానికి ముందు, మీరు మొదట భిన్నం యొక్క మూడు-అంతస్తుల నిర్మాణాన్ని వదిలించుకోవాలి. పాఠం చివరిలో పూర్తి పరిష్కారం మరియు సమాధానం.

పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం

ఒత్తిడి చేయవద్దు, ఈ పేరాలోని ప్రతిదీ కూడా చాలా సులభం. మీరు పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించిన ఫంక్షన్ కోసం సాధారణ సూత్రాన్ని వ్రాయవచ్చు, కానీ దానిని స్పష్టం చేయడానికి, నేను వెంటనే ఒక నిర్దిష్ట ఉదాహరణను వ్రాస్తాను. పారామెట్రిక్ రూపంలో, ఫంక్షన్ రెండు సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది: తరచుగా సమీకరణాలు కర్లీ బ్రాకెట్ల క్రింద వ్రాయబడవు, కానీ వరుసగా: , .

వేరియబుల్‌ను పారామీటర్ అంటారుమరియు "మైనస్ ఇన్ఫినిటీ" నుండి "ప్లస్ ఇన్ఫినిటీ" వరకు విలువలను తీసుకోవచ్చు. ఉదాహరణకు, విలువను పరిగణించండి మరియు దానిని రెండు సమీకరణాలలోకి మార్చండి: . లేదా మానవ పరంగా: "x నాలుగుకి సమానం అయితే, y ఒకదానికి సమానం." మీరు కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో ఒక పాయింట్‌ను గుర్తించవచ్చు మరియు ఈ పాయింట్ పరామితి విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. అదేవిధంగా, మీరు “te” పరామితి యొక్క ఏదైనా విలువ కోసం ఒక పాయింట్‌ను కనుగొనవచ్చు. "రెగ్యులర్" ఫంక్షన్ కొరకు, పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ యొక్క అమెరికన్ ఇండియన్స్ కోసం, అన్ని హక్కులు కూడా గౌరవించబడతాయి: మీరు గ్రాఫ్‌ను రూపొందించవచ్చు, ఉత్పన్నాలను కనుగొనవచ్చు మొదలైనవి. మార్గం ద్వారా, మీరు పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించిన ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేయవలసి వస్తే, మీరు నా ప్రోగ్రామ్‌ను ఉపయోగించవచ్చు.

సరళమైన సందర్భాల్లో, ఫంక్షన్‌ను స్పష్టంగా సూచించడం సాధ్యమవుతుంది. మొదటి సమీకరణం నుండి పరామితిని వ్యక్తీకరిద్దాం: - మరియు దానిని రెండవ సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయండి: . ఫలితం సాధారణ క్యూబిక్ ఫంక్షన్.

మరింత "తీవ్రమైన" సందర్భాలలో, ఈ ట్రిక్ పనిచేయదు. కానీ అది పట్టింపు లేదు, ఎందుకంటే పారామెట్రిక్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి ఒక సూత్రం ఉంది:

మేము “వేరియబుల్ teకి సంబంధించి గేమ్” యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొంటాము:

అన్ని భేదాత్మక నియమాలు మరియు ఉత్పన్నాల పట్టిక చెల్లుబాటు అయ్యేవి, సహజంగా, అక్షరానికి , అందువలన, ఉత్పన్నాలను కనుగొనే ప్రక్రియలో కొత్తదనం లేదు. టేబుల్‌లోని అన్ని “X”లను మానసికంగా “Te” అక్షరంతో భర్తీ చేయండి.

మేము “వేరియబుల్ teకి సంబంధించి x” యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొంటాము:

ఇప్పుడు మిగిలి ఉన్నది కనుగొనబడిన ఉత్పన్నాలను మా సూత్రంలోకి మార్చడం:

సిద్ధంగా ఉంది. ఫంక్షన్ లాగానే ఉత్పన్నం కూడా పరామితిపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

సంజ్ఞామానం విషయానికొస్తే, దానిని ఫార్ములాలో వ్రాయడానికి బదులుగా, ఎవరైనా సబ్‌స్క్రిప్ట్ లేకుండా వ్రాయవచ్చు, ఎందుకంటే ఇది "X కి సంబంధించి" "సాధారణ" ఉత్పన్నం. కానీ సాహిత్యంలో ఎల్లప్పుడూ ఒక ఎంపిక ఉంటుంది, కాబట్టి నేను ప్రమాణం నుండి వైదొలగను.

ఉదాహరణ 6

మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము

ఈ విషయంలో:

ఈ విధంగా:

పారామెట్రిక్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడంలో ఒక ప్రత్యేక లక్షణం వాస్తవం ప్రతి దశలోనూ ఫలితాన్ని వీలైనంత సులభతరం చేయడం ప్రయోజనకరం. కాబట్టి, పరిగణించబడిన ఉదాహరణలో, నేను దానిని కనుగొన్నప్పుడు, నేను రూట్ క్రింద కుండలీకరణాలను తెరిచాను (నేను దీన్ని చేసి ఉండకపోవచ్చు). ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేసినప్పుడు, చాలా విషయాలు బాగా తగ్గిపోయే మంచి అవకాశం ఉంది. అయినప్పటికీ, వికృతమైన సమాధానాలతో ఉదాహరణలు ఉన్నాయి.

ఉదాహరణ 7

పారామెట్రిక్‌గా పేర్కొన్న ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి

మీరు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవడానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ.

వ్యాసంలో ఉత్పన్నాలతో సరళమైన సాధారణ సమస్యలుమేము ఫంక్షన్ యొక్క రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనవలసిన ఉదాహరణలను పరిశీలించాము. పారామెట్రిక్‌గా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ కోసం, మీరు రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కూడా కనుగొనవచ్చు మరియు ఇది క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనబడుతుంది: . రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు మొదట మొదటి ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనాలి.

ఉదాహరణ 8

పారామెట్రిక్‌గా ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క మొదటి మరియు రెండవ ఉత్పన్నాలను కనుగొనండి

మొదట, మొదటి ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి.
మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము

ఈ విషయంలో:

మేము కనుగొన్న ఉత్పన్నాలను సూత్రంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము. సరళీకరణ ప్రయోజనాల కోసం, మేము త్రికోణమితి సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము: